Text
УДК 530.1@75.8) jj Издание осуществлено при поддержке
ББК 22.31 iRcdipi* Российского фонда фундаментальных
Д47 ** исследований по проекту 04-02-30052д
Классики науки
Дирак ПА. Собрание научных трудов. Т. IV. Гравитация и космология.
Воспоминания и размышления (лекции, научные статьи 1937-1984 гг.) / Под
общ. ред. А.Д. Суханова; Ред.-сост. А.Д. Суханов. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. —
784 с. - (Классики науки). - ISBN 5-9221-0613-9.
Издание Собрания научных трудов лауреата Нобелевской премии П.A.M. Дира-
Дирака, одного из создателей квантовой механики и квантовой теории поля, предпринима-
предпринимается впервые. Четвертый том содержит научные статьи 1937-1984 гг. по гравитации
и космологии, а также публикации по общим проблемам теоретической физики, в том
числе — циклы лекций «Квантовая механика и релятивистская теория поля», «Общая
теория относительности» и «Пути физики». Уникальность издания определяется тем,
что все включенные в него работы прежде никогда не публиковались совместно.
Книга рассчитана на студентов, аспирантов, преподавателей и научных работни-
работников — физиков, математиков и историков науки.
Ответственный редактор и составитель АД. Суханов
Научное издание
ДИРАК Поль Адриен Морис
СОБРАНИЕ НАУЧНЫХ ТРУДОВ
Том IV
ГРАВИТАЦИЯ И КОСМОЛОГИЯ. ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
(ЛЕКЦИИ, НАУЧНЫЕ СТАТЬИ 1937-1984 гг.)
Редактор А.Д. Суханов
Оригинал-макет: В.В. Затекин
Оформление переплета: А.А. Логунов
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 20.05.05. Формат 70x100/16.
Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 63,52. Уч.-изд. л. 64,5. Тираж 300 экз.
Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru; http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ППП «Типография «Наука»
121099, г. Москва, Шубинский пер., 6
ISBN 5-9221-0613-9 © ФИЗМАТЛИТ, 2005
ПРЕДИСЛОВИЕ ОТВЕТСТВЕННОГО РЕДАКТОРА
Выходом в свет четвертого тома Собрания научных трудов П.A.M. Дирака
завершается данное уникальное издание, оказавшееся в итоге Полным собрани-
собранием его научных работ, воспоминаний и выступлений перед широкой публикой.
В этом томе впервые в мире публикуются совместно все его до сих пор трудно
доступные работы по гравитации и космологии A937-1984 г.г.), а также теорети-
теоретические работы по атомному проекту, воспоминания и суждения о выдающихся
ученых, не вошедшие в предыдущие тома этого издания. Учитывая возросшее
значение космологии, нестандартные идеи Дирака в этой области и сегодня могут
служить источником вдохновения для его последователей.
Том открывается интереснейшим циклом лекций «Квантовая механика и
релятивистская теория поля», прочитанных Дираком в Индии в начале 1955 г.
и включающих, прежде всего, прекрасное изложение его обобщенной гамильто-
новой динамики. Эти лекции никогда не издавались массовым тиражом и были
известны до сих пор лишь в мимеографической копии с машинописного текста со
вставленными от руки формулами. Следом за ними публикуются издававшиеся
ранее циклы его лекций «Общая теория относительности» и «Пути физики»,
имеющие непосредственное отношение к тематике данного тома.
При систематизации научных работ Дирака редакция по-прежнему руковод-
руководствовалась хронологически-тематическим принципом, хотя отнесение той или
иной работы к определенной части тома иногда может показаться спорным.
Обоснование возникшего в итоге разделения на три части работ Дирака по грави-
гравитации и космологии дано в комментариях, вошедших в Приложения. В результате
укрупненное содержание четвертого тома приняло вид:
Часть I. Лекции
Часть П. Зарождение гамильтоновой теории гравитации A958-1974)
Часть III. Гипотеза Больших Чисел и становление новой космологии
A937-1982)
Часть IV. Развитие теории тяготения Эйнштейна A973-1983)
Часть V. Теоретические работы по атомному проекту A941-1944)
Часть VI. Воспоминания и размышления A939-1983)
Часть VII. Персоналии A940-1984)
Часть VIII. Приложения.
Учитывая новизну большинства публикуемых работ для русскоязычных чи-
читателей, на этот раз было признано целесообразным дополнительно включить
в Приложения ряд существенных материалов. Прежде всего, в них вошла заклю-
заключительная часть мемориального очерка Р. Далица и Р. Пайерлса, посвященная
некоторым работам Дирака из данного тома. Далее публикуются заметки Р. Дик-
ке и К. Вейцзеккера, содержание которых тесно связано с публикуемыми здесь
работами по космологии, а также комментарии Р. Далица, касающиеся участия
Дирака в атомном проекте. В них также вошли безусловно имеющий истори-
исторический интерес фрагмент из первого издания знаменитой монографии Дирака
A930 г.), а также замеченные неточности в материалах тома III. Как и ранее,
в заключение публикуются комментарии ответственного редактора к некоторым
фрагментам текста, отмеченным цифрами в квадратных скобках.
ПРЕДИСЛОВИЕ ОТВЕТСТВЕННОГО РЕДАКТОРА
При подготовке к изданию тома IV почти без изменений были использованы
переводы лекций и работ Дирака, изданных ранее под редакцией Д.И. Бло-
хинцева, Б.В. Медведева и Я.А. Смородинского. Большинство остальных работ
Дирака, включая его лекции в Индии, переведено впервые А.Г. Башкировым,
А.В. Берковым, Д.И. Казаковым, Ю.Г. Рудым, Ю.П. Рыбаковым и В.И. Санюком
при участии и под редакцией А.Д. Суханова. Проделанная ими работа теперь
выносится на суд читателей.
Особую благодарность редакция приносит В.Я. Файнбергу за многолетнюю
поддержку данного издания. Редакция искренне признательна B.C. Владими-
Владимирову, предоставившему в ее распоряжение автограф Дирака, который был им
получен от автора на конференции в США в 1976 г. Этот текст является еще
одним свидетельством неизменно благожелательного отношения Дирака к рос-
российским физикам.
Издание максимально полного собрания научных трудов Дирака было связа-
связано с преодолением колоссальных трудностей и оказалось бы вообще невозмож-
невозможным без активной поддержки многочисленных почитателей Дирака в России и
за рубежом. В связи с этим, прежде всего, приносим благодарность А.А. Гип-
Гиппиусу, Л.И. Беловой (ФИАН) и А.Н. Сисакяну, В.И. Журавлеву, Е.В. Ива-
Ивановой (ЛТФ ОИЯИ) за неоценимую помощь в подборе и копировании многих
оригинальных статей Дирака. Активную помощь редакции оказали Е. Беккер
(Израиль), А.Г. Борисов (Франция), К. Вали (США), Г.С. Вартанов, А.Д. Долгов,
А.Е. Дорохов, А.И. Илларионов, Д.И. Казаков, А. Кунду (Индия), Д. Леви
(Италия), Л. Моенс (Бельгия), Ф. Муссо (Италия), И.Е. Овчаренко, А.К. По-
Погребков, П.И. Рубинин, Ю.Г. Рудой, В.И. Санюк, Н.Я. Фогель (Израиль). Только
благодаря их исключительным усилиям были получены недоступные в России
тексты Дирака, вошедшие в четвертый том.
Подводя итоги работы над изданием в целом, хотелось бы отметить высокока-
высококачественную работу коллектива редакции издательства ФИЗМАТЛИТ — редакто-
редакторов Е.С. Артоболевской, Р.А. Бунатян, Н.Б. Бартошевич-Жагель, Д.А. Миртовой
и сотрудников А.Ю. Алехиной, Д.В. Горбачева, В.В. Затекина, А.А. Логунова и
В.В. Худякова во главе с главным редактором М.Н. Андреевой.
В заключение следует особо подчеркнуть, что издание Собрания научных
трудов Дирака, явилось воплощением давнего замысла моего учителя Б.В. Мед-
Медведева. Оно стало возможным лишь благодаря вдохновляющей поддержке и
заботе моей жены О.Н. Голубевой. Ее плодотворное участие в работе по сбору
материалов, организации переводов, их редактированию и подготовке текстов
комментариев во многом способствовало осуществлению данного проекта.
Завершение данного издания во Всемирный год физики, объявленный Гене-
Генеральной Ассамблеей ООН, выглядит весьма символично. Принося дань уважения
Дираку, мы в его лице чтим всех великих физиков, вклад которых в развитие
современной цивилизации нельзя переоценить.
20 мая 2005 г. А. Суханов
Часть I
Лекции
1. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ*)
Л.1. Состояния. Бра- и кет-векторы
Ньютонова механика достигла наибольших успехов в описании движе-
движения систем, состоящих из больших массивных тел. Для описания атомов
требуется новая механика, которую по-разному называют волновой, мат-
матричной или квантовой механикой. Все эти имена по существу соответству-
соответствуют одной и той же теории. Метод, которым мы воспользуемся в предлагае-
предлагаемом изложении квантовой механики, будет дедуктивным: сначала будет
сформулировано определенное число предположений, затем из них будут
получены выводы и заключения.
Понятию «малого» тела, для описания которого необходима квантовая
механика, может быть придан абсолютный смысл. С помощью фундамен-
фундаментальных констант природы е, т и h можно построить фундаментальные
единицы, которые могут в абсолютном смысле служить критерием «ма-
«малости» или «великости». Тело является большим (в абсолютном смысле),
если его масса и размеры много больше тех величин, которые определя-
определяются указанными единицами; в противном случае тело является малым.
Главной характеристикой малого тела является то, что возникающее при
физическом наблюдении этого тела неизбежное возмущение не может счи-
считаться пренебрежимо малым. Оно не может быть уменьшено более искус-
искусным экспериментатором, или использованием более изощренной техники
наблюдений. Это приводит к неопределенности результатов наблюдений
над малыми телами: результаты двух идентичных наблюдений над одной и
той же системой в общем случае не будут одинаковыми. Для таких систем
важны только статистические результаты [1].
В классической механике состояние данной системы можно опреде-
определить, задав положения и импульсы составляющих ее частиц в данный
момент времени. В квантовой механике невозможно задать состояние та-
таким же образом, так как в данный момент времени нельзя определить
все динамические переменные системы. Состояние в квантовой механи-
механике определяется заданием значений такого количества динамических пе-
переменных в данный момент времени, сколько теория разрешает задать
одновременно.
*) Quantum Mechanics and Relativistic Field Theory // Lectures on Mathematics and
Physics, 1. / Ed. M.G.K. Menon, R. Navisimhan. — Bombay: Tata Institute of Fundamental
Research,1955. 166 p.
Lectures on Quantum Mechanics and Relatl?istic Field Theory
by
P# Am Шт Dirao
Notes by
I» K« Gupta and George) Sudershsn
Tata Institute of Fundamental Research
Б embay
1955
Титульный лжет мимеографического издания лекций
П.A.M. Дирака «Квантовая механика и релятивистская теория поля»
1. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ 11
Неприятное свойство неопределенности результатов наблюдения си-
системы компенсируется принципом суперпозиции состояний, который мы
сейчас введем. Рассмотрим множество всех состояний динамической систе-
системы. Принцип суперпозиции позволяет объединить любые два состояния и
получить другие состояния, принадлежащие этому множеству. Благодаря
такому свойству состояний их удобно представлять как векторы в век-
векторном пространстве. Такие векторы будут называться кет-векторами и
обозначаться символом | }. Если желательно отличать один кет-вектор от
другого, можно вставить метку: \А). В общем случае пространство кет-век-
кет-векторов бесконечномерно. Предполагается, что эти векторы удовлетворяют
следующим условиям.
A) Кет-векторы комплексны, иными словами, кет-вектор можно умно-
умножить на комплексное число и получить величину той же природы, т. е.
другой кет-вектор.
B) Существует одно-однозначное соответствие между состояниями ди-
динамической системы и направлениями кет-векторов.
Поэтому \А) и с|т4), где с — комплексное число, отвечают одному и тому
же состоянию. В этом состоит различие между квантово-механическим
принципом суперпозиции и принципом суперпозиции, иногда использую-
использующимся в классической механике. Суперпозиция моды колебаний струны
с самой собой приводит в классической физике к новой моде с удвоенной
амплитудой и учетверенной энергией по сравнению с начальной модой
колебаний. В квантовой механике суперпозиция состояния с самим собой
приводит к тому же состоянию. Кроме того, нулевой вектор в квантовой
механике соответствует отсутствию состояния вообще, в то время как нуле-
нулевой вектор в примере с колеблющейся струной соответствует покоящейся
струне.
Рассмотрим два состояния \А) и \В), в которых результаты измерения
динамической переменной ? равны, соответственно, а и Ь. Чему равен
результат измерения ? в состоянии
а\А) + с2\В),
являющемся суперпозицией двух указанных? Теперь система находится
частично в состоянии |Л), и частично в состоянии \В). Акт измерения ?
заставит систему перейти в одно или другое из этих состояний, и получен-
полученный результат измерения будет равен либо а, либо 6, причем вероятности
будут зависеть от относительного веса состояний \А) и \В) в суперпозиции.
В таком духе, пользуясь принципом неопределенности, можно физически
понять принцип суперпозиции.
Кет-вектор
\А)
полученный суперпозицией кет-векторов \А) и |Б), порождает двукратную
бесконечную цепочку состояний, так как существенно только направление
нового кет-вектора, и, следовательно, характеристикой состояния является
12 I. ЛЕКЦИИ
только комплексное число с\/с2. Если рассматривать только веществен-
вещественные кет-векторы, то мы получим только одномерную бесконечную цепочку
состояний. Как показывает нижеследующий пример, это не может соот-
соответствовать действительности.
Рассмотрим пучок света данной частоты, движущийся в определен-
определенном направлении. Он состоит из фотонов с определенными энергией и
импульсом, которые могут находиться в разных состояниях поляризации.
Так как имеются только два независимых состояния поляризации, которые
можно выбрать, например, как: 1) два состояния линейной поляризации
в перпендикулярных направлениях; 2) два состояния циркулярной поля-
поляризации в противоположных направлениях. Произвольная суперпозиция
этих состояний будет состоянием эллиптической поляризации. Так как
для задания эллипса требуется два параметра, отсюда видно, что при
суперпозиции двух независимых поляризационных состояний фотона дей-
действительно получается двукратная бесконечная цепочка состояний. Отсю-
Отсюда следует, что для представления состояний физической системы нужно
использовать комплексные кет-векторы.
Можно показать, что для данного векторного пространства всегда
существует другое векторное пространство, называемое дуальным, так
что всегда можно построить скалярное произведение двух векторов, по
одному из каждого пространства. Векторы из пространства, дуального к
пространству кет-векторов, будут называться бра-векторами и обозначать-
обозначаться ( |. Скалярное произведение кет-вектора \А) и бра-вектора (В\ будет
обозначаться (В\А). Это комплексное число.
В последующем станет ясно, что в этих обозначениях полные скобки
всегда являются числами, а неполные — векторами.
Предполагается, что выполнены следующие аксиомы.
C) Существует одно-однозначное соответствие между кет- и бра-векто-
бра-векторами. Бра-вектор, соответствующий кет-вектору |Л), будет обозначаться
(А\.
D) Указанное соответствие антилинейно, т. е.
с\А)
E) (А\В) =ЩА).
F) (А\А) > 0 для \А) ф 0.
Бра- и кет-векторы (А\ и \А) можно рассматривать как комплексно
сопряженные друг другу.
Говорят, что два кет-вектора ортогональны, если скалярное произве-
произведение одного кет-вектора с бра-вектором, соответствующим другому кет-
вектору, равно нулю. Аналогично можно определить ортогональность двух
бра-векторов, а также бра- и кет-вектора.
Кет-вектор \А) называется нормированным, если
(А\А) = 1.
1. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ 13
Данному состоянию соответствуют все кет-векторы заданного направ-
направления. Это соответствие можно сделать более определенным, если припи-
приписать состоянию только нормированные кет-векторы. При этом все равно
произвол в задании кет-векторов сохранится, так как, не нарушая норми-
нормировки, их можно умножать на величину е%1 с вещественным 7-
Из предположений B) и C) видно, что каждому состоянию соответ-
соответствует также направление в пространстве бра-векторов. Действительно,
между бра- и кет-векторами имеется полная симметрия, так что для ха-
характеристики состояний можно было бы с тем же успехом начать с бра-
векторов.
Л. 2. Линейные операторы
Введем линейные операторы, действующие на кет-векторы. Пусть а —
линейный оператор; действуя на кет-вектор | Л), он дает другой кет-вектор,
линейно зависящий от |Л), который можно записать как произведение
а\А). Можно непосредственно определить суммы и произведения линей-
линейных операторов:
= а(C\А)).
Таким образом, можно построить алгебру этих операторов. В общем слу-
случае не выполняется коммутативный закон умножения:
0а\А)фаР\А),
(За ф аC.
Если для двух операторов а и /3 произведение а/3 = /За, то мы говорим,
что а и C коммутируют.
Кет-вектор \А) можно умножить на любое число &, получив в резуль-
результате кет-вектор &|т4), линейно зависящий от \А). Отсюда число есть линей-
линейный оператор. Он обладает свойством коммутировать со всеми линейными
операторами.
До сих пор линейные операторы были определены действием на кет-
векторы. Можно заставить линейный оператор а действовать на бра-
вектор {В\, получив в результате произведение (В\а, если предположить,
что
((В\а)\А) = (В\(а\А)).
При таком определении (В\а тройное произведение можно считать ассо-
ассоциативным и записывать просто как (В|а|Л); можно образовать и произ-
произведения типа (P\af3^\Q), т.е. считать умножение всегда ассоциативным.
Физический смысл, приписываемый линейным операторам, состоит
в том, что они соответствуют динамическим переменным типа положения,
скорости частицы и полевых переменных в теории поля. Таким образом,
динамические переменные квантовой механики подчиняются некоммута-
некоммутативной алгебре.
14 I. ЛЕКЦИИ
Если заданы бра-вектор (В\ и кет-вектор |Л), можно образовать произ-
произведение |v4)(i3|, которое можно интерпретировать как линейный оператор,
если потребовать выполнения ассоциативного закона:
(Q\(\A)(B\) = ((Q\A))(B\.
Из этого равенства видно, что |Л)(Б|, действуя на бра-вектор (Q|, дает
другой бра-вектор, линейно зависящий от первого и являющийся поэтому
линейным оператором.
Перечисленные произведения включают все комбинации, которым
можно приписать определенный смысл. Другие комбинации типа ot{P\
бессмысленны.
В общем случае линейные операторы должны рассматриваться как
комплексные. Чтобы построить линейный оператор, соответствующий
вещественной динамической переменной или вещественной функции ди-
динамических переменных, мы должны наложить на него определенные
ограничения. Если дан линейный оператор а, то существует линейный
оператор ~а, называемый комплексно-сопряженным к а, который опреде-
определяется условием
(А\а\В) = (В\а\А).
Тогда выполняется равенство ~а = а. Математики называют сопряженным
оператором тот оператор, который мы назвали комплексно сопряженным.
В предвидении физической интерпретации, в квантовой теории предпочи-
предпочитают термин «комплексно-сопряженный».
Определенное таким образом сопряжение подчиняется ряду правил.
Положим
а\А) = \Р).
Так как для каждого кет-вектора \В)
(А\а\В) = (В\а\А) = (В\Р) = (Р\В),
ТО
(А\а = {Р\ = сопряженное к а|Л).
Возьмем два линейных оператора а, /3 и образуем оператор а/3\А). Со-
Сопряженный к нему оператор равен (А\а/3. Однако сопряженный к а/3|т4)
оператор сопряжен к оператору а(/3\А)). Применяя только что выведенное
соотношение, имеем:
сопряженный к а(/3\А)) = (сопряженный к /3\А))а = (А\/3~а,
и следовательно _
а/3 = /За.
Аналогично, если перемножается более двух операторов а, /3, 7? •••? то
а/?7 • • • — • • • 'У/За.
Все установленные правила можно суммировать в едином обобщающем
правиле, утверждающем, что для получения сопряженного к любому про-
1. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ 15
изведению операторов следует взять произведение операторов, сопряжен-
сопряженных к исходным операторам, в обратном порядке. Например, рассмотрим
оператор
(P\(\A)(B\)\Q) = (Q\A)(B\P) = (A\Q)(P\B) = (P\B){A\Q).
Так как {A\Q) и {Р\В} —числа, они коммутируют друг с другом. Отсюда
\А)(В\ = \В)(А\.
Другой иллюстрацией может служить уже полученный выше результат
(А\В) = (В\А).
Чтобы ввести координаты в пространстве кет-векторов, рассмотрим
базисные кет-векторы |г), удовлетворяющие следующим условиям:
A) они представляют собой полный набор; любой кет-вектор \Р) можно
представить в виде
B) они ортогональны и нормированы:
(r\s) = Srs]
C) они линейно независимы:
если ^аг\г) = 0, то аг = 0;
г
D)
где 1 —единичный линейный оператор.
Не все эти условия независимы. Если выполняются условия A) и B),
то два других условия можно вывести. Так, предполагая выполненными
условия A) и B), если мы имеем ^2аг\г) — 0, то умножая это равенство
г
на вектор (s|, получим
^ar(s\r) = 0.
г
Используя условие B), находим отсюда as = 0, что доказывает условие
C).
Далее, беря сумму ^ \г)(г\ и умножая ее на вектор |s), получим
г
^2\r)(r\s) = Y,\rMrs = \s),
Г Г
так что после применения оператора XI lr)(rl K Is) опять получается \s).
г
Так как векторы \s) образуют полный набор, покрывающий все простран-
16 I. ЛЕКЦИИ
ство кет-векторов, то оператор ^ lr)(rl? действуя на любой кет-вектор,
г
будет давать тот же кет-вектор, так что
т.е. просто выполнено условие D).
Альтернативно, предполагая выполненными условия C) и D), можно
вывести условия A) и B).
Уравнение \Р) = ^2\г)(г\Р), вытекающее из условия D), дает раз-
г
ложение вектора \Р) по базисным кет-векторам \г) с коэффициентами
(г\Р). Следовательно эти коэффициенты являются координатами вектора
\Р). Аналогично, бра-вектор (Q\ можно выразить в виде разложения по
базисному набору (s\ с коэффициентами (Q|s), которые являются, таким
образом, координатами вектора (Q\.
Скалярное произведение
может быть записано через координаты векторов (Q\ и \Р). Координаты
вектора \Р) сопряжены координатам вектора (Р\.
Линейный оператор а описывается двойным массивом координат
(r|a|s), которые удобно записать в виде квадратной матрицы
2|а|1> B|а|2> B|а|3> ...
Таким образом, динамические переменные соответствуют матрицам. Что-
Чтобы оператор а представлял вещественную динамическую переменную,
необходимо выполнение условия а = ~а, так что (r|a|s) = (s|a|r). Сле-
Следовательно, матричные элементы, зеркально отраженные относительно
главной диагонали, комплексно сопряжены друг другу. Подобные матрицы
называются эрмитовыми. Итак, вещественные динамические переменные
соответствуют эрмитовым матрицам.
Из условия D) можно получить равенство (r\a/3\s) = J2(r\a\t)(t\/3\s),
t
что является просто законом матричного умножения. Отсюда произведе-
произведение двух динамических переменных отвечает произведению соответству-
соответствующих матриц. Координаты вектора а\Р) равны
что опять представляет правило матричного умножения, если рассматри-
рассматривать координаты вектора \Р) как матрицу с одним столбцом:
координаты \ / координаты \ / координаты
) [ \Р) ={ а\Р)
1. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ 17
Аналогично, для бра-вектора его координаты следует рассматривать как
матрицу с одной строкой:
Линейный оператор |А)(В| имеет координаты
(r\A)(B\s),
что представляет собой матричное произведение матриц с одним столбцом
и с одной строкой. Произведение тех же матриц, взятое в обратном поряд-
порядке, есть просто число.
Рассмотрим уравнение
а\Р) = а\Р),
где а—линейный оператор, а — число, а \Р) — ненулевой кет-вектор
\Р) ф 0. В этом уравнении мы рассматриваем а как заданный линейный
оператор, а кет-вектор \Р) и число а как неизвестные. Мы определяем
число а как собственное значение оператора a, a \P)—как собственный
кет-вектор оператора а, отвечающий этому собственному значению. Свой-
Свойство быть собственным кет-вектором зависит только от направления кет-
вектора; произведение собственного кет-вектора на любое ненулевое число
тоже есть собственный кет-вектор, принадлежащий тому же собственному
значению. Если имеются два собственных кет-вектора, принадлежащих
одному и тому же собственному значению, то любая линейная комбинация
этих векторов также будет собственным кет-вектором, принадлежащих
этому собственому значению.
Так как математическая формулировка симметрична по отношению
к бра- и кет-векторам, можно рассмотреть и уравнение на собственные
значения
(Q\a = b(Q\,
где b — число и вектор (Q\ ф 0. Таким образом, для любого линейного
оператора а имеются два типа собственных значений, связанных с кет- и
бра-векторами соответственно.
Предположим, что оператор а веществен, т. е. ~а = а, и что справедливо
а\Р) = а\Р). Умножая обе части этого равенства на (Р|, получим
(Р\а\Р) = а(Р\Р).
Величина {Р\Р) вещественна и не равна нулю, величина (Р\а\Р) также
вещественна. Поэтому число а вещественно. Таким образом, собственные
значения вещественного линейного оператора являются вещественными
числами.
Сопряженное уравнение имеет вид
(Р\а = а(Р\.
18 I. ЛЕКЦИИ
Отсюда следует, что собственные значения одинаковы для обоих типов
векторов и собственные бра-векторы сопряжены собственным кет-векто-
рам.
Число к является линейным оператором. Подставим к вместо а. В этом
случае каждый кет-вектор является собственным кет-вектором и суще-
существует только одно собственное значение, а именно, к. Обратно, если мы
имеем линейный оператор с одним единственным собственным значением,
и каждый кет-вектор является собственным кет-вектором, то это собствен-
собственное значение является просто постоянным множителем.
Теорема об ортогональности. Пусть даны два собственных значе-
значения а и 6, которым отвечают собственные кет-векторы \А) и \В),
а\А) = а\А),
а\В) = Ь\В).
Сопрягая второе уравнение, получаем
(В\а = Ь(В\.
Умножая, находим
(В\а\А) = а(В\А) = Ь(В\А).
Следовательно, если а ф 6, то (В\А) = 0. Это соотношение ортогонально-
ортогональности очень полезно.
Л.З. Собственные векторы и собственные значения. Наблюдае-
Наблюдаемые
Вопрос о том, имеет ли данный линейный оператор собственные значе-
значения и собственные векторы, и если да, то как их найти, является в общем
случае трудным. Однако в частном случае, когда линейный оператор,
скажем, а, удовлетворяет алгебраическому уравнению, например,
F(a) = соап + da71'1 + ... + сп = 0, A)
можно без труда найти собственные значения и собственные кет-векторы.
Если \Р) есть собственный кет-вектор оператора а, принадлежащий соб-
собственному значению а, то для любого степенного ряда f(o-) от а имеем
f(a)\P) = f(a)\P).
В частности, справедливо
F(a)\P) = F(a)\P).
Поэтому из уравнения A) следует
F(a) = 0.
Таким образом, собственные значения оператора а являются корнями
уравнения A).
1. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ 19
Можно легко установить следующие правила.
(A) Если F(a) = 0 — простейшее уравнение, которому удовлетворяет а,
тогда каждый корень уравнения F(a) = 0 есть собственное значение опе-
оператора а.
(B) Существует такое количество собственных кет-векторов операто-
оператора а, которое накрывает все пространство.
Например, если оператор а удовлетворяет уравнению
тогда векторы A + а)\Р) и A — а)|Р), где \Р) —некоторый кет-вектор,
будут собственными кет-векторами оператора а, принадлежащими соб-
собственным значениям 1 и —1 соответственно, если только они не равны
нулю. Произвольный кет-вектор \Р) может быть записан как линейная
комбинация указанных собственных кет-векторов оператора а:
\Р)=1-A + а)\Р)+1-A-а)\Р).
Случай произвольных линейных операторов был рассмотрен
Дж. фон Нейманом в объемистой статье в журнале Mathematische Annalen,
52 A929), p. 99, и М.Н. Стоуном в книге «Линейные преобразования
в гильбертовом пространстве». Эти авторы показали, что у определенного
типа операторов, называемых самосопряженными, существует такое
количество собственных векторов, что они накрывают все пространство.
Множество собственных значений, называемое спектром, может включать
дискретные числа или непрерывные значения в (конечном или бесконеч-
бесконечном) интервале, или и то, и другое.
Собственный кет-вектор оператора, принадлежащий собственному зна-
значению х) а' в интервале (а, 6), должен иметь бесконечную длину, что
доказывается с помощью следующего рассуждения. Образуем кет-вектор
6
= \
где Ха/ —некоторая функция а!. Это кет-вектор общего вида, и скалярное
произведение
{а"\Х) = \xa,(a"\a')da'
будет поэтому не равно нулю, за исключением особых случаев. Но в си-
силу теоремы ортогональности подынтегральное выражение равно нулю за
исключением случая, когда af = otn', и если величины (aff\af) были бы
конечны, интеграл был бы равен нулю. Поэтому необходимо потребовать,
г) Греческие буквы со штрихами будут всегда обозначать собственные значения опе-
операторов, которые, в свою очередь, будут обозначаться соответствующими буквами без
штрихов.
20 I. ЛЕКЦИИ
чтобы величины (aff\af) имели бы такую сингулярность при а/ = а"', чтобы
интеграл от них не равнялся нулю.
Чтобы представить подобную сингулярность, вводится функция, опре-
определяемая условиями:
д(х) = 0 для ж^О,
где областью интегрирования является любой интервал, включающий на-
начало координат. Сингулярная функция (aff\af) может быть теперь запи-
записана как
(а"|а'> = к(а')8{а' -а"). C)
Определенная выше функция 8{х) в строго математическом смысле не
существует, и по этой причине ее введение подверглось критике со сто-
стороны математиков. Без нее можно и обойтись, если использовать методы
фон Неймана и Стоуна. Однако она представляет собой очень удобное
обозначение, которое стало общеупотребительным в физике [2].
Можно легко проверить следующие свойства ^-функции:
(xM{x)dx = m, D)
х6(х) = 0. E)
Если разделить уравнение А = В на непрерывную переменную ж, которая
может принимать нулевое значение, то в общем случае вместо А/х = В/х
получим
А = Е + к5{х). F)
Проведем еще раз доказательство теоремы ортогональности для слу-
случая, когда собственные значения принадлежат непрерывному спектру. Ес-
Если \А) и \В) являются собственными векторами вещественного оператора,
принадлежащими соответственно собственным значениям а и b из некото-
некоторой области, то
(В\а\А) = а(В\А) = Ь(В\А),
так что
(Ь - а){В\А) = 0,
откуда, деля на F — а), получаем с учетом формулы F)
(В\А) = к5(Ь-а).
Это полностью совпадает с формулой C).
Чтобы связать развитую здесь математическую теорию с физическими
измерениями, предположим теперь, что если \Р) есть собственный кет-
вектор оператора а, принадлежащий собственному значению а,
а\Р) = а\Р),
то измерение динамической переменной, представленной оператором а,
в состоянии \Р) с достоверностью даст результат а. Обратно, если изме-
1. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ 21
рение а в состоянии \Р) с достоверностью дает результат а, то \Р) есть
собственный вектор а, принадлежащий собственному значению а. Эти
предположения относятся к особым условиям, так как в общем случае
измерение динамической переменной в данном состоянии приводит с опре-
определенными вероятностями к различным результатам.
Далее разумно предположить, что все физически достижимые состоя-
состояния имеют конечную длину, а состояния бесконечной длины не могут быть
реализованы. Отсюда, например, вытекает, что состояние, описывающее
частицу, координата которой фиксирована, не может быть реализовано,
так как частица будет иметь бесконечную энергию. Или наоборот, частица
в состоянии с точным значением импульса может быть обнаружена где
угодно во Вселенной, что не соответствует физически достижимому состо-
состоянию.
Теперь можно рассмотреть вопрос о том, соответствует ли любой ли-
линейный оператор чему-то, что может быть измерено. Во-первых, линейный
оператор должен быть вещественным, так как результаты физических из-
измерений всегда являются вещественными числами. В общем случае нельзя
измерить комплексную динамическую переменную путем измерения ее
действительной и мнимой частей, так как это потребует измерения двух
величин, а два измерения обычно интерферируют друг с другом.
Когда мы измеряем вещественный линейный оператор, мы одновре-
одновременно измеряем все функции от него. Если обнаружено, что оператор а
имеет значение а, то /(а) должно иметь значение /(а). Здесь функция /
может быть любой функцией, область определения которой включает все
собственные значения оператора а. Следовательно необходимо предполо-
предположить, что если вещественный оператор должен соответствовать чему-то
измеримому, то должны существовать и произвольные функции от него.
Это накладывает условие на вещественный линейный оператор, так как
для произвольного линейного оператора такое суждение неверно. Если
вещественный линейный оператор удовлетворяет указанному условию, то
он называется наблюдаемой.
Предполагается, что выполнены следующие условия для произвольных
функций от наблюдаемых:
i) если а\Р) = а\Р), то f(a)\P) = f(a)\P);
ii) функции от а можно комбинировать согласно правилам обычной
коммутативной алгебры;
iii) любой оператор, коммутирующий с оператором а, коммутирует
также и с f(a).
Предположение, что собственный кет-вектор \А) наблюдаемой а, при-
принадлежащий собственному значению а, представляет состояние, в котором
измерение а с достоверностью приводит к результату а, позволяет дать
физическую интерпретацию, применимую в частных случаях. Чтобы по-
получить физическую интерпретацию в общем случае, предположим теперь,
что если состояние Р представляется нормированным кет-вектором |Р),
то среднее значение наблюдаемой а в состоянии Р равно (Р\а\Р).
22 I. ЛЕКЦИИ
Это вещественное число, так как а — вещественный оператор. Такая
общая физическая интерпретация совместима с предыдущей, которая, на
самом деле, может быть из нее получена. Это — сильное предположение,
так как оно применимо и для функций от наблюдаемой а и предоставляет
достаточную информацию, позволяющую вычислить вероятности получе-
получения разных результатов при измерении наблюдаемой а в данном состоя-
состоянии Р.
В общем случае измерения двух наблюдаемых будут интерферировать
друг с другом: результаты, полученные при первом и сразу следующим
за ним втором измерении будут в общем случае отличаться от тех, кото-
которые получатся при обращении порядка измерения наблюдаемых. Однако
в частных случаях измерение одной наблюдаемой а может не изменять
распределение вероятностей при измерении другой наблюдаемой /3, и нао-
наоборот. В этом случае наблюдаемые а и /3 называют совместными. Изме-
Измерение оператора af3 будет давать во всех состояниях тот же результат, что
и измерение (За\
(Р\{аC - ра))\Р) = 0 для всех |Р),
так что
а/3 = /За.
Наоборот, легко видеть, что две коммутирующие наблюдаемые можно, не
приходя к противоречиям, считать совместными. Определение совместно-
совместности можно непосредственно распространить на более чем две наблюдае-
наблюдаемые, и условие совместности всегда эквивалентно условию коммутации.
Можно определить и произвольные функции от совместных наблюда-
наблюдаемых. Они удовлетворяют следующим условиям:
i) если а, /3, ... коммутируют и а\Р) = а|Р), /3\Р) = Ь\Р), ..., то
f(a,C,...)\P) = f(a,b,...)\P).
ii) функции от а, /3, ... можно комбинировать по законам обычной
коммутативной алгебры;
iii) любой оператор, коммутирующий с а, /3, ..., коммутирует и
с/(а,/?,...)-
В квантовой механике, чтобы зафиксировать состояние, следует зафик-
зафиксировать направление в пространстве кет-векторов. С этой целью выбира-
выбирается набор коммутирующих наблюдаемых ?i, ?2, • • •, ни одна из которых не
является функцией остальных. Этот набор является максимальным набо-
набором, обладающим указанным свойством, т. е. не существует наблюдаемой,
коммутирующей со всеми выбранными наблюдаемыми и не являющейся
функцией от них. Такое множество называется полным набором комму-
коммутирующих наблюдаемых. Состояние считается фиксированным, если оно
есть одновременное собственное состояние полного набора коммутирую-
коммутирующих наблюдаемых. Ситуация контрастирует с той, которая имеет место
в классической механике, где для фиксации состояния необходимо задать
все переменные.
1. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ 23
Л.4. Представления
Теперь рассмотрим вопрос о представлениях. Главной новой чертой
этого изложения основ теории будет метод введения представления.
Рассмотрим множество коммутирующих динамических переменных ?i,
?2, ••• и предположим, что у нас есть кет-вектор |5), такой, что каждый
кет-вектор \Р) может быть представлен как функция переменных ?, умно-
умноженная на \S). т.е.
|P>
Тогда можно сказать, что кет-вектор \Р) представлен функцией ф(^). Для
рассматриваемого представления докажем следующие две теоремы.
Теорема 1. Представление однозначно, т. е. не могут существовать две
разные функции V>i(?)? ^2@? такие; что
Действительно, если такие две функции существуют, то, вычитая, по-
получим:
{Ф\ -fo)\S) = 0.
Выберем любой кет-вектор \Q) и положим
\Q) = m\s).
Тогда
(V>i - ЫЯ) = (г/>1 ~ *I>2)№\S) = /@(^1 - Ыв) = О
(поскольку функции / и ф коммутируют). Следовательно разность ф\ — ф>2,
действуя на любой кет-вектор, дает нуль, и поэтому ф\ — ф>2 — 0.
Теорема 2. Набор коммутирующих динамических переменных ? полон.
Возьмем любую динамическую переменную о;, коммутирующую со все-
всеми ?. Положим
u\S)
Для любого \Р) = ip(?)\S) имеем:
ш\Р) = u*p(O\S) = */>(Ob>\S) =
так что _ч
Отсюда следует, что любая переменная, коммутирующая со всеми ^, яв-
является их функцией, и поэтому набор коммутирующих динамических пе-
переменных полон.
До сих пор мы не определили, какой тип функций должен рассматри-
рассматриваться. Вид представления будет зависеть от этого выбора. На практике
важными являются два типа представлений.
(i) Обыкновенное представление.
Величины ? являются наблюдаемыми, а ^@ может быть любой функ-
функцией, определенной на множестве собственных значений.
(п) Фоковское представление.
24 I. ЛЕКЦИИ
Величины ? не являются наблюдаемыми и в общем случае даже не
вещественны. Функции ф(?) ограничены степенными рядами с положи-
положительными показателями.
Первое из указанных представлений удобно использовать для задач,
включающих мало частиц (например, уровни энергии атома или моле-
молекулы), а фоковское представление предпочтительно для систем многих
частиц и полей.
Выбранный кет-вектор \S) называется стандартным вектором пред-
представления. Можно менять представление, меняя стандартный кет-вектор
и не меняя переменных ?. Выберем новый кет-вектор \S*}. Так как любой
кет-вектор, в частности, \S), выражается через \S*}, то
Любой кет-вектор \Р) будет иметь разных представителей ф и ф*, так что
\Р) = ф(?)\8) (исходное представление),
|Р) = ф*(?)\3*) (новое представление).
Но так как вектор \S) может быть выражен через вектор \S*}, то
ИЛИ
ф* = фК.
Следовательно при переходе от стандартного кет-вектора \S) к новому
|5*} каждый представитель умножается на одну и ту же функцию К.
Это простое изменение, так что изменение стандартного кет-вектора не
приводит к существенным изменениям в представлении.
Введенная указанным образом функция К должна иметь обратную
функцию К~х, так как вектор |5*} должен выражаться через \S)\
Следовательно в случае обыкновенного представления функция К не
должна обращаться в нуль нигде в области собственных значений. Для
фоковского представления это требование состоит в том, что для степенно-
степенного ряда, соответствующего К, должен существовать обратный степенной
ряд.
Функцию ^@ принято называть волновой функцией, так как в ранних
работах по квантовой механике она действительно представляла волны.
Однако в общей теории какая-либо связь между ^@ и волнами может
отсутствовать.
Обыкновенное представление. Возьмем любую функцию /(?) ди-
динамических переменных и образуем величину
1. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ 25
являющуюся числом, линейно зависящим от /(?). Если функция /(?)
положительно определена и вещественна, то F — вещественное и положи-
положительное число. Действительно, если ? = ?, то /(?) = /(?). Отсюда следует,
что
так что Т*7 — вещественное число. Теперь предположим, что функция /
положительно определена. Тогда для некоторой подходящей функции g(?)
можно положить
Отсюда
F = (S\g(Og(O\S) > О,
поскольку это есть произведение кет-вектора g(?)\S) и сопряженного ему
бра-вектора (S\g(?). Следовательно число F представимо в виде
J
дискретный непрерывный
спектР спектр
где р^, р(?) —положительные числа, не зависящие от /. Величина р назы-
называется весовой функцией представления.
Когда меняется стандартный кет-вектор, то меняется и весовая функ-
функция. По определению р
(s\f\s) =
и новая весовая функция р*, по определению, удовлетворяет равенству
(S*\f\S*) = ? pi№ + | р'@/@ d?- B)
Так как кет-вектор
\s) = k
то из формулы B) с заменой / на К f К имеем:
(s\f\s) = (s*\KfK\s*) = $>?k/a-
Сравнивая это выражение с выражением A), получаем
так что изменение весовой функции заключается в умножении на по-
положительный множитель. Поэтому, выбрав подходящее значение X, т.е.
подходящий стандартный кет-вектор, можно сделать весовую функцию
равной единице. Так обычно и делается на практике. Если это сделано, то
стандартный кет-вектор зафиксирован с точностью до фазового множите-
множителя вида
26 I. ЛЕКЦИИ
где 7@—некоторая вещественная функция. Теперь волновые функции
зафиксированы с точностью до фазового множителя.
Следовательно для обыкновенного представления мы берем полный на-
набор коммутирующих наблюдаемых ? и выбираем стандартный кет-вектор
так, чтобы весовая функция равнялась бы единице. Теперь стандартный
кет-вектор и волновые функции фиксированы с точностью до фазового
множителя.
Обыкновенное представление с единичным весовым множи-
множителем. Если весовой множитель сведен к единице путем подходящего
выбора стандартного кет-вектора, то
(s\№\s)= ? /@+ J
дискретный непрерывный
Рассмотрим два кет-вектора |1) и |2) с представителями ipi и
Скалярное произведение равно
J
дискретный непрерывный
Например, если кет-вектор |1) нормирован, то
В этом случае мы говорим, что волновая функция нормирована.
Предположим, что вектор \Р) нормирован и имеет представителя
Тогда среднее от любой функции от ? равно
(p\f\p) =
Из этого выражения для среднего значения /(?) видно, что вероятность
того, что ? принимает дискретные значения ?', равна |^(?/)|2, а веро-
вероятность иметь значения, лежащие в интервале от ?' до ?' + d?\ равна
2
Таким образом, если волновая функция нормирована, квадрат ее мо-
модуля представляет собой функцию распределения вероятностей. Это есть
главное преимущество обыкновенного представления. В фоковском пред-
представлении такой непосредственной физической интерпретации не суще-
существует. Чтобы получить ее, нужно осуществить преобразование ? к обык-
обыкновенному представлению.
1. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ 27
Л.5. Матрицы Паули. Координатное представление.
Квантовые условия
Описанное в предыдущей лекции представление кет-векторов перехо-
переходит в некоторых случаях во введенные выше координаты. Рассмотрим
обыкновенное представление, порождаемое наблюдаемыми ?i, ?2, • • •, каж-
каждая из которых обладает дискретным спектром собственных значений и
стандартным кет-вектором \S). Любой кет-вектор \Р) можно тогда пред-
представить как
\)
Функция 1р(?) будет в этом случае набором чисел и может быть запи-
записана в виде матрицы с одним столбцом. Действующая на вектор \Р)
динамическая переменная будет переводить этот кет-вектор в другой кет-
вектор, который также можно представить в виде другого набора чисел,
упорядоченных в виде столбца. В этом случае динамическая переменная
представляется в виде квадратной матрицы.
В предыдущей лекции мы получили для скалярного произведения двух
кет-векторов |1) и |2) в представлении с единичным весовым множителем
выражение „ _
<l|2) $>@^@- B)
= —0-20-1
G3 С
а
—
2
1 "
= —
- °~2
О'2сгЗ
СГ1СГ3 =
= °i =
—
гсг2;
: 1.
Правая часть B) есть скалярное произведение строки, представляющей
вектор A|, и столбца, представляющего вектор |2) в некой системе коорди-
координат. Это показывает, что законом умножения для представителей является
обычный закон матричного умножения, и, следовательно, представители
являются теми же величинами, как и ранее имевшиеся координаты.
Рассмотрим пример, в котором заданы только три оператора, удовле-
удовлетворяющих следующим правилам:
C)
Собственные значения каждого из этих операторов равны ±1. Рассмотрим
обыкновенное представление, введенное оператором сгз, и стандартный
кет-вектор \S), который мы выберем собственным кет-вектором оператора
<7i, принадлежащим собственному значению +1:
<r1\S) = \S). D)
Теперь нетрудно проверить, что каждый кет-вектор \Р) может быть пред-
представлен в виде
|Р) = ^((тз)|5). E)
Например,
ai\S) = ^((T3)\S) = \S) с ф(а3) = 1,
с ф(а3) = а3, F)
с -ф{аз) = i
28 I. ЛЕКЦИИ
и т.д. Поскольку собственные значения оператора сгз равны +1 и — 1, то
представителем каждого кет-вектора является набор двух чисел, которые
можно упорядочить в виде столбца. Получаем:
<n|S>=(|), a3\S) = (_!), <T2\S) =(_¦)• G)
Если вектор \Р) = ( °. ], то получим сгз|Р) =(_?), так что оператор аз
можно представить как
Пусть
"¦-(?:)•
Тогда, учитывая формулы
^15} = ^}
(t\(t^\S) = -avails) = -cr^S)
получаем
откуда р = 0, ^ = 1, г = 1, s = 0, так что
Аналогично получаем оператор
Матрицы (8) называются матрицами Паули.
Введем теперь операторы дифференцирования. Рассмотрим обыкно-
обыкновенное представление, порождаемое динамическими переменными q\, ^2,
... с собственными значениями в непрерывной области и стандартным кет-
вектором \S). Для любого кет-вектора \Р) имеем:
(9)
Тогда вектор -^- \S) представляет собой кет-вектор, линейно зависящий
от вектора ^|5), так что его мож:но рассматривать как результат действия
линейного оператора дг на вектор ^|^}:
^-\s) = d^\s). (ю)
Мы должны понять, можно ли придать смысл действию оператора дг
налево на бра-вектор (Q|, т. е. можно ли придать смысл выражению {Q\dr.
Положим
(Q\ = (S\<p(q). A1)
1. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ 29
Тогда мы требуем, чтобы
A2)
Если весовой множитель представления равен единице, то правая часть
уравнения A2) равна
g \s) = j >p |? dq. (is)
Пусть
{S\<pdr = (S\X. A4)
Тогда левая часть уравнения A2) равна
((S\<pdr)il>\S) = (S\X^\S) =\X*dq. A5)
Таким образом, мы требуем существования функции %, такой, что
^-dq. A6)
Такая функция существует, если волновая функция ф обращается в нуль
на границах, и в этом случае
Отсюда следует, что оператор дг, действующий на бра-векторы, имеет
смысл взятого со знаком минус оператора дифференцирования, при усло-
условии, что на волновые функции наложены граничные условия:
Комплексно сопряженный вектор к вектору дгф\Б) есть (S\ipdr. Но
для вектора drip\S) = -^— \S) комплексно сопряж:енный ему вектор равен
\Ь\ -^-, так что
Отсюда следует, что дг = —дг, и дг — это чисто мнимый оператор.
Теперь мы хотим установить коммутационное соотношение между опе-
операторами дг и f(q). Имеем:
откуда следует drf — fdr = -^- и, тем самым,
drqs - qsdr = 5rs. A8)
30 I. ЛЕКЦИИ
Кроме того, можно непосредственно убедиться в том, что
drds = dsdr. A9)
Соотношение я
справедливо только при условии, что волновая функция кет-вектора, на
которую умножается этот бра-вектор, удовлетворяет данным граничным
условиям. Рассмотрим, например, выражение
(S\drqs-qsdr\S) = 5rs(S\S).
Так как справедливо уравнение dr\S) = 0, а комплексно сопряженное к
нему имеет вид — (S\dr = 0, то левая часть приведенного выше уравнения
равна нулю. Это должно приводить к недопустимому равенству
(S\S) = 0.
Это противоречие возникает из-за того, что вектор (S\dr в приведенном
выше уравнении умножается на вектор qs\S), волновая функция которого
qs не удовлетворяет граничному условию.
Введем теперь квантовые условия и покажем, что линейные операторы
дг имеют физический смысл. Рассмотрим динамическую систему, состоя-
состоящую из системы частиц, которые классически описываются координатами
<7ь Я.2-) ••• и канонически сопряженными импульсами pi, p2, В клас-
классической механике предполагается, что все эти динамические переменные
коммутируют друг с другом. В квантовой механике мы должны заменить
это предположение на другие правила, так как теперь динамическими
переменными являются линейные операторы. Мы постулируем, что они
удовлетворяют следующим квантовым условиям:
ЧгЧв ~ ЧвЧт = 0,
PrPs ~ PsPr = 0, B0)
QrPs -PsQr = гП5гз,
где Н = —, и h — постоянная Планка. В последнем уравнении необходимо
2тг#
написать г в правой части, так как qrps — PsQr является чисто мнимым
оператором.
Величины q образуют набор коммутирующих наблюдаемых, который
с очевидностью полон, так что мы можем задать представление с помощью
волновых функций от д. В таком представлении можно ввести операторы
дифференцирования дг.
Покажем теперь, что
Рг = -гПдг, B1)
если предположить, что операторы рг обладают собственными значения-
значениями, равными нулю, и взять стандартный кет-вектор как собственный век-
1. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ 31
тор всех операторов рг, принадлежащих собственным значениям нуль, так
что
Pr\S) = 0.
Сравнивая
QrPs - PsQr = ihSr8
и
qrds — dsqr = —drs,
видим, что
qr(ps + ifids) - (ps + ihd3)q8 = 0,
так что
(ps + iHds) = f8(q).
Поскольку ps\S) = 0, ds\S) = 0, имеем:
fs\S)=0,
откуда следует fs = 0, что и доказывает формулу B1).
Описанное представление называется координатным представлением.
Л.6. Импульсное представление. Соотношение
неопределенностей Гейзенберга
Введенные выше квантовые условия симметричны по отношению к
взаимной замене координат и импульсов с одновременной заменой г на —г.
Из этого вытекает возможность представления волновых функций как
функций импульсов, при этом координаты становятся дифференциальны-
дифференциальными операторами. Если \Sq) и \SP) обозначают стандартные кет-векторы
в координатном и импульсном представлениях соответственно, любой про-
произвольный кет-вектор \Р) может быть представлен в одном из видов:
|Р) = ijj(q)\Sq), Pr\Sq) = 0, Координатное представление,
\Р) = (/>(p)\Sp), qr\Sp) = 0, Импульсное представление.
Отсюда следует, что должно выполняться соотношение
где функция (р(р) линейно зависит от функции ip(q).
Рассмотрим случай одной степени свободы, когда имеется только одна
координата q и один импульс р. Предположим, что \pf) есть собственный
кет-вектор импульса, принадлежащий собственному значению р'\
р\р') =р'\р').
Записывая это выражение через стандартный кет-вектор \Sq), причем
У) = Ф(я)\^я), получим:
prl>(q)\Sq)=p'tl>(q)\Sq).
32 I. ЛЕКЦИИ
В координатном представлении р является оператором дифференцирова-
дифференцирования, р = —iH—, так что
dq
Поскольку представитель кет-вектора единствен, из этого следует, что
или . ,
ф(д) = ар,ег^ /й,
где арг —некоторая функция //, не зависящая от q (которая пока что не
определена). Найденная таким образом функция ip(q) есть представитель
собственного кет-вектора \pf) импульса (принадлежащего собственному
значению р') в координатном представлении.
Аналогично, если мы запишем уравнение на собственные значения для
кет-вектора в импульсном представлении, то получим:
Поскольку соответствующий представитель единствен, то
р<р(р) =р'(р(р).
Отсюда следует, что
ф(р) = S(p-pf),
если путем подходящего определения собственного кет-вектора \р') вы-
выбрать произвольный коэффициент пропорциональности справа равным
единице. Полученное выше выражение есть представитель собственного
вектора \р') в импульсном представлении.
Итак мы видим, что импульсный представитель <р(р) = S(p — pf) со-
соответствует координатному представителю ф(д) = ар'егдр ' . Произволь-
Произвольный представитель в импульсном представлении ф(р) можно записать как
интеграл
Ф(Р)= \<t>(p')S(p-p')dp',
и он будет соответствовать представителю в координатном представлении
Таким образом координатный представитель определяется с точностью до
коэффициента ар/, остающегося неизвестным при вычислении.
Квантовые условия симметричны относительно взаимной замены q и
р с одновременной заменой г на —г. С учетом этой замены видим, что
функция ф(р) должна выражаться через ip(q) в виде
1. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ 33
где bqi—неопределенная функция q'. Записывая обратные фурье-преоб-
разования для выражений ip(q) и ф(р), получаем:
Чтобы две линейные связи между фиф были совместными, необходимо
положить ар = bq = 1/h1/2. Тогда соотношение между функциями ip(q) и
ф(р) можно записать в виде:
В этих выражениях р и q — обычные коммутирующие алгебраические ве-
величины (а не линейные операторы).
В случае п степеней свободы обобщение очевидно. Величины iqp/H,
возникающие в экспонентах выражений, связывающих ф и ф, должны
быть заменены на сумму iJ2qrpr/H, причем суммирование производится
по всем степеням свободы, а коэффициент h~1'2 должен быть заменен на
С физической точки зрения, координатная и импульсная волновые
функции должны интерпретироваться таким образом, что |^(д)|2 опреде-
определяет распределение вероятностей для координаты, а |(/?(р)|2 — распределе-
распределение вероятностей для импульса.
Формулы непосредственно приводят к соотношению неопределенно-
неопределенностей Гейзенберга. Если Ад —точность определения координаты, функцию
ф(д) можно представить волно-
волновым пакетом, содержащим цуг
приближенно монохроматических
волн длиной Aq (см. рис. 1, на v/ v/ \/ V/
котором изображена веществен- ^ ^ ^
ная часть ф^)). Фурье-образ та- Рис. 1. Вещественная часть функции tp(q)
кой волновой функции ф(с[) есть
функция (р(р), которая также /\ /Л /Л /\ /Л /Л /\
имеет форму волнового пакета V/ V/ \У V/ V/ \У р
(см. рис. 2, на котором такж:е по- -* Ар *^
казана вещественная часть (р(р)). Рис. 2. Вещественная часть функции ф(р)
Если Ар — интервал существен-
существенных значений импульсов, то для того чтобы фурье-компоненты ф(д) на
двух концах интервала Ар могли взаимно усиливать друг друга в середине
интервала Aq и гасить друг друга на концах этого интервала, необходимо,
чтобы
AqAp = h,
что и представляет собой соотношение неопределенностей Гейзенберга [3].
2 П.Дирак. TIV
34 I. ЛЕКЦИИ
Для обсуждения сравнительных преимуществ координатного и им-
импульсного представлений заметим, что в координатном представлении qr
является оператором умножения, а рг — дифференциальным оператором
—ih(d/dqr), в то время как в импульсном представлении рг—оператор
умножения, a qr — дифференциальный оператор iH(d/dpr). Следователь-
Следовательно в координатном представлении легко записать любую функцию дина-
динамических переменных, представимую в виде ряда по р. Аналогично в им-
импульсном представлении легко записать любую функцию, являющуюся ря-
рядом по координатам. Обычные динамические переменные вроде энергии х)
являются степенными рядами по импульсным переменным. Но в задачах,
включающих потенциальную энергию (например, потенциальная энергия
электрона в атоме водорода пропорциональна 1/r = l/V^i + #2 + #з
входят функции координат, которые нельзя представить в виде степенных
рядов. В этих случаях задачи лучше формулируются в координатном
представлении. В то же время импульсное представление обычно более
полезно, когда речь идет о физической интерпретации теории, так как
экспериментаторы обычно измеряют не координаты, а импульсы. Можно
с успехом использовать оба представления, формулируя задачу в коорди-
координатном представлении, а затем совершая переход в импульсное представ-
представление.
Поскольку во многих учебниках детально разобраны элементарные
примеры, мы не будем подробно обсуждать их в данном курсе лекций.
Однако мы рассмотрим особенно важный случай простого гармонического
осциллятора, являющийся краеугольным камнем, на котором построены
теории поля, причем сделаем это методом, специально приспособленным
для приложений к полевым теориям.
Гармонический осциллятор с одной степенью свободы. Если
опустить некоторые коэффициенты, то энергия простого гармонического
осциллятора равна
В координатном представлении
Г) \Т ' JT / Г)
и собственные значения удовлетворяют уравнению
Вместо того, чтобы решать это уравнение, предположим, что существует
определенное значение Л, и выведем из этого значения все остальные.
г) Правда, релятивистский гамильтониан содержит квадратный корень из функции
импульса р. Однако после введения спиновых переменных квадратный корень пред-
представляется линейным выражением.
1. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ 35
Пусть |Л)—соответствующий собственный кет-вектор. Тогда
|(^2 + P2)|A> = Л|Л>.
Далее, в силу квантовых условий
(q + ip)(q - ip) = q2 + p2 + i(pq - qp) = q2 + p2 + h.
Аналогично
(q - ip)(q + ip) = q +p - h.
Отсюда / 1 \
\(q + ip)(q-ip)\\)={\+\h)\\).
Умножая обе части этого уравнения слева на (q — гр), находим:
\{Я- ip)(q + ip)(Q ~ *р)|А) = (л + \й) (д - гр)|А).
Заменяя первые два множителя слева на q2 + р2 — Н и перенося
— - H(q — ip)\X) направо, получим:
\ (q2 + P2)(q ~ ip)|A> = (А + h)(q - ip)\X).
Следовательно (q — ip)\X) также есть собственный кет-вектор оператора
- (q2 + р2), но принадлежащий собственному значению Л + /г, если при
этом
Аналогичными шагами мож:но показать, что кет-вектор (q + гр)|Л) есть
собственный вектор - (q2 +p2), принадлеж:ащий собственному значению
Л — /г, если при этом
Таким образом, стартуя с определенного значения Л, мы можем получить
простирающуюся в обе стороны арифметическую прогрессию собственных
значений с шагом /г, если только ни на одном из шагов не нарушаются два
указанные выше условия.
Все собственные значения должны быть неотрицательны (т. е. равны
нулю или положительны). Чтобы увидеть это, заметим, что среднее зна-
значение q2 в любом состоянии \Р) есть
Аналогично можно показать, что неотрицательно среднее значение р2.
Поэтому среднее значение q2 + р2 неотрицательно. Для собственного со-
состояния среднее значение равно собственому значению, следовательно, все
собственные значения неотрицательны. Отсюда следует, что существует
минимальное (неотрицательное) собственное значение Amin, причем соот-
соответствующий кет-вектор удовлетворяет уравнению
(q + ip)\Xmin) = 0.
36 I. ЛЕКЦИИ
Умножая это уравнение слева на q — ip, находим:
(q-ip)(q + ip)\Xm[n) = 0.
Но (q — ip)(q + ip) = q2 + p2 — H, так что
(Amin - \h) |Amin) = 0,
откуда !
Amin = -2 П.
Если бы существовало максимальное собственное значение Лтах, то
соответствующий кет-вектор удовлетворял бы уравнению
(<7-гр)|Атах) = 0.
Умножая его слева на (q + ip) и действуя, как выше, мы получили бы
что нарушает условие положительности всех собственных значений. Мы
приходим к выводу, что не существует максимального собственного значе-
значения, и все собственные значения образуют арифметическую прогрессию,
начинающуюся со значения - Н и продолжающуюся до бесконечности с ша-
шагом Н.
JI.7. Представление Фока. Гармонический осциллятор.
Момент импульса
Рассмотрим теперь, как в случае одномерного гармонического осцил-
осциллятора можно использовать представление фоковского типа. Введем ком-
комплексные динамические переменные
71 ~ V2H
Имеем:
щ - туг) = — {{q + ip)(q - ip) - (q - ip)(q + ip)}
= --i(qp-pq) = 1. C)
Поскольку нет никаких независящих от ц операторов, коммутирующих
с ту, то сами эти переменные образуют полный набор, и мы можем опре-
определить представление, в котором волновые функции будут функциями г\.
Выберем в качестве стандартного кет-вектора собственный кет-вектор \S)
оператора //, принадлежащий наименьшему собственному значению - Н.
Тогда, как показано в предыдущей лекции,
V\S)=O D)
1. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ 37
и собственные векторы
\S),r,\S),...,rjn\S),... E)
принадлежат, соответственно, собственным значениям A/2)/г, C/2)/г,
E/2)/г, ..., (п + 1/2)/г, ... оператора Н. Векторы E) образуют базис всего
пространства, так как при умножении вектора \S) на р и q не получается
ничего нового. Произвольный кет-вектор может быть тогда записан как
линейная комбинация кет-векторов E), т.е.
\Р) = (ао + а\т\ + п2Г]2 + .. ,)\S) = ip(r])\S}. F)
Таким образом, волновая функция ф(г]), представляющая вектор |Р),
является рядом по ц. Это представление очень удобно, когда мы интере-
интересуемся собственными состояниями //, так как различные слагаемые в F)
являются собственными функциями Н.
В таком фоковском представлении все линейные операторы можно вы-
выразить через операторы т\ иг/. Оператор г\ действует просто как оператор
умножения. Чтобы выяснить действие оператора ту, заметим, что
Щп - 7]пг] = пг]71'1. G)
Это соотношение легко доказывается по индукции на основе соотноше-
соотношения C).
Отсюда получим
rj\P) = rjtl>(r))\S) = \jjijj(rf) — ip(rj)rj}\S) = ^2annr]n~ \S) = a~\S)- (8)
n
На втором шаге мы использовали соотношение rj\S) = 0. Таким образом
оператор г/, действуя на волновую функцию, просто ее дифференцирует,
как это и следует ожидать на основании коммутационных соотношений C).
Важное различие между координатным и фоковским представлениями
состоит в том, что динамические переменные г/, г], возникающие в фо-
фоковском представлении как операторы умножения и дифференцирова-
дифференцирования соответственно, являются комплексными, в то время как переменные
g, p в координатном представлении вещественны. Кроме того, величина
|^(д)|2 в координатном представлении имеет физический смысл плотности
распределения вероятности по д. В фоковском представлении величина
^(т/)!2 не может быть так же интерпретирована, так как г\ вообще не
является наблюдаемой.
Однако можно интерпретировать функцию ф(г}) с помощью разло-
разложения этой величины в ряд. Предположим, что \S)—вектор единичной
длины, т.е. {S\S) = 1. Тогда для квадрата длины вектора rjn\S) имеем:
38 I. ЛЕКЦИИ
так как выше было показано, что т\ — это оператор дифференцирования.
Повторяя этот процесс п раз, находим для квадрата длины вектора r)n\S)
выражение
n\. (9)
Кроме того, любые два кет-вектора в наборе E) ортогональны, что следует
из теоремы об ортогональности. Теперь для скалярного произведения двух
кет-векторов
получим следующее выражение:
(Q\P) = ? anbm{S\l]mvn\S) = ^2anbn{S\Jinr1n\S) = ?an6ran!. A0)
n,m n n
Если кет-вектор \Р) нормирован, то
<P|P) = ?K|2n! = l, A1)
П
так что при п —» ос коэффициенты ап должны достаточно быстро стре-
стремиться к нулю. Величина |an|2n! является вероятностью того, что состо-
состояние \Р) есть n-ое возбужденное состояние гармонического осциллятора,
т. е. что собственное значение Н равно (п+-)Н. Это и есть физическая
интерпретация фоковского представления.
Проведенное рассмотрение одиночного гармонического осциллятора
можно непосредственно распространить на случай нескольких осциллято-
осцилляторов. Тогда мы получаем схему, которую можно использовать при изучении
полей.
Рассмотрим систему нескольких осцилляторов, причем r-ый осцилля-
осциллятор описывается переменными qr, pr и обладает энергией
Hr=1-cvr(q2r+p2r). A2)
Энергия всей системы равна
нт = Е нг- A3)
В силу квантовых условий очевидно, что различные степени свободы не
интерферируют, так как динамические переменные, относящиеся к разным
степеням свободы, коммутируют друг с другом.
Собственными значениями Нг являются
- Пиг, - Пиг, ...,\ji + -) Hur,.... A4)
1. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ 39
Определим
V = (Яг -грг),
Тогда
rjrr)8 -ri8rjr = 5rs, A6)
так что fjr — это оператор дифференцирования
Пусть \S) —собственный кет-вектор Нг (для всех г), удовлетворяющий
уравнению
rjr\S) = 0 для всех г.
Тогда вектор \S) будет собственным кет-вектором Яг, принадлежащим
наинизшему значению - fiujr для всех г. Кет-вектор
VTVT---\S) A7)
будет представлять состояние, в котором г-ый осциллятор находится в со-
состоянии, в котором возбуждены П{ квантов, т. е. в котором собственное
значение Hi равно (rii + - j huji для всех г. Произвольный кет-вектор \Р)
будет линейной комбинацией кет-векторов вида A7), так что
E A8)
711,712,...
где ф(г]) есть степенной ряд по всем переменным г]. Если вектор \S)
нормирован, то квадрат длины кет-вектора A7) будет равен
ni! П2! ...
Этот результат непосредственно вытекает из того, что был получен для
отдельного осциллятора, если при этом помнить, что разные степени сво-
свободы не интерферируют. Если кет-вектор A8) нормирован, то величину
ni!n2! ... \аП1П2 ... |2
можно интерпретировать как вероятность того, что r-ый осциллятор на-
находится в пг-ом возбужденном состоянии одновременно для всех г.
Если число осцилляторов бесконечно, мы получаем математическое
описание квантованного поля. Для исследования этой задачи наиболее
удобно использованное здесь фоковское представление.
Рассмотрим теперь некоторые необычайно важные общие свойства мо-
момента импульса. Для определения момента импульса рассмотрим сначала
одну частицу, описываемую координатами х\, Х2, х% и сопряженными
40 I. ЛЕКЦИИ
импульсами pi, р2, Рз- Момент импульса m частицы определяется следу-
следующими равенствами:
mi = х2р3 ~ хзР2,
т2 = x3pi - xips, A9)
Чтобы получить собственные значения оператора mi, перейдем к ко-
координатному представлению. Тогда
ггы\Р) = -гй(х2 -?- - хъ-?Л<ф{х1Х2ХЪ)\8). B0)
Теперь легко видеть, что
2 its
ел с\
х2 -^ - ж3 ^ 1 (х2 + гж3) = i{x2 + гж3), B1)
х2 х3 ^— ) (х2 + гхз)п = ni(x2
ОХз ОХ2 J
Следовательно оператор ( х2 -^— — хч-— 1 имеет собственные значения пг
\ дх3 дх2/
и собственные функции (х2 + гжз)п, принадлежащие этим собственным
значениям. Но собственная функция (х2 + 1хз)п не удовлетворяет гранич-
граничным условиям для волновых функций. Поэтому рассмотрим
ф(х2 + 1х3)п/(хъх22 + х1). B2)
Эта ^-функция также является собственной функцией оператора
(х2 — жзт—), принадлеж:ащей собственному значению пг. Можно
\ ОХз ОХ2/
выбрать / таким образом, чтобы функция ф удовлетворяла граничным
условиям. Теперь ф является правильной собственной функцией оператора
mi, принадлежащей собственному значению
m[ = nth, B3)
где п может принимать любые целые значения.
Рассмотрим собственное значение оператора (т\ + т^ + т^):
2 | ^ ^ д j
(Ш2 + Ш + Ш} = ^| ^ ^ хз
д д \2 . / д
л Ж1 я— + I Ж1 ^~~
С/Ж1 ажз / V <Уж2
Можно показать, что этот оператор коммутирует с операторами mi, m2,
шз- Кроме того, из теории потенциала известно, что оператор {...} име-
имеет собственные функции ф = SnF, (p)f(r), принадлежащие собственным
значениям Л = —п(п + 1). Здесь г, #, ср — полярные координаты, a Sn —
сферическая гармоника порядка п. Отсюда собственные значения опера-
1. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ 41
тора т\ + ml + шз Равны fi2Ti(n + 1). Теперь удобно определить величину
вектора m равенством
к — у т1 + т2 + т3 + - Н — - Н, B5)
так что она имеет собственные значения 0, /г, 2/г,
Волновая функция может быть одновременно собственной функцией
оператора к и одной из компонент оператора т, например, raj.. При за-
заданном собственном значении к' оператора к собственные значения mi
лежат в интервале от — к' до +к'. Этот результат также вытекает из теории
сферических гармоник.
Операторы момента импульса rrti обладают следующими примечатель-
примечательными свойствами:
если S — скаляр, то
= miS, г = 1,2,3; B6)
если А — вектор, то
т\А\ — А\т\ = О,
т1А2 - A2mi = iHA3, B7)
ГП1А3 — А3ГП1 = —i
и еще шесть соотношений, получающихся циклической перестановкой ин-
индексов 1, 2, 3. Для векторов х, р соотношения B7) можно проверить
непосредственно. Легко показать, что если два вектора удовлетворяют
соотношениям B7), то и векторное произведение этих векторов также
удовлетворяет этим соотношениям, а их скалярное произведение удовле-
удовлетворяет соотношению B6). Следовательно по индукции можно доказать
соотношения B6) и B7) для всех скаляров и векторов, которые можно
построить из векторов х и р.
Л.8. Оператор поворота. Спин
Понятие момента импульса, введенное на прошлой лекции для случая
одной частицы, можно непосредственно распространить на случай систе-
системы частиц. Если х\г, Х2Г-> %3г — координаты, a pir, p2r, РЗг — компоненты
импульса r-ой частицы системы (г = 1, 2, 3,... , п), то величины
Mi =
(и аналогично для М2, Ms) являются компонентами полного момента
импульса.
Перестановочные соотношения для момента импульса, приведенные
выше для случая одной частицы, выполняются и для случая полного
момента импульса системы частиц. Эти соотношения имеют следующий
вид.
42 I. ЛЕКЦИИ
(i) Если S — любой скаляр, он коммутирует с компонентами момента
импульса:
MrS = SMr r = 1,2,3.
(ii) Если /li, A2, A3— компоненты некоторого вектора, то
- АХМХ = О,
М1Л3 - Л3М1 = -iHA2.
Чтобы доказать эти соотношения, нужно сначала показать, что если
мы в качестве вектора А возьмем простейшие векторы х или р, то эти со-
соотношения будут выполнены. Затем можно показать, что если два вектора
удовлетворяют указанным перестановочным соотношениям, то их вектор-
векторное произведение также удовлетворяет им, а скалярное произведение этих
векторов удовлетворяет соотношению (i) для скаляров. Следовательно, по
индукции, можно установить перестановочные соотношения для любой ве-
величины, которую можно построить из векторов и скаляров. Аналогичные
перестановочные соотношения можно установить и для компонент тензора
любого ранга.
Мы видим, что перестановочные соотношения для компонент момента
импульса с любой величиной зависят только от векторной природы этой
величины. Чтобы выяснить происхождение этого примечательного соот-
соотношения, введем понятие операторов поворота.
Физический смысл оператора поворота заключается в переходе систе-
системы, находящейся в хорошо определенном состоянии, в другое состояние,
определяемое исходным состоянием и величиной угла поворота вокруг
некоторой оси вращения. Это линейный оператор, и его вид легко устанав-
устанавливается, если мы работаем в координатном представлении. Для удобства
записи рассмотрим случай одной частицы. Состояние частицы будет пред-
представляться шредингеровой волновой функцией ф(х1,х2,хз). В результате
вращения на угол в вокруг оси жз состояние будет представляться новой
волновой функцией ф*, имеющей вид
ф* = ф(х\ cos6 + х2 sin#, —x\ sin# + x2 cos#, Ж3).
Если считать угол поворота в достаточно малым, так, чтобы можно было
пренебречь квадратичными членами и членами более высоких степеней
в аргументе функции ф*, то
ф* = ф(х\ + Х2в, —Х\в + Ж2,
Использование разложения Тейлора в точке жх, х2, жз дает
Оператор
Из = х2 -—
1. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ 43
можно назвать оператором поворота вокруг оси хз- Для системы частиц
вместо этого выражения появится сумма операторов такого типа.
Компоненту Мз можно записать с помощью /?з в виде
ok) ~X2r (~i
или в более общей форме
М = ,
где М обозначает вектор с компонентами М\, М2, Мз, a R — вектор с ком-
компонентами /?i, 7?2, Яз-
В случае бесконечно малого поворота в оператор, с помощью которого
получается новое состояние из старого, имеет вид 1 + 6R3. В более общем
случае, для всякого поворота (конечного или бесконечно малого) оператор,
дающий новое состояние, имеет вид е 3.
Именно эта связь между оператором момента импульса и оператором
поворота приводит к упомянутым выше примечательным перестановоч-
перестановочным соотношениям. Они соответствуют закону преобразования векторной
величины при поворотах.
Выше была продемонстрирована связь между моментом импульса и
операторами поворота только для случая системы частиц. Однако в при-
природе момент импульса всегда связан с поворотом. Мы высказываем общее
предположение, что соотношение М = i/iR выполняется всегда. Таким
способом мы можем ввести оператор углового момента для спина части-
частицы даже несмотря на то, что в этом случае координатное представление
невозможно. (См. конец этой лекции.)
Предполагая, что общее соотношение выполнено для спина частицы, и
обозначая компоненты спина как mi, Ш2, газ, получаем перестановочные
соотношения
— ГП2ТП1 = ihms, и т.д.
Эти соотношения можно использовать для изучения собственных значений
операторов rai, га,2, газ- Величина /3 = т\ + т^ + ra| является скаляром
и следовательно коммутирует с mi, ra2, газ- Можно считать /3 равным
некоторому числу, не сталкиваясь при этом с какими-то противоречиями.
Пусть газ есть собственное значение оператора газ, а \т^}—соответ-
\т^}—соответствующий собственный кет-вектор:
га3|га/3) = га/3|газ).
Введем комплексную динамическую переменную г\, определенную как
г] = rai - гга,2,
так что
rj = mi +
44 I. ЛЕКЦИИ
Тогда
fjrj = (mi + irri2)(mi — 27712) — ™>\ + ra2 — i(mim2 — ГП2ТП1) =
22 ( 1 \2 1 2
= m1 + m2 + Hms = P — [m3 — - H j + - ft
_/ ! N2 !
V 2/4
Сейчас мы используем эти результаты. Вдобавок имеем перестановочные
соотношения
— G77-1 "" ЪГП2)ТП3 = iHlTi2 ~ ?ьТП\ = —fir].
Следовательно
т3г1\т'3) = (г]т3 — Нг])\т3) = (т3 — Н)г]\т3).
Отсюда следует, что г)\т') есть собственный кет-вектор, отвечающий соб-
собственному значению Шд — Й, если при этом считать, что г]\т3) ф 0. Чтобы
существовало минимальное значение т™111, должно выполняться условие
77|m3min} = 0.
Беря скалярное произведение с сопряженным бра-вектором, имеем
(mfn\rjr]\mfn) =0.
Используя полученное выше выражение для Щ, находим:
(тГЧ/З - (mfn -\hf + \ H2\mfn) = 0.
\ ^ / 4
Из этого выраж:ения следует, что
так что
Аналогично мож:но показать, что вектор fj\m3) —это собственный кет-
вектор, принадлежащий собственному значению т3 + Н, при условии, что
fj\mf3) ф 0. Чтобы существовало максимальное собсвенное значение
нужно выполнение условия
гЦт%»*) = 0,
и можно показать, что
1. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ45
Так как m^1^ ^ газ, мы выбираем только один знак перед квадратными
корнями в выражениях для га™111, ra™ax, и неопределенность в знаке устра-
устраняется:
Разность между га™*1* и т™т должна быть целым кратным /г, так что
где к — целое или полуцелое число. Минимально возможное значение к
равно нулю. Можно переписать это соотношение в виде
у/3 + -/г2 Н = кН (к — целое или полуцелое).
Введенную таким образом величину к удобно определить как величину
момента импульса (что находится в согласии с предыдущим определени-
определением); имеем: ,
h rag = -kh, -кП + Н,..., +кП.
Таким образом собственные значения спинового момента импульса яв-
являются либо целыми, либо полуцелыми. Следует сравнить это со случаем
орбитального момента импульса (который можно представить в коорди-
координатном представлении), у которого все собственные значения целые. В слу-
случае спина имеется больше возможностей, чем в случае момента импульса.
Случай нулевого спина, т. е. к = 0, уникален, так как все компоненты
rai, га,2, газ должны иметь нулевые собственные значения. Такая возмож-
возможность одновременно приписать точные численные значения некоммути-
рующим величинам кажется необычной. Возникает она из-за специфиче-
специфического перестановочного соотношения, которому подчиняются компоненты
момента импульса: в случае нулевого спина коммутатор любой пары из
трех операторов rai, ra,2, газ обращается в нуль.
Согласно полученным выше результатам о связи момента импульса
с оператором поворота, состояние нулевого спина должно быть сфери-
сферически симметричным, так как оно не изменяется при поворотах. Чтобы
проиллюстрировать это, рассмотрим случай линейки, которая лежит на
столе в определенном направлении. Мы можем наблюдать определенную
ориентацию линейки в пространстве, и поэтому «состояние» линейки сфе-
сферически несимметрично. Тот факт, что тело может находиться в несим-
несимметричном состоянии в ситуации, когда оно не имеет (макроскопического)
момента импульса, можно считать, на первый взгляд, противоречащим
общему результату, полученному выше. Однако, при любой конечной тем-
температуре, тело подвержено тепловым колебаниям, и число элементарных
46 I. ЛЕКЦИИ
квантов момента импульса, связанных с этими колебаниями, очень велико.
Если бы можно было охладить линейку до такой температуры, чтобы
с ней не ассоциировались никакие кванты, то состояние стало бы сфериче-
сферически симметричным. Иными словами, любой эксперимент, задуманный для
определения направления линейки, давал бы любое направление с одина-
одинаковой вероятностью. Другой пример — волновая функция электрона в ос-
основном состоянии атома водорода без учета спинов. В этом случае момент
импульса равен нулю и состояние сферически симметрично.
Рассмотрим теперь случай спина 1/2- Здесь к = - /г, т^ =±-Йи ана-
аналогично для 777-2 и шз- Здесь всегда т\ = - Н2. Так как это собственное
значение единственно, этот оператор можно считать числом. Теперь можно
для удобства ввести переменные а, положив
mr = -Har, r = 1,2,3.
Тогда 2
аг = 1
и выполняется перестановочное соотношение
<J\<J2 — СГ2СГ1 = 2газ A)
(и другие соотношения, получающиеся циклической перестановкой индек-
индексов 1, 2, 3). Эти соотношения можно упростить. Умножим соотношение A)
на 0"i сначала слева, затем справа, и сложим результаты:
Учитывая, что а2 = 1, получим:
2 =
СГ2 — (Tl<J2O'l + СГ1СГ2СГ1 — G2 = 2i
откуда
= 0.
Множество трех матриц 2x2, удовлетворяющих соотношениям а2 = 1,
= —(J2CF1 = icrz, впервые было введено Паули и носит название матриц
Паули.
Соотношения, которым удовлетворяют переменные а, тождественны
с теми, которым удовлетворяют нескалярные единичные элементы кватер-
кватернионов 1), если не считать множителя г. В предыдущей лекции мы изучали
величины, удовлетворяющие этим соотношениям и получили представля-
представляющие их матрицы (матрицы Паули).
Следует сделать общее замечание о собственных значениях спина и
возможности введения координатного представления. Из соотношения
г) Алгебра кватернионов (введенная У.Р. Гамильтоном) генерируется четырьмя эле-
элементами ео, ei, ег, ез, которые удовлетворяют соотношениям
е0 = —ei = —е2 = —е3 = е0, eoei = eie0 = ei, eie2 = — e2ei = e3,
и аналогичным соотношениям, получающимся при циклической перестановке индексов
1, 2, 3.
1. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ47
для собственного состояния оператора тз, принадлежащего
собственному значению га^, имеем
Отсюда оператор конечного поворота есть
При полном повороте в = 2тг и
Если Trig = - Й, отсюда получаем равенство е-7гг = — 1. Следовательно
кет-вектор, соответствующий состоянию спина ^ будет менять знак при
повороте на 2тг радиан. Это же верно и для любого состояния полу целого
спина. Для любой шредингеровой функции поворот на угол 2тг должно
оставлять функцию неизменной. Поэтому мы видим, что шредингерово
представление возможно только для целых спинов (в этом случае оператор
конечного поворота евНз при в = 2тг равен +1).
Л.9. Спин фотона
В последней лекции было показано, что проекция спинового момента
импульса частицы может иметь только целые или полуцелые собственные
значения (в единицах К). Недопустимость произвольных дробных значе-
значений спина является примечательным фактом, который можно понять и
с помощью более общих рассуждений.
Рассмотрим твердое тело, способное вращаться вокруг фиксированной
оси. Ориентация тела может быть определена заданием трех переменных
(например, углов Эйлера). Представим данную ориентацию тела точкой
в некотором трехмерном пространстве, называемом ориентационным про-
пространством. Мы хотим рассмотреть топологические свойства этого про-
пространства.
Когда твердое тело постепенно поворачивается, принимая некоторую
другую ориентацию, точка, представляющая ориентацию тела, движется
вдоль определенного пути в ориентационном пространстве; если тело воз-
возвращается к исходной ориентации, указанный путь становится замкнутой
петлей. Если же тело возвращается к исходному положению несколько
иным способом, то получится немного другая замкнутая петля. Мы хотим
рассмотреть вопрос о том, можно ли непрерывным образом изменить спо-
способ перемещения так, чтобы стянуть петлю в точку.
Один полный поворот тела вокруг фиксированной оси представляет-
представляется петлей, которую нельзя непрерывным образом стянуть в точку. Два
поворота вокруг той же оси будут представлены такой же петлей, но
пройденной дважды. Татьяна Эренфест нашла простое доказательство
того, что двойная петля, отвечающая двум поворотам вокруг оси, может
быть непрерывным образом стянута в точку.
48 I. ЛЕКЦИИ
Рассмотрим два жестких конуса 1 и 2 с одним и тем же углом рас-
раствора а и совпадающими вершинами. Предположим, что конус 2 катится
вокруг конуса 1 без проскальзывания (рис. 1). Ко-
Конус 2 представляет наше вращающееся твердое те-
тело, и его полный поворот вокруг другого конуса
будет представляться некоторой замкнутой петлей
в ориентационном пространстве, поскольку конеч-
конечная ориентация конуса 2 очевидно совпадает с на-
начальной. Пусть теперь а изменяется от 0 до тг.
При а = 0 конусы становятся двумя цилиндрами,
и движение подвижного конуса становится двумя
поворотами вокруг оси неподвижного конуса. Для а, близкого к тг, видно,
что движение превращается в легкое дрожание и в пределе а —^ тг просто
исчезает. Таким образом петля, отвечающая двум оборотам, может быть
непрерывно стянута в нуль.
Предположим теперь, что тело может иметь спин - Н. Кет-вектор,
представляющий данное состояние этого тела, при вращении тела вокруг
оси будет умножаться на комплексный кубический корень из единицы,
скажем из ш. Два вращения вокруг той же оси приведут к умножению кет-
вектора на с<;2, что также представляет кубический корень из единицы.
Однако кубический корень из единицы нельзя свести к единице непрерыв-
непрерывным образом. В то же время двойной поворот можно непрерывно свести
к отсутствию вращения вообще, так что кет-вектор, полученный в резуль-
результате двух поворотов, должен совпадать с исходным кет-вектором. Отсюда
следует, что спин -Нне может существовать. Именно такое противоречие
исключает все значения спина частицы, кроме целых и полу целых.
Для описания полуцелых спинов используют определенные величины,
называемые спинорами и обладающие тем свойством, что они изменяют
знак при повороте вокруг оси. Для описания этих величин построена
математическая теория — спинорный анализ. Обнаруженные до сих пор
в природе частицы обладают спином 0, ^ и 1. Теория частиц спина х/2
достаточно проста и не требует привлечения спинорного анализа, так что
нет необходимости его здесь рассматривать.
Рассмотрим теперь спин фотона. Установим сначала, как в общем слу-
случае определяется спин частицы. Полный угловой момент — хорошо опре-
определенная величина, так как она связана с оператором поворота. Положим
М = morb + mspin.
Вопрос заключается в том, как отделить друг от друга mspin и morb- На-
Напомним, что операторы трансляции хорошо определены и связаны с пол-
полным импульсом аналогично тому, как операторы поворота связаны с пол-
полным угловым моментом. Таким образом, полный импульс рг (г = 1,2,3)
хорошо определен. Теперь можно определить переменные хг как сопря-
сопряженные к рг, но это не определяет их полностью. Не нарушая квантовых
1. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ49
условий xrps — psxr = ifidrs, можно заменить хг на [4]
где ?г — функция от импульсов и внутренних переменных, так что ?г
коммутирует с компонентами импульса. Следовательно ж* также удовле-
удовлетворяет соотношению
* * S
и если принять, что ? удовлетворяют подходящему перестановочному со-
соотношению, так чтобы ж* коммутировали, можно считать, что ж*—столь
же хорошие сопряженные к р переменные, как и х.
Таким образом получаем следующие два выражения для спинового
углового момента, которые в равной степени хороши:
^spin = М - X X р,
™>tpin = М -X* ХР.
Их разность
msp'm ~ m*pin = ? X р
отвечает неоднозначности в определении спинового углового момента.
Для состояния системы с нулевым импульсом ? х р будет равно нулю,
так как ? и р коммутируют, и неоднозначность в определении raspin исче-
исчезает. Итак, спиновый угловой момент однозначно определен для системы
с равным нулю импульсом.
Этот метод неприменим к фотону, так как он всегда движется со
скоростью с, и его импульс не может равняться нулю. Рассмотрим фотон,
движущийся в направлении оси жз- Тогда
Pi = V2 = О
и можно однозначно определить компоненту raspin 3, следуя процедуре
предыдущего пункта. Таким образом, хорошо определена только одна
компонента спина фотона, а именно, компонента вдоль направления дви-
движения; две другие компоненты определить нельзя. Если состояние фотона,
движущегося в направлении оси жз, является собственным кет-вектором
оператора газ? принадлежащим собственному значению га^, то, совершая
поворот на угол в вокруг оси жз, получим, что этот кет-вектор умножится
на егтзв/н. Состояние, таким образом, не изменится. Следовательно соб-
собственные кет-векторы оператора газ будут состояниями круговой поляри-
поляризации. Состояния линейной поляризации получаются путем составления
линейных комбинаций двух противоположных по смыслу состояний кру-
круговой поляризации равного веса, связь между фазами которых зависит
от направления линейной поляризации. Можно показать, что спин фо-
фотона в направлении его движения равен плюс или минус одному кванту
момента. Пусть кет-векторы |1) и |2) представляют состояния линейной
поляризации в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Рассмот-
50 I. ЛЕКЦИИ
рим поворот на угол в. Он генерируется оператором е , где R — оператор
бесконечно малого вращения. Имеем:
eRe\l) = |l)cos<9 + |2)sin<9.
Для малых в
и аналогично
Я|2> = -|1>.
Оператор углового момента равен т = ihR. Тогда
т{\1) ± г|2)} = ihR{\l) ± г|2» = ±Н{\1) ± г|2»,
таким образом, собственные значения т равны Йи —/г, и фотон обладает
спином ±Н в направлении своего движения.
Невозможно придать смысл спину фотона в других направлениях, так
что величина вектора спина к также не имеет смысла.
В классической механике состояние системы частиц может быть пред-
представлено точкой в фазовом пространстве. Когда состояние системы извест-
известно не полностью, то, в соответствии с методом Гиббса, состояние пред-
представляется облаком точек с плотностью р(р, q). При этом р(р, q) dp dq есть
вероятность того, что система находится в состоянии, определяющимся
импульсами и координатами в интервалах р, р + dp и g, q + dq, соответ-
соответственно. Тогда среднее значение динамической переменной равно
A)
Хотя понятие фазового пространства не имеет смысла в квантовой
механике, мы можем определить линейный оператор р, соответствующий
гиббсовой плотности р. Предположим, что система распределена по раз-
разным состояниям, заданным кет-векторами
B)
с вероятностями
РъРъ... C)
соответственно. Определим линейный оператор
о = V^ \х )Р (х I D)
п
Определенный таким способом оператор р обладает свойствами, аналогич-
аналогичными свойствам гиббсовой плотности р.
Среднее значение наблюдаемой ? для ансамбля, определенного форму-
формулами B) и C), равно
? — S~^ Р 1т \P\rr \
scp / J л п\*^п |s I*^"п/ '
1. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ51
Если \г) —координатный базис, так что
ТО
. E)
Таким образом р позволяет вычислять среднее значение наблюдаемых.
Суммирование диагональных элементов р? соответствует интегрированию
по фазовому пространству A) классической механики.
Когда о системе ничего не известно, и она с равной вероятностью
может находиться в любом состоянии, мы выберем в качестве набора B)
совокупность ортогональных кет-векторов \хп) и выберем все Рп в C)
равными 1/ЛГ, где N — число независимых состояний. Тогда определенный
формулой D) оператор р равен просто числу 1/N.
Таким образом, для полностью неполяризованного света
где |1) и |2) — нормированные кет-векторы, представляющие два состояния
линейной поляризации в двух взаимно перпендикулярных направлениях.
Л. 10. Изменение состояний со временем.
Уравнение движения Шредингера
Рассмотрим множество величин (линейных операторов) а, /3, 7? ••• и
действующее на них преобразование
а^а* = SaS'1,
где S — любой оператор, для которого существует обратный. Легко видеть,
что преобразованные величины а*, /3*, ... удовлетворяют тем же алгебра-
алгебраическим соотношениям, что и исходные величины а, /3, ..., так как
а* + /3* = SaS'1 + SfiS'1 = S(a + /З)^1
и поэтому, если а + /3 = 7? то ?** + /3* = 7*; аналогично
так что, если а/3 = 7? то <^*/3* = 7*- Если дополнительно мы определим
соответствующие преобразования бра- и кет-векторов соотношениями
\P*) = S\P)
то видно, что при таком преобразовании формально сохраняются все со-
соотношения, включающие операторы, а также бра- и кет-векторы.
52 I. ЛЕКЦИИ
Наложим два условия на преобразования:
A) а* должно быть вещественно, если а вещественно;
B) (Р*\ должно быть сопряженным к |Р*).
Второе условие означает, что
(PIS'1 = сопряженное к S\P) = (Р|5,
и так как это должно быть верно для всех (Р|, отсюда следует, что
5х = 5 или
Если оператор 5 удовлетворяет этому условию, то выполняется и первое
условие, так как
сопряженное к а* = SaS = S~aS = SaS = а*
(поскольку S = S и~а = а при вещественных а).
Отсюда следует, что а* вещественно. Линейный оператор 5, удовле-
удовлетворяющий соотношению
SS = 1,
называется унитарным, а преобразование, индуцированное оператором
5, — унитарным преобразованием. Мы видим, что новые величины (линей-
(линейные операторы, бра- и кет-векторы), полученные унитарным преобразо-
преобразованием, столь же хороши для описания системы как исходные, так как
удовлетворяют тем же алгебраическим соотношениям.
До сих пор наше обсуждение ограничивалось описанием поведения
системы в данный момент времени. Хотя с точки зрения классической
механики оно тривиально, мы предприняли его с целью понять фундамен-
фундаментальные принципы квантовой теории. Теперь мы должны заняться измене-
изменением квантово-механических систем со временем и установить уравнения
движения. Для этого должны быть сделаны новые физические предполо-
предположения.
Обозначим состояние системы в момент времени to как |А?о); в более
поздний момент времени t оно перейдет в другое состояние \At). Сделаем
теперь фундаментальное предположение, что состояние \At) определяется
состоянием |v4to), так что выполнен принцип причинности, если принять,
что в течение интервала времени от to до t система не подвергалась
никакому возмущению, обусловленному наблюдением. Далее мы сделаем
еще одно фундаментальное предположение, что принцип суперпозиции
верен для состояний системы в любой момент времени. Это означает,
что если в начале имеется суперпозиция определенных состояний, то это
соотношение будет сохраняться до тех пор, пока наблюдения не внесут
возмущения в систему.
Это предположение требует, чтобы кет-вектор \At), соответствующий
времени ?, линейно зависел от кет-вектора \Ato) в момент времени to,
\At) = T\At0),
где Т — линейный оператор, одинаковый для всех состояний.
1. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ 53
Вдобавок мы предполагаем, что оператор Т сохраняет длину кет-век-
кет-векторов:
(At\At) = (Ato\Ato).
Это предположение достаточно для того, чтобы обеспечить сохранение
скалярного произведения. Чтобы увидеть это, применим предыдущее
уравнение к кет-векторам \А) + \В) и \А) +г|В), где \А) и \В) — любые
два кет-вектора. Имеем:
((At\ + (Bt\)(\At) + \Bt)) = (At\At) + (At\Bt) + (Bt\At) + (Bt\Bt)
((At\ - i{Bt\)(\At) + i\Bt)) = {At\At) + i{At\Bt) - i{Bt\At) + {Bt\Bt)
и эти величины не зависят от t. Но (At\At) и (Bt\Bt) не зависят от
времени. Отсюда следует, что (At\Bt) и (Bt\At) также не зависят от
времени. Следовательно
(Ato\TT\Bto)
не зависит от времени для всех \Ato) и \Bto). Поэтому
ТТ = 1
и Т — унитарный оператор.
Для математического удобства выберем интервал времени t — to ма-
малым и посмотрим, какова при этом будет связь между \At) и |v4to). Мы
обращаемся к принципу физической непрерывности, гласящему, что когда
разность t — to стремится к нулю, изменение кет-вектора также стремится
к нулю, так что оператор Т должен стремиться к единице:
Образуем величину
Т - 1
—- — Hill S г- —-т / — mil - —
OX t—^LQ I \t — 6Qj I С—>-fcQ ^ — ^0
Мы предполагаем, что предел существует. Этот предел также является
линейным оператором. Из условия унитарности, как мы покажем ниже,
следует, что он чисто мнимый.
Пусть S — унитарный оператор, имеющий вид
1 + еХ,
где е — бесконечно малое вещественное число. Тогда S = 1 + еХ. Исполь-
Используя условие унитарности SS = 1, получаем:
e(X+J() = 0,
так что X — чисто мнимый оператор.
54 I. ЛЕКЦИИ
Оператор Т имеет вид S = 1 + еХ, где е = t — to, поэтому
hm -——
t—>to t — to
— чисто мнимый оператор. Обычно связь между и \Ato) записывается
в виде
где теперь Н — вещественный оператор (благодаря введенному слева
в уравнение множителю г).
Оператор Н полностью определяет движение системы и называет-
называется оператором Гамильтона. Приведенное выше уравнение — это уравнение
движения Шредингера.
Л. 11. Уравнения движения Гейзенберга. Картины Шредингера
и Гейзенберга
В последней лекции было показано, что состояние \Pt) невозмущенной
системы удовлетворяет дифференциальному уравнению
ih±\Pt) = H\Pt)
и что кет-векторы, соответствующие состояниям системы в разные момен-
моменты времени, связаны унитарным преобразованием:
\Pt) = T\Pt0).
В такой картине динамические переменные являются постоянными линей-
линейными операторами.
Можно получить другое описание динамической системы, осуществив
такое (зависящее от времени) унитарное преобразование всех величин (как
кет-векторов, так и операторов), при котором представляющий кет-вектор
будет приведен в состояние покоя, т. е. будет постоянным во времени. Если
а преобразуется в а* так, что
то соответствующие преобразования кет-вектора \Х) и бра-вектора (Х\
имеют вид
\ху = т~1\х), (х*\ = (х\т.
В результате \Pt}* становится константой, т.е. \Pt}* = \Pto).
Но теперь динамические переменные а* становятся зависящими от
времени. Имеем:
da" dT rp.rp-l dT
dt dt dt
Так как \Pt) = T\Pto), то после дифференцирования получаем
1. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ 55
Учитывая, что первый член уравнения можно записать в виде
HT\Pt0)
и учитывая, что это соотношение верно для всех \Pto), получаем
at
7Г7-7—1 -I rfT1 I
Кроме того, —-— = — — -— — (так как благодаря этому равенству
at I at I
d
^TTi) = 0); так что
Используя эти уравнения, можно записать уравнение для —-— в виде
ih^ HaT +
Полагая Н* = Т~^НТ\ имеем поэтому уравнение движения
.fc da, * и* тт* *
in—— = а И —па.
at
Оно называется уравнением движения Гейзенберга.
Таким образом, мы имеем две схемы квантовой механики, связанные
(зависящим от времени) унитарным преобразованием различных величин.
Связь между двумя схемами можно изобразить в форме таблицы.
Схема
Картина Шредингера
Картина Гейзенберга
Состояния
Зависят от времени
Фиксированы
Динамические переменные
Фиксированы
Зависят от времени
Обе картины были найдены независимо, причем открытие Гейзенберга
на несколько месяцев опередило открытие Шредингера. Математически
эти схемы эквивалентны, поскольку они связаны унитарным преобразова-
преобразованием [5].
Оценивая сравнительные преимущества этих картин, нужно сказать,
что картина Шредингера лучше приспособлена для реальных вычислений,
так как в этой схеме (неизвестной) переменной является кет-вектор, в то
время как в другой схеме (неизвестной) переменной является линейный
оператор. С вычислительной точки зрения иметь дело с кет-векторами
намного проще, чем с линейными операторами.
С другой стороны, картина Гейзенберга находится в прямом соответ-
соответствии с классической механикой, где динамические переменные зависят от
времени. Для сравнения картины Гейзенберга с классической механикой
лучше всего представить классическую механику в гамильтоновой форме.
56 I. ЛЕКЦИИ
Если задана функция Лагранжа системы, то можно стандартными метода-
методами перейти к уравнениям движения Гамильтона в классической механике:
dqr _ дН dpr _ _дН
~dt ~ ~frpr' ~dT ~ ~dq^'
где Н = Н(р, q) —функция Гамильтона, которая представляет собой пол-
полную энергию, выраженную через канонически сопряженные переменные
р, q. Если v — любая динамическая величина, выражаемая в виде функции
<7, р, то
~др~г ~dt) ~ ^
у (
dt ^ \^ dt
что можно записать с помощью скобок Пуассона в виде
dv г rri
В классической механике скобки Пуассона определяются равенством
а др да
В квантовой теории имеются соответствующие скобки Пуассона, опре-
определяемые как
И в том, и в другом случаях имеем:
[aia2,P] = ai[a2,P] + [cti,P]a2,
[[<*,Р],~г] + [\Р,'У],а] + [[ъс*],Р] = О.
Далее, выбирая а, /3 канонически сопряженными координатами и им-
импульсами, получим для скобок Пуассона как классической, так и квантовой
теории выражения:
[Qr,qs] = o,
\Рг,Рз] = 0,
[Яг,Рз] = $rs-
С учетом этой формальной аналогии можно рассматривать переход
от классической механики к квантовой как замену классических скобок
Пуассона на квантовые.
Используя квантовые скобки Пуассона, можно выразить уравнение
движения Гейзенберга в виде
что формально полностью идентично классическому соотношению
dv г Г1-|
1. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ 57
Именно благодаря этой аналогии величина Я в квантовой теории на-
называется гамильтонианом. Так как в классическом случае Я представляет
полную энергию, мы предполагаем, что это же верно и в квантовом случае.
Как видно, формальная структура квантовой теории тесно связана со
структурой классической механики. Поэтому кажется невозможным как
бы то ни было изменить квантовую механику без разрушения всей схемы.
В наши дни для продвижения вперед следует, вместо попыток любых та-
таких изменений, сосредоточить усилия на поиске лучших гамильтонианов.
Трудности, испытываемые сейчас теориями элементарных частиц, могут
быть полностью связаны с тем, что исследователи работают с плохими
гамильтонианами.
Используемый в любом классическом случае гамильтониан может быть
либо константой, либо зависеть от времени, в зависимости от того, рассмат-
рассматриваем ли мы «свободную» систему, или систему, на которую действуют
внешние силы. Такой же выбор можно сделать и в квантовой механике.
При обсуждении вопроса о том, постоянен гамильтониан или нет, несу-
несущественно конкретизировать, имеем ли мы дело со шредингеровой или
гейзенберговой картиной, так как если гамильтониан постоянен в одной
схеме, он, как это можно показать, будет постоянным и в другой. Напри-
Например, если Я постоянен (т. е. не зависит от t) в шредингеровой картине,
можно положить а = Я в гейзенберговом уравнении движения, так что
г/г^ ЯЯЯЯ 0,
dt
откуда следует, что Я* постоянен и в гейзенберговой картине.
Если мы имеем дело с замкнутой системой, полный гамильтониан
постоянен. Зависящий от времени гамильтониан предполагает действие
внешних сил, и для рассматриваемой системы реакцией на эти действия
пренебрегают. Такая процедура является полезным в некоторых случаях
приближением, но она не может быть основой точной теории.
Для стационарного состояния в шредингеровой картине направление
кет-вектора неизменно, поэтому
где Л — число. Сравнивая с уравнением движения Шредингера
получаем
iHX\Pt) = H\Pt).
Отсюда, стационарные состояния являются собственными состояниями
гамильтониана:
= Н'
58 I. ЛЕКЦИИ
где Н! есть собственное значение Н. Тогда
и после интегрирования
Итак, кет-вектор периодически изменяется с частотой, зависящей от Н'.
Предполагается, что энергия является наблюдаемой. Поэтому существует
достаточное количество стационарных состояний, позволяющих выразить
любое состояние в виде их линейной комбинации.
Если предположить, что Н постоянен, то можно решить уравнение
движения Шредингера и получить интеграл
Прямой подстановкой *) можно убедиться, что это решение удовлетворя-
удовлетворяет уравнению движения. Соответствующее решение уравнения движения
Гейзенберга
^* _ iH(t-to)/H * -iH(t-to)/H
Полученные решения обычно мало используются в конкретных задачах
из-за трудностей вычисления экспоненты от линейного оператора.
Теория переходов. Рассмотрим полный набор коммутирующих на-
наблюдаемых а и предположим для удобства, что собственные значения а
дискретны. Выбирая шредингерову картину, будем иметь зависящую от
времени волновую функцию ip(a,t), а уравнения движения будут иметь
вид
так что
Вероятность обнаружить значение а = а1 в момент времени t равна
\ip(af,t)\2, если считать, что ф(а) нормирована. Этот результат можно
представить в другой форме, выявляющей определенную симметрию.
Введем одновременные собственные кет-векторы для всех а и обо-
обозначим их \af) = Saaf\S) в стандартных кет-обозначениях. Для любого
произвольного кет-вектора
можно образовать произведение
(а'\Р) =
г) При дифференцировании можно использовать обычную алгебру, так как в этом
процессе мы не сталкиваемся с парами некоммутирующих переменных.
1. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ 59
Следовательно вероятность получить собственное значение а = о! можно
записать в виде
К
Вероятность обнаружить значение а = а' в момент времени t равна
теперь
\(a'\Pt)\2 = \(a'\T\Pt0)\2.
Предположим, что начальное состояние также является собственным
состоянием оператора а, принадлежащим собственному значению а0
\Pto) = \a°).
Тогда вероятность перехода от значения а0 в момент времени to к значе-
значению а! в момент времени t можно выразить в симметричной форме:
\(а'\Т\а°)\2.
Таким образом, вероятность перехода выражается как квадрат мат-
матричного элемента. (Комплексный) матричный элемент (а'\Т\а°) можно
назвать амплитудой вероятности. Чтобы получить вероятность, нужно
вычислить квадрат модуля амплитуды.
Интеграл движения — величина, обладающая нулевой производной по
времени в гейзенберговой картине. Если а — интеграл движения, то
^ = 0 или [а, Н] = 0.
Приведенное выше вычисление вероятности перехода пригодно только
в том случае, когда наблюдаемые а если и не являются точными интег-
интегралами движения, но очень близки к ним, так что вероятность перехода
мала.
Л. 12. Картина взаимодействия. Вероятности переходов.
Теория возмущений
Было показано, что если кет-векторы нормированы, то вероятность
перехода из состояния а0 в момент времени to в состояние а! в момент
времени t1 равна |(а/|Т|а°}|2, где (а°| и (а'\ —дискретные собственные
состояния. Аналогичные результаты верны и тогда, когда одно или оба соб-
собственных состояния принадлежат непрерывному множеству. Если {оР\ —
дискретное состояние, а (а'\ принадлежит непрерывному множеству, то
|(а/|Т|а°)|2 есть вероятность перехода из а0 в а1\ приходящаяся на еди-
единичный интервал значений а'. Если само значение а0 принадлежит непре-
непрерывному множеству, то кет-вектор |а°) нельзя нормировать. В этом случае
можно только говорить, что квадрат матричного элемента |(а/|Т|а°}|2
пропорционален вероятности перехода.
Рассмотрим систему, гамильтониан которой можно записать в виде
60 I. ЛЕКЦИИ
где Е — простой оператор, а дополнительный член V мал. Например, Е
может быть собственной энергией двух тел, т. е. суммой их энергий, а V —
энергией их взаимодействия.
Пусть а — полный набор коммутирующих наблюдаемых для системы
с гамильтонианом Е (но не Е + V)- Для такой системы собственные
значения а будут интегралами движения, так как все а коммутируют с Е.
Будем называть такую систему «невозмущенной».
Предпочтем шредингерову картину, где кет-вектор \Pt) в любой момент
времени t задается выражением
\Pt) = T\Pt0),
и определим две новые величины Т*, \Pt}* соотношениями
Т* = eiE{t-t0)/hT
\РТ)* = T*\Pt0) = eiE^-t
Используя уравнение движения Шредингера
получаем уравнение движения для \Pt)*:
t)\ =
J
iE^t^h = V*\Pt)*,
ih± \Pt)* = eiE^{E\Pt) + ih
где
V* = егЕ
Таким образом, кет-вектор \Pt}* удовлетворяет уравнению, аналогичному
тому, которому удовлетворяет |Р?), но содерж:ащему только V*. Анало-
Аналогичное уравнение движения справедливо для Т*:
iH — Т* = V*T*.
dt
Вероятность перехода |(а/|Т|а°)|2 может быть записана в виде
\(af\e~tE(t~to^nT*\a°)\'2. Но (af\ есть собственный бра-вектор операто-
оператора Е. так что
(а'\Е = Е'(а'\, Е' = Е(а')
и поэтому
тяте что
(a/|T|a°> = e-i??'(*-
Коэффициент при (а'\Т*\а°) в правой части равенства есть число с мо-
модулем, равным единице, так что при вычислении модуля этот множитель
можно опустить. Поэтому выражение для вероятности перехода сводится к
1. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ 61
Следовательно при вычислении амплитуд вероятности можно использо-
использовать Т* вместо Т.
Следует заметить, что величины со звездочками Т* и \Pt)* медленно
изменяются со временем, причем это изменение обязано только нали-
наличию возмущающего члена V в гамильтониане. Такая картина называется
«картиной взаимодействия» [6]; она используется в современных исследо-
исследованиях по теории поля. Сопоставляя медленное изменение кет-векторов
в этом представлении с быстрым их изменением в шредингеровой картине
и с независящими от времени кет-векторами в гейзенберговой картине,
можно сказать, что картина взаимодействия занимает промежуточное по-
положение между гейзенберговой и шредингеровой картинами.
Все рассуждения до сих пор были точными, и не было сделано никаких
приближений. Рассмотрим теперь приближенный метод, используемый
в общем случае для вычисления вероятностей переходов. Оператор Т*
удовлетворяет дифференциальному уравнению
~dt ~
с начальным условием
Т* = 1 для t = to.
Представим Т* в виде
1 =l + i1+72+73+...,
где последовательные слагаемые — возрастающего порядка по степеням V.
Тогда имеем соотношения:
at
iHd^ = V*Tl
indTZ=v*T*
dt "¦
Эти уравнения имеют решения
to
t2 tx
to to
и аналогичные итерации для членов более высокого порядка.
В первом приближении вероятность перехода дается выражением
Р(а°а') = |<а'|Т>°>|2 = ^ \{а'\ J V(t) dt\a°)\2
to
62 I. ЛЕКЦИИ
Выполняя интегрирование после вычисления матричного элемента, можно
выразить эту вероятность в виде
± j(a'\V*(t)\a°)dt .
to
Если для конкретного перехода элемент (a'lV^a0) особенно мал или
обращается в нуль, то первое приближение непригодно. Приближение сле-
следующего порядка дается выражением
Р(а°а') =
t' t' t! 2
if/* о 1 v^ Г / // Г
- ^2 J (a (*)|a ) * - i Z. J \a I Wla > *i J
to a t0 to
При суммировании по а" можно опустить слагаемые с а" = а' и а" =
= а0, так как матричный элемент, отвечающий этим слагаемым, мал по
сравнению с другими или вообще равен нулю.
Можно немедленно дать физическую интерпретацию выражению для
вероятности перехода во втором приближении. Первое слагаемое в выра-
выражении для амплитуды соответствует прямым переходам между состояни-
состояниями |а°) и |а'), а второе слагаемое относится к переходам через промежу-
промежуточное состояние |а"), т.е. переходу сначала из |а°) в |а"), а затем из \а")
в \ol'). Так как складываются амплитуды (но не квадраты модулей) таких
двухступенчатых переходов и прямых переходов, то различные процессы
перехода интерферируют друг с другом.
Все предыдущие результаты справедливы независимо от того, является
ли V функцией времени t или нет. Однако, если V не зависит от времени,
интегралы можно вычислить явно. (Чтобы понять важность этого случая,
см. замечания о зависимости гамильтониана от времени в последней лек-
лекции.)
Если V не зависит от времени (картина Шредингера), так что (a'll/la0)
также не зависит от времени, то (af\V*\a°) содержит зависимость от
времени в виде ег(Е ~Е >^~1о>'^(а'\У\оР). Если для удобства положить
to = 0, то можно провести интегрирование матричного элемента, так что
\(a'\V*\a°)dt = (a'\V\c ' "
V\a)fa
о
Подстановка этого выражения дает
Если изобразить график P(a°, a') как функции ?', то получим кривую
рис. 1 а, которая флуктуирует с частотой, зависящей от разности Е' — Е®.
Если выбрать другое с/, так, чтобы Е' — Е® было меньше, то частота ко-
1. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ
63
лебаний уменьшится. В пределе, когда Е' — Е® стремится к нулю, второй
множитель в P(a°af) становится равным t'2/Н2.
P(a°a')
Ef
Рис. 1
Конечно, эта формула неверна для слишком больших значений t1.
Доставляет удовлетворение тот факт, что большие значения изменений
энергии менее вероятны, и наоборот. Это есть следствие сохранения энер-
энергии, что означает сохранение Е + V и приводит к приближенному сохра-
сохранению Е.
Для Е' = Е° вероятность перехода возрастает как квадрат интервала
времени (а не линейно). На первый взгляд, этот результат трудно понять,
и требуются дополнительные обсуждения.
Рассмотрим формулу для случая, когда конечная энергия Е1 нахо-
находится в непрерывном интервале собственных значений, и рассмотрим та-
такие изменения этой конечной энергии, при которых она остается близ-
близкой к начальной энергии Е°. При такой процедуре можно пренебречь
изменением первого множителя |(о^71V^|о^°)|2. Тогда вероятность перехода
из \а°) в состояние с конечной энергией Е' изменяется так, как пока-
показано на рис. 1 б. Физическое значение имеет величина полной вероятно-
вероятности перехода в любое конечное состояние с энергией, близкой к Е°, т.е.
$P(a°a')dE'.
Эта величина определяется площадью под кривой на рис. 1.6. С ростом
t! максимум кривой растет как ?/2, но сама кривая становится уже х), так
что площадь под кривой становится пропорциональной t'. Следовательно
вероятность перехода за единичный интервал времени, проинтегрирован-
проинтегрированная по всем конечным энергиям в окрестности начальной энергии, есть
константа.
j Вычисления при интегрировании имеют вид
1 - cos [(??' - E°)t'/H] . „, _ „ Т sin2[(?' - E°)t'/BH)]
(Ef - EoJ
(Ef - E°
oo
?' О ( l' \ Г Sin2*
=2 — —к—
\2hJ J x2
dx = —.
2П
64 I. ЛЕКЦИИ
Л. 13. Системы тождественных микрочастиц.
Фермионы и бозоны
В предыдущей лекции мы вывели формулу для вероятности перехода
системы, описываемой гамильтонианом
H = E + V, A)
где Е — собственная энергия двух объектов, а V — малая энергия взаимо-
взаимодействия между ними. Состояние системы было описано с помощью пол-
полного набора коммутирующих наблюдаемых а, являющихся интегралами
движения для невозмущенной системы с гамильтонианом Е. Поэтому все
а должны коммутировать с Е.
Если конечное состояние находится в непрерывном интервале значе-
значений, то представляющая физический интерес величина —это полная веро-
вероятность перехода в любое состояние с энергией, близкой к Eq, т.е.
B)
Чтобы вычислить этот интеграл, удобно выбрать в качестве а сам
оператор Е и другие операторы, коммутирующие с Е и независимые от
него, которые мы обозначим /3. Например, в задаче рассеяния Е может
быть энергией налетающей частицы, а /3 — переменные, фиксирующие на-
направление движения налетающей частицы.
Теперь можно записать
и формула B) принимает вид
' P{a°,Ef,/3f)dEf. C)
В случае, когда Н не зависит от времени, это интегрирование можно
осуществить, и мы получаем в первом приближении
f \(E0p\V\a°)\2t. D)
Важно отметить, что в левой части матричного элемента Е1 было заменено
на Eq. Теперь для вероятности перехода в единицу времени имеем
2f \(E0C>\V\a0)?. E)
В предыдущей лекции мы видели, что кривая, показывающая изме-
изменение Р(а°, Ef, /?') как функции Е1', имеет максимум в точке Eq. Этот
максимум с течением времени становится все острее; площадь под кривой
возрастает пропорционально времени, а высота кривой — пропорциональ-
пропорционально квадрату времени. Это поведение можно понять с физической точки
зрения, снова обратившись к примеру процесса рассеяния. Когда частица
определенной энергии рассеивается на мишени, возникает порождаемый
мишенью цуг рассеянных волн. Длина этого цуга возрастает со временем.
В более ранние моменты времени, когда рассеянные волны образуют не
1. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ 65
строго монохроматичный короткий цуг волн, энергия рассеянной части-
частицы будет определяться с меньшей определенностью, чем в более поздние
моменты времени, когда рассеянные волны распространяются на большее
расстояние и становятся все более монохроматичными.
Чтобы устранить асимметрию между начальным и конечным состоя-
состояниями в формуле E), обязанную появлению слева величины Eq вместо Е1',
можно заменить выражение для P(a°,af) на
\ \(E'/3'\V\a°}\26(E' - Яо) = f \(a'\V\a°)\2S(E' - Ео). F)
Эта формула является столь же приближенной, поскольку она не опре-
определяет правильной зависимости P(a°,af) от Е\ а вместо этого имеет
в точке Е' = Eq бесконечный максимум. Но она становится правильной
после интегрирования по Е1.
В следующем приближении формула для вероятности перехода имеет
f \(a'\V\a0)- ? ^\у\^)^Е\у\^)\Н{Е' - Eq). G)
Е Е
Ее можно интерпретировать на языке переходов в промежуточные состо-
состояния. Знаменатель показывает, что наиболее существенными являются те
промежуточные состояния, энергия которых близка к Eq.
Рассмотрим теперь систему п тождественных частиц. Пусть qi —
полный набор коммутирующих наблюдаемых, описывающих г-ую части-
частицу, причем все qi~ одной природы. Тогда можно построить волновую
функцию системы i/>(qi, qz, • • •, Яп)- Гамильтониан системы должен быть
симметричным, ибо в противном случае перестановка тождественных ча-
частиц изменит энергию. Если выбрать шредингерову картину движения,
то изменение ф определяется этим симметричным гамильтонианом, так
что ф должна сохранять то свойство симметрии, которое было заложено
изначально. Ограничимся рассмотрением двух возможностей:
1) ф антисимметрична;
2) ф симметрична.
Может оказаться, что для частиц определенного сорта в природе реали-
реализуются только волновые функции, обладающие одной из этих симметрии.
Пусть каждая из п частиц находится в одном из п заданных состояний,
определяемых волновыми функциями
/i(9),/2(9),...,/n(9). (8)
Ф(я---->Яп) = fi{Qi)---fn{qn) (9)
является волновой функцией всей системы. Чтобы сделать эту функцию
антисимметричной, мы переставляем qi и выбираем знаки плюс или минус
перед результатом в соответствии с тем, была ли перестановка четной или
3 П.Дирак. TIV
66 I. ЛЕКЦИИ
нечетной. Суммируя все п\ таких членов, мы получаем антисимметричную
функцию, которую можно записать как детерминант
Ы /2(92) ... Ыяп)
2(91) ЬШ ••• fn(qn)
fn(qi) fn{q2) ... fn(qn)
Из формулы A0) видно, что если любые две частицы находятся в одном
и том же состоянии, например, /i = /2, то фапц = 0. Таким образом, для
частиц, описываемых антисимметричными волновыми функциями, выпол-
выполняется правило, что ни одна пара из них не может находиться в одном и
том же состоянии. Следовательно, принцип Паули для электронов может
быть выведен из принципов квантовой механики и ограничения антисим-
антисимметричными волновыми функциями для их описания. Все частицы подоб-
подобного сорта подчиняются статистике Ферми и называются фермионами.
Существуют и другие типы частиц, для которых допустимы только
симметричные волновые функции. Эти частицы подчиняются статистике
Бозе и называются бозонами.
Все частицы в Природе являются либо фермионами, либо бозонами.
Для этого, похоже, не видно никаких теоретических причин, хотя мож-
можно математически построить волновые функции, обладающие свойствами
симметрии более сложного типа.
Существует общее правило, что частицы полуцелого спина являются
фермионами, а частицы целого спина —бозонами. Это правило самосогла-
самосогласовано. Рассмотрим две частицы спина Н/2 каждая. Система, образован-
образованная из такой связанной пары, будет обладать целым спином, а волновая
функция, описывающая составную систему, будет симметричной.
Это правило до сих пор не было строго доказано, хотя значительно
проще построить релятивистские теории частиц, удовлетворяющие ему,
чем противоречащие. Следует воспринимать это правило как эмпириче-
эмпирический факт [7].
Рассмотрим ситуацию, когда число частиц не фиксировано, так
что есть возможность рождения и уничтожения частиц. Для этого
потребуются понятия сложения и умножения векторных пространств,
которые мы сейчас введем. Пусть V и W — п- и m-мерные векторные
пространства, векторы которых определены с помощью координат
(#i, X2, • • • , хп) и (yi, j/25 • • • j Ут) соответственно. Сумма V + W опре-
определена как векторное пространство, натянутое на все векторы вида
(a?i, Ж2,... , жп, 2/1,2/25 • • • 5 Ут)- Это пространство (п + га)-мерно. Произве-
Произведение V х W определено как векторное пространство, натянутое на все
векторы вида
Х1У2, . . . , Xiym, Х2УЪ Ж2У2, • • • , Х2уш, . . . , ХпуЪ Хпу2, . . . , Хпут).
Это пространство пга-мерно.
1. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ 67
Волновая функция f(q) может рассматриваться как вектор в про-
пространстве кет-векторов, координатами которого являются числа f(q) для
разных точек в области д, где q соответствует индексу г выше. Когда
рассматривается система п частиц, мы должны рассматривать волновые
функции типа
/i(9i).../n(<?n).
Они будут векторами в пространстве произведения пространств кет-век-
кет-векторов для отдельных частиц. Конечно, такие волновые функции не будут
произвольными векторами в этом пространстве.
Пусть теперь число частиц изменяется. Мы построили пространство
кет-векторов для каждого п. Складывая эти векторные пространства,
мы получаем большее пространство, описывающее систему с переменным
числом частиц.
Пусть состояние без частиц представлено кет-вектором | }. Простран-
Пространство, описывающее только одну частицу, натянуто на кет-векторы |/г), две
частицы — на кет-векторы $[|/r)|/s)] и т-Д- Здесь S — оператор, задающий
определенные свойства симметрии волновых функций. Суммируя все эти
пространства, получаем математический формализм для работы с систе-
системой с переменным числом частиц. Можно ввести операторы рождения и
уничтожения, изменяющие число частиц.
В завершение этой последней лекции в данном семестре, кратко сумми-
суммируем наиболее существенные особенности. Принцип суперпозиции состоя-
состояний приводит к представлению этих состояний как векторов в обобщенном
гильбертовом пространстве. Динамические переменные представляются
линейными операторами, действующими на эти векторы. Операторы под-
подчиняются некоммутативной алгебре. При попытке приписать двум дина-
динамическим переменным численные значения в один и тот же момент време-
времени эта некоммутативность приводит к соотношениям неопределенностей.
Отсюда вытекают общие принципы, связывающие операторы поворота
с угловым моментом системы, и операторы трансляции — с импульсом.
Мы ввели законы движения в форме Шредингера и Гейзенберга, которые
математически эквивалентны и связаны унитарным преобразованием. На-
Наконец, имеются ограничения, согласно которым волновые функции систем
тождественных частиц могут быть только симметричными или антисим-
антисимметричными.
Единственный оставшийся невыясненным вопрос заключается в выбо-
выборе гамильтониана для данной задачи. Для электронов, взаимодействую-
взаимодействующих с электромагнитным полем, имеется вполне хороший гамильтониан,
приводящий к очень точным результатам. Однако в мезонных теориях
аккуратный гамильтониан неизвестен.
Занимаясь поиском вида гамильтониана, мы руководствовались клас-
классической механикой. Имея дело со спином, уже нельзя опираться на клас-
классическую механику, так как в ее рамках понятие спина некорректно. Здесь
уместно обратиться к принципам теории относительности.
I. ЛЕКЦИИ
Совершенно необходимо, чтобы последовательная теория удовлетворя-
удовлетворяла принципам теории относительности. Это накладывает очень жесткие
ограничения на вид искомого гамильтониана. Обычно требуется, чтобы
взаимодействия происходили только через промежуточные поля. В част-
частных случаях можно построить релятивистские взаимодействия на расстоя-
расстоянии, но в этих случаях необходима сложная теория преобразований, чтобы
доказать их релятивистскую инвариантность.
Введение полей приводит к усложнениям, поскольку теперь количество
переменных становится бесконечным. Мы вернемся к их изучению в сле-
следующем семестре.
Л. 14. Классическая релятивистская динамика
Законы квантовой механики должны быть сформулированы таким об-
образом, чтобы они удовлетворяли принципам специальной теории относи-
относительности, т. е. они должны быть одними и теми же для двух наблюдате-
наблюдателей, движущихся равномерно относительно друг друга. Данное требование
становится важным, когда мы имеем дело с частицами, скорости которых
близки к скорости света. Не так важно, чтобы законы квантовой механики
согласовывались с принципами общей теории относительности, поскольку
последние требуются лишь для объяснения гравитационных эффектов,
которые для атомных систем чрезмерно малы.
Прежде всего, приведем в согласие со специальной теорией относитель-
относительности классическую динамику в формулировке Гамильтона. Для этой цели
удобнее всего считать равноправными пространственные и временную ко-
координаты и рассматривать физический мир как четырехмерное простран-
пространство с координатами х\, Ж2, ^з, xq (= ?), где скорость света принимается
равной единице.
Пусть gr, pr, г = 1,2,3,... , п будут координатами и сопряженными
с ними импульсами динамической системы, а ? = ?(#,р) —динамической
переменной. Тогда уравнение движения для ? имеет вид
§ = [?,#], а)
где [Л, В] обозначает скобку Пуассона. Данное уравнение не является
инвариантным относительно преобразований Лоренца, поскольку при этом
время является выделенной переменной.
Будем считать время t одной из координат и введем переменную
w = -H B)
в качестве сопряженного ей импульса. Рассмотрим динамическую пере-
переменную общего вида
,t,w). C)
1. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ 69
Тогда скобки Пуассона (СП) будут определяться по формуле
т dm dm dm\ . dm dm dm dm /л\
qr dpr dpr dqr) dt dw dw dt
Определим
Ж = Н + W = 0. E)
В таком случае
№ + + й =
dqr дрг дрг dqr) dt dw
Г
_ ^ / dri дЖ _ дг) дЖ\ dt) дЖ _ дг) дЖ _ ,
- Ъ \-Q^T -Q^ Q~V~r ~dq~r) ~dt~dw~ д^ ~ЬТ ~ L?7'
r
Здесь было использовано соотношение
dJ? _dE_ _dE_ _ _dW^
~df ~ ~dT ~ ~dt ~ ~df'
Далее введем общую независимую переменную т,
г = r(q,p,t,w)
такую, что —- ф 0. Тогда
at
где
Ж* = Ж^. (9)
ат
Теперь мы имеем полную симметрию в отношении координат q и t.
Уравнение Ж * = 0 следует использовать лишь после того как вычис-
вычислена скобка Пуассона. Такие уравнения называются слабыми уравнениями
и будут записываться в виде
^*^0. A0)
Ж * можно домножить на произвольный множитель, что приведет к из-
изменениям в переменной т. И наоборот, фиксируя т, получаем конкретный
множитель, на который следует домножить Jff*.
Для перехода к квантовой механике переменные gr, pr, ?, w преобра-
преобразуются в операторы, которые удовлетворяют перестановочным соотноше-
соотношениям, соответствующим соотношениям СП. Волновые функции должны
удовлетворять уравнению
или я
0, w = -ihfv A1)
70 I. ЛЕКЦИИ
которое является уравнением Шредингера. В более общем виде
Ж*ф = 0 A2)
при условии, что Jff* = \Ж с множителем Л, стоящим слева. Слабое
уравнение Ж * « 0 должно интерпретироваться в квантовой механике как
Ж^ф = 0. Обычные уравнения или сильные уравнения являются уравне-
уравнениями между операторами, в то время как слабые уравнения являются
условиями на волновые функции.
Теперь рассмотрим отдельную частицу, координатами которой явля-
являются zq, z\, Z2, Z3, а сопряженными с ними импульсами — ро, Ръ Р2, Рз-
Если частица обладает структурой, то дополнительно могут быть введены
внутренние переменные. Произвольная точка пространства-времени будет
обозначаться х^ (/х = 0,1, 2, 3).
Нижними индексами обозначаются контравариантные векторы А^,
т.е. те, которые преобразуются подобно х^ или z^, в то время как верхни-
верхними индексами обозначаются ковариантные векторы Лм, преобразующиеся
подобно dV/dxjj,. Для пространства-времени специальной теории относи-
относительности имеем:
А0 = А°, Ar = -Ar, r = 1,2,3, A3)
так что метрический тензор g^v имеет вид
=0 ДЛЯ II ф V
#00 = 1, grr = -I-
Перестановочные соотношения между р^ и zv равны
\p»,z1/]=gfJLI/. A5)
Иными словами
[РО,ГО] = 1, [pr,Zr] = -1.
Таким образом ро равен сопряженному с zo импульсу со знаком минус и
в силу этого представляет собой энергию.
Гамильтониан для свободной частицы имеет вид
Ро - Pi - V\ ~ Vl ~ m2 « 0, A6)
где m — масса частицы. Возьмем
^2 A7)
Такой выбор Ж приводит к тому, что т = ±s. Здесь s — собственное время,
определяемое из ds2 = dx^ dx^. Поскольку
% = [**"*'] = ~Р»[^РП = ±Р»
отсюда следует, что
dz^dz=1
ат ат
1. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ71
так что
-
dr ds
и, таким образом т = ±s. Если ро положителен, тогда и ———положи-
тельна, и г = s. Если р$ отрицателен, то т = —s.
Для перехода к квантовой теории заменим рм на
! B0)
откуда приходим к волновому уравнению
Во введенном нами уравнении Шредингера последний член был линей-
линейным по —. Там мы предполагали, что положение частицы является одной
dt
из наблюдаемых. Уравнение B1) описывает частицу, положение которой не
является наблюдаемой. В данной теории невозможно ввести вероятность
обнаружить частицу в заданном малом объеме (пространства).
Функция ф в уравнении B1) является скалярной и описывает бесспи-
бесспиновую частицу.
Можно получить релятивистское уравнение для частицы, которое бу-
будет линейным по —, если ввести внутренние переменные. Предположим
dt
dt
что они имеют вид
(ро + olipi + а2р2 + &зРз + тат)ф = 0. B2)
Здесь ol{ являются новыми динамическими переменными, коммутирующи-
коммутирующими с переменными z, p. Потребуем чтобы уравнение B1) было следствием
уравнения B2). Это будет в том случае, когда все ai антикоммутируют
между собой и при этом
а\ = а\ = а\ = а2т = 1, B3)
что можно проверить путем домножения выражения B2) слева на
(ро — OL\pi — (Х2Р2 — &зРз — атт). Как будет показано в следующей
лекции, полученнное уравнение является релятивистским и описывает
частицу со спином - Н. Переменные а,{ могут быть представлены в виде
4x4 матриц, а функция ф — как четырехкомпонентная величина.
Можно установить и другие виды волновых уравнений, являющихся
релятивистскими. Пусть волновая функция будет векторной величиной
фр, II = 0,1, 2, 3. Полагаем
р^ = ъ^~ ш> B4а)
oFr^^ B4б)
%*
72 I. ЛЕКЦИИ
Из уравнения B46) получаем
-j?— = U для т ^ (J, (zoj
и в таком случае соотношение B4а) дает
B6)
Данное уравнение описывает частицу со спином /г, поскольку независимые
компоненты волновой функции ф\, ^2, Фз преобразуются как обычный
вектор относительно поворотов.
Если т = 0, соотношение -^- = 0 не выводится из уравнений B4), и
тогда уравнение следует трактовать иным образом. Оно описывает фотон,
который обладает спином Н.
Л. 15. Лоренц-инвариантность волнового уравнения.
Движение заряженной частицы в магнитном поле
Мы уже видели что релятивистское волновое уравнение для одной
частицы (положение которой является одной из наблюдаемых) может быть
записано в виде
(ро + агРг + атт)ф = О, г = 1, 2, 3, A)
где OLi удовлетворяют соотношениям
и все OL{ антикоммутируют между собой. Домножив это уравнение слева
на ат можно записать его в виде
GM/V + т)Ф = °> М = 0,1,2,3, C)
где 7^ определяются посредством уравнений
л/° — гу л/г — гу г\г г — 1 9 Ч
7 — ^т; 7 — °tmu, , Г — 1, Z, о.
Легко проверяется, что эти величины 7 удовлетворяют соотношениям
G0J = 1, GГJ = атагатаг = -1
и все 7 антикоммутируют между собой. Эти соотношения можно объеди-
объединить в одно уравнение
Таким образом релятивистское волновое уравнение может быть выра-
выражено при помощи уравнений C) и D), заменяющих уравнения A) и B).
Теперь уравнения C) и D) имеют правильные выражения в тензорных
обозначениях (со сбалансированными в обеих частях индексами). Это ста-
стало причиной того, что лоренц-инвариантность волнового уравнения зача-
зачастую объясняется неправильно. Утверждается, что поскольку величины р
1. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ 73
и 7 преобразуются подобно 4-векторам, то в силу этого они сохраняют
инвариантность уравнений C) и D), если предположить, что ф является
инвариантом.
Данный ход рассуждений является неверным, поскольку при этом не
принимается во внимание эрмитов характер величин 7- Чтобы убедиться
в этом, воспользуемся тем, что величины 7 можно построить, исходя из
двух независимых наборов матриц Паули <ri, <Т2, сгз и pi, р2> Рз- Возьмем
«1 = р\(У\
OLm = РЗ
Тогда эти величины а удовлетворяют всем требованиям B). Поскольку
матрицы Паули эрмитовы, то по построению все а также являются эрми-
эрмитовыми. Следовательно и 7° является эрмитовой:
7° = 7°.
С другой стороны
7Г = агат = агат = -7Г г = 1, 2, 3,
поскольку все а антикоммутируют. Таким образом видно что 7° — эрмито-
эрмитова, а 7Г являются антиэрмитовыми величинами, а следовательно величины
7 не могут преобразовываться подобно компонентам 4-вектора. Данное
разногласие в отношении эрмитовых свойств величин 7 не зависит от
используемого представления, поскольку
GГJ = -1
и таким образом jr не могут быть эрмитовыми.
Лоренц-инвариантность волнового уравнения следует доказывать дру-
другими методами. Например, можно рассмотреть типичные преобразования
Лоренца и явным образом показать, что уравнение инвариантно по отно-
отношению к каждому из них *). Однако данный метод является утомительным
и поэтому ниже представлен новый способ, использующий инфинитези-
мальные преобразования 2).
Рассмотрим произвольное инфинитезимальное преобразование общего
вида * 2
где е —бесконечно малая величина. Если оно должно быть преобразова-
преобразованием Лоренца, то должно выполняться соотношение
г) Это проделано в § 68 моей книги «Принципы квантовой механики». 3-е изд. 1947.
2) Здесь отбросим приводящие к заблуждениям 7-обозначения и предпочтем работать
только с а.
74 I. ЛЕКЦИИ
где оставлены члены не выше первого порядка малости. Но для этого
требуется, чтобы
у = О,
что возможно лишь при
Пусть а0 = 1. Тогда волновое уравнение A) можно записать как
(а^рм + атт)ф = 0.
Операцию опускания индексов при а определим обычным образом
О г
ао = а , аг = —а .
Тогда можно легко проверить правильность следующих соотношений:
Здесь мы имеем дело с уравнением, в котором индексы несбалансированы
ни в одной из сторон и по этой причине оно не может считаться тензор-
тензорным уравнением. Это следует доказывать, рассматривая по отдельности
случаи \i = v = 0; /i = 0, v = г; \± = г, и = s. Другими подобными этому
правильными уравнениями с несбалансированными индексами являются
следующие:
Теперь применим инфинитезимальное преобразование Лоренца общего
вида, в отношении которых все а остаются неизменными, в то время как
р^ заменяются на р*. В результате получим
{ам(р* - em^pl) + атт}ф = 0.
Домножим это уравнение слева на множитель
(l + -етраараа) ,
что дает
(l + \ етраара^ {аЦр^ - em^pl) + атт}ф = 0.
Далее
\ етрGаРааа»р1 = \ шр,^B^ - a^)pl =
= \ empG[2aPg^ - Bg^ - a»ap)a°]pl = [ет$а<> + \
1. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ 75
где мы использовали антисимметричность матрицы т^. Первый член
в последнем из равенств данной цепочки сокращается с подобным членом
в полном выражении для нашего произведения. Далее имеем
арааат = ашараа.
Таким образом мы получили
етраа^араар^ + а
т A + - етраараа) | ф = О
или
* + атт) (l +
что может быть переписано в виде
(амр* + атт)ф* = О,
где обозначено
ф* = \1 + - етраараа) ф.
Данное соотношение идентично уравнению, с которого мы начинали,
и, следовательно, лоренц-инвариантность уравнения доказана. Следует
заметить, что при указанном преобразовании все а остаются неизменными,
импульсы р^ преобразуются как компоненты 4-вектора, в то время как
волновые функции ф преобразуются особым образом. Вскоре мы увидим,
что это представляет собой закон преобразования волновых функций для
частиц со спином 1/2.
В вышеприведенном доказательстве релятивистской инвариантности
мы активно использовали уравнения с несбалансированными индексами.
Такие уравнения необходимы, когда вы имеете дело с частицами со спином
1/2, поскольку обычный тензорный анализ непригоден для данной цели.
(Можно напомнить, что в результате поворота на угол 2тг волновая функ-
функция частицы со спином 1/2 приобретает множитель —1.)
Для проверки того, что приведенное выше уравнение действительно
описывает частицы со спином 1/2, воспользуемся общим соотношением
между угловым моментом и операторами поворотов. Сделаем малый по-
поворот на угол е относительно оси х\. Тогда функция ф переходит в
(как было выведено ранее в данном курсе лекций). Данный поворот явля-
является частным случаем преобразований Лоренца при
777,23 = -^32 = 1,
76 I. ЛЕКЦИИ
когда другие компоненты vn^ равны нулю. Подставляя данные значения
для т^г,, находим, что преобразованное значение ф есть
ф* = (l - -еа2а3) ф,
\,v
поскольку в выражении суммы т^а^а имеется всего два нетривиаль-
нетривиальных члена. Сравнивая между собой оба выражения для ф*, получаем
г\ = -- а2аз, mi = --
В таком случае
(J = 1,
а следовательно ia2a3 имеет собственные значения ±1. Но в таком случае
mi имеет собственные значения ±- Н. Таким образом мы убедились, что
волновая функция ф описывает частицу с полуцелым спином.
До сих пор мы занимались фундаментальным, но простым случаем
свободной частицы. Рассмотрим теперь электрон с зарядом —ев заданном
магнитном поле. Гамильтоново уравнение является слабым уравнением
J^ = —— {{Р/л + eAfj,)(p^ + еА^) — т } « О,
где
задает электромагнитный потенциал в точке ?, в которой находится элек-
электрон. Для проверки того, что приведенный гамильтониан правилен, выве-
выведем уравнение движения:
или
Из слабого уравнения
^ « О
с/и r+~> \j
получаем соотношение
dz^ dz^ -.
~d7 ' ~d^ ~ '
свидетельствующее о том, что
т = =bs,
где s — собственное время. Ограничивая себя случаем т = s, возникающим
тогда, когда энергия положительна, имеем
где индекс 2 говорит о том, что соответствующие величины следует вычис-
вычислять в точке z. Подставив вместо р^ его выражение через скорость в виде
dzu
P m
zu л
1. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ 77
получим о
J d2za dzv ( dAv , дАЛ dzv „
ds2 ds V 0ж" ^ dxu ) ds ^'
<9Л„ ЯЛ*
Г ill/ —
дхи
является 6-вектором, описывающим электромагнитное поле:
_ дАо_ _ дАл _ _дАо_ _ дА± _ ^
дА2 _ дАг _ _дА2 дАг _ _ ^
дх\ дх2 дх\ дх2
Здесь через <§ и Ж обозначены напряженности электрического и магнит-
магнитного полей.
Квантование указанной теории приводит к электрону без спина. Обоб-
Обобщение теории для описания электрона со спином Н/ 2 достигается на основе
использования гамильтониана
и волнового уравнения
J^ 1p = \)ш
Л. 16. Релятивистское обобщение стандартной
гамильтоновой теории
Мы хотим получить общую релятивистскую теорию нескольких ча-
частиц, взаимодействующих между собой. В релятивистской теории не мо-
может быть никакого дальнодействия, а возможно лишь взаимодействие
посредством поля. Поле должно рассматриваться как динамическая си-
система, претерпевающая изменения, обусловленные его взаимодействием
с частицами. Различные компоненты поля во всех точках пространства
(в заданный момент времени) будут рассматриваться как динамические
переменные. Число динамических переменных таким образом троекратно
бесконечно. Помимо этого, поле по своему существу представляет собой то
же самое, что и динамическая система, состоящая из частиц.
Мы хотим иметь соотношения СП между полевыми величинами. Пусть
?(ж!,Ж2,жз) и vi00!? Х2> хз) представляют собой две полевые переменные.
Поскольку они являются наблюдаемыми и поскольку измерение одной
из них никак не влияет на измерение другой в том случае, когда точки
пространства х и х1 различны, то эти переменные совместимы и будут
коммутировать между собой. По этой причине имеем
[?(жхЖ2Жз), ^(Ж1Ж2Жз)]
= что-нибудь, включающее 5{х\ — х[M(х2 — xf2)S(xs — xf3) и их производ-
производные, или, как мы будем писать для краткости
= что-нибудь, включающее 6з(х — х1) и их производные.
78
I. ЛЕКЦИИ
Рис. 1
Теперь мы должны задать гамильтонову динамику, включающую по-
полевые переменные и переменные частиц. Поскольку мы хотим построить
релятивистскую теорию, то мы не
должны ограничиваться лишь опреде-
определением переменных в заданный мо-
момент времени и отысканием их значе-
значений в последующий момент времени,
т. е. переходом с поверхности 1 на по-
поверхность 2 (рис. 1).
Несмотря на то, что можно стро-
строить релятивистскую теорию, используя
только плоские поверхности, такого ро-
рода теория обязательно будет содержать требование, чтобы взаимодей-
взаимодействие между двумя частицами на больших расстояниях было малым. Оно
возникает потому, что даже малое изменение угла (наклона) поверхно-
поверхности повлечет за собой большие изменения временных (интервалов) на
больших расстояниях и таким образом эффект от накладываемых на
больших расстояниях условий становится слишком значительным. Чтобы
избежать (в будущей теории) подобных
дефектов, будем рассматривать наши ди-
динамические переменные заданными на
искривленных пространственноподобных
поверхностях и установим уравнения дви-
движения, которые позволят нам переходить
с одной пространственноподобной поверх-
поверхности (т\ на другую G2 (рис. 2).
Для установления уравнений движения в релятивистской теории нам
нужно обобщение стандартной гамильтоновой теории. Нам понадобятся
несколько гамильтонианов
Рис. 2
0,
о,
с соответствующими независимыми переменными
ния движения будут иметь вид
2, — Тогда уравне-
Общее движение будет описываться уравнениями
г
A)
^f = V^ v ^f ~ О
Здесь vr — произвольные коэффициенты. За счет коэффициентов vr будет
иметь место произвол в решении данных уравнений.
Рассмотрим случай плоских поверхностей. В общем случае для пере-
перевода одной плоской поверхности в другую требуется четыре переменных.
Для каждой из них следует иметь гамильтониан. В таком случае общий
1. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ 79
гамильтониан обеспечивает четырехкратный произвол в описании движе-
движения поверхности.
В случае искривленных поверхностей нам потребуется бесконечное
число гамильтонианов, поскольку имеется бесконечное число путей дефор-
деформирования такой поверхности.
Когда мы имеем много гамильтонианов, то столько же будет и уравне-
уравнений движения. В таком случае следует проверить из совместность. Общим
условием совместности является
drr drs Srs S
для всех ?, откуда следует
Из тождества Якоби находим, что
[
для всех ?. Следовательно
= с-число.
Следующим требованием совместности является то, что Жг должны
всегда оставаться в слабом смысле нулевыми. Таким образом должно
ВЫПОЛНЯТЬСЯ , ур
^ « 0, B)
так что
Это несколько более сильное условие, чем предыдущее.
Поскольку единственными величинами, равными нулю в слабом смыс-
смысле, являются гамильтонианы Жг и их линейные комбинации, данное урав-
уравнение может быть заменено сильным уравнением
где Clrs — произвольные функции динамических переменных.
Для перехода к квантовой механике будем теперь рассматривать ди-
динамические переменные в качестве операторов, удовлетворяющих пере-
перестановочным соотношениям, соответствующим их прежним соотношениям
СП. Различные слабые уравнения fflr « 0 заменяются в таком случае
соответствующими уравнениями Шредингера Жг"ф ~ 0.
В этом случае условия совместности принимают вид
= 0
= 0
откуда
[Жг,Ж3]ф = 0. D)
По этой причине [J^r^J^s\ должно быть равно нулю в слабом смысле,
а в сильном смысле должно равняться C\s<ffit, где Clrs вновь являются
80 I. ЛЕКЦИИ
функциями динамических переменных, однако в этом случае обязательно
стоящими слева от ^^.
Для установления конкретной динамической теории следует знать яв-
явный вид гамильтонианов Жг, отыскание которого может оказаться слож-
сложным делом. В классической механике обычно начинают с функции Лагран-
жа или интеграла действия, из которых могут быть выведены как га-
гамильтониан, так и гамильтоновы уравнения движения. Выбирая действие
в лоренц-инвариантном виде, можно гарантировать, что теория является
релятивистской.
Можно получить общую схему отыскания нескольких гамильтонианов
из лагранжиана, если действовать следующим образом х). Пусть координа-
координатами будут qn, п = 1,2,... ,7V,agn = —j^- будут соответственно скоростями
динамической системы. Пусть
L = L{q,q) E)
будет лагранжевой функцией. Соответствующие уравнения Эйлера имеют
n 12N F)
Далее будем рассматривать t как избыточную координату t = go, с со-
соответствующей скоростью qo = 1. С помощью qo превратим L в однород-
однородную функцию первой степени относительно скоростей, которую назовем L,
L = QoL \Qi — ) •
V go/
Интеграл действия в таком случае будет
I=\ldt.
Теперь введем новую независимую переменную г. Имеем
/ =
где
т * _ dq0 T I dq/dr
dr у dqo/d
В указанном выражении для действия время рассматривается в точности
на тех же основаниях что и все другие координаты. Уравнения движения,
получаемые при варьировании данного действия будут иметь вид F), где
, . dqn
вместо t следует подставить г, а вместо qn — подставить -^—, при этом п
пробегает значения от 0 до N.
Определим импульсы рп по формуле
Рп = ^, n = 0,...,N, (9)
oq
г) Dime P.A.M. /I Can. J. Math. 1950. V. 2, N 2. P. 129.
1. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ 81
где qn = -j^. Все рп будут однородными функциями степени нуль отно-
ат
сительно скоростей, т. е. будут зависеть лишь от отношений между скоро-
скоростями. Поскольку имеется п + 1 импульс рг и только п отношений между
скоростями, то будет существовать в любом случае одно соотношение
между рг, которое не будет содержать зависимости от скоростей. Может
быть и больше таких соотношений. Обозначим их как
фт(р,д)^О, т = 1,2,...,М. A0)
Кроме того могут иметь место и другие соотношения между р и д, возни-
возникающие из самих уравнений движения, которые мы выразим как
)~0, к = 1,2,...,К. A1)
Введенные функции ф и х можно считать гамильтонианами (как будет
показано в следующей лекции) при условии, что соотношения СП для
любой пары из этих функций будут слабо равняться нулю. Это имеет ме-
место для большинства физических теорий. Исключение составляет теория
векторных мезонов.
Л. 17. Обобщенная гамильтонова динамика
По любому заданному лагранжиану возможно построить систему обоб-
обобщенной гамильтоновой динамики. Прежде всего превратим лагранжиан
в однородную функцию первой степени по скоростям д, принимая (как
это было детально описано в предыдущей лекции) время t в качестве
добавочной координаты q$. Теперь мы будем использовать обозначения
где т —произвольная независимая переменная и функция Лагранжа L
будет однородной первой степени относительно этих скоростей.
Импульсы определены стандартным образом с помощью соотношений
дЬ
Рассмотрим малые независимые вариации порядка е координат д, ско-
скоростей q и импульсов р. Тогда уравнения, определяющие рп, испытают
нарушения порядка е. Мы не сможем в таком случае различить уравне-
уравнения двух типов: уравнения которые с точностью до е не нарушены при
вариациях порядка е и которые называются «сильными» уравнениями
(записываются посредством обычного знака равенства =) и уравнения
которые с точностью до е нарушены при вариациях порядка е и которые
называются «слабыми» уравнениями (записываются посредством прибли-
приближенного знака равенства «). В соответствии с указанными обозначениями
запишем соотношения, определяющие импульсы как слабые уравнения
v « дЬ A)
82 I. ЛЕКЦИИ
Попутно отметим следующие свойства слабых уравнений:
Если А « 0, то не обязательно что и dA равно нулю, но если X = О, то
и dX = 0. Кроме того, если А « 0,
d(v42) = 2Л dA = 0, так что А2 = 0.
В общем случае,
если А « 0 и В « 0, тогда ЛВ = 0.
Предположим что уравнения A) приводят к некоторым связям (сла-
(слабым равенствам) между импульсами р и координатами д, но скорости
в эти соотношения не входят. Эти связи являются слабыми равенствами,
поскольку они являются следствиями слабых уравнений.
Допустим, что полный набор независимых связей между импульсами р
и координатами q (не включающих в себя скорости), которые следуют из
уравнений, определяющих импульсы рп, обозначен как
Поскольку лагранжиан является однородной функцией первой степени
по скоростям, по теореме Эйлера об однородных функциях имеем
т . дь
L = Яп тгт- « ЯпРп-
ОЦп
Здесь первое равенство является сильным уравнением, поскольку оно не
связано с определением импульса. Определим гамильтониан обычным со-
соотношением:
Ж = ЯпРп - L « 0.
Введенный таким образом гамильтониан слабо равен нулю. Далее произ-
произведем общее варьирование координат д, скоростей q и импульсов р. Тогда
bffl — —-— Sqn - -jp- Sqn + qn Spn + pn Sqn = — -— Sqn + qn 8pn.
Следовательно вариация гамильтониана Н не зависит от вариаций скоро-
скоростей q.
Теперь рассмотрим специальный класс вариаций, которые не наруша-
нарушают выполнимости слабых уравнений
8L
Относительно таких вариаций должно сохраняться и уравнение
приводящее к сильному равенству 6 J4? = 0. Более того ^-уравнения также
должны сохраняться, так что
офт = -^— oqn + -^— орп = (J
oqn орп
1. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ 83
и это единственные *) условия, которые накладываются на вариации 5qn,
5рп. (Любые другие ограничения на вид вариаций Sqn, 5pn будут вклю-
включать в себя также и скорости). Следовательно для общей вариации полу-
получаем выражение
SJ4* = ^ ут дфт
га=1
ИЛИ or /л, г>, Ч
— я— °Яп + Яп ОРп = Vm I -^ ^^п + -^ ^Рп ) •
Приравнивая коэффициенты, находим
qn « г?m ——,
oqn
. ^ dL ^ дфт
Полученные уравнения являются гамильтоновыми уравнениями движения
и могут быть удобно записаны через соотношения СП 2)
Pn ~ Ут\рп,ф
Для любой динамической переменной ? =
i « Vm[?, фт] « [?, Утф
ИЛИ
поскольку
^f7 = утфт.
Коэффициенты г?т содержат зависимость от скоростей.
Уравнения движения динамической системы в общем случае с про-
произвольным лагранжианом не всегда являются совместными. Например
рассмотрим систему с одной степенью свободы, обозначенную координатой
q. Если мы возьмем в качестве лагранжиана L = д, то уравнение движения
d (dL\ _ dL
dt \ dq J dq
приводит к несовместному результату 0 = 1. Следовательно, для совмест-
совместности динамической схемы необходимо наложить некоторые ограничения.
В рассматриваемом случае необходимо выполнение связи
фш ~ 0 для всех ?,
г) Поскольку фт, т = 1, ..., М образуют полный набор.
2) Скобки Пуассона (СП) для любых двух динамических переменных ?, rj определя-
определяются формулой
дрп дрп
84 I. ЛЕКЦИИ
так что •
фт^О, т = 1,...,М.
С учетом вида ранее полученного гамильтониана Ж^ это приводит к со-
соотношению „
Мы полагаем 1), что все соотношения СП между любыми двумя (связя-
(связями) ф обращаются в нуль:
[фт, фт>] «О, га, га' = 1,... , М.
Данные уравнения должны выполняться только как слабые равенства.
При данном предположении коэффициенты vm являются полностью про-
произвольными. Тогда в общее решение уравнений движения входят М про-
произвольных функций.
В дополнение к ^-уравнениям связей из уравнений движения
8L
могут возникнуть дальнейшие соотношения связей между координатами
q и импульсами р, скажем
В обычной схеме динамики уравнения движения служат для того, чтобы
фиксировать ускорения. Если эти ускорения заданы однозначным образом
(через координаты gn, qn) уравнениями движения, то в таком случае не
будет %-уравнений связи. При наличии %-уравнений связи нам потребуют-
потребуются дополнительные условия совместности
Yl Vm[Xk, Фт] ~ 0, к = 1,...,К.
т
Мы полагаем2), что г п
[ХкАгп]« о
и далее
Рассмотрим новый гамильтониан
т к
с новыми произвольными коэффициентами v^. Общее решение уравнений
движения в этом случае будет содержать М + К произвольных функций.
Новые уравнения движения имеют вид
г) Более общий случай, когда некоторые из СП не зануляются, для совместности си-
системы требуется ввести некоторые ограничения на скорости v. Подробности см. в статье
Dime P.A.M. /I Can. J. Math. 1950. V. 2, N 2. P. 129.
2) Смотри предыдущую сноску.
1. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ 85
Все движения, которые допускались предыдущим гамильтонианом также
допускаются и новым. По сути дела предыдущие решения образуют под-
подкласс в классе новых решений, получаемый путем приравнивания нулю
всех коэффициентов v^.
Теперь ф- и %-уравнения связей рассматриваются на равных основа-
основаниях. Назовем их все вместе Жш. Можно записать в таком случае новый
гамильтониан в виде
м+к
1
при этом для всех Жш соотношения СП между ними равны нулю.
Далее мы можем перейти к квантовой теории путем замены слабых
уравнений Жш « 0 уравнениями Шредингера:
«дад = о.
При наличии ^-уравнений связи переход к новому гамильтониану необхо-
необходимо проделать прежде, чем переходить к квантовой теории.
Л. 18. Классическая обобщенная гамильтонова теория
скалярного поля
Для иллюстрации теории, развитой в предыдущих лекциях, рассмот-
рассмотрим пример скалярного поля V(xq, ЖЪ Ж2, #з)- Плотность действия задана
лги dV „ D
где V г = ——, а т является константой. Варьируя интеграл действия
ох ц
I = \ L d4x, d4x = dxo dx\ dx2 dx<$^ B)
получим вариацию
SI = f(V^ SV - m2V SV) d4x = - [ №± + m2v) SV d4x, C)
которая равна нулю, если
Для обозначения точек искривленной трехмерной пространственно-
подобной поверхности введем на ней систему криволинейных координат.
Пусть г?г, г = 1, 2, 3 будут координатами точки на поверхности. Обозначим
через уц координаты в четырехмерном пространстве-времени этой точки
на поверхности. Тогда поверхность будет задана уравнением
для всех и.
86 I. ЛЕКЦИИ
Определим метрику на поверхности r)rs, записывая для линейного эле-
элемента смещения ds на поверхности формулу
ds2 = 7rsdurdus. F)
Поскольку то же самое можно записать в виде
(dsJ = g^ dy^u) dyv{u) = g^y^yt dur dus, G)
имеем
i" = &&№" = vW- (8)
Здесь yr = —^. Метрика r)rs удовлетворяет соотношению (с jrs = кофак-
тор (дуальный сомножитель) 7
lrP7rs = Sps. (9)
Поскольку поверхность является пространственноподобной, квадрат
элемента длины (dsJ —отрицателен, а поэтому и детерминант r)rs должен
быть отрицательным. Полагаем
det|7r5| = -r2, A0)
где Г — вещественное число. Элемент площади поверхности в таком случае
задается формулой
Г du\ du2 du% = Г d3u.
Мы будем также использовать нормаль единичной длины к поверхно-
поверхности 1^ = 1ц(и), для которой выполняются соотношения
1^ = О,
У = 1, /о > 1 { '
Полевые переменные на поверхности задаются формулой V = V(u).
Роль координат q в нашей теории играют Уц(и) и V(u) для всех значений
и. Они будут рассматриваться как функции независимой переменной г,
так что скоростями будут у^^У, где точка сверху обозначает дифферен-
дифференцирование по т.
Действие между двумя соседними поверхностями у^(и)т и Уц(и)т+$т
задается в виде
jgf дт = | Ы^ 5т Г d3u, A2)
откуда
JSf = Lytr d3u=±\ (Vpv» - ш21/2)у/Г d3u, A3)
где мы записали у\ = 1^у^ для производной от у^ вдоль нормали.
В общем случае любой вектор А^ обладает нормальной компонентой
А\ = A^l^1 и тангенциальной компонентой Аг = А^у^г. Тогда нетрудно
заметить, что
A Al Ar A4)
1. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ 87
Теперь
v = v^r = vtyt + vryr, A5)
где
Уг = ГУ^ = Г ^Irs- A6)
Из выражений A4) и A5) получаем
V»=V-VrV*l» + Vry»r A7)
и таким образом V^ выражено только через координаты и скорости. Под-
Подставляя полученные выражения в формулу A3) для j?f, получаем лагран-
лагранжиан в стандартном виде.
Для определения сопряженного импульса мы не можем в этом случае
использовать определение
V» = WJ A8)
поскольку теперь мы имеем бесконечный континуум скоростей и лагран-
лагранжиан ?? является функционалом, заданным на них. В таком случае A8)
может быть записано как
8& = Рп Sqn A9)
для вариаций скоростей общего вида.
Из этого соотношения вытекает следующее определение для импульса,
сопряженного к q в случае континуума (скоростей)
= \pSqd3u B0)
для вариаций скоростей общего вида.
Варьируя только по скоростям, из выражения A3) получим
(VnVmtV) Sy^Fdu. B1)
Из формулы A7) следует выражение
_ , SV - Vi Syi - Vr Syr _ , SV - Vi 5yl
Подставляя его в выражение B1), получаем
SSf = j [Vi(8V - V^ 8Г) + \ (VMV - m2V2)la 8y°} Г d3u. B3)
Однако вариация S^f долж:на приводиться к виду
S^f = Uu SV + wa Sya) d3u, B4)
где и —импульс, сопряженный к V, a wa —то же самое в отношении уа.
I. ЛЕКЦИИ
Сравнивая выражения B3) и B4), получаем
и « V/Г, B5а)
wa и -V/УаГ + i (V^V - ш2У2)ГГ. B56)
Эти переменные удовлетворяют следующим соотношениям СП
[V,u'] = 63(u-u'),
[У»,™'Л = gtivfo{u-u').
Тангенциальная и нормальная составляющие выражения B56) имеют,
соответственно, вид
wr « -ViTVr к -UVr B7)
Щ « -^2Г - \ (Vf + Vr V - m2V2)T «-I7-5 ^^"Г - ^ mV2r-
B8)
Таким образом мы получаем гамильтонианы
Жг = wr + UVr ^0 B9)
^ = г|7/ + I t1^-- VrVrF + m2V2r") . C0)
Поскольку в данном случае отсутствуют %-уравнения связи, это един-
единственные гамильтонианы системы. Соотношения СП для них тривиальны.
Общий гамильтониан будет иметь вид
Щеп = \{угЖг + viJ^i) d3u и 0 C1)
с произвольными коэффициентами v.
Мы можем записать выражение C1) в виде
3u « 0. C2)
Тогда
Уи = [Уп,^еп] = [yu,\v^Jf'»d3u'} «| «;[!,,,, ^'"]rfV. C3)
Допустим теперь, что Ж^ = w^+ нечто независящее от w^, так что
[уи,Ж^} = 8Ч8^и-и'), C4)
и соотношение C3) сводится к
yu = vu. C5)
Следовательно мы можем записать
d3u = f yr^ r d3u + f y/^? d3^, C6)
1. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ 89
где fflr задает изменение в параметризации поверхности, поскольку по-
порождает движения на самой поверхности. <$[ порождает движения точек
поверхности в ортогональном к ней направлении.
Искривленные поверхности оказываются неудобными для использова-
использования в тех случаях, когда требуется выполнить практические вычисле-
вычисления. Они необходимы лишь для того, чтобы получить формально реляти-
релятивистскую теорию. Для практических вычислений возвратимся к плоским
поверхностям с t = const, отвечающим случаю единичного наблюдателя.
Тогда
уг = 0, yi = 1, у о = const (независимой от координат щ) C7)
d3u = yo\{wo + \ (и2 - VrVr + m2V)}
= yo{W + H)^O, C8)
где обозначено
W = [ w0 d3u, H = i [(?i2 - VrVr + m2V2) d3u. C9)
Здесь W —импульс, сопряженный к единственной переменной усь требу-
требуемой для фиксации момента времени, отвечающего плоской поверхности;
Н является обычным выражением для энергии.
Л. 19. Квантовая обобщенная гамильтонова теория
скалярного поля
Теперь обсудим квантование обобщенной гамильтоновой теории для
скалярного поля V. Поскольку мы выясняем свойства вполне определен-
определенной динамической системы, ограничим себя лишь плоскими поверхностя-
поверхностями, что приведет к существенным упрощениям. Динамические переменные
V(u), U(и) формируют бесконечные множества значений, по одному для
каждой точки и. В классической теории они связываются между собой
соотношениями СП, которые заменяются квантовыми соотношениями СП
(коммутаторами) в квантованной теории.
Рассмотрим вопрос о представлениях. Поскольку все переменные V
при различных значениях и коммутируют между собой, мы можем взять
волновую функцию ф в виде
Такая функция от бесконечного числа переменных называется функци-
функционалом; следовательно представление будет через функционалы. Однако
такого рода представления приводят к существенным математическим
трудностям и бесполезны с физической точки зрения, поскольку обычно
мы не наблюдаем переменные V.
Поэтому будем следовать иному подходу и разложим поле в произволь-
произвольный момент времени на его 3-мерные фурье-компоненты, каждая из кото-
90 I. ЛЕКЦИИ
рых представляет собой гармонический осциллятор. Для этой цели введем
3-мерный вектор к (с компонентами fci, &2, &з) Для точного определения
фурье-компонент в трех измерениях. В общем случае фурье-компоненты
6с будут комплексными. В обозначениях
к • и = kiui + k2U2 +
фурье-разложение задается в виде
V(u) = J{^ke-<ku + fkeiku} d3k = J(& + Ik)e-<ku d3k.
Из последнего равенства легко заметить, что_данное разложение не явля-
является единственным и фиксирует лишь (?k + ?_к)-
Чтобы сделать разложение единственным, нам потребуется другое
уравнение, которое будет приведено ниже.
Продолжим следующим образом: дифференцируя поле V, получим
диг
так что
Учитывая, что
получаем
J диг диг
Аналогичным образом
m2V2d3
Предположим, что
U(и) = г \{к2 + т2) 2 (fk - ^_k)e"iku d3k.
Данное уравнение единственным образом фиксирует (?k — <^_k), а сов-
совместно с вышеприведенным разложением V(u) фиксирует единственным
образом и ^к-
Для переменной U в приведенном выше виде получим
U2 d3u = -8тг3
Следовательно гамильтониан приобретает вид
н= 1 Мтт2 , dV 8V
\ \{и+? ?
1. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ 91
Подставляя фурье-разложения, получаем следующие равенства
„1 _
Далее, поскольку переменные U и V сопряжены друг с другом, они удо-
удовлетворяют следующим соотношениям СП
[V, V] = О, [U, V] = О,
[V,U'] = S3{u-u'),
где, как и ранее, под V понимается V{u') и т.д. Используя указанные
соотношения вместе с обратными фурье-преобразованиями, получаем
64тг° (к« + тУЧ Г ' J 8тг3
Эти соотношения эквивалентны перестановочным соотношениям
IV ? А П
и
Заменяя — к7 на кг, последний коммутатор можно переписать в виде
Перестановочные соотношения, которым подчиняются фурье-компо-
фурье-компоненты ?, оказываются такими же (с точностью до множителей), как и соот-
соотношения, которым подчиняются переменные, представляющие множество
гармонических осцилляторов в представлении Фока. В данном представ-
представлении для каждого осциллятора мы имеем переменную г}г и комплексно
сопряженную к ней переменную 7?г, которые удовлетворяют соотношениям
VrVs ~ VsVr = О,
Стандартный кет-вектор \s) выбирается для описания нормального состо-
состояния каждого из осцилляторов
Vr\s) = 0.
92 I. ЛЕКЦИИ
Любой кет-вектор \Р) может быть записан в виде ряда по степеням
умноженного на стандартный кет-вектор
Множество осцилляторов эквивалентно ансамблю бозонов, когда каж-
каждый осциллятор ставится в соответствие одному из состояний бозонов.
Чтобы завершить идентификацию, допустим, что состояния бозонов обо-
обозначены как аа, а^, ас, ... и приравняем кет-вектор
симметризованному кет-вектору
р
с точностью до нормировочного множителя, где ni, П2, пз, ••• указывают
число бозонов в состояниях ai, «2, с^з, •••, соответственно. Мы можем
записать равенство, включающее и нормировочный множитель, в виде
поскольку квадрат длины каждой из сторон равен теперь ni!, П2!, ...
Это говорит о том, что осцилляторы и бозоны являются просто двумя
способами рассмотрения одних и тех же проблем.
В рассматриваемом случае у нас имеется бесконечное число осцилля-
осцилляторов, по одному для каждого из значений вектора к. Если обозначить
фоковские переменные через т/ь то мы должны получить
= О
- к1)
в силу естественного обобщения на случай непрерывного бесконечного
множества осцилляторов. Обратите внимание на то, что символ Кронеке-
ра 8rsi отвечающий дискретному случаю, заменяется на дельта-функцию
& — к1). Теперь мы должны положить
В данном случае разложение общего кет-вектора в ряд по степеням
операторов ту, действующих на стандартный кет-вектор, заменяется на
разложение вида
\Р) = Uo+ [ckT/kd3k+ f [ckk/T7kT/k/d3k^3kr + ...||5},
где каждый член степенного ряда заменяется (кратным) интегралом
в k-пространстве. Коэффициент при векторе \s) теперь представляет собой
функционал от переменных т/к. Для интерпретации данного функционала
1. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ 93
заметим, что первый член (разложения) отвечает ситуации, когда нет
ни одного бозона. Относительно второго члена разложения заметим, что
?7k|s} является ненормируемым кет-вектором (бесконечной длины); однако
величина
2
задает вероятность того, что один бозон будет находиться в состоянии, ха-
характеризуемым вектором к, принадлежащим элементу объема dk\ dk% dk%
в к-пространстве. Подобным образом третий член соответствует тому, что
имеются два бозона и т. д.
Порядок сомножителей ?k?k в гамильтониане Н в квантовой теории
должен быть выбран таким образом, чтобы избежать появления вклада
энергии нулевых колебаний. Для этого требуется, чтобы множители ?
всегда находились справа от ?. Поскольку ?k?kls) — О? В таком случае
получаем H\s) = 0.
Для некоммутирующих переменных U и V получаем
2 J V диг диг ) у '2
как это нетрудно увидеть из соображений симметрии. Однако
^ ^
2 2
Следовательно это приводит к бесконечной энергии нулевых колебаний.
Таким образом гамильтониан, т. е.
1
2
®Х_ ®У_ _|_ га2! d3u
диг диг \ '
является неподходящим для квантовой теории. Не очень удобно пытаться
вычесть члены, задающие энергию нулевых колебаний, не обращаясь к
фурье-компонентам. Поскольку в любом случае фурье-компоненты нам
нужны для получения подходящей физической интерпретации, то смею
надеяться, что дальнейшие усложнения нам не потребуются.
Л.20. Квантовая обобщенная гамильтонова теория системы
фермионов. Классическая обобщенная гамильтонова теория
свободного электромагнитного поля
В предыдущей лекции было показано, что совокупность бозонов можно
представить как систему гармонических осцилляторов, и было найдено
подходящее представление для ее описания. Теперь мы введем соответ-
соответствующее представление для совокупности фермионов.
Прежде всего убедимся в том, что не может существовать более одного
фермиона в одном и том же состоянии. Пусть r}a, rja будут соответственно
операторами рождения и уничтожения некоторого фермиона в состоянии а
и рассмотрим прежде всего дискретные состояния. В таком случае должны
94 I. ЛЕКЦИИ
выполняться соотношения
rfc = 0 Aа)
ta = 0 A6)
выражающие недопустимость наличия двух частиц в одном и том же со-
состоянии.
Обозначим через \S) стандартный кет-вектор, представляющий состо-
состояние, в котором нет никаких частиц. Тогда
Va\S) = 0 B)
в то время как rja\S) является кет-вектором, представляющим состояние
с одной частицей в состоянии а. При подходящей нормировке векторов туа,
г]п будем иметь
UaVa\S) = |S). C)
Из соотношений C) и B) получаем
VaVaVa\S) =Va\S), Da)
VaVa\S)=0- D6)
Таким образом применение произведения операторов rjaTja к кет-вектору
с единственной частицей в состоянии а эквивалентно умножению его на 1,
а к кет-вектору, не содержащему ни одной частицы в состоянии а, экви-
эквивалентно умножению его на 0. Это утверждение остается справедливым
и в том случае, когда имеются частицы в других состояниях. Мы можем
поэтому положить, что
VaVa = па, E)
где па указывает число частиц в состоянии а.
Аналогичным образом из соотношений
rjar,a\S) = \S), Fa)
VaVaVa\S) = 0 F6)
ВИДИМ, ЧТО
VaVa = l-na. G)
Тогда из формул E) и G) следует, что
VaVa + VaVa = l. (8)
Изучим теперь коммутационные соотношения операторов г/, rj для раз-
разных состояний а, Ь. Общий кет-вектор, описывающий фермионы в состоя-
состояниях а, 6, с, ... (отличных друг от друга), может быть представлен в виде
"\S)' (9)
То же самое можно представить также с помощью волновой функции
ip(aa, ab-> aa • • •)? гДе величины а являются динамическими переменными,
принимающими определенные значения для заданного состояния фермио-
на. Данная волновая функция может быть приравнена к выражению (9).
1. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ 95
Поскольку функция ф является антисимметричной в отношении вели-
величин а, потребуем, чтобы операторы г\ антикоммутировали между собой:
VaVb + VbVa = 0. A0)
Поскольку па является наблюдаемой, не зависящей от операторов щ,
rjb, то для состояний 6, отличных от а, следует считать справедливыми
соотношения
Г]ЬПа = ПаГ]Ь, афЪ. A1)
Следовательно верно и
VbVa = -VaVb, афЪ. A2)
Таким образом перестановочные соотношения операторов r\, fj имеют вид
VaVb + VbVa = 0, A3)
VaVb + VbVa = Sab- A3a)
Из последней формулы следует, что
VaVa = па, A36)
г]аг]а = 1-па. A3в)
Они очень похожи на перестановочные соотношения для бозонных опера-
операторов
VaVb - VbVa = 0,
VaVb ~ VbVa = $ab,
VaVa = na,
VbVa = 1 + Па.
В обоих случаях кет-вектор общего вида \Р) может быть представлен
в виде
\Р) = (ряд по степеням r)a)\S). A4)
В случае фермионов степенной ряд не должен включать степеней больших
единицы по любому из операторов т\а.
Указанный формализм может быть немедленно обобщен на случай
непрерывной области значений переменной а посредством замены символа
Кронекера даь на дельта-функцию д(а — Ь).
В соответствии с теорией, развитой в предыдущих лекциях, рассмот-
рассмотрим теперь электромагнитное поле без учета взаимодействия с частицами.
Данный пример демонстрирует некоторые новые свойства метода, воз-
возникающие вследствие возможных калибровочных преобразований. Для
простоты будем рассматривать плоские поверхности. Однако это рассмот-
рассмотрение может быть распространено и на общий случай искривленных по-
поверхностей достаточно очевидным образом.
Нам понадобится плотность действия j?? и принцип действия в виде
= 0. A5)
96 I. ЛЕКЦИИ
Предположим, что плотность ?? является функцией полевой характери-
характеристики К и ее первых производных К^ = -—. Тогда условие A5) означает
откуда следует
)
\т*) =0-
Это и есть полевые уравнения.
Для нашего сегодняшнего примера выберем
Х = -\ FpVF*v, A7)
где F^v является 6-вектором, задающим поле, который выражается через
потенциалы А^ в виде
д А дА
дх^ дхи
Принимая К равным Л0", видим, что полевые уравнения A6) теперь будут
иметь вид
или 1
\
ИЛИ
F^" = 0. A9)
Это в точности уравнения поля Максвелла, так что наш выбор выражения
для плотности действия является правильным.
Теперь нам следует получить лагранжиан и с помощью стандартных
методов перейти к гамильтонову формализму. Определим наши плоские
поверхности уравнением уо = const и введем независимую переменную г,
отличную от уо- Лагранжиан L определяется из условия, что
L 5т = количеству действия, требуемого для перехода с поверхности
уо(т) на поверхность уо(т + 5т).
Вводя декартовы координаты и\, U2, Щ на поверхности, получаем
= -\ yo\(FrsFrs + 2Fr0Fr0) d3u, B0)
где индексы г, s пробегают значения 1, 2, 3. Теперь
F А
дхг дхо уо '
где точкой обозначено дифференцирование по переменной г. Подставляя
B1) в выражение B0), находим, что
|1)(^)}Л B2)
1. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ 97
является функцией координат и скоростей, причем однородной функцией
первой степени по скоростям.
Для введения импульсов мы варьируем скорости и собираем коэффи-
коэффициенты при скоростях в выражении для вариации SL. Получаем, что
*u. B3)
Пусть W обозначает импульс, сопряженный координате уо, а В^ — им-
импульс, сопряженный т4^, тогда
SL = W 5уо + [ Бм 5A» d3u. B4)
Сравнивая выражения B3) и B4), получаем
Br « Fr>0 B5а)
Бо « 0 B56)
B5в)
Для этих сопряженных переменных имеем соотношения СП
[у0, W] = а, B6а)
B66)
Соотношения СП между любыми другими парами переменных равны нулю.
Из соотношений B5) теперь выделим уравнения, включающие лишь
координаты и импульсы. Они будут искомыми (^-уравнениями. Уравне-
Уравнение B56) само по себе является (^-уравнением. Скорости, возникающие
в уравнении B5в), исключаются, если использовать уравнение B5а) и
соотношение -
О- = Ar0 = FOr + AOr = -Br + AOr.
Уо
В результате получаем
W « -| {1 FrsFrs + \ ВГВГ + Вг(АОг - Бг)} dsu.
Следовательно
W + | {i FrsFrs - 1 Бг?г - Л°Б/} d3« « 0, B7)
где при получении последнего члена мы воспользовались интегрированием
по частям. Легко проверяется, что соотношения СП для этих ф обраща-
обращаются в нуль.
Наш общий гамильтониан будет в таком случае линейной функцией
соотношений B5Ь) и B7) с произвольными коэффициентами:
^gen = v \w + | {i FrsFrs - \ BrBr - Л0Б;} d3u\ + | XB0 d\, B8)
где v и Л = X(u) являются произвольными коэффициентами.
4 П.Дирак. TIV
I. ЛЕКЦИИ
Используя соотношения B6), получим уравнение
УО = [yO,Jf?gen] « V,
которым определяется значение коэффициента v. Для отыскания смысла
коэффициента Л наложим условие v = О, означающее, что поверхность не
движется. Однако динамические переменные могут, тем не менее, изме-
изменяться. Отсюда имеем
% В'о] d3u'. B9)
Данное уравнение показывает, что единственной изменяющейся динами-
динамической переменной будет Aq и при этом
io = А. C0)
Таким образом коэффициент при Bq в выражении B8) задает быстроту
изменения переменной Aq.
Гамильтониан B8) в данном случае не является наиболее общим, по-
поскольку теперь мы также имеем %-уравнения. Полагая а = 0 в полевых
уравнениях A9), получим
Fr 0,
так что, используя соотношение B5а), приходим к
В/ и 0. C1)
Это и есть %-уравнение. Как легко можно проверить, данная %-связь имеет
нулевые соотношения СП со всеми ^-связями. Принимая это во внимание,
получим новый гамильтониан
| KB/ d3u, C2)
где К = К (и) является произвольной функцией.
Новый гамильтониан допускает более общие уравнения движения, чем
предыдущий. Для выяснения природы данной общности положим
у0 = о, А = 0.
Тогда .
\''3 C3)
где штрих над верхним индексом г означает, что он относится к пере-
переменной ufr, по которой идет дифференцирование. Это показывает, что
единственной динамической переменной, изменяющейся в данном случае,
будет As. В результате
[As, В'/] = [A», B'r]r' = 8rs[Ss(u - u')\r> = -[63(и - u')}s>. C4)
Из уравнений C3) и C4) теперь получаем
C5)
ous
что является калибровочным преобразованием.
1. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ 99
Калибровочное преобразование в общем случае таково:
Если мы считаем его примененным в некоторый конкретный момент вре-
времени, то при этом его можно рассматривать как составленное из двух
частей о о
и я„
АГ^АГ + ^, (В)
0 X <р
dS o
поскольку —— и о являются произвольными в один и тот же момент
времени. Калибровочное преобразование (А) уже произведено с помощью
члена в Нргелп содержащего Л, в то время как за преобразование (В)
отвечает член, содержащий К в Hnew. По этой причине гамильтониан
C2) является более физическим, поскольку он автоматически допускает
все калибровочные преобразования, относительно которых теория элек-
электромагнитного поля должна быть инвариантной.
JI.21. Квантовая обобщенная гамильтонова теория свободного
электромагнитного поля. Классическая обобщенная
гамильтонова теория электромагнитного поля,
взаимодействующего с электронами
Новый гамильтониан свободного электромагнитного поля может быть
записан в виде
+ Г Q FrsFrs - i BrBr^j d3u + A f Bo d3u + f KBrr d3u\
0.
Здесь мы перенесли слагаемое — A$Brr из первого интеграла в последний
интеграл, что допустимо, поскольку функция К произвольна.
Переменная Aq теперь из гамильтониана исчезла. Далее, переменная
Bq появляется в гамильтониане только в члене J \Bod3u, влияние кото-
которого на уравнения движения заключается в основном лишь в том, что
позволяет переменной Aq изменяться произвольным образом. Мы также
знаем, что
Bq « 0.
Следовательно мы можем исключить пару сопряженных динамических
переменных Aq, Bq из нашего рассмотрения.
Полученная таким образом теория продолжает оставаться калибровоч-
но-инвариантной, поскольку преобразования
допустимы для функций S общего вида. Для фиксированного момента
100 I. ЛЕКЦИИ
времени S и —— являются независимыми функциями от х\, Ж2, #з- Первая
ОХо
из них задает калибровочное преобразование
дхг
которое производится членом J КBrr d3u гамильтониана J^new ПРИ К = S.
Вторая функция задает калибровочное преобразование
дх0'
которое в основном говорит лишь о том, что переменная Aq может изме-
изменяться произвольным образом, так что Aq физически несущественна.
Гамильтонианы, которые равны нулю в слабом смысле в классической
теории, заменяются волновыми уравнениями в квантовой теории:
[W + [ (\ FrsFrs - - BrBr) d3u\ Ф = О,
I J \4 2 / J
В/Ф = 0.
Первое из этих уравнений —это уравнение Шредингера, а второе в об-
общепринятой терминологии является «дополнительным условием». Однако
в рассматриваемой теории оба соотношения рассматриваются на равных
основаниях.
Для получения подходящего представления рассмотрим фурье-компо-
ненты:
Л/ ч Г с л 4(\г\*\ —7" -jYLr.n^ "I ,Q , [ел —Т -л ^(Хс.ллЛ »Ч »
I it I — \ г Л 1 р> *л ) _|_ Л , ?>t\Pk- и/ L И к — i-i Л 1 —I- Л i vp> ^v и/ W Jh
nr* \ Lib J I ] l\- I* or* ^ I -^*- г? Т* I ^^ I I '^^ n T* I '^^ n T* \ ^^
Br{u) = -i \ \k\{Akr - Л_^г}е~^к'и^ d3k.
Данные разложения аналогичны тем, которые мы применяли в случае
скалярного поля и подобным же образом получаем
где знак минус в правой части соотношения выбран так, чтобы соответ-
соответствовать ранее принятому определению grs.
Если мы возьмем кг в направлении оси жз, то компонента Ак% будет
задавать продольную, а компоненты Aki, Ak2 —поперечную составляю-
составляющие поля. В общем случае величины вида кгАкг/\к\ задают продольную
компоненту, а для поперечной компоненты отсутствует подходящее обозна-
обозначение. Поэтому мы введем новое обозначение для нее Akt, где t принимает
два значения 1 и 2.
Итак мы знаем, что
Brr = -j\k\(Akr-Akr)e-ik-ud3k
Тогда из условия
BJ «0
1. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ 101
получаем
кг(Акг- А_кг) «0.
Следовательно «дополнительные условия» имеют отношение только к про-
продольным компонентам и не затрагивают поперечные компоненты.
Теперь возьмем стандартный кет-вектор |5), соответствующий состоя-
состоянию, в котором отсутствуют фотоны. В таком случае для кет-вектора \S)
выполняются соотношения
kr(Akr-A_kr)\S) = 0,
Akt\S) = 0, 4 = 1,2.
Первое из этих соотношений связано с дополнительным условием, которо-
которому должны удовлетворять любые физические состояния, а второе является
явным выражением требования, чтобы в состоянии, представляемом кет-
вектором |5), не присутствовало никаких фотонов.
Общий кет-вектор \Р) системы может быть представлен в виде
и, чтобы описывать физическое состояние, он должен удовлетворять тре-
требованию , „ , А — Ч т , ^v
kr{Akr-A_krL\S)=0.
Из данного соотношения, взятого в совокупности с соотношениями, кото-
которым удовлетворяет стандартный кет-вектор \S), вытекает, что
[kr(Akr-A_kr),V]\S) = 0.
Данное условие оказывается выполненным, если в качестве Ф выбрать
функцию от поперечных фурье-компонент, независимую от продольных.
Отсюда
\Р) = ряд по степеням Akt\b).
Для получения правильного гамильтониана в квантовой теории следу-
следует выразить переменные В и Frs через фурье-компоненты (эти выражения
будут содержать только поперечные компоненты) и упорядочить сомно-
сомножители так, чтобы не появлялось вкладов энергий нулевых колебаний.
Все это проделывается без проблем и в результате получается квантовая
теория электромагнитного поля в отсутствие электронов.
Для создания теории электромагнитного поля, в которой присутствуют
электроны, начнем с новой плотности действия
а = фа^ф» + еА^ф) + тфатф - i F^
где ф является новой полевой переменной х) с 4-мя компонентами;
а^ являются 4 х 4-матрицами, возникающими в релятивистской теории
г) В данном разделе ф будет обозначать 4-х компонентную полевую характеристику
(спинорную волновую функцию электрона) и ее не следует путать с функцией Ф,
использовавшейся в предыдущем разделе и здесь выше.
102 I. ЛЕКЦИИ
электрона*) (матрицы Дирака) с элементами ос^аЪ- В соответствии
с нашими общими обозначениями
а, например, фа^ф^ означает фацъ
Матрицы а^ обладают следующими свойствами:
ао = 1; «1, «2? <^з? ат антикоммутируют.
Квадраты всех матриц а равны единице и все эти матрицы эрмитовы.
Можно заметить, что плотность действия не является вещественной
функцией:
+ еА^фа^ф + тфатф - \
Таким образом
так что
В результате чисто мнимая часть не дает никакого вклада в интеграл
действия. Мы можем, конечно, вместо этого работать с вещественной
частью плотности действия - (j?f + j?f), однако более удобно работать
непосредственно с самой ??.
Если к является некоторой полевой характеристикой, которая вме-
вместе со своими первыми производными появляется в качестве аргументов
в плотности действия, то из принципа действия
следуют полевые уравнения
д&_ _ / &if Vх _ q
дк \д^)
В рассматриваемом случае, поскольку вещественная и мнимая части функ-
функции фа являются независимыми, то и вариации фа и фа можно рассмат-
рассматривать как независимые. Возьмем
Соответствующее полевое уравнение
{а^(гф^ + еА^ф) + татф}а « О
является обычным уравнением для электронов, взаимодействующих в ре-
релятивистской формулировке с электромагнитным полем (при К = 1). Дру-
Другой выбор
К= фа
г) Заметьте, что все а являются постоянными матрицами, а не полевыми величинами.
1. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ 103
приводит к полевому уравнению
-{(фа^ + (еА^фа^ + тфат)а и 0,
которое является комплексно сопряженным к предыдущему.
Наконец возьмем
х = А*,
получая _
ефа^ф + F^vv « 0.
Данные уравнения можно интерпретировать как уравнения Максвелла
F v — i
где jp — это плотность четырехмерного заряда-тока, в силу чего можно
считать, что
jfi = -ефа^ф.
Это и есть плотность четырехмерного заряда-тока в релятивистской тео-
теории электрона.
В результате мы только что убедились в том, что при данном выборе
плотности действия, в соответствии с принципом действия появляются
правильные полевые уравнения. Перейдем теперь к обобщенному гамиль-
тонову формализму. Положим
L = LE + LF,
где индекс F относится к членам, происходящим из выражения
— т F^yF^', а индекс Е к дополнительной части плотности (связанной
с присутствием электронов). Тогда
LE = уо \ ^Е d3u = \ фф d3u + уо {(фа^ф" + феА^а^ф + фатф) d3u.
Введем следующие величины:
Вц сопряженные с А^\
Ха сопряженные с ф_а\
Ха сопряженные с фа;
W сопряженную с у$.
В таком случае они удовлетворяют следующим соотношениям СП:
f
[Фа,х'ь\ = ба
[ФалХъ] = ба
[W,yo] = l,
а все другие СП обращаются в нуль. Для вариации лагранжиана получаем
SL = W дуо + [{В^ дА^ + Ха Sipa + Хь &1>ъ} d*u-
104 I. ЛЕКЦИИ
Вычисляя вариацию лагранжиана, приведенного выше, и сравнивая ко-
коэффициенты при элементарных вариациях, получаем следующие слабые
уравнения:
Ха ~ гфсп
Ха ~°>
W « N феАоф + фаг{гфг + еАгф) + тфатф —
2
-\ FrsFrs + \ ВГВГ
Из этих уравнений выводим уравнения (/>-связей
Ха ~ 0.
Однако соотношения СП этих (/>-связей не обращаются в нуль
[Ха-гфа^Ха] Ф °«
Следовательно предположение о тривиальности соотношений СП между
всеми (/>-связями в общей теории оказывается уже не справедливым и
следует применить некоторую другую технику 1).
В нашем случае такая модификация может быть проделана удиви-
удивительно просто. Для иллюстрации метода рассмотрим случай, в котором
(^-уравнения связей имеют вид
Pi- Q2~ 0, Р2 « 0.
Мы можем для исключения из теории переменных #2, V2 использовать
равенства р2 = 0, #2 = Pi в качестве сильных уравнений. Соотношения СП
теперь будут определяться следующим образом 2)
' И ?, \дЯп дрп дрп дЯп)
ф2
) О том как проводить рассмотрение в общем случае, см. Dirac P.A.M. // Can. J.
Math. 1950. V. 2, N 2. P. 129.
2) Могут быть сделаны следующие примечания: 1) Данное определение является
инвариантным по отношению к каноническим преобразованиям при условии, что они не
содержат переменных р2, #2- Это не является существенным ограничением, поскольку
Р2, #2 больше не возникают в теории. 2) Если мы возвращаемся от полученного таким
образом гамильтониана к лагранжиану, то получаемый в таком случае лагранжиан не
обязан быть идентичным тому, с которого мы начинали. Однако он будет эквивалентен
исходному лагранжиану в том смысле, что будет давать те же самые уравнения дви-
движения. (Мы уже видели выше такой случай, когда две разные плотности действия Jzf
и - (Jzf + Jzf) приводили к одним и тем же уравнениям поля.)
1. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ 105
С помощью этого метода мы исключаем степени свободы ф, % и рабо-
работаем далее только с переменными ф. Х-
Однако вместо этого мы могли бы работать только v с переменными
ф, ф, заменяя х на i^. В этом случае переменная ф с подходящим коэф-
коэффициентом является сопряженной к ф, а перестановочные соотношения
принимают вид
[фа, ф'ь] = -iSabSs(u - и').
Общий гамильтониан равен
Последний член в этом выражении порождает изменения в Aq без каких
либо изменений поверхности.
Из полевого уравнения
ефа^ф + FVixv « 0
при /i = 0 получаем _
ефф + Я? « 0,
где принято во внимание соотношение
в;« fvOv.
Теперь мы должны перейти к новому гамильтониану
ВГГ) dSU.
Данный гамильтониан допускает изменения в калибровке вида
Аг -»¦ Аг + |^
дхг
с соответствующими изменениями переменной ф. Эти изменения добав-
добавляются к тем, которые допускались предыдущим гамильтонианом, где
изменялась только переменная Ло-
В гамильтониане Hnew членами, включающими А$, являются
Эти члены могут быть включены в выражение J к{ефф + В^) d3u путем
различного выбора к. В этом случае Aq исчезает из Ж. Далее, переменная
Вq появляется лишь в члене J XBq d3u, единственный эффект от которого
в уравнениях движения состоит в том, чтобы задавать произвольные из-
изменения в переменной Aq. Таким образом степени свободы Aq и Bq могут
быть опущены точно так же, как и в теории без электронов.
г) Это ни в коей мере не означает возвратного введения степени свободы ф, а всего
лишь является удобной заменой обозначений.
106 I. ЛЕКЦИИ
Л.22. Квантовая обобщенная гамильтонова теория
электромагнитного поля, взаимодействующего
с электронами и позитронами
В предыдущей лекции мы нашли, что гамильтониан для поля электро-
электрона, взаимодействующего с электромагнитным полем, имеет вид
Ж = yo(W + Н) \ к(фф + BrBr) d3u, A)
где
Я = [ {-~фаг{гфг + еЛгф) - фтатф + ± FrsFrs - ± BrBr\ d3u. B)
Роль первого члена в выражении A) состоит в том, чтобы продвигать
поверхность вперед во времени, а второго — в том, чтобы допускать калиб-
калибровочные преобразования.
Чтобы проквантовать теорию, полевые величины следует рассматри-
рассматривать как операторы, а полевые характеристики электрона должны при
этом удовлетворять антиперестановочным соотношениям. Классические
поля ф удовлетворяют соотношениям СП
[фа, фъ] = -г5аи5з{и - и'). C)
В квантовой теории все это заменяется на
' $аЬ63(и-и'), D)
где [?, г)] = ?г) + г]?. Перестановочные соотношения для электромагнитных
потенциалов такие же, как и прежде.
Теперь волновая функция Ф удовлетворяет уравнениям
E)
+ в;)ф = о. F)
Уравнение F) не содержит вариаций по отношению к времени и может
рассматриваться как дополнительное условие.
Для получения (импульсного) представления разложим поля ф, Аг на
фурье-компоненты. Для полей Аг это разложение такое же, как и прежде.
Для получения фурье-разложения поля ф введем 3-вектор р = (р1,Р25Рз)-
Определим
ро = Vm2 + р2 . G)
Тогда для каждого р будут иметь место по две фурье-компоненты функ-
функции фа (для каждого а), отвечающие состояниям с положительной и от-
отрицательной энергиями. Обозначим их как фар+. Фар--, а — 1> 2, 3,4. Тогда
формула
\ 3 (8)
1. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ 107
определяет компоненты (фр+ + фр-)- Чтобы сделать данное разложение
единственным, потребуем, чтобы выполнялись условия
(ро + агрг + атт)фр+ = 0, (9)
(-ро + OLrpr + атт)фр- = 0. A0)
Из условий (9) и A0) получаем
Г*+*"") ^+ + vP-), (и)
Vp+ + ФР-), A2)
что нетрудно проверить.
По формуле D) мы можем вывести антикоммутационные соотношения
для фр+, фр-, из которых получаем для них физическую интерпретацию
как операторов испускания и поглощения. Вместе с закрепленными за
ними подходящими числовыми коэффициентами
фр+ является оператором рождения электрона;
фр+ является оператором уничтожения электрона;
фр- является оператором уничтожения позитрона;
фр_ является оператором рождения позитрона.
Теперь введем стандартный кет-вектор |5), который соответствует со-
состоянию, в котором нет ни электронов, ни позитронов, ни фотонов, т. е.
состоянию, в котором нет фотонов и электронов в состояниях с поло-
положительной энергией и в котором заполнены все электронные состояния
с отрицательной энергией. Тогда
A3)
= 0.
Любые другие состояния теперь могут быть представлены в виде
(ряд по степеням операторов рождения)!S) = F\S) A4)
Данный степенной ряд должен, конечно, быть антисимметричным по элек-
трон-позитронным операторам.
Любой физический кет-вектор \Р) должен удовлетворять уравнениям
E) и F). Последнее из уравнений записывается в виде
^ + BrBr)F\S) = 0. A5)
Из соотношений A3) и A4) замечаем, что уравнение A5) выполнено, если
[(фф + ВгВг),Г] = 0. A6)
Это условие является ограничением на данный степенной ряд. Так что нам
следует найти такие переменные, которые коммутируют с выражением
(фф + ВГВГ), и построить наш ряд по степеням из них.
108 I. ЛЕКЦИИ
Зададим величину ? так, чтобы она была калибровочно инвариантной
при выполнении условия
[?,п?ф' + В'/)] = 0. A7)
Тогда величины Br, Frs являются калибровочно инвариантными. Теперь
мы хотим отыскать калибровочно инвариантные функции от ф.
Рассмотрим выражение
в котором Cr(u,uf) являются числами. Мы получим, что
= е'1~{-1е6аЬ53(и - и")ф'1 + фа11 Сг(и, и'N3г" (и' - и") dVJ =
= e'J -фа[-ге63(и - и") + г—r^J, J j. A9)
Отсюда следует, что выражение A8) является калибровочно инвари-
инвариантным, если
-u") = dCfuf\ B0)
т.е. если дивергенция Сг(и,и!) относительно переменных и' обращается
в нуль всюду за исключением точки и = и\ где она становится бесконечно
большой, соответствуя таким образом функции источника с интенсивно-
интенсивностью е. В таком случае комплексно сопряженное выражение к A8) также
является калибровочно инвариантным.
Таким образом обнаруживаем, что если мы используем только калиб-
калибровочно инвариантные величины, то в силу наличия экспоненциального
сомножителя в выражении A8) электрон может появляться (в теории)
только вместе с некоторым электромагнитным полем. Это поле является
кулоновым полем электрона. Таким образом излагаемая теория является
более физичной, так как электрон в ней всегда сопровождается своим
кулоновым полем и «голые» электроны никогда не встречаются.
Уравнение B0) не определяет величины Сг однозначным образом,
поскольку с его помощью фиксируются лишь дивергенции этих величин.
Данный произвол отвечает имеющейся возможности добавления попереч-
поперечных волн к кулонову полю электрона.
Если выражение F построено из калибровочно инвариантных величин,
то уравнение
{W + H)F\S) = 0 B1)
остается единственным уравнением, которое нужно решить. Обычно это
проделывается путем разложения волновой функции по степеням е (вы-
(выбираемой в качестве безразмерной константы разложения, поскольку
1. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ 109
Данное рассмотрение отличается от обычного, которое проводилось
Ферми, поскольку в нашем случае по другому рассматриваются продоль-
продольные волны. Решение уравнения B1) методом разложения в ряд приводит
к бесконечным интегралам для высших порядков. То, каким путем появ-
появляются эти расходящиеся интегралы, позволяет извлечь из них конечные
результаты недвусмысленным образом по методу перенормировок.
Основная идея метода перенормировок состоит в следующем. Парамет-
Параметры га, е, которые фигурируют в уравнениях, могут оказаться отличными
от физически наблюдаемых массы и заряда электрона. В силу взаимодей-
взаимодействия между двумя полями в их значения могут быть внесены некоторые
поправки, такие, что наблюдаемая масса и заряд будут равны га + 5т и
е + #е, соответственно. Поэтому параметры га, е в уравнениях заменяются
на га — Eга, е — ?е, сохраняя таким образом символы га, е для наблюдае-
наблюдаемых массы и заряда. В таком случае оказывается, что все бесконечности
можно собрать в ?е, 5т. Это удовлетворительно с практической точки
зрения. Однако этот метод не является логически последовательным, по-
поскольку величины 5е и 5т являются бесконечными. Более того, несмотря
на то что каждый член разложения в ряд может быть по этому методу
сделан конечным, имеются указания на то, что сам ряд в целом является
расходящимся.
Возможно, что источником указанной трудности является то, что мы
используем неправильный гамильтониан. Отсутствуют убедительные ар-
аргументы в пользу данного выбора и поэтому стоит потратить время, пыта-
пытаясь найти более подходящий. В рассматриваемой теории можно придать
смысл электрону без кулонова поля. Величина ф сама по себе относится
именно к такому электрону. Возможно, что в правильной теории будет
невозможным представить себе электрон без сопровождающего его куло-
кулонова поля.
Одна из возможностей в данном направлении заключается в том, чтобы
рассматривать электрон (на классическом уровне) как конец уединенной
силовой линии Фарадея. Электрическое поле в такой картине построено из
дискретных силовых линий Фарад ея, которые должны рассматриваться
как физические сущности, подобные струнам. Затем следует развить ди-
динамику такой струноподобной структуры и проквантовать ее. Отсутствие
сферической симметрии в такой классической модели электрона устраня-
устраняется квантованием.
В такой теории голый электрон будет невообразимым, поскольку невоз-
невозможно представить себе конец кусочка струны, не имея струны как
таковой.
2. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Новая книга выдающегося физика нашего времени иностранного члена АН
СССР П.A.M. Дирака основана на его лекциях, прочитанных в Университете
штата Флорида, и предназначена для читателя, начинающего изучать общую
теорию относительности Эйнштейна. Отличительной чертой этой книги являет-
является компактность и изящность изложения. В последнее время появилось много
монографий по общей теории относительности, включающих наряду с фунда-
фундаментальными вопросами теории ее многочисленные приложения в астрофизике
и космологии. На этом фоне книгу П.A.M. Дирака можно назвать «математиче-
«математическим минимумом» в области общей теории относительности.
Изложение ведется в рамках традиционной геометрической идеологии, осно-
основывающей обсуждение эйнштейновой теории гравитации на римановой геомет-
геометрии. Прочитав эту книгу, читатель без труда разберется в приложениях теории.
Методы получения некоторых классических результатов являются ориги-
оригинальными. В частности, в самом общем виде получены уравнения движения
непрерывно распределенных источников внешних полей как следствие уравнений
Эйнштейна и уравнений соответствующих полей.
Эту книгу с интересом прочтут также и те, кто уже активно работает в
области общей теории относительности или преподает этот предмет. Они сумеют
оценить ее исключительные достоинства.
Д. И. Блохинцев
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
Согласно общей теории относительности Эйнштейна, для описания физи-
физической реальности требуется искривленное пространство. Чтобы продвинуться
глубже в понимании физических закономерностей, нужно установить коррект-
корректный вид уравнений, необходимых для описания искривленного пространства. Для
этого имеется хорошо развитый, но довольно сложный математический аппарат.
Каждый, кто хочет понять теорию Эйнштейна, должен им овладеть.
Эта книга создана на основе курса лекций, прочитанных на физическом
факультете Университета штата Флорида. Необходимый материал изложен в ней
в доступной и компактной форме. Для ее понимания не требуется предваритель-
предварительных знаний, выходящих за рамки фундаментальных идей специальной теории
относительности и умения дифференцировать полевые функции. Это позволит
читателю, изучающему общую теорию относительности, преодолеть возникаю-
возникающие трудности с минимальной затратой времени и энергии и подготовить себя к
более глубокому изучению специальных аспектов предмета.
Талахасси, шт. Флорида п л л/г п
гтл ттс П.A.M. Дирак
Февраль 1975 ^ у
2. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 111
Л.1. Специальная теория относительности
Для описания физического пространства — времени требуется четыре
координаты: время t и три пространственные координаты ж, у, z. Положим
t = ж0; ж = ж1; у = ж2; z = ж3,
тогда четыре координаты можно записать в виде ж^, где индекс \± пробега-
пробегает значения 0, 1, 2, 3. Индекс записан в верхней позиции, чтобы выполнить
условие баланса индексов во всех общих уравнениях теории. Точное зна-
значение выражения «баланс индексов» станет ясным чуть позже.
Возьмем точку, близкую к рассмотренной точке жм; пусть ее координа-
координаты будут ж^ + dx^. Четыре величины ^ж^, описывающие смещение, можно
рассматривать как компоненты вектора. Законы специальной теории от-
относительности позволяют производить линейные однородные преобразова-
преобразования координат, выражающиеся в линейных однородных преобразованиях
dx^. Эти преобразования таковы, что величина
(da;0J - (dx1J - (dx2J - (dx3J A.1)
является инвариантом (выбрана система единиц измерений длины и вре-
времени, в которой скорость света с = 1).
Совокупность величин Лм, которые при преобразованиях координат
преобразуются так же, как о!жм, называют контравариантным вектором.
Инвариантную величину
(Л0J - (А1J - (А2J - (А3J = (Л, А) A.2)
можно назвать квадратом длины вектора. Если есть второй контравари-
антный вектор В*1, то существует инвариантное скалярное произведение
А0В0 - А1 В1 - А2В2 - А3В3 = (Л, В). A.3)
Для удобства записи таких инвариантов введем нижние индексы. Опреде-
Определим
А0 = А°; А1 = -А1; А2 = -А2; А3 = -А3. A.4)
Тогда запишем выражение в левой части A.2) в виде Л^Л^, где под-
подразумевается суммирование по четырем значениям индекса \±. В таких
обозначениях A.3) можно представить в виде А^В^ или А^В^.
Четыре величины Лм, введенные выражениями A.4), также можно
рассматривать как компоненты вектора. Законы преобразования этих ве-
величин при преобразованиях координат несколько отличаются от законов
преобразования Л^ из-за различия в знаках. Такой вектор называют ко-
вариантным вектором.
Из двух ковариантных векторов Лм и В^ можно образовать шестна-
шестнадцать величин А^ВУ (индекс z/, так же как все греческие индексы в этой
книге, пробегает значения 0, 1, 2, 3). Эти шестнадцать величин образуют
компоненты тензора второго ранга. Их иногда называют внешним произ-
произведением векторов Л^ и B^j в отличие от скалярного произведения A.3),
которое называют внутренним произведением.
112 I. ЛЕКЦИИ
Тензор A^BV является специальным, так как его компоненты свя-
связаны друг с другом определенными соотношениями. Однако, складывая
несколько тензоров, образованных таким способом, можно получить тен-
тензор второго ранга самого общего вида, скажем
Т**" = A»BV + А'»В1и + А"»В"У + ... A.5)
Этот тензор обладает важным свойством: при преобразованиях координат
его компоненты преобразуются так же, как величины A^BV'.
Можно опустить один из индексов в T^v, применяя правило опускания
индексов к каждому члену в правой части A.5). Так образуется Т^ или
Т^у. Опуская оба индекса, получаем величину Т^и.
В Т^" можно положить v = /i, что приводит к Т^. Здесь должно быть
произведено суммирование по четырем значениям /i. Далее всегда по два-
дважды повторяющимся индексам подразумевается суммирование. Значит,
Т^ является скаляром; Т^ тождественно равно Т^^.
Можно продолжить эту процедуру и перемножить более чем два век-
вектора с различными индексами. Таким способом строятся тензоры высшего
ранга. Если все векторы контравариантны, то у тензора будут только
верхние индексы. Если же опустить некоторые индексы, то получим тензор
общего вида с рядом верхних и рядом нижних индексов.
Положим определенный нижний индекс равным определенному верх-
верхнему индексу. Тогда должно быть произведено суммирование по всем зна-
значениям этого индекса. Он становится немым. Остается тензор, имеющий на
два свободных индекса меньше, чем первоначальный. Такую процедуру на-
называют сверткой. Итак, если исходить из тензора четвертого ранга Т^^0",
то, сворачивая сначала по индексам аир, получим тензор второго ранга
Т^урр, который имеет только шестнадцать компонент, соответствующих
четырем значениям индексов \± и и. Произведя свертку снова, придем к
скаляру Т^М/9Р, состоящему из единственной компоненты.
Теперь проясняется смысл выражения «баланс индексов». Каждый
свободный индекс появляется в уравнении один и только один раз в каж-
каждом члене (слагаемом) уравнения и является всегда (во всех слагаемых)
верхним или всегда нижним. Индекс, возникающий дважды в одном члене,
является немым и должен находиться один раз в верхнем и один раз
в нижнем положении. Его можно заменить любым другим греческим ин-
индексом, еще не использованным в этом члене уравнения. Таким образом,
Т^урр = Т^иаа. Индекс никогда не должен появляться более чем дважды
в одном члене.
Л.2. Неортогональные декартовы координаты
Прежде чем перейти к математическому аппарату общей теории отно-
относительности, удобно рассмотреть промежуточный формализм — специаль-
специальную теорию относительности в неортогональных декартовых координатах.
2. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ113
При переходе к неортогональным осям каждая из величин dx^ в выра-
выражении A.1) оказывается линейной функцией новых dx^, и квадратичная
форма A.1) становится общей квадратичной формой по новым dx^, кото-
которую можно записать в виде
g^dx^dx", B.1)
где подразумевается суммирование как по /i, так и по v. Коэффициенты
gjjlv зависят от выбора неортогональной декартовой системы координат.
Мы, конечно, полагаем g^ = gVix, так как любое различие между g^y
и gyjJL не сказалось бы на выражении для квадратичной формы B.1).
Имеется, таким образом, десять независимых коэффициентов g^.
При преобразованиях координат четыре компоненты А^ произволь-
произвольного контравариантного вектора преобразуются так же, как dx^. Тогда
g^vA^Av является инвариантом. Этот инвариант есть квадрат длины
вектора Лм.
Пусть В^ —другой контравариантный вектор; тогда Лм + ХВ^ также
является вектором для произвольного значения числа Л. Квадрат его
длины есть
Эта величина должна быть инвариантом при всех значениях Л. Отсюда
следует, что коэффициенты при Л°, Л1 и Л2 являются инвариантами.
Коэффициент при Л1 имеет вид
так как во втором члене левой части можно поменять местами \i и v
и воспользоваться условием g^ = gu^. Таким образом, выясняется, что
gpvA^'B1' является инвариантом. Этот инвариант есть скалярное произ-
произведение Лм и В^.
Пусть g — детерминант g^v. Значение g не должно равняться нулю;
в противном случае четыре оси не описывают независимые направления
в пространстве-времени и не могут быть выбраны в качестве коорди-
координатных осей. В ортогональных декартовых координатах, рассмотренных
в предыдущей главе, диагональные элементы g^v равны 1, —1, —1, —1, а
не диагональные элементы равны нулю. Тогда g = — 1. В неортогональных
декартовых координатах g должен оставаться отрицательным, посколь-
поскольку неортогональные координаты могут быть получены из ортогональных
непрерывным процессом, выражающимся в непрерывном изменении g\
следовательно, значение g не может проходить через нуль.
Определим величину Л^, называемую ковариантным вектором, следу-
следующим образом:
А„ = gliVAv. B.2)
Так как g не обращается в нуль, эти уравнения позволяют выразить Аи
114 I. ЛЕКЦИИ
через Ац. Пусть результат имеет вид
B.3)
Каждая компонента g^v равна алгебраическому дополнению соответству-
соответствующей компоненты g^y в детерминанте матрицы g^yi деленному на сам
детерминант g. Следовательно, g^v = gu^.
Подставим в B.2) выражение для Av из B.3). Чтобы не получить три
одинаковых индекса в одном члене, нужно заменить немой индекс ц в B.3)
каким-нибудь другим греческим индексом, скажем р. Тогда получим
Так как это соотношение должно иметь место для произвольной четырех-
компонентной величины Лм, заключаем, что
g\ivg = gp, (Л4)
где
1 при /i = р;
О при /i 7^ Р-
При помощи формулы B.2) можно опустить у тензора любой верхний
индекс; при помощи формулы B.3) можно поднять любой нижний индекс.
Если определенный индекс поднять и снова опустить, то, согласно B.4) и
B.5), тензор не изменится. Заметим, что g^ просто производит замену ц
индексом р:
или р индексом /х:
Применив правило поднятия индекса к /i в g^v^ получим
g v — g g\iv '
Это согласуется с B.4), если принять во внимание, что вследствие симмет-
симметрии g^ индексы в gav можно писать один под другим. Поднимая далее
по тому же правилу индекс z/, имеем
a
б v '
Этот результат непосредственно следует из B.5). Правила поднятия и
опускания индексов применимы ко всем индексам в g^v^ gv, g^v'.
Л.З. Криволинейные координаты
Теперь перейдем к системам криволинейных координат. Рассмотрим
величины, локализованные в точке пространства —времени. Это могут
быть многокомпонентные величины с компонентами, отнесенными к ко-
координатным осям в данной точке. Если подобная величина существует во
всех точках пространства, ее называют полевой величиной.
2. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 115
Полевую величину Q (или одну из ее компонент, если их несколько)
можно продифференцировать по любой из четырех координат. Запишем
результат:
дх» ~ Ч^'
Нижний индекс через запятую всегда будет обозначать такую производ-
производную. Индекс \i помещен внизу, так как верхний индекс в левой части
находится в знаменателе. Изменение Q при переходе от точки жм к близ-
близлежащей точке жм + 8х^ имеет вид
5Q = Q^5x». C.1)
Видно, что условие баланса индексов выполнено.
Нам понадобятся локализованные в точке векторы и тензоры с компо-
компонентами, отнесенными к координатным осям в этой точке. При преобразо-
преобразованиях координат компоненты таких величин преобразуются по тому же
закону, что и в предыдущем разделе, но зависящему от преобразования
координат в рассматриваемой точке. Получим, как и прежде, величины
g^y и g^v с нижними и верхними индексами. Однако они больше не кон-
константы, а меняются от точки к точке, т. е. являются полевыми величинами.
Рассмотрим результат специального преобразования координат. Пусть
каждая из новых криволинейных координат х'^ есть функция четырех
жм. Удобнее писать жм , где штрих стоит при индексе, а не при основном
символе.
Варьируя жм, получаем четыре величины 5ж^, образующие контрава-
риантный вектор. Компоненты этого вектора в новых координатах, соглас-
согласно C.1), имеют вид
= ^5х = x „8x.
ох '
Отсюда получаем закон преобразования любого контравариантного векто-
раЛ^
А» =х»иАи. C.2)
Переставив новую и исходную системы координат и изменив индексы,
получим
Ах = хх^,А» . C.3)
Из свойств дифференцирования в частных производных известно, что
[в обозначениях B.5)]
дхХ дх»' х
g
Таким образом,
~,А // _ А /о д\
Это позволяет увидеть согласованность C.2) и C.3), так как подстановка
C.2) в правую часть C.3) дает
^Л .W' Av — сгх А" — Ах
116 I. ЛЕКЦИИ
Чтобы выяснить, как преобразуется ковариантный вектор В^, исполь-
используем условие инвариантности величины А^В^. С учетом C.3) запишем:
Этот результат должен оставаться справедливым для всех значений че-
четырех величин А^ , поэтому, приравняв коэффициенты при А^ , можно
получить
Бм/ = хх^Вх. C.5)
Формулы C.2) и C.5) позволяют теперь преобразовывать произволь-
произвольный тензор с любым числом верхних и нижних индексов. Коэффициенты
типа x^v и хх, как раз и должны быть использованы для каждого верх-
верхнего и нижнего индекса соответственно с соблюдением баланса индексов,
например:
rjlOL C г***-*- /ytfi ry»V П^Х/Л /О П\
Любая величина, преобразующаяся по такому закону, есть тензор. Со-
Соотношение C.6) можно считать определением тензора.
Заметим, что для тензора существенна симметрия или антисимметрия
по индексам типа А и /i, так как это свойство сохраняется при преобразо-
преобразовании координат.
Формулу C.4) можно переписать в виде
откуда следует, что g^ есть тензор. Для произвольных векторов А**, Ви
имеем . п. . п.
ga,p,Aa В? = g{kVA*Bv = gliVx%,x^Aa В? .
Так как это справедливо для всех значений Аа' и В@\ заключаем, что
ga'F = ё^а'Х^" C-7)
Отсюда следует, что g^ является тензором. Аналогично можно показать,
что g^" —тензор. Эти величины называют фундаментальными тензорами.
Произвольную скалярную полевую величину можно считать как функ-
функцией четырех ж^, так и функцией четырех х^. Согласно свойствам опера-
операции дифференцирования в частных производных
Следовательно, S\ преобразуется, как В\ из уравнения C.5), и, таким
образом, производная от скалярного поля является ковариантным вектор-
векторным полем.
JI.4. Нетензорные величины
Существуют величины N^up_ с различными верхними и нижними
индексами, которые не являются тензорами. При преобразованиях коорди-
координат тензорная величина должна преобразовываться по закону вида C.6).
2. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 117
В противном случае эта величина — не тензор. Тензор обладает тем свой-
свойством, что если все его компоненты обращаются в нуль в одной системе
координат, то они равны нулю и в любой другой. Для нетензоров это не
обязательно так.
Поднимать и опускать индексы нетензорных величин можно по тем же
правилам, что и для тензоров. Так,
Эти правила фактически никак не связаны с законами преобразования к
новой системе координат. При определении нетензорных величин с тем же
успехом можно не делать различия между верхними и нижними индекса-
индексами.
Тензоры и нетензоры могут стоять вместе в одном уравнении. Баланс
индексов понимают для нетензоров так же, как для тензоров.
Теорема о частном. Пусть величина P\^v такова, что АХР\^ явля-
является тензором для любого вектора Av. В этом случае P\^v —тензор.
Чтобы доказать это, введем Q^v = AxP\fll/. По условию Q^ есть
тензор, поэтому
Тогда
AaPa/3l = Ax'Px,^l/,x^.
Так как Ах — вектор, из C.2) имеем:
Таким образом,
Аар в — Аахх> P\i i ix^'ху'
Это равенство должно выполняться для всех значений Аа\ следовательно,
Видно, что Pa/3j — тензор.
Теорема остается справедливой для величины с произвольным числом
нижних и верхних индексов.
Л.5. Искривленное пространство
Двухмерное искривленное пространство легко себе представить как
поверхность в трехмерном евклидовом пространстве. Аналогичным обра-
образом можно иметь дело с искривленным четырехмерным пространством
в плоском пространстве большего числа измерений. В этом случае ис-
искривленное пространство называют римановым. Малая область риманова
пространства близка к плоскому пространству.
118 I. ЛЕКЦИИ
Эйнштейн предположил, что физическое пространство является про-
пространством именно такой природы, и поэтому положил риманову геомет-
геометрию в основу теории гравитации.
В искривленном пространстве нельзя ввести систему прямолинейных
координат. Приходится пользоваться криволинейными координатами типа
рассмотренных в разделе 3. Формализм этого раздела можно целиком
применить к искривленному пространству, так как все обсуждавшиеся
там уравнения являются локальными, что делает их нечувствительными
к кривизне.
Инвариантный интервал ds между точкой х^ и близлежащей точкой
жм + dx^ дается выражением вида B.1):
ds2 = g^v dx^ dxv.
Интервал ds для времениподобных точек является действительным, для
пространственно-подобных точек — мнимым.
В криволинейных координатах величина g^, заданная как функция
координат, фиксирует все элементы инвариантного расстояния; таким об-
образом, g^y задает метрику. Величина g^v определяет как координатную
систему, так и кривизну пространства.
Л.6. Параллельный перенос
Пусть вектор А^ локализован в точке Р. Если пространство искрив-
искривлено, понятие параллельного вектора в другой точке Q лишено смысла,
в чем легко убедиться на примере искривленного двухмерного простран-
пространства в трехмерном евклидовом пространстве. Однако в точке Р', близкой
к Р, существует вектор, параллельный А^ с точностью до членов второго
порядка по расстоянию между точками Р и Р'. Тогда можно придать
смысл операции переноса вектора А^ из точки Р в точку Р', оставляющей
вектор параллельным самому себе и не изменяющей его длины.
При помощи операции параллельного переноса можно непрерывно пе-
перемещать вектор вдоль некоторой траектории. Выбрав траекторию от Р
до Q, получим вектор в точке Q, параллельный, в смысле данной траекто-
траектории, исходному вектору в точке Р. Другая траектория даст иной результат.
Понятие вектора в точке Q, параллельного исходному вектору в точке Р,
не является абсолютным. Если произвести параллельный перенос вектора
из точки Р вдоль замкнутой траектории, то получим снова вектор в точ-
точке Р, который, вообще говоря, отличается от исходного направлением.
Уравнения для параллельного переноса вектора можно получить,
предположив, что наше четырехмерное физическое пространство нахо-
находится в плоском пространстве большего числа, скажем TV, измерений.
Введем в этом ./V-мерном пространстве прямолинейные координаты zn
{п = 1,2, ...,7V). Эти координаты могут быть неортогональными. Для
2. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 119
двух близлежащих точек существует инвариантное расстояние:
ds2 = hnmdzndzm, F.1)
где суммирование по п и т ведется от 1 до TV. В отличие от g^ величи-
величины hnm являются константами. С их помощью можно опускать индексы
в TV-мерном пространстве:
Физическое пространство образует четырехмерную «поверхность»
в плоском ./V-мерном пространстве. Каждая точка х^ этой поверхности
определяет некоторую точку уп в TV-мерном пространстве. Каждая
координата уп является функцией четырех х^. Уравнения поверхности
задаются путем исключения х^ из N функций уп(х). Таких уравнений
N -4.
Дифференцируя уп(х) по параметрам жм, получаем
=
Для двух близких точек поверхности, различающихся на 5х^, имеем
8уп = у18х*. F.2)
Согласно F.1), квадрат инвариантного расстояния между этими точками
имеет вид
Ss2 = hnm 6yn Sym = hnmyly™ Sx» 5x».
Поскольку hnm — константы, то Ss2 можно записать в виде
Кроме того,
Ss2 =
Отсюда получаем, что
g»v = У^Уп,,- F.3)
Рассмотрим в физическом пространстве контравариантный вектор Л^,
локализованный в точке х. Компоненты А^ преобразуются так же, как
8х^ из F.2), и из них, следовательно, можно образовать соответствующий
контравариантный вектор Ап в ./V-мерном пространстве, преобразующий-
преобразующийся так же, как 5уп из F.2). Тогда
Ап = у^АГ F.4)
Вектор Л71, разумеется, принадлежит поверхности.
Сместим теперь Ап в соседнюю точку поверхности х + dx, оставляя
его параллельным самому себе (это означает, что компоненты Ап остаются
неизменными). Вследствие кривизны пространства вектор в точке х + dx
уже не принадлежит поверхности. Однако его проекция на поверхность
задает определенный вектор, принадлежащий поверхности.
120 I. ЛЕКЦИИ
Для нахождения проекции на поверхность нужно разложить вектор
на тангенциальную и нормальную составляющие, и затем нормальную
составляющую отбросить:
Ап = ЛГап + Апог- F-5)
Если обозначить через К^ компоненты А™ап в координатной системе ж,
принадлежащей поверхности, то в соответствии с F.4) можно записать:
A^n = K»yl(x + dx), F.6)
где коэффициенты уп взяты в новой точке х + dx.
Составляющая А™ог по самому определению ортогональна любому тан-
тангенциальному вектору в точке х + dx и, следовательно, любому вектору
типа правой части F.6) независимо от вида К^. Тогда
АпогУщ1л(х + dx) = 0.
Если теперь умножить F.5) на уп,и{х + dx), то член с Л™ог исчезает, и
с учетом F.3) получим
АпуЩ1/(х + dx) = К^уп^{х + dx)yn^(x + dx) = K^g^(x + dx).
Таким образом, с точностью до величин первого порядка по dx находим:
Kv(x + dx) = Ап[уп^(х) + уп^а dxa] = Апуп^[ущи + Уп^а dxa] =
Так как Kv есть результат параллельного переноса Av в точку х + dx,
можно положить
так что dAy обозначает изменение Av при параллельном переносе. Тогда
имеем
dAt/ = A^yn^adx<T. F.7)
Л.7. Символы Кристоффеля
Дифференцируя F.3), получаем (вторая запятая при двукратном диф-
дифференцировании опущена)
§jJLV,(J = У\lMjVn,V \ У^цУп,иСГ = Уп^иУ\у \ Уп,иСгУ^ц-) V ' ' "U
поскольку немой индекс п вследствие постоянства hnm можно поднять и
опустить. Меняя местами /i и сг в G.1), получаем
gvv,H = Уп,*цУП» + Уп^1лУПа- G-2)
Переставляя v и а в G.1), имеем
+ Уп,стуУп^ G.3)
2. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 121
Теперь сложим G.1) и G.3), вычтем из полученного уравнения G.2) и
разделим пополам. В результате получим:
2 Ыц»,* + g>r,i/ - gW,/x) = Уп^аУ^- G-4)
Положим 1
А fJLUCT — Q \g^b>,(T + gfJLCF.U ~ gl/(T,ll)- G-5)
Эту величину называют символом Кристоффеля первого типа. Она сим-
симметрична по двум последним индексам. Символ Кристоффеля первого
типа не является тензором. Из G.5) непосредственно следует:
А цист Н~ A vfjtcr = gfjiu^a' V''^/
Теперь ясно, что F.7) можно записать в виде
x<r. G.7)
Это уже не относится к TV-мерному пространству, так как символ Кри-
Кристоффеля выражается только через метрический тензор g^ физического
пространства.
Можно показать, что длина вектора не изменяется при параллельном
переносе. Действительно:
p dAv ^ ^i
= Av dAu + A» dA^ + AaA^ga/3>a dxa =
dxa + ЛМТ^ dxa + AaApg^^ dxa =
^^ dxa. G.8)
Далее, ?•"%<§> + gaflg^* = (gatlg^),a = g% = 0- Умножая на gf*v,
получаем
g ,CT — —g g
Это полезное соотношение выражает производную ga@ через производ-
производную g^. Отсюда
Следовательно, выражение G.8) обращается в нуль. Таким образом, длина
вектора не изменяется. В частности, нулевой вектор (т. е. вектор нулевой
длины) при параллельном переносе остается нулевым.
Постоянство длины вектора при параллельном переносе следует также
из геометрических соображений. При разложении вектора А^ на тангенци-
тангенциальную и нормальную составляющие, согласно F.5), нормальная составля-
составляющая инфинитезимальна и ортогональна тангенциальной составляющей.
Значит, в первом приближении длина вектора равна длине его тангенци-
тангенциальной составляющей.
Постоянство длины произвольного вектора влечет за собой постоянство
скалярного произведения g^uA^BV двух произвольных векторов А и В.
122 I. ЛЕКЦИИ
Это можно показать, используя постоянство длины вектора А + \В при
произвольном значении параметра Л.
Часто бывает полезно поднять первый индекс символа Кристоффеля
так, чтобы образовать величину
1 ист — ё 1 Xvcri
которую называют символом Кристоффеля второго типа. Она симмет-
симметрична по двум нижним индексам. Как пояснялось в разделе 4, операция
поднятия индекса определена и для нетензорных величин.
Формулу G.7) можно переписать в виде
dA1/ = r^AfAdxa. G.10)
Это стандартная запись в ковариантных компонентах. Введя второй век-
вектор Bv, получим
d(Al/B")=0;
А„ dBv = -Bv dAv = -ВТ^ЛМ dxa = -ВТ^А,, dx°.
Последнее соотношение справедливо для произвольного Av. Тогда
dBu = -Т^В» dxa. G.11)
Это — стандартная запись для параллельного переноса в контравариант-
ных компонентах.
Л.8. Геодезические
Пусть точка с координатами z^ движется по какой-либо траектории,
тогда z^ является функцией некоторого параметра т. Положим dz^/dr =
Имеется, таким образом, вектор г^м, определенный в каждой точке
траектории. Предположим, что при движении вдоль траектории вектор ьУ1
смещается посредством параллельного переноса. Тогда задание начальной
точки и начального значения вектора и^ определяет всю траекторию.
Действительно, надо сместить начальную точку из z^ в z^ + u^ dr, затем
посредством параллельного переноса сместить в эту новую точку вектор
и*1', потом снова сместить точку в направлении, заданном новым вектором
и*1', и т.д. Определена не только траектория, но и параметр г вдоль нее.
Траекторию, полученную таким способом, называют геодезической.
Если и^ в начальной точке является нулевым вектором, то он останет-
останется нулевым вектором во всех других точках; в этом случае траекторию
называют нулевой геодезической. Если и^ в начальной точке — временипо-
добный вектор (и^и^ > 0), то он останется времениподобным вектором во
всех других точках, и мы имеем времениподобную геодезическую. Соответ-
Соответственно, если и^ в начальной точке является пространственно-подобным
вектором (u^Ufj, < 0), то он останется пространственно-подобным во всех
других точках, и мы получим пространственно-подобную геодезическую.
2. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 123
Обратившись к уравнению G.11) с Bv = uy и dxa = dza, получим
уравнения геодезической:
^L + r^ 7Ум ^±_ — п fen
^^ + Г^^7^7 = 0- (8'2)
Для времениподобной геодезической можно привести длину начально-
начального вектора и^ к единице, умножив его на соответствующий множитель.
Для этого потребуется лишь изменить масштаб т. Теперь вектор и^ всегда
будет иметь единичную длину. Он представляет собой вектор скорости
v^ = dz^/'ds, а параметр г становится собственным временем s.
Уравнение (8.1) приобретает вид
^ ГО"«" = 0, (8.3)
а уравнение (8.2) —вид
d ziX + г^ — — — 0 (8 4,
ds2 ya ds ds ~ U* ^Л}
Предположим, что мировая линия частицы, не находящейся под воз-
воздействием каких-либо сил, кроме гравитационных, есть времениподобная
геодезическая. Это заменяет первый закон Ньютона. Уравнение (8.4) за-
задает ускорение и является уравнением движения.
Предположим также, что траектория светового луча есть нулевая гео-
геодезическая. Она задается уравнением (8.2) с некоторым параметром т
вдоль траектории. Собственное время s в этом случае использовать нельзя,
поскольку ds обращается в нуль.
Л.9. Свойство стационарности геодезических
Геодезическая, не являющаяся нулевой, обладает следующим свой-
свойством: интеграл Jofs, взятый вдоль участка траектории с граничными
точками Р и Q, при малых вариациях траектории с фиксированными
граничными точками постоянен.
Пусть каждая точка траектории с координатами z^ смещена в точку
с координатами z^ + Sz^. Если смещение вдоль траектории обозначить
ds2 = g^y dx^ dxv',
то
2 ds S(ds) = dx^ dxv Sg^ + g^ dx^ 5dxy + g^v dxv
= dx^ dxv g-^A Sxx + 2g^x dx^ 5dxx.
Кроме того,
Sdxx = dSxx.
124 I. ЛЕКЦИИ
Таким образом, поскольку dx^ = v^ ds, то
5{ds) = [i g^xv*vv Sxx + g^v» ^] ds.
Следовательно,
S J ds = J S(ds) = J [1 g^xvW 5xx + ^А«" ^] ds.
Интегрируя по частям и используя условие Sxx = 0 в граничных точках
Р и Q, получаем
<* J da = Щ ?>,*«"«" - 1 (^А^)] dxx ds. (9.1)
Условием обращения (9.1) в нуль при произвольном 8х является
^(^а^)-^м-,а^^ = 0. (9.2)
Далее,
d
Тогда условие (9.2) принимает вид
, р 7;^7;^ — О
Умножив это уравнение на gXa', можем записать:
т. е. как раз условие (8.3) для геодезической.
Отсюда видно, что для геодезической выражение (9.1) обращается
в нуль и J ds = const. И наоборот, если J ds постоянен, можно показать, что
траектория является геодезической. Таким образом, условие постоянства
J ds можно использовать как определение геодезической, за исключением
случая нулевой геодезической.
JI. 10. Ковариантное дифференцирование
Пусть S — скалярное поле. Тогда, как было показано в разделе 3, S^
есть ковариантный вектор. Далее, пусть А^ — векторное поле. Является
ли его производная А^^ тензором?
Чтобы ответить на этот вопрос, посмотрим, как преобразуется А^у при
преобразованиях координат. В обозначениях раздела 3 А^ преобразуется,
согласно уравнению C.5):
A/j,' = ЛрХ ^f,
и, следовательно,
2. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 125
Это выражение является точным законом преобразования тензора, если в
правой части отсутствует последний член. Значит, А^и — не тензор.
Можно, однако, модифицировать операцию дифференцирования так,
чтобы получить тензор. Возьмем вектор А^ в точке х и сместим его
посредством параллельного переноса в точку х + dx. При этом А остается
вектором. Вычтем его из вектора А в точке х + dx — разность тоже явля-
является вектором. В первом приближении получим
А^х + dx) - [А„(х) + T«vAa dxv] = (А^ - Га^Аа) dxv.
Эта величина есть вектор для произвольного вектора dxv', следовательно,
согласно теореме о частном (см. раздел 4), коэффициент А^у — Г^Аа
является тензором. Легко проверить непосредственно, что при преобразо-
преобразованиях координат он преобразуется по тензорному закону. Это выражение
называется ковариантной производной А^ и записывается в виде
Знак «:» перед нижним индексом далее будет обозначать ковариантную
производную, подобно тому, как запятая обозначает обычную производ-
производную.
Пусть Вv — некоторый другой вектор. Определим ковариантную про-
производную внешнего произведения как
(АцВ,,).^ = A^aBy + A^Bv^. A0.2)
Очевидно, что это тензор с тремя индексами. Его явный вид есть
— (А п \ _га A R — Га A R
\^/Л 1JyI(J L 1ЛС7 OL1Jl> L 1УСТ fJ' Oi'
Пусть Тцъ,— тензор с двумя индексами. Он выражается в виде суммы
членов вида А^В^; тогда его ковариантная производная записывается так:
Т —Т — Га Т — Га Т МП Ч)
Это правило можно обобщить для случая ковариантной производной тен-
тензора с любым числом нижних индексов:
У/л/...: о- — У/л/...,о- — Г — член для каждого индекса. (Ю-4)
В каждом из этих Г-членов нужно выполнить условие баланса индексов.
Этого достаточно для однозначной расстановки индексов. Ковариантная
производная скаляра получается из общей формулы A0.4) при нулевом
числе индексов в Y:
Y:a = Y(T. A0.5)
Применим A0.3) к фундаментальному тензору g^. С учетом G.6) это
дает
.cr = §ци,а А цсг§ои> А исг§1ла = §jjli>,(j A isfia A (lisa = U.
126 I. ЛЕКЦИИ
Таким образом, при ковариантном дифференцировании g^ можно рас-
рассматривать как константу.
Формула A0.2) представляет собой обычное правило, используемое
при дифференцировании произведения. Предположим, что это правило
справедливо и для ковариантной производной скалярного произведения
двух векторов. Тогда
а. A0.6)
Отсюда, согласно A0.5) и A0.1), получаем
следовательно,
A^Blx = A^..uB>x-AaY^Bix.
Так как это справедливо для произвольного В^, имеем:
A0.7)
что является стандартным выражением для ковариантной производной
контравариантного вектора. Здесь возникает тот же символ Кристоффеля,
что и в стандартной формуле A0.1) для ковариантного вектора, но со зна-
знаком плюс. Расположение индексов полностью определяется требованиями
баланса индексов.
Этот формализм можно обобщить на случай ковариантной производ-
производной тензора с любым числом верхних и нижних индексов. Г-члены воз-
возникают для каждого индекса (со знаком плюс для верхнего и со знаком
минус для нижнего индексов соответственно). Если свернуть два индекса,
то соответствующие Г-члены сократятся.
Формула для ковариантной производной произведения
(XY):a = X:aY + XY:a A0.8)
справедлива в самом общем случае для любых тензорных величин X и
У. Поскольку g^y при ковариантном дифференцировании ведет себя как
константа, индексы можно поднимать и опускать до дифференцирования:
результат будет тот же, что и при перемещении их после дифференциро-
дифференцирования.
Ковариантная производная нетензорной величины не имеет смысла.
Физические законы должны быть справедливы во всех системах ко-
координат. Значит, они должны выражаться в виде тензорных уравнений.
Если уравнения содержат производные полевых величин, то это должны
быть ковариантные производные. Полевые уравнения получаются заменой
обычных производных ковариантными. Например, уравнение Даламбера
?V = 0 для скалярного поля V в ковариантной форме принимает вид
2. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 127
С учетом A0.1) и A0.5) это дает:
g^(Vfll/-ra^Va) = 0. A0.9)
Даже если рассматривать задачу в плоском пространстве (т.е. в прене-
пренебрежении гравитационным полем) и использовать криволинейные коорди-
координаты, следует записывать уравнения в терминах ковариантных производ-
производных, чтобы они сохраняли свой вид во всех системах координат.
Л. 11. Тензор кривизны
Из формулы для дифференцирования произведения A0.8) видно, что
в этом отношении ковариантное дифференцирование вполне аналогично
обычному. Однако важное свойство обычного дифференцирования, кото-
которое заключается в том, что при действии двух операторов дифференциро-
дифференцирования их порядок не имеет значения, для ковариантного дифференциро-
дифференцирования в общем случае не сохраняется.
Начнем с рассмотрения скалярного поля S. Из A0.1) имеем
q _ q _ Га Я —Я — Га Я /11 1\
°:ц:1> — °: fi,v L jjlv°:ol — °\fJLV L jjlv^iOL' \±±#±/
Полученное выражение симметрично по индексам \± и v, так что в этом
случае порядок операторов ковариантного дифференцирования не имеет
значения.
Теперь подействуем двумя операторами ковариантного дифференци-
дифференцирования на вектор Av. Из формулы A0.3) с Аи:р вместо Тир находим
А — А — га А — га А —
— \^v,p ~ A ypAajfj — 1 1/а[Лар — 1 apAp) — 1 f)o.[Aiya — 1 VO
— А —Га А —Га А —Га A — Аа(Г@ — Га Г^ — Га Г^ ^
— ^^iy,p,a, l ир^а^а l ycr^^a.p l pcr^v.a ^/H1 vp,cr l vcrv ap l pa1 vex)'
Переставляя индексы р и а и вычитая получившееся выражение из преды-
предыдущего, получаем
A1.1)
где
Lvpcr L vcr,p vp,cr ~ L vcrL ар
Левая часть A1.2) является тензором. Следовательно, и правая часть
A1.2) есть тензор. Это справедливо для произвольного вектора Л^, по-
поэтому, согласно теореме о частном (см. раздел 4), R^pa—тензор. Его
называют тензором Римана-Кристоффеля, или тензором кривизны.
Тензор кривизны обладает очевидным свойством:
R13 = -R13 A1 4)
Из A1.3) непосредственно следует, что
RiuP = о- (Ц.5)
128 I. ЛЕКЦИИ
Опустим индекс /3 на место первого нижнего индекса. Это даст
p + Г^
где (pa) обозначает предыдущие члены с переставленными местами р и а.
Тогда из G.6) получим
^ - (pa) = T^v^p - Yp^pY^ - (pa).
С учетом G.5)
ftjJLl>p(J — ^ \SfJb(T,J/p ~ ev(J,\ip ~ ёjJLp.UCT \ gyp^jJLCr) \ 1 CflCT^ yp ~ *¦ Cfip^ v(T'
A1.6)
Теперь видны еще некоторые свойства симметрии тензора кривизны, а
именно:
Результатом всех этих свойств симметрии является то, что из 256 компо-
компонент тензора R^pa независимыми являются лишь 20.
Л. 12. Критерии плоского пространства
Если пространство является плоским, можно выбрать прямолинейную
систему координат; тогда g^ будет константой и, следовательно, Яуц>ра
обратится в нуль.
И, наоборт, если К^ир(Т обращается в нуль, можно показать, что про-
пространство является плоским. Вектор Лм, расположенный в точке ж, сме-
сместим посредством параллельного переноса в точку х + dx. Затем сместим
его посредством параллельного переноса в точку х + dx + 5х. Если Я^ир(Т
обращается в нуль, то при смещении А^ из х сначала в точку х + 5х,
а затем в точку х + 8х + dx результат должен быть прежним. Таким
образом, при смещении вектора из одной точки в другую результат не
зависит от траектории перехода. Тогда, перемещая параллельным пере-
переносом исходный вектор А^ из точки х во всевозможные точки, получаем
векторное поле, удовлетворяющее условию A^v — 0, т.е.
A^ = Y^Aa. A2.1)
Можно ли представить такое векторное поле в виде градиента от ска-
скаляра? Положим в A2.1) Ац = S^. Получим
S^u = TlvS^ A2.2)
Вследствие симметрии YG по нижним индексам выражения для S^v и
S^fj, совпадают, и уравнение A2.2) является интегрируемым.
2. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 129
Выберем четыре независимых скаляра, удовлетворяющих A2.2), в ка-
качестве координат ха новой координатной системы. Тогда
Согласно трансформационному закону C.7)
' 0'
Дифференцируя это соотношение по хи, находим с учетом G.6)
== A A/iz/ ~г А цХи = g'ц\,и •
Следовательно,
Значит, gaff3f,v = 0. В новой системе координат метрический тензор явля-
является константой. Таким образом, мы имеем дело с плоским пространством
в прямолинейной системе координат.
Л. 13. Тождества Бианки
Прежде чем обсуждать вторую ковариантную производную произволь-
произвольного тензора, рассмотрим тензор, являющийся внешним произведением
векторов Ац и Вт\
(Л^Вт):р:а = (Л^:рВт + Л^Вт:р):а =
Теперь поменяем местами р и а и вычтем полученное равенство из исход-
исходного. С учетом A1.2) это даст
Произвольный тензор T^T выражается в виде суммы членов типа А^ВТ^
тогда он должен удовлетворять соотношению
Пусть ТцТ является ковариантной производной вектора А^т. Тогда
"I" ^/л:а^тра'
Выполним в этой формуле циклические перестановки индексов т, р и а и
сложим полученные три уравнения. Из левой части имеем
А^.р-.а-.т - AfiiaipiT + цикл, перест. = {AaR*pa):T + цикл, перест. =
= AairRppa + АаЯ^а-.т + ЧИКЛ- ПереСТ. A3.2)
5 П.Дирак. TIV
130 I. ЛЕКЦИИ
Правая часть дает
Aa:TR^pa + цикл, перест., A3.3)
так как остальные члены сокращаются [см. равенство A1.5)]. Первые чле-
члены в A3.2) и A3.3) сокращаются и остается
AaR^pcr:T + цикл, перест. = 0.
Множитель Аа фигурирует во всех членах этого уравнения и может быть
отброшен. В результате имеем
: р +
В дополнение к условиям симметрии из раздела 11 тензор кривизны
удовлетворяет этим дифференциальным уравнениям. Эти уравнения из-
известны под названием тождеств Бианки.
Л. 14. Тензор Риччи
Свернем R^vp(j по двум индексам. Если свертка производится по ин-
индексам, относительно перестановки которых R^pa антисимметричен, то,
разумеется, результатом будет нуль. Если же сворачивать R^pa по другим
парам индексов, то получим результаты, отличающиеся один от другого
лишь знаком. Это следует из свойств симметрии A1.4), A1.7) и A1.8).
Произведем свертку по первому и последнему индексам. Получим
Этот тензор называют тензором Риччи.
Умножая A1.8) на g^°', находим, что
Rup — Rpv, A4.1)
т. е. тензор Риччи симметричен.
Можно свернуть Rvp по оставшимся двум индексам и образовать
gup Rvp = R" = R-
Величина R — скаляр и называется скалярной кривизной. Она определена
таким образом, что является положительной для сферы в трехмерном
пространстве, в чем можно убедиться непосредственным вычислением.
Тождества Бианки A3.4) содержат пять индексов. Свернем их дважды
и получим соотношение с одним свободным индексом. Положим в A3.4)
т = а и умножим на g^p:
Alp / ГУСХ _i_ ГУСХ _i_ Г>СХ \ Г\
^ ^ ^р: а) и>
т.е.
(g^R^U + WR^J-.p + (g^R^pU = о- A4.2)
Далее,
РP C— Ra
— /гсг •
2. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ Ш
Вследствие симметрии Raa можно писать индексы один над другим,
т.е. R^. Тогда уравнение A4.2) приобретает вид
ИЛИ
2^?: а — R:<r — О,
что представляет собой тождества Бианки для тензора Риччи. Подняв
индекс сг, можем записать
\Raa ~lgaaR\ = 0. A4.3)
Выражение для тензора Риччи, согласно A1.3), в явном виде выглядит
следующим образом:
RfjLi/ = Г*а1У - Г^а - Г^Га/? + Г^Г^а. A4-4)
Первый член здесь, на первый взгляд, не симметричен по /i и г/, тогда
как остальные три, очевидно, симметричны. Доказательство симметрии
первого члена требует проведения некоторых выкладок.
Чтобы продифференцировать детерминант #, необходимо продиффе-
продифференцировать в нем каждый элемент g\^ и домножить его на алгебраиче-
алгебраическое дополнение ggXfl. Таким образом,
g,u = ggXflgx^- A4.5)
Следовательно,
\ \ \ A4.6)
Отсюда вытекает, что первый член в A4.4) симметричен по \± и v.
Л. 15. Эйнштейнов закон гравитации
До сих пор содержание книги носило чисто математический характер,
за исключением физического предположения о том, что траектория ча-
частицы есть геодезическая. Многие результаты, изложенные в предыдущих
разделах, были получены в прошлом веке и относятся к искривленному
пространству произвольного числа измерений. В предшествующем форма-
формализме размерность пространства фигурирует лишь постольку, поскольку
g^ = число измерений.
Эйнштейн предположил, что в пустом пространстве
R^ = 0. A5.1)
В этом и состоит эйнштейнов закон гравитации. «Пустое» здесь означает
отсутствие материи и каких-либо физических полей, за исключением са-
132 I. ЛЕКЦИИ
мого гравитационного поля. Гравитационное поле не нарушает пустоты.
Все остальные поля нарушают. Условия пустоты пространства с хорошей
точностью справедливы для межпланетного пространства в Солнечной
системе, и здесь применимо уравнение A5.1).
Плоское пространство, очевидно, удовлетворяет соотношению A5.1).
Геодезические в плоском пространстве являются прямыми линиями; таким
образом, частицы движутся по прямым линиям. В случае искривленно-
искривленного пустого пространства эйнштейнов закон накладывает ограничения на
кривизну. Вместе с предположением о том, что планеты движутся по
геодезическим это дает некоторую информацию об их движении.
На первый взгляд, эйнштейнов закон гравитации не имеет ничего об-
общего с ньютоновским. Чтобы увидеть аналогию, нужно рассматривать
g^y как потенциалы, описывающие гравитационное поле. В отличие от
одного ньютоновского потенциала в эйнштейновой теории их десять. Эти
потенциалы описывают не только гравитационное поле, но и координат-
координатную систему. Гравитационное поле и система координат в эйнштейновой
теории неразрывно связаны, и их не удается описать независимо друг от
друга.
При рассмотрении компонент g^y как потенциалов формула A5.1) ока-
оказывается полевым уравнением и выглядит как обычное полевое уравнение
в том смысле, что оно является уравнением второго порядка, так как вто-
вторые производные входят в A4.4) через символы Кристоффеля. Уравнение
A5.1) отличается от обычных полевых уравнений тем, что оно существенно
нелинейно. Эйнштейновы уравнения весьма сложны, и находить их точные
решения трудно.
Л. 16. Ньютоново приближение
Рассмотрим статическое гравитационное поле в статической системе
координат. Тогда g^ постоянно во времени, т. е. g^ о = 0. Далее, для
т = 1, 2, 3 должно выполняться условие:
gmO = 0.
Следовательно,
gm0 = Q. gOO = {goo)-li
и gmn является обратной матрицей по отношению к gmn. Латинские
индексы всегда пробегают значения 1, 2, 3. Отсюда находим, что Гтоп = 0,
а тогда и Г^ = 0.
Рассмотрим частицу, движущуюся со скоростью, малой по сравнению
со скоростью света. Тогда vm есть малая первого порядка. В пренебреже-
пренебрежении величинами второго порядка малости получим, что
goo(v°J = l. A6.1)
2. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 133
Частица движется по геодезической. Уравнение геодезической (8.3)
с точностью до членов первого порядка дает
Но с точностью до членов первого порядка
dv dv dx dv о
ds dx^ ds dx°
Тогда с учетом A6.1) запишем
?V = \ gmngoo,nv° = ётп{ёУ02),п. A6.2)
dx *
Поскольку g^v не зависит от ж0, можно опустить индекс га, что даст
соотношение , /о
—о = (goo ),m. A6.3)
Видно, что частица движется так, будто она находится под воздействием
1/2 о
потенциала gofo . При получении этого результата никак не использовалось
уравнение Эйнштейна. Теперь для сравнения эйнштейновой теории с нью-
ньютоновой учтем закон Эйнштейна, приводящий к определенным уравнениям
для потенциала.
Предположим, что гравитационное поле является слабым, так что кри-
кривизна пространства — времени мала. Тогда можно выбрать систему коор-
координат, для которой кривизна координатных осей (для каждой из осей три
координаты фиксированы) мала. В этом случае g^v в первом приближении
есть константа, a g^v^ и все символы Кристоффеля малы. Уравнение
Эйнштейна A0.1) с точностью до членов первого порядка приобретает вид
[см. A4.4I
1^-1^ = 0.
Сворачивая A1.6) по двум индексам с перестановкой ри//и пренебрегая
членами второго порядка малости, можно преобразовать это соотношение
к следующему более удобному виду:
Положим теперь ц = v = 0 и используем условие независимости g^ от х°.
Получим
gmng00,mn = 0. A6.5)
Уравнение Даламбера A0.9) в приближении слабого поля принимает вид
g^V v = 0.
В статическом случае это выражение сводится к уравнению Лапласа:
g *,тп = U*
Уравнение A6.5) как раз и означает, что goo удовлетворяет уравнению
Лапласа.
134 I. ЛЕКЦИИ
Можно выбрать единицу измерения времени так, чтобы goo мало от-
отличалось от единицы. Тогда положим:
goo = 1 + 2V, A6.6)
где V — мало. В этом случае goo1 = 1 +V и V становится потенциалом.
Поскольку V удовлетворяет уравнению Лапласа, его можно отождествить
с ньютоновским потенциалом, равным —т/г, где га — масса источника.
Теперь видно, что A6.2) приводит к соотношению:
Ускорение = — grad V,
так как диагональные элементы gmn « — 1. Значит, знак при V был выбран
правильно.
Таким образом, закон Эйнштейна переходит в закон Ньютона, когда по-
поле является слабым и статическим. Следовательно, результаты ньютонов-
ньютоновской теории по объяснению движения планет остаются в силе. Приближе-
Приближение статичности оправдывается малостью скоростей планет по сравнению
со скоростью света. Приближение слабого поля является хорошим, так как
пространство очень незначительно отклоняется от плоского. Рассмотрим
порядки некоторых величин.
Значение потенциала V на поверхности Земли оказывается по-
порядка 10~9. Таким образом, goo из формулы A6.6) очень близко к
единице. Но даже такое малое отличие goo от единицы приводит к
значительным гравитационным эффектам, наблюдаемым на Земле.
Взяв радиус Земли порядка 109 см, найдем, что значение goo,m порядка
10~18см-1. Следовательно, отклонение пространства от плоского крайне
мало. Однако, чтобы получить ускорение в гравитационном поле
на поверхности Земли, нужно умножить это отклонение на квадрат
скорости света, т.е. на 9 • 1020 (см/сJ. Поэтому ускорение (около
103см/с2) вполне ощутимо, хотя само отклонение пространства от
плоского бесконечно мало, чтобы его можно было наблюдать непосред-
непосредственно.
Л. 17. Гравитационное красное смещение
Рассмотрим монохроматическое излучение покоящегося атома, нахо-
находящегося в статическом гравитационном поле. Длина волны излучаемого
света соответствует определенному значению As. Поскольку атом поко-
покоится, в статической системе координат типа системы, использовавшейся
в разделе 16, имеем д§2 = ^д^
где Ах° — период, т. е. время между соседними максимумами, отнесенное
к выбранной системе координат.
При распространении света в другую область пространства Аж° не
изменяется. Величина Аж° — не то же самое, что период некоторой спек-
спектральной линии атома, находящегося в данной точке. Эту роль играет As.
2. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 135
Таким образом, период зависит от гравитационного потенциала goo в той
точке, где свет был излучен:
Множитель g^Q описывает смещение спектральной линии. В ньютоновом
приближении A6.6) имеем
Ах° ~ 1 - V.
Значение V отрицательно в области сильного гравитационного поля, на-
например на поверхности Солнца. Поэтому свет, излучаемый на Солнце, сме-
смещен относительно света, излучаемого на Земле, в красную часть спектра.
Этот эффект можно было бы наблюдать для света от Солнца, если бы
он не терялся на фоне других физических эффектов, таких, как эффект
Доплера, возникающий из-за движения излучающих атомов. Красное сме-
смещение более заметно для света от белых карликов, где вследствие высокой
плотности материи гравитационный потенциал на поверхности звезды го-
гораздо выше.
Л. 18. Решение Шварцшильда
Уравнения Эйнштейна для пустого пространства представляют собой
очень сложные нелинейные уравнения, и нахождение их точных решений
является весьма трудной задачей. Однако в одном специальном случае
решение находится без особых усилий, а именно: в случае статического
сферически-симметричного поля, создаваемого покоящимся сферически-
симметричным телом.
Условие статичности означает, что в статической координатной системе
goo не зависит от времени ж0, или ?, и, кроме того, gom = 0. В качестве
статической координатной системы можно выбрать сферические полярные
координаты х1 = г, х2 = 6, х3 = (р. Наиболее общее выражение для ds2
в случае сферической симметрии имеет вид
ds2 = Udt2 -V dr2 - Wr2{d62 + sin2 в dip2),
где [/, V и W зависят только от г. Не нарушая сферической симметрии,
можно заменить г произвольной функцией от г. Используем это обстоя-
обстоятельство для максимального упрощения выражения для ds2. Удобнее всего
обратить множитель W в единицу. Тогда ds2 можно записать следующим
образом:
ds2 = expBz/) dt2 - ехрBА) dr2 - г2 d62 - г2 sin2 в dip2, A8.1)
где v и А зависят только от г. Функции v и А должны быть выбраны так,
чтобы удовлетворять уравнениям Эйнштейна.
Из A8.1) можно выразить g^ через v и А:
goo = expBzy); gn = - ехрBА); g22 = -г2] #зз = -г2 sin2 (9;
gpiv = 0 ДЛЯ \1ф».
136 I. ЛЕКЦИИ
Далее находим
^оо = ехр(_2/,); g11 = - ехр(-2А); g22 = -r'2; g33 = -r~2 sin в;
g»v = 0 для Цф V.
Теперь необходимо выразить через v и А все символы Кристоффеля.
Многие из них обращаются в нуль, а оставшиеся имеют вид:
rJo = i/'expBi/-2A); Г?о = 1/;
Г^3 = -г sin2 в ехр(-2А); Г§3 = - sin в cos в,
где штрих означает дифференцирование по г. Эти выражения нужно
подставить в A4.4). В результате получим:
Яоо = (-!/" + AV - и'2 - ^) ехрBгу - 2А); A8.2)
z/'-AV + z/-^; A8.3)
R22 = A + rz/ - rV) exp(-2A) - 1; A8.4)
^33 = ^22 Sin2 б
(остальные компоненты R^ в этом случае тож:дественно равны нулю).
Эйнштейнов закон гравитации требует, чтобы эти выражения обраща-
обращались в нуль. Обращение в нуль A8.2) и A8.3) дает
А' + */ = 0.
При больших г пространство должно быть близко к плоскому, так что
при г —> схэ и А, и v должны стремиться к нулю. Следовательно,
Х + 1У = 0.
Из обращения в нуль A8.4) следует, что
(l + 2rz/)expBz/) = 1,
[rexpBi/)]' = l.
Отсюда
= r — 2га,
где га — постоянная интегрирования. Подстановка последнего соотноше-
соотношения в A8.2) и A8.3) также обращает их в нуль. Из этого же соотношения
получаем выражение для #оо-
l-^. A8.5)
Для больших значений г должно быть справедливо ньютоново прибли-
приближение. Сравнение A8.5) с A6.6) показывает, что постоянная интегриро-
интегрирования га, которая появляется в A8.5), есть не что иное, как масса тела,
создающего гравитационное поле.
2. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 137
Полное решение уравнений Эйнштейна имеет вид
ds2 = (l - ^) dt2 - (l - ^у1 dr2 - г2 d62 - г2 sin2 в dip2. A8.6)
Оно известно под названием решения Шварцшильда и применимо вне
тела, создающего гравитационное поле, т. е. в области, где отсутствует ма-
материя. Таким образом, это уравнение с приемлемой точностью справедливо
вне поверхности звезды.
Для движения планет вокруг Солнца решение A8.6) дает малые по-
поправки к ньютоновой теории. Они ощутимы только для Меркурия — бли-
ближайшей к Солнцу планеты — и объясняют отклонение траектории этой
планеты от траектории, предсказываемой теорией Ньютона. Это является
убедительным подтверждением эйнштейновой теории.
Л. 19. Черные дыры
При г = 2т решение A8.6) становится сингулярным, так как в этой
точке goo = 0 w gn = — оо. Может показаться, что г = 2т является мини-
минимально возможным радиусом тела массы т. Однако ближайшее рассмот-
рассмотрение показывает, что это не так.
Рассмотрим частицу, падающую на центральное тело. Пусть ее вектор
скорости есть v^ = dz^/ ds. Предположим, что частица падает по радиусу
так, что v2 = v3 = 0. Ее движение определяется уравнением геодезической
(8.3):
Учитывая, что g00 = 1 /goo, получаем
ds ds
Это уравнение интегрируется и дает соотношение
goov0 = к,
где к — постоянная интегрирования, которая равна значению goo B началь-
начальной точке траектории частицы.
В рассматриваемом случае имеем, как и прежде,
1 = g^vW = gOO(v0J + guiv1?.
Умножая это уравнение на goo и используя соотношение googn = — 1?
полученное в предыдущем разделе, находим
Для падающего тела v1 < 0; следовательно,
138 I. ЛЕКЦИИ
Тогда
4
' (к2 -
Пусть частица находится вблизи критического радиуса, т.е. г = 2га + ?,
где е мало и члены порядка е2 отброшены. Тогда
dt 2га 2га
dr e r — 2га
Интегрируя это соотношение, получаем
t = —2га In (г — 2га) + константа.
Таким образом, при г —^ 2га время t —> оо, т.е. для достижения частицей
критического радиуса 2га требуется бесконечное время.
Предположим, что удаленный наблюдатель рассматривает частицу,
излучающую свет определенной частоты. Свет испытывает красное смеще-
смещение, описываемое множителем #00 = 0- ~ 2га/г)~1//2. При достижении
частицей критического радиуса этот множитель обращается в бесконеч-
бесконечность. С точки зрения удаленного наблюдателя, все физические процессы
в частице по мере ее приближения к критическому радиусу г = 2га проте-
протекают все медленнее и медленнее.
Рассмотрим теперь наблюдателя, движущегося вместе с частицей. Для
такого наблюдателя приращение времени совпадает с ds. Тогда
dr у1 V г ) '
При г —> 2га величина ds/dr стремится к —к~^. Следовательно, достиже-
достижение частицей радиуса г = 2га происходит за конечное собственное время
наблюдателя. Если в момент достижения критического радиуса возраст
движущегося наблюдателя конечен, то что же произойдет с ним дальше?
По-видимому, наблюдатель будет продолжать свободно падать в пустом
пространстве, двигаясь в область все меньших и меньших значений г.
Для того чтобы рассмотреть продолжение решения Шварцшильда на
область г < 2га, необходимо ввести нестатическую систему координат;
g^v в этом случае становится функцией временной координаты. Оставим
координаты в и (р прежними, а вместо t и г введем тир, определяемые
соотношениями:
r = t + /(r); p = t + g(r), A9.1)
где / и # — произвольные функции. Тогда справедливо равенство
/ л zra \ ,,2 , о (?i 2га Д 7, 7 . / ?^ zra ^ \ ,2
= 11- — I dtz + 2 ( /' - — я') dtdr + ( /' - — я ) drz =
dr2, A9.2)
2. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 139
полученное за счет выбора функций / и g, которые удовлетворяют усло-
условиям: о
f=2-fg> A9.3)
^yl . A9.4)
Здесь штрих означает производную по г.
Исключив из этих уравнений /, найдем
Чтобы проинтегрировать уравнение A9.5), положим г = у2 и 2т = а2.
При г > 2т величина у > а. Получаем
dy LV dr
-а2
2'
откуда
ly a*\nV±l. A9.6)
Окончательно из A9.3) и A9.5) имеем
/ г \1/2
что интегрируется и дает
\^=r^ = g-f = p-T. A9.7)
Таким образом,
A9.8)
гДе
Из проведенных выкладок видно, что удовлетворить условиям A9.3) и
A9.4) можно. Значит, справедливо равенство A9.2). Подставляя A9.2)
в решение Шварцшильда A8.6), получаем
ds2 = dr2 ?^-- dp2 - v2(p - rfl\d62 + sin2 в dp2). A9.9)
Mp-t)
Критический радиус г = 2m, согласно A9.7), соответствует р — г = —.
В метрике A9.9) сингулярность отсутствует.
Поскольку метрику A9.9) можно явно преобразовать в решение
Шварцшильда при помощи преобразования координат, то она удовлетво-
удовлетворяет уравнениям Эйнштейна для пустого пространства в области г > 2т.
Из отсутствия сингулярности при г = 2т и из аналитической непрерыв-
непрерывности заключаем, что A9.9) удовлетворяет уравнениям Эйнштейна и при
140 I. ЛЕКЦИИ
г ^ 2га. Метрика A9.9) остается применимой вплоть до точки г = 0 или
р-т = 0.
Сингулярность появляется при переходе от новых координат к ис-
исходным A9.1). Но так как введена новая система координат, забудем об
исходной, и тогда сингулярность больше появляться не будет.
Видно, что решение Шварцшильда для пустого пространства распро-
странимо на область г < 2га. Однако эта область изолирована от области
г > 2га. Как нетрудно проверить, любому сигналу, даже световому, потре-
потребуется бесконечное время, чтобы пересечь границу г = 2га. Таким образом,
область г < 2га не является непосредственно наблюдаемой. Такую область
называют черной дырой, так как материальные тела могут попасть внутрь
сферы радиусом г = 2га (за бесконечное время по часам удаленного на-
наблюдателя), но ничто не может выйти наружу.
Возникает вопрос, существуют ли такие области в действительно-
действительности? Определенно можно сказать только одно: уравнения Эйнштейна
их существование допускают. Массивный звездный объект может
сжаться до очень малых размеров; в этом случае гравитационные
силы становятся настолько большими, что никакие другие из из-
известных физических сил не смогут их уравновесить и предотвратить
тем самым дальнейшее сжатие. Похоже, что сжатие такого объекта
должно привести к образованию черной дыры. Правда, по часам
удаленного наблюдателя на это потребовалось бы бесконечное время,
однако по отношению к самой падающей материи время сжатия
конечно.
Л.20. Тензорные плотности
Элемент четырехмерного объема при преобразованиях координат пре-
преобразуется по закону:
dx0' dx1'dx1' dx3' = dx° dx1 dx1 dx3 J, B0.1)
где J — якобиан;
T _ д(х°'хГ'x2''x3') _ , p'
o(x xxx) '
Для краткости запишем B0.1) в виде
dV = JdAx. B0.2)
Учтем, что
Правую часть этого выражения можно рассматривать как произ-
произведение трех матриц; у первой матрицы индекс а обозначает строки,
индекс // — столбцы; у второй матрицы индекс // обозначает строки,
индекс и' — столбцы; у третьей матрицы индекс и' обозначает строки,
индекс /3 — столбцы. Это произведение равно матрице gap из левой части.
2. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 141
Соответствующее соотношение должно иметь место и для детерминантов,
поэтому
g = Jg'J или g = J2g'.
Далее, так как g является отрицательно определенной величиной, мож-
можно образовать ^/—g, где подкоренное выражение выбрано положительно
определенным.
Таким образом,
V^g=J\f^gi- B0.3)
Пусть S — некоторое скалярное поле. Для него S = Sf. Тогда
^/^ J dAx = [ S'y/^i' dAx'
при условии, что область интегрирования в координатах х1 соответствует
области интегрирования в координатах х. Следовательно,
^/—g dAx = инвариант. B0.4)
Назовем величину S^—g, интеграл от которой является инвариантом,
скалярной плотностью.
Аналогично для любого тензорного поля Т^и- величину T^v'"yJ—g
можно назвать тензорной плотностью. Когда область интегрирования ма-
мала, J T^p\J—g dAx является тензором. Если область интегрирования не
мала, то этот интеграл не будет тензором, так как он представляет собой
сумму тензоров, заданных в разных точках и, следовательно, не преобра-
преобразуется по какому-либо простому закону при преобразованиях координат.
Величина \f--g в дальнейшем используется очень часто. Далее для
краткости будем записывать ее в виде л/~. Так как
то формула A4.5) дает
и формулу A4.6) можно записать в виде
\ J gXflg\^, B0.5)
B0.6)
Л.21. Теоремы Гаусса и Стокса
Ковариантная дивергенция Л^:/л вектора А^ является скаляром. Для
нее можно записать выражение
Отсюда
^Г (»S) B1-1)
142 I. ЛЕКЦИИ
Подставив в качестве S в B0.4) А^:ц, получим инвариант
Если интеграл берется по ограниченному (четырехмерному) объему, то
правую часть можно преобразовать по теореме Гаусса в интеграл по (трех-
(трехмерной) граничной поверхности этого объема.
При Л% = 0
(^) = 0. B1.2)
Это приводит к закону сохранения, а именно к закону сохранения жидко-
жидкости, плотность которой есть Л° л/~, а поток задается трехмерным векто-
вектором Аш л/~ (га = 1,2,3). Можно проинтегрировать B1.2) по трехмерному
объему V при некотором фиксированном х°. В результате получим
l Си JL
— поверхностный интеграл по границе объема V. Если отсутствуют токи,
пересекающие границу объема V, то j A0 \f d?x есть константа.
Эти результаты для вектора А^ нельзя, вообще говоря, распростра-
распространить на тензор с большим числом индексов. Рассмотрим тензор с двумя
индексами Y^v. В плоском пространстве, используя теорему Гаусса, мож-
можно преобразовать JYV^dAx в поверхностный интеграл; в искривленном
пространстве в общем случае нельзя преобразовать объемный интеграл
§Y^V v \f d^x в поверхностный. Исключение составляет антисимметрич-
антисимметричный тензор F^u = —Fu^.
В этом случае
отсюда с учетом B0.6)
Тогда
F^lvyT = {F^^)^. B1.3)
Следовательно, J F^y:yyJ~ d4x равен поверхностному интегралу, и при
условии F^y:u = 0 получаем закон сохранения.
Для симметричного тензора Y^u = У^м, если опустить один из индек-
индексов и работать с Y^-.v, то можно получить соответствующее уравнение
с дополнительным членом:
\г у \r v па у v _|_ тли у а
Подставив а = v и использовав B0.6), получим
V^ V^ J_ Г ~^ Г Va_P \/olv
1 /л : v — J fi ,v ~г V V ,a J /л L ol[iv 1
2. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 143
Поскольку Yai/ симметричен, то можно с учетом G.6) заменить Га/Л1/
в последнем члене величиной
I (Га1/ + Тиа ) = - gai/
В итоге можно записать
Для ковариантного вектора Л^ имеем выражение:
Результат B1.5) можно сформулировать так: ковариантный ротор равен
обычному ротору. Это утверждение справедливо только для ковариант-
ковариантного вектора. Для контравариантного вектора по соображениям баланса
индексов ротор образовать нельзя.
Положим \i = 1, v = 2. Тогда получим
Al:2 - A2:l = v4i52 - ^2,1-
Проинтегрируем это равенство по некоторой области поверхности ж0 =
= const, х3 = const. Согласно теореме Стокса, имеем
^1-2 - ^2-i) dx1 dx2 = (Ai 2 - A2 i) dx1 dx2 = (A\ dx1 + A2 dx2),
J J J
B1.6)
где последний интеграл берется по границе области. Таким образом, полу-
полученный интеграл по замкнутому контуру равен потоку через поверхность,
ограниченную этим контуром. Этот результат должен иметь место не толь-
только в системе координат, в которой уравнение рассматриваемой поверхности
есть х° = const, х3 = const, но и в общем случае, т.е. в любой системе
координат.
Чтобы получить инвариантный способ записи этого результата, введем
общее выражение для элемента двухмерной поверхности. Элемент поверх-
поверхности, определяемый двумя малыми контравариантными векторами ?м
и См, задается антисимметричным тензором второго ранга:
Тогда, если ?^ и ("м имеют вид @, rfa?1, О, 0) и @, 0, dx2, 0), то две компо-
компоненты dS^ выглядят следующим образом:
dS12 = dx1 dx2; dS21 = -dx1 dx2,
а остальные компоненты обращаются в нуль. Левая часть B1.6) принимает
вид J J A^:u dS^u] правая часть B1.6) есть, очевидно, J A^dx^, поэтому
имеем 1 г г г
\ jj (Afi:v-Av:fl)dS'tv= J A^dx". B1.7)
Поверхность Периметр
144 I. ЛЕКЦИИ
Л.22. Гармонические координаты
Уравнение Даламбера OV = 0 для скалярного поля V с учетом A0.9)
дает
g^iV^u - Г°„^в) = 0. B2.1)
В плоском пространстве в неортогональной системе координат каждая из
четырех координат хх удовлетворяет уравнению П\хх = 0. В B2.1) можно
в качестве V подставить х . Так как в отличие от V величина х не
является скаляром, полученное уравнение, разумеется, не будет тензор-
тензорным, т. е. это уравнение справедливо только в определенных координатных
системах. Оно накладывает на координаты некоторые ограничения.
Если в качестве V подставить жл, то V следует заменить величиной
жЛа = g^. Тогда уравнение B2.1) примет вид
g»vY*v = 0. B2.2)
Координаты, удовлетворяющие этому условию, называют гармонически-
гармоническими. Они аппроксимируют неортогональные координаты с максимальной
точностью, какая только возможна в искривленном пространстве. При
желании их можно использовать в любой ситуации, однако очень часто
дело того не стоит, так как тензорный формализм в произвольных коорди-
координатах действительно является весьма удобным аппаратом. При рассмотре-
рассмотрении гравитационных волн гармонические координаты все же оказываются
очень полезными.
Из G.9) и G.6) имеем в произвольных координатах
% - B2.3)
Отсюда с учетом B0.6) следует равенство
Огм"лА, = {-gvf)r%a - g^Ylv + g^Y%) S . B2.4)
Сворачивая его по двум индексам (полагаем а = v\ получаем
(^"лА^-^Г^лЛ B2.5)
Видно, что альтернативная форма записи условий гармоничности есть
B2.6)
JI.23. Электромагнитное поле
Уравнения Максвелла в стандартной записи имеют вид:
Н = rot A; B3.2)
^ = -votB; B3.3)
divH = 0; B3.4)
2. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 145
i^ B3.5)
B3.6)
Сначала запишем их в четырехмерной форме в рамках специальной тео-
теории относительности. Потенциалы АиФ образуют 4-вектор к согласно
соотношениям
к° = Ф, km = Am, m = 1,2,3.
Введем
Тогда в соответствии с B3.1)
Е1
и согласно B3.2)
дх° дх1 дх° дх1 Fl° F '
гг1 _ дк3 _ дк2 _ _дкз_ . дк2 _ р _ ^23
~ дх2 дх3 ~ дх2 дх3 ~ 23 ~
Таким образом, шесть компонент антисимметричного тензора F^v
определяют полевые величины Е и Н.
Из B3.7) следует, что
^/л/,о- + Fya,^ + F<rn,v — 0. B3.8)
Это уравнение содержит в себе уравнения Максвелла B3.3) и B3.4). Далее,
из B3.6) имеем
F°% = FOm m = -Fm0,m = divE = 4тгр. B3.9)
Аналогично из B3.5) получаем
F ,V = F ,o + F >2 + F >3 = -_ + _y-_F=47rj . B3.10)
Плотность заряда р и ток jm образуют 4-вектор J^, согласно соотношени-
соотношениям J0 = р, Jm = jm. Тогда B3.9) и B3.10) объединяются в одно уравнение
F^%=4ttJ'\ B3.11)
Итак, уравнения Максвелла переписаны в четырехмерной форме, требуе-
требуемой специальной теорией относительности.
Чтобы перейти к общей теории относительности, нужно записать урав-
уравнения в ковариантной форме. С учетом равенства B1.5) тензор B3.7)
можно непосредственно обобщить:
гр и U
Это позволяет определить ковариантные полевые величины F^v. Далее
получаем
146 I. ЛЕКЦИИ
Выполняя циклическую перестановку индексов /i, z/, а и складывая полу-
полученные таким образом уравнения, имеем [с учетом B3.8)]:
Рцу.сг + Fvcr:n + ^uyiw — F\lv,cr + Fvcr,n + ^сг/z,^ = 0. B3.12)
В результате это уравнение Максвелла автоматически приобретает кова-
риантный вид.
Остается разобраться с уравнением B3.11). В рамках общей теории от-
относительности оно не справедливо и должно быть заменено ковариантным
уравнением
F^:i/ = 4ttJ^. B3.13)
Из равенства B1.3), которое справедливо для любого антисимметричного
тензора второго ранга, получаем
Отсюда непосредственно следует равенство
Это уравнение, аналогичное уравнению B1.2), представляет собой закон
сохранения электричества. Учет кривизны пространства не нарушает его,
закон выполняется точно.
Л.24. Модификация уравнений Эйнштейна
в присутствии материи
В отсутствие материи уравнения Эйнштейна имеют вид
BPV = 0. B4.1)
Отсюда следует, что R = 0 и, таким образом,
R»» -±g^R = 0. B4.2)
Если взять за исходное уравнение B4.2), то путем свертки можно получить
R-2R = 0
и, следовательно, вернуться к B4.1). В качестве основных уравнений пу-
пустого пространства можно использовать как B4.1), так и B4.2).
В присутствии материи эти уравнения необходимо модифицировать.
Предположим, что модифицированное уравнение B4.1) записывается так:
В?» = Х^, B4.3)
а уравнение B4.2) принимает вид
R^ --g^R = Y^. B4.4)
Здесь Х^у и Y^y — симметричные тензоры второго ранга, отражающие
присутствие материи.
2. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 147
Теперь видно, что B4.4) — более удобная для работы запись, так как
имеют место тождества Бианки A4.3), которые показывают, что
= 0.
Следовательно, B4.4) влечет за собой равенство:
Yf"/:l/ = 0. B4.5)
Любое тензорное поле YMZ/, порождаемое материей, должно удовлетворять
этому условию; в противном случае уравнение B4.4) не является согласо-
согласованным.
Для удобства введем в уравнение B4.4) коэффициент —8тг, и перепи-
перепишем его в виде i
gR 8тгУ. B4.6)
В дальнейшем будет показано, что тензор Y^v с этим коэффициентом сле-
следует интерпретировать как плотность и поток энергии-импульса (неграви-
(негравитационного происхождения), причем Ум° представляет собой плотность, а
У ^г — поток.
В плоском пространстве уравнение B4.5) имело бы вид
У% = 0
и влекло бы за собой закон сохранения энергии-импульса. В искривленном
пространстве энергия-импульс сохраняются лишь приближенно. Откло-
Отклонение от закона сохранения вызвано действием гравитационного поля на
материю и наличием собственных энергии и импульса гравитационного
поля.
Л.25. Тензор энергии—импульса материи
Пусть задано распределение материи, скорость которой непрерывно
меняется от точки к точке. Если обозначить z*1 координаты элемента
материи, то можно ввести вектор скорости v^ = dz^/ds, который, подобно
полевым величинам, будет непрерывной функцией координат точки. Век-
Вектор скорости обладает следующими свойствами:
g^Wv» = 1;
0 = (g^vWy.a = g^ivW:* + v»:av») = 2g^v»:G. B5.1)
Отсюда v , .
Vi/V :<r = 0. B5.2)
Можно ввести скалярное поле р таким образом, чтобы векторное поле
pv^ определяло плотность и поток массы так же, как JM определяет
плотность и поток электрического заряда; другими словами, чтобы pv° \f
являлось плотностью, a pvm ^J~ —потоком.
Необходимое условие для сохранения массы:
148 I. ЛЕКЦИИ
ИЛИ
(р^):м = 0. B5.3)
В рассматриваемом случае плотность и поток энергии материи будут
иметь вид pv°v° \f и pv°vm \f соответственно, плотность и поток ее
импульса — pvnv° y/~ и pvnvm y/~. Положим
Т**" = pvf*v". B5.4)
Тогда T^v л/~ содержит плотность и поток энергии и импульса. Эту вели-
величину называют тензором энергии — импульса материи. Тензор Т^, разу-
разумеется, симметричен.
Можно ли в качестве материального члена в правой части уравнений
Эйнштейна B4.6) использовать Т^"? Для этого требуется, чтобы выпол-
выполнялось равенство Т^:1/ = 0. Из B5.4) имеем
Первый член в правой части обращается в нуль в силу закона сохранения
массы B5.3). Второй член исчезает, если материя движется по геодезиче-
геодезическим, поскольку в случае, когда вместо того, чтобы быть заданной толь-
только на мировой линии, скорость v^ определена как непрерывная полевая
функция, имеем
57
Тогда (8.3) приобретает вид
ИЛИ
v^^y" = 0. B5.5)
Теперь видно, что тензор энергии — импульса материи B5.4) с соот-
соответствующим численным множителем к можно подставить в уравнения
Эйнштейна B4.4). Получим
I
gR kpvv». B5.6)
Определим теперь значение коэффициента к. Перейдем, следуя методу,
изложенному в разделе 16, к ньютонову приближению. Заметим прежде,
что сворачивая B5.6), имеем
-R = кр.
Тогда уравнение B5.6) можно записать в виде
В приближении слабого поля, в соответствии с A6.4), получаем
9 8 \ёрсг,1ЛУ ~ gva,iJLp ~ gjJLp,va \ gjiv^pcr) = гьр V^V^ — — gцу .
2. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 149
Рассмотрим статическое поле и статическое распределение материи.
В этом случае vq = 1, vm = 0. Полагая /i = v = 0 и пренебрегая членами
второго порядка малости, находим
1 ^2 _ 1 ,. .
или с учетом A6.6)
Для того чтобы это совпало с уравнением Пуассона, нужно взять к = — 8тг.
Таким образом, уравнения Эйнштейна в присутствии движущейся ма-
материи имеют вид ^
\ gR = -8irpv'lvv. B5.7)
Тогда выражение Т7*", задаваемое B5.4), совпадает с Y^u из уравнения
B4.6).
Условие сохранения массы B5.3) дает
следовательно,
Это условие фиксирует закон изменения р вдоль мировой линии элемента
материи. При переходе от мировой линии некоторого элемента к мировой
линии соседнего элемента условие B5.8) допускает произвольное изме-
изменение р. Значит, можно выбрать р, обращающимся в нуль везде, кроме
семейства мировых линий, образующих трубку в пространстве — времени.
Такое семейство описывало бы частицу конечных размеров. Вне частицы
р = 0; следовательно, применимы уравнения Эйнштейна для пустого про-
пространства.
Заметим, что если принять общий вид полевых уравнений B5.7), то из
них можно вывести два следствия: сохранение массы и движение материи
по геодезическим. Вспомним для этого, что [R^y — (l/2)gLllJR]:u обраща-
обращается в нуль вследствие тождества Бианки, откуда имеем
.. v + р«"гЛ „ = 0. B5.9)
Умножим это уравнение на v^. Второй член даст нуль, что следует из
B5.2), и останется (pvu):l, = 0, а это как раз совпадает с условием сохра-
сохранения B5.3). Теперь уравнение B5.9) сводится к равенству vuv^:y = 0,
т. е. к уравнению геодезической. Таким образом, нет необходимости делать
предположение о том, что частица движется по геодезической. Для малой
частицы движение вдоль геодезической обеспечивается применимостью
уравнений Эйнштейна для пустого пространства в области вокруг ча-
частицы.
150 I. ЛЕКЦИИ
Л.26. Вариационный принцип для гравитации
Введем скаляр
I=\Ry/~ d4x, B6.1)
где интегрирование проведено по определенному четырехмерному объему.
Придадим gци малое приращение Sg^^, оставляющее g^ и его первые
производные неизменными на границе объема. Требование 61 = 0 при
произвольных Sg^ приводит, как будет показано ниже, к уравнениям
Эйнштейна для пустого пространства.
Из формулы A4.4) имеем
R = g^R^ = R*-L,
где
B6.2)
B6.3)
*
Скаляр / содержит вторые производные g^v, поскольку они входят в R
Однако эти производные входят лишь линейно и, следовательно, их можно
исключить интегрированием по частям. Получим
B6.4)
Два первых члена являются полными производными, и поэтому они не
дают вклада в /. Тогда в выражении B6.4) необходимо оставить только
два последних члена. С учетом B2.5) и B2.4) они принимают вид
Это совпадает с 2L л/~ из B6.3). Таким образом, для / получаем выраже-
выражение:
г
содержащее только g^ и его первые производные. Скаляр / является
однородной квадратичной формой по первым производным.
Положим j?f = L \f и возьмем эту величину (с соответствующим чис-
численным множителем, который будет определен ниже) в качестве плотности
действия для гравитационного поля. Величина ?? не является скалярной
плотностью, однако работать с ней удобнее, чем с величиной R ^J~, явля-
являющейся скалярной плотностью, так как ?? не содержит вторых производ-
производных g^.
Согласно классической динамике, действие есть интеграл по времени
от лагранжиана. В рассматриваемом случае
/ =
= I dx0 \ ?? dx1 dx2 dx3,
2. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 151
так что лагранжианом, очевидно, является
\$f dx1 dx2 dx3.
Таким образом, j?? можно рассматривать и как плотность лагранжи-
лагранжиана (в трех измерениях), и как плотность действия (в четырех измере-
измерениях). Компоненты g^v можно считать динамическими координатами, а
их временные производные — скоростями. Заметим далее, что лагранжиан
является квадратичной (неоднородной) формой по скоростям, как обычно
и бывает в классической динамике.
Теперь проварьируем ??. Используя формулы B0.6) и B2.5), получаем
^ «vg^ у/-) - Г^Г«
V" ,«) - Г^ <5(яаг/ уг)>, - Г^Г^ <5(^ ^), B6.5)
а согласно B2.3)
/ j^ - B6.6)
Вычитая B6.6) из B6.5), находим
SJ? = Т%„ 5(g^S),a ~ Г^ ^а" S),u + (rjar^ - Г^Г^) 6(g^ yf).
B6.7)
Два первых члена отличаются от
на полную производную. Отсюда имеем
4x, B6.8)
где R^v задается формулой A4.4). При произвольных Sg^ величины
S(g^L1/ y/~) такж:е являются произвольными и независимыми, тогда требо-
требование обращения B6.8) в нуль приводит к уравнениям Эйнштейна в форме
B4.1).
Методом, аналогичным выводу формулы G.9) можно показать, что
5g^ = -g^g^8gap. B6.9)
В соответствии с B0.5) получим
&у/~ = \ Sgap5gap. B6.10)
Таким образом,
152 I. ЛЕКЦИИ
SI = - \ iV (g^guP - \ g^g00) лГ 5gap d4x =
Тогда B6.8) можно записать в другой форме:
\ gaPR) V Sgap d4x. B6.11)
Требование обращения B6.11) в нуль приводит к уравнениям Эйнштейна
в форме B4.2).
Л.27. Действие для непрерывно распределенной материи
Рассмотрим непрерывное распределение материи, скорость которой
непрерывно меняется от точки к точке, подобно тому, как это было сделано
в разделе 25. Запишем вариационный принцип в присутствии материи,
взаимодействующей с гравитационным полем, в виде
S(Ig + 1Ш) = 0, B7.1)
где гравитационная часть действия Ig совпадает с точностью до некоторо-
некоторого численного множителя к с I из предыдущего раздела, а 1т — матери-
материальная часть действия, которая сейчас и будет определена. Условие B7.1)
должно приводить к уравнениям Эйнштейна B5.7) для гравитационного
поля в присутствии материи и к уравнениям геодезической для движения
материи.
В дальнейшем необходимо будет знать, как влияет на 1т произвольная
вариация положения элемента материи. Рассуждение станет более понят-
понятным, если предварительно рассмотреть чисто кинематические вариации
безотносительно к метрике g^v. В этом случае существует принципиаль-
принципиальное различие между ковариантными и контравариантными векторами, и
нельзя перейти от одного к другому. Скорость описывается отношением
компонент контравариантного вектора и^ и не может быть нормирована
без введения метрики.
Для непрерывного потока материи вектор скорости и^ (с некоторым
неизвестным множителем) задан в каждой точке. Можно построить совпа-
совпадающую по направлению с и^ контравариантную векторную плотность р^,
которая определяет величину и скорость потока в виде
р° dx1 dx2 dx3,
равного количеству массы в элементе объема dx1 dx2 dx3 в определенный
момент времени и
р1 dx° dx2 dx3,
равного количеству массы, прошедшей через элемент поверхности dx2 dx3
за время dx°. Предположим, что масса сохраняется, тогда
Р% = 0. B7.2)
2. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 153
Пусть каждый элемент материи смещен из точки z*1 в точку z^ + Ь^,
где Ь^ — мало. Требуется определить результирующее изменение р^ в за-
заданной точке х.
Сначала рассмотрим случай Ь° = 0. Изменение количества массы, на-
находящейся в трехмерном объеме V, равно с обратным знаком количеству
массы, прошедшей через границу объема
S lp0dx1dx2dx3 = - lp°brdSr, r = 1,2,3,
v
где dSr обозначает элемент поверхности, ограничивающей объем V. Пра-
Правую часть этого равенства можно преобразовать по теореме Гаусса; тогда
получим
5р° = -(p°br),r. B7.3)
Теперь этот результат нужно обобщить на случай b° ф 0. Если 6м
пропорционально рм, то каждый элемент материи смещается вдоль своей
мировой линии и, следовательно, вектор р^ не изменяется. Обобщение
B7.3) имеет, очевидно, следующий вид:
6р° = (prb° - pV)>r,
так как при 6° = 0 последнее уравнение совпадает с уравнением B7.3), а
при 6^, пропорциональном р^, дает 5р® = 0. Соответствующая формула
справедлива и для других компонент р^, так что окончательно общий
результат имеет вид
5» {»Ъ» »Ъу)^. B7.4)
При описании непрерывного потока материи р^ является основной
характеристикой, которая должна войти в функцию действия. Величи-
Величина рм должна варьироваться, согласно формуле B7.4), и затем после со-
соответствующего интегрирования по частям коэффициенты при каждой из
компонент Ь^ должны быть приравнены нулю. Это приведет к уравнениям
движения материи.
Действие для изолированной частицы массы т имеет вид
-mids. B7.5)
Необходимость введения коэффициента — т станет понятной, если
рассмотреть случай специальной теории относительности, для которой
лагранжиан имел бы вид производной по времени от B7.5), а именно:
ds Г. л<гг d^l1/2
(суммирование проведено по г; г = 1,2,3). Отсюда получаем выражение
для импульса:
dL _ mdx^ Л _ dx^_ dxn\
lxr/dx°) ~ m~dx~° V ~dx~° ~d^J
о/о г / i 0\ i 0 \ * 0 i 0 / А г>
о{ох /ах ) dx V dx dx / ds
154 I. ЛЕКЦИИ
Действие для непрерывно распределенной материи получим заменой
т в выражении B7.5) величиной р° dx1 dx2 dx^ и интегрированием:
1Ш = - ри dx1 dx1 dx6 ds. B7.6)
Чтобы записать 1т в более понятной форме, введем метрический тензор
и положим
р» = ру*уГ, B7.7)
где р — скаляр, определяющий плотность массы, a v^ — вектор единичной
длины, совпадающий по направлению с и*1. Получим
1Ш = - f р y/~ v° dx1 dx2 dx3ds = -\p^ d4x, B7.8)
где учтено, что г?° ds = dx®.
Такая форма записи действия не удобна для варьирования, так как р
и v^ не являются независимыми переменными. Чтобы можно было вос-
воспользоваться формулой B7.4), величины ри/ должны быть выражены
через рм. Из формулы B7.7) находим
Тогда выражение B7.8) принимает вид
1/24a;. B7.9)
Для определения вариации этого выражения воспользуемся соотноше-
соотношением:
^(РЧI/2 = \ (РХРХГ1/2(Р^ Sg»» + 2Р» бр») =
Теперь из вариационного принципа B7.1) после подстановки в него B6.11),
умноженного на коэффициент fc, имеем
5(Ig + Im) =
= -\[к (R^ - \ g*vR) + \ pv^v^ J Sgpu d4x - | v» 5p» d4x.
B7.10)
Приравнивая нулю коэффициент при Sg^ и выбирая к = A67т), полу-
получим уравнения Эйнштейна B5.7). Последний член B7.10), с учетом B7.4)
и B5.2), дает
)V d4x = | v^{pvb>* - pnv) d4x =
= {v^v - vV)tl)pubil d4x = (ур.. v - vv-. p)pvvbil \f d4x =
il..upvvb»J d4x. B7.11)
Приравняв нулю коэффициент при Ь*1, получим уравнение геодезической
B5.5).
2. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 155
Л.28. Действие для электромагнитного поля
Обычное выражение для плотности действия электромагнитного поля
имеет вид
{Ъъ)-\Е2 - Н2).
Если записать его в четырехмерных обозначениях специальной теории
относительности, обсуждавшихся в разд. 23, то получим
Это приводит к следующему выражению для инвариантного действия
в общей теории относительности:
/эм = (-167Г)-11 F^F^ yf d4x. B8.1)
Следует принять во внимание, что F^v = k^v — kv^\ значит, /эм является
функцией только g^ и производных от электромагнитных потенциалов.
Будем варьировать сначала g^w, оставляя ка постоянным; тогда F^v
(но не F^y) является константой. Из формул B6.10) и B6.9) имеем
yf) = F^F^ S yf +Ffll/Fap yf
= \ F
Таким образом,
dgpa.
f SgpcT = втгЯ" у/~ Sgp<T,
B8.2)
где симметричный тензор Ера, определяемый соотношением
gF^F^, B8.3)
есть тензор энергии — импульса электромагнитного поля. Заметим, что
в специальной теории относительности
4тгЯ00 = Е2 - \ (Е2 - Н2) = \{Е2 + Я2);
4тг?;01 = -F°2F12 - F°3F13 = Е2Н3 - Е3Н2,
т. е. S00 описывает плотность энергии, а Е®п совпадает с вектором Пойн-
тинга, характеризующим интенсивность потока энергии.
Вариация к^ при фиксированных gap с учетом B1.3) дает
= 2FP-» S SF^
"" yf Sk
= 4(F"" yf 5к^),и - AF»v,uyf 8к„. B8.4)
156 I. ЛЕКЦИИ
Складывая B8.2) с B8.4) и умножая результат на — 16тг, получаем
выражение для полной вариации:
]S d4x. B8.5)
Л.29. Действие для заряженной материи
В предыдущем разделе было рассмотрено электромагнитное поле в от-
отсутствие зарядов. Чтобы описать заряды, необходимо ввести соответству-
соответствующий член в действие. Для уединенной частицы с зарядом е дополнитель-
дополнительный член в действии имеет вид
-е f k^ dx» = -e f к^ ds, B9.1)
где интегрирование ведется вдоль мировой линии.
Если частица, несущая заряд, является точечной, то возникают труд-
трудности, связанные с тем, что ее электрическое поле содержит сингуляр-
сингулярность 1). Эти трудности можно обойти, если рассматривать вместо то-
точечного носителя заряда непрерывно распределенную материю. Будем
описывать эту материю в рамках формализма, развитого в разделе 27,
предполагая, что каждый элемент материи несет заряд.
В кинематических задачах фигурировала контравариантная векторная
плотность рм, определяющая плотность и поток массы. Здесь необходи-
необходимо ввести контравариантную векторную плотность ^ м, определяющую
плотность и поток электричества. Эти два вектора должны совпадать по
направлению. При малых смещениях приращение векторной плотности
^ м в соответствии с B7.4) можно записать следующим образом:
&J» = {/v\P-jnv),v B9.2)
с теми же значениями 6м, что и в B7.4).
Для частицы, несущей заряд, действие B9.1) в случае непрерывного
распределения заряженной материи приводит [аналогично B7.6)] к выра-
выражению
При введении метрики полагаем, в соответствии с B7.7), что
/ * = <т^уГ', B9.3)
где сг — скалярная функция, определяющая плотность заряда. Тогда дей-
действие принимает вид, аналогичный B7.8):
к^ yf dAx = - f k^f * dAx. B9.4)
г) Эта проблема обсуждается, например, в книге Паули В. Теория относительности /
Пер. с англ. — М.-Л., ГИТЛ, 1947. — Прим. пер.
2. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 157
Таким образом,
d4x =
4
(Гх. B9.5)
Уравнения взаимодействия заряженной материи с гравитационным и
электромагнитным полями следуют из общего вариационного принципа
S(Ig + Irn + /эм + Iq) = 0. B9.6)
Итак, возьмем сумму выражений B9.5), B8.5) и B7.10) с заменой последне-
последнего члена в B7.10) на B7.11) и приравняем нулю суммарные коэффициенты
при вариациях Sg^, Sk^ и №.
Если коэффициент при \f 8g^y умножить на — 16тг, то получим
2
Уравнение B9.7) представляет собой уравнение Эйнштейна B4.6) с Y^,
состоящим из двух членов: тензора энергии — импульса материи и тензора
энергии — импульса электромагнитного поля.
Коэффициент при л/~ дк^ дает
Из B9.3) видно, что crv^ совпадает с вектором тока J^; таким образом,
B9.8)
Уравнение B9.8) представляет собой уравнение Максвелла B3.13) в при-
присутствии зарядов.
Наконец, для коэффициента при л/~ № находим
или
Vй + рг ]и — п BQ Q)
Второй член в B9.9) представляет собой силу Лоренца, приводящую к
отклонению траектории элемента массы от геодезической.
Уравнение B9.9) является следствием уравнений B9.7) и B9.8). Дей-
Действительно, возьмем ковариантную дивергенцию от уравнения B9.7). С
учетом тождеств Бианки получим
= 0. B9.10)
158 I. ЛЕКЦИИ
Далее, согласно B8.3), и с использованием формул B3.12) и B9.8) имеем
+ \g^Fa'3Fap..1/ =
\(Fpa..v - Fpv..a - Fua:p)=47rF^Ja.
Таким образом, B9.10) принимает вид
v*{pvu)lv + pv»v»:u + F"aJa = 0. B9.11)
Умножая B9.11) на v^ и используя B5.2), получим
(здесь учтено условие Ja = crva, заключающееся в том, что Ja и va долж-
должны совпадать по направлению). Тогда первый член в B9.11) обращается
в нуль, и мы приходим к B9.9). Таким образом, уравнения, следующие из
вариационного принципа B9.6), не являются независимыми, что далеко не
случайно. Причины этого обсуждаются в лекции 30.
Л.30. Вариационный принцип в общем случае
Метод, развитый в лекции 29, можно обобщить на случай взаимо-
взаимодействия гравитационного поля с любыми другими полями, взаимодей-
взаимодействующими между собой. Вариационный принцип в общем случае можно
записать в виде
S(Ig + /') = 0, C0.1)
где Ig — гравитационное действие, обсуждавшееся выше, а V — действие
для всех остальных полей, состоящее из суммы слагаемых, по одному для
каждого поля. Большим преимуществом использования вариационного
принципа является возможность легко получать корректные уравнения
любых взаимодействующих полей. Необходимо лишь найти действие для
каждого из рассматриваемых полей и включить все эти члены в C0.1).
Гравитационное действие Ig = J ?? d4x, где ?? — лагранжева плотность
из раздела 26 с множителем A67Г). Для вариации Ig имеем
Выкладки разделе 26, приводящие к B6.11), показывают, что
Г • C0.2)
Пусть (рп (п = 1,2,3) обозначает негравитационные полевые величи-
величины. Предполагается, что каждая из срп является компонентой тензора;
конкретные тензорные свойства несущественны. Величина V имеет вид
2. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ159
интеграла от скалярной плотности: Г = J j?f' с?4ж, где ??' — функция срп
и их первых (возможно, также и высших) производных.
Вариация действия дает следующий результат:
n S<pn)
d4x, C0.3)
где p^v = ру^, так как любой член, содержащий 5 (производная от полевой
величины), при помощи интегрирования по частям можно преобразовать
к выражению, которое включается в C0.3). Таким образом, вариационный
принцип C0.1) приводит к полевым уравнениям
р»" = 0; C0.4)
Хп = 0. C0.5)
Здесь p^v состоит из двух слагаемых: члена C0.2), обусловленного /^, и
члена (обозначим его N^v\ порождаемого ??'. Разумеется, N^
Величина ??' обычно не содержит производных от g^ в этом случае
. C0.6)
Теперь уравнение C0.4) принимает вид
2
Это не что иное, как уравнение Эйнштейна B4.6) с
yv>v — _2Д/^ C0 7)
Отсюда видно, какой вклад в правую часть дает каждое из полей в за-
зависимости от того [согласно C0.6)], каким образом входит g^ в действие
для этого поля.
Для согласованности уравнений N^ должно удовлетворять соотноше-
соотношению N^u :и = 0. Это свойство можно в самом общем виде вывести из усло-
условия, что Г инвариантно относительно преобразований координат, остав-
оставляющих неизменной граничную поверхность. Рассмотрим преобразование
координат, скажем, жм = х^ + 6^, где Ь^ мало и является функцией ж, и
будем искать вариацию V в первом порядке по Ь^. Трансформационный
закон для g^u имеет [согласно C.7)] вид
д. (х\ _ ха'х^'& 'й'(х') C0 8)
где штрихованные индексы стоят при преобразованном тензоре. Пусть
figa/З обозначает изменение gap в первом порядке не при фиксированном
значении поля, а при фиксированных значениях координат, в которых gap
задано, так что
Имеем далее ,
х« (x* + b<*\ g« + b«
160 I. ЛЕКЦИИ
Тогда из C0.8) следует, что
S>(*) = К + Ь°№ + bPu)\gap{x) + gap^ + Sgap] =
= g^{x) + gpv^V + Sgpy + grfbP, +
Итак,
Определим теперь вариацию V при таком изменении g^v\ остальные
поля имеют в точке х^ те же значения, что и до преобразования координат
в точке х^. Воспользовавшись C0.6), и на основании теоремы, выражаемой
формулой B1.4), справедливой для произвольного симметричного тензора
второго ранга, находим
61' = | TV"" SSliV yf d4x = | N^(-gfiab% - guab% - g^ab*) J d4x =
av:uba yf d4x.
Инвариантность V означает, что величина SIf долж:на обращаться в нуль
при любых значениях Ьа. Следовательно, Nau:у = 0.
Вследствие этого равенства полевые уравнения C0.4), C0.5) не явля-
являются независимыми.
Л.31. Псевдотензор энергии—импульса гравитационного поля
Введем величину t^", определяемую соотношением
Тогда имеем
и у Г\ ( д<? \ х
\?ц V J,i/ = 1 о 1 gaC^+
\Ogotf3,v J ^
Далее' dJ? dJ?
Согласно C0.2),
Теперь с помощью полевых уравнений B4.6) получаем
таким образом, из B1.4) и условия У^-.и = 0 имеем
C1.2)
2. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 161
Мы пришли к закону сохранения, поэтому сохраняющуюся плотность
(tjj,1' + У/л") V естественно рассматривать в качестве плотности энергии-
импульса 1). Как было показано, Y^v представляет собой энергию-импульс
негравитационных полей; следовательно, t^ описывает энергию-импульс
гравитационного поля. Однако t^u не является тензором. Уравнение
C1.1), определяющее t^v', можно записать в виде
Здесь L не скаляр, так как при его получении пришлось для исключения
вторых производных трансформировать скаляр /?, который был первона-
первоначально выбран в качестве действия. Значит, t^v не может быть тензором.
Эта величина получила название псевдотензор.
При нахождении выражения для энергии гравитационного поля невоз-
невозможно удовлетворить одновременно следующим условиям: 1) после до-
добавления к другим формам энергии величины t^v полная энергия со-
сохраняется; 2) энергия, заключенная в определенном (трехмерном) объеме
в фиксированный момент времени, не зависит от выбора системы коор-
координат. Таким образом, гравитационную энергию, вообще говоря, нельзя
локализовать. В лучшем случае можно пользоваться псевдотензором, удо-
удовлетворяющим только условию 1). Это дает приближенную информацию о
гравитационной энергии (впрочем, в некоторых специальных случаях эта
информация может быть точной).
Запишем интеграл
1л° + Yfj0) \f dx1 dx2 dx3 C1.4)
по трехмерному объему, включающему некоторую физическую систему
в определенный момент времени. Можно ожидать, что при стремлении
объема к бесконечности мы получим полные энергию и импульс, причем:
а) интеграл сходится, б) поток через поверхность, ограничивающую объем,
стремится к нулю. Тогда из уравнения C1.2) видно, что значения интег-
интеграла C1.4) в момент времени х° = а и некоторый другой момент х° = b
равны. Более того, этот интеграл не должен зависеть от выбора системы
координат, так как можно, не изменяя координат в момент времени ж0 =
= а, преобразовывать их при х° = Ь. Таким образом, найдено однозначное
сохраняющееся выражение для полных энергии-импульса.
Условия а) и б), необходимые для сохранения полных энергии и импуль-
импульса, в практически интересных случаях выполняются редко. Эти условия
имели бы место, если бы пространство было статическим вне конечной
четырехмерной трубки; такая ситуация реализуется, когда некоторые ма-
г) К закону сохранения C1.2) приводит также выражение для t^u \f, отличающееся
от C1.1) членом вида дг]1Лиа/дха, где rr)ixVOi = —г]^", т.е. Ь^и определено неоднознач-
неоднозначно. Действительно, известно несколько выражений для этой величины: Эйнштейна,
Ландау-Лифшица и Меллера-Мицкевича. — Прим. пер.
6 П.Дирак. TIV
162 I. ЛЕКЦИИ
термальные тела начинают двигаться в определенный момент времени, и
это движение создает возмущения, распространяющиеся вовне со скоро-
скоростью света. В случае обычной планетарной системы движение происходит
от бесконечного прошлого и условия а), б) не выполняются. Особого об-
обсуждения требует вопрос об энергии гравитационных волн; этой проблеме
посвящен раздел 33.
Л.32. Явное выражение для псевдотензора
Формулу C1.1), определяющую tyv, можно записать так:
W' = -^-q^-g^Se, C2.1)
где qn (n = 1,2,..., 10) соответствуют десяти gyv, и по всем значениям п
проведено суммирование. Аналогично C2.1) можно переписать в виде
t^^ = ^LQrn,li-g^, C2.2)
где Qm — любые десять независимых функций qn. Чтобы показать это,
заметим, что
п _ dQrn
oqn
Следовательно,
dQm,a _ dJf dQm и _
dqn,v dQm,* ддп,„ dQm,a dqn Ь а dQm,v dqn '
Тогда
откуда следуют равенства C2.1) и C2.2).
Для получения явного вида t^ удобно воспользоваться выражением
C2.2) и взять в качестве Qm величины g^u \f. Теперь можно использовать
формулу B6.7), из которой находим (с введением коэффициента 16тг)
167Г
где с — некоторый коэффициент. Следовательно,
^ - gl&. C2.3)
Л.33. Гравитационные волны
Рассмотрим область пустого пространства, в которой гравитационное
поле слабое и gyV приблизительно постоянно. Тогда применимо уравнение
A6.4) или
ё ygfiv^pcr gyp,va gficr,vp gpa,yv) = U. {OO. Ij
2. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 163
Введем гармонические координаты. Условие B2.2) с опущенным индек-
индексом Л дает
[\] C3.2)
Продифференцируем это уравнение по ха и пренебрежем членами второго
порядка. В результате получим
[\]v. (зз.з)
Поменяем местами р и а:
gIM/[g»*,,P-lg^,P*]=0. C3.4)
Сложим C3.1), C3.3) и C3.4):
= О-
Таким образом, каждая компонента gpa удовлетворяет уравнению Далам-
бера, и решение этого уравнения будет состоять из волн, распространяю-
распространяющихся со скоростью света. Это и есть гравитационные волны.
Рассмотрим энергию таких волн. Вследствие того, что псевдотензор
не является настоящим тензором, мы не получим в общем случае ясного
результата, не зависящего от выбора системы координат. Однако в одном
специальном случае, а именно когда все волны движутся в одном направ-
направлении, можно получить «чистый» результат.
Если все волны движутся в направлении оси ж3, то координатную
систему можно выбрать так, что g^v будут зависеть только от одной пе-
переменной ж0 — ж3. Рассмотрим более общий случай, когда все компоненты
g^y являются функциями одной переменной 1Gхсг^ где 1а — константы, удо-
удовлетворяющие условию gpcrlpla = 0 (в пренебрежении переменной частью
gpa). Тогда имеем
где и^у — производная от g^v по 1аха. Разумеется, u^v = uu^. Из условия
гармоничности C3.2) следует, что
I p-^i, I — I
г) Ь UjjJLUlp г)
1 — I p-^i, I — I ill
где и = и^. Это соотношение можно записать в виде
Uply = - Ulp, [ОО.О)
ИЛИ
„ = 0. C3.7)
L ^ J
Из C3.5) находим
164 I. ЛЕКЦИИ
Выражение для L B6.3) в гармонических координатах сводится к следую-
следующему:
После раскрытия скобок получим девять членов, но нетрудно показать,
что каждый из них обращается в нуль в соответствии с формулой C3.6) и
условием 1а1а = 0. Таким образом, плотность действия обращается в нуль.
Аналогичный результат имеет место в электромагнитном поле, для ко-
которого в случае волн, распространяющихся только в одном направлении,
плотность действия также обращается в нуль.
Теперь мы должны найти псевдотензор C2.3). Имеем
„а/3 _ _ ар (За _ _уа/3 / .
тогда
Следовательно, согласно C3.8) и C3.7)
K,(gaP SI» = S,a [-Ua? + \ga?u] I» = 0.
В результате остается
\]l^. C3.9)
Полученное для t^ выражение имеет вид тензора. Это означает, что
при преобразованиях координат, сохраняющих характер поля, при кото-
которых g^v остается функцией только от одной переменной 1аха (т.е. присут-
присутствуют только волны, распространяющиеся в одном направлении), величи-
величина ty? преобразуется как тензор. Такие преобразования координат могут
состоять только во введении координатных волн, движущихся в направ-
направлении 1а. Их общий вид: х^ = х^ + 6^, где Ь^ является функцией только
l$xs. Когда имеются волны, движущиеся только в одном направлении,
гравитационная энергия может быть локализована.
Л.34. Поляризация гравитационных волн
Чтобы понять физический смысл результата C3.9), вернемся к случаю,
когда волны движутся в направлении оси ж3, так что 1$ = 1, 1\ = /2 = 0,
/з = —1, и используем координаты, близкие к координатам специальной
2. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 165
теории относительности. Тогда из условий гармоничности C3.6) следуют
равенства:
+ + = 0; и2о + ^23 = 0; г^зо + ^зз = -^ и-
Отсюда
^ ^33 = U = Uoo — иц — U22 ~
значит, ^ , л „ ч
г^11 + ^22 = 0. C4.1)
Кроме того,
Теперь из C4.1) получим
О О О О
1 + «22 + «33 ~ 2«01 ~
- \ («оо - «ззJ =
/Q 1 О О О О О О
a0U - -U = Моо + «11 + «22 + «33 ~ 2«01 ~
= иц2 + U222 + 2и122 = \ {иц - U22? +
Таким образом,
C4.2)
o = to .
Видно, что плотность энергии положительно определена, и энергия
переносится в направлении оси х3 со скоростью света.
Для обсуждения вопроса о поляризации волн введем оператор R по-
поворота в плоскости ж1^2, действующий на произвольный вектор (А1А2)
следующим образом: RAi = А2] RA2 = —А\. Тогда R2A\ = — A\, т.е.
собственные значения оператора iR при действии на вектор равны ±1.
Оператор R действует на иар так:
Run = U21 + U12 = 2^12; RU12 = U22 — Un\ RU22 = —U12 — U21 = —
Таким образом,
R(un + ^22) = 0; R(un - ^22) = 4^i2; R2(un - U22) = -4
Значит, под действием R выражение иц + U22 не изменяется, тогда
как при действии на иц — и\2 или и\2 iR имеет собственные значения
±2. Таким образом, компоненты величины иар, дающие вклад в энергию
C4.2), соответствуют спину 2.
Л.35. Космологический член
Обобщение уравнений гравитационного поля в пустом пространстве
R»u = A3V, C5.1)
где Л — константа, рассмотрел сам Эйнштейн. Это уравнение — тензорное,
т. е. оно допустимо в качестве закона Природы.
166 I. ЛЕКЦИИ
Так как для уравнений Эйнштейна без дополнительного члена было
получено хорошее согласие с экспериментами внутри Солнечной системы,
Л следует выбрать достаточно малой, чтобы не возникло расхождений
с экспериментом. Величина R^v содержит вторые производные от g^v\
значит, Л имеет размерность (длина). Чтобы Л была малой, эта длина
должна быть очень большой. Величина Л/2 — космологическая длина
порядка радиуса Вселенной.
Этот дополнительный член важен в космологических теориях, но для
близлежащих объектов дает пренебрежимо малый эффект. Чтобы учесть
этот член в теории поля, необходимо ввести в лагранжиан дополнительный
член /& = с / \f dftx, где с — соответствующая константа.
Из B6.10) имеем SIk = с J(l/2) g^v Sg^ yj~ dAx. Тогда из вариацион-
вариационного принципа S(Ig + Ik) = 0 следует равенство:
16тг [я"" - \ ^"я] + \ eg»" = 0. C5.2)
Из уравнения C5.1) получаем R = 4 А и, следовательно, R^ —
— (l/2)gfJLI/R = —Xg^y. При выборе с = 32тгЛ это совпадает с C5.2).
При взаимодействии гравитационного поля с любыми другими полями
остается только включить член /& в полное действие, и мы получим обоб-
обобщенные полевые уравнения с эйнштейновым космологическим членом.
3. ПУТИ ФИЗИКИ
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
«Теория, обладающая математической красотой, име-
имеет больше шансов оказаться правильной, чем уродли-
уродливая теория, согласующаяся с какими-то числами».
П. A.M. Дирак
Пять лекций Дирака объединяет одна идея, точнее, их объединяет общее
отношение к физической теории, призванной объяснить реальный мир. Для ав-
автора одним из важных признаков истинности теории служит ее математическая
красота. Можно по-разному относиться к этому убеждению, но нельзя оспаривать
красоту уравнения Дирака, об истории открытия которого рассказано в первой
лекции.
Во второй лекции он дает краткий очерк идей квантовой электродинамики.
Дирака, в отличие от большинства современников, не удовлетворяет состояние
этой науки: наличие бесконечностей, которые устраняются перенормировкой,
нарушает стройность теории. Но, может быть, бесконечности исчезнут в универ-
универсальной теории — теории, объединяющей все взаимодействия в Природе. Такая
надежда поддерживает в физиках оптимизм.
Совсем из «ничего», без всяких экспериментальных сведений, Дирак выска-
высказал идею о монополях. О их праве на существование рассказано в третьей лекции.
Магнитные монополи не обнаружены в Природе; опыты, описанные в лекции,
оказались неубедительными, но идея монополей и линий узлов («струн», по
современной терминологии) нашла свое продолжение в релятивистской теории
поля и космологии. Поиски монополей остаются целью всё новых и новых опытов,
и их исследование еще далеко от завершения. Уравнение Майораны, о котором
рассказано в четвертой лекции, до сих пор не имеет применения. Оно оказалось
почему-то недостаточно красивым. Быть может, физики еще не поняли его кра-
красоты.
Идея об изменении гравитационной постоянной со временем, которой по-
посвящена пятая лекция, пока не получила экспериментального подтверждения.
Вопрос о том, откуда появились большие числа, привел к увлекательным идеям
о ранних этапах эволюции Вселенной. Об этом можно прочесть в яркой книге
С. Вайнберга «Первые три минуты» (М.: Энергоиздат, 1981).
В лекциях Дирака сохранился стиль первопроходцев, которые не следовали
дорогой развития старых идей, а смело выдвигали новые, совершая переворот
в науке, после которого не одно поколение исследователей наводило в ней новый
порядок.
В лекциях эта черта отражена очень ярко. Дирак почти не касается опы-
опытов — материалом для него служат уравнения. Он не столько объясняет явления
Природы (он пишет «Природа» с большой буквы), сколько создает новый мир,
168 I. ЛЕКЦИИ
который затем сравнивает с реальным. Не всегда сравнение приводит к согласию,
но красивые «фантазии» Дирака даже в случае неудач доставляют читателю
удовольствие. Они позволяют понять, как мыслит физик, который совершил одно
из величайших открытий XX века.
В 1982 г. Дираку исполнилось 80 лет. «Пути физики» воспринимаются как
фрагменты воспоминаний о богатой научными приключениями внешне спокой-
спокойной жизни Поля Адриена Мориса Дирака.
Я.А. Смородинский
ПРЕДИСЛОВИЕ К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ
Выдающихся физиков нечасто удается уговорить на поездку к антиподам.
Тем более замечательно, что во время конференции в Майами проф. Г. Хо-
Хора и д-р Дж.Л. Хьюдж смогли заручиться предварительным согласием одного
из основателей современной квантовой теории приехать в Австралию и Новую
Зеландию и выступить с замечательными лекциями, опубликованными в этой
книге. Проф. Дирак читал лекции в Крайстчерче (Новая Зеландия) и в Сиднее,
Аделаиде и Канберре (Австралия). Представители моего поколения, которым
посчастливилось знать Резерфорда, Бора, Гейзенберга, Паули, Чедвика, Шредин-
гера, Эйнштейна и других великих физиков и слышать, как они рассказывают о
своих последних исследованиях, не осознавали до конца, что мы живем в самый
разгар революции, свершавшейся в физике. П.A.M. Дирак внес огромный вклад
в этот процесс, а ведь, присутствуя на его лекции в Кавендишской лаборатории
о положительно заряженной античастице, соответствующей электрону, мы были
разочарованы тем, что ее масса не равна массе протона! Все это происходило
незадолго до того, как идеи Дирака были подтверждены открытием позитрона, и
тогда мы благоговейно заговорили о сверхъестественной интуиции, которой был
наделен Дирак.
В физике вряд ли когда-нибудь еще наступит время, так насыщенное откры-
открытиями. Эти лекции значительны именно тем, что сам первооткрыватель расска-
рассказывает, как рождались новые представления и что из них следует. Некоторые
следствия, такие, например, как возможность изменения со временем гравита-
гравитационной постоянной или существование магнитных монополей, остаются пока
умозрительными заключениями, но сама их неопределенность является допол-
дополнительным стимулом для дальнейших исследований.
Мы благодарны д-ру Хьюджу за то, что он сумел организовать приезд проф.
Дирака и добиться финансовой помощи, благодаря которой приезд проф. Дирака
стал возможным. Мы признательны за щедрую финансовую поддержку учрежде-
учреждениям и частным лицам в Австралии и Новой Зеландии, особенно университетам
Нового Южного Уэльса, Аделаиды, Флиндерса, Кентербери и Австралийскому
национальному университету. Мы чрезвычайно признательны за помощь Австра-
Австралийскому институту физики и акционерному обществу Quentron Pty. Ltd.
Доцент отделения теоретической физики университета Нового Южного Уэль-
Уэльса Дж. Шепанский тщательно обработал к отредактировал магнитофонные запи-
записи лекций, а затем переслал их проф. Дираку для дальнейшего редактирования
и подготовки к опубликованию.
Марк Олифант
3. ПУТИ ФИЗИКИ 169
ОТ РЕДАКТОРОВ АНГЛИЙСКОГО ИЗДАНИЯ
Трудно представить себе человека, который смог бы с большим знанием
дела и лучше, чем проф. Дирак, описать как победы, одержанные современной
физикой, так и стоящие перед ней задачи. Проводя пионерские исследования
на «переднем крае» квантовой механики, Дирак тем не менее остается чрезвы-
чрезвычайно активным во всех смежных областях физики. Кроме того, он обладает
удивительной способностью представлять очень сложные задачи в таком виде,
что они сразу становятся понятными. Поэтому лекции проф. Дирака окажут
неоценимую помощь в понимании физики очень широкой категории читателей,
охватывающей не только ученых, инженеров или педагогов, но также и людей,
не имеющих специального образования.
Во время своего пребывания в Австралии и Новой Зеландии проф. Дирак
читал лекции по некоторым избранным вопросам. Иногда темы докладов, сде-
сделанных в разных местах, перекрывались, и поэтому отобрать материал для этой
книги было довольно трудно. Например, лекцию «Развитие квантовой механики»
мы решили опубликовать в том виде, в котором она была прочитана в Сиднее, а не
в Аделаиде (имеется расшифровка стенограммы лекции в Аделаиде, прокоммен-
прокомментированная проф. К.А. Херстом. Ее можно получить на кафедре математической
физики университета Аделаиды). Перед лекцией в Сиднее проф. Г.Дж. Гоулд-
смит приветствовал проф. Дирака от имени Австралийского института физики.
Несмотря на то что во всех трех университетах Сиднея были каникулы, на лекции
присутствовало более пятисот человек, откуда видно, какой радушный прием
был оказан проф. Дираку.
При публикации лекций «Квантовая электродинамика» и «Магнитные моно-
поли» были использованы записи, сделанные в университете Кентербери (Край-
(Крайстчерч, Новая Зеландия). Магнитные монополи — одна из остроумных идей, при-
принадлежащих Дираку. Во время его визита вопрос о магнитных монополях был
очень актуален, потому что всех интересовали результаты некоторых опытов,
указывающих на возможность существования монополя.
Лекция «Релятивистское волновое уравнение без отрицательных энергий»
имеет более узкое назначение и, наверное, больше подходит для специалистов.
Эта тема была предметом дискуссии на кафедре теоретической физики универ-
университета Нового Южного Уэльса.
Вместе с последней лекцией «Космология и гравитационная постоянная» мы
решили опубликовать также вступительное слово проф. Е.П. Джорджа, дирек-
директора Школы физики при университете Нового Южного Уэльса, и некоторые
выдержки из оживленной дискуссии, последовавшей после лекции. Все слуша-
слушатели испытывали чувство глубокой благодарности к проф. Дираку за то, что
он поделился с ними своими мыслями о направлениях развития физики; мы
надеемся, что сумели донести все им сказанное и до читателей этих лекций.
Г. Хора, Дж. Щепански
170 I. ЛЕКЦИИ
JI.l. Развитие квантовой механики х)
Я очень рад тому, что нахожусь здесь, в Сиднее, и имею возможность
поговорить с вами. А поговорить мне бы хотелось о том, как развивалась
квантовая механика; почти вся ее история прошла на моих глазах. Кван-
Квантовая механика развилась из классической механики Ньютона. Ньютон
установил законы механики, на которых основана вся теория механиче-
механических явлений и которые согласуются с результатами крупномасштабных
наблюдений, если их несколько «подправить» в соответствии с теорией
относительности Эйнштейна. Эти законы справедливы до тех пор, пока их
применяют к большим телам. Для очень малых тел, вроде тех, с которыми
мы встречаемся в мире атомов, законы Ньютона не выполняются.
Механика Ньютона, так называемая классическая механика, будет на-
нашей отправной точкой. Классическую механику можно использовать для
описания движения точечных электрических зарядов и заряженных ча-
частиц, если дополнить ее теорией Максвелла. Однако к атомам, как мы
увидим, она неприменима.
Сейчас принята следующая картина строения атома: вокруг ядра, несу-
несущего положительный заряд, движутся один или несколько электронов.
Согласно механике Ньютона и Максвелла, примененной к электрическим
зарядам, эти электроны должны были бы постепенно терять энергию на
излучение и в конце концов упасть на ядро. Таким образом, атом был
бы нестабильным. Однако известно, что атомы стабильны, так что сразу
возникло противоречие, очень обеспокоившее всех.
Это противоречие блестяще разрешил Нильс Бор: необходимо принять,
что атом может существовать в некоторых стационарных состояниях, в ко-
которых он не излучает. Чтобы это было так, надо отойти от стандартных
уравнений механики Ньютона и пренебречь силами, ответственными за
излучение. Эти силы малы: они несущественны в первом приближении.
Существенны лишь кулоновские силы, действующие между электриче-
электрическими зарядами. Тогда, согласно Бору, надо ввести такое приближение
в уравнение движения электронов в атоме, а затем предположить, что атом
может существовать только в некоторых, так называемых стационарных,
состояниях. Такие состояния определяются совершенно необычными для
классической механики условиями; эта новая система условий, называе-
называемых квантовыми, содержит постоянную Планка (ее принято обозначать /i),
которую Планк ввел в свой закон излучения черного тела.
Бор построил модель атома, согласно которой атом находится в ста-
стационарных состояниях, подчиняющихся таким квантовым условиям. Атом
может «перескакивать» из одного состояния в другое. Совершая скачок,
он испускает (или поглощает) излучение, чтобы обеспечивалось сохране-
г) Лекция была организована Австралийским институтом физики в Школе физики
при университете Нового Южного Уэльса (Кенсингтон, Сидней, Австралия) и прочи-
прочитана 25 августа 1975 г.
3. ПУТИ ФИЗИКИ 171
ние энергии. Испускаемое или поглощаемое излучение представляет собой
квант, обладающий определенной частотой, которая связана с энергией.
Представления Бора коренным образом отличались от ньютоновых:
предположение о стационарных состояниях, удовлетворяющих определен-
определенным условиям, было очень непривычным. Однако идеи Бора оказались
чрезвычайно плодотворными для объяснения спектра атома водорода и
других простейших атомов, в которых существенную роль играет только
один электрон. Успех теории Бора был так велик, что она вскоре получила
всеобщее признание.
Помню свое удивление, когда я впервые познакомился с теорией Бора.
До появления этой теории мир атома был окутан сплошной тайной. Сту-
Студентом, в Бристоле, я ничего не знал о теории Бора и услышал о ней уже
будучи аспирантом в Кембридже; и тогда передо мной раскрылся новый,
совершенно удивительный мир. Удивительным было то, что при опреде-
определенных условиях законы Ньютона оказались пригодными для описания
движения электронов в атоме: для этого нужно, во-первых, пренебречь
действующими на электроны силами, связанными с излучением; во-вто-
во-вторых, ввести в рассмотрение квантовые условия. Помню, какое огромное
впечатление произвела на меня теория Бора. Я считаю, что появление
идей Бора было самым грандиозным шагом в истории развития квантовой
механики. Самое неожиданное, самое удивительное заключалось в том,
что столь радикальное отступление от законов Ньютона дало такие заме-
замечательные плоды.
Разные физики продолжали развивать теорию Бора, но достижения
оказались весьма скромными. Успех сопутствовал тем, кто занимался
атомными системами, в которых существенную роль играл только один
электрон. Если же электронов было два или больше двух, как в атоме
гелия или в более сложных атомах, то для таких систем не удавалось
с помощью квантовых условий найти стационарные состояния. Производи-
Производились разные вычисления, основанные на искусственных предположениях,
но все они были безуспешны. Такова была ситуация, когда я приступил
к исследованиям в области теории атома. Я столкнулся с задачей, над
которой в то время работали многие физики: «Как распространить идею
боровскнх орбит на более сложные атомы?»
В этом направлении сильно продвинулся Гейзенберг в 1925 г. Он сделал
очень смелый шаг. У него возникла мысль сосредоточиться на величинах,
тесно связанных с наблюдаемыми величинами. Однако все наблюдаемое
имеет весьма отдаленное отношение к боровским орбитам, поэтому Гей-
Гейзенберг заявил, что отдельные боровские орбиты не очень существенны.
Все явления, наблюдаемые нами или же тесно связанные с наблюдаемыми,
можно объяснить с помощью двух боровских орбит, а не одной: двух вместо
одной. Что же из этого вытекает?
Представим себе, что все однотипные величины (одной природы) свя-
связаны с двумя орбитами и нам нужно придумать, как их записать. Набор
величин, каждая из которых связана с двумя элементами, естественно
172 I. ЛЕКЦИИ
представить в следующем виде:
При такой форме записи —из строк и столбцов — столбцам ставится
в соответствие одно из состояний, а строкам — другое. Подобный набор
величин математики называют матрицей.
Гейзенберг предложил использовать такой набор величин и считать,
что весь набор отвечает одной из динамических переменных теории Нью-
Ньютона. К динамическим переменным относятся, конечно, координаты ча-
частиц, их скорости и импульсы. Согласно Гейзенбергу, каждую из таких
величин надо заменить матрицей. Гейзенберг исходил из того, что теория
должна быть основана на наблюдаемых величинах и что наблюдаемыми
величинами являются элементы матрицы, с которыми связаны две орбиты.
Матрицы можно обычным образом складывать и умножать, из них
можно построить алгебру, однако при манипуляциях с ними возникает
важное новое свойство: если при перемножении двух матриц а и b по-
получается а6, то обычно этот результат отличается от того, который дает
умножение b на а. Для умножения матриц существуют определенные
правила, обойти которые невозможно и из-за которых ab не равно Ьа. Если
мы хотим обращаться с динамическими переменными как с матрицами,
то это означает, что наши динамические переменные образуют алгебру,
в которой ab ^ф Ьа. Такую алгебру называют некоммутативной,
Гейзенберг очень встревожился, обнаружив, что введенные им матри-
матрицы не подчиняются закону коммутативности умножения: ведь из-за этого
могла рухнуть вся теория. (С незапамятных времен физики использовали
динамические переменные, которые всегда образуют обычную алгебру:
а, умноженное на 6, равно 6, умноженному на а. Было совершенно непо-
непостижимо, чтобы динамические переменные не обладали таким свойством.)
Несмотря на недоумение, которое вызвал у Гейзенберга этот факт, он стал
в его теории основным пунктом, который потом оказался и самым важ-
важным. Действительно самое значительное в механике Гейзенберга — это то,
что динамические переменные являются элементами алгебры, в которой
умножение некоммутативно.
Затем исходная идея Гейзенберга получила дальнейшее развитие, и я,
будучи аспирантом, смог принять в этом участие. Как видите, мне по-
посчастливилось родиться в такое время, когда все могло произойти именно
так, как произошло.
Перед нами стояла задача так видоизменить уравнения Ньютона, что-
чтобы они удовлетворяли алгебре, в которой ab не равно Ьа. На первый взгляд
это казалось довольно сложным. Однако задача сильно упростилась бла-
благодаря результатам Гамильтона, которые он получил лет за сто до начала
нашей работы. Гамильтон исследовал уравнения Ньютона и нашел для них
3. ПУТИ ФИЗИКИ 173
другой способ записи. Тогда уже существовал общий способ записи этих
уравнений, введенный Лагранжем. Гамильтон же придумал другой способ
их записи, который сейчас называют гамильтоновой формой уравнений.
Записать уравнения Ньютона по-новому Гамильтона побудили лишь со-
соображения математической красоты. Он мог рассуждать, наверное, так:
«Записанные в таком виде уравнения очень красивы, но их совершенно не
обязательно так записывать. Продолжайте, если хотите, пользоваться той
формой записи, которую в самом начале ввел Ньютон».
Однако Гамильтон был, по-видимому, наделен каким-то удивительным
даром проникать в самую суть — удивительнейшим даром из тех, кото-
которыми когда-либо обладал математик. Он нашел для уравнений механики
такую форму записи, значение которой суждено было понять лишь спустя
столетие, через много лет после его смерти.
Значение гамильтоновой формы записи уравнений Ньютона состоит
в том, что ее очень просто обобщить, чтобы включить некоммутативность.
Для записи гамильтоновых уравнений можно использовать выражение,
которое называют скобками Пуассона и обычно записывают следующим
образом:
[а, Щ.
(Я не буду приводить определения этого выражения. Скажу лишь, что
оно обязательно появляется в гамильтоновых уравнениях и имеет фунда-
фундаментальное значение.) Оказывается, что скобки Пуассона соответствуют
(в очень сильной степени аналогичны) выражению
ab — Ьа /-. ч
гП ' ^ }
Заменив в соответствии с этой формулой скобки Пуассона в гамиль-
гамильтоновой форме уравнений коммутатором ab — Ьа, мы сразу перейдем от
уравнений классической механики в гамильтоновой форме к новым урав-
уравнениям, для которых умножение некоммутативно и которые можно ис-
использовать в гейзенберговой картине квантовой механики.
В то время можно было участвовать в интересной игре: различные
модели динамических систем, к которым мы привыкли в теории Ньютона,
приводить по общей формуле
г j -I ab — Ьа /о\
к ь] -+ —j- B)
к новой механике Гейзенберга. Я не случайно употребил слово «игра»,
оно точно передает то, что мы делали, — мы были увлечены интересной
игрой. Всякий раз, решив одну небольшую задачу, автор мог писать об
этом статью. В те времена даже «второсортный» физик мог с легкостью
сделать первоклассную работу. Теперь, увы, другие времена: сейчас перво-
первоклассному физику очень трудно сделать второсортную работу. Тогда мы
умели сравнительно просто переходить от гамильтоновой формы записи
уравнений Ньютона к уравнениям механики Гейзенберга. В результате в
нашем распоряжении оказывались уравнения новой квантовой механики.
174 I. ЛЕКЦИИ
Мы получили уравнения, в которые входили некоммутирующие вели-
величины, но при этом не могли их проинтерпретировать. Таким образом, в фи-
физической теории сложилась совершенно удивительная ситуация. (Обыч-
(Обычно в любой физической теории исследователь сначала понимает именно
смысл своих уравнений и только потом их записывает. Здесь же, наоборот,
мы получили уравнения до того, как научились их применять.)
Эти уравнения не сразу получили интерпретацию. На простых при-
примерах высказывались разные предположения. Элементы, расположенные
вдоль главной диагонали диагональной матрицы, отвечающей полной
энергии, можно было рассматривать как энергии состояний в квантовой
теории. После этого можно было постепенно отрабатывать более общие
методы интерпретации.
Надо подчеркнуть, что нам было известно общее уравнение движения
для любой динамической переменной. Согласно Гамильтону, любая дина-
динамическая переменная и должна изменяться во времени по закону
^ = кЯ], C)
где Н — полная энергия в теории Гамильтона. Этому соответствует кван-
квантовое уравнение
JK du _ иН - Ни /дч
~dt ~ ih * W
Оно представляет собой общее уравнение движения для динамической
переменной в механике Гейзенберга.
Итак, мы столкнулись с необходимостью дать общую интерпретацию
новых уравнений. Этому очень помогла одна из работ Шредингера. Он
(независимо от Гейзенберга) создал собственную теорию — такую альтер-
альтернативную схему квантовой механики, которая, на первый взгляд, не имела
ничего общего с гейзенберговой теорией. Однако через несколько месяцев
(Шредингер начал работу немного позже, чем Гейзенберг) оказалось, что
теории Шредингера и Гейзенберга на самом деле эквивалентны друг другу,
несмотря на то, что их исходные положения кажутся совершенно разными.
Теория Шредингера была основана на более ранней работе де Бройля,
в которой показано, как можно ввести волны, связанные с частицами.
Де Бройль использовал волновые функции, которые обычно обозначаются
греческой буквой ф. Для одной частицы ф зависит от трех координат этой
частицы (назовем их х\, Х2, #з) и времени:
Де Бройль написал уравнение для волн, которые описывались волновой
функцией ф. Согласно уравнению де Бройля плоские волны, движущие-
движущиеся в определенном направлении с определенной частотой, соответствуют
частице с определенными значениями импульса и энергии. Это реляти-
релятивистское соответствие математически безупречно.
На мысль о том, что волны и частицы связаны между собой, де Бройля
натолкнули соображения математической красоты. Теория де Бройля бы-
3. ПУТИ ФИЗИКИ 175
ла приложима только к частицам, на которые не действуют никакие силы,
а Шредингер сумел обобщить теорию так, чтобы с ее помощью можно
было описать движение электрона в электромагнитном поле, когда на него
действуют электрические и магнитные силы.
В теории Шредингера фигурируют операторы, которые действуют
на ф: о
-гН—=рг, E)
где г принимает значения 1, 2, 3. Каждый из этих операторов соответству-
соответствует одному из операторов импульса. Если мы используем такие операторы
и координаты ж, то это означает, что мы имеем дело с некоммутирую-
щими величинами, аналогичными некоммутирующим величинам в теории
Гейзенберга. Значит, можно установить связь между теорией Шредингера,
в которой применяются волновые функции и действующие на них опера-
операторы, и теорией Гейзенберга.
В первоначальном, гейзенберговом, варианте теории функции ф не бы-
было: она возникла в квантовой механике после появления работы Шредин-
Шредингера. Потом выяснилось, что волновая функция ф соответствует одному
из состояний, например одному из стационарных состояний теории Бора.
Операторы, переводящие одну волновую функцию в другую, связаны,
таким образом, с двумя состояниями. Так было установлено, что теории
Шредингера и Гейзенберга эквивлентны.
Общий метод интерпретации новой механики, появившийся через два
или три года после появления уравнений, заключался в следующем: квад-
квадрат модуля волновой функции \ф\2 предполагался равным вероятности того,
что частица находится в данной точке в определенный момент времени.
Я употребил здесь слово «вероятность». Это означает, что при интер-
интерпретации квантовой механики используется понятие вероятности. Такая
интерпретация позволяет вычислить вероятность определенного события,
в нашем случае — вероятность того, что электрон находится в определен-
определенной точке в определенный момент времени. В механике Ньютона, т. е.
в классической механике, мы не просто вычисляем вероятности — мы точно
вычисляем, какие именно события должны произойти. Новая механика,
квантовая, лишена определенности, которая характерна для механики
Ньютона. Отсутствие определенности является чрезвычайно серьезным
препятствием на пути к пониманию новой механики. Это то, с чем очень
трудно примириться.
Конечно, результаты экспериментов с атомами всегда носят вероят-
вероятностный характер; мы умеем вычислять вероятности по правилам новой
механики и сравнивать теоретические и экспериментальные результаты.
Оказывается, что данные теории и наблюдения согласуются между собой.
Если встать на эту точку зрения, то совершенно достаточно знать вероят-
вероятность события. Тем не менее человек не чувствует себя удовлетворенным,
если теория дает только вероятности. Все это стало причиной очень се-
серьезных разногласий.
176 I. ЛЕКЦИИ
Одни физики, во главе с Эйнштейном, считали, что по своей сути
физика должна быть причинной, а не просто давать вероятности того или
иного события. Бор же принял вероятностную интерпретацию, которая со-
согласовывалась с его физическими взглядами. Это привело к значительным
разногласиям между школами Бора и Эйнштейна, к разногласиям, сохра-
сохранившимся на протяжении всей жизни Эйнштейна. И Бор, и Эйнштейн
были выдающимися физиками. Так кто же из двоих был прав?
Кажется, что, согласно общепринятым идеям атомной теории, прав
Бор. Вероятностная интерпретация, основанная на волновой функции
Шредингера, — лучшее, что удалось придумать. Делалось много попыток
усовершенствовать теорию, чтобы получать с ее помощью не только ве-
вероятности. Однако все эти попытки провалились! В соответствии с со-
современной квантовой механикой, вероятностная интерпретация, которую
отстаивал Бор, является правильной. Но у Эйнштейна был все-таки одни
козырь. По его словам, добрый Бог не играет в кости. Эйнштейн верил
в то, что физика должна быть причинной по своему характеру.
Но я не исключаю возможности, что в конце концов может ока-
оказаться правильной точка зрения Эйнштейна, потому что современный
этап развития квантовой механики нельзя рассматривать как оконча-
окончательный. В этой теории существует немало нерешенных проблем, о ко-
которых я расскажу позже, в связи с современной квантовой механикой.
Современная квантовая механика — величайшее достижение, но вряд ли
она будет существовать вечно. Мне кажется весьма вероятным, что ко-
когда-нибудь в будущем появится улучшенная квантовая механика, в ко-
которой будет содержаться возврат к причинности и которая оправдает
точку зрения Эйнштейна. Но такой возврат к причинности может стать
возможным лишь ценой отказа от какой-нибудь другой фундаменталь-
фундаментальной идеи, которую сейчас мы безоговорочно принимаем. Если мы со-
собираемся возродить причинность, то нам придется заплатить за это,
и сейчас мы можем лишь гадать, какая идея должна быть принесена
в жертву.
Таковы основные положения, связанные с фундаментальными уравне-
уравнениями новой механики и с их интерпретацией. А сейчас мне бы хотелось
обсудить одну частную задачу, которой я много занимался, а именно зада-
задачу о том, как согласовать эти уравнения с теорией Эйнштейна. Уравнения
Ньютона, с которых я начал, справедливы лишь для частиц, которые
движутся с небольшими скоростями, не сравнимыми со скоростью света.
Как только вы займетесь быстро движущимися частицами, вам придется
перейти к новой механике — механике специальной теории относительно-
относительности Эйнштейна. Однако эта новая механика все еще не выходит за рамки
теории Ньютона, а ее уравнения можно записать в гамильтоновой форме.
Тут возникают некоторые специфические задачи, исследование которых
в конце концов приводит к концепции антиматерии. Мне бы хотелось
обсудить основные моменты этого исследования.
3. ПУТИ ФИЗИКИ 177
Нам придется написать несколько уравнений. Энергия частицы в тео-
теории Ньютона
где р — импульс частицы. Если скорость v велика, т.е. если v становится
сравнимой со скоростью света, то, согласно теории Эйнштейна, эту фор-
формулу надо заменить другой:
Е = с^т2с2+р2 . F)
Эйнштейнова формула очень сильно отличается от формулы Ньютона.
Различие проистекает, прежде всего, из того факта, что если частица
вообще не движется, то по теории Ньютона ее энергия равна нулю, а по
теории Эйнштейна она отлична от нуля и равна гас2.
Таким образом, по теории Эйнштейна частица обладает дополнитель-
дополнительной, не зависящей от ее скорости, энергией, которая «заперта» внутри
частицы. Для малых значений импульса р формула Эйнштейна имеет вид:
Е = га2 + -L р2 + ...
2т
В нее входят еще члены, содержащие более высокие степени р. Следова-
Следовательно, для частицы, движущейся не очень быстро, существование допол-
дополнительной энергии согласуется с теорией Ньютона.
Существует еще и другое различие между эйнштейновой формулой
для энергии и формулой Ньютона: в выражение F) для энергии входит
квадратный корень. Вы знаете из математики, что перед квадратным
корнем можно поставить знак плюс или минус. Получается, что по фор-
формуле Эйнштейна энергия может принимать как отрицательные, так и
положительные значения. Графически энергии принято изображать го-
горизонтальными линиями, отвечающими разным энергетическим уровням.
Тогда по формуле Эйнштейна значение энергетического уровня может
быть равно или больше гас2, поднимаясь так до бесконечности. Группа
таких энергетических уровней изображена на рис. 1. Есть и другая группа
уровней, которые начинаются со значения —тс2 и продолжаются вниз
до минус бесконечности, как показано на рис. 2. Все эти энергетические
уровни, разрешенные формулой Эйнштейна, приведены на рис. 3.
На практике вы всегда наблюдаете лишь частицы с положительной
энергией. Таким образом, часть значений энергии, которые разрешены
по эйнштейновой формуле F), не наблюдается в экспериментах. Однако
вначале это не очень беспокоило физиков. Они решили: «Давайте не об-
обращать внимания на отрицательные энергии и рассматривать только по-
положительные». Это казалось вполне допустимым: если частица находится
сначала в состоянии с положительной энергией, то энергия всегда остается
положительной, и отрицательные энергии не играют в теории никакой
роли.
Формула F) справедлива для частицы в отсутствие внешнего поля. Ее
можно без особых изменений обобщить на случай какой-нибудь заряжен-
178
I. ЛЕКЦИИ
ной частицы, например электрона, находящейся в электромагнитном поле;
можно найти все энергетические уровни при более общих условиях. Кро-
Кроме того, в нашем распоряжении есть уравнения Лоренца — классические
уравнения, которые описывают движение частицы в механике Эйнштейна,
когда на частицу действуют электрическое и магнитное поля. Так вот эти
уравнения Лоренца применяли к электрону, обладающему положительной
энергией.
Рис. 1. Уровни с положительными значениями энергии, вычисленные по формуле Эйн-
Эйнштейна
Рис. 2. Уровни с отрицательными значениями энергии
Рис. 3. Полный набор энергетических уровней, разрешенных по формуле Эйнштейна
Уравнениями Лоренца можно было бы воспользоваться и для элек-
электрона с отрицательной энергией. Насколько мне известно, этими вычис-
вычислениями никто не занимался: дело в том, что отрицательными энергиями
просто не интересовались. Если бы кто-нибудь произвел все эти вычисле-
вычисления и начал с помощью уравнений Лоренца выяснять, как должен был бы
двигаться электрон в случае, если бы он начал свое движение в состоянии
с отрицательной энергией, то оказалось бы, что электрон будет всегда
оставаться в состоянии с отрицательной энергией, двигаясь так, как если
бы его энергия и заряд были бы положительными (обычный электрон
обладает отрицательным зарядом). Создается впечатление, будто в этих
состояниях с отрицательными энергиями и заряд, и энергия меняют свой
знак на противоположный. Таково, согласно классической механике, поло-
положение с обобщением эйнштейновой теории на случай больших скоростей.
Ситуация меняется при переходе к квантовой механике, потому что
в квантовой механике появляются динамические переменные, значения
которых изменяются скачкообразно. И если вначале энергия положитель-
положительна, то в квантовой теории она не обязана оставаться положительной, а
может скачком стать отрицательной. Закрывать глаза на отрицательные
уровни энергий можно было до тех пор, пока мы имели дело с классической
теорией. В квантовой теории так поступать нельзя.
Надо сказать, что возможность существования отрицательных энергий
имеет очень глубокий смысл. Тем не менее никто ими особенно не инте-
интересовался, потому что люди бились над более серьезными проблемами,
пытаясь понять и интерпретировать идеи квантовой механики. Именно эти
проблемы занимали физиков в то время.
3. ПУТИ ФИЗИКИ 179
Однако с необходимостью создания релятивистской квантовой механи-
механики пришлось все же примириться. Используя квантовую механику в волно-
волновом формализме де Бройля или Шредингера и имея волновую функцию ф,
можно было написать релятивистское волновое уравнение
1 д2 д2 д2 д2 , т2с2
с2 dt2 дх\ дх22 dxl n2
G)
Согласно де Бройлю, это уравнение, которому удовлетворяет ф, соответ-
соответствует свободной частице. Его можно распространить на случай, когда
присутствует электрическое или магнитное поле, и показать, как будет
изменяться со временем волновая функция. Мне не хочется выписывать
это более сложное уравнение. Скажу лишь, что оно представляет собой
уравнение G) с некоторыми дополнительными членами, характеризующи-
характеризующими свойства поля.
Итак, существовало волновое уравнение для частицы (электрона)
в электрическом или магнитном поле, и с его помощью волновой функции
была дана релятивистская интерпретация. Но оказалось, что эта реля-
релятивистская интерпретация не согласуется с общей теорией Шредингера.
Причина расхождения состоит в том, что в уравнение G) входит квадрат
оператора дифференцирования по времени д2 /dt2, а уравнение общей
теории Шредингера я ,
^ = Нф (8)
линейно по д/dt.
Значит, используя уравнение G) и записывая в релятивистском виде
выражение для вероятности, мы бы обнаружили, что вероятность не все-
всегда положительна. Если же пользоваться уравнением (8) и записывать
вероятность как \ф\2, то ее знак будет всегда положительным, как это и
должно быть физически.
Таким образом, при согласовании квантовой механики с теорией отно-
относительности возникли трудности. Я был очень озабочен ими в то время,
но других физиков по какой-то непонятной мне причине эти проблемы
совершенно не волновали.
Наверное, изящество и мощь формализма, основанного на гейзенбер-
говом уравнении движения D) и на соответствующем уравнении Шредин-
Шредингера (8), произвели на меня огромное впечатление; я ощутил, что нужно
держаться за этот формализм и не переходить к другому уравнению, где
вместо оператора д / dt фигурировал бы оператор д2/dt2. Помню один
случай на Сольвеевской конференции в 1927 г. В перерыве перед одной из
лекций ко мне подошел Бор и спросил: «Над чем Вы сейчас работаете?»
Я сказал ему, что пытаюсь найти удовлетворительную релятивистскую
квантовую теорию электрона. Бор ответил, что эта задача уже решена
Клейном [решение Клейна включало в себя соотношение G)]. Я попробовал
объяснить Бору, что меня не удовлетворяет решение Клейна, и хотел
привести аргументы, но мне не удалось этого сделать, потому что началась
лекция и наша дискуссия оборвалась. Но этот разговор открыл мне глаза
180 I. ЛЕКЦИИ
на тот факт, что многим физикам нравится теория, в которой содержится
радикальное отступление от некоторых основных законов квантовой меха-
механики, и они в отличие от меня не ощущают необходимости придерживаться
этих законов.
Несколько месяцев мучился я над этой задачей и наконец нашел реше-
решение. Я получил другое волновое уравнение
в которое, вместо однокомпонентной функции ф из уравнения (8), входила
теперь функция ф, имеющая четыре компоненты. Буквой а обозначены
матрицы, которые действуют на эти четыре компоненты. Можно показать,
что уравнение (9) является релятивистским, хотя вместо двукратного диф-
дифференцирования д21'dt2, в него входит однократное д/dt. Следовательно,
оно согласуется с основными законами квантовой теории. Его-то я и пред-
предложил в качестве уравнения, описывающего движение электрона.
Я обнаружил как следствие этого уравнения, что электрон обладает
спином, равным ^2, и магнитным моментом и что значения спина и маг-
магнитного момента согласуются с экспериментальными. Полученный резуль-
результат был совершенно неожиданным, так как он означал, что простейшее
решение задачи построения релятивистской квантовой теории частицы
соответствует частице со спином. Я считал, что простейшее решение по-
получится для частицы без спина, а уже затем нужно будет ввести спин.
Оказалось же, что в простейшее решение входит спин.
Уравнение (9) прекрасно «работало» в самых различных приложени-
приложениях теории, но проблема отрицательной энергии оставалась нерешенной.
В новой теории наряду с положительными энергиями разрешены и отри-
отрицательные, и, поскольку остальные трудности были устранены, проблема
отрицательной энергии стала главной.
Оказалось, что эту проблему можно решить, если использовать то
свойство электронов, что никакие два (или более) из них не могут нахо-
находиться в одном и том же состоянии. Это свойство является следствием
законов квантовой механики, возникающим при наложении на волновую
функцию необходимых условий симметрии. Первым его предложил Паули,
чтобы объяснить структуру периодической системы элементов. Если ни
в каком состоянии не может находиться больше одного электрона, то
в атоме должны существовать разные электронные оболочки. Оболочки
заполняются постепенно от внутренней к внешней, так что периодическая
система элементов строится путем постепенного заполнения оболочек.
В квантовой механике нельзя исключить переходы из состояний с поло-
положительной энергией в состояния с отрицательной энергией, а это означает,
что невозможно исключить из теории состояния с отрицательной энергией.
А раз так, то мы обязаны отыскать способ их физической интерпретации.
Разумную интерпретацию дает новое представление о вакууме. Раньше ва-
вакуум представляли себе как совершенно пустое пространство, т. е. область,
3. ПУТИ ФИЗИКИ 181
в которой совсем ничего нет. Сейчас мы вынуждены принять другую кар-
картину. Можно сказать, что вакуум есть состояние с минимально возможной
энергией. Чтобы достичь низшей энергии, необходимо заполнить все состо-
состояния с отрицательной энергией. Чем большим числом электронов заняты
состояния с отрицательной энергией, тем меньше полная энергия, потому
что каждый электрон в состоянии с отрицательной энергией уменьшает
полную энергию. Итак, допустим, что справедлива новая картина вакуума,
в котором заняты все состояния с отрицательной энергией и свободны все
состояния с положительной энергией.
Из состояния вакуума можно выйти двумя способами: первый заключа-
заключается в том, чтобы одно из состояний с положительной энергией заполнить
электроном; второй способ — в том, чтобы создать «дырку» в распределе-
распределении состояний с отрицательной энергией. Второй способ заставляет нас
обратить внимание на понятие дырки. Вы можете поинтересоваться, как
такая дырка будет двигаться в присутствии электромагнитного нуля. Ока-
Оказывается, что она движется, грубо говоря, так же, как двигался бы запол-
заполняющий ее электрон. Все сказанное согласуется с квантовой модификацией
классического уравнения Лоренца для частицы с отрицательной энергией.
А как я уже сказал, частица с отрицательной энергией в соответствии
с уравнением Лоренца будет вести себя так, как будто ее энергия и заряд
положительны. Поэтому дырка движется так, как будто она обладает
положительной энергией и положительным зарядом, а не обычным отри-
отрицательным зарядом, который несет электрон; дырки возникают как новый
сорт частиц, заряженных положительно.
Какова масса новых частиц? Когда я впервые об этом подумал, мне
пришло в голову, что из соображений симметрии масса должна быть такой
же, как у электрона. Но я не осмелился выдвинуть эту идею; мне казалось,
что если бы новая частица существовала (с массой, равной массе элек-
электрона, но с противоположным по знаку зарядом), то, конечно, ее бы уже
давно открыли экспериментаторы. В то время известными частицами были
только отрицательно заряженный электрон и положительно заряженный
протон, а все атомные ядра считались составными системами. Вот почему
я высказал предположение, что эти дырки соответствуют положительно
заряженным протонам, и оставил открытым вопрос о том, почему их масса
должна так сильно отличаться от массы электрона.
Конечно, это было большой ошибкой: мне просто не хватило твердости.
Прежде всего следовало сказать, что дырка должна иметь ту же массу,
что и электрон. Это предположение было сделано другими вскоре после
опубликования моей статьи. По-моему, Вейль первым высказал вполне чет-
четкое утверждение о том, что в силу требований математической симметрии
дырки должны быть частицами с массой, равной массе электрона. (Вейль
был математиком, и его интересовали только вопросы, связанные с мате-
математической симметрией. Поэтому он совершенно не волновался по поводу
того, что физики никогда не видели такую частицу.) Похоже, что идея
была правильной: дырки — это новые частицы, которые сейчас называют
182 I. ЛЕКЦИИ
позитронами, обладающие такой же, как у электрона, массой и проти-
противоположным по знаку зарядом. Тогда возникает вопрос: «Почему же их
не видели экспериментаторы?» Я думаю, что единственный правильный
ответ на этот вопрос состоит в том, что у экспериментаторов сложилось
предубеждение против новых частиц.
Считалось, что в Природе существуют всего две основные частицы:
электрон и протон. Их нужно было всего две, потому что есть всего два
вида электрического заряда: отрицательный и положительный. Если есть
одна частица для отрицательного заряда, одна для положительного..., то
вроде бы все в порядке, двух частиц достаточно. Никакие другие частицы
не нужны. Эта идея тогда господствовала.
Позитроны не наблюдались потому, что люди закрывали глаза на
все свидетельства в пользу их существования. Треки заряженных частиц
можно наблюдать в камере Вильсона. В присутствии магнитного поля
трек искривляется. Положительно заряженная частица, двигаясь в каком-
то направлении, даст совершенно такой же трек, как отрицательно заря-
заряженная частица, двигающаяся в противоположном направлении. Можно
предположить, что все треки, которые наблюдатель считает электронны-
электронными, отвечают отрицательно заряженным электронам и что все электроны
перемещаются в направлении, соответствующем направлению движения
отрицательного заряда. Некоторые экспериментаторы замечали, что до-
довольно часто частицы влетают в радиоактивный источник. Были опуб-
опубликованы даже одна или две фотографии треков частиц, которые, если
следовать принятой тогда интерпретации, влетали в источник. Никому
даже не пришло в голову «набрать статистику». Если бы кто-нибудь этим
занялся, то он бы обнаружил, что частиц, движущихся в сторону источни-
источника, многовато для того, чтобы такое объяснение было возможным. И все
же физики упорно не хотели признавать существование новой частицы.
Сейчас ситуация совершенно изменилась. Всем очень хочется «посту-
«постулировать» новую частицу при малейшем экспериментальном или теорети-
теоретическом намеке на ее существование. А тогда, чтобы установить существо-
существование позитрона, понадобилось несколько лет. У Блэкетта были довольно
убедительные свидетельства в пользу существования позитрона, и, будучи
в Кембридже, он мне о них рассказывал. Но он сомневался, не рано ли
публично высказывать столь революционную идею: ему хотелось иметь
подтверждение своих экспериментов. Эта задержка привела к тому, что
автором открытия оказался Андерсон. У Андерсона был всего один снимок
такого трека (он показан на рис. 4), проходящего сквозь свинцовую
Рис. 4. Схема опыта Андерсона по наблюдению позитро-
позитрона, проходящего через свинцовую пластинку, которая
помещена в камеру Вильсона: 1 — свинцовая пластин-
пластинка; 2 — окно камеры Вильсона; 3 — более искривленная
часть трека; ^ — менее искривленная часть трека
3. ПУТИ ФИЗИКИ 183
пластинку. По одну сторону пластинки трек был искривлен сильнее, чем
по другую. При прохождении через пластинку частица, естественно, могла
только потерять энергию — увеличиться ее энергия не могла. Таким обра-
образом, направление движения частицы было установлено достаточно опре-
определенно, и отвечало оно частице, обладающей положительным зарядом.
Открытие Андерсона подтверждало предположение о том, что электро-
электронам соответствует античастица —позитрон. Это, на самом деле, основная
идея всей атомной теории. Для всех частиц, которых в любом состоянии
может быть не больше одной и которые называются фермионами, суще-
существуют как состояния с отрицательной энергией, так и состояния с поло-
положительной энергией. Состояния с отрицательной энергией в вакууме за-
заполнены целиком, а точнее почти целиком. Любая дырка среди состояний
с отрицательной энергией соответствует античастице. Это утверждение
справедливо и для протонов (существуют антипротоны), и для нейтронов
(существуют антинейтроны); все эти частицы наблюдались на опыте.
Приняв концепцию антиматерии, мы должны существенно изменить
свои представления о том, что подразумевать под фундаментальной, или
элементарной, частицей. Частицы могут создаваться за счет какого-то
другого вида энергии, например, энергии электромагнитных волн. Внося
в вакуум возмущение, электромагнитные волны могут выбить электрон из
состояния с отрицательной энергией в состояние с положительной энер-
энергией; так возникнут электрон и позитрон. Они рождаются одновременно.
Электрический заряд в этом случае, конечно, сохраняется, а энергию
должен поставлять внешний источник. Сказанное относится и к другим
фермионам.
Если мы можем создавать частицы, то вопрос о том, из каких фунда-
фундаментальных частей состоит материя, теряет свою определенность. Рань-
Раньше можно было утверждать, что достаточно лишь как можно подробнее
изучить какое-то определенное количество вещества, чтобы узнать его
элементарные составляющие. Но если мы научились создавать частицы
с помощью атомных взаимодействий, то мы уже не можем точно опреде-
определить, что такое элементарная частица. Благодаря современному уровню
развития физики, открыто очень много частиц. Вместо тех двух, о которых
мы говорили (электрона и протона), их сейчас известно двести или что-то
около этого. Многие из них нестабильны, одни в большей степени, другие —
в меньшей.
Задавая вопрос о том, какие из этих новых частиц являются элементар-
элементарными, вы на самом деле не можете рассчитывать на точный ответ. Можно
склоняться к тому, что более стабильные частицы являются элементарны-
элементарными, а менее стабильные не являются, но это деление весьма искусственно.
Например, протон и нейтрон во многом очень схожи, но протон стабилен,
а нейтрон нестабилен. Они настолько похожи, что было бы неразумно
один считать элементарнее другого. Таким образом, вопрос о том, какие
частицы являются элементарными, представляет собой одну из еще не
решенных задач, над которыми сейчас работают физики.
184 I. ЛЕКЦИИ
Я рассказал вам о том, как развивалась квантовая механика, и, в част-
частности, коснулся вопроса о том, как ее согласовать с механикой теории
Эйнштейна, необходимой при больших скоростях. В результате мы пришли
к концепции антиматерии. Однако проблемы квантовой теории этим не
решаются. Остается еще немало вопросов, связанных с построением точной
теории взаимодействия заряженной частицы с электромагнитным полем.
Используя модель заряженной частицы, в которой заряд считается со-
сосредоточенным в точке, вы увидите, что энергия, соответствующая точеч-
точечному заряду, оказывается бесконечной. Это одна из типичных трудностей,
возникающих при попытках построить точную теорию взаимодействия
частиц.
Современная квантовая теория прекрасно «работает» до тех пор, пока
мы не требуем от нее слишком многого — пока мы не пытаемся применять
ее к частицам очень высоких энергий и использовать на очень малых рас-
расстояниях. Если мы все же попробуем это сделать, то получим уравнения,
решения которых не имеют смысла. Взаимодействия, с которыми мы име-
имеем дело, всегда приводят к бесконечностям. Эта задача волнует физиков
вот уже 40 лет, но пока в ее решении нет сколько-нибудь существенного
прогресса.
Трудности, о которых мы говорили, заставляют меня думать, что ос-
основы квантовой механики еще не установлены. Исходя из современных
основ квантовой механики, люди затратили колоссальный труд на то, что-
чтобы на примерах отыскать правила устранения бесконечностей в решении
уравнений. Но все эти правила, несмотря на то, что вытекающие из них
результаты могут согласовываться с опытом, являются искусственными, и
я не могу согласиться с тем, что современные основы квантовой механики
правильны.
Ситуация, которая сейчас сложилась с бесконечностями, напоминает
мне время, когда использовали волновое уравнение, содержащее оператор
д2 /dt2. Я думаю, что люди зря слишком легко принимают теорию, наде-
наделенную принципиальными недостатками; очевидно, продвижение вперед
возможно лишь в том случае, если будет произведено какое-нибудь фун-
фундаментальное изменение теории, почти такое же фундаментальное, как
переход от уравнения G) к уравнению (9).
Л.2. Квантовая электродинамика 1)
Сегодня мне бы хотелось поговорить о некоторых этапах развития
квантовой механики. В предыдущей лекции я обрисовал принципиальную
структуру квантовой механики. Эта структура включает в себя динами-
динамические переменные, которые не коммутируют между собой, поэтому надо
задать коммутационные соотношения, чтобы сделать их определенными.
г) Лекция была прочитана на физическом факультете университета Кентербери
(Крайстчерч, Новая Зеландия) 15 сентября 1975 г.
3. ПУТИ ФИЗИКИ 185
Если такие определенные динамические переменные заданы, то дальше по-
понадобится гамильтониан — величина, которая соответствует полной энер-
энергии и является функцией динамических переменных.
Зная гамильтониан (который я буду обозначать Я), можно перейти к
построению гейзенберговых уравнений движения. Для любой динамиче-
динамической переменной и справедливо соотношение
гП^ = иН -Ни, A)
которое дает схему построения гейзенберговых уравнений. Существует и
альтернативный, шредингеров, формализм, в котором используется вол-
волновая функция, удовлетворяющая волновому уравнению
%П% = Нф. B)
Здесь Н — тот же гамильтониан, что входит в соотношение B), но теперь
он интерпретируется как оператор, действующий на волновую функцию
Теперь я хочу перейти к динамической системе, в которую входит много
одинаковых частиц. Волновая функция такой системы будет содержать
динамические переменные каждой из входящих в нее частиц. Посмотрим
сначала, может ли волновая функция быть симметричной по частицам.
Ясно, что гамильтониан системы должен быть симметричен по частицам:
он представляет собой их полную энергию и просто не содержит ничего
такого, что отличало бы одну частицу от другой. Поэтому из B) следует,
что если функция ф симметрична, то производная dip/dt тоже будет
симметричной, а для этого надо, чтобы функция ф всегда оставалась
симметричной, если она была симметричной вначале.
Если бы эта ситуация оказалась реальной, то она отразила бы закон
Природы (для данных частиц), по которому существуют только симмет-
симметричные волновые функции. На самом деле такой закон Природы суще-
существует, но только для определенного вида частиц, которые называются
БОЗОНЫ.
Эти частицы подчиняются статистике, отличной от классической. Ста-
Статистику для бозонов разработал Бозе с помощью Эйнштейна.
Оказываются, что легкие кванты, фотоны, должны подчиняться ста-
статистике Бозе-Эйнштейна, потому что эта статистика приводит к закону
Планка для излучения черного тела. Поэтому можно считать, что фотоны
являются бозонами.
Волновая функция ф представляет собой функцию динамических пе-
переменных различных частиц
ф(да,Яь,дс,...), C)
где величины qa относятся к первой частице, q —ко второй и т.д.; бук-
буквой q обозначены все коммутирующие переменные, необходимые для опи-
186 I. ЛЕКЦИИ
сания состояния соответствующей частицы. Задав все эти д, мы тем самым
задаем точку в области определения волновой функции C).
Если волновая функция симметрична, то достаточно просто задать
переменные д, не интересуясь их порядком. Если бы волновая функция
не была симметричной, то такой способ оказался бы непригодным, ибо
тогда мы были бы обязаны учитывать, что частицы находятся в разных
состояниях. Если же функция ф симметрична, то это различие становится
ненужным, а достаточно просто знать, какие состояния заняты и сколько
в каждом из них бозонов.
Таким образам, мы получаем возможность преобразовать ф к новым
переменным:
ф(п\п2,п3,...), D)
где п1 —число переменных д, принимающих первое значение (скажем, q1);
п2 — число переменных д, принимающих второе значение, и т.д. Этими п
можно пользоваться как новыми динамическими переменными. Каждое
п означает число бозонов в данном состоянии и является динамической
переменной, собственные значения которой равны 0, 1, 2, 3 и т. д. (целочис-
(целочисленные собственные значения); причем п коммутируют друг с другом: если
мы определим число бозонов в одном состоянии, то это никак не скажется
на определении числа бозонов в других состояниях.
Займемся теперь одной из переменных п, собственные значения ко-
которой равны целым числам 0, 1, 2, 3 и т.д. Сразу заметна связь между
п и энергией гармонического осциллятора. Конечно, гармонический ос-
осциллятор обладает набором энергетических уровней, значения которых
образуют арифметическую прогрессию, и можно так выбрать числовые
коэффициенты, что разности между соседними уровнями энергии будут
составлять 1. У гармонического осциллятора есть и нулевой уровень, рав-
равный половине кванта энергии. Вычтем эту энергию, тогда останутся уров-
уровни 0, 1, 2, 3 и т.д. Они в точности соответствуют собственным значениям
одной из переменных п. Это означает, что каждую переменную п можно
описать в терминах энергии гармонического осциллятора. Для описания
гармонического осциллятора удобнее всего использовать
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФОКА.
Я расскажу лишь о главных идеях, лежащих в основе этого представ-
представления.
Рассмотрим гармонический осциллятор, но в аспектах, отличных от
тех, которые интересовали нас в предыдущей задаче, связанной с бозона-
бозонами. Энергия осциллятора (гамильтониан)
H = \{p2 + q2) -1/2. E)
В этом выражении уже отсутствует нулевая энергия и для простоты по-
положено Й = 1, га = 1, uj = 1, чтобы избавиться от ненужных числовых
3. ПУТИ ФИЗИКИ 187
коэффициентов. В основном состоянии осциллятор имеет волновую функ-
функцию, которую мы обозначим фо:
F)
Эта функция отвечает нормальному, или невозбужденному, состоянию
осциллятора.
Введем теперь переменную
которая комплексна, хотя р и q вещественны. Сопряженная ей величина
имеет вид: ^ р_^
1 V2 ' У ]
Используя формулы G) и (8), можно с помощью стандартного квантового
условия .
qV-pq = i (9)
(^ = 1) вычислить величину rjr] — ryq\
щ-щ = 2 (р - iq)(p + iq) - 2 (р + *9)(р -iq) = % (-2i)(qp - pq) = 1-
A0)
Этот результат означает, что величина г] эквивалентна оператору диффе-
дифференцирования г/, поскольку (d/drj)rjf — rj(d/drj)f = f. Таким образом,
*=?• <">
Представление Фока основано на использовании т\ иг/.
Подействуем теперь на волновую функцию ^о [из уравнения F)] опе-
оператором rj (8). Поскольку ^
dq
имеем:
Wo = -^ (р - i
Следовательно, результат действия т\ на фо равен 0.
В качестве следующего примера рассмотрим какую-нибудь функцию
г] или г/, которая может быть записана в виде степенного ряда по этим
переменным. Перенеся с помощью коммутационного соотношения A0) все
rj в правую часть и подействовав функцией / на фо, получим с учетом
A2), что на фо действует некоторая функция g, зависящая только от г/:
A3)
Следовательно, остаются только независимые волновые функции
фо, г]ф0, г]2ф0, г]3ф0 A4)
и т.д.
188 I. ЛЕКЦИИ
Ясно также, что энергия Н [см. E)] имеет простой вид 1):
Н = щ. A5)
Если теперь подействовать на функцию г]гфо оператором Я, то с учетом
коммутационного соотношения A0) получим:
Приняв во внимание A2), найдем:
Нг]гф0 = гг]гф0. A6)
Это значит, что состояние г]гфо является стационарным состоянием осцил-
осциллятора, энергия которого (исключая энергию основного состояния, равную
половине кванта энергии) составляет как раз г квантов энергии. Можете,
если вам нравится, называть фо [см. A4)] невозбужденным состоянием,
г/фо — первым возбужденным состоянием, г]2фо — вторым возбужденным
состоянием, ..., г]гфо — г-м возбужденным состоянием... и тогда различ-
различные возбужденные состояния можно будет представить в очень простом
виде.
Представление Фока особенно полезно для бозонов. Поставим в со-
соответствие каждому бозонному состоянию состояние осциллятора. За-
Заметьте: не по осциллятору для каждого бозона — это было бы совершенно
неправильно. В бозонном состоянии могло бы находиться п бозонов, и мы
бы тогда поставили им в соответствие осциллятор (отвечающий данному
бозонному состоянию) в n-м возбужденном состоянии. По такой схеме лю-
любое состояние ансамбля бозонов можно связать с каким-нибудь состоянием
осциллятора. Число бозонов в любом бозонном состоянии равно степени
возбуждения соответствующего осциллятора.
Это совершенно замечательный факт; он позволяет «примирить» вол-
волновую и корпускулярную теорию света. Рассматривая свет с точки зрения
корпускулярной теории, мы имеем дело с фотонами, которые представ-
представляют собой бозоны: для них надо использовать общую теорию бозонов.
Если рассматривать свет как волну, то разные фурье-компоненты волн
окажутся гармоническими осцилляторами, которые надо использовать
в фоковском представлении. Теперь нам ясна связь между этими двумя
подходами. Мы видели, что ансамбль бозонов и набор осцилляторов — это
просто два способа математического описания одной и той же физиче-
физической реальности. Можно рассматривать электромагнитное поле или как
ансамбль фотонов, или как набор электромагнитных волн.
В фоковом подходе появляются переменные г\ иг/. Они имеют простой
физический смысл. Оператор ц увеличивает степень возбуждения на один
г) В самом деле, г)Г) = - (р + iq)(p - iq) = - (р2 + q2) + ^ {qp - pq) = - (р2 + q2) -
= Н. — Прим. ред.
3. ПУТИ ФИЗИКИ 189
квант, а оператор г\ на один квант ее уменьшает. Теперь становится по-
понятным уравнение A2) rjipo = О, ибо если попытаться уменьшить на один
квант степень возбуждения невозбужденного состояния (т.е. фо), то мы
получим нуль. Физически это совершенно очевидно.
Теперь у нас есть математическое описание электромагнитного поля
в терминах операторов уменьшения или увеличения степени возбуждения
компоненты поля на одни квант. Эти операторы можно также описывать
как операторы испускания и поглощения бозона. Все т\ являются операто-
операторами рождения, увеличивающими степень возбуждения на единицу, а все
fj представляют собой операторы поглощения (или уничтожения), которые
уменьшают степень возбуждения на единицу:
Г г] -^рождение;
операторы < _ A7)
(^ ту —^ поглощение.
Для каждого бозонного состояния существует пара переменных г\а
и fja. Коммутационные соотношения для них заключаются в следующем:
1) переменные, соответствующие разным бозонным состояниям, ком-
коммутируют друг с другом, т. е. коммутируют все операторы рождения:
7? V - 7/V = 0 A8)
и все операторы поглощения:
г? V - vbVa = 0; A9)
2) выражение f\ar\b — rjbrja обращается в нуль, когда а и b различны, и
равно единице, когда а и b равны между собой:
rjar]b - r]brja = Sab, B0)
где dab — символ Кронекера. Если мы имеем дело с электромагнитным
полем или с любым ансамблем бозонов, то для описания квантовомеха-
нической системы нам нужны переменные ту и ту, которые удовлетворяют
приведенным выше коммутационным соотношениям.
До сих пор я все время говорил об ансамбле бозонов. С тем же успехом
может существовать ансамбль совершенно одинаковых частиц, полная
волновая функция которых не симметрична, а антисимметрична. Пусть ф
в B) означает такую антисимметричную функцию. Тогда если функция ф
с самого начала была антисимметричной, то она останется антисиммет-
антисимметричной. Антисимметричная волновая функция ф отвечает новому виду
частиц, которые называются
ФЕРМИОНЫ.
Фермионы характеризуются тем, что два их них не могут находиться
в одном и том же состоянии. Если функция ф антисимметрична [срав-
[сравните с видом функции C)], то никакие две из переменных q не должны
быть равны между собой, ибо в противном случае мы получили бы нуль.
Свойством фермионов, не позволяющим никаким двум из них занимать
190 I. ЛЕКЦИИ
одно и то же состояние (принцип Паули), обладают электроны, а также
некоторые другие элементарные частицы, существующие в Природе.
Теория фермионов аналогична изложенной выше теории бозонов с той
лишь разницей, что возникающие в этой теории фермионные переменные
никак не связаны с гармоническими осцилляторами. Тем не менее и для
фермионов можно ввести операторы ту и ту, которые описывают рождение
и поглощение фермиона подобно тому, как раньше операторы г\ и fj опи-
описывали рождение и поглощение бозона.
У меня нет времени для подробного изложения теории фермионов.
Приведу лишь ее результаты. Как и прежде, каждый отдельный оператор
г/ и г] соответствует фермионному состоянию. Но теперь операторы ц и rj
удовлетворяют коммутационным соотношениям, отличающимся от бозон-
ных:
B1)
B2)
= Sab. B3)
Уравнения B1)-B3) того же вида, что A8)—B0) соответственно, только
знак минус везде заменен знаком плюс.
Я считаю, что это совершенно удивительный математический факт.
Неизвестно, что за ним кроется на самом деле, потому что мы имеем
дело с двумя совершенно разными физическими ситуациями. Уравнения
A8)—B0) относятся к частицам, любое число которых может находиться
в любом состоянии. Уравнения B1)—B3) соответствуют частицам, никакие
две из которых не могут находиться в одном и том же состоянии. Физи-
Физически эти два случая очень сильно различаются, однако, несмотря на это,
между соответствующими им уравнениями существует тесная параллель.
Положим в уравнении B1) b = а. Тогда
Ю2 = 0 B4)
(суммирование по индексу а отсутствует). Этот результат означает, что
два фермиона не могут попасть в одно и то же состояние. Попытавшись
осуществить такой переход, мы просто получим, что волновая функция
равна нулю. В случае бозонов уравнение B4) не даст ничего похожего,
потому что, положив в A8) b = а, мы придем к тождеству (т/аJ = (т/аJ.
Число частиц в любом состоянии для обоих случаев, т. е. и для бозонов,
и для фермионов, дается оператором
па =
(без суммирования по индексу а). Для бозонов, когда т?а, Yja удовлетворяют
условиям A8)—B0), собственные значения этого оператора равны 0, 1, 2, 3
и т.д. Для фермионов, когда выполняются условия B1)-B3), собственные
значения оператора па равны либо нулю, либо единице. Таким образом,
3. ПУТИ ФИЗИКИ 191
число фермионов в любом состоянии равно либо нулю, если состояние не
занято, либо единице, если состояние занято. В последнем случае состоя-
состояние заполнено до предела, так что ни один фермион уже не может в него
попасть.
Мы познакомились с основными динамическими переменными, кото-
которые используются в любой квантовой теории поля. Следует, правда, сде-
сделать одно формальное обобщение. До сих пор мы считали, что различные
состояния (как для бозонов, так и для фермионов) дискретны. Однако на
самом деле это не так. Различные состояния частицы надо рассматривать
как собственные состояния ее импульса. Тогда индекс а, обозначающий
конкретное состояние, заменяется тремя компонентами импульса частицы
и значением ее спина (если у частицы есть спин). В результате всех этих
действий символ Кронекера 5 в уравнениях B0) и B3) приходится заме-
заменять произведением
8(р[ ~ Pi) S(P'2 - p'i) д(р'3 - p'l) B6)
(в отсутствие спина), где р[, р'2, Рз и Pii V>2-> Рз представляют собой ком-
компоненты импульса двух состояний. Описанная процедура является всего
лишь формальным обобщением, которое всегда необходимо делать при
переходе от дискретных квантовых состояний к непрерывному спектру.
Но это дает ответ на вопрос, поставленный в первой части нашей задачи:
в терминах каких динамических переменных надо формулировать кван-
квантовую теорию поля?
Теперь следует найти вид гамильтониана. Гамильтониан представляет
собой полную энергию системы и должен быть выбран так, чтобы для
системы получались правильные уравнения движения. Я покажу, как это
делается, на примере свободного поля излучения.
Рассмотрим электромагнитное поле и будем считать, что заряды от-
отсутствуют, т. е. что мы имеем дело с полем фотонов. Тогда динамическими
переменными могут служить векторы электрического и магнитного полей.
Динамические переменные во всех точках пространства должны задавать-
задаваться в один и тот же момент времени. Например, вектор электрического
поля берется в произвольной точке (ж1,Ж25#з) трехмерного пространства
в определенный момент времени t:
8г(ж1,ж2,жз;<), г = 1,2,3. B7)
Аналогично задается вектор магнитного поля Ж для того же момента
времени t: Жг(хъх2,х3;1), г = 1,2,3. B8)
Вот те динамические переменные, которые нужны для описания свобод-
свободного электромагнитного поля.
Вы, наверное, заметили, что мы несколько отошли от четырехмерной
симметрии, которую хотели бы видеть в релятивистской теории. Это неиз-
неизбежно случается при переходе к гамильтонову формализму: приходится
отходить от четырехмерной симметрии, и тут ничего не поделаешь, по-
192 I. ЛЕКЦИИ
тому что все динамические переменные заданы в определенный момент
времени.
Гамильтониан равен полной энергии; мы берем его в том же виде, что
и в классической теории:
Я = — [<f 2(жь Х2, хз) + Ж2(х\, Х2, хз)] dx\ dx2 dx3- B9)
Уравнения движения для переменных Ш и *Ж известны из теории Макс-
Максвелла:
C0)
^ = - rot Ш. C1)
Есть еще уравнения:
div g = 0; C2)
divJT=0, C3)
представляющие собой ограничения, которые надо наложить на перемен-
переменные 8 и Ж.
Уравнения C0) и C1) показывают, как величины <$ и Ж изменяются
со временем в квантовой теории. Они должны соответствовать гейзенбер-
говым уравнениям движения. Тем самым, в квантовой теории должны
выполняться равенства
C4)
=НЖ-ЖН. C5)
Из гейзенберговых уравнений движения можно сделать вывод о том, ка-
каковы коммутационные соотношения между величинами <$ и Ж. Комму-
Коммутационные соотношения должны иметь такой вид, чтобы взяв в качестве
гамильтониана выражение B9), мы получили уравнения C0) и C1). Эта
задача поставлена четко, и ее нетрудно решить.
В результате получается, что различные компоненты <? коммутируют
друг с другом во всем пространстве. То же относится и к различным
компонентам Ж. Компонента 8 не коммутирует с перпендикулярной ей
компонентой Ж, если две точки, принадлежащие полям <$ и Ж, распо-
расположены очень близко друг от друга. В коммутатор входит производная
^-функции. Типичное соотношение имеет вид:
[SiOci, х'2, х'3), Ж2(х'(, х'1 4)]- = Six1, - x'l) S(x'2 - x'i) -?r 6(x'3 - 4).
В любом случае коммутатор, составленный из какой-нибудь компоненты
<?г и какой-нибудь компоненты Ж3, просто равен числу.
Можно опять ввести переменные ц и ту, отвечающие рождению и погло-
поглощению фотона. Так мы придем к удовлетворительной квантовой теории
для свободного электромагнитного поля.
3. ПУТИ ФИЗИКИ 193
То же самое можно сделать и для ансамбля электронов, а затем ввести
взаимодействие электронов с электромагнитным полем. Для этого сначала
запишем гамильтониан, который описывает энергию одних электронов,
потом прибавим к нему гамильтониан электромагнитного поля и, нако-
наконец, учтем взаимодействие, прибавив еще несколько членов так, чтобы
получились правильные уравнения движения. В результате мы увидим,
что для ансамбля электронов и сопровождающих их позитронов, взаимо-
взаимодействующих с электромагнитным полем, можно построить совершенно
определенный гамильтониан, который будет описывать полную энергию
динамической системы.
Таким образом, гамильтониан представляет собой сумму членов, ко-
которые описывают энергии свободных частиц, и членов, соответствующих
энергии взаимодействия:
^полн = ^част Н~
Обычно для такого гамильтониана пользуются теорией возмущений.
Ту часть, которая описывает взаимодействие, считают ответственной за
переходы, а именно за переходы, в которых рождаются одни частицы и
поглощаются другие.
В каждом из переходов импульс сохраняется, а энергия не сохраняется.
Вас может удивить такое различие в поведении энергии и импульса. Оно
возникает из-за того, что под энергией мы подразумеваем ее значение
в определенный момент времени. Гамильтониан Н в C6) берется только
для одного момента времени, но в него входит интеграл по всему трехмер-
трехмерному пространству. Когда мы говорим об определенном моменте времени,
точно определить энергию невозможно. Потому-то она и не должна сохра-
сохраняться во время переходов.
Продолжая рассказ о квантовой электродинамике, я бы хотел остано-
остановиться еще на одном очень изящном и ясном выводе теории. Прежде всего,
запишем гамильтониан не через компоненты вектора электромагнитного
поля <§г и Жг, как мы это делали до сих пор, а через компоненты четырех-
четырехмерного потенциала Лм, где ц = 0,1, 2, 3. Гамильтониан B9) отвечает энер-
энергии свободного поля, в котором есть только поперечные электромагнитные
волны. До тех пор, пока мы имеем дело только с поперечными волнами,
мы не можем учесть кулоново взаимодействие между частицами. Для того
чтобы учесть его, необходимо ввести продольные электромагнитные волны
и соответственно записать А^.
Продольные волны можно исключить с помощью математического пре-
преобразования. Они почти не связаны с экспериментом, поэтому хотелось
бы от них избавиться. В результате вместо старых операторов г] и Yj для
рождения и поглощения электронов появятся новые переменные, которые
имеют очень простой физический смысл. Каждая новая переменная г\
соответствует рождению не «голого» электрона, а электрона вместе с окру-
окружающим его кулоновым полем. Возникает новый вариант теории, в кото-
которой учитывается, что электрон всегда сопровождает окружающее его куло-
7 П.Дирак. TIV
194 I. ЛЕКЦИИ
ново поле. Всякий раз при рождении электрона одновременно рождается и
окружающее его кулоново поле, образуя своего рода «одежду» электрона.
Аналогично, при поглощении электрона одновременно поглощается и его
кулоново поле.
То, о чем я говорил, нетрудно понять физически, но все это представля-
представляет собой очень серьезное отклонение от теории относительности, ибо если
электрон движется, то кулоново поле вокруг него не может быть сфериче-
сферически-симметричным, но именно сферически-симметричное кулоново поле и
должно рождаться вместе с электроном.
После того как мы сделаем преобразование, в результате которого
будут исключены продольные электромагнитные волны, в гамильтониане
появится новый член. Этим новым членом как раз окажется кулонова
энергия взаимодействия всех заряженных частиц:
У ^. C7)
A,2)
Суммирование проводится по всем парам частиц, которые существуют
в рассматриваемом состоянии системы. Член C7) «автоматически» возни-
возникает при преобразовании, устраняющем продольные волны.
Вы видите, что в этой части квантовой электродинамики все обстоит
вполне благополучно. Из-за недостатка времени мне удалось лишь вкратце
обрисовать ситуацию, но вы сами можете дополнить ее недостающими
деталями и убедиться, что теория правильно описывает физическую кар-
картину. Однако нам еще предстоит столкнуться с трудностями, когда мы
перейдем к решению уравнений.
Чтобы решить уравнения, мы будем исходить из уравнения Шредин-
гера B). Естественно искать решение по теории возмущений, в которой
всякое взаимодействие рассматривается как возмущение.
Решая уравнение по этой схеме, необходимо задать какое-нибудь на-
начальное состояние. Тогда поправки первого порядка вычисляются хорошо,
но попытки вычислить поправки второго порядка приводят к интегралам,
которые оказываются бесконечными. Какое бы начальное состояние ни бы-
было выбрано, в процессе решения всегда возникают бесконечные интегралы.
Это вызывает понятную тревогу, и мне кажется, что правильный вывод
состоит в том, что уравнение Шредингера B) не имеет решений. Во всяком
случае, никому не удалось найти решение, несмотря на то, что это урав-
уравнение изучалось десятилетиями. Так что, я думаю, оно просто не имеет
решений.
Рассмотрим очень простой случай: пусть в начальном состоянии нет ни
электронов, ни позитронов, ни фотонов, т. е. нет вообще никаких частиц.
Воспользовавшись теорией возмущений, мы увидим, что, начав с состоя-
состояния, в котором нет частиц, мы тем не менее придем к состоянию, в котором
возникнут частицы. Дело в том, что гамильтониан, входящий в уравнение
B), содержит члены, которые отвечают одновременному рождению элек-
электрона, позитрона и фотона. Эти три частицы рождаются одновременно,
3. ПУТИ ФИЗИКИ 195
не нарушая закон сохранения импульса, но нарушая закон сохранения
энергии. В результате конечное состояние перестанет быть состоянием без
частиц. Частицы рождаются в первом приближении (в первом порядке
теории возмущений). А потом, при переходе ко второму приближению, по-
получаются бесконечности. Следовательно, уравнение B) не решается даже
для очень простого случая.
Напрашивается вывод, что то состояние, в котором отсутствуют части-
частицы, и есть вакуум. Однако это не так, потому что вакуум должен соот-
соответствовать стационарному состоянию, в котором должно присутствовать
очень много частиц, отвечающих какому-нибудь стационарному решению
уравнения Шредингера. Но решения этого уравнения Шредингера неиз-
неизвестны — нет даже решения, которое можно было бы отнести к вакууму.
Может показаться, что результаты очень нелепы и что в такой теории
вообще ничего нельзя добиться. Однако все не так уж плохо, потому
что с точки зрения экспериментатора расчеты, связанные с вакуумом, не
нужны.
Экспериментатор не в состоянии дать нам информацию, которую мы
могли бы сравнить со своими расчетами для вакуума. Экспериментатор
занимается лишь отклонениями от вакуума.
Чтобы «избавиться» от вакуума, можно взять волновую функцию ва-
вакуума (скажем, ^vac) и подействовать на нее оператором рождения элек-
электрона
Ч^ф™. C8)
Нам неизвестно, как уже говорилось, что такое ^vac, но для оператора
рождения электрона г/^ можно воспользоваться гейзенберговыми урав-
уравнениями движения. Тогда мы выясним, как функция C8) меняется со
временем.
При этих условиях преодоление описанных выше трудностей кажется
безнадежным делом, но тем не менее, решая гейзенберговы уравнения во
втором приближении, мы все же приходим к бесконечности. Эту бесконеч-
бесконечность можно интерпретировать как дополнительную собственную энергию
электрона, которая оказывается бесконечной величиной. Так возникает
идея перенормировки массы. Итак,
ПЕРЕНОРМИРОВКА.
Мы могли бы сказать, что масса электрона, введенная в уравнения
с самого начала, не то же самое, что наблюдаемая масса. Тогда при учете
взаимодействия электрона с электромагнитным полем значение массы за-
заменится другим, отличным от того массового параметра, который входит
сначала в уравнения движения.
Такая физическая идея была бы разумной при условии, что изменение
массы или невелико, или (если оно велико) хотя бы конечно. Однако этой
идее совсем не просто приписать какой-нибудь смысл, когда изменение
массы бесконечно. Тем не менее известно, что бесконечность, возникающая
196 I. ЛЕКЦИИ
при решении уравнений, имеет то же происхождение, что и бесконечность,
связанная с бесконечной перенормировкой массы.
Можно сказать несколько точнее, а именно, что бесконечности, о кото-
которых мы говорим, имеют вид:
J А/, C9)
о
где v — частота испущенного фотона, если в гамильтониане учитывается
тот член ряда теории возмущений, который отвечает за рождение элек-
трон-позитронной пары и фотона. Интеграл C9) обращается в бесконеч-
бесконечность, если частота фотона может принимать все значения от нуля до
бесконечности. Можно проследить аналогию между этой бесконечностью
и бесконечной массой электрона в классической теории Лоренца для то-
точечного электрона, окруженного кулоновым полем. Кулоново поле вносит
энергию, и если эту энергию проинтегрировать, считая электрон сосредо-
сосредоточенным в точке зарядом, то получим бесконечность, которая имеет то
же происхождение, что и бесконечность в интеграле C9).
Ситуация несколько изменится, если мы обратимся к полной электрон-
электронной теории, т. е. к теории электрона и позитрона, возникающего как дырка
в море электронов, обладающих отрицательной энергией. Тогда мы придем
к бесконечности иного рода. Вместо интеграла C9) появится величина,
пропорциональная выражению
оо
dv
D0)
которое логарифмически возрастает при больших и:
D1)
Формула D1) означает, что в полной электронной теории стремление к
бесконечности несколько «сглаживается».
Физически это можно объяснить следующим образом. Из-за присут-
присутствия заряда вакуум вокруг него поляризуется, поскольку заряд стремит-
стремится создать в вакууме электронные пары. Это в свою очередь до какой-
то степени компенсирует кулоновское поле первоначального электрона.
Именно из-за частичной компенсации бесконечность в D0) сглаживается
по сравнению с бесконечностью в интеграле C9), но тем не менее она
остается бесконечностью.
Несмотря на перечисленные трудности, физики упорно продолжали
расчеты по этой модели. Они выяснили, как внешние электрические или
магнитные поля изменяют энергию электрона, связанного с оператором
рождения т/е). Оказалось, что любое из этих полей вносит небольшую
поправку в энергию электрона (бесконечный член, разумеется, следует
вычесть). Эта поправка интерпретируется как член, отвечающий за лэмбов
сдвиг уровней атома водорода или же за дополнительный вклад в маг-
магнитный момент электрона, т. е. за аномальный магнитный момент, воз-
3. ПУТИ ФИЗИКИ 197
никающий у электрона в магнитном поле. Результаты таких вычислений
согласуются с опытом.
Таким образом, большинство физиков совершенно удовлетворены сло-
сложившейся ситуацией. Они считают, что квантовая электродинамика стала
вполне совершенной теорией и о ней нечего больше беспокоиться. Должен
сказать, что мне это в высшей степени не нравится, потому что в такой
«совершенной» теории приходится пренебрегать возникающими в уравне-
уравнениях бесконечностями, причем пренебрегать совершенно безосновательно.
Это просто бессмысленно математически. В математике величину отбра-
отбрасывают только в том случае, если она оказывается очень малой, а не из-за
того, что она бесконечно велика и от нее хотят избавиться!
Расчёты лэмбова сдвига и аномального магнитного момента электрона
приобретут осмысленный вид, если ввести обрезание интегралов, предпо-
предположив, что верхним пределом интегрирования является не бесконечность,
а какая-нибудь конечная величина. Тогда взаимодействие между элек-
электроном и электромагнитным полем обрезается для частот, превышающих
некое предельное значение ^Макс- Частоту, при которой производится обре-
обрезание, разумно взять такой, чтобы ей отвечала энергия порядка, скажем,
тысячи миллионов электронвольт.
Благодаря введению логарифмической функции A) результаты, полу-
полученные с помощью соответствующего выражения
^макс
Г dv_ ^ j
в котором уже содержится обрезание, не будут сильно отличаться от
прежних результатов. И лэмбов сдвиг, и аномальный момент в первом
порядке останутся прежними. Таким образом, возникает теория, в которой
устранены бесконечности, но при этом совершаются лишь осмысленные
математические действия.
Неудачным результатом обрезания будет, конечно, релятивистская
неинвариантность теории, ибо если производится какое-то обрезание, т. е.
считается, что частота v не должна превышать некоторые значения, то
тем самым вносится нерелятивистское условие, а значит, нарушается ре-
релятивистская инвариантность теории. Следовательно, квантовую электро-
электродинамику можно уложить в рамки разумной математической теории, но
лишь ценой нарушения релятивистской инвариантности. Мне, однако, это
кажется меньшим злом, чем отступление от стандартных правил матема-
математики и пренебрежение бесконечными величинами.
С большинством физиков я сейчас не согласен именно в этом вопросе.
Я не могу допустить отклонения от стандартных правил математики.
Правильный вывод состоит в том, что основные уравнения неверны. Их
нужно очень существенно изменить, с тем чтобы в теории вообще не
возникали бесконечности и чтобы уравнения решались точно, по обычным
правилам, без всяких трудностей. Это условие потребует каких-то очень
серьезных изменений: небольшие изменения ничего не дадут из-за того,
198 I. ЛЕКЦИИ
что гейзенберговы уравнения очень хорошо описывают движение частиц
в современной теории. Необходимые изменения представляются мне почти
столь же значительными, сколь радикален был переход от боровской тео-
теории к квантовой механике.
Л.З. Магнитные монополи г)
Мне бы хотелось поговорить с вами об одном из приложении квантовой
теории: о ее применении к магнитным монополям. Сначала я расскажу
о том, какие теоретические идеи побудили физиков задуматься о суще-
существовании монополей, а затем перейду к последним экспериментальным
работам, авторы которых претендуют на открытие монополя.
Будем исходить из волновой функции Шредингера. Релятивистская
трактовка нам не нужна, и можно использовать волновую функцию
в обычном трехмерном пространстве. Тогда волновая функция (некоторой
частицы), скажем ф, зависит от трех координат #i, ж2, жз и может изме-
изменяться со временем:
Известно, что если волновая функция нормирована, то в соответствии с
обычной интерпретацией квадрат ее модуля \ф\2 дает вероятность того,
что частица находится в каком-нибудь определенном месте пространства.
Волновая функция ф обычно выражается комплексным числом, и ее
можно умножать на фазовый множитель. Он имеет вид ехр(г7), где j—
вещественное число, так что ехр(г7) — это число, модуль которого равен
1. Умножая ф на ехр(г7), получаем другую волновую функцию
Ф = ехр(г7)^, B)
квадрат модуля которой тот же, что и у ф:
|Ф|2 = |^|2. C)
Поэтому Ф отвечает распределению вероятности, которое определяется
функцией ф.
Входящая в формулу B) величина 7 не обязательно должна быть
числом: она может быть функцией пространственных координат и даже
времени. Поэтому мы считаем, что 7 является функцией х\, ж2, %з и? кроме
того, функцией t. Тем не менее новая функция Ф будет отвечать тому же
распределению вероятности, что и ф. Имеем:
Ф(ж1, ж2, жз; t) = exp[ij(xi, ж2, жз; t)]i/>(xi, ж2, жз; t). D)
г) Лекция была прочитана на физическом факультете университета Кентербери
(Крайстчерч, Новая Зеландия) 12 сентября 1975 г.
3. ПУТИ ФИЗИКИ 199
Однако новая функция Ф и первоначальная ф удовлетворяют разным вол-
волновым уравнениям. Вычислив производную д^/дхг (соответствующую
), где г пробегает значения 1, 2, 3, получим:
где Кг— функция положения:
*-=&
Если ф удовлетворяет волновому уравнению, в которое входит производ-
производная д/дхг от ф, то функция Ф будет удовлетворять соответствующему
волновому уравнению, в котором частные производные д/дхг заменены
операторами д/дхг + %КГ.
Сделаем еще один шаг. Предположим, что 7~это функция, кото-
которую математики называют неинтегрируемой. Представьте себе, что 7 ни
в одной точке не имеет определенного числового значения, но зато при
переходе между двумя соседними точками изменяется на определенную
величину. Если мы будем перемещать точку, то она опишет замкнутую
кривую. Величина 7 ПРИ этом изменяется непрерывно, и в результате ее
значение в конце пути, т. е. при возвращении в исходную точку, может от-
отличаться от первоначального значения. Таким образом, значение 7 может
измениться при обходе вдоль замкнутой кривой, так что ни в одной точке
оно не определено.
Введем теперь такую (неинтегрируемую) величину 7 B фазовый мно-
множитель в соотношении D). В результате мы опять получим уравнение,
содержащее операторы, аналогичные операторам в уравнении E). Но Кг
уже не будет связано с изменением 7 при переходе между соседними точ-
точками, а это изменение уже нельзя будет записать как градиент скалярной
величины, т. е. тождество F) перестанет выполняться. Следует рассмат-
рассматривать Кг как некую более общую величину, такую, чтобы интеграл по
петле
Kr dxr G)
не обязательно был бы равен нулю. Таким образом, мы получаем более
общую физическую теорию, чем та, из которой мы исходим. Однако эта
теория не так уж нова, потому что уравнение очень похоже на уравнение
для электрона, находящегося в электромагнитном поле. Имея в своем
распоряжении теорию электрона в отсутствие поля (это может быть как
классическая, гамильтонова теория, так и квантовая теория), можно вве-
ввести поле, взяв импульсные переменные рг в отсутствие поля и заменив их
переменными рг + (е/с)Аг:
рг -> Рг + ^ЛГ, (8)
г) Этот термин, соответствующий буквальному переводу английского слова «loop»,
сейчас приходит на смену термину «замкнутая кривая». — Примеч. пер.
200 I. ЛЕКЦИИ
где Аг — потенциалы поля. Тогда если в отсутствие поля ф удовлетворя-
удовлетворяет некоторому волновому уравнению, то в присутствии поля с потенци-
потенциалами Аг волновая функция ф будет удовлетворять соответствующему
волновому уравнению, в котором импульсы рг заменены переменными
Рг + (е/с)Аг или, учитывая, что
произведена замена производных:
д д
Таково изменение волнового уравнения, связанное с введением потенциа-
потенциалов электромагнитного поля Аг. Видно, что оно носит тот же характер,
что и замена я я
отвечающая неинтегрируемому фазовому множителю. Эти замены экви-
эквивалентны друг другу, если
КГ = ^АГ. A2)
Смысл сказанного состоит в том, что введение неинтегрируемой фазы
эквивалентно введению потенциалов электромагнитного поля при условии,
что Кг и Аг удовлетворяют соотношению A2). Таким образом, мы при-
приходим к новому представлению о потенциалах электромагнитного поля,
но на данном этапе не получаем новой физической теории. Это просто
новая математическая форма уравнения Шредингера, в которое входят
потенциалы поля, действующего на электрон.
Рассмотрим полное изменение фазы, т. е. полное изменение 7? ПРИ
обходе по петле L:
(A7)L=§Krdxr. A3)
L
Отождествив Кг с (е/Нс)Аг [в соответствии с A2)], получим
е Г
= уг,Ф Ardxr.
Теперь мы можем воспользоваться теоремой Стокса, которая позволяет
любой интеграл по петле выразить через поверхностный интеграл, взятый
по натянутой на эту петлю поверхности Q. Получаем:
dS A4)
Q
|>, A5)
3. ПУТИ ФИЗИКИ 201
где Ж— вектор магнитного поля. Итак, мы пришли к соотношению, со-
согласно которому е/(/гс), умноженное на магнитный поток через петлю,
равно полному изменению 7 при обходе вдоль петли.
Теперь нам придется ввести в уравнение A5) новое слагаемое: необ-
необходимо учесть, что если 7 рассматривается как фаза волновой функ-
функции, то эта фаза будет не определена в том смысле, что к ней можно
прибавить любое число, кратное 2тг. В самом деле, если в формуле B)
величину 7 заменить величиной 7 + 2тг, то уравнение совсем не изменится.
Обратившись к только что выведенному уравнению A5), мы увидим, что
левая часть действительно не определена в том смысле, что к ней можно
прибавить любое число, кратное 2тг. Следовательно, уравнение в том виде,
в котором оно написано, не может быть полным и определенным: его
левая часть неоднозначна, а правая полностью определена. Таким образом,
выражая потенциалы электромагнитного поля через неинтегрируемый фа-
фазовой множитель, мы должны изменить уравнение A5), переписав его
в виде
(A7)l + 2тггс = ^JJ JT-dS, A6)
Q
где п — положительное или отрицательное целое число.
Итак, если мы возьмем любую петлю, то сумма изменения 7 при обходе
вдоль этой петли и любого числа, кратного 2тг, равна е/(/гс), умноженному
на магнитный поток через петлю.
Хочу обратить ваше внимание на то, что хоть я рассматривал всего
лишь один частный случай волновой функции, такой же неинтегрируемый
фазовый множитель должен входить в любую другую волновую функцию.
Так должно быть, чтобы выполнялся принцип суперпозиции. Волновую
функцию можно получить, взяв сумму двух других, поэтому, умножив од-
одну из этих волновых функций на фазовый множитель ехр(г7), необходимо
умножить на него и остальные волновые функции, чтобы не нарушить
принцип суперпозиции.
Вернемся к уравнению A6) и воспользуемся соображениями непрерыв-
непрерывности. Возьмем сначала малую петлю. При ее обходе изменение 7 будет
совсем небольшим, потому что при переходе от одной точки к другой 7 ме-
меняется не сильно и, значит, не может претерпеть очень сильные изменения
при обходе вдоль малой петли. Аналогично, магнитный поток, проходящий
через такую петлю, при нормальных физических условиях будет неболь-
небольшим. Поскольку п должно быть целым числом, можно заключить, что
если обе величины (Aj)l и J JЖ'• OS малы, то п = 0. Таким образом, из
условий непрерывности следует, что п должно равняться нулю.
Существует, однако, одно исключение. Я сказал, что при обходе по ма-
малой петле изменение 7 должно быть мало, но при определенных условиях
это требование не выполняется. Если ф = 0, то 7 совсем не определено, и
если ф близко к нулю, то небольшим изменениям ф может отвечать весь-
весьма значительное изменение 7- Рассмотрим пример двумерной волновой
202 I. ЛЕКЦИИ
функции
ф = х\ + гж2- A7)
Функция ф обращается в нуль, если х\ и Х2 равны нулю. В окрестности
нуля эта функция абсолютно непрерывна. При обходе по малой петле,
внутри которой расположено начало координат х\ = Х2 = 0, фаза ф меня-
меняется на 2тг.
Нас интересуют области, где ф обращается в нуль. Если ф = 0, то
требуется выполнение двух условий, и обычно какая-нибудь одна линия
этим условиям удовлетворяет. Назовем ее линией узлов. Таким образом,
существуют линии узлов, на которых ф обращается в нуль, и если за-
задать небольшую петлю вокруг линии узлов, то при обходе по этой петле
изменение ф не обязательно должно быть малым. Оно может равняться
2тг или любому целому числу, кратному 2тг, несмотря даже на то, что
функция ф абсолютно непрерывна. Это видно из предыдущего примера,
если в качестве ф взять выражение A7). Отсюда можно заключить, что
в уравнении A6) п = 0 для любой малой петли, если она не охватывает
линию узлов.
Перейдем теперь к большим петлям и применим к какой-нибудь из них
изложенный формализм. Мы увидим, что число е/(/гс), умноженное на
магнитный поток через большую петлю, будет равно сумме изменения 7
при ее обходе и члена вида 2тгп, который составлен из вкладов каждой
линии узлов, проходящей через петлю. Эта большая петля будет вырезать
некоторую поверхность, и каждая линия узлов, пересекающая ее, будет
давать вклад вида 2 тт.
Применим теперь формулу A6) к какой-нибудь замкнутой поверхно-
поверхности. Линии, которая бы ограничивала такую поверхность, не существует.
Поэтому, применив к ней A6), мы получим, что изменение 7 вдоль гранич-
граничной кривой равно нулю, ибо сама эта кривая сжалась в точку. В результате
найдем, что произведение е/ (he) на магнитный поток, который пересека-
пересекает (замкнутую) поверхность, равно сумме членов вида 2тгп, каждый из
которых соответствует одной линии узлов, проходящей сквозь замкнутую
поверхность. Если линия узлов приходит из бесконечности, пересекает
поверхность, проходит внутри нее и опять выходит наружу, то такая линия
будет давать два вклада, которые в точности компенсируют друг друга.
Полный вклад будет отличен от нуля лишь в том случае, если существует
одна или несколько линий узлов, которые обрываются внутри замкнутой
поверхности.
Таким образом, мы подошли к следующей ситуации. Есть некоторые
волновые функции, с которыми связана ограниченная с одного конца
линия узлов. Тогда конечная точка этой линии является своего рода син-
сингулярностью поля (нет необходимости обсуждать это подробно). Возьмем
замкнутую поверхность, окружающую эту сингулярность. Полный маг-
магнитный поток через эту замкнутую поверхность, умноженный на е/(/гс),
3. ПУТИ ФИЗИКИ 203
равен 2тгп:
A8)
Если замкнутую поверхность пересекает магнитный поток, то это озна-
означает, что внутри поверхности существует какой-то магнитный монополь.
Обозначив его магнитный заряд /i, получим формулу
Ж- dS = 4тг/л, A9)
который является магнитным аналогом теоремы Остроградского-Гаусса в
электростатике. Она гласит, что магнитный поток, пересекающий замкну-
замкнутую поверхность, внутри которой находится монополь с магнитным заря-
зарядом /i, равен произведению 4тг/л. Сравнив соотношение A9) с формулой
A8), относящейся к потоку через замкнутую поверхность, внутри которой
заключен конец линии узлов, мы получим выражение для магнитного
заряда монополя:
М = |п. B0)
Выражение B0) совершенно строго вытекает из квантовых соображе-
соображений. Нам без него не обойтись, если мы хотим, чтобы в квантовой теории
существовали магнитные монополи. Теоретически это означает, что для
того чтобы электрон мог двигаться в поле монополя в соответствии с урав-
уравнением Шредингера, магнитный заряд этого монополя должен вычислять-
вычисляться по формуле B0). В противном случае уравнения движения оказываются
несовместимыми. Таково требование шредингерова формализма.
Воспользовавшись экспериментальным результатом
Ц и 137, B1)
е
можно получить из B0) следующую формулу:
ц^^-еп. B2)
Если п имеет минимальное значение, отличное от нуля, т. е. п = 1, то для
минимального магнитного заряда монополя мы получим:
что существенно превышает заряд электрона. Таким образом, минималь-
минимальный заряд монополя довольно велик.
Изложенная теория указывает лишь на возможность существования
таких монополей, которая не противоречит уравнению Шредингера, но не
содержит утверждения, что монополи должны существовать. Это может
показать лишь эксперимент.
Имеется одни аргумент в пользу существования монополей: с их по-
помощью можно было бы объяснить, почему электрический заряд всегда
квантуется. Для всех частиц, наблюдаемых в Природе, электрический
заряд выражается положительным или отрицательным числом, кратным
204 I. ЛЕКЦИИ
заряду электрона е. Почему это так? Почему бы некоторым частицам не
иметь какие-нибудь другие заряды?
Надо сказать, что кроме теории магнитного монополя, никаких других
теоретических объяснений этого факта не существует. Если где-нибудь
существует хоть один монополь, то, для того чтобы заряженная частица
могла с ним взаимодействовать (это означает, что мы можем построить
непротиворечивое волновое уравнение, описывающее взаимодействие этой
частицы с монополем), магнитный заряд монополя и заряд этой частицы
должны быть связаны соотношением B0). Поэтому, если бы монополь где-
нибудь существовал, то заряды всех заряженных частиц в Природе долж-
должны были бы оказаться квантованными. Это было бы замечательно, потому
что существование монополя объяснило бы явление Природы, которое
до сих пор остается для нас загадкой. Однако доказать необходимость
существования монополей еще недостаточно.
Подумаем теперь, как монополь мог бы возникнуть в эксперименте.
Предположим, что какая-нибудь частица несет монопольный заряд. Мо-
Монополь должен быть абсолютно стабильным в силу закона сохранения
магнитного заряда, совершенно аналогичного закону сохранения элек-
электрического заряда. Уравнения Максвелла симметричны по отношению к
электрическому и магнитному полям, и поскольку из них вытекает закон
сохранения электрического заряда, их следствием мог бы стать и закон
сохранения магнитного заряда. Частица, несущая монополь, сама может и
не быть стабильной. Однако, если она распадается, то среди продуктов ее
распада должен оказаться какой-нибудь монополь. Сам по себе монополь —
некий неизменный объект, и исчезнуть он не может. Единственный способ
заставить монополь исчезнуть заключается в том, чтобы добыть еще один
монополь такого же размера, но с противоположным знаком магнитного
заряда, и заставить эти два монополя взаимодействовать друг с другом.
Тогда они смогут аннигилировать и освободившаяся энергия перейдет
в какую-то другую форму. Итак, один монополь абсолютно стабилен, и
лишь два противоположных по знаку магнитного заряда монополя могут
уничтожить друг друга.
Если вы собираетесь получать монополи с помощью аппаратуры, ис-
используемой в физике высоких энергий, то вам придется искать их парами:
один положительный, другой —отрицательный. Монополи уже искали на
высокоэнергетических установках, но ни одного не нашли. Отрицательные
результаты поисков не доказывают, конечно, того, что монополи не суще-
существуют: энергия покоя монополя вполне могла бы оказаться слишком боль-
большой для того, чтобы пара монополей родилась на современных установках.
Для энергии покоя этой пары можно ожидать довольно большого значе-
значения, потому что магнитный заряд монополя велик — он гораздо больше
заряд электрона. Поэтому нет ничего удивительного в том, что монополи
ни разу не были зарегистрированы на современных высокоэнергетических
установках.
3. ПУТИ ФИЗИКИ 205
Появилась надежда зарегистрировать монополи в космическом излу-
излучении. Энергия космического излучения значительно превышает энергию,
достижимую сейчас в лаборатории. Могло оказаться, что монополи суще-
существуют в космическом излучении, поэтому их начали там искать. Поиски
продолжались в течение нескольких десятилетий, и лишь недавно появи-
появились сообщения о том, что один монополь найден.
Как монополь должен был бы проявиться в эксперименте? На этот
вопрос легче ответить, если известен тип ионизации, которую производит
монополь, проходящий через вещество с большой скоростью. Сравним
трек ионизирующего монополя с
треком какой-нибудь ионизирующей
заряженной частицы. На рис. 1
изображена движущаяся заряженная
частица, окруженная некоторым ко-
количеством вещества. Рассмотрим ти-
типичный атом А. Заряженная частица
будет возмущать электроны в атоме А
и некоторые из них может вытолкнуть
наружу, в результате чего возникает Рис. 1. Проходя через вещество, заря-
ионизация. Электрическая сила, КОТО- женная частица (в данном случае ча-
частица с положительным зарядом) обра-
рая выталкивает электроны, пропор- зует вдоль своего пути ионизаци'онный
ЦИОНальна заряду частицы: трек. Маленькие стрелки —электроны,
выбитые из атома А пролетающей (по-
F ~ Ze, B4) ложительно) заряженной частицей
а время, в течение которого действует сила, обратно пропорционально ее
скорости: ,
t~v-\ B5)
Значит, импульс, который заряженная частица, двигаясь, передаст одному
из электронов, прямо пропорционален заряду и обратно пропорционален
скорости частицы:
импульс = Ft ~ Zev~ . B6)
Иными словами, чем быстрее движется частица, тем меньше должен быть
импульс.
Он стремится к Ze/с, если частица движется со скоростью, близкой к
скорости света. По мере того, как частица теряет энергию и приближается
к концу своей траектории, степень ионизации возрастает, потому что зна-
значение v уменьшается. Трек ионизирующей частицы утолщается по мере
того, как частица продвигается к концу своего пути.
А что будет, если вместо заряженной частицы мимо атома пройдет
монополь? Напряженность электрического поля, создаваемого монополем,
пропорциональна его скорости. Это согласуется с хорошо известным фак-
фактом, что напряженность магнитного поля, создаваемого движущимся за-
зарядом, пропорциональна скорости заряда. Поэтому в случае движущегося
206 I. ЛЕКЦИИ
монополя сила будет пропорциональна его скорости:
F ~ fiv. B7)
Тогда импульс, который монополь передаст одному из электронов (имеется
в виду один из электронов атома А вещества, рис. 1), будет равен произ-
произведению силы на время и, таким образом, окажется почти не зависящим
от скорости:
импульс rsj ц^ B8)
т. е. пропорционален магнитному заряду ц монополя. Следовательно, про-
проходящий через вещество монополь образует трек, толщина которого почти
постоянна и не увеличивается к концу траектории. Этим трек монополя
отличается от трека обычной заряженной частицы.
Прайс с сотрудниками использовали изложенный метод в своем недав-
недавнем эксперименте, в котором, по их мнению, был открыт монополь. Экс-
Эксперимент заключался в том, что измерительные приборы подняли на
воздушном шаре и в течение нескольких дней выдерживали в верхних
слоях атмосферы. Затем их спустили вниз и проанализировали измерения.
Главной частью установки Прайса была стопка пластин, изготовленных
из лаксана (лаксан представляет собой одну из разновидностей прозрач-
прозрачных материалов). Использовался целый набор таких, положенных друг на
друга, пластин. Проходя через пластины, любая ионизирующая частица
как-то нарушала их целостность. Для определения степени повреждения
листы протравливали, а затем исследовали протравленные треки, чтобы
определить степень ионизации. Полученные Прайсом результаты приведе-
приведены на рис. 2. Между верхней лаксановой пластинкой и всеми остальными
имеется промежуток, в который вставлены еще один прибор — черенков-
ский счетчик — и обычный эмульсионный слой. Благодаря наблюдениям,
сделанным с помощью этой пластинки, авторы могли утверждать, что
частица движется вниз (по вылету ^-электронов), а черенковский счетчик
давал информацию о скорости частицы. На рис. 2 показан промежуток
между верхней лаксановой пластинкой и остальной стопкой, состоящей из
32 пластин. Кружки и треугольники на рисунке соответствуют степени
ионизации для разных пластинок. Эти данные получены в результате
разного времени воздействия кислоты, с помощью которой осуществля-
осуществлялось травление. Получившиеся «точки» (кружки и треугольники) действи-
действительно ложатся на приблизительно вертикальную линию, что означает
постоянную степень ионизации вдоль трека.
Если бы ионизация создавалась не монополем, а какой-нибудь заря-
заряженной частицей, то с увеличением толщины стопки кривая, проходящая
через экспериментальные точки, сдвигалась бы направо, потому что к
концу трека степень ионизации должна возрастать. Пунктирная кривая
получается, если заряд равен 96е, а скорость составляет C/4)с. Вы видите,
что наклонная кривая совершенно не согласуется с экспериментальными
данными. В то же время, несмотря на массу отклонений и эксперименталь-
экспериментальных погрешностей, вертикальная линия довольно хорошо описывает экс-
3. ПУТИ ФИЗИКИ
207
перимент. Приведенный график дал Прайсу и его сотрудникам основания
утверждать, что их аппаратура зарегистрировала магнитный монополь.
Эту работу мы обсуждали с физиками из Сиднея, и кто-то сказал,
что возможная причина расхождений кроется в том, что одновременно с
процессом травления могло возникать какое-нибудь явление насыщения.
Следовательно, если пластинка была сильно повреждена при ионизации,
то из-за насыщения размеры протравленных участков могли не увеличить-
увеличиться так, как ожидалось. Это вполне разумное замечание, но я не знаю,
до какой степени оно верно. Ведь, в конце концов, напечатан был всего
лишь предварительный доклад (откуда и взят рис. 2), и это замечание
следует, конечно, очень тщательно изучить, чтобы понять, действительно
ли размер протравленного участка соответствует степени ионизации, со-
создаваемой проходящей через прибор частицей.
Скорость травления трека, мкм/ч
ог
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1
Скорость травления трека, мкм/ч
1 2
Z=96;P = 0,75
80 100110120 130137140Z
80 100110120 130137140Z
Рис. 2. Экспериментальные данные (точки), полученные Прайсом и другими, на осно-
основании которых авторы утверждали, что они открыли монополь
Рис. 3. Интерпретация экспериментальных данных Прайса и других (рис. 2), допуска-
допускающая процессы фрагментации. Сплошная кривая — результат расчетов Е.П. Джорджа,
проведенных в августе 1975 г.
Проф. Джордж из Сиднея настолько заинтересовался происходящим,
что позвонил Альваресу в Беркли (Альварес возглавляет лабораторию,
в которой была выполнена работа Прайса) и спросил, каково его мнение по
этому поводу. Альварес очень неодобрительно отнесся к интерпретации ре-
результатов, представленной Прайсом с сотрудниками. Он сказал, что какая-
нибудь заряженная частица могла создавать ионизацию, соответствующую
определенной глубине протравленных участков, и что на этой глубине
частица могла столкнуться с каким-либо ядром, распасться и в результате
дальше двигаться уже с меньшим зарядом.
208 I. ЛЕКЦИИ
После разговора с Альваресом сиднейские физики построили график,
изображенный на рис. 3. Предполагалось, что вначале была заряженная
частица (скажем, в точке Л), для которой Z = 96. Она двигалась до
точки В, а в точке В налетела на атомное ядро. Здесь она распалась,
в результате чего заряд ее уменьшился (точка С) и она продолжала дви-
движение из точки С вдоль кривой CD. Эта новая частица сама могла быть
нестабильной, а может быть, она встретила в точке D другую частицу и
опять подверглась какому-нибудь изменению. В результате она потеряла
еще часть заряда. Такая картина могла бы дать объяснение, альтернатив-
альтернативное объяснению с помощью монополя. Этот вопрос пока еще не решен.
В любом случае, если Альварес прав, близость графика к вертикали
могла быть неким совпадением. Возникает впечатление, будто Природа
пытается ввести нас в заблуждение. Я не знаю правильного ответа, и нам
придется подождать, пока физики-экспериментаторы изучат результаты
более тщательно и придут к какому-то заключению.
Проф. Хора позвонил из Сиднея Хофштадтеру, чтобы узнать его мне-
мнение. Хофштадтер отвечал весьма уклончиво и сказал, что по его мнению
у Прайса и у Альвареса одинаковые шансы на правоту. Пожалуй, и я так
считаю. Вопрос на некоторое время придется оставить открытым.
Однако существует эксперимент, который свидетельствует против ин-
интерпретации предыдущих результатов на базе существования монополя.
Дело в том, что если монополи приходят с комическим излучением, то
в прошлом на Землю должно было, по-видимому, попасть очень много мо-
нополей, которые, пройдя через атмосферу, где-то остановились, и поэтому
их должны были бы там найти.
Монополь сам по себе совершенно стабилен, и если полное число моно-
полей (в некоторой области) невелико, то у монополя очень мало шансов
столкнуться с монополем, имеющим противоположный знак магнитного
заряда, т. е. вероятность их аннигиляции очень мала. Если монополи, по-
попадающие к нам с космическим излучением, существуют, то вокруг нас
должно было бы быть огромное число монополей. Их искали в разных
местах, везде, где только можно, но до сих пор ничего не нашли. Монополи
могли бы стремиться к полюсам магнитного поля Земли, и поэтому их
искали в высокоширотных областях, однако и там пока не обнаружили.
Может быть, монополи «просачиваются» сквозь Землю «в надежде» при-
приблизиться к ее магнитным полюсам. Возможно, они до сих пор не найдены
из-за того, что они слишком глубоко проникают в земную поверхность.
Ведь на самом-то деле мы не знаем, насколько глубоко монополь может
проникнуть в твердое вещество. Не думаю, чтобы кто-нибудь делал такие
оценки. Без дополнительных сведений о монополе это было бы нелегкой
задачей. Кроме того, Прайс с сотрудниками считают, что масса найденного
ими монополя составляет около двухсот или даже больше протонных масс.
Если это правильно, то понятно, почему на высокоэнергетических установ-
установках не регистрируются монополи. Энергии подобных установок недоста-
недостаточно (в настоящее время) для того, чтобы создать пару частиц с нужной
3. ПУТИ ФИЗИКИ 209
массой: нам понадобилась бы просто гигантская энергия в системе центра
инерции.
Думаю, что на этом мне следует остановиться и в качестве вопроса
предложить вам поразмыслить над тем, существует или не существует
монополь. Я надеюсь, что экспериментаторы придут к определенному
выводу (Прайс с сотрудниками обещали написать еще одну статью. Та
работа, о которой я рассказал, была опубликована 1)).
Состояние экспериментов по обнаружению монополя на де-
декабрь 1976 г. Монополь невозможно расщепить до тех пор, пока он не
столкнется с другим мопополем, противоположным по знаку магнитного
заряда. Мы в этом уверены так же, как в сохранении электрического
заряда. Оба утверждения вытекают из уравнений Максвелла.
Если монополи, как дождь, «сыпятся» на землю из космоса, то они
должны быть «разбросаны» повсюду. Их очень интенсивно искали, но ре-
результаты поисков оказались отрицательными. Возможно, монополи очень
глубоко проникают в землю. Но тогда они бы захватывались ферромаг-
ферромагнитными материалами и хотя бы несколько монополей должны были быть
обнаружены вблизи земной поверхности. Из-за того, что отрицательных
результатов очень много, большинство физиков не верят в существование
монополей в космическом излучении и поэтому ищут другое объяснение
результатов, которые наблюдали Прайс с сотрудниками. Это непростая
задача. Первоначальное объяснение Альвареса, состоящее в том, что ядро
платины распалось, пройдя через лаксановые пластинки, опровергнуто
результатами травления других пластинок, не входящих в первоначаль-
первоначальную стопку. Похоже, что ни одна из известных частиц не подходит для
объяснения эксперимента. Если эта частица — заряженное ядро, то тогда
оно должно было бы быть сверхтяжелым, лежащим вне области известных
ядер. В противном случае это могло быть ядро антиматерии.
Очень трудно делать какие-либо заключения по поводу частицы, кото-
которая наблюдалась всего один раз. Мы очень надеемся на то, что монополь
еще увидят в будущих экспериментах [1].
Л.4. Релятивистское волновое уравнение
без отрицательных энергий 2)
Сегодня мне бы хотелось рассказать об одном интересном направле-
направлении в развитии релятивистской квантовой механики, а именно, о новом
релятивистском волновом уравнении. Я расскажу о некоторых основных
характеристиках этого уравнения и о природе его решений. Новое волновое
уравнение является релятивистским и описывает частицы, масса которых
отлична от нуля. Оно обнаруживает формальное сходство с обычным реля-
г) Phys. Rev. Lett. 1975. V. 35, № 8. P. 487.- Примеч. пер.
2) Лекция была прочитана на кафедре теоретической физики университета Нового
Южного Уэльса (Кенсингтон, Сидней, Австралия) 26 августа 1975 г.
210 I. ЛЕКЦИИ
тивистским волновым уравнением для частиц со спином, равным половине
элементарного кванта. Но это лишь видимое сходство: частицы, подчиня-
подчиняющиеся новому уравнению (если только они существуют), должны иметь
совершенно иные характеристики, чем частицы со спином 1/2 (например,
электроны, протоны и т. д.), которые описываются известным уравнением.
Вспомним это уравнение. Мы будем рассматривать частицы с массой,
отличной от нуля, и для простоты выберем систему единиц, в которой
П = т = с=1, A)
где Ни с имеют обычный смысл. В такой системе первоначальное волновое
уравнение запишется в виде
Здесь используется общепринятое обозначение суммирования, т. е.
агд/дхг означает сумму a\d/dxi + а2д/дх2 + а^д/дхз, так как
индекс г в данном случае пробегает значения 1, 2, 3. Буквами жо, х\,
Х2 и жз обозначены соответственно четыре пространственно-временные
координаты частицы ?, ж, у и z. Коэффициенты аг (г = 1,2,3) и ат
представляют собой матрицы 4x4, выбранные так, чтобы все они
коммутировали друг с другом и чтобы квадрат каждой из них был равен
единичной матрице 4x4. Это означает, что
[ar, ots]+ = OLras + asar = 0 C)
для г ф s и г, s = 1, 2, 3;
а\ = а% = а§ = а2т = 1 D)
[аг,ат}+ = 0. E)
Входящая в уравнение B) величина ф является четырехстрочной матри-
матрицей, состоящей из одного столбца, каждый из элементов которого зависит
от координат жо, жх, Ж2, жз- Функция ф играет здесь ту же роль, что и
обычная однокомпонентная волновая функция в стандартном уравнении
Шредингера. С помощью уравнения B) удалось релятивистско-инвари-
антным образом описать частицы со спином 1/2, такие, например, как
электроны.
При выводе нового уравнения мы предполагаем, что частица не бес-
бесструктурна, как в случае частиц со спином 1/2, подчиняющихся уравне-
уравнению B), а обладает какой-то динамической структурой; это означает, что
у нее есть внутренние степени свободы. г)
г) Проф. Дирак в своей известной книге «Принципы квантовой механики» отмечает,
что в случае уравнения B) матрицы аг и ат «описывают некоторые новые степени
свободы, относящиеся к какому-то внутреннему движению» и делает заключение о том,
что «они позволяют ввести спин» частицы. Этот вывод следует из того, что матрицы
аг и ат не зависят от координат жо, хг, «так что они коммутируют» с импульсами и
координатами. — Примеч. редактора английского издания.
3. ПУТИ ФИЗИКИ 211
Пусть новые степени свободы соответствуют некоторым динамическим
переменным q\, p\ и (/2, Р2-, которые описывают два независимых гармони-
гармонических осциллятора. Эти динамические переменные связаны между собой
коммутационными соотношениями:
<7i<72 - 9291 = [91,92]- = [pi,P2]- = 0;
[9i, Pi]- = [92, Р2]- = Ц F)
[ЯЪР2\- = [92, Pi]- =0.
Выражения F) можно записать в чрезвычайно удобном виде, если
ввести определение: /гтЧ
9з=Рь Я4=Р2 G)
и построить матрицу /3 размера 4x4, такую, что
9а9б - ЯЬЯа = [Яа, Яь]- = ifiab, (8)
где
а, Ь = 1,2,3,4. (9)
С учетом соотношений G) и определения (8) матрица /3 должна иметь
вид: - о о 1 о
0-100
Матрица /3 полностью антисимметрична, а ее квадрат равен единичной
матрице, взятой с отрицательным знаком:
РаЪ = -Pba, /З2 = -1. (И)
Введенному нами требованию о том, чтобы новым степеням свободы
соответствовали динамические переменные двух независимых гармониче-
гармонических осцилляторов, можно придать более строгий вид. Волновая функция
частицы ф в дополнение к тому, что она является функцией координат жо,
Ж1, Ж2, жз этой частицы, должна еще зависеть от двух независимых, т.е.
коммутирующих, переменных qa (a = 1,2,3,4). Существуют следующие
пары коммутирующих переменных qa:
(91, 92), (93, 94), (91, 94) и (д2, 9з).
Выберем одну из этих пар, скажем (91,92), и потребуем, чтобы волновая
функция характеризовалась следующей функциональной зависимостью:
ф = ф(х0, xi, ж2, ж3; 9i, 92). A2)
Из qa и волновой функции ф можно построить четырехстрочную матрицу-
столбец
212 I. ЛЕКЦИИ
где
9=1 Z I A4)
С помощью тех же рассуждений, которые использовались при выводе
уравнения B), новое уравнение можно записать в виде
где коэффициенты аг (г = 1,2,3) опять представляют собой матрицы 4x4,
выбранные так, чтобы они коммутировали друг с другом и с матрицей /3:
В наших обозначениях [а, Ь]+ = ab + ba. Кроме того, мы требуем, чтобы
квадрат каждой матрицы аг был равен единичной матрице
а\ = а\ = а\ = \. A7)
Матрица /3 в новом уравнении A5) —та же самая матрица, что и /3 в урав-
уравнении A0). Мы получили тесную связь между матрицами и новыми сте-
степенями свободы [см. уравнение (8)]. По своему виду новое уравнение A5)
явно очень похоже на старое [уравнение B)]. Все различия между ними
вызваны тем, что новое уравнение связано с новыми степенями свободы.
Из-за этого qij) существенно отличается от функции ф, входящей в урав-
уравнение B). Матрица /3 тоже непосредственно связана с коммутационными
соотношениями между переменными, которые определяют новые степени
свободы.
Наложим теперь на матрицы а дополнительные ограничения, кото-
которые нам будут полезны в дальнейшем. Предположим, что матрицы а
вещественны и симметричны (а следовательно, эрмитовы). Конечно, суще-
существует немало способов удовлетворить этим требованиям в дополнение к
условиям A6) и A7). Возьмем для примера следующий набор матриц аг:
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
A8)
Подставив этот набор в уравнение A5) и заметив, что
9з
92 / V 9i / V -94 / V -92
3. ПУТИ ФИЗИКИ 213
получим следующую систему из четырех уравнений:
° + д3)Я1 - Аз + #V + Яз}Ф = 0; B0а)
+ «93)<72 + д\А + d2q3 + Я4}ф = 0; B06)
- ds)q3 - d^i + 82q2 - Я1}ф = 0; B0в)
{д° - d3)q4 + 8lq2 + d2qi - Я2}ф = 0, B0г)
в которой использовано обозначение:
9" = -^, м = 0,1,2,3. B1)
В представлении, которым мы пользуемся для двух осцилляторов,
и q2ip интерпретируются как числа, полученные умножением ф на числа
q\ и ^2, а ЯзФ и ЯаФ имеют вид:
Как явствует из системы уравнений B0), уравнение A5) на самом
деле представляет собой четыре уравнения для одной и той же функ-
функции ф. Следовательно, для одного неизвестного у нас есть целых четыре
уравнения. Тогда встает вопрос об их совместности. Прежде всего, не
все четыре уравнения независимы. Это становится очевидным, если за-
записать сумму: #2, умноженное на B0а), плюс — gi, умноженное на B06),
плюс —(/4, умноженное на B0в), плюс дз5 умноженное на B0г). Тогда,
учитывая коммутационные соотношения (8) и независимость переменных
qa от координат жм, получаем, что левая часть этой суммы обращается
в нуль, т. е. приходим к тождеству 0 = 0. Следовательно, в системе B0)
только три уравнения могут быть независимыми. Теперь важно проверить
внутреннюю непротиворечивость этих трех уравнений.
Запишем уравнение B0) в виде
Раф = 0, а = 1,2,3,4, B2)
где Р — четырехстрочная матрица-столбец:
Р = (д° + агдг + /3)д; B3)
элементы столбца имеют вид:
Ра = @° + агдг + /3)abqb. B4)
Тогда условие непротиворечивости записывается в очень простой форме:
[Ра,Рь]-ф = 0, а, 6 = 1,2,3,4. B5)
Это соотношение должно удовлетворяться, если Раф = 0 и Р^ф = 0, т.е.
если одна и та же функция ф удовлетворяет всем уравнениям B0). Вое-
214 I. ЛЕКЦИИ
пользовавшись соотношениями (8), симметрией матриц аг и антисиммет-
антисимметрией матриц /3, а также соотношениями A6), A7) и A1), можно записать:
[Рв, Рь\- = [(д° + агдг + /3)асЯс, (8° + asds + /3)bdqd}- =
= (д° + агдг + 13)ас(д° + asds + p)bd[qc, qd]- =
= (д° + ar8r + Р)ас(д° + as8s + l3)bdiPcd =
= i(d° + ardr + /3)acf3cd(d° + asds - /3)db =
= i{(d° + ardr + /3)/3(d° + asds - /3)}ab =
= i{(d° + ardr + р)(д° - asds - f3)f3}ab = i{(d°d° - drdr + i)p}ab.
Таким образом, условие непротиворечивости B5) эквивалентно условию
= 0, B6)
или уравнению де Бройля для волновой функции ф частицы с массой,
равной единице. Оператор
д^ = g>W B7)
известен под названием оператора Даламбера. Следовательно, чтобы че-
четыре дифференциальных уравнения B0) были взаимно непротиворечивы-
непротиворечивыми, волновая функция ф должна удовлетворять как этим уравнениям, так
и уравнению де Бройля B6).
Мы, естественно, требуем, чтобы новое волновое уравнение имело ре-
лятивистски-ковариантный вид. Это значит, что оно должно быть ло-
ренц-инвариантным. Интересно следующее: A5) можно переписать таким
образом, что соотношение приобретет релятивистско-ковариантный вид.
Введем для этого новые матрицы
7м = ?ам, /^ = 0,1,2,3, B8)
причем
ао = 1. B9)
Тогда, умножая левую часть A5) на /3 и учитывая B8) и B9), мы получим:
Gа,0" - 1)ЯФ = 0, C0)
где 7/z удовлетворяют антикоммутационным соотношениям
[7м>7^]+ = -2g>. C1)
Соотношения C0) и C1) выглядят релятивистски-ковариантными, но их
релятивистская инвариантность тем не менее не очевидна из-за разно-
разного характера симметрии величин 70 (антисимметрична) и 7г (симмет-
(симметрична) [Gо)ба = Am = -РаЪ = ~Ы)аЪ И (jr)ba = (f3c^r)ba = fibc{oLr)ca =
= -/3cb(ar)ac = (-ar/3)ab = (/3ar)ab = {lr)ab\- Таким образом, временипо-
добная матрица 7о отличается от пространственноподобных 7г, образую-
образующих набор матриц 7/х-
3. ПУТИ ФИЗИКИ 215
Отсюда видно, что вопрос о лоренц-инварнантности соотношения A5)
требует более последовательного анализа. К счастью, тест на инвари-
инвариантность уже хорошо известен. Сначала на уравнение надо подейство-
подействовать инфинитезимальным преобразованием Лоренца. Дальнейшая проце-
процедура в точности аналогична тому, как проверялась лоренц-инвариантность
уравнения B). Поэтому я не буду вдаваться в детали и намечу лишь
главные этапы. Инфинитезимальное преобразование Лоренца переводит
координаты х^ (/х = 0,1, 2, 3) в новые координаты
x*fA = x^ + a^xl/, C2)
где вещественные величины
G/xi/ = g^kat C3)
являются ннфинитезимальными и антисимметричными:
а^ = -а^. C4)
Соответственно, имеем:
д^ = д» + a»vdv = 8**- а^ди C5)
и с точностью до величин первого порядка:
д^ = д^ + а^ди*. C6)
Выражение C6) можно подставить в уравнение A5), которое мы перепи-
перепишем в более сжатом виде
{а^ + /3)дф = 0. C7)
После перегруппировки членов эта подстановка дает:
[(а„ + а/аи)д»* + /%V> = 0. C8)
Если ввести теперь для удобства симметричную матрицу
N = \a^va^auj C9)
то сразу станет ясно, что после перегруппировки C8) переходит в
{ард* + 0)ц*ф = 0, D0)
где введена величина
q* = A _ pN)q. D1)
Однако, поскольку матрицы д* удовлетворяют коммутационным соотно-
соотношениям
[д*а,Яь]- = *РаЬ, D2)
они будут просто играть роль матриц q. Отсюда следует, что с учетом
D1) преобразование C2) сохраняет вид уравнения C7) [или A5)]. Значит,
вид этого уравнения не будет меняться при любом конечном собственном
преобразовании Лоренца.
216 I. ЛЕКЦИИ
Интересно, что переход D1) от q к д* можно переписать как инфини-
тезимальное унитарное преобразование. В самом деле, в первом порядке
по степеням малых величин имеем:
q* = [l - \ а^ра^аи] q = [l - г- w] q [l + *-W] , D3)
где :
4
Здесь введено обозначение:
9 = (91,92,93,94) D5)
для однострочной матрицы, которая является транспонированной матри-
матрицей д, состоящей из одного столбца. Правая часть уравнения D3) есть
результат инфинитезимального унитарного преобразования, a W пред-
представляет собой инфинитезимальный эрмитов оператор.
Мы подошли к очень интересному свойству нового волнового уравне-
уравнения, а именно к тому, что оно автоматически разрешает только решения
с положительной энергией. Чтобы в этом убедиться, перепишем уравнения
B0) в терминах собственных состояний частицы с определенным энергией-
импульсом. Таким образом, операторы энергии-импульса частицы сначала
запишем в виде
а затем р^ будем обозначать собственные значения операторов рм, выра-
выражаемых вещественными числами. Следовательно,
= 0;
= 0;
= 0;
= 0.
D7а)
D76)
D7в)
D7г)
р^ф. D6)
Подставив в B0) соотношения D6), получим:
[(ро - Рз)?1 + (i + Pi)Q3 ~
[(ро - Рз)Я2 - Р2Яз + (г -
[(ро + Рз)яз -(i- Pi)9i -
[(Ро + Рз)<74 - Р2Я1 ~ (г +
В D7) мы использовали соотношения:
Р° = Ро; Pr = -Pr, r = 1,2,3. D8)
(Следует заметить, что обозначения pi, p2 и рз отвечают компонентам
импульса частицы. Их не надо путать с такими же обозначениями, кото-
которые в уравнениях F), G) и в тексте использовались для импульсов двух
гармонических осцилляторов: символ р\ относился к первому осциллятору
и впоследствии был заменен символом дз? а р2 относился ко второму
осциллятору и был заменен обозначением #4-)
С помощью подходящего преобразования Лоренца можно перейти в си-
систему отсчета, в которой импульс частицы равен нулю, т. е.
Р1=Р2=Рз = 0. D9)
3. ПУТИ ФИЗИКИ 217
В этой системе уравнения D7) записываются следующим образом:
(poqi + гЯз)Ф = 0; E0а)
{P0Q2 + гЯ4)Ф = 0; E06)
(ро<7з - iqi)ip = 0; E0в)
(Ро<74 - Щ2)Ф = 0. E0г)
В общем случае уравнение де Бройля в терминах величин р^ и р^,
имеет вид:
* - \)ф = 0. E1)
Следовательно, в подобранной нами системе
р20 = 1. E2)
Это означает, что для частицы с единичной массой энергия ро может при-
принимать лишь значения +1 или —1. Поэтому уравнения E0) упрощаются
(верхний знак относится к ро = +1, а, нижний —к ро = —1):
(±91 + iqs)i> = 0; E3а)
(±92 + iq±)$ = 0; E36)
(±93 " iqi)il> = 0; E3в)
(±94 " гд2)ф = 0. E3г)
Теперь ясно, то уравнения E3а) и E3в) эквивалентны. То же самое можно
сказать об уравнениях E36) и E3г). Учитывая, что (в представлении,
в котором q\ и q2 диагональны)
• 9 . д
можно сократить число волновых уравнений до двух дифференциальных
уравнений
±_?_)w, = o, E6)
dq2/
верхний знак в которых опять отвечает ро = +1, а нижний — ро = — 1. Эти
уравнения довольно легко интегрируются и дают:
Ро = +1, E7)
po = -l. E8)
Решение E8) физически совершенно неприемлемо, потому что оно расхо-
расходится при больших значениях q\ и q2 и, следовательно, его нельзя норми-
нормировать. Допустимо лишь решение E7), следовательно, только собственное
218 I. ЛЕКЦИИ
значение энергии ро = +1 является разрешенным. Собственное значение
энергии с отрицательным знаком автоматически исключается из-за того,
что решение E8) невозможно.
В системах отсчета, отличных от только что рассматриваемой специ-
специальной системы, результат, к которому мы пришли, остается справедли-
справедливым: только решения с положительной энергией дают волновые функции,
имеющие физический смысл 1).
Замечателен сам по себе тот факт, что для частиц, описываемых новы-
новыми волновыми уравнениями, разрешены только положительные значения
энергий. Однако это не совсем новый результат: еще в 1932 г. Майорана
предложил лоренц-инвариантное волновое уравнение, у которого были
разрешены только решения с положительной энергией. Уравнение Майо-
Майораны имело вид:
(qavqdv + 21)ф = 0 E9)
и было лоренц-инвариантным. Если теперь умножить уравнение C7) на
линейные функции переменных д, то получатся уравнения, которые в об-
общем случае записываются следующим образом:
(qXa^qd» + qXf3q)^ = О, F0)
где Л — некая матрица 4x4, так что qX— линейная функция перемен-
переменных q. Существует, оказывается, 15 независимых матриц Л, дающих раз-
разные результаты. Следовательно, существует и 15 разных уравнений типа
F0), квадратичных по переменным q. Одно из этих уравнений, а именно
то, которому отвечает Л = 1, идентично уравнению Майораны E9).
Поэтому было бы весьма заманчиво ограничиться рассмотрением урав-
уравнения Майораны и его решений. Это уравнение очень подробно исследовал
сам Майорана, и ему удалось показать, что оно приводит к массовому спек-
спектру, состоящему из бесконечного числа значений масс. Поначалу это может
показаться многообещающим, но, вычислив спин майорановых частиц, вы
увидите, что увеличение спина частицы сопровождается уменьшением ее
массы, так что у более тяжелых майорановых частиц спин должен был
бы быть меньше, чем у более легких. Конечно, все сказанное полностью
противоречит данным эксперимента. По этой причине физики отказались
от уравнения Майораны.
Таким образом, нам следует придерживаться постоянного значения
массы частицы и сохранить тем самым уравнение де Бройля. Это рав-
равносильно сохранению всей системы уравнений F0), т.е. всех пятнадцати
уравнений. Одно из них будет иметь майоранов вид, но, если его рассмат-
j В статье, напечатанной в 1971 г. в журнале «Proceedings of Royal Society», проф.
Дирак утверждает, что в общем случае уравнения D7) после интегрирования дают:
ехр (- Wi+ii + ipitfi-iti-tiww] 1
I L 2(ро+Рз) JJ
откуда опять следует, что решение имеет смысл только тогда, когда энергия
жительна. — Примеч. редактора английского издания.
3. ПУТИ ФИЗИКИ 219
ривать совместно с четырнадцатью остальными, то оно не приводит к тем
нежелательным свойствам частиц, о которых мы говорили.
Мы подошли к вопросу о спине частицы. Поскольку времени оста-
осталось немного, я расскажу о нем лишь в общих чертах. Подход, который
используют для вычисления спина частицы, подчиняющейся волновому
уравнению, состоит в том, что на волновую функцию действуют опе-
оператором инфинитезимального поворота (вокруг начала координат), один
из членов которого содержит оператор спина, а потом требуют, чтобы
преобразованная волновая функция удовлетворяла тому же уравнению,
которому удовлетворяла непреобразованная волновая функция. Поэтому
функцию ф в C7) мы преобразуем в «повернутую» волновую функцию
b, F1)
L ^ J
где
pa — JbpU(j XfjUp f^^pai \P^)
причем через spa обозначены спиновые операторы, действующие на пере-
переменные q. Потребовав теперь, чтобы волновая функция F1) удовлетворяла
уравнению C7), мы в конце концов получим формулу
Spa = -| qapf3aaq + - igp(T F3)
для случая, когда оператор spa антисимметричен. Выбрав а в соответ-
соответствии с A8), будем иметь:
1/2 2 2 2\
4
1
SQ3 = 2 (9193 + 9492);
^12 = 2 (9293 -9194);
523 = 2 (9192 + 9394);
531 = ^ (9i - 92 + 9з -
Три последних уравнения дают:
Г\ Г\ Г\ 1 Г\ Г\ I
51 о ~\ 5оо ~г" 5qi — — v9i "т" 9^? "т" 9'
По правилам квантовой механики значение, например, спина s определя-
определяется из соотношения
/ | -| \ 2 I 2 I 2 ^^л^^
Следовательно, выраж:ение F5) дает формулу для спина частицы, которая
описывается уравнением C7):
220 I. ЛЕКЦИИ
Теперь собственные значения A/2)(g^ + q^), как и собственные значения
энергии гармонического осциллятора, имеют вид п + 1/2, а собственные
значения (l/2)(g| + gj) имеют вид п' + 1/2, где п и п' — положительные
целые числа или нули. Следовательно, собственные значения s выража-
выражаются формулой
V-{n + n'). F8)
Но оказывается, что волновая функция, удовлетворяющая уравнению
C7), всегда должна быть четной функцией переменных д, так что сумма
п + п' всегда или четна, или равна нулю. Отсюда вытекает, что значение
спина либо выражается целым числом, либо равно нулю. Таким образом,
частица, которая описывается волновым уравнением C7), представляет
собой частицу с целым спином.
Казалось бы, здесь должны возникать трудности, связанные со спином:
оператор s мог бы зависеть от импульса частицы. Однако этот вывод
неправилен. Поскольку процедура деления углового момента на орбиталь-
орбитальную и спиновую части не является релятивистской, можно переопределить
спин частицы так, чтобы устранить ложную зависимость от импульса.
Выясним теперь вкратце, что представляет собой частица, которая опи-
описывается такой теорией. В частности, посмотрим, каким будет внутреннее
движение частицы. Для ответа на этот вопрос лучше всего прибегнуть к
гейзенберговой картине, потому что она дает нам информацию, близкую к
классическому описанию движения и, следовательно, самую подходящую
для нахождения классического аналога любой квантовой теории.
В теории, которая описывается прежним уравнением B) для частиц со
спином 1/2, гейзенберговы уравнения движения приводят к «дрожанию»
электрона. Оно действительно возникает, если координаты частицы хг
записать в виде суммы двух частей:
хг = Уг + ?,п F9)
где
yr = br + ^-t G0)
описывает классическое движение, причем br не зависит от времени, а
?г описывает малые колебания с большой частотой. В излагаемой теории
возможно несколько видов движения, потому что координаты хг могут
изменяться двумя разными способами: со временем и под действием ка-
калибровочных преобразований.
Оказывается, что изменение координаты частицы с нулевым импуль-
импульсом под действием калибровочного преобразования отвечает блужданию
точки хг по поверхности шара. Это лишено физического смысла. Для
физики важна лишь сама шаровая поверхность. Ее радиус-вектор удовле-
удовлетворяет соотношению — sro = +SQr [см. F4)]; он колеблется, и поэтому вся
картина представляет собой пульсирующий шар.
Что можно сказать о будущем нашего нового уравнения? На данном
этапе существуют довольно серьезные трудности, из-за которых дальней-
3. ПУТИ ФИЗИКИ 221
шее развитие теории невозможно. Трудности связаны с тем, что элек-
электромагнитные взаимодействия частицы, подчиняющейся уравнению C7),
невозможно описать никакими известными методами. Дело в том, что по-
попытавшись ввести электромагнитное поле (определяемое четырьмя компо-
компонентами потенциала А^) путем замены в волновом уравнении 4-импульса
рм величиной р^ + еА^\
Рр^Рр + еАр, G1)
вы обнаружите, что преобразованная система волновых уравнений D7),
вообще говоря, внутренне противоречива. Внутренняя непротиворечи-
непротиворечивость восстанавливается только тогда, когда четыре компоненты потенци-
потенциала имеют вид:
А„ = d^S, G2)
где S — некоторая функция. Но это просто соответствует ситуации, когда
все компоненты тензора электромагнитного поля
F^ = д„Аи - диА„ G3)
обращаются в нуль. Следовательно, никакого физически наблюдаемого
поля не существует. Все сказанное означает, что нет согласованной теории,
которая описывала бы частицы, о которых шла речь, в случае, когда они
имеют заряд или обладают какими-нибудь другими электромагнитными
свойствами 1).
Л.5. Космология и гравитационная постоянная 2)
Изучение различных физических постоянных позволяет сделать вы-
вывод о том, что гравитационная постоянная изменяется. В природе мы
встречаемся с разными постоянными: скоростью света, зарядом электрона,
массой электрона и т. д. Большинство из них размерные (значения таких
констант зависят от используемой системы единиц). Значение постоянной
в метрической системе единиц отличается от ее значения в Британской
системе. Подобные числовые значения постоянных не представляют ни-
никакого интереса, однако из различных физических постоянных можно
составить безразмерные величины, которые будут одинаковыми во всех
системах единиц. Только об этих безразмерных величинах мы и будем
говорить сегодня.
Одна из них — величина, обратная знаменитой постоянной тонкой
структуры
?• (У
г) Dime P.A.M. I/ Proc. Roy. Soc. (Lond.) 1971. V. A322. P. 435; Proc. Roy. Soc. (Lond.)
1972. V. A328. P. 1.
2) Лекция была прочитана в Школе физики при университете Нового Южного Уэльса
(Кенсингтон, Сидней, Австралия) 27 августа 1975 г.
222 I. ЛЕКЦИИ
Она является фундаментальной константой в атомной физике и прибли-
приблизительно равна 137. Другая безразмерная постоянная определяется отно-
отношением массы протона к массе электрона
и составляет около 1840. Удовлетворительного объяснения этих чисел пока
нет, но физики надеются, что в конце концов оно будет найдено. Тогда
приведенные постоянные вычислялись бы с помощью основных математи-
математических уравнений; вполне вероятно, что подобные постоянные составлены
из простых величин типа 4тг.
Существует еще одна безразмерная постоянная, на которую мне бы
хотелось обратить ваше внимание. Она получается следующим образом.
Рассмотрим атом водорода, который состоит из электрона и протона. Сила
их электростатического взаимодействия обратно пропорциональна квад-
квадрату расстояния между ними. То же самое относится к гравитационному
взаимодействию. Можно составить отношение электростатической силы
к гравитационной. Оно будет безразмерной величиной, не зависящей от
расстояния. Таким образом, мы придем к выражению
Gmemp'
где е — заряд электрона (или протона); G — гравитационная постоянная;
гпе и nip — массы электрона и протона.
Если вычислить значение C), то получится гигантское число, равное
приблизительно 2 • 1039. Как и другие безразмерные физические постоян-
постоянные, это число тоже должно быть объяснено. Можно ли хотя бы надеяться
придумать теорию, которая объяснит такое огромное число? Его нельзя
разумно построить, например, из 4тг и других простых чисел, которыми
оперирует математика! Единственная возможность объяснить это число —
связать его с возрастом Вселенной.
Говоря о возрасте Вселенной, я буду обращаться к общепринятой мо-
модели Большого взрыва, согласно которой в начальной стадии все веще-
вещество Вселенной было сконцентрировано в очень маленьком объеме, может
быть, даже в математической точке. Потом произошел гигантский взрыв,
в результате которого было выброшено множество сгустков вещества, дви-
движущихся с разными скоростями, причем те, которые двигались быстрее,
должны были продвинуться дальше. В результате должна была возник-
возникнуть ситуация, которую мы сейчас наблюдаем: все космические объекты
от нас удаляются, причем более далекие объекты удаляются быстрее,
чем те, которые находятся ближе. Скорость удаления пропорциональна
пройденному расстоянию.
Можно принять другую модель, предложенную Леметром. Согласно
этой модели Вселенная начиналась с одного-единственного атома — с ато-
атома, который заключал в себе огромную массу — всю массу Вселенной. Этот
единственный очень массивный атом был чрезвычайно радиоактивным.
3. ПУТИ ФИЗИКИ 223
Он мгновенно распался на части, которые претерпели дальнейший рас-
распад, распады продолжались, и радиоактивность, которую мы наблюдаем
сейчас, представляет собой просто остатки начальной радиоактивности.
Предложенная схема довольно красива, но для того, что я собираюсь
сейчас вам рассказать, детали модели несущественны.
Итак, мы заговорили о возрасте Вселенной. Понять, что это такое,
можно с помощью постоянной Хаббла, которая связывает скорость удале-
удаления космических объектов с расстоянием до них. Хаббл обнаружил, что
скорость удаления пропорциональна расстоянию. Он смог точно проверить
этот закон лишь для ближайших объектов, но закон настолько хорошо вы-
выполнялся, что его стали считать справедливым и на больших расстояниях.
По отношению скорости удаления к расстоянию можно определить, когда
в прошлом все вещество было первоначально сконцентрировано в очень
маленьком объеме. Так мы получим возраст Вселенной. Подобная оценка
содержит много неточностей, которые связаны с неточным измерением
расстояний до очень далеких объектов. Последняя оценка примерно дает:
t = 18 • 109 лет.
Это число выражено в годах, т. е. в весьма искусственных единицах
измерения времени. Можно пользоваться другой единицей времени, из
атомной физики. Примем в качестве единицы, например, то время, за
которое свет проходит сквозь классический электрон:
е2
з *
тес
Выразив t в этих единицах, получим:
* = 7 • Ю39
з '
ТПеС
что по порядку величины совпадает с предыдущим большим числом
B • 1039). «Это совершенно удивительное совпадение», — скажете вы. Но я
так не считаю. Я думаю, должно существовать какое-то фундаментальное
объяснение того, что значения двух больших величин так близки друг
к другу. Причину этого мы не знаем, нам пока не удается ее разгадать,
но когда появится больше сведений об атомной физике и космологии,
разгадка будет найдена.
Предположим, что между двумя этими числами существует какая-
то связь, которую установит теория будущего. Величина t = 7 • 1039 не
является постоянной, она увеличивается со временем. Следовательно, если
числа взаимосвязаны, то величина е2/(Gmemp) = 2 • 1039 тоже должна
расти со временем и ее отношение к t должно оставаться неизменным.
Полученный результат можно представить в более удобном виде, если
воспользоваться системой единиц (будем называть их атомными едини-
единицами), в которой заряд электрона е, его масса тпе и масса протона тпр
224 I. ЛЕКЦИИ
постоянны. Поскольку величина е2/(Gmemp) изменяется со временем,
само G в этих единицах тоже должно меняться со временем и
7^ *. D)
Gmemp
Следовательно, в атомных единицах G обратно пропорционально времени:
G~t~\ E)
Я буду все время говорить, что G меняется как t~x. Под этим следует
понимать, что «величина G, выраженная в атомных единицах, изменяется
как t~1». Поскольку G представляет собой размерную величину, ее закон
изменения со временем зависит от используемой системы единиц. Чтобы
выполнялся закон G ~ t, необходимо использовать атомные единицы.
Тогда напрашивается вывод, что безразмерные физические величины,
выраженные очень большими числами, связаны друг с другом. Этот прин-
принцип я называю гипотезой больших чисел. Согласно гипотезе больших чисел
все очень большие безразмерные физические величины соотносятся друг
с другом так же, как величины t = 7 • 1039 и е2/(Gmemv).
Имеется еще одна очень большая безразмерная величина, которую нам
нужно рассмотреть. Я имею в виду полную массу Вселенной, выраженную,
скажем, в протонных массах. Мы получим, если угодно, полное число
протонов и нейтронов во Вселенной. Разумеется, Вселенная может ока-
оказаться бесконечной, и тогда это число тоже будет бесконечным. В этом
случае мы не имели бы права его обсуждать, но зато могли бы вместо него
пользоваться другим числом. Достаточно рассмотреть часть Вселенной,
настолько близкую к нам, чтобы скорость ее удаления была, скажем, мень-
меньше половины скорости света. Тогда мы будем иметь дело лишь с некоторым
участком бесконечной Вселенной, в котором скорости удаления меньше
половины скорости света. Какова полная масса такого участка Вселенной?
Это число тоже будет очень большим, и им можно заменить полную массу
Вселенной, чтобы в случае бесконечной Вселенной иметь дело с конечными
величинами.
Можно попытаться оценить полную массу Вселенной, воспользовав-
воспользовавшись массой наблюдаемых звездных объектов и учтя существование нена-
ненаблюдаемого вещества. Нам известно, насколько важен этот учет; ведь
может оказаться, что довольно много ненаблюдаемого вещества существу-
существует в виде межгалактического газа, или черных дыр, или в каком-нибудь
другом виде. Вполне вероятно все же, что невидимого вещества не намного
больше, чем видимого. При таком предположении полная масса в единицах
протонных масс
Сюда надо еще включить какой-то множитель, который учитывает су-
существование невидимого вещества. Поэтому мы получаем число, которое
приблизительно равно t2 (в атомных единицах).
3. ПУТИ ФИЗИКИ 225
Согласно гипотезе больших чисел все очень большие безразмерные
величины должны быть связаны друг с другом. Значит, следует ожидать,
что будет справедливо соотношение
На основании предыдущих рассуждений можно заключить, что полное
число протонов по Вселенной увеличивается пропорционально t2. Это
означает, что во Вселенной должно рождаться вещество, причем рождать-
рождаться непрерывно.
Существует несколько космологических теорий, в основе которых ле-
лежит предположение о непрерывном рождении вещества. Такая теория
была очень подробно разработана Хойлом и другими авторами. Но они
имели в виду совсем не то непрерывное рождение, которое предлагаю я.
Теория непрерывного рождения возникла в противовес гипотезе большого
взрыва и сейчас не пользуется признанием.
Теория непрерывного рождения, о которой я буду вам рассказывать,
существенно отличается от теории непрерывного рождения, предложенной
Хойлом, так как Хойл предполагал, что Вселенная находится в однородном
и изотропном состоянии, а непрерывное рождение призвано восполнять
вещество, которое уходит за пределы зоны видимости вследствие расши-
расширения. В теории Хойла величина G была постоянной, в моей же теории G
изменяется со временем, и в этом заключается отличие от теории Хойла.
Я предлагаю теорию, в которой непрерывное рождение вещества со-
сочетается с изменением G. И то, и другое предположение вытекает из
гипотезы больших чисел.
Непрерывное рождение вещества следует рассматривать как некий
процесс, совершенно не зависящий от всех известных физических процес-
процессов. В обычных физических процессах, которые изучают в лаборатории,
вещество сохраняется, а в данном случае мы имеем дело с очевидным
несохранением вещества, или, если угодно, с каким-то новым типом ра-
радиоактивного процесса, в котором вещество не сохраняется и частицы
рож:даются там, где их раньше не было. Этот эффект очень мал, потому
что заметное число частиц возникает лишь за очень большой промежуток
времени, сравнимый с возрастом Вселенной.
Если новое вещество рож:дается непрерывно, то встает вопрос: «Где оно
рождается»? Можно сделать дна разумных предположения. Одно из них
заключается в том, что новое вещество непрерывно рождается во всем про-
пространстве, т. е. в основном в межгалактическом пространстве. Назовем это
предположением об аддитивном рождении. Можно предположить также,
что новое вещество рождается рядом с уже существующим веществом. По
строению атомов вновь образовавшееся вещество не отличается от уже су-
существующего вещества. Подобная картина означала бы, что все атомы про-
просто размножаются. Назовем это предположением о мультипликативном
рождении. Итак, существуют два возможных способа рождения нового
8 П.Дирак. TIV
226 I. ЛЕКЦИИ
вещества. Какой из них предпочесть, я не знаю. Нужно проанализировать
обе возможности и посмотреть, что из них вытекает.
Развивая теорию с переменной величиной G, мы обязательно столк-
столкнемся с необходимостью видоизменить уравнения механики. Существует
эйнштейнова теория гравитации. Это прекрасная теория; ее достижения
велики и хотелось бы их сохранить. Однако в соответствии с теорией Эйн-
Эйнштейна величина G должна быть постоянной: в эйнштейновой теории G
не может изменяться. Если пользоваться естественными единицами, то
G = l.
Как же допустить изменение G, сохранив при этом выводы теории Эйн-
Эйнштейна? Мне кажется, что существует только один способ. Предположим,
что уравнения теории Эйнштейна правильны, но они справедливы для
величин, которые выражены в единицах, отличных от атомных единиц.
Рассмотрим расстояние и время, которое в теории Эйнштейна пред-
представляются в виде интервала ds между двумя соседними точками. Надо
рассмотреть два выражения для ds: одно из них связано с уравнением
Эйнштейна, второй же интервал ds измеряется в атомных единицах. На-
Назовем первый dsE, а второй dsA- Будем считать, что в обеих системах
единиц скорость света равна 1, так что и пространственный, и временной
интервалы изменяются одинаково при переходе от dsE к dsA-
В последнее время многие занимались теориями гравитации, допуска-
допускающими изменение G, но исходили при этом из примитивной теории, в кото-
которой инертная и гравитационная массы отличаются друг от друга. Тогда G
представляет собой коэффициент, связывающий эти две массы между
собой. Его легко заставить меняться, варьируя отношение гравитационной
массы к инертной. Подобная теория очень примитивна, а кроме того, со-
совершенно неудовлетворительна, потому что она полностью противоречит
теории Эйнштейна, согласно которой гравитационная и инертная массы
должны быть одинаковыми. Следуя примитивной теории, вы растеряете
все достижения теории Эйнштейна и не сумеете объяснить движение пе-
перигелия Меркурия. В научной литературе вы обнаружите статьи, авторы
которых проводят вычисления в рамках примитивной теории, поэтому я
вам о ней рассказал. Подобные вычисления я считаю неприемлемыми,
потому что они содержат отказ от достижений теории Эйнштейна.
Вместо примитивной теории я предложил другую, в которой интервал
ds измеряется в двух разных системах единиц и которую можно назвать
гипотезой Милна.
Милн первым выдвинул идею о том, что существуют две важные для
физиков шкалы времени, и занялся поисками связи между ними. Перед
войной он написал на эту тему несколько книг. Рассуждения Милна со-
совершенно не связаны с моими размышлениями по поводу больших чисел.
У него были разные аргументы философского характера, которые мне
кажутся не особенно убедительными. Однако его основной идеей было
существование в физике двух важных единиц времени. Именно этой идеей
я собираюсь сейчас воспользоваться, чтобы сохранить все достижения
3. ПУТИ ФИЗИКИ 227
теории Эйнштейна для случая переменной G. Прежде всего выведем со-
соотношение, связывающее между собой две введенных нами величины dsE
и dsA- Обратимся к простому примеру: рассмотрим, скажем, Землю, дви-
движущуюся вокруг Солнца (приблизительно) по окружности орбите. Тогда
по теории Ньютона имеем уравнение
GM = v2r,
где М — масса Солнца; v и г — орбитальная скорость и радиус орбиты
Земли. Элементарная теория Ньютона достаточно точна для наших рас-
расчетов. Какая бы система единиц ни использовалась, написанное уравнение
должно быть справедливым.
Единицы, которыми я буду пользоваться, имеют следующий смысл:
dsE будет измеряться в единицах, в которых справедливы уравнения Эйн-
Эйнштейна, т.е. в «механических единицах»; dsA, напротив, будет измеряться
в единицах, которые дают атомные часы или расстояния между плоско-
плоскостями кристаллических решеток, т. е. в атомных единицах.
Уравнение GM = v2r должно быть справедливым и в атомных едини-
единицах. В механических единицах мы имеем дело с простой задачей механики.
Каждая из величин G, M, v и г постоянна, и Земля равномерно с постоян-
постоянной скоростью движется по орбите, радиус которой остается неизменным.
А как это выглядит в атомных единицах? Имеем:
В предположении аддитивного рождения масса Солнца М (измеренная
в атомных единицах, например в массах протона) является постоянной
величиной:
М ~ 1 (аддитивное рождение).
В предположении мультипликативного рождения (опять же в атомных
единицах)
М ~ t (мультипликативное рождение),
потому что каждая частица вещества размножается по закону t2.
Следовательно, в атомных единицах М будет изменяться со временем
по-разному, в зависимости от того, какое мы сделаем предположение от-
относительно способа рождения новой материи.
А что можно сказать о v? Это безразмерная величина, которую можно
записать в виде некоторой доли скорости света. Она должна быть одинако-
одинаковой и в механических, и в атомных единицах: в обоих случаях v составляет
одну и ту же часть скорости света. Следовательно, v не меняется:
v ~ 1
Сравнив далее правую и левую части уравнения GM = v2r, получим:
г ~ t~ (аддитивное рождение)
и
г rsj t (мультипликативное рождение).
228 I. ЛЕКЦИИ
Таким образом, в предположении аддитивного рождения радиус зем-
земной орбиты уменьшается — это означает, что Земля приближается к Солн-
Солнцу. Те же рассуждения применимы ко всем расстояниям в Солнечной
системе. По этой схеме Солнечная система должна сжиматься. Мы имеем
дело с космологическим эффектом, который накладывается на все дру-
другие физически объяснимые эффекты. В точности так же, приняв гипоте-
гипотезу мультипликативного рождения, мы получим, что Земля удаляется от
Солнца, а все расстояния в Солнечной системе увеличиваются. Это опять
космологический эффект, не зависящий ни от каких известных физических
процессов.
Итак, существуют эффекты, измерив которые мы надеемся выяснить,
хороша или плоха наша теория. Необходимо лишь точно измерить время
по атомным часам. Очень важно, чтобы в опытах использовались именно
атомные часы, потому что все формулы справедливы лишь для величин,
измеренных в атомных единицах. Проверку теории можно было бы начать
с изучения Луны. Надо сказать, что движение Луны исследуют вот уже
20 лет с помощью атомных часов. Недавно было точно измерено рассто-
расстояние до Луны в атомных единицах. Высадившиеся на Луну астронавты
установили на ее поверхности лазерные рефлекторы. На эти рефлекторы
направляют сейчас испускаемое лазером излучение и исследуют отражен-
отраженный свет. С помощью атомных часов измеряют время, в течение которого
свет проходит расстояние до Луны и обратно, таким образом определяют
расстояние до Луны в атомных единицах.
Применив нашу теорию к движению Луны вокруг Земли, мы получим,
что в предположении аддитивного рождения Луна должна приближать-
приближаться к Земле со скоростью, которую несложно вычислить. Она составляет
около 2 см/год. Если верна гипотеза мультипликативного рождения, то
Луна должна с той же скоростью удаляться от Земли. Следовательно,
полученное число представляет собой также погрешность измерения рас-
расстояния до Луны. Совсем недавно расстояние до Луны начали измерять
с очень высокой точностью. По самым последним сведениям около года
назад погрешность определения расстояния до Луны составила 6 см, и
авторы продолжали улучшать этот результат. Сейчас надо лишь немного
подождать, пока появятся следующие эксперименты.
Может показаться, что мы владеем каким-то методом, позволяющим
проверить теорию. Однако на самом деле все не так просто. Движение
Луны подвержено сильному влиянию приливов и отливов. Это влияние ве-
велико по сравнению с теми эффектами, которые мы измеряем, и, насколько
мне известно, его нельзя вычислить с достаточной точностью. В прошлом
году я разговаривал с Джимом Вильямсом, работающим в лаборатории
реактивного движения. Он весьма пессимистично оценил возможность
вычисления эффектов, которые связаны с приливами и отливами, с точ-
точностью, достаточной для проверки теории. Не знаю, насколько можно
продвинуться в подобных расчетах, но думаю, что они не безнадежны.
3. ПУТИ ФИЗИКИ 229
Я надеюсь, что мне удастся поговорить здесь с людьми, которые занима-
занимаются исследованием расстояния до Луны, и выслушать их мнение.
До сих пор мы говорили только об одном способе проверки теории.
Можно воспользоваться и другим методом, в котором рассматривается не
расстояние до Луны, а скорость ее движения по орбите. Обозначим п уг-
угловую скорость движения Луны. Тогда (относительное) угловое ускорение
имеет вид:
77/
П '
Сейчас умеют очень точно рассчитывать угловую скорость Луны, измеряя
длительность покрытий звезд Луной. На протяжении последних 20 лет это
явление наблюдают, используя атомные часы. Сначала наблюдения были
визуальными. Теперь эксперименты полностью автоматизированы, и из
них можно получить значение ускорения п/п.
Этой задачей занималось несколько человек. Насколько мне известно,
большую часть результатов получил ван Фландерн из Вашингтонской
военно-морской исследовательской обсерватории.
Проблема состоит в том, чтобы измерить ускорение Луны в атомньх
единицах (п/п)ат и в единицах стандартного времени, которым пользуют-
пользуются астрономы. Оно называется эфемеридным, определяется по движению
Земли вокруг Солнца или по движению планет и не обязательно совпадает
с атомным временем. Если нужна большая точность, то единицы эфеме-
ридного времени можно получить из уравнений движения Ньютона или
из уравнений Эйнштейна.
Выпишем разность значений п/п в тех и в других единицах:
\п/ат \п/эф Vn/
разн
Ван Фландерн экспериментально получил, что
= (-16 ±10) -КГ11 лет.
разн
В своих ранних вычислениях ван Фландерн исходил из примитивной
теории гравитации, о которой я вам рассказывал. В этой теории гравитаци-
гравитационная и инертная массы рассматриваются как две независимые величины
и выполняется равенство
G 2 Ыразн
Расчеты ван Фландерна дают:
? = (-8 ±5)-КГ11 лет. (9)
Ван Фландерн был очень доволен своим результатом, потому что теория,
в которой G ~ t, приводит к соотношению
G_ _ _1
G ~ f
230 I. ЛЕКЦИИ
т. е.
g и -6 • КГ11 лет
что отвечает величине, обратной возрасту Вселенной, последние оценки
которого таковы
t = 18 • 109 лет.
Мне, однако, этот результат кажется неудовлетворительным, потому что
он получен с помощью примитивной теории.
Заменив ее теорией на основе гипотезы Милна, получим:
— = — ( — ) (аддитивное рождение)
G \ п / разн
— = + ( — ) (мультипликативное рождение).
G \п) разн
В совокупности с данными ван Фландерна эти соотношения дают:
— = A6 ± 10) • 10~и лет (аддитивное рождение)
G
и
— = (—16 ± 10) • 10~и лет (мультипликативное рождение).
G
Отношение G/G должно быть отрицательным, что вытекает из ра-
равенства G/G = —1/t. Итак, мы видим, что наблюдения ван Фландерна
говорят в пользу гипотезы мультипликативного рождения и, скорее, даже
завышают эффект: —16 вместо —6.
Ван Фландерн все время проверяет и перепроверяет свои расчеты
и сейчас его результат несколько изменился. По моим последним све-
сведениям полученный им коэффициент значительно меньше 8 [в оценке
(—8 ± 5) • 10~и лет], т.е. приближается к значению, которого требует
теория.
Может быть, стоит пояснить, почему эти вычисления оказываются
настолько сложными. Дело в том, что необходимо очень точно рассчитать
движение Луны, а оно имеет непростой характер. Луна является лишь
одной из составных частей Солнечной системы, и ее движение непрерывно
возмущают остальные планеты. Может показаться, что из-за удаленности
других планет их воздействие не должно быть сильным. Однако при более
тщательном изучении выясняется, что эффект, который вначале казался
пренебрежимо малым, на самом деле вовсе не мал. Его нужно учитывать,
и он может повлиять на результаты расчетов. Влияние других планет
на движение Луны постоянно исследуется, и из-за этого ван Фландерну
приходится все время уточнять свои расчеты.
Мне кажется, следует немного подождать и посмотреть, какими будут
окончательные результаты исследований. Во всяком случае, вы видите,
что проверка теории возможна при современном уровне развития экс-
эксперимента. Пока нельзя сделать вывод, что результаты подтверждают
3. ПУТИ ФИЗИКИ 231
теорию; говорить об этом еще слишком рано. Можно, однако, надеяться,
что через несколько лет теория либо надежно подтвердится, либо будет
опровергнута.
В расчетах, основанных на вращении Луны, конечно, учитываются
приливные эффекты, но при вычислении относительного ускорения эти
эффекты компенсируются, так как они присутствуют в наблюдениях как
с атомным, так и с эфемеридным временем.
Можно наблюдать не только Луну, но и другие планеты. Чем дальше от
нас планета, тем меньше для нее возмущения, производимый приливами
и отливами. Расстояния до других планет можно очень точно измерить с
помощью радара. Этими экспериментами занимается И.И. Шапиро. Метод
состоит в том, что волны от радара посылаются на какую-нибудь планету
и принимаются отраженные волны. Это, конечно, очень слабые волны, но
для их приема используется большой передающий и принимающий радар
в Аресибо (Пуэрто Рико), обладающий достаточно высокой чувствитель-
чувствительностью. Радарный приемник в Аресибо недавно перестроили (затратив на
это, я думаю, около 6 млн. долл.), и его чувствительность значительно
улучшилась. В течение последних нескольких месяцев этот перестроенный
радар использовали для наблюдений Венеры, но о результатах я пока
ничего не слышал. Венера сейчас находится на очень близком расстоянии
от Земли, поэтому экспериментаторы надеются провести достаточно точ-
точные наблюдения и даже зарегистрировать сухие русла рек, если, конечно,
они там есть. Из этих опытов можно будет чрезвычайно точно вычислить
расстояние до Венеры. Продолжая наблюдения еще несколько лет, мы
сумеем определить, меняется ли это расстояние в соответствии с теорией.
Аналогичные наблюдения можно осуществить и для других планет.
Мне кажется, что эксперименты Шапиро перспективнее, чем экспери-
эксперименты ван Фландерна, потому что при наблюдении планеты не возникают
трудности, связанные с приливными эффектами. Шапиро уже несколько
лет работает в этой области и весьма неохотно сообщает результаты, если
они еще недостаточно надежно установлены. Окольными путями я узнал,
что данные, полученные Шапиро, по-видимому, подтверждают гипотезу
аддитивного рождения вещества и поэтому противоречат данным ван
Фландерна. Я, однако, думаю, что следует год или два подождать, пока
Шапиро проведет новые наблюдения на улучшенной установке в Аресибо.
Тогда появится еще один результат экспериментальной проверки теории.
Итак, в астрономии сейчас существует три способа проверить теорию,
в которой меняется гравитационная постоянная: по расстоянию от Земли
до Луны, по движению Луны и по расстоянию между планетами и Землей.
Я считаю, что все станет ясно через несколько лет.
Если проверка подтвердит теорию, то придется довольно серьезно пере-
пересмотреть наши представления о космологии. В настоящее время космологи
отдают предпочтение модели, согласно которой происходит непрерывное
расширение Вселенной, но оно постепенно замедляется и в конце концов
перейдет в сжатие [2].
232 I. ЛЕКЦИИ
Подобное представление о Вселенной не согласуется с теми идеями,
о которых я вам рассказывал, потому что оно связано с очень большой
постоянной, а именно, с максимальным размером Вселенной, который не
изменялся бы при изменении возраста Вселенной. Максимальный размер
Вселенной не имеет, конечно, ничего общего с возрастом Вселенной. Сле-
Следовательно, мы получили бы большое число, противоречащее гипотезе
больших чисел.
По моим представлениям Вселенная не может достичь своего макси-
максимального размера: она всегда будет расширяться. А постоянная G будет
соответственно становиться все слабее и слабее.
На этом я закончу и, может быть, еще останется время, чтобы ответить
на один-два простых вопроса.
Дискуссия
Дж. Килли: В Вашем уравнении тполн/тр ~ 1078 Вы выбрали постоянной массу
протона и меняете полную массу Вселенной. Почему Вы не хотите, чтобы масса протона
была переменной?
Дирак: Можете ее менять, но это отнюдь не означает, что масса протона переменна.
Судить о том, меняется величина или нет, можно лишь в том случае, если эта величина
безразмерна. Говоря об изменении массы Вселенной, я подразумеваю, что она выражена
в атомных единицах. В точности так же, когда я говорю, что значение G меняется, это
означает, что G измеряется в единицах атомного времени. Если какая-нибудь величина
небезразмерна, то не имеет смысла обсуждать, изменяется она или нет.
Вопрос: Входит ли постоянная Планка в атомное время?
Дирак: Да. Атомное время — это время, измеренное, например, по цезиевым или каким-
нибудь другим атомным часам.
Вопрос: Вы сказали «да»? Но ведь единица атомного времени — это совсем не то, что
вы написали в начале лекции.
Дирак: Вы имеете в виду е /(тес )? Нет, вы не правы. Эти единицы должны быть
связаны друг с другом каким-нибудь множителем типа 137. Они вовсе не независимы!
Вопрос: Поскольку G уменьшается, будет ли уменьшаться отношение значений грави-
гравитационной и электрической сил?
Дирак: Да, оно уменьшается! Вы правы!
Вопрос: Таким образом, гравитационные силы ослабевают?
Дирак: Да! Именно поэтому гравитационные силы сейчас так малы. Ведь у них было
столько времени, чтобы уменьшиться!
Вопрос: Вы обсуждали подробно большие числа. Существуют ли какие-нибудь свиде-
свидетельства в пользу гипотезы, что величины, выраженные меньшими числами, такими,
как 137 и т.д., тоже могут изменяться со временем?
Дирак: Они могли бы зависеть от времени логарифмически. Существуют эксперимен-
экспериментальные свидетельства того, что число 137 не изменяется логарифмически со време-
временем. По поводу величины тр/те = 1840 подобных свидетельств нет. Было бы очень
интересно узнать, постоянно это число или же логарифмически зависит от времени.
С помощью современного экспериментального оборудования такие измерения можно
осуществить. Для этого надо сравнить показания двух атомных часов, одни из которых
отсчитывают время по колебаниям электрона, а другие — по колебаниям атома какого-
нибудь элемента. Например, в цезиевых часах время могло бы измеряться по колебани-
колебаниям электрона, а в аммониевых (или метановых) часах — по колебаниям атомных ядер.
Мне говорили, что такие атомные часы позволяют измерять время с относительной
погрешностью 10~13.
3. ПУТИ ФИЗИКИ 233
Если величина тр/те действительно логарифмически зависит от времени, то отно-
отношение показаний двух атомных часов будет меняться со временем по логарифмическому
закону. Это изменение составило бы по порядку 10~ в год и было бы в 100 раз меньше,
чем изменение G. Если Вы умеете производить измерения с погрешностью 10~ , то
Вы должны заметить разницу между величинами, составляющую 10~ . Значит, надо
усовершенствовать технику и добиться точности, необходимой для сравнения отсчетов
двух атомных часов, а затем в течение примерно года экспериментально осуществлять
это сравнение. Надеюсь, что подобный эксперимент будет выполнен, ибо мне представ-
представляется чрезвычайно важным решить, постоянно или непостоянно отношение тр/те.
Это совершенно загадочное число, объяснить которое никто не может. Описанный мной
эксперимент стал бы началом исследований.
Вопрос: Я хочу просто сделать замечание к сообщению в журнале «ABC News»; мне
кажется, что в апрельском номере этого года выражались сомнения по поводу того,
можно ли настолько улучшить чувствительность рефлектора в Аресибо, чтобы с его
помощью наблюдать Венеру, когда она в конце этого года максимально приблизится к
Земле.
Дирак: Совсем недавно меня заверили в том, что рефлектор работает хорошо и даст
очень точные результаты.
Вопрос: На протяжении всей лекции Вы подчеркивали, что эти эффекты выходят
за рамки нормальных физических законов. Предполагаете ли Вы, что возникающее
вещество квантуется, или же думаете, что оно может оказаться какой-то новой формой
материи?
Дирак: Оно должно квантоваться, потому что мы не наблюдаем никаких других видов
материи. Рождающееся вещество не должно отличаться от обычного.
Вопрос: Вычисление возраста Вселенной основывалось на гипотезе Большого взрыва,
которую мы дополнили гипотезой о непрерывном рождении вещества. Мне бы хотелось
понять, действительно ли необходимо предположение о Большом взрыве. Мне кажется,
что мы придем к противоречию, объединив исходную гипотезу Большого взрыва с ги-
гипотезой непрерывного рождения, независимо от того, какое это рождение — аддитивное
или мультипликативное.
Дирак: Я не усматриваю в этом никакого противоречия. Модель Большого взрыва
во всяком случае справедлива, потому что спиральные туманности удаляются друг от
друга со скоростями, пропорциональными расстоянию между ними. Если экстраполи-
экстраполировать «назад», к t = 0, то получим, что достаточно далеко в прошлом эти туманности
должны были находиться очень близко друг от друга. Это и есть время возникновения
Вселенной.
П. Фишер: Во всех этих процессах вещество не должно сохраняться. Не предполага-
предполагается ли тем самым несохранение момента количества движения?
Дирак: Именно так! Но вопрос о сохранении размерной величины не слишком осмыс-
осмыслен. Если величина имеет размерность, то она будет или не будет изменяться в за-
зависимости от того, какие единицы используются для ее измерения. Следовательно,
эта величина будет сохраняющейся или несохраняющейся в зависимости от единиц,
в которых вы ее измеряете. Вы можете говорить так: «Эти величины сохраняются
в механических единицах».
Вопрос: Если будет поставлен эксперимент типа эксперимента Этвеша, аналогичный
работам, выполненным Дикке за последние несколько лет, окажет ли это влияние на
Ваши выводы?
Дирак: Да! Может быть, тогда оказалось бы возможным измерить G в экспериментах
с Земли. Однако для этого потребовалось бы очень существенное улучшение точности.
Я думаю, что сейчас G измеряют с погрешностью 10~6, но есть надежда, что точность
значительно повысится.
X. Мердок: Стоит ли проводить экстраполяцию к t = 0? Раз G — единственная ве-
величина, которая изменяется со временем под действием сил, то почему же произошел
большой взрыв, если, как легко показать, G могло бы расти, стремясь к бесконечности?
Дирак: Вы не можете уйти далеко в прошлое, потому что тогда начнут изменяться и
другие физические величины, например тр/те. Могут стать переменными константы
234 I. ЛЕКЦИИ
ядерных взаимодействий. Обо всем этом мы на самом деле ничего не знаем и при
попытке вернуться в прошлое столкнемся со значительными неопределенностями.
Вопрос: По-видимому, это означает, что очень многие величины должны быть пере-
переменными, ибо в противном случае не было бы Большого взрыва.
Дирак: Не исключено, что многие величины изменяются со временем, но в любом
случае теории возникновения Вселенной пока не существует. Все это лишь догадки.
Е.П. Джордж: Конечно, вы хотите задать еще немало вопросов, но я думаю, что
у проф. Дирака не хватит времени на них ответить. Я разрешаю задать еще по два
вопроса от тех, кто сидит справа и слева от меня, после чего нам придется освободить
проф. Дирака, потому что ему надо ехать в Аделаиду.
Вопрос: Я хочу спросить, справедливы ли еще хоть в какой-то степени попытки
Эддингтона объяснить значения космологических постоянных?
Дирак: Не думаю! У Эддингтона были некоторые соображения по поводу числа 137,
но тем не менее оно осталось загадкой. Кроме того, Эддингтон выдвигал аргументы
в пользу того, что полное число частиц во Вселенной равно 2 . Однако эта величина
полностью противоречила бы изложенным представлениям, потому что в соответствии
с ними она вовсе не должна быть постоянной, и поэтому просто не может равняться
2256!
X. Мердок: По Вашей теории полное число частиц во Вселенной со временем должно
увеличиваться. Однако в стандартных космологических моделях, в которых расширение
замедляется, со временем увеличивается число наблюдаемых частиц. Это вытекает,
например, из теории горизонтов частиц, рассмотренной Мак-Витти. Будет ли рост числа
наблюдаемых частиц существенно влиять на количество вещества, необходимое в Вашей
теории?
Дирак: Я не думаю, что это влияние будет очень существенным, потому что в моей
теории расширение не замедляется.
Вопрос: Мне бы хотелось узнать, нельзя ли добиться любого наперед заданного резуль-
результата подходящей комбинацией долей аддитивного и мультипликативного рождения.
Дирак: Можно! Но мне это кажется совершенно бессмысленным. Трудно поверить
в возможность комбинации аддитивного и мультипликативного рождения.
Вопрос: Из какого «источника» у Вас получается вещество: из избытка энергии или
еще из чего-нибудь?
Дирак: Нет! Это что-то вроде радиоактивности. Вещество рождается из вакуума
благодаря новому радиоактивному процессу, который проходит совершенно независимо
от всех уже известных процессов и возникает так редко, что его нельзя наблюдать
в обычных лабораторных экспериментах.
Е.П. Джордж: Боюсь, что пора заканчивать. Если мы сейчас не отпустим проф.
Дирака, то мы тем самым вызовем недовольство губернатора Южной Австралии!
Послесловие редактора перевода
Данное послесловие посвящено монополю. Это открытие Дирака, а его
смело можно назвать открытием, хотя монополя так еще никто и не видел,
имеет романтическую судьбу.
Ферми как-то заметил, что такая красивая вещь, как монополь, должна
существовать. Но все заявки на обнаружение монополей в природе (в
том числе и та, о которой рассказал Дирак) не подтвердились. Сейчас
мало кто надеется на открытие монополя Дирака как источника обычного
магнитного поля. Однако монополь неожиданно возродили в другой тео-
теории — теории, описывающей, как сейчас думают, взаимодействие кварков.
Уравнение Янга-Миллса, которое лежит в основе этой теории, похоже на
уравнение Максвелла, только вектор-потенциал в этом уравнении оказы-
3. ПУТИ ФИЗИКИ 235
вается не простым вектором, а матрицей 3x3. Такой странный вид по-
потенциала вызван тем, что кварк имеет еще одну степень свободы, которую
назвали цветом 1). Цвет похож на электрический заряд, он порождает поле
Янга-Миллса, так же как заряд порождает электромагнитное поле Макс-
Максвелла и как массивное тело порождает гравитационное поле Эйнштейна.
При излучении фотона — кванта поля Максвелла — электрической за-
заряд у частицы сохраняется, цвет при излучении кванта Янга-Миллса (его
называют глюоном) изменяется, принимая одно из трех возможных значе-
значений. Подобно тому как матрицы а в уравнении Дирака изменяют направ-
направление спина в обычном пространстве, так вектор-потенциал Янга-Миллса
изменяет цвет. Уравнение Янга-Миллса имеет решение, похожее на мо-
нополь. Такой монополь называют монополем Т'Хофта-Полякова. Он мо-
может оказаться существенным в теориях, объединяющих все типы взаимо-
взаимодействий—теориях великого объединения. Они обладают неожидаными
свойствами, если можно верить не слишком еще убдительным аргументам.
Сталкиваясь с протоном, монополь может разрушить протонный заряд и
превратить протон в мезон (гипотеза Рубакова). Конечно, теории в на-
настоящем смысле еще нет, но монополь Дирака продолжает свою жизнь
в физике — жизнь, полную удивительных превращений.
Теория монополя оказалась интересной и с совсем другой, чисто ма-
математической стороны. Появление линии узлов в теории означает не что
иное, как изменение свойств нашего пространства, появление в нем нитепо-
добного разреза, не имеющего физического смысла, обход вокруг которого
приводит к квантованию электрического заряда. Кстати, если частицы —
кварки и антикварки — с зарядом ± х/з и ± 2/з представляют собой физи-
физическую реальность, то формулу Дирака надо исправить, учтя, что мини-
минимальный заряд равен теперь не =Ы, а ± Уз-
Оказалось, что математики давно занимаются теорией таких
пространств, называя их расслоенными пространствами. Теория
Янга-Миллса побудила математиков заняться дальнейшим развитием
аппарата, так же как специальная теория относительности сделала
реальным четырехмерное пространство, теория тяготения — риманово
пространство, а квантовая механика — пространство Гильберта.
Идея расслоенного пространства позволяет избавить теорию монополя
Дирака от в общем бессмысленной линии узлов, которая неизвестно где
проходит, но не лишает в то же время теорию ее замечательных физиче-
физических выводов.
Идея расслоенного пространства в применении к электромагнитному
полю состоит в том, что вектор-потенциал задается вне пространства од-
одной и той же функцией, а в разных областях пространства (для одного
монополя в двух) — разными, которые описывают поле каждая в своей
области. Эти области выбирают так, чтобы нельзя было провести во-
вокруг монополя сферу, которая целиком лежала бы в одной области. Для
г) В древнем Китае цвет, аромат и звук считали основными атрибутами движения.
236 I. ЛЕКЦИИ
этого отнесем, например, к области I точки со значениями полярного
угла в в интервале @,тг/2 + #), а к области II точки с в в интервале
(тг/2 — 5,тг), где д — небольшой угол. В области перекрытия, для которой
тг/2 — S < в < тг/2 + ?, будут существовать обе функции — их надо связать
градиентным преобразованием. В самом общем случае значение функции
задается в каждой точке, на некотором евклидовом многообразии — слое,
«приклеенном» к точке обычного пространства. Переход от одной точки
к другой сопровождается перекалибровкой функции, градиентным преоб-
преобразованием.
Напишем формулы в явном виде:
Ar = Aq = 0; Ар = —f—- A — cos в) для области I;
Ar = Aq = 0; Ар = —f—- A + cos в) для области П.
Первый вектор-потенциал обращается в бесконечность при в = тг, т.е.
вне области I. Второй обращается в бесконечность при в = 0, т.е. вне
области П.
Вблизи значений в = тг/2 справедливы оба варианта — это область пе-
перекрытия. Сумма этих выражений равна градиенту. Его компонента по ср:
rsinO rsine dip
Остальные компоненты градиента равны нулю. Вывод условия квантова-
квантования остается без изменений. Если, как в случае электрического заряда,
можно задать вектор-потенциал во всем пространстве, то говорят, что
расслоение тривиально. В нашем случае говорят, что мы имеем дело не
с функцией, а с сечением, когда из каждого слоя (над каждой точкой)
берется одно значение. Все эти значения образуют сечение, обобщение
понятия функции.
Формула для производной д/дх + г К воспринимается как формула
параллельного переноса, а связь поля с потенциалом Fap = (д/дха)Ар —
— (д/дхр)Аа как определение кривизны. В таком виде аналогия с грави-
гравитационным полем становится почти прозрачной.
История с монополем — поучительный пример того, как и в каком
виде в природе реализуются абстрактные математические построения и
как физическая реальность оправдывает математическую красоту теории.
Красота теории — важный аргумент в пользу ее правильности, только эта
красота зависит в сильной степени от точки зрения.
Я.А. Смородинский
Часть II
Зарождение гамильтоновой
теории гравитации
A958-1974)
ТЕОРИЯ ГРАВИТАЦИИ
В ГАМИЛЬТОНОВОЙ ФОРМЕ*)
Обобщенная процедура автора по приведению любой теории к гамильтоновой фор-
форме применена к теории гравитации Эйнштейна. Показано, что можно произвести замену
в плотности действия, не влияющую на уравнения движения, в результате которой че-
четыре из десяти степеней свободы, ассоциируемых с десятью компонентами тензора g^v,
выпадают из гамильтонова формализма. Данное упрощение может быть достигнуто
лишь ценой отказа от четырехмерной симметрии.
В приближении слабого поля можно произвести фурье-разложение полевых ве-
величин и в результате добиться явного отделения тех степеней свободы, для которых
переменные зависят от выбора системы координат, от тех, чьи переменные от этого не
зависят. Имеется четыре степени свободы первого типа и две — второго типа для каждой
из фурье-компонент. Две последние отвечают гравитационным волнам с двумя незави-
независимыми поляризациями. Одна из четырех степеней свободы первого типа ответственна
за ньютоново притяжение между массами, а также дает отрицательную собственную
гравитационную энергию для каждой из масс.
Введение
Квантовая теория научила нас тому, насколько важно для уравнений
движения представление в гамильтоновой форме. Любая динамическая
система первым делом должна быть приведена к гамильтоновой форме
прежде, чем ее можно было бы проквантовать. Помимо вопроса о кванто-
квантовании, получить представление в гамильтоновой форме таких физических
теорий как теория гравитации весьма желательно, поскольку с данной
формой связана великая преобразовательная мощь, и поскольку это помо-
помогает отделить те динамические переменные, которые важны с физической
точки зрения, от тех, которые просто описывают координатную систему.
Основным понятием в гамильтоновой теории является понятие состоя-
состояния в заданный момент времени. В релятивистской теории его следует
понимать как состояние, определенное на трехмерной пространственнопо-
добной поверхности общего вида в пространстве-времени. Гамильтоновы
уравнения движения определяют то, как меняются динамические пере-
переменные, задающие данное состояние, по мере изменения этой поверхности.
Поскольку поверхность может изменяться произвольным образом, при
условии, что она всегда остается пространственноподобной, имеется значи-
значительная свобода в ее движениях. По этой причине стандартная процедура
получения гамильтониана из принципа действия оказывается непригодной
и необходимо использовать обобщенную процедуру, подобную той, что
была предложена автором A958, см.2)) [1].
*) The Theory of Gravitation in Hamiltonian Form // Proc. Roy. Soc. London. A. 1958.
V. 246. P. 333-343.
The theory of gravitation In Hamlltonlan form
By P. A. M. Dhulc, F.R.S.
St John's College, Cambridge
(Received 13 March 1958—Revised 21 April 1958)
The author's generalized procedure for putting a theory into Hamfltoniaa form is applied to
Einstein's theory of gravitation. It is shown that one can make a change in the action
density, not affecting the equations of motion, which causes four of the ten degrees of
freedom associated with the ten д„? to drop out of the Hamiltonian formalism. This simpli-
simplification can be achieved only at tne expense of abandoning four-dimensional symmetry.
In the weak field approximation one can make a Fourier resolution of the field quantities,
and one then gets a clean separation of those degrees of freedom whose variables depend on
the system of co-ordinates from those whose variables do not. There are four of the former
and two of the latter for each Fourier component. The two latter correspond to gravi-
gravitational waves with two independent states of polarization. One of the four former is
responsible for the Newtonian attraction between masses and also gives a negative gravi-
gravitational self-energy for each mass.
Intboditciiom
The quantum theory has taught us the Importance of the Hamiltonian form for
equations of motion. Any dynamical theory must first be put in the Hamiltonian
form before one can quantize It. Apart from the question of quantization, It Is
desirable to obtain physical theories such as the theory of gravitation in the Hamil-
Hamiltonian form, because of the great transforming power associated with this form and
because it helps one to distinguish those dynamical variables that are physically
Important from those that merely describe the co-ordinate system.
The basic concept In HamHtonian theory Is that of a state at a given time. In
a relativistic theory this Is to be understood as the state on a general three-dimen-
three-dimensional space-like surface In space-time. The Hamlltonian equations of motion
determine how the dynamical variables that fix this state vary with a variation of
the surface. As the surface can vary arbitrarily, subject to the condition that it
remains always space-like, there Is a great deal of freedom In the motion, In con-
consequence of which the usual procedure for obtaining the Hamutonian from an action
principle does not apply, and it Is necessary to use a generalized procedure, such as
that given by the author A958, preceding paper).
In setting up the theory, one may choose the surface to be Independent of the
system of co-ordinates a^*. This has the advantage that one can preserve the sym-
symmetry between the four re's. But It has the disadvantage of bringing In more vari-
variables than are needed for the mathematical treatment of the problem, with the
result that the equations are complicated and obscure. One gets a simpler scheme
by choosing the system of co-ordinates x^ such that the surfaces ж0 = constant are
all space-like, and then considering only states on these surfaces and using the
co-ordinates re1, ж2, ж3 as parameters to label the points on these surfaces. The
symmetry between the four xfs Is completely destroyed, but the resulting simpli-
simplification makes this sacrifice well worth while.
[ 333 ] 22-2
Первая страница статьи П.A.M. Дирака
«Теория гравитации в гамильтоновой форме»
1. ТЕОРИЯ ГРАВИТАЦИИ В ГАМИЛЬТОНОВОЙ ФОРМЕ 241
При установлении рассматриваемой теории можно выбрать поверх-
поверхность так, чтобы она не зависела от системы координат х^. Преимущество
такого подхода состоит в том, что можно сохранить симметрию между
всеми четырьмя координатами х^. Но такой подход невыгоден тем, что
при этом вводится больше переменных, чем этого требует математическая
постановка проблемы, и в результате уравнения оказываются сложными
и непонятными. Более простая схема получается при выборе системы
координат х^ так, чтобы все поверхности вида х° = const были простран-
ственноподобными, затем рассматриваются только состояния, заданные на
этих поверхностях, а координаты х\, Ж2, #з используются как параметры
для обозначения точек на них. Симметрия между четверкой координат х^
оказывается полностью нарушенной, но возникающее в результате упро-
упрощение делает эту жертву вполне оправданной.
Эйнштейнова теория гравитации уже приводилась к гамильтоновой
форме для поверхностей, независимых от системы координат, в работе
Пирани и Шилда A950), использовавших мою обобщенную гамильтонову
процедуру, а также в работе Бергмана, Пенфилда, Шиллера и Зацки-
са A952), где использовалась другая процедура. Эти статьи являются
незавершенными в том плане, что в них не учитывались %-уравнения.
В более поздней статье Пирани, Шилда и Скиннера A952) сделан переход
к поверхности ж0 = const и уже введены %-уравнения.
Данная работа выходит за рамки предыдущих статей за счет такого
развития теории, при котором некоторые степени свободы выпадают из
рассмотрения. В результате достигается существенное упрощение в фор-
форме гамильтониана. Для удобства изложение построено независимым от
предыдущих статей образом.
Обозначения
Координатами пространства-времени являются х^. (Греческие индек-
индексы принимают значения 0, 1, 2, 3.) Если / — некоторая функция от ж^,
то мы будем писать df/дх^ = f^. Таким образом нижний правый индекс
всегда обозначает дифференцирование, если символ без такого индекса
сам по себе имеет смысл.
Метрика задается выражением g^ dx^ dxv. Детерминант матрицы
g^y отрицателен и обозначается как — J2. Символы Кристоффеля запи-
записываются в виде
(g
так что
-у = 2 ga ВаР/л = Г^/'• A)
Отметим формулу
242 II. ЗАРОЖДЕНИЕ ГАМИЛЬТОНОВОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ
Точка на поверхности ж0 = const отмечается координатами хг. (Ма-
(Малые латинские индексы принимают значения 1, 2, 3.) Метрика на этой
поверхности задается формулой grsdxr dxs. Детерминант матрицы grs
отрицателен и обозначается как —К2. Имеет место соотношение
g00j2 = К2 C)
Определим д0 ^
ei» = e*i> = gi"-§L-e_. D)
о
Заметим, что компоненты тензора e^v равны нулю во всех случаях, кроме
тех, когда оба индекса \± и v отличны от нуля. Поэтому имеем
гО О
ers о- — ег^р- — р-г - g ga
^ 3sa — ^ Б /ла — За 00 *
g
Следовательно
erscr — crr E)
e 3 sol — За \°)
И rs r°
Равенство E) говорит о том, что матрица ers является обратной к матрице
grs. Таким образом ers является фундаментальным тензором, который
будет использоваться для подымания индексов у тензоров в трехмерном
пространстве ж0 = const. Соотношению A) отвечает формула
~гУ — о ^ eabv v )
ф- уравнения
Лагранжиан имеет вид
L =
где d^x означает dx1dx2dx^, a j?? является плотностью действия. Для
гравитационного поля (в отсутствии любых других) плотность действия
в теории Эйнштейна имеет вид
= \ Jg»vPgaeA{g»agvP - g^ga0)gpa + 2{g^gaP - g»agP»)gv<T}- (8)
Чтобы позволить гравитационному полю взаимодействовать с другими
физическими сущностями (к примеру, с частицами вещества или с электро-
электромагнитным полем или с другими видами полей), введем дополнительную
плотность действия J^f/vf > так что
Для построения развиваемой нами теории ^м может быть произвольной
функцией от g^v и от любых дополнительных динамических переменных,
1. ТЕОРИЯ ГРАВИТАЦИИ В ГАМИЛЬТОНОВОЙ ФОРМЕ 243
которые потребуются для описания других физических сущностей. Однако
эти функции не должны зависеть от производных g^y. (Данное условие
действительно выполняется в случае частиц и электромагнитного поля.)
Во всех точках поверхности ж0 = const компоненты тензора g^и вы-
выбираются в качестве динамических переменных, описывающих гравитаци-
гравитационное поле (соответствующих координатам q в моей статье2)). Значения
производных g^r, взятых в любой из точек поверхности, определяют-
определяются по компонентам g^v во всех точках поверхности, и таким образом,
являются функциями, зависящими только от динамических координат и
не зависящими от скоростей. Далее замечаем, что выражение (8) можно
представить в виде
где ^fB) является однородной квадратичной функцией по скоростям,
j?f(l) —однородной линейной функцией по скоростям, a J2?g@) —функци-
—функцией, независимой от скоростей. Явный вид функции ??B) получим, полагая,
что в выражении (8) р = а = О, так что она может быть записана в виде:
g
С помощью соотношения D) эта формула приводится к виду
JSf B) = \ JgOOgrsOgabo(eraesb - erseab). (9)
Скорости g^oo B этом выражении не появляются.
Для определения импульсов p^v', сопряженных с компонентами g^v,
произведем произвольные малые вариации скоростей g^o и выразим ре-
результат варьирования лагранжиана в виде
A0)
при условии, что р^и = ру^. Обычные в теории поля соотношения СП
между динамическими координатами и сопряженными к ним импульсами
должны быть заменены на соотношения
(и)
где правая часть была симметризована как по индексам \i и z/, так и по
индексам а и /3. Здесь величины gfaj3 обозначают значения компонент gap
в точке с координатами ж'1, ж/2, ж/3 на поверхности ж0 = const.
Часть лагранжиана j?f, обозначенная ^м-> не будет давать вклада
в величины р^у из формулы A0). Поскольку ни один из членов, входящих
244II. ЗАРОЖДЕНИЕ ГАМИЛЬТОНОВОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ
и квадратичных по скоростям, не зависит от g^och выражение для
р^° не включает никаких скоростей. Таким образом
рмо _ /м ~ о, A2)
где /^ является функцией только от динамических координат, а именно от
gaC и gaCr- Таким образом уравнения A2) являются ^-уравнениями. Для
каждой точки хг на поверхности имеется ровно четыре таких уравнения.
Как будет показано позже (см. уравнение B2)), в данном случае они
являются единственными ^-уравнениями. Мы должны выяснить являются
ли эти уравнения связями первого рода.
Если производится малое изменение в системе координат, скажем ж^ —^
->> ж^ + Ь^, то
A3)
Выберем
ЬР = I (x° - constJ/?^,
где f3p — произвольная функция от ж1, ж2, ж3. Тогда на поверхности ж0 =
= const получаем
так что
SgrsO = 0, Sg^oo = (Зц + g^fo.
Следовательно можно произвольным образом менять скорости g^oo? УДеР~
живая при этом инвариантными все динамические координаты g^ и
скорости grs0- Таким образом уравнения движения не могут накладывать
никаких ограничений на скорости g^oo, a? следовательно, ^-уравнения A2)
должны быть связями первого рода.
Модифицированный лагранжиан
С помощью соответствующих изменений в лагранжиане теории, не
нарушающих вида уравнений движения, ^-уравнения A2) могут быть
приведены к виду
р»° и 0. A4)
Произведем изменения в лагранжиане, соответствующие следующим из-
изменениям в плотности действия
-{(V°)oC) A5)
О I g ) v
и проверим, что при этом достигается требуемый эффект. Данное из-
изменение никак не влияет на уравнения движения, поскольку его вклад
в действие можно выразить в виде поверхностного интеграла.
1. ТЕОРИЯ ГРАВИТАЦИИ В ГАМИЛЬТОНОВОЙ ФОРМЕ
245
Мы можем записать соотношение A5) в виде:
Из формул A) и B) следует, что
v
g
V° - ga V
JO
0) gafip,
так что
i/O/ vO /xO _
\ё ё
00
ч _
)
00\2
)
»vga0 -
^oY A7)
+ [2(g
Данное выражение является однородной функцией линейной по скоро-
скоростям, так что =??B) и с??<з@) остаются неизменными, в то время как =??A)
преобразуется, скажем, в j??*(l). Добавляя к выражению A7) лагранжиан
j?f(l), задаваемый выражением (8) при р = 0, а = г>, плюс то же выраже-
выражение, но при р = v, а = 0, получаем
которое приводится к виду
Jgf* A) = i Jg-^ogTe^{(eMae^ - e^
A8)
В данном выражении равны нулю все члены за исключением тех, в ко-
которых все индексы \±, v, а, отличны от нуля. В выражении для ?? * не
возникает никаких зависимостей от скоростей g^oo, что подтверждает
правильность выбора выражения ?? * — ??.
Складывая выражения (9) и A8), получаем
= \ J(eraesb - erseab){grsOgabog00 + 2grsogabvgv° ~ ^g
= ^х + \ J(eraesb - erseab){grsOg00 + grsugu0 - (gras + gSar)ga°}
00 + gabvgV° ~ (gaflb PO
246 II. ЗАРОЖДЕНИЕ ГАМИЛЬТОНОВОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ
где
&х = ~\ J(eraesb - erseab){grsugu0 - (gras + gsar)ga0}x
X {gabvgV° ~ (gab/3 + gbPa)gP°}ju> (Щ
и при этом является функцией только от динамических координат. Также
верно, что
grsOg°° + grsugU° - (gras + gsar)ga° = -2ГГ5°,
и в результате находим, что
JgfB) + JSf *A) = &x + J(eraesb - erseab) Гг8°^аЬ°. B0)
g
Для отыскания выражений импульсов prs при модифицированном
лагранжиане, мы должны проварьировать Л? * по скоростям grso и подста-
подставить все это в соотношение A0), в котором, однако, вместо Л? стоит Л? *.
Все члены в выраж:ении для Л? *, которые зависели от grso, входят в вы-
выражение B0) и дают следующий ответ
= 2J(eraesb - erseab) ' аЬ d0[rs = -J(eraesb - erseab)rab°Sgrs0.
Отсюда
prs = J(erseab _ егае8Ь^ГаЬ0_
Последняя формула может быть обращена, давая при этом соотношение
^Га6° = (i grsgab - gragsb) prs. B2)
Уравнения B1) и B2) обеспечивают связь между гравитационными им-
импульсами и скоростями. Поскольку все скорости gabo с помощью соот-
соотношения B2) могут быть выражены через импульсы, для переменных
гравитационного поля нет никаких других 0-у равнений связи, кроме со-
соотношений A4).
Общее уравнение движения
Мы видели, что переменные g^ могут произвольным образом изме-
изменяться со временем и что эти изменения никак не ограничиваются урав-
уравнениями движения. Посмотрим, каким образом эти переменные входят
в общее уравнение движения.
Возьмем на поверхности ж0 = const такую динамическую перемен-
переменную г/, чтобы она зависела бы только от переменных grs, а также от пере-
переменных, требуемых для описания любого присутствующего здесь вещества
и полей, отличных от гравитационного поля, но не зависела бы от пере-
переменных gfjiO- Переменная г\ может быть как локализованной в некоторой
точке х1г на поверхности, так и нелокализованной.
1. ТЕОРИЯ ГРАВИТАЦИИ В ГАМИЛЬТОНОВОЙ ФОРМЕ 247
Произведем малое смещение поверхности путем применения к каждой
ее точке преобразования сдвига х^ —> х^ + а^ с малым вектором сдвига а^,
являющимся функцией от ж1, ж2, ж3. При этом изменения переменной г]
будут линейными в отношении функций а^ и таким образом будут иметь
вид
дг]= U^d3x, B3)
где ?м являются некоторыми функциями от ж1, ж2, ж3, независимыми
от а*1. Очевидным образом находим
0d3x. B4)
Пусть Р будет единичной нормалью к поверхности ж0 = const в произ-
произвольной точке хг на этой поверхности, так что имеют место соотношения
Следовательно
Положим
так что, используя соотношение F), находим
о
В результате формула B4) приобретает вид
B6)
B7)
Теперь величины ?/, и ^5 описывающие, нормальные и тангенциальные
смещения поверхности соответственно, определены через ёг/ из формулы
B3) и являются, таким образом, независимыми от переменных g^. В итоге
уравнение B7) показывает явным образом, как переменные g^o входят
в общее уравнение движения для динамической переменной г].
Мы можем сделать вывод, что гамильтониан должен иметь следующий
вид
\{ll2 ] d3x, B8)
где J^l и J^s не зависят от переменных #^сь поскольку в этом случае
стандартное уравнение движения fj = [77, Н] приобретает вид уравнения
B7) при условии, что справедливы соотношения
ersts. B9)
Из требования [рм°, Н] = 0 находим %-уравнения
О, Ж8 и 0. C0)
248 II. ЗАРОЖДЕНИЕ ГАМИЛЬТОНОВОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ
Чтобы уравнения движения с произвольными g^o могли быть совместны,
уравнения C0) должны быть связями первого рода.
Изложенная выше аргументация, приведшая нас к выражению B8)
для гамильтониана, применима в общем случае для любой релятивистской
динамической теории в римановом пространстве. Отсюда следует, что
части гамильтониана, относящиеся к гравитационному полю и к веществу,
должны по отдельности представляться в виде B8), скажем
d3x, C1)
#м = \{(gOOy1/2^ML + groersJ4?Ms} d3x, C2)
где все величины ^ql-, ^Gsi ^ml-, ^Ms не зависят от
Гамильтониан
Гравитационная часть гамильтониана с учетом выражений B0) и B1)
по определению имеет вид
HG = \(prsgrso ~ &?) d3x = | prs {grs0 + ^?) dzx - \{2X + jgfG(O)} dzx.
8 (зз)
Далее, имеет место соотношение
Г ° ?frvOr — Г °
I a rs | | ^ё х rsv x rs
grsO ~\ оо~ ~~ §rOs ~г gsOr ~\ оо •>
g g
так что первый член в выраж:ении C3) с помощью соотношений B2) и F)
преобретает вид
1 (gragsb ~ \ grsgab) рГ'раЬ ~ 2р™sgrO ~
-2gu0eUVprSrrsv}d3X = Л^00)72^ {gragsb ~ \ grsgab) рГ'раЬ +
+guoeuv[prsgrsv - 2(prsgrv)s]}d3x, C4)
где было использовано соотношение C).
Второй член в выражении C3) является очень сложным и потребуются
значительные усилия, чтобы вычислить его непосредственно. Однако, как
нам известно из выражения C1), этот член в итоге должен иметь вид
+ j2fG@)} d3x = j {{g00yll2XL + gr0Xr] d3x, C5)
где Xl и Xr являются функциями только от переменных grs и их про-
пространственных производных. Сразу замечаем, что член с Хг должен ис-
исчезнуть, поскольку он не может содержать индекса 0, который потребуется
чтобы сбалансировать уже имеющийся индекс 0 в стоящем при нем коэф-
1. ТЕОРИЯ ГРАВИТАЦИИ В ГАМИЛЬТОНОВОЙ ФОРМЕ249
фициенте gro. Поэтому мы можем при вычислении Х^ ввести упрощающее
предположение gro = О, при котором справедливы соотношения
^° = 0, gra = era, goo = goo-1. C6)
В результате величина ??х, определяемая формулой A9), исчезает, в то
время как величина j?f<3@), задаваемая выражением (8) при р = и, а = г>,
приобретает вид
\ JgrsngoovgOO(eruesv - erseuv)} C7)
где
В = \ Kgrsugabv{(eraesb - erseab)euv + 2(erueab - eraebu)esv}. C8)
С помощью соотношений
которые являются следствием соотношений C6), последний член в выра-
выражении C7) становится равным
Kgrsu{eruesv - erseuv),
так что, подставляя C7) в выражение C5), находим
XL = -В + {Kgrsu(eruesv - erseuv)}v. C9)
Поскольку обе стороны данного равенства никак не зависят от gvo, данное
равенство должно выполняться и в том случае, когда gro не обращается
в нуль.
Складывая между собой выражения C4), C5), C2) и используя C9),
находим, что гамильтониан Н задается формулой B8), где
= К'1 [gragsb ~ \ grsGab) //У* -В +
+ {Kgrsu(eruesv - erseuv)}v + ЖМь « 0, D0)
« 0. D1)
Приведенные уравнения задают гамильтониан для гравитационного по-
поля, взаимодействующего с веществом. Помимо переменных, описывающих
вещество, они включают только шесть степеней свободы, описываемых
переменными grsi prs для каждой точки поверхности, на которой рассмат-
рассматривается состояние динамической системы. Переменные g^ появляются
в данной теории только посредством переменных gvo, (#00)~1//2, которые
возникают как произвольные коэффициенты в уравнениях движения, что
приводит к зависимости общего решения уравнений движения от произ-
произвольных функций.
250 II. ЗАРОЖДЕНИЕ ГАМИЛЬТОНОВОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ
Приближение слабого поля
В практических задачах кривизна пространства-времени чрезмерно
мала. Это означает, при условии подходящего выбора системы координат,
что переменные g^ отличаются от соответствующих значений в специ-
специальной теории относительности на очень малую величину, скажем порядка
?, и все производные переменных g^ также порядка е. Из равенства B1)
вытекает, что импульсы prs также порядка е.
В пренебрежении членами порядка ?2, %-уравнения связей D0), D1)
приобретают вид
grsrs grrss ~r ^WVf L r^J U, \ )
2pVSs + J%?Mr ^ 0. D3)
В пренебрежении членами порядка е2 выражение для гамильтониана,
задаваемое формулами B8), D0), D1), C8), записывается в виде
Я| I T* S T* S ry*rp SS | I
= пР Р оР Р Н~Т grsugrsu T grrugssu ~г — grsrguus
L z 4 4 z
~\ grsugrus + ЖМь}<Рх + j{ (g°°) 1/2 - l}(grsrs - grrss
dzx. D4)
Первый член выражения D4) представляет собой обычный гамильто-
гамильтониан, включающий лишь эффективные динамические переменные и не
содержащий произвольных величин g^o. Второй и третий члены выраже-
выражения содержат произвольные линейные комбинации %-функций D2) и D3)
с коэффициентами порядка е. Эти члены нужны в гамильтониане, чтобы
вносить в уравнения движения произвол, связанный с тем, что в системе
координат мы можем производить изменения порядка е.
Уравнения D2) и D3) показывают, что величины Жмь и ^Ms имеют
порядок е. Их малость обусловлена, конечно, тем, что они содержат грави-
гравитационную постоянную. Как теперь видно, член ^мь является наиболь-
наибольшим в первом подинтегральном выражении формулы D4), а все другие
имеют порядок малости е2. Это приводит к тому, что движение системы
в основном определяется плотностью гамильтониана Жмь-> а гравитаци-
гравитационные эффекты производят лишь малые возмущения.
Найдем вклад в гамильтониан некоторой частицы массы га. Пусть zr
являются координатами частицы и пусть через gz^u обозначаются компо-
компоненты g^y в точке xr = zr. В таком случае имеем
LM = -m{gZa0zazPI/2, D5)
где i° есть единица и не должна рассматриваться как динамическая пере-
переменная. Импульс Рг, сопряженный с координатой zr, записывается в виде
(gZa0zazPy1/2. D6)
1. ТЕОРИЯ ГРАВИТАЦИИ В ГАМИЛЬТОНОВОЙ ФОРМЕ251
Это приводит к выражению
I & Z^pe Zua^ * \sZap6 ^ ) —
= m*-m*{g<§gZafiz«zf>)-\ D7)
/ рО <тО
— ш2( «Р* gz gz \
— in \gz oo I & Z^
gz J
Вклад частицы в гамильтониан равен
НМ = Przr -LM = m{gZlMjnv - gz»rz
где при вычислении использовалась формула F). Тогда, используя выра-
выражения D6) и D7), получаем выражение
Нм = -gz3OerzsPr + (/zO)~1/2(™2 - erz'PrPs?12. D8)
Подставляя его в формулу C2), находим
Жмь = (т2 - ersPrPsI/2S3(x - z), D9)
= -PrS3(x-z). E0)
Эти выражения представляют собой вклад отдельной частицы в га-
гамильтонианы Жмь и ^Мг- Для нескольких частиц, взаимодействующих
между собой лишь посредством гравитационного поля, следует просто
сложить вклады от каждой частицы по отдельности. Результаты D9) и E0)
были получены без использования приближения слабого поля. Однако они
не могут использоваться в точной теории поскольку справедливы лишь
для точечной частицы, порождающей сингулярность поля, в окрестности
которой полевые уравнения не могут быть аккуратно решены.
Гравитационные волны
В рамках приближения слабого поля рассмотрим гравитационные вол-
волны в отсутствии вещества, или при наличии только медленно движущегося
вещества. Тогда из равенства E0) вытекает, что величина Жмг является
малой и ею можно пренебречь, так что х-уравнение D3) принимает про-
простой вид
Prss « 0. E1)
Произведем фурье-разложение всех полевых величин в трехмерном
3, так что
grs = -Srs + Jekr*ei(kx) d3k,
гк°е^с13к, E2)
пространстве ж1, ж2, ж3, так что
252 II. ЗАРОЖДЕНИЕ ГАМИЛЬТОНОВОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ
В каждом случае фурье-амплитуды с индексом —к являются комплексно
сопряженными к амплитудам с индексом к.
Для простоты сконцентрируем наше внимание на волнах, распростра-
распространяющихся в направлении оси ж3, так что ki = k2 = 0. Тогда из уравнения
E1) получаем
Pk3~0, р23~о, р?3«0, E3)
а из уравнения D2) имеем
2 Рк^0. E4)
В случае слабых гравитационных полей разумно предположить, что
полная энергия равна гамильтониану D4). Только первый член выраже-
выражения D4) вносит некоторый вклад в энергию, тогда как все другие члены
в слабом смысле исчезают. В таком случае энергия гравитационного поля
задается первым членом выражения D4), из которого в подинтегральном
выражении исключается член Жмь- После подстановки вместо перемен-
переменных grSl prs их фурье-разложений E2), выражение для энергии представ-
представляется в виде суммы некоторого числа членов, каждый из которых имеет
' " i(k)^k'x) d3k d3k' d3x = 8тг3 f /k/_k d3k.
Если пренебречь множителем 8тг3, то вклад волн, распространяющихся
в направлении ж3, равен
ЕC) = Pk5P-k ~ 2 PklPik + | ^(gkrsg-krs - gkrrg-kss +
+ gkZZg-kuu + gkuug-кЗЗ - 2#кгЗ#-кгз)- E5)
Последний член этого выражения приводится к виду
- к2B#к12#-к12 - g"kllg"-k22 - g"k22g"-kll) = |
+ 2 (ё"к11
Тогда с учетом соотношений E3) и E4), выражение E5) приобретает вид
\ (pi1 - pf)(p\ - р\) +
к|2^к12^-к12 + \ (g"kii - g"k22)(g"-kii - <g"-k22)| - \ кркр-к- E6)
Изложенный выше анализ позволяет обнаружить значимость различ-
различных степеней свободы гравитационного поля после того, как оно разло-
разложено на фурье-компоненты. %-уравнения связей E3) и E4) показыва-
показывают, что переменные, отвечающие степеням свободы 13, 23, 33, A1 + 22),
претерпевают извенения при изменениях в системе координат, а те, что
отвечают степеням свободы 12, A1 — 22), остаются инвариантными при
изменении системы координат. Выражение E6) для энергии разбивается
на члены, каждый из которых связан с одной из шести степеней свободы,
1. ТЕОРИЯ ГРАВИТАЦИИ В ГАМИЛЬТОНОВОЙ ФОРМЕ 253
без каких-либо перекрестных членов, связанных с какими-нибудь двумя
из этих степеней свободы.
Степени свободы 13, 23, 33 никак не проявляются в выражении E6).
Степени свободы 12, A1 — 22) дают в выражение E6) положительно опре-
определенный вклад такого вида, что он и представляет собой энергию гра-
гравитационных волн. Эти две степени свободы на языке квантовой теории
соответствуют гравитонам со значениями спина =Ь2, направленного вдоль
направления движения.
Степень свободы A1 + 22) порождает последний член в выраже-
выражении E6). Если для фурье-амплитуды р^ выбрать ее значение в соот-
соответствии с формулой D9) для некоторого числа медленно движущихся
частиц, а именно
/о \-3v^^ -г(кх)
и сделать в этом члене обратное преобразование к переменным ж, то
он окажется в точности равным ньютоновой потенциальной энергии для
каждой пары частиц плюс член собственной энергии для каждой из ча-
частиц, представляющий собой энергию ньютонова гравитационного поля
в окрестности частицы. Последний член выражения E6) является отри-
отрицательно определенным, свидетельствуя о том, что гравитационная сила
между двумя положительными массами является притягивающей и что
собственная гравитационная энергия каждой из масс является отрицатель-
отрицательной.
Единственными физически существенными здесь являются координат-
но-независимые степени свободы 12 и A1 — 22). Все другие исчезают из га-
ми л ьтоновых уравнений движения. Это является характерным свойством
приближения слабых полей. Даже не ограничиваясь случаем медленно
движущихся частиц, когда величина J^Mr не является пренебрежимо
малой, можно воспользоваться ^-уравнениями связей D2) и D3) чтобы
исключить степени свободы 13, 23, 33, A1 + 22) с помощью контактных
преобразований, аналогичных преобразованиям, исключающим продоль-
продольные волны в электродинамике.
Заключение
Точный гамильтониан для теории гравитации, задаваемый уравнени-
уравнениями B8), D0), D1), оказался значительно более простым, чем это можно
было ожидать. Мы начинали с десяти степеней свободы для каждой точки
пространства, отвечающих десяти компонентам метрики g^v.
Однако, используя метод, которому мы следовали в данной работе,
выяснилось, что некоторые степени свободы выпадают, и остаются только
шесть степеней, отвечающих шести компонентам grs. Это существенное
упрощение, однако, оно может быть достигнуто лишь ценой отказа от
четырехмерной симметрии. На основании этого я склонен верить в то,
254 II. ЗАРОЖДЕНИЕ ГАМИЛЬТОНОВОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ
что четырехмерная симметрия не является фундаментальным свойством
физического мира.
Великое достижение Эйнштейна состояло в том, чтобы показать что
каждое отдельное решение уравнений движения, составляющих законы
Природы, демонстрирует наличие четырехмерной симметрии. Тем не ме-
менее, как мы теперь знаем, физическое состояние не соответствует отдель-
отдельному решению уравнений движения, а скорее семейству решений, свя-
связанных с одной и той же главной функцией Гамильтона. Именно такое
семейство решений соответствует волновой функции в квантовой теории,
в то время как отдельное решение не имеет аналога в квантовом мире.
Чтобы иметь дело с семейством решений, следует использовать гамильто-
новы методы. Данная статья показывает, что если гамильтоновы методы
выражены в своем простейшем виде, то они заставляют отказаться от
четырехмерной симметрии [2].
С математической точки зрения потеря четырехмерной симметрии
в основном вызывает сожаление по причине утери преобразовательных
возможностей для самих уравнений. Это в достаточной мере компенси-
компенсируется расширением класса возможных преобразований, возникающим за
счет того, что есть возможность совершать контактные преобразования
в уравнениях Гамильтона.
Позволительно рассматривать гамильтонову форму динамики как
фундаментальную, но в таком случае теория не будет обладать фунда-
фундаментальной четырехмерной симметрией. В результате мы будем иметь
гамильтониан, построенный из четырех слабо исчезающих функций,
заданный соотношениями D0) и D1). Стандартное требование чтобы
физические законы обладали четырехмерной симметрией в этом случае
будет заменено требованием, чтобы эти функции имели соотношения СП,
исчезающие в слабом смысле. Тем самым эти функции могут быть
снабжены в уравнениях движения произвольными коэффициентами,
соответствующими произвольному движению поверхности, на которой
задано состояние системы.
Литература
1. Bergmann P.G., Penfield R., Shiller R., Zatzkis H. // Phys Rev. 1950. V. 80.
P. 81.
2. Dirac P.A.M. // Proc. Roy. Soc. A. 1958. V. 246. P. 326.
3. Pirani F.A.E., Schild A. // Phys. Rev. 1950. V. 79. P. 986.
4. Pirani F.A.E., Schild A., Skinner R. // Phys. Rev. 1952. V. 87. P. 452.
ФИКСАЦИЯ КООРДИНАТ
В ГАМИЛЬТОНОВОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ
Теорию гравитации обычно излагают в терминах произвольной системы координат.
Это приводит к появлению слабых уравнений, связывающих между собой гамильтоновы
динамические переменные, которые описывают состояние в некоторый момент времени,
что, в свою очередь, приводит к дополнительным условиям на волновую функцию после
квантования. В таком случае трудно точно определить начальное состояние в любой
практически важной задаче.
Для устранения этой трудности следует исключить слабые уравнения путем фикса-
фиксации системы координат. Здесь описывается общая процедура такого исключения. Затем
предлагается практический способ фиксации координатной системы и вычисляется его
влияние на соотношения СП.
Введение и обозначения
Проблема приведения уравнений Эйнштейна для гравитационного по-
поля к гамильтоновой форме до перехода к процедуре квантования за по-
последнее время привлекла к себе значительное внимание по той причине,
что были развиты мощные математические методы, достаточные для раз-
разработки этой проблемы.
Гамильтонова форма динамики включает в себя понятие физического
состояния «в некоторый момент времени», что в релятивистской теории
означает состояние, заданное на некоторой трехмерной пространствен-
ноподобной поверхности в пространстве-времени. Поначалу исследовате-
исследователи О' 2) выбирали пространственноподобную поверхность независимой от
координат ж^, что позволяло им сохранять четырехмерную симметрию
уравнений. Позднее было осознано 3M 4), что ценой отказа от четырехмер-
четырехмерной симметрии может быть достигнуто существенное упрощение теории
путем выбора системы координат таким образом, чтобы все трехмер-
трехмерные поверхности вида ж0 = const были бы пространственноподобными, и
в дальнейшем работать с физическими состояниями, заданными на таких
поверхностях.
Резюмируем основные свойства гамильтонова формализма. Обозна-
Обозначения будут здесь такими же как те, что использовались автором4, за
исключением того, что везде будет изменен знак метрики g^v так, чтобы
*) Fixation of Coordinates in the Hamiltonian Theory of Gravitation // Phys. Rev. 1959.
V. 114. P. 924-930.
г) Pirani F.A.E. and Schild A. // Phys. Rev. 1950. V. 79. P. 986.
2) Bergmann, Penfield, Schiller and Zatzkis // Phys. Rev. 1950. V. 80. P. 81.
3) Pirani, Schild and Skinner // Phys. Rev. 1952. V. 87. P. 452.
4) Dirac P.A.M. // Proc. Roy. Soc. London. A. 1958. V. 246. P. 333.
256 II. ЗАРОЖДЕНИЕ ГАМИЛЬТОНОВОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ
компонента goo была отрицательной. Греческие индексы принимают зна-
значения 0, 1, 2, 3, а нижние латинские индексы принимают значения 1, 2, 3;
детерминант метрики g^y обозначен — J2, а детерминат метрики grs обо-
обозначен К2] обратная матрица к grs обозначается как ers. Нижний индекс,
добавленный к любой полевой характеристике обозначает обыкновенную
производную, в то время как если к ней добавляется индекс вида |^, то это
обозначает ковариантную производную.
Мы будем иметь дело с гравитационным полем, взаимодействующим
с другими полями или, возможно, с частицами. Спинорные поля при этом
будут исключены, поскольку они требуют специального рассмотрения.
Плотность действия запишем в виде
где ??q является плотностью действия только гравитационного поля,
включающей метрику g^ и ее первые производные, а ??м обозначает
плотность действия других полей, зависящую от других полевых величин,
скажем от цм, и от их первых производных, а также зависящую от мет-
метрики gijuj, но не зависимую от производных метрики g^v.
Гравитационная плотность действия имеет вид
&G = A6777) Jg^(r^rua<> - W), A)
где 7 — гравитационная постоянная, возникающая в числителе закона тя-
тяготения Ньютона. Для сокращения записи будем считать, что
16тг7 = 1. B)
Гамильтонова форма теории гравитации
Будем рассматривать физические состояния на поверхности х° = t и
устанавливать вид гамильтоновых уравнений движения, чтобы опреде-
определить, как меняется состояние с изменением t. По стандартному определе-
определению гамильтониан представляет собой
ж, C)
где суммирование происходит по всем негравитационным динамическим
координатам qM.
Очевидно, что за счет произвольности системы координат х^ должна
иметь место значительная степень произвола в виде уравнений движения.
Прежде всего заметим, что компоненты g^o при изменении t могут из-
изменяться произвольным образом. Для описания геометрии поверхности
х° = ?, а также системы координат хг на ней, нам требуется знать значения
grs во всех точках поверхности. Однако нам совсем не нужны значе-
значения компонент g^o, которые имеют отношение лишь к тем интервалам,
которые выходят за пределы поверхности. Различные значения величин
g^o отвечают различным выборам близлежащей поверхности х° = t + e и
2. ФИКСАЦИЯ КООРДИНАТ В ГАМИЛЬТОНОВОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ 257
различным системам координат хг на этой соседней поверхности. Поэтому
эти значения полностью произвольны, когда начальная поверхность ж0 = t
задана.
Мы получим простейшую форму уравнений движения в том случае, ко-
когда будем описывать физическое состояние на поверхности х° = t целиком
в терминах динамических переменных, которые независимы от величин
g^o. Рассмотрим, какого типа величины могут быть использованы в опи-
описании такого рода.
Предположим, что имеется векторное поле Л^. Три его ковариантные
компоненты Аг на поверхности остаются инвариантными относительно за-
замены координат, оставляющей инвариантными координаты каждой точки
на поверхности. Тем самым эти компоненты Аг пригодны для данного
описания. Мы не можем использовать компоненту Ло, но вместо нее можно
взять нормальную составляющую вектора Л, а именно Л^/^, где 1^ —
единичный вектор нормали. Подобным образом для тензора В^, который
в частности может быть ковариантной производной А^у вектора Л^, име-
имеем следующие величины BrSl Brvlv', ВМ5Р, B^yl^lv'. Каждая из этих вели-
величин не меняется при замене координат, оставляющей точки на поверхности
инвариантными, и, таким образом, является независимой от величин g^o.
Следует отметить, что для вектора Л^ обыкновенная и ковариантная
производные Ars и Лг|5 обе являются независимыми от компонент g^o.
Таким образом и разность между ними, а именно ГГ5^ЛМ, является неза-
независимой от g-^o- Здесь мы можем в качестве единичной нормали взять
вектор Л^, а именно
Тогда мы найдем, что величина
г °
(=?*Р E)
является независимой от g^o. Данная величина может быть названа «ин-
«инвариантной скоростью» компоненты grs, поскольку она состоит из обык-
обыкновенной скорости grso, домноженной на некоторый множитель, и из
некоторых добавленных членов таких, чтобы образовавшаяся в результа-
результате величина не зависела от выбора координатной системы вне пределов
поверхности ж0 = t.
Для описываемого таким образом физического состояния легко нахо-
находим4), что для динамической переменной г\, не содержащей зависимости
от g-^сь производная drj/dx° будет иметь вид
~ё ) я,ь + groe t^s\d х, (Ь)
где ?l и ?s независимы от g^. Нам нужны уравнения движения для
отыскания величин ?/,, ?5 для любого т\. Коэффициенты (—g"oo)~ ?
9 П.Дирак. TIV
258 II. ЗАРОЖДЕНИЕ ГАМИЛЬТОНОВОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ
в выражении F) являются произвольными и никак не ограничиваются
уравнениями движения.
Получим уравнения движения вида F) из гамильтониана вида
d3x, G)
где величины Жь и Ж3 являются не зависящими от g^ и слабо обра-
обращающимися в нуль. Ранее было показано4', что гамильтониан C) прини-
принимает вид G) при условии, что динамические координаты, описывающие
негравитационные поля, выбраны описанным выше способом так, чтобы
не зависеть от g^. Другим условием является выбор в качестве ifg вместо
выражения A), выражения, которое отличается от A) на полный диффе-
дифференциал и которое не содержит скоростей g^oo? а именно
¦00\ I gr° \ ( 7 „.00ч
S
При таком выборе ^q импульсы р^ , канонически сопряженные пе-
переменным g^cb исчезают в слабом смысле, а это приводит к тому, что
степени свободы, описываемые переменными g^o, p^°, выпадают из опи-
описания в рамках гамильтонова формализма. При переходе к квантовой
теории слабое уравнение р^° « 0 приводит к условию р^°ф = 0, которое
свидетельствует о том, что волновая функция ф не содержит зависимости
ОТ gfiO-
Остающимися в теории гравитационными импульсами являются
pr° = K(eraesb - erseab) Г°? . (9)
Они построены из инвариантных скоростей E). Фундаментальные скобки
Пуассона (СП) для этих величин равны
Выражения для Жь и Ж8 в формуле G) находятся в виде
Жь = К'1 (prsprs - \PrrPsS) +B + {K-\K2ers)r}s + Жмь, A1)
где
В = \ Kgrsugabv{(eraesb - erseab)euv + 2(erueab - eraebu)esv}, A3)
и <Й?мь, ^Ms обозначают вклады в эти выражения от негравитационных
полей. Следует заметить, что члены вида В + {K~1(K2ers)r}s равны
плотности трехмерной скалярной кривизны поверхности ж0 = t.
2. ФИКСАЦИЯ КООРДИНАТ В ГАМИЛЬТОНОВОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ 259
Имеют место слабые равенства
Жь «О, Ж8 « 0. A4)
Они являются %-уравнениями или вторичными связями. Чтобы выяснить,
откуда они возникают, заметим, что полевые уравнения Эйнштейна имеют
вид
R^-\g^Raa = \T/, A5)
где Т" является тензором энергии-импульса, производимого негравитаци-
негравитационными полями. Левая сторона уравнения A5) содержит вторые производ-
производные от метрики gap и таким образом в общем случае содержит ускорения
ga/зоо- Правая сторона уравнения A5) не содержит производных от gap.
Далее, хорошо известные тождества
могут быть переписаны в виде
(V - \g?n*a\ = - (я/ - \g»rR.a)r + ..., A6)
где знак + в конце выражения указывает на то, что здесь должны быть
добавлены еще несколько членов, не содержащих производные третьего
порядка от метрики g^v Правая сторона тождества A6) очевидным об-
образом не содержит никаких производных третьего порядка по времени
#а/зооо- Следовательно и левая сторона не может содержать производных
третьего порядка по времени, так что и выражение В? — A/2) gfl0Ra(T не
может содержать ускорений gaC00- Таким образом, если мы положим v = 0
в уравнении A5), то получим уравнения, содержащие только динамиче-
динамические координаты и скорости. Подставив в эти уравнения вместо скоростей
их выражения через импульсы, получим четыре уравнения, включающие
только динамические координаты и импульсы, которые и дают слабые
равенства A4).
Главная часть гамильтониана получается, если в выражении G) поло-
положить gj^Q = —S^q. Таким образом после устранения вклада поверхностного
интеграла на бесконечности она равна
^nain = \^L d3x = | [К-1 (prsPrs - \p/Pss) +B + Жмь] d3x. A7)
Устранение вклада данного поверхностного интеграла никоим образом не
нарушает пригодности //main для вывода правильных уравнений движе-
движения, однако сказывается на том, что Ята1п не стремится в этом случае к
нулю в слабом смысле.
Мы можем записать полный гамильтониан G) в виде
Я = Ята1п + j{(V°)~1/2 - !}^ d3x + | groersMs d3x, A8)
260 II. ЗАРОЖДЕНИЕ ГАМИЛЬТОНОВОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ
где он представлен как //main плюс добавленные произвольные линейные
комбинации из плотностей ffl^ и ^s Для различных значений хг. Эти до-
дополнительные члены в гамильтониане приводят к появлению в уравнениях
движения членов, дополнительных к тем, которые порождаются HmSL[n и
которые соответствуют поверхности ж0 = ?, испытывающей произвольные
деформации и допускающей произвольные замены в системе координат хг
на этой поверхности, вызываемые изменениями t.
Потребность в фиксации координат
Для точного определения физического состояния в конкретный момент
времени в рамках классической теории мы должны выбрать численные
значения для всех динамических координат и импульсов так, чтобы удо-
удовлетворялись уравнения связей A4). Это подразумевает решение некото-
некоторых дифференциальных уравнений, так что не является столь же простым
делом как определение состояния в динамике материальной точки.
В квантовой теории ситуация еще более сложная. Уравнения связей
A4) превращаются в условия на волновую функцию
Жьф = 0, A9)
Ж8ф = 0. B0)
Для определения состояния в конкретный момент времени требуется найти
решение уравнений A9), B0), которые являются функциональными урав-
уравнениями.
Уравнение B0) главным образом выражает то, что волновая функ-
функция ф должна быть инвариантной относительно замены системы коорди-
координат жг на поверхности ж0 = t. Поэтому найти функцию ф, удовлетворяю-
удовлетворяющую данному уравнению не так сложно. Уравнение A9) выражает собой
требование, что состояние должно определяться таким образом, чтобы оно
не зависело от деформаций поверхности ж0 = t. Исследование такого рода
деформаций по существу не менее сложно, чем исследование перехода
с поверхности ж0 = t на близлежащую к ней поверхность ж0 = t + e.
Поэтому задача отыскания функции ф, удовлетворяющей условию A9),
по существу так же сложна, как и решение уравнений движения. Таким
образом данный формализм не годится для решения практических задач.
Указанная трудность не возникает в приближении слабого поля, по-
поскольку в этом случае многими членами в выражении A9) можно пре-
пренебречь, а с оставшимися, когда они представлены в терминах фурье-
компонент, довольно легко справиться.
Для получения практически полезного формализма, обладающего
большей точностью, чем приближение слабого поля, необходимо ввести
в теорию некоторые новые связи, фиксирующие поверхность таким обра-
образом, чтобы у нас не было возможности производить на ней произвольные
деформации. В таком случае дополнительное условие A9) устраняется.
Мы также можем ввести некоторые дальнейшие ограничения, фиксирую-
2. ФИКСАЦИЯ КООРДИНАТ В ГАМИЛЬТОНОВОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ 261
щие систему координат хг на поверхности. Не будучи существенными
для получения практически полезного формализма, эти дополнительные
ограничения служат для упрощения самого формализма путем устранения
условий B0), благодаря чему проблема точного определения начального
состояния превращается в тривиальную.
Фиксация координат выгодна также и в рамках приближения слабого
поля, поскольку в результате этого некоторые степени свободы выпадают
из формализма. При этом процедура похожа на процедуру исключения
продольных волн в электродинамике.
При рассмотрении гравитационных волн обычно накладываются огра-
ограничения на систему координат путем введения гармонических условий
{Jg^),, = 0.
Данные условия оказываются совершенно не подходящими в рассматри-
рассматриваемом формализме, поскольку они включают в себя компоненты g-^o?
которым в данном формализме разрешается быть полностью произволь-
произвольными. Любые ограничения, накладываемые на величины g^iO? никак не
помогут в работе с условиями A4) или A9) и B0). Нам нужны некоторые
ограничения, которые воздействуют лишь на переменные, входящие в вы-
выражения A4), а именно на переменные grs и рГ5, а также, возможно, на
негравитационные переменные.
Общий метод
Проанализируем общие принципы, которые «вступают в игру» после
того, как накладываются новые ограничения или связи на динамические
переменные гамильтоновой теории. Предположим, что имеется некото-
некоторый набор слабых равенств Хп ~ 0 (п = 1, 2,... , TV), которые могут быть
первичными или вторичными связями. Для определенности выбираем
число N конечным, однако такие же принципы применимы и в случае
бесконечного N. Далее полагаем, что все эти слабые равенства являются
связями первого рода, так что
[Хп,Хп'] = 0.
Теперь введем некоторые новые ограничения, скажем в виде М неза-
независимых уравнений
Ут^0, т = 1,2,...,М,
где М ^ N. Безусловно, они являются слабыми равенствами. Предпо-
Предположим, что ни одно из этих уравнений (и никакая составленная из них
линейная комбинация) не имеет тривиальных соотношений СП со всеми
Х-связями. Это приводит к тому, что М из %-связей становятся связями
второго рода, в то время как N — М %-связей (или их линейных комбина-
комбинаций) остаются связями первого рода.
Пусть связями второго рода стали %i, Х2-> •••? Хм? в то время как
Хм+ъ • • •? Xn остались связями первого рода. Теперь у нас есть 2М связей
262 II. ЗАРОЖДЕНИЕ ГАМИЛЬТОНОВОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ
второго рода Хгп ~ О, Ут « 0 (га = 1, 2,... , М). Запишем Хт = Ум+т и
тогда 2М связей второго рода выражаются как Ys « 0 (s = l,2,...,2M).
В квантовой теории нет места для слабых равенств второго рода, так
что мы вынуждены каким-то образом их видоизменить. Как будет видно
из дальнейшего мы можем заменить их на сильные равенства (выпол-
(выполняющимися как равенства между операторами в квантовой теории) при
условии, что мы принимаем новое определение СП, которое соответствует
тому, что число эффективных степеней свободы сократилось на М.
В простых случаях мы можем непосредственно указать, какие степени
свободы должны быть опущены, а какие из них выживают. Возьмем част-
частный случай, когда М из уравнений Ys « 0 имеют вид
Рт^О, т = 1,2,...,М. B1)
Оставшиеся М из этих уравнений в таком случае должны включать все
переменные qm независимым образом (в противном случае не все рт будут
давать связи второго рода), но при этом должна иметься возможность
разрешить эти уравнения в отношении qm и записать в виде
Чгп ~ /т(дМ+Ъ?М+2, ••• ,РМ+ЪРМ+2, •••)• B2)
Теперь мы видим, что степени свободы, ассоциируемые с переменными
Чгп-, Ргп, (га = 1, 2,... , М), перестают играть существенную роль в динами-
динамике. Мы можем воспользоваться уравнениями B1) и B2) для исключения
переменных рш и qm из теории, что подразумевает использование этих
уравнений в качестве определений или сильных равенств. В таком случае
мы будем работать с соотношениями СП, относящимися только к другим
степеням свободы.
В общем случае все степени свободы остаются в теории. В ней просто
меняются соотношения СП таким образом, чтобы они соответствовали
сокращенному числу степеней свободы. Для этого прежде всего устанав-
устанавливается матрица всех соотношений СП вида [Ys, Ysi\. Можно показать4),
что данная матрица имеет ненулевой детерминант при условии, что отсут-
отсутствуют линейные комбинации связей У5, которые образуют связи первого
рода. Затем следует вычислить обратную матрицу С55/, удовлетворяющую
соотношению
Сйй,[Уа,,уап] = 8аа„. B3)
Заметим, что Cssi является кососимметричной матрицей подобно [У5, Ys/].
Теперь определим новые СП по формуле
[Z,VY = [Z,v]-[Z,Ye]CeAYs>,r}]- B4)
Как можно проверить5), эти новые СП удовлетворяют всем фундамен-
фундаментальным соотношениям, которым должны удовлетворять СП.
Из уравнений B3) и B4) сразу видно, что [?, У5]* = 0 для любого ?. Та-
Таким образом теперь связи Ys имеют нулевые соотношения СП со всем чем
5) Dime P.A.M. /I Can. J. Math. 1950. V. 2. P. 129.
2. ФИКСАЦИЯ КООРДИНАТ В ГАМИЛЬТОНОВОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ 263
угодно. На основании этого мы можем рассматривать уравнения Ys = О
как сильные равенства и пользоваться ими до вычисления соотношений СП.
Применяя данный метод в случае гравитации, мы хотели бы, конечно,
чтобы видоизменения в соотношениях СП не были слишком сложными.
В частности, нам хотелось бы не вносить совсем никаких изменений в та-
такие соотношения СП двух величин, ни одна из которых не содержит
зависимости от гравитационных переменных grSl prs. Данный результат
гарантируется при выполнении следующих двух условий: (i) связи Ут
(га = 1,2, ...,М) содержат только гравитационные переменные; (ii) все
соотношения СП вида [Ут, Ут/] равны нулю. Доказательство этого утвер-
утверждения следующее.
Из предположения о том, что все %-связи — первого рода мы уже
имеем (ХгтХт'] ~ 0. С учетом последующего условия [Ут,Ут/] « 0 на-
находим, что [У5,У5/] « 0 за исключением тех случаев когда 1 ^ s ^ М
и М + 1 ^ sf ^ 2M или наоборот. Это приводит к тому, что Cssi « 0
за исключением тех случаев, когда 1 ^ s ^ M и M + l^sf^2M или
наоборот. Таким образом выживающими элементами матрицы С являются
Ст,м+т' = -См+т',т- Элементы СшМ+т' образуют матрицу из М строк
и столбцов, которая является обратной к матрице [х-тЧ Ут\-
Формула B4) в таком случае приводится к виду
[?, rj\* - [Z, v,] = -Ст,м+т,{[?, Ym][Xm>,v] ~ it Xm'Wm, V}}- B5)
Если величины ? и г\ не зависят от гравитационных переменных, то из
приведенного выше условия (i) вытекает, что [?, Ym] = 0 и [Ут, г]] = 0, так
что правая сторона формулы B5) обращается в нуль.
Введение новых связей в теорию в совокупности с подходящими из-
изменениями соотношений СП позволяет гамильтониану оставаться гамиль-
гамильтонианом первого рода. Отсюда следует, что гамильтоновы уравнения
движения сохраняют все связи.
Фиксация поверхности
Для фиксирования поверхности х° = t следует наложить естественные
условия вида
Р/ = grsPrs ~ 0. B6)
Это подразумевает введение в теорию по одному У-уравнению для каждой
точки поверхности.
Легко проверить, что справедливо соотношение
] = guvPUVSs(x - Х') « 0,
так что условия B6) не мешают уравнениям J^s « 0 оставаться связями
первого рода. Это означает, что условия B6) не вносят никаких ограниче-
ограничений на систему координат хг на поверхности. Этот результат очевиден, ес-
если исходить из тензорного характера условий B6). На геометрическом язы-
языке условия B6) показывают, что максимально возможной «площадью» для
264 II. ЗАРОЖДЕНИЕ ГАМИЛЬТОНОВОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ
данной поверхности будет трехмерная. Уравнения связей B6) и ffl^ ~ О
являются в этом случае связями второго рода и мы можем их использовать
для исключения одной степени свободы в каждой точке пространства.
В результате имеем
Отсюда следует, что отношения переменных grs, взятые в любой точке,
имеют нулевые соотношения СП с импульсами рии для всех точек поверх-
поверхности. Положим
тогда grs будут содержать только такие отношения и иметь нулевые СП
со связями рии во всех точках. Имеется всего лишь пять независимых
величин grs в силу того, что их детерминант равен единице. Элементы
ers образуют матрицу, обратную к матрице grs, которая обладает равным
единице детерминантом.
Получаем
[К2,р'ии] = 3K2S(x-xf),
и тогда
[\пя,Р'ии]=1-5(х-х'). B8)
Положим
~vs I vs J- vs ab \ 2 /оп\
Р = [Р е SabP ) Ж •> \^У)
Prs = gragsbPa •
В итоге находим, что импульсы prs и prs имеют нулевые СП со всеми
импульсами рии и переменной к во всех точках.
Произведем замену наших базисных динамических координат, т. е. от
шести переменных grs перейдем к пяти независимым компонентам grs
и In х. Импульсом, сопряженным с координатой lnx, как это следует
из соотношения B8), в таком случае будет просто 2рии, а импульсами,
сопряженными координатам grs, будут некоторые функции от prs и grs.
Условия B6) в этом случае приобретают вид B1) и роль соотноше-
соотношений B2) будет выполняться уравнениями J4?l « 0. Для приведения этих
уравнений к виду B2) мы должны разрешить их с учетом условий B6)
и в результате получить переменную х, выраженную через величины,
имеющие нулевые СП как с импульсами рии, так и с переменной х. Такими
величинами являются переменные grs, ers, prs', рГ5, а также негравита-
негравитационные переменные.
Согласно выражению A1) из уравнения jtffi, « 0 получаем
}5 « x-3prsprs + B + Жмь, C0)
где мы считаем, что координаты grs, содержащиеся в В и Жмь, Уже
заменены на их выражения через координаты grs и к. В общем случае эти
уравнения трудно разрешить в отношении к. Однако для не слишком силь-
2. ФИКСАЦИЯ КООРДИНАТ В ГАМИЛЬТОНОВОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ 265
ных гравитационных полей существенными являются те члены, которые
содержат вторые производные от х, т. е. те, что находятся в левой стороне
равенства. Поэтому мы можем получить решение методом последователь-
последовательных приближений: поначалу, полагая х= 1 в правой части, решаем полу-
получившееся упрощенное уравнение, затем полученное первое приближение
для к вновь подставляем в правую часть и в качестве решения получаем
второе приближение и т.д. Мы будем рассматривать данное уравнение
подробнее в следующем разделе относительно конкретной системы коор-
координат. Поэтому здесь просто будем полагать, что решение уравнения уже
получено.
Следуя методу предыдущего раздела по обращению с уравнениями
связей второго рода B1) и B2), выразим величины //main и ^s B терминах
переменных grs, ers, рГ5, рГ5, рии и к. Затем исключим переменные рии
и х из этих выражений, используя условия B6) и решение уравнения
C0), которые мы теперь можем использовать в качестве сильных равенств.
Исключение этих переменных из Ж3 является тривиальным, поскольку,
используя B6) из выражения A2) получаем
^ ~ 2(pabgas)b + ^Ms- C1)
Если негравитационные полевые переменные выбраны подобающим обра-
образом, то J^Ms не будет зависеть от к. Аналогичное исключение из //main
приводит к следующему выражению
#*main = \{x-zprsprs + B + Жмь) d3x, C2)
в котором считается, что переменная к принимает подходящее значение.
Подынтегральное выражение здесь можно рассматривать как плотность
энергии или плотность массы. Тогда полный гамильтониан будет иметь
вид
\3 C3)
Здесь исчез член, отвечавший за некоторый произвол в деформациях
поверхности, а именно средний член из выражения A8).
Теперь мы имеем гамильтонов формализм, в котором выпали степени
свободы, описываемые переменными рии и In к. Гамильтонианы C2) и C3)
даже с учетом условия B6) являются соотношениями первого рода, так
что они приводят к уравнениям движения, не нарушающим условия B6).
Процедура подстановки значения для к в процессе вывода выражения
для Я*тадП обусловила включение в гамильтониан такой правильной части
выражения для Жь-> чтобы гарантировать выполнение условий B6).
Фиксация координат на поверхности
Для приведения теории в более удобный вид следует также фикси-
фиксировать систему координат хг на поверхности. С геометрической точки
зрения, наиболее естественными условиями, которые можно выбрать для
266 II. ЗАРОЖДЕНИЕ ГАМИЛЬТОНОВОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ
достижения этой цели, являются трехмерные гармонические условия
(Кега)а я 0. C4)
Однако условия C4) не обладают тривиальными соотношениями СП с пе-
переменными из B6), так что если мы накладываем условия C4) совместно
с условиями B6), то мы должны видоизменить соотношения СП между
переменными негравитационного происхождения. Для устранения указан-
указанного несоответствия в теории лучше заменить условие C4) на условие
erss я 0, C5)
обладающее нулевыми соотношениями СП с переменными из B6).
Для координат, зафиксированных посредством условия C5), уравнение
C0) сводится к виду
-4V2x = K~3prsprs + B + Жмь, C6)
где V2 обозначает оператор Лапласа, записанный в метрике grs, а именно
V2 = ers7-^. C7)
дх дх v ;
Правая сторона уравнения C6) равна подынтегральному выражению C2)
и является плотностью массы. Для интерпретации уравнения C6) восста-
восстановим в нашей теории в соответствии с соотношением B) гравитационную
постоянную. В таком случае формула C6) принимает вид
-D7r7)V2x = 16тг7х-3рг*рг, + {Ш^В + Жмь- C8)
Теперь мы видим, что к — 1 представляет собой потенциал Ньютона,
генерируемый плотностью массы в пространстве с метрикой grs. Тот факт,
что координата к возникает в правой части уравнения C8) можно пони-
понимать как следствие того, что потенциал Ньютона сам по себе оказывает
воздействие на плотность массы, которая его генерирует.
Изучим более детально член с В в уравнении C8). Выражение A3) для
В, переписанное в терминах новых переменных, принимает вид
в = \ ^{xgrsu + 2xugrs){xgabv + 2xvgab) х
х {(eraesb - erseab)euv + 2(erueab - eraebu)esv].
С помощью соотношения
grsue rs = 0,
следующего из равенства детерминанта метрики grs единице, а также из
соотношения
grsueru = 0,
следующего из уравнения C5), выражение для В сводится к виду
В = \ Kgrsugabv{eraesbeuv - 2eraebuesv) - 2k~xhukvZuv. C9)
2. ФИКСАЦИЯ КООРДИНАТ В ГАМИЛЬТОНОВОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ 267
Последний член в этом выражении, деленный на 16тг7, может быть интер-
интерпретирован как плотность массы (или плотность энергии) ньютонова поля
с потенциалом к — 1. Он является отрицательно определенным в соответ-
соответствии с тем, что ньютонова сила отвечает притяжению. Оставшиеся члены
выражения для В вместе с первым членом в правой части уравнения C8)
задают плотность энергии гравитационных волн.
Новые скобки Пуассона
Для координат, фиксированных с помощью условия C5), СП гравита-
гравитационных переменных друг с другом и с переменными негравитационной
природы будут изменены. Новые СП задаются формулой B5), в которой
величины Ym заменяются на егии, а величины х-т' заменяются на Ж's.
В результате формула записывается в виде
Коэффициент Сг5(ж, xf) является обратным к матрице \Ж1, егии] и таким
образом удовлетворяет соотношению
Cvs{x", x')[M"s, eruu] dV = gvrd(x - х'). D1)
После вычисления СП в этом выражении получим соотношение
\ Cvs{x", x')igsreab5ab(x -x') + \ era6sa(x - ж') j d3xf = gvrS(x - ж"),
которое сводится к уравнению
Х72С г(т' т) + l ^raC s(rf т) — р-г Я(т - г') (Л2)
v ov уж , х) -f — е ov \x , x)sa — g v°\x x )•> \^L)
где оператор V2 определен в формуле C7).
Данное уравнение можно рассматривать при фиксированных коорди-
координатах ж', когда оно является дифференциальным уравнением для неиз-
неизвестных функций Cvr{x\ ж) от переменных ж. Важной областью значений
ж является в этом случае окрестность ж', поскольку, когда ж находится
далеко от ж', функции Cvr(xf, ж) малы. Благодаря этому мы можем найти
приближенное решение, рассматривая пространство как плоское в данной
области, так что компоненты е являются константами. В таком прибли-
приближении, дифференцируя уравнение D2) по жг, получим
V2C s = - S (x — xf). D3)
Решение этого уравнения имеет вид
С s = -—• -
v s 4тг 4
268 II. ЗАРОЖДЕНИЕ ГАМИЛЬТОНОВОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ
где через \х — х'\ обозначено расстояние между х и х' в метрике grs
\х - х'\ = {grs(xr - x'r){xs - х'8)}1'2. D4)
В таком случае уравнение D2) принимает вид
V2C/ = grv6(x - х')
16тг
решением которого является выражение
Cvr{x', х) = -- g\-^- + ^- era\x - x'\va. D5)
4 \Х — X OZ7T
Можно получить решение уравнения D2) с более высокой степенью
точности, подставляя для величин еаЬ в левой части уравнения D2) (па-
(памятуя при этом, что компоненты еаЬ возникают также в операторе V2) их
разложение в ряд Тейлора по степеням х — х' и используя первое прибли-
приближение для функций Cvr в тех членах, в которых эти функции возникают
с множителем хг — х'г. Методом последовательных приближений можно
получить решение уравнения с любой желаемой точностью.
После того как определены коэффициенты Crs(x,x') в формуле D0),
определены и новые СП. Следует заметить, что новые СП для любых
негравитационных переменных с компонентами grs или ers обращаются
в нуль. Однако новые СП тех же переменных с prs не равны нулю.
Квантование
Чтобы перейти к квантовой теории, мы должны превратить все наши
динамические переменные в операторы, удовлетворяющие коммутацион-
коммутационным соотношениям, которые соответствуют новым СП. В таком случае
мы должны выделить некоторый полный набор коммутирующих наблю-
наблюдаемых. Мы можем считать, что такой набор состоит из компонентов ers
во всех точках хг в совокупности с полным набором коммутирующих
негравитационных наблюдаемых, обозначенных, например, через ?. Мы
можем тогда задать волновую функцию как функцию от этих переменных
Эффективной областью определения функции ф является та, для ко-
которой на матрицу ers наложено ограничение обладать единичным детер-
детерминантом, а также удовлетворять условию erss = 0. Функцию ф можно
рассматривать как неопределенную функцию за пределами области опре-
определения. При действии на функцию ф посредством pab или любой дру-
другой динамической переменной данной теории получаем другую волновую
функцию, заданную в той же самой области определения, где учитыва-
учитывается, что компоненты р коммутируют с детерминантом матрицы ers и
производными erss.
Дополнительные условия, которые следует наложить на функцию ф,
здесь отсутствуют. Мы можем выбирать ее произвольным образом так,
2. ФИКСАЦИЯ КООРДИНАТ В ГАМИЛЬТОНОВОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ 269
чтобы удовлетворить начальным условиям в любой задаче. Имеется всего
лишь одно уравнение на функцию *ф, а именно уравнение Шредингера
1>ib— q — ti main^5
ах
которое определяет состояние системы в последующие моменты времени.
Чтобы теория была самосогласованной, необходимо, чтобы простран-
ственноподобная поверхность, на которой определено состояние системы,
всегда оставалась пространственноподобной. Условием для этого явля-
является требование, чтобы детерминант метрики grs-> обозначенный через
К2, всегда оставался положительно определенным. В предложенном здесь
формализме это означает, что х6 > О, для переменной х, определяемой
посредством уравнения C6). Если плотность массы всегда положительна,
то из уравнения C6) следует, что к > 1 и при этом нет никаких проблем.
Трудности возникают только там, где имеется большая отрицательная
плотность. Например, они возникают в очень малой окрестности точеч-
точечной частицы за счет вклада последнего члена в выражении C9). Таким
образом изучение гравитационного взаимодействия точечных частиц стал-
сталкивается с дальнейшими трудностями в дополнение к тем, которые уже
привычны для квантовой теории.
3
ЭНЕРГИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ. I *)
Уравнения Эйнштейна для гравитационного поля справедливы в лю-
любой системе координат, что делает достаточно затруднительным отличие
чисто физических эффектов от эффектов, связанных с искривленностью
системы координат. Вследствие этого отсутствует очевидное определе-
определение энергии гравитационного поля. Стандартное определение посредством
компоненты ?о° псевдотензора энергии-импульса приводит к сильной за-
зависимости энергии от выбора системы координат, что является крайне
неудовлетворительным [1].
Для физически существенных задач можно ограничиться случаем сла-
слабых гравитационных полей порядка гравитационной константы 7- В таком
случае можно использовать систему координат, для которой компоненты
тензора g^v отличаются от своих значений в специальной теории отно-
относительности на величину порядка 7- Даже если ограничиться такими си-
системами координат (отказавшись от использования, например, полярных
координат), то все равно имеется возможность производить произвольные
изменения порядка 7 B системе координат. Эти изменения приводят к
изменениям энергии того же порядка, что и само значение энергии, так
что проблема все равно остается.
При обсуждении данного вопроса обычно упускаются из виду первона-
первоначальные требования к понятию энергии, состоящие в том что это должен
быть полезным интегралом уравнений движения. Разработка гамильтоно-
вой формы теории гравитации ^ позволяет по-новому подойти к данной
проблеме, принимая во внимание это требование полезности.
В гамильтоновом формализме рассматривается состояние системы
в некоторый момент времени ж0, описываемое динамическими перемен-
переменными при всех возможных значениях координат ж1, ж2, ж3 для одного и
того же значения ж0. Выяснилось, что единственными переменными, тре-
требуемыми для описания гравитационного поля, являются шесть компонент
метрики grs (r, s = 1, 2, 3), а также сопряженные к ним импульсы prs. Че-
Четыре компоненты g^o в описании состояния в некоторый момент времени
не участвуют. Они требуются лишь для того, чтобы осуществлять связь
между состоянием в данный момент времени и состоянием в ближайший
последующий момент времени.
Таким образом мы приходим к условию, что энергия системы в некото-
некоторый момент времени должна зависеть только от grs, prs и от переменных
негравитационной природы, но не должна зависеть от g^. Стандартное
Energy of the Gravitational Field // Phys. Rev. Lett. 1959. V. 2. P. 368-371.
3. ЭНЕРГИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ. I 271
определение энергии посредством величины ?о° не удовлетворяет данному
условию, равно как не удовлетворяет ему и определение энергии, недавно
предложенное Меллером2).
Возьмем гамильтониан, выведенный в первой из цитируемых статей,
сохраняя такие же обозначения за исключением того, что мы изменим знак
у всех компонент метрики g^v так, чтобы сделать компоненту goo отри-
отрицательной (что влечет также изменение знака у компонент матрицы prs).
Таким образом получаем гамильтониан
Я = \{(-ё00Г1/2Жь + groers.J?s} d3x, A)
где Жъ и Ж3 являются функциями только от компонент grs, prs и пере-
переменных негравитационной природы, а именно
Жь = К-1 (prsPrs -\PrrPsS) + \ K~\K2e™)ve™ x
х Bgrus - grsu) + {A-^VU, + Жмь, B)
Ж = pUVguvs - 2(pUVgus)v + Я?Мв, C)
где нижний индекс, добавленный к полевой переменной, обозначает обык-
обыкновенную производную. Имеем также уравнения связей
Жь я 0, Жйъ 0. D)
В обычной гамильтоновой теории считается, что гамильтониан сам
по себе является полной энергией, так как он всегда является интегра-
интегралом движения. Это не имеет места в рассматриваемой теории, поскольку
с учетом уравнений связей D) гамильтониан A) равен нулю. Поэтому
до тех пор пока рассматриваются точные уравнения движения, в теории
похоже отсутствует какой-либо полезный интеграл, который можно было
бы принять за полную энергию.
В приближении слабого поля имеет смысл разбить гамильтониан на две
части, на ту часть, которая задает основное движение, соответствующее
g^o = —S^o, и на ту, которая дает поправочные члены, происходящие из-
за малых отклонений компонент метрики g^ от значений — S^q. Эти две
части представляют собой
main — \w \ tsLML) & %•> \^J
где
W — PrsPrs
— PrrPss ~r д \grsu§rsu §rru§ssu) \ 7} \§rsr§uus §urs§usr)i \Q)
а также
И1 1 3
- A + ^ОО)(<^Г5Г5 — grrss — ^Mh) — groi^Prss — J^Mr) ( d X. G)
2. )
Связи в этом приближении записываются в виде
grsrs grrss ^WVfL '¦^ ^5 ^Prss ^^Mr r^J ^* V^/
272 II. ЗАРОЖДЕНИЕ ГАМИЛЬТОНОВОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ
С учетом наложенных связей в этом случае обращается в нуль вторая
часть гамильтониана Нсог, но не первая — HmSi[n. Эта разница между ними
возникла по той причине, что при выводе выражения E) мы пренебрегли
поверхностным членом на бесконечности. Такое пренебрежение оправдано
тем, что наличие в гамильтониане членов такой природы никак не влияет
на вид уравнений движения.
Теперь рассмотрим пример, в котором на больших расстояниях поряд-
порядка г от начала отсчета нет никакого вещества, а величины grsu и Prs
имеют порядок г~2. Такие примеры часто возникают на практике. В таком
случае на больших расстояниях величина w будет порядка г~4, так что
первая часть гамильтониана HmSL[n оказывается сходящейся. Она является
константой движения при условии, что для компонент g^ выбираются
значения, которые сохраняют ее сходимость. Величина //main является
в данном случае полезным интегралом движения, поскольку ее постоян-
постоянство не является следствием только уравнений связи (8). Следовательно
мы можем обоснованно определить Ншз\п в качестве полной энергии.
В примере, где имеет место непрерывное излучение гравитационных
волн, на больших расстояниях величины grsu и Prs оказываются поряд-
порядка г. В таком случае величина HmSL[n не является сходящейся, соответ-
соответствуя тому, что полная энергия гравитационных волн является бесконеч-
бесконечной. Физически содержательной энергией в таком случае является полная
энергия в пределах большой области R. Чтобы иметь возможность найти
такую энергию, необходимо иметь выражение для плотности энергии, по
крайней мере для больших значений г.
Выражение E) для полной энергии в случае его сходимости предпола-
предполагает, что в общем случае мы рассматриваем выражение w + Жмь в ка-
качестве плотности энергии, так что w является плотностью энергии грави-
гравитационного поля. Выясним, является ли это предположение допустимым,
выбрав для начала специальный случай, когда наша система координат
является такой, что
g/лО = -ЯцО- (9)
Для сохранения энергии требуется, чтобы имело место соотношение
где кг есть некоторый 3-вектор, который может быть интерпретирован как
поток энергии.
Тогда первое из уравнений связей D), будучи вычисленным из выра-
выражения B) с точностью до второго порядка по 7? дает
l(K2euv)u}v, A1)
что немедленно приводит к выражению A0), в котором
kv = -
3. ЭНЕРГИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ. I 273
Однако этот вектор kv не может быть интерпретирован как поток энергии,
поскольку сам является величиной порядка 7? в то время как плотность
энергии w при отсутствии вещества имеет значение порядка j2.
Используя условия (9), получим
Судя по выражению F), мы видим, что импульсные переменные входят
в величину w недифференцированными, а координатные переменные вхо-
входят продифференцированными не более чем один раз, что позволяет нам
предположить, что это верно и для J4?ml- Отсюда следует, что выра-
выражение [w + J^ml,™' + ^'ml] не может содержать функций 5(х — ж'),
продифференцированных более чем один раз. Поскольку это выражение
антисимметрично по переменным жиж', можно сделать вывод о том, что
для некоторого 3-вектора кг оно должно иметь вид
[w + J^ml, wf + Ж'мь] = (кг + кг'Mг(х - ж'). A3)
Подставляя его в выражение A2), получим в точности формулу A0). Гра-
Гравитационная составляющая потока кг, которая происходит из соотношения
[ги,гг/], является линейной однородной функцией по переменным рГ5, а
также линейной однородной функцией по grsu- Поэтому она является
величиной порядка 725 также как и величина w. Тем самым данный вектор
кг может быть интерпретирован как поток энергии и закон сохранения
подтвержден.
В случае, когда условия (9) не выполняются, вышеприведенный вывод
нарушается за счет дополнительных изменений в выражении w + Жмь,
производимых второй частью гамильтониана //Соп заданной выражени-
выражением G). Источником проблемы является то, что выражение w + Жмь
претерпевает изменения, если в системе координат производятся замены
порядка 7- Эти изменения имеют две составляющие, соответствующие
двум членам в подинтегральном выражении формулы G). Если коорди-
координаты хг заменяются по правилу хг —» хг + Ьг, где величины br являются
функциями от ж1, ж2, ж3 порядка 7? то изменения в выражении w + J4?ml
будут иметь вид
Si(w + Жмь) = - J br'[w + Жмь, 2p'rss> ~ Ж1 мг] d3x'. A4)
Если же гиперповерхность ж0 = const изменяется так, что каждая ее точка
сдвигается вдоль нормали на расстояние а, где а является функцией от
ж1, ж2, ж3 порядка 7? то изменения в выражении w + J4?ml будут вида
= Cif[w + J^ML.g'rsr's' ~ g' rrs's' ~ <%? ' M b] d? X*. A5)
Плотность энергии, определенная как w + Жмь, подвержена двум таким
неопределенностям.
274 II. ЗАРОЖДЕНИЕ ГАМИЛЬТОНОВОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ
Можно легко проверить, что при выполнении условия (9) компонента
#0° псевдотензора энергии-импульса в точности совпадает с w, так что
доказанный выше закон сохранения не является новым результатом. Если
же условие (9) не выполняется, то to0 отличается от w членами, содержа-
содержащими производные от компонент g-^o- Если плотность энергии определена
0
в терминах to0, то она подвержена двум указанным выше неопределенно-
неопределенностям, а также еще одной неопределенности, связанной с ее зависимостью
от g-^o- Поэтому использование w вместо too вносит некоторое исправление
в ситуацию.
В случае, когда полная энергия является сходящейся, она может быть
выражена в виде интеграла по поверхности, взятой на бесконечности.
В соответствии с формулой A1) и принятым здесь определением энергии
этот интеграл имеет вид
-^K-\K2euv)udSv. A6)
При обычном определении энергии через псевдотензор тот же интеграл
равен
A7)
Эти два выражения согласуются между собой при условии, что на больших
расстояниях g^ = —8^0 + О(г~1).
С учетом неопределенностей A4), A5), не похоже, чтобы существовало
какое-либо общее определение плотности энергии, независимое от выбора
системы координат. Тем не менее имеется один важный частный случай
когда данные неопределенности исчезают, а именно, когда отсутствует
всякое вещество, а гравитационное поле с точностью до первого порядка
состоит из волн, движущихся в одном направлении.
В отсутствии вещества выражения A4) и A5), с учетом выражения F),
приводятся к виду
8iW = - grru{buss - bSus) + grsrbuus ~ grsuburs, A8)
82w = -2prsars. A9)
Будем полагать, что гравитационное поле состоит только из волн, дви-
движущихся, скажем, в направлении ж3. Тогда все производные grSu и Prsu
обращаются в нуль, кроме тех, где и = 3. Если мы теперь сделаем замену
в системе координат так, чтобы сохранялось условие, согласно которому
гравитационное поле состоит только из волн, движущихся в направлении
ж3, то мы можем ввести лишь координатные волны, движущиеся в направ-
направлении ж3. Это потребует, чтобы производные bru и аи также обращались
в нуль за исключением случаев и = 3. Теперь получаем 8\w = 0 и
82 s = —
Второе уравнение связей из (8) дает рг% = 0, так что и 82W также обраща-
обращается в нуль.
3. ЭНЕРГИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ. I 275
Мы можем сделать заключение, что плотность энергии гравитаци-
гравитационных волн, движущихся в одном определенном направлении, хорошо
определена независимо от выбора системы координат. Только плотность
энергии интерферирующих волн, движущихся в разных направлениях,
будет подвержена неопределенностям.
Вернемся назад к проблеме определения полной энергии в пределах
большой области Я, охватывающей несколько ускоряющихся масс, ко-
которые непрерывным образом излучают гравитационные волны. Выберем
решение полевых уравнений, выраженное через запаздывающие потен-
потенциалы без каких-либо входящих волн. Тогда для больших значений г
основная часть гравитационного поля, имеющая порядок г, состоит из
волн, движущихся в каждой точке только в одном направлении, а именно
в радиальном направлении наружу. В таком случае плотность энергии
w на больших расстояниях правильно определена, независимо от любых
преобразований координат, которые сохраняют характер решения в той
части, что оно выражается через запаздывающие потенциалы и не вносит
каких-либо входящих координатных волн.
Полная энергия внутри области /?, определяемая по формуле
х, B0)
я
в таком случае имеет правильное выражение, поскольку любые преобра-
преобразования координат, которые оказывают воздействие лишь на центральную
часть области R в силу соотношения A1) не приведут к изменениям в фор-
формуле B0). В то же время любые допустимые преобразования координат во
внешней по отношению к R части пространства не оказывают влияния на
величину w и, таким образом, не влияют на выражение B0). Следователь-
Следовательно неопределенности в выражении для плотности энергии, определенной
как w + Жмь, не влияют на результаты вычислений излучения энергии
гравитационными волнами.
Литература
1. Dime P.A.M. Л Proc. Roy. Soc. London. A. 1958. V. 246. P. 333.
2. M0ller C. II Ann. Phys. 1958. V. 4. P. 347.
4
ЭНЕРГИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ. II *)
Когда теория гравитации приводится к гамильтоновой форме, некоторые из урав-
уравнений поля становятся связями, тогда как другие — уравнениями движения. Энергию
следует определить таким образом, чтобы она была интегралом уравнений движения
и не зависела бы от связей. Закон сохранения энергии демонстрируется на нескольких
типичных примерах при обычном определении энергии, в котором используется компо-
компонента to° псевдотензора,. Однако так определенная энергия зависит от выбора системы
координат.
Переменные g^o не являются необходимыми для описания состояния, и поэтому они
не должны входить в выражение для плотности энергии. Однако они входят в компо-
компоненту ?о°. Выражение для плотности энергии можно усовершенствовать таким образом,
что оно больше не будет зависеть от g^o. В той же мере и усовершенствованная энергия
также не будет зависеть от системы координат, а в одном важном случае она вообще не
зависит от выбора системы координат. Это случай слабого гравитационного поля, когда
гравитационные волны распространяются в заданном направлении.
Псевдотензор энергии—импульса и функция Гамильтона
Рассмотрим гравитационное поле, взаимодействующее с распределе-
распределением материи или с другими полями. Гравитационное поле описывается
полевыми переменными g^vi остальные полевые переменные описывают
другие поля. Будем обозначать N полевых переменных как q^.
Предположим, что задана плотность действия ??, являющаяся функ-
функцией только qj\[ и их первых производных qN,n- Тогда полевые уравнения
имеют вид
для всех N.
Псевдотензор энергии-импульса t^ определяется выражением
Он инвариантен относительно преобразований, заменяющих переменные q
на функции от q. Поэтому в качестве базовых переменных гравитационно-
гравитационного поля можно вместо g^ выбрать величины g^v и при этом получится тот
же самый тензор t^. Однако, если совершить преобразование координат
жм, то tpv не преобразуется как тензорная плотность. Поэтому любой
*) The Energy of the Gravitational Field // Les Theories Relativistes de la Gravitation.
Paris. CNRS. 1962. P. 385-393.
4. ЭНЕРГИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ. II 277
физический смысл, который мы можем приписать тензору tyf, связан
с одной определенной системой координат.
Закон сохранения
*/," = ° C)
следует непосредственно из уравнений A).
Выберем систему координат, в которой все трехмерные поверхности
х® = const пространственноподобны. Тогда можно рассматривать ж0 как
временную переменную, а физические условия для всех ж1, ж2, ж3 при
заданном ж0 фиксируют состояние в определенный момент времени. По-
Полевые уравнения становятся лагранжевыми уравнениями движения, вы-
вытекающими из лагранжиана
L =
Обычное правило перехода от лагранжиана к гамильтониану приводит
к выражению
Лагранжевы уравнения движения частично становятся гамильтоновыми
уравнениями, а частично — ограничениями на гамильтоновы переменные,
описывающие состояние в данный момент времени.
Из формул B) и D) видно, что
Н = \to°d3x. E)
Принято предполагать, что гамильтониан есть полная энергия. Такое
предположение согласовывалось бы с тем, что ?о° есть плотность энергии.
Однако, оно в равной степени согласуется с тем, что плотность энергии
равна to0 + vr^r (r = 1,2,3) с любым локализованным 3-вектором vr, так
как гамильтониан J(?o° + vr,r) d3x приводит к тем же самым гамильтоно-
вым уравнениям движения, что и E). Кроме того, оно не влияет на закон
сохранения энергии. При этом не имеет значения то, что дополнительное
слагаемое vr?r не преобразуется должным образом при преобразованиях
координат ж^, так как и сама величина ?о° не преобразуется должным об-
образом. Модифицированная плотность энергии может привести к другому
значению полной энергии.
Как показали Бергман и Шиллер 1\ с помощью полевых уравнений
можно убедиться в том, что величина to0 равна трехмерной дивергенции:
to° + и\г = о. F)
Величину Ur называют суперпотенциалом. Если положить vr = f/r,
то получится выражение для плотности энергии, которое в силу полевых
уравнений везде обращается в нуль. Ясно, что для того чтобы определить
понятие энергии, должно быть введено дополнительное требование.
278 II. ЗАРОЖДЕНИЕ ГАМИЛЬТОНОВОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ
Полезность понятия энергии
В элементарной динамике энергия возникает как полезный интеграл
уравнений движения. Аналогичное требование можно наложить на энер-
энергию в релятивистской теории поля. Сохранение энергии должно давать
информацию, оказывающуюся полезной при попытке получить решение
уравнений движения, исходя из заданного начального состояния.
В уравнении F) не содержится вторых производных по времени, т. е.
никаких ускорений, поскольку как to0, так и Ur содержат только полевые
величины и их первые производные. Поэтому это уравнение дает ограни-
ограничения на гамильтоновы переменные, описывающие состояние в определен-
определенный момент времени. Каждой точке трехмерного пространства соответ-
соответствует одно из этих ограничений. При фиксировании начального состояния
мы должны так выбирать значения динамических переменных, чтобы
удовлетворить этим ограничениям. Если они выполняются в начальный
момент времени, то гамильтоновы уравнения движения обеспечивают их
выполнение в последующие моменты. Чтобы понятие энергии было по-
полезным при решении гамильтоновых уравнений движения, нужно, чтобы
сохранение энергии давало дополнительную к уравнению F) информацию.
Если плотность энергии определена как to0, то уравнение F) позволяет
получить формулу для полной энергии в области Я, выразив ее через
интеграл по поверхности, ограничивающей область /?,
^d6x = -\UrdSr. G)
R
Сохранение энергии означает, что интеграл ( j to0 d3x) должен вы-
выражаться через поверхностный интеграл по границе области Я, причем
подынтегральное выражение должно интерпретироваться как поток энер-
энергии. Это утверждение немедленно вытекает из формулы G), если принять
?/г5о за поток энергии, и поэтому не является дополнительным к F). Из
формулы C) получаем
/ г „ „ \ г
/dSr. (8)
В ряде важных случаев можно придти к выводу, что ?/г5о имеет непра-
неправильный порядок величины, не позволяющий рассматривать ее как поток
энергии. Используя формулу (8), в которой tor считается потоком энергии,
можно получить информацию, дополнительную к той, которая содержится
в формулах G) или F).
Пример (i). Предположим, что гравитационное поле слабо, например,
его величина порядка 7? и используем приближенно декартову систему
координат, так что
g> = Vpv + ОG)> S>,p = °(т), (9)
где г)^ — метрика специальной теории относительности. Суперпотенциал
Ur линеен по g^v^-, так что он тоже имеет порядок 7- Плотность тензора
4. ЭНЕРГИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ. II 279
энергии-импульса t^ квадратична по g^v^p^ так что она имеет поря-
порядок 72-
Если рассмотреть решение полевого уравнения в первом порядке по 7,
то ограничение F) примет вид
U\r = 0. A0)
Теперь мы должны положить левую часть формулы G) равной нулю, так
что у нас больше нет формулы, выражающей энергию в некоторой области
через интеграл по поверхности. Но выражение (8) остается без изменений,
причем величины в обоих сторонах равенства порядка j2. Таким образом
у нас все еще есть формула для скорости изменения энергии в данной
области со временем, выражающая закон сохранения энергии. Эта фор-
формула дает информацию о решении полевых уравнений в первом порядке,
которая, конечно, не зависит от ограничения A0).
Если мы рассмотрим решение полевых уравнений в высшем, например,
в М-ом, порядке, то ситуация будет по существу той же. Это решение
фиксирует Ur в М-ом порядке — пусть эта величина равна Uмг-, и t^
в (М + 1)-ом порядке — пусть эта величина равна ?(м+1) ^'. Ограничения
F) принимают вид
+ ° _L TJ г П
а закон сохранения (8) принимает вид
о°
= - j
не зависящий от этих ограничений.
Пример (ii). Предположим, что у нас имеется некоторое распределение
материи, заключенной в ограниченной области пространства, и мы рас-
рассматриваем полную энергию в большой области, окружающей эту область,
например, внутри большой сферы радиуса R. Предположим далее, что на
больших расстояниях г
g^ = V^ + O(r~1), g^p = O(r-2). A1)
Тогда на больших расстояниях ?q° порядке г~4, так что интеграл J ?о° ^Зж,
взятый по всему пространству, сходится и дает конечную полную энергию.
Далее, Ur порядка г~2, так что правая часть G) стремится к конечному
пределу при R —» ос. Таким образом формула G) представляет собой
выражение для полной энергии, которое можно использовать, если извест-
известно решение полевых уравнений для g^ при больших г с точностью до
первого порядка по г.
Так как t^ порядка г~4, из закона сохранения (8) следует, что
Следовательно полная энергия постоянна. Этот результат не зависит от
формулы G) и ограничений F).
280 II. ЗАРОЖДЕНИЕ ГАМИЛЬТОНОВОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ
Пример (ш). Как и ранее, предположим, что распределение материи
ограничено конечной областью, и рассмотрим энергию внутри большой
сферы радиусом /?, окружающей эту область. Предположим теперь, что
при больших г
g^ = V^ + O(r~1), g^,P = O{r-1). A2)
Этот случай возникает, когда происходит непрерывное излучение гравита-
гравитационных волн.
Теперь to0 порядка г~2 и
R
Этот результат физически означает, что полная энергия гравитацион-
гравитационных волн внутри сферы при больших R пропорциональна R. Кроме того,
Ur порядка г, так что правая часть G) становится порядка R. Таким
образом, формула G) снова дает выражение для энергии внутри сферы
радиуса /?, которую можно использовать, когда известно решение полевых
уравнений для больших г в первом порядке по г.
Теперь правая часть (8) не зависит от R при больших R. Следовательно
энергия внутри сферы радиуса R изменяется со скоростью, не зависящей
от R. Этот результат опять выходит за рамки того, что можно вывести
из G).
В каждом из предыдущих примеров закон сохранения (8) дает инфор-
информацию, дополнительную к той, которая содержится в ограничениях F) или
G). Это показывает полезность понятия энергии, если ?о° определена как
плотность энергии. В каждом случае для получения полезного результата
следует полагать величину tor равной потоку энергии.
Устранение g^o
Если плотность энергии определена как to0, то энергия в некой области
зависит от выбора системы координат. Эта трудность не влияет на полез-
полезность понятия энергии как средства для получения решений уравнений
движения, но она ограничивает физический смысл, который может быть
придан энергии. Гамильтонова теория помогает справиться с этой труд-
трудностью, демонстрируя особую роль переменных g^Q.
Для описания состояния в определенный момент времени t необходимо
задать переменные grs (r, s = 1, 2, 3) для всех ж1, ж2, ж3, с тем, чтобы за-
зафиксировать метрику гиперпространства ж0 = t. В этом случае не нужны
переменные g^. Последние служат только для того, чтобы зафиксировать
соседнюю гиперповерхность х° = t + ?, и могут произвольно изменяться,
не оказывая никакого влияния на состояние в момент времени t.
Чтобы завершить описание состояния в момент времени ?, мы можем
помимо переменных grs использовать только определенные, подходящим
образом выбранные, не зависящие от g^ переменные. Точнее говоря, это
4. ЭНЕРГИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ. II 281
те переменные, которые не меняются при преобразовании координат ж^,
оставляющем инвариантными гиперповерхность ж0 = t и систему коор-
координат ж1, ж2, ж3 на ней. Например, если мы имеем дело с векторным
полем т4^, то четырьмя переменными, не зависящими от g^, будут три
ковариантные компоненты Аг и нормальная компонента A^l^ представ-
представляющая единичную нормаль к гиперповерхности
(Мы считаем goo отрицательной величиной.) Аналогично для тензора B^v^
который может быть ковариантной производной A^v поля Л^, не завися-
зависящие от g^o величины — это БГ5, Вг/Л1^^ B^sl^, B^yl^ly'.
Следует отметить, что для вектора А^ как обычная, так и ковариант-
ная производные, /Ц5 и Лг;5, не зависят от g^. Поэтому их разность
Trs^A^ не зависит от g^. Можно выбрать А^ за единичную нормаль A3).
Тогда величина
г о
L?f A4)
не зависит от g^o. Эту величину можно назвать инвариантной скоростью
grSl так как она включает обычную скорость grs,o, но с некоторыми
модификациями, необходимыми для того, чтобы получилась величина, не
зависящая от выбора системы координат вне гиперповерхность ж0 = t.
Полный набор переменных, необходимый для описания состояния в мо-
момент времени ?, включает grs, инвариантные скорости A4) и неграви-
негравитационные переменные, выбранные, как и выше, не зависящими от g^Q.
В гамильтоновом формализме имеются импульсные переменные рГ5, со-
сопряженные к grs. Эти импульсы являются просто линейными комбинаци-
комбинациями инвариантных скоростей A4) и занимают их место.
Плотность энергии в определенном месте в данный момент времени не
должна зависеть от переменных, несущественных для описания состояния
в этот момент. Поэтому она не должна зависеть от g^. Однако ?о° зависит
от g^o. Исключить gj^Q из этой величины можно, записав ее явно как
функцию g/j,0i grs, Prs И негравитационных переменных, выбранных, как
и выше, независящими от g^o, а затем подставив в полученное выражение
g/лО = -ЯцО- A5)
Получившаяся величина w дает исправленное выражение для плотности
энергии, независящее от g^o. Оно равно величине to0 в системе координат,
удовлетворяющей условию A5), но отличается от нее в произвольной си-
системе координат.
Аналогичный процесс можно применить для исключения g^ из супер-
суперпотенциала Ur. Мы получим исправленный суперпотенциал иг', независя-
независящий от g^Q и связанный с w выражением, аналогичным F):
w + u\r = 0. A6)
282 II. ЗАРОЖДЕНИЕ ГАМИЛЬТОНОВОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ
Это уравнение позволяет выразить полную величину исправленной энер-
энергии в данной области в виде поверхностного интеграла по границе области.
Есть два возражения, не позволяющие рассматривать w как плотность
энергии.
1) Величина w все еще сохраняет зависимость энергии в данной области
от системы координат, хотя и не до такой степени, как to0. Изменение
координат хг на гиперповерхности х° = t влияет на энергию. Кроме того,
в приближении слабого поля малая деформация гиперповерхности поряд-
порядка 7 изменяет w на величину порядка 72? т-е- того же порядка, что и
сама величина w. Это слишком много для того, чтобы быть физически
приемлемым.
2) Энергия, определенная через w, сохраняется в системе координат,
удовлетворяющих условию A5), когда w = to0, но не сохраняется в произ-
произвольной системе координат.
Возражение B) неприменимо к первоначальной плотности энергии to0.
Поэтому может показаться, что переход от to0 к w только ухудшил ситуа-
ситуацию. Однако если присмотреться, то видно, что на самом деле существенно
возражение A), а возражение B) не является независимым, а просто сле-
следует из A).
Рассмотрим данное начальное состояние на гиперповерхности ж0 = t.
Произведя операцию смещения всех точек исходной гиперповерхности
в пространстве-времени, получим состояние в чуть более поздний момент
времени на гиперповерхности х° = t + е. Главная часть смещения заклю-
заключается в сдвиге каждой точки на постоянное расстояние е в направлении
нормали к поверхности. Если выполнено условие A5), то эта главная часть
равна полному смещению, так что энергия сохраняется. Оставшаяся часть
смещения является малой поправкой, порядка ej в случае слабых полей.
Она приводит к изменению энергии в данной области в соответствии с воз-
возражением A). Именно это изменение энергии, обусловленное причинами,
изложенными в возражении A), ответственно за то, что конечная энергия
не сохраняется.
Таким образом мы видим, что возражение A) является единственным
фундаментальным возражением. Суть его в том, что энергия хорошо опре-
определена только по отношению к данной системе координат. В противном
случае в определении энергии содержится неопределенность.
Полная исправленная энергия конечна, если
grs = Srs + O(r~1)
Эти условия несколько менее жесткие, чем условия A1) конечности полной
неисправленной энергии, так как они не включают содержащиеся в A1)
условия на gpi/, а именно
O(r01), ?мо,„ = O(r~2). A8)
4. ЭНЕРГИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ. II 283
Разность полной неисправленной и полной исправленной энергий равна
интегралу
\{Ur -ur)dSr, A9)
взятому по поверхности большой области R. Если принять, что условия
A7) и A8) выполнены, то Ur порядка r~2, a Ur — иг — порядка г~3, так что
интеграл A9) в пределе R —» оо обращается в нуль. При выполнении усло-
условия A7), наложенные на g^o условия A8) представляются естественными,
так что в таких «естественных координатах» полные значения неисправ-
неисправленной и исправленной энергий оказываются одинаковыми.
Если система координат меняется так, что сохраняются условия A7),
то полная исправленная энергия остается инвариантной. Это можно уви-
увидеть, осуществив изменение системы координат в два этапа. На первом
этапе изменение координат приводит к переходу в промежуточную систе-
систему координат, также удовлетворяющую условию A7), и отличающуюся
от исходной системы координат только при больших значениях г. Тогда
плотность энергии изменяется только при больших значениях г, что да-
дает пренебрежимо малый вклад в полную энергию. На втором этапе не
делается никаких изменений координат при больших значениях г. Тогда
не происходит и никаких изменений полной энергии, так как интеграл
J ur dSr, взятый по поверхности большой области, не изменяется.
Если возражение A) неприменимо к полной энергии, то неприменимо и
возражение B), и мы видим, что полная исправленная энергия останется
постоянной, если условия A7) будут выполняться во все моменты времени.
Таким образом, неопределенность понятия энергии не влияет на пол-
полную энергию, а оказывает влияние только на локализацию полной энергии.
Плотность энергии для однонаправленных волн
Работа с гамильтоновой формой теории тяготения2) показывает, что
гравитационная часть плотности энергии w состоит из двух частей: кине-
кинетической энергии, имеющей значение
ТУ — л. I VS *- V S \ / О П \
Wk = К р prs Pr Ps (^U)
и потенциальной энергии, имеющей значение
= \K-\K2ers)}UTrsveuv. B1)
[К — квадратный корень из детерминанта grs, a ers — обратная матрица к
grs)- Рассмотрим, каким образом в случае слабых полей на эти выражения
влияет изменение системы координат.
Если сделать изменения порядка 7 на гиперповерхности х° = ?, сдвинув
каждую ее точку на расстояние а по нормали, где а — функция ж1, ж2, ж3
порядка 75 т° изменение wk равно 3)
6wK = -2prsa,rs. B2)
284 II. ЗАРОЖДЕНИЕ ГАМИЛЬТОНОВОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ
Оно имеет порядок величины 72> т-е- такой же, как и сама величина
Изменения в wp более высокого порядка.
Если сделать изменения порядка 7 в координатной системе ж1, ж2, ж3
на гиперповерхности, сдвинув каждую точку хг в точку хг + 6Г, где br —
функции ж1, ж2, ж3 порядка 7, то в г^к не будет никаких изменений, что
очевидно из тензорного характера этой величины в трех измерениях, где
prs—тензорная плотность. Изменение wp равно 3)
gu(bu,ss - bs,us) + grs,rbu,us - grs,ubu,rs- B3)
grr,u(bu,ss bs,us) + grs,rbu,us grs,ubu,rs-
Предположим теперь, что гравитационное поле состоит только из волн,
движущихся в одном направлении, скажем, ж3. Тогда производные grs,u
обратятся в нуль, кроме и = 3. Если так изменить координатную систему,
чтобы сохранить условие, что гравитационное поле состоит только из волн,
движущихся по направлению ж3, то можно ввести только координатные
волны, движущиеся по направлению ж3. Для этого требуется, чтобы про-
производные ЬггА и а^и также обращались в нуль, кроме и = 3. Из уравнения
B3) имеем теперь Swp = 0, а из уравнения B2) следует Swk = —2р33а5зз-
В пространстве, где нет материи, некоторые ограничения в случае
слабых полей имеют вид
PrS,s = 0.
В применении к волнам, движущимся только в направлении ж3, эти огра-
ограничения дают рг3 = 0. Отсюда имеем Swk = 0.
Завершая, можно сказать, что плотность энергии w слабых гравитаци-
гравитационных волн, движущихся в определенном направлении, хорошо определена
независимо от системы координат. К неопределенности приводит только
интерференция плотности энергии волн, движущихся в разных направле-
направлениях.
Для проверки того, излучают ли ускоренные массы энергию в фор-
форме гравитационных волн, необходимо определенное уточнение понятия
энергии. Представляется, что приведенное выше заключение приводит
к желаемому результату. Мы берем решение полевых уравнений в виде
запаздывающих потенциалов без входящих волн. Тогда для больших зна-
значений г основная часть гравитационного поля порядка г состоит из волн,
движущихся в каждой точке только в одном направлении, а именно, по
радиусу от центра. Теперь плотность энергии w на больших расстояниях г
оказывается хорошо определенной, независимо от любого преобразования
координат, сохраняющего характер решения, т. е. возможность выразить
его через запаздывающие потенциалы, не вводя никаких входящих коор-
координатных волн.
Такое преобразование координат оставляет также инвариантной пол-
полную энергию внутри большой области, например, области г < R. В этом
можно убедиться, совершив преобразование в два этапа, соответствующих
тем, что были использованы в предыдущем разделе в связи с конечной
полной энергией. На первом этапе происходит изменение координат только
4. ЭНЕРГИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ. II 285
для больших значений г, сравнимых с R. Если считать, что промежуточ-
промежуточная система координат также дает решение, которое может быть выра-
выражено через запаздывающие потенциалы и не содержит входящих волн,
то ни в одной точке плотность энергии не изменится. На втором этапе
не происходит изменений координат для больших значений г порядка R.
В результате не происходит никакого изменения полной энергии внутри
рассматриваемой области.
Литература
1. Bermann P.G. and Schiller R. // Phys. Rev. 1953. V. 89. P. 4.
2. Dirac P.A.M. // Proc. Roy. Soc. A. 1958. V. 246. P. 333.
3. Dime P.A.M. // Phys. Rev. Letters. 1959. V. 2. P. 368.
Дискуссия
Проф. УК.. Жеэнио. — Заметьте, что компоненты grs являются нормированными
минорами матрицы ers = grs — gOrgOs/g00. С геометрической точки зрения, можно
поэтому сказать, что г-н Дирак пользуется формализмом, дуальным к тому, что только
что был изложен г-ном Лихнеровичем.
Проф. К. Мёллер. Мне хотелось бы задать профессору Дираку два вопроса:
1. Вы ввели наряду с усовершенствованной плотностью энергии также и усовершен-
усовершенствованную плотность потока энергии. Связаны ли эти величины уравнением непре-
непрерывности?
2. Как я смог понять, усовершенствованная плотность энергии и, как следствие,
энергия, заключенная в некоторой ограниченной области пространства, не является
инвариантной по отношению к чисто пространственным преобразованиям, т. е. энергия
изменяется, когда точки физического пространства переименовываются. Считаете ли
Вы это удовлетворительным?
Проф. П. Дирак. 1. При рассмотрении плотности потока энергии встречается та же
трудность, что и при рассмотрении плотности энергии — их зависимость от системы
координат.
2. Естественно, что нельзя считать удовлетворительным, когда энергия изменяется
при переименовании точек пространства. Полностью избавиться от этой трудности
нельзя, а только частично, поскольку неопределенность энергии обусловлена только
интерференцией волн, распространяющихся в разных направлениях.
5
ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ *)
Созданная Эйнштейном современная теория тяготения основана на
представлении о том, что гравитация возникает благодаря искривлению
(четырехмерного) пространства-времени. Для представления теории в ма-
математической форме вводится фундаментальный тензор g^, определяю-
определяющий метрику пространства-времени. Далее тензор g^ рассматривается
как тензорное поле, который одновременно определяет гравитацию и за-
задает систему отсчета.
Согласно Эйнштейну, фундаментальное уравнение гравитационного
поля гласит:
\1) A)
Здесь R^y — контравариантный тензор кривизны, выражающийся через
вторые производные тензора g^] T^y —тензор энергии-импульса, опреде-
определяемый веществом (а также другими полями); 7 — гравитационная посто-
постоянная. Согласно уравнению A) тензор T^v определенным образом создает
искривление в пространстве-времени. Некоторые проявления подобного
искривления распространяются со скоростью света, и их можно назвать
«гравитационными волнами».
В электродинамике мы имеем сходную ситуацию: в этом случае мы
получаем электромагнитное поле, созданное благодаря наличию заряда и
тока. Часть электромагнитного поля (поле излучения) распространяется
в виде электромагнитных волн. Остальная часть (кулоново поле) остается
связанным с зарядами в полной аналогии с ньютоновым полем тяготения,
которое связано с массами.
Уравнения тяготения Эйнштейна применимы в любой желаемой си-
системе криволинейных координат. При этом весьма существенно отделять
физические эффекты от тех, которые обусловлены лишь криволинейно-
стью системы координат и, следовательно, могут произвольным образом
изменяться при различном выборе таких систем [1].
Уравнения поля при слабом искривлении
Для физических применений можно рассматривать пространство-
время как почти плоское, что означает малость величины 7- В этом случае
можно использовать систему координат, в которой значения g^ лишь на
*) Gravitationswellen // Naturwiss. Rundsch. Stuttg. 13 Jahrgang, 1960, Heft 5, S. 165-
168.
5. ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ 287
малые величины (порядка 7) отличаются от значений g^ для полностью
плоского пространства-времени; обозначим эти малые величины h^y. При
этом система координат также проявляет свойства криволинейности (по
порядку величины также сравнимые с)), и потому постоянно существует
проблема, каким образом выделять реальные физические эффекты на
фоне чисто геометрических эффектов кривизны.
Пренебрегая слагаемыми порядка 72 и выше, фундаментальное урав-
уравнение гравитационного поля A) можно записать в виде
?V + ^ + 0 = 16*7Р^, B)
где ? — оператор Даламбера и приняты следующие обозначения:
— 1 \iv ~ 2
Можно выбрать систему координат таким образом, что будут удовлетво-
удовлетворены так называемые «гармонические условия» V^ = 0. Тогда уравнение
B) упрощается и принимает вид:
Uh^v = 16tt7/Vz/. D)
В тех областях пространства-времени, где полностью отсутствует мате-
материя, так что р^у = 0, уравнение D) допускает дальнейшее упрощение:
?V, = о.
Это уравнение описывает распространение волн со скоростью света. Та-
Таким образом, видно, что полевые функции g^v допускают существование
волн. Однако, вообще говоря, это могут быть либо волны физического
поля тяготения, либо волны, обусловленные кривизной системы координат.
В настоящее время мы еще не умеем различать эти возможности.
Попытки решения волнового уравнения
Если правая часть уравнения D) отлична от нуля, ее можно рассматри-
рассматривать как источник волн. Решение уравнения D) хорошо известно, посколь-
поскольку вид этого уравнения подобен своему прототипу в электродинамике, где
в качестве источника выступают заряды и токи. Если правая часть урав-
уравнения D) задана, то для h^v существует решение в виде запаздывающего
потенциала. Общее решение может быть получено тогда добавлением к
расходящимся от источника волнам также волн, сходящихся к нему.
С помощью гармонических условий можно достаточно далеко продви-
продвинуться в определении системы координат, однако искомая цель остается
288 II. ЗАРОЖДЕНИЕ ГАМИЛЬТОНОВОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ
все еще не достигнутой. Дело в том, что эти условия по-прежнему допус-
допускают малые деформации координат вида
х» ^х^ + еа^, E)
причем выполняется условие Па^ = 0. Но именно посредством таких пре-
преобразований вводятся «координатные» волны. Таким образом, хотя мы
получили решение уравнений D), однако вопрос о том, каким образом
отделить физическую часть, обусловленную величинами /iMZ/, от части,
связанной с координатными волнами, остается открытым.
Рассмотрим пример, в котором p^v обращается в нуль везде кроме
определенной области вблизи начала координат. На больших расстояниях
г от начала координат решение с запаздывающими потенциалами, обуслов-
обусловленное кцу, по порядку величины имеет вид г. При распространении
волн с частотой порядка и первые производные от h^ содержат члены
порядка г~2, а также иг~г. Первые из этих слагаемых существенны при
не слишком больших удалениях г и соответствуют ньютоновым силам тя-
тяготения. Вторые слагаемые становятся наиболее существенными на очень
больших расстояниях, где они описывают волны, распространяющиеся во
всех направлениях.
Рассмотрим далее волны, распространяющиеся в каком-либо опреде-
определенном направлении — например, в направлении оси ж3. (Здесь ж3 означает
не третью степень ж, но третью из четырех возможных осей координат
ж0, ж1, ж2 и ж3). Такие волны существуют в области, где координата ж3
велика и положительна, тогда как координаты ж1 и ж2 малы. В указанной
области величины /г,^, описывающие «запаздывающее решение», являют-
являются функциями только одной переменной (ж0 — ж3), так что имеем для этой
области я я я я
д _ д _ ^ д _ д
дх1 дх2 ' дх3 дх°
Тогда гармонические условия для координат накладывают дополни-
дополнительные ограничения
Лз1 - hoi = 0; /i32 - ho2 = 0; ,g4
hn + /^22 = 0; /133 + /ioo - 2/&30 = 0. ^ '
Однако и при этих условиях имеется определенный произвол в выборе
координат, поскольку мы можем ввести координатные волны, движущиеся
в направлении ж3.
С помощью малого преобразования координат вида E) можно полу-
получить небольшое изменение h^v
ац dav
В том случае, если это преобразование вводит лишь координатные волны,
распространяющиеся в направлении ж3, следует рассматривать величины а^
5. ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ 289
как функции одной переменной (ж0 — ж3). Тогда имеем
S /in = 8I122 = Shs3 = 0;
Shsi = Sh01 = e-^|; Sh32 = ?^02 = ?-^§;
дх дх
Отсюда ясно, что при подобных преобразованиях остаются инвариантны-
инвариантными шесть компонент тензора Л,М1/, а именно /in, /122, ^31 — ^оъ ^32 — ^02 и
^зз + ^оо — 2/&оз; остальные четыре компоненты могут изменяться произ-
произвольным образом.
Из шести инвариантных компонент h^v четыре компоненты можно
положить равными нулю в силу гармонических условий F). Это ограни-
ограничение, однако, неприменимо к величинам h\2 и {h\\ — /122)- Обе эти ком-
компоненты могут сами по себе иметь физический смысл. Возникает, однако,
вопрос о том, могут ли они переносить энергию —а именно это свойство
характеризует настоящие физические волны.
Плотность энергии поля тяготения
Для рассмотрения вопросов, связанных с энергией, можно использо-
использовать псевдотензорную величину, а именно плотность энергии-импульса
гравитационного поля. Эта величина обозначается tv и выражается через
g^y и ее первые производные таким образом, что ее сумма с тензорной
величиной — плотностью энергии-импульса материи удовлетворяет следу-
следующему закону сохранения:
д{& + jtz) _ п
dxv ~
Здесь J — квадратный корень из детерминанта (взятого с обратным
знаком) матрицы g^v, преобразующий тензор в тензорную плотность.
Величина V называется псевдотензорной плотностью, поскольку при пре-
преобразовании координат она преобразуется не совсем так, как тензорная
плотность.
Мы можем определить ?§ в качестве плотности энергии гравитацион-
гравитационного поля. При таком выборе определения физических понятий обеспе-
обеспечивается строгое выполнение закона сохранения энергии. Однако физиче-
физическое применение такого определения приводит к трудностям вследствие
неправильной зависимости t$ от выбора системы координат. Если мы
попытаемся на основе этого определения найти полную энергию какой-
либо выбранной области, то мы получим результат, зависящий от системы
координат. Таким образом, в выражении для энергии сохраняется неопре-
неопределенность, обусловленная выбором системы координат.
Благодаря этой неопределенности всякое обсуждение понятия энергии
гравитационного поля было длительное время «ускользающим». Чтобы
вообще получить какие-либо результаты, иногда выбирались какие-либо
10 П.Дирак. TIV
290 II. ЗАРОЖДЕНИЕ ГАМИЛЬТОНОВОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ
«красивые» системы координат, причем предполагалось, что получающи-
получающиеся при этом выражения для энергии имеют четкий физический смысл.
Однако подобную схему рассуждений нельзя признать достаточно логич-
логичной.
Гамильтонова теория гравитации
В последнее время ситуация начала проясняться благодаря тому, что
теория гравитации стала развиваться в гамильтоновой форме. Тем самым
была достигнута ступень, предшествующая квантованию теории. Гамиль-
Гамильтонова форма теории позволяет работать с состоянием, которое существует
в данный момент времени. Это состояние описывается физическими пере-
переменными для всех значений ж1, ж2 и ж3, тогда как ж0 имеет фиксированное
значение. Тем самым теряется симметрия между четырьмя координатами
{хг}. Эта потеря симметрии является существенным следствием гамиль-
гамильтоновой формы теории и, по-видимому, служит причиной того, что раз-
развитие этой формы теории столь долго сдерживалось. Подобная потеря,
разумеется, достойна сожаления, однако она в достаточной мере окупается
математической мощью гамильтонова формализма.
Динамические переменные в гамильтоновом формализме распадаются
на пары динамических координат и сопряженных им импульсов. В число
этих переменных должны войти также компоненты g^v для всех значений
ж1, ж2 и ж3. На этой основе могут быть получены импульсы р^и', сопря-
сопряженные к g^v и в общем случае являющиеся функциями от производных
по времени.
Гамильтонов подход дает уравнения движения, которые определяют,
каким образом изменяются все динамические переменные с изменением
времени ж0. Эти уравнения имеют определенный стандартный вид, в кото-
который входит функция Гамильтона Я, являющаяся функцией динамических
координат и импульсов. Существует вполне определенный способ получить
функцию Гамильтона в рамках любой динамической теории, основанной
на принципе наименьшего действия.
Эйнштейн сам получил подобный принцип действия для своей теории
гравитации. К этому принципу можно применить стандартный формализм
и получить таким образом функцию Гамильтона для теории тяготения.
При этом удивительным образом обнаруживается, что в рамках гамильто-
гамильтонова формализма из рассмотрения полностью выпадают степени свободы,
описываемые четырьмя величинами g^ и сопряженными им импульса-
импульсами р^°. Единственными гравитационными переменными остаются величи-
величины grs (r, s = 1, 2, 3) и сопряженные им импульсы prs. Тем самым в каждой
точке пространства ж1, ж2, ж3 имеется всего лишь шесть степеней свободы
вместо десяти (которые следовало ожидать на первый взгляд).
Причина такого сокращения состоит в следующем: шести величин grs
достаточно для описания метрики на гиперповерхности ж0 = const. Это
5. ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ 291
все компоненты тензора g, которые действительно необходимы для того,
чтобы полностью описать состояние в определенный момент времени.
Улучшенное выражение для плотности энергии
При указанных обстоятельствах можно было бы ожидать, что фи-
физически важные величины — например, плотность энергии — не содержат
компонент g/j,o] однако в действительности ?о° содержит g/j,o- Мы по-
получим улучшенное выражение для плотности энергии, заменив входя-
входящие в to0 величины g^ их стандартными значениями для плоского
пространства-времени
g/лО = -<W G)
Полученное таким образом улучшенное выражение мы обозначим че-
через w. Для системы координат, в которой выполняется G), величина w
совпадает с to0, однако в произвольной системе координат эти величины
отличаются друг от друга. В этом общем случае энергия, определенная
через w, хотя и зависит от координат, но в не столь сильной степени, как
исходная величина ?о°; тем не менее, определенная степень зависимости
все еще остается.
В части, связанной с гравитацией, улучшенная плотность энергии w
содержит зависимость лишь от шести компонент grs и их производных по
ж1, ж2 и ж3, а также от шести импульсов prs. Величина w имеет вид суммы
двух слагаемых: первое из них представляет собой сумму однородных
квадратичных по импульсам величин и может рассматриваться как плот-
плотность кинетической энергии гравитационного поля; второе слагаемое не
зависит от импульсов и может служить в качестве потенциальной энергии
гравитационного поля.
В явном виде первое слагаемое записывается так
(8)
тогда как второе слагаемое (в приближении слабого поля) имеет вид
1Vp = —— \i^rs,u>^rs,u iLrr,uibss,u ~т~ ^f^rs,r'^uu,s ^f^rs,ui^ru,s)] (У)
здесь и далее буквенный индекс после запятой обозначает производную по
соответствующей переменной.
Часть, соответствующая кинетической энергии, имеет правильную
форму трехмерной тензорной плотности. Тем самым кинетическая энергия
в определенной области в определенный момент времени ж0 является ве-
величиной, инвариантной относительно преобразований трех пространствен-
пространственных координат ж1, ж2, ж3. Для потенциальной энергии подобная инвари-
инвариантность не имеет места. Таким образом, эта энергия обладает некоторой
неопределенностью в зависимости от системы координат в данный момент
времени.
ю*
292 II. ЗАРОЖДЕНИЕ ГАМИЛЬТОНОВОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ
Деформация гиперповерхности
Посредством общего преобразования порядка величины 7, которое за-
затрагивает четыре координаты ж^, гиперплоскость ж0 = const (для которой
определяется данное состояние) также деформируется, причем степень
деформации пропорциональна 7- Можно показать, что подобное преобра-
преобразование изменяет w^ на величину порядка 7? т- е- на величину того же
порядка, который имеет сама Wk- Тем самым подобное изменение являет-
является слишком большим для энергии, определенной инвариантным образом.
Таким образом, кинетическая энергия содержит неопределенность, связан-
связанную с деформацией гиперплоскости. Потенциальная энергия wp подобного
рода неопределенностью не обладает.
Динамические переменные должны удовлетворять определенным огра-
ограничивающим условиям. В области пространства, где отсутствует материя,
а гравитационное поле является слабым, эти условия гласят:
hrs,rs - hrr,ss = 0; A0)
Pr\s = 0. A1)
Рассмотрим теперь область, в которой в отсутствие материи имеется
лишь гравитационное поле в виде волн, распространяющихся в одном
направлении — например, в направлении оси ж3. Тогда производные hrs^u
и prs,и должны обращаться в нуль за исключением значения и = 3. В этом
случае соотношение (9) упрощается и принимает вид
(/1^ /Ь/Ь) A2)
Условие A1) сводится в этом случае к рг35з — 0, что означает рг3 = 0.
Одновременно выражение (8) также упрощается и принимает вид:
A3)
Если произвести преобразование координат при условии, что имеются
лишь волны, распространяющиеся в направлении оси ж3, то при этом
можно ввести лишь такие координатные волны, которые также распро-
распространяются в направлении оси ж3. Как мы видели, подобное преобразова-
преобразование не затрагивает величины /in, h\2 и /&22J не затрагивает оно также и
потенциальную энергию вида A2).
Пусть при деформации гиперповерхности ж0 = const каждая точка по-
поверхности сдвигается по нормали к поверхности на небольшое расстояние
а(ж1, ж2, ж3). Тогда каждая prs изменяется на величину
Sprs = a^rs - Srsa^uu. A4)
Если деформация происходит за счет смены системы координат, вводя-
вводящей лишь координатные волны, распространяющиеся в направлении ж3,
5. ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ 293
то должно выполняться условие а^и = 0 (за исключением и = 3). Тогда
условия A4) принимают вид:
ёр12 = 0; ёр11 = 6р22 = -а зз.
При таком изменении величин prs (r, s = 1,2) значение кинетической
энергии вида A3) не затрагивается.
Итак, можно сделать следующий вывод. Преобразование координат,
при котором не нарушается условие распространения волн только в одном
направлении, сохраняет плотность энергии инвариантной. Это позволяет
придти к заключению о том, что плотность энергии гравитационных
волн, распространяющихся только в одном направлении, является хорошо
определенной величиной и не зависит от системы координат.
Суперпозиция гравитационных волн
В случае гравитационных волн у нас отсутствует общее выражение
для плотности энергии, которое было бы независимым от системы ко-
координат. Однако неопределенность плотности энергии всецело обуслов-
обусловлена неопределенностью, возникающей у интерференционной плотности
энергии волновых цугов, распространяющихся в различных направлениях.
В случае волн, распространяющихся в одном единственном направлении,
какая-либо неопределенность отсутствует. Этот вывод имеет универсаль-
универсальную применимость и не зависит от формы волны, которая не обязательно
должна быть гармонической.
Условие A0), примененное к волнам, распространяющимся только в од-
одном направлении ж3, гласит
/ill + ^22 — 0.
Используя это условие, можно записать выражение A2) в следующем виде
WP = ^- |(^12,3J + \ (/Ы1,3 - /*22,3J} • A5)
Теперь как кинетическая энергия A3), так и потенциальная энергия A5)
оказываются положительно определенными. Отсюда становится очевид-
очевидным, что гравитационные волны переносят положительную энергию.
Таким образом, мы приходим к теории, которая позволяет нам пред-
представить гравитационную энергию, излучаемую распределением ускоренно
движущейся материи. При этом мы должны использовать решение вида
B) или D) в форме запаздывающих потенциалов.
На больших удалениях будут существовать волны, движущиеся только
в одном направлении, а именно в радиальном направлении во внешнюю
область. В этой области мы можем вычислить плотность энергии. Од-
Однако чтобы эта плотность была положительно определенной, не должно
существовать никаких входящих извне волн — ни гравитационных (фи-
(физических), ни координатных. Именно эти условия и предусматриваются
294 II. ЗАРОЖДЕНИЕ ГАМИЛЬТОНОВОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ
в решении, отвечающем запаздывающим потенциалам. Если мы работаем
с гамильтоновым формализмом, у нас нет необходимости применять гар-
гармонические условия для координат. Эти условия содержат все переменные
вида g^Q и не налагают никаких ограничений на гамильтоновы перемен-
переменные.
Гравитоны
К гравитационным волнам можно применить известные в настоящее
время правила квантовой теории. Подобный переход к квантовой теории
в рамках гамильтонова формализма совсем несложен. Результатом явля-
является теория частиц (квантов) гравитационной энергии, которые распро-
распространяются со скоростью света. Эти частицы называют гравитонами.
Для волн тяготения, бегущих в направлении ж3, «работают» степени
свободы hi2 и /in — ^22 • Они описывают два независимых состояния по-
поляризации волн. В квантовой теории эти состояния соответствуют обоим
спиновым состояниям гравитона, а именно значениям спина ±2 в направ-
направлении распространения. Меньшие значения вклада в спин исключаются.
Этому свойству имеется соответствие в электродинамике, где фотон может
иметь в направлении движения лишь значения спина =Ы, однако значение
спина, равное нулю, исключено.
Взаимодействие гравитонов с материей чрезвычайно слабо — оно даже
значительно слабее взаимодействия с материей нейтрино. Тем не менее
представляется возможным однажды наблюдать гравитоны, поскольку
чувствительность физических приборов неуклонно возрастает. Профессор
Вебер из Университета штата Мэриленд работает над тем, чтобы исполь-
использовать накопленный опыт в области создания и регистрации гравитаци-
гравитационных волн в лабораторных условиях. Он рассматривает ситуацию при
сегодняшнем состоянии техники как отнюдь не безнадежную.
6
ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЕ ГРАВИТАЦИОННОЕ И
СПИНОРНОЕ ПОЛЯ *)
Теории взаимодействия гравитационного и спинорного полей придана гамильтонова
форма. Простейший гамильтонов формализм для гравитационного поля имеет дело
с состояниями при некотором значении х° и содержит требование, чтобы компоненты
метрики g^Q не входили в описание состояния. Для включения в данный формализм
спинорного поля, четырехножки [1], которым сопоставляются спиноры, должны быть
выбраны так, чтобы одна из «ножек» была нормальной к гиперповерхности х° = const.
Для этой схемы вычислены гамильтониан и уравнения связей.
1. Плотность действия
Проблема приведения теории взаимодействия гравитационного поля со
спинорным полем к гамильтоновой форме рассматривалась Б.С. де Виттом
и К.М. де Виттом 1). Однако их работа является незавершенной в том
смысле, что они не указали всех связей, ассоциированных с приведенным
ими гамильтонианом.
Упрощенный гамильтонов формализм для гравитационного поля мож-
можно получить методом, предложенным автором в работе 2\ В данной статье
используется указанный упрощенный формализм и дается полная схема
решения проблемы.
Для описания спиноров в римановом пространстве следует ввести
в каждой его точке четырехножку, описываемую полевыми функциями
h/j,cn удовлетворяющими соотношениям
h^ah^b = Vab, Tl^hpahvb = gfiv, A)
где rjaiy является фундаментальным тензором специальной теории относи-
относительности. Вместо компонент метрики g^ фундаментальными полевыми
величинами для описания гравитационного поля становятся переменные
кца- Будем полагать, что знаки выбраны таким образом, что компоненты
goo и г/оо являются отрицательными, что более удобно для рассмотрения
в гамильтоновом подходе. (Индексы а, 6, с поднимаются и опускаются с по-
помощью г\аЬ', в то время как греческие индексы поднимаются и опускаются
с помощью метрики g^v.)
Полевые уравнения для спинорного поля выводились многими иссле-
исследователями. Здесь мы выберем их в виде, предложенном автором3),
р - \ h»bKc^abf3ac^ - гтрф = 0. B)
*) Interacting Gravitational and Spinor Fields. Recent Developments in General Relativ-
Relativity. — War sawa: Pergamon Press —PWN, Polish Sci. Publ., 1962. P. 191-200.
296 II. ЗАРОЖДЕНИЕ ГАМИЛЬТОНОВОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ
Обозначения здесь такие же, как и в работе3', за исключением изменения
знака у всех компонент тензоров g^v, т\а\). Таким образом а0 = 1 и
аа/3аь + аь/3аа = -2r)abf3. C)
Нижний правый индекс, добавляемый вместе с запятой, обозначает кова-
риантную производную, а добавленный без запятой — обыкновенную про-
производную.
Уравнения поля B) следуют из принципа действия с плотностью дей-
действия вида
аф \
\ Л1аНаКс^арараф imJy^. D)
Здесь
J = -{detg^) i =\dethjJLa\,
a ip является другим спинорным полем, удовлетворяющим полевым урав-
уравнениям, получающимся комплексным сопряжением из уравнений для поля
Для получения полевых уравнений, описывающих взаимодействие, мы
должны добавить к плотности действия ??q для гравитационного поля
плотность J^s и проварьировать полное действие. Чтобы эти уравнения
могли иметь физический смысл, необходимо, чтобы выражение J?$ было
вещественным или чтобы оно отличалось от вещественной величины толь-
только на полный дифференциал. Имеются два простых способа удовлетворить
данному требованию.
(i) Положим ср = гф^. Теперь легко можно проверить, что мнимая
часть плотности ??$ является полным дифференциалом.
(п) Будем использовать представление для матриц аа, /3 в котором все
ненулевые элементы матрицы аа вещественны, а все ненулевые элементы
матрицы /3 — чисто мнимые. В таком случае существуют вещественные
решения ф полевых уравнений B). Выберем в качестве ф и (р вещественные
независимые решения, тогда и плотность Л?$ будет вещественной. После-
Последующее изложение применимо при любом из указанных способов.
Желательно заменить ковариантные производные в выражении D)
обыкновенными производными. Из соотношений C) получаем
\ h»ah
= \
- abl3aa)l3ac - J-^Jh^a)^. E)
Для получения более симметричного результата допустим, что A(Fabc)
обозначает величину, антисимметричную по индексам а, 6, с. Она получа-
получается из величины F применением всех перестановок к индексам а, 6, с,
суммированием полученных результатов с добавлением знака минус при
6. ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЕ ГРАВИТАЦИОННОЕ И СПИНОРНОЕ ПОЛЯ 297
нечетных перестановках и делением полученного выражения на шесть. Из
соотношения C) находим
A(aaCabf3ac) = ± {aaf5ab - abf5aa)f5ac - rjacab + rjbcaa. F)
Следовательно
h»ah\hucllA{aat3abt3ac) - \ h»ahv bhucll{aa раь - abf3aa)f3ac =
= -h» ahv bhva ^аь + h»ahvchvclxaa = h»aixhvbhvaah + Г1 J^ aaa =
Объединяя полученный результат с выражением E) и подставляя в фор-
формулу D), получаем
- \ JWahv'bh^(pA(aapab(Зас)ф - imJy^. G)
2. Динамические координаты
Гамильтонова форма динамики основана на концепции состояния
в некоторый момент времени, которое в релятивистской теории становится
состоянием, заданным на трехмерной пространственноподобной гиперпо-
гиперповерхности в пространстве-времени. Гамильтоновы уравнения движения
показывают, каким образом изменяются динамические переменные, опи-
описывающие состояние, при изменении гиперповерхности.
Для получения простейшего варианта гамильтонова формализма бу-
будем иметь дело только с теми состояниями, которые заданы на гипер-
гиперповерхностях вида ж0 = const, вместо пространственноподобных гиперпо-
гиперповерхностей общего вида, использованных де Виттами в работе х\ Таким
образом мы имеем состояние, описываемое физическими условиями для
всех значений ж1, ж2, ж3 при фиксированном ж0. В этом случае симметрия
между четырьмя компонентами жм является полностью нарушенной.
Для описания состояния на гиперповерхности ж0 = ?, где t — константа,
нам нужны компоненты тензора grs (r, s = 1,2,3) для всех значений ж1,
ж2, ж3, что позволит фиксировать метрику на этой гиперповерхности. Нам
не нужны компоненты g^o (fi = 0,1, 2, 3). Они служат лишь для задания
близлежащей соседней гиперповерхности ж0 = t + e.
Мы получим простейший вариант гамильтонова формализма, если бу-
будем описывать состояние на гиперповерхности ж0 = t целиком в терминах
величин, которые не зависят от компонент g^Q. Иными словами, это долж-
должны быть величины, инвариантные относительно изменений гиперповерх-
гиперповерхности ж0 = t + ?, не приводящих к изменениям гиперповерхности ж0 = t.
По этой причине любые поля, присутствующие в системе помимо гравита-
гравитационного поля, и любые частицы должны также описываться в терминах
таких величин.
298 II. ЗАРОЖДЕНИЕ ГАМИЛЬТОНОВОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ
Если добавочные поля или частицы вовлекают в описание какой-либо
вектор А^ (будь то векторное поле или отдельный вектор для описания
частицы), то величинами, независимыми от компонент g^ch являются три
ковариантные компоненты Аг и нормальная компонента Al = A^l^, где
1^ — единичная нормаль к гиперповерхности. Если они вовлекают в опи-
описание тензорную величину, то таким же образом следует подходить к
каждому из индексов такого тензора.
Если в системе имеется спинорное поле, то мы должны выбрать четы-
рехножки, которым сопоставляются спиноры таким образом, чтобы ножка
с индексом 0 была нормальной к гиперповерхности. В таком случае ком-
компоненты спинора являются независимыми от g^.
При таком выборе четырехножек имеем h^o = l^ или
Лоо = -(-Я00)72, /М) = 0. (8)
Из уравнения A) в этом случае получаем
hr' a'hrb' = Sa'b'i hraihsai = grs, A0)
h ohoa' + hrohraf = 0, hrarhoa' = gvo, A1)
где индексы а', У принимают значения 1, 2, 3.
Трехножки на гиперповерхности описываются величинами /ira/, hrai,
удовлетворяющими соотношениям A0). Величины hr'ai и hra> связаны
между собой соотношениями
hra' = grshsa', hr а> = ershsai,
где ers является обратной матрицей к матрице grs. Таким образом
ers = h\,hsa,.
Уравнения A1) могут быть записаны в виде
hro = —h ohoafhraf, hOaf = grohrar. A2)
Они показывают, что все переменные №а, h^a могут быть выражены
в терминах компонент hrai и g^. Объединяя эти соотношения, получим
hro = -hOogsOers. A3)
В качестве основных динамических координат теперь выберем
?мо, КаЧ <р, ф. A4)
За исключением g^, которая фигурирует здесь явным образом, все
остальные координаты являются независимыми от g^ в описанном вы-
выше смысле и удовлетворяют требованиям, предъявляемым для получения
простейшего описания состояний на гиперповерхностях х° = const.
Плотность действия может быть выражена в терминах величин A4) и
их первых производных. Производные величин по координатам хг явля-
6. ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЕ ГРАВИТАЦИОННОЕ И СПИНОРНОЕ ПОЛЯ 299
ются функциями динамических координат, а производные по ж0 являются
скоростями. В выражении G) для плотности ??$ мы можем подставить
с' вместо индекса с в третьем члене, поскольку если с = 0, то в силу
соотношений (8) мы должны взять v = О, а затем в силу соотношений (9)
мы должны взять b = 0 и указанный член обращается в нуль.
3. Импульсы
Динамические координаты A4) обладают сопряженными с ними им-
импульсами, скажем, р^°, тгга/, #, %, соответственно. Они получаются путем
варьирования скоростей в плотности полного действия и представления
результата в виде
6(S?G + S?s) = PM°<teMoo + nra>8hra,0 + edifo + хНъ- A5)
Мы можем устроить все таким образом, чтобы импульсы р^° равнялись
нулю, например, добавляя в плотность ^q подходящий член с диверген-
дивергенцией, как это было показано в работе [2]. Другие импульсы являются
независимыми от компонент g^o, поскольку они имеют нулевые скобки
Пуассона (СП) с импульсами рм°. В итоге все эффективные гамильтоновы
переменные являются независимыми от g^ степенями свободы.
Варьирование скоростей в выражении ??q было проделано в работе 2)
и результат представлен там выражением, предшествующим уравнению
B1), а именно (учитывая замену знаков во всех компонентах g^y) в виде
= J{er»esv - erseuv)Tuv°5grs0 A6)
= 2J{eruesv - erseuv)Yuv°hsa,5hra,0. A7)
Судя по выражению G), мы видим, что ??s представляет собой сумму
из двух частей
где часть J2fs@) не зависит от скоростей, а часть =2#A) является линейной
однородной функцией относительно скоростей. Часть J^fs^O) получается
из выражения G), если положить ц = г, а часть ^siX) получается, если
опустить последний член в G) и положить \± = 0 в оставшемся выражении.
Допустим, что
К = (detgrsI/2 = \det hraf\,
так что из первого из соотношений (9) находим
Jh°0 = J(V°I/2 = К. A8)
В таком случае ^^(l) сводится к выражению
+ о КофФ + о Khrb>hrc'O(p(ab'ac' - а^аь^ф, A9)
Z о
300 II. ЗАРОЖДЕНИЕ ГАМИЛЬТОНОВОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ
так что
S^s = К(р6фо + - Khra'(pifj5hra'O - - Khrb>(p(aa>ab> - ab>aa>
B0)
Сравнивая сумму выражений A7) и B0) с выражением A5), находим,
что
р»° = 0, 0 = 0, х = К<р, B1)
тгга, = 2J(eruhva, - euvhra,)Tuv°+
+ Khr(pip
Kha>(pip Khbi(p(aa>abi - abiaai)ij). B2)
Z о
Эти импульсы удовлетворяют соотношениям СП стандартного вида, на-
например
[hra,^'sb,] = 5sr5a,b,8z(x-x'), B3)
где тг' означает тг, взятое в точке ж'1, ж'2, ж/3.
4. Первичные связи
Уравнения B1), B2), которые дают выражения для импульсов в тер-
терминах скоростей, приводят к некоторым равенствам, содержащим только
динамические координаты и импульсы (т.е. независимым от скоростей).
Они являются первичными связями системы.
Три равенства в B1) являются очевидными первичными связями. Из
выражения B2) мы можем сделать вывод, что
Ма/Ь/ = 0, B4)
| '^b' ~ ^Ь'^а')Ф^ B5)
что представляет собой другую первичную связь. Безусловно, имеется
ровно по одной связи каждого вида из B1), B2) для каждой точки ж1, ж2,
х3 на гиперповерхности.
Имеется также несколько вторичных связей, которые следуют из по-
полевых уравнений. Они будут выведены позднее.
Все связи, как первичные так и вторичные, подразделяются на два
класса: связи первого рода и связи второго рода [2]. Связями первого
рода являются те, что имеют нулевые соотношения СП со всеми другими
связями (когда все эти связи записаны так, что в правой части равенства
стоит нуль). Любые связи первого рода или их линейные комбинации,
скажем вида X = 0, обладают тем свойством, что их можно использовать
в качестве гамильтониана. Это означает, что изменение каждой динами-
динамической переменной ? происходит в соответствии с законом
где е — малая величина. Происходящие в результате изменения во всех
динамических переменных не оказывают воздействия на физическое со-
состояние, а просто соответствуют некоторому изменению в системе отсчета.
6. ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЕ ГРАВИТАЦИОННОЕ И СПИНОРНОЕ ПОЛЯ 301
На основании этого свойства мы можем сразу сделать вывод, что дина-
динамические переменные (и соответствующие им связи) р^° и М^у относятся
к переменным (связям) первого рода, не вдаваясь в проблемы отыскания
вторичных связей и проверки всех соотношений СП. Если мы используем
выражение J к^р^° d3x в качестве гамильтониана, где к^ является произ-
произвольной функцией от ж1, ж2, ж3, то мы просто делаем замену переменных
g^o и устраиваем все таким образом, чтобы данная замена не влияла на
физическое состояние. Аналогичным образом, если мы используем в ка-
качестве гамильтониана выражение J к^уМ^у с?3ж, то из соотношения B3)
находим, что
8hrai = e k'yc>{5aiyhfrc, - Sa'cfhfry)Ss(x - xf) d3xf = e{kaiy - kya>)hry.
B6)
Последнее в точности является изменением, отвечающим вращению трех-
трехножки на гиперповерхности, и мы знаем что такого рода изменения не
влияют на физическое состояние.
Связи в = 0 и х — К(р = 0 являются связями второго рода, поскольку
соответствующие СП не равны нулю. Такие связи включаются в наш фор-
формализм, если рассматривать равенства вида Кср = х в качестве сильных
уравнений или в качестве определений (/^-связей через %-связи с после-
последующим исключением степеней свободы, ассоциируемых с (р, в для всех
ж1, ж2, ж3 с тем, чтобы они в дальнейшем не вносили никакого вклада
в соотношения СП.
Из выражения B2) мы можем вывести соотношение
K\>hsa, + Ksa'h\, = 4J(eruesv - euvers)ruv° + егзХф, B7)
которое понадобится нам позднее.
5. Гамильтониан
Гамильтонианом является величина вида
Я = jG7V/wo + хФо -&G- Щ d3x,
выраженная в терминах динамических координат и импульсов. Вследствие
соотношения B2) это выражение может быть разбито на две части
H = HG + HS,
где
HG = J {2J(eruhva, - euvhra,)ruvohralo - %g) d3x, B8)
= j{ [| Khra>ipil) - i Khrb<v{aa>ab< - аь>аа>Ц hra>0 +
3x = -^s{O)d3x, B9)
причем при выводе мы воспользовались выражением A9).
302 II. ЗАРОЖДЕНИЕ ГАМИЛЬТОНОВОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ
Формула B8) для части гамильтониана Hq является в точности такой
же, как и в отсутствии спинорного поля. По этой причине мы можем взять
для Hq выражение, выведенное в работе 2\ формула C1), а именно
I- d3x, C0)
где J^ql и J^Qr являются некоторыми функциями переменных grs, prs.
Переменные рГ5, фигурирующие здесь, являются коэффициентами при
SgrsQ в выражении A6), так что в силу соотношения B7) они равны
Р — 4 а а' ^ а af ~ e Xy)- V^-U
Подставляя эти значения для prs в выражения для Жоь и fflGn приве-
приведенные в работе 2\ находим Жсь и Жсг к^к функции от наших гамиль-
тоновых переменных /гга/, тгга/, ф, х-
Из выраж:ений B9) и G) получаем
Hs = \[-Лг\уаа<фг - \ (Jhra)r<paaiP +
+ i Jhrahl/bhvclr^A{aal3abj3ac)^ + imJipl3ip\ dzx. C2)
Мы должны привести его к виду выражения C0), а именно
d3x, C3)
где J^sl и ^Sr являются функциями лишь от переменных /ira/, тгга/, *ф, %.
Из соотношений A3) и A8) получаем, что
Jhr0 = -KgsOers. C4)
Тем самым первый член под интегралом в выражении C2) при а = 0 дает
в выражение для J^Sr вклад вида хФг- При а = а' он добавляет в Ж$ь
член вида —кгагх^а'Фг-
Второй член под интегралом в выражении C2) может быть за-
заменен на - Jhrа((рааф)г. Тогда в случае а = 0 он дает вклад вида
— - К(К~1хФ)г в выражение для Jtfsr, а при а = а' он дает вклад вида
Если в третьем члене под интегралом в выражении C2) положить
а = a', b = 6', то получим вклад в выражение для J^sl вида
- 24 ?а'Ъ/с'
где еа'ь'с' является тензором, антисимметричным по трем индексам, и
принимает значение 1 при а' = 1, У = 2, с1 = 3. Если положить а = 0,
Ь = 6', то получим вклад в выражение для Jtfsr вида
- hUуhUc
6. ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЕ ГРАВИТАЦИОННОЕ И СПИНОРНОЕ ПОЛЯ 303
Если положить а = а', b = 0, то, используя соотношения
h"o i ( h" o\ i fhuo\ i
— nucir = — I -Q- I nuci = — I -Q- I Aiwc/ =
h о \h, о /r \h о /r
вытекающие из формулы A3), получим член вида
После интегрирования по частям он дает в выражение для Jrf?sr вклад вида
{hUh{
Наконец, последний член под интегралом в выражении C2) дает в вы-
выражение для ^sl вклад вида гтх@ф. Собирая вместе все полученные
результаты, находим
7, К' hr а* (К^Х^а'^г + гтхРФ ~
?hrhuhxaaailj C5)
C6)
о
Гамильтониан является недоопределенным в том смысле, что мы мо-
можем добавить к нему величину вида
агЫA3х, C7)
где kaiy является произвольной функцией от ж1, ж2, ж3, поскольку данная
величина обращается в нуль в силу уравнения связи B4). Влияние этой
величины на уравнения движения сводится к приданию произвольного
вращения трехножкам на гиперповерхности при переходе от одной гипер-
гиперповерхности х° = t к другой х° = t + e.
6. Вторичные связи
Поскольку р^° = 0, мы имеем рм°о = 0, так что переменные р^° обла-
обладают тривиальными соотношениями СП с гамильтонианом Н. Следова-
Следовательно
^Ьь + ^SL = 0, J^br + ^Sr — 0. C8)
Эти равенства содержат в себе только динамические координаты и импуль-
импульсы и поэтому являются связями. Они суть следствия полевых уравнений,
так что представляют собой вторичные связи.
Они должны быть связями первого рода. В противном случае условия,
согласно которым они остаются справедливыми для всех ж0 (которые
означают, что они должны иметь тривиальные соотношения СП с гамиль-
304 II. ЗАРОЖДЕНИЕ ГАМИЛЬТОНОВОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ
тонианом //), будут приводить к ограничениям на переменные g^o? тогда
как мы знаем, что эти переменные совершенно произвольны.
Теперь мы имеем полную гамильтонову схему. Начальное состояние
нашей динамической системы задается любыми значениями гамильтоно-
вых переменных /ira/, тгга/, ф, %, удовлетворяющих связям B4), C8).
В таком случае все возможные движения определяются гамильтоновыми
уравнениями, следующими из гамильтониана C0) с добавленными к нему
членами C3) и C7).
Литература
1. DeWitt B.S. and DeWitt СМ. // Phys. Rev. 1952. V. 87. P. 116.
2. Dirac P.A.M. // Proc. Roy. Soc. A. 1958. V. 246. P. 333.
3. Dirac P.A.M. // Мах-Plank-Festschrift. 1958. P. 339.
7
ДВИЖЕНИЕ ПРОТЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ
В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ *)
Модель
В контексте теории гравитации Эйнштейна для частицы с заданной
массой m существует минимальный размер, а именно ее радиус д = 2га
в системе координат Шварцшильда. Гравитационное поле, согласно полевым
уравнениям Эйнштейна для пустого пространства, может быть продолжено
и на меньшие расстояния. Однако область г < 2га в таком случае является
физически недостижимой (потребуется бесконечное время для отправле-
отправления сигнала внутрь этой области и для получения отклика на этот сигнал),
так что в физической теории такие процессы не могут быть допустимы [1].
В связи с этим для получения правильной теории движения частицы
в гравитационном поле ее нельзя рассматривать в виде некоторой сингу-
сингулярности в точке пространства. Следует считать, что частица имеет конеч-
конечный размер ?>, такой, что уравнения Эйнштейна для пустого пространства
будут справедливы лишь на расстояниях г > ?>, при этом д должно быть
больше либо равно 2га. Рассматривать ситуацию, когда д = 2га, в виду
сингулярного характера пространства-времени, соответствующего данно-
данному радиусу, весьма неудобно. Поэтому в данной работе мы ограничимся
рассмотрением случая д > 2га.
Поскольку в определении сферы в искривленном пространстве-времени
имеется неопределенность, рассматривать частицу в виде твердой сферы
с раз и навсегда заданным радиусом с уверенностью невозможно. По
этой причине будем полагать, что поверхность частицы является гибкой,
форма и размеры которой могут меняться. Придется сделать простейшие
предположения, приводящие к определенным уравнениям движения для
подобной частицы, находящейся в устойчивых равновесных состояниях.
При выборе указанных предположений можно руководствоваться ана-
аналогией с электромагнитным полем. Можно получить правдоподобную тео-
теорию заряженной частицы конечного размера в электромагнитном поле,
полагая что поверхность частицы является идеальным проводником, несу-
несущим на себе некоторое распределение электрического заряда, и что имеет
место поверхностное натяжение, которое уравновешивает электростатиче-
электростатическое отталкивание г\ При этом внутри частицы отсутствует электромаг-
электромагнитное поле, а электромагнитные потенциалы непрерывны на поверхности
частицы, в то время как их первые производные таковыми не являются.
*) The Motion of an Extended Particle in the Gravitational Field // Proc. Theory of
Gravitation / Ed. L. Infeld. — Oxford: Pergamon, 1964. P. 163-175.
306 II. ЗАРОЖДЕНИЕ ГАМИЛЬТОНОВОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ
Сделаем аналогичные предположения для рассматриваемой частицы в
гравитационном поле. Мы полагаем, что она несет на себе поверхностное
распределение массы, которое регулирует себя таким образом, что внутри
частицы отсутствует гравитационное поле, т. е. пространство-время внутри
частицы оказывается плоским. Мы полагаем также, что имеется поверх-
поверхностное давление, уравновешивающее взаимное притяжение между мас-
массами, распределенными по поверхности. Если указанные силы являются
единственными, то мы имеем покоящуюся частицу в состоянии равнове-
равновесия. Однако в противовес электромагнитному случаю это состояние яв-
является неустойчивым. Для обеспечения его устойчивости нам потребуется
ввести некоторые дополнительные силы. Простейшее предположение на
этот счет — добавить в энергию член, пропорциональный полному объему,
занимаемому частицей.
Протяженная частица в комбинированных гравитационном и электро-
электромагнитном полях была рассмотрена Лиизом 2). Его модель отличается от
предложенной здесь тем, что она накладывает некоторые ограничения на
размеры и форму частицы.
Принцип действия
Введем исчерпывающий принцип действия, из которого будут следо-
следовать как полевые уравнения, так и уравнения движения частицы. Он будет
задавать движение каждого из элементов поверхности частицы, так что из
него будут выводиться и движение частицы как целого и, в то же время,
изменения ее размеров и формы. Полное действие имеет вид
где 1о — действие для пространства за пределами частицы, Is — действие
для ее поверхности, а // — действие для пространства внутри частицы.
В качестве Iq возьмем обычное действие для эйнштейнова поля, а
именно интеграл от плотности полной кривизны
г _Г 0p-^UYOL Га — Га Га ) + Га —Га \d4T
1О — \ J? Ь U1 /ла1 olv l /j,vl aa) ^ l /ла,1У l ^jlu.olS a x•>
взятый по области снаружи частицы, где — ^/2 является детерминантом
метрики gnu. Мы можем записать действие 1о в виде
Io = \(^ + ma,a)d4x,
<: от g^y. В таком слу
A)
где Jz? не содержит никаких вторых производных от g^. В таком случае
получим m«
Лх Га —
\
B)
7. ДВИЖЕНИЕ ПРОТЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ 307
Теперь мы можем преобразовать выражение для Iq к виду
Io = \^dAx- \madSa, C)
где dSa — элемент поверхности частицы. В таком виде это действие не
содержит никаких вторых производных от g^. Будем полагать, что вели-
величины Is и // аналогичным образом зависят только от метрики g^ и от
ее первых производных.
Условие о том, что пространство-время внутри частицы плоское, при-
примем за некоторую связь, наложенную на принцип действия. Мы требуем,
чтобы вариация действия 81 обращалась в нуль лишь для тех вариаций
метрики g^v, которые сохраняют указанную плоскостность.
Допустим, что уравнение поверхности частицы имеет вид
f(x) = 0.
Данное уравнение в рамках вариационной процедуры не должно варьи-
варьироваться. Если оно будет проварьировано, вариация 81 не будет линейно
зависеть от параметров, фиксирующих вариацию функции /, с учетом то-
того, что гравитационные поля снаружи и внутри поверхности существенно
различаются. Таким образом функция /(ж) считается фиксированной на
протяжении всех вычислений. Для удобства выберем ее в виде
ж1 = 0, при х1 > 0 вне поверхности. D)
Предположим наличие непрерывной системы координат как внутри,
так и снаружи частицы и будем использовать индексы а, 6, с, ..., прини-
принимающие только значения 0, 2, 3. В таком случае на поверхности части-
частицы полевые функции gab, равно как и их тангенциальные производные
gab,o являются непрерывными. Однако производные gab,i не обязаны
быть непрерывными. Не обязаны быть непрерывными и функции g\^
так что они могут варьироваться независимым образом на обоих сторонах
поверхности. Допустим, что
c^ = g^-^C, E)
тем самым, c^v = 0, если индексы \± или v равны единице, а саЬ является
обратной матрицей к матрице gab-
Часть действия Is задается как интеграл по поверхности частицы
Is = [ na dSa = [ n1 dx° dx2 dx3
при условии, что поверхность задана уравнениями D). Нам следует вы-
выбрать п1 так, чтобы эта величина была трехмерной скалярной плотностью
в отношении координат ж0, ж2, ж3 и при этом была бы инвариантом в от-
отношении любых преобразований координат, не нарушающих уравнения
поверхности х1 = 0, а также координат ж0, ж2, ж3 на этой поверхности.
Базисными величинами, которые обладают указанными свойствами ин-
308 II. ЗАРОЖДЕНИЕ ГАМИЛЬТОНОВОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ
вариантности и от которых, по этой причине, может зависеть плотность
п1, являются компоненты метрики g^ и их тангенциальные производные
, а также величины вида ^Т^. Последние принимают разные значе-
значения для наружной и для внутренней областей относительно поверхности
в силу разрывности величин g\^ и gab,i- Любое из этих значений для
величины ^/Г^6 обладает необходимыми свойствами инвариантности и
может входить в выражение для п1. Чтобы различать указанные два
значения, мы будем обозначать внутреннюю величину через ^/*Г*^.
Теперь предположим, что
П —~^с/С ^ ah + 2CJ^#, F)
где си является константой, а ^2 — детерминантом метрики g^. Первый
член в выражении F) связан с внешним гравитационным полем и нужен
нам для той цели, которая станет ясна несколько позже. Второй член в том
же выражении задает поверхностное давление.
Наконец, предположим, что стабилизирующий член действия имеет
вид интеграла
взятого по пространству снаружи частицы, где Л является константой.
Вариация величины Iq + Is
Из формулы C) находим, что
Io + Is = \^dAx+ [(n1 - т1) dx° dx2 dxs,
где четырехмерный интеграл берется по области х1 > 0, а трехмерный
интеграл по поверхности х1 = 0. Следовательно
x°dx2dx\ G)
В области х1 > 0 вариации Sga/s являются произвольными, так что коэф-
коэффициенты при Sgap в первом члене выражения G) должны обращаться
в нуль. Это дает нам уравнения Эйнштейна для пустого пространства,
выполняющиеся в области снаружи частицы.
Вариация 5gap^i во втором члене выражения G) имеет смысл значения
данной полевой величины снаружи поверхности и это значение является
произвольным. Следовательно, стоящий перед этой вариацией коэффи-
коэффициент в выражении G) должен обращаться в нуль. Чтобы из принципа
7. ДВИЖЕНИЕ ПРОТЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ 309
действия не выводилось слишком много уравнений движения, мы должны
сделать так, чтобы этот коэффициент обращался в нуль тождественно.
Желаемый эффект дает первый член в выражении F) для п1, поскольку
из формулы A) следует соотношение
III t^/C 1 аЪ — JP g \l Qa -f \LC g J
gg
#мг/- ^-гМ SW = fglecabgae,b, (8)
не содержащее никаких производных вида gap,i-
В результате приходим к выражению
S(Io + Is) = \ &al3Sgai3 dx° dx2 dx3, (9)
где
^ав д^ , din1-m1)
dga/3,c
В силу выражения B) первый член в ^а^ имеет значение
\
+ glag^g^-2g»ag^g1»}. A1)
Данное выражение для краткости записано в виде, несимметричном в от-
отношении индексов а и /3, однако его следует понимать как симметризо-
ванное. Аналогичное замечание справедливо и в отношении следующего
выражения. Из уравнения (8) имеем
d{m1+2/cabY1ab)
— crlgciXOLcyC\ — ( $o-lar^c)\
& C C J 1/6 C )\C
Вычитая выражение A2) из выражения (И)? в результате некоторых пре-
преобразований получаем
Член 2о;^#, описывающий поверхностное давление в плотности п1, в ка-
качестве своего вклада в выражение для ^а^ дает
Тем самым, собирая вместе все вклады, для <3/а$ получаем выражение
310 II. ЗАРОЖДЕНИЕ ГАМИЛЬТОНОВОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ
Замечаем, что выражение для ^а^ обращается в нуль, когда индексы
а или /3 равны единице. Последнее является выражением того факта, что
поверхностная часть действия Iq + Is не зависит от компонент gi^. На
основании этого мы можем записать уравнение (9) в виде
5AО + Is) = \ &abSgab dx° dx2 dx3. A4)
Уравнения движения
Пространство внутри частицы должно быть плоским. Поэтому компо-
компоненты gab на ее поверхности не являются произвольными. Они должны
точно определять трехмерную поверхность, которая может быть вложена
в четырехмерное плоское пространство. Любые вариации метрики g^
внутри частицы и метрики gab на ее поверхности должны быть такого
типа, который отвечает простой замене системы координат. Таким образом
для области х1 ^ 0
<*?>!/ = gpv,QiQ + elxQiQ\v + gvQiQ\ii, A5)
где ?д — инфинитезимальный вектор, определяющий замену координат.
Далее из уравнения A4) находим
S(Io + !s) = \ &ab(g*abJe + 2g;e? V) dx° dx2 dx3 =
= -2\{&abT*abe + &$bg*ae)Ze dx° dx2 dx3.
Значком * здесь отмечены полевые величины, взятые в точках, располо-
расположенных строго внутри поверхности, ибо в противном случае это может
привести к двусмысленности в силу того, что соответствующие им полевые
величины, взятые строго снаружи поверхности, совершенно другие.
Вариация части действия // дает
= X | /g^5g^ d4x = 2А | /g^ (| g^QiQ + gvLQi%) d4x =
= 2A \{/\QiQ + Jie\Q) dAx = 2A [ J*? dx° dx2 dx3.
Интеграл здесь, в конечном счете, выражает просто изменение четырех-
четырехмерного объема внутри частицы, производимое вследствие изменения век-
вектора ?6 в системе координат, при условии, что уравнение поверхности
х1 = 0 сохраняет свой вид.
Вектор ?6 может быть произвольным в каждой точке поверхности, так
что из принципа действия 6A о + Is + Ii) — 0 находим
в в1 = 0. A6)
Всего здесь четыре уравнения. Для трех из них, отвечающих значениям
д = 0, 2, 3, мы можем опустить значки *, так что они приобретают вид
Ь Ь 0. A7)
7. ДВИЖЕНИЕ ПРОТЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ 311
Эти три уравнения должны выполняться тождественно, поскольку они
просто выражают то, что действие является инвариантом в отношении
замены координат ж0, ж2, ж3 на поверхности. Можно легко проверить эти
тождества с помощью полевых уравнений Эйнштейна, взятых снаружи
поверхности.
У нас осталось только одно уравнение, которое записывается в наиболее
удобном виде, если умножить уравнение A6) на g*lg. В результате имеем
&аЬК\ - А,/V11 = 0. A8)
Мы можем также записать его в виде
где оно выражено в терминах инвариантов по отношению к преобразова-
преобразованиям координат, не нарушающим уравнение поверхности ж1 = 0 и систему
координат ж0, ж2, ж3 на ней.
Уравнение A8) или A9), где величина ^а6 задается соотношением
A3), представляет собой уравнение движения для поверхности. Вместе
с полевыми уравнениями для наружного пространства оно следует из
принципа действия.
Сферически симметричное решение
Применим полученную теорию к сферически симметричной частице,
центр которой покоится, а ее радиус изменяется во времени. Поле снаружи
частицы является в точности решением Шварцшильда для уравнений Эйн-
Эйнштейна и здесь нет никакой возможности для появления гравитационных
волн, совместных с сферической симметрией задачи.
Допустим, что д — это радиус частицы, зависящий от времени t. Поль-
Пользуясь шварцшильдовыми координатами г, #, <?, ?, возьмем ж1 = г — д,
ж2 = #, ж3 = (р, х° = ?, так что уравнение поверхности имеет вид ж1 = 0.
Тогда для области ж1 ^ 0 имеем
dg2 = dt2 _ {dx^ + edtf _ г2 М2 _ r2 gin2 д d(f2^
7
где 7 = 1 — 2m/г. Таким образом
д2 q 1
7#ю = #п =
#22 = -г2, #зз = -г2 sin2 (9,
а все другие компоненты тензора g^ исчезают.
Находим
/ .2\1/2
f=r2sm6, ^=G- — ) г2 sin (9,
I 7 ) г2 sin2 в
312 II. ЗАРОЖДЕНИЕ ГАМИЛЬТОНОВОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ
а компоненты с при а ф Ь обращаются в нуль. Далее находим
причем компоненты ГаЬ при а ф b обращаются в нуль. Из формулы A3)
в приближении, когда величины д2 (в отличие от д) считаются пренебре-
пренебрежимо малыми, и используя 70 Для обозначения величины 7 в точках, где
1 гл / -1 2га \
х = (J (а именно jo = i j, получаем
= - Б'твBд - ^У
Q-1-
Y22
"""'"sin2*'
а компоненты $^& при а ф b обращаются в нуль.
Метрика пространства внутри частицы должна быть выбрана таким
образом, чтобы она описывала плоское пространство в точках х1 = 0 теми
же компонентами gab-, которые входят в формулу B0). Как нетрудно
заметить, решение должно иметь вид
CLS ^ \Т0 "т" у-I- 7о / ^? J (лХ> у&Х ~т~ д (Ль J V &U V Sin и Clip , ^^1J
где, как и прежде, г = д + ж1, но теперь — д ^ ж1 ^ 0. Метрика B1) дает
следующие значения
2
? • 1
#оо — 7о 5 gio — —Q> gn — — J-j
7o
#22 = "Г2, #33 = "Г2 Sin2 в,
а все другие компоненты g^y обращаются в нуль.
Пренебрегая величиной д2, но не д, для х1 = 0 находим
Подставляя эти результаты в уравнение A8), получим уравнение движения
для малых ?>,
Bе - а;7о/2^2)^ + 2(^7о + Q'1 ~ ™Q~2 ~ ^1'2)д - WQ'2Q2 = 0. B2)
Это уравнение вида
где обозначено
А(д) = 27о/2(е-1
В(д) = То"'7 V2 -
7. ДВИЖЕНИЕ ПРОТЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ 313
Равновесный радиус д = R задается условием
Мы можем выбрать для R любое значение, большее чем 2т, и любое о;, а
затем подобрать Л так, чтобы оно удовлетворяло этому условию.
Равновесие будет устойчивым, если
для д = R. Это приводит к неравенству
- 2т/R)^ (Я ~ F
Последнему условию можно удовлетворить, выбирая ио так, чтобы оно
располагалось между двумя величинами
4
/1_га\ 1 / 2 _ 6га 5га2 \
\R F/' A -2m/RK/2 \R ~W R^J'
A-2га/ЯI/2 \R R'J (l-2m/Rf
за исключением того случая, когда значения этих двух величин совпадают.
Такое имеет место при
?L = |(з + >/3), B3)
что дает для R значение, немного большее, чем радиус Шварцшильда,
равный 2га.
Заключение
Мы можем выбрать любое значение для /?, большее чем 2га, исключая
значение B3), а затем подобрать и и Л так, чтобы удовлетворялись сфор-
сформулированные условия. В таком случае мы будем иметь теорию движения
частицы радиуса R. Частица будет устойчивой по отношению к малым
возмущениям, сохраняющим ее сферическую симметрию. Потребуются
дальнейшие исследования для проверки того, будет ли она по-прежнему
устойчивой, если сферическая симметрия нарушается.
Литература
1. Dime P.A.M. // Proc. Roy. Soc. A. 1962. V. 270. P. 354.
2. Lees A. // Phil. Mag. 1939. V. 28. P. 385.
Дискуссия
А. Шилд: Не хотите ли Вы наложить условия на частицу, которые бы делали поверх-
поверхностную плотность массы всегда положительной?
П. Дирак: Я бы хотел найти гамильтониан, который является положительно опреде-
определенным. Это было бы естественным способом обеспечения гарантии того, что движение
всегда устойчиво и что мы не получим расходящихся решений. Я сильно сомневаюсь по
314 II. ЗАРОЖДЕНИЕ ГАМИЛЬТОНОВОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ
поводу того, что возможно найти положительно определенный гамильтониан, поскольку
ньютонова потенциальная энергия отрицательна. Однако следует стремиться к отыска-
отысканию положительно определенного гамильтониана. Если этого достичь невозможно, то
мне хотелось бы, в любом случае, иметь положительно определенную поверхностную
плотность энергии.
Г. Бонди: Злоупотреблю своим положением председателя для задания собственного
вопроса. Я беспокоюсь по поводу предположения об исчезновения поля внутри. Когда
рассматривается любое протяженное тело, то ясно что движение этого тела будет
зависеть от уравнения состояния предполагаемого материала тела. Мы действительно
знаем это по эффекту, оказываемому приливным трением Земли на движение Луны.
Далее, по своему типу требуемое уравнение состояния будет определенно таким, которое
в теории электрических цепей называется пассивным. Иными словами, когда не подво-
подводится никакой энергии от других источников энергии, но когда имеется естественный
отклик, чисто реактивный или, возможно, диссипативный, как в случае с приливным
трением. Из теории электричества нам известно, что чисто реактивная цепь, а именно —
идеально проводящая оболочка, распределяет свои заряды так, чтобы внутри созда-
создавалось нулевое поле. Однако в гравитации имеет место в точности противоположная
ситуация. Допустим, к примеру, что Земля является оболочкой, движущейся в поле
Солнца, причем она свободно падает. Тогда, безусловно, остаточными силами на Земле
будут приливные силы. И если бы это была оболочка с частицами внутри, которые
могут двигаться свободно, то эти частицы, собравшись в ней, будут создавать приливы,
которые приведут к возрастанию поля внутри, а не к его устранению. Поэтому при
естественном движении и, возможно, в любой пассивной ситуации, мы будем наблюдать
нечто более близкое к парамагнитному поведению, где мы получаем возрастание поля
внутри, чем к экранированию, которое соответствует электростатике.
П. Дирак: Сделанные Вами замечания скорей наводят на мысль, что моя частица
не будет устойчивой в отношении возмущений, которые не являются сферически сим-
симметричными. Я думаю, что именно такой будет естественная интерпретация Ваших
замечаний.
Г. Бонди: Действительная неустойчивость будет зависеть от свойств материала, однако
усиление неоднородности поля определенно произойдет.
П. Дирак: Однако в том варианте, в котором теория формулируется на данный момент,
не должно быть никакого поля внутри, при этом не важно, какие возмущения случаются
снаружи.
Г. Бонди: Хорошо, но боюсь, что это в некотором смысле нефизично.
П. Дирак: Согласен. Вы можете получить более физичную теорию путем введения
в нее действия для внутренней области, соответствующего некоторым физическим
условиям. Это усложнит теорию, но сделает ее более физичной.
В. Фок: Я хотел бы задать следующий вопрос. Вы рассматриваете очень маленькие
частицы по той причине, что они практически являются точечными частицами и их
масса т очень мала.
П. Дирак: От них не требуется быть очень маленькими.
В. Фок: Какого сорта частицами они являются? Они представляют собой квантовые
или классические частицы? Я не могу представить себе частицы такого малого размера,
которые не являются квантовыми частицами. И если это так, то каким образом кван-
товомеханические рассмотрение может быть введено в Вашу теорию?
П. Дирак: Я хотел бы прежде всего отметить, что эти частицы не должны быть очень
маленькими. Я нигде не делал предположения о том, что они маленькие. У нас есть
точные уравнения движения, которые в равной мере применимы и в том случае, когда
частицы весьма далеки от того, чтобы быть малыми. Если они являются малыми, то я
согласен с тем, что нам следует перейти к квантовой теории и что это привнесет очень
много новых проблем.
В. Фок: Однако в случае, когда они не являются малыми, они должны обладать очень
большой плотностью, настолько большой, что возможно понятие плотности окажется
уже не применимым к данному случаю.
7. ДВИЖЕНИЕ ПРОТЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ 315
П. Дирак: Я не думаю что плотность должна быть большой. Плотность с тем же
успехом может быть и малой. В случае больших частиц возникает проблема с тем, что
две из них могут столкнуться, а в таком случае Вам потребуются некоторые новые
уравнения движения для описания этой ситуации.
Дж. Уилер: Данная работа выполнена в соответствии со старой моделью электрона
Лоренца, которая, тем не менее, сталкивается с известными трудностями. И очень
приятно наблюдать, что при переходе к общей теории относительности возникают воз-
возможности построения объектов, которые не обладают указанными трудностями. В этой
связи можно было бы упомянуть, что имеются также и два других вида объектов,
которые могут быть построены в рамках общей теории относительности, а именно геоны
и топологические объекты — ручки или кротовые норы. В этих обоих случаях иссле-
исследовалась проблема устойчивости. Также в обоих этих случаях рассматривались и те
вопросы, которые Вы изложили нам здесь таким интересным образом, а именно вопросы
о рассеянии излучения на таких объектах и о взаимодействии таких объектов с другими
полями. Так или иначе, безусловно, при обсуждении всех трех объектов (как задачи, о
которой Вы говорили здесь, равно как случая геона, так и случая кротовой норы) гово-
говорится о вещах, которые не имеют даже малейшей связи с частицами реального физиче-
физического мира. В этих случаях предпочитают говорить о моделях, представляющих огром-
огромный интерес с точки зрения понимания Природы и являющихся следствиями теории
относительности. Однако для меня несколько затруднительно понять по какой причине
здесь вводится «новое» физическое явление типа поверхностного натяжения. Ведь уже
в рамках общепризнанных общей теории относительности и теории электромагнетизма
мы располагаем инструментами для построения модельных объектов, представляющих
значительный интерес, который полагается им как бы по праву. Я поднял вопрос об
этой новой физической терминологии в особенности по той причине, что я лично не
понимаю, что управляет законом накопления данной субстанции, в результате чего и
появляется поверхностное натяжение. Что определяет то количество сфер, в которые
эта субстанция собирается? И если она желает развалиться на куски, то как решается
вопрос разрешено ли это или запрещено? Именно поэтому мне представляется, что при
создании таких моделей проще не вводить поверхностного натяжения.
П. Дирак: Вы сослались на трудности в модели Лоренца. Он мог бы избежать этих
трудностей, если бы он воспользовался принципом действия. И единственный способ,
с помощью которого мне удалось обойти лоренцевы трудности, заключается в после-
последовательном использовании принципа действия. Далее, упомянутое введение поверх-
поверхностного натяжения, или скорее поверхностного давления, позволяет нам описывать
частицы любого размера. Они могут быть как малыми частицами, не намного больше
чем шварцшильдовы частицы, так и очень большими частицами. Я не думаю что
Вы можете получить описание малых частиц без введения в теорию чего-нибудь типа
поверхностного давления или каких-либо иных неэйнштейновых членов. Я полагаю, что
Ваши геоны чрезмерно велики, не правда ли?
Дж. "Уилер: Сравнимы по размерам с Солнцем или больше него в том случае, если
они анализируются, не вдаваясь в важные проблемы квантования общей теории отно-
относительности.
П. Дирак: Да. Я, пожалуй, соглашусь с тем, что данная модель достаточно далека от
физической реальности, но мне бы хотелось напомнить еще раз, что мы работаем в новой
области и что мы делаем простейшие предположения, которые приводят к физически
ощутимой теории. Впоследствии мы можем добавлять в действие и другие члены, если
мы этого захотим.
Б. де Витт: Я хотел бы сделать комментарий по принципиальным вопросам и это
будет также ответом проф. Уилеру. Мне представляется, что пример, представленный
нам проф. Дираком, является превосходным примером интимных отношений, которые
существуют между физическим описанием геометрии пространства-времени и дина-
динамическим поведением тел, занимающих пространство-время. Я хотел бы предложить,
чтобы вместо стопроцентного направления усилий на исследование только пустого
пространства, нам, возможно, следовало бы больше изучать реальное описание матери-
материальных объектов, которые занимают это пространство-время. К примеру, я нашел эту
316 II. ЗАРОЖДЕНИЕ ГАМИЛЬТОНОВОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ
деятельность весьма полезной при анализе задачи Бора-Розенфельда: дать реальное
описание используемых на опыте упругих пробных тел. При этом мы обучаемся очень
интересным новым вещам. В конце концов наши первоначальные идеи об интервале и
римановой геометрии основаны на нашем опыте с физическими объектами типа стерж-
стержней и часов. И я думаю, что усилия по описанию данных объектов на последовательно
ковариантном языке и выяснению их поведения заслуживают того.
П. Дирак: Я полностью согласен.
К. Меллер: Могу я спросить, имеется ли в данной модели определенное соотношение
между массой, константой в решении Шварцшильда для наружной области и радиусом
этого объекта.
П. Дирак: Нет. Вы можете получить радиус независимо, путем подходящего выбора
поверхностного давления.
А. Лихнерович: В 1946 и 1947 году я разработал модель электрона с материей внутри
него и соответствующей добавочной плотностью. В ней имется некотороее сходство
с данной моделью. Но в моей модели вместо вакуума внутри имеется жидкая материя.
П. Дирак: Принимали ли Вы во внимание гравитационное поле?
А. Лихнерович: Да, во внутренней области. Кроме того, тензор отталкивающих сил
на поверхности.
П. Дирак: Есть ли у Вас принцип действия?
А. Лихнерович: Да, он состоит из двух частей.
8
ЧАСТИЦЫ КОНЕЧНОГО РАЗМЕРА
В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ *)
Я бы хотел кратко рассказать о некоторой работе, которой я занима-
занимаюсь, несмотря на то что она еще не завершена. Предметом данной работы
является установление теории гравитационного поля, взаимодействующего
с частицами. Я хочу, чтобы эта теория согласовывалась с теорией гравита-
гравитации Эйнштейна, а также я настаиваю на том, что она должна вытекать из
принципа действия. Я настаиваю на этом по той причине, что я убежден
в том, что Природа действует в соответствии с принципом действия, а если
у нас есть принцип действия, то мы несомненно уже сделали первый шаг
на пути к квантованию.
Переходя к рассмотрению частицы, взаимодействующей с гравитаци-
гравитационным полем, первым делом мы будем думать о ней как о точечной
частице. Однако здесь мы сталкиваемся с трудностями, поскольку если
придерживаться физически приемлемых идей, в таком случае у нас не
может быть частицы, у которой радиус был бы меньше шварцшильдова
радиуса, который представляет собой некоторую естественную границу
в пространстве. Математики могут выходить за пределы шварцшильдова
радиуса и попадать внутрь его, но я настаиваю на том, что эта внутренняя
область не является физическим пространством, поскольку для отправле-
отправления сигнала внутрь и для получения обратного сигнала оттуда потребуется
бесконечное время. Поэтому, по моим ощущениям, пространство внутри
радиуса Шварцшильда должно принадлежать иной Вселенной и не долж-
должно приниматься в расчет в любой физической теории. С физической точки
зрения возможность рассмотрения точечных сингулярностей в поле Эйн-
Эйнштейна отвергается. Каждая из частиц должна иметь конечный размер не
меньше, чем радиус Шварцшильда.
В течение какого-то времени я пытался работать с частицей, радиус
которой равен шварцшильдову радиусу. Однако я встретился с больши-
большими трудностями, поскольку поле на шварцшильдовом радиусе является
настолько сильно сингулярным, что более полезным направлением иссле-
исследований представляется рассматривать частицы, радиусы которых больше
шварцшильдовых, и попытаться построить теорию для взаимодействия
таких частиц с гравитационным полем. Здесь мы имеем вполне опреде-
определенную проблему и нам может помочь в данном случае рассмотрение
аналогичной проблемы в электродинамике. Предыдущие докладчики при-
привлекли наше внимание к близким аналогиям между электромагнитным и
*) Particles of Finite Size in the Gravitational Field // Proc. Roy. Soc. London. A. 1962.
V. 270. P. 354-356.
318 II. ЗАРОЖДЕНИЕ ГАМИЛЬТОНОВОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ
гравитационным полями, так что и я собираюсь последовать по их стопам
и начать с рассмотрения соответствующей проблемы в электромагнитном
поле.
Речь идет о проблеме построения теории протяженного электрона
в электромагнитном поле. Мы должны сделать некоторые базисные пред-
предположения об этом протяженном электроне, и я сделаю наиболее простые
из них, которые дают разумную физическую теорию.
Я полагаю, что у электрона имеется определенная поверхность — опре-
определенная граница, — за пределами которой поле описывается уравнениями
Максвелла.
Я полагаю, что сама поверхность является идеальным проводником,
так что внутри поверхности нет никакого поля.
Я полагаю, что электромагнитные потенциалы на этой поверхности
являются непрерывными, тогда как их первые производные могут иметь
разрывы. В итоге граничные условия для полей снаружи поверхности
являются обычными условиями для идеального проводника. Они состоят
в том, что нормальные составляющие магнитного поля и тангенциальные
составляющие электрического поля обращаются в нуль в системе отсчета,
в рамках которой элемент поверхности в любой момент времени находится
в состоянии покоя.
Теперь мы располагаем электроном с определенной поверхностью,
несущей заряд, который распределяется в соответствии с предположением
о том, что поверхность является идеальным проводником. Нам потребуют-
потребуются некоторые силы для предотвращения того, чтобы электрон не отлетал
от поверхности под действием кулонова отталкивания данного заряда,
т. е. некоторые немаксвелловы силы. В качестве таких сил я выбираю
простейшие из возможных, а именно силы, соответствующие поверхност-
поверхностному натяжению, так что у нас есть модель электрона в виде некоторого
пузырька в электромагнитном поле.
Для данной модели электрона мы можем сформулировать принцип
действия. Действие состоит из двух частей: четырехмерного интеграла,
взятого по пространству снаружи электрона, и трехмерного интеграла,
взятого по поверхности электрона, на которую с точки зрения четырех-
четырехмерного пространства мы можем смотреть как на поверхность трубы
в пространстве-времени. Четырехмерный интеграл является просто стан-
стандартным интегралом для поля Максвелла. В качестве трехмерного инте-
интеграла я взял просто константу умноженную на трехмерную «площадь»
поверхности. Это простейший из интегралов, которые можно взять, и он
приводит к силе, похожей на поверхностное натяжение.
Можно провести вариационную процедуру стандартными методами и
получить уравнения движения. При этом обнаруживается, что мы облада-
обладаем вполне разумной моделью для электрона. Электрон не обладает опре-
определенной формой и размерами — его форма и размеры могут изменяться.
Однако у него имеется равновесное положение, относительно которого
он может осциллировать. Принцип действия полностью задает уравнения
8. ЧАСТИЦЫ КОНЕЧНОГО РАЗМЕРА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ 319
движения для электрона в целом и для всех осцилляции и изменений фор-
формы поверхности. Обнаруживается, что в рамках данной модели отсутству-
отсутствуют расходящиеся решения и все величины ведут себя в согласии с точными
физическими законами. Выясняется также, что поскольку все следует из
принципа действия, мы можем применять квантовомеханические идеи.
Отсюда вытекает один интересный результат. Рассмотрим сфериче-
скисимметричные решения, при которых электрон может менять свои
размеры, но не свою форму. Его центр остается фиксированным, но он при
этом пульсирует, а поле снаружи электрона всегда является в точности
кулоновым полем. В таком случае условия оказываются очень простыми и
мы получаем уравнения движения для пульсаций. Мы можем применить
квантовые идеи к этим пульсациям и обнаружим, что энергия первого воз-
возбужденного состояния намного больше энергии основного состояния; пред-
предварительные расчеты показывают, что она должна быть почти в 50 раз
больше. Я надеюсь, что более точная теория поднимет это число еще выше
и даст нам теорию для мю-мезона, в которой он будет представлять собой
пульсирующий электрон, сохраняющий свою сферическую симметрию.
Безусловно, для получения удовлетворительной физической теории в нее
потребуется каким-то образом ввести спин. Я пока не знаю, как это можно
сделать.
На этом направлении имеется возможность получения правдоподобной
теории, в рамках которой мы будем иметь описание как электрона, так и
мю-мезона, а также некоторую основу для того, чтобы энергично взяться
за гравитационную проблему.
Я занимался соответствующей гравитационной проблемой, в которой
имеется частица с размерами большими чем шварцшильдов размер, а
действие для нее состоит из обычного действия для гравитационного поля,
вне пределов частицы, плюс поверхностный член, который я опять выбрал
просто в виде «площади» поверхности трубы, умноженной на некоторую
константу.
В разработке данной теории имеются некоторые трудности, которые
мне не удалось пока разрешить. Я не уверен в том, какие следует выбрать
граничные условия, которые соответствовали бы граничным условиям
в случае электромагнетизма, состоящим в том, что поверхность должна
быть идеальным проводником. Я надеюсь, что в ходе дальнейших иссле-
исследований будет получен определенный ответ на данный вопрос 1).
Я провел детальное изучение сферическисимметричного решения —
пульсирующей частицы. За пределами частицы мы имеем решение Шварц-
шильда, о котором мы знаем все. Кроме того, принцип действия вновь
обеспечивает нас определенными уравнениями движения для пульсаций.
г) Удовлетворительные граничные условия получаются в том случае, когда предпо-
предполагается, что компоненты тензора g^v принимают постоянное значение внутри частицы
и непрерывны на ее поверхности. Эти условия имеют тесную аналогию с электромаг-
электромагнитной ситуацией, где потенциалы имеют постоянные значения внутри и непрерывны
на поверхности.
320 II. ЗАРОЖДЕНИЕ ГАМИЛЬТОНОВОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ
Оказывается, что здесь имеет место некоторое различие по сравнению
с электромагнитным случаем, где нам требовалось поверхностное натяже-
натяжение, противостоящее кулонову отталкиванию, чтобы обеспечить целост-
целостность частицы. В гравитационном случае для удержания частицы как
целого нам требуется поверхностное давление, противостоящее ньютонову
притяжению. Выяснилось, что результатом данного изменения знака силы,
частица оказывается неустойчивой. Для обеспечения устойчивости нуж-
нужно добавить к действию дополнительные члены. Имеется простой способ
выбора этих добавочных членов и подбора числовых коэффициентов при
них таким образом, чтобы частица оказалась устойчивой по отношению к
пульсациям. Мне пока не удалось в достаточной мере развить эту теорию
так, чтобы я мог сказать, является ли она устойчивой также и в отношении
дисторсий. Однако до тех пор пока сохраняется сферическая симметрия,
модель является устойчивой. Поэтому ситуация может считаться вполне
обнадеживающей в том, что модель можно будет развить до теории частиц
конечного размера, взаимодействующих с гравитационным полем в соот-
соответствии с теорией гравитации Эйнштейна.
Дискуссия
К. Меллер: Профессор Дирак сказал, что имели место некоторые трудности в отно-
отношении введения спина в электромагнитном случае. Не заключались ли они в том, что
нельзя надеяться на получение электрона Дирака в рамках такой модели?
П. Дирак: Можно надеяться на получение некоторого его обобщения. Если в соответ-
соответствии с этой моделью вы выведите гамильтониан, то в его выражение будет входить
квадратный корень и каким-то образом следует избавиться от этого квадратного корня
и ввести спиновые матрицы — математическая задача, которая требует некоторой яркой
мысли для своего разрешения.
А. Лихнерович: Я математик и у меня часто складывается впечатление, что физики
в данном вопросе испытывают некоторое идолопоклонство по отношению к лагранжиа-
лагранжиану и гамильтониану. Они безусловно очень полезны. Однако в действительности далеко
не всегда они являются ключевыми понятиями для решения всех проблем. В общем
случае ключевым возможно является понятие оператора второго порядка, хорошего
оператора, который в общих чертах соответствует лагранжиану или гамильтониану.
Для проблем, связанных с взаимодействием, это конечно необходимо. Однако для
математика многие проблемы взаимодействия не представляются как действительно
существенные с математической точки зрения.
9
КВАНТОВАНИЕ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ *)
Какие-либо экспериментальные данные о квантовании гравитационно-
гравитационного поля отсутствуют. Однако мы верим в то, что квантование должно быть
применимо ко всем полям в физике. Все они взаимодействуют друг с дру-
другом и трудно было бы себе представить, почему некоторые из них могут
быть квантованными, а другие — нет. Здесь я буду заниматься проблемой
квантования эйнштейнова гравитационного поля. При этом я буду рас-
рассматривать только само гравитационное поле, так что нашим отправным
пунктом будут уравнения Эйнштейна для пустого пространства.
В качестве основы для квантовой теории нам требуется соответству-
соответствующая классическая теория в гамильтоновой форме. Мы можем привести
теорию Эйнштейна к гамильтоновой форме, если будем исходить из прин-
принципа действия, открытого Эйнштейном, и применять стандартные методы.
Результатом является гамильтонова теория со связями.
1. Классические правила для связей
Я должен сначала обсудить общие правила, которым подчинены связи
в классической гамильтоновой динамике. (Лежащая в основе этого теория
содержится в моей статье 1).) Связями являются уравнения, связывающие
между собой динамические координаты q и импульсы р, скажем вида
фт~0 т = 1,2,3... A)
Разрешенными являются только те физические состояния, для которых
эти уравнения связи удовлетворяются. Мы не должны использовать связи
в скобках Пуассона, т.е. из уравнения фт ~ 0 не следует, что [Л, фт] ~ 0.
В силу указанного ограничения на использование уравнений связей я
называю их слабыми уравнениями и использую для них специальный знак
Связи должны быть вещественными
Фт = Фгп- B)
Связи безусловно можно складывать и можно домножать на множители,
которые могут быть любыми функциями координат q и импульсов р.
В соответствии с общей теорией, связи могут быть добавлены к исходно-
*) The Quantization of the Gravitational Field // Contemporary Physics: Proc. Intern.
Symp. / Ed. L. Fonda. — Vienna: IAEA, 1969. V. 1. P. 539-543.
г) Dirac P.A.M. // Proc. R. Soc. A. 1958. V. 246. P. 326.
11 П.Дирак. TIV
322 II. ЗАРОЖДЕНИЕ ГАМИЛЬТОНОВОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ
му гамильтониану, что приводит к другому, равноправному с исходным,
гамильтониану вида
Н* = Н + -?ЬтФт, C)
т
где коэффициенты Л являются вещественными функциями координат q и
импульсов р.
Начальные координаты q и импульсы р могут быть выбраны произ-
произвольным образом при условии, что они удовлетворяют уравнениям свя-
связи A). Но в таком случае последующие координаты q и импульсы р
являются неопределенными в силу произвольности коэффициентов Л.
Физическое состояние во все моменты времени определяется своими на-
начальными значениями координат q и импульсов р. Отсюда следует, что
произвольность последующих значений для координат q и импульсов р
связана с проведением математических преобразований, несущественных
с физической точки зрения, таких как калибровочные преобразования
в электродинамике или преобразования координат в общей теории относи-
относительности. Наличие связей в теории соответствует существованию такого
рода математических преобразований.
Если динамическая переменная а удовлетворяет условиям
[а, фт] ~ 0 при всех га, D)
то она инвариантна относительно математических преобразований.
Связи должны удовлетворять некоторым требованиям совместности,
чтобы теория в целом была совместна, а именно
[Фгп,Щ~0 E)
[фт,фп]~0 F)
Эти слабые уравнения эквивалентны сильным уравнениям
[фт, Н] = ^2 ашпфп G)
п
[Фт, Фп] = XI ЪтпкФк (8)
к
при выборе подходящих коэффициентов а, Ь.
2. Квантовые правила для связей
Теперь мы должны рассмотреть, каким образом использовать уравне-
уравнения связей A) в квантовой теории. Мы не можем использовать их в скобках
Пуассона, а следовательно мы не можем домножать эти уравнения на мно-
множители общего вида, являющиеся функциями от координат q и импульсов
р, как слева так и справа. Установим правило, согласно которому они могут
домножаться на множители слева, так что из равенства фт ~ 0 следует,
что Хфт ~ 0, однако в общем случае не следует, что фт\ ~ 0.
9. КВАНТОВАНИЕ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ 323
Сохраним требования совместности E) и F). В случаях, когда они за-
записаны в виде сильных уравнений G), (8), теперь необходимо позаботиться
о том, чтобы все коэффициенты a, b стояли слева от соответствующих им ф.
Условие (8), в котором все коэффициенты b располагаются слева, озна-
означает, что существуют кет-векторы |Р), удовлетворяющие соотношениям
Фт\Р) — 0 при всех га. (9)
Такие кет-векторы будут играть особую роль в нашей теории. Мы полагаем
что эти и только эти кет-векторы соответствуют физическим состояниям.
Уравнения (9) налагают дополнительные условия на волновую функцию.
Классические связи фт являются вещественными. Следует ожидать,
что и квантовые связи фш будут также вещественными, т. е. эрмитовыми
операторами. В прошлом исследователи (включая и меня) не обращали
достаточного внимания на требования вещественности B). Если связь фт
является вещественной, то в общем случае связь Хфт не является также
вещественной. Нам следует наложить ограничение, согласно которому из
равенства фт ~ 0 мы можем вывести равенство Хфт ~ 0 только в том
случае, когда Хфт является вещественным выражением, равно как и фт.
Для этого обычно требуется, чтобы множитель Л был вещественным и
чтобы он коммутировал со всеми связями фт. При этом восстанавливается
симметрия в отношении левого и правого умножений.
Ограничение на коэффициенты при связях фт должно применяться и
в отношении коэффициентов а и b в уравнениях G) и (8). Это означает,
что требования совместности в квантовой теории являются намного более
строгими, чем в классической теории.
Используя множители Л, удовлетворяющие указанному ограничению,
мы можем ввести гамильтониан Я* из уравнения C) и использовать его
на тех же основаниях, что и гамильтониан //, для построения уравнений
движения Гейзенберга или волнового уравнения Шредингера.
3. Связи для классического гравитационного поля
Классическая гамильтонова формулировка для теории гравитацион-
гравитационного поля была разработана в моей статье 1). Мы выбираем координа-
координаты таким образом, чтобы поверхности ж0 = const были пространствен-
ноподобными. Пусть ers обозначает матрицу, обратную к матрице grs
(г, s = 1,2,3), и пусть детерминант grs будет равен — К2, а детерминант
giiv будет -J2.
Динамическими координатами (теми самыми q) здесь являются компо-
компоненты grs, взятые во всех точках пространственноподобной поверхности
х° = const. Сопряженнные импульсы prs задаются соотношениями
prs = (erseah _ eraesbyT^
где через Г обозначены символы Кристоффеля.
г) Dime P.A.M. /I Proc. R. Soc. A. 1958. V. 246. P. 333.
11*
324 II. ЗАРОЖДЕНИЕ ГАМИЛЬТОНОВОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ
Для каждой точки поверхности ж0 = const имеются четыре связи. Три
из них образуют плотность 3-вектора на поверхности; для и = 1,2,3 они
имеют вид
Фи = prSgrs,u - 2(prSgru),s ~ 0. A1)
Четвертая, которую мы будем записывать как ф^, является трехмерной
скалярной плотностью на поверхности и выражается как
ФЬ = K-\grsgab - gragab)prSpab + KR3*0, A2)
где /?з есть трехмерная скалярная кривизна поверхности, которая яв-
является функцией компонент метрики grs, а также их первых и вторых
пространственных производных, не содержащей зависимости от импуль-
импульсов prs.
Возможным гамильтонианом является Н = 0. В соответствии с уравне-
уравнением C) гамильтониан общего вида представляется в виде линейной функ-
функции связей ф с произвольными вещественными коэффициентами. Условия
совместности E) или G) оказываются в этом случае тривиальными.
Выясняется, что связи ф удовлетворяют следующим соотношениям
скобок Пуассона (где штрих обозначает, что значение переменной берется
в точке х[, x'2l х'3)
[фи, ф'у] = фуё,и(х - х1) + ф'и8^{х - х1) A3)
[Фь, Ф'ь] = ~{егзфг + е'Г8ф'г}5^х - х1) A5)
Поскольку правые части этих соотношений являются линейными комби-
комбинациями связей ф, тем самым подтверждается, что условия совместности
имеют вид F) или (8) .
4. Проблема квантования
Когда мы квантуем теорию, то мы превращаем переменные grs, prs
в операторы, удовлетворяющие коммутационным соотношениям
[grs,Pfab} = \ (Sar6bs + 5?5ьгM(х - х'). A6)
Проблема заключается в том, чтобы подходящим образом выбрать по-
порядок некоммутирующих сомножителей в уравнениях связей, который
в классическом случае задается уравнениями A1) и A2), с тем, чтобы
получились приемлемые условия совместности для квантовой теории.
Классические связи фи содержат член prsgrsu, в котором оба сомножи-
сомножителя взяты в одной и той же точке поля ж1, ж2, ж3. Таким образом разность
между членами prsgrs,u и grs,uPrs будет включать в себя производную от
дельта-функции E@), представляющую собой неопределенное число. Такие
же замечания справедливы в отношении второго члена в классическом
выражении для связи фи, а именно (prsgru),s- Однако здесь нет никаких
9. КВАНТОВАНИЕ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ 325
трудностей поскольку квантовые связи фи должны быть эрмитовыми, так
что нам следует взять их в виде
Фи = \ (Prsgrs,u + grs,uPrS) - {P^gru + gruPrS),s- A7)
Скобки Пуассона [фи, фу] должны в таком случае также быть эрмитовыми
и должны быть в точности равными правой части соотношения A3) с эр-
эрмитовыми связями фи. Таким образом квантовые условия совместности
выполнены.
Теперь мы должны рассмотреть связь ф^, которая в классическом
случае задана уравнением A2). Член KR% в этом выражении может быть
прямо перенесен в квантовую теорию, поскольку он содержит только
коммутирующие сомножители. Однако первый член в выражении для ф^
содержит некоммутирующие сомножители и различные способы упорядо-
упорядочивания этих множителей дают выражения, отличающиеся друг от друга
на функции от переменных grs, prs, умноженные на #@), которая является
бесконечной. Условие эрмитовости не является более достаточным для
фиксации квантового выражения.
Связь фь должна удовлетворять двум условиям совместности A4) и
A5). Первое из них не представляет собой никаких трудностей, поскольку
является общей формулой, применимой для любой трехмерной скалярной
плотности ф^. Она просто выражает, как изменяется такая скалярная
плотность при преобразованиях координат ж1, ж2, ж3 на поверхности. Вто-
Второе условие является одним из трудных. Трудность заключается в том,
что в правой части соотношения A5) появляются коэффициенты, которые
не являются числами.
Данная проблема была исследована Дж. Швингером 1). Швингер ис-
использовал другие обозначения, основанные на динамических координатах
qrs _ /^2ег5 и соответствующих им сопряженных импульсах, однако по-
полученные им уравнения эквивалентны уравнениям, приведенным здесь.
Швингер усиливает возможности своего подхода к проблеме за счет
рассмотрения квантового аналога не связи фь, а более общей связи Кпф^,
где п — некоторое число, значением которого мы можем распоряжаться.
С классической точки зрения связи Кпфь удовлетворяют следующим
условиям, заменяющим собой соотношения A4) и A5), а именно
[Кпфь, ф'и] = (Кпфь),и6(х - х') + (п + 1)Кпфь6,и(х - х') A8)
[Кпфь, К'пф'ь] = -КпК'п{ег°фг + е'г°ф'г}6^(х - х') A9)
Швингер предполагает, что квантовые аналоги связей Кпф^ имеют сле-
следующее эрмитово выражение
3. B0)
J) Shwinger J. // Phys. Rev. 1962. V. 132. P. 1317.
326 II. ЗАРОЖДЕНИЕ ГАМИЛЬТОНОВОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ
Оно удовлетворяет соотношению A8) при любых п, поскольку данное соот-
соотношение справедливо для любых величин, преобразующихся подходящим
образом при преобразованиях координат ж1, ж2, ж3 на поверхности.
Далее Швингер выясняет, при каких значениях п, если таковые име-
имеются, выражения связей (Кпф^)д удовлетворяют соотношениям A9).
В их правой части вместо связей фи теперь стоят их квантовые выра-
выражения из формулы A7) при условии, что все коэффициенты при свя-
связях располагаются слева. В ходе вычислений возникают величины вида
8(ж — xf)8^r(x — х1). Не существует каких-либо общих методов обращения
с такими квадратичными «по дельта-функциям» величинами, которые
были бы свободны от проблем несовместности. Тем не менее, используя
простые и правдоподобные, однако не строгие методы, Швингер сумел
показать, что указанное условие выполняется при п = 3. Поскольку правая
сторона соотношений A9) должна быть эрмитовой, в таком случае должно
быть в равной мере возможной ситуация, когда все коэффициенты при
связях фи будут находиться справа.
Таким образом проблема квантования гравитационного поля находится
сейчас в достаточно неопределенном состоянии. Если принять правдопо-
правдоподобные методы Швингера, то проблема решена. Однако вряд ли можно
удовлетвориться такими методами до тех пор, пока не будет надежной
процедуры обращения с квадратичными по (^-функциям выражениями.
Тот тип несовместности, от которой нужно избавиться, иллюстрирует-
иллюстрируется следующими вычислениями с функцией 8(у) от одной переменной у.
Известно, что
у6(у) = 0. B1)
Дифференцируя данное равенство, получаем
у6'(у) = S(y). B2)
Умножая равенство B1) на 8'(у), получаем
у6{уN'(у) = О
и, умножая равенство B2) на 8(у), получаем
у6(уN'(у) = -Щу)}2.
10
ПРИНЦИП ДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦ*)
Установлен принцип действия для движения заряженной материи в присутствии
эйнштейнова гравитационного поля. Он может быть применен к описанию движения
протяженной частицы и избавляет от трудностей с описанием точечных частиц, возни-
возникающих из-за сингулярностей в данном поле.
1. Движение точечной частицы
Действие 1р для эйнштейнова гравитационного поля, взаимодейству-
взаимодействующего с электромагнитным полем, задается выражением
16tt/f = \{R - F^F^)^/dAx, A.1)
где у/—сокращенная запись для л/(—g), a F^v = А^^ — Av^. Действие
является функцией от компонент метрики g^v, от их первых и вторых
производных, а также от первых производных потенциалов А^. При варьи-
варьировании компонент g^v и А^ с помощью стандартных методов получаем
16ttSIf = [ {- (Я"" - \ g*vR + втгЯ"") Sgftv + AF^.^SA^ JdAx,
где Е^и — электромагнитный тензор энергии-импульса,
АкЕ?" = -F»aFua + i g^Fa/3Fa/3. A.2)
Полагая, что вариация 51 = 0, получаем соотношения
l A.3)
:|/ = 0, A.4)
представляющие собой полевые уравнения при отсутствии вещества и
заряда.
Теперь введем точечную частицу с координатами ?^, зависящими от
собственного времени s, измеряемого вдоль мировой линии частицы. Ее
вектор скорости равен v^ = dz^/ds. Допустим, что т является ее массой,
а е — зарядом. Действие для такой частицы выражается интегралом вдоль
мировой линии р
I \( + AfA)d A.5)
Если мы варьируем мировую линию, смещая каждую из ее точек на
5za, то, вновь применяя стандартные методы, получаем
SIP = | {m ^ + шГ^а/ + eF^v»} g^Sz* ds.
*) An Action Principle for the Motion of Particles // J. Gen. Rel. Grav. 1974. V. 5. P. 741-
748.
328 II. ЗАРОЖДЕНИЕ ГАМИЛЬТОНОВОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ
Полагая данное выражение равным нулю, получим уравнение движения
частицы м
ТП - -г ТТЫ. aV V -г в Г* 'Uj/ = U. A.0)
ds aP v y
Траектория является геодезической, модифицированной с учетом силы
Лоренца.
Приведенные выше вычисления справедливы тогда, когда га и е явля-
являются малыми величинами, так что их влиянием на поле можно пренебречь.
Частица в таком случае по своей природе является пробной частицей.
Если же га и е не являются малыми величинами, то следует принимать
во внимание влияние частицы на поле. Уравнения как для поля, так и
для частицы в этом случае выводятся из обобщенного принципа действия
5(If + Ip) — 0. Вариации компонент g^v и А^ в действии 1р приводят
к появлению дополнительных членов, которые должны быть включены
в уравнения A.3), A.4). Эти дополнительные члены обращаются в нуль
всюду, за исключением точек на мировой линии, и порождают полевые
сингулярности на мировой линии.
Чтобы вариационный принцип оставался справедливым и при таких
обстоятельствах, следует позаботиться о том, чтобы смещение частицы
в обязательном порядке сопровождалось смещением полевой сингуляр-
сингулярности. Требуется подобрать обобщенные переменные q таким образом,
чтобы вариация действия была линейной функцией по вариациям Sq.
Пример процедуры такого типа (для электродинамики Борна-Инфельда)
был предложен автором в работех).
В стандартной теории Эйнштейна можно получить более простую и бо-
более прямую процедуру, если отказаться от рассмотрения точечной частицы
и заменить ее на частицу конечного размера. При этом удается придти к
простым уравнениям, которые никоим образом не зависят от структуры
протяженной частицы.
2. Кинематика непрерывного потока материи
В кинематике мы не должны использовать метрику g^^. В этом случае
имеется действительное различие между ковариантными и контравари-
антными векторами и мы не можем преобразовывать одни в другие. Ско-
Скорость описывается отношениями компонент контравариантного вектора
и^ и она не может быть нормирована без введения метрики.
Для непрерывного потока материи мы имеем вектор скорости и^
(с неизвестным множителем), заданный в каждой точке. Мы можем опре-
определить контравариантный вектор плотности материи р^, совпадающую по
направлению с и^, который определяет как величину потока, так и его
скорость, согласно следующим формулам: величина
р° dx1 dx2 dx3
10. ПРИНЦИП ДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦ 329
определяет количество материи, находящейся внутри элемента объема
dx1 dx2 dx3 в некоторый момент времени, а величина
р1 dx° dx2 dx3
определяет количество материи, протекающей через элемент поверхности
dx2 dx3 в течение временного интервала dx°. Предположим, что материя
сохраняется, так что справедливо уравнение
Р% = 0- BЛ)
Допустим, что каждый элемент материи смещен из точки z^ в точку
zv _|_ 5^ на малый вектор №. Мы должны определить результирующее
изменение плотности материи р^ в некоторой заданной точке х.
Сначала рассмотрим случай, когда 6° = 0. Изменение количества мате-
материи внутри некоторого трехмерного объема V определяется количеством
материи, перенесенным через границу V,
S lp°dx1dx2dx3 = - lp°brdSr.
v
Здесь г = 1,2,3, а через dSr обозначен элемент поверхности, ограничи-
ограничивающей объем V. Мы можем преобразовать правую часть выражения
в интеграл по объему с помощью теоремы Гаусса и найти, что
5р° = -(р°Ьг),г. B.2)
Нам следует обобщить полученный результат на случай Ь° ф 0. Вос-
Воспользуемся условием, согласно которому если вектор № пропорционален
плотности р^, то каждый элемент материи смещается вдоль своей соб-
собственной мировой линии и в таком случае нет никаких изменений плот-
плотности материи р^. Обобщением соотношения B.2) очевидным образом
является формула *ро = 0™° - Р°ЬГ),Г>
поскольку это выражение совпадает с B.2) при Ь° = 0 и дает ёр° = 0
в случае, когда вектор 6м пропорционален плотности материи р^. Соот-
Соответствующие формулы имеют место и для других компонент плотности
материи р^, так что общий результат имеет вид
^. B.3)
Если материя несет на себе электрический заряд, то с зарядом мы
должны поступить таким же образом. Мы вводим вектор плотности J^,
совпадающий по направлению с вектором скорости г^, для описания как
плотности, так и потока электричества. Она будет удовлетворять закону
сохранения
</% = °- B.4)
Когда производится смещение на вектор 6м, то каждый элемент материи
переносит свой заряд вместе с собой. С переносом заряда поступаем ровно
330 II. ЗАРОЖДЕНИЕ ГАМИЛЬТОНОВОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ
таким же образом как с переносом массы, так что в соответствии с форму-
формулой B.3) изменение плотности J^ в некоторой точке х будет иметь вид
Для описания непрерывного потока материи величины р^, J^ являют-
являются основными переменными, которые фигурируют в функции действия.
Они должны быть проварьированы в соответствии с формулами B.3),
B.5). Затем, после соответствующего интегрирования по частям, коэф-
коэффициенты при каждом из векторов Ь^ следует положить равными нулю.
В результате получим уравнения движения материи.
Векторы рм, JV должны быть ограничены условием, что они имеют
одно и то же направление. Легко проверяется, что вариации B.3), B.5) не
нарушают этих ограничений.
3. Принцип действия для непрерывной материи
Действие для изолированной частицы задается выражением A.5). Мы
получим действие для непрерывного распределения материи из этого
выражения, заменив в нем массу т на р° dx1 dx2 dx3 и заряд е на
J° dx1 dx2 dx3 и выполнив интегрирование. Таким образом
/м = - (р° + J°/lM^M) dx1 dx2 dx3 ds.
J
Для приведения данного выражения к более понятному виду, полагаем
р^ = ргг у, J^ = сгг^д/, W--L)
где р и а являются скалярами, задающими плотности массы и заряда, а
под v^ следует понимать прежний вектор (скорости) и^, нормированный
так, чтобы его длина равнялась 1. В итоге получаем
1м = — \{р + о-А^уи')л/у0 dx1 dx2 dx3 ds = — \(p + <jA^v^)^/ d4x, C.2)
J J
поскольку v° ds = dx°.
Данная форма действия не очень удобна для выполнения варьирова-
варьирования, поскольку р, сг, v^ не являются независимыми переменными. Мы
должны исключить их, выразив через величины р^, JM из предыдущего
пункта. Из первого из соотношений C.1) получаем
(Р>мI/2 = PV-
Тогда выражение C.2) принимает вид
1м = —
в котором действие имеет правильную форму.
Теперь применим обобщенный принцип действия 5(If + 1м) = 0. На-
Находим
1 / Л \ —1/2/ \ 1
10. ПРИНЦИП ДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦ 331
Таким образом
81 м = -1 (| pv*vv8gpV + </"<*Дм) ^/dAx = - J(Vp" + A^J") d4x,
где обозначено J^ — ^^д/- Первое слагаемое в этом выражении приводит
к тому, что полевые уравнения A.3), A.4) заменяются на
\ g^R + 8В^ 8^Л C.4)
C.5)
Из последнего слагаемого в том же выражении выводим
dAx =
Приравнивая нулю коэффициенты при 6^, получаем
P(^,i/ - vv,v)vv + vFpvv" = 0.
Здесь мы можем заменить обыкновенный ротор v^^ — vv^ на ковариант-
ный v^y — vu:jJLl а затем воспользоваться равенством
v^v" = 0, C.6)
которое следует из vvvv = 1. В результате находим
pv^v" + aF^vy = 0. C.7)
Это уравнение эквивалентно уравнению Лоренца A.6), если положить
а/р = е/т. Тем самым обобщенный принцип действия дает правильное
описание движения каждого из элементов материи.
Уравнениями движения, следующими из обобщенного принципа дей-
действия, являются уравнения C.4), C.5), C.7). Не все они независимы.
Уравнение C.7) может быть выведено из уравнений C.4), C.5). Для этого
возьмем ковариантную дивергенцию от уравнения C.4). В таком случае
при помощи тождеств Бьянки получим
(Я"" + Pv»vv)..v = 0. C.8)
Далее в силу определения A.2) получаем
где использовалось уравнение C.5). Уравнение C.8) в таком случае запи-
записывается в виде
v»{pvv)..v + pv*..vvv + aF^Va = 0. C.9)
Умножая данное уравнение на v^ и используя равенство C.6), получаем
уравнение закона сохранения
{PV");U = 0. (ЗЛО)
Теперь уравнение C.9) сводится к уравнению C.7).
332 II. ЗАРОЖДЕНИЕ ГАМИЛЬТОНОВОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ
Такого рода соотношения между уравнениями, следующими из прин-
принципа действия, являются общими следствиями того факта, что действие
инвариантно относительно координатных преобразований.
Уравнения C.4), C.5) являются стандартными уравнениями гравита-
гравитационного и электромагнитного полей в присутствии соответственно мате-
материи и заряда. Поскольку уравнение движения материи C.7) выводится из
них, мы можем всецело основывать теорию на первых двух уравнениях и
вполне обходиться без принципа действия. Тем не менее, наличие принципа
действия весьма желательно по причине огромных возможностей, которые
он предоставляет, при включении дополнительных физических объектов.
Для этих дополнительных объектов нужно просто получить действие, вклю-
включить его в обобщенный принцип действия и полученные в результате этого
уравнения будут правильно описывать взаимодействие этих дополнитель-
дополнительных объектов с теми объектами, которые уже присутствуют в теории.
4. Движение протяженной частицы
Закон сохранения массы выражается уравнением B.1) или C.10). Из
него следует
p^v" + pvv ,v = 0.
Аналогичным образом из закона сохранения заряда B.4) следует
(T^Vy + GVV:L/ = 0.
Они представляют собой единственные ограничения, накладываемые на
полевые скалярные величины р и а. Они служат для точного определения
производных от р и а вдоль мировых линий материи. Однако они позво-
позволяют величинам р и а изменяться произвольным образом при переходе
от данной мировой линии к одной из ее соседних линий. Следовательно
позволительно принять, что величины р и а обращаются в нуль всюду, за
исключением внутренности тонкой трубки, состоящей из пучка мировых
линий. В таком случае решение полевых уравнений будет представлять
движение частицы конечного размера.
Таким способом мы получаем описание движения частицы конечного
размера без каких-либо проблем с сингулярностями. Простой принцип
действия, который мы используем, приводит к отсутствию каких-либо
натяжений внутри частицы.
Теория может быть без труда развита для случая нескольких частиц. Ес-
Если частицы не натыкаются друг на друга, то мы можем использовать для
всех частиц одну и ту же скорость v^ и величины р и а, которые обращают-
обращаются в нуль всюду за исключением внутренностей трубок, представляющих
различные частицы. В качестве альтернативы мы можем ввести отдельные
поля скоростей для каждой частицы. При этом каждое поле скоростей
будет иметь свои собственные переменные р^, J^ и будет вносить свой
собственный вклад вида C.3) в обобщенный принцип действия.
Литература
1. Dime P.A.M. II Proc. Roy. Soc. A. 1960. V. 257. P. 32.
Часть III
Гипотеза Больших Чисел и
становление новой космологии
A937-1982)
11
КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ ПОСТОЯННЫЕ *)
Фундаментальные постоянные физики, такие, как скорость света с,
постоянная Планка /г, заряд электрона е и его масса т и т.д., позволяют
установить систему абсолютных единиц измерения расстояния, времени,
массы и пр. Но этих постоянных больше, чем необходимо для таких целей,
и поэтому из них можно построить ряд безразмерных чисел. Вопрос о
значении этих чисел вызвал большой интерес в последнее время, и Эд-
дингтон выдвинул теорию, в которой каждое из них можно вывести чисто
дедуктивным путем. Его рассуждения не всегда строги, и хотя в случае
малых чисел (обратной величины постоянной тонкой структуры he/е2 и
отношения массы протона к массе электрона) они, видимо, представляют-
представляются в основном правильными, большие числа — отношение электрических и
гравитационных сил, действующих между электроном и протоном, поряд-
порядка 1039, и отношение массы Вселенной к массе протона, порядка 1078,—
столь огромны, что заставляют задумываться о каком-то совсем ином
объяснении.
Согласно современным космологическим теориям, Вселенная возникла
около 2 • 109 лет тому назад, когда все спиральные туманности вырвались
из малой области пространства, может быть, из одной точки. Если выра-
выразить срок 2 • 109 лет в единицах, определяемых атомными постоянными,
например в единицах е2/тс3, то мы получим число, близкое к 1039. Это
может означать, что указанные выше большие числа следует рассматри-
рассматривать не как константы, а как простые функции времени нашей эпохи,
выраженного в атомных единицах. В качестве общего принципа можно
принять, что все большие числа порядка 1039, 1078 и т.д., встречающиеся
в общей физической теории, с точностью до простых числовых множи-
множителей равны ?, t2 и т.д., где t — время в современную эпоху, выраженное
в атомных единицах. Упомянутые простые числовые множители должны
определяться теоретически, когда будет создана полная теория космологии
и атомизма. При этом отпадает необходимость в теории, которая давала
бы числа порядка 1039.
Рассмотрим некоторые элементарные следствия нашего общего прин-
принципа. Прежде всего, получается, что число протонов и нейтронов во Все-
Вселенной должно увеличиваться пропорционально t2. Современная физи-
физика—как теоретическая, так и экспериментальная — не располагает данны-
данными о таком увеличении, но она слишком несовершенна, чтобы утверждать,
что это увеличение невозможно, поскольку оно так незначительно. Значит,
I The Cosmological Constants // Nature. 1937. V. 139. P. 323.
336 III. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОСМОЛОГИЯ
это еще не основание, чтобы отвергнуть нашу теорию. Является ли такой
рост общим свойством материи или он происходит только внутри звезд —
вопрос будущих изысканий.
Второе следствие нашего принципа состоит в том, что, если принять си-
систему единиц, определяемую атомными постоянными, то гравитационная
«постоянная» со временем должна уменьшаться пропорционально t~x. На-
Назовем гравитационной способностью материального тела произведение его
массы на гравитационную постоянную. Тогда получится, что гравитацион-
гравитационная способность Вселенной (а вероятно, и каждой спиральной туманности)
растет пропорционально t. Это до некоторой степени эквивалентно космо-
космологии Милна 1\ в которой масса постоянна, а гравитационная постоянная
растет пропорционально t. Следуя Милну, можно ввести новую временную
переменную т = Int и преобразовать законы механики так, чтобы после
перехода к этому новому времени они приняли свой обычный вид.
Чтобы объяснить эту теорию с точки зрения общей теории относитель-
относительности, нужно предположить, что элемент длины, определяемый в римано-
вой геометрии как ds2 = g^ dx^ dxv', не равен элементу длины, выражен-
выраженному через атомные единицы, а отличается от него неким множителем.
(Первый соответствует милнову dr, а второй — милнову dt.) Такой мно-
множитель должен быть скалярной функцией точки, а его градиент должен
указывать направление в ней среднего движения материи.
Литература
1. Milne E.A. II Proc. Roy. Soc. A. 1937. V. 158. Р. 324.
12
ДОПОЛНЕНИЕ К ЗАМЕТКЕ
«КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ ПОСТОЯННЫЕ»
(Ответ Г. Динглю) *)
В своей заметке в Nature от 8 мая Г. Дингль критикует мое письмо
в Nature от 20 февраля на том основании, что я отклоняюсь от научного
метода Галилея, состоящего в построении теории, исходя из наблюдений.
Успешное развитие науки требует соблюдения соответствующего баланса
между методом построения теории, основанном на наблюдениях, и ме-
методом, основанном на выводе логических заключений из умозрительных
предположений, и я думаю мое письмо удовлетворяет этим требованиям.
Но оно было написано довольно лаконично, и я бы хотел здесь перефор-
переформулировать мои основные положения в такой форме, чтобы поставить
на первое место их наблюдательный базис, и сделать это независимо от
космологической теории.
Начнем с того, что рассмотрим все постоянные Природы, полученные
из наблюдений, включающие атомные постоянные и некоторые астроно-
астрономические, а именно, гравитационную постоянную, красное смещение спи-
спиральной туманности на единицу длины, и среднюю плотность материи.
(Последняя имеет определенное значение на основании того факта, что
спиральные туманности распределены с однородной плотностью, насколь-
насколько мы можем видеть в самые большие телескопы.) Из этих постоянных
Природы мы сконструируем все простейшие безразмерные отношения и
сделаем их всегда больше единицы, беря обратные величины от тех, кото-
которые оказываются меньше единицы. При этом возникает замечательный ре-
результат. Получаемые числа, вместо того, чтобы быть рассеянными произ-
произвольным образом, распределены группами. Первая содержит малые числа
(наибольшее из них представляет собой отношение массы протона к массе
электрона), вторая —числа порядка 1039, и третья —числа в окрестности
ю78.
Из кинематических соображений, основанных на предположении, что
красное смещение оказывается тем же самым при наблюдении различных
спиральных туманностей (разумное предположение ввиду равномерности
распределения спиральных туманностей), можно заключить, что красное
смещение на единицу длины не является постоянным по времени, но мед-
медленно меняется со скоростью около одной единицы на 2 • 109 в год. Работа
Милна дает детальное описание этого вопроса. Можно принять эту кар-
картину, объясняя красное смещение удалением туманности. Тогда красное
A Reply to Dr. H. Dingle // Nature. 1937. V. 139. P. 1001-1002.
338 III. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОСМОЛОГИЯ
смещение на единицу длины будет медленно убывать из-за возрастающего
расстояния до туманностей. (Но никто не обязан принимать эту картину.
Существует другая математически эквивалентная картина без удаления
туманности, основанная на милновой меняющейся со временем 7-)
Красное смещение на единицу длины имеет размерность 8v/(vl), т.е.
(длина). Чтобы получить безразмерное число, нужно умножить его на
постоянную Природы размерности длины. Простейшие варианты —это
h/(mc) или е2/(тс2) и соответствующие выражения с протонной массой
вместо электронной. Полученные таким путем числа — меньше единицы,
а их обратные величины находятся в группе значений 1039. Эти обратные
величины медленно растут со временем на основании того, что красное
смещение на единицу длины убывает.
Я делаю теперь предположение, что кластеризация безразмерных чи-
чисел есть фундаментальный закон Природы, справедливый во все времена.
Это потребует, из-за того, что некоторые числа из группы значений 1039
возрастают, чтобы все числа в ней возрастали в той же пропорции, а числа
из группы значений 1078 возрастали со скоростью, равной квадрату этой
скорости. Это есть пробная гипотеза, которая, можно надеяться, окажется
поддающейся экспериментальной проверке, хотя любая прямая проверка
будет очень затруднена из-за огромности соответствующей временной шка-
шкалы.
С. Чандрасекар в своем письме в Nature от 1 мая делает интересное
замечание, которое в настоящей терминологии звучит так: если взять сред-
средние массы звезды и спиральной туманности, то получится другая группа
чисел в области l1^ и 1 3Д на 1039. Это позволяет вычислить скорость
возрастания средней массы звезды и спиральной туманности и, следова-
следовательно, также скорость возрастания среднего числа звезд в спиральной
туманности.
13
основы новой космологии
1. Введение
Современное развитие космологии определяется хаббловским наблю-
наблюдением смещения в красную сторону спектра спиральных туманностей —
наиболее удаленных частей Вселенной,— указывающего, что они удаля-
удаляются от нас со скоростями, пропорциональными расстоянию до них. Эти
наблюдения показывают, прежде всего, что вся материя в этой части
пространства имеет одинаковую скорость (с определенной степенью точно-
точности), и предлагают модель Вселенной, в которой существует естественная
скорость материи в каждой точке, непрерывно меняющаяся от точки к
точке. В рамках четырехмерного пространства-времени эта естественная
скорость задает нам выделенную ось времени в каждой точке, а именно,
временную ось, по отношению к которой материя в окрестности этой
точки покоится. Производя измерения вдоль выделенной оси времени, мы
получаем абсолютную меру времени, называемую эпохой.
Такие идеи о выделенной оси времени и абсолютном времени отходят
далеко от принципов как специальной, так и общей теории относительно-
относительности, и приводят к тому, что в космологии теория относительности будет
играть лишь вспомогательную роль. Эта точка зрения, которая заметно
отличается от ранних работ в этой области, была особо подчеркнута недав-
недавно Милном.
Сегодня чувствуется необходимость в новых предположениях, на ко-
которых должна строится теория космологии. Эта необходимость частично
восполняется предположениями, которые Милн (Milne, 1936, 1937а, 1937b)
называет Космологическим Принципом. Он гласит, что в пренебрежении
локальными нерегулярностями Вселенная всюду однородна и имеет сфери-
сферическую симметрию (в трех измерениях) вокруг каждой точки для наблю-
наблюдателя, движущегося с естественной скоростью в данной точке. Предпо-
Предположение об однородности следует брать в самой общей форме. Последнее
означает, что наблюдатель в другой туманности будет видеть все природ-
природные явления (например, красное смещение другой туманности) точно так
же, как и мы. Наблюдательные свидетельства в пользу этих предположе-
предположений довольно скудные, поскольку только малая часть Вселенной доступна
современным телескопам, и эта часть имеет довольно большие отклонения
от однородного распределения спиральных туманностей (Reynolds, 1937).
A New Basis for Cosmology // Proc. Roy. Soc. London. A. 1938. V. 165. P. 199-208.
A new basis for cosmology
By P. A. M. Dibac, F.R.S,
St John's College, Cambridge
{Received 29 December 1937)
I. Introduction
The modern study of cosmology is dominated by Hubble's observations
of a shift to the red in the spectra of the spiral nebulae—the farthest parts
of the universe—indicating that they are receding from us with velocities
proportional to their distances from us. These observations show us, in the
first place, that all the matter in a particular -part of space has the same
velocity (to a certain degree of accuracy) and suggest a model of the
universe in which there is a natural velocity for the .matter at any point,
varying continuously from one point to a neighbouring point. Referred to
a four-dimensional space-time picture, this natural velocity provides us
with a preferred, time-axis at each point, namely, the time-axis with respect
to which the matter in the neighbourhood of the point is at rest. By
measuring along this preferred time-axis we get an absolute measure of
time, called the epoch.
Such ideas of a preferred time-axis and absolute time depart very much
from the principles of both special and general -relativity and lead one to
expect that relativity will play only a subsidiary role in the subject of
cosmology. This first point of view, which differs markedly from that of the
early workers in this field, has been much emphasized recently by Milne.
We now feel the need for some new assumptions on which to bnild up
a theory of cosmology. This need is partially satisfied by the assumptions,
which Milne calls the Cosmological Principle, that, apart from local
irregularities, the universe is everywhere uniform and has spherical
symmetry (in three dimensions) about every point, for an observer moving
with the natural velocity at that point. The assumption of uniformity is
to be taken in its most general form, in which it requires that an observer
on another nebula would see all general natural phenomena (for example,
the red-shift of other nebulae) the same as we do. The observational
evidence In favour of these assumptions is rather meagre, since only a small
part- of the universe is accessible to present-day telescopes, and this part
shows quite large fluctuations from uniformity in the distribution of the
spiral nebulae (Reynolds 1937). However, these assumptions are fairly
[ 199 ]
Первая страница статьи П.A.M. Дирака «Основы новой космологии»
13. ОСНОВЫ НОВОЙ КОСМОЛОГИИ 341
Однако эти предположения весьма правдоподобны и сильно упрощают
предмет исследований. Поэтому пока не появятся более достоверные дан-
данные, показывающие их неадекватность, кажется неразумным пробовать
более сложные схемы.
Требуется сделать дальнейшие предположения, если мы хотим полу-
получить определенные ответы на основные вопросы, которые возникают при
изучении космологии. Возможным следующим предположением является
Размерная Гипотеза Милна (Walker, 1936, с. 121), которая требует от-
отсутствия в теории констант, имеющих размерность. Это предположение
открыто для критики, так как не существует видимой причины, по которой
константы атомной физики не могут появиться в космологии. На самом
деле, скорее следует ожидать их появления, поскольку можно ожидать
наличие тесной связи между атомом и космосом, которая проявится при
более глубоком понимании Природы. Альтернативное предположение, ко-
которое не подвержено этой критике и имеет далеко идущие следствия,
будет приведено в следующем разделе и составляет основное содержание
настоящей статьи.
2. Фундаментальный принцип
Разбегание спиральных туманностей со скоростями, пропорциональны-
пропорциональными расстоянию до них, требует, если предположить, что скорости при-
приблизительно постоянны, чтобы в некоторый момент времени в далеком
прошлом вся материя во Вселенной была сосредоточена в очень малом
объеме. Этот момент служит естественным началом времени и дает нам
точку отсчета, от которой мы измеряем эпоху любого события. По отно-
отношению к этой отметке настоящая эпоха, согласно хаббловским данным,
составляет около 2 • 109 лет.
Выразим это время в единицах, фиксированных константами атомной
теории, например, в единицах е2/тс3. Тогда мы получим значение 7 • 1038.
Оно оказывается по порядку величины тем же, что и отношение, скажем 7,
электрической и гравитационных сил между электроном и протоном, а
именно 2,3 • 1039. Если использовать для современной эпохи другие атом-
атомные единицы времени, то мы получим число, отличное от приведенного
выше не более, чем на несколько порядков. Это не повлияет на согласие с 7
по порядку величины, когда мы говорим о таких больших числах, как 1039.
Единицы, которые мы выбрали, а именно е2/шс3, являются примерно
геометрическим средним между всеми единицами времени, которые мы
можем построить из атомных констант, а именно (вводя также массу
протона М),
ее h h h h
3 ' л /г 3 ' 2 ' л/г2' 2' л/г2'
тс Мс тс Мс тс Мс
отношения которых составляют
1, 0,0005, 850, 0,46, 137, 0,074.
342 III. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОСМОЛОГИЯ
Мы могли бы сравнить эпоху с отношением электрической и гравита-
гравитационной силы между двумя электронами, или двумя протонами вместо
одного электрона и одного протона, что дало бы нам число в 1800 раз боль-
больше или меньше чем 7, соответственно. Во всех случаях, однако, мы видим
близкое соответствие между современной эпохой, выраженной в атомных
единицах, и отношением электрической и гравитационной сил между дву-
двумя частицами. Можно предположить, что такое совпадение является след-
следствием глубокой связи в природе между космологией и атомной теорией.
Поэтому мы можем ожидать, что оно справедливо не только для совре-
современной эпохи, но во все времена, так что, например, в далеком будущем
в эпоху 1050 мы можем ожидать, что 7 будет порядка 1050. Таким образом,
мы приходим к выводу, что величина 7, которая обычно рассматривается
как универсальная константа, должна меняться по прошествии больших
интервалов времени.
Дальнейшее изучение космологии приводит к появлению других боль-
больших безразмерных чисел. Эти числа все оказываются порядка 1039, или
иногда 1078. Для естественного развития упомянутых выше идей мы долж-
должны ожидать, что все эти числа порядка 1039 возрастают пропорционально
эпохе, а все числа порядка 1078 возрастают пропорционально квадрату
эпохи. Мы имеем здесь дело с появлением нового принципа, согласно кото-
которому все очень большие безразмерные числа, встречающиеся в Природе,
являются простыми степенями эпохи с коэффициентами порядка единицы.
Чтобы сформулировать этот принцип в наиболее общей форме, мы не
должны делать предположения, которое мы сделали в начале этого разде-
раздела, что скорость удаления каждой спиральной туманности приблизительно
постоянна. Без этого предположения мы все еще могли бы говорить об
эпохе каждого события, но у нас не было бы естественного начала отсчета,
от которого мы отсчитываем ее. Поэтому в законы Природы может входить
только разница между двумя эпохами. Мы теперь должны использовать
постоянную Хаббла, а именно коэффициент пропорциональности между
красным смещением и расстоянием, как одну из величин, из которых мож-
можно построить большие безразмерные числа (взамен нашего предыдущего
предположения об использовании современной эпохи, как одного из этих
больших чисел) и выразить наш принцип в виде утверждения: Любые
два числа из очень больших безразмерных чисел, встречающихся в При-
Природе, связаны простым математическим соотношением, коэффициенты
которого по порядку величины равны единице. Если мы можем вывести
из элементарных соображений, что некоторые их этих очень больших
чисел меняются с эпохой (мы найдем в следующем разделе, что это дей-
действительно так), то тогда и все они должны меняться, чтобы сохранить
математические соотношения между ними.
Эта, очень общая, формулировка принципа не позволяет нам с уверен-
уверенностью получить точные следствия. Если, например, мы имеем два числа
13. ОСНОВЫ НОВОЙ КОСМОЛОГИИ 343
а и b оба порядка 1039, то мы не можем с уверенностью заключить, что
a = kb, A)
где к — константа порядка единицы. Поскольку наши численные совпа-
совпадения имеют точность до нескольких порядков (главным образом из-за
неясности того, какие именно атомные единицы использовать), мы долж-
должны позволить к варьироваться от единицы до нескольких степеней десяти.
Тогда мы можем иметь вместо соотношения A), например,
а = kblogb,
с несколько другим к. В настоящей работе, с целью получения опреде-
определенной теории, мы будем игнорировать возможное появление таких лога-
логарифмических факторов, или других подобных факторов, которые слабо
меняются в зависимости от своего аргумента. Мы должны помнить, что
результирующая теория тогда будет справедлива только в первом при-
приближении и возможно потребует дополнения в будущем путем включения
в уравнения функций, которые слабо меняются при изменении своих ар-
аргументов.
Существенно, что то же самое приближение используется в предполо-
предположении, которое применяется всюду в настоящей статье, согласно которому
Не/е2 и М/т являются константами. Дальнейшее развитие теории может
потребовать, чтобы эти числа медленно менялись с эпохой.
3. Закон разбегания спиральных туманностей
Рассмотрим две соседние спиральные туманности и выразим расстоя-
расстояние между ними в атомных единицах, скажем в терминах единицы време-
времени, которая используется в предыдущем разделе, умноженной на скорость
света. Расстояние между туманностями тогда становится безразмерным
числом, которое будет меняться с эпохой неизвестным образом, и которое
мы обозначим f(t). Согласно с нашими предположениями об однородности
и сферической симметрии в п. 1, величина f(t) должна быть той же самой
для любых двух соседних туманностей, за исключением произвольного
постоянного множителя. Определение формы /(?), зная закон удаления
спиральных туманностей, представляет собой одну из главных проблем
космологии.
Выразим постоянную Хаббла, т. е. красное смещение на единицу длины,
в терминах f(t). Время, необходимое свету, чтобы преодолеть расстояние
от одной соседней туманности до другой, как раз равно /(?), поскольку
мы используем единицы, в которых скорость света равна единице. Если
мы рассмотрим две волны света, стартовавшие от одной из туманностей
с интервалом в St, то из-за разного времени распространения двух волн
они прибудут на другую туманность с интервалом в St + f(t + St) — f(t).
Таким образом, свет, испущенный с интервалом St, прибудет с интервалом
St + f(t + St) — /(?), и красное смещение, а именно изменение периода на
344 III. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОСМОЛОГИЯ
единицу периода, будет равно 6 f(t)/5t = /'(?), так что постоянная Хаббла
равна ff(t)/f(t). Из наблюдений Хаббла в настоящую эпоху она имеет
значение 1,4 • 10~39.
Рассмотрим теперь такую величину как среднюю плотность материи р,
которая имеет смысл благодаря нашему предположению об однородно-
однородности. Возьмем в качестве единицы массы массу протона или нейтрона и
предположим, что масса сохраняется, если ее выразить в этих единицах.
Из этого предположения о сохранении массы мы можем заключить, что,
принимая во внимание, что соседние туманности разделены расстоянием
/(?), средняя плотность материи будет убывать согласно закону
Р ос /(*Г3. B)
Наблюдаемое значение средней плотности светящейся материи состав-
составляет порядка 5 • 10~31 г-см~3, что означает в наших единицах около
7 • 10~45. Чтобы получить полную среднюю плотность материи, это зна-
значение следует увеличить на множитель, который очень трудно оценить,
но который равен, возможно, нескольким степеням десяти. С учетом
неопределенности связанной с тем, какими атомными единицами следует
пользоваться, мы видим, что средняя плотность материи того же порядка
малости, что и постоянная Хаббла. Обратные от этих двух величин — очень
большие числа, к которым применим наш фундаментальный принцип, и
которые поэтому должны быть связаны между собой, как а и b в уравне-
уравнении A). Значит ,
где к есть константа порядка единицы. Комбинируя это уравнение с B),
получим ,,, .
и, следовательно, /(t) ^ (, + аI/з,
где а — константа интегрирования. Выбирая при измерении ?, подходящим
образом начало отсчета мы можем избавиться от этой константы и тогда
получим
f(t) ос
Это дает нам закон удаления спиральных туманностей. Скорости уда-
удаления не являются постоянными, как мы первоначально предполагали
в начале п. 2, но меняются пропорционально ff(t) или ?~2/3. Однако с этим
законом удаления мы все еще имеем естественное начало отсчета времени,
а именно при нулевом значении t в формуле C) все туманности находятся
очень близко друг от друга. Из формулы C) мы имеем
Отсюда следует, что настоящая эпоха все еще величина порядка 1039, и
составляет фактически треть того значения, которое мы дали ей в начале
13. ОСНОВЫ НОВОЙ КОСМОЛОГИИ 345
п. 2 на основании предположения о постоянстве скорости удаления. Новое
значение, равное приблизительно 7 • 108 лет, довольно мало, меньше воз-
возраста Земли, вычисляемого из данных по радиоактивному распаду. Однако
это не приводит к несогласованности, так как тщательное применение на-
наших настоящих идей потребует того, чтобы темп радиоактивного распада
менялся с эпохой и был больше в далеком прошлом, чем сейчас.
Наш вывод соотношения C) использует предположение о сохранении
массы, выраженной в единицах протонных или нейтронных масс, что озна-
означает сохранение числа протонов и нейтронов (помимо процессов, включа-
включающих превращение энергии покоя этих частиц в другую форму). Для этого
предположения не существует экспериментального подтверждения, так
как спонтанное рождение или аннигиляция протонов и нейтронов, будучи
достаточно большим эффектом, чтобы ощутимо изменить закон C), все
еще остается слишком малым, чтобы быть обнаруженным в лаборатории.
Однако, такое спонтанное рождение или аннигиляцию материи так трудно
соотнести с нашими современными теоретическими идеями в физике, что
не стоит его рассматривать, если только не возникнет определенная необ-
необходимость. Этого пока не случилось, так как мы можем построить вполне
согласованную теорию космологии без данного предположения.
4. Кривизна пространства
Рассмотрим все точки пространства-времени, для которых эпоха имеет
какое-то данное значение t. Они лежат на трехмерной поверхности, кото-
которая везде ортогональна, в смысле специальной теории относительности,
естественной оси времени. Мы называем ее ^-пространством. Наши пред-
предположения об однородности и сферической симметрии из п. 1 требуют,
чтобы t-пространство было всюду однородным и сферически симметрич-
симметричным. Отсюда следует, что t-пространство должно быть пространством
постоянной кривизны с метрикой, определяемой атомными единицами
длины, которые мы ввели ранее. (Для детального изучения этого вопроса,
основанного на теории групп, см. работу (Walker, 1936))
Кривизна может быть или положительной, или нулевой, или отрица-
отрицательной. Если она положительна, t-пространство конечно и похоже на
трехмерную поверхность сферы в четырех измерениях. Если она нулевая
или отрицательная, t-пространство бесконечно и плоское или гиперболи-
гиперболическое, соответственно. То, какой из этих случаев справедлив, не зависит,
по соображениям непрерывности, от значения ?, и должно являться харак-
характеристикой пространства-времени в целом. Установление различия между
этими тремя случаями составляет другую главную проблему космологии.
Случай положительной кривизны может быть легко исключен. В этом
случае полная масса Вселенной конечна и, будучи выраженной в протон-
протонных или нейтронных массах, есть очень большое число. Из нашего предпо-
предположения о сохранении массы это большое число должно быть независимым
от эпохи. Мы, таким образом, приходим в противоречие с нашим фун-
346 III. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОСМОЛОГИЯ
даментальным принципом, согласно которому все очень большие числа,
встречающиеся в Природе, должны меняться с эпохой, так как некоторые
из них, а именно величины, обратные от постоянной Хаббла и средней
плотности, меняются.
Случай отрицательной кривизны может быть исключен подобным, хо-
хотя и гораздо более сложным, образом. Полная масса Вселенной в этом
случае не конечна, но вместо нее мы можем взять массу, содержащуюся
в момент времени t внутри сферы радиуса, равного радиусу кривизны
t-пространства. Если мы возьмем другую эпоху ti, то будет существо-
существовать естественная связь между точками t\-пространства и точками пер-
первоначального t-пространства (соответствующие точки находятся в той же
туманности), и любой элемент расстояния в ti-пространстве будет равен
соответствующему элементу расстояния в ^-пространстве, умноженному
на фактор f(ti)/f(t). Так как он будет тем же самым для всех элементов
расстояния, то из этого следует, что радиус кривизны t\-пространства
должен быть равен радиусу кривизны t-пространства, умноженному на
этот фактор. Полная масса, содержащаяся внутри сферы радиуса, равного
радиусу кривизны, должна быть той же самой и для t\-пространства, и для
t-пространства. Эта масса, выраженная в единицах протонных или ней-
нейтронных масс, опять даст нам постоянное число. Оно должно быть очень
большим, чтобы в соответствии с экспериментом кривизна ^-пространства
была бы достаточно мала. И мы имеем, таким образом, противоречие
с нашим фундаментальным принципом.
Мы, следовательно, остаемся со случаем нулевой кривизны, или с плос-
плоским t-пространством, как с единственным, согласованным с нашим фун-
фундаментальным принципом и с условием сохранением массы [1]. Следует
помнить, что кривизна, о которой мы здесь говорим, есть кривизна трех-
трехмерного пространства в одну эпоху, а не кривизна пространства-времени,
как она рассматривается в общей теории относительности.
5. Движение свободной частицы
Другая проблема, которую нам нужно рассмотреть в этой статье, ка-
касается определения мировой линии частицы, движущейся свободно под
действием только гравитационного поля Вселенной как целого. Нам нужно
что-то взамен первого закона движения Ньютона. Если частица начинает
движение с естественной скоростью для места, где она находится, то из
нашего предположения о сферической симметрии Вселенной в каждой
точке следует, что частица не может иметь ускорение ни в каком на-
направлении и закон Ньютона будет для нее справедлив. Если, однако, она
начинает движение с другой скоростью, то мы не можем уже утверждать,
что ее ускорение должно лежать в плоскости в пространстве-времени,
содержащей ее вектор скорости и вектор естественной скорости ее места
положения. Величина ускорения может быть функцией скорости частицы
относительно естественной скорости и эпохи.
13. ОСНОВЫ НОВОЙ КОСМОЛОГИИ 347
Поскольку общая теория относительности очень хорошо объясняет ло-
локальные гравитационные явления, нам следует ожидать, что она имеет
некоторую применимость и для Вселенной в целом. Мы не можем, однако,
ожидать, что она применима в метрике, задаваемой атомными констан-
константами, поскольку в этой метрике «гравитационная константа» не есть кон-
константа, а меняется с эпохой. Как это следует из дискуссии в начале п. 2,
мы имеем на самом деле отношение гравитационной силы к электрической
силе между электроном и протоном, меняющимся в обратной пропорции
к эпохе. Поэтому, учитывая, что в наших атомных единицах времени,
расстояния и массы электрическая сила между электроном и протоном на
постоянном расстоянии является константой, гравитационная сила между
ними должна быть обратно пропорциональна эпохе. Тем самым гравита-
гравитационная константа будет обратно пропорциональна эпохе.
Попробуем установить новую систему единиц, чье отношение к старой
системе может меняться с эпохой, так что по отношению к новым единицам
гравитационная константа не меняется с эпохой и общая теория относи-
относительности может быть применима. При этом мы не должны использовать
новую единицу массы, чье отношение к старой меняется с эпохой, ибо тогда
мы получили бы массу протона или нейтрона, меняющуюся с эпохой, а
общая теория относительности требует, чтобы масса изолированной части-
частицы оставалась постоянной. Поэтому мы должны изменить наши единицы
расстояния и времени и изменить их одинаковым образом, чтобы ско-
скорость света осталась равной единице. Так как размерность гравитационной
константы равна (расстояниеK (время) (масса), мы должны выбрать
новые единицы расстояния и времени равными старым, поделенным на
эпоху, так что новое измерение интервала длины или времени равнялось
бы старому, умноженному на эпоху. Тогда гравитационная константа будет
независимой от эпохи.
Мы можем теперь разумно допустить, что с метрикой, заданной в но-
новых единицах расстояния и времени, общая теория относительности оста-
останется справедливой и свободные частицы будут двигаться по геодезиче-
геодезическим. Мы имеем, таким образом, две меры расстояния и времени [2], одну
для атомных явлений и другую для обычных механических явлений, вклю-
включенных в общую теорию относительности. Эта ситуация подобна той, что
была у Милна с его двумя мерами времени t и т. Однако отношение двух
мер времени в нашей теории является обратным по сравнению с теорией
Милна.
6. Кривизна пространства—времени
Интересно рассмотреть кривизну пространства-времени по отношению
к метрике, в которой применима теория относительности, и определить,
какому тензору энергии-импульса она соответствует. Эта кривизна отлич-
отлична, конечно, от кривизны t-пространства, с которой мы имели дело в п. 4.
348 III. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОСМОЛОГИЯ
Будем обозначать звездочкой величины, измеряемые в новых единицах,
так что для интервала времени
St* = tSt
и значит 1
t* = \t\ E)
что дает нам соотношение между новой и первоначальной мерой эпохи.
Расстояние между соседними спиральными туманностями, выраженное
в новых единицах, будет меняться с эпохой согласно закону
/•(*) = tf(t) ос t4/3,
и, следовательно,
/*(**) ос (ГJ/3. F)
Мы можем теперь воспользоваться формулой Робертсона (Robertson, 1933,
уравнение 3.2), согласно которой кривизна нашего пространства-времени
должна соответствовать однородной плотности р* и однородному гидро-
гидростатическому давлению р*, задаваемыми условиями
* 3/*/2
xp* = -2-l^-L^, G)
где к — гравитационная постоянная, а штрих означает дифференцирова-
дифференцирование по t*. Мы здесь положили робертсонову постоянную к равной нулю,
так как наше t-пространство — плоское, и мы положили космологическую
постоянную Л, входящую в эйнштейнов закон гравитации, равной нулю.
Если она не была бы равна нулю, то она должна бы быть очень маленькой,
чтобы не противоречить наблюдению, и ее обратная величина тогда дала
бы нам очень большое число в противоречии с нашим фундаментальным
принципом.
Подставляя соотношение F) в G), мы получаем
^ = \t^=l{t-\ (8)
хр* = 0. (9)
Из формул B) и C) мы имеем
р ос t,
что находится в согласии с формулой (8), если вспомнить, что при из-
измерении pup* используются различные единицы длины. Это согласие
не следует рассматривать как аргумент в пользу данной теории. Оно
возникает просто по причине того, что наблюдаемая плотность материи
по порядку величины совпадает с тем, что мы ожидаем из величины кри-
кривизны пространства-времени (принимая радиус кривизны порядка обрат-
13. ОСНОВЫ НОВОЙ КОСМОЛОГИИ 349
ной величины постоянной Хаббла), а это получается удовлетворительным
образом в любой космологической теории. С другой стороны, результат
(9) может рассматриваться как аргумент в пользу нашей теории, так как
среднее гидростатическое давление в пространстве, обусловленное глав-
главным образом давлением излучения, чрезвычайно мало по сравнению со
средней плотностью материи, и поэтому в первом приближении может
считаться нулем.
7. Заключение
Предположено, что все очень большие безразмерные числа, которые
могут быть построены из важных естественных констант космологии и
атомной теории, связаны между собой простыми математическими соот-
соотношениями с коэффициентами порядка единицы. Исследованы главные
следствия этого предположения и найдено, что на этом основании может
быть построена удовлетворительная теория космологии.
Литература
Milne Е.А. II Proc. Roy. Soc. A. 1936. V. 158. Р. 324-348.
Milne Е.А. II Proc. Roy. Soc. A. 1937a. V. 159. Р. 171-191.
Milne Е.А. II Proc. Roy. Soc. A. 1937b. V. 159. P. 526-547.
Reynolds J.H. // Nature. 1937. London, V. 140. P. 387.
Robertson H.P. // Rev. Mod. Phys. 1933. V. 5. P. 62-90.
Walker A.G. // Proc. Lond. Math. Soc. 1936. V. 42. P. 90-127.
14
ОТВЕТ НА ПИСЬМО Р.Г. ДИККЕ
«КОСМОЛОГИЯ ДИРАКА И ПРИНЦИП МАХА» *)
Дикке х) обсуждает три космологических числа: число A) определяет
значение гравитационной постоянной, число B) определяет хаббловский
возраст Вселенной и число C) задает число частиц во Вселенной. Они свя-
связаны между собой следующим образом: число A) приближенно является
обратным к числу B), а число C) приблизительно равно квадрату чис-
числа B). Я сделал предположение, что эти соотношения отвечают каким-то
фундаментальным закономерностям в Природе. В эволюционной модели
Вселенной число B) изменяется со временем, так что числа A) и C) также
должны со временем изменяться.
Дикке считает, что имеется фундаментальное соотношение между чис-
числами A) и C), следующее из принципа Маха, тогда как число B) является
независимым. В этом случае числа A) и C) могут быть постоянными,
в то время как число B) будет меняться со временем. Затем он показы-
показывает, что число B) должно иметь приблизительно то же значение, что
принято сейчас, отвечающее времени существования обитаемых планет.
Согласно этому предположению, обитаемые планеты могут существовать
лишь ограниченный период времени. В рамках моего предположения они
могут существовать неограниченно долго в будущем и жизнь никогда не
должна кончиться.
Не существует решающих аргументов для принятия решения в пользу
того или другого предположения. Я предпочитаю то, что дает возможность
бесконечного продолжения жизни. Можно надеяться, что когда-нибудь
этот вопрос будет решен с помощью прямых наблюдений. Для этого потре-
потребуется измерить число A) с точностью до одной десятимиллиардной доли,
а затем повторить измерения через несколько лет и посмотреть, изменился
ли результат.
*) A Reply to R.H. Dicke // Nature. 1961. V. 192. P. 441.
; Само письмо Р. Дикке публикуется ниже в Приложении 2.
15
ИЗМЕНЧИВОСТЬ
ГРАВИТАЦИОННОЙ ПОСТОЯННОЙ *)
Выражение для гравитационной силы между двумя массами т и
т', а именно ^тт'/г2 содержит параметр 7? который обычно считает-
считается универсальной гравитационной постоянной. Однако в рамках модели
расширяющейся Вселенной допускается возможность того, что с момента
начала расширения 7 является не постоянной, а переменной во времени t
величиной. На такую возможность впервые было указано Милном A935),
который выдвинул кинематические соображения в подтверждение того,
что 7 должна увеличиваться пропорционально росту t. Аргументы, ис-
используемые Милном, не были достаточно убедительными. Однако он ввел
в научное обращение важную новую идею, идею о том, что те величины,
которые обычно рассматриваются как физические постоянные, волне мо-
могут испытывать изменения в тех пределах, которые слишком малы, чтобы
быть обнаруженными в лабораториях.
Для предметного обсуждения существенны лишь безразмерные кон-
константы. Можно найти безразмерное выражение для гравитационной по-
постоянной, если взять отношение гравитационной и электростатической сил
между протоном и электроном. Результат получится порядка 10~39.
Удивительно, как такая малая величина может проявляться при опи-
описании явлений Природы. Однако, если выразить возраст Вселенной t
в единицах времени, определяемых через атомные константы, то получим
число порядка 1039. Таким образом 7 = kt~x, где коэффициент к порядка
единицы. Очень похоже на то, что этот коэффициент является константой
и что его можно будет вычислить в рамках в достаточной мере развитой
теории. Следовательно получаем, что 7 пропорциональна t.
Я высказал эту идею в 1937 г. (Dirac, 1937 и 1938). В течении дли-
длительного периода космологи предпочитали модель стационарной Вселен-
Вселенной, согласно которой исключались любые изменения значений физиче-
физических постоянных. С ростом наших знаний, стационарная модель оказалась
в немилости и это привело к возрождению интереса к идее о переменности
постоянной 7- На протяжении нескольких последних лет своей жизни этим
вопросом активно занимался Гамов, имевший со мной активную переписку
по этому поводу. Его очень сильно привлекала общая идея, однако при
этом очень беспокоили трудности, связанные с согласованием этой идеи
с данными наблюдений.
*) The Variability of the Gravitational Constant // In: Cosmology, Fusion and Other
Matters / Ed. F. Reines. — Boulder, Colorado: Colorado Assoc. U. Press., 1972. P. 56-59.
352 III. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОСМОЛОГИЯ
Гамов и Теллер проделали огромную работу по исследованию эволюции
звезд, предполагая, что в начальный момент времени звезды представляли
собой образования из водорода, и принимая во внимание ядерные реакции,
приводившие к производству энергии. Результат их исследований заклю-
заключается в том, что если предположить постоянство 7? то звезда, подобная
Солнцу, после быстрого начального развития излучает в течении времени
порядка 10 эр A эра равна 109 лет) энергию с практически постоянной ин-
интенсивностью, прежде чем перейти в стадию красного гиганта. В течении
этого периода на Земле будет сравнительно постоянная температура, что
предоставляет достаточное время для эволюции жизни.
С другой стороны, при изменении 7> пропорциональном t, у Солнца
не будет периода постоянной светимости. После начальных стадий (эволю-
(эволюции) в течении следующих 2 эр его светимость будет убывать с постоянной
скоростью с последующим кратким и быстрым возрастанием до стадии
красного гиганта.
Используя довольно простые аргументы, Теллер A948) показал, что, в
предположении о сохранении массы, светимость в течении своего периода
устойчивого убывания будет падать пропорционально t . Далее Теллер
пришел к выводу о том, что уменьшающееся значение 7 приведет к тому,
что Земля будет удаляться от Солнца. При этом расстояние между ними
будет возрастать пропорционально t. В результате, интенсивность, с ко-
которой Земля получает тепло от Солнца, будет уменьшаться уже пропор-
пропорционально t~9. Эти обстоятельства не позволяют обеспечить достаточно
постоянную температуру на Земле для той медленной эволюции жизни,
которая обнаруживается на основе данных палеонтологии.
Указанные аргументы заставили Гамова, хотя и неохотно, но отверг-
отвергнуть гипотезу о том, что 7 пропорциональна t. Тем не менее, в действи-
действительности они не являются неизбежными.
Можно преодолеть эти трудности, если предположить, что Солнце
наращивает свою массу за счет аккреции межзвездной пыли. Если пред-
предположить, что эта пыль обладает подходящей плотностью, изменяющейся
со временем правильным образом, то можно устроить все таким образом,
что светимость Солнца будет меняться в любом желаемом направлении.
Я указал Гамову на эту возможность, однако она ему не понравилась.
Он сказал, что те условия, которые должны быть удовлетворены в таком
случае, являются слишком «мудреными».
Конечно, идея о том, что межзведная пыль в течение долгого периода
времени должна была бы непрерывно обладать правильным значением
плотности для создания довольно неизменной температуры на Земле,
очень мало похожа на правду. Однако это не является невозможным,
так что нет достаточных оснований для отбрасывания исходной гипотезы.
В таком случае приходим к следующему заключению. Во Вселенной не
должно быть слишком большого количества звезд, обладающих планета-
планетами, на которых температура в течении долгого периода времени оставалась
довольно постоянной и пригодной для развития высших форм жизни. Тем
15. ИЗМЕНЧИВОСТЬ ГРАВИТАЦИОННОЙ ПОСТОЯННОЙ 353
не менее, если имеется хотя бы одна такая звезда, то этого уже достаточно
для согласования с данными наблюдения.
Имеются и иные возможности, способные выручить в данной ситуации.
Если позволить изменяться константе 7? то следует также рассмотреть
возможности для изменений и других физических постоянных. Сам Гамов
рассматривал возможность изменения постоянной е2/(Не) (Gamow 1967),
но вскоре отказался от этой идеи. Однако константы ядерных взаимодей-
взаимодействий могут изменяться. Это может привести к изменениям в скорости
радиоактивного распада, что, в свою очередь, может потребовать модифи-
модификации временной шкалы эволюции на Земле.
После смерти Гамова я заново исследовал аргументы Теллера и при
этом выявился их возможный недостаток. Чтобы вычислить удаление
Земли от Солнца Теллер предполагал, что сохраняется момент импульса
Земли на ее орбите вокруг Солнца. Такое предположение представляется
естественным, но на самом деле оно не достоверно.
Когда вы производите настолько решительные изменения законов
Ньютона, допускающие изменчивость гравитационной постоянной, то
нуждаются в пересмотре и такие частные следствия этих законов как
сохранение момента импульса. Возникает потребность в некотором общем
принципе, служащим критерием того, как меняются законы Ньютона.
Такой принцип предоставляет нам идея Милна, которую я буду называть
гипотезой Милна.
В случае изменяющейся каким-либо образом величины 7 можно ввести
новые единицы измерения промежутков пространства и времени с тем,
чтобы выраженная в этих новых единицах 7 была бы постоянной. Еди-
Единицы измерения пространства и времени должны быть изменены в одном
и том же отношении таким образом, чтобы начиная с атомных единиц
измерения, в которых скорость света с равна единице, и переходя к новым
единицам мы вновь имели бы с = 1. В таком случае гипотеза Милна
утверждает, что все законы Ньютона применимы, если они выражены в но-
новых единицах измерения. Таким образом любые вычисления планетарных
движений следует производить в новых единицах измерения. Мы можем
назвать эти новые единицы механическими единицами измерения.
Наиболее простой способ увидеть, как гипотеза Милна применяется
к движению Земли вокруг Солнца, состоит в анализе скорости Земли.
При пренебрежении эксцентричностью орбиты в терминах механических
единиц Земля имеет постоянную скорость. По этой причине Земля должна
иметь также постоянную скорость, составляющую ту же долю от скорости
света, и в атомных единицах измерения. При величине 7, пропорциональ-
пропорциональной t~x в атомных единицах, в таком случае мы получим, что Земля
приближается к Солнцу, ибо радиус ее орбиты в атомных единицах будет
пропорционален t~x. При этом убывающая светимость Солнца частично
компенсируется. Интенсивность, с которой Земля получает тепло от Солн-
Солнца, будет изменяться как ?~5, вместо ?~9, что уже не так трудно будет
согласовать с палеонтологическими данными.
12 П.Дирак. TIV
354 III. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОСМОЛОГИЯ
Вопрос о переменности величины 7, возможно, будет в скором времени
разрешен на основе прямых наблюдений. Радарные обследования планет
дают данные о параметрах движения планет с исключительно высокой
точностью. Шапиро A968) сделал утверждение, что изменение величины 7
на одну десятимиллиардую долю за год должно обнаружиться в бли-
ближайшие 5 лет. Это позволит решить вопрос о зависимости величины 7
от времени как t, если только не будет существенно повышена оценка
возраста Вселенной по сравнению с ныне принятым значением в 1010 лет.
Литература
Dime P.A.M. II Nature. 1937. V. 139. P. 323.
Dirac P.A.M. II Proc. Roy. Soc. A. 1938. V. 165. P. 199.
Gamow G. // Phys. Rev. Lett. 1967. V. 19. P. 759 and 913.
Milne E.A. II Relativity, Gravitation and World Structure. — Oxford: Clarendon
Press, 1935. P. 292.
Shapiro LI. // Scientific American. 1968. V. 219, № 1. P. 32.
Teller E. // Phys. Rev. 1948. V. 73. P. 801.
16
ЭВОЛЮЦИОННАЯ КОСМОЛОГИЯ
Эволюционная космология была впервые предложена Леметром [1]. Автор на кон-
концептуальном уровне дальше развивает понятия, предложенные Леметром.
1. Фундаментальная гипотеза
Эволюционная космология основана на том, что Вселенная возник-
возникла в определенный момент времени, постоянно изменяется и все более
отдаляется от своего первоначального состояния. Эволюционную космо-
космологию следует отличать от стационарной космологии, согласно которой
Вселенная существовала всегда почти в том же виде, что и сейчас, причем
никаких резких изменений никогда не происходило. Общепринятой сейчас
является именно эволюционная космология.
Экстремальная версия эволюционной космологии была выдвинута
Ж. Леметром1). Он предположил, что Вселенную следует рассматривать
как возникшую в результате распада одного в высшей степени радиоак-
радиоактивного атома. Все, что мы видим сегодня, — галактики и звезды —всего
лишь продукты распада этого атома. Тем самым Вселенная все больше
отдаляется от своего исходного состояния, и для нее нет никакой возмож-
возможности когда-либо вернуться к чему-либо похожему на исходное состояние.
В этом состоит существо идеи эволюции.
Понятие эволюции согласуется с гипотезой, которую я выдвинул2)
в связи с проблемой больших природных чисел. Можно приблизительно
определить возраст Вселенной по наблюдаемому разбеганию галактик,
если вычислить момент времени, когда все они были очень близки друг к
другу. Если затем выразить возраст Вселенной посредством единиц вре-
времени, даваемых атомными часами, можно получить безразмерное число t.
Это число находится где-то вблизи 1039. Оно естественным образом харак-
характеризует настоящую эпоху, причем это число не зависит от какого-либо
прибора, созданного человеком.
Изучая данные, полученные астрономией и атомной физикой, можно
получить и другие безразмерные числа. Любое из этих чисел, которое
оказывается порядка 1039, может рассматриваться как связанное с возрас-
возрастом Вселенной (эпохой) t. Тем самым подобное число не будет оставаться
постоянным с течением времени, но будет возрастать пропорционально t.
Мы имеем здесь дело с общей гипотезой, объединяющей все большие
*) Evolutionary Cosmology // Commentarii Pont. Acad. Scient. 1972. V. 2, № 46. P. 1-15.
12*
356 III. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОСМОЛОГИЯ
безразмерные числа, доставляемые нам Природой. Согласно этой гипотезе
все эти числа возрастают совместно.
Одним из таких чисел является отношение электрической силы к гра-
гравитационной силе в случае, когда эти силы действуют между протоном и
электроном в атоме водорода. Электрическая сила равна ^, а гравитаци-
гравитационная—^^^, где 7 — гравитационная постоянная. Отношение этих сил
г
составляет величину, почти равную 10 . В соответствии с нашей общей
гипотезой, это отношение не может быть постоянным, но должно быть
пропорциональным продолжительности эпохи t. Отсюда можно сделать
вывод о том, что гравитационная постоянная, выраженная в атомных
единицах, должна убывать пропорционально t-1.
Наша фундаментальная гипотеза нуждается в эволюционной космоло-
космологии. Гравитационная постоянная будет продолжать убывать всегда, так
что физические условия будут всегда все более и более отличаться от того,
на что эти условия были похожи в момент рождения Вселенной.
2. Закон расширения
Допустим, что расстояние между двумя соседними галактиками, выра-
выраженное в атомных единицах, равно kf(t). Число к зависит от выбранной
пары галактик, тогда как функция f(t) одинакова для всех пар, если мы
предполагаем Вселенную существенно однородной. Эта функция опреде-
определяет закон расширения Вселенной.
Если принять за основу уравнения Эйнштейна без космологической
постоянной, то, как показали Фридман и Леметр, мы обнаружим, что
Вселенная расширяется до максимального размера, а затем вновь сжима-
сжимается. Подобное поведение не согласовалось бы с нашей основной гипотезой.
Максимальный радиус Вселенной, выраженный в атомных единицах, был
бы примером большого числа, которое является постоянным и не связано
с настоящей эпохой. Но именно такие числа исключаются нашей основной
гипотезой.
Функция f(t) не может содержать каких-либо параметров, являющих-
являющихся большими числами порядка 1039. Любой подобный параметр должен
быть порядка единицы. Если мы не интересуемся очень ранними стадиями
эволюции Вселенной, то нас интересует только асимптотическое поведение
f(t) для больших t. Это поведение должно иметь вид ?п, где п > 0, или,
возможно, log t. Скорость разбегания соседних галактик равна тогда
kntn~x или kt~x.
Случай п = 1 соответствует равномерному расширению, п > 1 — уско-
ускоренному, а случаи п < 1 или log — замедленному расширению. Для любой
космологической теории очень важно различать эти случаи.
Для галактик, близких к нашей, скорость разбегания составляет око-
около 10~3 (если принять скорость света равной 1). Для случая п > 1 эта
16. ЭВОЛЮЦИОННАЯ КОСМОЛОГИЯ 357
скорость постоянно возрастает и в конечном итоге превышает 1, чего не
следует допустить. Для случая п < 1 эта скорость постоянно убывает, и
можно вычислить момент времени в прошлом (например, ?i), когда эта
скорость была равна единице. Таким образом для п = 3/4 мы получаем
t\ — 1027. Очевидно, наша модель не может быть применимой для мо-
моментов времени, более ранних, чем t\. Если t\ велико —например, 1027 —
то существование такого числа, играющего важную роль в теории, про-
противоречит нашей основной гипотезе. Приемлемым было бы значительно
меньшее значение t\.
Отсюда можно сделать вывод о том, что п = 1 и имеет место равно-
равномерное расширение или же п лишь немного меньше единицы, что соответ-
соответствует слабому замедлению.
Для дальнейшего мы примем простейший случай п = 1, поскольку
предлагаемая предварительная теория не претендует на описание тонких
деталей. Поэтому будем считать расстояние между соседними галактика-
галактиками равным kt, а скорость их разбегания постоянной.
3. Постоянное рождение материи
Можно оценить полное количество материи во Вселенной, если учесть
всю видимую материю, а затем допустить наличие также невидимой ма-
материи, полагая при этом, что вклад невидимой материи не слишком велик
по сравнению со вкладом видимой материи. Результат, выраженный через
массу нуклона, будет большим числом, близким к 1078. Согласно нашей
основной гипотезе это число могло бы быть пропорционально ?2, отку-
откуда следует, что количество материи во Вселенной постоянно возрастает.
Таким образом, мы неизбежно приходим к космологии с постоянным рож-
рождением материи.
Необходимо понять, где именно рождается эта новая материя. Для
этого имеется два разумных постулата. А: Материя рождается равномерно
во всем пространстве и, следовательно, в основном в межгалактическом
пространстве. В: Материя рождается там, где она уже существует, пропор-
пропорционально имеющемуся количеству. В обоих случаях постулируется новый
физический процесс, который еще не наблюдался и который трудно понять
в рамках общепринятых физических идей.
Для случая постулата А должно было бы существовать нечто вроде
радиоактивности пустого пространства. Это весьма далеко от того, что на
самом деле наблюдается, и нет никакой основы, на которой можно было
бы построить теорию.
Постулат В был бы не столь далек от наблюдений — он позволяет сде-
сделать некоторые утверждения, которые не были бы в явном противоречии
с известными фактами. Следует предположить, что вновь создаваемые
атомы в точности такие же, как и уже существующие. Каждый атом
должен обладать вероятностью самовоспроизведения, равной примерно
10~10 в год, причем новый атом возникает вблизи исходного. Этот эффект
358 III. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОСМОЛОГИЯ
слишком мал, чтобы его можно было наблюдать непосредственно в лабо-
лаборатории, но его наличие привело бы к росту старых гор на протяжении
геологических периодов. Следует представлять себе этот рост таким об-
образом, что он не разрушает горы и сохраняет любую имеющуюся у них
кристаллическую структуру. Таким образом, любой кристалл должен по-
постоянно расти в размерах. Весьма трудно представить себе, каким образом
должен происходить этот рост, поскольку этот эффект является объем-
объемным, а не поверхностным. Вновь возникающие атомы должны каким-то
образом доставляться к поверхности кристалла. Разумеется, у них есть
для этого достаточно времени, поскольку скорость роста чрезвычайно
мала.
Было бы желательно, чтобы наша теория согласовалась с общей теори-
теорией относительности Эйнштейна, которая, как известно, требует сохранения
массы. Этой теории невозможно удовлетворить, приняв постулат А. Это,
однако, становится возможным на основе постулата Д если мы отнесем
его к единице массы, которая растет по отношению к массе нуклона про-
пропорционально t2. По отношению к этой новой единице масса любой части
вещества остается постоянной.
Я полагаю, что постулат В более предпочтителен, поскольку несмотря
на трудность с объяснением роста кристаллов он согласуется с теорией
Эйнштейна. Этот постулат позволяет построить разумную космологию,
основные идеи которой мы опишем ниже.
4. Две метрики
При наличии новой единицы массы необходимо ввести и новые единицы
длины и времени, отличные от атомных единиц. Примем по-прежнему
скорость света по отношению к новым единицам равной 1, так что
единицы длины и времени будут изменяться в одинаковом отношении.
Тогда мы получим новую метрику dsE, необходимую для уравнений Эйн-
Эйнштейна, но отличающуюся от метрики cIsa, которую дают атомные изме-
измерения.
Для получения отношения этих двух метрик рассмотрим движение
Земли по своей орбите вокруг Солнца (пренебрегая ее эксцентриситетом).
Согласно законам Ньютона,
где М — масса Солнца, v и г — скорость Земли и радиус ее орбиты. Эта
формула должна быть применима как в атомных, так и в эйнштейновых
переменных. В последнем случае 7 — 1? тогда как М, v и г —постоянные
величины. В атомных единицах v имеет то же значение, что и в эйнштейно-
эйнштейновых, т. е. по-прежнему сохраняет постоянное значение. Однако вследствие
постоянного рождения материи ^ : t~x, ъ, М \ t2. Поэтому в атомных
единицах г пропорционально ?, тогда как в эйнштейновых единицах г
постоянно; следовательно, гд
16. ЭВОЛЮЦИОННАЯ КОСМОЛОГИЯ 359
Такая же связь должна иметь место для любых измерений расстояния
и времени с помощью двух указанных систем единиц, так что в итоге
dsA = t dsE- A)
Продолжительность эпохи t может быть выражена как в эйнштейно-
эйнштейновых, так и в атомных единицах; в формуле A) использованы атомные еди-
единицы. Если обозначить через т продолжительность эпохи в эйнштейновых
единицах, получим
dt = tdr,
так что
r = logt, B)
где мы пренебрегли возможной постоянной интегрирования.
Эйнштейновы единицы и время т следует использовать, применяя за-
законы классической механики — как в теории Эйнштейна, так и в приближе-
приближении Ньютона для нее. Атомные единицы и время t следует использовать,
применяя законы квантовой механики. Тем самым имеет место космоло-
космологическое ограничение принципа соответствия Бора, который постулирует
подобие между квантовыми и классическими законами.
В эйнштейновых единицах все атомные «постоянные» будут перемен-
переменными величинами. Радиус боровской орбиты а : t, масса электрона
т : t~2. Скорость электрона и на орбите одинакова в эйнштейновых и
атомных единицах, так что она всегда постоянна. Ускорение электрона на
боровской орбите равно
е v
2
та
так что е2 = mav2 : t 3. Иногда предполагается, что обратная величина
к постоянной тонкой структуры h/e2 может изменяться пропорционально
log t. Однако существуют наблюдательные подтверждения того, что эта
величина не изменяется; положив ее постоянной, мы получаем h : ?~3.
Идея наличия двух времен, связанных соотношением B), одно из кото-
которых пригодно для классической механики, а другое — для атомных явле-
явлений, была впервые высказана Е.А. Милном 3). Он выдвинул общую теорию
мироздания. Однако он не сформулировал основную гипотезу, описанную
в данной работе, поэтому детали нашей и его работ отличаются друг от
друга; например, согласно Милну h : t (см. с. 120 его книги).
5. Модель Эйнштейна
Расстояние между соседними галактиками в атомных единицах состав-
составляет kt. В эйнштейновых единицах согласно A) это же расстояние равно
просто &, т.е. является постоянным. В эйнштейновых единицах галактики
не разбегаются, но остаются приблизительно на постоянном удалении друг
от друга. Таким образом, в эйнштейновых единицах мы получаем в каче-
качестве первого приближения статическую Вселенную Эйнштейна.
360 III. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОСМОЛОГИЯ
Если мы работаем в рамках картины мира Эйнштейна, то мы долж-
должны предположить, что атомные часы, отмечающие единичный интервал
времени At = 1, отметят интервал времени Ar = t-1. С увеличением t
атомные единицы времени будут становиться все меньше, так что атомные
часы будут непрерывно ускорять свой ход.
Момент создания Вселенной t = 0 соответствует моменту г = — ос, так
что в картине Эйнштейна Вселенная существовала всегда. Это, однако, не
означает, что эволюция располагала неограниченным временем, поскольку
по мере того как т возвращается к значению —ос все физические процессы
замедляются (по атомным часам). Эта ситуация аналогична обсуждав-
обсуждавшейся Леметром4) в его модели, где момент создания Вселенной был
отодвинут в бесконечное прошлое.
Чтобы понять, каким образом возникает красное смещение излучения
галактик в модели Эйнштейна, в которой отсутствует их разбегание, сле-
следует принять во внимание, что это излучение было испущено в прошлом,
когда атомные часы шли медленнее. Длина волны испущенного света
измерялась по отношению к этим отстающим часам. В эйнштейновских
единицах длина волны остается постоянной по мере того как свет распро-
распространяется по направлению к нам. Когда он доходит до нас, он измеряется
сегодняшними атомными часами и кажется имеющим большую длину вол-
волны. Возрастание длины волны пропорционально отношению t/te, где te —
момент испускания излучения; таким образом, красное смещение равно
z = (t-te)/te.
В рамках статической модели Эйнштейна имеется естественная едини-
единица времени т, связанная с радиусом Вселенной. Пусть этот радиус в метри-
метрике Эйнштейна равен Re] можно положить Re = 1, что даст определенную
единицу т.
При наличии определенных единиц т и t формулу B) следует уточнить.
Она примет вид
кт = log(Kt),
где к и К — постоянные порядка единицы. Сразу же видно, что величина
К не имеет физического смысла, но просто сдвигает начало отсчета т.
Поэтому положим К = 1 и получим
хт = log г, (з)
остающаяся в этой формуле величина к имеет физическиы смысл.
Чтобы выразить его в явной форме, рассмотрим другой момент време-
времени ?', соответствующий т'. Тогда получим
к{т-т') = log^,
откуда, положив t/t1 = е, находим к{т — т') = 1. Таким образом, к — это
временной интервал Эйнштейна, необходимый для прохождения светом
радиуса Вселенной, отнесенный к временному интервалу Эйнштейна, в те-
течение которого атомные часы ускоряют свой ход в е раз.
16. ЭВОЛЮЦИОННАЯ КОСМОЛОГИЯ 361
Формула C) приводит к соотношению
xdr = t~x dt,
так что формула A), связывающая две метрики, должна усложниться и
принять следующий вид:
d t d D)
Множитель к должен быть порядка единицы, однако теоретический
способ найти его в рамках имеющихся сегодня сведений отсутствует. Этот
множитель может быть вычислен только на основе конкретной теории,
устанавливающей связь между Вселенной и атомом, но в настоящее время
мы еще далеки от такой теории. Можно получить некоторое представление
о величине к на основе наблюдений, связывающих среднюю плотность
материи с постоянной Хаббла.
Пусть К а — радиус Вселенной в атомных единицах. Из уравнения D)
имеем
RA =
поскольку мы приняли Re = 1. Таким образом мы приходим к другому
физическому истолкованию величины х, а именно, она равна отношению
радиуса Вселенной (в атомных единицах) к продолжительности современ-
современной эпохи (в атомных единицах).
В рамках статической Вселенной Эйнштейна плотность материи (от-
(отнесенная к естественной единице массы) равна
р=DтгД2)-1.
Фактическая средняя плотность материи во Вселенной известна не очень
точно, поскольку неизвестно точное количество несветящейся (темной)
материи — например, в форме черных дыр или межгалактического газа.
Однако вклады таких форм материи, по всей вероятности, не слишком
превосходят вклады светящейся материи. Используя разумные оценки, мы
получаем значение R около 80 • 109 лет. Принятое сейчас значение по-
постоянной Хаббла дает для продолжительности настоящей эпохи значение
20 • 109 лет, так что мы получаем значение к около 4.
Обычные космологические теории требуют, чтобы значения радиуса
и продолжительности эпохи были в точности согласованы. Поэтому мно-
множитель 4 очень беспокоит космологов. Они обычно исходят из того, что
должно существовать очень большое количество ненаблюдаемой материи.
Однако чтобы устранить расхождение, необходимо повысить значение в 16
раз. В рамках предлагаемой теории расхождение отсутствует, поскольку
отсутствует теоретическая оценка значения х.
6. Следствия
Вся изложенная выше теория является следствием двух основных пред-
предположений, а именно: фундаментальной гипотезы, принятой в самом на-
начале, и постулата В, ответственного за непрерывное порождение материи.
362 III. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОСМОЛОГИЯ
Эти предположения представляются разумными в свете имеющегося у нас
знания. Однако все же они остаются лишь предположениями и могут быть
доказаны лишь на основе сравнения их следствий с наблюдениями. Рас-
Рассмотрим подобные следствия в тех областях, где могло бы обнаружиться
расхождение между предположениями и наблюдениями.
Можно, например, рассмотреть изменения температуры Земли в тече-
течение геологических периодов. Есть свидетельства в пользу того, что прими-
примитивная жизнь существовала на Земле уже 3 • 109 лет назад; это означает,
что температура в тот период должна была не слишком отличаться от
существующей сегодня. Теллер5) показал, что светимость L звезды типа
Солнца пропорциональна j7 М5.
Принимая 7 : t'1 и М : ?2, мы получаем L : t3. Скорость, с которой
Земля получает энергию от Солнца, равна L/r2 : ?, так что в прошлом
она была несколько ниже. Этот факт мог быть, однако, компенсирован
повышенной радиоактивностью внутри Земли. В любом случае теория не
потребовала бы значительных изменений температуры, которые были бы
несовместимы с данными палеонтологических наблюдений.
В соответствии с изложенной теорией Земля должна была бы расши-
расширяться в течение геологических периодов благодаря постоянному рожде-
рождению внутри нее нового вещества. Наблюдаемый дрейф континентов в сто-
стороны друг от друга поддерживает эту точку зрения; о том же говорит
наличие разломов (рифтов) в континентах и океанах. По этому вопросу
много писал П. Йордан 6).
Сохранение энергии в эйнштейновых единицах требует, чтобы число
атомов в определенном «куске» материи возрастало пропорционально t2.
Аналогично, оно требует, чтобы число фотонов в определенном пучке света
также возрастало. Энергия фотона равна hv, причем h : t~3 в эйнштей-
эйнштейновых единицах, тогда как v остается постоянной. (Именно постоянство v
в эйнштейновых единицах и ее уменьшение пропорционально t в атом-
атомных единицах приводит к красному смещению). Таким образом, энер-
энергия фотона убывает пропорционально t~3] соответственно, число фотонов
в пучке должно возрастать пропорционально t3.
Этот эффект вызовет увеличение кажущейся яркости удаленной галак-
галактики или квазара. Если для этих объектов величина красного смещения
равна ?, то кажущаяся яркость должна увеличиться в A + zK раз. Если
нам была бы известна абсолютная яркость, мы получили бы надежный
способ проверки теории; однако, разумеется, эта величина нам неизвестна.
Можно было бы предположить, что средняя абсолютная яркость удален-
удаленных объектов статистически такая же, что и для близко расположенных
объектов. Тогда появляется некоторое свидетельство в пользу усиления
кажущейся яркости удаленных объектов — в полном соответствии с тре-
требованиями теории. Однако это предположение ненадежно, поскольку уда-
удаленные объекты наблюдаются на раннем этапе своей истории и потому не
находятся в том же состоянии, что близкие объекты.
16. ЭВОЛЮЦИОННАЯ КОСМОЛОГИЯ 363
Для очень удаленных объектов возникает добавочный эффект усиле-
усиления, обусловленный кривизной пространства. Если величина к в уравне-
уравнении D) действительно имеет значение около 4, то этот эффект не будет
заметен для всех объектов за исключением значительно более удаленных,
чем все до сих пор наблюдавшиеся.
Возрастание числа фотонов должно быть отнесено также к микровол-
микроволновому излучению, которое наблюдается в виде непрерывно падающего
на Землю потока и, как полагают, является остаточным проявлением
Большого Взрыва. Допустим, что это излучение в определенный момент
времени является чернотельным. Тогда если число фотонов сохраняет-
сохраняется, то оно останется таким же и в более поздние моменты; оно лишь
преобразуется к излучению более низкой температуры, соответствующей
красному смещению. Если же в соответствии с настоящей теорией число
фотонов возрастает, то черноте л ьный характер излучения не сохраняется.
Если оно первоначально было серым, то с течением времени оно будет
приближаться к черному, а затем перейдет через этот рубеж: и станет
сверхчерным.
Если бы в настоящее время наблюдалось черное излучение, то это про-
противоречило бы рассматриваемой теории, поскольку требовало бы ничем не
оправданного совпадения. К счастью для теории, наблюдаемое излучение
не является абсолютно черным. Наблюдения, сделанные на поверхности
Земли, для микроволн, проникающих сквозь атмосферу, согласуются с зако-
законом Планка. Однако эти наблюдения могут быть сделаны лишь для диапазо-
диапазона длин волн, в котором они согласуются также с формулой для серого тела
при более высокой температуре. Наблюдения, сделанные для более коротких
длин волн вне земной атмосферы с помощью инструментов, помещенных
на ракетах, подтверждают формулу для излучения серого тела.
Наиболее надежная проверка настоящей теории могла бы, вероятно,
быть проведена по результатам наблюдений радарного зондирования пла-
планет. Проведенный анализ, связанный с орбитой Земли, показывает, что при
использовании атомных единиц, совместное влияние уменьшения гравита-
гравитационной постоянной и возрастания массы Солнца приводит к возрастанию
радиуса земной орбиты, составляющему примерно 5 • 101 в год. В том
же отношении должны расти и все остальные планетные расстояния. Этот
эффект был бы космологическим и накладывался бы на другие планетные
возмущения. В настоящее время радарные наблюдения планетных рас-
расстояний могут проводиться с чрезвычайно высокой точностью. Шапиро7)
утверждает, что космологический эффект — если он существует — должен
быть обнаружен в течение ближайших нескольких лет.
7. Выводы
Эволюционная космология была впервые предложена Леметром [2]. Он
полагал, что Вселенная начала свое существование в определенный момент
времени с одиночного высокорадиоактивного атома. Все, что мы видим
364 III. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОСМОЛОГИЯ
сейчас — галактики и звезды — это продукты соответствующего распада.
Таким образом, Вселенная все больше отклоняется от своего первоначаль-
первоначального состояния.
Если мы используем атомные часы для измерения времени, то для
настоящего момента мы получаем определенное число t порядка 1039.
Разумное развитие идей Леметра можно получить, если предположить,
что все фундаментальные большие числа этого порядка, которые могут
быть построены из данных астрономии и атомной физики, связаны с t и
возрастают пропорционально t.
Чтобы в этой теории получить согласие с теорией Эйнштейна, следу-
следует принять, что метрика Эйнштейна dsE не совпадает с метрикой dsA?
полученной с помощью атомных часов. Отношение этих метрик должно
изменяться с течением времени в соответствии с равенством dsA = tdsE-
Таким образом, атомные часы постоянно спешат относительно метрики
Эйнштейна.
Литература
1. Lemaitre G. // British Association Report. 1931. P. 605.
2. Dirac P.A.M. // Proc. Roy. Soc. A. 1938. V. 165. P. 199.
3. Milne E.A. // Kinematic Relativity. Oxford. 1947. P. 36
4. Lemaitre G. // Ann. Soc. Scient. Bruxelles. 1927. V. 47A. P. 40; Monthly Notices
of R.A.S. 1931. V. 91. P. 483.
5. Teller E. // Phys. Rev. 1948. V. 73. P. 801.
6. Jordan P. Л Cahier de Physique. 1966. V. 194. P. 357. См. также книгу «The
Expanding Earth», Pergamon Press, 1971.
7. Shapiro I.I. // Scientific American. 1968. V. 219. P. 32.
17
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ КОНСТАНТЫ И
ИХ РАЗВИТИЕ ВО ВРЕМЕНИ *)
1. Гипотеза Больших Чисел х)
Сведения, получаемые экспериментаторами, снабжают нас некоторым
числом констант. Обычно эти константы обладают размерностью и в таком
случае, конечно, их значения зависят от того, какие единицы измерения
используются, то ли сантиметры, то ли дюймы. В этом случае они не
представляют интереса для теории. Однако, эти константы можно ком-
комбинировать и получать из них такие, которые являются безразмерны-
безразмерными, совершенно не зависящими от используемой системы единиц. Только
безразмерные константы представляют интерес в наших теоретических
обсуждениях и только с такими я буду иметь дело сегодня.
Одними из важнейших констант являются обратная величина посто-
постоянной тонкой структуры /гс/е2, которая равна примерно 137 и отношение
массы протона к массе электрона тр/те, которое составляет где-то около
1800. Если не вдаваться в детали, эти числа можно считать близкими к
единице. Физики верят в то, что существует объяснение для этих чисел.
В данный момент мы не знаем, по какой причине они имеют те значения,
которые имеют. Тем не менее чувствуется, что для них должно быть
какое-то объяснение и, когда наша наука станет достаточно развитой, мы
сможем вывести значения этих чисел. В этом случае мы узнаем, что они
превратились в некоторые комбинации из 4тг и других чисто математиче-
математических множителей, возникающих в наших уравнениях.
Кроме того имеется еще одно число, которое также имеет фундамен-
фундаментальное значение, — это отношение электростатической и гравитационной
сил, действующих между электроном и протоном. Электростатическая
сила равна е2/г2. Гравитационная сила равно jmpme/r2, где 7 являет-
является константой. Их отношение, а именно е2/(/утрте)^ не зависит от г.
Можно вычислить значение этой безразмерной величины и оказывается,
что оно равно числу где-то порядка 1039. Это чрезвычайно большое число
относится к совершенно иному разряду по сравнению с теми, что у нас
были. Возникает вопрос: «Как мы можем это объяснить?» Можем ли мы
каким-то путем получить это громадное число как результат какой-либо
теории? Это представляет собой серьезную проблему.
*) Fundamental Constants and their Development in Time. The Physicist's Conception of
Nature / Ed. J. Mehra. — Dordrecht: D. Reidel. 1973. P. 45-54.
; Подготовленные заранее замечания К. Вейцзеккера к докладу Дирака публикуют-
публикуются ниже в Приложении 3.
366 III. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОСМОЛОГИЯ
Далее другое громадное число поставляется нам космологией. Мы
имеем доказательства того, что Вселенная расширяется, поскольку спи-
спиральные туманности удаляются друг от друга. Какое-то время назад вся
материя во Вселенной была сосредоточена вместе очень тесно. Этот мо-
момент образует что-то типа начала времени и наше нынешнее время мы
можем отсчитывать от этого начала. Таким путем мы получаем возраст
Вселенной. Согласно последним оценкам он равен примерно 2 • 1010 лет.
Мы можем выразить данный возраст, который обычно называется эпо-
эпохой, через атомные единицы измерения вместо таких достаточно искус-
искусственных единиц измерения как год. Атомные единицы будут измеряться
атомными часами какого-либо типа и на самом деле не суть важно, какой
конкретно тип атомных часов мы используем. Когда мы запишем в этих
единицах эпоху, то мы вновь получим число, близкое к 1039. Его значение
может отличаться на несколько порядков в зависимости от того, какие кон-
конкретные атомные часы мы используем. Однако оно по-прежнему окажется
огромным числом, почти таким же, как и то, что получается из отношения
электростатической и гравитационной сил.
Далее, я верю в то, что эта взаимосвязь не должна рассматриваться
как случайная. Для нее должна быть какая-то причина. Мы не знаем,
какова эта причина. Однако само наличие этой связи позволяет нам понять
число ijmpme/e2. Оно является просто эпохой, умноженной на некоторый
множитель, близкий к единице.
Если принять эту точку зрения, то в таком случае мы приходим к
достаточно странному заключению. Эпоха не имеет постоянного значения.
Оно становится все больше, чем старее становится Вселенная. Поэтому
если число jmpme/e2 связано с эпохой, то оно также не должно быть
константой. Оно должно становиться все больше с увеличением эпохи и
должно быть пропорционально значению эпохи. Мы приходим к выводу,
что гравитационная постоянная 7; измеренная в атомных единицах, не
является константой, а изменяется одновременно с эпохой ?, пропорци-
пропорционально t~x. Гравитационные силы становятся все слабее по сравнению
с электростатическими.
Это является отправной точкой теории, которую я собираюсь предста-
представить вам. Она включает в себя фундаментальное допущение, что все эти
огромные числа связаны друг с другом. Данное предположение должно
быть расширено до утверждения о том, что когда бы мы ни обнаружили
в природе какое-либо огромное число, оно должно быть связано с эпохой.
Его значение, благодаря этому, должно меняться с изменением t. Я буду
называть это положение Гипотезой Больших Чисел.
Для космологии она имеет важные следствия. Были предложены раз-
различные космологические теории. Можно допустить в качестве разумного
основания, что теория относительности Эйнштейна выполняется. Если
в таком случае применить уравнения Эйнштейна к Вселенной, которая
предполагается приблизительно однородной, то получатся различные кос-
космологические модели, которые были разработаны Фридманом. Некоторые
17. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ КОНСТАНТЫ И ИХ РАЗВИТИЕ ВО ВРЕМЕНИ 367
из этих моделей включают в себя Вселенную, которая начинается как
очень малая, затем расширяется до максимального размера, а потом опять
сжимается. Чтобы такая модель была приемлемой, мы должны предпо-
предположить, что мы находимся сейчас на стадии расширения и наблюдаем
это расширение в виде разбегающихся галактик. Однако мы замечаем,
что такая модель противоречит нашей Гипотезе Больших Чисел. Она
включает в себя максимальный размер Вселенной. Если выразить данный
максимальный размер через атомные единицы, то мы получим очень боль-
большое число и оно будет константой. Именно существование очень больших
чисел, которые при этом являются константами, согласно нашей Гипотезе
Больших Чисел исключается.
2. Закон расширения
Попытаемся постичь закон расширения Вселенной.
Рассмотрим некоторую соседнюю галактику и выразим ее расстояние
от нас через атомные единицы. Выберем скорость света, равной единице,
так что атомные часы, которые задают некоторый стандарт времени, будут
также задавать и стандарт длины. Расстояние до соседней галактики мы
можем тогда записать в виде kf(t), где к является константой, зависящей
от того, какую из соседних галактик мы выбрали, а функция f(t) выра-
выражает закон расширения Вселенной.
Если мы не интересуемся началом эволюции Вселенной, то в таком слу-
случае нас интересует только асимптотическое поведение f(t) при больших t.
Согласно Гипотезе Больших Чисел, асимптотическое выражение для f(t)
не может содержать каких-либо очень больших констант. По этой причине
оно должно быть вида tn или возможно log t. Скорость удаления соседней
галактики в таком случае равна kntn~1 или к/t. Для определения формы
закона расширения мы должны либо выбрать некое значение для п, либо
решить, что имеет место логарифмическая зависимость. Если п равно
единице, то мы имеем равномерное расширение. Если п больше единицы,
то мы имеем ускоренное расширение. Если п меньше единицы или если мы
имеем логарифмический случай, то имеет место замедленное расширение.
Далее имеется довольно простой аргумент для выбора между указан-
указанными возможностями. Если мы берем галактику, которая находится вбли-
вблизи нашей собственной, то ее скорость разбегания, принимая скорость света
равной единице, составляет что-то порядка 10~3. Теперь если нынешняя
скорость разбегания равна 10~3 и мы возьмем для п значение больше
единицы, то эта скорость разбегания будет возрастать. В конце концов она
станет больше единицы, а это именно то, чего мы не можем допустить. Та-
Таким образом ускоряющееся расширение не согласуется с нашей Гипотезой
Больших Чисел.
Теперь поговорим о другой возможной ситуации, когда п меньше
единицы. Это будет означать, что скорость разбегания в прошлом была
больше, чем сейчас. Если мы вернемся назад во времени на достаточно
368 III. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОСМОЛОГИЯ
большой промежуток, то мы придем к некоторой эпохе, когда эта скорость
была больше единицы. Но в таком случае станет ясно, что в то время все
устройство Вселенной должно было бы быть совершенно другим. Сколько
лет тому назад был такой момент времени? Выберем для примера п = 3/4.
В таком случае скорость разбегания kntn~1, будучи теперь равной 10~3,
равнялась единице в эпоху, когда t = 1027. В ту эпоху даже ближайшие
соседние галактики разбегались друг от друга со скоростью света. Но
в таком случае должно было бы произойти некоторое фундаментальное
изменение в нашей модели Вселенной. Данная конкретная эпоха представ-
представляла бы собой некоторый весьма характерный момент времени и при этом
ей отвечает большое число, не совсем настолько большое как 1039, но тем
не менее слишком большое, чтобы оно допускалось Гипотезой Больших
Чисел. Поэтому и этот случай также должен быть отброшен. Следова-
Следовательно, любое значение п, заметно меньшее чем 1, а также логарифмиче-
логарифмический случай должны быть отброшены. Итак мы остаемся с единственной
возможностью п = 1 или очень близко к единице. Это предварительный
набросок теории и поскольку мы не уделяем здесь внимания ее специфиче-
специфическим особенностям, мы просто кладем п = 1. Это означает, что расширение
в ней является равномерным и скорость разбегания является постоянной.
Впервые я рассматривал эту идею перед войной. Однако я не развил ее
в правильном направлении и в ранних работах содержались ошибки. То,
о чем я говорю сейчас, существенно отличается от предвоенной версии, и
я надеюсь, что это представляет собой исправленный вариант теории [1].
3. Непрерывное создание вещества
Теперь я хотел бы ввести другое понятие: общее количество вещества
во Вселенной. Мы можем выразить эту величину через массу протона
или нейтрона и получить безразмерное число. Чтобы стать предметом
обсуждения, это число должно быть безразмерным. Оно имеет достаточ-
достаточно неопределенное значение, поскольку мы не знаем сколько невидимой
материи находится в состоянии черных дыр или в виде межзвездного
газа. Однако можно сделать разумные допущения. Если предположить,
что количество невидимого вещества не намного больше, чем количество
наблюдаемого вещества, то для полного количества вещества во Вселенной
получаем число около 1078, выраженное в терминах масс протона, и таким
образом близкое к квадрату эпохи.
В соответствии с нашей Гипотезой Больших Чисел, данное число долж-
должно быть равно квадрату эпохи, умноженному на некоторый близкий к
единице множитель. Следовательно оно должно возрастать пропорцио-
пропорционально квадрату эпохи. Это означает, что мы имеем дело с непрерывным
созданием вещества.
Проблема непрерывного создания вещества активно обсуждалась кос-
космологами. Однако это было связано с другой теорией — теорией стационар-
стационарного состояния Вселенной. То, о чем я сейчас говорю, не является теорией
17. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ КОНСТАНТЫ И ИХ РАЗВИТИЕ ВО ВРЕМЕНИ 369
стационарного состояния. Это эволюционная теория, в которой имеет ме-
место определенный начальный момент времени для Вселенной. Такая эво-
эволюционная теория или, как ее часто называют, теория Большого Взрыва,
если она развивается в соответствии с Гипотезой Больших Чисел, то также
требует непрерывного создания вещества. Как я вижу, это требование
является неизбежным. Оно является просто таким же принудительным
как и, прежде всего, требование изменения гравитационной постоянной.
Далее, если происходит непрерывное создание вещества, то немедленно
возникает вопрос: где это вещество создается? Похоже что имеется три
возможных предположения, которые могут быть сделаны.
Предположение 1. Мы можем полагать, что вещество создается равно-
равномерно по всему пространству.
Предположение 2. Вещество создается там, где оно уже существует,
пропорционально количеству имеющемуся в данном месте.
Предположение 3. Вещество создается в особых местах таких как цен-
центры галактик или подобных им.
Какого-либо решающего аргумента, позволяющего сделать выбор меж-
между этими тремя возможностями, я не знаю. Однако можно отдать предпо-
предпочтение одному из них на основе общих рассуждений.
Прежде всего, о предположении 3, которое мне совершенно не нра-
нравится. Я не вижу, как можно продолжать построение какой-либо дина-
динамической теории, если мы имеем дело с веществом, которое непрерывно
создается в одних местах и при этом не создается подобным же образом
в других. Поэтому предположение 3 я отбрасываю.
Но мы все еще имеем предположения 1 и 2. Что они будут означать?
Предположение 1 означает, что большая часть создаваемого вещества бу-
будет создаваться в межгалактическом пространстве, которое весьма близко
к тому, что является вакуумом. Это будет похоже на то, что вакуум обла-
обладает спонтанной радиоактивностью, которая может создавать вещество, и
что этот процесс имеет место всегда и везде.
На предположение 2 можно также смотреть как на некоторый вид
радиоактивности. Вещество повсюду умножает само себя. Если мы не при-
придем к противоречию с огромным количеством установленных фактов, то
в рамках гипотезы 2 мы можем полагать, что вновь создаваемое вещество
состоит из атомов такой же природы, как и те, что уже существовали
там ранее. Следовательно там, где есть водород, будут создаваться новые
атомы водорода, а там, где есть железо, будут создаваться новые атомы
железа и т. д.
Нет никакого действительно решающего довода для выбора между
этими предположениями, но я предпочитаю предположение 2, поскольку
оно может быть согласовано с эйнштейновой теорией гравитации. Теория
Эйнштейна требует, чтобы вещество сохранялось в крупных масштабах.
Если вещество должно непрерывно создаваться повсюду в пространстве,
то это приводит к весьма прямому противоречию с эйнштейновой теорией.
370 III. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОСМОЛОГИЯ
Нам пришлось бы каким-то образом модифицировать теорию Эйнштейна
и при этом совершенно не ясно, как должна проводиться эта модификация.
Предположение 2 можно привести в согласие с эйнштейновой теорией,
если сказать, что теория Эйнштейна относится к той единице массы, кото-
которая изменяется по отношению к атомным единицам. Согласно предположе-
предположению 2, число протонов или нейтронов в куске вещества должно возрастать
пропорционально t2. Теперь, если мы примем, что теория Эйнштейна
относится к таким единицам массы, которые по отношению к атомным
единицам изменяются согласно ?~2, то в таком случае в эйнштейновых
единицах мы будем иметь массу, остающуюся постоянной. Таким обра-
образом, в рамках предположения 2 мы можем получить согласие с теорией
Эйнштейна за счет использования подходящей единицы массы. В таком
случае мы имеем возможность развития нашей космологии, которая будет
в согласии как с Гипотезой Больших Чисел, так и с теорией Эйнштейна.
По этой причине я предпочитаю предположение 2, однако замечаю, что
в связи с этим имеются некоторые трудности. Оно требует, чтобы веще-
вещество повсеместно преумножалось. Скорость такого преумножения в дей-
действительности совершенно медленная. Использование для эпохи значения
2 • 1010 лет будет означать, что каждый атом имеет шанс создания нового
атома, близкий по порядку к 10~10 в год. Это очень медленная скорость
роста, но тем не менее она может иметь важные следствия применительно
к Земле, если рассмотреть течение геологических периодов. Я думаю что
Иордан несколько позже будет говорить о том, как подобного рода предпо-
предположение может повлиять на строение Земли. Я просто хотел бы привлечь
внимание к одной конкретной трудности. Мы располагаем очень старыми
горными породами, которые могут проявлять кристаллическую структуру.
Эти породы существовали на протяжении сотен миллионов лет и в течении
этого времени происходило вполне ощутимое создание нового вещества.
Такое образование нового вещества должно было происходить некоторым
образом так, чтобы не нарушалась кристаллическая структура. Каким-то
образом новые атомы, формируемые кристаллом, должны быть смещены
на поверхность кристалла так, чтобы целостная структура кристалла не
нарушалась. Я не знаю, какой именно физический процесс может дать
подобный результат. Однако в любом случае, какую бы гипотезу создания
вещества мы ни использовали, нам придется выйти за рамки стандартной
физики.
4. Две метрики
Рассмотрим развитие нашей космологии при сделанном предположе-
предположении 2, придерживаясь как Гипотезы Больших Чисел, так и эйнштейновой
теории гравитации. Немедленным следствием из нее является то, что ко-
когда мы рассматриваем линейный элемент ds, связывающий две соседние
точки пространства-времени, то для него имеются два выражения, кото-
которые представляют интерес для физика. Одно из них — это элемент ds,
17. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ КОНСТАНТЫ И ИХ РАЗВИТИЕ ВО ВРЕМЕНИ 371
возникающий в теории Эйнштейна; позвольте мне обозначить его как dsE-
Другим является dsA, измеряемый по атомным часам. Эти два элемента
ds не являются одинаковыми, поскольку, во-первых, единица массы в од-
одном случае является отличной от единицы массы в другом. Мы должны
попытаться найти связь между dsE и dsA- Простое соображение приведет
нас к искомому результату.
Рассмотрим движение Земли по орбите вокруг Солнца, пренебрегая ее
эксцентриситетом. Допустим, что мы используем приближение Ньютона.
Тогда мы имеем jM = v2r, где 7 — гравитационная постоянная, умножен-
умноженная на М — массу Солнца, равна v2 — квадрату скорости Земли на орбите,
умноженному на г —радиус орбиты. Теперь это равенство, одно из основ-
основных равенств механики, должно выполняться во всех системах единиц,
будь то единицы Эйнштейна или атомные единицы. Скорость v является
одной и той же для любой из систем единиц, поскольку представляет собой
некоторую долю от скорости света. Далее в эйнштейновых единицах 7
безусловно является константой, на самом деле она равна 1. Величины М,
г?, 7 и г — все они оказываются постоянными в единицах Эйнштейна.
А как насчет атомных единиц? Число всех нуклонов Солнца должно
увеличиваться согласно закону ?2, представляющему собой общий закон
увеличения числа нуклонов повсюду. Следовательно М пропорциональ-
пропорционально t2. Кроме того 7 пропорционально t~~*~. Отсюда мы сразу получаем,
поскольку v по-прежнему является константой, что г пропорционально t.
Выраженная в атомных единицах орбита Земли должна быть растущей
пропорционально эпохе. Но при выражении ее в единицах Эйнштейна она
является постоянной. Далее перенесем этот пример с радиусом земной
орбиты на общий элемент ds. Таким образом элемент ds в единицах
Эйнштейна связан с ds в атомных единицах уравнением dsA = tdsE-
Оно представляет собой связь между двумя метриками, которая нужна
физикам.
Если мы пользуемся единицами Эйнштейна, то мы можем измерить
эпоху с помощью этих единиц и получить величину, назовем ее г, для
продолжительности эпохи в эйнштейновых единицах измерения. Если мы
свяжем эту величину с ?, выражающим эпоху в атомных единицах, то
получим dt = t dr, что приводит к выражению т = log t. Это означает, что
в единицах измерения Эйнштейна мы имеем совсем другую картину. В ней
Вселенная существует на протяжении всего времени вместо того, чтобы
иметь определенное начало, ибо г = —ос соответствует моменту t = 0.
Ради исторической справедливости должен заметить, что идея двух
мер для эпохи, связанных между собой таким путем, не является новой.
Она была предложена Милном 2) до войны и он много сделал в этом
направлении. Однако аргументы Милна были совершенно отличными от
2) См. книги Милна «Относительность, гравитация и структура мира» (Relativity,
Gravitation and World Structure) и «Кинематическая относительность» (Kinematic Rel-
Relativity), изданные Clarendon Press.
372 III. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОСМОЛОГИЯ
моих. Он не использовал Гипотезу Больших Чисел, а также несколько
иными являются составляющие его уравнений.
Итак у нас есть две системы единиц. Мы пользуемся единицами изме-
измерения Эйнштейна в классической механике для решения задач механики.
Мы используем атомные единицы измерения для квантовой теории. Это
безусловно означает, что имеет место своего рода отход от стандартного
принципа соответствия, связывающего классическую механику и кванто-
квантовую механику. Однако я не думаю, что имеются какие-либо возражения
против этого, поскольку связь между двумя совокупностями единиц есть
именно то, что изменяется лишь чрезвычайно медленно в лабораторных
масштабах.
Когда мы используем эйнштейновы единицы измерения, то все атом-
атомные константы становятся переменными. Можно совершенно просто выяс-
выяснить, каким образом они изменяются. Например, находим, что заряд элек-
электрона в единицах Эйнштейна пропорционален ?~3/2, a h пропорциональна
?~3, так что отношение е2/h является константой. Можно думать, что
отношение е2 /h может изменяться по логарифмической зависимости от
эпохи. В действительности Гамов исследовал такую возможность, однако
имеются данные наблюдений, противоречащие этому. Так что я настаиваю
на том, что е2/h остается постоянной.
Какой мы получаем картину Вселенной, когда соотносим ее с едини-
единицами Эйнштейна? Если мы анализируем расстояние от нашей галактики
до соседней галактики и измеряем его в атомных единицах, то оно растет
пропорционально t. Следовательно dsA пропорционально t. Так что dsE
является постоянной. Таким образом относительно эйнштейновых единиц
измерения галактики друг от друга вовсе не удаляются. Поэтому мы по-
получаем эйнштейнову картину замкнутой Вселенной постоянного радиуса,
т. е. оригинальную модель Эйнштейна.
Как следует понимать удаление туманностей в рамках такой модели?
По отношению к единицам измерения Эйнштейна атомные часы непрерыв-
непрерывно спешат, поскольку при постоянном (Isa, элемент dsE пропорционален
t~x. Теперь, если мы думаем о свете, излученном удаленной туманностью
давным давно, то длина волны этого света соотносилась с атомными ча-
часами в тот момент времени, когда свет испускался. Длина волны света
остается постоянной на протяжении всего его долгого путешествия к нам
по отношению к единицам Эйнштейна. Однако когда этот свет достигает
нас, то его следует соотносить с атомными часами, которые идут быстрее.
А следовательно длина волны этого света от далекой галактики оказы-
оказывается сдвинутой в красную область спектра. Мы имеем такую картину
в единицах измерения Эйнштейна, которая, безусловно, математически эк-
эквивалентна предыдущей картине и равным образом правильно объясняет
красное смещение.
17. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ КОНСТАНТЫ И ИХ РАЗВИТИЕ ВО ВРЕМЕНИ 373
5. Астрофизические следствия
Обсудим теперь вопрос о том, как изменялась температура на Земле
в течение геологических периодов. Теллер разработал теорию изменения
светимости звезд, подобных Солнцу, согласно которой светимость изме-
изменяется пропорционально 77 М5. В таком случае, если величины j и М
обе являются постоянными, какими они и считаются согласно обычным
представлениям, и радиус земной орбиты также является константой, то
мы приходим к стандартной теории, которая говорит о том, что зем-
земная температура оставалась долго довольно постоянной. Согласно нашей
нынешней теории значение 7 пропорционально t, а значение М пропор-
пропорционально ?2, так что светимость Солнца должна возрастать в соответ-
соответствии с законом t3. Радиус земной орбиты также увеличивается пропор-
пропорционально t. Так что интенсивность потока тепла, которое мы получаем
от Солнца, пропорциональна t. Следовательно в геологическом прошлом
Земля не получала так много тепла от Солнца, а соответственно на ней
было холоднее чем сейчас. Могла иметь место некоторая компенсация за
счет радиоактивности на Земле. Однако в любом случае температура не
должна была слишком быстро меняться, а скажем согласно закону ?1у/4.
Имеются свидетельства того, что жизнь возникла где-то около 3 • 109
лет тому назад. На протяжении всего этого периода времени температура
на Земле не должна была измениться слишком сильно. Температура не
должна была быть непомерно высокой, чтобы жизнь существовала на той
ранней стадии. Здесь нет никакого противоречия.
Гамов работал над этим вопросом, принимая во внимание только из-
изменяемость 7 ^ но не изменяемость М, которая следует из непрерывного
создания вещества. Он получил значительно отличающиеся результаты,
которые сложно было согласовать с фактом существования жизни в те-
течение столь долгого периода времени, и он сделал вывод что 7 не может
меняться.
Я хотел бы упомянуть о некоторых более конкретных следствиях этой
теории. Я уже говорил о непрерывном создании вещества, но ведь это
требует также и непрерывного создания любых форм массы, чтобы иметь
совместимость с теорией Эйнштейна. Если мы возьмем просто пучок света,
то число фотонов в нем должно будет возрастать точно также, как растет
число нуклонов в веществе. Это означает, что когда мы рассматриваем
свет, приходящий к нам из удаленной галактики, то число фотонов уже
увеличилось. Свет испытывает красное смещение и его энергия становится
меньше по этой причине. Тем не менее число фотонов увеличилось и
следовательно видимая яркость окажется большей, чем она была бы иначе.
Если бы мы обладали некоторым способом наблюдения абсолютной
яркости удаленной галактики, то нам было бы очень просто проверить этот
результат. Однако у нас нет никакого способа определения абсолютной
яркости удаленного объекта. Все, что мы можем наблюдать,— это его
видимая яркость. Если имеет место фактор увеличения числа фотонов,
374 III. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОСМОЛОГИЯ
который увеличивает видимую яркость, то это не приведет нас незамедли-
незамедлительно к какому-либо результату, противоречащему данным наблюдения.
Если бы мы обладали некоторой другими данными об абсолютной
яркости, то мы могли бы проверить все это. Мы можем предположить,
что в среднем абсолютная яркость удаленной галактики такая же, как
и у близкой к нам. Это предположение не является в действительности
достоверным. Ведь мы наблюдаем галактики спустя длительный проме-
промежуток времени, а за это время ситуация могла измениться. Однако если
мы, тем не менее, сделаем такое предположение, то согласно существую-
существующей теории мы придем к заключению, что число галактик с некоторой
видимой яркостью будет тем больше, чем меньше будет значение этой ви-
видимой яркости. В своем докладе Шиама обращался к экспериментальным
свидетельствам того, что имеется чрезмерное число удаленных галактик
с малыми значениями видимой яркости, и это может быть некоторым
объяснением данного феномена. Но как я уже упомянул, это не является
вполне надежным ответом, поскольку рассмотрение включает предполо-
предположение о том, что абсолютная яркость не сильно изменяется с изменением
возраста Вселенной.
Другая проблема связана с микроволновым излучением. Число фо-
фотонов микроволнового излучения также должно увеличиваться. Далее,
если микроволновое излучение в действительности является излучением
абсолютного черного тела, то это создает трудности для данной теории.
Излучение абсолютно черного тела является таким, что оно расширяется
вместе с расширяющейся Вселенной. Когда согласно стандартным идеям
число фотонов остается неизменным, оно продолжает оставаться излуче-
излучением абсолютно черного тела, у которого просто снижается температура.
В рамках предположения об умножении числа фотонов, если первона-
первоначально излучение было серым, то оно будет становиться все менее серым
и с течением времени будет все больше приближаться к черному. Если
так случится, что естественное излучение в настоящее время окажется
черным, то это будет означать трудности для теории. Это будет означать
совпадение такого типа, которое никому не нравится. Как отметил Шиама,
данные наблюдений в настоящий момент совершенно не являются убеди-
убедительными в отношении того, чтобы определить, является ли микроволно-
микроволновое излучение излучением абсолютно черного тела или нет.
6. Единая теория поля
Теперь мне хотелось бы оставить в покое астрофизические вопросы и
поговорить немного о другом предмете. Это проблема единой теории поля.
В физике имеются два поля, силы которых являются дальнодействующи-
ми: гравитационное поле и электромагнитное поле. Эйнштейн объяснил
гравитационное поле посредством геометрии. Как только Эйнштейн сде-
сделал это, ученые стали интересоваться тем, не существует ли подобного
объяснения и для электромагнитного поля. Они приступили к работе по
17. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ КОНСТАНТЫ И ИХ РАЗВИТИЕ ВО ВРЕМЕНИ 375
объединению гравитационного и электромагнитного полей в единую гео-
геометрическую схему, привлекающую более общую геометрию, чем риманова
геометрия, которая исходно потребовалась Эйнштейну.
Достаточно скоро замечательный способ объединения электромагнит-
электромагнитного и гравитационного полей был предложен Вейлем. Мне хотелось бы
напомнить главную идею теории Вейля. Согласно Эйнштейну имеется
определенный элемент ds, выражающий интервал между соседними точ-
точками и имеющий абсолютное значение. Согласно Вейлю этот элемент ds
не является вполне определенной величиной. Он должен быть соотнесен
с некоторым локальным эталоном. Мы можем произвести смещение ds
с помощью процесса, подобного параллельному переносу, а затем сравнить
его с локальным эталоном для новой точки. В результате получим измене-
изменение элемента ds при параллельном смещении. Если мы движемся, обходя
замкнутую петлю, то согласно Вейлю элемент ds в конце пути не совпадает
со своим исходным значением и это именно та причина, по которой нам
требуется локальный эталон для ds.
Это была более общая геометрия, чем риманова, и новые появившиеся
в ней переменные можно было немедленно связать с потенциалами, необ-
необходимыми для описания электромагнитного поля. Изменения локальных
эталонов задают изменение электромагнитных потенциалов, оставляя по-
полевые величины неизменными. Таким образом геометрия Вейля обеспечи-
обеспечивала очень красивый синтез электромагнитного и гравитационного полей.
Однако она была неприемлемой для физиков. Причиной этого послужило
то, что теория Вейля вступает в противоречие с теорией квантовых явле-
явлений.
Квантовые явления дают абсолютный эталон для измерения ds. Мы
можем, например, просто взять атомные часы и измерить все наши ds по
отношению к ним. В таком случае просто не остается места для неопре-
неопределенности, которая следует из теории Вейля. Поэтому физики, хотя и
неохотно, но вынуждены были отказаться от теории Вейля и искать другие
способы объединения электромагнитного поля с гравитационным полем.
Эти поиски продолжались десятилетиями, не приводя к какому-либо удо-
удовлетворительному решению. Время от времени появлялись ученые, пред-
предлагавшие то или иное решение. Однако эти решения всегда были достаточ-
достаточно искусственными и сложными и не становились общепринятыми. Таким
положение дел остается и до сих пор.
Посмотрим теперь на эту проблему вновь с точки зрения наличия двух
метрик dsE и dsA- Сразу видим, что возражения против теории Вейля
исчезают. Если теорию Вейля вообще следует применять, то она должна
применяться к метрике dsE- Это потребует, чтобы метрика dsE зависела
от наших локальных эталонов длины и чтобы она подвергалась измене-
изменениям при изменении электромагнитных потенциалов. С другой стороны,
метрика dsA является инвариантной величиной, которая не зависит от
выбора электромагнитных потенциалов. Все, что нам потребуется для при-
примирения этих двух результатов,—так это то, что множитель, связующий
376III. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОСМОЛОГИЯ
между собой метрики dsE и dsA не должен быть в точности равен t. Он
должен быть чем-то, приблизительно равным ?, но при этом подвергаться
изменениям при изменении электромагнитных потенциалов. В таком слу-
случае возражений против теории Вейля не возникнет. Мы можем принять
ее и получить таким путем очень красивый синтез электромагнитного и
гравитационного полей [2].
7. Нарушенные симметрии
Из всего этого достаточно легко получается одно следствие. Рассмот-
Рассмотрим единственную частицу в пространстве-времени. Возьмем поле в точке,
близкой к мировой линии этой частицы, а также линейный элемент ds
в данной точке поля. Сдвинем теперь точку поля в будущее, в направле-
направлении, приближенно параллельном направлению мировой линии, и посмот-
посмотрим, каким образом меняется этот элемент ds при сдвиге. Для этого мы
сравним сдвинутый элемент ds с новым локальным эталоном в новой точке
поля.
Предположим также, что частица заряжена, так что вокруг нее имеет-
имеется кулоново поле. Это означает наличие электростатического потенциала
в точке поля, кулонова потенциала. Согласно теории Вейля этот электро-
электростатический потенциал приводит к изменению элемента ds по отношению
к локальному эталону.
Если мы имеем заряд некоторого знака, то получим, скажем, воз-
возрастание элемента ds при движении в будущее. Если мы возьмем заряд
противоположного знака, то ds будет убывать. Таким образом отсутствует
симметрия между возрастающими и убывающими величинами. В случае
очень малых изменений имеет место приближенная симметрия. Однако
в точном смысле никакой симметрии между величинами, которые стано-
становятся большими, и величинами, которые становятся меньшими, нет. В ре-
результате у нас нет симметрии между положительными и отрицательными
электрическими зарядами.
Кроме того, отсутствует симметрия между прошлым и будущим. Если
элемент ds увеличивается при нашем движении в будущее, то он уменьша-
уменьшается при нашем движении в прошлое. Опять здесь нет никакой симметрии.
Если мы применяем обе операции: меняем знак заряда и взаимозаменяем
прошлое и будущее, то мы возвращаемся к исходному состоянию.
Оказывается, что эти результаты могут быть описаны в терминах со-
современной физики, тех, которые использовались во вчерашнем докладе
Янга. В этом случае оператор С, изменяющий знак заряда на проти-
противоположный, не является инвариантным. Оператор Т, который взаимо-
взаимозаменяет прошлое и будущее, также не является инвариантным, однако
произведение СТ этих операторов является инвариантным. Имеет место
также и оператор четности Р, который обычно используется совместно
с приведеными выше операторами, но в нынешней теории операция чет-
четности является инвариантной. Итак мы имеем теорию, где операция Р
17. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ КОНСТАНТЫ И ИХ РАЗВИТИЕ ВО ВРЕМЕНИ 377
инвариантна, операции С и Т неинвариантны, а их произведение С РТ
является инвариантной операцией.
Согласно экспериментальным данным каждая по отдельности опера-
операция Р, С или Т не является инвариантной, в то время как их произведение
С РТ является инвариантной операцией. Поэтому все это представляет-
представляется так, что отсутствие инвариантности в отношении операции Р следу-
следует приписать некоторому квантовому феномену, которому нельзя дать
классическое объяснение. С другой стороны, отсутствие инвариантности
в отношении операций С и Т можно объяснить на классическом уровне.
Мы можем сказать, что отсутствие инвариантности в отношении операций
С иТ возникает из-за взаимосвязи гравитационного и электромагнитного
полей в соответствии с геометрией Вейля. Именно там находятся корни
ответа на вопрос, почему должны возникать указанные нарушения законов
симметрии.
Я должен сказать, что все эти идеи являются совершенно новыми и
у меня пока не было времени активно над ними поработать. Безусловно
должны быть проделаны вычисления по определению порядка величины
нарушения симметрии по отношению к операциям С иТ на, основе теории
Вейля. Их результаты следует сравнить с порядком этой величины, на-
наблюдаемой на эксперименте. Именно эти вычисления пока не выполнены.
Итак на этом завершаются те проблемы, о которых я хотел рассказать,
и я бы хотел бы подчеркнуть, что буду всячески приветствовать критику
этих идей. Они содержат в себе значительный отход от общепринятых
идей и по отношению к ним обязано возникнуть сильное противодействие.
Я не рассказывал об этих идеях ранее за исключением собрания Папской
Академии наук в прошлом апреле [3]. Однако в том случае не было воз-
возможности для обсуждения, так что я буду очень рад обсуждению этих
идей в данном случае. Спасибо.
Дискуссия
Дж. "Уилер: Отправной точкой рассуждений Дирака было число 1039, выражающее
отношение между константами, которые измеряют электрическое и гравитационное
притяжение между двумя частицами. Данное число сравнивалось с другим числом,
которое имело отношение к возрасту Вселенной, и из этого вытекало все — все что
угодно, создание частиц, изменение светимости Солнца и т. д.
Нельзя ли это сравнить с ситуацией в которой находится дама, имеющая в своем
доме ванну с открытым краном? Кран был открыт, но сливное отверстие было заткнуто
и ванна начала переполняться. Она собрала всех детей, чтобы они собирали воду во все
чайные чашки и во все цветочные вазы и, наконец, во все чемоданы и так далее, чтобы
наконец справиться с проблемой. Затем кто-то подошел и сказал: «А почему просто не
выключить водяной кран?»
Подобным образом мой вопрос мог бы иметь отношение к числу 1039, если его
отождествлять с изменяющимся временем от момента начала Вселенной до любой
конкретной эпохи. Нельзя ли его равным образом отождествить со временем от момента
начала Вселенной до фазы максимального расширения. Это число имеет тот же порядок
величины 1039, однако является числом, которое не меняется со временем? Тогда будут
устранены все эти противоречия, которые приносят с собой такую странную физику.
378 III. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОСМОЛОГИЯ
П. Дирак: Но по-прежнему будут трудности с объяснением причин появления такого
очень большого числа. Я просто не хотел бы иметь никакого очень большого числа,
которое нельзя было бы объяснить тем или иным образом. И я не думаю, что Вы можете
объяснить его как составленное из величин типа 4тг и ей подобных.
Дж. Уилер: Как Вы относитесь к объяснению Б. Картера о том, что, возможно,
Вселенная прошла много циклов, и что константы в данном конкретном цикле таковы,
которые разрешают появление жизни?
П. Дирак: Это не преодолевает трудности в объяснении появления этого очень боль-
большого числа.
Ф. Перрон: Я бы хотел спросить у профессора Дирака, считает ли он возможным
помимо создания вещества и создание антивещества. Не считает ли он, что в рамках
гипотезы, которой он отдает предпочтение, вещество будет создаваться в ближайшей
окрестности вещества, а антивещество в окрестности антивещества, если такое антиве-
антивещество существует где-нибудь во Вселенной?
П. Дирак: Я думаю, что очень похоже на то, что дело обстоит именно так. Я могу
согласиться с этим.
Дж. Элерс: Я хотел бы спросить профессора Дирака не может ли он прокомменти-
прокомментировать то, каким образом могут быть измерены метрические величины эйнштейнова
типа. Вы провели различие между атомными и эйнштейновыми единицами. Пока я
представляю, что означает измерение чего-нибудь в атомных единицах и мне интересно,
нет ли у Вас точных предписаний по поводу того, что будет представлять измерение
эйнштейнова элемента dsl
П. Дирак: Я думаю, что на этот вопрос довольно трудно будет дать ответ, поскольку
я являюсь сторонником геометрии Вейля, а в ней ds связывается с некоторым произ-
произвольным эталоном длины. Я бы хотел более основательно поработать над геометрией
Вейля, прежде чем попытаться ответить на этот вопрос. Все эти идеи являются еще
очень свежими и у меня не было времени основательно подумать над ними.
Дж. Роксберг: Могу я адресовать вопрос профессору Дираку и дать возможный ответ
на вопрос профессора Элерса. Как отмечал профессор Дирак, имеет место сильное
сходство между теорией, которую он нам предложил здесь, и теорией, которая была
предложена Милном много лет тому назад. В теории Милна пришли к заключению, что
если метрика измеряется с помощью атомных часов и световых сигналов, то частицы не
будут следовать по геодезическим. Вопрос к профессору Дираку состоит в следующем:
не думаете ли Вы, что если мыслить в правильном направлении, то будет необходимо
модифицировать уравнения поля в общей теории относительности с тем, чтобы из них
следовало что-то типа того, что частицы будут двигаться вдоль других мировых линий
и геодезических?
П. Дирак: Моя собственная теория действительно сильно отличается от теории Милна
и я совершенно не принимаю аргументы Милна. К примеру, вопрос о том, как величи-
величина h ведет себя со временем, оказывается совершенно разным в теории Милна и в моей
теории. Все детали являются отличающимися. Я не хочу отходить от идей Эйнштейна
о том, что частицы двигаются вдоль геодезических, за исключением тех случаев, когда
присутствует электромагнитное поле, которое будет отклонять их.
18
КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И
ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ *)
Гипотеза Больших Чисел утверждает, что все большие безразмерные числа, встре-
встречающиеся в Природе и выраженные в атомных единицах, связаны с современной эпохой,
и таким образом, меняются со временем. Это предположение требует, чтобы гравита-
гравитационная постоянная G изменялась, а также, чтобы происходило постоянное рождение
материи.
Обеспечить непротиворечивость гипотезы можно, допустив возможность существо-
существования только двух космологических моделей. Одна из них, которая возникает, если
предположить, что непрерывное рождение материи связано с увеличением уже су-
существующего вещества, — замкнутая цилиндрическая Вселенная Эйнштейна. Другая,
которая возникает, если пред пол ожить, что непрерывное рождение материи имеет место
равномерно во всем пространстве, приводит к приблизительно плоскому пространству
Минковского с началом в точке, где произошел Большой Взрыв.
1. Гипотеза Больших Чисел (ГБЧ)
Эта гипотеза обсуждалась автором недавно A973а) как возрождение
его старой идеи. Если записать возраст Вселенной через временные еди-
единицы, выраженные через атомные константы, скажем е2/(гас3), то можно
получить большое безразмерное число ?, которое составляет около 1039.
Оно характеризует современную эпоху естественным путем, независимым
от стандартов, созданных человеком.
Фундаментальные данные, задаваемые астрономией и атомной физи-
физикой, позволяют получить другие большие безразмерные числа. Гипотеза
Больших Чисел утверждает, что такие числа связаны с величиной t и
следовательно изменяются вместе с t. Число, которое приблизительно
равно A039)п должно изменяться пропорционально tn. Причиной моей
веры в эту гипотезу является то, что без нее непонятно, как эти большие
числа могут быть когда-либо объяснены.
Эту гипотезу нелегко привести в соответствие с космологическими
теориями. Она накладывает строгое ограничение на допустимые модели
Вселенной. Популярная сегодня модель включает Вселенную, расширяю-
расширяющуюся до определенного максимума и затем вновь сжимающуюся. Время
максимального расширения, выраженное в атомных единицах, обеспечива-
обеспечивает большое безразмерное число, которое не зависит от современной эпохи
t. Оно как раз из тех чисел, которые моя гипотеза запрещает. Модель
с максимальным размером Вселенной, тем самым, является запрещенной.
*) Cosmological Models and the Large Numbers Hypothesis // Proc. Roy. Soc. Lond. A.
1974. V. 338. P. 439-446.
380 III. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОСМОЛОГИЯ
Различные модели были предложены Фридманом A922, 1924) и други-
другими, включая нестационарные сферически-симметричные решения уравне-
уравнений Эйнштейна. Каждая из них содержит некоторое характерное время,
возникающее в уравнениях, управляющих расширением. Это время, вы-
выраженное в атомных единицах, снова дает большое число, независящее от
современной эпохи ?, и, тем самым, являющееся константой. Следователь-
Следовательно, такие модели являются недозволенными.
Единственными выживающими моделями являются те, чьи уравнения
не зависят от определенной постоянной эпохи t. Они являются статичными
Вселенными.
2. Физические следствия гипотезы
Электрическая сила между электроном и протоном в атоме водорода
равна е2/г2. Гравитационная сила между ними равна Gmpme/r2. Их
отношение является безразмерным числом е2/(Gmpme). Его значение со-
составляет около 2 • 1039. Согласно гипотезе оно должно возрастать пропор-
пропорционально t. Таким образом, G, выраженное в атомных единицах, должно
уменьшаться пропорционально t.
Это физический эффект, который должен наблюдаться при достаточно
точных измерениях. Наиболее реальным шансом его наблюдения являются
радарные измерения расстояний между планетами, Шапиро A968). Если
будут установлены долговременные изменения этих расстояний, которые
не могут быть объяснены никаким другим способом, то это обеспечит
доказательство изменения G. Наблюдения Шапиро являются достаточно
точными, так что эффект ожидаемого порядка может проявиться в бли-
ближайшие несколько лет.
Существует также возможность наблюдения изменения G в лабора-
лабораторных экспериментах. Измерения G были выполнены Бимсом A971)
с помощью усовершенствованного метода. Они являются все еще не очень
точными, но изменения G могут наблюдаться с большей точностью, чем
сама G. Возможно, что установка может быть достаточно усовершенство-
усовершенствована, чтобы выявить нужный эффект.
Если оценить полное число нуклонов во Вселенной (или полное число
нуклонов в галактиках со скоростью удаления, меньшей чем с/2, при пред-
предположении, что Вселенная бесконечна), то получится число, приблизитель-
приблизительно равное 1078. Согласно гипотезе, оно должно расти пропорционально t2.
Отсюда следует, что непрерывно должны появляться новые нуклоны.
Некоторое время назад была очень популярной модель Устойчивого
Состояния Вселенной. Она требует непрерывного появления вещества,
чтобы сбалансировать материю, которая удаляется прочь от нас с удале-
удалением галактик. Модель Устойчивого Состояния, конечно, требует, чтобы G
оставалась константой, что не согласуется с нашей основополагающей ги-
гипотезой. Теория, разработанная на ее основе, включает Большой Взрыв,
но она также требует непрерывного рождения материи.
18. КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ 381
Непрерывное рождение материи, которое мы должны допустить, явля-
является новым физическим процессом, схожим с радиоактивностью, который
значительно отличается от всех наблюдаемых типов радиоактивности. При
этом мы должны решить проблему, где же эта новая материя появляется.
Существует два альтернативных предположения, которые можно принять.
Можно предположить, что нуклоны появляются равномерно по всему
пространству, и главным образом в межгалактическом пространстве. Это
можно назвать аддитивным рождением.
Можно также предположить, что материя рождается там, где она уже
существует, пропорционально количеству вещества. Предположительно,
новая материя состоит из тех же типов атомов, как и уже существующие.
Это можно назвать мультипликативным рождением.
3. Две метрики
Теория Эйнштейна требует, чтобы G была константой. В действи-
действительности, при естественном выборе единиц G = 1. Сейчас теория Эйн-
Эйнштейна является успешной при объяснении наблюдений, и мы не хотим
отказываться от нее. Следовательно, возникает проблема ее модификации,
чтобы сделать ее согласующейся с медленно изменяющейся G и не нанести
ущерба ее успехам.
Можно достичь этого, предположив, что метрика dsE, встречающаяся
в полевых уравнениях Эйнштейна, не является той же метрикой dsAl
что измеряется атомными приборами. В обеих метриках мы принимаем
скорость света с = 1. Все расстояния, определяемые атомами, например
длины волн спектральных линий и периоды решеток в кристаллах, отно-
относятся к dsA. Поэтому все лабораторные измерения расстояний и времени
дают dsA. Нельзя померить метрику dsE напрямую. Она участвует только
в уравнениях движения. Например, при вычислении движения планет
используют dsE- Если измерять расстояния до планет с помощью лабора-
лабораторных приборов, как это делал Шапиро, то мы получаем непосредственно
отношение двух метрик ds.
Определим связь между двумя метриками ds. В качестве примера рас-
рассмотрим движение Земли вокруг Солнца в ньютоновом пределе. Основное
уравнение имеет вид 2
где М — масса Солнца, г — радиус земной орбиты и v — скорость Земли.
Эта формула применима как в эйнштейновых единицах, где мы записыва-
записываем ее в виде _, , r 9
GEME = vzErE,
так и в атомных единицах, где следует писать
GAMA = v2ArA.
В эйнштейновых единицах все величины Ge, ^е-, ve-> ге являются
константами. Являясь безразмерной, величина v определяет долю от ско-
382 III. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОСМОЛОГИЯ
рости света, так что скорости vа — ^Е и °бе равны константе. Из наших
предыдущих рассуждений Ga ~ t-1. Поведение величины Ма зависит
от того, какое предположение о рождении материи мы принимаем. При
аддитивном рождении число нуклонов в Солнце является постоянным,
поэтому Ма является константой. При мультипликативном рождении чис-
число нуклонов ~ t2 и поэтому Ma ~ t2. Таким образом, при аддитивном
рождении мы получаем га ~ ?-1, а при мультипликативном рождении
га ~ t. Эти значения га следует сравнить с постоянным значением те-
В общем случае имеем
при аддитивном рождении (I)
— t dsE при мультипликативном рождении (II)
При аддитивном рождении Земля приближается к Солнцу и Солнечная
система сжимается. При мультипликативном рождении Земля удаляется
от Солнца и Солнечная система расширяется. Эти эффекты, являясь
космологическими, должны совмещаться с другими эффектами, возника-
возникающими из известных физических следствий. Наблюдения Шапиро выявят
их, если они существуют, и позволят различить между двумя возможными
вариантами рождения материи.
Примем метрику Эйнштейна и приступим к изучению возможных кос-
космологических моделей. Мы можем использовать тогда полевые уравнения
Эйнштейна.
Если мы примем за исходные полевые уравнения с космологической
постоянной Л, то теория будет содержать большое расстояние R = \~1'2
порядка радиуса Вселенной. Пусть 5se будет атомным расстоянием, таким
как длина волны определенной спектральной линии, выраженной через
метрику Эйнштейна. Тогда отношение R/Sse будет безразмерным, и оно
окажется большим числом порядка 1039. Таким образом, оно увеличива-
увеличивается пропорционально t. Так как расстояние R — константа, то 5se ~ t-1.
Если атомное расстояние выражено в атомных единицах, то метрика dsA?
конечно, константа. Отсюда следует, что мы имеем случай II — мультипли-
мультипликативное рождение материи.
Мы можем заключить, что если в уравнениях Эйнштейна имеется кос-
космологический член, то должно наблюдаться мультипликативное рождение
материи. Аддитивное рождение может иметь место, только если Л = 0.
4. Мультипликативное рождение
Рассмотрим случай мультипликативного рождения. Мы можем ввести
эйнштейнову эпоху г в виде интеграла
= IdsE,
A)
18. КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ 383
взятого вдоль мировой линии галактики. Из условия (II), подставляя
= dt, получаем
г = \t~1dt = \nt. B)
Переменная т в отличие от атомного времени является динамическим
временем t. Большой Взрыв произошел при t = О, что соответствует
т = — оо, так что в терминах динамического времени Вселенная существо-
существовала всегда.
Идея двух временных переменных, связанных таким способом, была
впервые выдвинута Милном A937). Но его теория базировалась на от-
отличных от используемых здесь предположений, и это является просто
совпадением, что они обе дают формулу B).
Определение энергии в теории Эйнштейна имеет неоднозначность, свя-
связанную с выбором системы координат, но в космологических моделях
это не играет роли. Следовательно мы должны иметь дело с сохранени-
сохранением энергии или массы (если мы пренебрегаем возможностью заметного
давления, воздействующего на расширение Вселенной). Тогда мы будем
иметь уравнения Эйнштейна с метрикой rfs^ и с подходящей единицей
массы. Эта единица должна быть такой, чтобы масса тела, такого как
Солнце, была константой. Масса нуклона, следовательно, должна быть
пропорциональна t~2. Все атомные частицы должны тогда иметь массы,
изменяющиеся таким же образом. Это просто компенсирует мультиплика-
мультипликативное рождение, делая массы классических тел постоянными.
Нетрудно установить, как изменяются атомные константы, будучи вы-
выраженными в эйнштейновых единицах. В п. 2 мы имели
В единицах Эйнштейна G постоянна и т ~ t~2. Следовательно е ~ ?~3/2.
Тогда мы получим, что h ~ t~3.
В п. 1 было показано, что мы должны иметь статическую модель
Вселенной. Единственной статической моделью с положительной массой
является цилиндрическая модель Эйнштейна, которую мы вынуждены
принять, если допустить мультипликативное рождение.
Теперь мы имеем картину, в которой, в единицах Эйнштейна, галак-
галактики не разбегаются, но продолжают оставаться приблизительно на по-
постоянных расстояниях. Чтобы понять, как в данной картине возникает
красное смещение, мы должны принять во внимание, что атомные часы,
отмечающие интервалы At = 1, будут отмечать интервалы Ar = t~x.
С ростом t эти интервалы становятся все меньше, поэтому ход атомных
часов непрерывно ускоряется.
Свет, приходящий от далекой галактики, был испущен в прошлом,
когда атомные часы шли медленнее. Длина волны испущенного света
относится к этим медленным атомным часам. При распространении све-
света длина волны остается постоянной в единицах Эйнштейна. Когда свет
384 III. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОСМОЛОГИЯ
достигает нас, он измеряется по атомным часам и длина волны кажется
длиннее. Увеличение пропорционально t/te, где te — время излучения.
Следовательно, красное смещение имеет порядок величины t/te — 1.
5. Аддитивное рождение
Посмотрим теперь на альтернативный способ рождения. В нем мы
имеем материю, предположительно атомы водорода, рождающиеся равно-
равномерно во всем пространстве. Это приведет к нарушению закона сохранения
массы в любых единицах, какие мы бы ни использовали. Единственный
путь, при котором мы можем сохранить уравнения Эйнштейна, которые
требуют сохранение массы, — это предположить, что вместе с атомами
водорода рождается однородное распределение отрицательной массы, так
чтобы полная плотность рождающегося вещества была нулевой. Чтобы не
иметь существенных противоречий с наблюдениями, мы должны предпо-
предположить, что отрицательная масса не наблюдается и тем самым не кван-
квантуется так, как атомы водорода. Она не должна иметь взаимодействия
с другой материей, кроме гравитационного, и не должна создавать ни-
никаких физических эффектов, кроме как оказывать влияние на кривизну
пространства. Атомы водорода конденсируются в туманности и звезды
и формируют вещество, которое мы наблюдаем. Отрицательная масса
остается однородной и ненаблюдаемой [1].
Полная плотность вещества равняется нулю, за исключением локаль-
локальных возмущений, возникающих из-за конденсации атомов водорода. Если
мы сгладим эти неравномерности, то получим модель, в которой про-
пространство, в метрике Эйнштейна, является плоским. Следовательно, это —
пространство Минковского и метрика Эйнштейна становится метрикой
Минковского.
Существует одна специальная точка, начало О, в которой произошел
Большой Взрыв. Физический мир лежит внутри светового конуса, ис-
исходящего из О. Мировые линии галактик являются прямыми линиями,
проходящими через О и лежащими внутри светового конуса.
Эйнштейнова эпоха т в физической точке Р есть расстояние Мин-
Минковского от Р до О. Формула A) все еще применима и должна быть
использована вместе со случаем I. Поэтому
dt = -t2. C)
Трехмерный мир в данную эпоху состоит из всех точек Р с данным
значением т. Он бесконечен и имеет отрицательную кривизну.
Полное число нуклонов внутри той части мира, чья скорость разлета
< 1/2, пропорционально t2 или т. Объем этой части мира пропорциона-
пропорционален т3. Число нуклонов на единицу объема, таким образом, ~ т~2. Как
показано в п. 3, при аддитивном рождении масса нуклона в единицах
Эйнштейна постоянна. Таким образом, число нуклонов ~ т~2. Поэто-
18. КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ 385
му плотность непрерывного распределения отрицательной массы должна
быть также пропорциональна т~2.
Полевое уравнение Эйнштейна имеет вид
где Т^и есть тензор энергии-импульса обычной физической материи, а
jj[iv — соответствующий тензор для однородной отрицательной материи.
Имеем
2
где v^ вектор скорости, соответствующей скорости разлета для рассмат-
рассматриваемой точки, а к — некая постоянная. Мы можем переписать D) как
^ E)
с другой постоянной к'.
Из-за однородности отрицательной материи, член k'r~2v^v1' может
быть интерпретирован как внутреннее свойство пространства, т. е. как
космологический член \g^v, который вводится в другие формы теории
Эйнштейна. Его влияние на движение планет является таким же малым,
как и у обычного космологического члена. Поэтому он слишком мал, чтобы
наблюдаться. Единственной причиной введения его в уравнение E) явля-
является сохранение соответствия с тождествами Бьянки, когда T^v включает
непрерывное рождение материи.
В
Обсудим красное смещение в данной модели. Допустим, что О А пред-
представляет мировую линию нашей галактики, а О В — мировую линию дру-
другой галактики и предположим, что точки А и В такие, что свет, испущен-
испущенный из В, может достигнуть А. Пусть Р точка на линии О Л, такая что
РВ перпендикулярна О А. Следовательно РВ = РА. Если # —гиперболи-
—гиперболический угол между О В и О Л, то мы получаем
ОР = О В cosh (9,
РА = РВ = OBsinh<9,
и, следовательно,
ОА = ОВев.
Допустим, что та и тв обозначают эпохи А и В в эйнштейновых
единицах, так что они равны расстояниям О А и О В соответственно.
Следовательно,
ТВ
13 П.Дирак. TIV
386 III. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОСМОЛОГИЯ
Если га и ts —эпохи в атомных единицах, то из формулы C) получаем
Предположим, что свет испускается из точки В с длиной волны Л =
= дгв- Он принимается в точке А с длиной волны 5га = е°/25гв = е°/2\.
Таким образом, красное смещение равно е0/2 — 1.
В этой модели красное смещение будет наблюдаться, даже если бы бы-
была всего одна метрика, а именно метрика Минковского. Величина красного
смещения тогда была бы равна
?±-1 = е'-1.
О Тв
Для малых в это только удваивает красное смещение в теории с двумя
метриками. Чтобы G изменялась со временем, нам, конечно, нужна теория
с двумя метриками.
6. Сравнение двух моделей
Нами были получены две космологические модели, соответствующие
двум альтернативным предположениям, которые можно сделать относи-
относительно непрерывного рождения материи. Обе они являются очень про-
простыми моделями. Возникает вопрос — какую предпочесть? Убедительный
ответ может быть получен в течение ближайших лет из радарных наблюде-
наблюдений за планетами. Пока что мы можем обсуждать их и пытаться оценить,
какая является более подходящей.
Мультипликативное рождение требует, чтобы все формы материи раз-
размножались так, что число атомов увеличивалось бы пропорционально t2.
Трудно понять, как это происходит, например, в случае кристалла. Веро-
Вероятно, новые атомы возникают вне кристалла. Скорость рождения новой
материи очень мала. Поэтому имеется масса времени для появления новых
атомов в наиболее подходящих для них местах. Но с течением геологиче-
геологических эпох рост должен быть достаточно ощутимым и должен учитываться
при обсуждении формирования кристаллов в очень древних кристалличе-
кристаллических скалах. Это, возможно, приведет к непреодолимым трудностям.
Мультипликативное рождение также требует, чтобы количество фото-
фотонов в данном пучке света увеличивалось, ибо энергия в единицах Эйн-
Эйнштейна должна сохраняться. Это приведет к увеличению видимой яркости
далеких галактик или квазаров. Эффект не может быть наблюдаем напря-
напрямую, потому что мы не знаем их абсолютную яркость в далеком прошлом,
когда свет был испущен. Можно сделать статистические предположения и
попытаться найти некоторые доказательства этого эффекта. Этот вопрос
обсуждался в работе автора A973b).
Аддитивное рождение не ведет к таким сильным отклонениям от об-
общепринятых представлений и не сталкивает нас с такими трудными про-
проблемами. Оно включает непрерывное рождение межгалактического газа.
18. КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ 387
Вероятно, большая часть его остается в газообразной форме, но плотность
его слишком мала, чтобы быть наблюдаемой. Эта теория не ведет так
быстро к конфликту с наблюдениями, как это происходит с гипотезой
мультипликативного рождения.
Настоящая работа основана на Гипотезе Больших Чисел, в которую я
очень верю. Она также требует предположения о существовании двух мет-
метрик, которое не является таким уж обоснованным. Единственной причиной
для моей веры в две метрики является то, что до сих пор нет альтерна-
альтернативного пути для введения ГБЧ в теорию Эйнштейна. Но ситуация может
измениться.
Литература
Beams J.W. // Physics Today. 1971. May. P. 35.
Dirac P.A.M. Л Proc. R. Soc. Lond. A. 1973a. V. 333. P. 403.
Dirac P.A.M. // Pont. Acad. Commentarii. 1973b. V. 11, № 46. P. 1.
Friedman A. // Z. Phys. 1922. V. 10. 377.
Friedman A. // Z. Phys. 1924. V. 21. 326.
Milne E.A. Л Kinematic relativity. P. 36. Oxford University Press, 1937.
Shapiro LI. // Scient. Am. 1968. V. 219. P. 32.
13*
19
ИЗМЕНЧИВОСТЬ G *)
Диборн и Шраммх) рассмотрели пределы изменчивости гравитацион-
гравитационной постоянной б?, обусловленной существованием скоплений галактик и
глобулярными звездными скоплениями. Согласно 1\ если бы G изменялась
слишком быстро, скопления рассеялись бы, и мы не смогли бы видеть
их в настоящее время. Отсюда в статье1) делается вывод о том, что моя
теория изменчивости G, основанная на Гипотезе Больших Чисел, непри-
неприменима.
Авторы статьи х\ как и некоторые другие, работающие в этой области,
неверно поняли основную черту моей теории. Они работают с ньютоновой
теорией, в которой гравитационная масса может изменяться независимо от
инертной массы. Тем самым они придерживаются доэйнштейнова взгляда
на гравитацию. На подобной основе движение перигелия Меркурия также
объяснить бы не удалось.
Коэффициент G обладает размерностью, и его численное значение
зависит от того, какие единицы измерения используются. Можно, на-
например, измерять G в обычных для физики единицах — см, г, с. Тогда
вопрос об изменчивости G зависел бы от того, каким образом определены
единицы измерения, но этот вопрос для физики не является фундамен-
фундаментальным. Следует избегать искусственно созданных человеком единиц, а
использовать лишь естественные природные единицы. Можно, например,
выбрать единицы времени и расстояния, задаваемыми атомными часами
и скоростью света, тогда как единицу массы — задаваемой массой атомной
частицы (например, протона). Если измерять G в этих единицах, то ее
изменчивость приобретет абсолютный смысл.
Если определенная таким образом величина G изменяется, то возни-
возникает вопрос о том, как согласовать этот факт с физической теорией, не
нарушая успехов теории Эйнштейна. Естественный способ добиться этого
состоит в том, чтобы предположить, что все законы классической механи-
механики (в том числе теория Эйнштейна) применимы только для соответствую-
соответствующих единиц, отличающихся от атомных единиц. В этом состоит развитие
идеи, впервые выдвинутой Милном2) о том, что в физике существует два
важных масштаба времени.
Назовем единицы, которые необходимо использовать, чтобы были при-
применимы законы классической механики, «механическими единицами». Для
любой задачи, включающей динамические движения и не относящейся к
атомным процессам, можно работать с механическими единицами. В этом
I Variation of G // Nature. 1975. V. 254. P. 273.
19. ИЗМЕНЧИВОСТЬ G 389
случае изменчивость G, отнесенной к атомным единицам, не повлияет на
результат вычислений. Эта изменчивость может быть приписана измен-
изменчивости атомных единиц, отнесенных к механическим единицам. Таким
образом, вычисления устойчивости скоплений не могут прояснить вопрос
об изменчивости G.
Свидетельства относительно изменчивости G, отнесенной к атомным
единицам, можно получить, проводя астрономические наблюдения с по-
помощью атомных приборов. Один из методов состоит в точном измерении
моментов лунных затмений с помощью атомных часов. Этот метод при-
применял Ван Фландерн3), получивший данные в пользу изменчивости G.
Другой приемлемый метод состоит в обработке наблюдений И.И. Шапиро
по отражению радарного сигнала от поверхностей планет. Эти наблюде-
наблюдения еще недостаточно точны для получения определенного результата, но
можно надеяться, что они станут таковыми в ближайшем будущем.
Литература
1. Dearborn D.S., Schramm D.N. // Nature. 1974. V. 247. P. 441.
2. Milne E.A. // Kinematic Relativity. Clarendon, 1948.
3. Van Flandern T.C. // Mon. Not. Roy. Astr. Soc. (in the press).
20
МЕНЯЕТСЯ ЛИ ГРАВИТАЦИОННАЯ КОНСТАНТА?
Наш бывший президент, Жорж Леметр, предложил в качестве космо-
космологической теории радикально новую идею. Он предположил, что Вселен-
Вселенная началась из одного в высшей степени радиоактивного атома, содер-
содержащего всю массу Вселенной. Все, что мы видим, состоит из продуктов
его распада. Вначале был колоссальный взрыв, и различные фрагменты
разлетались с огромной скоростью, и мы все еще видим эти фрагменты,
удаляющиеся от нас со скоростью пропорциональной их расстоянию от нас.
Эта картина сейчас повсеместно принята и известна как теория Большого
Взрыва.
Она обеспечивает нам естественное начало для пространства-времени
и дает абсолютное время любого события, называемое эпохой. Обычно
подразумевается, что законы природы являются теми же самыми во всем
пространстве-времени. Но это не обязательно так. Они могут меняться
с эпохой, причем столь медленно, что это будет трудно заметить. Тогда
мы будем иметь эволюционную космологию.
Я говорил об этом на собрании Академии три года назад. Я хотел бы
теперь обсудить, какой прогресс достигнут за прошедшее время.
Я привел некоторые аргументы, которые делают правдоподобным
предположение, что гравитационная константа G меняется с эпохой. Кон-
Константа G является размерной величиной, поэтому ее значение зависит от
того, какие единицы используются. Нет особого смысла использовать стан-
стандартные физические единицы, такие как граммы, сантиметры и секунды,
потому что эти единицы не могут быть определены с достаточной точ-
точностью. Следует пользоваться атомными единицами: единицей времени,
задаваемый атомными часами, единицей расстояния, равной расстоянию,
которое пролетает свет за единицу времени, и единицей массы, равной
массе электрона или протона. Выраженная в таких единицах константа G
становится безразмерным числом, имеющим абсолютное значение, и появ-
появляется возможность обсуждать, является ли оно константой или меняется
с эпохой.
Значение G в таких единицах исключительно мало. Величина б?
приблизительно равна 1039. Современная эпоха, согласно последним изме-
измерениям постоянной Хаббла, составляет примерно 18 • 109 лет, что, будучи
выраженным в атомных единицах, составляет примерно 1039. Естественно
предположить, что эти два больших числа связаны между собой. Второе
*) Does the Graitational Constant Vary? // Commentarii. Pont. Acad. Sci. 1975. V. 3 G).
P. 1-7.
20. МЕНЯЕТСЯ ЛИ ГРАВИТАЦИОННАЯ КОНСТАНТА? 391
из них возрастает вместе со старением Вселенной, следовательно, и первое
должно возрастать таким же темпом. Поэтому мы приходим к тому, что
Получаем, что
G 1 п 1П—11
- = -- =6- 10 в год.
Такое изменение значения G очень мало, но оно находится в пределах
досягаемости современной измерительной техники, чтобы попытаться на-
наблюдать его.
Прямые лабораторные измерения величины G слишком неточны, что-
чтобы обнаружить эффект такого порядка. Др. Дж. Бимс является экспертом
в этом вопросе и он планирует существенно улучшить свою аппаратуру,
которая будет помещена в резервуар с жидким гелием. Он может измерять
вариации G боле точно, чем саму величину G и надеется на то, что
его улучшенная аппаратура позволит обнаружить эффект. Потребуется
несколько лет работы, чтобы получить ответ.
Лучшие перспективы появляются, если использовать астрономические
наблюдения. Законы Эйнштейна исключительно успешно описывают Сол-
Солнечную систему. Всего несколько месяцев назад был достигнут даль-
дальнейший успех в измерении отклонения радиоволн, проходящих близко к
Солнцу. Но законы Эйнштейна не позволяют константе G меняться со
временем. Поэтому мы имеем здесь настоящую проблему.
Мне кажется, что наилучшим выходом из этой ситуации будет пред-
пол ожение о том, что уравнения Эйнштейна правильны, но они относятся
к единицам времени и пространства, которые отличаются от атомных
единиц. Уравнения Эйнштейна будут содержать интервал dsE, слегка от-
отличный от cIsa, интервала в атомных единицах. Успехи теории Эйнштейна
тогда можно будет сохранить, поскольку в ней вычисления проводятся
с dsE- Вариация G тогда будет иметь место, только если проводить изме-
измерения, используя интервал dsA-
Развитие этих идей в таком ключе означает, что нужно предполагать,
что все большие безразмерные числа, которые получаются из атомных и
космологических констант, связаны с эпохой, и считать их изменяющимися
со временем с тем, чтобы сохранялись эти связи. Я называю это Гипотезой
Больших Чисел.
Применение этой гипотезы требует постулирования непрерывного рож-
рождения материи за счет некоего нового процесса, не объяснимого никакими
стандартными физическими теориями, т. е. нового вида радиоактивности.
Возникает вопрос, где эта новая материя рождается? Существуют два
разумных альтернативных предположения:
1) Новая материя рождается однородно во всем пространстве и, следо-
следовательно, главным образом в межгалактическом пространстве. Я называю
это предположение аддитивным рождением.
392 III. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОСМОЛОГИЯ
2) Новая материя рождается вблизи уже существующей материи про-
пропорционально ее количеству и возможно той же природы, что и уже су-
существующая. Я называю это предположение мультипликативным рож-
рождением.
Нет очевидных причин, чтобы отдать предпочтение одному из этих
предположений, поэтому следует рассматривать оба и выяснить, которое
из них лучше соответствует наблюдениям.
Рассматривая простой пример, такой как движение Земли вокруг Солн-
Солнца, можно показать, как я сделал это в моем докладе три года назад, что
= t~x dsA для аддитивного рождения
= t dsA для мультипликативного рождения.
Это означает, что для аддитивного рождения вся Солнечная система,
измеряемая в атомных единицах, сжимается. Это есть космологический
эффект, который налагается на все другие эффекты, возникающие от
обычных физических процессов. Аналогичным образом при мультиплика-
мультипликативном рождении возникает космологическое расширение, налагаемое на
все другие физические эффекты.
Таким образом, производя аккуратные наблюдения Солнечной систе-
системы атомными приборами, мы имеем шанс проверить, меняется ли констан-
константа G со временем, а также различить два вида рождения материи.
Рассмотрим нашего ближайшего соседа, Луну. Ее расстояние от Земли
должно меняться со скоростью 2 см в год. Она приближается к нам при
аддитивном рождении и удаляется при мультипликативном. С помощью
отражателей, которые были помещены на Луне астронавтами, расстояние
до Луны могло быть измерено с очень большой точностью. Ошибка из-
измерения была доведена до нескольких сантиметров. К сожалению, этот
эффект не может быть использован для проверки теории, потому что
движение Луны подвержено сильным возмущениям из-за приливных сил,
а приливные эффекты не известны с достаточной точностью.
Вместо измерения расстояния до Луны можно наблюдать ее движение
по небосводу. Ее угловая скорость может быть измерена с очень большой
точностью, отмечая моменты времени затмения звезд.
Можно наблюдать такие затмения в эфемеридном времени, т. е. во
времени, привязанном к движению Земли вокруг Солнца, а можно в атом-
атомном времени, и сравнить эти наблюдения. Атомные часы использовались
для наблюдения за Луной с 1955 года. Сравнивая временные интервалы,
мы получаем связь между интервалами dsE и dsA и, тем самым, можем
проверить данную теорию. Приливные эффекты будут возмущать оба
временных интервала одинаковым образом и не повлияют на их сравнение.
Ван Фландерн работал над этим методом и получил результаты, пока-
показывающие различие двух временных интервалов в соответствии с мульти-
мультипликативным рождением, и значение G/G несколько большее, чем пред-
предсказывается теорией. Но ошибки измерения довольно велики, и вычисле-
вычисления нужно изучить подробнее, прежде чем быть уверенным в результатах.
20. МЕНЯЕТСЯ ЛИ ГРАВИТАЦИОННАЯ КОНСТАНТА? 393
Другой метод состоит в радарных наблюдениях за планетами. Радар-
Радарный импульс посылается к планете, скажем к Меркурию или Венере, и
наблюдается отраженный сигнал. Затем измеряется время задержки по
атомным часам и получается расстояние до планеты в атомных единицах.
И.И. Шапиро применял этот метод. Он пока не получил определенный
результат для величины G, но я слышал недавно, что его наблюдения
говорят в пользу аддитивного рождения. Это противоречит результатам
Ван Фландерна.
Такова ситуация на сегодня с вариацией G. Вопрос пока не прояснен,
но многие люди заинтересовались и работают над этим, и мы можем
надеяться получить определенный ответ в скором времени.
Естественное микроволновое излучение
Я бы хотел теперь обсудить другую проблему, которая связана с вари-
вариацией константы G.
Наблюдается электромагнитное излучение, приходящее от ночного
неба и падающее на Землю, с длинами волн в интервале от примерно
70 см до 1см. Это излучение приходит равномерно ото всех направлений
и неизменно во все времена. Поэтому оно не может иметь местное проис-
происхождение. Предположительно оно приходит извне нашей Галактики.
Наблюдения за интенсивностью излучения показывают, что она согла-
согласуется с формулой Планка для излучения абсолютно черного тела при
температуре около 2,8 К.
Обычное объяснение происхождения этого излучения состоит в том,
что оно представляет из себя остатки изначального огненного шара, кото-
который существовал на ранних стадиях развития Вселенной. Первоначально
этот огненный шар находился в состоянии теплового равновесия с горя-
горячей материей. Материя и излучение остывали вместе в силу расширения
Вселенной. На некоторой стадии остывания излучение и материя стали
независимыми друг от друга, и после этого излучение остывало само по
себе, при этом каждая спектральная компонента приобретала красное
смещение по формуле
А ~ t.
Это есть свойство излучения абсолютно черного тела, которое остается
черным при таком остывании с температурой меняющейся по закону
Тогда наблюдаемое микроволновое излучение может быть объяснено
как то, что осталось от первоначального огненного шара, который остывал
по этому закону с того момента времени, как он отщепился от материи.
Такое объяснение не укладывается в Гипотезу Больших Чисел. Про-
Проблемы обсуждались в моем докладе три года назад, но затем были неадек-
неадекватно истолкованы, и я хотел бы сейчас дать улучшенное пояснение.
394 III. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОСМОЛОГИЯ
В наилучшем виде трудность можно увидеть, если использовать микро-
микроволновое излучение для определения безразмерного числа. Микроволновое
излучение с температурой 2,8 К состоит из фотонов, чья средняя энергия
составляет примерно кТ. Сравним ее с энергией покоя электрона. Имеем
гас
Это следует рассматривать как обратное к большому числу, к кото-
которому применима Гипотеза Больших Чисел. Поэтому получаем примерно
следующее
1 ~ t ' .
Можно было бы использовать энергию покоя протона вместо электро-
электрона, и тогда мы бы получили примерно
При современной несовершенной теории мы не можем сделать выбор
между двумя этими возможностями, но в любом случае мы имеем большое
отклонение от формулы Т ~ t~x. Тем самым, микроволновое излучение
должно остывать медленнее, чем это происходит согласно теории изна-
изначального огненного шара.
Для объяснения медленного остывания мы должны предположить,
что излучение взаимодействует с неким межгалактическим газом, скажем
ионизированным водородом. Оно взаимодействует со свободными электро-
электронами за счет эффекта Комптона. Плотность свободных электронов должна
быть достаточно мала с тем, чтобы они не препятствовали наблюдениям
наиболее удаленных объектов, которые видны в оптические и радиотеле-
радиотелескопы. Но она должна быть достаточно велика, чтобы достигалось теп-
тепловое равновесие между свободными электронами и излучением. Тогда
температура излучения будет контролироваться температурой межгалак-
межгалактического газа, который должен остывать по закону ?-1/4 или t/3.
21
ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ *)
Из мировых постоянных можно построить ряд безразмерных чисел,
не зависящих от выбора системы единиц. Некоторые из них не слишком
сильно отличаются от единицы, например, hc/e2 примерно равно 137, а
отношение масс протона и электрона тр/те равно примерно 1840. Другие
же чрезвычайно велики, например, отношение электрической и грави-
гравитационной сил е2/ Gmpme, действующих между электроном и протоном
в атоме водорода. Это отношение примерно равно 2 • 1039.
Физики полагают, что рано или поздно всем этим числам будет най-
найдено объяснение. В случае очень больших чисел единственная разумная
надежда на объяснение заключается в том, чтобы связать их с совре-
современным возрастом Вселенной t. Последние значения постоянной Хаббла
приводят к значению возраста Вселенной, равному примерно 18 • 109 лет.
Если выразить его через атомную единицу времени, скажем, е2/(тес2), то
он становится равным 7 • 1039, что очень близко к предыдущему большому
числу.
Трудно поверить, что такая близость — результат случайного совпаде-
совпадения. Скорее кажется, что два числа должны быть связаны друг с другом
с коэффициентом, близким к единице, который удастся вычислить тогда,
когда мы будем больше знать об атомной теории и о космологии. Такая
связь требует, чтобы 2
Gmpme
С увеличением возраста Вселенной выражение в левой части должно уве-
увеличиваться пропорционально этому возрасту. Таким образом, те величи-
величины, которые ранее считались постоянными, на самом деле таковыми не
являются.
Этот результат удобно представить, если принять для всех размерных
величин атомную систему единиц, так что е, гар, те являются постоян-
постоянными. Тогда величина G уменьшается пропорционально t-1. Имеем
! 610
Эффект слишком мал, чтобы его можно было наблюдать в обычных экс-
экспериментах, но он может проявиться в астрономических наблюдениях.
Гипотеза Больших Чисел (ГБЧ) распространяет это рассуждение на
любое большое безразмерное число, возникающее в общих законах физики
*) The Large Number Hypothesis and its Consequences // In: Thesis and Experiments in
High-Energy Physics / Ed. A. Perlmutter, S.M. Widmayer. — N.Y.: Plenum., 1975. P. 443-
456.
396 III. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОСМОЛОГИЯ
и космологии. Если такое число К примерно равно 1039а, то ГБЧ требует,
чтобы К было пропорционально ta с некоторым коэффициентом, близким
к единице. Из величины большого числа можно вывести его зависимость
от космологического времени.
Если принять ГБЧ, то она оказывается мощным инструментом для
развития космологии и атомной теории. Однако применение этой гипотезы
ограничено двумя условиями, которые следует иметь в виду.
A) Она применима только к безразмерным числам.
B) Она дает информацию только об асимптотическом поведении К
при больших значениях t.
Гипотеза не дает никакой информации об очень ранних стадиях эво-
эволюции Вселенной. Если истинная зависимость К от t имеет вид
К = atai +c2ta2 ax > а2,
то ГБЧ будет относиться только к первому слагаемому. Для зависимости
К от t всегда получается простой степенной закон (если не считать воз-
возможной логарифмической зависимости).
ГБЧ утверждает, что величина G, выраженная в атомных единицах,
должна изменяться со временем. Как это можно согласовать с теорией
тяготения Эйнштейна, которая требует, чтобы G было константой? Успехи
теории Эйнштейна столь велики, что мы должны сохранить их при любой
производимой нами модификации фундаментальных законов природы.
Многие ученые, работающие с переменной величиной G, используют
примитивную теорию, в которой гравитационная и инертная массы раз-
различны, а их отношение изменяется с космологическим временем. Это тре-
требует признания доэйнштейновых взглядов на тяготение и разрушает все
достижения теории Эйнштейна. Я рассматриваю эту теорию как неприем-
неприемлемую.
Можно построить разумную теорию, если предположить, что класси-
классическая механика, включая теорию Эйнштейна, верна только при исполь-
использовании подходящих единиц, отличающихся от атомных единиц. Будем
называть их механическими единицами. В обеих системах мы принимаем
скорость света за единицу, так что единицы расстояния и времени изме-
изменяются в одинаковой пропорции.
Предположение о том, что в классической и квантовой механике нужно
использовать разные единицы, я буду называть гипотезой Милна, так как
основная идея была высказана до войны Е. Милном.
Я глубоко уверен, что ГБЧ правильна. В отношении гипотезы Милна
у меня нет такой уверенности, так как она пересекается с принципом соот-
соответствия, связывающим классическую и квантовую механику, и мне хоте-
хотелось бы принять такое альтернативное предположение для согласования
изменения G с теорией Эйнштейна, которое было бы более естественным.
Далее я продолжу обсуждение следствий, вытекающих как из ГБЧ, так и
из гипотезы Милна.
21. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ 397
Рассмотрим полную массу Вселенной, выраженную в единицах массы
протона. (Если Вселенная бесконечна, то вместо полной массы можно
рассматривать массу той части Вселенной, которая разлетается от нас со
скоростью меньше с/2.) Полная масса известна с плохой точностью, так
как мы не знаем, сколько темной материи существует в форме межгалак-
межгалактического газа, черных дыр и темных звезд. Разумная оценка приводит
к числу порядка 1078. Из ГБЧ следует, что это число должно возрастать
пропорционально t2.
Отсюда можно заключить, что происходит непрерывное рождение но-
новой материи. Это должен быть космологический процесс, новый тип ра-
радиоактивности, не зависящий от явлений, наблюдающихся в лаборатории,
который нарушает сохранение массы и сохранение барионов.
Мы сталкиваемся с вопросом: где рождается новая материя? Можно
сделать два разумных предположения. 1) Новая материя рождается од-
однородно во всем пространстве, следовательно, в основном, в межгалакти-
межгалактическом пространстве. Я называю этот процесс аддитивным рождением.
2) Новая материя рождается там, где уже есть материя, в количестве,
пропорциональном имеющемуся, и предположительно относится к тому
же типу, что и существующая материя. Я называю этот процесс мульти-
мультипликативным рождением.
Я не знаю, какую альтернативу предпочесть. Нужно рассматривать
обе возможности и сравнивать, какая из них лучше согласуется с наблю-
наблюдениями.
Элемент ds расстояния или времени, используемый в теории Эйнштей-
Эйнштейна, должен относиться к механическим единицам и поэтому будет обозна-
обозначаться dsE- Та же величина в атомных единицах будет обозначаться dsA-
Связь между ними можно легко установить, рассмотрев элементарный
пример, скажем, движение Земли вокруг Солнца. Детали этого вычисле-
вычисления приведены в моем докладе в прошлом году 1). Результат имеет вид:
= tdsA (аддитивное рождение),
X (мультипликативное рождение).
Экспериментальные тесты изменения G
Если пренебречь всеми возмущениями и эйнштейновыми поправками,
то орбиты планет в механических единицах будут фиксированы. Если
выразить расстояния в атомных единицах, то все они будут сжиматься
пропорционально t в случае аддитивного рождения или расширяться
пропорционально t в случае мультипликативного рождения. Все эти эф-
эффекты имеют космологическое происхождение и должны накладываться
на все другие эффекты, возникающие за счет известных физических при-
г) The Geometrical Nature of Space and Time // Fundamental Theories in Physics / Ed.
S. Mintz, L. Mittag, S. Widmayer. — N.Y.: Plenum, 1974. P. 11, 12.
398 III. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОСМОЛОГИЯ
чин. Проведя аккуратные наблюдения расстояний в Солнечной системе
с помощью атомных приборов, мы получаем возможность проверить из-
изменение G, а также отличить два типа рождения материи. В случае Луны
расстояние до нее будет изменяться со скоростью 2 см за год, уменьшаясь
в случае аддитивного рождения, и увеличиваясь в случае мультиплика-
мультипликативного рождения.
Расстояние до Луны может быть измерено с большой точностью, так
как астронавты установили на ее поверхности отражатели лазерного излу-
излучения, что позволяет определить время, затрачиваемое лазерным излуче-
излучением на путь до Луны и обратно. Джим Уильяме занимается определением
расстояния до Луны, и он говорил мне в прошлом сентябре, что может
определить расстояние до Луны с точностью 6 см. Но он не выражал слиш-
слишком большого оптимизма по поводу возможности проверки изменения G
таким способом, так как нам неизвестно с достаточной точностью влияние
приливных сил на расстояние до Луны.
Другой способ заключается в анализе движения Луны. Скорость вра-
вращения Луны постоянно уменьшается за счет действия приливных сил,
что приводит к увеличению расстояния до Луны. Это замедление на-
наблюдалось в течение многих веков с помощью регистрации эфемерид-
ного времени, т. е. времени, которое размечено движением Земли вокруг
Солнца. С 1955 года ученые производили точные наблюдения движения
Луны с помощью атомных часов. Разница в замедлении вращения Луны,
наблюдаемая в атомном и эфемеридном времени, может быть приписана
изменению G. При вычислении разности этих времен приливные эффекты
сокращаются.
Разработкой этого метода занимался Ван Фландерн 1). Пусть п — угло-
угловая скорость Луны. Ван Фландерн получил результат:
»/* vn/ =(-16±10)-10-n/rofl.
"'/эф. \'*/разн.
Далее ван Фландерн использовал простейшую теорию изменения G, кото-
которую я упоминал выше. Тогда
= (-8 ± 5) • Ю^/год,
разн.
что находится в достаточно хорошем согласии с тем числом, которое я
вывел в начале доклада.
Однако эта примитивная теория неудовлетворительна. Если же исполь-
использовать гипотезу Милна, то получим
G
= —( — ) (аддитивное рождение),
V п / разн.
— = ( — ) (мультипликативное рождение).
G ч^/разн.
г) Статья ван Фландерна скоро появится в журнале Monthly Notices R.A.S.
21. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ 399
Видно, что результат ван Фландерна говорит в пользу мультиплика-
мультипликативного рождения и приводит к слишком большому значению G. Это рас-
расхождение не должно нас сейчас волновать, так как наблюдения содержат
значительные неточности, и до сих пор неясно, учтены ли все возможные
источники ошибок.
Можно также получить информацию об изменении G, наблюдая ра-
радарные волны, отраженные от планет. Такой метод имеет то преимуще-
преимущество, что он не подвержен влиянию приливных эффектов, но, конечно,
взаимодействие между планетами должно быть учтено. Над этим методом
работает И. Шапиро. Его результаты пока что недостаточно точны, чтобы
убедиться в ненулевом значении G, но можно надеяться, что эти наблю-
наблюдения позволят в скором будущем решить вопрос.
Микроволновое излучение
Теперь я хотел бы рассмотреть другое применение ГБЧ. Согласно
наблюдениям, на Землю непрерывно падает микроволновое излучение,
постоянство и однородность которого свидетельствуют, что это явление не
может быть локальным, возникающим в Солнечной системе или в Галак-
Галактике, а имеет космологическое происхождение.
Наблюдалась только малая часть спектра. Наблюдения согласуются
с тем, что это излучение представляет собой чернотельное излучение с
температурой Т = 2, 8 К. Таким образом, оно состоит из фотонов, энергии
которых сконцентрированы вокруг значения hv = кТ.
Согласно общепринятой теории, это излучение исходит от первичного
огненного шара, существовавшего на ранних стадиях эволюции Вселенной.
В самом начале этот огненный шар сильно взаимодействовал с веществом
и находился с ним в приближенном тепловом равновесии. На определенной
стадии эволюции Вселенной излучение отщепилось от вещества. Затем
излучение испытало красное смещение согласно стандартной формуле
А ~ t v rsj t.
Смещенное в красную сторону чернотельное излучение остается чер-
нотельным, но его температура уменьшается по закону
Таким образом, микроволновое излучение охлаждается по указанному
закону.
Посмотрим теперь на это с точки зрения ГБЧ. Температуре Т = 2,8 К
соответствует энергия к Т. Выразим ее через естественную единицу энер-
энергии — энергию покоя электрона. Имеем
к = 1,38-106 эрг/К.
400 III. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОСМОЛОГИЯ
При Т = 2, 8 К получаем энергию
кТ = 4 • 106 эрг.
Энергия покоя электрона равна
тес2 = 8 • 10~7 эрг.
Отношение равно
тес
Согласно ГБЧ, это число не может быть постоянным, а должно из-
изменяться приближенно пропорционально ?~1//4, откуда Т ~ ?~1//4. Вместо
массы электрона можно было бы использовать массу протона, и тогда
трс
= 2,5-1(
Г13
Эта величина должна изменяться приближенно пропорционально t 1'3,
откуда Т ~ t/3.
Таким образом, мы приходим к закону охлаждения микроволнового
излучения в виде Т ~ ?-1/4 или Т ~ t~ly/3. Наша теория недостаточ-
недостаточно хороша, чтобы различить эти две возможности. Но в любом случае
охлаждение должно происходить значительно медленнее, чем по закону
Т ~ t, который требуется теорией первичного огненного шара.
Можно заключить, что микроволновое излучение не отщепилось от
вещества так давно. Оно должно находиться в непрерывном взаимодей-
взаимодействии с какой-то формой материи, охлаждающейся по закону Т ~ t/4
или Т rsj t/3. Эта материя может быть в форме межгалактического иони-
ионизованного водорода, с одной стороны, достаточно разреженного, чтобы
не интерферировать с обычными астрономическими наблюдениями, но,
с другой стороны, достаточно плотного для того, чтобы микроволновое из-
излучение, взаимодействующее со свободными электронами за счет эффекта
Комптона, существенно понижало температуру межгалактического газа.
Чтобы подробнее обсудить температуру микроволнового излучения,
рассмотрим случай, когда средняя длина свободного пробега фотона
сквозь межгалактический газ электронов равна расстоянию, соответству-
соответствующему красному смещению z = 1. При прохождении этого расстояния
космологическое время t удваивается. В этом случае комптоново рассе-
рассеяние фотонов лишь незначительно повлияет на наблюдение даже самых
далеких объектов, наблюдаемых в оптические и радиотелескопы, для ко-
которых z может достигать значений 2 или даже 3. Но видимое нами микро-
микроволновое излучение будет порождаться межгалактическими электронами
в момент космологического времени - tpi где tp соответствует нашей эпохе.
Предполагая, что межгалактический газ охлаждается по закону t/3, на-
находим, что микроволновое излучение порождается как чернотельное излу-
излучение при температуре Те = 21'^Тр (здесь Тр — современная температура
межгалактического газа). После возникновения микроволновое излучение
21. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ
401
охлаждается по закону t 1, так что мы наблюдаем его как излучение
черного тела при температуре Т^ = 2~2'^Тр.
На рисунке представлены три графика, на которых в логарифмической
шкале показан закон изменения интенсивности излучения черного тела
для температур Тр, Те и
logv
Тр — температура электронов в настоящее время tv\ Te — исходная температура элек-
электронов в момент времени A/2) tv\ Td — сегодняшняя температура излучения, отщепив-
отщепившегося в момент времени A/2) tp
Те = 21/3Тр
_ О-2/3 г
Td = 2
Следует принять во внимание еще один эффект. Вероятность рассеяния
фотона малой частоты, проходящего через межгалактический газ, увели-
увеличивается за счет стимулирующего влияния уже существующих фотонов
с частотой, равной частоте рассеянного фотона. Таким образом, для фото-
фотонов малой частоты межгалактический газ становится менее прозрачным.
Следовательно, микроволны малой частоты рождаются ближе к нам. Они
возникают там, где газ несколько холоднее, но этим волнам не хватает
времени, чтобы охладиться по дороге к нам, поэтому мы наблюдаем такое
излучение как более теплое, соответствующее температуре, которая ближе
к Тр, а не к Т^. Это показано нижней пунктирной кривой на рисунке.
Температура микроволн очень низких частот должна быть равной Тр
(что соответствует полностью непрозрачному межгалактическому газу),
а для более высоких частот кривая переходит в кривую чернотельного
излучения с температурой Т^.
402 III. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОСМОЛОГИЯ
Приведенное рассуждение верно для аддитивного рождения. Если рас-
рассмотреть мультипликативное рождение, то следует принять во внимание
дополнительные факторы. В соответствии с увеличением числа частиц
в куске вещества, должно происходить увеличение числа фотонов в пучке
света с тем, чтобы энергия пучка, выраженная в атомных единицах, воз-
возрастала пропорционально t2. Только таким способом мы можем сохранить
обычные законы механики, записанные в механических единицах.
Фотоны микроволнового излучения будут в этом случае размножаться
по дороге к нам, начиная от момента рождения. Это приведет к результа-
результатам, показанным верхней пунктирной кривой на графике.
Таким образом, микроволновое излучение, падающее на Землю, долж-
должно отличаться от излучения черного тела, причем по-разному для двух
типов рождения вещества.
К сожалению, единственно возможные в настоящее время точные на-
наблюдения относятся к большим длинам волн, т. е. к области, где кривые,
описывающие два типа рождения, и кривая излучения черного тела при
температуре Тр сливаются. Для больших частот наблюдения на поверх-
поверхности Земли невозможны из-за поглощения атмосферой. Ряд наблюдений
производился с помощью ракет и воздушных шаров, однако, результаты
пока что не заслуживают доверия из-за примеси эффектов, связанных
с излучением Земли. Я слышал о том, что рассматриваются планы на-
наблюдения микроволнового излучения на космической платформе. Следо-
Следовательно, можно надеяться, что когда-нибудь эта теория и независимый
способ выбора между двумя типами рождения материи будет эксперимен-
экспериментально проверена.
22
ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И
КОСМОЛОГИЧЕСКАЯ ИЗМЕНЧИВОСТЬ
ГРАВИТАЦИОННОЙ ПОСТОЯННОЙ *)
Сравним электрическую силу притяжения между электроном и прото-
протоном в атоме водорода с гравитационной силой между ними. Их отношение
есть е2/(Gmemp) и его численное значение составляет примерно 2 • 1039.
Электрическая сила многократно превышает гравитационную.
В настоящее время теоретики верят, что в конце концов будет най-
найдено объяснение всем безразмерным числам, встречающимся в Природе.
Это в действительности вопрос веры. Я не думаю, что можно обосновать
такую точку зрения с помощью логических аргументов, но я в это верю
и полагаю, что и вы тоже. Может возникнуть теория, которая объяснит
такие числа в терминах математических чисел, таких как 4тг и т. д., появ-
появляющихся в уравнениях, при условии, что числа близки к единице. Но что
делать с приведенным выше числом, которое просто огромно? Как можно
надеяться объяснить число такого размера в терминах математики?
Настоящая эпоха, как следует из измерения постоянной Хаббла, уда-
удалена от момента времени Большого Взрыва на время порядка 18 • 109
лет. Это число не очень точное: некоторые полагают, что оно может быть
неправильно на 50% вверх или вниз, но нас не волнует множитель 2. Мы
хотели бы иметь правильный порядок величины. Это число измеряется
в годах, но можно выразить его в терминах атомных единиц времени,
таких как е2/(гаес3), и тогда мы получим 7 • 1039. Это есть безразмерное
число, данное нам Природой.
Это очень большое число того же порядка, что и предыдущее. Поэтому
можно предположить, что между этими двумя числами существует связь.
Может быть, что эта идея неверна и что это всего лишь совпадение, что два
числа имеют один и тот же порядок величины, но я склонен предположить,
что между ними есть связь.
Если такая связь существует, то поскольку одно число растет с воз-
возрастом Вселенной, то другое тоже должно возрастать таким же темпом.
Таким образом, мы приходим к выводу, что число е2/(Gmemp) меняется
пропорционально времени данной эпохи.
Это есть некий аргумент в пользу того, что это число меняется. Пред-
Предмет настоящей конференции состоит в обсуждении способов эксперимен-
*) The Large Numbers Hypothesis and the Cosmological Variation of the Gravitational
Constant // In: On the Measurement of Cosmological Variations of the Gravitational Con-
Constant /Ed. L. Halpern. — Florida, Gainesville: Univ. Press., 1978. P. 3-17.
404 III. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОСМОЛОГИЯ
тальной проверки того, правильно ли это, или это число — на самом деле
константа.
Предположим, что это число изменяется пропорционально времени t.
Удобный способ для описания ситуации состоит в использовании атомных
единиц. Тогда заряд е и масса т являются константами и мы получим, что
гравитационная постоянная G меняется пропорционально t~x. Гравитаци-
Гравитационная сила, будучи выраженной в атомных единицах, становится слабее.
Мы не должны говорить об изменении G вообще, а только по отношению
к атомным единицам.
Мне иногда пишут и спрашивают: как постоянная G изменяется в си-
системе единиц CGS1 Надо сказать, что единицы CGS определены недоста-
недостаточно аккуратно. Мы не знаем, как они меняются со временем, поэтому
вопрос неправомерен. Мы вообще не должны говорить о единицах CGS.
В настоящий момент мы говорим об атомных единицах. Возникает во-
вопрос, хорошо ли определены атомные единицы? Они хорошо определены,
если числа Не/' е2 и тр/те в действительности константы. Но возможно,
что они в действительности и не константы.
Вопрос о том, является ли число Не/' е2 константой, изучался. Из на-
наблюдений удаленных галактик есть хорошие указания на то, что оно не
меняется. Согласно этим наблюдениям постоянная тонкой структуры в от-
отдаленном прошлом была той же самой, что и сейчас. Более того, Теллер
привел аргументы в пользу того, что если величина Не/' е2 меняется, то это
повлияет на устойчивость атомных ядер. В частности, естественный плуто-
плутоний, который был найден в чрезвычайно малых количествах в некоторых
минералах, не мог бы существовать, если бы Нс/е2 было существенно
меньше во время формирования Земли, чем сейчас. Мы поэтому можем
принять, что это число действительно является константой.
Тогда возникает вопрос, является ли величина тр/те константой или
нет. Насколько я знаю, никто не занимался этим вопросом. Если это число
и меняется, нельзя ожидать, что оно меняется так быстро, как G, потому
что это не такое большое число. Если оно меняется, можно ожидать что
оно имеет логарифмическую зависимость от t: mp/me ~ Int.
Мы не знаем, меняется ли это число или нет. Стоило бы поставить
специальный эксперимент, и он может быть поставлен, но, насколько я
знаю, никто не работает в этом направлении.
Если G меняется, то мы имеем (G/G) « —6 • 10~11/год.
Если тр/те меняется согласно логарифмическому закону, то скорость
изменения будет составлять около одного процента от самой величины, а
это пренебрежимо мало. Мы можем, поэтому, игнорировать возможную
вариацию гар/гае, даже если мы не уверены, что это константа. Любая
вариация этой величины будет недостаточно велика, чтобы повлиять на
настоящее обсуждение. При таких условиях атомные единицы хорошо
определены. В качестве единицы массы мы можем использовать массу или
протона, или электрона.
22. ГБЧ И ИЗМЕНЧИВОСТЬ ГРАВИТАЦИОННОЙ ПОСТОЯННОЙ 405
Мы будем использовать такие пространственно-временные единицы,
в которых скорость света равнялась бы единице. Это удобно и мы будем
этому следовать. Поэтому, какую бы мы не имели единицу длины, она
фиксирует единицу времени. Единица времени задается, например, цези-
евыми часами. Таким образом, мы имеем хорошо определенные единицы,
и вопрос о вариации G по отношению к атомным единицам также хорошо
определен.
Предположим, что G действительно меняется. Какое воздействие это
будет оказывать на законы движения? Рассмотрим, в частности, сначала
законы Ньютона. Как они будут затронуты, если G изменяется?
Обычно говорят, что гравитационная масса и инертная массы суть две
различные величины и их отношение изменяется с изменением G. Помимо
этого законы Ньютона могут также изменяться. Это приведет к новым
уравнениям движения, но я не нахожу такую теорию приемлемой.
Во-первых, она неприемлема теоретически, а, во-вторых, она приво-
приводит к уравнениям движения, которые, похоже, противоречат наблюдению.
Мы знаем, что существуют сферические звездные кластеры. Но, согласно
уравнениям Ньютона с меняющейся G, такие кластеры должны были
бы рассосаться за миллиарды лет, и мы не должны были бы их видеть
сейчас1).
Теоретическим аргументом против этого является то, что мы имеем
теорию Эйнштейна, которая весьма успешна, а краеугольным камнем тео-
теории Эйнштейна является равенство гравитационной и инертной масс. По-
Поэтому я чувствую, что любая теория, которая основана на различии между
гравитационной и инертной массами, означает шаг назад в доэйнштейнову
эру, а это — большой шаг назад. Мы не должны делать его. Мы должны
следовать точке зрения Эйнштейна, что гравитационная и инертная массы
равны. Мы должны принять основные идеи теории Эйнштейна, потому
что они столь успешны.
Теория Эйнштейна требует, чтобы G была константой. Как мы можем
примирить ее с нашими настоящими взглядами? Я предлагаю считать,
что постоянство G в соответствии с требованием Эйнштейна относится
к подходящим единицам, и эти единицы не то же самое, что атомные
единицы. По существу мы хотим, чтобы величина е2/(Gmpme) изменя-
изменялась. Мы можем использовать единицы, в которых G постоянна, а неко-
некоторые или все атомные величины меняются так, чтобы все выражение
было пропорционально t. Такие единицы мы можем согласовать с теорией
Эйнштейна. Таким путем мы можем сохранить успехи теории Эйнштейна.
Все уравнения теории Эйнштейна останутся прежними, понимая при этом,
что присутствующие в них величины измеряются не в атомных единицах,
а в некоторых других единицах.
Я называю такое предположение гипотезой Милна. Еще до второй
мировой войны Милн развивал космологическую теорию, в которой было
два времени, играющих важную роль: одно из них механическое время,
в котором справедливы уравнения движения, а второе — атомное время.
406 III. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОСМОЛОГИЯ
Милн написал книги о своей теории. Я не верю в то, что его аргументы
очень сильны, и не думаю, что будет полезным вернуться к изучению
работ Милна в настоящее время. И все же он действительно предложил
идею о возможной разнице между атомным и механическим временем, и
это, я чувствую, есть важный вклад. Фактически это послужило исходным
пунктом к моей работе.
Поэтому я приму на вооружение гипотезу Милна. Я отнюдь не уверен,
что она правильна, но я думаю, что это лучшее, что мы можем сделать
в настоящее время. Это безусловно большое улучшение по сравнению
с теми примитивными теориями, в которых допускается различие между
гравитационной и инертной массами.
Я могу сослаться на работу Шапиро 1971 года, в которой он пытался
построить другую теорию с меняющейся G, используя метрику Шварц-
шильда в теории Эйнштейна и полагая, что массовый параметр в метрике
меняется со временем. Я отнюдь не уверен в основных предположениях
работы Шапиро и я не чувствую, можно ли следовать им самосогласо-
самосогласованно. Если вы пытаетесь как-то подправлять теорию Эйнштейна, то на
что тогда можно опереться? Можно ли считать, что частицы по-прежнему
двигаются по геодезическим или нет? Все становится неопределенным.
Мы собираемся предположить, что G является константой в эфеме-
ридном времени и что она меняется по отношению к атомным часам. По-
настоящему фундаментальный вопрос состоит в следующем: согласовано
ли это эфемеридное время с атомным или имеется различие? В едини-
единицах, которые мы называем эфемеридными или механическими, уравнения
Ньютона справедливы в первом приближении и теория Эйнштейна тоже
справедлива в этих единицах, но они совсем не то же самое, что атомные
единицы.
Я собираюсь пренебрегать возможными изменениями тр/те, посколь-
поскольку они очень малы, чтобы повлиять на нашу дискуссию. Рассмотрим
порядок величины погрешности, возникающей, если принять их во вни-
внимание. Эта погрешность в сто раз меньше того, что мы обсуждаем. Мы
можем, поэтому, проигнорировать ее и рассматривать атомные единицы
теми же самыми, независимо от того относим ли мы их к тр или те.
В будущем, если мы обнаружим, что G действительно меняется, можно
будет вернуться к вопросу об изменении отношения тр/те более серьезно.
Будут сделаны эксперименты для проверки этого, что невозможно при
современном уровне технологии.
Гипотеза Милна непосредственно приводит к результатам, противо-
противоречащим тем, что получаются из примитивной гипотезы изменяющейся
гравитационной массы. Противоречие может быть продемонстрировано
простым путем. Если вы работаете с примитивной гипотезой и рассмат-
рассматриваете движение Земли вокруг Солнца, то, когда G становится слабее,
Земля удаляется от Солнца. Это легко показать. Действительно, в работе
Винти2) этот вопрос рассмотрен в деталях, гораздо более подробно, чем
нам требуется, поскольку он рассматривал эксцентриситет орбиты. С дру-
22. ГБЧ И ИЗМЕНЧИВОСТЬ ГРАВИТАЦИОННОЙ ПОСТОЯННОЙ 407
гой стороны, если мы следуем гипотезе Милна, то мы должны понимать,
что в механических единицах Земля движется стационарно вокруг Солнца
с постоянной скоростью и постоянным расстоянием от Солнца. Это как
раз стандартная ньютонова или эйнштейнова картина.
Что произойдет, если мы перейдем к атомным единицам? Скорость
движения Земли по орбите должна быть той же самой в любой системе
единиц. Это потому, что мы принимаем скорость света равной единице,
а это означает, что единица длины и единица времени меняются в той
же пропорции, когда мы переходим к атомным единицам. Следовательно,
скорость остается той же самой. В частности скорость движения Земли
по орбите останется той же самой, просто той же самой частью скорости
света. Поэтому, когда мы переходим к атомным единицам, мы должны
получить картину, в которой скорость Земли постоянна, а сила гравитации
становится меньше. Это означает, что Земля должна приближаться к
Солнцу. Мы видим это из элементарной механики. Земля имеет посто-
постоянную скорость, а сила, притягивающая ее к Солнцу, слабеет, так что
она должна приближаться к Солнцу. Таким образом, исходя из гипотезы
Милна, мы получаем результат, диаметрально противоположный тому, что
следует из примитивной гипотезы об изменяющейся гравитационной массе.
Я хотел бы обсудить основы предлагаемой теории более тщательным
образом. Главное в этой теории зависит от веры в то, что очень большое
число е2/(Gmpme) должно меняться со временем просто потому, что оно
такое большое. Те же соображения приводят к предположению, что если
в Природе существует другое очень большое число, то оно тоже должно
меняться со временем. И такое большое число существует, а именно, пол-
полная масса Вселенной, выраженная, скажем, в протонных массах.
Вы можете сказать, что пока не наверняка известно, что Вселенная
конечна. Она может быть бесконечна, и полная масса может быть беско-
бесконечной. Я не хотел бы здесь делать никакого предположения относительно
конкретной космологической модели, и я не хочу предполагать, что Все-
Вселенная конечна. В этом нет необходимости. Если Вселенная бесконечна,
то существует другое число, которое мы можем использовать взамен, а
именно, полная масса той части Вселенной, которая удаляется от нас
со скоростью меньше, чем половина скорости света. Я выбрал эту долю
в половину произвольно. Можно выбрать другую долю; это не повлияет
на порядок величины.
Если взять полную массу, удаляющуюся от нас со скоростью меньшей,
чем половина скорости света, и выразить ее в атомных единицах, напри-
например, в массах протона, то мы получим очень большое число. Это число
мы не знаем с большой точностью, поскольку мы не знаем, сколько неви-
невидимой материи существует в форме темных звезд или черных дыр, или
межгалактического газа. Но, все же, этой невидимой материи, наверное,
не настолько больше, чем видимой, и это приводит к числу порядка 1078
с точностью до нескольких степеней десяти. Но в любом случае, кажется,
мы имеем число, которое возрастает пропорционально квадрату времени.
408 III. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОСМОЛОГИЯ
Если мы собираемся предположить, что G меняется, то будет равно
разумным предположить, что происходит постоянное рождение материи,
так что полное число протонов растет пропорционально t2. Это может
означать несохранение числа нуклонов. Меня это не смущает. Это не важ-
важно. Во всяком случае, это потребует допустить рождение новой материи
в нарушение обычного предположения о сохранении энергии. Но нас не
должно смущать это несохранение, поскольку мы уже имеем нарушение
законов Ньютона.
Этот вид нарушения представляет собой новый процесс, космологи-
космологический процесс, независимый от всех других физических процессов. Это
может быть некий вид радиоактивного распада, независимого от извест-
известных процессов, и скорость, с которой он протекает, столь мала, что будет
весьма трудно это заметить.
Если вы не приемлете рождение материи, то вы будете иметь парадок-
парадоксальную ситуацию, когда число 1039 возрастает, а число 1078, представ-
представляющее число барионов, остается постоянным. Мне не следует говорить о
числе барионов. Следует говорить о полном числе протонных масс, потому
что часть из этих частиц могут быть антибарионами.
Мы теперь видим, что стандартные космологические идеи требуют
ревизии. Космологи любят думать, в согласии с теорией Большого Взры-
Взрыва, о Вселенной, которая родилась очень малой и расширяется, и затем,
вероятно, после достаточного времени, сокращается опять и становится,
возможно, очень малой. Это неприемлемо для меня, потому что уменьше-
уменьшение G есть процесс, который идет всегда. Вы не можете иметь Вселенную,
которая достигла бы максимального размера, поскольку если бы это было
так, то этот размер даст нам большое число, которое есть константа. Если
же у нас есть хоть одно большое постоянное число, то это нарушит соотно-
соотношение между большими числами, которое следует из теории. Поэтому вы
должны думать о космологии, в которой Вселенная расширяется всегда, и
в которой G будет также всегда уменьшаться.
Я не хочу возвращаться к очень малым значениям ?, поскольку законы
Природы тогда могли быть другими. Мы обсуждаем только асимптотиче-
асимптотические условия при больших t. Любые законы Природы могли быть другими
при малых t.
Итак, если согласиться с непрерывным рождением материи, непрерыв-
непрерывным рождением протонов, то возникает вопрос, где эти протоны рожда-
рождаются. Мне кажется, можно сделать два разумных предположения. Одно
предположение, что они рождаются равномерно во всем пространстве.
В этом случае большинство из них будут рождаться в межгалактическом
пространстве, что очень далеко от нас, и мы ничего не увидим из этого
рождения. Другая возможность состоит в том, что материя рождается
там, где она уже есть пропорционально уже существующему количеству.
Мы называем первое предположение аддитивным рождением, а второе —
мультипликативным рождением. С мультипликативным рождением, я ду-
думаю, мы должны сделать предположение, что новая материя, когда она
22. ГБЧ И ИЗМЕНЧИВОСТЬ ГРАВИТАЦИОННОЙ ПОСТОЯННОЙ 409
рождается, состоит из тех же атомов, что и атомы уже существующей
материи. Я полагаю, что любое другое предположение ведет к противоре-
противоречиям с известными фактами из истории Солнечной системы.
Мультипликативное рождение имеет ряд трудностей. В частности, оно
требует, чтобы каждый атом материи размножался и при этом новые ато-
атомы рождались по соседству с уже существующими. Это создает проблему
с пониманием устройства очень старых кристаллов; как атомы в кристалле
могли бы размножаться, не разрушая полностью кристалл. Я знаю, что
существуют старые кристаллы в скалах с возрастом в миллиард лет и
более. Гиттус3) в Англии, работающий в Комиссии по атомной энергии,
писал мне об этой проблеме. Он изучает нарушения в кристаллах, и он
считает, что трудности не столь уж и велики, и что возможно без полного
разрушения кристалла допустить рождение новых атомов, которые позд-
позднее диффундируют наружу. Это проблема, с которой мы столкнемся, если
мы предположим мультипликативное рождение.
Из этих двух возможностей, аддитивное или мультипликативное рож-
рождение, я думаю, что мы должны выбрать то или другое. Я не знаю, что
предпочесть. Я думаю, что мы должны попробовать провести наблюдения,
которые позволят отличить одно от другого и сказать нам, которое из них
является правильным. Или, может быть, они оба неверны.
Я полагаю, что мультипликативное рождение применимо также и к
фотонам и любым другим частицам с массой. Они также должны раз-
размножаться, потому что для того, чтобы сохранить эйнштейновы законы
в механических единицах, мы должны иметь полную массу в атомных
единицах, увеличивающуюся пропорционально при мультипликативном
рождении. Этот процесс рождения должен происходить на атомных рас-
расстояниях, он вряд ли происходит на больших масштабах, например, на
масштабе больших молекул.
Главный вопрос теперь состоит в связи между атомными и механиче-
механическими единицами. Эта связь будет разной в зависимости от того, какую
модель рождения мы выберем. У нас есть два предположения, которые
мы можем сделать относительно рождения материи, и они ведут к двум
различным соотношениям между атомными и механическими единицами.
Рассмотрим движение Земли вокруг Солнца. Допустим, что М — это
масса Солнца, г — радиус земной орбиты, v — скорость движения Земли
на этой орбите.
Соотношение v2r = MG справедливо в механических единицах. По-
Посмотрим, как оно выглядит в атомных единицах. В механических единицах
каждый множитель является константой. В атомных единицах некоторые
из них могут изменяться со временем, но формула должна быть все равно
справедлива. Величина v безразмерна и, поэтому, постоянна в атомных
единицах. Константа G пропорциональна t~x в этих единицах. Масса М
при аддитивном рождении постоянна. При мультипликативном рождении
М возрастает пропорционально t2. Это космологический процесс, который
идет в дополнение к любому возможному физическому процессу. Мы на-
410 III. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОСМОЛОГИЯ
ходим, что радиус г пропорционален t при аддитивном рождении и t
при мультипликативном рождении.
Если принять за основу гипотезу аддитивного рождения, с постоянной
массой Солнца, то радиус земной орбиты уменьшается пропорционально
t~x в противоречии с примитивной теорией. При мультипликативном рож-
рождении земная орбита увеличивается в размерах также, как и в примитив-
примитивной теории.
Эти космологические процессы применимы ко всем планетам Солнеч-
Солнечной системы. При аддитивном рождении вся Солнечная система сжима-
сжимается, а при мультипликативном рождении расширяется. В примитивной
теории вся Солнечная система расширяется. Поэтому наблюдения дви-
движения планет, когда они описываются примитивной теорией, находятся
в согласии с моей теорией при мультипликативном рождении. С другой
стороны, если мы примем гипотезу аддитивного рождения, то G в прими-
примитивной теории как бы будет возрастать. Те исследователи, кто работает
с примитивной теорией и находит, что G возрастает, должны изменить
свою теорию и показать, что их результаты поддерживают теорию, где G
убывает при аддитивном рождении.
Согласие теории с мультипликативным рождением с примитивной тео-
теорией относится только к планетарным расстояниям и не справедливо для
угловых скоростей. Обозначим угловую скорость через п: п = v jr. При
аддитивном рождении п ~ t. При мультипликативном рождении п ~ t.
В примитивной теории условие, что скорость v постоянна, должно быть
заменено условием, что угловой момент постоянен, или что vr постоянно.
Таким образом, vr2 ~ G ~ t, что дает г ~ t ип = v /г = vr/r2 ~ г~2. Тем
самым, угловое ускорение в примитивной теории в два раза больше, чем
в теории с мультипликативным рождением. Это рассуждение применимо
также и к угловому ускорению Луны при движении вокруг Земли.
Это и есть те два главных пункта, которые я хотел бы предложить
вашему вниманию. Вопрос в том, расширяется или сжимается Солнеч-
Солнечная система в целом в результате космологического процесса, который
не может быть объяснен никаким другим физическим процессом. Нужно
проделать точные измерения расстояний внутри Солнечной системы. Эти
расстояния должны быть измерены в атомных единицах; они должны
относиться к атомному времени. Нет пользы в том, чтобы измерять их
в эфемеридных единицах. Если использовать эфемеридные единицы, то
ваши измерения будут только проверять теорию Ньютона или теорию
Эйнштейна, и они совсем не будут проверять мои новые идеи. Эти новые
идеи проявятся только, если измерения проводятся в атомных единицах.
Это значит, что нужно проводить измерения на основе атомных часов или
на основе расстояний, отнесенных к кристаллической решетке. Каким-то
путем вы должны привнести в измерения атомные единицы.
22. ГБЧ И ИЗМЕНЧИВОСТЬ ГРАВИТАЦИОННОЙ ПОСТОЯННОЙ 411
Литература
1. Dearborn D.S. and Schramm D.N. Limit on Variation of G from Clusters of
Galaxies // Nature. 1974. V. 247. P. 441.
2. Vinti J.P. Classical Solution of the Two-Body Problem —If the Gravitational
Constant Diminishes Inversely with the Age of the Universe // Monthly Notices
of the Royal Astronomical Society. 1974. V. 169. P. 417.
3. Gittus J.H. Multiplicative Creation in Two-Phase Materials: Boundary, Diffu-
Diffusion And Deposition // Proceedings of the Royal Society of Astronomy (Great
Britain). 1976. V. 348 A652). P. 95-99.
Дискуссия
Агопян: Как насчет сохранения углового момента? В Вашей теории он, похоже, не
сохраняется?
Дирак: Он прекрасно сохраняется в механических, но отнюдь не в атомных единицах.
Возникают некоторые проблемы с пониманием квантовой механики и принципа соот-
соответствия в связи с гипотезой Милна. Я не знаю пока ответа на этот вопрос.
Галперн: Можно представить себе существование макроскопической сферы из сверх-
сверхпроводящего материала, которая имеет в атомных единицах постоянное число единиц
углового момента. Такая система не может иметь постоянный угловой момент в меха-
механических единицах.
Постоянство таких величин в двух системах единиц, похоже, зависит от того, нахо-
находится ли система в чистом состоянии или в смешанном.
Вопрос: Мы все хотели бы рассмотреть возможность того, что G изменяется, но пред-
пол ожение о том, что наши обычные представления о сохранении энергии нарушаются,
не так легко принять, как вариацию G.
Дирак: Если вы не принимаете этого, вы имеете парадоксальную ситуацию, что число
1039 возрастает, в то время как число 1078, представляющее собой полное число бари-
онов, остается постоянным. При этом не следует говорить, полное число барионов, а
говорить следует полное число протонных масс, поскольку половина из этих частиц мо-
может быть антибарионами. Я согласен, что это предубеждение, которое надо преодолеть.
Я чувствую, что оно того же порядка величины, что и первоначальное предубеждение,
и если вы проглотили одно, вы проглотите и другое.
Вопрос: А что происходит при t = О?
Дирак: Я не хочу возвращаться к очень малым временам, потому что законы При-
Природы могли тогда быть другими. Мы обсуждаем только асимптотические условия при
больших t. Любые из законов Природы могли быть другими при малых t.
Вопрос: Что происходит с экстремально плотной материей в пространстве, такой как
сколлапсировавшие звезды, при изменении G?
Дирак: В механических единицах не происходит ничего отличного от стандартной
динамической теории. Поэтому следует установить, каково влияние подобных вещей
в атомных единицах.
Вопрос: Предполагаете ли Вы, что при рождении любого положительного заряда
рождается отрицательный, например, что рождается атом водорода, а не единичный
протон?
Дирак: Я думаю, что это возможно правильно, но я не вижу никакой фундаментальной
необходимости предполагать это. Сохранение заряда может быть справедливо всего
лишь статистически.
Вопрос: Готовы ли Вы принять более сложные предположения о рождении материи,
чем аддитивное и мультипликативное рождение?
Дирак: Можно сделать и другие предположения о рождении материи.
Миллер: Вернемся к вопросу об угловом моменте. Рассмотрим вращение большого
твердого тела.
412 III. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОСМОЛОГИЯ
Дирак: Как вы определяете твердое тело?
Миллер: Предположим, что это большой кристалл. Постоянные решетки в атомных
единицах не меняются. Меняется ли при этом полная масса и радиус, помимо малых
поправок из-за гравитационных сил, зависит от того, справедлива ли гипотеза аддитив-
аддитивного или мультипликативного рождения. Период вращения такого тела в механических
единицах не может быть постоянным. Должен ли период вращения небесного тела быть
постоянным?
Дирак: Нужно анализировать ситуацию в каждом случае. Вообще говоря, когда речь
идет об атомных константах, это не так.
Галперн: Постоянство периодов вращения пульсаров рассматривалось как аргумент
против Гипотезы Больших Чисел. Я разбирался с этим вопросом. В настоящий момент
мы нашли только один пульсар, который достигает почти предельной точности. Я
думаю, что статистика пока еще не достаточно хороша, чтобы делать какие-то опреде-
определенные выводы.
Вопрос: Связано ли изменение гравитационной силы в лаборатории, которое должно
происходить согласно теории Дирака, с принципом Маха?
Дирак: Я так не думаю.
Галперн: Существуют много формулировок принципа Маха. Если формулировать этот
принцип, например, вообще как влияние условий во Вселенной на локальные уравнения
движения, то возможно, наверное, интерпретировать описание ситуации в атомных
единицах как проявление принципа Маха.
23
ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И
ТЕОРИЯ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА
Изучение соотношений между большими безразмерными числами приводит к пред-
предположению, что гравитационная постоянная G, выраженная в атомных единицах, ме-
меняется с эпохой. В эйнштейновой теории G постоянна. Можно примирить эти два
требования, если предположить, что эйнштейнова теория справедлива по отношению к
метрике, которая отличается от атомной метрики.
Можно построить теорию с сохранением массы, предположив, что постоянное воз-
возрастание массы наблюдаемой части Вселенной проистекает из-за постоянного умень-
уменьшения скорости удаления галактик. Это приводит к модели Вселенной, которая была
впервые предложена Эйнштейном и де Ситтером (модель Э-деС). Наблюдения микро-
микроволнового излучения соответствуют этой модели.
Статическая метрика Шварцшильда должна быть модифицирована, чтобы соот-
соответствовать модели Э-деС для больших г. Такая модификация разработана и описано
движение планет в такой метрике. Обнаружено, что существует разница между эфеме-
ридным и атомным временами, а также то, что планеты должны двигаться по спирали
по отношению к атомным единицам в дополнение к обычному движению в теории
гравитации. Существуют эффекты, которые можно проверить наблюдениями, но пока
нет убедительных свидетельств в их пользу.
Гипотеза Больших Чисел
Из данных, полученных в атомной физике и астрономии, можно по-
построить некоторые безразмерные большие числа. Наиболее важными яв-
являются: A) отношение электрической и гравитационных сил между элек-
электроном и протоном, е2/(Gmemp). Оно имеет значение порядка 7 • 1039;
B) возраст Вселенной ?, выраженный в единицах времени задаваемых
атомными константами, скажем е2/(гаес3). Он имеет значение порядка
2 • 1039; C) масса той части Вселенной, которая удаляется от нас со ско-
скоростью < A/2)с, выраженная в протонных массах. Назовем ее N. Ее
значение довольно неопределенно, поскольку неизвестно, сколько материи
мы не видим в наши телескопы, но оно составляет число порядка 1078.
Гипотеза Больших Чисел (ГБЧ) утверждает, что эти числа связаны
уравнениями с коэффициентами, близкими к единице. Так как число B)
меняется с возрастом Вселенной, то ГБЧ требует, чтобы и другие числа
тоже менялись. Получается что
t, A)
е
Gmemp
N ос t2. B)
*) The Large Numbers Hypothesis and the Einstein Theory of Gravitaion // Proc. Roy.
Soc. Lond. A. 1979. V. 365. P. 13-30.
414 III. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОСМОЛОГИЯ
Утверждение A) можно переформулировать, сказав, что G ос t, будучи
выраженной в атомных единицах.
Соотношение B) требует непрерывного возрастания количества мате-
материи в наблюдаемой части Вселенной. Чтобы это объяснить, я предполагал
непрерывное рождение материи. Однако существуют огромные трудности
с этим предположением, как концептуальные, так и связанные с соответ-
соответствием наблюдениям, и поэтому я думаю, что от него нужно отказаться.
Можно примирить соотношение B) с сохранением массы, предполо-
предположив, что скорость удаления галактик непрерывно уменьшается, так что
оказывается все больше и больше галактик, которые удаляются от нас
со скоростью < A/2)с. Это была картина, принятая мной в моей первой
работе на эту тему в 1938 году. Я не мог развить ее далее в то время,
поскольку она решительно противоречила значению постоянной Хаббла,
которое было тогда принято.
Две метрики
Существует проблема соответствия ГБЧ с эйнштейновой теорией гра-
гравитации. Трудность состоит в том, что ГБЧ дает G ос t, в то время
как эйнштейнова теория требует постоянства G. Это противоречие можно
разрешить, если предположить, что теория Эйнштейна справедлива в си-
системе единиц, отличной от той, что дается атомными константами. Мы
будем использовать индексы Е и А для обозначения величин в этих двух
системах единиц. Тогда имеем
G^oct, GE = const. C)
В отсутствии непрерывного рождения материи масса тела в атомных
единицах является постоянной. В теории Эйнштейна масса также посто-
постоянна. Поэтому две единицы массы являются теми же самыми, и мы имеем
гпе = гпл. D)
Мы будем предполагать, что скорость света равна единице в обеих
системах единиц. Поэтому единицы времени и расстояний будут меняться
в них в одинаковой пропорции. Соотношение между ними можно вычис-
вычислить из формулы C) на основе размерных соображений. Размерность G
есть [расстояние]3[время]~2[масса]~1. Поэтому из формулы D) следует, что
dsE = tdsA- E)
Соотношения D) и E) являются фундаментальными для примирения ГБЧ
и теории Эйнштейна.
Для обозначения эпохи в атомных единицах мы будем продолжать
использовать ?, а г будет обозначать эпоху в эйнштейновых единицах.
ТогДа л + л+ (а\
йт = tat F)
или 1 2
1
23. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И ТЕОРИЯ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА 415
Закон расширения
В рассматриваемой теории Вселенная в любое заданное время беско-
бесконечна, так что мы не можем говорить о радиусе Вселенной. Но мы можем
ввести переменную /?, которая задает расстояние от какой-либо галактики,
и рассматривать, как R меняется с эпохой. Это даст нам закон расширения
Вселенной. Можно взять любую не очень удаленную галактику, чтобы не
беспокоиться о проблеме искривленности пространства.
Изменение переменной R можно вычислить из условия B). Будем
использовать атомные единицы, когда R равно Ra- Средняя плотность
в атомных единицах при условии сохранения массы есть
РА ос Rf. G)
Рассмотрим общий закон расширения
RA ос tn. (8)
Тогда интересующая нас скорость удаления галактики будет равна
dt ~ t
Расстояние до галактики, чья скорость удаления от нас равна A/2)с,
есть -t/n. Полная масса, заключенная в этом объеме ос рд?3. Согласно
формуле B) это должно быть ос t2. Поэтому
РА ос Г1 (9)
и из формулы G) следует, что
RA ос ?1/3. A0)
Это гораздо более медленный закон расширения, чем в обычно принима-
принимаемой картине, где он близок к Ra ос t.
С новым законом расширения мы должны пересмотреть оценку воз-
возраста Вселенной. Для общего закона расширения (8) постоянная Хаббла
есть
л
тт UHa 1 П
~ dt RA ~ t'
При обычном значении п = 1 получаем Н = t-1. В нашей теории п = 1/3
и Н = (l/3)t—1. Иначе говоря, при том же самом значении постоянной
Хаббла возраст Вселенной уменьшается в три раза.
Значение постоянной Хаббла все еще не известно с достаточной точ-
точностью, но считается, что оно соответствует возрасту Вселенной порядка
18 • 109 лет с законом расширения Ra ос t. Это соответствует возрасту
в 6 • 109 лет с новым законом расширения. Это гораздо меньше, чем обычно
принимаемый возраст Вселенной, но все еще гораздо больше, чем возраст
Солнечной системы, а именно 4, 5 • 109 лет, т. е. это не невозможно.
416 III. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОСМОЛОГИЯ
Кривизна трехмерного пространства
Рассмотрим трехмерное пространство, соответствующее данной эпо-
эпохе t. Если игнорировать локальные возмущения, то это будет однородное
пространство постоянной кривизны (постоянной в пространстве, но не
обязательно во времени). Кривизна может быть положительной, нулевой
или отрицательной.
Случай положительной кривизны может быть сразу исключен. Это
потребовало бы того, чтобы Вселенная имела конечную массу, которая,
будучи выраженной в протонных единицах, дала бы большое постоянное
число, что противоречит ГБЧ.
Случай отрицательной кривизны также может быть исключен, хотя
и не так просто. Введем координаты трехмерного пространства ?х, ?2, ?3
так, чтобы они были постоянными в любой выбранной галактике. Тогда,
в соответствии с заданными d^1, Л;2, d?3, мы будем иметь расстояние
dsA, которое меняется как ?1у/3. Радиус кривизны, скажем 31, определяется
такими расстояниями, и поэтому также меняется как t1/3. Полная масса
внутри сферы радиуса 91 есть 91 умноженной на плотность и поэтому,
согласно (9), не зависит от t. Это дает постоянное большое число, которое
ГБЧ не разрешено.
Мы, таким образом, остаемся со случаем нулевой кривизны, или плос-
плоским трехмерным пространством, как с единственной возможностью, сов-
совместной с ГБЧ. Тогда мы можем использовать декартовы координаты ж1,
ж2, ж3 в трехмерном пространстве.
Модель Вселенной
ГБЧ требует, чтобы любое большое безразмерное число, которое по-
появляется в фундаментальной теории, менялось как определенная степень
эпохи в зависимости от величины числа. Поэтому в теории не должно быть
никакого большого безразмерного числа, которое было бы постоянно.
Рассмотрим Вселенную, в которой местные возмущения сглажены.
Существуют несколько возможных моделей, которые были разработаны
различными авторами. Исчерпывающий список таких моделей приведен
Робертсоном A933). Почти все они противоречат ГБЧ, так как они со-
содержат большие постоянные числа. Например, те модели, где Вселенная
растет до максимального размера и затем начинает сжиматься, должны
быть исключены, поскольку максимальный размер, выраженный в атом-
атомных единицах, дает большое постоянное число.
Обсудим модель в терминах эйнштейновой метрики. Имеем
ds% = dr2 - ^{(dx1J + (dx2J + (^ж3J}. A1)
Здесь Re является функцией только т. Для обозначения производной
d/dr мы будем использовать точку. Эта метрика соответствует однородной
23. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И ТЕОРИЯ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА 417
плотности ре и однородному давлению р#,
(Y 2Re
= 6\r~e) ' PE = -\R-E) - RE
(см., например, Робертсон, уравнение C.2) с Л = 0, к = 0.) Чтобы соответ-
соответствовать реальной Вселенной, следует положить давление равным нулю.
Это дает
RE ост2/3.
Последнее соответствует закону расширения, получаемому из ГБЧ, по-
поскольку из формулы A0)
RE = tRA ос ?4/3 ос т2/3.
Мы теперь получаем
Следовательно
16 ,_1
что находится в согласии с формулой (9).
Эта модель была предложена в совместной работе Эйнштейна и де Сит-
тера A932). Они отметили, что она автоматически приводит к правиль-
правильному порядку величины для плотности. Мы будем называть эту модель
моделью Э-деС. Для описания реальной Вселенной она, похоже, является
очень хорошей моделью. Это — простейшая нестатическая модель.
В нашем распоряжении есть произвольная константа, связанная с вы-
выбором координат ж1, ж2, ж3 и мы выберем ее так, чтобы получить
Re = т2//3, так что соотношение A1) приобретает вид
Естественное микроволновое излучение
Существует ли какое-либо подтверждение закона расширения A0)?
Есть очень хорошее подтверждение, связанное с наблюдением естествен-
естественного микроволнового излучения.
Считается, что микроволновое излучение в силу своей однородности
и изотропности имеет космологическую природу. Настолько, насколько
оно наблюдается, оно имеет вид излучения черного тела, подчиняющего-
подчиняющегося закону Планка. Излучение черного тела в расширяющейся Вселенной
остается излучением черного тела (в предположении, что не происходит
рождения фотонов, как это могло бы быть в теории с непрерывным рож-
рождением материи). Каждая спектральная компонента излучения смещена
в красную область согласно такому же закону, что и расстояние до какой-
либо галактики. Из A0) имеем
14 П.Дирак. TIV
418 III. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОСМОЛОГИЯ
Температура излучения Т убывает согласно тому же закону, что и
частота одной из его компонент, а именно
Tocz/oc A oct/3. A3)
Скорость остывания при этом гораздо меньше, чем в обычной теории, где
расстояние до какой-либо галактики примерно пропорционально ?, так что
Л ос t. Это дало бы
Т ос Л oct. A4)
Наблюдаемое значение температуры Т равно 2,8 К. Ей соответствует
энергия кТ', которую можно сравнить с энергией покоя протона и получить
безразмерное число
J^L_ = 2,5-1(Г13.
ГПрС
Согласно ГБЧ нам следует ожидать, что это число будет меняться с эпохой
по закону
^ 1/3
2
трс
Поэтому зависимость Т ос t~1'^> находится в соответствии с законом A3),
но в противоречии с законом A4).
Микроволновое излучение, таким образом, подтверждает нашу кар-
картину. Излучение остывало по закону t/3 с момента времени, близкого
к Большому взрыву. Согласно обычным представлениям, оно остывало
по закону t~x с момента времени отщепления, когда оно отделилось от
материи. Это время отщепления составляет примерно 1026, когда темпе-
температура Т была в 1013 раз больше, чем теперь, так что кТ приблизительно
равнялось ГПрС2. Существование такого времени отщепления, играющего
фундаментальную роль в космологии, противоречит ГБЧ.
Модифицированная метрика Шварцшильда
Для описания движения планет мы должны использовать метрику
Эйнштейна в полярных координатах г, #, (р. Обычное выражение для
такой метрики, шварцшильдово решение, должно быть модифицировано
с тем, чтобы удовлетворить метрике A2) модели Э-деС для больших зна-
значений г. Оно перестает быть статическим.
Мы можем записать общее выражение для метрики в виде
ds2E = a2 dr2 - /З2 dr2 - 72(d<92 + sin2 в dtp2), A5)
где а, /3, 7 "Функции гиг. Тогда
goo = a2, gn = -/З2, g22 = ~72> #зз = ~72 sin2 #>
gfiv = О ДЛЯ V ф V.
Находим также, что
23. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И ТЕОРИЯ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА 419
Вычислим все символы Кристоффеля. Ненулевые элементы имеют вид
(точка обозначает производную д/дт, а штрих — производную д/дг)
г0 _ ol г0 _ РР г0 _ 77 г0 _ 77 -2 л Г1 _ olol г1 _ Р'
1 00 - - 41-^2- А 22 - ^2 L 33 - ^2 Sin ^ А 00 - ^2- L 11 - ^2
Г1 _ 77' Г1 _ 77' -2 л г0 _ а' Г1 _ /3 Г2 _ 7 Г3 _ 7
1 22 - -~02 V 33 - --02Г sin ^ Х 01 - — 1 01 - 0 1 20 - - Х 30 - -
Го1 = — Го1 = — Го2 = - sin в cos в ro2 = cot<9.
7 7
Получаем
г-о- _ а . /3 . 27
_ ol P
Мы мож:ем теперь вычислить тензор Риччи
±bjjbu * /j,a,i/ А //г^,сг А fii/ pa * /лег up'
Он может быть записан в виде
где Яци^) не зависит от а, /3, 7- ^^A) линеен по а, /3, 7 и Д/л/B)
квадратичен по а, /3, 7 и линеен по й, /3, 7- Будем считать, что а, /3, 7
медленно меняются с т, так что 72^A) будет малой величиной первого
порядка, а 72^^B)— второго порядка.
Мы можем добиться того, чтобы 72^^@) равнялся нулю, выбирая а, /3,
7 так, что они удовлетворяют решению Шварцшильда в пренебрежении
зависимостью от г. Тогда не нужно вычислять 72^^@). Однако, нужно
вычислить 7?^A) и R/Jjl/B). Находим
Все другие компоненты 72^A) равны нулю. Мы находим далее
in2 (9, B0)
^B) = 0, /i^zA
Мы не мож:ем требовать выполнения обычных эйнштейновых поле-
полевых уравнений R^ = 0. Это не будет совместимо с моделью Э-деС при
больших г. Мы предположим, что эйнштейновы уравнения выполняются
14*
420 III. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОСМОЛОГИЯ
настолько, насколько это возможно, чтобы не придти в противоречие, а
именно
R»v = 0, цфи, B1)
R\ = R22 = Я|. B2)
Уравнение B1) требует обращения в нуль выражения A6) для 7?oi(l).
Чтобы применить условия B2), используем, что
-R\ = /Г2Яц, ~Щ = 7~2#22, -Д| = sin Я33.
Мы видим сразу же, что 7?| = Д|- Более того, мы видим, что — R\ или ве-
величина /3~2, умноженная на выражение A8), равна — Я|, т. е. величине 7~2>
умноженной на выражение A9), при условии, что
7 = /?/,
где / есть функция только г, так что j = $f.
Введем новую радиальную координату, равную /. Мы не должны
вводить новую координату, которая зависит от г и от г, поскольку это
нарушит ортогональность метрики A5) и приведет к появлению члена go±.
Но если / является функцией только от г, то ее вполне можно выбрать
в качестве новой координаты г. Тогда
7 = Рг. B3)
Теперь метрика A5) приобретает вид
ds2E = a2 dr2 - f32(dr2 + r2 d62 + r2 sin2 в dtp2).
Она изотропна по отношению к трем пространственным координатам. Ее
следует сравнить с изотропной формой шварцшильдовой метрики в виде
Это дает
Статические величины а и /3 в этом случае могут быть сделаны завися-
зависящими от времени тремя способами.
A) Можно умножить а на любую функцию от т.
B) Можно умножить /3 на любую функцию от т.
C) Можно считать т зависящим от г.
Во всех этих случаях мы по-прежнему имеем R^ = 0.
Функции от т, на которые нужно умножить статические а и /3, фикси-
фиксируются требованием, чтобы метрика переходила в метрику модели Э-деС
A2) при больших г. Тогда получаем
Наконец, зависимость т от г фиксируется требованием Rqi = 0.
23. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И ТЕОРИЯ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА 421
С помощью соотношения /3//3 = 7/7 условие обращения в нуль выра-
выражения A6) для Rqi приобретает вид
Интегрируя его, имеем
Q7
ИЛИ
где F(t) — функция только т. Подставляя для а и /3 их выражения B4),
находим
2r
4г2
или
Приравнивая коэффициенты при различных степенях г, получаем
- тт~х + m = —-
о Z
Это дает
Значит
m ос
г/3.
Метрика теперь полностью определена.
Вычислим ненулевые компоненты ДМ1/, используя соотношение
Тогда из формулы A7) получим
B6)
B7)
Из формулы A8) находим
9 г2 3 т2а 3 г2
422III. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОСМОЛОГИЯ
Таким образом, имеем
так что ,
ЯЬ^D-За-1).
Тензор энергии-импульса T^v определен как
Он имеет следующие компоненты
71 — i2 — i3 — з \L — OL ).
Они могут быть выражены в терминах плотности рЕ и давления
Отсюда находим
РЕ = 1т-2A-а-1), B8)
РЕ = \т-2а-\ B9)
Как это следует из модели Э-деС, для пространства в отсутствии материи
космологическая плотность рЕ = 4/(Зт~2), а космологическое давление
отсутствует. В окрестности стационарной массы космологическая плот-
плотность модифицируется умножением на а~г и согласно B8) появляется
космологическое давление. Заметим, что оно отрицательно. Эти эффекты
должны рассматриваться как необходимая модификация полевых уравне-
уравнений Эйнштейна R^ = 0 в применении к космологической модели Э-деС.
Орбиты планет
Рассмотрим планету, движущуюся по геодезической в модифицирован-
модифицированной метрике Шварцшильда. Допустим, что zu — ее координаты. Рассмот-
Рассмотрим их как функции z° и обозначим точкой производную d/dz. Тогда
i° = 1. Допустим, что s обозначает собственное время, измеряемое вдоль
мировой линии в эйнштейновых единицах. Тогда уравнения геодезической
имеют вид
г" + Г^г"г" - г" | = 0. C0)
Введем скорость планеты v с помощью условия
2 = -gabzazb (a, 6 = 1,2,3). C1)
23. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И ТЕОРИЯ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА 423
Тогда
s2 = g^z^z" = goo(l - v2).
Поэтому
2SS = (#00,0 + g№,aZa)(l ~ V2) - 2g00VV.
Применяя уравнение C0) с \i = 0, получим
Г° ZVZ" = 4 = g°01- (^00,
2 V<5UU'U ьии,а^ ) _ 2
Но х 1 \
^р2; 2;р = g" ^- g-00,0 + <g^00,a^ - 2 <^а6,0^ ^ J ,
следовательно, имеем
g00,aZa - - gab,0ZaZb + gOO -^-^ = 0.
Рассмотрим случай движения по окружности с небольшой космоло-
космологической вариацией координаты радиуса z1. Тогда величина i1 мала, и
можно пренебречь ее квадратом. В результате получим
aa'z1 + 77Ш2J + sin2 0(i3J} + a2 -^ = 0,
1 — V
в то время как условие C1) принимает вид
a2v2 = 72{(i2J + sin2^(i3J}_
Следовательно
a 7 1 - v
Подставляя г место z1, получаем с помощью формулы B7)
v2
т 1 . 2v2 1 — m/2r vv _ п
7 1 - ш2/4г2 Г+^ l + m/2r + ГТ^ - U-
Применим теперь уравнения C0) с \± = 1 и опустим i1. Получим
ИЛИ
или ,
aot - ^a2v2 = 0,
7
7
ИЛИ
1
1 1 /о
1 1 — т/2г 2
V
г 1 -mz/4r r
или
C4)
424 III. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОСМОЛОГИЯ
Подставляя это значение т в уравнение C3), мы получаем
Решением двух уравнений C4) и C5) очевидно является
г ос т-2'\
так что r/m = const, и v = const.
Здесь г является радиальной координатой планеты. Расстояние плане-
планеты от Солнца в эйнштейновых единицах
те = /Зг = const.
Таким образом, планета, также, как и в статической шварцшильдовой
метрике, движется с постоянной скоростью на постоянном расстоянии от
Солнца.
Эфемеридное время определяется как время, отмечаемое по движению
планеты. Мы теперь видим, что эфемеридное время совпадает с эйнштей-
эйнштейновым временем. Поэтому эфемеридное время отличается от атомного
времени, измеряемого атомными часами. Уравнение F) показывает, что
атомные часы отстают от эфемеридного времени.
В атомных единицах расстояние планеты от Солнца равно
га = t~XTE ос t.
Поэтому расстояние в атомных единицах непрерывно уменьшается. Пла-
Планета приближается к Солнцу по спирали. Это — космологический эффект,
который накладывается на движение планеты под действием других фи-
физических сил.
Сравнение с наблюдениями
Рассмотрение движений планет дает информацию о двух теоретиче-
теоретических эффектах, которые можно сравнить с наблюдениями. Этими эффек-
эффектами являются: A) разница между эфемеридным и атомным временами,
B) спиральное падение планеты на центр при описании движения в атом-
атомных единицах.
Для проверки эффекта A) мы должны аккуратно измерить движение
какого-либо тяжелого тела в эфемеридном и в атомном времени. Луна
является самым подходящим объектом, так как ее движение наиболее
аккуратно наблюдалось. В течение столетий угловое движение Луны на
фоне неподвижных звезд аккуратно наблюдалось в эфемеридном времени.
С 1955 года оно наблюдалось и по атомным часам.
Движение Луны изучалось в течение нескольких лет Т. Ван Фландер-
ном. Проблема усложняется тем, что приливные возмущения велики по
сравнению с точностью, которая необходима, чтобы проверить теорию.
Также нельзя пренебречь и влиянием других планет. Ван Фландерн счи-
23. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И ТЕОРИЯ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА 425
тал, что он получил свидетельство того, что атомные часы спешат по
отношению к эфемеридным часам. Такой эффект противоположен тому,
что предсказывает данная теория. Он доложил о своих результатах на
конференции, посвященной вариации G в Талахасси в 1975 году.
Я слышал недавно от Ван Фландерна, что с учетом более точных дан-
данных, полученных после 1975 года и перепроверенных его вычислениями,
он теперь считает, что ранние данные могли быть не аккуратны и что даже
знак эффекта может быть противоположным.
Эффект спирального падения может также быть применен к движению
Луны вокруг Земли, но его будет трудно наблюдать из-за того, что он
будет сильно маскироваться гораздо большими приливными эффектами.
Наилучшим шансом наблюдать этот эффект обладают радарные наблю-
наблюдения ближайших планет Меркурия, Венеры и Марса. Можно послать
радиоволны к одной из этих планет и наблюдать, какое время понадобится
отраженной волне, чтобы придти назад. Если использовать атомные часы
для измерения этого времени, то получится расстояние до планеты в атом-
атомных единицах.
И.И. Шапиро и Р.Д. Ризенберг работали над этой проблемой, и Ризен-
берг доложил их результаты на конференции в 1975 году. Для каждой из
планет, Меркурия, Венеры и Марса, они обнаружили эффект спирального
падения, но возможные погрешности в каждом случае столь же велики,
как и сам эффект, поэтому пока настоящего подтверждения теории нет.
Результаты, представленные на конференции 1975 года, можно най-
найти в книге «Об измерении космологических вариаций гравитационной
постоянной», опубликованной издательством Университета во Флориде,
Гейнсвилл, Флорида, 1978.
Во время экспедиции Викинга на Марс в 1976 году на поверхность
Марса был доставлен цифровой преобразователь, который теперь исполь-
используется для измерения расстояния до Марса с очень большой точностью.
Результатов пока еще нет, но можно надеяться, что в скором времени мы
сможем проверить предсказания теории.
Литература
1. Dime P.A.M. II Proc. Roy. Soc. Lond. A. 1938. V. 165. P. 199.
2. Einstein A., de Sitter W. // Proc. Natn. Acad. Sci. USA. 1932. V. 18. P. 213.
3. Robertson H.P. // Rev. Mod. Phys. 1933. V. 5. P. 62.
24
СЛЕДСТВИЯ ИЗМЕНЧИВОСТИ G *)
1. Изменчивость G
В чем причина того, что мы верим в наличие изменчивости G1 Эта вера
основана просто на анализе безразмерных фундаментальных постоянных,
данных нам Природой. Большинство из них весьма близки по величине
к единице. Так, у нас имеется отношение /гс/е2, примерно равное 137, а
также отношение масс протона и электрона тр/те, примерно равное 1840.
Еще одна фундаментальная безразмерная постоянная — отношение вели-
величин электрической и гравитационной силы, действующей между протоном
и электроном. Это отношение примерно равно
^ 7-1039. A)
Gmpme
Физики верят в то, что в конце концов для всех этих чисел будет
получено объяснение. Значения, близкие к единице, будут объяснены с по-
помощью чистой математики. Однако каким образом математика может
когда-либо привести к числам порядка 1039? Это выглядит безнадежной
задачей.
Разумнее было бы связать это число с другим большим числом, которое
обусловлено возрастом Вселенной. Время, прошедшее с момента Большого
Взрыва (называемое иногда эпохой), составляет примерно 18 • 109 лет; это
верно в том случае, если мы принимаем последние оценки постоянной
Хаббла и обычную интерпретацию для нее. Если мы выразим эту постоян-
постоянную в единицах времени, построенных на атомных единицах (например,
е2/(гаес3)), то получим
t = 18 • 109 лет = 2 • 1039 -^з, B)
тс
з
тес
при этом мы вновь получаем число порядка 1039.
Можно, конечно, рассматривать этот факт просто как замечательное
совпадение. Однако разумнее считать, что для этого факта имеется неко-
некоторое объяснение, которое может быть понято, если мы узнаем больше о
космологии и атомной теории. Числа A) и B) при этом могут быть связаны
друг с другом посредством коэффициента, близкого к единице. Поскольку
*) Consequences of Varying G // In: Current Trends of Fields / Ed. J.E. Lamnitti,
P.K. Williams. -N.Y. AIR 1978. P. 163-174.
24. СЛЕДСТВИЯ ИЗМЕНЧИВОСТИ G 427
число B) возрастает с длительностью эпохи ?, число A) также должно
возрастать в том же отношении. Таким образом мы приходим к гипотезе
где G — гравитационная постоянная, выраженная в атомных единицах.
Если изложенные выше аргументы верны, то из них следует, что
все большие фундаментальные безразмерные постоянные, встречающиеся
в Природе, изменяются со временем и связаны с t простыми уравнениями
с коэффициентами, близкими к единице. Этот общий вывод мы называем
Гипотезой Больших Чисел (ГБЧ).
Непосредственным следствием этой гипотезы является вывод о том,
что Вселенная должна расширяться вечно. Она не может достичь мак-
максимального размера и затем вновь начать сжиматься, поскольку тогда
максимальный размер, выраженный в атомных единицах, был бы большим
числом, не изменяющимся со временем t. Тем самым ряд популярных
моделей Вселенной исключается.
2. Закон разбегания галактик
Введем еще одно большое число, которое дает полная масса наблюда-
наблюдаемой Вселенной. Для большей определенности примем в качестве полной
массы ту часть Вселенной, которая удаляется от нас со скоростью, не
превышающей A/2)с. Коэффициент 1/2 здесь не существен, поскольку
нас интересуют только порядки величин. Для получения безразмерного
числа, которое мы назовем TV, выразим эту массу через массу протонов.
Число N известно не очень хорошо, поскольку неизвестно, каково
значение невидимой массы, однако, по-видимому, это число порядка 1078.
Тогда согласно ГБЧ мы получаем, что
N~t2. C)
Следовательно, существует непрерывное приращение количества наблю-
наблюдаемой материи. Каким образом можно объяснить это? Можно было бы
предположить непрерывное рождение материи, так что обычный закон
сохранения массы являлся бы лишь приближением. Я работал в рамках
этого предположения в течение ряда лет, однако встретился с трудностями
при его согласовании с различными наблюдениями и сейчас полагаю, что
от него следует отказаться.
Существует альтернативное объяснение, которое не отрицает точно-
точного сохранения массы. Предположим, что скорость разбегания галактик
не постоянна, но испытывает постоянное замедление так, что постоянно
возникает все больше галактик со скоростью разбегания меньшей A/2)с.
Именно эта картина была предложена в моей оригинальной статье ^ по
этому вопросу.
Нетрудно найти, какой закон замедления может привести к резуль-
результату C). Пусть R — расстояние (в атомных единицах) до галактик со
428 III. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОСМОЛОГИЯ
скоростью разбегания г?разб = A/2)с. R является мерой радиуса наблю-
наблюдаемой Вселенной, ибо R = ct (возможно, с численным коэффициентом
порядка единицы, точное значение которого для нас несущественно). Тогда
значение средней плотности Вселенной (в атомных единицах) равно
N N 1
ч — ч
R3 (ctK
так что расстояние до любой части материи ~ ?1//3 и, таким образом,
расстояние до галактики равно
D)
При этом скорость разбегания галактики равна
^гес ~ *~2/3, E)
так что имеет место сильное замедление разбегания галактик и, следо-
следовательно, значительное отклонение от общепринятой картины галактик,
разбегающихся с постоянной скоростью.
3. Естественное микроволновое излучение
Есть ли какое-либо подтверждение этого закона замедления? Я пола-
полагаю, что хорошим подтверждением являются наблюдения естественного
микроволнового излучения.
Принято считать, что это излучение вследствие своей однородности и
изотропии имеет космологическое происхождение. В пределах возможно-
возможности наблюдений это излучение представляется излучением черного тела,
описываемого законом Планка. Далее, излучение черного тела в расши-
расширяющейся Вселенной остается излучением черного тела (при условии, что
отсутствует рождение фотонов, которое могло бы иметь место в теории
с непрерывным рождением материи).
Каждая спектральная компонента излучения приобретает красное сме-
смещение в соответствии с тем же законом, что и расстояние до галактики.
Тогда согласно формуле D)
Л - t1'3. F)
Температура Т излучения убывает в соответствии с тем же законом, что
и частота любой из его компонент. Тогда из формулы F) имеем
Т ~v ~ Л ~t~1/3. G)
Скорость охлаждения Вселенной значительно меньше, чем в обычной тео-
теории, согласно которой расстояние до галактик примерно ~ ?, так что А ~ t.
Отсюда следует
Т - v - Л - t. (8)
24. СЛЕДСТВИЯ ИЗМЕНЧИВОСТИ G 429
Наблюдаемое значение Т составляет около 2,8 К. Ей соответствует
энергия кТ', которая по отношению к энергии покоя протона дает безраз-
безразмерное число
J^-_ = 2,5-1(Г13.
ГПрС
Согласно ГБЧ, следует ожидать, что это отношение будет изменяться с
длительностью эпохи t согласно закону
mpc
В результате Т ~ t'3, что соответствует приведенной выше формуле G),
однако существенно отличается от формулы (8).
Таким образом, микроволновое излучение дает подтверждение имею-
имеющейся сейчас картине разбегания галактик. В период времени, близкий
к моменту Большого Взрыва, излучение охлаждалось по закону t~1/3.
Согласно обычным представлениям, далее, начиная с некоторого момента
(когда излучение отделилось от вещества) излучение охлаждалось по зако-
закону t. Этот момент отделения должен был быть вблизи значения t = 1026,
когда Т было в 1013 раз больше современного значения и соответствовало
энергии кТ', примерно равной трс2. Существование такого момента от-
отделения, играющего фундаментальную роль в космологии, противоречило
бы ГБЧ.
Нам следует теперь изменить точку зрения на возраст Вселенной. Если
расстояние до галактики изменяется пропорционально /(?), то постоянная
Хаббла равна
т ¦
При постоянной скорости расширения f(t)~twH = t-1. Согласно новой
теории f(t) ~ ?1//3, а Н = (l/3)t—1, так что при том же значении посто-
постоянной Хаббла возраст Вселенной уменьшается в 3 раза. Принятое сейчас
значение постоянной Хаббла соответствует возрасту Вселенной примерно
18 • 109 лет при постоянной скорости расширения. Тогда в соответствии
с новым законом замедления разбегания галактик возраст Вселенной ста-
становится равным 6 • 109 лет. Это несколько меньше того значения, в которое
мы верим, но оно все же не является невозможным.
4. Орбиты планет
Обсудим, каким образом изменчивость G повлияет на движение планет
вокруг Солнца. Рассмотрим для простоты движение по окружности. Тогда
согласно закону Ньютона
GAMA = v\rA,
где М — масса Солнца, г?, г — скорость планеты и радиус ее орбиты. Ин-
Индекс А означает, что эти величины измерены в атомных единицах.
430 III. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОСМОЛОГИЯ
Имеет место соотношение Ga ~ t-1. В предположении о сохранении
массы величина Мд постоянна, а скорость vл — безразмерна (измеряется
в долях скорости света). Поэтому индекс А может быть опущен. Тогда
получаем
v2rA~t~1. (9)
У нас имеется всего лишь одно уравнение. Этого недостаточно для
определения того, каким образом уигд зависят от t. Необходимо принять
какое-либо дополнительное предположение.
Время, требуемое для прохождения планетой своей орбиты, равно
27ГГА
V
Это время, по определению, составляет единицу эфемеридного времени,
используемого астрономами. Это время следует использовать в уравнени-
уравнениях движения — как Ньютона, так и Эйнштейна. Тогда, обозначив через т
эфемеридное время, имеем
dt гА /1П\
dr v v 7
Возможность того, что эфемеридное время отличается от атомного,
впервые была рассмотрена Е.А. Милном. Он предложил следующую взаи-
взаимосвязь между ними:
r = logt. A1)
Это очень красивое соотношение; благодаря нему в пределе возвращения
к Большому Взрыву (t —> 0) имеем т —> — оо, так что для образования
скоплений звезд и галактик имеется огромный запас эфемеридного вре-
времени.
Если принять соотношение A1), из формулы A0) имеем
V
так что (9) дает
rA-t1'3 v~r2'3. A2)
Это означает, что все планеты движутся по раскручивающейся спирали.
Это космологический эффект, который накладывается на все остальные
эффекты, обусловленные известными физическими причинами.
Аргументы, использованные Милном 2~4) для вывода своего фундамен-
фундаментального соотношения A1) были весьма общего философского характера,
и я считаю их неубедительными. Можно ли выдвинуть какую-либо аль-
альтернативную теорию, основанную на более привычных физических идеях?
Такая теория существует, и она основана на теории тяготения Эйнштей-
Эйнштейна. В нее входит предположение о том, что все планеты движутся вдоль
геодезических линий в некотором римановом пространстве. Не следует
полагать, что это риманово пространство точно удовлетворяет уравнениям
Эйнштейна R^ = 0, так как иначе мы были бы вынуждены принять
теорию с постоянным значением G. Однако можно принять, что уравнения
24. СЛЕДСТВИЯ ИЗМЕНЧИВОСТИ G 431
поля выполняются с точностью порядка t~2. Такие ошибки столь малы,
что они не должны нас беспокоить.
Метод вычислений основан на использовании метрики Шварцшильда,
имеющей масштабный фактор, зависящий от ?; кроме того, параметру
массы также разрешено изменяться вместе с t. Мы приходим к результату,
что для движения по окружности v = const. Тогда из формулы (9) имеем
ГА ~ t~\ A3)
что значительно отличается от следствий A2) из предположения Милна.
Это означает, что планеты движутся по закручивающимся спиралям.
Далее, имеет место иное соотношение между эфемеридным и атомным
временами. Из формулы A0) имеем
dt ^ ,_i
что приводит к соотношению
г ~ t\ A4)
Это означает, что атомные часы по отношению к эфемеридному времени
замедляются, тогда как согласно соотношению Милна A1) они должны
были бы ускоряться.
5. Сравнение с наблюдениями
Должна существовать возможность проверки этих теорий с помощью
достаточно точных астрономических наблюдений. Для проведения срав-
сравнения эфемеридного времени с атомным можно использовать движение
Луны. Луна тщательно наблюдалась по эфемеридному времени в течение
ряда столетий, а с 1955 года также с помощью атомных часов. Ван Флан-
дерн в течение ряда лет проводил сравнение этих данных.
Вычисления здесь весьма сложны из-за больших приливных возмуще-
возмущений движения Луны. Угловое ускорение п движения Луны в эфемеридном
времени создается целиком за счет приливных и других подобных меха-
механических эффектов. В атомном времени к этому добавляется космологи-
космологический член, обусловленный различием атомного и эфемеридного времен.
Таким образом, разность
определяется космологическим членом.
На конференции, проходившей здесь два года назад, Ван Фландерн
дал оценку значения этой разности: —10 секунд/(столетиеJ. Знак минус
указывает на то, что Луна движется по раскручивающейся спирали, что
согласуется с соотношением Милна. Величина этого эффекта составляет
около одной трети того, что должно было бы быть согласно предлагаемой
теории, если при этом учесть сокращение возраста Вселенной.
432 III. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОСМОЛОГИЯ
Недавно я получил письмо от Ван Фландерна, где он сообщает, что
за прошедшие два года точность его результатов не возросла ожидаемым
образом, и он интересуется тем, нет ли каких-либо еще не обнаруженных
систематических ошибок. Тем самым проблема еще не до конца решена,
и сохраняется возможность того, что соотношения Эйнштейна A3) и A4)
могут оказаться правильными.
Другая возможность проверки теории обеспечивается прямыми наблю-
наблюдениями расстояния до Марса с помощью отражателей, размещенных на
поверхности Марса экспедициями «Викинг». После полного оборота Марса
по орбите (что займет около двух земных лет) можно будет достаточно
точно увидеть, по какой спирали движется Марс — закрученной внутрь
или наружу.
Литература
1. Dime P.A.M. II Proc. Roy. Soc. A. 1938. V. 165. P. 199.
2. Milne E.A. // Proc. Roy. Soc. A. 1936. V. 158. P. 324.
3. Milne E.A. // Proc. Roy. Soc. A. 1937. V. 159. P. 171.
4. Milne E.A. // Proc. Roy. Soc. A. 1937. V. 159. P. 526.
5. Van Flandern J. Measurements of Cosmological Variations of the Gravitational
Constant. 1978. P. 21-28.
25
НОВЫЕ ИДЕИ ОТНОСИТЕЛЬНО ГРАВИТАЦИИ И
КОСМОЛОГИИ *)
1. Рождение
Замечено, что все удаленные галактики разбегаются от нас со скоро-
скоростями, примерно пропорциональными их расстоянию до нас. Это приводит
к предположению, что в какой-то момент в прошлом вся материя Все-
Вселенной была очень сильно сосредоточена, а затем внезапно в результате
гигантского взрыва начала разлетаться. Это приводит к идее рождения
Вселенной в результате Большого Взрыва.
Прежний президент нашей Академии Ж. Леметр всесторонне изучил
этот процесс и был его первооткрывателем. Он выдвинул идею о том, что
Вселенная началась с одного атома. Первоначально вся материя Вселенной
была сконцентрирована в одном атоме, разумеется, с огромным атомным
весом и чрезвычайно радиоактивном. Распад этого атома породил нашу
Вселенную, а последующие распады привели ко всем тем процессам, ко-
которые мы сейчас наблюдаем. Наблюдаемая в настоящее время радиоак-
радиоактивность представляет собой последствие того исходного распада. Таким
образом, мы получили впечатляющую картину рождения Вселенной, но
она недостаточно конкретизирована, чтобы обеспечить основу детальной
теории.
В любом случае, довольно очевидно, что был определенный момент
рождения. В нашей теории его принимают за t = 0. Все развитие физиче-
физической Вселенной происходит при t > 0.
Иногда люди спрашивают: «Что было перед рождением Вселенной?».
Ответ заключается в том, что для науки все это относится к совершенно
ненаблюдаемому и поэтому ставить такой вопрос некорректно. В наших
уравнениях никогда не возникает t < 0. Вся наука имеет дело с ситуацией
при t > 0.
Для определения того, насколько давно произошло рождение, необ-
необходимо найти коэффициент пропорциональности между расстоянием до
какой-либо галактики и скоростью ее удаления. Впервые это сделал Хаб-
бл, а найденный им коэффициент получил название постоянной Хаббла.
Определить значение этого коэффициента совсем не легко, поскольку при
измерениях расстояний до очень отдаленных объектов возникают большие
неточности. Согласно лучшим имеющимся к настоящему времени оценкам
*) New Ideas about Gravitation and Cosmology // Commentarii. Pont. Acad. Sci. 1978.
V. 3 B4), P. 1-10.
434 III. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОСМОЛОГИЯ
возраст Вселенной порядка 18 • 109 лет. По оригинальной оценке Хаббла,
которую он сделал около 1930 года, он был значительно меньше, лишь
порядка 2 • 109 лет.
2. Гипотеза Больших Чисел
Если взять отношение электрической и гравитационной сил взаимо-
взаимодействия между электроном и протоном в атоме водорода, то получится
огромное безразмерное число
^ = 7-1039. A)
Tl
Если выразить возраст Вселенной не в годах, а в атомных единицах,
скажем е2/(тес3), то получится число 2 • 1039. Оно очень близко к преды-
предыдущему числу.
Вы можете сказать, что это — замечательное совпадение. Но я не верю
в такие совпадения. Я думаю, что должно быть какое-то объяснение ему,
которое появится, когда мы будем больше знать о космологии и атомной
теории. Основываясь на предположении о существовании такого объяс-
объяснения, будем считать, что число A) связано с возрастом Вселенной, а
поскольку возраст увеличивается со временем, то и число A) будет про-
пропорционально возрастать. Тогда в атомных единицах будем иметь
G~t-X. B)
Можно ввести общее допущение о том, что все огромные безразмерные
числа, которые могут быть построены на атомных и космологических дан-
данных, связаны таким же образом с эпохой t. Подобное допущение сделать
необходимо, если мы хотим избежать необъяснимых совпадений. Я назы-
называю его Гипотезой Больших Чисел (ГБЧ).
Опираясь на эти допущения, можно сразу прийти к некоторым утвер-
утверждениям, относящимся к космологии. Люди часто интересуются, не будет
ли Вселенная сначала расширяться до некоего максимального размера, а
затем остановится и начнет сжиматься. Теперь мы видим, что это невоз-
невозможно. Возраст Вселенной в момент максимального расширения, в атом-
атомных единицах, оказался бы большим постоянным числом, что недопусти-
недопустимо. Следовательно, не может быть и максимального расширения.
Стационарную модель Вселенной также следует исключить. Соотноше-
Соотношение B), предполагает непрерывное изменение G, что делает стационарное
состояние невозможным. Вселенная имела определенное начало, но не
будет иметь конца. Она будет вечно эволюционировать в соответствии
с формулой B), обеспечивающей непрекращающееся изменение.
Другое большое число дает нам полное количество материи в той части
Вселенной, которая удаляется от нас со скоростью < A/2) с. Я беру только
часть Вселенной, а не всю Вселенную, потому что вся Вселенная вполне
может оказаться бесконечной, а эта часть в любом случае дает нам что-то
25. НОВЫЕ ИДЕИ ОТНОСИТЕЛЬНО ГРАВИТАЦИИ И КОСМОЛОГИИ 435
конечное. Выразив ее массу в массах протона, получаем безразмерное
число, скажем, N. Оно довольно неопределенно, поскольку нам неизвестно
количество темной материи в этой части, но оно где-то в окрестности 1078.
Следовательно из ГБЧ можно ожидать
N~t2. C)
Таким образом, в этой части Вселенной происходит непрерывное увели-
увеличение количества материи. Многие люди, включая меня, часто полагали,
что вопреки одному из самых фундаментальных законов физики, закону
сохранения массы, это требует непрерывного создания материи. Это на-
нарушение было бы очень невелико и не было бы заметно в лабораторных
экспериментах, но оно привело бы к серьезным сложностям при согласо-
согласовании с современными точными представлениями. Поэтому в настоящее
время я полагаю, что следует обойтись без постоянного создания материи
и вернуться к старой идее строгого сохранения массы.
Формулу C) можно совместить с сохранением массы, введя предпо-
предположение о непрерывном замедлении скорости разлета галактик, согласно
которому все большее число галактик непрерывно оказывается со скоро-
скоростями < A/2) с.
Когда я впервые ввел ГБЧ в 1938 году, я пытался развивать ее, осно-
основываясь на тех же идеях сохранения массы и замедления галактик. Но это
оказалось совершенно невозможно при том значении постоянной Хаббла,
которая тогда была признана. Поэтому я отказался от этого направления
исследования, а позже воспользовался гипотезой непрерывного рождения.
Однако, после пересмотра значения постоянной Хаббла оказалось воз-
возможным возвратиться к идее сохранения массы и построить при этом
удовлетворительную теорию.
3. Две метрики
Теория гравитации Эйнштейна имела огромный успех, и мы должны
считать, что она по существу правильна. Однако теория Эйнштейна тре-
требует, чтобы G была константой. Как это можно согласовать с утверждени-
утверждением B)? Приходится предположить, что она относится к метрике, отличной
от метрики, которая измеряется атомными устройствами, управляемыми
квантовыми законами. Метрика Эйнштейна dsE должна использоваться
в уравнениях Эйнштейна при определении движения классических тел.
Атомная метрика dsA отлична от нее. Соотношение между ними можно
найти из соображений размерности. Будем далее использовать индексы Е
и А для величин, измеряемых в единицах Эйнштейна и атомных единицах,
а для обозначения эпохи в атомных единицах сохраним обозначение t.
Тогда формулу B) можно записать в виде
*-1
436 III. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОСМОЛОГИЯ
с дополнительным условием
Ge = const.
Имеет место закон сохранения массы в эйнштейновых и атомных единицах
гпе = тл. D)
Скорость света с в обеих системах единиц положим равной единице, так
что единицы времени и длины изменяются в том же отношении при пере-
переходе от эйнштейновой системы единиц к атомной. Из размерности G вида
(масса) (длинаK(время) находим
dsE = tdsA- E)
Соотношения D) и E) играют фундаментальную роль при согласовании
ГБЧ с теорией Эйнштейна.
Допустим, что г означает эпоху в единицах Эйнштейна. Тогда
dr = tdt F)
4. Закон расширения
Согласно современной теории в каждый момент времени Вселенная
может оказаться бесконечной. Поэтому мы не можем говорить о радиусе
Вселенной. Но мы можем ввести переменную /?, которая дает расстояние
до конкретной галактики и рассмотреть изменение R с эпохой. Это даст
нам закон расширения Вселенной. Можно выбрать не слишком удаленную
галактику, так что нам не нужно будет заботиться о кривизне простран-
пространства. Изменение R может быть найдено из условия C). Будем пользоваться
атомными единицами, тогда R становится Ra- Средняя плотность в атом-
атомных единицах из условия сохранения массы принимает вид
РА ~ Яд3- G)
Положим общий закон расширения в форме
Ra ~ tn. (8)
Тогда скорость удаления выбранной нами галактики будет
dRA =nRA
dt t
Расстояние до галактики, скорость удаления которой равна A/2) с,
будет t/Bn). Полная масса внутри сферы с таким радиусом ~ pAt3. Со-
Согласно C) она должна быть ~ t2. Тогда
РА - t'1 (9)
25. НОВЫЕ ИДЕИ ОТНОСИТЕЛЬНО ГРАВИТАЦИИ И КОСМОЛОГИИ 437
и условия G) дают
RA ~ tl'\ A0)
Эта скорость расширения много меньше, чем в общепринятой картине, где
с достаточно большой точностью Ra ~ t.
Получив новый закон расширения, мы должны пересмотреть свою
оценку возраста Вселенной. Для общего закона расширения (8) постоянная
Хаббла принимает вид
jj D_i dRA n
H~RA -df--f
Обычному значению п = 1 соответствует Н = t~1.B нашей теории п = 1/3
и Н = 1/31—1. При таком значении //, возраст Вселенной уменьшается
в три раза. К настоящему времени значение постоянной Хаббла неизвестно
с достаточной точностью, но полагают, что при законе расширения Ra ~ t
она соответствует возрасту Вселенной порядка 18 • 109 лет. Тогда, при
новом законе расширения она будет соответствовать возрасту порядка
6 • 109 лет. Это существенно меньше принятого возраста Вселенной, но все
еще больше возраста Солнечной системы, которая порядка 4, 5 • 109 лет,
так что новое значение не невозможно.
5. Модель Вселенной
Согласно ГБЧ каждое большое безразмерное число, возникающее
в фундаментальной теории, будет изменяться пропорционально некоторой
степени эпохи, зависящей от величины числа. Следовательно, не может
быть никакого большого безразмерного числа, являющегося константой.
Будем рассматривать Вселенную со сглаженными локальными осо-
особенностями. Существует несколько возможных моделей, подтверждающих
полевые уравнения Эйнштейна. Они были разработаны различными авто-
авторами, часть из них — нашим бывшим президентом Леметром. С помощью
несложных рассуждений можно убедиться в том, что лишь одна из них
не противоречит ГБЧ. Эта модель была предложена в совместной статье
Эйнштейна и Де Ситтера. Будем называть ее Э-деС моделью. Она содер-
содержит элемент длины, квадрат которого в эйнштейновых единицах имеет
вид
ds\ = dr2 - r4/3(dx2 + dy2 + dz2). A1)
Любая модель такого типа описывает Вселенную с однородной плотностью
и однородным давлением. Если перед выражением dx2 + dy2 + dz2 стоит
коэффициент г4//3, то давление равно нулю, что соответствует реальной
Вселенной, где излучение пренебрежимо мало по сравнению с плотностью
материи. Этот коэффициент согласуется с A0), так что в результате
RE
438 III. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОСМОЛОГИЯ
Согласно Э-деС модели A1), трехмерное пространство в любую кон-
конкретную эпоху является плоским. Следовательно, оно имеет бесконечную
протяженность, а не замкнуто, как в статичной модели Эйнштейна.
6. Естественное микроволновое излучение
Существует ли какое-либо подтверждение закона расширения A0)? Да,
имеется очень убедительное подтверждение, основанное на наблюдении
естественного микроволнового излучения.
Предполагается, что это микроволновое излучение имеет космологи-
космологическую природу, так как оно однородно и изотропно. Согласно наблюде-
наблюдениям оно выглядит как излучение черного тела, удовлетворяющего зако-
закону Планка. Далее, излучение черного тела в расширяющейся Вселенной
остается излучением черного тела (при условии, что рождение фотонов
не имеет места, как это могло бы происходить в теории с непрерывным
созданием материи). Каждая спектральная компонента излучения испы-
испытывает красное смещение в соответствии с тем же законом зависимости от
расстояния излучения галактик. Тогда из A0) следует
А ~ г1/3.
Температура Т излучения убывает по тому же закону, что и частота
одной из его компонент, т. е.
Т ~ v ~ Л ~?~1/3. A2)
Полученное значение скорости охлаждения значительно меньше, чем
в обычной теории, согласно которой расстояние до галактики приблизи-
приблизительно rsj t, так что Л rsj t. Это приводит к зависимости
Т~ Л -t. A3)
Наблюдаемое значение Т около 2,8 К. Отсюда находим энергию &Т,
сравнение которой с энергией покоя протона дает безразмерное число
J^L = 2,5-10~13.
ГПрС
Согласно ГБЧ следует считать, что оно будет изменяться с эпохой по
Тогда Т rsj ?~1//3, что находится в согласии с формулой A2), но совершенно
не согласуется с формулой A3).
Таким образом, микроволновое излучение дает подтверждение предла-
предлагаемой схемы. Начиная со времени Большого Взрыва, излучение охлажда-
охлаждалось как ?~1//3. Согласно принятым представлениям охлаждение происхо-
происходило по закону t, начиная с некоего времени отделения, когда излучение
отделилось от материи. Это время отделения порядка t = 1026, когда
25. НОВЫЕ ИДЕИ ОТНОСИТЕЛЬНО ГРАВИТАЦИИ И КОСМОЛОГИИ 439
температура Т была в 1013 раз больше, чем сейчас, так что кТ была
порядка rripC2. Наличие времени отделения, играющего фундаментальную
роль в космологии, противоречило бы ГБЧ.
Я говорил об этой проблеме на предыдущем собрании Академии 1).
Я понимал необходимость закона охлаждения ?~1у/3, но не мог ввести его,
не прибегая к искусственным предположениям о межгалактическом газе.
В новой теории эти трудности исчезают.
7. Следствия новой теории
Применяя теорию Эйнштейна к Солнечной системе, обычно работают
с решением Шварцшильда полевых уравнений Эйнштейна. Теперь это
решение необходимо модифицировать таким образом, чтобы оно при боль-
больших г оказалось в согласии с Э-деС моделью. После такой модификации
с помощью новой теории можно заново рассчитать движение планет.
Эти расчеты приводят к двум результатам, демонстрирующим отличие
новой теории от стандартной теории Эйнштейна.
A) Эфемеридное время, определяемое по движению планет вокруг
Солнца, отличается от атомного времени, определяемого атомными часа-
часами. Атомные часы окажутся отстающими от эфемеридного времени.
B) При измерении расстояний в атомных единицах оказывается, что
все планеты движутся по спиралям, скручивающимся к Солнцу. Это кос-
космологический эффект, сказывающийся на движении планет, обусловлен-
обусловленном другими физическими факторами.
Различные исследователи проводили наблюдения с целью проверки
этих эффектов. Имеются некоторые свидетельства в их пользу, но в каж-
каждом случае оказывалось, что возможная ошибка того же порядка, что и
искомый эффект, так что о реальном подтверждении пока ничего сказать
нельзя.
г) Commentarii. 1975. V. Ill, N. 7. P. 1-7.
26
новый подход
К КОСМОЛОГИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ *)
Возраст Вселенной
В 1920-х годах, после того как была установлена теория Эйнштейна,
люди обратили свое внимание к уравнениям космологии. Одной из главных
проблем была проблема оценки возраста Вселенной. Вскоре появилась
серьезная трудность. Были две школы, чьи выводы противоречили друг
ДРУгу.
С одной стороны были люди, которые изучали время жизни радиоак-
радиоактивных элементов. Они приходили к заключению, что этот возраст состав-
составляет порядка 1010 лет. С другой стороны были люди, которые изучали
эволюцию галактик и звездных скоплений согласно законам гравитации
Ньютона и Эйнштейна. Они нашли, что 1010 лет это недостаточно долго.
Им требовалось, по крайней мере, 8 • 1010 лет, а то и больше.
В течение многих лет ситуация была тупиковой. В конце концов, на-
надежду на примирение дал Е.А. Милн. Он предположил, что на самом деле
существуют две меры времени, важные для физики, и они не совпадают.
Есть атомное время, которое надо использовать для атомных процессов,
подчиняющихся квантовым законам, и есть механическое время, которое
надо использовать в классических законах движения тел.
Милн ввел символ t для атомного времени, и г — для механического
времени. Он построил и развил космологическую теорию и пришел к связи
r = \nt A)
между двумя мерами времени. Детали теории Милна неясны, но вывод A)
возможно правилен. Это разумное соотношение, поскольку оно означает,
что когда мы движемся назад к началу Вселенной, то ? —)> 0, а т —)> — ос.
Вселенная имеет начало, Большой Взрыв, только по атомным часам. В ме-
механическом времени Вселенная всегда существовала, и было достаточно
времени для эволюции галактик и звездных скоплений.
Механическое время т — это эфемеридное время астрономов, в то вре-
время как t есть время, измеряемое атомными часами. Соотношение A)
приводит к различию между ними, и его возможно обнаружить при до-
достаточно точных наблюдениях.
*) New Approach to Cosmological Theory // In: New Frontiers in High Energy Physics /
Ed. B. Kursunoglu, A. Perlmutter, L.F. Scott, O. Kadiroglu, J. Nowakowski, F. Krausz.—
N.Y.: Plenum, 1978. P. 1-16.
26. НОВЫЙ ПОДХОД К КОСМОЛОГИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ 441
В 1929 году Хаббл сделал оценку соотношения между скоростью уда-
удаления туманности и расстоянием до нее. В результате этого он заключил
(предполагая, что скорость удаления постоянна), что возраст Вселенной
составляет порядка 2 • 109 лет. Метод Хаббла очевидно относится к атомно-
атомному времени ?, так как он использует спектроскопические данные, а не зако-
законы механики. Его оценка была неточной из-за недостаточной статистики,
и в дальнейшем работая тем же методом, он увеличил время на множитель
порядка 10. Современная оценка, сделанная этим методом, дает 18 • 109
лет, хотя по-прежнему остается большая степень неопределенности в этом
числе.
Теперь мы имеем проблему построения космологической теории, кото-
которая должна включать в себя два времени, связанные соотношением A).
Гипотеза Больших Чисел
Из данных, предоставляемых атомной физикой и астрономией, можно
построить ряд больших безразмерных чисел. Наиболее важными явля-
являются: 1) отношение интенсивностей электрической и гравитационной сил
между электроном и протоном, е2/(Gmemp). Оно принимает значение
порядка 7 • 1039. 2) возраст Вселенной ?, выраженный в единицах времени,
определяемых атомными константами, например, е2/(тес2). Оно прини-
принимает значение порядка 2 • 1039. 3) масса той части Вселенной, которая уда-
удаляется от нас со скоростью < 1/Bс), выраженная в единицах протонной
массы. Обозначим ее N. Соответствующее значение весьма неопределенно,
поскольку неизвестно, как много материи остается невидимой в наши
телескопы, но оно вероятно составляет число порядка 1078.
Гипотеза Больших Чисел предполагает, что эти числа связаны ра-
равенствами с коэффициентами, близкими к единице. Поскольку число 2)
изменяется с возрастом Вселенной, гипотеза предполагает, что и другие
числа также должны меняться. Получаем
Gmemp '
N~t2. C)
Можно переписать соотношение B), если учесть, что константа G ~ t,
будучи выраженной в атомных единицах.
Записывая соотношение C), я предполагал непрерывное рождение ма-
материи. Однако существуют серьезные трудности с этим предположением.
Предпочтительная форма этого предположения подразумевает, что каж-
каждая часть материи непрерывно растет за счет рождения новой материи.
Трудно представить, как древние кристаллы могут сохранить свою кри-
кристаллическую форму при таком росте. Также, из близкого наблюдения
Луны, которое мы теперь в состоянии осуществить, можно достаточно
уверенно утверждать, что Луна не изменила свои размеры существенным
образом со времени своего возникновения 4,5 • 109 лет назад и не могла бы
442 III. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОСМОЛОГИЯ
вырасти настолько, насколько это требует гипотеза непрерывного рожде-
рождения 1). Ввиду этого я считаю, что мы должны отказаться от предположе-
предположения о непрерывном рождении материи.
Можно примирить соотношение C) с сохранением массы, предполагая,
что скорость разбегания галактик непрерывно убывает, так что все больше
и больше галактик приобретают скорость удаления < 1/Bс). Такая кар-
картина была принята мной в моей первой работе на эту тему A938).
Закон замедления разбегания галактик легко может быть приспособ-
приспособлен, чтобы соответствовать формуле C). Галактика со скоростью разбега-
разбегания, равной 1/Bс), будет находиться на расстоянии около ct. Здесь может
быть некоторый коэффициент, чье значение зависит от закона замедления,
но он порядка единицы и не играет заметной роли. Таким образом, мы
имеем массу TV, распределенную внутри сферы радиуса с?, так что средняя
плотность равна N/(ct)^. Как следует из формулы C), она пропорци-
пропорциональна t~x. Расстояние до галактики ~ ?1у/3. Скорость удаления тогда
пропорциональна ~ ?~2//3.
Если расстояние до туманности меняется по закону /(?), константа
Хаббла равна
При постоянном темпе расширения
А для новой теории, предложенной здесь, f(t) ~ ?1//3 и
H = \t~\ D)
Поэтому с тем же самым значением константы Хаббла возраст Вселенной
уменьшается в три раза. Современное значение константы Хаббла соот-
соответствует возрасту Вселенной порядка 18 • 109 лет с постоянным темпом
расширения. Это соответствует примерно 6 • 109 лет при новом законе за-
замедления разбегания галактик. Это гораздо меньше, чем возраст, который
обычно считается принятым, но не невозможно. Следует помнить, что это
возраст, измеряемый по атомным часам. Возраст в эфемеридном времени
несколько отличается от него.
Планета, движущаяся по окружности
Рассмотрим планету, движущуюся по окружности (в отличие от посто-
постоянного изменения радиуса). Допустим, что га — радиус орбиты в атомных
единицах, а г> —скорость, которая безразмерна и поэтому одна и та же в
любых единицах. Ньютонов закон гравитации гласит
MG = v2rA,
г) Я признателен профессору С.К. Ранкорну, указавшему мне на это во время моего
визита в Талахасси.
26. НОВЫЙ ПОДХОД К КОСМОЛОГИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ443
где М — масса Солнца. Считая, что М — константа, a G меняется как t,
находим
v2rA ~ь~г. E)
Период обращения, измеренный в атомных единицах, равен
V
Этот временной интервал является единицей измерения эфемеридного
времени, так что он соответствует Аг = 1. Таким образом, мы получаем
At _ 27Г7\4
Ат ~~ v
Согласно формуле A) мы имеем, что At/Ar ~ t. Следовательно
ГА ,
— ~ г.
V
Комбинируя с E), получаем
гл ~ t1/3, v ~ *~2/3. F)
В итоге эти простые аргументы приводят к определенным зависимостям
изменения радиуса и скорости со временем.
Как видно, радиус орбиты возрастает по тому же самому закону, что и
расстояние до галактики, а скорость движения по орбите убывает по тому
же закону, что и скорость удаления галактики. Эти результаты, возможно,
являются всего лишь совпадением. Я не вижу никакой глубокой причины
для этого.
Кривизна трехмерного пространства
Рассмотрим трехмерное пространство, соответствующее данной эпо-
эпохе t. Если мы проигнорируем локальные нерегулярности, то получим од-
однородное пространство постоянной кривизны (постоянной в пространстве,
но необязательно постоянной во времени). Кривизна или положительна,
или равна нулю, или отрицательна.
Случай положительной кривизны может быть немедленно исключен.
Это потребовало бы, чтобы Вселенная имела бы конечную массу, которая,
будучи выраженной в протонных массах, дала бы большое число, равное
константе, что противоречит Гипотезе Больших Чисел.
Случай отрицательной кривизны также может быть исключен, хотя и
не так прямо. Введем координаты ^х, ?2, ?3 в трехмерном пространстве,
так что они являются постоянными для каждой галактики. Тогда соответ-
соответственно каждому определенному d^1, d^2 мы будем иметь расстояние ds,
которое меняется пропорционально ?1у/3. Радиус кривизны R определяется
такими расстояниями и поэтому также меняется как ?1//3. Полная масса
внутри сферы радиуса R равна величине /?3, умноженной на плотность,
и таким образом не зависит от t. Это дает большое постоянное число, что
не разрешено исходной гипотезой.
444 III. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОСМОЛОГИЯ
Таким образом, мы приходим к случаю нулевой кривизны, или плоско-
плоскому трехмерному пространству, как единственному совместимому с Гипо-
Гипотезой Больших Чисел. Выбирая декартовы координаты, получим в трех-
трехмерном пространстве
Индекс А у ds показывает, что этот результат относится к атомным еди-
единицам.
Введем теперь четвертую координату ?° так, чтобы скорость света,
отнесенная к этой координате, равнялась бы 1. Тогда в четырехмерном
пространстве-времени
ds\ = &\{de? - (de? - {de? - (de?). со
Тогда нулевая мировая линия, например, имеет вид d?° = d^1, d?2 = О,
d?3 = 0. Соответственно для времениподобного элемента d?° имеем
dsA = t1/3d?°.
Эта величина dsA как раз является элементом атомного времени, так что
мы можем записать ее как dt. Получим
что дает нам координату времени ^° в атомных единицах времени.
Классические уравнения движения
Мы должны ввести некоторые предположения для определения того,
как в новой теории движутся тела. Мы знаем, что теория Эйнштейна
довольно надежно описывает Солнечную систему. Ее успех должен быть
сохранен. В то же время мы не можем сохранять теорию Эйнштейна до
бесконечности, поскольку она требует, чтобы G была постоянной.
Мы введем в пространстве-времени механическую метрику dsM так,
чтобы тела двигались бы по геодезическим по отношению к такой метрике.
Она не будет в точности удовлетворять полевым уравнениям Эйнштейна.
Эта метрика должна давать замедление галактик, а также описывать
движение планет Солнечной системы.
В пренебрежении локальными нерегулярностями эта метрика dsM
должна быть той же, что и метрика dsA? но измененной на масштабный
фактор, который зависит только от t. Поэтому, в тех же координатах, что
и ранее, имеем
26. НОВЫЙ ПОДХОД К КОСМОЛОГИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ 445
где г] есть функция времени t или ?°. С этой метрикой, также как и с мет-
метрикой cIsa, движению галактик соответствует d^1 = d?2 = <i?3 = 0. Также
и нулевая мировая линия остается той же самой как и с метрикой dsA-
Для описания Солнечной системы нам нужна обобщенная метрика
Шварцшильда. Давайте перейдем от декартовых координат ?х, ?2, ?3 к
полярным координатам г, в, ср и будем писать ? вместо ?°. Тогда получим
ds2M = 772{(l - ^) di2 - (l - ^) dr2 - r2d02 - r2 sin2 в V}- (Ю)
Здесь можно допустить, что га меняется с ?, так что в нашем распоря-
распоряжении имеется две функции г] и га, зависящие от ?. Они будут меняться
в зависимости от ? очень медленно. Поэтому, если пренебречь этой вари-
вариацией, то теория Эйнштейна справедлива.
Мы должны выбрать функции ту и га таким образом, чтобы получить
правильные по форме орбиты, удовлетворяющие уравнению F). Если z^
обозначает координаты планеты, то уравнения геодезических имеют вид
d2z^ _ j^jj, dzv dzp _ ^
Its2' ~ »P~ds~~ds~
Если переписать уравнения вместо s в терминах другой независимой пе-
переменной ? и обозначить точкой производную d/d^ то они примут вид
-z>i'=0. A1)
S
Определим скорость v планеты соотношением
goov2 = -gabzazb, {а, Ъ = 1,2,3). A2)
Тогда
2 ^v {2)
Следовательно
233 = (#00,0 + g№,aZa)(l - V2) - 2g00VV.
Применим уравнение A1) с \± = 0. Это дает
Но в то же время
\ - + ga \
\ g00,0 + gOO,aZ \ gabfiZZ) , A3)
так что -, -,
\ gZa \
\ gOO,aZ \
Рассмотрим случай движения по окружности, когда i1 порядка ?-1, и
опустим члены порядка ?~2. Тогда получим
\ goo,izl - \ {g-22,o(i2J + g33(z3J} + goo ^ = 0, A4)
446 III. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОСМОЛОГИЯ
в то время как соотношение A2) сводится к
goov2 = -{g22{z2f + #33(i3J}. A5)
Из метрики g^v^ заданной формулой A0), мы видим, что
и, следовательно, уравнение A4) принимает вид
1 .1 . 2 • —1 i vv
#00,12 +g00V7]7] +g00
1 — v
Так как goo = г]2A — 2т/г), то если положить z1 = г, получим уравнение
= 0.
" 1-v2
Для малых т/г и v это сводится к
mr~ r + v f\rf~ + vv = 0. A6)
Применим теперь уравнение A1) с \± = 1 и пренебрежем членами поряд-
порядка ?>~1. Это дает
Г z.v 7.P = О
up
rlo + rl2(i2J + rl3(i3J = 0
ИЛИ
г2
С помощью A5) это сводится к уравнению
т — A — ) г>2г = 0.
Для малых значений т/г имеем
т = v2r. A7)
Подставляя этот результат в уравнение A6), мы получаем
• — 1 I • — 1 I * _, — 1 ГЛ
I I I 1111 I U и — U,
что означает, что
rrjv = const. A8)
Уравнения A7) и A8) описывают движение по окружности при боль-
больших г. Здесь г измеряется в тех же единицах, что и Т. Его связь с гд
в атомных единицах согласно (8) с ?° = Т, таким образом, выглядит как
Та ~ ~dt ~
Следовательно уравнения A7) и A8) принимают вид
т = 1
26. НОВЫЙ ПОДХОД К КОСМОЛОГИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ 447
Теперь чтобы получить зависимость F) для планетных орбит, мы должны
положить
т ~ ?~4/3, г] ~ ?2/3,
или, согласно формуле (9),
т ~ Т, г] ~ Т. A9)
Метрика A0) теперь хорошо определена.
Экспериментальное подтверждение
Важной чертой новой теории является различие между эфемеридным
временем т, связанным с движением планет, и атомным временем, связан-
связанным с атомными часами. Согласно закону Милна A)
dt ,
dr
так что по сравнению с эфемеридным временем ход атомных часов должен
ускоряться. Этот эффект должен проявиться, если производить достаточ-
достаточно аккуратные измерения движения планет с помощью атомных часов.
Наилучший шанс для наблюдения эффекта предоставляет Луна, наш
ближайший сосед. Движение Луны сильно искажается приливными си-
силами, но если изучить различие в движении Луны по атомным часам
и в эфемеридном времени, то влияние приливного эффекта сокраща-
сокращается.
Движение Луны в эфемеридном времени аккуратно наблюдалось в те-
течение нескольких веков. С 1955 года оно наблюдалось по атомным часам.
Изучение этих наблюдений было осуществлено Ван Фландерном.
Пусть па обозначает угловую скорость Луны на ее орбите вокруг
Земли, отнесенную к атомному времени. Тогда па = v j г а- Из форммулы
A6) имеем
пА ~ t'1.
Следовательно, угловое ускорение по атомным часам удовлетворяет
условию
Т^ = -Г1. B0)
ПА
Этот космологический эффект должен накладываться на угловое ускоре-
ускорение, производимое приливами.
Угловая скорость в эфемеридном времени равна
dt ,
пе = па -г- = const,
поэтому в эфемеридном времени нет углового ускорения. Следователь-
Следовательно, наблюдение любого углового ускорения в эфемеридном времени — это
чисто приливный эффект. С учетом приливного эффекта уравнение B0)
должно быть обобщено:
M_I^ = _t-i. B1)
ПА ПЕ
448 III. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОСМОЛОГИЯ
Последний результат Ван Фландерна для правой части уравнения B1)
таков:
-G, 5 ±2, 7)-КГ11 лет.
Знак минус здесь указывает, что атомные часы по отношению к эфемерид-
ному времени действительно ускоряются. Численный результат не очень
точен, поскольку он является разностью двух величин, которые заметно
больше, чем он сам. Он соответствует возрасту Вселенной порядка 13 • 109
лет, примерно в два раза больше возраста, полученного из постоянной
Хаббла при измерении замедления разбегания галактик.
Естественное микроволновое излучение
Микроволновое излучение падает на Землю, будучи постоянным и од-
однородным, что показывает, что оно не может быть локальным явлением,
а должно иметь космологическую природу. Наблюдалась только малая
часть спектра. Наблюдения совместны с излучением абсолютно черного
тела с температурой 2,8 К.
Обычным объяснением этого излучения служит то, что оно произошло
от первоначального огненного шара, который существовал на ранних ста-
стадиях Вселенной. Прежде всего, этот огненный шар сильно взаимодейство-
взаимодействовал с материей и находился в тепловом равновесии с ней. В определенный
момент времени излучение отделилось от материи. Затем, с расширением
Вселенной, оно получило красное смещение и охладилось до состояния,
которое мы теперь наблюдаем.
Посмотрим на взаимосвязь между темпом остывания и темпом расши-
расширения Вселенной. Возьмем общий закон расширения вместо G) в виде
ds\ = ?«{№? - {de? - №? - {dfJ}. B2)
Предположим, что мы имеем распределение частиц, движущихся свободно
без взаимодействия. Тогда для каждой частицы координаты ^х, ?2, ?3
возрастают линейно по отношению к ?°. Выберем элемент фазового про-
пространства в виде dx1 dx2 dx3 dpi dp2 dp^. Каждый элемент dx возрастает
пропорционально tn и каждый элемент dp меняется как ?~п, так что эле-
элемент фазового пространства остается постоянным. Следовательно, число
частиц в каждом элементе фазового пространства остается неизменным.
Мы можем применить те же аргументы к фотонам и увидим, что даже
с общим законом расширения B2) излучение черного тела остается излу-
излучением черного тела, меняется только его температура.
Температура меняется по тому же закону, что и частота v фотона
Т ~ I/.
Для определения вариации v заметим, что v ~ (At), где At —это
временной интервал между двумя волнами. Этот временной интервал
26. НОВЫЙ ПОДХОД К КОСМОЛОГИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ 449
соответствует постоянному значению Д?°. Поэтому
At
и, следовательно,
Т ~Гп.
Если галактики удаляются с постоянной скоростью, то п = 1. Тогда
Trsjf1. B3)
Это — закон остывания, который обычно предполагается справедливым
для микроволнового излучения.
В нашей новой теории мы имеем, согласно формуле G), п = 1/3. Это
Дает
Т ~ t/3, B4)
то есть гораздо более медленный закон остывания.
Обсудим этот вопрос с точки зрения Гипотезы Больших Чисел. Совре-
Современной температуре космологического излучения Т = 2, 8 К мы можем
сопоставить энергию кТ, которую можно сравнить с собственной энергией
протона rripC2 и получить безразмерное число
J^_ = 2,5-Ю-13.
ГПрС
Мы ожидаем, что это число меняется примерно пропорционально ?~1у/3,
что дает Т ~ ?~1//3. Иначе говоря, мы получили согласие с новой теорией
B4), но противоречие с тем, что галактики удаляются с постоянной ско-
скоростью B3).
В новой теории отщепление первичного огненного шара от материи
происходит очень скоро после Большого Взрыва, а не по прошествии
заметного времени, как это предполагается в обычной теории.
15 П.Дирак. TIV
27
ИЗМЕНЧИВОСТЬ G И ПРОБЛЕМА ЛУНЫ *)
В чем состоит проблема Луны? Она касается прошлой истории Луны.
Геологические свидетельства, которыми мы располагаем, противоречат
астрономическим свидетельствам.
Возраст камней, полученных с поверхности Луны, был определен ра-
радиоактивным методом. Он простирается от 3,1 до 4,5 эонов (один эон =
109 лет). Нет ничего старше, чем 4,5 эонов.
Старейшие камни, найденные на Земле, имеют возраст 3,9 эонов. Есть
шанс, что более старые могут быть открыты когда-нибудь. Это позволяет
предположить, что система Земля-Луна образовалась 4,5 эона назад, и
старейшие камни на Земле просто выветрились.
Все метеориты имеют возраст 4,5 эонов. Ни больше и ни меньше. Все
выглядит так, как будто и вся Солнечная система образовалась 4,5 эона
назад.
Теперь посмотрим на астрономические свидетельства. Луна вращается
вокруг Земли, и ее орбита постоянно меняется под действием приливных
сил. Высокий прилив происходит на Земле приблизительно в ближайшей
точке к Луне, а также в противоположной точке. Благодаря вращению
Земли, ось приливных сил слегка сдвинута относительно линии, соединя-
соединяющей центры Земли и Луны.
Допустим, что 8— это угол, на который она сдвинута. 8 является ха-
характеристикой трения между приливной выпуклостью и вращением Земли
под ней. Без трения 8 равнялось бы нулю.
Воздействие трения состоит в замедлении вращения Земли. Угловой
момент передается от вращения Земли к орбитальному движению Луны.
В результате, с возрастанием орбитального момента движения Луны, рас-
расстояние Луны от Земли возрастает, в то время как скорость вращения
Земли убывает.
Этот эффект можно вычислить, используя ньютонов закон гравитации
и закон сохранения углового момента для системы Земля-Луна. Можно
использовать и закон гравитации Эйнштейна, но разница будет несуще-
несущественной.
Разные исследователи вычисляли движение Луны, используя различ-
различные степени приближения. Я воспользуюсь здесь вычислением Г. Макдо-
нальда, который принимал во внимание все основные факторы и прене-
*) The Variation of G and the Problem of the Moon // In: Resent Developments in High
Energy Physics / Ed. A. Perlmutter, P. Scott P. 1-7. N 4. Plenum, 1980.
27. ИЗМЕНЧИВОСТЬ G И ПРОБЛЕМА ЛУНЫ 451
брегал влиянием Солнца. Макдональд получил следующую формулу для
расстояния Луны от Земли
da 3G1/2mk2R5sin26
A)
dt a11/2(M-
Здесь Мит — массы Земли и Луны, R — радиус Земли и &2 — коэффи-
коэффициент Лава эластичности Земли, который слегка меньше единицы.
Угол сдвига S не является величиной, которую можно вычислить с лю-
любой точностью, поскольку он зависит от диссипации приливной энергии,
что само по себе не очень хорошо понято. Он может меняться с геоло-
геологическим временем. Его современное значение может быть получено из
наблюдений движения Луны. Используя наблюдения, уходящие назад на
250 лет, находим, что S = 2, 25°.
Если мы предположим, как первое приближение, что угол S постоянен,
то мы сможем проинтегрировать уравнение A). Результат имеет вид
39 G1/2mk2R5s'm2S ,. . ч . 13/2 ^ 2/3
а0
где ао — современное значением расстояния a, a to — современное значение
времени.
Подставляя численные значения со временем ?, выраженным в эонах,
получаем
39 G1/2mk2R5s'm2S _ n a /Qx
2 ( Л/Т _i_ \1/^ 13/2 \ '
Это приводит к соотношению
Чтобы применить эту формулу к моменту времени, отнесенному на
1,6 эонов назад, мы должны подставить сюда t — to = —1,6. Это дает
значение, близкое к нулю, так что Луна была очень близко к Земле. Это
происходило во времена гораздо более близкие, чем время формирования
системы Земля-Луна. Если уйти назад по времени еще больше, то эта
формула очевидно не работает.
Чтобы понять, что происходило в это более раннее время, Макдональд
сделал более сложное вычисление, приняв во внимание то, что плоскость
лунной орбиты наклонена к плоскости экватора. Угол между ними состав-
составляет 7°. Уравнения движения показывают, что этот угол уменьшается.
Следовательно, он должен увеличиваться, если двигаться назад по вре-
времени.
Если двигаться назад ко времени, когда Луна была очень близко от
Земли, то этот угол возрастает до 90°. Луна в таком случае должна была
бы двигаться над полюсом. В это время расстояние до Луны составляло
три земных радиуса.
Если двигаться ко все более ранним временам, Луна оказалась бы на
орбите с попятным движением. Приливные силы тогда приближали бы
15*
452 III. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОСМОЛОГИЯ
Луну к Земле вместо того, чтобы удалять ее от Земли. Таким образом,
мы пришли к картине Луны, двигающейся по орбите вспять и медленно
приближающейся к Земле под действием приливных сил. Она быстро
падала, пока орбита оставалась полярной, но затем движение приняло
привычное направление, и приливные силы привели к удалению Луны,
сначала быстрому, а потом медленному.
Эта картина движения Луны была получена из предположения, что
величина S является константой. Может быть, 6 и меняется немного, но
любое разумное изменение S не изменило бы характер картины, только
бы повлияло на время приближения. Разные исследователи работали над
этой проблемой, используя разумные предположения о вариации #, и они
получили результаты, дающие время сближения где-то в районе между 1,5
и 2,5 зонами тому назад, что во всяком случае гораздо меньше возраста
системы Земля-Луна.
Когда Луна была очень близко от Земли, должны были существовать
грандиозные приливы, не просто несколько метров высоты, как сейчас,
но несколько километров. Это должно было бы очень сильно повлиять на
образование древних осадочных пород. У нас нет особенных свидетельств
о древних осадочных породах, но то, что имеется, не показывает никаких
следов таких гигантских приливов, и геологи не верят, что они когда-либо
существовали.
Это приводит к проблеме Луны. Возможно, что Луна сформировалась
только недавно, после вычисленного времени близкого сближения. Но не
существует никакой правдоподобной теории ее формирования в это время.
Многие люди обсуждали эту проблему и не нашли никакого правдопо-
правдоподобного объяснения. Дж. Форд, в обзорной статье, опубликованной в 1975
году, выдвинул новую идею. Он обратил внимание на то, что проблема
может быть вызвана отсутствием совпадения между временными шкалами
астрономов и геологов. Астрономы используют временную шкалу, осно-
основанную на движении Земли вокруг Солнца, которую они называют эфеме-
ридным временем. Оно используется в уравнениях Ньютона и Эйнштейна.
Это возможно не то же самое, что геологическая шкала, основанная на
радиоактивном распаде.
Предположим, что по отношению к астрономическому времени радио-
радиоактивный распад в прошлом происходил быстрее, чем сейчас. Тогда камни
будут казаться древнее, чем они есть в действительности по астрономи-
астрономическому времени. Возраст Луны, полученный на основе радиоактивной
датировки, уменьшится и, возможно, окажется меньше, чем вычисленное
время близкого сближения.
Форд выдвинул эту идею, но она ему не очень нравилась. Он говорил,
что есть некоторые геологические данные в ее поддержку, поскольку тем-
темпы отложений в прошлом (по радиоактивным часам) оказываются меньше,
чем сейчас, но числа, которые он приводит, показывают много больший
эффект, чем тот, что следовал бы только из-за разницы временных шкал.
27. ИЗМЕНЧИВОСТЬ G И ПРОБЛЕМА ЛУНЫ 453
Время, получаемое по радиоактивному распаду, по-видимому, есть то
же самое, что и атомное время, задаваемое атомными часами. Оно может
отличаться от эфемеридного времени, используемого астрономами. Если
подобная разница действительно есть, то ее должно быть возможно об-
обнаружить точными наблюдениями. Нужно наблюдать некие события как
в эфемеридном времени, так и в атомном времени, и сравнить результаты.
Наилучший шанс для проведения таких наблюдений — угловое переме-
перемещение Луны на небе. Оно наблюдалось в течение столетий в эфемеридном
времени и наблюдалось, начиная с 1955 года, в атомном времени. Сравне-
Сравнение этих двух вариантов наблюдений было сделано Ван Фландерном. Уже
в 1975 году он сообщил о различии результатов, полученных с этими двумя
временами, но оно имело не тот знак, который мог бы помочь в решении
проблемы Луны.
Однако Ван Фландерн постоянно модифицировал свои результаты
с учетом улучшенных вычислений и последних наблюдательных данных.
К 1978 году знак в разнице времен поменялся на обратный и теперь он
помогает в решении проблемы Луны.
Если следовать идее двух временных шкал, то для поддержки этой идеи
требуется какая-нибудь теория. Такая теория следует из Гипотезы Больших
Чисел и вариации гравитационной константы G, выраженной в атомных
единицах. Я рассказывал об этой теории на конференции в прошлом году.
В этой теории мы должны работать с двумя метриками, с эйнштейно-
эйнштейновой метрикой dsE, которую нужно использовать в уравнениях движения,
и с атомной метрикой dsA- Они связаны между собой соотношением
—
to
Для изучения динамики системы Земля-Луна нужно использовать
эйнштейнову метрику. В этой метрике будет справедлив закон сохранения
углового момента.
Мы должны тогда переписать уравнение A) в эйнштейновой метрике.
Получим
daE _ 3G1/2mk2R5Esm2S ,_ч
~d^~ а^/2(М + шI/2 " U
Здесь эйнштейново время т, что есть то же самое, что эфемеридное время,
связано с атомным временем t формулой
= 1*!
Т 2 to'
Радиус Земли определяется главным образом атомными силами. По-
Поэтому мы положим Rа = const. Тогда имеем
где Rq есть ее современный радиус. Это приводит к множителю (т/тоM'2
в правой части уравнения E), что существенно меняет характер решения.
454 III. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОСМОЛОГИЯ
Вместо уравнения B) мы получаем
39 G1/2mk2Rosm2S , Г/ * \7 Л , 13/2] 3
Для времени ?, близкого к to, уравнение F) переходит в уравнение B).
Подставляя численные значения, мы можем снова использовать C)
с Rq вместо R и найдем
Величина в фигурных скобках теперь никогда не становится малой, даже
если мы положим t = 0. Различие возникает из-за множителя R5E в урав-
уравнении E) с Re ~ ?, что приводит к много меньшим по величине приливам
в прошлом.
Следовательно, проблема Луны находит решение. Приведенные аргу-
аргументы не утрачивают силу при весьма значительных изменениях в вели-
величине угла сдвига S.
Таким образом, обсуждение прошлой истории Луны представляет нам
свидетельство в пользу меняющейся константы G и Гипотезы Больших
Чисел. Свидетельство более позитивное, чем получаемые из современных
наблюдений, которые нужно проводить с колоссальной точностью, чтобы
увидеть какой-либо эффект.
Литература
1. Dime P.A.M. On the Path of Albert Einstein. P. 1 A979), Orbis Scientiae,
Center for Theoretical Studies, University of Miami (Plenum Press, New York
and London).
2. Ford J.G. The Mercian Geologist. 1975. V. 5. P. 205.
3. McDonald G.J.F. The Earth-Moon System, Proceedings of Conference at the
Goddard Space Flight Center, NASA A964).
28
МОДЕЛИ ВСЕЛЕННОЙ
Обычный путь установления модели Вселенной основан на предполо-
предположении, согласно которому вся материя, которая находится в основном
в звездах, считается равномерно распределенной и поэтому находится в по-
покое с некой средней плотностью. Тогда решения эйнштейновых полевых
уравнений согласуются с таким распределением материи.
Но такое приближение оказывается очень грубым. Эйнштейновы по-
полевые уравнения нелинейны. Поэтому возмущения поля, производимые
различными звездами, не могут быть просто добавлены или усреднены
каким-либо способом. Предмет настоящей работы состоит в том, чтобы
избежать такого усреднения и попытаться получить решение уравнений
Эйнштейна, которое более точно соответствует реальной Вселенной.
Существует много моделей усреднения. Первой была цилиндрическая
модель Эйнштейна, которая была отвергнута из-за того, что она не приво-
приводила к наблюдаемому разбеганию далеких галактик. Затем была модель
де Ситтера, которая приводила к разбеганию, но была отвергнута, потому
что она давала нулевую плотность масс. Затем Фридманом, Леметром и
др. было предложено множество моделей. Среди них есть только одна,
предложенная совместно Эйнштейном и де Ситтером (далее обозначаемая
как модель Э-деС), которая особенно проста и находится в согласии с Ги-
Гипотезой Больших Чисел.
Если работать с одной из этих моделей и интересоваться гравита-
гравитационным полем вблизи звезды, то придется модифицировать решение
Шварцшильда так, чтобы на больших расстояниях метрика стремилась к
метрике, соответствующей космологической модели. Эта проблема была
решена в общем виде МакВитти A933). Решение для модели Э-деС было
также найдено автором A979). Но это решение не очень логично из-за его
зависимости от процедуры усреднения.
Наша задача здесь состоит в том, чтобы получить приближенную
метрику для описания Вселенной, в которой материя сконцентрирована
преимущественно в звездах, каждая из которых удаляется со скоростью,
соответствующей закону Хаббла. Главная проблема связана тем, как ре-
решить, какое приближение допустимо.
Мы будем использовать пространственные координаты ж1, ж2, ж3, ко-
которые являются константами для материи, удаляющейся с хаббловой ско-
скоростью, и предполагать, что трехмерное пространство является плоским
*) Models of the Universe // In: Gauge Theories, Massive Nentrinos and Proton Decay /
Ed. A. Perlmutter. — N.Y.: Plenum, 1981. P. 1-3.
456 III. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОСМОЛОГИЯ
за исключением местных возмущений, вызванных отдельными звездами.
Метрика, которая обладает такими свойствами, имеет вид
ds2 = a2 dx°2 - I32(dxl2 + dx22 + dx32),
где а и /3 являются функциями всех четырех ж^. В однородной Вселенной
а и /3 были бы функциями только ж0. Их зависимость от ж1, ж2, ж3
учитывает флуктуации в распределении масс.
Мы полагаем, что латинские индексы га, n, s и т. д. пробегают только
значения 1, 2, 3, а греческие — все четыре значения 0, 1, 2, 3. Нижний
индекс после запятой обозначает обычное дифференцирование. Мы также
будем использовать греческую букву г для обозначения эйнштейнова вре-
вре0
мени ж
Имеем
goo = a2, gn = g22 = #зз = -/З2, g^v = 0 для ii ф v.
Нам нужно вычислить символы Кристоффеля. Для ненулевых компонент
находим
ГОоо = аа,о Гооп = оса^п ГпОо = —ota^n ГОг1Ш =
Гп0т =
Они дают
= сГ1а,„ Г?0 = /Г2аата Г°га =
Мы должны теперь вычислить компоненты тензора Риччи
¦L*'jlV *- jJiOL^V jlV,tt /J,V oiQ * Д/3 VOL
и подставить значения соответствующие реальной Вселенной согласно за-
законам Эйнштейна. Имеем три вида величин Яось Ron и Rmn-
Рассмотрим сначала Ron. Вычисления дают
Ron = 2/Г1/?,0п - 2C-2Р,оР,п - 2а-1р-1а,пР,о- A)
Ron представляет из себя поток массы и несуществен, если звезды
движутся приблизительно со своими хаббловыми скоростями. Поэтому мы
положим
Ron = О,
что дает д д д д
Р,Оп Р,ОР,п ОС,пР,0 _ п
или
(Ч) =°-
28. МОДЕЛИ ВСЕЛЕННОЙ 457
Это можно проинтегрировать и получить
где / является функцией только от переменной т и не зависит от перемен-
переменных ж1, ж2, ж3.
Возьмем теперь другие компоненты Rqq и Rmn. Вычисления довольно
громоздки. Чтобы их упростить, мы предположим, что пространственные
производные от а и /3, а именно а)П и /3 п, — это малые члены порядка е и
опустим члены порядка е2. В однородной Вселенной эти величины должны
исчезать, и предположение об их малости оправдано, когда нет областей
с аномально высокой плотностью, таких как черные дыры.
Мы тогда находим
Яоо = З/З-^.оо - За^/ГЧо/З.о - а/Г2а оо C)
-а-2/3,0 + /Г%Л- D)
Компоненты Rmn с т ф п представляют собой напряженности, кото-
которые пренебрежимы в реальной Вселенной. Поэтому мы будем считать их
нулевыми с точностью порядка е. Это дает нам условие
aa,mn + /3"V,mn = 0 E)
Мы можем обеспечить выполнение этого требования, если положим
а/3 = h(r), F)
где h является функцией только от г и не зависит от ж1, ж2, ж3. В этом
случае имеем
a,mf3 + а/3 m = О
и, следовательно,
OL,mnfi + OL,mP,n + a,nfi,m + OL^mn = О,
что превращается в E), если опустить члены второго порядка а^ш^п и
Комбинируя формулы B) и F), мы получаем
/?,о = fh,
и значит
C = F(t) + w(x\x2,x3),
где F — функция только от г, причем ее производная Fq = fh, a w —
функция только от ж1, ж2, ж3. В нашем распоряжении имеется произволь-
произвольная функция от г, поскольку мы можем заменить г любой функцией от г,
458 III. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОСМОЛОГИЯ
которая возрастает с т. Мы можем выбрать эту произвольную функцию
так, чтобы получить h = F. Тогда
h
а =
h + w
Это значит, что а приблизительно равно 1 при больших h.
Выжившие компоненты тензора Риччи имеют вид
Я§ = Зс^/З^/Зд) - За-З/Г1**,о/3,о - а^/З**,,,
R\ = Rl = Rl = 2а-2/Г2/320 + с^/З^/Зоо - a-tp-^flPfl ~ /3~3/3 55.
Согласно теории Эйнштейна они соответствуют плотности энергии и дав-
давлению. Введем тензор напряженности Т"
Тогда плотность энергии определяется через Т^, а давление через Т\ =
= П = т$.
Давление в реальной Вселенной очень мало, поэтому в нашей модели
мы положим его равным нулю. Это дает
R°o + R{ = 0.
Согласно E) это означает, что
4а/Г1/3 оо - 4а/Г1а о?о + 2а-2/Г2/?20 = 0.
При больших значениях г мы можем пренебречь w, так что а = 1, и значит
2/3,оо/3 + /32О = 0,
что ведет к
h = г2/3.
Таким образом, окончательно имеем
а = -^-, ? = T^ + W. G)
Все это определяет метрику нашей модели. В нашем распоряжении
имеется функция w, зависящая от ж1, ж2, ж3. При w = 0 получаем модель
Э-деС с однородной плотностью. Мы выберем w таким образом, чтобы
соответствовать массе, сконцентрированной главным образом в звездах.
Величина w не должна быть слишком большой, иначе приближения, сде-
сделанные при выводе соотношения G), не будут справедливы.
Плотность энергии дается формулой
2afil3,o - /3a,ss}.
28. МОДЕЛИ ВСЕЛЕННОЙ 459
Мы можем вычислить ее, пренебрегая w по сравнению с т2/3, но оставляя
w^ss. Тогда получим
{|} (8)
Это есть количество материи в единице объема d3x при использовании
хаббловых координат ж1, ж2, ж3. Слагаемое 2/3 — это однородный вклад,
следующий из модели Э-деС, а слагаемое w^ss может быть выбрано так,
чтобы представлять действительное распределение материи во Вселенной.
Предположим, что материя состоит из звезд массы ти, расположенных
в точках а^, а2, а3, где и есть параметр, который нумерует звезды. Тогда
плотность энергии имеет вид
^га^ж1 - о1иM(х2 - a2u)S(x3 - а3) = ^та?3(ж - аи).
и а
Мы должны положить ее равной (8). Следовательно
w,ss = з - 4тг^га^3(ж - аи).
Это уравнение может быть проинтегрировано, что дает
где ги есть расстояние от точки ж1, ж2, ж3 до точки а^, а2, а3, т.е.
С фиксацией w метрика полностью определена.
Следует отметить, что мы можем добавить к величине w любую кон-
константу и члены, линейные по ж1, ж2, ж3. Чтобы приближение было спра-
справедливо, необходимо, чтобы в используемых формулах величина w была
малой, что означает, что хабблова скорость удаления галактик тоже мала
по сравнению со скоростью света.
Если мы рассмотрим окрестность какой-нибудь звезды, которую мы
примем за начало отсчета, мы можем в величине w пренебречь вкладами
всех остальных звезд. Метрика при этом примет вид
Л ~2/3\
1
ds = I 1 Н j dr - т ' I 1 Н 1 (dx + dx + dx ),
если в величине w пренебречь членами (ж1 + ж2 + ж3 )/9. Ее мож:но
сравнить с модифицированной метрикой Шварцшильда, совпадающей при
больших расстояния с метрикой модели Э-деС. Если мы подставим зави-
зависимость массы ш от т, то найдем
_ Т4/3 Л шт^Л ^2 ^22
V 2г )
460 III. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОСМОЛОГИЯ
Видно, что два выражения для метрики ds2 при больших значениях г
в ньютоновом пределе совпадают. Поэтому данная теория в окрестности
звезды будет воспроизводить результаты прежней теории.
Данная теория приводит также к различию между эфемеридным вре-
временем, т.е. используемым нами т, и атомным временем. Она также будет
приводить к спиральному падению планет на центр, если расстояния изме-
измерять в атомных единицах. Процедура усреднения, которую мы используем
в модели Э-деС, не влияет на эти выводы.
Литература
1. Dime P.A.M. Л Proc. Roy. Soc. A. 1979. V. 365. P. 19.
2. McVittie G.C. // M.N. Roy. Astr. Soc. 1933. V. 93. P. 325.
29
ИЗМЕНЧИВОСТЬ G И КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ *)
Эйнштейнова теория гравитации добилась огромных успехов. Были
сделаны различные проверки и каждый раз теория Эйнштейна получа-
получала подтверждение, а конкурирующие теории, такие как теория Бранса-
Дикке, были отвергнуты. Идеи, которые я собираюсь обсуждать, являются
развитием теории Эйнштейна и ни в коем случае не противоречат ей.
Гипотеза Больших Чисел
Рассмотрим различные константы Природы, которые имеют фунда-
фундаментальное значение, и построим из них безразмерные числа. Одним из
них является Нс/е2, приблизительно равное 137. Другое число — это от-
отношение масс протона и электрона, приблизительно равное 1840. Еще
одно число — это отношение электрической и гравитационной силы между
электроном и протоном в атоме водорода,
^ 7-1039. A)
&тетр
Большая величина этого числа выражает тот факт, что в атомном мире
гравитационная сила чрезвычайно слаба.
Физики верят, что в конечном счете будет найдено объяснение всем
этим числам. Мы надеемся, что будут построены математические теории,
которые позволят вычислить эти числа. И в то время, как легко себе
представить, что будет построена теория, которая объяснят числа типа
137 и 1840, удивительно, если когда-либо будет найдена теория, дающая
число типа A). Это допущение кажется безнадежным.
Может быть, объяснение числа A) базируется на его связи с другим
большим числом, возрастом Вселенной. Оно неизвестно с большой точно-
точностью, но если определять его из принятого в настоящий момент значения
постоянной Хаббла, то получается приблизительно
* = 18 • 109лет.
Если перейти от лет к атомным единицам времени, скажем е2/(гаес3), то
получим
t = 2 • 103
т.е. число того же порядка, что и A).
3 '
тес
*) The Variation of G and the Quantum Theory // In: Proc. Second M. Grossmann Meeting
on General Relativity / Ed. R. Ruffini Amsterdam, North-Holland, 1982. V. A. P. 1-6.
462 III. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОСМОЛОГИЯ
Можно считать просто замечательным совпадением тот факт, что эти
два числа — величины одинакового порядка. Однако более разумная точка
зрения состоит в том, чтобы сказать, что это вовсе не совпадение. Эти
два числа связаны между собой некоторым образом, который мы пока не
понимаем, но эта связь станет ясной в будущем, когда у нас будет больше
понимания космологии и атомной теории. Если это так, то число A) не
является постоянным, но меняется пропорционально эпохе ?,
7^ t. B)
Gmemp
Если принять эту точку зрения, то не следует останавливаться, а следует
распространить этот аргумент и сказать, что все большие безразмерные
числа, которые возникают в общей теории, связаны с ?, причем эта связь
определяется значением большого числа. Я называю это Гипотезой Боль-
Больших Чисел (ГБЧ).
Можно рассмотреть вариант получения большого числа из полной мас-
массы Вселенной. Однако, она может оказаться бесконечной. Чтобы получить
массу, которая заведомо конечна, возьмем массу той части Вселенной,
которая удаляется от нас со скоростью < A/2)с. Выразим ее в массах
протона, чтобы сделать ее безразмерной, и назовем ее N. Мы не можем
определить N с большой точностью, потому что неизвестно, какое коли-
количество темной материи имеется во Вселенной в форме черных дыр или
межгалактического газа и пыли. Однако кажется разумным, что N — это
число порядка 1078. Из ГБЧ тогда заключаем, что
N~t2. C)
Таким образом, существует непрерывное возрастание количества материи
в ограниченной части Вселенной. Как это можно понять? Можно пред-
пол ожить, что происходит непрерывное рождение материи, так что обыч-
обычный закон сохранения массы является только приближенным. Я работал
над этим предположением в течение ряда лет, но существуют трудности
в согласовании его с различными наблюдениями, такими как устойчивость
старых кристаллических скал. Также оно не согласуется с теорией Эйн-
Эйнштейна. Поэтому, я полагаю, мы должны отказаться от него.
Существует альтернативное объяснение, при котором масса сохраня-
сохраняется. Предположим, что скорость удаления галактик не постоянна, а они
постоянно замедляются, так что возникает все больше и больше галактик
со скоростью удаления < A/2)с. Можно легко рассчитать, какой закон
замедления приведет к результату C). Эта картина может быть развита
в соответствии с теорией Эйнштейна и мы примем ее здесь.
Две метрики
Мы сталкиваемся с проблемой соответствия ГБЧ с эйнштейновой тео-
теорией гравитации. Трудность возникает из-за того, что теория Эйнштейна
требует постоянства G, что приводит к противоречию с B). Эту трудность
29. ИЗМЕНЧИВОСТЬ G И КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ 463
можно преодолеть, если предположить, что теория Эйнштейна справедли-
справедлива в другой системе единиц по сравнению с той, что определяется атомны-
атомными константами. Мы будем использовать индексы Е и А для обозначения
величин в этих двух системах единиц. Тогда имеем
Сд-t; GE = const. D)
Без непрерывного рождения материи масса тела в атомных единицах
постоянна. В теории Эйнштейна масса также постоянна. Поэтому мы
отождествим эти две единицы массы, т. е. положим
тЕ = Гил- E)
Мы будем полагать скорость света равной единице в обеих системах еди-
единиц. Тогда единицы времени и расстояния обе будут меняться в одина-
одинаковом отношении. Это отношение можно вычислить из D) на основе раз-
размерных соображений. Размерность G есть [расстояние]3[время]~2[масса]~1.
Тогда из E) мы должны получить
dsE = tdsA, F)
где ds обозначает либо расстояние, либо время. Соотношения E), F)
являются фундаментальными для совмещения выводов теории Эйнштейна
иГБЧ.
Мы будем продолжать использовать t для обозначения эпохи в атом-
атомных единицах. Пусть г обозначает эпоху в эйнштейновых единицах. Тогда
dr = tdt
или
Космологическая модель
G)
В обычных приложениях теории Эйнштейна используется шварцшиль-
дово решение полевых уравнений, которое применяется к Солнечной си-
системе. В решении Шварцшильда пространство переходит в плоское про-
пространство Минковского при больших значениях г. Это не справедливо для
Солнечной системы. Для больших г метрика должна переходить в метрику
соответствующей космологической модели.
Космологическую модель получают усреднением всех возмущений,
связанных с индивидуальными звездами и галактиками. В большинстве
моделей можно построить большое безразмерное число, которое постоян-
постоянно. Такие модели противоречат ГБЧ. Существует модель, введенная сов-
совместно Эйнштейном и де Ситтером, для которой метрика в эйнштейновых
единицах имеет вид
ds\ = dr2 - T4/3(dx2 + dy2 + dz2). (8)
464 III. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОСМОЛОГИЯ
Появление комбинации dx2 + dy2 + dz2 означает, что трехмерное про-
пространство является плоским. Множитель т4'3 приводит к нулевому давле-
давлению в этой модели, в согласии с давлением в реальной Вселенной, которое
очень мало, в то время как усредненная плотность, как это было показано
Эйнштейном и де Ситтером, имеет правильный порядок величины.
Ясно, что для описания Солнечной системы, нужно заменить решение
Шварцшильда модифицированным решением Шварцшильда, которое пе-
переходит в метрику (8) при больших значениях г. Это модифицированное
решение было получено в моей работе 1).
Возможные проверки теории
Изменения, введенные при модификации, обычно очень малы и не
влияют на успех теории Эйнштейна. Существуют, однако, некоторые ма-
малые эффекты, которые возможно заметить при достаточно аккуратных
наблюдениях.
Если работать с модифицированным шварцшильдовым решением и ис-
использовать эйнштейнову метрику, то окажется, что планеты по-прежнему
движутся по окружностям с постоянной скоростью. Время, отмечаемое
движением такой планеты, —это эфемеридное время астрономов. Эфеме-
ридное время оказывается тем же, что и время dsE в метрике Эйнштейна.
Оно, поэтому, отличается от атомного времени dsA, связанного с ним
уравнением F). Разница поддается наблюдению.
Наибольший шанс для ее наблюдения предоставляет движение Луны
относительно неподвижных звезд. Движение Луны сильно подвержено
влиянию приливных эффектов. Однако можно наблюдать угловое уско-
ускорение как в эфемеридном, так и в атомном времени и сравнить их. Этот
вопрос изучался Т. ван Фландерном в течение многих лет. Его последние
результаты, которых еще не опубликованы, просуммированы в табл. 1.
Здесь п обозначает угловую скорость Луны. Она замедляется из-за
приливных эффектов и ее замедление, —п, дано в единицах секунды/век2,
как оно было вычислено разными людьми различными методами.
Его значение в терминах эфемеридного времени может быть полу-
получено из наблюдений Луны, которые проводились в течении нескольких
последних столетий. Можно также воспользоваться наблюдениями полных
затмений, уходящими назад по времени на тысячелетия. Если известно,
что затмение было полным в определенном месте на земной поверхности,
то это — точная информация, поскольку из астрономических данных точно
известно, когда происходило полное затмение, а именно, когда Земля, Луна
и Солнце выстраивались вдоль одной линии. Этот метод использовался
Мюллером.
Наблюдения Луны по атомным часам проводились с 1955 года и они
использовались для определения п (атомного). Таблица показывает раз-
г) Proc. Roy. Soc. A. 1979. V. 365. Р. 19.
29. ИЗМЕНЧИВОСТЬ G И КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ 465
ницу между п (эфемеридным) и h (атомным) и, таким образом, гово-
говорит в пользу настоящей теории. Согласно старым идеям, эти величины
должны были бы совпадать. Правда, ошибки достаточно велики, но они
будут уменьшаться в ближайшие годы, так как исследователи продолжают
делать наблюдения и вычисления.
Таблица 1
"Угловое ускорение Луны
—п (эфемеридное) в секундах/век2
Остервинтер и Коен, 1972 38, 0 ± 8
Моррисон и Уорд, 1975
(из переходов Меркурия 1677-1973)
Мюллер, 1978 (древние затмения)
Ламбек, 1977 (модель океанских приливов)
Год и Дуглас, 1978 (модель океанских приливов)
Ван Фландерн (взвешенное среднее)
—п (атомное) в секундах/век2
Ван Фландерн, 1978
Калам и Мулхолланд, 1978
(из лазерного измерения Луны)
Те же с новыми поправками, 1979
Вильяме и другие, 1979
(из лазерного измерения Луны)
Ван Фландерн, 1979 (взвешенное среднее)
Существует другой эффект, предсказываемый новой теорией, который
можно надеяться заметить. Он связан с расстояниями планет от Солн-
Солнца. Планета может двигаться по окружности на постоянном расстоянии
от Солнца, если расстояние измеряется в эйнштейновых единицах. Если
расстояние измеряется в атомных единицах, то, согласно F), оно будет
уменьшаться пропорционально t, так что планета будет двигаться по
спирали. Любая планета будет совершать такое спиральное движение в до-
дополнении к обычному движению, обусловленному теорией гравитации.
Можно провести аккуратные измерения расстояний от планет, посылая
радиоволны к планете и наблюдая отраженные волны. Измеряя проме-
промежуток времени, необходимый для прохождения волн в обеих направле-
направлениях в атомных единицах, мы получаем информацию о расстоянии до
планеты в атомных единицах. Этот метод применялся И.И. Шапиро и
Р.Д. Ризенбергом для внутренних планет Меркурия, Венеры и Марса, и
полученные результаты суммированы в табл. 2. Там приведены значения
п/п, вычисленные согласно старой теории, и если пересчитать их согласно
настоящей теории, то получится, что все они должны быть умножены на 2.
Как видно, все ошибки примерно столь же велики, как и сами из-
измеряемые величины. Поэтому результаты эти совместны с постоянной
величиной G и h = 0. Положительное значение п соответствует движению
по спирали внутрь, а отрицательное — движению по спирали наружу. Так
26,0±
30,0±
30,6 ±
27,4 ±
28,0±
21, 5±
24,6 ±
20,7
23,8 ±
22, 6 ±
2
3
3,1
3,0
1,2
3,2
5
4
1,3
466 III. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОСМОЛОГИЯ
как все три планеты имеют положительное п, то, несмотря на большие
ошибки, кажется, что имеется указание в пользу движения внутрь.
Таблица 2
Радарные отражения, наблюдаемые Шапиро и Ризенбергом, 1975
От Меркурия п/п = F ± 4) • 10~11/год
Венеры п/п = F ± 6) • 10~11/год
Марса п/п = B5 ± 33) • КГ11/год
Эти результаты были опубликованы в 1975 году. С тех пор появились
шансы получить гораздо более аккуратные результаты в связи с полетом
Викинга на Марс. Он дает хорошо определенную точку для отражения
радиоволн, независимую от топографии Марса. Такие измерения еще не
осуществлены.
Гравитация и квантовая теория
Если мы примем основное уравнение настоящей теории, уравнение B),
то как мы можем интерпретировать его? Существуют две возможные
картины, основанные на эйнштейновой и атомной метриках.
В обеих картинах мы предполагаем, что массы гае, тр — постоянны.
Если бы мы считали их меняющимися, то это было бы ненужным усложне-
усложнением. Если мы работаем в эйнштейновой картине, то мы полагаем, что G
постоянна и е2 ~ t. Если же мы работаем в атомной картине, то мы
полагаем, что е постоянно иС^Г1.
Есть достаточно хорошие основания для того, чтобы верить в постоян-
постоянство величины е2/h. Считать эту величину меняющейся пропорциональ-
пропорционально logt, или другой медленно меняющейся функции t было бы вполне
совместным с ГБЧ. Однако есть свидетельства, исходящие из анализа
спектров далеких галактик, указывающие, на то, что она не меняется.
Поэтому в картине, где е2 ~ ?, мы должны считать, что h ~ t.
Картина, где G постоянна и масса сохраняется, находится в согласии
с теорией Эйнштейна. Все уравнения обычной теории Эйнштейна сохраня-
сохраняются, кроме уравнений, включающих е и /г, т. е. уравнений, включающих
квантовые эффекты. Для любых вычислений движений планет и звезд мы
должны использовать эту картину.
Атомная картина, в которой е и h постоянны, a G меняется пропор-
пропорционально t, должна использоваться в атомных вычислениях. Тогда мы
имеем постоянные размеры твердых тел, а время измеряется по атомные
часам. В атомных вычислениях гравитацией обычно пренебрегают, так что
изменение G в них не имеет значения.
Существуют некоторые вычисления, например, связанные с эволюцией
звезд, для которых имеют значение е, h и G. Потребуется дальнейшее
развитие теории, чтобы решить, какие уравнения следует использовать
в таких случаях.
Часть IV
Развитие теории тяготения
Эйнштейна A973-1983)
30
ДАЛЬНОДЕЙСТВУЮЩИЕ СИЛЫ И
НАРУШЕННЫЕ СИММЕТРИИ. I *)
Имеются основания для веры в то, что гравитационная постоянная изменяется
со временем. Такого рода изменения заставляют модифицировать теорию тяготения
Эйнштейна. Предполагается, что модификация должна заключаться в возврате к гео-
геометрии Вейля, в которой длины объектов при обходе по замкнутому контуру (петле)
являются неинтегрируемыми и при этом отсутствие интегрируемости связывается с на-
наличием электромагнитного поля. Сформулирован новый принцип действия, который
существенно проще принципа Вейля. Однако он требует в дополнение к метрике g^u
введения скалярной полевой функции для описания гравитационного поля. Выведены
вакуумные полевые уравнения, а также уравнения движения частицы.
Важным свойством геометрии Вейля является то, что она приводит к наруше-
нарушению С- и Т-симметрий при одновременном сохранении Р- и СТ-симметрий. Наруше-
Нарушение симметрии не проявляет себя для простейших видов заряженных частиц, однако
требует, чтобы для таких частиц использовались интегралы действия более сложного
вида.
1. Дальнодействующие силы
Дальнодействующими силами являются те, которые убывают обрат-
обратно пропорционально квадрату расстояния между взаимодействующими
телами, в отличие от близкодействующих сил, которые убывают по экс-
экспоненциальному закону Известны лишь две дальнодействующие силы:
гравитационная и электромагнитная.
Гравитационное поле очень хорошо объясняется теорией Эйнштейна,
которая использует для этих целей понятие кривизны пространства. По-
Поэтому многие поверили в то, что и электромагнитное поле также должно
быть связано с некоторым свойством пространства, вместо того чтобы
быть чем-то, просто вложенным в пространство, и, таким образом, тре-
требуется введение пространства более общего чем риманово пространство,
которое лежит в основании теории Эйнштейна. В таком случае более общее
пространство будет объяснять как гравитационное, так и электромагнит-
электромагнитное поля и будет обеспечивать объединение дальнодействующих сил.
Вскоре после появления теории Эйнштейна решение проблемы было
предложено Вейлем. Кривизну пространства, требуемую теорией Эйн-
Эйнштейна, можно объяснить с помощью понятия параллельного смещения
вектора, т. е. переноса вектора параллельно самому себе по замкнутому
контуру, в результате которого конечное направление вектора оказывается
отличным от первоначального направления. Обобщение Вейля состояло
в предположении, что конечный вектор имеет отличную от первоначаль-
Proc. Roy. Soc. Lond. A. 1973. V. 333. P. 403-418.
Proc, JR. S&c* Land. A, 333» 403-418 A073)
?rinkd in Great* Britain
Long range forces and broken symmetries
By P. A.M. Dirac, F.E.S.
Phymcs Department, Florida tit ate U-riivcrmty, Tallahassee t Florida
(.Received 1Г> Janwiry 107,1)
Thoro tiro roiwons for bolioviug tiiiiii th'o ^ravitiiliomil rtoiiMUinL vjirtoH wif>h time Such
a viirmtmti would lore» оно lit modify i?in*4niii'tf tltoory ufgrovitnlaoti, ft; in ргорояо*! JJlut» tho
ntotIifixation nhou!U ccm.siat. 'in tho rovivnl ot* Woyl'a geomot.ry» in which Iongt.h.s uro nun*
inU'^nihlo \vh«m onrriod around olo.sotl loops, tho lack c>f integral»litty being oonnocUitl with
tho oloctrouiugnotto Hold. A ,jit>w tiotioii prmoipio м nob vip, much aimplor tlitwi Woyi'a, hut
requiring л ненки* field function to doeenbo tho gnivifcaLioiinl Hold, in addition to tho gfl?, Tho
vacuum fidki oqtmtions tiro workod'out and лко tho oqiiationM 'of jaotion fora partiolo.
An important foftturo of WoyFs goomotry is. tlmt It IohUk to л breaking of fcho С and T
eymmotrio», with no breaking of P or oj* ОТ. Tho breaking tlooa not show it«olf up with
tlw eimplor kinds of olmrgod particles, but require» а того oomplioatod kind of term in tho
action integral for tho particle.
1. The long-range fo-eces
Long-rango forces are those that fali off inversely proportional to tho square of tho
'iistanee between the interacting bodies, as distinct-from short-range forces,.that
- ill off exponentially. There are two known long-rang© forces, the gravitational and
dio electromagnetic,
The gravitational field is very well explained by Einstein's theory» which accounts
¦or it in terms of the curvature of space. This has led people to believe that tho
Mectromagnctic field should also be ascribed to some property of space, instead of
,icing merely something, embedded in-space, and thus it would require оно to set
:pa more general space than tho Kicmannian space which underlies Einstein's
..aoory. Tho more general space would then account for both the gravitational and
• he electromagnetic fields and would provide a unification of the long-range forces.
Soon after tho appearance of Einstein's theory, a solution of the problem was
proposed by WeyL The curvature of space required by Einstein's theory can be
* ?iseussed in terms of the notion of the -parallel displacement of a vector, the trans-
:: ort of a vector around a closed loop by parallel displacement resulting in the final
direction of the .vector-differing from'its initial direction. Weyl's generalization
¦-¦:-as to suppose that the final vector, has «t different length as well as a different
•direction, which is a very natural generalization of Riemannian space.
With Weyl's geometry there is no absolute way of comparing elements of length
-t two different points, unless the points are infinitely cloise together. The com-
comparison can be made only with respect to a path joining the two points, and dif-
'orent paths-wffl lead to different results for the ratio of the two elements of length.
In order to have a mathematical theory of lengths оде must set-up arbitrarily a
standard of length at each point, and. then refer any length that turns up in the
26 [ 403 ] Vol. 333. A. B6 Juno 1973)
Первая страница статьи П.A.M. Дирака
«Дальыодействугощие силы и нарушенные симметрии»
30. ДАЛЬНОДЕЙСТВУЮЩИЕ СИЛЫ И НАРУШЕННЫЕ СИММЕТРИИ. I 471
ной длину, равно как и отличное от исходного направление, что является
весьма естественным обобщением геометрии риманова пространства.
В геометрии Вейля не существует абсолютного способа для сравнения
элементов длины в двух разных точках, до тех пор пока эти точки не явля-
являются бесконечно близкими друг к другу. Сравнение может быть проведено
только в отношении пути, соединяющего две точки, при этом разные пути
будут давать разные результаты для отношения двух элементов длины.
Чтобы построить математическую теорию длины, следует задать произ-
произвольным образом стандарт длины в каждой точке и затем соотносить лю-
любую длину, возникающую при описании пространства в некоторой точке,
с этим локальным стандартом в данной точке. В таком случае имеется
определенное значение для длины вектора в любой точке, однако это зна-
значение изменяется при изменении локального стандарта длины. Стандарт
длины может, конечно, быть изменен посредством множителя, который
меняется от места к месту.
Рассмотрим вектор длины /, расположенный в точке с координатами
х^ (/i = 0,1,2,3). Предположим, что он переносится посредством парал-
параллельного смещения в точку х^ + 5х^. Его изменение длины 51 будет
пропорционально /, а также 5х^, так что оно будет иметь вид
В формулу входят некоторые, возникающие при этом коэффициенты к^.
Они являются дополнительными полевыми величинами, возникающими
в теории совместно эйнштейновыми переменными g^v и являющимися не
менее фундаментальными.
Предположим, что стандарты длины изменены так, что длина умно-
умножается на множитель А (ж), зависящий от координат х. Тогда / становится
равным V = А (ж)/, а / + 51 изменяется по формуле
I' + 51' = (/ + 51)Х(х + 5х) = (/ + 51)Х(х) + 1Х^ 5х^,
где мы пренебрегаем величинами второго порядка малости и где А^ обо-
обозначает дХ/дх^. Получаем
51 = X 51 + IX ^ 5х^ = А/(х^ + ф^) 5х^,
где
ф = log A. A-2)
Таким образом
где
^ = ^ + 0,м. A.3)
Если наш вектор переносится с помощью параллельного смещения
вокруг малой замкнутой петли, то полное изменение его длины будет равно
472 IV. РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА
где
F\iv = k^v - x^M, A.4)
a dS^v обозначает элемент площади, заключенной в малой петле. Конечно,
данное изменение никак не затрагивается преобразованиями вида A.3),
возникающих вследствие изменений в стандартах длины.
Как будет показано ниже, новые полевые величины х^, возникающие
в теории Вей ля, могут быть взяты в качестве электромагнитных потен-
потенциалов. Они обладают всеми желанными свойствами. Они подвергаются
преобразованиям A.3), которые не связаны ни с какими изменениями
геометрии, а отвечают лишь изменениям в выборе искусственных стан-
стандартов длины. Выведенные величины F^v имеют геометрический смысл,
не зависящий от стандартов длины, и соответствуют физически важ-
важным величинам — электрическому и магнитному полям. Таким образом
геометрия Вейля обеспечивает именно то, что требуется для описания
на геометрическом языке как гравитационного, так и электромагнитного
полей.
Несмотря на все замечательные свойства этой теории, она была непри-
неприемлема для физиков, поскольку она противоречит квантовой теории.
Квантовые явления дают нам абсолютный стандарт длины. Атомные часы
измеряют время абсолютным образом и, если принять скорость света рав-
равной единице, то мы также получаем абсолютный стандарт для расстояний.
Таким образом, нет никакой потребности в произвольных метрических
стандартах теории Вейля. Можно предполагать, что при параллельном
перемещении вектор обладает той же самой длиной по отношению к атом-
атомным стандартам и, в таком случае, вариация 81 из соотношения A.1) равна
нулю.
Геометрия Вейля была отвергнута физиками и даже самим Вейлем,
однако, часть введенной ею терминологии осталась. Произвольный стан-
стандарт длины в каждой точке пространства был назван калибровкой. Пре-
Преобразования данного стандарта были названы калибровочными преобра-
преобразованиями. В геометрии Вейля они порождают преобразования вида A.3)
для потенциалов. Данные преобразования потенциалов, уже после отказа
от теории Вейля, были тем не менее названы калибровочными преобра-
преобразованиями, когда они уже больше не имели какого-либо геометрического
смысла.
В результате отказа от теории Вейля физики вернулись к мнению, что
только гравитационное поле оказывает влияние на геометрию простран-
пространства, в то время как электромагнитное поле является только некоторым
вложением в пространство, устанавливаемым посредством гравитационно-
гравитационного поля. Данное мнение обеспечивает удовлетворительные основания для
работы. Однако многие физики остаются очарованными проблемой отыс-
отыскания геометрической интерпретации электромагнитного поля и получе-
получения таким образом единой теории поля. Было предложено много теорий,
основанных на этой идее. Однако все они сложны и достаточно искус-
30. ДАЛЬНОДЕЙСТВУЮЩИЕ СИЛЫ И НАРУШЕННЫЕ СИММЕТРИИ. I 473
ственны, а, соответственно, и не являются общепринятыми. Теория Вейля
продолжает оставаться одной из выдающихся теорий, непревзойденной по
простоте и красоте.
2. Гипотеза Больших Чисел
Из фундаментальных констант Природы можно составить некоторые
безразмерные числа. Важнейшими среди них являются /гс/е2, которое
примерно равно 137, а также отношение массы протона к массе электрона
М/т, которое равно примерно 1840. Нет никаких объяснений для этих
чисел, однако, физики верят, что с ростом наших знаний когда-нибудь
будет найдено и объяснение для них.
Другое безразмерное число задается отношением электростатической
силы взаимодействия между протоном и электроном к силе их гравита-
гравитационного взаимодействия, а именно е2/(GMrri). Это число имеет значе-
значение, равное где-то около 2 • 1039, совершенно иного порядка по сравнению
с предыдущими числами. Удивительно, как можно надеяться, когда-либо
объяснить такое число.
Наблюдаемая скорость удаления спиральных туманностей снабжает
нас значением для возраста Вселенной около 2 • 1010 лет. Если выразить
это число через некоторые атомные единицы измерения, например через
единицу е2/(гас3), то получим число примерно равное 7 • 1039, которое
сравнимо с предыдущим огромным числом. Трудно поверить в то, что
это является простым совпадением. Можно подозревать, что между этими
двумя числами должна существовать некоторая связь, которая получит
свое объяснение тогда, когда мы будем больше знать о космологии и об
атомной теории.
Можно выдвинуть общую гипотезу, которую можно назвать «Гипоте-
«Гипотезой Больших Чисел», согласно которой все безразмерные числа данного
порядка, возникающие в природе, связаны между собой. (Смотри статью
автора A938)). Имеется еще одно такое число, возникающее из элементар-
элементарных соображений, а именно — квадратный корень из числа нуклонов во
Вселенной, которое должно быть включено в данную схему.
Далее, одно из этих больших чисел совпадает с промежутком времени ?,
отсчитанном от момента образования Вселенной, принятого за нулевую
точку отсчета, до настоящего момента времени, и оно растет с течением
времени. В таком случае, согласно Гипотезе Больших Чисел требуется,
чтобы все эти числа увеличивались пропорционально современному воз-
возрасту эпохи так, чтобы поддерживалась связь между ними. Можно сделать
вывод, что гравитационная постоянная G, измеренная в атомных едини-
единицах, должна быть убывающей пропорционально t~x.
В то же время теория тяготения Эйнштейна требует, чтобы G остава-
оставалась постоянной; действительно, при подходящем выборе системы единиц
она равна 1. Таким образом, теория тяготения Эйнштейна является несов-
несовместимой с Гипотезой Больших Чисел.
474 IV. РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА
Гипотеза Больших Чисел является предположением, а не установ-
установленным фактом. Она может стать установленной только путем прямых
наблюдений изменения G. Эффект не является слишком малым, чтобы
находиться за пределами возможностей современной техники. Измерения
Шапиро A968) расстояний до планет с помощью радара чрезвычайно
точны и если G действительно изменяется в требуемых пределах, то это
должно проявиться в его наблюдениях в течении ближайших нескольких
лет.
В данной работе будет считаться, что Гипотеза Больших Чисел верна,
и будет поставлен вопрос о том, как следует модифицировать теорию
Эйнштейна, чтобы она была в согласии с этой гипотезой.
Простой путь выполнения такого согласования состоит в предположе-
предположении, что уравнения Эйнштейна отнесены к интервалу dsE, соединяющему
две соседние точки, который не является таким же как интервал dsA, из-
измеренный с помощью атомной аппаратуры. Выбирая отношение dsE к dsA
изменяющимся вместе с возрастом эпохи, получим изменяющуюся вместе
с этим возрастом величину G. Чтобы модификация теории Эйнштейна
была незначительной, это отношение должно быть достаточно близким
к константе.
С введением двух разных метрик dsE и ds& замечаем, что возражения
против теории Вейля, обсуждавшиеся в предыдущем разделе, исчезают.
Можно применить геометрию Вейля к интервалу ds#, предполагая что он
является неинтегрируемым при переносах путем параллельного смещения,
так что для получения определенного его значения мы должны относить
его к произвольному метрическому масштабу. В таком случае интервал
dsE изменяется при проведении преобразований A.3) над потенциалами.
С другой стороны, можно считать, что интервал dsA отнесен к атомным
единицам и не зависит от произвольного метрического масштаба. Поэтому
преобразования A.3) над потенциалами на нем не сказываются.
Для измерений, обычно выполняемых физиками в лаборатории, ис-
использует аппаратура, возможности которой задаются атомными свойства-
свойствами вещества, так что измерения будут относится к метрике dsA- Метрика
dsE не может быть измерена непосредственно. Однако она проявляет себя
через свое влияние на уравнения движения. Она формирует основу всех
динамических теорий, независимо от того, является ли теория точной как
у Эйнштейна или ньютоновой аппроксимацией. Соотношение этих двух
метрик проясняется на примере радарных исследований планет. В этом
случае расстояние, которое определяется уравнениями движения, измеря-
измеряется атомной аппаратурой.
При наличии двух метрик, играющих соответствующие им роли, нет
более никаких существенных возражений против теории Вейля. В данной
работе она будет пересмотрена и построена заново. Все уравнения будут
отнесены, конечно, к метрике
30. ДАЛЬНОДЕЙСТВУЮЩИЕ СИЛЫ И НАРУШЕННЫЕ СИММЕТРИИ. I 475
3. Ко-ковариантное дифференцирование
Здесь будет дан краткий обзор основных свойств геометрии Вей ля.
Подробности можно найти в книге Вейля A921) или в книге Эддингтона
A922).
Мы имеем дело с преобразованиями метрического масштаба, при ко-
которых любая длина, типа ds, домножается на множитель Л, зависящий от
его местоположения в пространстве dsf = Xds. Локализованная величина
Y может быть преобразована в соответствии с законом Y1 = XnY. Тогда
говорят, что величина Y имеет степень п. Если У является тензором
и преобразуется таким образом, то она называется ко-тензором. Если п
равно нулю, то величина называется ин-тензором. В таком случае она
инвариантна при калибровочных преобразованиях.
Уравнение
ds2 = g^v dx^ dxv
показывает, что g^v является ко-тензором степени 2, поскольку dx^ не
меняются при калибровочных преобразованиях. Отсюда следует, что g^v
является ко-тензором степени —2. Мы будем записывать для краткости
величину \/(—g) просто как у/. Она имеет степень 4.
Тензор Т с различными индексами (по понятным причинам здесь
опущенными) обладает ковариантной производной Т:/л. В общем случае,
если Т является ко-тензором, то T:fJi не является ко-тензором. Однако
имеется модифицированная ковариантная производная, называемая ко-
ковариантной производной и записываемая в виде Т*^, которая является
ко-тензором.
Для начала возьмем скаляр S степени п. Его ковариантная производ-
производная S:jJL— такая же как и обычная производная S^ и мы можем записывать
любую из них просто как S^,. При изменении масштаба она преобразуется
к виду
на основании формул A.2) и A.3). Таким образом
)' = Xn(Sl_l -
так что S^ — uk^S является ко-вектором степени п. Определим это выра-
выражение в качестве ко-ковариантной производной S
C.1)
Для получения ко-ковариантной производной ко-векторов и ко-тензо-
ров нам требуется модифицированный символ Кристоффеля *Г^, опре-
определяемый через обычные символы Г" по формуле
C-2)
Легко проверяется, что *Г" инвариантен относительно калибровочных
преобразований (см. Эддингтон, уравнение (86.3)).
476 IV. РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА
Пусть Ац — ко-вектор степени п. Образуем выражение
4 — *Га 4
Оно очевидно является тензором, поскольку оно отличается от ковари-
антной производной А^: v на тензорную величину. При калибровочных
преобразования оно преобразуется к виду
(>W " *Г^Л«)' = ЛМм," + nXn~1X1/AIJL - *Г%„ХпАа =
Таким образом
ц — 1 ^Аа) = Л уА^у — пКуАц — 1 ^^
В силу этого в качестве ко-ковариантной производной А^ возьмем выра-
выражение
^ 1 ^и/\(хш
В соответствии с формулой C.2) она мож:ет быть записана в виде
Л^ = ЛМ^ ~ (П ~ 1)К»А» + KVA» ~ §1ЛУ^аАа. C.3)
Подобным образом для вектора В^ степени п находим
В»*» = В»:и-(п + \)kvB» + k»Bv - g^aBa. C.4)
Для ко-тензора с различными верхними и нижними индексами мы можем
сформировать его ко-ковариантную производную по тем же правилам,
вводя подходящие члены с к для каждого индекса. Заметим, что ко-
ковариантная производная всегда имеет ту же степень, что и исходная
величина.
Легко убедиться в том, что закон умножения выполняется для любых
двух ко-тензоров Т и U
а также, что
= 0, g»\a = 0.
Это означает, что мы можем свободно подымать и опускать индексы ко-
тензора перед выполнением ко-ковариантного дифференцирования. Сле-
Следовательно мы можем поднять индекс ц в формуле C.3). В результате
получим формулу C.4), где В^ заменяется на Л^, а вместо п подставлено
п-2.
Потенциалы к^ не образуют ко-вектор, поскольку они преобразуют-
преобразуются по неправильному закону A.3). Однако величины FpV, определенные
выражением A.4), не затрагиваются калибровочными преобразованиями,
так что они образуют ин-тензор.
30. ДАЛЬНОДЕЙСТВУЮЩИЕ СИЛЫ И НАРУШЕННЫЕ СИММЕТРИИ. I 477
Мы получим ко-ковариантную дивергенцию ко-вектора В*1, полагая
v = II в формуле C.4). Таким образом
?% = ?%-(п + 4)^Б'х. C.5)
Заметим, что при п = — 4 ко-ковариантная дивергенция является такой же
как и обычная ковариантная дивергенция.
4. Вторые ко-ковариантные производные
Для скаляра S степени п имеем
Подставляя 5*^ = S^ — uk^S, мы получим
Теперь S^v = Su:yiJ так что
S^^y — S*v*n = —п{к^,у — Kv..y)S = —nF^yS. D.1)
Пусть Ajjl будет ко-вектором степени п. Имеем
В итоге простых, но длительных вычислений приходим к результату
где
-gpa(x^+K»K») -ё^ЛКР'-С7 + KpKo) + {gpagijlv ~ gpvgцст)^Xa- D.3)
Мы могли бы рассматривать *?$ ^vcrp в качестве обобщенного тензора
Римана-Кристоффеля. Но он не обладает обычными симметриями тензо-
тензора Римана-Кристоффеля. Однако мы можем положить
^ jJLVCTp = ^fJLUCFp Н~ л \g pf Г fjKj \ gfJLCF Г pv g р(Т ^ fJLU gfJLU^paji \*m^)
и в таком случае ""В^У(Тр обладает всеми требуемыми симметриями, а
именно
Г) ill/ /т г\ J—У 11 /т |у /) -L/
а также
H~
478 IV. РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА
Таким образом будет справедливо назвать *В/Л1;СГр тензором Римана-
Кристоффеля пространства Вей ля. Он является ко-тензором степени 2.
Свернутый тензор Римана-Кристоффеля равен
Rfiu — ^ fiver — Rfiu ~ ^fji-.u ~ ^v>: fi ~ ёци^ : а ~ ^X^Xj, + lg^vK ka.
D.5)
Это есть ин-тензор. Дальнейшее свертывание дает полную кривизну
*Я = *Я? = R-QkG:(J + QkGk(J. D.6)
Она является ко-скаляром степени —2.
5. Принцип действия
Получим полевые уравнения из принципа действия, в котором действие
является ин-инвариантом. Следовательно оно имеет вид
/= \пу/ dAx, E.1)
где ft должна быть ко-скаляром степени —4, чтобы компенсировать -у/,
имеющий степень 4.
Обычным вкладом в ft электромагнитного поля является (l/^F^^F^.
Эта величина имеет степень —4, поскольку может быть записано в виде
F^yFpcrg^pgVG, где степень каждого из множителей F равна нулю, тогда
как степень каждого из множителей g равна —2. Следовательно эта вели-
величина является подходящей для включения в данную теорию.
В действии нам нужен также гравитационной член. В стандартной
теории Эйнштейна мы имеем —Я, входящий в ft. В рассматриваемой
теории R следовало бы заменить ко-скаляром *Я. Однако степень этого
ко-скаляра равна —2, так что он не годится. Вей ль предложил вместо него
подставить *7?2, который имеет правильную степень —4, но это слишком
сложное выражение, чтобы быть удовлетворительным. Вейль смог развить
дальше свою теорию только в случае одной конкретной калибровки, тем
самым разрушив ее наиболее привлекательные свойства.
Гравитационное поле можно ввести в теорию, выбрав такой принцип
действия, для которого выполнение уравнения *R = 0 предполагается
в качестве некоторой связи. В таком случае будет неважно, какая степень
у величины *7?. Данная связь учитывается путем добавления к ft члена
вида j(*R), где 7 является множителем Лагранжа. В таком случае 7
играет роль новой полевой функции. Она является ко-скаляром и следует
предположить, что она имеет степень —2, с тем чтобы сделать степень
члена *у(* R) равной —4.
Мы пришли к скалярно-тензорной теории тяготения. Скалярная по-
полевая функция необходима, если мы пытаемся избежать огромных слож-
сложностей, которые возникают при выборе принципа действия Вей ля. Такие
теории тяготения рассматривались ранее, в частности Фирцем A956) и
30. ДАЛЬНОДЕЙСТВУЮЩИЕ СИЛЫ И НАРУШЕННЫЕ СИММЕТРИИ. I 479
Иорданом A959) с целью получения изменяющейся гравитационной посто-
постоянной, а также Брансом и Дикке A961), исходившеми из принципа Маха.
Поскольку потребность в скалярной полевой функции уже обнаружена,
можно спокойно добавлять в действие последующие члены, содержащие
производные этой функции, подобно тому, как это делали упомянутые
выше авторы. Удобно положить 7 — /52 и рассматривать /3 в качестве
основной полевой переменной. Она является ко-скаляром степени —1. За-
Затем мы можем добавить к О еще один член вида с/34, где с —еще одно
произвольное число. В таком случае получаем полное выражение
I=\{\ F^F^ - /З2 *Я + кр*"р^ + с/34} У d4x, E.2)
которое можно выбрать в качестве действия для вакуума. Имеем
С помощью формулы D.6) тогда получаем
= -/32Я + кр^р^ + (ft - 6)/32х^ + 6(/32х^):м + Bft -
Член, содержащий /32х^, можно опустить, поскольку его вклад в плот-
плотность действия является полным дифференциалом, а именно
Чтобы получить наиболее простые уравнения для вакуума, мы теперь
выбираем к = 6, так что выражение E.2) приобретает вид
Т — /- F F^v — Я2 R + fi/9^/9 4- г/94\ л/ И4т (Ъ 1)
J ^4 J
Как будет видно, выражение действия для случая вакуума не зависит
более от потенциалов к^ явным образом, а зависит от них только через
полевые величины F^. Таким образом действие является инвариантным
относительно преобразований к^ -л к^ + ф^^ а уравнения движения, ко-
которые следуют из принципа действия, не будут затрагиваться такими
преобразованиями. Такие преобразования должны рассматриваться в этих
случаях как не имеющие физического значения.
В результате мы имеем следующие преобразования, которые могут
быть применены к нашим уравнениям:
A) Мы можем делать любые преобразования координат.
B) Мы можем делать любые преобразования метрического масштаба
в комбинации с преобразованиями к^ —> к^ + ф ^ для потенциалов.
C) В вакууме мы можем делать по отдельности преобразования потен-
потенциалов к^ —> к^ + ф^ без изменения метрического масштаба или, альтер-
альтернативным образом, мы можем преобразовывать метрический масштаб без
изменения потенциалов.
480 IV. РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА
Важно заметить, что преобразования типа C) могут, вообще-то, при-
применяться только тогда, когда отсутствует какая-либо материя. Как будет
видно позднее, имеются некоторые простые виды материи, для которых
преобразования типа C) тем не менее возможны. Однако в общем случае,
когда материя присутствует, в действии будут содержаться другие члены,
которые вполне могут содержать явную зависимость от потенциалов, что
делает невозможным применение преобразований типа C).
Общие соотношения теории справедливы при любом выборе метриче-
метрических масштабов (т. е. калибровки). Для практических расчетов выбирается
калибровка, которая удобна для конкретной задачи. Имеется три выбора
калибровки, представляющие общий интерес.
Естественная калибровка. Она включает в себя допущение, что к^ = 0
в случае F^ = 0. Естественная калибровка не является вполне определен-
определенной при F^v ф 0. Она лишь требует, чтобы хм были бы величинами того
же порядка, что и F^.
Калибровка Эйнштейна. Она включает в себя допущение, что /3 = 1.
Она дает уравнения гравитации Эйнштейна при исчезновении электромаг-
электромагнитных величин.
Атомная калибровка. Это метрические масштабы, которые измеряются
атомными приборами.
Все три калибровки обязаны быть разными. Однако для вакуума и для
некоторых особенно простых видов материи можно применить преобразо-
преобразования типа C) так, чтобы сделать естественную калибровку совпадающей
с калибровкой Эйнштейна, или в качестве альтернативы — с атомной
калибровкой. Именно различие этих двух калибровок и приводит к изме-
изменению гравитационной постоянной, выраженной в атомных единицах.
6. Уравнения поля для вакуума
Мы образуем малые вариации всех наших полевых величин g^v, >fyj /?5
вычислим изменение интеграла действия E.3) и приравняем его нулю.
В результате получим
61 = J G P>XV 58^ + Q" 6к» + S6p)V d4x. F.1)
Мы опустим в плотности действия член с/32 \/, поскольку он, возможно, не
существен за исключением вопросов, связанных с космологией. Вариация
электромагнитной составляющей (см. Эддингтон, 1922, с. 188) имеет вид
6 (I F^F^ V) = \Е^у/ Sgltv - J "л/ 8х», F.2)
где мы пренебрегли полным дифференциалом. Здесь E^v — тензор элек-
электромагнитных напряжений
\ , F.3)
30. ДАЛЬНОДЕЙСТВУЮЩИЕ СИЛЫ И НАРУШЕННЫЕ СИММЕТРИИ. I 481
a J^ — вектор тока-заряда
JM = F^:1/ = V/(^/XV)>,- F-4)
Опять же
= -2(р» y/U W - W V sgw + \ P'Pvg'"' V sg^ =
= -2^:flV 513 - (>Г -ig^P'P*) V Sgfll/, F.5)
где мы пренебрегли полным дифференциалом.
Из стандартных вычислений по теории Эйнштейна (см. Эддингтон,
1922, уравнения F0.3) и E8.52)) имеем
s(RV) = *W W V) - {g»v
Таким образом
где мы пренебрегли полным дифференциалом. Прямые вычисления, в пре-
пренебрежении еще одним полным дифференциалом, теперь дают
R V) = {/З2 (| g^R ~ №") + №"№%р ~ 2(/W} V Sg^ +
2/3Ry/ 513. F.6)
Собирая вместе члены в формуле F.2) минус формула F.6) плюс
умноженная на 6 формула F.5) и сравнивая с выражением F.1), получаем
Р»" = ({ g) g(f:p //
+ 2^/3^/3,-8/3^, F.7)
Q» = - JM, F.8)
S = -2/ЗЯ-12/Зм:м. F.9)
Уравнения поля в вакууме имеют вид
Р^ = 0, QM = 0, S = 0. F.10)
Следует заметить, что среди этих уравнений не все являются независимы-
независимыми. Имеем соотношения
Р? = -2/32Я - 12/3/367: а = /35, F.11)
так что уравнение для величины S является следствием уравнений для
величины Р.
Если опустить электромагнитный вклад в выражении для действия,
то оно становится таким же как действие Бранса-Дикке A961), за ис-
исключением того, что последним допускается произвольное значение для
константы к. При значении к отличном от 6, вакуумные уравнения яв-
16 П.Дирак. TIV
482 IV. РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА
ляются независимыми и таким образом в теории Бранса-Дикке имеется
на одно вакуумное уравнение поля больше, чем в данной теории. Это их
уравнение A3). В отсутствии материи их величина Т = 0 и при к ф 6 их
множитель C + 2а;) не исчезает, так что дополнительное уравнение имеет
вид ? (/З2) = 0.
7. Законы сохранения
Интеграл действия обладает двумя общими свойствами инвариантно-
инвариантности, а именно он инвариантен относительно любых преобразований си-
системы координат, а также относительно любых преобразований масштаба
(калибровки). Каждое из этих свойств приводит к закону сохранения,
связывающему между собой величины Р^, Q^, 5, определяемые выра-
выражением F.1).
Рассмотрим сначала преобразование координат, при котором точка
с координатами жм сдвигается в точку х^ + 6м, где Ь^ — бесконечно малая
величина. Следуя методу Эддингтона (см. его книгу, § 61), получаем
Подставляя эти вариации в формулу F.1), мы получим
^a V -SCa V У* dAX.
Данная вариация 51 при произвольных Ъи равна нулю, так что мы можем
приравнять нулю коэффициент при Ь°'. На основании формул
(см. Эддингтон, уравнение E1.51)), а также
этот коэффициент сводится к выражению
P?n + *<TQ't..li + FtTliQi'-S0<T = O. G.1)
Теперь сделаем малое преобразование масштаба ds1 = A + Л) ds, где
Л — бесконечно малая величина. Имеем
Sf3 = -Л/3
30. ДАЛЬНОДЕЙСТВУЮЩИЕ СИЛЫ И НАРУШЕННЫЕ СИММЕТРИИ. I 483
Подставляя эти вариации в формулу F.1), получим
81 = jiP^Xg^ + Q"A,, - SXp} У d4x =
Полагая здесь коэффициент при Л равным нулю, получим
РЦ-Q1*:»- S/3 = 0. G.2)
Уравнения G.1) и G.2) являются выражениями законов сохранения.
В случае вакуума замечаем, что уравнение G.2) становится таким же как
F.11), поскольку из формулы F.8) следует условие Q^ = 0. Уравнение
G.1) в вакууме приводится к выражению
Р?„ + F^Q" - /Г1/?^ = 0, G.3)
которое можно рассматривать как обобщение тождеств Бьянки.
Законы сохранения G.1), G.2) выполняются и в более общих ситуациях,
чем вакуумная, а именно всегда, когда интеграл действия может быть
составлен только из полевых переменных g^v, xM, /3. Следовательно они
будут выполняться и в присутствии в О члена вида &/3*м/3*^, при произ-
произвольном к. Если для описания какого-либо вещества потребуется большее
количество полевых переменных, чем в данном случае, для них будут
иметь место похожие законы сохранения с дополнительными членами,
возникающими за счет дополнительных переменных.
8. Движение частицы
Пусть координатами частицы будут ?^, являющиеся функциями
собственного времени s, измеряемого вдоль мировой линии. Положим
dz^/ds = v^ — вектору скорости. Имеем v^v^ = 1, т.е. v^ является ко-
вектором степени —1.
Добавим к действию дополнительные члены /i + /2, где
= -m\ fids, (8.1)
f3^v»ds, (8.2)
здесь т и е являются константами. Легко увидеть, что эти дополнитель-
дополнительные члены являются ин-инвариантами. Имеем
/2 = е
где первый член в подынтегральном выражении не дает никакого вклада
в принцип действия. Таким образом
/2 = e\x^ds. (8.3)
16*
484 IV. РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА
Заметим, что действие /2 не изменяется, если вместо к^ подставить
^ + Ф,1п поскольку добавляющийся в результате этого член равен
е (d(j)/ds) ds. Тем самым для частицы с действием 1\ + /2 преобразования
типа C) из раздела 5 оказываются допустимыми.
Теперь возьмем вариации Sz^ координат z^. Тогда имеем (см. Эддинг-
тон, уравнение B8.1))
2 ds S(ds) = 2gfJLI/ dz^ d(8zy) + g^^ dz^ dzv dza, (8.4)
или
o(asj = \ gnyV^ —^-—- + 7Г g"/ii/о-^^г; oz > as. (o.oj
Следовательно
= m\ {
\ {g^ d? P°^ P°) z<T ds-
Кроме того
SI2 = ej {^^|p + v^x^ Sz"} ds =
^z'7ds. (8.7)
Складывая выражения (8.6) и (8.7) и приравнивая нулю полный коэффи-
коэффициент при Sza, получим уравнение
ИЛИ
т {^7^ + TIP°vPv<r - ^} = eF^v»- (8-8)
Это и есть уравнение движения для частицы с массой т и зарядом е. Если
е = 0, то соответствующая траектория может быть названа ин-геодезиче-
ской.
Мы можем работать в калибровке Эйнштейна и тогда в случае е = О
получим обычное уравнение для геодезических. Отсюда вытекает, что опи-
описание движения перигелия Меркурия в данной теории будет таким же, как
и в теории Эйнштейна. В работе Бранса и Дикке A961) предполагалось,
что обычное уравнение для геодезических применимо и в случае с пере-
переменной /3. Таким образом они получили другой результат для движения
Меркурия и были вынуждены постулировать сплюснутость Солнца.
30. ДАЛЬНОДЕЙСТВУЮЩИЕ СИЛЫ И НАРУШЕННЫЕ СИММЕТРИИ. I 485
9. Влияние частицы на поле
Чтобы сделать теорию движения частицы завершенной, мы должны
принять во внимание вариации действий 1\ и /2, производимые вариация-
вариациями Sg^jy^ Sx^, S/3 в конкретной точке поля, а также вариации этих полевых
величин в точке ?м, возникающие из-за сдвига z^. В таком случае появля-
появляется дополнительный член dz^ dzu Sg^, который должен быть включен
в выражение (8.4). Он приводит к дополнительному члену {l/2)v^vu Sg^,
который должен быть включен в выражение (8.5). Тогда находим
(<*/l)extra = ~т \ [\ $V*VV 6g„„ + 5/3 } ds.
Мы хотели бы представить этот дополнительный вклад в действие
в форме выражения F.1), скажем так
(<*/l)extra = } (I РГ Sgftv + Si 8p) V d4
4X.
Мы можем сделать это с помощью 4-мерной ^-функции 5^(х — z\ связы-
связывающей точку поля в общем случае х^ с точкой z*1, занимаемой частицей.
Получаем
Pf у/ = -т\ Cv»v» S4{x - z) ds, (9.1)
Si у/ = -m \ S4(x - z) ds. (9.2)
Аналогичным образом имеем
^ 5к^ ds = = \ Q% $KV V <^х>
где
Вакуумные уравнения поля F.10) преобразуются к виду
Частица порождает сингулярности в полевых функциях, которые выража-
выражаются через #4(ж — z). Уравнения (9.4) должны определять эти сингулярно-
сингулярности, однако могут возникнуть технические трудности в применении этих
уравнений. Мы можем избежать этих трудностей путем замены точечной
частицы на частицу конечного размера.
Уравнения движения, которые мы получили для точечной частицы,
могут быть применены к пыли из частиц, которые двигаются все вместе
и имеют отношение е/га, слегка изменяющееся при переходе от одной из
частиц к соседней с ней, так что мы можем считать, что соседние частицы
обладают практически одинаковой скоростью. Затем мы можем перейти
от пыли к непрерывной жидкости, где мы будем иметь вектор скорости
г?^, определенный в каждой точке пространства.
486 IV. РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА
Будем обозначать каждую частицу пыли тремя параметрами Ai, A2,
A3. Тогда координаты z^ становятся функциями от четырех переменных
Ai, A2, A3, s, а величины га и е — функциями от трех параметров А. Любая
полевая точка жм может теперь задаваться четырьмя переменными Ai, A2,
A3, s.
Переходя к непрерывной жидкости, будем иметь плотность массы
d"x =
)
р V = \ тх d3\ \ 64(х - z) ds = \ тх д4(х - z) ^^"
J J J d(x xxx
1 о/ 1 2 3 0\*
дух ххх)
Аналогичным образом будем иметь и плотность заряда
[X - z)ds = ех д,1х2хзхо^
где р и а являются ко-скалярами степени —3.
Для получения выражений величин Р/^, Si, Q^ для непрерывного
распределения материи мы должны домножить правые части выражений
(9.1), (9.2) и (9.3) на d3X и проинтегрировать их по трем переменным А.
Результатами будут
J J<^J j г>1Л1У паи
11-\ — — и V V р
Si = -р, (9.7)
Подставляя эти значения в уравнения (9.4), мы зададим уравнения поля
для непрерывного распределения материи. Мы можем умножить обе сто-
стороны уравнения (8.8) на 8±(х — z)d3X и проинтегрировать. В результате
будем иметь
р{{^)^ + Y%vfva - /П = aF^vv. (9.8)
Это и есть уравнение движения для непрерывного распределения материи.
Мы можем предположить, что величины гад и е\ исчезают всюду за
исключением малой области изменения переменных А. Тогда мы будем
иметь материю, существующую только в пределах тонкой трубки. Она
будет представлять собой частицу конечных размеров. Ее движение будет
определяться уравнениями (9.4), (9.7), (9.8), которые не содержат сингу-
лярностей.
10. Нарушение симметрии
Интерпретация Вейлем электромагнитного поля как субстанции, ока-
оказывающей влияние на геометрию пространства, а не только как чего-то
вложенного в риманово пространство, имеет поразительное следствие —
нарушение симметрии. Рассмотрим заряженную частицу и возьмем точку
поля Р вблизи ее мировой линии. Для простоты предположим, что система
30. ДАЛЬНОДЕЙСТВУЮЩИЕ СИЛЫ И НАРУШЕННЫЕ СИММЕТРИИ. I 487
координат выбрана таким образом, что частица на мгновение находится
в покое.
Далее возьмем элемент длины / в точке Р и будем полагать, что он
сдвигается посредством параллельного переноса в направлении будущего
на величину ёх°. На основании фундаментальной формулы наша длина
изменится на величину
SI = 1щ 5х .
Здесь xq будет состоять в основном из кулонова потенциала, создаваемого
заряженной частицей. Предположим что знак заряда такой, что / растет
при его сдвиге в будущее. При противоположном знаке заряда он будет
убывать. В таком случае отсутствует симметрия между величиной возрас-
возрастающей и точно такой же величиной убывающей. Соответственно, отсут-
отсутствует симметрия между положительным и отрицательным зарядами.
Если элемент / возрастает при его сдвиге в будущее, то он убывает при
его сдвиге в прошлое. Тем самым отсутствует симметрия между будущим
и прошлым. Однако, если изменяется знак заряда, а также меняются
местами будущее и прошлое, то мы вновь вернемся к первоначальной
ситуации.
Физики, занимающиеся атомной физикой, ввели операторы Р для
изменения четности, С для зарядового сопряжения и Т для обращения
времени. В элементарных теориях все эти симметрии являются сохраняю-
сохраняющимися. Изложенная здесь теория не приводит к каким-либо нарушениям
Р-симметрии. Однако она приводит к нарушению С- и Т-симметрий, в то
же время сохраняя их произведение — СТ-симметрию.
Экспериментально обнаружено, что все три симметрии являются на-
нарушенными, однако, их произведение РСТ', насколько это известно, со-
сохраняется. Похоже, что нарушение Р-симметрии должно быть приписано
проявлениям короткодействующих сил. В то время как нарушение С- и
Т-симметрий, при одновременном сохранении СТ-симметрии, вызывает-
вызывается дальнодействующими силами, если они описываются в соответствии
с геометрией Вейля. Похоже, что эффект нарушения симметрии возника-
возникает из-за взаимодействия между гравитационными и электромагнитными
полями. Эффект должен быть мал, поскольку гравитационные эффекты
всегда являются малыми в области атомных масштабов.
Нарушение симметрии применимо в первую очередь к метрическо-
метрическому масштабу, а метрический масштаб не является наблюдаемым непо-
непосредственно. Эффект проявляется только в уравнениях движения. Таким
образом, нарушение симметрии не является таким эффектом, который
может быть напрямую измерен в геометрии. Он будет проявляться только
в уравнениях движения.
В случае вакуума и для некоторых простых видов материи, таких как
частица в разделе 8 и непрерывная материя в разделе 9, можно применять
преобразования типа C) из раздела 5, а в таком случае преобразования
метрического масштаба могут быть проведены независимо от преобразова-
488 IV. РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА
ний потенциалов. При таких условиях нарушение симметрии не проявляет
себя. Оно проявляется только тогда, когда имеются в наличии более слож-
сложные виды материи, для которых преобразования метрического масштаба
оказываются связанными с преобразованиями потенциалов.
В качестве примера такого вида материи мы можем представить себе
частицу, для которой действие содержит член вида
Г3/Г^?*м^, A0.1)
где а —некоторое число. Этот член является ин-инвариантом. Он может
быть записан в виде
/з = a J(/T3/?^ + 2/Г2/?^ + /Г1^) ds.
Здесь средний член в подынтегральном выражении изменяет свой знак при
изменении знака потенциала, так что является нарушающим симметрию.
Обращение времени изменяет знак /3^ и получается, что средний член
будет инвариантным, если изменяется знак как у /3^, так и у к^. Тем
самым он не нарушает СТ-симметрию.
Конечно, можно использовать калибровку Эйнштейна /3 = 1 и тогда
указанный средний член исчезнет. Однако при этом нарушение симметрии
из теории не исчезает. Прежде чем полагать /5 = 1, следует получить
уравнения поля из варьирования /3, а именно S = 0, а данное полевое
уравнение способно вновь проявлять эффект нарушения симметрии.
На эксперименте нарушение С- и Т-симметрий является весьма ред-
редким явлением. Оно было обнаружено только для одного сорта частиц —
/(^-мезонов. В соответствии с данной теорией нам следует ожидать, что
оно должно быть редким явлением, поскольку оно не возникает в случае
простых частиц, состоящих просто из массы, несущей заряд. Для наблюде-
наблюдения подобного нарушения должны иметь место какие-то дополнительные
сложности в свойствах частицы, такие как, например, член в действии
типа A0.1).
11. Заключение
Представленная выше теория включает в себя коренной пересмотр на-
наших представлений о пространстве и времени и возникает вопрос: почему
ей следует доверять? Даже если бы изменение гравитационной постоянной
было подтверждено экспериментом, это все же не было доказательством
того, что для объяснения электромагнитного поля требуется геометрия
Вейля.
Имеется один веский аргумент в поддержку данной теории. Пред-
Представляется так, что одним из фундаментальных принципов Природы яв-
является то, что уравнения, выражающие основные законы, должны быть
инвариантны в отношении максимально широкой группы преобразований.
Доверие, которое многие испытывают к теории Эйнштейна, возникает по
30. ДАЛЬНОДЕЙСТВУЮЩИЕ СИЛЫ И НАРУШЕННЫЕ СИММЕТРИИ. I 489
той причине, что ее уравнения инвариантны в отношении очень широкой
группы — группы преобразований криволинейных координат в римановом
пространстве. Безусловно, даже если бы пространство было плоским, фи-
физические уравнения по-прежнему могли бы выражаться посредством кри-
криволинейных координат и по-прежнему были бы инвариантны в отношении
координатных преобразований. Однако в таком случае будет существо-
существовать предпочтительная система координат — прямолинейные координаты,
и физически значимой будет только группа преобразований этой пред-
предпочтительной системы координат. Более широкая группа преобразований
криволинейных координат будет в таком случае просто математическим
расширением, не существенным при обсуждении физических законов.
Переход к геометрии Вейля является следующим шагом в направлении
расширения группы преобразований, лежащей в основании физических
законов. Теперь следует рассматривать преобразования калибровки на-
наряду с преобразованиями криволинейных координат и принимать, что
физические законы должны быть инвариантны в отношении всех таких
преобразований, которые накладывают на них строгие условия. Не суще-
существует предпочтительной калибровки, которой можно было бы ограничить
себя при работе с физическими законами, а затем рассматривать другие
калибровки просто как математическое расширение, которыми физик мо-
может пренебрегать. При обсуждении этого вопроса в разделе 5 были предло-
предложены несколько калибровок, которые могут быть особенно удобны. Однако
их имеется больше одной, а мы должны были бы иметь единственную
предпочтительную калибровку, если бы мы не имели теории, инвариантной
относительно всех калибровочных преобразований.
Теория, которая была построена в данной работе, предназначена в ка-
качестве основы для классической механики. Ее уравнения не являются
немедленно применимыми для квантовой теории. Общая проблема перехо-
перехода от классической к квантовой механике должна быть рассмотрена заново
и должна быть поставлена так, чтобы соответствовать двум метрикам
и
Литература
1. Brans С, Dicke R.H. // Phys. Rev. 1961. V. 124. P. 925.
2. Dirac P.A.M. // Proc. Roy. Soc. Lond. A. 1938. V. 165. P. 199.
3. Eddington A.S. The mathematical theory of relativity. Cambridge University
Press, 1922.
4. Fierz M. // Helv. Phys. Acta. 1956. V. 29. P. 128.
5. Jordan P. Л Z. Phys. 1959. V. 157. P. 112.
6. Shapiro LI. II Scient. Am. 1968. V. 219. P. 32.
7. Weil H. Raum, Zeit, Materie, vierte erweiterte Auflage. — Berlin: Julius Springer,
1921.
31
НОВЫЕ ИДЕИ О ПРОСТРАНСТВЕ И ВРЕМЕНИ *)
Есть основания считать, что гравитационная постоянная, выраженная в атомных
единицах, не является строго постоянной, а слегка изменяется с возрастом Вселен-
Вселенной. Это требует модификации эйнштейновой теории тяготения. Можно пред пол ожить,
что элемент расстояния, возникающий в теории Эйнштейна, не совпадает с тем, что
измеряется атомными приборами. Чтобы учесть электромагнитное поле, оказывается
возможным возродить геометрию Вейля — обобщение той, что использовал Эйнштейн.
Тогда исчезает точная симметрия между положительными и отрицательными электри-
электрическими зарядами, а также между прошлым и будущим.
Стандартные физические представления о пространстве и времени
базируются на эйнштейновой теории относительности. Согласно специ-
специальной теории относительности, мы должны рассматривать пространство
и время как четырехмерный континуум, геометрия которого отличается от
геометрии Евклида и называется геометрией Минковского. Общая теория
относительности Эйнштейна требует, чтобы физическое пространство бы-
было искривленным, как те кривые пространства, которые в прошлом веке
изучал Риман. Такое пространство можно изобразить как четырехмерную
искривленную поверхность в плоском пространстве большего числа из-
измерений. Кривизна позволяет дать очень хорошее объяснение феномену
гравитационного поля.
В течение нескольких десятилетий физики принимали этот взгляд
на пространство и использовали его в качестве фундамента для интер-
интерпретации всех физических явлений. Однако теперь появились основания
подозревать, что этот взгляд может измениться.
Из мировых констант можно построить ряд безразмерных чисел. Важ-
Важными являются комбинация /гс/е2, примерно равная 137, и отношение
массы протона к массе электрона М/га, равное примерно 1840. Не суще-
существует объяснения этим числам, но физики уверены, что рано или поздно
с ростом наших знаний такое объяснение будет найдено.
Другая безразмерная величина возникает из отношения электрической
и гравитационной сил, действующих между электроном и протоном, рав-
равного е2/(GMm). Численно оно равно 2 • 1039, что весьма заметно отли-
отличается от предыдущих чисел. Интересно узнать, удастся ли когда-нибудь
объяснить эту разницу.
Разбегание спиральных туманностей определяет возраст Вселенной,
равный примерно 2 • 1010 лет. Если выразить его через какую-нибудь атом-
атомную единицу, например, е2/(гас3), то получится число порядка 7 • 1039, что
сравнимо с предыдущим большим числом. Трудно поверить, что это про-
простое совпадение. Можно думать, что между этими двумя числами имеется
New Ideas of Space and Time // Naturwiss. Stuttg. 60. Jahrgang. 1973. Heft 12. S. 529-531.
31. НОВЫЕ ИДЕИ О ПРОСТРАНСТВЕ И ВРЕМЕНИ 491
какая-то связь, которую удастся объяснить, когда мы будем больше знать
о космологии и атомной теории.
Можно высказать общую гипотезу, которую мы назовем «Гипотезой
Больших Чисел»: все обнаруживающиеся в природе безразмерные числа
такого порядка связаны между собой. Одним из таких больших чисел
оказывается возраст Вселенной ?, т.е. промежуток времени от момента
рождения Вселенной, принятого за нуль, и это число с течением времени
растет. Согласно Гипотезе Больших Чисел, требуется, чтобы все такие
числа тоже возрастали пропорционально возрасту Вселенной, с тем, чтобы
сохранить соотношение между ними. Отсюда можно вывести, что гравита-
гравитационная постоянная G, измеренная в атомных единицах, должна убывать
пропорционально t~~*~.
Теория тяготения Эйнштейна требует, чтобы G было постоянной вели-
величиной; на самом деле, с помощью подходящего выбора единиц ее можно
сделать равной 1. Таким образом, теория тяготения Эйнштейна несовме-
несовместима с Гипотезой Больших Чисел.
Конечно, Гипотеза Больших Чисел не является установленным фак-
фактом. Она станет таковым только после прямого наблюдения изменения G
со временем. Эффект не так мал, чтобы быть за пределами возможно-
возможностей современной техники эксперимента. Проведенные Шапиро A968 г.)
с помощью радара измерения расстояний до планет являются необычайно
точными, так что если бы G действительно изменялась по указанному
закону, это бы выявилось в его наблюдениях через несколько лет.
Будем считать, что Гипотеза Больших Чисел верна, и зададимся во-
вопросом, как следует модифицировать теорию Эйнштейна, чтобы она со-
согласовывалась с этой гипотезой.
Простой путь к достижению согласия заключается в том, чтобы пред-
предположить, что в уравнения Эйнштейна входит интервал ds#, связываю-
связывающий две близкие точки, который не совпадает с интервалом (Isa, измерен-
измеренным атомным прибором. Принимая, что отношение dsE к dsA изменяется
с возрастом Вселенной, получим, что G также меняется с возрастом
Вселенной. Отношение достаточно близко к постоянной для того, чтобы
изменения в теории Эйнштейна были очень малы.
Обычно измерения, проводимые физиками в лабораториях, использу-
используют приборы, определяющиеся атомными свойствами вещества, так что
эти измерения имеют дело с метрикой dsA- Метрику dsE невозможно
измерить непосредственно, но она проявляется через влияние на уравнения
движения. Эта метрика образует фундамент всей динамической теории,
будь то точная теория Эйнштейна, или ньютоново приближение. Приме-
Примером связи двух метрик является наблюдение планет с помощью радаров.
В них то расстояние, которое определяется уравнениями движения, изме-
измеряется атомным прибором.
Рассмотрим связь между двумя метриками. Мы должны вновь со-
сослаться на Гипотезу Больших Чисел. Введем другое большое безразмерное
число — полное число нуклонов во Вселенной. Если Вселенная бесконеч-
бесконечна, заменим это число полным числом нуклонов в той части Вселенной,
которая разлетается от нас со скоростью меньше с/2.
492 IV. РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА
Это число довольно неопределенно, поскольку мы не знаем общего
количества невидимой материи. Предположительно количество невидимой
материи ненамного больше количества видимой материи. Тогда получает-
получается число порядка 1078. По Гипотезе Больших Чисел эта величина должна
изменяться как t2. Отсюда следует, что должны непрерывно рождаться
новые протоны и нейтроны.
Возникает вопрос: «Где они рождаются?» Можно сделать различные
пре дположения.
A. Материя однородно рождается во всем пространстве, следовательно,
в основном в пространстве между галактиками.
Б. Материя рождается там, где она уже существует, пропорционально
количеству имеющейся в данном месте материи.
B. Материя рождается в особых местах, например, в центрах галактик.
Я не знаю, какое предположение предпочесть. В любом случае, рож-
рождение материи является новым физическим процессом, не сводящимся ни
к каким другим известным физическим процессам. Сам эффект слишком
мал для того, чтобы его можно было легко обнаружить, за исключением,
возможно, случая Б. Из этого предположения следует, что происходит
непрерывный прирост количества вещества, включая вещество Земли. Мо-
Может возникнуть определенная трудность в понимании того, каким образом
может происходить прирост вещества в старых породах без разрушения
их кристаллической структуры.
Вернемся к связи между dsE и dsA. Возьмем в качестве примера
движение Земли вокруг Солнца. Согласно Ньютону, основная формула
имеет вид о
GM = v2r,
где М — масса Солнца, г — радиус земной орбиты, a v — скорость Земли.
Эта формула должна выполняться как в эйнштейновых, так и в атомных
единицах. В эйнштейновых единицах все величины постоянны. В атомных
единицах они могут изменяться со временем t. Запишем тогда формулу
в виде 9
GAMA = vzArA.
Скорость vA является определенной, такой же, как и в эйнштейновых
единицах, долей скорости света, и поэтому постоянна. Как мы уже видели,
константа GА пропорциональна t. Если верны предположения А или Д
то масса МА постоянна и поэтому радиус гА пропорционален t~~*~. Если
принять предположение Д то масса МА пропорциональна ?2, а радиус гА
пропорционален t.
Таким образом, если принять предположения А или Д то Земля при-
приближается к Солнцу и вся Солнечная система сжимается. Если верно Д
то Земля удаляется от Солнца, а Солнечная система расширяется. Эти
эффекты космологические и перекрываются другими эффектами, про-
происходящими по известным физическим причинам. Наблюдения Шапиро
могут их выявить.
Теперь связь между dsE и dsA имеет вид:
dsE •• tdsA (если принять А или В), dsE •• t~ dsA (если принять Б).
31. НОВЫЕ ИДЕИ О ПРОСТРАНСТВЕ И ВРЕМЕНИ 493
Если принять, что эйнштейнов интервал dsE — не то же самое, что
атомный интервал (Isa, to разумно продолжить развитие наших идей
о пространстве.
Электромагнитное поле очень похоже на гравитационное. Оба поля
приводят к силам, обратно пропорциональным квадрату расстояния. Это
привело ряд ученых к убеждению, что электромагнитное поле должно
также объясняться как свойство пространства, а не как нечто, погружен-
погруженное в пространство. Тогда можно ожидать, что физическое пространство
обладает более общей геометрией, чем риманова геометрия в теории Эйн-
Эйнштейна. Тогда из нее единым образом будут следовать как гравитационное,
так и электромагнитное поле.
Подобная геометрия была предложена Вейлем вскоре после появления
теории Эйнштейна. Основное предположение Вейля можно легко объяс-
объяснить, воспользовавшись идеей о параллельном переносе.
Если в какой-то точке пространства задан вектор, то можно предпо-
предположить, что он сдвигается в соседнюю точку, оставаясь параллельным
самому себе. Можно продолжить такой сдвиг, двигаясь по некоторому
пути. Этот путь можно считать замкнутой петлей, так что вектор возвра-
возвращается в результате переноса в ту же точку, откуда он начал двигаться.
Если пространство искривлено, конечное направление вектора не будет
совпадать с начальным.
Для риманового пространства, которое можно представлять себе как
кривое пространство, погруженное в плоское пространство более высокой
размерности, длина вектора при переносе по замкнутой петле не меняется.
Вейль вообразил более общее пространство, в котором при параллель-
параллельном переносе изменяется не только направление вектора, но и его длина.
С точки зрения математика такое обобщение весьма естественно. Однако
оно неприемлемо для физического пространства, если длины векторов
соответствуют атомным стандартам. В этом случае при переносе вектора
его длина не может изменяться. По этой причине геометрия Вейля была
отвергнута физиками, и сам Вейль через несколько лет отказался от нее.
Ситуация меняется, если разрешить существование двух стандартов
измерения длины dsA и dsE- При параллельном переносе длина вектора
по отношению к ds& не должна изменяться, но может оказаться так, что
связь между dsE и dsA не настолько точна, как это было в предыдущих
формулах, и поэтому длина по отношению к dsE изменяется. В таком
случае к dsE можно применять геометрию Вейля.
Если рассматривается геометрия Вейля, то уже нельзя говорить
о длине вектора, не введя при этом в каждой точке искусственный
стандарт длины и не сопоставляя длину вектора в той точке, где он
находится, с этим искусственным стандартом. Когда осуществляется
параллельный перенос вектора на величину dx^, его длина изменяется на
величину
dl = I
где хм — некоторые коэффициенты. Если искусственный стандарт длины
изменяется на множитель Л, то нетрудно проверить, что хм изменяется
494 IV. РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА
согласно формуле
Такое преобразование к^ не должно иметь физического смысла.
У нас есть все, что требуется для того, чтобы отождествить к^ с элек-
электромагнитными потенциалами.Теперь геометрия описывается величинами
gjjlv теории Эйнштейна совместно с величинами х^, определяющими гра-
гравитационное и электромагнитное поля в объединенной схеме.
Вейлева интерпретация электромагнитного поля как оказывающего
влияние на геометрию пространства, а не просто погруженного в риманово
пространство, имеет поразительное следствие — нарушение симметрии.
Рассмотрим заряженную частицу и выберем точку Р, в которой задано
поле, вблизи мировой линии частицы. Для простоты, предположим, что
система координат выбрана так, что частица в данное мгновение покоится.
Возьмем элемент длины / в точке Р и предположим, что он сдвигается
путем параллельного переноса в будущее на величину 5ж°. Из основной
формулы следует, что элемент длины изменится на величину
81 = IkqSx0 .
Здесь xq будет в основном включать кулонов потенциал, возникающий
от заряженной частицы. Пусть знак заряда таков, что / возрастает при
переносе в будущее. При противоположном знаке заряда / будет убывать.
Но нет никакой симметрии между возрастающей величиной и той же самой
убывающей величиной. Следовательно симметрия между положительным
и отрицательным электрическими зарядами отсутствует.
Если длина / увеличивается при переносе в будущее, то она уменьша-
уменьшается при переносе в прошлое. Поэтому также нет симметрии между про-
прошлым и будущим. Однако если изменить знак заряда и поменять местами
прошлое и будущее, мы возвращаемся к исходной ситуации.
Физики, занимающиеся микромиром, ввели для изменения четности
оператор Р, для зарядового сопряжения — оператор С, и для обращения
времени — оператор Т. В теории элементарных частиц все эти симметрии
сохраняются. Предлагаемая теория не содержит какого-либо нарушения
симметрии Р. Однако в ней нарушаются С и Т симметрии, хотя сохраня-
сохраняется их произведение СТ.
Экспериментально наблюдаются нарушения всех трех симметрии, но,
насколько известно, их произведение РСТ сохраняется. Может показать-
показаться, что нарушение Р-симметрии должно быть приписано короткодейству-
короткодействующим атомным силам. Однако нарушение С и Т при сохранении СТ
вызвано дальнодействующими силами, если их происхождение связано
с геометрией Вейля. Похоже, что такое нарушение симметрии возника-
возникает за счет взаимодействия гравитационного и электромагнитного полей.
Эффект должен быть мал, поскольку в атомной области гравитационные
эффекты всегда малы.
32
ДАЛЬНОДЕЙСТВУЮЩИЕ СИЛЫ И
НАРУШЕННЫЕ СИММЕТРИИ. II *)
Дальнодействующими силами в физике являются те, которые убывают
в соответствии с законом обратных квадратов. С другой стороны, близко-
близкодействующие силы убывают экспоненциально, так что уже на очень малых
расстояниях эффективно становятся равными нулю. Близкодействующие
силы играют важную роль в физике ядра и элементарных частиц. Извест-
Известны лишь две дальнодействующие силы: гравитационная сила и электро-
электромагнитная сила. Именно о них я буду говорить сегодня.
Мы имеем очень хорошую теорию гравитационных сил, которая была
дана нам Эйнштейном. Она объясняет гравитацию посредством кривизны
пространства. С тех пор как Эйнштейн предложил данную теорию, возник
интерес, нельзя ли объяснить и другую дальнодействующую силу как
некоторое свойство пространства, чтобы две эти силы могли быть объеди-
объединены. Именно так была поставлена задача. Решение достаточно быстро
было предложено Вейлем. Мне хотелось бы объяснить вам теорию Вейля,
поскольку она составляет основу того, о чем я буду говорить сегодня.
Прежде всего, как нам следует понимать кривизну пространства, как
этого требует теория Эйнштейна? Например, если имеется двумерное ис-
искривленное пространство, вложенное в пространство трех измерений, то
это достаточно легко себе представить. Эту идею можно развить, рассмат-
рассматривая искривленное пространство любого числа измерений вложенным
в пространство большего числа измерений. Поскольку, однако, нежела-
нежелательно вводить большее число измерений, посмотрим, как можно обсуж-
обсуждать кривизну пространства без увеличения числа измерений.
Один из способов проделать это дает понятие параллельного переноса
вектора. Предположим, что мы имеем вектор, находящийся в некоторой
точке пространства, и мы слегка сдвигаем его, удерживая вектор парал-
параллельным самому себе настолько, насколько это возможно. Допустим, что
мы, продолжая сдвигать его, обходим вокруг петлю и возвращаемся в ис-
исходную точку. Тогда, если пространство искривлено, мы обнаруживаем,
что наш вектор более не ориентирован в своем первоначальном направ-
направлении. Это сразу видно, если речь идет о векторах на двумерной искрив-
искривленной поверхности, лежащей в трехмерном пространстве, например, на
двумерной поверхности сферы. В таком случае известно, что если обнести
вектор вокруг поверхности сферы, перемещая его параллельно самому
себе, то вы не можете завершить движение с тем же направлением вектора,
*) Long Range Forces and Broken Symmetries // Fundamental Interactions in Physics /
Ed. B. Kursunoglu, A. Perlmutter. — N.Y.: Plenum Pres, 1973. P. 1-17.
496 IV. РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА
с которого вы начали. Если вы будете обходить вокруг треугольника,
то получите вектор, повернутый на угол, который в точности совпадает
с углом, на который сумма углов треугольника превышает сумму двух
прямых углов. Вот таким образом можно понять кривизну пространства.
Вейль обобщил эту идею. Он сказал: давайте рассмотрим таким же
образом и длину вектора и представим, что когда мы обносим вектор
вокруг замкнутой петли, то и его длина на конечном этапе отличается от
первоначальной длины. Конечно, если речь идет просто об искривленном
пространстве, вложенном в пространство большего числа измерений, то
параллельный перенос не приведет к изменению длины вектора. Однако
Вейль сказал: давайте перейдем к геометрии более общего типа, в которой
длина вектора изменяется наряду с его направлением.
Как же нам следует строить математическую теорию, в которой бы
имели место такие неинтегрируемые длины? Не существует абсолютного
стандарта для сравнения длин в двух разных точках. Можно взять путь,
соединяющий одну точку с другой, и мы можем переместить вектор вдоль
этого пути в другое положение, а затем сравнить длину векторов. Однако,
если вы перемещаете вектор вдоль разных путей, то при таком методе
сравнения получите разные результаты. Единственная возможность, при
которой можно говорить о длине векторов, состоит в том, чтобы задать
искусственным образом стандарт длины в каждой точке пространства и
тогда соотносить длину с этим искусственным стандартом. В таком случае
можно обсуждать изменение длины относительно такого искусственного
стандарта.
Исходно возьмем вектор, который первоначально имеет длину / и нахо-
находится в точке с координатами жм. Здесь речь идет о четырех координатах:
/i = 0,1, 2, 3. Затем мы сдвигаем этот вектор и его длина изменяется. Она
изменяется на величину, которая пропорциональна /, а также пропорцио-
пропорциональна величине сдвига — dx^. Тогда
5l = lK^dx^, A)
где dx^ — произведенный нами сдвиг, а хм — возникающие при этом коэф-
коэффициенты. В результате в нашей теории возникли новые коэффициенты
х^, которые мы должны рассматривать наравне с эйнштейновыми пере-
переменными g^, задающими метрику.
Более того, эти коэффициенты хм не являются, конечно, абсолютно
определенными величинами, поскольку они зависят от нашего искусствен-
искусственного выбора метрики. Мы можем изменить метрический масштаб, допу-
допустим, с помощью множителя Л (где Л —функция координат х). Затем
можем вычислить, как при этом изменяются коэффициенты к^. Находим,
что они будут изменяться в соответствии с законом
. 1 d\ , d(b /o\
х>х + ж + ^ B)
32. ДАЛЬНОДЕЙСТВУЮЩИЕ СИЛЫ И НАРУШЕННЫЕ СИММЕТРИИ. II 497
где ф = In А. Таким образом к^ не являются величинами, имеющими неко-
некоторое абсолютное значение в нашей теории. Они подвержены указанным
преобразованиям.
Если мы обходим по замкнутой петле и сравниваем длину / вектора
после обхода петли с ее первоначальным значением, то изменение будет
равно IFpv dS^v', где F^v — (дф^/дх„ — дф^/дх^), a dS^v является эле-
элементом площади петли. В результате отношение 81/1 имеет абсолютное
значение, которое не зависит от нашего искусственного выбора метриче-
метрического масштаба.
Заметим, что эта ситуация является именно той, какую бы мы хотели
иметь при описании электромагнитного поля. Мы можем сказать, что
указанные коэффициенты к являются электромагнитными потенциалами.
Они являются величинами, не имеющими абсолютного значения. Они под-
подвергаются преобразования B). С другой стороны, величина F^v является
чем-то таким, что имеет абсолютный смысл. Идея перехода к неинтегри-
руемым длинам векторов дает нам именно то, что мы хотели бы иметь
для описания электромагнитного поля. Теперь мы обладаем более общей
геометрией чем та, которая исходно использовалась Эйнштейном. В ней
гравитационное поле и электромагнитное поле оба возникают вместе и
в объединенном виде.
Это была очень красивая теория. Однако она была неприемлема для
физиков, поскольку не согласовывалась с квантовой теорией. До настоя-
настоящего момента я совсем ничего не сказал о квантовых эффектах, но если
вы примете их во внимание, то осознаете, что здесь мы имеем абсолютный
стандарт длины в каждой точке, поставляемый атомными часами. Посред-
Посредством атомных часов мы имеем, прежде всего, стандарт для измерения
времени и если принять скорость света равной единице, то мы также
получаем абсолютный стандарт для измерения расстояний. Теперь мы
можем соотносить длины всех наших векторов с этими стандартами, и
в таком случае, конечно, отсутствует неопределенность длины вектора при
его смещении. Величина 81 в формуле A) равна нулю, когда / в каждой
точке пространства соотнесена с показаниями атомных часов. Поэтому,
если принять во внимание квантовые эффекты, то для идеи Вей ля в дей-
действительности не остается места. В результате физики вынуждены были
отказаться от теории Вей ля, несмотря на ее великую красоту, и даже сам
Вей ль от нее отказался. В лучшем случае можно было рассматривать изме-
изменения длины как некоторые математические следствия, которые, однако,
не соответствуют реальности.
Несмотря на то, что от геометрии Вейля пришлось отказаться, некото-
некоторая терминология, введенная данной геометрией, сохранилась. Когда из-
изменяется метрический масштаб с помощью сомножителя Л, то это обычно
называют калибровочным преобразованием. Согласно Вейлю, калибровоч-
калибровочные преобразования связаны с преобразованиями вида B) для потенциа-
потенциалов. Когда отказались от теории Вейля, ее терминологию, тем не менее,
сохранили, называя преобразования вида B) калибровочными преобразо-
498 IV. РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА
ваниями. Однако под калибровкой теперь понимают нечто относящееся
только к электромагнитным потенциалам и не имеющее никакого отноше-
отношения к метрике пространства и к измерению длин векторов.
В результате отказа от теории Вейля не осталось никаких реальных
схем объединения гравитации и электромагнитного поля. Приходится про-
просто принимать, что электромагнитное поле есть нечто вложенное в ри-
маново пространство теории Эйнштейна и на этой основе выстраивать
физические идеи. При этом многие физики остаются очарованными идеей
объединения гравитации и электромагнитного поля. Это составляет одну
из важнейших проблем физики, которую пытаются разгадать в течение
десятилетий. Были предложены различные решения, однако все они до-
достаточно искусственные и сложные. Ни одно из них не обладает элегант-
элегантностью и красотой оригинальной теории Вейля.
Самое существенное состоит в том, что проблемы описания дально-
действующих сил в настоящий момент времени претерпевают дальнейшее
развитие. Это дальнейшее развитие основано на ряде совершенно других
аргументов. Оно приводит к идее о том, что гравитационная постоянная,
измеренная в атомных единицах, не является вовсе постоянной, а изменя-
изменяется с увеличением возраста Вселенной.
Гипотеза Больших Чисел
Я просто обозначу основные аргументы. Если рассмотреть электриче-
электрическую силу между протоном и электроном в атоме водорода, то она равна
просто е2/г2. Если рассмотреть гравитационную силу между протоном
и электроном, то она будет равна Gmemp/r2, где те — масса электрона,
тр — масса протона, a G — гравитационная постоянная. Если взять отно-
отношение этих сил, то оно не зависит от расстояния и равно е2/(Gmemp).
Это безразмерное число. Если вычислить его значение, то мы найдем, что
оно равно где-то около 1039, т.е. это — огромнейшее число. Сейчас физики
склонны верить, что должны существовать объяснения для все возника-
возникающих безразмерных чисел и по этой причине должны быть и некоторые
обоснования для существования числа 1039. Можно ли даже надеяться на
то, чтобы когда-либо объяснить такое слишком большое число?
Имеется и другой способ получения очень большого числа и для этого
следует рассмотреть возраст Вселенной. В соответствии с идеей расширя-
расширяющейся Вселенной, Вселенная поначалу была очень маленькой или точеч-
точечной, когда произошел некоторый Большой Взрыв, и ее части продолжают
удаляться друг от друга. Данное удаление является наблюдаемым и по
скорости частей можно рассчитать, как давно случился Большой Взрыв.
Согласно недавним оценкам это составляет около 2 • 1010 лет. Если вы-
выразить это число через некоторую атомную единицу измерения, в основе
которой лежат заряд и масса электрона и т. д., то мы получим число около
1039. Это опять экстремально большое число и примерно такое же как и
предыдущее.
32. ДАЛЬНОДЕЙСТВУЮЩИЕ СИЛЫ И НАРУШЕННЫЕ СИММЕТРИИ. II 499
Когда обнаруживается такая связь, возникает ощущение, что это не
просто совпадение, но для этого должна быть какая-то причина. Некото-
Некоторая причина, о которой мы узнаем, когда будем иметь лучшее понимание
космологии, а также атомной теории. Из ощущения того, что эти два
числа взаимосвязаны, возникает подозрение о том, что когда с течением
времени второе число увеличивается, то будет возрастать в таком же
отношении и первое число. Это означает, что гравитационная постоянная
G, выраженная в атомных единицах, изменяется со временем. Гравитация
с течением времени становится слабее.
Далее, если вы внесете данный фактор в теорию гравитации, то обна-
обнаружите, что первоначальная теория Эйнштейна не может быть сохранена.
Теория Эйнштейна требует, чтобы гравитационная константа оставалась
постоянной. Действительно, если вы используете естественную систему
единиц, то она равна единице. Естественно, что она не может испытывать
тех изменений, что следуют из приведенных выше аргументов.
Мы должны модифицировать некоторым образом теорию Эйнштейна и
естественным шагом к модификации является предположение о том, что эле-
элемент длины ds в теории Эйнштейна, заданный в виде ds2 = g^v dx^ dxv',
не является таким же как элемент длины, измеренный по атомным часам.
Обозначим элемент длины в теории Эйнштейна через dsE и, предположив,
что элемент длины, измеренный по атомным часам, является в чем-то
отличным, обозначим его dsA- Отношение этих двух элементов является
чем-то зависящим от времени эпохи, измеренном от начала мироздания.
При наличии таких двух элементов ds мы можем допустить, что грави-
гравитационная постоянная изменяется со временем. Я уверен, что нам следует
провести некоторую модификацию теории Эйнштейна в этом направлении.
Теперь, если мы оглянемся на теорию Вейля, то заметим, что возра-
возражения против нее исчезают. Идеи Вейля следует применить к элементу
dsE- Атомные же часы измеряют элемент dsA, который в чем-то является
другим. Тогда элемент dsA остается инвариантным, когда мы обходим
вокруг замкнутой петли. Однако вполне возможно, что элемент dsE будет
изменяться, когда мы обходим вокруг замкнутой петли, и что он меняется
в соответствии с геометрией Вейля.
Итак, это и будет теория, которую я хотел бы предложить вам се-
сегодня. Мы должны еще раз представить теорию Вейля. Она является
такой красивой теорией и обеспечивает такой краткий путь объединения
дальнодействующих сил. И в действительности здесь нет противоречий
с атомными идеями, когда мы имеем два элемента ds. Это заставляет
пересмотреть старую статью по теории Вейля, которой уже более 50 лет.
Развитие теории Вейля
Нам нужно ввести в теорию Эйнштейна указанные преобразования
метрического масштаба и посмотреть, как изменяются различные вели-
величины под действием этих калибровочных преобразований. Возьмем для
500 IV. РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА
начала метрику g^, которая входит в определение расстояний. Допустим,
что мы проделаем преобразования масштаба, при которых наша длина
умножается на Л. Тогда метрика g^y окажется умноженной на Л2, по-
поскольку dx не изменяются при изменении метрического масштаба и ds
должен умножаться на Л. В итоге у нас здесь имеется величина, которая
умножается на Л2, когда производится данное преобразование масштаба.
Мы постоянно будем иметь дело с величинами, домножающимися на Л
в некоторой степени при изменении масштаба. Если взять величину X
в общем случае, которая допустим переходит в XХп при изменении мас-
масштаба, то будем говорить, что величина X имеет степень п. Это является
определением степени любой величины. Если мы имеем скалярную или
тензорную величину, то она может меняться в соответствии с этим за-
законом. В таком случае мы будем говорить, что это есть ко-скаляр или
ко-тензор степени п. Если п равно нулю, то будем называть такую вели-
величину ин-скаляр или ин-тензор. Ин-скаляр представляет собой некоторую
величину, которая неизменна при преобразованиях координат, а также
при преобразовании масштабов. Ин-скаляры обладают полной инвариант-
инвариантностью.
В теории Эйнштейна, если мы возьмем тензор Т и продифференцируем
его по ж^, то результат не будет тензором. Однако мы можем модифициро-
модифицировать производную и получить то, что называется ковариантной производ-
производной, которая является тензором. Данная модифицированная производная
будет обозначаться как T]jJL.
Теперь, если первоначальный тензор был ко-тензором и мы образуем
его ковариантную производную, то результат в общем случае не является
вновь ко-тензором. Однако мы можем сделать дальнейшую модификацию
производной, вводя туда потенциалы, и получить нечто, что уже явля-
является ко-тензором, который мы называем ко-ковариантной производной и
обозначаем Т*^. Таким образом мы получаем способ дифференцирования,
который применим в геометрии Вейля, и который, будучи применен к лю-
любому ко-тензору, дает другой ко-тензор.
Далее мы можем продолжить развитие теории по аналогии с развитием
теории Эйнштейна. Я не стану вдаваться в детали, а просто скажу, что
в теории Эйнштейна мы имеем тензор кривизны с четырьмя индексами
Bfjtvpa, который говорит нам о том, как изменяются векторы при обходе
по замкнутой петле. Соответствующая величина имеется и в геометрии
Вейля, так что мы можем обозначить ее как *BixVp(J. Закон гравитации
Эйнштейна получается отсюда путем свертывания по двум из индексов
в тензоре В и приравнивания полученного результата нулю. Свертывание
дает нам скажем В^р = R^v^ что для получения эйнштейнова закона
гравитации в пустом пространстве полагается равным нулю.
Мы можем проделать соответствующую процедуру с геометрией Вей-
Вейля, полагая *В^„р = */?MZ/. Тогда можно думать, что законом для пустого
пространства в геометрии Вейля является просто */?^ = 0, и в новой
геометрии все будет строиться по аналогии. Однако в качестве закона гра-
32. ДАЛЬНОДЕЙСТВУЮЩИЕ СИЛЫ И НАРУШЕННЫЕ СИММЕТРИИ. II 501
витации не будет достаточным просто взять равенство * R^v = 0, поскольку
мы хотели бы, чтобы наши полевые уравнения выводились из принципа
действия. Если мы сможем задать принцип действия, то мы можем при
этом учесть взаимодействие с другими объектами.
Принцип действия
Откуда мы получаем принцип действия? Обычно действие / выбирает-
выбирается равным интегралу от некоторой скалярной величины, обозначим ее О:
i =Ы
где g — детерминант всех элементов метрики g^v. Тогда такая величина /
является инвариантом в теории Эйнштейна и если мы подберем подходя-
подходящую О, то мы получим закон гравитации Эйнштейна. Действительно, нам
следует просто взять О равной, скажем, полной кривизне R^ = R.
Каким в таком случае будет соответствующий процесс в геометрии
Вейля? В геометрии Вейля нам требуется, чтобы действие было ин-инва-
риантом. Оно должно быть инвариантным не только в отношении замен
координат, но также и относительно изменений масштаба. Выражение
д/(—g) имеет степень 4, поскольку степень каждого элемента метрики
ё 1ли равна 2. Если вы перемножите четыре таких элемента для получения
детерминанта и затем извлечете квадратный корень, то результат будет
иметь степень 2. Нам требуется О степени —4 для того, чтобы действие /
было ин-инвариантным. Поэтому для получения подходящей схемы выво-
вывода уравнений в геометрии Вейля мы должны найти ко-скаляр степени —4
и использовать его для обеспечения теории интегралом действия.
Посмотрим с этой целью на электромагнитное поле. Обычным вы-
выражением для действия электромагнитного поля является (I/4)F^F^,
где F^v совпадает с F^, которое рассматривалось выше и представляет
собой ко-тензор. Оказывается, что данное выражение имеет в точности
степень —4. Степень F^v равна нулю. Затем нам требуется поднять два
индекса для получения F^v. Поднятие каждого индекса изменяет степень
выражения на —2, поскольку g с двумя верхними индексами имеет степень
—2, а соответственно g с двумя нижними индексами имеет степень +2. Так
что указанное электромагнитное действие обладает в точности правильной
степенью для включения в наш интеграл действия.
А как обстоят дела с гравитационной частью действия? Степень * R^v
равна нулю, а степень */? = *7?^ равна следовательно —2. Если мы просто
подставим в О член */?, соответствующий члену R в действии эйнштей-
эйнштейновой теории, то это не сработает. Это не даст нам ин-инвариантного
действия. Поэтому требуются некоторые дальнейшие усложнения. Вей ль
видел эту трудность и предложил, что в действие следует подставить
величину */? в квадрате, так чтобы иметь выражение вида
\ k(*RJ,
502 IV. РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА
где к — некоторый числовой коэффициент. Так выглядит плотность дей-
действия, предложенная Вейлем. Однако она является чрезмерно сложной.
Даже само по себе выражение для кривизны *R является достаточно
сложным, а когда вы его возводите в квадрат, то оно становится чрезмерно
сложным. Это послужило дополнительной причиной, приведшей к отказу
от теории Вейля.
Если вы хотите получить разумную теорию, то нужно придумать
что-то еще. Из того, что можно сделать, так это принять выражение * R = 0
за некоторую связь в теории и вводить гравитацию с помощью данной
связи. Если проделать это, то в таком случае будет неважно, какая степень
у величины */?. Для введения подобного уравнения связи мы должны
добавить к О член вида ^y(*R). Тогда
где 7 является множителем Лагранжа. В резульате в теории появляется
множитель Лагранжа в качестве другой скалярной полевой величины. Он
должен иметь степень —2 с тем, чтобы член j(*R) мог бы быть степени
—4 и задавать нам ин-инвариантный интеграл действия.
Теперь нам лучше перейти к скалярно-тензорной теории гравитации,
предложенной Брансом и Дикке A961). Мы видим, что потребность во
введении скалярной величины j для описания гравитационного поля на-
наряду с обычной тензорной величиной g^v, обусловлена просто тем, чтобы
действие не оказалось чрезмерно сложным для использования в геометрии
Вейля.
Итак я предлагаю перейти к скалярно-тензорной теории Бранса и
Дикке, однако я хочу развить ее в виде, несколько отличном от того, что
сделали сами Бранс и Дикке. Первым делом удобно заменить 7 на fl2-
Величина /3 в таком случае является ко-скаляром степени —1. Теперь,
когда у вас есть скалярная полевая величина, входящая в выражение
действия, вы можете очень просто вводить следующие величины, включая
и их производные. Следующими величинами должны быть ко-скаляры
степени —4 и имеется очевидный кандидат вида /3*м/3*м, где */i означает
ко-ковариантную производную в том смысле, о котором я уже упоминал.
Данная величина является ко-скаляром и, оказывается, имеет степень —4,
так что мы можем добавить ее в действие с некоторым произвольным чис-
числовым коэффициентом к. Таким образом мы получаем плотность действия
в виде
П = \ F^F^ + p2*R + &/r"/V C)
Если проанализировать выражение C), то можно обнаружить, что
имеется возможность выбрать коэффициент к так, что выражение C)
стало бы особенно простым, а именно к = 6. При данном значении к ока-
оказывается, что потенциалы хм исчезают из выражения C). Потенциалы хм
появляются в выражениях для ковариантных производных и получается
так, что при к = 6 они сокращаются с потенциалами, что присутствуют
32. ДАЛЬНОДЕЙСТВУЮЩИЕ СИЛЫ И НАРУШЕННЫЕ СИММЕТРИИ. II 503
в выражении /З2*/?. Это означает существенное упрощение теории для
данного значения к.
Именно в этом месте я отступаю от теории Бранса и Дикке. Бранс
и Дикке работают с к общего вида. Я принимаю данное значение для
к, приводящее к особенно простому действию, которое, как я надеюсь,
описывает то, что мы понимаем под вакуумом, когда нет никакой материи.
Если же материя присутствует, то мы просто должны добавить подхо-
подходящие следующие члены в действие и вывести возникающие уравнения
движения.
Теперь когда из нашего действия потенциалы исчезают и в нем оста-
остаются только F^ts, мы можем сделать преобразования B) в отношении
потенциалов, не оказывающие какого-либо влияния на действие. В таком
случае мы обладаем теорией, в которой у нас есть три возможных типа
преобразований:
(i) Мы можем делать любые преобразования координат.
(п) Мы можем делать любые преобразования метрического масштаба
в комбинации с преобразованиями B) для потенциалов.
(ш) Для вакуума мы можем делать по отдельности преобразования
метрического масштаба или преобразованиями B) для потенциалов.
Важным обстоятельством здесь является то, что преобразования тре-
третьего типа не являются достаточно общими. Первые два типа преобразо-
преобразований могут быть сделаны для любого вида материи, взаимодействующей
с гравитационным и электромагнитным полями. Преобразования третьего
типа могут быть выполнены тогда, когда какая-либо материя не присут-
присутствует вовсе, однако они не могут быть сделаны в общем случае. В общем
случае имеются потенциалы, сохранившиеся в выражении для действия,
которые препятствуют проведению по отдельности преобразований только
метрического масштаба или только потенциалов. Преобразования типа
(iii), которые могут быть проведены для вакуума или в присутствии осо-
особенно простых видов материи, взаимодействующих в вакууме, не могут
быть проделаны в общем случае. Таковы существенные свойства данной
теории.
Нарушение симметрии
Я хотел бы немного сказать об эффекте нарушения симметрии в данной
теории. Лучше всего обсудить это на простом примере. Предположим,
что у нас имеется частица, движущаяся вдоль определенной мировой
линии. Возьмем точку поля вблизи этой мировой линии. Пусть имеется
вектор длины /, заданный в этой полевой точке. Сдвинем его в направ-
направлении примерно параллельном мировой линии. Это означает, скажем, что
мы сдвигаем его на величину dx® — приращения временной координаты,
в предположении, что частица приближенно покоится. Тогда наша длина
изменится на величину
51 = \xodx°. D)
504 IV. РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА
Теперь предположим, что частица заряжена. Тогда потенциал в по-
полевой точке будет состоять в основном из кулонова потенциала, возни-
возникающего от данного заряда, поскольку предполагается, что полевая точка
находится очень близко от частицы. Потенциал xq таким образом сводится
к кулонову потенциалу. Если вы посмотрите на формулу D), то увидите,
что если вы меняете знак заряда, то вы меняете при этом знак xq и по
этой причине меняете знак 51. Может так случиться, что мы начинаем
движение при таком знаке заряда, что / растет при нашем движении
в будущее. Если мы меняем знак заряда, то получаем, что / убывает
при нашем движении в будущее. В таком случае отсутствует симметрия
между величиной возрастающей и величиной убывающей. Если изменения
инфинитезимальны, то имеется математическая симметрия, но когда речь
идет о конечных изменениях — симметрия отсутствует.
Результат состоит в том, что мы обладаем теорией, в которой от-
отсутствует симметрия между положительным и отрицательным зарядами.
Это поразительное свойство геометрии Вей ля. Это существенный пункт,
в котором данная теория отличается от теории, где электромагнитное поле
предполагается в основном вложенным в геометрию, требуемую теорией
тяготения Эйнштейна.
Далее предположим, что мы меняем местами будущее и прошлое. Это
означает изменение знака приращения dx®. Это опять приводит к нару-
нарушению симметрии. Смещение 81 будет положительным в одном случае и
отрицательным в другом случае. Однако, если мы изменим знак заряда, а
также поменяем местами будущее и прошлое, то вновь вернемся к перво-
первоначальной ситуации.
В настоящее время исследователи, занимающиеся физикой высоких
энергий, ввели некоторые операции относящиеся к симметрии процессов,
которые существенны в этой области. Имеется операция четности Р, свя-
связанная с заменой левой системы координат на правую. Далее имеется
операция зарядового сопряжения С, которое изменяет знак заряда. И есть
операция Т, которая обращает время. Экспериментально обнаружено, что
все три симметрии являются нарушенными, однако произведение трех
симметрии представляется сохраняющимся: РСТ', насколько мне извест-
известно, сохраняется.
Геометрия Вей ля не дает никакого нарушения Р-симметрии. Наруше-
Нарушение Р-симметрии следует приписать короткодействующим силам. Я не
вижу никакого способа учета этого явления посредством дальнодействую-
щих сил. С другой стороны, описанные таким образом дальнодействующие
силы приводят к нарушению С- и Т- симметрии, при этом сохраняя
СТ-симметрию. В итоге мы имеем нечто вытекающее из теории, чего мы,
прежде всего, никак не ожидали, и что действительно представляет особый
интерес.
Указанное нарушение С- и Т-симметрий не возникает в том случае,
когда вы имеете дело с действием, к которому могут быть применены
преобразования типа (iii). В таком случае преобразования метрического
32. ДАЛЬНОДЕЙСТВУЮЩИЕ СИЛЫ И НАРУШЕННЫЕ СИММЕТРИИ. II 505
масштаба являются независимыми от преобразований потенциалов и при
таких условиях нарушение С-симметрии не проявляет себя. Нарушения
С-симметрии и Т-симметрии проявляются в уравнениях движения только
тогда, когда мы имеем достаточно сложный вид действия, для которого
преобразования типа (iii) не являются возможными. Оно необходимо толь-
только для частиц достаточно сложного вида. Простейшие виды частиц в этом
не нуждаются.
Пожалуй это — удовлетворительный результат, поскольку на экспери-
эксперименте нарушение С- и Т-симметрий является весьма редким явлением.
Оно проявляется только для одного конкретного вида частиц — /(^-мезонов.
Для всех других частиц С- и Т-симметрии похоже сохраняются. В соответ-
соответствии с нынешней теорией можно сказать, что для Х-мезонов требуется
действие более сложного вида, такое, что преобразования типа (iii) больше
не являются возможными. Таковы идеи, о которых я хотел вам рассказать.
Литература
1. Brans С, Dicke R.H. // Phys. Rev. 1961. V. 124. P. 925.
33
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРИРОДА
ПРОСТРАНСТВА И ВРЕМЕНИ *)
Всегда считалось очевидным, что пространство евклидово, а время —
независимая переменная. Эйнштейн изменил эти взгляды.
Сначала в специальной теории относительности он показал, что про-
пространство и время должны рассматриваться совместно как единое четы-
четырехмерное пространство. Оно обладает несколько отличной от евклидовой
геометрией Минковского, в которой в формуле для квадрата длины гипо-
гипотенузы прямоугольного треугольника стоит знак «минус».
В общей теории относительности Эйнштейн покусился на евклидов
характер даже трехмерного пространства. Он предположил, что простран-
пространство искривлено и приближенно евклидово в малых областях. Кривое про-
пространство принадлежит к тому типу пространств, которые могут быть по-
погружены в плоское пространство большего числа измерений. Такие кривые
пространства называется римановыми, и их свойства глубоко изучались
математиками прошлого столетия.
В полной теории Эйнштейна требуется, чтобы физическое простран-
пространство было четырехмерным римановым пространством, которое прибли-
приближенно, в малых областях, является пространством Минковского. Такая
теория привела к объяснению тяготения. Это обеспечило подтверждение
сделанных предположений.
Затем физики переформулировали все свои законы в таком римановом
пространстве. Это оказалось возможно и не слишком трудно (если не
считать квантовых законов, для которых возникли не разрешенные до сих
пор трудности).
Это привело к картине физического мира, в котором мы изучаем части-
частицы и поля, погруженные в риманово пространство. Такая картина суще-
существует уже более пятидесяти лет и дожила до наших дней. Против нее нет
никаких экспериментальных свидетельств. Однако физики-теоретики не
удовлетворены этой картиной и задаются вопросом, не может ли базовое
пространство быть более общим.
Переход от евклидового пространства к риманову был очень успеш-
успешным. Не стоит ли попробовать сделать еще один шаг в том же направле-
направлении?
Переход к риманову пространству дал возможность замечательным
образом описать гравитационное поле. Но существует другое, электро-
электромагнитное поле, очень похожее на гравитационное. Оба поля создают
*) The Geometrical Nature of Space and Time // Fundamental Interactions in Physics /
Ed. S. Mintz, L. Mittag, S.M. Widmayer. — N.Y.: Plenum Pres, 1974. P. 1-18.
33. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРИРОДА ПРОСТРАНСТВА И ВРЕМЕНИ 507
дальнодействующие силы, убывающие по закону г~2. Это выделяет их
среди других полей в физике, особенно важных в атомной физике, которая
включает короткодействующие силы, убывающие по закону е~г*а.
Нельзя ли рассмотреть электромагнитное поле наподобие гравитаци-
гравитационного и попробовать объяснить его в рамках более общей геометрии? Это
приводит к проблеме объединения гравитационного и электромагнитного
полей.
Было много попыток решить эту задачу. Первая, принадлежащая Вей-
лю, была сделана вскоре после появления эйнштейновой теории тяготения.
Я постараюсь объяснить основную идею геометрии Вейля.
Геометрия Вейля
Требуемую теорией Эйнштейна кривизну пространства можно обсуж-
обсуждать с помощью понятия параллельного переноса локализованного век-
вектора. Параллельный перенос вектора по замкнутому контуру приводит
к тому, что конечное направление вектора отличается от начального.
Обобщение, сделанное Вейлем, заключалось в том, что он предположил,
что конечный вектор имеет не только иное направление по сравнению
с начальным, но и другую длину. До тех пор пока мы рассматриваем
риманово пространство, можно считать, что вектор движется в плоском
пространстве более высокой размерности, и его длина не может изменять-
изменяться. Гипотеза Вейля представляет собой естественное обобщение риманова
пространства.
В геометрии Вейля нет абсолютного способа сравнения элементов дли-
длины в двух разных точках, кроме случая, когда эти точки бесконечно
близки друг к другу. Сравнение возможно только по отношению к пути,
соединяющему две точки. Различные пути приводят к разным результатам
для отношения двух элементов длины. Чтобы построить математическую
теорию длин, нужно произвольным образом задать стандарт длины в каж-
каждой точке, а затем сравнивать любую длину, возникающую при описании
пространства в некоторой точке, с локальным стандартом в этой точке. То-
Тогда для длины вектора в каждой точке получается определенное значение,
но это значение изменяется при изменении локального стандарта длины.
Конечно, стандарт длины можно изменять на множитель, меняющийся от
точки к точке.
Рассмотрим вектор длины /, помещенный в точку с координатами жм
(/i = 0,1,2,3). Допустим, что мы совершаем параллельный перенос этого
вектора в точку х^ + 5х^. Изменение длины вектора 51 будет пропорцио-
пропорционально / и 5х^, т.е. будет иметь вид
61 = Ik^Sx». A)
Здесь возникли некоторые коэффициенты к^. Это дополнительные поле-
полевые величины, возникающие в теории вместе с эйнштейновыми величина-
величинами g^v и имеющие столь же фундаментальное значение.
508 IV. РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА
Предположим, что стандарты длины изменяются так, что длина умно-
умножается на множитель А(ж), зависящий от х. Тогда / заменяется на
V = /А(ж), и I + SI заменяется на
/' + 81' = (l + 5l)\(x + 5x) = (l + Sl)X(x) + I (J^
если пренебречь величинами второго порядка малости. Отсюда находим:
81' = I'^Sx».
где
B)
Далее будет видно, что новые полевые величины х^, возникающие
в теории Вей ля, можно рассматривать как электромагнитные потенциалы.
Они обладают всеми желаемыми свойствами. Они подчиняются преобразо-
преобразованиям B), возникающим как следствие изменения выбора искусственных
стандартов длины. С помощью геометрии Вейля мы получаем все, что
нужно для совместного описания гравитационного и электромагнитного
полей на геометрическом языке.
Несмотря на эти замечательные свойства, теория была неприемлемой
для физиков, поскольку она приводила к противоречию с квантовой тео-
теорией. Квантовые явления предусматривают абсолютный стандарт длины.
Атомные часы измеряют время в абсолютном смысле, и если принять
скорость света за единицу, то можно получить и абсолютный стандарт
расстояния. Следовательно нет нужды в произвольных метрических стан-
стандартах теории Вейля. Можно, в частности, предположить, что при парал-
параллельном переносе вектор сохраняет свою длину по отношению к атомным
стандартам, так что вариация 61 в формуле A) не возникает.
Отвергнув теорию Вейля, физики вернулись к точке зрения, что гра-
гравитационное поле влияет на геометрию пространства, а электромагнитное
поле есть всего лишь нечто, погруженное в то пространство, которое
определено гравитационным полем. Такая точка зрения предоставила удо-
удовлетворительную основу для работы. Однако многие физики оставались
плененными задачей поиска геометрической интерпретации электромаг-
электромагнитного поля и построения единой полевой теории. В этом направлении
было предложено много теорий, но все они были довольно сложными и ис-
искусственными и не получили всеобщего признания. Теория Вейля остается
самой выдающейся среди них и непревзойденной по простоте и красоте.
Последние исследования указывают на возможность ее возрождения.
Гипотеза Больших Чисел
Из мировых констант можно построить ряд безразмерных чисел. Важ-
Важными являются комбинация /гс/е2, примерно равная 137, и отношение
массы протона к массе электрона М/га, равное примерно 1840. Не суще-
33. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРИРОДА ПРОСТРАНСТВА И ВРЕМЕНИ 509
ствует объяснения этим числам, но физики уверены, что рано или поздно
с ростом наших знаний такое объяснение будет найдено.
Другая безразмерная величина возникает из отношения электрической
и гравитационной сил, действующих между электроном и протоном, рав-
равного е2/(GMm). Численно оно равно 2 • 1039, что весьма заметно отли-
отличается от предыдущих чисел. Интересно узнать, удастся ли когда-нибудь
объяснить эту разницу.
Разбегание спиральных туманностей определяет возраст Вселенной,
равный примерно 2 • 1010 лет. Если выразить его через какую-нибудь атом-
атомную единицу, например, е2/(тс3), то получится число порядка 7 • 1039,
что сравнимо с предыдущим большим числом. Трудно поверить, что это
простое совпадение. Можно думать, что между двумя числами имеется
какая-то связь, которую удастся объяснить, когда мы будем больше знать
о космологии и атомной теории.
Можно высказать общую гипотезу, которую мы назовем «Гипотезой
Больших Чисел»: все обнаруживающиеся в природе безразмерные числа
такого порядка связаны между собой. Одним из таких больших чисел
оказывается возраст Вселенной ?, т.е. промежуток времени от момента
рождения Вселенной, принятого за нуль, и это число с течением времени
растет. Согласно Гипотезе Больших Чисел, требуется, чтобы все такие
числа тоже возрастали пропорционально возрасту Вселенной, с тем, чтобы
сохранить соотношение между ними. Отсюда можно вывести, что гравита-
гравитационная постоянная G, измеренная в атомных единицах, должна убывать
пропорционально t-1.
Однако теория тяготения Эйнштейна требует, чтобы величина G была
константой; на самом деле, при подходящем выборе единиц, ее можно
положить равной 1. Таким образом существующая эйнштейнова теория
тяготения несовместима с Гипотезой Больших Чисел.
Эта гипотеза является предположением, а не установленным фактом.
Она может быть подтверждена только прямым наблюдением изменения G.
Эффект не настолько мал, чтобы быть за пределами возможностей со-
современной технологии. Измерения расстояний до планет, выполненные
Шапиро Ч с помощью радара, являются необычайно точными, и если G
действительно изменяется указанным образом, это будет замечено в на-
наблюдениях Шапиро через несколько лет.
Кроме того, расстояние до Луны также можно измерить сейчас с очень
большой точностью, используя отражение лазерных пучков. На значение
этого расстояния влияет много возмущающих факторов, но все они могут
быть оценены и учтены. Если при этом наблюдается остаточный эффект,
не объясняемый другими способами, его следует приписать изменению G.
Наконец, существует возможность наблюдения изменения G непосред-
непосредственно в лабораторных экспериментах. Др. Бимс занимается аккуратным
измерением величины G, и он считает, что можно улучшить прибор, по-
г) Scientific American. 1968. V. 219. P. 32.
510 IV. РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА
грузив его в емкость с жидким гелием, так что удастся зарегистрировать
изменения G ожидаемой величины 1).
Будем предполагать, что Гипотеза Больших Чисел справедлива, так
что G изменяется со временем, и обсудим, каким образом можно изменить
теорию Эйнштейна так, чтобы она согласовывалась с этой гипотезой.
Две метрики
Простой способ добиться их примирения состоит в том, чтобы пред-
пол ожить, что уравнения Эйнштейна относятся к интервалу dsE, связы-
связывающему две соседние точки, и этот интервал не совпадает с интервалом
cIsa, измеряемым атомным прибором. Считая, что отношение dsE к ds&
изменяется с возрастом Вселенной, мы получаем, что величина G изменя-
изменяется таким же образом. Это отношение с большой точностью постоянно,
так что изменения в теории Эйнштейна окажутся очень малыми.
Если ввести две метрики dsE и dsA, то обсуждавшиеся выше возраже-
возражения против теории Вейля отпадают. Можно применить геометрию Вейля
к величине dsE, предполагая, что она не изменяется при параллельном
переносе. Тогда для получения определенного значения этой величины
мы должны отнести ее к произвольной калибровке метрики. Затем, когда
осуществляется преобразование B) потенциалов, величина dsE изменяет-
изменяется. С другой стороны, dsA относится к атомным единицам и не зависит
от произвольной калибровки метрики, а также не меняется в результате
преобразования B) потенциалов.
Обычно осуществляемые физиками лабораторные измерения исполь-
используют прибор, фиксированный атомными свойствами вещества, так что
измерение относится к метрике dsA- Метрика dsE не может быть непо-
непосредственно измерена, но она проявляется через свое влияние на уравнения
движения. Эта метрика образует основу всей динамической теории, будь
то точная теория Эйнштейна или приближенная теория Ньютона. Связь
двух метрик видна на примере радарных наблюдений планет. В данном
случае расстояние, которое определяется уравнениями движения, измеря-
измеряется атомным прибором.
Рассмотрим связь между двумя интервалами ds. Опять сошлемся на
Гипотезу Больших Чисел. Введем еще одно большое безразмерное число —
полное число нуклонов во Вселенной. Если Вселенная бесконечна, то будем
рассматривать полное число нуклонов в той части Вселенной, которая
разлетается от нас со скоростью меньше с/2.
Это число довольно неопределенно, поскольку мы не знаем общего
количества невидимой материи. Предположительно количество невидимой
материи не намного превышает количество видимой материи. Тогда мы
получим число порядка 1078. Из Гипотезы Больших Чисел следует, что
г) Physics Today. May 1971. P. 35.
33. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРИРОДА ПРОСТРАНСТВА И ВРЕМЕНИ 511
это число должно изменяться пропорционально t2. Отсюда следует, что
должны непрерывно создаваться новые протоны и нейтроны.
Возникает вопрос о том, где они рождаются? Можно сделать два ра-
разумных предположения.
1. Материя создается однородно во всем пространстве, следовательно,
в основном в межгалактическом пространстве. Назовем это аддитивным
рождением.
2. Материя создается там, где она уже существует, пропорционально
имеющемуся количеству. Назовем это мультипликативным рождением.
Я не знаю, какое предположение предпочесть. Во всяком случае, рож-
рождение материи является новым физическим процессом, необъяснимым
с помощью известных физических явлений. Эффект слишком мал, чтобы
быть легко детектируемым, за исключением, возможно, случая 2. Из это-
этого предположения вытекает, что происходит непрерывный прирост всего
вещества, в том числе, вещества Земли. Может возникнуть определенная
трудность в понимании того, каким образом может происходить прирост
вещества в старых породах без разрушения их кристаллической структу-
структуры.
Вернемся к связи между dsE и dsA- Возьмем в качестве примера
движение Земли вокруг Солнца. Согласно Ньютону, основная формула
имеет вид
GM = v2r,
где М — масса Солнца, г — радиус земной орбиты, a v — скорость Земли.
Эта формула должна выполняться как в эйнштейновых, так и в атомных
единицах. В эйнштейновых единицах все величины постоянны. В атомных
единицах они могут изменяться со временем t. Запишем тогда эту формулу
в виде
GAMA = v\rA.
Скорость vа является определенной, такой же, как и в эйнштейновых
единицах, долей скорости света, и поэтому постоянна. Как мы уже видели,
константа Gа пропорциональна t~x. При аддитивном рождении масса Ма
постоянна, и поэтому радиус га пропорционален t. При мультиплика-
мультипликативном рождении масса Ма пропорциональна t2 и радиус га пропорцио-
пропорционален t.
Таким образом, при аддитивном рождении Земля приближается
к Солнцу и вся Солнечная система сжимается. Если же верна гипотеза
о мультипликативном рождении, то Земля удаляется от Солнца,
а Солнечная система расширяется. Эти эффекты космологические
и перекрываются другими эффектами, происходящими по известным
физическим причинам. Наблюдения Шапиро могут их выявить.
Теперь связь между dsE и dsA имеет вид:
= tdsA (аддитивное рождение),
= t~ dsA (мультипликативное рождение).
512 IV. РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА
Конечно, в случае геометрии Вейля эти соотношения лишь приближен-
приближенные, поскольку на dsE влияют изменения калибровки метрики, сопровож-
сопровождаемые изменениями электромагнитных потенциалов, в то время как
при таких изменениях остается постоянной.
Нарушение симметрии
Вейлева интерпретация электромагнитного поля как оказывающего
влияние на геометрию пространства, а не просто погруженного в риманово
пространство, имеет поразительное следствие — нарушение симметрии.
Рассмотрим заряженную частицу и выберем точку Р, в которой задано
поле, вблизи мировой линии частицы. Для простоты предположим, что
система координат выбрана так, что частица в это мгновение покоится.
Возьмем элемент длины / в точке Р и предположим, что он сдвигается
путем параллельного переноса в будущее на величину 5х°. Из основной
формулы A) следует, что элемент длины изменится на величину
dl = Ixodx0,
Здесь xq будет в основном включать кулонов потенциал, возникающий
от заряженной частицы. Допустим, что знак заряда таков, что / возрас-
возрастает при переносе в будущее. При противоположном знаке заряда / будет
убывать. Но никакой симметрии между возрастающей величиной и той же
самой убывающей величиной быть не может. Следовательно симметрия
между положительным и отрицательным зарядами отсутствует.
Если длина / увеличивается при переносе в будущее, то она уменьша-
уменьшается при переносе в прошлое. Поэтому нет и симметрии между прошлым
и будущим. Однако если изменить знак заряда и поменять местами про-
прошлое и будущее, то мы возвращаемся к исходной ситуации.
Физики, занимающиеся микромиром, ввели для изменения четности
оператор Р, для зарядового сопряжения — оператор С, и для обращения
времени — оператор Т. В простейшей теории элементарных частиц все эти
симметрии сохраняются. Предлагаемая теория не содержит какого-либо
нарушения симметрии Р. Однако в ней нарушаются С и Т симметрии,
хотя сохраняется их произведение СТ.
Экспериментально наблюдается нарушение всех трех симметрии, но,
насколько мне известно, их произведение РСТ сохраняется. Может по-
показаться, что нарушение Р-симметрии должно быть приписано коротко-
короткодействующим атомным силам. Однако нарушение С и Т при сохранении
СТ вызвано дальнодействующими силами, если их происхождение связано
с геометрией Вейля. Похоже, что такое нарушение симметрии возника-
возникает за счет взаимодействия гравитационного и электромагнитного полей.
Эффект должен быть мал, поскольку в атомной области гравитационные
эффекты всегда малы.
33. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРИРОДА ПРОСТРАНСТВА И ВРЕМЕНИ 513
Космологические модели
Гипотеза Больших Чисел накладывает жесткие ограничения на воз-
возможные модели Вселенной. В наиболее предпочтительной модели предпо-
предполагается, что Вселенная началась из состояния очень малых, возможно,
точечных размеров, затем она увеличивается до определенного максималь-
максимального размера, а затем опять сжимается. Эту модель предпочитают многие
физики. Но она совершенно неприемлема, если допустить справедливость
Гипотезы Больших Чисел. Допустим, модель верна. Тогда у Вселенной
имеется максимальный размер. Если выразить этот размер через какую-то
атомную единицу, то получится большое постоянное число. Но именно
такие постоянные большие числа исключаются Гипотезой Больших Чисел.
Следовательно мы должны принять, что Вселенная расширяется и бу-
будет расширяться вечно. Кроме того, невозможны никакие изменения в за-
законе расширения, за исключением очень ранних стадий. Действительно
такое изменение требует времени, по прошествии которого такое изменение
станет заметным, и это время, выраженное в атомных единицах, будет
опять приводить к большому постоянному числу. Нам остаются только
очень простые модели.
Исследование того, какие модели приемлемы, можно проводить с каж-
каждым из двух вариантов гипотезы о непрерывном рождении материи. Я при-
приведу результаты вычислений. Все рассуждения довольно просты.
Если принять гипотезу мультипликативного рождения, то обнаружи-
обнаруживается, что мы вынужденно приходим к картине, которая, после перевода
в эйнштейновы единицы, в которых справедливы уравнения Эйнштей-
Эйнштейна, сводится к цилиндрической модели Вселенной Эйнштейна. Вселенная
замкнута и имеет конечный постоянный размер в масштабе dsE-
Кажущееся разбегание туманностей в этой модели возникает из-за то-
того, что если опять вернуться к атомному стандарту измерений, то атомные
часы непрерывно ускоряют свой ход по отношению к эйнштейновой едини-
единице времени. Следовательно, если рассмотреть удаленный звездный объект,
испускающий в нашу сторону свет определенной частоты, то длина волны
этого света в момент испускания определяется атомной единицей длины.
Когда свет приближается к нам, эта длина волны остается постоянной
в эйнштейновых единицах. Когда свет приходит к нам, длина его волны
сравнивается с атомными часами здесь, которые идут быстрее. Поэтому
длина волны кажется увеличившейся. В этом заключается объяснение
кажущегося разбегания спиральных туманностей в модели, основанной на
стационарной Вселенной Эйнштейна. Так обстоит дело в случае мульти-
мультипликативного рождения.
Что можно сказать об аддитивном рождении? Теперь мы вынуждены
рассмотреть совершенно иную картину. Дело в том, что если мы работаем
в эйнштейновых единицах, то мы должны требовать выполнения уравне-
уравнений Эйнштейна, которые, в свою очередь, требуют сохранения массы. Как
это можно совместить с непрерывным рождением протонов и нейтронов?
17 П.Дирак. TIV
514 IV. РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА
В случае мультипликативного рождения мы используем способ, сохраняю-
сохраняющий неизменной эйнштейнову массу Вселенной путем уменьшения массы
нуклонов, отнесенной к эйнштейновой единице массы, по закону, в точно-
точности компенсирующему увеличение числа нуклонов. Поэтому масса тела,
например, масса Солнца, отнесенная к эйнштейновым единицам, остается
постоянной.
В случае аддитивного рождения мы не можем обеспечить сохранение
массы при любом выборе единицы массы. В межзвездном пространстве
происходит непрерывное рождение массы. Единственный способ, который
я могу себе представить, для обеспечения требуемого теорией Эйнштей-
Эйнштейна закона сохранения массы, заключается в следующем. Нужно предпо-
предположить, что одновременно с рождением нуклонов происходит рождение
некоторого вида отрицательной массы, которая ненаблюдаема и обладает
тем свойством, что полная рожденная масса равна нулю, в соответствии
с требованиями теории Эйнштейна. Таким образом рождаются два типа
материи. Ту материю, которую мы можем наблюдать в форме протонов
и нейтронов, можно назвать квантованной материей, а ненаблюдаемая
однородно распределенная по всему пространству отрицательная масса не
проявляется ни в каких физических эффектах, кроме гравитации, приво-
приводящей к искривлению пространства.
Можно возразить, что данная картина очень искусственна и неправ-
неправдоподобна. Однако похоже, что мы вынужденно приходим к ней, если
принять всего лишь одну Гипотезу Больших Чисел, а также требование
выполнения теории Эйнштейна по отношению к соответственно подобран-
подобранному интервалу dsE- Это вовсе не предположение, произвольно вводимое
на более поздней стадии развития теории. Оно непосредственно вытекает
из первых предположений. Требуется, чтобы рождалось два типа мате-
материи, а именно непрерывно распределенная отрицательная масса, которую
компенсирует квантованная масса в виде доступных наблюдению протонов
и нейтронов.
Суммарный эффект такого непрерывного рождения заключается в том,
что после сглаживания локальных неоднородностей пространство-время
оказывается плоским. Получается, грубо говоря, пространство Минковско-
го. В этом пространстве существует точка, в которой возникла Вселенная,
в которой произошел Большой взрыв, давший начало нашему миру. Весь
физический мир, который мы можем наблюдать, лежит в световом конусе
будущего с началом в этой точке. Все галактики разлетаются внутри
светового конуса из начала координат. Кроме этого имеется однородный
фон отрицательной массы, приводящий к тому, что полная плотность
приближенно равна нулю. Это действительно очень простая модель,
намного проще тех, с которыми обычно имеют дело космологи.
Насколько я могу судить, мы вынуждены принять одну из двух аль-
альтернатив: модель, основанную на пространстве Минковского, или цилин-
цилиндрическую модель Эйнштейна, соответствующие двум типам рождения
материи.
34
ОБОБЩЕНИЯ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА*)
Условия на больших расстояниях
Теория тяготения Эйнштейна продемонстрировала необычайные успе-
успехи в описании Солнечной системы. Естественно спросить, почему возни-
возникает желание ее изменить?
На это есть одна очевидная причина. Полевые уравнения Эйнштейна
неполны и не приводят к однозначным решениям. Необходимо вводить
подходящие условия на больших расстояниях. Обычно предполагают, что
при г —> оо метрика становится плоской, переходя в метрику простран-
пространства Минковского. Это предположение используется при выводе метрики
Шварцшильда, которая представляет основу всех успешных применений
теории Эйнштейна. Однако такое предположение безусловно неверно.
На больших расстояниях метрика должна переходить в метрику космо-
космологической модели. Необходимо сначала задать космологическую модель,
описывающую Вселенную со сглаженными локальными неоднородностя-
ми. Затем необходимо так изменить метрику Шварцшильда, чтобы при
больших значениях г она переходила в метрику космологической модели.
Эйнштейн хорошо понимал необходимость космологической модели.
Сначала он предложил цилиндрическую модель, которую пришлось от-
отвергнуть, так как она не согласовывалась с наблюдаемым разбеганием
галактик. Затем де Ситтер предложил модель, которая согласовывалась
с разбеганием галактик, но и ее пришлось отвергнуть, так как в этой
модели плотность материи в сглаженной Вселенной оказывалась равной
нулю. Затем Фридман и Леметр разработали ряд более сложных моделей,
согласующихся с основными полевыми уравнениями Эйнштейна.
Среди этих моделей есть одна простейшая допустимая модель, пред-
предложенная совместно Эйнштейном и де Ситтером в 1932 г. Будем называть
ее ЭдеС моделью. Метрика в этой модели имеет общий вид
ds2 = dr2 - R2(dx2 + dy2 + dz2), A)
соответствующий плоскому трехмерному пространству. Здесь R — функ-
функция только времени т.
При любой метрике типа A) имеются плотность и давление, однород-
однородные по всему трехмерному пространству и зависящие только от функ-
*) Developments of Einstein's Theory of Gravitation // In: On the Path of Albert Einstein /
Ed. A. Perlmutter, L.F. Scott — N.Y.: Plenum, 1979. P.l-13.
17*
516 IV. РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА
ции R(t). В ЭдеС модели эта функция выбирается так, чтобы давление
обратилось в нуль. Из этого требования следует, что
R(r) = т2'\ B)
если опустить несущественный численный множитель. Тогда плотность
оказывается равной
Как было отмечено Эйнштейном и де Ситтером, она имеет правильный
порядок величины, согласующийся с наблюдениями.
Примем эту модель, поскольку она является простейшей из допусти-
допустимых. Более сильный довод в пользу ЭдеС модели будет приведен ниже.
В рамках ЭдеС модели Вселенная имеет бесконечную протяженность.
Но параметр R похож на радиус Вселенной в том смысле, что вариация R
по т приводит к закону расширения. Обычно представляют R просто
пропорциональным т. Если принять закон B), то расширение будет про-
происходить существенно медленнее, чем в такой обычной картине.
Рассмотрим полное количество материи, разлетающейся от нас со ско-
скоростью, не превышающей с/2. Эта материя содержится внутри сферы,
радиус которой пропорционален т. С учетом соотношения C) количество
материи пропорционально
рт3 ос т D)
Модифицированная метрика Шварцшильда
Теперь мы должны так модифицировать метрику Шварцшильда, что-
чтобы при больших значениях г она переходила в метрику ЭдеС модели,
определяемую выражениями A) и B). После некоторых вычислений нахо-
находим
E)
где массовый параметр га теперь уже не является постоянным, а умень-
уменьшается со временем по закону
га ос г/3. F)
Если пренебречь зависимостью от г, то метрика E) переходит в обычную
метрику Шварцшильда, записанную в изотропных координатах, в то вре-
время, как при больших значениях г метрика E) переходит в метрику A)
с учетом выражения B).
Метрика E) не удовлетворяет обычным полевым уравнениям Эйнштей-
Эйнштейна для пустого пространства R^ = 0. Ни одно из решений этих уравнений
не может иметь вид A) при больших г. Решение E) выбрано так, чтобы
удовлетворить максимально возможному количеству из десяти уравнений
34. ОБОБЩЕНИЯ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА 517
К^у = 0, не вступая в противоречие с условиями A) при больших г.
Таковыми являются восемь уравнений
В результате нарушения двух оставшихся уравнений решение E) соответ-
соответствует плотности и давлению
4 2г + т 8 га /оч
При больших г эти выражения переходят в выражение C) для плотности
и дают нулевое давление *)
Возникающая в результате модификации шварцшильдовой метрики
зависимость от t не слишком сильно влияет на движения планет. Можно
показать, что существует движение планет с постоянной скоростью по
окружности постоянного радиуса. Все достигнутые в теории Эйнштейна
успехи в описании Солнечной системы остаются неизменными.
Замедление космических лучей
Рассмотрим некоторые следствия принятой нами модели ЭдеС с метри-
метрикой A), B). Если взять частицу с постоянными координатами ж, у, z, то ее
можно рассматривать как находящуюся в состоянии покоя в абсолютном
смысле. Нам следует пересмотреть представления о том, что не существует
абсолютного нуля скорости. Имеется нулевая скорость, обеспечиваемая
средним движением материи. Посмотрим, как это движение влияет на
движение частиц.
В отсутствие сил частица движется по геодезической. Будем обозна-
обозначать координаты произвольной точки ж^, а координаты произвольной
точки на геодезической z^\ производную d/dz будем обозначать точкой.
Тогда i° = 1. Уравнения геодезической имеют вид
z* + Y*pzvz9 -z*% = 0.
Здесь s — собственное время вдоль геодезической. Положим
z2 = z3 = 0.
Тогда
z + гоо + 2Гю^ - z ~],=0-
Имеем
#00 = 1, g"n = g22 = #33 = -Г4/3,
г) Детальные расчеты представлены в моей работе, которая должна вскоре появиться
на страницах журнала Proc. Roy. Soc, London. В этой статье имеется ошибка в знаке
давления р, определенного формулой B8). Знак должен быть положительным [1].
518 IV. РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА
Используя эти значения компонент g^v, получаем
Отсюда
pi _ п Г1 —
1 оо — и> 1 ю —
5 +
3r
так что 1
следовательно
где а — некоторая константа.
Далее,
2
s2 = g^zv = 1 - т4'3^1J = 1 - a2r/3i2 = 0.
Таким образом
Скорость частицы равна
Видно, что с течением времени скорость уменьшается, достигая нуля
при г —^ ос. Это означает, что космические лучи непрерывно замедляются.
Это явление нельзя непосредственно наблюдать, так как мы регистрируем
эти частицы только в один момент времени, когда они достигают Земли.
Если бы существовала приемлемая теория происхождения космических
лучей, то этот эффект можно было бы проверить.
Энергия частицы равна
ds v
Эта энергия неуклонно уменьшается, стремясь к энергии покоя т при
г —> оо.
Полученный результат можно применить к фотону, если перейти к пре-
пределу т —^ 0 и а —> 0 при постоянном произведении та. Тогда находим,
что энергия фотона пропорциональна т~2/3. Обозначая эту энергию как
hv, находим
гуост-2/3, Л ос г2/3. A0)
Таким образом, получаем красное смещение фотона, т. е. возрастание дли-
длины волны по тому же закону, что и рост радиуса Вселенной.
Изменение G
Есть основания полагать, что гравитационная постоянная G, выра-
выраженная в атомных единицах, изменяется со временем в космологических
масштабах. Я говорил об этом в прошлом году. Теория, которую я тогда
34. ОБОБЩЕНИЯ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА 519
изложил, кажется мне сейчас ошибочной. В то время теория подтвержда-
подтверждалась наблюдениями ван Фландерна затмений звезд Луной. Эти результаты
не были подтверждены более поздними наблюдениями, так что теперь
ван Фландерн имеет новые, существенно отличающиеся от прежних дан-
данные. Теория, доложенная в прошлом году, предусматривала непрерывное
рождение материи, а также малое нарушение закона сохранения массы.
Такую идею в принципе очень трудно понять, кроме того, ее трудно согла-
согласовать с анализом возраста старых горных пород.
Нужно отвергнуть идею непрерывного рождения и вернуться к обыч-
обычному закону сохранения массы. Мы приходим к новой теории, которая
значительно лучше согласуется с теорией Эйнштейна и может быть пред-
представлена как ее развитие.
Мы исходим из Гипотезы Больших Чисел (ГБЧ), которая предполагает
наличие связи между всеми существующими в природе фундаментальны-
фундаментальными безразмерными большими числами. Таким числом является отношение
электростатической и гравитационной сил, действующих между электро-
электроном и протоном,
—5— = 2-1039.
&тетр
Другое число —это возраст Вселенной, выраженные в атомных единицах
времени е2/(гаес3) и равный примерно
t = 7 • 1039.
Если принять, что заряд е и атомные массы постоянны, то связь между
этими числами приводит к соотношению
G = t~\
Теория Эйнштейна требует, чтобы G было постоянной величиной.
Чтобы согласовать теорию Эйнштейна с ГБЧ, нужно предположить, что
теория Эйнштейна справедлива в другой системе единиц, отличной от
атомной, в которой единицы е, h и атомные массы постоянны.
Для обозначения величин, относящихся к эйнштейновой и атомной
системе единиц, будем использовать индексы Е и А соответственно. Тогда
GA = t~1, GE = const. A1)
Если в обеих системах единиц масса сохраняется, то две единицы массы
одинаковы, т. е.
= тЕ
Расстояние и время меняются в одинаковой пропорции с тем, чтобы
скорость света в обеих системах равнялась единице. Таким образом
vA = vE
Тогда, используя соображения размерности, получаем из A1)
A2)
520 IV. РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА
Применяя эту формулу к интервалу времени и обозначая атомное
время t и эйнштейново время т, получаем
dr = t dt
или
r = \t\ A3)
В рамках ЭдеС модели Вселенная бесконечна, но мы получим конеч-
конечную массу, рассматривая массу той части Вселенной, которая удаляется
от нас со скоростью, меньшей с/2. Выразив эту массу в единицах массы
протона, получим, что число протонов N = 1078. Таким образом, из ГБЧ
вытекает, что
Noct2. A4)
В прошлогодней теории я пытался учесть необходимость непрерывного
увеличений TV, предположив непрерывное рождение материи. В тепереш-
теперешней теории непрерывное рождение отсутствует. Мы согласуем сохранение
массы с законом A4) за счет непрерывного замедления скорости разбе-
гания, так что непрерывно возникает все больше и больше галактик со
скоростями разбегания, меньшими с/2. Эта картина предусматривается
метрикой ЭдеС модели. Из результата D) для этой метрики имеем:
N ::т :: t2
в согласии с A4).
Можно легко убедиться в том, что ЭдеС модель является единственной
космологической моделью, согласующейся с ГБЧ. Это сильный аргумент
в пользу ЭдеС модели.
Естественное микроволновое излучение
Считается, что из-за своей однородности и изотропии естественное
микроволновое излучение имеет космологическое происхождение. По име-
имеющимся наблюдениям оно представляет собой излучение черного тела,
удовлетворяющее закону Планка. Это излучение обеспечивает абсолют-
абсолютный нуль скорости с точностью, большей чем та, которая обеспечивается
средним движением материи.
Чернотельное излучение в расширяющейся Вселенной остается черно-
тельным. Каждая спектральная компонента испытывает красное смеще-
смещение по тому же закону, что и расстояние до галактики. В ЭдеС модели в
эйнштейновых единицах имеем закон A0), так что
ХЕ :: г2/3 ::
Отсюда
ХА :: ^ХЕ :
34. ОБОБЩЕНИЯ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА 521
Температура Т падает согласно тому же закону, что и частота в атом-
атомных единицах, так что
Т :: А^1 :: t'1'3. A5)
Такая скорость охлаждения значительно меньше, чем получающаяся в
рамках обычных представлений, когда Т пропорционально t~x.
Наблюдаемая температура равна примерно 2,8 К. Ей соответствует
энергия кТ. Сравнивая ее с энергией покоя протона, чтобы получить
безразмерное число, находим
J^L = 2,5-1(Г13.
ГПрС
Это число можно рассматривать как величину, обратную тому боль-
большому числу, до которого применима ГБЧ, так что оно должно быть про-
пропорционально t/3. Таким образом, формула A5) подтверждается, и мы
получаем хороший способ проверки теории. Если бы вместо массы протона
использовалась масса электрона, возникло бы небольшое расхождение,
несущественное с учетом грубого характера самой ГБЧ.
Микроволновое излучение охлаждалось по закону A5), начиная с мо-
момента времени, близкого к началу t = 0. Согласно обычным представле-
представлениям, оно охлаждалось по закону t, начиная с определенного «момента
отщепления», когда излучение отщепилось от вещества. Это произошло
в момент времени примерно равный t = 1026, когда температура Т была
в 1013 раз больше, чем сейчас. Существование такого «момента отщепле-
отщепления», играющего фундаментальную роль в космологии, противоречило бы
ГБЧ.
Прямые проверки теории
Эфемеридное время —это время, отсчитываемое по движению Земли
вокруг Солнца. В нашей теории оно совпадает с эйнштейновым време-
временем т. Это не очевидный результат. Он есть следствие модификации
шварцшильдовой метрики, позволяющей планетам двигаться с постоянной
скоростью по окружностям постоянного радиуса по отношению к эйнштей-
эйнштейновой метрике.
Эфемеридное время г отличается от атомного времени t. Связь между
ними дается выражением A3). Таким образом, теория требует, чтобы
атомные часы замедляли свой ход по отношению к эфемеридному времени.
Это утверждение, которое можно проверить путем наблюдений.
Нужны аккуратные наблюдения движения некоторых небесных тел
как в эфемеридном, так и в атомном времени. Наиболее удобным телом
является Луна, так как ее можно наблюдать с особой точностью. В течение
нескольких столетий производились аккуратные наблюдения в эфемерид-
эфемеридном времени углового движения Луны относительно неподвижных звезд.
С 1955 года эти наблюдения проводятся и с помощью атомных часов.
522 IV. РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА
В течение нескольких лет движение Луны изучалось ван Фландерном.
Задача сложна, поскольку приливные возмущения велики по сравнению с
величиной эффекта. Поэтому достичь точности наблюдений, необходимой
для проверки теории трудно. Кроме того, нельзя пренебрегать возмуще-
возмущениями со стороны других планет. Ван Фландерн полагал, что у него есть
свидетельство того, что атомные часы ускоряют свой ход по отношению к
эфемеридному времени, т. е. наблюдаемый эффект противоположен тому,
который требуется данной теорией. Эти наблюдения стали основой моей
прошлогодней версии теории.
С учетом последующих наблюдений и пересмотренных вычислений ван
Фландерн полагает сейчас, что его предыдущий результат был ошибочен.
Самые последние данные свидетельствуют скорее о том, что атомные часы
замедляются по отношению к эфемеридному времени. Однако величина
ошибок сравнима с величиной эффекта, так что эти наблюдения реально
не подтверждают теорию.
Данная теория допускает движение планет по окружностям посто-
постоянного радиуса по отношению к метрике Эйнштейна. По отношению к
атомной метрике орбиты будут закручиваться внутрь по спирали. Такое
спиралевидное закручивание должно происходить у всех планет, так как
космологический эффект накладывается на движение планеты, вызванное
другими причинами. Эффект должен наблюдаться, если аккуратно изме-
измерить расстояния в атомных единицах.
Эффект спиралевидного закручивания должен проявляться и при дви-
движении Луны вокруг Земли. Однако его трудно наблюдать, так как он
маскируется значительно большими эффектами, связанными с прилив-
приливными силами. Больше всего шансов наблюдать эффект имеют радарное
зондирование ближайших планет — Меркурия, Венеры и Марса. Можно
послать сигнал радара к одной из этих планет и измерить время, которое
затрачивается на возвращение отраженного сигнала. Если для измерения
времени используются атомные часы, то расстояние до планеты получится
в атомных единицах.
И. Шапиро и Р. Ризенберг производили наблюдения указанным ме-
методом, и Ризенберг доложил о полученных результатах на конференции
в Талахасси в 1975 г. Для каждой из планет — Меркурия, Венеры и Мар-
Марса— был обнаружен эффект, указывающий на закручивание по спирали.
Однако в каждом случае возможные ошибки были столь же велики, как
и наблюдаемый эффект, так что вновь не получилось реального подтвер-
подтверждения теории.
Во время экспедиции «Викинг» на Марс в 1976 г. на поверхность Марса
был спущен аппарат, используемый сейчас для очень точного измерения
расстояния до Марса. Результаты еще недоступны, но можно надеяться,
что очень скоро мы получим хороший тест теории.
Результаты, доложенные на конференции 1975 г., содержатся в книге
«Об измерении космологических вариаций гравитационной постоянной»,
опубликованной издательством университета во Флориде, Гейнсвилл, 1978 г.
34. ОБОБЩЕНИЯ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА 523
Использование двух метрик
Теория содержит две метрики dsE и dsA, и важно ясно понимать, в
каком случае какую из них следует использовать. Мы используем dsE и
законы Эйнштейна во всех задачах, не включающих квантовые эффекты
или электрические заряд е. Мы используем ds& и законы Ньютона для
всей квантовой теории, например, для описания атомных часов.
Однако Н имеет размерность (масса) х (скорость) х (расстояние). Мас-
Масса и скорость одинаковы в обеих метриках, так что Не = гНа- Конечно, На
постоянна, так как она входит в определение атомных единиц. Поэтому
НЕ ос t. A6)
Из наблюдений далеких галактик было установлено, что е2 /Н постоянна,
следовательно и ед постоянна, откуда
еЕ ос i1/2
Таким образом, уравнения Эйнштейна универсально верны в эйнштей-
эйнштейновых единицах до тех пор, пока они не включают Н или е. Если же они
включают эти постоянные, то следует учитывать зависимость Не и е^ от
времени t. В этом случае может оказаться полезным переход к атомным
единицам.
В качестве примера можно заметить, что дебройлевские волны для
покоящейся частицы имеют частоту
flA
VA — =
т
Не i
Ve = —- ос t.
т
Частота постоянна в атомном времени и растет пропорционально t в эфе-
меридном времени. Размеры атомов и расстояния между ними в кри-
кристаллической решетке постоянны в атомных единицах, так что в этих
единицах размер твердого тела постоянен. В эйнштейновых единицах все
эти величины растут. В атомных единицах частота гироскопа постоянна.
Частота вращения Земли постоянна в атомных единицах, если Землю
можно рассматривать как твердое тело.
При выводе результата A0) мы использовали Н. Вычисления были
сделаны в эйнштейновых единицах, но изменение Н со временем никак
не учитывалось. Однако все вычисления относились только к волнам,
связанным с частицами нулевой массы, а для таких волн изменение Н не
входит в волновое уравнение, так что оно не может повлиять на результат.
35
СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ *)
Первое, что следует понять, — это то, что теория Эйнштейна замеча-
замечательна. Есть три оригинальных теста, предложенных Эйнштейном.
A) Смещение перигелия Меркурия.
B) Отклонение луча света, проходящего вблизи Солнца.
C) Смещение спектральных линий, испускаемых атомами, находящи-
находящимися в гравитационном поле.
Успех теории Эйнштейна в объяснении движения Меркурия был оче-
очевиден с самого начала. Для проверки предсказания B) нужно было полное
солнечное затмение, чтобы, исключив солнечный свет, иметь возможность
наблюдать положения соседних звезд на небе. Наблюдения, проведенные
во время полного солнечного затмения 1919 г., подтвердили теорию с до-
довольно хорошей точностью. С тех пор были проведены многочисленные
наблюдения полных солнечных затмений, и теория Эйнштейна всегда под-
подтверждалась с той точностью, которую можно было ожидать в соответ-
соответствии с возможными в то время условиями наблюдения.
Позднее стало возможным проверить этот эффект не с помощью све-
световых, а с помощью радиоволн, проходящих вблизи Солнца. Теперь уже
не нужно ждать полного солнечного затмения, так как Солнце не яв-
является сильным источником радиоизлучения. Просто нужно дождаться
момента, когда Солнце проходит перед звездой, испускающей радиоволны,
и посмотреть, изменилось ли положение звезды на небе. Определенную
трудность вызывает то, что радиоволны отклоняются солнечной короной.
Однако этот эффект зависит от длины волны радиоволн, так что, проведя
наблюдения на двух разных длинах волн и сравнив их, можно отделить
эффект воздействия короны от эффекта Эйнштейна. Этот эффект вновь
подтверж дается.
Аналогичный тест можно провести с радарными волнами, посланными
на Марс и отраженными назад к Земле, когда Марс удобно расположен
и радарные волны проходят близко к Солнцу. Такие наблюдения были
сделаны И. Шапиро. Радарные волны, как и радиоволны, отклоняются
солнечной короной, так что опять нужно произвести наблюдения на двух
длинах волн, чтобы отделить эффект воздействия короны от эффекта
Эйнштейна. Таким способом можно получить еще одно подтверждение
теории Эйнштейна.
*) The Present State of Gravitational Theory // In: Field Theory in Elementary Particles /
Ed. A. Perlmutter. — N.Y.: Plenum, 1983. P. 1-10.
35. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ 525
Тест C) теории Эйнштейна можно провести для спектра света, ис-
испускаемого Солнцем. В этом случае трудно добиться хорошей точности,
так как на искомый эффект наслаивается эффект Доплера, возникающий
в результате движения газов в солнечной атмосфере. Об этом движении
известно не слишком много, поэтому его нельзя учесть с должной точно-
точностью, так что таким способом получается только грубая проверка теории
Эйнштейна.
Однако существуют другие звезды —белые карлики, у которых гра-
гравитационный потенциал на поверхности намного больше, чем у Солнца,
так что смещение спектральных линий, испускаемых с их поверхности, со-
соответственно, увеличивается и может быть легко зарегистрировано. Если
удается определить массу белого карлика благодаря тому, что он является
членом двойной звезды, то можно численно проверить теорию Эйнштейна
и вновь получить хорошее согласие.
Этот способ проверки теории Эйнштейна можно осуществить в чисто
лабораторном эксперименте. С помощью эффекта Мессбауэра можно по-
получить 7-лучи, испущенные с хорошо определенной частотой. Если они
испускаются источником на определенной высоте, а затем поглощаются
находящимся ниже детектором, то можно обнаружить, что частота увели-
увеличилась в соответствии с уменьшением гравитационного потенциала. Такой
опыт осуществили Р. Паунд и Г. Ребка.
К трем первоначальным тестам теории Эйнштейна недавно добавился
четвертый. Теория требует, что когда электромагнитные волны проходят
вблизи Солнца, они не только отклоняются гравитационным полем, но и
замедляются. Этот эффект можно наблюдать у пульсара, излучение ко-
которого представляет собой регулярную серию равноотстоящих во времени
импульсов. Этот же эффект проявляется тогда, когда радарные волны
отражаются от Марса, проходя рядом с Солнцем, и измеряется время
распространения сигнала туда и обратно. Этот эксперимент был сделан
И. Шапиро. В данном тесте опять проявляется влияние солнечной короны,
однако его можно отделить от эффекта Эйнштейна, сравнив наблюдения
для двух различных частот.
Во всей этой серии тестов теория Эйнштейна проявляет себя очень
успешно. Успех следует приписать главному предположению теории, что
физическое пространство является искривленным римановым простран-
пространством. После отказа от плоского пространства Евклида или Минковского
ученые часто задаются вопросом, не могли бы оказаться полезными фи-
физике другие типы искривленных пространств.
В других областях физики может потребоваться геометрическое объ-
объяснение с помощью какого-то типа пространства, более общего, чем рима-
ново. Сам Эйнштейн был сильно поглощен идеей объединения гравитаци-
гравитационного поля с электромагнитным — другим известным физике дальнодей-
ствующим полем, и много лет работал над этим.
Многие математики проводили широкие исследования новых типов
пространств, так или иначе обобщающих риманово пространство. Но эта
526 IV. РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА
работа была малоуспешной и не имеет ценности для понимания тяготения.
Самое лучшее, что можно сделать, — это перейти для объяснения грави-
гравитационного поля к оригинальным идеям Эйнштейна.
Полевые уравнения Эйнштейна сами по себе образуют неполную тео-
теорию. Их необходимо дополнить граничными условиями, выполняющими-
выполняющимися на больших расстояниях, прежде чем получится определенная схема
уравнений, которую можно применить к конкретным примерам. Для этой
цели необходимо сделать дальнейшие предположения о Вселенной как
целом. Нужно выбрать космологическую модель. Такая модель возникает
в том случае, когда мы пытаемся описать грубое распределение материи
во Вселенной со сглаженными локальными неоднородностями.
Сам Эйнштейн понимал необходимость космологической модели и
предложил одну из них — цилиндрическую модель. Для этого ему при-
пришлось немного изменить свои полевые уравнения, введя в них космологи-
космологическую постоянную. Последнее можно было сделать, не нарушая общих
свойств симметрии теории. В модели Эйнштейна пространство было конеч-
конечным, но неограниченным, а материя была распределена в нем однородно.
Она не согласовывалась с открытым позднее разбеганием далекой материи
и поэтому была отвергнута.
Затем де Ситтером была предложена модель, обладавшая очень вы-
высокой степенью математической симметрии. В этой модели можно было
получить разбегание далекой материи. Однако она приводила к нулевой
средней плотности материи, что было очевидно неприемлемым, так что и
эта модель была отвергнута.
Затем появилась целая серия моделей, предложенных разными учены-
учеными— Фридманом, Леметром и другими, причем все они согласовывались с
полевыми уравнениями Эйнштейна. При этом некоторые из них включа-
включали космологическую постоянную, а некоторые — нет. Среди этих моделей
была одна, предложенная совместно Эйнштейном и де Ситтером в 1932 г.
(далее ЭдеС модель), и я хотел бы привлечь к ней ваше внимание. Это
простейшая из всех моделей, не кажущихся очевидно неверными.
В ЭдеС модели метрика задается выражением
ds2 = dr2 - T4/3(dx2 + dy2 + dz2), A)
где т— временная переменная. Множитель т4//3 необходим для того, чтобы
обеспечить нулевое давление, которое соответствует реальному миру, в
котором давление электромагнитного излучения пренебрежимо мало по
сравнению со средней плотностью массы. В рамках такой модели Эйн-
Эйнштейн и де Ситтер вычислили плотность массы и нашли, что она имеет
правильный порядок величины. На самом деле, плотность массы, предска-
предсказываемая этой и другими похожими моделями, примерно в 20 раз больше
той, которая нужна для согласования с наблюдаемой средней плотностью
массы. Это расхождение известно как проблема недостающей массы. В по-
последнее время оно часто обсуждалось астрофизиками. Ученые полагают,
что объяснение должно сводиться к существованию невидимой материи,
35. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ 527
которую до сих пор не удалось детектировать. Это могут быть межга-
межгалактический газ, черные дыры или другие невидимые массы в центрах
галактик.
Граничные условия, которые вводятся в теорию за счет подходящей
космологической модели, могут лишь в очень малой степени повлиять на
успехи теории в отношении упомянутых выше четырех тестов. Однако су-
существует еще один результат, требующий дополнительного обсуждения, —
Гипотеза Больших Чисел.
Физики склонны полагать, что возникающие в общей теории безраз-
безразмерные числа имеют какое-то объяснение. Одно из таких чисел —отно-
—отношение электростатической и гравитационной сил, действующих между
протоном и электроном в атоме водорода. Значение этого отношения равно
2 039
Gmemp
= 2,3-1039. B)
Трудно понять, каким образом можно математически объяснить столь
большое число.
Если выразить возраст Вселенной, примерно равный t = 18 • 109 лет,
через единицу времени, которая определяется атомными константами, на-
например, через е2/(гаес3), то получается выражение
t = 6 • 1039 -^ C)
тес
Мы приходим к тому же большому числу, что и в выражении B). Можно
рассматривать это как просто примечательное совпадение. Однако более
разумно считать, что это совпадение имеет какое-то объяснение, которое в
данный момент неизвестно, но станет понятным после того, как мы больше
узнаем и об атомной физике, и о космологии. Если это так, то число B)
должно увеличиваться с возрастом Вселенной. Тогда должно выполняться
соотношение 2
Gmemp
Мы должны заключить, что величины, обычно считавшиеся постоянными,
должны на самом деле изменяться в зависимости от космологического
времени t.
Если идея, приводящая к такому заключению, верна, то она должна
быть применима ко всем важным безразмерным числам, которые можно
построить на основании общей физической теории и общих космологиче-
космологических соображений. Если такое число оказывается очень большим, то оно
должно быть некоторой степенью космологического времени C), выра-
выраженного в атомных единицах. Таким образом, мы приходим к некоему
общему принципу. Я называю его Гипотезой Больших Чисел (ГБЧ).
Этот принцип кажется несколько расплывчатым по двум причинам.
A) Он применим только к тем важным числам, которые возникают в
общей теории.
528 IV. РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА
B) Неясно, насколько большим должно быть число, чтобы его можно
было считать «большим».
С учетом этих неопределенностей принцип может быть достаточно
мощным. Из него следует, что при общем описании Природы не может
возникнуть сколько-нибудь важное очень большое число, являющееся по-
постоянной величиной, не зависящей от космологического времени.
Например, из этой гипотезы следует, что у Вселенной не может быть
максимального размера. Вселенная должна продолжать расширяться веч-
вечно. В противном случае ее максимальный размер, выраженный в атомных
единицах, будет большим числом, не зависящим от t. Это утверждение
накладывает жесткие ограничения на модели Вселенной.
Можно попытаться получить большое число из полной массы Все-
Вселенной. Однако это число может оказаться бесконечным. Чтобы полу-
получить безусловно конечную массу, рассмотрим массу той части Вселенной,
которая удаляется от нас со скоростью, меньшей с/2. Чтобы получить
безразмерное число, выразим эту массу через массу протона и назовем
получившееся число N. Значение N известно не слишком хорошо из-за
неопределенностей в количестве невидимой материи, но по порядку вели-
величины оно равно 1078 . Тогда ГБЧ позволяет утверждать, что
N ::t2.
Следовательно, должно происходить непрерывное увеличение количе-
количества материи в той части Вселенной, которая удаляется со скоростью
v < A/2)с. Чтобы согласовать это с сохранением массы, необходимо, что-
чтобы скорость разбегания непрерывно уменьшалась так, чтобы возникало
все больше и больше галактик с v < A/2)с. Именно это предсказывает
ЭдеС модель. Несложные вычисления показывают, что ЭдеС модель —
единственная модель, согласующаяся с Гипотезой Больших Чисел.
Согласно ГБЧ, мы имеем уравнение D), показывающее, что грави-
гравитационная постоянная G, выраженная в атомных единицах, меняется со
временем. Согласно теории Эйнштейна она должна быть постоянной. Как
можно согласовать эти два противоречащих друг другу утверждения?
По-видимому, нужно предположить, что существуют две метрики —одна
из них, dsE, используется в теории Эйнштейна, другая, dsA, в случае
атомных единиц. Связь между ними имеет вид
dsE = tdsA, E)
как следует из размерных соображений, примененных к выражению D).
Интервал ds в формуле A) — это эйнштейнов интервал dsE, а т— эйнштей-
эйнштейново время, связанное с атомным временем t соотношениями
dr = tdt,
<>
35. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ 529
Если принять метрику A), то расстояние до конкретной галактики
(т.е. конкретные значения ж, у, z) в эйнштейновых единицах пропорцио-
пропорционально т2/3. Таким образом, скорость разлета (которая одинакова как в
эйнштейновых, так и в атомных единицах) пропорциональна т~1//3. Это
существенно отличается от обычной картины, в которой скорость прибли-
приближенно постоянна. Наблюдения недостаточно точны для того, чтобы раз-
различить эти две возможности. Однако результаты наблюдения естествен-
естественного фона микроволнового излучения являются хорошим свидетельством
в пользу ГБЧ.
Микроволновое излучение — это чернотельное излучение с температу-
температурой 2,8 К. В расширяющемся мире чернотельное излучение остается самим
собой, и его температура падает соответственно тому, что длина волны
каждой компоненты возрастает с той же скоростью, как расстояние между
галактиками. При таком законе расширения
:т ' или
имеем
dsA ::
так что
ЛА::
и температура
Г.. *, .. \ ~1 .. J. — 1 /3 /i7\
.. ^д .. Л д .. Z ' . у()
Температура соответствует безразмерному числу
кТ
2 5
тес
(8)
равному 2,8 К или приблизительно 2,5 • 10 13. Обратная к этому числу
величина может рассматриваться как большое число, для которого спра-
справедлива ГБЧ. Поэтому оно должно изменяться пропорционально t/3.
Это согласуется с формулой G).
Чтобы получить связанное с температурой безразмерное число, мы
можем использовать в формуле (8) вместо массы электрона массу протона.
Тогда получится число кТ/(трс2), равное примерно 5 • 10~10. Из ГБЧ
следовало бы тогда, что эта величина должна изменяться пропорцио-
пропорционально ?~1//4, что не совсем согласуется с G). Здесь мы сталкиваемся с
примером неточности, возникающей при использовании ГБЧ. Эта гипотеза
дает только грубую картину, и невозможно получить точные уравнения,
пока нет лучшего понимания величины отношения тр/те.
В обычной картине приближенно равномерного расширения Вселенной
температура Т должна быть пропорциональна t~x. Этот закон может быть
справедлив только после определенного момента отщепления, когда поле
излучения становится независящим от вещества. Существование такого
момента отщепления соответствует определенной эпохе, что противоречит
ГБЧ.
530 IV. РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА
Две метрики определяют два временных масштаба, один из которых, т,
должен использоваться в теории Эйнштейна, а другой, ?, представляет
собой время, измеряемое атомными часами, и определяющее скорость
радиоактивного распада. Разность этих двух времен может быть зареги-
зарегистрирована с помощью достаточно точных измерений. Наилучшие шан-
шансы имеет наблюдение движения Луны относительно неподвижных звезд.
Определяемое приливными эффектами угловое ускорение Луны с большой
точностью наблюдается в течение нескольких столетий. Оно фиксируется
в эфемеридном времени, т. е. во времени т теории Эйнштейна.
Начиная с 1955 г., движение Луны фиксировалось атомными часами.
В течение многих лет эти наблюдения проводил ван Фландерн. Его ре-
результаты изменялись от года к году с увеличением точности наблюдений.
Сейчас данные стабилизировались вокруг значений углового ускорения
Луны — п в единицах с/(столетиеJ
п (эфемеридное) = 28,0 ± 1,2,
п (атомное) = 22,6 ± 1,3.
Разность этих двух чисел свидетельствует о необходимости введения двух
временных масштабов и говорит в пользу ГБЧ.
Проверку правильности теории с двумя метриками можно осуще-
осуществить путем наблюдения отражения радарных волн от внутренних пла-
планет, в частности, от Марса. Эти наблюдения проводил И. Шапиро. Его
результаты для Марса подтвердили тесты B) и D) теории Эйнштейна, но
еще недостаточно усовершенствованы для того, чтобы иметь возможность
проверить изменение G.
Часть V
Теоретические работы
по атомному проекту
A941-1944)
36
ТЕОРИЯ РАЗДЕЛЕНИЯ ИЗОТОПОВ
СТАТИСТИЧЕСКИМИ МЕТОДАМИ *)
В этой заметке речь идет о методах разделения изотопов, основанных
на том, чтобы создать для смеси изотопов (находящейся в жидкой или
газообразной фазе) физические условия, способные вызвать градиент кон-
концентрации данного изотопа. Наиболее полезными примерами таких физи-
физических условий являются наличие поля центробежной силы или градиента
температуры. Существует общая теория, описывающая действие сепарато-
сепаратора изотопов, основанного на указанном методе. Эта теория устанавливает
верхний предел полезного выхода подобной установки, а также указывает,
какие условия ее действия следует стремиться достичь, чтобы практически
приблизиться к теоретическому пределу.
Примем для простоты, что элемент обладает лишь двумя изотопами,
и предположим, что рабочая жидкость содержит только один атом этого
элемента в каждой молекуле. Чтобы ясно изложить основные идеи в их
наиболее элементарной форме, предположим, что концентрация одного
из изотопов (для определенности, более легкого) мала по сравнению с
концентрацией другого изотопа. Необходимые поправки в различных фор-
формулах (в тех случаях, когда это условие не выполняется) могут быть легко
сделаны (они приведены в приложении) [1].
Пусть с — концентрация легкого изотопа в любой точке жидкости,
измеряемая отношением числа атомов легкого изотопа к полному числу
атомов рассматриваемого элемента. Таким образом, величина с безраз-
безразмерна и, по предположению, значительно меньше единицы.
Если жидкость в любой точке находится в равновесии под действием
центробежной силы или градиента температуры, то в этой точке возникает
определенный градиент величины с. Этот градиент будет иметь то же на-
направление, что и градиент центробежной силы или градиент температуры.
Величина градиента концентрации будет пропорциональна с, поскольку
различные легкие молекулы (молекулы, содержащие легкий изотоп) дви-
двигаются независимо друг от друга благодаря тому, что концентрация этих
молекул мала. Поэтому искомый градиент концентрации можно обозна-
обозначить через схс, где сх — векторный коэффициент, не зависящий от с.
*) The Theory of the Separation of Isotopes by Statistical Methods // In: The Collected
Works of P.A.M. Dirac 1924-1948 / Ed. R.H. Dalitz. — Cambridge: Cambr. Univ. Press,
1995. P. 1003-1010.
534 V. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ ПО АТОМНОМУ ПРОЕКТУ
В реальных рабочих условиях жидкость обычно не находится в равно-
равновесии, так что градиент концентрации с не будет иметь своего равновесного
значения схс. Пусть реальный градиент с в любой точке равен /Зс. Тогда
диффузия легких молекул происходит со скоростью, пропорциональной
разности схс — /Зс, в направлении этого разностного вектора. Величина
диффузионного потока, т. е. масса легких молекул, диффундирующих
в единицу времени через единицу поверхности, движущейся со средней
скоростью жидкости, равна pD(/3 — ос)с\ здесь р — плотность жидкости,
D — коэффициент диффузии.
Диффузионный поток будет полезен для разделения изотопов, если
легкие молекулы будут перетекать из области с малым значением с в об-
область с большим значением с, причем величина потока будет пропорцио-
пропорциональна его величине, умноженной на приращение с. Рассмотрим неболь-
небольшой слой жидкости, стороны которого перпендикулярны градиенту с (тем
самым они перпендикулярны вектору /3).
Разность значений с на этих двух сторонах равна |/3|с6, где b — тол-
толщина слоя, а скорость потока легких молекул от одной стороны к другой
в результате диффузии равна pD\cx — C\сА cos в, где А — площадь каждой
из сторон, в — угол между нормалью к стороне и направлением потока
(задаваемым разностью а — /3). Таким образом, значение диффузионного
потока для достижения разделения изотопов, пропорциональна произве-
произведению
(ЗсЬ - pD\cx- C\cA cos в = bApD(C, ol - C)с2, A)
где использовано скобочное обозначение скалярного произведения.
При переменном векторе /3 величина A) достигает максимума при
условии
Р = \а. B)
Именно это условие следует стремиться выполнить во всем рабочем объеме
установки по разделению изотопов для того, чтобы она работала наиболее
эффективно. Градиент концентрации в каждой точке установки должен
быть сонаправлен с градиентом центробежной силы или температуры,
причем величина градиента концентрации должна составлять половину
величины равновесного градиента концентрации.
Если условие B) идеального действия установки выполнено, выраже-
выражение A) становится равным (l/4)bApDa2c2. Назовем коэффициент при
с2 в этом выражении — а именно, величину A/ 4)bApDa2 — идеальной
разделительной способностью (или, сокращенно, PC) части объема всей
установки ЬА, занимаемого слоем жидкости. Определенная таким образом
PC дает количественную меру способности данного элемента объема к раз-
разделению изотопов. Удобство этой меры состоит в том, что она не зависит
от концентрации с и потому обычно может быть определена (с достаточно
высокой точностью) по известным физическим параметрам установки;
при этом нет необходимости в детальном решении уравнений движения
жид кости.
36. ТЕОРИЯ РАЗДЕЛЕНИЯ ИЗОТОПОВ 535
Если идеальная PC в расчете на единицу объема равна (l/4)bApDa2,
то полную PC всей установки можно получить, интегрируя указанную
величину по всему объему, в котором существует градиент центробежной
силы или температуры.
Таким образом,
PC = i [ pDa2dv = \ро\ a2dv, C)
причем в случае, если величина pD различна в различных частях уста-
установки (а это возможно, если различны температуры этих частей), то
в последнем выражении следует произвести соответствующее усреднение.
В общем случае, когда условие B) идеального действия не выполня-
выполняется, можно определить разделительную способность небольшого слоя,
взяв отношение величины диффузионного потока легких молекул поперек
слоя (умноженного на приращение концентрации с) к квадрату концен-
концентрации с2. Тогда согласно A) PC слоя равна
bApD(/3,OL-/3),
a PC всей установки равна теперь
PC = f PD(P, ex- P)dv = pD [(/3, a - /3) dv, D)
где pD в последнем выражении следует рассматривать как соответству-
соответствующим образом определенное среднее значение. Реальное значение PC D)
будет, вообще говоря, меньше идеального C), и их отношение можно на-
назвать эффективностью действия установки.
Чтобы использовать PC для расчета полезного выхода установки, сле-
следует определить выражение для разделительной энергии (РЭ) любого эле-
элемента жидкости. При этом необходимо, чтобы приращение РЭ в любом
процессе было равно произведенной разделительной работе, т. е. интегралу
по времени от использованной разделительной мощности. Величина РЭ
для массы т жидкости с концентрацией с должна быть пропорциональна
т и некоторой функции от концентрации с, так что выражение для РЭ
можно записать в виде га/(с).
Предположим далее, что у нас имеется два резервуара, содержащие
массы жидкости rai и га 2 при концентрациях ci и С2, и пусть для опре-
определенности С2 слегка превосходит с\. Перенесем теперь небольшую часть
(например, массу е) легкой компоненты из резервуара 1 в резервуар 2.
Тогда концентрация в резервуаре 2 возрастет на величину дс2 = ?/гп2,
а в резервуаре 1 — уменьшится на величину 8с\ = —ejm\. Эти изменения
в концентрациях приведут к результирующему возрастанию РЭ на вели-
величину
dc{
536 V. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ ПО АТОМНОМУ ПРОЕКТУ
где последнее равенство обусловлено близостью значений концентраций
с\ и С2- Кроме того, возникнет также изменение РЭ, обусловленное изме-
изменениями масс содержимого обоих резервуаров. Это изменение РЭ будет,
однако, пренебрежимо мало ввиду изначально принятого общего упроща-
упрощающего предположения малости концентраций с. Действительно, это пред-
предположение позволяет пренебречь массой легкой компоненты по сравнению
с полной массой. Тогда выражение E) можно считать равным раздели-
разделительной работе, производимой в результате переноса, а именно величине
е(с2 — с\)/с\. Отсюда следует, что
d2f(Cl) = 1_
так, что
/(с) = _logc + a + bc,
где а и b — постоянные величины. Наиболее удобный способ выбора этих
констант состоит в том, чтобы достичь минимума /(с) для того значения
с, которое имеет место в природных условиях, после чего положить это
значение /(с) равным нулю. Таким образом, если со — концентрация
в естественных природных условиях, то
о=№Л = -1 + 6,
I ас \ C—CQ со
О = /(с0) = -log с0 + а + 6с0,
так что 1
b = —, а = log с0 - 1,
со
откуда окончательно находим
Следует указать два частных случая этой формулы. Во-первых, для
концентрации с, близкой к со, т.е. для малых значений отношения
(с — со)/со, имеем
1@ = I (^fJ G)
так что /(с) пропорциональна квадрату изменения с. Во-вторых, для
значений с, больших по сравнению с со, имеем приближенно
'М = s
Тем самым разделительная энергия (РЭ) образца жидкости массой т
становится равной тс/'cq или mi/со, где mi — масса легкой компоненты.
РЭ зависит теперь только от массы имеющейся легкой компоненты, но не
зависит от ее концентрации. Этот факт можно понять как обусловленный
следующим обстоятельством: РЭ, требуемая для изменения концентрации
определенной массы легкой компоненты от одного большого значения
к другому, пренебрежимо мала по сравнению с той, которая необходима
36. ТЕОРИЯ РАЗДЕЛЕНИЯ ИЗОТОПОВ 537
для увеличения концентрации от малого начального значения со к неко-
некоторому большому значению.
При подготовке образца жидкости с высокой концентрацией легкого
изотопа необходимо одновременно подготовить другой образец, обеднен-
обедненный легким изотопом, причем этот второй образец будет также обла-
обладать РЭ. Однако если второй образец имеет большую массу и при этом
лишь небольшое уменьшение концентрации, то его РЭ будет пренебрежимо
мала по сравнению с РЭ первого образца ( это следует из квадратичного
закона G)). При этих условиях выражение 1/со дает приближенное зна-
значение полной РЭ, необходимой для получения единичной массы легкой
компоненты в концентрированной форме.
37
ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРИФУГЕ
С САМОФРАКЦИОНИРОВАНИЕМ
1. Общие замечания
Рассмотрим центрифугу в виде цилиндрической трубы, длина которой
значительно превышает ее диаметр, и пусть газ входит с одного конца
центрифуги, а выходит с обоих ее концов (впуск газа с обоих концов был
бы ненужным усложнением). Для определенности будем считать, что газ
входит через центрифугу вблизи ее оси, легкая компонента удаляется через
верхнее основание (также вблизи оси), а тяжелая компонента — через
нижнее основание по его периферии.
Если обогащение легкой компоненты значительно выше, чем это имеет
место для одноступенчатой центрифуги, то скорость, с которой газ уда-
удаляется через верхнее основание должна быть значительно меньшей, чем
скорость, с которой газ входит или удаляется через нижнее основание.
При этих условиях можно провести приближенное изучение механических
уравнений, полностью пренебрегая удалением газа через верхнее основа-
основание. Тогда мы имеем дело с газом, который впускается и удаляется только
через нижнее основание, и задача заключается в том, как далеко вдоль
оси центрифуги сможет распространиться газ.
Для получения простых уравнений можно предположить, что ско-
скорость, с которой газ поступает и выводится через нижнее основание, до-
достаточно мала, так что условия внутри трубы лишь немного отличаются
от равновесных, когда отсутствует циркуляция газа в осевом направлении
«вверх-вниз», причем угловая скорость всюду постоянна. Тогда уравнения
будут линейны по переменным, которые выражают величину отклонения
от равновесных условий. В этом случае можно получить уравнение на
собственные значения (уравнение C.10)), решения которого соответству-
соответствуют простейшим типам движения; общее движение соответствует сумме
нескольких собственных функций.
Собственная функция, принадлежащая собственному значению К, со-
соответствует движению, при котором отклонение от равновесных условий
(и тем самым степень циркуляции газа вверх-вниз) падает в е раз при
продвижении на расстояние, пропорциональное /С/2 вверх по оси тру-
трубы. Следовательно, собственная функция, принадлежащая наинизшему
*) The Motion in a Self-fractionating Centrifuge // In: The Collected Works of P.A.M. Dirac
1924-1948 / Ed. R.H. Dalitz. - Cambridge: Cambr. Univ. Press, 1995. P. 1063-1074.
37. ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРИФУГЕ С САМОФРАКЦИОНИРОВАНИЕМ 539
положительному значению К, соответствует такому типу движения, при
котором происходит наибольшее продвижение вверх по оси трубы. Этот
тип движения наиболее важен для действия центрифуги с самофракцио-
самофракционированием.
В нижней части трубы могут наличествовать движения, соответству-
соответствующие другим собственным функциям. Будут или нет подобные движения
существовать реально, зависит от точных условий, при которых происхо-
происходит впуск и выпуск газа. Если такие движения имеют место, они приведут
к тому, что определенная часть газа, проделав лишь короткий путь вверх
вдоль оси трубы, вновь вернется к ее нижнему основанию. Это не нарушит
слишком серьезно действие всей установки (при условии, что движение,
соответствующее низшему собственному значению, будет достаточно ин-
интенсивным).
Действительно, это приведет к перемешиванию только потоков газа
примерно равной концентрации; в худшем случае это будет лишь означать,
что длина трубы, на которой заметны другие движения, не даст никакого
вклада в разделение изотопов. Однако для получения максимальной эф-
эффективности следует попытаться подобрать условия таким образом, чтобы
при впуске и выпуске газа остальные движения оставались малыми.
В настоящей работе проблема собственных значений формулируется
и решается при упрощающих предположениях:
A.1) Температура однородна во всем объеме центрифуги. Для этого
требуется, чтобы циркуляция направления вверх-вниз была малой; в про-
противном случае будет происходить приближение к адиабатическому равно-
равновесию.
A.2) Вращение центрифуги настолько быстрое, что большая часть газа
сосредоточена вблизи периферии.
A.3) Радиус трубы мал по сравнению с длиной трубы, в пределах
которой условия изменяются заметным образом. Это условие должно вы-
выполняться в центрифуге с самофракционированием, в противном случае
действие устройства может быть нарушено за счет диффузии в направле-
направлении вверх-вниз.
2. Уравнения движения
Используем цилиндрические координаты г, в, z, где z обозначает вы-
высоту вдоль оси трубы (отсчитываемую от ее нижнего основания). Пусть и,
v, w обозначают компоненты скорости газа, р, р, \± и Т — его плотность,
давление, вязкость и температуру (последние две величины предполага-
предполагаются постоянными).
Уравнение сохранения, или баланса массы имеет вид
0) B.1)
540 V. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ ПО АТОМНОМУ ПРОЕКТУ
а уравнение для центробежной силы —
7Г = Р- B-2)
or г v '
(мы пренебрегли здесь силами вязкости). Уравнение сохранения (или ба-
баланса) момента импульса имеет вид
/i д
Правая часть B.3) представляет собой скорость изменения момента
импульса газового кольца единичной массы. Левая часть B.3) есть момент
сил, действующих на это кольцо, благодаря изменению угловой скорости
при изменении г. Вообще говоря, имеется дополнительный момент сил,
обусловленный изменением угловой скорости с координатой z, однако этот
момент пренебрежимо мал по сравнению с уже учтенным в силу условия
A.3).
Уравнение, выражающее баланс между градиентом вертикального дав-
давления и силами вязкости, имеет вид
— = - — [г —1 B.4)
dz г дг |_ дг \ ' '
при этом пренебрегается силами, связанными с вертикальным ускорением.
Наконец, имеет место уравнение состояния газа
р = RTp. B.5)
что дает в целом пять уравнений для пяти неизвестных величин р, р, и,
V, W.
Пусть из — угловая скорость вращения центрифуги. Положим
1 = ш + 1. B.6)
Предположение о малости отклонения условий от равновесных позволяет
считать малыми величину 7, а также величины и и ги, так что их квадра-
квадратами можно пренебречь. Тогда уравнение B.2) принимает вид
р дг
а B.3) в том же приближении (т. е. в пренебрежении квадратами и, 7? w) —
B.8)
Уравнения можно еще более упростить, предположив, что угловая ско-
скорость вращения центрифуги столь велика, что почти весь газ сосредоточен
вблизи периферии трубы. Тогда существенны только значения г вблизи
радиуса трубы а, и можно положить г = а — у, пренебрегая величиной у
по сравнению с а. При этом уравнения B.1), B.4), B.7) и B.8) сводятся
37. ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРИФУГЕ С САМОФРАКЦИОНИРОВАНИЕМ 541
к следующим:
_д(ри) ^ d(pw) _ n /9 Qx
~д7~ + ~^~ " и' ^"^
др д w /О1П\
й = "в7' BЛ°)
I|^ 2 B.11)
р <9у 2
2рш*; = ца?-1. B.12)
На периферии трубы (при у = 0) имеется три граничных условия,
а именно:
и = 0, когда у = 0, B.13)
7 = 0, когда у = 0, B-14)
о; = 0, когда у = 0. B-15)
Кроме того, имеются еще три граничных условия на оси трубы, где в при-
принятом приближении у = ос.
Прежде всего, имеется условие отсутствия источников газа вдоль оси
трубы, так что при у —» оо, ри —> 0. Из B.12) отсюда следует, что
—ft —» 0 когда у —» ос
02
или ?
—- —» constant когда у —» оо. B.16)
Далее, имеется условие отсутствия радиального потока момента импульса
за счет вязкости вблизи оси трубы, так что условие B.16) может быть
усилено: q
Y -+ 0 когда у -^ ос. B.17)
Наконец, вблизи оси трубы отсутствует вертикальная сила вязкости, так
что ? ^ °когда у -> °°- B-18)
3. Редукция к проблеме собственных значений
Следует исключить четыре из пяти переменных р, р, ?i, 7 и ^ из пяти
уравнений B.5), B.9), B.10), B.11) и B.12). Исключая г^ из уравнений B.9)
и B.12), имеем 3
Из уравнений B.5) и B.11) следует, что
аи2 2аи
откуда, дифференцируя по г, находим
1 др др 1 #2р 2ао; ^7
~р> Jzlhj ~ p dzdy ~ ~RT ~dz'
542 V. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ ПО АТОМНОМУ ПРОЕКТУ
Используя уравнение B.10), получаем отсюда
J dp djw l djw
p2 ду ду2 V ду3 ~ МЯТ dz' { '
В уравнениях C.1) и C.3) величины р и р входят только в виде
произведений на малую величину w. Поэтому можно заменить их на со-
соответствующие равновесные значения, не нарушая точности уравнений.
Равновесное значение р, получаемое интегрированием уравнений C.2) при
условии 7 — 0? имеет вид
где р\ — давление на периферии трубы. Равновесное значение р имеет
тогда вид
Р~ RT
Подставляя эти значения в уравнения C.1) и C.3), находим
Pi_ -auj2y/(RT) dw^ _ (ш dj7 (о л\
RT dz ~ 2со ду3' { }
Pi
Удобно ввести далее новую переменную
х = '
аи^_ д\^ д\^\ _ 2аи dj
RT ду2 ду3 J МЯТ dz'
RT
Тогда уравнения C.4) и C.5) принимают вид
2PlR2T2 dw _ х <937
х Г d2w d3w I _ _ 2pi Я2Т2 ^7
Исключая гу из уравнений C.6) и C.7), находим
dz2 [дх2 \ дх3) дх3 \ дх3
^ + 5^ + 2^1. C.8)
дхБ дх* дх3\ v J
Простейшие решения этого уравнения — это те, для которых 7 зависит
от координаты z согласно закону
где к — константа, не зависящая от х. Подставляя C.9) в C.8), получаем
37. ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРИФУГЕ С САМОФРАКЦИОНИРОВАНИЕМ 543
где
fia uo
Граничные условия B.14), B.13) и B.15) совместно с уравнениями B.12)
и C.4) дают
7 = 0, когда х = 0, C.12)
^4, когда х = 0, C.13)
0, когда ж = 0, C.14)
тогда как граничные условия B.17), B.18) с учетом C.6) дают
—- —У 0, когда х —>¦ оо, C.15)
ё) ^ °'когда х "*¦ °°' (ЗЛ6)
Требуется найти наименьшее положительное собственное значение х, удо-
удовлетворяющее уравнению C.10) и граничным условиям C.15) и C.16).
4. Приближенное решение уравнения на собственные значения
Для больших значений х уравнение C.10) принимает вид
или
Его общее решение имеет вид
7 = с0 + С1Ж + с2ж2 + с3е~ж + с4хе~х + с5е~2ж, D.2)
где Ci — произвольные величины. Из условия C.15) находим
С1 = с2 = 0,
а из C.16)
-— (сз + С4Ж — Зс4 + 8С5) при х —» оо
еж
или
с4 = 0.
Тогда D.2) переходит в
7 = Со + Сзе-ж + с5е-2а;. D.3)
Общее решение C.10), переходящее в D.3) при больших значениях ж,
можно представить в виде ряда следующим образом:
оо оо
7 = ? апе~пх + ? б^е™*. D.4)
о 1
544 V. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ ПО АТОМНОМУ ПРОЕКТУ
Коэффициенты ао, сц и а2 произвольны и совпадают с со, сз и С5 из
D.3). Все остальные значения а и все значения b определяются дифферен-
дифференциальным уравнением. Подставляя D.4) в C.10), находим
оо оо
0 1
оо оо
— У^ п3(п — 1 J(п — 9)п р~пх 4- S^(9mK(9m — 1 J(9т — 9)h Тр~2шх —
7 It \'l> -L / \ I и ^J)*-*jn^' >^ / \ Alibi XljiiL -L i \ljiiv ^j IU jyi tJu KZ'
0 1
oo
- 2^]BmJBm - l)[3BmJ - 7Bm) + 3]6тетж. D.5)
l
Приравнивая коэффициенты при хе~2тх для т > 1, получим:
-кЬт-г = BmKBm - lJBm - 2)bm, D.6)
а приравнивая коэффициенты при е~пждля п > 1, получим
— кап-2 = п3(п — 1J(п — 2)ап для нечетных п, D.7)
- кап-2 = п3(п - 1J{п - 2)ап - 2п2(п - 1)Cп2 - 7п + 3Nп/2
для четных п. D.8)
Полагая в D.7) п = 2, находим
&1 = \ка0. D.9)
Уравнения D.6) и D.7) дают рекуррентные формулы
Ьт = я ~kbm-i т = 2,3,4,..., D.10а)
BmKBm-lJBrn-2) V У
ап = , ~кап-2 п = 3, 5, 7,... , D.106)
п(п-1J(п-2) v У
a"=n3(n-lJ(n-2)+ n(n-l)(n-2) ' « = 4,6,8,..., D.10b)
Эти значения величин а и b обеспечивают сходимость рядов D.4) для
всех положительных х (при условии к < 64).
Граничные условия C.12), C.13) и C.14) дают соотношения:
Van = 0, D.11)
У^ п2ап — \^ таЬш = 0, D.12)
5] п3ап + 12 Y, m2bm = 0. D.13)
Подставляя в эти уравнения значения 6i, 62, 63, ...и аз, а4, as, ..., из D.9)
и D.10), получаем три линейных однородных уравнения для ао, сц и а2,
из которых уравнения для к может быть получено методом исключения.
Если сохранить только члены, содержащие коэффициенты при е~4ж
и хе~4х (что достаточно при не слишком большом fc), то из D.11) получим
A - 0.0002&2)a0 +(l-A-)ai+(l- -У а2 = 0,
37. ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРИФУГЕ С САМОФРАКЦИОНИРОВАНИЕМ 545
а из D.12) —
(_ 1 к _ 0.0025&2) а0 + (l - ^) ах + D - А) а2 = О,
Умножив на 3 уравнение D.12) и сложив его с D.13), найдем
0.007А;2оо + 2ец + D + ^Q а2 = 0.
Исключая ао, а\ и а^, получим окончательно
-4 + 11-0,004/е2 - 0.00004/г3 + ... = 0, D.14)
откуда для минимального значения к имеем
к = 5,8. D.15)
Тогда согласно C.11) получаем
PlR]TlH = 1,2. D.16)
/m о;
5. Численные значения
Расстояние, которое следует пройти газу вверх по оси трубы, чтобы
циркуляция потока газа уменьшилась в е раз, равно
-1 _ piR2T2 _ PlR2T2a2
где V — периферическая (линейная) скорость центрифуги.
Примем следующие значения:
V = 3 • 104 см/с, pi (давление на периферии) = 106 дин/см2 A атм.),
а (радиус центрифуги) = 1см, \± (вязкость) = 2 • 10~3 пуаз
(в 8 раз выше теоретического значения — чтобы допустить мелкомасштаб-
мелкомасштабную турбулентность),
RT = ^ = 7 • 107см2/с2 (молекулярный вес 350 при 300 К)
При этих условиях
х = 84 см.
Тем самым установлен предел значения длины, на котором циркуляция
потока в центрифуге с самофракционированием может быть обусловлена
чисто механическими средствами. Указанная длина возможна только для
одной частной функции течения ри. Для любой другой функции течения
эта длина была бы значительно меньшей.
Вариации температуры вдоль трубы имели бы значительное влияние
на циркуляцию. Возможно, удалось бы получить циркуляцию на значи-
значительно большей длине трубы, если создать вдоль нее подходящий градиент
температуры.
18 П.Дирак. TIV
38
ПРИБЛИЖЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ ТЕМПА
РАЗМНОЖЕНИЯ НЕЙТРОНОВ ДЛЯ СЛУЧАЯ
ТВЕРДОГО ТЕЛА ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ И
ПЛОТНОСТИ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ *)
1. Метод хорд
Собственное значение, определяющее темп размножения нейтронов,
удовлетворяет (для случая выпуклого твердого тела) уравнению
(
/г
или
A.2)
Рассмотрим приближение, при котором плотность п(х) постоянна в пре-
пределах всего твердого тела. Тогда имеем
o-aiR d3xrfV (л Q4
где V — объем твердого тела, а\ = а + X/v.
Шестимерный интеграл в правой части A.3) можно свести к четы-
четырехмерному следующим образом. Для любого положения точки х введем
сферические координаты R, 6, ф точки х', рассматривая точку х в качестве
начала отсчета. Тогда формула A.3) примет вид
^Х_ = ППe-alRdкsmвdвdфdR. A.4)
Представим интеграл A.4) в виде
= [ [ sin 0 d0 d<? [ [ dA [ [ e~aiR dp dR, A.5)
в котором интегрирование по в и ф выполняется в последнюю очередь.
Здесь dp является элементом смещения х в направлении 6, ф, тогда как
dA — элемент площади поверхности для смещения х в направлении, пер-
перпендикулярном в, ф.
Теперь мы можем провести два первых интегрирования в выражении
A.5). Имеем
" e~aiRdR = J-(l - e~aip), A.6)
*) Approximate Rate of Neutron Multiplication for a Solid of Arbitrary Shape and Uniform
Density // In: The Collected Works of P.A.M. Dirac 1924-1948 / Ed. R.H. Dalitz. — Cam-
Cambridge: Cambr. Univ. Press, 1995. P. 1115-1128.
38. ТЕМП РАЗМНОЖЕНИЯ НЕЙТРОНОВ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 547
где р — расстояние точки х от поверхности твердого тела в направлении
в,ф.
Тогда
11 е~^н dpdR = ±- i,(l - е-"*'), A.7)
где / — длина хорды, проходящей через точку х в направлении #, ф.
Окончательно выражение A.5) принимает вид
] A.8)
Введем далее функцию фA), дающую распределение всех хорд твер-
твердого тела по всем различным значениям / длин этих хорд. Иначе говоря,
фA) определяется так, что для произвольной функции /(/) имеет место
равенство
" I I I 6d6d(f) I I dAf(l). A.9)
Тогда выражение A-8) принимает вид
^-- Л(!-е~а1/) dl A.10)
и задача в целом сводится к нахождению функции распределения хорд
ф{1) для любого твердого тела.
Вместо формулы A.10) можно использовать (с очень хорошей точно-
точностью) соотношение
Для любой данной функции ф{1) можно использовать либо A.10) либо
A.11) в соответствии с тем, какой из интегралов удобнее для вычисления.
Предыдущее рассмотрение для выпуклого твердого тела можно расши-
расширить с тем, чтобы учесть случай невыпуклого твердого тела в случае, когда
собственное значение Л равно нулю. Уравнение A.1) следует видоизменить
путем замены R в экспоненте на R\ — величину той части расстояния
между точками х и х', что находится внутри твердого тела; при этом
величина В? в знаменателе остается неизменной. Далее следует провести
замену R на R\ в экспонентах выражений A.2), A.3), A.4) и A.5). Уравне-
Уравнение A.7) сохраняет свой вид (разумеется, с заменой R на R\ в экспоненте)
при условии, что / понимается как полная длина хорды, лежащей внутри
твердого тела, состоящего, возможно, из двух или более не связанных друг
с другом частей. При таком понимании / выражения A.10) или A.11) все
еще справедливы.
Нахождение функции ф{1) для любого конкретного твердого тела тре-
требует обычно вычисления некоторых весьма сложных интегралов. Очевид-
Очевидно, однако, что фA) должна изменяться с изменением / достаточно гладко.
Имеется ряд простых условий (обсуждаемых в разделе 2), которым долж-
18*
548 V. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ ПО АТОМНОМУ ПРОЕКТУ
на удовлетворять функция фA). Таким образом, если выбрать простейшую
функцию /, удовлетворяющую этим условиям, можно получить достаточно
хорошее приближение для ip(l), которое позволит оценить искомое соб-
собственное значение.
2. Свойства функции распределения хорд
Для любого твердого тела имеем, очевидно,
dldA = V.
Отсюда, полагая в формуле A.9) /(/) = /, находим
\фA)Ы1 =4ttV. B.1)
Метод, с помощью которого мы перешли от A.3) к A.10), показывает, что
для выпуклого твердого тела
для всех значений а\. Следовательно, мы можем разложить обе части
этого уравнения по степеням ol\ и приравнять коэффициенты. Проделав
это для с^, находим
ИЛИ
фAI4 dl = 12V2 B.2, выпуклый)
Аналогично, приравняв коэффициенты при а\ и выбрав начало координат
в центре тяжести твердого тела, получим
Тогда, обозначив через / второй момент твердого тела относительно его
центра тяжести, имеем
1фAI6 dl = 60IV. B.3, выпуклый)
Можно продолжать этот процесс по аналогии, выражая интегралы от
произведений ф{1) на более высокие четные степени / через более высокие
моменты твердого тела.
Еще одно соотношение для выпуклых твердых тел, найденное Фуксом,
имеет вид
dl = тгт4, B.4, выпуклый)
где А — площадь поверхности твердого тела. Для доказательства этого
результата рассмотрим хорды, начала которых лежат на малом элементе
38. ТЕМП РАЗМНОЖЕНИЯ НЕЙТРОНОВ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
549
дА поверхности, служащем началом отсчета, а направления заключены
в элементе телесного угла sin 6с16с1ф относительно нормали к элементу
поверхности. Вклад этих элементов в интеграл / ijj(l)dl равен
6A cos в sin в d6 d(j).
Интегрируя эту величину по всем телесным углам, находим
2к8А \ 2 cos в sin в d6 = тгдА.
о
Последующее интегрирование по всем элементам дА приводит к правой
части уравнения B).
Помимо этих общих свойств функции фA) можно легко найти (для
любого данного твердого тела) вид функции фA) на ДВУХ концах области /.
Для очень малых / величина ф{1) пропорциональна / для твердого тела,
не имеющего ребер, и постоянна при наличии
таковых. Оценим вклад в функцию ф{1) при ма-
малых / для элемента 5 s такого ребра с двугранным
углом 7-
Рассмотрим хорду, проходящую вблизи вы-
выбранного элемента ребра на расстоянии р от него,
и пусть #, ф являются полярными углами на-
направления этой хорды относительно направле-
направления на элемент ребра, выбранный в качестве
начала отсчета; одна из сторон ребра служит
нулевым азимутом (см. рис. 1). В случае, если
хорда перпендикулярна к элементу ребра, т. е.
0 = тг/2, имеем, очевидно
-
Рис. 1
В общем случае величина / больше в l/sin# раз, так что
р sin в
и, следовательно,
р sin 0sin фъ\п(ф + 7) sin в Г /О , . чП
y = —v и = cos 7 - собBФ + 7I •
/ sin 7 2 sin 7
Интегрируя последнее выражение по всем углам #,(/>, получаем вклад
элемента ребра в интеграл Jo ^(/)rfZ; таким образом, вклад в значение
имеет вид
1 с- 1
sin 7
sin #[cos 7 — cosB0 + 7)] sin в d6 dф.
550 V. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ ПО АТОМНОМУ ПРОЕКТУ
Область значений ф включает в себя интервалы от 0 до тг — 7? a также от
тг до 2тг — 75 так чт° вклад в значение ф@) имеет вид
4^- [sin30d0[Gr-7)cos7 + sin7)] = !* <Ц(тг - 7) ctg7 + 1)], B.5)
sin 7 J о
а полное значение ф@) представляет собой интеграл от B.5) по всем
ребрам твердого тела.
Практически важен случай, когда двугранный угол при ребре является
прямым G = тг/2); тогда
± B.6)
8,
где s — полная длина ребра.
3. Форма функции фA) вблизи максимума Z для сплющенного
сфероида и полусплющенного сфероида.
Рассмотрим сплющенный сфероид с полуосями a, b (а > Ь). Макси-
Максимальная длина хорды равна 2а. Уравнение сфероида имеет вид
i + i + ? = 1- <зл»
Возьмем хорду, лежащую в плоскости у = р и в плоскости z = q + jx,
и предположим, что р, q и 7 являются малыми величинами первого поряд-
порядка. Тогда значения координаты z, соответствующие экстремумам хорды,
равны (с точностью до первого порядка)
*1 = Я + lai Z2 = q ~ 7а,
а аналогичные значения координаты х равны (с точностью до второго
порядка)
2 2\1/2 2 2
2 2 Zia \ р z1a
-р --p-J ~a-2a~W
/ 2 2
р z2a
Тогда (с точностью до второго порядка)
I2 = {XI - x2f + (Zl - z2f « [2а - ? - {z\
и, окончательно,
4az - 4pz - 4(qz + 7^) ^ + 4jza2
b
2 2 _ ,2
= 2a — — — a -it — 7 a ^— C.2)
a 6 6
с точностью до второго порядка.
38. ТЕМП РАЗМНОЖЕНИЯ НЕЙТРОНОВ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 551
Рассмотрим теперь все хорды, параллельные плоскости у = 0 и пре-
превышающие длину 2а — е (для некоторого малого значения е). Эти хорды
должны иметь значения параметров р, q и 7; соответствующие условию
Полный объем пространства р, q, e, для которого выполняется условие
C.3) — это объем эллипсоида с полуосями (asI'2, (b2e / аI!2 и [Ь2е/а(а2 —
- б2)]1/2. Он равен
^ ЬШ1 C 4)
3 a^V-b2I72'
Если умножить этот объем на 2тг (допуская тем самым все значения
азимутов хорды относительно малой оси сплющенного сфероида, то это
должно дать значение интеграла ^а_? фA) dl, т. е.
Таким образом,
3 а1/2(а2-62I/2"
2a-e
фBа -е) = 4тг2 2& e1/2. C.5)
a 7 (a — о ) ;
Этот результат непригоден в случае сферы F = а), где закон для ^ имеет
другой вид.
Рассмотрим теперь полусплющенный сфероид — например, половину
сфероида C.1), для которой z > 0. Максимальная длина хорды вновь рав-
равна 2а. Нетрудно видеть, что из всего множества хорд с длиной несколько
меньшей 2а хорды, заканчивающиеся на плоской поверхности полусфе-
полусфероида, составляют лишь пренебрежимо малую часть всех хорд. Из числа
остальных хорд те, что параллельны плоскости у = 0, могут быть вновь
описаны параметрами р, q и 7; их длины даются соотношением C.2),
ограниченным, однако, неравенствами
zi > 0, z2 > 0
или
ч > о, Ы < I- (з.б)
Повторяя приведенные выше вычисления, мы должны теперь ограничить
объем пространства (р, д, 7) неравенствами C.3) и C.6). Результат равен
произведению объема эллипсоида C.4) и множителя
552
V. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ ПО АТОМНОМУ ПРОЕКТУ
Этот дополнительный множитель войдет также в выражение для
фBа — г), так что вместо C.5) мы получим
1/21
фBа-е) = 4тг tg
-1
C.7)
а) \а1'2{а2 - Ъ2I'2 '
L. J
Этот результат можно применить и к полусфере: в пределе b —> а это дает
фBа-е)=4тг(аеI/2. C.8)
4. Приближенные методы определения фA)
Вместо того, чтобы вычислять фA) точно для любой данной формы
твердого тела, будет, по-видимому, вполне достаточно принять в качестве
фA) простое алгебраическое выражение, содержащее некоторые парамет-
параметры. Эти параметры затем выбираются так, чтобы величина фA) удовлетво-
удовлетворяла всем элементарным условиям, которым она должна удовлетворять.
Условия, которые следует использовать, — это условия B.1), B.2) и B.4).
Условие B.3) также можно использовать, однако вряд ли это стоит де-
делать ввиду вносимых этим дополнительных усложнений. Далее, имеются
условия для фA) на двух концах интервала изменений / от нуля до /тах-
Однако имеется некоторая опасность в использовании этих условий, по-
поскольку точные значения ф{1) могут очень сильно отклоняться от своих
предельных значений, если / изменяется лишь в очень узких пределах.
Если и в этом случае требовать от приближенного простого выражения
для ф{1) выполнения этих условий, можно получить ошибку большую, чем
ту, которую эти условия исключают, поскольку эти условия влияют на
приближенный вид фA) в широком интервале значений /.
Рассмотрим, например, сферу,
для которой график фA) пред-
представляет собой прямую линию,
проходящую через начало коор-
координат. Предположим теперь, что
к этой сфере извне прилепляется
небольшой «кусок» вещества. Для
получившегося твердого тела зна-
значение ф@) будет даваться инте-
интегралом B.5), однако это граничное
условие будет существенно влиять
на фA) только в небольшом интер-
интервале значений / (по порядку вели-
I —> чины, сравнимом с высотой при-
^ о лепленного «куска»): таким обра-
Рис. 2 / " ^
зом, график ф{1) будет выглядеть
подобным сплошной кривой на рис. 2. При этом оказывается, что гра-
граничное условие влияет на кривую в значительном диапазоне значений /,
38. ТЕМП РАЗМНОЖЕНИЯ НЕЙТРОНОВ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 553
и эта кривая может дать более значительную ошибку, чем та, которую
мы получили бы, вообще не принимая во внимание граничное условие
для ^@).
Применим данный метод к сплющенному сфероиду и полусплющен-
полусплющенному сфероиду с полуосями а, а, Ь. Для сфероида величина ф@) будет
равно нулю, а для полусфероида согласно B.6) — значению 8тга/3. В этих
случаях очевидно,что фA) не будет отличаться от ф@) каким-либо нере-
нерегулярным способом для значений / вплоть примерно до величины Ь. По-
Поэтому, если величина b не слишком мала по сравнению с а, использование
граничного условия для ф@) не испортит вида кривой.
Для значений / вблизи максимального значения 2а величина фA) имеет
вид
1/2 D.1)
где с дается выражениями C.5) или C.7). Теперь е выступает в качестве
величины второго порядка малости при вычислениях, ведущих от C.5)
к C.7), и потому выражение D.1) будет, по-видимому, давать большую
ошибку, хотя величина е все еще достаточно мала.
Таким образом, не рекомендуется требовать от простой алгебраиче-
алгебраической формы для фA) того, чтобы она удовлетворяла условию D.1) при
малых ?, поскольку это привело бы к слишком сильному влиянию этого
граничного условия на общий вид кривой. Не следует, однако, и полностью
пренебрегать этим граничным условием, но рекомендуется использовать
его следующим образом.
Можно предложить для фA) приближенное выражение (например,
простую алгебраическую форму) на интервале значений / от нуля до
некоторого значения, немногим меньшего максимального Bа). При ука-
указанном значении приближенный график фA) пересекает кривую D.1),
а при меньших значениях / приближен-
приближенный график совпадает с кривой D.1). v
(На рис. 3 этот участок соответству- ^^^
ет т4Р, а далее необходимо следовать а
вдоль сплошной кривой, выходящей из I
точки Р.) При этом приближенная кри- ?@
вая будет, действительно, иметь раз-
разрывную производную в точке Р, одна-
однако эта ошибка, по-видимому, менее се-
серьезна, чем те, которые мы получили L
бы при любом другом простом методе. \1а^У) 1а
Для упрощения вычислений можно за- рис. з
менить эту приближенную форму кри-
кривой другой формой. С этой целью можно продолжить исходную простую
алгебраическую форму до точки Q, в которой график функции должен
падать строго вертикально до нуля. Точка Q выбирается при этом так, что
площадь под кривой остается той же, что и ранее. Ошибка, вносимая такой
554 V. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ ПО АТОМНОМУ ПРОЕКТУ
заменой, будет лишь порядка 725 где 2а — 7 — значение /, соответствующее
точке Q.
Для практического метода расчета следует рассматривать 7 как малую
величину и всюду в дальнейшем пренебрегать величиной j2. Тогда для
определения 7 будем иметь следующее условие: если р — значение простой
алгебраической формы для / = 2а — 7, то
или
2
7 = К- D-2)
О С
5. Разрывность функции ф'A) для полусплющенного сфероида
Рассмотрим более детально применение приближенных методов к по-
полусплющенному сфероиду. Это даст нам практически важный пример, для
которого фA) нельзя получить точно простым способом. Для твердого тела
указанной формы концентрация хорд вокруг малой полуоси приводит к ве-
величине фA), имеющей резкий максимум при / = 6, причем функция ф'{1)
имеет в этой точке разрыв. При этих условиях, очевидно, было бы плохим
приближение, в котором предполагалась бы одинаковая зависимость фA)
по обе стороны значения / = Ь. Следует поступить так: вычислить скачок
значений ф'{1) в точке разрыва при / = 6, а затем предположить различные
алгебраические формы для фA) по °&е стороны точки I = b (при условии,
что скачок ф'{1) будет иметь найденное ранее значение).
Для расчета изменения ф{1) рассмотрим хорду вблизи меньшей по-
полуоси, когда ее координаты вблизи экстремального значения на кривой
поверхности полусфероида имеют величины е cos a, e sin а, z. Подставляя
эти координаты в формулу C.1), находим (с точностью до второго порядка
по е):
Пусть хорда составляет угол в с малой полуосью, причем в малая величина
того же порядка, что и е. Тогда длина хорды (с точностью до второго
порядка по е) равна
(?) ( ?)(? ?) (-?), E.1)
где
a = L + e r = ?_0. E.2)
Рассмотрим далее множество хорд, близких к данной; их число равно
di/> dl = 2e de da sin в d6 &ф, E.3)
38. ТЕМП РАЗМНОЖЕНИЯ НЕЙТРОНОВ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
555
откуда, интегрируя по всем а и 0, находим
dip dl = 8тг2ев de d6 = тг2а2(а2 - т2) da dr.
E.4)
Согласно формуле E.1), хорды данной длины обладают значениями а
и т, лежащими на гиперболе, для которой значения а и т являются асимп-
асимптотами. Те хорды, для которых / лежит между значениями 6A — 7/2)
и b G — малая положительная величина) будут иметь значения а и т,
расположенные между гиперболой ат = 7 и осью а (в том квадранте, где
величины в и е положительны).
Рис. 4
Определим число таких хорд, для которых а меньше некоторого зна-
значения #, которое велико по сравнению с 71//2? однако все еще остается
достаточно малым, чтобы наши приближения оставались применимыми.
Искомое число хорд будет получено, если проинтегрировать выражение
E.4) по заштрихованной области на рис. 4. Обозначив через ф\{1) функцию
распределения хорд для определенного выше типа хорд, получим
6A-7/2
dl = тг2а2 \ \(а2 - t2) da dr = ttV \{rma2 - -r^) da, E.5a)
J J J 3
0
где тт = а для а < 71/2 и тш = ^ jа для а > 71/2. Тогда окончательно
находим:
ttV
vl/2
E-56)
где мы пренебрегли слагаемым порядка 73
556V. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ ПО АТОМНОМУ ПРОЕКТУ
- 6-01F - - 76) = 2 ^cPg2 - тг2а27,
Дифференцируя E.5а, б) по 7, имеем
- 6-01F - - 76) = 2 ^
а после повторного дифференцирования находим
Аналогично можно найти, что
-) = -тг2а2.
Таким образом, функция ф[ испытывает в точке разрыва скачок порядка
8тг2 a2 jЬ2. Остальная часть функции распределения хорд имеет непрерыв-
непрерывную производную при / = 6, и потому изменение за счет разрыва при / = b
всей функции ф'A) равно 8тг2а2/Ь2 [1].
Часть VI
Воспоминания и размышления
A939-1983)
39
ОТНОШЕНИЕ МЕЖДУ
МАТЕМАТИКОЙ И ФИЗИКОЙ *)
Физик в своем изучении явлений Природы обладает двумя методами
продвижения вперед: A) методом эксперимента и наблюдений и B) ме-
методом математического рассуждения. Первый представляет собою просто
собирание нужных данных; второй позволяет выводить результаты экс-
экспериментов, которые еще не были проделаны. Нет никакой логической
причины для того, чтобы второй метод был вообще возможен, но мы
обнаруживаем на практике, что он действует и приводит к замечательным
успехам. Это следует приписать некоторому математическому качеству
в Природе, качеству, которого случайный наблюдатель и не заподозрит, но
которое тем не менее играет важнейшую роль в том, как Природа устроена.
Можно описать это математическое качество в Природе, утверждая,
что Вселенная так устроена, что математика оказывается полезным ин-
инструментом ее исследования. Однако недавнее развитие физической науки
показывает, что это слишком примитивное понимание вопроса. Связь меж-
между математикой и описанием Вселенной гораздо глубже, чем эта простая
идея, и мы можем получить представление о ней только после тщатель-
тщательного исследования разных факторов, из которых эта связь складывается.
Главная задача моего сообщения и состоит в том, чтобы дать вам та-
такое представление. Я собираюсь показать, как взгляды физиков на этот
предмет постепенно менялись под влиянием последовательности недавних
открытий в физике, а затем я хочу немного порассуждать о будущем.
Возьмем в качестве отправной точки ту схему физической науки, ко-
которая была повсеместно признана в прошлом столетии, — механическую
схему. Она рассматривает всю Вселенную как динамическую систему (ра-
(разумеется, невероятно сложную), подчиненную законам движения в ос-
основном ньютонова типа. Роль математики в такой схеме состоит в том,
чтобы представить законы движения уравнениями и получить решения
этих уравнений, относящиеся к наблюдаемым условиям.
Руководящая идея этих применений математики к физике состоит
в том, что уравнения, представляющие законы движения, должны быть
просты. Весь успех этой схемы основан на том, что простые уравнения,
кажется, работают. Физик получает таким образом в руки принцип про-
простоты, которым можно пользоваться как инструментом в исследовании.
Если он получает из каких-то грубых экспериментов данные, которые
находятся в грубом согласии с некоторыми простыми уравнениями, он
*) The Relation between Mathematics and Physics // Proc. Roy. Soc. Edinburg. A. 1938-
1939. V. 59. P. 122-129.
122 P. A. M. Dirac,
XI The Relation between Mathematics and Physics. By
Professor P. A. M. Dirac, F.R.S. Communicated to the Royal
Society of •Edinburgh on presentation of the James SCOTT Prize,
February 6, 1939.
(MS. received February 25, 1939.)
THE physicist, in his study of natural phenomena, has two methods of
making- progress: A) the method of experiment and observation, and
B) the method of mathematical reasoning. The former is just the collec-
collection of selected data; the latter enables one to infer results about experi-
experiments that have not been performed. There is no logical reason why
the second method should be possible at all, but one has found in practice
that it does work and meets with remarkable success. This must be
_ ascribed to some mathematical quality in Nature, a quality which the
casual observer of Nature would not suspect, but which nevertheless
plays an important role in Nature's- scheme.
One might describe the mathematical quality in Nature by saying that
the universe is so constituted that mathematics is a useful tool in its
description. However, recent advances in physical science show that
this statement of the case is too trivial. The connection between mathe-
mathematics and the description of the universe goes far deeper than this, and
one can get an appreciation of it only from a thorough examination of
the various factors that make it up. The main aim of my talk to you
will be to give you such an appreciation. I propose to deal with how the
physicist's views on this subject have been gradually modified by the
succession of recent developments in physics, and then I would like to
make a little speculation about the future.
Let us take as our starting-point that scheme of physical science which
was generally accepted in the last century—the mechanistic scheme.
This considers the whole universe to be a dynamical system (of course
an extremely complicated dynamical system), subject to laws of motion
which are essentially of the Newtonian type. The role of mathematics
in this scheme is to represent the laws of motion by equations, and to
obtain solutions of the equations referring to observed conditions.
The dominating idea in this application of mathematics to physics is
that the equations representing the laws of motion should be of a simple
form. The whole success of the scheme is due to the fact that equations
of simple form do seem to work. The physicist is thus provided with a
Первая страница лекции П.A.M. Дирака
«Отношение между математикой и физикой»
39. ОТНОШЕНИЕ МЕЖДУ МАТЕМАТИКОЙ И ФИЗИКОЙ 561
делает вывод, что если он проведет более аккуратный эксперимент, то
данные будут находиться в лучшем согласии с уравнениями. Однако такой
метод очень ограничен, потому что принцип простоты применим к фунда-
фундаментальным законам движения, а не к явлениям Природы в общем случае.
Так, например, грубый эксперимент, устанавливающий связь между дав-
давлением и объемом газа при определенной температуре, дает результаты,
находящиеся в согласии с законом обратной пропорциональности. Но было
бы неверно делать из этого вывод, что более тщательный эксперимент
подтвердит этот закон с большей точностью, так как мы имеем здесь дело
с явлением, не связанным сколько-либо прямым образом с фундаменталь-
фундаментальными законами движения.
Открытие теории относительности сделало необходимой модификацию
принципа простоты. Один из, по-видимому, фундаментальных законов
Природы —это закон тяготения, который согласно Ньютону описывается
очень простым уравнением. Однако согласно Эйнштейну требуется раз-
развитие чрезвычайно сложной техники, прежде чем уравнения закона тя-
тяготения можно будет хотя бы только записать. Правда, с точки зрения
высшей математики, можно привести аргументы в пользу того, что закон
гравитации Эйнштейна на самом деле проще закона Ньютона, но при этом
придется приписать достаточно тонкий смысл самому понятию простоты,
что в значительной мере разрушает практическое значение принципа про-
простоты в качестве инструмента исследования оснований физики.
Что делает теорию относительности столь привлекательной для фи-
физиков, несмотря на то, что она противоречит принципу простоты, — это
ее поразительная математическая красота («mathematical beauty»). Это
качество поддается определению не более, чем красота в искусстве, одна-
однако обычно без труда понимается теми, кто изучает математику. Теория
относительности подняла математическую красоту описания Природы на
уровень, никогда прежде не достигавшийся. Специальная теория относи-
относительности изменила наши представления о пространстве и времени; эти
изменения можно подытожить в утверждении, что группа преобразова-
преобразований, которым подчиняется пространственно-временной континуум, долж-
должна быть заменена: вместо группы Галилея мы должны использовать груп-
группу Лоренца. Последняя несравненно красивее, чем первая, — фактически,
с математической точки зрения группа Галилея — это вырожденный част-
частный случай группы Лоренца. Общая теория относительности включает
следующий шаг примерно такого же характера, хотя возрастание красоты
на этот раз обычно считается меньшим, чем в случае специальной теории,
вследствие чего в справедливость общей теории верят не так твердо, как
в случае специальной теории.
Итак, мы видим, что должны заменить принцип простоты на прин-
принцип математической красоты. Исследователь в своих усилиях выразить
фундаментальные законы Природы в математической физике должен бо-
бороться главным образом за математическую красоту. Надо по-прежнему
принимать во внимание простоту, но она должна быть подчинена мате-
562 VI. ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
матической красоте. (Например, Эйнштейн, выбирая закон гравитации,
взял простейший, совместимый с его пространственно-временным конти-
континуумом, и это привело его к успеху.) Часто случается, что требования
простоты и красоты совпадают. Но если они сталкиваются, то следует
отдавать предпочтение последнему.
Перейдем ко второй революции в физической мысли нынешнего столе-
столетия — к квантовой физике. Это теория атомных явлений, основанная на
механике существенно иного типа, нежели механика Ньютона. Различие
можно сформулировать кратко, но в довольно абстрактном виде, сказав,
что динамические переменные в квантовой механике подчиняются алгеб-
алгебре, в которой аксиома коммутативности умножения не выполняется. Во
всем остальном существует чрезвычайно близкая формальная аналогия
между квантовой механикой и старой механикой. В самом деле, воистину
примечательно, насколько старая механика оказывается приспособленной
к обобщению на некоммутативную алгебру. Все элегантные черты старой
механики могут быть перенесены в новую, где они проявляются вновь
с удвоенной красотой.
Квантовая механика требует введения в физическую теорию обширной
новой области чистой математики — всей области, связанной с некоммута-
некоммутативным умножением. Эта математика, входя в физическую науку вслед
за новой геометрией, введенной теорией относительности, намечает путь,
который, как мы можем ожидать, будет продолжаться. Можно надеяться,
что в будущем и другие обширные области чистой математики войдут
в обиход в связи с развитием фундаментальной физики.
Чистая математика и физика становятся связанными все теснее, хотя
их методы и остаются различными. Можно сказать, что математик играет
в игру, в которой он сам изобретает правила, в то время как физик играет
в игру, правила которой предлагает Природа. Однако с течением времени
становится все более очевидным, что правила, которые математик находит
интересными, совпадают с теми, которые избрала Природа. Трудно пред-
предсказать, каков будет результат всего этого. Возможно, оба предмета в кон-
конце концов сольются, и каждая область чистой математики будет иметь
физические приложения, причем их важность в физике станет пропорци-
пропорциональна их интересности в математике. В настоящее время мы, конечно,
еще очень далеки от этой стадии, даже по отношению к некоторым самым
элементарным вопросам. Например, в физике важно лишь четырехмерное
пространство, в то время как для математики пространства с иным числом
измерений представляют, в сущности, равный интерес. Однако вполне
может случиться, что это расхождение вызвано неполнотой сегодняшних
знаний и дальнейшее развитие покажет, что четырехмерное пространство
представляет с точки зрения математики гораздо больший интерес, чем
все другие.
Движение математики и физики в сторону объединения снабжает фи-
физика новым мощным методом исследования основ его науки, методом,
который пока не удавалось применять с успехом, но который, я чувствую
39. ОТНОШЕНИЕ МЕЖДУ МАТЕМАТИКОЙ И ФИЗИКОЙ 563
это, еще докажет свое значение в будущем. Метод состоит в том, чтобы
начать с выбора такой ветви математики, которая, по вашей мысли, может
стать основанием новой теории. В этом выборе надо руководствоваться
в сильной степени соображениями математической красоты. Вероятно так-
также, хорошо бы отдать предпочтение такой ветви математики, которая
имеет в своем основании интересную группу преобразований, потому что
преобразования играют важную роль в современной физической теории.
Как релятивистская теория, так и квантовая, по-видимому, показывают,
что значение преобразований более фундаментально, чем значение уравне-
уравнений. Выбрав область математики, следует начать развивать ее в подходя-
подходящих направлениях, присматриваясь одновременно к тому, как она может
поддаться естественной физической интерпретации.
Таким методом воспользовался Иордан в попытке получить улучшен-
улучшенную квантовую механику, опираясь на алгебру с неассоциативным умно-
умножением. Попытка не была успешной, как в общем-то и следовало ожидать,
если обратить внимание, что неассоциативная алгебра не принадлежит
к числу красивых математических теорий и не связана ни с какой интерес-
интересной теорией преобразований. Я бы предложил в качестве идеи, выглядя-
выглядящей более обнадеживающе для улучшения квантовой механики, взять за
основу теорию функций комплексной переменной. Эта область математики
исключительно красива, и группа преобразований, с которой она связана,
именно, группа преобразований комплексной плоскости, это та же группа,
что и группа Лоренца, управляющая пространством-временем специаль-
специальной теории относительности. Мы приходим таким образом к подозрению,
что есть какая-то глубокая связь между теорией функций комплексной
переменной и пространством-временем специальной теории относительно-
относительности; разработка этой связи станет трудной целью будущих исследований.
Обсудим теперь, насколько широко простирается математическое ка-
качество Природы. По представлениям механической схемы физики или ее
релятивистской модификации для полного описания Вселенной необходи-
необходима не только полная система уравнений движения, но также и полный
набор начальных условий, причем лишь к первым применима математи-
математическая теория. Последние же рассматриваются как лежащие вне теоре-
теоретического осмысления и могут быть определены только из наблюдений.
Чрезвычайная сложность Вселенной приписывается чрезвычайной слож-
сложности начальных условий, что оставляет ее вне рамок математического
обсуждения.
Я нахожу такое положение в высшей мере неудовлетворительным фи-
философски, так как это противоречит всем идеям единства Природы. В лю-
любом случае, если математическая теория применима лишь для описания
части Вселенной, эта часть должна быть резко отделена от остального. Но,
фактически, кажется, нет такого естественного места, где можно провести
линию раздела. Являются ли такие вещи, как свойства элементарных
частиц в физике, их массы, численные коэффициенты, входящие в закон
сил, предметом математической теории? Согласно узко механистическому
564 VI. ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
взгляду они должны рассматриваться как начальные условия и лежать
вне математической теории. Однако поскольку все элементарные частицы
принадлежат тому или другому из небольшого числа определенных типов
и все члены одного типа в точности одинаковы, они должны в какой-то ме-
мере управляться математическим законом, и большинство физиков считает
сейчас, что в весьма большой мере. Например, Эддингтон строил теорию,
которая была призвана объяснить массы частиц. Но даже если мы пред-
пол ожим, что все свойства элементарных частиц определяются теорией,
мы все еще не будем знать, где провести черту, потому что мы немедлен-
немедленно окажемся перед следующим вопросом: определяется ли относительное
обилие разных химических элементов теорией? И так мы будем шаг за
шагом переходить от атомных вопросов к вопросам астрономическим.
Это неудовлетворительное положение еще ухудшается, когда мы пере-
переходим к новой квантовой механике. Несмотря на близкую аналогию между
квантовой механикой и старой механикой в отношении математического
формализма, они решительно отличаются в смысле природы их физи-
физических выводов. В соответствии со старой механикой результат любого
наблюдения полностью определен и может быть теоретически вычислен из
данных начальных условий; в квантовой же механике обычно наличеству-
наличествует неопределенность в результате измерения, связанная с возможностью
появления квантовых скачков, и самое большее, что может быть теорети-
теоретически вычислено, эта вероятность любого возможного результата, который
будет получен. Вопрос, какой частный результат будет получен в каждом
частном случае, лежит за пределами теории. Это не может быть припи-
приписано неполноте теории, но представляет существенную черту применения
формализма такого рода, как используемый в квантовой теории.
Таким образом, в соответствии с квантовой механикой для полного
описания Вселенной мы нуждаемся не только в законах движения и на-
начальных условиях, но еще и в информации о квантовых скачках всякий
раз, когда они происходят. Эта последняя информация должна быть вклю-
включена, наряду с начальными условиями, в ту часть описания Вселенной,
которая находится вне теории.
Такое возрастание внематематической части описания Вселенной по-
порождает философские возражения против квантовой теории и является, по
моему мнению, той внутренней причиной, из-за которой некоторые физики
до сих пор затрудняются принять эту механику. Квантовая механика,
однако, не должна быть отброшена, во-первых, потому, что она находится
в чрезвычайно широком и детальном согласии с экспериментом, и, во-
вторых, потому, что неопределенность, которую она вносит в результа-
результаты эксперимента, как раз такого рода, что она философски удовлетво-
удовлетворительна, поскольку ее следует приписать неизбежной грубости средств
наблюдения, которыми мы располагаем для экспериментов на очень малых
расстояниях. Но это возражение тем не менее указывает, что основания
физики все еще далеки от своей окончательной формы.
39. ОТНОШЕНИЕ МЕЖДУ МАТЕМАТИКОЙ И ФИЗИКОЙ 565
Мы перейдем теперь к третьему великому достижению физической на-
науки нашего столетия — к новой космологии. Возможно, что в философском
смысле оно окажется еще более революционным, чем теория относитель-
относительности или квантовая теория, хотя сейчас еще вряд ли можно увидеть все
его следствия. Исходной точкой является красное смещение, наблюдаемое
в спектрах отдаленных небесных тел, указывающее, что они удаляются
от нас со скоростями, пропорциональными их расстояниям 1). Скорости
наиболее удаленных тел настолько громадны, что совершенно очевидна
величайшая важность этого факта, т.е. ясно, что мы имеем дело здесь не
с временными или локальными условиями, но с чем-то фундаментальным
для всей нашей картины Вселенной.
Если мы будем возвращаться назад в прошлое, то придем ко времени
около 2 • 109 лет тому назад, когда вся материя Вселенной была сконцен-
сконцентрирована в очень малом объеме. Кажется, словно в это время произошло
нечто вроде взрыва, обломки которого мы все еще видим разлетающимися
вовне. Эта теория была разработана Леметром 2), который считает, что
Вселенная началась с одного очень тяжелого атома, который претерпел
сильнейший радиоактивный распад и таким способом разбился на нынеш-
нынешнее собрание астрономических тел, испустив одновременно и космические
лучи.
Такая космологическая картина приводит к предположению, что было
начало времени, и что бессмысленно задаваться вопросом, что было до
этого. Можно получить грубое представление о геометрической картине
такого развития, если представить себе настоящее в виде поверхности
сферы, движение в прошлое —как движение к центру сферы, а движе-
движение в будущее — как движение вовне. Тогда нет никакого предела для
движения в направлении будущего, но существует очевидный предел для
движения в прошлое, отвечающий тому, что мы достигнем центра сферы.
Начало времени предоставляет естественную точку, от которой должно
отсчитываться время любого события. Обычно это называют эпохой собы-
события. Так, настоящая эпоха — это 2 • 109 лет.
Теперь вернемся к вопросам динамики. Согласно новой космологии
Вселенная должна была возникнуть каким-либо простым образом. Что же
тогда происходит с начальными условиями, нужными для динамической
теории? Попросту говоря, их вообще не может быть или они должны
быть тривиальны. Мы попадаем в положение, совершенно несостоятельное
j Наличие разлетания нельзя считать точно доказанным, так как можно постулиро-
постулировать и другие причины красного смещения. Но эти иные причины окажут одинаково
резкое воздействие на космологическую теорию и одинаково потребуют введения пара-
параметра порядка 2 • 109 лет для их математического описания, так что они, вероятно, не
изменят основных моментов приводимой здесь аргументации.
(Уточнение шкалы расстояний привело к увеличению этой оценки до 1,35 • 1010 лет. —
Примеч. ред.)
2) Российский математик А. Фридман впервые в 1922 г. нашел нестационарное ре-
решение уравнений общей теории относительности, которые описывают расширяющуюся
Вселенную. Леметр A931 г.) был вторым. — Примеч. ред.
566 VI. ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
с точки зрения старой динамики. Если Вселенная просто развивалась
в движении, которое следовало из заданной схемы уравнений движения
с тривиальными начальными условиями, то она никак не могла бы прийти
к той сложной структуре, которую мы наблюдаем. Квантовая механика
предлагает выход из этого затруднения. Она позволяет приписать всю
сложность квантовым скачкам, которые лежат вне схемы уравнений дви-
движения. Квантовые скачки образуют теперь ту непросчитываемую часть
явлений Природы, которая заменяет начальные условия старого механи-
механистического подхода.
В связи с новой космологией стоит отметить еще одно обстоятельство.
В начале времени сами законы Природы, вероятно, весьма отличались
от их современного вида. Таким образом, мы должны рассматривать
законы Природы как непрерывно изменяющиеся с изменением эпохи, а
не как сохраняющиеся неизменными во всем пространстве-времени. Эта
идея была впервые предложена Милном, который вывел ее из допуще-
допущения, что Вселенная в данную эпоху, грубо говоря, всюду однородна и
сферически симметрична. Я нахожу эти предположения не очень удовле-
удовлетворительными, так как локальные отступления от однородности столь
велики и имеют такое существенное значение для всего мира, в котором
мы живем, что кажется неправдоподобным, чтобы за ними стоял принцип
однородности. Далее, если уж мы считаем законы Природы зависящими
от эпохи, мы должны были бы ожидать, что они зависели бы и от места
в пространстве, чтобы сохранить красивую идею теории относительности о
фундаментальном сходстве между пространством и временем. Это говорит
против допущения Милна еще более решительно, чем простое отсутствие
однородности в распределении материи.
Мы проследили основное направление развития отношения между ма-
математикой и физикой вплоть до настоящего времени и достигли той ста-
стадии, когда становится интересным предаться размышлениям о будущем.
Всегда существовала неудовлетворенность этим соотношением, а именно
ограничением объема применимости математики к описанию физической
Вселенной. Часть, в которой она неприменима, возросла с появлением
квантовой механики и уменьшилась с появлением новой космологии, но
она всегда оставалась.
Эта особенность в отношении между математикой и физикой настолько
неудовлетворительна, что, я думаю, можно смело предсказать, что в бу-
будущем она должна исчезнуть несмотря на разительную перемену наших
обычных представлений, к которой это приведет. Это будет означать су-
существование такой схемы, в которой все описание Вселенной имеет свое
математическое выражение, и мы должны будем предположить, что лицо,
обладающее полным знанием математики, сумеет вывести из нее не только
астрономические данные, но также все исторические явления, имевшие
место в мире, вплоть до самых тривиальных. Разумеется, фактическое
выполнение таких выводов должно лежать за пределами человеческих воз-
возможностей, ибо жизнь, насколько мы ее знаем, была бы невозможна, если
39. ОТНОШЕНИЕ МЕЖДУ МАТЕМАТИКОЙ И ФИЗИКОЙ 567
бы мы могли рассчитывать будущие события, однако методы выполнения
таких расчетов должны быть хорошо определены. Эта схема не может
подчиняться принципу простоты, так как она должна быть предельно
сложной, но она может подчиняться принципу математической красоты.
Я хотел бы выдвинуть предположение, как эта схема могла бы быть
реализована. Если мы выразим настоящую эпоху, 2 • 109 лет, в единицах
времени, определенных через атомные константы, то получим число по-
порядка 1039, которое определяет настоящее в абсолютном смысле. Не может
ли так случиться, что все настоящие события соответствуют свойствам
этого большого числа и, даже более общо, что вся история Вселенной
соответствует свойствам всей последовательности натуральных чисел? На
первый взгляд кажется, что Вселенная чересчур сложна для того, чтобы
такое соответствие могло иметь место. Но я думаю, что такое возражение
не может выдвигаться, ибо число 1039 невероятно сложно именно потому,
что оно столь огромно. У нас есть краткий способ его записи, но это не
должно закрывать нам глаза на то, что оно должно иметь чрезвычайно
сложные свойства.
Значит есть возможность того, что древняя мечта философов связать
всю Природу со свойствами целых чисел будет когда-нибудь осуществлена.
Чтобы сделать это, физика должна пройти долгий путь, устанавливая
в деталях, как это соответствие должно выглядеть. Одно указание на
этот путь развития кажется довольно очевидным, а именно тот факт, что
изучение целых чисел в современной математике неразрывным образом
связано с теорией функций комплексной переменной, которая, как мы уже
видели, с большой вероятностью должна стать основой будущей физики.
Разработка этой идеи приведет к связи между атомной физикой и космо-
космологией.
40
ЭВОЛЮЦИЯ ФИЗИЧЕСКОЙ КАРТИНЫ ПРИРОДЫ
Рассказ о том, как физическая теория развивалась в прошлом и чего, в свете этого
развития, можно ждать от нее в будущем.
В этой статье мне хотелось бы рассказать о видоизменении общей
физической теории: как она развивалась в прошлом и чего от нее можно
ожидать в будущем. Это непрерывное развитие можно рассматривать как
процесс эволюции, который продолжается уже несколько столетий.
Первый важный шаг в процессе этой эволюции был сделан Ньютоном.
До Ньютона люди, по существу, рассматривали мир как нечто двумер-
двумерное, ибо человек мог передвигаться по двум направлениям: направление
«вверх — вниз» рассматривалось как нечто совсем иное. Ньютон показал,
что физические законы природы обладают такой симметрией, что на-
направление «вверх — вниз» можно рассматривать наравне с двумя другими
направлениями, если ввести силу тяготения. Этим Ньютон выяснил, какую
роль играет сила тяготения в физической теории. Именно поэтому можно
считать, что Ньютон позволил нам перейти от картины мира с двумерной
симметрией к картине мира с трехмерной симметрией.
Следующий шаг в этом направлении был совершен Эйнштейном, ко-
который показал, как можно перейти от картины мира с трехмерной сим-
симметрией к картине с четырехмерной симметрией. Эйнштейн ввел время
в физическую картину мира и показал, насколько его роль во многих
отношениях симметрична трем пространственным измерениям. Но эта
симметрия оказалась уже не столь полной. Эйнштейновская картина за-
заставляет нас думать о мире с четырехмерной точки зрения, но эти четыре
измерения не полностью симметричны, ибо в этой картине имеются неко-
некоторые преимущественные направления. Такими особыми направлениями
являются так называемые «нулевые направления», вдоль которых могут
двигаться лучи света. Следовательно, четырехмерная картина не является
полностью симметричной. И все же четырехмерный мир в достаточной
степени симметричен. Неполнота его симметрии проявляется лишь в том,
что в уравнениях физики время имеет знак минус, тогда как три простран-
пространственные координаты имеют знак плюс (см. верхнее уравнение, с. 571).
Итак, развитие шло от трехмерной картины к четырехмерной. Это
вряд ли обрадует читателя, поскольку его сознанию мир представляется
все-таки трехмерным. Можно ли совместить эту очевидную трехмерную
*) The Evolution of the Physicist's Picture of Nature // Scient. Amer. 1963. V. 208 E).
P. 45-53.
40. ЭВОЛЮЦИЯ ФИЗИЧЕСКОЙ КАРТИНЫ ПРИРОДЫ 569
картину с четырехмерной, которую, по Эйнштейну, должен требовать
физик?
Ответ состоит в том, что нашему сознанию фактически представля-
представляется «трехмерное сечение четырехмерной картины». Чтобы из картины
Эйнштейна получить то, что представляется нашему сознанию, в данный
момент времени следует взять трехмерное сечение, а в более поздний
момент мы получим другое трехмерное сечение. Задача физика состоит,
главным образом, в увязывании событий в одном таком сечении с событи-
событиями в другом подобном сечении, относящемся к более позднему времени,
т. е. в предсказании. Таким образом, картина с четырехмерной симметрией
не позволяет понять всю ситуацию. Эта неполнота становится особенно
существенной, если учесть особенности, обнаруженные с появлением кван-
квантовой теории. Квантовая теория учит, что необходимо учитывать процесс
наблюдения, а наблюдения, как правило, требуют рассмотрения трехмер-
трехмерных сечений четырехмерной картины Вселенной.
Выдвинутая Эйнштейном специальная теория относительности требу-
требует, чтобы мы облекали любые физические законы в такую форму, которая
обладала бы четырехмерной симметрией. Однако когда мы пытаемся ис-
использовать эти законы для предсказания результатов измерений, то нам
приходится чем-то дополнять законы четырехмерной симметрии, посколь-
поскольку для описания нашего восприятия Вселенной в определенный момент
времени требуется производить трехмерное сечение.
Эйнштейну принадлежит еще один важный вклад в развитие физиче-
физической картины: он создал общую теорию относительности, с точки зрения
которой мы должны считать физическое пространство искривленным. До
Эйнштейна физики всегда имели дело с плоским пространством — с трех-
трехмерным плоским пространством Ньютона. Затем пространство обобщили
до четырехмерного плоского пространства специальной теории относи-
относительности. Общая теория относительности внесла поистине важный вклад
в эволюцию наших представлений, совершив в нашей физической картине
переход к искривленному пространству. Общие утверждения этой теории
означают, что все законы физики могут быть сформулированы в искрив-
искривленном четырехмерном пространстве и что эти законы должны проявлять
симметрию по отношению к его четырем измерениям. Но опять-таки, когда
мы хотим учесть процесс наблюдения, как этого требует квантовая теория,
нам приходится рассматривать сечение этого четырехмерного простран-
пространства. Искривленность четырехмерного пространства вызывает определен-
определенное искривление и любого его сечения, поскольку, вообще говоря, плос-
плоскому сечению искривленного пространства нельзя придать определенного
смысла. Но тогда мы приходим к картине, в которой мы должны произ-
производить искривленные трехмерные сечения искривленного четырехмерного
пространства и рассуждать о наблюдениях в этих сечениях.
В течение нескольких последних лет физики пытались применить кван-
квантовые идеи к гравитации, а также к другим физическим явлениям. Разви-
Развитие теории привело к неожиданностям: когда результаты гравитационной
570 VI. ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
теории рассматривают с точки зрения сечений, то обнаруживают, что
из теории выпадают некоторые степени свободы. Дело в том, что грави-
гравитационное поле представляет собой тензорное поле с 10 компонентами.
Уже шести этих компонент достаточно для описания всего физически
интересного; остальные четыре компоненты можно в уравнениях опустить.
Нельзя, однако, выхватить шесть физически важных компонент из полной
системы 10 компонент, не нарушив при этом четырехмерную симметрию
теории. Но если настаивать на неизменности четырехмерной симметрии
уравнений, то теорию тяготения невозможно приспособить к тем физи-
физическим представлениям об измерениях, которые неизбежно следуют из
квантовой теории, не описывая при этом явление намного сложнее, чем
этого требуют физические условия. Такой результат заставляет меня по-
поставить вопрос о том, насколько фундаментальным является в физике
требование четырехмерной симметрии. Несколько десятилетий назад не
было сомнений в том, что всю физику следует выражать в четырехмерной
форме. Однако теперь кажется, что четырехмерная симметрия не столь
необходима, поскольку при отказе от нее в некоторых случаях описание
Природы упрощается.
Теперь мне хотелось бы проследить за тем развитием теоретической
физики, которое было вызвано квантовой теорией. В квантовой теории
рассматриваются чрезвычайно малые объекты, и именно эта теория при-
привлекала главное внимание физиков за прошедшие 60 лет. В этот период
физики накопили весьма большое количество эмпирической информации и
разработали соответствующую ей теорию. Эта комбинация теории и экспе-
эксперимента повлекла за собой существенные изменения физической картины
мира.
Квант был впервые открыт, когда Планк обнаружил необходимость
предположить, что энергия электромагнитных волн существует только
в значениях, кратных некоторой единице, зависящей от частоты волн.
Иначе нельзя было объяснить закономерности излучения черного тела.
Затем Эйнштейн открыл, что существование такой же единицы энергии
проявляется в фотоэлектрическом эффекте. В этих ранних работах по
квантовой теории приходилось просто постулировать единицу энергии,
оставив физическую картину неизменной.
Первой новой физической картиной была модель атома Бора. В кар-
картине, принятой Бором, электроны двигались по вполне определенным
орбитам, совершая случайные перескоки с одной орбиты на другую. По
этой картине нельзя судить о том, каким образом происходят эти переско-
перескоки. Мы просто должны их постулировать как некоторого рода разрывы
непрерывности. Боровская картина атома, в сущности, пригодна лишь для
решения частных задач, в которых представляет интерес поведение только
одного электрона. Следовательно, такая картина неполна и примитивна.
Большой успех квантовой теории принес 1925 год, когда была открыта
квантовая механика. Этот успех был достигнут независимо двумя физи-
физиками: сначала Гейзенбергом, а затем — Шредингером, который подошел
40. ЭВОЛЮЦИЯ ФИЗИЧЕСКОЙ КАРТИНЫ ПРИРОДЫ 571
к проблеме с несколько иной точки зрения. Работа Гейзенберга была тесно
связана с известными к тому времени экспериментальными данными о
спектрах. Гейзенберг сумел записать эту экспериментальную информацию
в виде формальной схемы, известной в настоящее время под названием
матричной механики. В схему матричной механики прекрасно укладыва-
укладывались все известные экспериментальные спектроскопические данные, а это
повлекло за собой совершенно иную картину атомного мира. Исходная
точка зрения Шредингера была более математической: он пытался найти
красивую математическую теорию для описания атомных явлений. В этих
поисках помощь ему оказали идеи де Бройля о волнах, определенным
образом связанных с частицами. Шредингеру удалось обобщить идеи де
Бройля и получить весьма изящное уравнение, известное под названием
«волнового уравнения Шредингера», описывающего атомные процессы.
Шредингер вывел это уравнение путем «чистого мышления», в поисках
некоторого изящного обобщения идей де Бройля, а не придерживаясь воз-
возможно ближе к экспериментальной информации, как поступал Гейзенберг.
Четырехмерная симметрия, введенная в специальной теории относительности, ока-
оказалась не совсем полной. Уравнение
ds2 = с2 dt2 - dx2 - dy2 - dz2
дает выражение для интервала в четырехмерном пространстве. Здесь s — интервал, с —
скорость света, t — время, ж, у и z — три пространственные координаты; ds является
дифференциалом. Неполнота симметрии заключается в том, что в уравнениях физики
время имеет знак (с2 dt2), противоположный знаку трех пространственных координат
(—dx2, —dy2 и — dz2). Первое волновое уравнение Шредингера
\2тгс 8t + сг) Г ° 4тг2 \дх2 ду2 dz2
оказалось противоречащим опыту, так как в нем не учитывался спин электрона, ко-
который был тогда еще неизвестен. Это уравнение является обобщением уравнения де
Бройля для движения свободного электрона. Здесь е — заряд электрона, h — постоян-
постоянная Планка, г — расстояние от ядра, Ф — волновая функция Шредингера, т — масса
электрона. Уравнение является уравнением в частных производных. Второе волновое
уравнение Шредингера
е2\ h2
— приближенный вариант первого, не учитывающий тонких эффектов теории относи-
относительности.
Здесь уместно изложить историю, услышанную мной от самого Шре-
Шредингера. Когда Шредингер впервые пришел к идее о таком уравнении,
он сразу же применил его к электрону в атоме водорода, но это привело
к результату, противоречившему опыту. (Такое противоречие возникло
из-за того, что в то время был неизвестен спин электрона.) Это, конечно,
было огромным разочарованием для Шредингера, и он несколько месяцев
воздерживался от продолжения своих исследований. Затем он заметил, что
если ограничиться грубо приближенным вариантом теории, не учитывая
572 VI. ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
тонкие эффекты теории относительности, то достигается согласие с ре-
результатами наблюдений. И он опубликовал в своей первой статье лишь это
грубое приближение. Именно так увидело свет волновое уравнение ТТТре-
дингера. Конечно, позднее, когда физики научились правильно учитывать
спин электрона, смысл расхождения между решениями релятивистского
уравнения Шредингера и экспериментами был полностью выяснен.
Эта история, я думаю, имеет свою мораль, а именно: красота уравнений
важнее их согласия с экспериментом. Если бы у Шредингера было больше
убежденности в своей теории, то он решился бы опубликовать на несколько
месяцев раньше более точное уравнение. Такое уравнение известно в на-
настоящее время под названием «уравнение Клейна-Гордона», хотя на самом
деле оно было открыто Шредингером еще до того, как он опубликовал
свою нерелятивистскую теорию атома водорода. По-видимому, если глубо-
глубоко проникнуть в сущность проблемы и работать, руководствуясь критери-
критерием красоты уравнений, тогда можно быть уверенным, что находишься на
верном пути. Если же нет полного согласия между результатами теории и
экспериментом, то не стоит слишком разочаровываться, ибо это расхожде-
расхождение вполне может быть вызвано второстепенными факторами, правильный
учет которых будет ясен лишь при дальнейшем развитии теории.
Именно так была открыта квантовая механика. Она привела к такому
значительному перевороту в наших представлениях о физической картине
мира, которого, по-видимому, еще не знала история физики. Сущность это-
этого переворота заключалась в вынужденном отказе от веры в детерминизм,
которым всегда наделяли картину мира. Мы пришли, таким образом,
к теории, которая не предсказывает события с достоверностью, а дает
информацию только о вероятности осуществления различных событий.
Такой отказ от детерминизма представляется весьма спорным и вызывает
категорические возражения некоторых физиков, к которым, например,
относился Эйнштейн. Хотя Эйнштейну принадлежит крупнейший вклад
в развитие квантовой механики, он всегда неприязненно относился к той
форме квантовой механики, которая была развита при его жизни и сохра-
сохранилась до сих пор.
Возражения против отказа от детерминистской картины сводятся к ар-
аргументам, выдвинутым в работе Эйнштейна, Подольского и Розена. В этой
работе излагается трудность создания непротиворечивой картины, кото-
которая, с одной стороны, обладает наглядностью, а с другой —дает результа-
результаты, соответствующие законам квантовой механики. Сами законы кванто-
квантовой механики вполне определенны. И физики знают, как по этим законам
вычислять нужные величины и как сравнивать результаты расчетов с экс-
экспериментом. Все согласны с математическим аппаратом теории, ибо этот
формализм настолько хорош, что нет оснований не соглашаться с ним.
Споры ведутся лишь о той картине, которая скрывается за этим форма-
формализмом.
Мой совет — не слишком мучаться в таких спорах. Я чувствую глу-
глубокую уверенность в том, что состояние, достигнутое физикой в настоя-
40. ЭВОЛЮЦИЯ ФИЗИЧЕСКОЙ КАРТИНЫ ПРИРОДЫ 573
щее время, является переходным, т. е. представляет собой лишь одну из
ступеней эволюции нашей картины природы, и следует ожидать, что эта
эволюция не остановится, подобно тому как не остановится биологическая
эволюция. Нынешняя стадия физической теории представляется просто
очередной ступенью к лучшему пониманию природы. Можно быть совер-
совершенно уверенным в том, что и в физике наступят лучшие времена. Такую
уверенность внушает уже сам факт существования нынешних трудностей
физики.
Теперь мне хотелось бы немного остановиться на трудностях современ-
современной физики. Читателю-неспециалисту может показаться, что из-за всех
этих трудностей теоретическая физика находится в бедственном состоянии
и что квантовая теория не слишком хороша. Я хотел бы исправить такое
впечатление и скажу, что квантовая теория представляет собой чрезвы-
чрезвычайно хорошую теорию. Эта теория находится в удивительном согласии
с наблюдениями над весьма широким диапазоном явлений. Нет никаких
сомнений, что эта теория правильна. Единственной причиной многочис-
многочисленных дискуссий о ее трудностях является то, что именно трудности
больше всего интересуют физиков. Успехи этой теории уже мало кого
волнуют. Ведь вы не узнаете ничего нового о теории, узнавая только об
успехе за успехом, в то время как преодоление трудностей теории сулит
определенные надежды на прогресс.
Квантовая теория испытывает трудности двоякого рода. К первому ро-
роду трудностей мы отнесем те, которые я уже упоминал: какая непротиворе-
непротиворечивая физическая картина соответствует законам современной квантовой
теории? Такие трудности не слишком беспокоят физиков. Если физик уме-
умеет вычислять необходимые результаты и сравнивать их с экспериментом,
то при согласии с экспериментом он вполне счастлив, потому что именно
этого он хотел. Трудности первого рода волнуют только философов, жаж-
жаждущих получить удовлетворительное описание природы.
Кроме того, существуют трудности второго рода, которые возникают,
когда выводы современной квантовой теории бывают недоброкачествен-
недоброкачественными. Если законы современной квантовой теории применять к явлени-
явлениям в экстремальных условиях (весьма высокие энергии или очень малые
расстояния), то иногда получаются либо неоднозначные результаты, либо
результаты, вообще не имеющие физического смысла. В таких случа-
случаях, очевидно, достигнуты пределы применимости теории и необходимо
ее дальнейшее развитие. Для физиков важны именно трудности второго
рода, ибо они указывают на границы квантовой теории, за которыми ее
уже нельзя сопоставлять с экспериментом.
Я хотел бы еще немного остановиться на трудностях первого рода. Мне
кажется, что эти трудности не должны вызывать особого беспокойства, ибо
они характерны лишь для современной стадии развития физической кар-
картины мира и при будущем развитии теории почти наверняка уступят место
другим трудностям. По-моему, существует веский аргумент, определенно
говорящий о возможном преодолении этих трудностей. Дело состоит в том,
574 VI. ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
что в Природе есть несколько фундаментальных постоянных: заряд элек-
электрона е, постоянная Планка (которую обычно делят на 2тг и обозначают
через /г), скорость света с. Из этих фундаментальных постоянных можно
построить безразмерное выражение /гс/е2, это выражение, согласно экспе-
экспериментальным данным, равно 137 или близко к этому. Неизвестно, почему
это выражение имеет именно такое, а не иное значение. Физики выдвигали
по этому поводу различные идеи, однако общепринятого объяснения до
сих пор нет. Но нет никаких сомнений, что когда-нибудь физики решат
эту задачу и объяснят, почему это число имеет именно такое значение.
Законы физики будущего окажутся справедливыми (в отличие от нынеш-
нынешних) только при значении /гс/е2, равном 137, а при других значениях они
справедливы не будут.
В физике будущего, конечно, не все три величины й,еис будут фунда-
фундаментальными. Из этих величин лишь две могут быть фундаментальными,
а третья должна выводиться из этих двух. Почти наверное одной из этих
двух фундаментальных величин будет с. Скорость света с представляет
собой очень важную величину для четырехмерной картины мира, и ее роль
в специальной теории относительности весьма существенна (она связывает
между собой единицы длины и времени); поэтому она должна быть фунда-
фундаментальной постоянной. Тогда мы оказываемся перед выбором: из двух ве-
величин, йие, одна фундаментальная, а другая производная. Если бы фун-
фундаментальной была И — постоянная Планка, то величина элементарного
заряда е должна выражаться как корень квадратный из Н. Однако трудно
поверить, что какая-то фундаментальная теория выражает элементарный
заряд в виде квадратного корня, поскольку квадратные корни никогда не
входят в основные уравнения. Гораздо более вероятно, что постоянная е
будет фундаментальной и что Н выразится через е2. Тогда в основных
уравнениях теоретической физики квадратный корень не появится. По-
моему, можно вполне определенно предсказать, что мы достигаем такого
развития физики, что в картине мира фундаментальными постоянными
будут элементарный заряд е и скорость света с, а постоянная Планка будет
«производной» величиной.
Если же К будет величиной производной, а не фундаментальной по-
постоянной, то изменится все наше понимание принципа неопределенности
Гейзенберга: Н — представляет собой ту фундаментальную величину, при
помощи которой связывают неопределенность положения с неопределенно-
неопределенностью импульса. Тогда соотношение неопределенностей утратит свою фун-
фундаментальную роль, поскольку в теории сама величина Н перестанет быть
фундаментальной постоянной. По-моему, можно без риска предсказать,
что соотношение неопределенностей в его современном виде «не выживет»
в физике будущего.
Конечно, никакого возврата к детерминизму классической физики не
будет. Эволюция не идет вспять. Она пойдет вперед. Но развитие может
быть настолько неожиданным, что гадать о нем невозможно, однако от
классических идей мы отойдем еще дальше. Вместе с тем точка зрения на
40. ЭВОЛЮЦИЯ ФИЗИЧЕСКОЙ КАРТИНЫ ПРИРОДЫ 575
соотношение неопределенностей полностью изменится. И когда это про-
произойдет, физики обнаружат, что бесполезно столько спорить о роли наблю-
наблюдения в теории, ибо они обретут гораздо более ясную точку зрения, с кото-
которой они будут рассматривать все явления. Поэтому следует заметить, что
если удастся найти способ описания соотношения неопределенностей и ин-
индетерминизма современной квантовой механики, удовлетворяющий нашим
философским идеям, то мы сможем считать себя вполне счастливыми.
Однако если мы не в состоянии найти такой способ, то реального повода
для беспокойства все-таки нет. Просто в таком случае следует понять,
что современная физическая теория находится в переходном состоянии,
в котором, по-видимому, просто невозможно достичь удовлетворительной
физической картины.
Я отстранился от трудностей первого рода, подчеркнув, что они
не настолько существенны, чтобы преодоление их могло осчастливить
физиков-теоретиков, а невозможность преодоления — принималась близко
к сердцу. Трудности второго рода действительно серьезны. Они возникают
главным образом на следующем пути. Когда мы применяем квантовую
теорию к полям, учитывая требования специальной теории относительно-
относительности и записывая законы движения для трехмерных сечений (как я это уже
упоминал), то получаем уравнения, которые на первый взгляд не вызы-
вызывают сомнений. Однако при попытке решать эти уравнения оказывается,
что решений вообще не существует. В подобных случаях следовало бы ска-
сказать, что теория несостоятельна. Однако здесь физики проявили огромную
изобретательность и смогли достичь некоторого успеха, несмотря на эти
неприятности. Они обнаружили, что решению уравнений мешает то, что
определенные величины, которые должны оставаться конечными, оказы-
оказываются бесконечными. Возникают интегралы, которые не могут иметь ко-
конечных значений. Но физики отыскали определенные правила обращения
с этими бесконечностями, позволяющие получать конечные результаты.
Эти правила известны под названием «метода перенормировки».
Я объясню на словах идею метода перенормировки. Мы исходим из
теории, включающей в себя некоторые уравнения. В эти уравнения входят
определенные параметры: заряд электрона е, масса электрона га и т.п.
Затем оказывается, что эти величины, входящие в первоначальные уравне-
уравнения, не равны измеряемым на опыте значениям заряда и массы электрона.
Измеряемые значения отличаются от них определенными поправочными
членами: Де, Am и т. д., так что в итоге заряд составляет е + Ае, а масса
га + Дга. Эти изменения в заряде и массе обусловливаются взаимодей-
взаимодействием элементарной частицы с другими объектами. Затем утверждается,
что интерес представляют только эти наблюдаемые значения е + Ае и
га + Дга. Первоначальные е и га объявляются всего лишь математиче-
математическими параметрами; они ненаблюдаемы и являются лишь формальным
средством для получения величин, сравниваемых с наблюдениями; эти
параметры отбрасываются после использования. Все это выглядело бы
вполне корректно, если бы поправки Ае и Дга были малы (или хотя бы не
576 VI. ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
малы, но конечны). Однако, в соответствии с современной теорией, поправ-
поправки Де и Am бесконечны. Несмотря на это, можно применять формаль-
формальный аппарат теории и получать результаты, в которые входят величины
е + Ае и т + Ага. Эти результаты можно интерпретировать, считая, что
первоначальные е и т должны быть такими бесконечно большими отри-
отрицательными величинами, которые нужным образом компенсируют беско-
бесконечно большие поправки Ае и Am. Это позволяет использовать теорию
для получения результатов, которые можно сравнивать с опытом, в част-
частности— для квантовой электродинамики. Особенно удивительно то, что
в случае электродинамики таким методом получены результаты, чрезвы-
чрезвычайно хорошо согласующиеся с экспериментом. Результаты согласуются до
таких порядков, что для сравнения можно сослаться лишь на астрономию.
Именно из-за этого прекрасного согласования физики придают известное
значение теории перенормировок, несмотря на то что с логической точки
зрения она совершенно несостоятельна.
Представляется совершенно невозможным математически строго обос-
обосновать эту теорию. Было время, когда физическая теория целиком стро-
строилась на вполне строгом математическом фундаменте. Я вовсе не утвер-
утверждаю, что физики всегда пользуются строгими математическими утвер-
утверждениями: в выкладках они часто употребляют различные приближения.
Однако в прежние времена они вели себя подобным образом, если так
можно выразиться, просто из-за лености. Они хотели как можно быстрее
и без излишних усилий получить результат. И строгий математик всегда
мог, иногда ценою введения громоздких обозначений и других приемов,
которые желательны для большей математической строгости, но не влия-
влияют на физические идеи, довести теорию до математического совершенства.
Математики былых времен всегда умели наводить такого рода порядок
в теории. Однако теория перенормировок не поддается никаким усилиям
математиков сделать ее строгой. Я склонен к мысли, что перенормировоч-
перенормировочная теория не выживет в будущем, а замечательное согласие ее результатов
с опытом следует рассматривать как счастливое совпадение.
Это совпадение, однако, не должно вызывать слишком сильного удив-
удивления, поскольку подобные счастливые находки случались и в прошлом.
Боровская теория электронных орбит очень хорошо согласовалась с опы-
опытом, пока ограничивалась одноэлектронными задачами. Теперь физик, я
думаю, скажет, что это согласие было счастливой удачей, поскольку ос-
основные идеи орбитальной теории Бора были заменены совершенно иными
идеями. Успех перенормировочной теории, по-моему, очень сходен с успе-
успехом теории боровских орбит в одноэлектронных задачах.
Теория перенормировок устранила некоторые трудности второго рода,
если не говорить о крайне нелогичном способе отбрасывания бесконечно-
бесконечностей, однако она не устранила всех трудностей. Частицы создали множе-
множество проблем, которые не рассматриваются в квантовой электродинамике;
эти проблемы относятся к новым частицам — мезонам различного вида и
нейтрино. Теория этих частиц все еще крайне примитивна. Можно совер-
40. ЭВОЛЮЦИЯ ФИЗИЧЕСКОЙ КАРТИНЫ ПРИРОДЫ 577
шенно определенно утверждать, что эти проблемы будут решены только
после сильнейших изменений в наших фундаментальных идеях.
К этим проблемам относится упомянутая мною выше задача объяс-
объяснения числа 137. Другие проблемы касаются попытки ввести в физику
каким-то естественным способом фундаментальную длину, попытки объ-
объяснить отношения масс элементарных частиц и другие свойства частиц.
По-моему, для решения столь различных проблем требуются и различные
идеи, так что эти проблемы будут решены одна за другой в ходе дальней-
дальнейшей эволюции физики. В этом вопросе мое мнение расходится с мнением
большинства физиков, которые склонны верить в некую руководящую
идею, открытие которой разрешит сразу все эти проблемы. Мне кажется,
что тем самым возлагаются чересчур большие надежды на того, кто мог
бы решить сразу все эти проблемы. Следовало бы, напротив, как можно
тщательнее разделить эти проблемы и пытаться решить их порознь. И я
верю, что развитие физики будет состоять из отдельных успехов в обла-
области каждой проблемы и что после разрешения каждой проблемы будет
оставаться по-прежнему великой загадкой вопрос о том, как поступить
с остальными проблемами. Я могу, пожалуй, изложить и свои собственные
идеи о том, как можно решить некоторые упомянутые проблемы. Ни одна
из этих идей не является достаточно разработанной, и ни на одну из них
я не возлагаю слишком больших надежд. Тем не менее я думаю, что на
этих идеях все же стоит кратко остановиться.
Одна из этих идей состоит во введении в физическую теорию некото-
некоторого аналога светового эфира, столь популярного среди физиков XIX сто-
столетия. Я уже говорил о том, что развитие физики не идет вспять. Когда
я говорю о возвращении к эфиру, то речь не идет об эфире XIX века, а
имеется в виду введение в физическую картину мира нового представления
об эфире, которое соответствует современным идеям квантовой теории.
Суть возражений против старой идеи об эфире состояла в следующем.
Если эфир представлять в виде жидкости, заполняющей все пространство,
то в любой точке эта жидкость должна иметь определенную скорость.
Однако такая скорость нарушала бы четырехмерную симметрию, т. е.
противоречила бы специальному принципу относительности Эйнштейна.
Специальная теория относительности уничтожила такое представление об
эфире.
Однако, согласно современной квантовой теории, мы не можем припи-
приписывать вполне определенную скорость какому-либо физическому объек-
объекту, ибо скорость подчиняется соотношению неопределенностей. По этому
соотношению, чем меньше масса рассматриваемого объекта, тем менее
определенна его скорость. Безусловно, масса частиц эфира должна быть
чрезвычайно малой, и применение к нему соотношения неопределенностей
имело бы существенные следствия. Применение этого соотношения к эфи-
эфиру должно давать чрезвычайно сильную неопределенность скорости эфира
в любом данном месте: эта скорость в широком диапазоне значений может
19 П.Дирак. TIV
578 VI. ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
быть любой. Именно это позволяет устранить возражения против эфира,
выдвинутые специальной теорией относительности.
Однако это вызовет важное изменение в наших представлениях о ва-
вакууме. Мы сейчас склонны считать вакуум полностью симметричным по
отношению ко всем четырем измерениям пространства —времени, как это
требуется специальной теорией относительности. Если же в вакууме суще-
существует эфир, подчиняющийся соотношению неопределенностей, то упомя-
упомянутая симметрия, вообще говоря, нарушается. Можно, правда, предполо-
предположить, что скорость эфира с одинаковой вероятностью может быть любой
в достаточно широком диапазоне. Тогда вакуум с известной степенью точ-
точности будет обладать четырехмерной симметрией. Мы не можем перейти
строго к пределу, при котором допустимы любые скорости — от плюс до
минус скорости света, — хотя именно такой разброс скоростей должен быть
при полной симметрии (в смысле специальной теории относительности).
Поэтому вакуум должен считаться таким состоянием, которое недости-
недостижимо. Вряд ли это можно считать физическим аргументом против пред-
предлагаемой теории вакуума. Просто вакуум представляет собой состояние,
к которому мы можем сколь угодно близко подойти, никогда его не до-
достигая. По-моему, это вполне удовлетворило бы физика-экспериментатора.
Но это означало бы отказ от концепции вакуума в обычной квантовой
теории, которая исходит из вакуумного состояния, обладающего полной
симметрией, требуемой специальной теорией относительности.
Такова одна из идей, развитие которой привело бы к изменению на-
нашего представления о вакууме в физике будущего, причем такое измене-
изменение нельзя считать неприемлемым для физика-экспериментатора. Деталь-
Детальная разработка такой теории встречается с трудностями, обусловленными
сложностью математической формулировки соотношения неопределенно-
неопределенностей для эфира. Поэтому удовлетворительная теория такого эфира еще
не создана. В случае ее появления в теоретической физике появилась бы
теория нового поля и можно было бы надеяться на объяснение свойств
некоторых элементарных частиц.
Мне хотелось бы упомянуть и другую возможную физическую картину,
которая относится к вопросу о том, почему все электрические заряды,
наблюдаемые в природе, должны быть кратными одному элементарному
заряду е? Почему нигде в природе заряд не распределяется непрерывно? Я
предлагаю физическую картину, представляющую собой развитие старой
идеи о фарадеевских силовых линиях. Фарадеевские силовые линии —
это наглядный образ электрических полей. Если в некоторой области
пространства имеется электрическое поле, то, по Фарадею, мы можем
изобразить его в виде системы линий, направление которых в каждой
точке совпадает с направлением электрического поля. Густота силовых
линий определяет силу электрического поля: чем ближе сходятся линии,
тем сильнее поле, и наоборот. Фарадеевские силовые линии дают нам
превосходную картину электрического поля с точки зрения классической
теории.
40. ЭВОЛЮЦИЯ ФИЗИЧЕСКОЙ КАРТИНЫ ПРИРОДЫ 579
Переход к квантовой теории должен повлечь за собой определенную
дискретность основной физической картины. Можно предположить, что
все непрерывное множество силовых линий классической теории Фарадея
заменяется немногими дискретными силовыми линиями, между которыми
никаких силовых линий уже нет.
Более того, силовые линии в фарадеевской картине оканчиваются на
зарядах. Поэтому квантование фарадеевских силовых линий подразуме-
подразумевало бы, что с концом каждой линии, если такой конец существует, связан
заряд, абсолютная величина которого всегда совпадает с зарядом электро-
электрона, т. е. составляет либо — е, либо +е. Каждой линии приписывается вполне
определенное направление, так что концы линии неодинаковы. Если на
одном конце заряд — е, то на другом заряд +е. Такие силовые линии,
конечно, могут уходить в бесконечность (или быть замкнутыми), и тогда
они не связаны с зарядами.
Если предположить, что эти дискретные силовые фарадеевские линии
представляют собой нечто фундаментальное в физике и что на их основе
должна строиться вся картина электромагнитного поля, тогда мы получа-
получаем ответ на вопрос, почему заряды всегда оказываются по своей величине
кратными е. Объяснение состоит в том, что поскольку каждой частице
соответствует конец силовой линии, то число силовых линий должно быть
целым. Таким образом, мы приходим к физической картине, которая ка-
качественно весьма удовлетворительна.
Предположим, что эти линии могут двигаться. Некоторые из них, об-
образующие замкнутые петли или просто простирающиеся от минус до плюс
бесконечности, будут соответствовать электромагнитным волнам. У дру-
других будут концы, и эти концы будут зарядами. Иногда может происходить
разрыв силовой линии. Когда это происходит, то появляются два конца,
которые должны представлять собой заряды. Такой процесс разрыва си-
силовой линии можно было бы представлять себе как картину рождения
пары электрон (—е) —позитрон (+е). Подобная картина вполне разумна,
и если бы ее удалось разработать, то это дало бы теорию, в которую заряд
е входил бы в качестве фундаментальной величины. Я не смог пока най-
найти какой-либо разумной системы уравнений для движения этих силовых
линий, и эту идею я выдвигаю просто в качестве возможного физического
образа. Особенно привлекательна одна черта предлагаемой картины. В ней
совершенно меняются все рассуждения о перенормировке. С перенорми-
перенормировкой приходится иметь дело, поскольку в нынешней квантовой электро-
электродинамике исходят из того, что физики называют «голым» электроном —
электроном без заряда. На определенной стадии в теорию вводят заряд и
приписывают его электрону, заставляя его тем самым взаимодействовать
с электромагнитным полем. Но это приводит к появлению возмущений,
в результате которых уравнения дают изменение массы электрона на
величину Am, которую следует добавить к первичной массе электрона.
Такой теоретический метод представляется слишком приближенным, ибо
он исходит из мало понятной физически концепции «голого» электрона.
19*
580 VI. ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
В улучшенной физической теории, по-видимому, «голого» электрона не
будет вообще.
Такое положение дел совпадает с тем, что мы имеем, используя дис-
дискретные силовые линии. Мы можем изображать эти силовые линии в виде
натянутых струн. Электрон тогда изображается концом струны. Сама
струна представляет собой кулонову силу вокруг электрона. «Голый» же
электрон соответствовал бы электрону, не окруженному кулоновым полем.
Такой электрон с точки зрения нашей картины непостижим, подобно тому
как трудно представить себе конец струны без самой струны. Это, по-
моему, один из путей, по которому можно развивать физическую картину
природы. Мы должны привлекать к созданию этой картины идеи, доводя-
доводящие до абсурда концепции, которые нам нежелательно иметь в физической
картине мира. И на этом пути возникает картина, которая выглядит ра-
разумно, но и здесь мне не удалось найти уравнения, соответствующие этой
картине.
Можно упомянуть и третью картину, которой я занимался в последнее
время. Она подразумевает отказ от представления об электроне как о
точке. В этой картине электрон представляет собой что-то вроде сферы
конечного размера. Сама идея об электроне как о сфере, конечно, не
нова. Однако прежде возникали трудности при рассмотрении ускоренно-
ускоренного и нерегулярного движения этой сферы. Такие движения приводили
к искажениям сферы, с которыми не знали, что делать. Я предполагаю,
что электрон, вообще говоря, может обладать любой формой и размером.
Некоторым формам и размерам будет соответствовать меньшая энергия,
чем другим. Это заставляет предполагать, что электрон с наименьшей
энергией имеет сферическую форму определенного размера.
Представление о протяженном электроне стимулировано открытием
мю-мезона, или «мюона» — одной из новых частиц. Мюон удивителен тем,
что он почти ничем не отличается от электрона, за исключением того, что
его масса примерно в 200 раз больше массы электрона. В остальном мюон
удивительно похож на электрон, обладая, как доказано с очень высокой
точностью, таким же спином и таким же отношением магнитного момента
к массе, как у электрона. Это дает повод предполагать, что мюон можно
считать возбужденным электроном. Если электрон представляет собой
точку, то довольно затруднительно представить его возбужденное состоя-
состояние наглядно. Но если электрон представляет собой наиболее устойчивое
состояние объекта, обладающего конечными размерами, тогда мюон мож-
можно представлять в виде следующего наиболее устойчивого колебательного
состояния этого объекта. Именно к этому сводится идея, которая занимает
меня в настоящее время. Разработка этой идеи встречает трудности, в осо-
особенности при попытке ввести нужное значение спина.
Мною упомянуты три возможных пути, по которым, на мой взгляд,
могло бы пойти развитие физической картины мира. Нет никаких сомне-
сомнений в том, что другие физики думают о других путях. Некоторые физики
надеются, что рано или поздно кто-нибудь найдет идею, верно ухваты-
40. ЭВОЛЮЦИЯ ФИЗИЧЕСКОЙ КАРТИНЫ ПРИРОДЫ
581
вающую суть дела и приводящую к быстрому развитию теоретической
физики. Я довольно пессимистично настроен на этот счет и склонен пола-
полагать, что ни одна из таких идей не окажется достаточно хорошей. Будущее
изменение основ физики, т. е. изменение, которое приведет к подлинному
решению какой-либо фундаментальной проблемы, вроде проблемы фунда-
фундаментальной длины или вычисления отношений масс элементарных частиц,
потребует нескольких коренных изменений нынешней физической карти-
картины Природы. Но это означает, что нынешние попытки представить себе
новую физическую картину порочны, ибо они основаны на соображениях,
которые используют несоответствующие физические концепции. Но если
это так — то на какой прогресс в будущем можно вообще рассчитывать?
Силовые линии электромагнитного поля, если считать их дискретными в квантовой
теории, показывают, почему все электрические заряды всегда кратны заряду электрона.
По идее Дирака, когда силовая линия имеет два конца, то одному из них соответствует
заряд — е (электрон), другому +е (позитрон). Когда происходит разрыв силовой линии,
рождается пара электрон — позитрон.
У теоретической физики есть еще один верный путь развития. При-
Природе присуща та фундаментальная особенность, что самые основные фи-
физические законы описываются математической теорией, аппарат которой
обладает необыкновенной силой и красотой. Чтобы понять эту теорию,
нужно обладать необычайно высокой математической квалификацией. Вы
582 VI. ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
можете спросить: почему Природа устроена именно так? На это можно
ответить только одно: согласно нашим современным знаниям, Природа
устроена именно так, а не иначе. Мы должны просто принять это как
данное. Вероятно можно описать существующую ситуацию, сказав, что
Бог — математик высшей квалификации, и при создании Вселенной он ис-
использовал самую совершенную математику. Наши жалкие математические
усилия позволяют пока понять во Вселенной лишь немногое. Но развивая
все более совершенные математические методы, мы можем надеяться и на
лучшее понимание Вселенной.
Такая методология указывает нам еще один путь к возможному про-
прогрессу теоретической физики. Именно математические исследования дают
надежду угадать, каким будет аппарат будущей теоретической физики.
Математические основы квантовой теории разрабатываются многими фи-
физиками, которые прилагают усилия для лучшего понимания теории и для
придания ей большей силы и большей математической красоты. Если кто-
либо сможет напасть на правильный путь, ведущий к такому развитию
физики, то это приведет к дальнейшим успехам: сначала будут открыты
искомые уравнения, а затем, после анализа этих уравнений, будут посте-
постепенно выясняться способы их применения. До некоторой степени такая
картина развития соответствует истории открытия волнового уравнения
Шредингером. Вся простота открытия Шредингера обусловлена именно
поисками уравнения, обладающего математической красотой. После от-
открытия такого уравнения физики убедились, что оно в определенных
задачах приводит к правильным ответам, однако общие принципы при-
применения этого уравнения были разработаны лишь двумя-тремя годами
позже. Вполне может оказаться, что следующий решающий успех в фи-
физике придет именно так: сначала удастся открыть уравнения, и только
спустя несколько лет выяснятся физические идеи, лежащие в основе этих
уравнений. Я убежден, что следует полагаться именно на такой путь, а не
на попытки угадать правильную физическую картину.
Может оказаться, конечно, что даже и этот путь не приведет к успеху.
Тогда останется только экспериментальный путь. Трудности теории не
останавливают работу экспериментаторов, накапливающих все большую
и большую информацию. И рано или поздно появится новый Гейзенберг,
способный уловить существенные особенности этой информации и открыть
метод ее использования, подобно тому как Гейзенберг использовал экспе-
экспериментальные данные по спектрам для построения матричной механики.
Совершенно несомненно, что продвижение физической науки будет
обеспечено в конце концов даже одним этим путем, но может случиться,
что нам придется довольно долго ждать переломных успехов, если физики-
теоретики не смогут внести свежие идеи, которые обеспечат необходимое
развитие теории.
41
МЕТОДЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ *)
Я попытаюсь дать вам некоторое представление о том, как работает
физик-теоретик, т. е. о том, что он делает, чтобы попытаться лучше понять
законы Природы.
Он может заглянуть в прошлое и посмотреть, что было сделано раньше.
При этом в глубине души он всегда лелеет надежду найти какой-нибудь
намек или извлечь урок, которые помогут разрешить стоящую перед ним
проблему. Проблемы, которые требовали решения в прошлом, многими
нитями связаны с проблемами наших дней, и изучение плодотворных
методов прошлого может оказаться полезным и для настоящего.
Можно выделить два главных подхода в теоретической физике. Один
из них исходит из эксперимента. В этом случае теоретик поддерживает
тесный контакт с физиками-экспериментаторами, читает обо всех получен-
полученных результатах и пытается охватить их экономной и удовлетворительной
схемой.
В другом подходе главным является математика. Теоретик критически
исследует существующую теорию. Он пытается выделить едва заметные
дефекты и устранить их. Вся трудность заключается в том, чтобы устра-
устранить неудовлетворительные места, не причинив ущерба большим дости-
достижениям теории.
Вот таковы два основных подхода, но, конечно, жесткую грань прове-
провести между ними нельзя. Между этими двумя крайними подходами суще-
существует целая градация.
По какому пути следовать, в большой степени зависит от объекта
изучения. В том случае, когда о предмете ничего не известно и требуется
осваивать абсолютно новую область, волей-неволей приходится придер-
придерживаться эксперимента. В новой области сначала просто собираешь и
классифицируешь экспериментальные данные.
Посмотрим, например, как в прошлом веке была создана Периодиче-
Периодическая система элементов. Сначала происходило накопление и классифика-
классификация экспериментальных фактов. Затем после того, как возникла система,
началась ее проверка. К тому времени, когда система была почти заверше-
завершена, вера в нее уже настолько окрепла, что стало возможным предсказывать
новые элементы, которые должны были заполнить существовавшие тогда
пробелы. Все эти предсказания оказались верными.
В последнее время очень похожая ситуация имела место с новыми
частицами в физике высоких энергий. Частицы удалось настолько удо-
*) Methods in Theoretical Physics // From a life of Physics. Special suppl. of IAEA.
Bulletin. IAEA Vienna, 1969.
584 VI. ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
влетворительно систематизировать, что там, где обнаруживался пробел,
можно было предсказывать открытие частицы, заполняющей пробел.
В любой области физики, где мало что известно, приходится следовать
за экспериментом, чтобы не попасть в плен безудержных спекуляций, кото-
которые почти наверняка окажутся ложными. Я не хочу полностью опорочить
умозрительный образ мышления. Он может оказаться и занимательным,
и полезным, даже будучи ошибочным. Необходимо всегда держать разум
открытым для новых идей, т. е. нельзя полностью отвергать спекуляции, но
в то же время нужно быть очень осторожным, чтобы не дать себе увязнуть
в них.
Космологические умозрительные теории
В одной области физики имеется слишком много спекулятивного — это
в космологии. Здесь очень мало твердо установленных фактов, на которые
можно было бы опереться, и все-таки теоретики строят всевозможные
модели Вселенной и для этого используют предположения, рожденные
их собственной фантазией. Вероятно, все эти модели ошибочны. Обычно
предполагается, что законы Природы всегда были такими, каковы они
сейчас. Для этого нет никаких оснований. Законы могут меняться, и,
в частности, величины, которые считаются мировыми константами, могут
тоже зависеть от космологического времени. Эта зависимость была бы
роковой для конструкторов моделей.
По мере роста количества знаний об объекте, когда становится крепче
почва под ногами, можно все более переходить к математическому образу
действия. При этом побудительным мотивом для теоретика становится
жажда математической красоты. Физик-теоретик принимает требование
математической красоты как символ веры. Безусловной необходимости
для этого нет, но в прошлом она сослужила хорошую службу. Например,
главной причиной широкой популярности теории относительности являет-
является ее красота.
При математическом подходе можно держаться двух основных направ-
направлений:
1) пытаться устранить несообразности теории;
2) пытаться объединить теории, которые первоначально были разоб-
разобщены.
Плодотворность метода
Существует много примеров, когда последователи первого направления
добивались успеха. Максвелл, исследуя несогласованность электромагнит-
электромагнитных уравнений, в свое время пришел к понятию тока смещения и к теории
электромагнитных волн. Планк, изучая трудности с излучением черного
тела, пришел к понятию кванта. Эйнштейн, заметив трудности в теории
равновесия атома с излучением черного тела, пришел к понятию индуци-
индуцированного излучения, что привело к современным лазерам. Но наиболее
яркий пример — это открытие Эйнштейном его закона гравитации, кото-
41. МЕТОДЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 585
рое произошло из-за необходимости совместить ньютонову гравитацию со
специальной теорией относительности.
Второй путь на практике не доказал своей большой плодотворности.
Казалось бы, гравитационное и электромагнитное поля, два известных
в физике поля с большим радиусом действия, должны быть тесно связа-
связаны, однако Эйнштейн потратил много лет на то, чтобы объединить их —
и безуспешно. По-видимому, прямая попытка объединить разобщенные
теории, если нет никакой несогласованности, за которую можно было бы
зацепиться, сопряжена со слишком большими трудностями, и если успех
в конечном счете приходит, то только косвенным путем.
Какой подход выбрать — экспериментальный или математический,—
в большей мере зависит от объекта исследований, но и не только от него.
Это также зависит от человека, что хорошо видно на примере открытия
квантовой механики Гейзенбергом и Шрёдингером.
Гейзенберг исходил из экспериментальных данных в области спектро-
спектроскопии, которые к 1925 г. были накоплены в громадном количестве. Почти
весь этот материал, за исключением небольшой доли, касающейся отно-
относительных интенсивностей линий внутри мультиплета, оказался бесполез-
бесполезным. Только гений Гейзенберга мог выудить необходимое из огромного
изобилия информации и расположить это необходимое в естественную
схему. Таким путем он пришел к матрицам.
Подход Шрёдингера был совершенно иным. В его исследованиях ма-
математика была главным. В противоположность Гейзенбергу, он не очень
хорошо знал новейшие спектроскопические данные, но в глубине души
вынашивал идею, что спектральные частоты должны получаться из урав-
уравнения как собственные значения, так же как получаются частоты колеб-
колеблющейся пружины. Он долго обдумывал эту идею, пока в конце концов
ему не удалось косвенным образом найти правильное уравнение.
Роль релятивистской теории
Чтобы понять атмосферу, в которой работали в то время физики-
теоретики, нужно представить себе огромную притягательную силу, кото-
которой обладала теория относительности. Теория относительности буквально
встряхнула научный мир, вспыхнув в конце долгой и трудной войны. Каж-
Каждый хотел забыть напряжение войны и жадно примыкал к новому образу
мышления, новой философии. Энтузиазм был абсолютно беспрецедентным
в истории науки.
На фоне этого энтузиазма ученые пытались решить загадку стабиль-
стабильности атомов. Шрёдингер, как и все другие, тоже был захвачен новыми
идеями, поэтому квантовую механику он пытался сформулировать реля-
релятивистски. Все должно было быть выражено в терминах пространственно-
временных векторов и тензоров. К сожалению, те времена еще не созрели
для релятивистской квантовой механики, и в результате открытие Шрё-
Шрёдингера задержалось.
Шрёдингер исходил из красивой идеи де Бройля, связывающей реля-
релятивистским образом волну и частицу. Идея де Бройля относилась только
586 VI. ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
к свободным частицам, а Шрёдингер пытался обобщить ее на электрон,
связанный в атоме. В конце концов ему удалось это сделать, придержива-
придерживаясь релятивистских правил. Но, когда он применил свою теорию к атому
водорода, оказалось, что с экспериментом она расходится. Расхождение
возникло из-за того, что он не учел наличие спина у электрона. Тогда о нем
еще ничего не знали. Потом Шрёдингер заметил, что его теория правильна
в нерелятивистском приближении, и ему пришлось примириться с тем,
чтобы опубликовать свою работу в «неполноценном» варианте, и он сделал
это только после нескольких месяцев раздумий.
Мораль этой истории такова, что не следует пытаться сделать слиш-
слишком много за один присест. Нужно отделить трудности в физике одну от
другой, развести их как можно дальше и затем разрешать их поодиночке.
Гейзенберг и Шрёдингер дали нам две квантовые механики, которые,
как вскоре было показано, оказались эквивалентными. Они оказались
двумя представлениями, связанными определенным математическим пре-
преобразованием.
Я примкнул к квантовой механике на заре ее возникновения и выбрал
чисто математический подход. Исходя из крайне абстрактной точки зре-
зрения, я взял за основу новой динамики некоммутативную алгебру, которая
уже была заложена в гейзенберговых матрицах, и посмотрел, как можно
записать с ее помощью классическую динамику. Другие люди работали
над той же проблемой с иной точки зрения, и мы получили эквивалентные
результаты примерно в одно и то же время.
Плодотворный отдых
Мой опыт показывает, и мне хотелось бы об этом упомянуть, что
лучшие идеи приходят в голову обычно не тогда, когда к этому прилагаешь
большие усилия, а тогда, когда находишься в более расслабленном состоя-
состоянии. Профессор Бете рассказал нам, как к нему приходили идеи в поезде
и как он успевал обрабатывать их до конца пути. У меня было не совсем
так. Я обычно по воскресеньям совершал в одиночестве далекие прогулки
и во время этих прогулок стремился спокойно обдумать сложившуюся
ситуацию. Это оказывалось очень плодотворным, даже несмотря на то
(а может быть именно потому), что основной целью прогулки был отдых,
а не работа.
Именно в одной из таких прогулок меня осенила мысль о возможной
связи между коммутаторами и скобками Пуассона. Я не знал тогда до-
достаточно хорошо, что такое скобки Пуассона, и поэтому не был уверен
в справедливости этой идеи. Вернувшись домой, я обнаружил, что у меня
нет ни одной книги, объясняющей скобки Пуассона. Пришлось нетерпели-
нетерпеливо дожидаться открытия библиотек на следующее утро, чтобы проверить
идею.
С развитием квантовой механики в теоретической физике создалась
любопытная ситуация. Основные уравнения — уравнение движения Гей-
зенберга, коммутационные соотношения и шрёдингерово волновое урав-
41. МЕТОДЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 587
нение — были открыты, а их физическая интерпретация все еще была не
ясна.
Приписывать динамическим переменным такой же смысл, как и в клас-
классической механике, оказалось невозможным из-за их некоммутативности,
и найти точный смысл и способ применения новых уравнений представля-
представляло собою проблему.
Эта проблема решалась не прямым натиском. Сначала изучались при-
примеры, такие, как нерелятивистский атом водорода и комптоново рассеяние,
и находились специальные методы для решения этих примеров. Посте-
Постепенно эти методы обобщались, пока, наконец, через несколько лет не
пришло полное понимание теории в ее сегодняшнем варианте с принципом
неопределенности Гейзенберга и с вероятностной интерпретацией волновой
функции.
На первых порах быстрый прогресс происходил только в нереляти-
нерелятивистской квантовой механике, но, конечно же, никто не мог оставаться
довольным подобным ходом вещей. Правда, для отдельного электрона уже
было известно релятивистское уравнение Шрёдингера, которое, будучи
переоткрыто Клейном и Гордоном, носит теперь их имя, однако общепри-
общепринятой вероятностной интерпретации квантовой механики это уравнение не
поддавалось.
От тензоров к спинорам
Релятивизм в том виде, как он тогда понимался, означал, что все
релятивистские теории должны оперировать только с тензорами.
На этой основе нельзя было придумать ничего лучше уравнения Клей-
Клейна-Гордона. Большая часть физиков приняла теорию Клейна-Гордона
как лучшую из возможных релятивистскую квантовую теорию отдельного
электрона, но меня не удовлетворяло противоречие теории общим прин-
принципам, и я беспокоился до тех пор, пока, наконец, не нашел решение.
Оказалось, что тензоры не являются адекватным аппаратом и нужно
вместо них ввести другие, двузначные величины, называемые теперь спи-
спинорами. Те люди, которые хорошо знали тензоры, были не в состоянии
порвать с ними и думать о чем-нибудь более общем. Мне же удалось
это сделать только потому, что общие принципы квантовой механики мне
были дороже тензоров. Эддингтон был очень удивлен, когда узнал, что без
тензоров можно обойтись. Нужно всегда быть начеку, чтобы не оказаться
в плену одностороннего образа мышления.
Введение спиноров привело релятивистскую теорию к согласию с об-
общими принципами квантовой механики и, кроме того, объяснило спин
электрона, хотя это не входило в первоначальную цель работы. Но затем
возникла новая проблема — проблема отрицательных энергий. Теория бы-
была симметрична относительно положительных и отрицательных энергий,
в Природе же осуществляются только положительные энергии.
Как часто случается в математическом подходе, решение одной пробле-
проблемы порождает другую. Вы можете подумать, что в результате нет никакого
прогресса, но это не так, потому что вторая трудность отодвинута гораздо
588 VI. ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
дальше, чем прежняя. Может случиться, что вторая трудность имелась
всегда и с разрешением первой только всплыла на поверхность.
Именно так обстояло дело с отрицательными энергиями. Все реляти-
релятивистские теории были симметричны относительно положительных и отри-
отрицательных энергий, но первоначально из-за более серьезных недостатков
этот факт оставался незамеченным.
Проблема отрицательных энергий разрешается, если предположить,
что все состояния с отрицательной энергией в вакууме заполнены. Тогда
мы приходим к совместной теории электронов и позитронов. И таким
образом продвигаемся еще на один шаг в своих знаниях, но трудность
возникает снова, на этот раз в связи со взаимодействием электрона с
электромагнитным полем.
Если аккуратно записать уравнения, которые, как мы верим, долж-
должны описывать взаимодействие, и попытаться решить их, то для величин,
которые должны быть конечными, получаются расходящиеся интегралы.
Опять же эта трудность существовала все время, но до поры до времени
не проявлялась в теории и только теперь обнаружилась во всей силе.
На ложном пути?
При классическом описании взаимодействия точечного электрона
с электромагнитным полем трудности возникают из-за сингулярностей
поля. Эти трудности были известны еще со времен Лоренца, который
первым вывел уравнения движения электрона. На заре квантовой
механики Гейзенберга и Шрёдингера были надежды, что в новой механике
никаких подобных неприятностей не случится. Однако теперь стало
ясно, что надежды не оправдались. Старые трудности перевоплотились
в новые — в расходимости квантовой электродинамики, квантовой теории
взаимодействия электронов с электромагнитным полем. Они только слегка
модифицировались бесконечностями, связанными с морем электронов
отрицательных энергий, но остались по-прежнему доминирующей
проблемой.
Расходимости оказались довольно крепким орешком. Двадцать лет не
удавалось достигнуть никакого прогресса. Но затем, после открытия и
объяснения лэмбова сдвига, произошел значительный прогресс. Это при-
привело к качественному изменению всей теоретической физики. Были созда-
созданы удивительно хорошо работающие правила вычитания бесконечностей,
которые позволяли получать вполне определенные остатки и сравнивать
их с экспериментом. И все же это были только правила, а не строгая
математика.
Большая часть физиков наших дней кажется вполне удовлетворенной
такой ситуацией, но я —нет. Я считаю, что теоретическая физика в таком
виде идет по ложному пути и поэтому успокаиваться не следует. Есть
некоторое сходство между ситуацией сейчас и той, которая имела место
в 1927 г., когда большая часть физиков была удовлетворена уравнени-
уравнением Клейна-Гордона и отрицательные вероятности, возникающие в связи
с этим уравнением, не беспокоили их.
41. МЕТОДЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 589
Мы должны отдавать себе отчет в том, что вычитание бесконечностей
из наших уравнений — это большой порок. Нам следовало бы во что бы то
ни стало вернуться к основным понятиям логики. Решение этой проблемы
могло бы привести к существенному прогрессу. Квантовая электродинами-
электродинамика— это наиболее исследованная область физики, и нужно прежде всего
навести порядок в ней, иначе в других полевых теориях мы не можем
надеяться на успех. Другие же теории будут пока продолжать развиваться
на экспериментальной основе.
Посмотрим, что можно предпринять для усовершенствования совре-
современной квантовой электродинамики. Мы обязательно должны придержи-
придерживаться стандартного образа действия и пренебрегать только теми вели-
величинами, в которые мы верим, что они малы, даже если для этой веры
имеются только довольно шаткие основания.
Чтобы как-то обходиться с бесконечностями, нам приходится пользо-
пользоваться обрезанием. Нам приходится пользоваться им всюду в математике,
где встречаются ряды или интегралы, которые не являются абсолютно
сходящимися. После того как обрезание введено, мы можем устремлять
его все дальше и дальше к бесконечности и переходить к пределу, который,
вообще говоря, зависит от способа обрезания. Однако можно пойти по
иному пути и оставить предел обрезания конечным. В этом случае нужно
найти величины, которые нечувствительны к пределу обрезания.
Расходимости в квантовой электродинамике происходят от высокоэнер-
высокоэнергетических членов энергии взаимодействия между частицами и полем.
Обрезание означает, что вводится некоторая энергия, скажем g, выше
которой все члены энергии опускаются. Оказывается, что устремлять g
к бесконечности без того, чтобы не разрушить всю логическую схему
решения нельзя. Приходится сохранять обрезание конечным.
При этом релятивистская инвариантность теории оказывается нару-
нарушенной. Это, конечно, жаль, но все же это меньшее зло, нежели полное
пренебрежение логикой. В результате наша теория оказывается неспра-
несправедливой для высокоэнергетических процессов, т. е. процессов в области
энергий, сравнимых с g, однако в низкоэнергетической области она все же
может дать хорошее приближение.
Из физических соображений следует ожидать, что g, по-видимому,
должно быть порядка нескольких сотен Мэв, так как именно при этих
значениях энергии квантовая электродинамика перестает быть внутренне
замкнутой и в игру вступают другие физические частицы. Это значение g
удовлетворительно для теории.
При обрезании на конечном пределе требуется найти такие физические
величины, которые нечувствительны к способу и пределу обрезания. Шрё-
дингерова картина в этом случае оказывается неудобной. Решения уравне-
уравнения Шрёдингера (даже то, которое описывает вакуумное состояние) очень
чувствительны к обрезанию. Но если все расчеты производить в гейзенбер-
говой картине, то можно получить результаты, которые нечувствительны
к обрезанию.
590 VI. ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
Например, таким способом можно получить лэмбов сдвиг и аномаль-
аномальный магнитный момент электрона. Результаты получаются такими же, как
и методом вычитания бесконечностей, который для этой цели был при-
применен примерно двадцать лет назад. Но теперь все получается логически
правильно, согласно стандартному приему математики, когда отбрасыва-
отбрасываются только малые величины.
Однако поскольку шрёдингеровой картиной при этом пользоваться
нельзя, то прибегать к общепринятой интерпретации квантовой механики
и привлекать для этой цели квадрат модуля волновой функции тоже нель-
нельзя. Нужно проложить путь к новой физической интерпретации, которая
была бы применима к картине Гейзенберга. Нынешняя ситуация с кванто-
квантовой электродинамикой напоминает мне ту, которая была в элементарной
квантовой механике на заре ее становления, когда уравнения движения
уже были, а общей физической интерпретации еще не было.
Следует отметить некоторые характерные особенности, возникающие
при расчете лэмбова сдвига и аномального магнитного момента. В исход-
исходные уравнения входят параметры т и е, обозначающие массу и заряд,
но эти параметры не равны наблюдаемым физическим величинам. Если
обозначения т и е сохранить за наблюдаемыми величинами, то в исходные
уравнения вместо т и е следует подставить т + 8 т и е + #е, где 8т
и 8е — малые поправки, рассчитывать которые мы умеем. Эта процедура
известна под названием перенормировки.
Трудность в квантовой электродинамике. Производить подобное
изменение в исходных уравнениях не запрещено, ибо исходные уравнения
для теории могут быть выбраны какими угодно.
Вам может показаться, что работа физика-теоретика исключительно
легка, если он может за исходные предположения выбирать любые, ка-
какие ему заблагорассудится, но вся трудность состоит в том, что во всех
приложениях теории начальные посылки меняться не должны. Это очень
ограничивает свободу действий. Перенормировка разрешается потому, что
это простое преобразование можно производить универсально повсюду,
где есть заряженные частицы, взаимодействующие с электромагнитным
полем.
Однако в квантовой электродинамике все еще остается трудность, свя-
связанная с собственной энергией фотона. Чтобы справиться с нею, требуется
в исходных уравнениях произвести гораздо более сложное преобразование,
нежели простая перенормировка.
Конечная цель состоит в таком выборе исходных уравнений, чтобы из
них можно было вывести всю атомную физику. Пока что мы далеки от этой
цели. Единственный путь к ее достижению лежит в усовершенствовании
физики низких энергий, т. е. квантовой электродинамики, с последующим
переходом ко все более и более высоким энергиям. Однако современная
квантовая электродинамика не удовлетворяет строгим стандартам мате-
математической красоты, которые можно было бы предъявить к фундамен-
фундаментальной физической теории, и это заставляет подозревать, что основные
идеи требуют еще коренного пересмотра.
42
РАЗВИТИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ *)
Я очень счастлив иметь возможность посетить Академию Деи Линчей.
Я являюсь ее членом уже ряд лет х), но я не часто бываю в Риме и у меня
не было повода посетить вашу Академию. Сегодня я хотел бы поговорить
о некоторых основных идеях в развитии квантовой механики.
Прежде всего я хотел бы рассказать о том, с чего начиналось это
развитие —а начиналось оно с блестящей идеи Гейзенберга, работавшего
над материалом по атомным спектрам. Оказалось, что следует иметь дело
с коэффициентами, каждый из которых связан с двумя состояниями ато-
атома. Если у вас много таких коэффициентов, естественно расположить их
в форме матрицы. У Гейзенберга появилась изумительная идея — работать
исключительно с этими матрицами.
До этого внимание было сосредоточено на боровских орбитах, которые
совсем не связаны с наблюдаемыми величинами — этими величинами яв-
являются именно матричные элементы.
Гейзенберг был очень хорошим физиком, однако он был не слишком
силен в математике и в то время ничего не слышал о матрицах. Желая
расположить экспериментально важные величины в разумном порядке, он
был вынужден обратиться к матричной форме.
Проработав некоторое время с этими матрицами, Гейзенберг обнару-
обнаружил, что они не коммутируют друг с другом: если Аи В — две матрицы, то
произведение А на В — это не то же самое, что произведение В на, А. Имен-
Именно это больше всего беспокоило Гейзенберга, ведь физики до сих пор всегда
работали с величинами, которые удовлетворяют обычной алгебре с ком-
коммутативным умножением. Поэтому, обнаружив у величин, которыми он
занимался, нарушение этого свойства, Гейзенберг, разумеется, был очень
обеспокоен; он даже подумал, не следует ли вообще отказаться от всей
этой идеи. Однако этого все же не произошло, и большую роль сыграла
здесь моральная поддержка его учителя, профессора Макса Борна. Кроме
того, Гейзенбергу помогал другой ученик Борна — Иордан из Геттингена
в Германии, и вместе они продолжали продвигаться в этой области.
В то время я находился в Кембридже, и мне посчастливилось получить
экземпляр корректуры первой статьи Гейзенберга до ее публикации. Это
действительно стало для меня введением в квантовую механику. После
*) The Development of Quantum Mechanics // Anno CCCLXXI - 1974. Roma. Accademia
Nazionale dei Lincei. Contributi del Centro Linceo Interdisciplinare di Scienze Matematiche
e Loro Applicazioni, № 4. 11 p.
; Начиная с 1958 года.
592 VI. ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
непродолжительного изучения этого текста (я полагаю, это заняло у меня
около десяти дней), я пришел к выводу, что некоммутативность была
важной новой идеей. Эта идея, которая так беспокоила Гейзенберга, пока-
показалась мне наиболее важной.
Я думаю, что здесь просматривается общий принцип. Автор новой
идеи —не самая подходящая кандидатура для развития этой идеи: он
слишком опасается того, что его идея при ее дальнейшем развитии по-
погибнет. У другого человека, воспринявшего саму идею, этих опасений
нет, и он может работать смелее. В этом отношении я ощущал некото-
некоторое преимущество перед Гейзенбергом и непосредственно изучал влияние
некоммутативности на физические законы.
В течение некоторого времени я был озадачен этой общей взаимосвязью
и пытался понять ее влияние на законы механики, которые были тогда
уже хорошо поняты. В то время я обычно совершал в одиночестве долгие
прогулки, размышляя над этими проблемами. Во время одной из таких
прогулок мне пришла в голову идея о том, что коммутатор (разность
произведений А на В и В на А) очень похож на скобку Пуассона, которая
появляется в классической механике при записи уравнений в гамильтоно-
вой форме. Я буквально ухватился за эту идею, едва только она у меня
возникла. Однако меня сдерживало то, что я не очень хорошо помнил,
что такое скобка Пуассона — это было нечто, о чем я читал в книгах
повышенного уровня по механике, однако это понятие не принесло мне
большой пользы. Поэтому оно ускользнуло из моей памяти и я не очень
хорошо помнил, что все это собой представляет. Возникла необходимость
проверить, действительно ли скобка Пуассона может быть сходна с ком-
коммутатором, и мне требовалось точное определение скобки Пуассона.
Я, конечно, поспешил домой и просмотрел все имевшиеся у меня книги
и статьи, однако нигде не встретил в них упоминания о скобке Пуассона.
Все книги были слишком элементарными. Было воскресенье, и я не мог
пойти в библиотеку; мне пришлось с нетерпением переждать ночь и раннее
утро следующего дня, пока не откроются библиотеки. Тогда я пошел и
проверил, что такое в действительности скобка Пуассона, обнаружив, что
она именно такова, как я думал, и что действительно можно установить
соответствие между скобкой Пуассона и коммутатором. Это обеспечило
очень тесную связь между обычной классической механикой, к которой
все привыкли, и введенной Гейзенбергом новой механикой, включающей
некоммутирующие величины.
После этой первоначальной идеи дальнейшая работа была достаточно
ясно определена. В течение достаточно долгого времени по существу не
было никаких серьезных трудностей. Можно было получать уравнения
новой механики, необходимо было лишь производить соответствующие
обобщения в классических уравнениях, записанных в гамильтоновой фор-
форме. Я продолжал эту деятельность, тогда как Гейзенберг и его сотрудники
в Геттингене независимо развивали матричный подход; мы иногда обме-
обменивались сообщениями, но работали по существу независимо.
42. РАЗВИТИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 593
На этом раннем этапе было еще одно направление развития, связанное
со Шредингером, разрабатывавшим свои собственные идеи. Он полагал,
что атомные спектры должны каким-то образом определяться уравнения-
уравнениями на собственные значения, и исходил из идеи де Бройля о связи волн и
частиц. Шредингер полагал также, что эта идея должна быть определен-
определенным образом обобщена. Соотношения де Бройля были пригодны лишь для
частицы, движущейся свободно и не испытывающей действия каких-либо
сил; необходимо было найти обобщение, учитывающее действие на элек-
электрон электромагнитных сил.
Шредингеру удалось угадать свое волновое уравнение. Он сделал это
релятивистским образом, поскольку работа де Бройля была также реля-
релятивистской, и в дальнейшем применил свое уравнение к атому водорода.
В соответствии с этим уравнением Шредингер рассчитал спектр атома
водорода и был очень разочарован тем, что его результаты не согласова-
согласовались с данными эксперимента. Это привело его к мысли, что вся его идея
погибла, и он на время отказался от нее.
По прошествии нескольких месяцев Шредингер вернулся к своей идее
и обнаружил, что если работать в нерелятивистском приближении, то
его теория в пределах точности согласуется с экспериментом. Причина,
по которой его теория не согласовалась точно с экспериментом, состояла
в неучете наличия спина у электрона. Идея о наличии у электрона спина
была в то время совершенно новой; у экспериментаторов были на этот счет
некоторые указания, тогда как теоретики вообще не учитывали наличие
у электрона спина. В результате подобного неучета спина первоначальное
уравнение Шредингера не позволяло правильно рассчитать спектр водо-
водорода.
Следовало бы отметить, что опубликованная Шредингером нереляти-
нерелятивистская теория правильно давала уровни энергии водорода. Она давала
не только дискретные уровни энергии, на которых электрон связан с про-
протоном. Эта теория давала также непрерывную часть уровней энергии,
соответствующих рассеянию на протоне электрона, вообще не связанного
с этим протоном. Все эти уровни энергии получались как собственные
значения определенного эрмитова оператора.
Математики уже давно изучали собственные значения эрмитовых опе-
операторов и полагали, что для такого оператора вполне возможно иметь как
дискретный, так и непрерывный спектр. Однако математикам не удалось
найти ни одного примера подобного оператора. Теория Шредингера пред-
представила первый пример эрмитова оператора, спектр которого содержал
как дискретную, так и непрерывную части.
Здесь перед нами пример того, как физика помогла математике. Все
развитие квантовой механики обнаруживает подобное взаимопроникнове-
взаимопроникновение физики и математики. Физика помогает продвижению математики, а
математика —физики, и обе они шествуют рука об руку как партнеры.
Это партнерство обеспечило появление основных уравнений квантовой
механики. Было обнаружено, что теория в форме Шредингера эквивалент-
594 VI. ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
на той же теории в форме Гейзенберга. Шредингер использовал дифферен-
дифференциальные операторы, которые не коммутируют с обычными переменными,
и именно это отсутствие коммутативности в теории в форме Шредингера
соответствует отсутствию коммутативности теории в форме Гейзенберга.
Обе теории по существу являлись одной и той же теорией, выраженной
в двух различных представлениях.
Основные уравнения квантовой механики были открыты до того, как
была получена их общая интерпретация. Эта ситуация была новой для
физики. Обычно с самого начала вполне понятно, каким образом следу-
следует интерпретировать имеющееся уравнение, однако здесь ситуация была
иной. Тот факт, что уравнения теории были столь тесно связаны и столь
красивы, вселял уверенность в том, что они правильны, однако их общая
интерпретация оставалась неизвестной.
Следовало исходить из примеров, рассматривая сначала очень простые
из них, а затем примеры, подобные атому водорода и более сложные.
Таким образом постепенно возникала общая физическая интерпретация
квантовой механики. Было обнаружено, что эта общая интерпретация
должна быть статистической. В итоге можно было вычислять вероятности
того, что динамическая переменная будет иметь определенные значения.
Вообще говоря, нельзя было с определенностью предсказать, что дина-
динамические переменные должны иметь определенные значения при данных
условиях.
Эта статистическая интерпретация в настоящее время стала общепри-
общепринятой в качестве наилучшей возможной интерпретации квантовой меха-
механики, хотя многих это сильно огорчает. Люди привыкли к детерминизму
минувшего столетия, когда настоящее полностью предопределяет будущее.
Теперь же им предстоит привыкнуть к иной ситуации, при которой на-
настоящее дает лишь информацию статистического характера относительно
будущего.
Довольно много людей недовольны этим. Так Эйнштейн всегда возра-
возражал против этого. Он выражал это следующими словами: «Бог не играет
в кости». Шредингеру также не нравилась статистическая интерпрета-
интерпретация, и он в течение многих лет стремился придумать для своих волн
интерпретацию, опирающуюся на детерминизм. Однако в качестве общего
метода эта попытка не удалась. Должен сказать, что мне тоже не нравится
индетерминизм. Мне приходится принимать его, поскольку это безусловно
лучшее, что мы можем получить при нашем сегодняшнем уровне знаний.
Всегда можно надеяться на то, что будущее развитие приведет к теории,
существенно отличной от современной квантовой механики и содержащей
частичный возврат к детерминизму. Однако пока сохраняется сегодняш-
сегодняшний формализм мы вынуждены мириться с его индетерминизмом.
Итак, какова же ситуация, к которой в итоге мы пришли? У нас есть
квантовая механика, которая очень тесно связана с классической механи-
механикой в гамильтоновой форме. Допустим, что имеется динамическая система,
описанная с помощью определенных динамических переменных с извест-
42. РАЗВИТИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 595
ными перестановочными соотношениями (коммутаторами), и, кроме того,
для этой системы имеется гамильтониан. Этого вполне достаточно, чтобы
построить теорию данной системы и уметь вычислить вероятность возник-
возникновения определенного состояния в будущем, если нам известно состояние
системы в данный момент.
Мне бы хотелось довести до вас огромную мощь этого формализма. Мы
можем использовать любые динамические переменные, удовлетворяющие
совместимым перестановочным соотношениям, и выбрать любой гамиль-
гамильтониан (который, разумеется, должен быть эрмитовым, но в остальном
может быть вполне произвольным), после чего мы можем получить след-
следствия для данной динамической системы. Мы можем, например, взять
частицу, движущуюся в потенциальной яме любой формы (это вполне
допускается теорией). Мы можем взять частицы, взаимодействующие друг
с другом посредством сил любого вида (теория также допускает это).
Данная теория столь же могущественна, как и классическая механика. Как
известно, в классической механике можно взять любые силы, действующие
между частицами — надо лишь, чтобы их можно было выразить с помо-
помощью принципа действия. Далее, имея принцип действия, можно построить
уравнения движения в форме Лагранжа, а от них перейти к уравнениям
движения в форме Гамильтона, после чего по стандартным правилам
перейти от классической механики к квантовой.
Квантовая теория не только равносильна классической, но в целом
ряде отношений превосходит ее. Классическая теория строится в терминах
гамильтоновых переменных, которые обычно называют координатами q и
импульсами р. Однако квантовая теория не обязана строиться в тех же
терминах —она может строиться в терминах любых динамических пере-
переменных, удовлетворяющих любому набору совместных перестановочных
соотношений.
В качестве примера я могу упомянуть три компоненты момента им-
импульса; образуя коммутатор любых двух из них, мы получаем третью.
Можно, таким образом, построить квантовую теорию момента импульса,
в которой его компоненты принимаются за фундаментальные величины.
В классической теории мы бы выразили момент импульса через более эле-
элементарные понятия. Например, для частиц, движущихся по орбитам, нам
понадобилось бы знать положения и импульсы этих частиц, после чего с их
помощью построить момент импульса. Однако в квантовой теории можно
считать компоненты момента импульса фундаментальными величинами:
необходимо иметь лишь гамильтониан, выраженный через эти компонен-
компоненты, после чего можно переходить к решению уравнений движения.
Одним из следствий этого обобщения оказалось то, что момент импуль-
импульса в квантовой теории может иметь полу целые квантованные значения.
Если придерживаться аналогии с классической механикой, то момент им-
импульса должен был бы иметь лишь целые квантованные значения, однако
встав на более общую точку зрения мы можем с таким же успехом полу-
596 VI. ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
чить и полу целые квантованные значения. Оказалось, что именно такие
значения необходимы для описания спинов многих элементарных частиц.
Приведу еще один пример того, каким образом новая квантовая меха-
механика выходит за рамки классической механики. Я мог бы привести ряд
примеров такого типа. Предположим, что мы рассматриваем частицы,
имеющие какие-либо внутренние степени свободы, для описания которых
необходимы некоторые дополнительные динамические переменные. Нам
нужно лишь знать правила умножения этих переменных друг на дру-
друга и уметь образовывать их коммутаторы — это все, что необходимо для
получения последовательной теории. Динамические переменные, которые
мы можем складывать и перемножать друг с другом, образуют то, что
математики называют кольцом, причем допустимо любое кольцо. Основ-
Основные величины, через которые выражаются все остальные, будут являться
элементами группы. Таким образом мы приходим к идее о том, что внут-
внутренние степени свободы, описывающие частицу, могут быть выражены
с помощью элементов некоторой группы. Экспериментально было уста-
установлено, что группа, известная под названием группы 5/7C), пригодна
для описания частиц, открытых недавно в физике высоких энергий. Нам
необходимо лишь ввести элементы этой группы в качестве обычных ди-
динамических переменных, и нам потребуется гамильтониан, выраженный
через эти переменные, чтобы можно было записать уравнения движения.
Другой пример: пусть у нас имеется много частиц одинаковой природы.
Тогда мы могли бы построить волновую функцию, содержащую динами-
динамические переменные этих частиц, получив при этом волновую функцию
всего ансамбля многих частиц. Далее мы можем приписать смысл опера-
операторам перестановки, применяемым к этим волновым функциям ансамбля
многих частиц. Эти операторы перестановки вводятся в первую очередь
как математические операторы, которые могут быть применены к нашей
волновой функции. Однако физически мы видим, что эти операторы могут
рассматриваться как динамические переменные точно так же, как и дру-
другие динамические переменные. Таким образом мы получаем новый класс
динамических переменных, который вообще не имеет какого-либо аналога
в классической механике. Вводя эти операторы в квантовую теорию, мы
пролагаем совершенно новый путь в физике.
Далее в первую очередь оказывается, что эти операторы не представ-
представляют особого интереса ввиду наличия некоторых общих законов природы.
Существуют некоторые частицы, называемые бозонами, для которых вол-
волновая функция всегда должна быть симметричной; это означает, что если
применить к ней любой из операторов перестановки, то результат будет
тот же, что и при применении единичного оператора. Существуют частицы
другого вида, называемые фермионами, для которых волновая функция
всегда должна быть антисимметричной. В этом случае оператор пере-
перестановки имеет значение плюс или минус единица в соответствии с тем,
четной или нечетной является перестановка. Поэтому могло бы создать-
создаться впечатление, что эти новые динамические переменные всегда имеют
42. РАЗВИТИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 597
определенные фиксированные значения; иными словами, эти величины не
могут изменяться сколько-нибудь нетривиальным образом подобно другим
динамическим переменным.
Можно, однако, расширить идею операторов перестановки. Пусть име-
имеется некоторое число электронов. Можно ввести операторы перестанов-
перестановки, действующие только на переменные положений частиц или, наоборот,
только на спиновые переменные. Эти операторы перестановки уже не
обязаны иметь только значения плюс или минус единица — они могут из-
изменяться нетривиальным образом и очень полезны для построения теории
многих электронов.
Существует еще один пример, который я хотел бы привести здесь и
в котором квантовая механика отличается от классической: речь идет о
том, что в квантовой механике можно ввести операторы рождения и уни-
уничтожения частиц. В классической механике наши частицы присутствуют
всегда; мы начинаем строить теорию с определенными частицами, и они
всегда продолжают оставаться, но квантовая теория является более общей.
Она позволяет нам иметь волновую функцию, обладающую различными
частями, которые ассоциируются с различными числами имеющихся ча-
частиц, причем возможны квантовые скачки из одной части этой волновой
функции в другую. Операторы, вызывающие эти скачки — это операторы
рождения и уничтожения частиц.
Таким образом мы получаем возможность значительного развития тео-
теории. Мы можем ввести (при наличии некоторых математических уточне-
уточнений) оператор рождения частицы в определенной точке пространства или,
соответственно, оператор уничтожения этой частицы в этой точке. Опера-
Операторы подобного типа являются по своей природе полевыми операторами;
работая с ними, мы приходим к квантовой теории поля.
Из всех приведенных выше рассуждений может показаться, что кван-
квантовая механика очень удовлетворительна; прежде всего, квантовая ме-
механика очень близка к классической и, кроме того, она имеет все воз-
возможности дальнейшего обобщения. Однако в действительности кванто-
квантовая механика имеет один, но очень серьезный недостаток: она относится
к абсолютному времени и потому противоречит основной идее теории
относительности. Не должно быть абсолютного времени, и следует иметь
возможность проводить преобразования Лоренца, имея много вполне рав-
равноправных времен. Квантовая механика, к которой мы приходим на основе
предшествующего обсуждения, является существенно нерелятивистской и
относится к одному времени.
Что же можно предпринять в связи с этим? Прежде всего, можно
ограничить наше рассмотрение одной частицей, например, одним электро-
электроном, движущимся в электромагнитном поле. Для этого случая имеется
уравнение де Бройля, квадратичное по оператору d/dt, однако описанная
мной выше общая схема квантовой механики требует линейности уравне-
уравнений по оператору d/dt. Если мы работаем с уравнением де Бройля, то мы
не можем использовать общие принципы квантовой механики. Если мы
598 VI. ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
применим в этом случае интерпретацию в рамках стандартных правил,
мы придем к отрицательным вероятностям, что, конечно, совершенно аб-
абсурдно.
Я попытался преодолеть эту трудность, предложив новое волновое
уравнение, которое не обладает столь выраженной асимметрией по отно-
отношению к времени и трем пространственным координатам. Я потребовал,
чтобы оно было линейным по оператору d/dt, а также линейным по
отношению к операторам дифференцирования по трем пространственным
координатам <9/9xi, 5/9x2, д/дх^. Оказывается, что такое волновое урав-
уравнение можно построить, если ввести для частицы подходящие внутренние
степени свободы. Это невозможно сделать без внутренних степеней сво-
свободы.
Эти внутренние степени свободы частицы соответствуют как раз нали-
наличию полуцелого спина. Действительно, многие фундаментальные частицы
природы имеют полу целый спин; среди них электроны, протоны, нейтро-
нейтроны, различные виды нейтрино и т. п. Для этих частиц у нас имеется теория,
которая может быть применена ко всем частицам, если мы удовлетворены
соответствующей теорией для одной частицы.
Как нам следует поступить с другими частицами? Известно много
частиц с другими значениями спина; наиболее элементарная из них —
это квант света со спином, равным единице. Для таких частиц ситуация
не столь удовлетворительна. Можно создать теорию для таких частиц,
работая только с импульсными переменными. Для этого надо провести
Фурье-преобразование волновой функции Шредингера, получая при этом
функцию импульсных переменных (скажем, РьР25Рз); с помощью этой
волновой функции можно описать частицы с любым спином. Однако эти
дополнительные возможности теории мы получаем, заплатив очень серьез-
серьезную цену. Мы более не можем говорить о вероятности нахождения части-
частицы в данном месте. Если мы попытаемся вернуться к обычной волновой
функции Шредингера, содержащей переменные положения частицы, то
получим нелокальную теорию, что не особенно полезно (разумеется, всегда
можно провести преобразование от импульсных переменных к переменным
положения).
Это означает, что мы не можем построить квантовую теорию, в которой
можно интересоваться вероятностью нахождения светового кванта в опре-
определенном месте пространства. Подобный вопрос вообще нельзя ставить по
отношению к частице, имеющей спин, отличный от половины. В этом смыс-
смысле такая частица является совершенно уникальной. В некотором смысле
это огорчительно, поскольку другие частицы иногда также очень важны —
таков, без сомнения, фотон. Тем не менее, это лучшее из того, что мы
умеем делать при современном состоянии наших знаний.
Двигаясь этим путем, мы можем построить теорию для одной частицы.
Этого, однако, не вполне достаточно: нам следует иметь взаимодействую-
взаимодействующие частицы, но при этом мы встречаемся с очень серьезными труднос-
трудностями.
42. РАЗВИТИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 599
Можно было бы сказать так: давайте следовать классической механике,
рассматривая частицы, взаимодействующие с электромагнитным полем
(этими частицами могут быть, например, электроны). Построим далее
классический гамильтониан для этого взаимодействия, а затем проведем
квантование теории согласно стандартным правилам. Однако получаемый
таким образом результат «не работает». Можно применить процедуру
квантования формально; при этом получается уравнение Шредингера,
которое на первый взгляд выглядит вполне удовлетворительно. Однако
попытка решить его, используя регулярный метод теории возмущений,
в котором взаимодействие между электронами и электромагнитным полем
считается малым, приводит к расходящимся интегралам. Таким образом,
мы получаем уравнение Шредингера, вообще не имеющее разумного ре-
решения. Проблема взаимодействия электронов с электромагнитным полем
не может быть решена таким способом, если в качестве отправной точки
использовать классическую механику. Лучшее, что можно сделать —это
построить приближенную теорию, в которой гамильтониан следует моди-
модифицировать весьма искусственным образом.
Неприятности с расходящимися интегралами обусловлены вкладами
высоких частот во взаимодействие между частицами и полем. Попробуем
«обрезать» эти высокие частоты, внеся тем самым искусственное изме-
изменение в гамильтониан. Таким способом расходящиеся интегралы также
будут «обрезаны» и станут конечными; тогда с ними можно будет рабо-
работать, изучая следствия теории. Поступив подобным образом, мы нарушим
релятивистскую инвариантность теории. Мы не можем провести процесс
«обрезания», не нарушив релятивистскую инвариантность или какие-либо
другие свойства теории, которые нам хотелось бы сохранить. Однако это
лучшее, что можно сделать, и даже с помощью этой несовершенной теории
можно получать полезные результаты.
Можно вычислить, каким образом реакция излучения электрона влия-
влияет на магнитный момент электрона, а также на уровни его энергии в атоме
водорода (так называемый лэмбов сдвиг). Вычисления с искусственным
«обрезанием» дают результаты в близком соответствии с наблюдениями,
так что эта теория обладает весьма высокой точностью. Однако, конечно,
в качестве окончательного описания Природы мы не можем принять столь
уродливую теорию.
В физике известно сейчас много других частиц, но когда мы пытаемся
рассматривать взаимодействия между ними, то получаем еще большие
неприятности, чем в случае электромагнитного поля и электронов. В по-
последнем случае константа взаимодействия — весьма малое число e2/(/ic),
равное 1/137, и можно построить разумный приближенный метод, раз-
разлагая все по степеням этого малого параметра. Однако для других ча-
частиц значения константы взаимодействия весьма велики и могут даже
превышать единицу. В этом случае нельзя применять какой-либо метод
разложения по степеням постоянной взаимодействия.
600 VI. ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
Существуют серьезные трудности в применении квантовой механики
к этим «другим» частицам, и физики-теоретики были вынуждены об-
обратиться к другим методам для работы с этими частицами. Основная
цель состояла при этом в возможности получения результатов, которые
можно сравнить с экспериментом. Все эксперименты с частицами высоких
энергий включают в себя процессы рассеяния, и результаты могут быть
получены, если нам просто известна связь между начальным и конечным
состояниями для каждого процесса рассеяния. Такая связь известна под
названием ^-матрицы.
В последние десять лет была проведена большая работа по изучению
^-матрицы для различных видов процессов рассеяния. Разумеется, не
существует общего метода расчета ^-матрицы. Если бы мы располагали
соответствующей теорией, мы бы могли получать ^-матрицу, интегрируя
некоторые уравнения движения. Однако у нас нет подобных уравнений
движения.
Информацию об 5-матрице обычно получают, используя некоторые
общие принципы, которые считаются достаточно хорошо установленными.
В результате такой работы получается информация, содержащая неко-
некоторые неизвестные коэффициенты. Далее значения этих коэффициентов
берутся из эксперимента и появляется возможность построить теорию,
объединяющую большое число экспериментальных фактов.
Такова ситуация с квантовой механикой в настоящее время, и я хо-
хотел бы еще раз подчеркнуть ее основные черты. До тех пор, пока мы
находимся в рамках нерелятивистской теории, все выглядит прекрасно и
наша теория очень могущественна. Однако, стремясь сделать эту теорию
релятивистской, мы получаем неисчислимые трудности. Релятивистские
теории, которые мы можем построить, являются очень частными и имеют
ограниченную применимость.
Что же можно сделать в этой ситуации? Мне представляется очевид-
очевидным, что у нас еще нет фундаментальных законов квантовой механики.
Законы, которыми мы пользуемся сейчас, нуждаются в серьезной модифи-
модификации, прежде чем мы придем к релятивистской теории. Весьма вероятно,
что переход от нынешней квантовой механики к будущей релятивистской
квантовой механике окажется столь же радикальным, как и переход от
теории орбит Бора к современной квантовой механике. При столь ради-
радикальном изменении теории, разумеется, может произойти значительная
модификация нашей физической интерпретации теории, прежде всего, ее
статистического смысла. Пожалуй, это все, что мы можем сказать на
сегодняшний день. Благодарю вас за внимание.
43
РАЗВИТИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
О ПРИРОДЕ *)
Развитие физики в прошлом представляется как непрерывный процесс,
состоящий из множества мелких шагов, на который наложилось несколько
больших скачков. Разумеется, именно эти скачки и представляют собой
наиболее интересные особенности в развитии науки. Фоновый процесс
постепенного развития кажется вполне логичным: люди разрабатывают
стандартными методами определенные идеи, которые вытекают из достиг-
достигнутого уровня развития. Но вот возникает большой скачок, и это означает,
что появилось нечто совершенно новое.
Такие большие скачки сводятся обычно к преодолению предрассудков.
Некое представление может существовать у нас с незапамятных времен;
оно полностью принято и не возбуждает вопросов, так как кажется оче-
очевидным. И вот какой-нибудь физик обнаруживает сомнение, он стремится
к тому, чтобы заменить предрассудки чем-то более точным, и это приводит
к новому представлению о Природе.
Один из лучших примеров такого скачка — специальная теория от-
относительности, которая показала, что мы должны отказаться от пред-
представления об абсолютности понятия одновременности. Раньше физикам
казалось очевидным, что если два события происходят одновременно, то
этому можно придать точное значение, абсолютный смысл. Но когда стали
производить точные эксперименты с распространением света, принимаю-
принимающие во внимание конечность его скорости, оказалось, что эту мысль надо
отбросить. Эйнштейн первым реально осознал необходимость избавиться
от понятия абсолютной одновременности и заменить его новой картиной
мира, в которой время выступает как четвертое измерение, а пространство
и время рассматриваются в их единстве и могут быть подвергнуты преоб-
преобразованиям, при которых может измениться направление временной оси.
Это было очень большим шагом вперед, который привел к необходимости
переформулировать практически все основания физики.
Мы уже привыкли к использованию векторов и тензоров в трехмер-
трехмерном пространстве. Тензор — вполне определенное физическое понятие, а
математически он может быть описан лишь заданием его компонент, от-
отнесенных к некоторой системе координат. Тензор обладает тем свойством,
что его компоненты линейно преобразуются при переходе к иной системе
координат. Однако мы можем считать, что тензор существует совершенно
независимо от систем координат. Это просто некий объект, погруженный
*) Development of the Physicist's Conception of Nature // The Physicist's Conception of
Nature/Ed, by J. Mehra. — Dordrecht, Holland: D. Reidel, 1973. P. 1-14.
602 VI. ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
в пространство, для математического описания которого нужны коорди-
координаты.
С возникновением специальной теории относительности все наши век-
векторы и тензоры в трехмерном пространстве пришлось заменить соответ-
соответствующими величинами в четырех измерениях пространства-времени. Эти
величины должны теперь иметь больше компонент. Например, вектор,
который раньше относили к трехмерному пространству и для задания
которого нужно было три компоненты, теперь оказывается погруженным
в четырехмерное пространство-время и задается четырьмя компонентами.
И все физические понятия пришлось изменить аналогичным образом.
Если речь идет об импульсе в трехмерном пространстве, то и ему надо
придать четвертую компоненту, которая является просто энергией. Преж-
Прежде мы имели закон сохранения импульса и закон сохранения энергии, и оба
они были независимы. Теперь же эти законы оказались объединенными.
Появилось единое понятие энергии-импульса, и единый закон сохранения
относится к этому понятию в целом.
Теперь можно рассмотреть более сложные величины. Например, тензор
напряжений, заданный в трехмерном пространстве, должен быть дополнен
в специальной теории относительности рядом новых компонент, которые
имеют смысл скорости потока импульса и энергии.
Некая проблема возникла в связи с угловым моментом. В обычном
трехмерном пространстве угловой момент —это вектор, но его надо счи-
считать аксиальным вектором, преобразующимся как векторное произведение
двух обычных векторов. При переходе к четырем измерениям такой вектор
образует часть тензора второго ранга, антисимметричного относительно
перестановки его индексов. Таким образом, возникает необходимость доба-
добавить еще три компоненты, и встает вопрос, что это за компоненты. Сам по
себе угловой момент является весьма важным понятием, а дополнительные
компоненты, необходимые для четырехмерного описания, оказались не
столь фундаментальными, так как они относятся к моментам вращения
относительно осей в пространстве-времени, которые зависят от времени.
Закон сохранения углового момента играет важнейшую роль в нереляти-
нерелятивистской теории. Дополнительные три компоненты также сохраняются, но
из-за их зависимости от времени это несущественно. Важные приложения
углового момента относятся лишь к нерелятивистской ситуации, когда
некоторая особая временная ось выделена явно.
Мы обсуждаем изменения, связанные со специальной теорией относи-
относительности, которые обусловлены отказом от ложной абсолютизации поня-
понятия времени. Новое измерение, возникающее при переходе к общей теории
относительности, имеет до некоторой степени сходный характер. Здесь
надо было преодолеть тот предрассудок, что физический мир описывается
с помощью пространства Евклида. Конечно, аксиомы Евклида, сформули-
сформулированные много сотен лет назад, вполне хороши, если мы просто готовы
принять их и вывести из них всевозможные следствия, построив таким
образом евклидову геометрию. Вопрос, однако, состоит в том, действи-
43. РАЗВИТИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ О ПРИРОДЕ 603
тельно ли эти аксиомы применимы к расстояниям, измеряемым физиками.
Всегда считалось, что это правильно, так как наблюдения показывают,
что аксиомы применимы, по крайней мере, с очень хорошей точностью, и
потому возник предрассудок, что эта точность абсолютна.
Оказалось, что и этот предрассудок надо отбросить. Расстояния, из-
измеряемые физиками, не вполне соответствуют евклидовой геометрии. Как
мы узнали об этом? Расхождения исключительно малы, слишком малы,
чтобы их можно было обнаружить прямым наблюдением. Возможно, ко-
когда-либо в будущем, если люди смогут производить наблюдения с гораздо
более высокой точностью, можно будет прямо показать отличие геометрии
нашего мира от евклидовой геометрии, пока же это отличие обнаружива-
обнаруживается косвенно.
Отклонение от евклидовой геометрии основано на предположении, что
физическое пространство изображается как искривленное пространство,
погруженное в пространство более высокой размерности. Этот путь также
был предложен Эйнштейном, которого побудила к этому необходимость
сочетать теорию относительности с тяготением. Ньютон предположил, что
все тела притягиваются с силой, обратно пропорциональной квадрату рас-
расстояния между ними, но этот закон подвергался критике на том основании,
что он требовал дальнодействия. Философы говорят, что тело не может
оказывать действия там, где его нет, поэтому закон Ньютона содержит
в себе что-то неверное. Однако такая критика не обоснована, так как
можно ввести понятие поля.
Физики понимают под полем некоторую величину, отнесенную ко всем
точкам пространства и изменяющуюся, как правило, непрерывно от точки
к точке. Оказалось, что закон всемирного тяготения Ньютона можно пе-
переформулировать на языке поля, введя ньютонов потенциал, а при таком
полевом подходе отпадает необходимость в концепции дальнодействия.
Можно считать, что частица движется лишь под действием поля в непо-
непосредственной близости от нее.
Такая полевая формулировка удовлетворительна для философов, но
с точки зрения физика дальнодействие или действие через поле — вполне
эквивалентные формулировки, коль скоро от одного к другому можно пе-
перейти путем математического преобразования, а в приложении к примерам
оба подхода всегда дают одни и те же результаты. Есть, однако, другие
соображения, по которым полевая формулировка предпочтительна.
Перейдем к рассмотрению электродинамики. Первоначально ее основ-
основные законы, такие, как закон Кулона, были основаны на дальнодействии.
Однако они были не вполне точны, и потребовалась их переформулировка.
Модифицированные законы были указаны Максвеллом; они были основа-
основаны на полевом подходе, который привел к возможности электромагнитных
волн. Выяснилось, что дальнейшее продвижение возможно лишь в полевом
подходе, а не в теории дальнодействия, и потому поля предпочтительнее.
Оказалось, что полевой подход необходим и при описании тяготения, в
соответствии с общей теорией относительности Эйнштейна. Были установ-
604 VI. ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
лены новые уравнения, в которые вошли полевые величины, причем один
ньютонов потенциал был заменен десятикомпонентным полем. Впрочем, я
не собираюсь излагать здесь детали.
Таким образом, наши представления о пространстве претерпели боль-
большие изменения. Прежде всего, мы перешли от трех измерений к четырем.
Затем появилась идея введения в пространство кривизны, которая приве-
привела к представлению о том, что наше пространство является римановым.
Иногда возникает вопрос: должен ли остановиться на этой стадии процесс
изменения физических представлений о природе пространства. Электро-
Электромагнитное поле во многих отношениях похоже на гравитационное. И то, и
другое приводит к дальнодействующим силам, и это отличает их от других
физических полей, используемых в атомной физике.
Некоторые предполагали, что между этими полями должно быть един-
единство, и так как Эйнштейн показал, что гравитационные поля имеют гео-
геометрический смысл, это наводит на мысль, что и электромагнитное поле
как-то связано с геометрией. В таком случае понадобится какая-то геомет-
геометрическая схема, более общая, чем риманова геометрия, положенная в ос-
основу теории тяготения Эйнштейна. В этом направлении была проделана
большая работа, но результаты пока неудовлетворительны. Я не хочу ссы-
ссылаться на неудачные попытки развития физических идей и буду придер-
придерживаться лишь тех проблем, в решении которых удалось достичь успеха.
При этих условиях следует придерживаться эйнштейновского взгляда на
пространство и считать его четырехмерным римановым пространством,
которое является основным для физики и вмещает в себя все физические
процессы.
Итак, мы коснулись одного из направлений в развитии физических
представлений. Другим важным достижением недавнего времени была
квантовая теория, т.е. теория атомной структуры.
Переходя к этому вопросу, я подумал, что название моей лекции не
совсем удачно. Оно как бы подразумевает, что все физики одинаково смот-
смотрят на развитие представлений о Природе. Но по отношению к квантовой
теории это не вполне верно. В этом случае новые понятия не так легко
объяснить, как в случае теории относительности. Здесь они менее прозрач-
прозрачны, и вопрос о том, что именно наиболее важно, какие понятия являются
наиболее фундаментальными, решается разными физиками по-разному.
С этой точки зрения, мою лекцию лучше было бы озаглавить «Развитие
представлений физика о Природе». Я изложу свои собственные взгляды, и
должен сразу же заметить, что вовсе не претендую на то, чтобы эти взгля-
взгляды считались единственно разумными. Допустимы и другие подходы, и
в их пользу также можно привести определенные доводы. Я предпочитаю
свой подход, потому что лично для меня он оказался наиболее успешным.
К развитию квантовой теории привело несколько крупных шагов. Пер-
Первым шагом было, конечно, введение Планком конечного кванта энергии
при описании электромагнитного поля. Это было нелегко принять, и фи-
физикам пришлось согласиться на это только под давлением эксперимен-
43. РАЗВИТИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ О ПРИРОДЕ 605
тальных данных. Затем пришлось подумать о том, что делать с массой
спектроскопических данных. Они казались совершенно беспорядочными,
пока не было найдено комбинационное правило Ритца для спектральных
линий, согласно которому частота каждой спектральной линии выража-
выражается в виде разности двух членов. Вначале это было просто удачным
приемом и не приводило к теории до тех пор, пока Бор не построил свою
модель атома. Модель Бора была, пожалуй, важнейшим шагом в развитии
атомной теории, ибо она показала, что законы классической механики
становятся применимыми внутри атома для описания электронов, дви-
движущихся по внутриатомным орбитам, если добавить некоторые дополни-
дополнительные условия и сделать определенные предположения. Предположения
состояли в том, что надо пренебречь радиационным затуханием, а допол-
дополнительным условием было квантовое соотношение, которое фиксировало
стационарные боровские состояния. Это стало действительно громадным
продвижением на пути к созданию физической картины мира, может быть,
слишком большим, чтобы считать его просто преодолением существовав-
существовавших предрассудков.
После введения стационарных боровских состояний дальнейшее разви-
развитие физики указало на необходимость введения величин, связанных с дву-
двумя состояниями одновременно. Комбинационное правило Ритца, которое
привело к квантовому условию Бора, показало, что частоты спектральных
линий связаны каждая с двумя состояниями. Эйнштейн ввел коэффици-
коэффициенты испускания и поглощения, каждый из которых также был связан
с двумя состояниями. Так возникла идея, что надо работать с величинами,
отнесенными к двум состояниям. Была важная дисперсионная формула
Крамерса-Гейзенберга, построенная целиком из величин, зависящих от
двух состояний.
Все это привело Гейзенберга к его великолепному шагу вперед, поло-
положившему начало новой квантовой механике. Идея Гейзенберга состояла
в том, что теорию надо строить полностью в терминах величин, отнесен-
отнесенных сразу к двум состояниям. Такие величины можно записывать в ви-
виде матричной таблички и рассматривать сразу всю числовую матрицу.
Важнейшим достижением Гейзенберга было не только введение всех этих
матричных элементов, но и понимание того, что вся матрица в целом
соответствует одной динамической переменной.
В результате оказалось, что динамические переменные подчиняются
алгебре, подобной алгебре матриц, в которой можно производить операции
сложения и умножения, но умножение, вообще говоря, некоммутативно:
ab обычно не равно Ьа. Итак, приходится работать с величинами, подчи-
подчиняющимися алгебре этого типа.
Сначала, когда я впервые увидел оригинальную статью Гейзенберга,
в которой впервые были выдвинуты эти идеи, мне казалось, что важнее
всего то, что приходится работать с динамическими переменными, удовле-
удовлетворяющими некоммутативной алгебре. Я ввел новое название для таких
динамических переменных: назвал их g-числами, в отличие от обыкновен-
606 VI. ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
ных математических чисел, которые я называл с-числами. Эти д-числа
стали новым понятием, к которому физикам пришлось привыкать. Они
заняли место динамических переменных, с которыми физики имели дело
прежде, и для них оказалась справедливой новая алгебра. Вначале д-числа
казались мне чем-то совершенно таинственным. Я делал относительно
них некоторые предположения, просто для того чтобы продвинуть теорию
вперед и использовать ее для примеров, и часто эти предположения были
неверны. И все же понятие о g-числах получило дальнейшее развитие.
В первое время математическая природа g-числа была для меня загад-
загадкой. Было ясно, однако, в связи с формализмом Гейзенберга, что q-чис-
ла иногда можно заменить матрицами. Позднее выяснилось, что д-числа
можно всегда заменять матрицами. Как теперь говорят, они имеют мат-
матричное представление. Однако существуют различные матричные пред-
представления. Матрицу следует рассматривать как набор компонент q-чис-
ла в том же смысле, как набор тензорных компонент задает тензорную
величину. Можно считать, что тензор существует независимо от какой-
либо определенной системы координат; точно так же и g-число существует
независимо от какой-либо заданной системы матриц.
Когда стало ясно, что g-число всегда можно представлять в виде
матриц, в их математической природе не осталось, конечно, ничего та-
таинственного. С их помощью можно было выяснить все что угодно, и я
смог исправить свои ранние ошибки. Сущность g-числа свелась к тому,
что это нечто, имеющее физический смысл, независимый от матричного
представления, и, таким образом, эту величину можно рассматривать с той
же точки зрения, что и тензор.
Ранние работы с g-числами состояли просто в алгебраических преобра-
преобразованиях, использующих заданную некоммутативную алгебру, и, конечно,
интерпретация результатов таких действий оставалась неясной. Об интер-
интерпретации приходилось лишь догадываться, используя простые примеры.
Отыскивали определенную интерпретацию, дающую правильный ответ, и
эту интерпретацию обобщали и надстраивали в соответствующем направ-
направлении.
Новое достижение сыграло важнейшую роль в создании общей ин-
интерпретации квантовой механики. Этот шаг был сделан Шрёдингером,
развившим идеи де Бройля. При этом в физике появилось новое понятие —
состояние атомной системы.
Представление о состояниях существовало уже в классической меха-
механике. Классическая система может быть в различных динамических со-
состояниях, соответствующих различным решениям уравнений движения.
Интересно, однако, что квантовое состояние не просто соответствует клас-
классическому состоянию. Оно соответствует целому набору классических со-
состояний, связанных друг с другом особым математическим способом, ко-
который был открыт Гамильтоном за сто лет до того времени. Такая особая
связь между классическими состояниями была обнаружена Гамильтоном
просто из соображений математической красоты, в попытке найти удоб-
43. РАЗВИТИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ О ПРИРОДЕ 607
ную форму динамических уравнений. И эта работа Гамильтона оказалась
именно тем, что было нужно для подготовки к правильному пониманию
квантовых состояний. Каждое квантовое состояние отвечает одному из
гамильтоновых семейств классических состояний.
Было сделано поразительное открытие: между квантовыми состояни-
состояниями существуют соотношения типа суперпозиции. Это значит, что состо-
состояния можно представлять в виде некоторых векторов. Состояния — это
нечто такое, что можно складывать друг с другом и получать величины
той же природы. Строго говоря, квантовое состояние соответствует не
одному вектору такого типа, а некоторому направлению в векторном про-
пространстве, но это уже не столь существенно. Векторы, соответствующие
физическим состояниям в квантовой теории, обычно принадлежат про-
пространству с бесконечным числом измерений, и при некоторых подходящих
условиях сходимости это пространство является гильбертовым.
Здесь мы имеем дело с векторами нового типа, которые приобрели
в физике большое значение. Когда какое-то новое понятие становится
важным, мне нравится вводить для него новое имя, как, например, было
в случае g-чисел. Для состояний я ввел название «кет-вектор». Здесь
едва ли стоит объяснять причину, по которой я выбрал это название 1).
Итак, кет-векторы соответствуют физическим состояниям, и существует
связь между кет-векторами и g-числами. Кет-вектор можно умножить
на g-число, и получится другой кет-вектор. Можно сказать, что каждое
g-число — это некоторый линейный оператор, действующий в пространстве
кет-векторов. Физикам пришлось сжиться с этими новыми понятиями —
g-числами и кет-векторами.
Напомню, что g-числа представляются матрицами. Каждому данно-
данному представлению g-чисел отвечает некое представление кет-векторов,
каждый из которых задается набором координат. Обычно эти коорди-
координаты называют волновой функцией. Это название объясняется тем, что
в первых примерах, рассмотренных Шрёдингером, координаты кет-векто-
ра образовывали волновую функцию в трехмерном пространстве, когда
теория применялась к отдельной частице и использовалось подходящее
представление. Теперь волновой функцией называют вообще компоненты
кет-вектора в любой системе координат, даже если результат вовсе не
связан с волнами.
Так волны были введены в квантовую теорию. Волны —это способ
задания физических состояний. Теперь некоторые физики склонны по-
полагать, что в атомной теории волны —более фундаментальный объект,
чем частицы. Лично я не придерживаюсь этой точки зрения. Описывая
физические объекты на языке волн, можно продвинуться довольно далеко,
но я не думаю, что весь путь будет удобно пройти таким образом. Картина,
которую я представляю вам здесь, нравится мне больше: переменные,
г) Это вторая половина английского слова bracket (скобка). Первая половина была
использована Дираком для обозначения сопряженного состояния. — Примеч. пер.
608 VI. ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
связанные с частицами, являются g-числами, частицы могут пребывать
в различных состояниях, а состояния описываются волновыми функция-
функциями.
В рамках этих представлений можно получить плодотворную физи-
физическую интерпретацию квантовой механики. У нас есть общие правила
вычисления вероятностей того, что данные динамические переменные при-
принимают определенные значения в заданном состоянии.
При этом очень важно то, что вычисляются именно вероятности; мы не
вычисляем чего-то такого, что заведомо случится при заданных начальных
условиях. Это значит, что мы приняли статистическую интерпретацию.
Детерминизма классической механики больше не существует. Это еще одно
из представлений, к которым пришлось привыкнуть физикам. Пришлось
отказаться от предрассудка, что детерминизм необходим, а это было очень
нелегко. Некоторые надеялись вновь ввести детерминизм тем или иным
способом, добавляя скрытые переменные или как-то иначе, но из этого
ничего не вышло в рамках тех идей, которые были приняты. Я мог бы
еще добавить, что все еще сохранил предвзятое отношение к индетерми-
индетерминизму в основах физики. Однако мне пришлось примириться с этим, так
как в настоящее время ничего лучшего у нас нет. Может быть, какое-то
достижение в будущем и поможет нам вернуть детерминизм, но только
за счет утраты чего-нибудь другого, путем отказа от какого-то иного
предрассудка, которого мы пока еще твердо придерживаемся в настоящее
время.
Однако стоит ли строить предположения о том, что может принести
с собой будущее? Я просто хотел бы отметить, что если вам неуютно жить
в мире, где нет детерминизма, то вы не одиноки в этом. Это ощущение
разделяют многие, и я в том числе. Шрёдингер и Эйнштейн долго возра-
возражали против индетерминизма. И все же следует признать, что это лучшее,
что у нас есть на данном этапе развития науки.
Введение кет-векторов (или волновых функций) привело к дальнейше-
дальнейшему развитию теории, которое позволило применить ее к произвольному
числу одинаковых частиц. Для такой системы волновая функция будет
зависеть от переменных, относящихся ко всем этим частицам, и можно
будет считать, что волновая функция симметрична относительно переста-
перестановки этих частиц. Если история мира началась с состояния, симметрич-
симметричного относительно одинаковых частиц, то состояние мира так и останется
симметричным навечно, и мы сможем сформулировать закон, согласно ко-
которому в Природе встречаются только симметричные волновые функции.
Это закон Природы совсем нового типа, совершенно независимый от того,
к чему мы привыкли в классической теории, и его установление нельзя
рассматривать как преодоление какого-то предрассудка.
Другая возможность состоит в предположении, что в Природе встре-
встречаются только полностью антисимметричные волновые функции.
По всей видимости, Природа именно так и устроена. Есть частицы, опи-
описываемые лишь симметричными волновыми функциями, они называются
43. РАЗВИТИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ О ПРИРОДЕ 609
бозонами. Для других частиц волновые функции всегда антисимметричны,
они называются фермионами.
Теперь я хочу вернуться к понятию g-чисел и сказать кое-что о том,
как можно обобщить это понятие. Вначале g-числа были введены как
аналоги динамических переменных классической механики. Для работы
с ними необходимо знать соответствующие коммутационные соотношения.
Если дано, что ab не равно 6а, то нужно еще знать, чему равна разность
ab — Ьа. Нетрудно догадаться, что это за величина для тех систем, у
которых есть классические аналоги: это скобка Пуассона. Установив эту
связь, мы видим, что квантовая теория является некоторым обобщением
классической. Для данной классической системы, содержащей определен-
определенные частицы, которые определенным образом взаимодействуют, можно
указать соответствующую квантовую систему.
Можно обобщить и понятие g-числа, распространив его на любые ли-
линейные операторы, действующие на кет-векторы. Так можно ввести д-чис-
ла, не имеющие аналогов в классической механике, существенно увеличив
тем самым возможности квантового формализма.
Могу привести один пример. Рассмотрим волновую функцию, описы-
описывающую п одинаковых частиц. Она должна зависеть от переменных q\,
Ч2-, •••5 Чп-> гДе символ q относится ко всей совокупности переменных,
необходимых для описания одной частицы. К этой волновой функции
можно применить оператор, переставляющий между собой какие-либо
переменные, например, оператор перестановки q\ и #2- Каждый из та-
таких операторов перестановки можно рассматривать как особое д-число,
удовлетворяющее таким же уравнениям движения, как и все остальные
динамические переменные в теории Гейзенберга. Такое g-число будет со-
совершенно отлично от динамических переменных классической теории. Оно
не имеет классического аналога.
Если мы применим эту теорию к волновым функциям, симметричным
по динамическим переменным, то любой оператор перестановки будет
равен 1. Следовательно, мы имеем дело с g-числом, которое всегда равно 1,
и это не очень интересно. Аналогично, применяя операторы перестановки
к антисимметричным волновым функциям, мы будем получать +1 или
— 1, в зависимости от того, является перестановка четной или нечетной,
и это тоже не очень интересно. Интересные результаты можно получить,
рассматривая операторы перестановок более общего вида. Предположим,
что у частиц имеется спин. Тогда мы можем рассмотреть операторы, пере-
переставляющие только пространственные координаты частиц, но не их спины.
Такие операторы уже не всегда равны ±1, ситуация должна быть сложнее.
Можно построить теорию этих операторов перестановок, рассматривая их
как динамические переменные, и получить интересные результаты. Итак,
можно обобщить понятие g-числа и ввести такие динамические перемен-
переменные, которые не имеют классических аналогов.
Другое развитие теории, которое мне хотелось бы упомянуть, связано
с введением операторов, меняющих число частиц. Число частиц можно
20 П.Дирак. TIV
610 VI. ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
увеличить или уменьшить на единицу; соответственно вводятся операторы
испускания и поглощения. Как и g-числа, о которых шла речь выше, такие
операторы могут быть введены в стандартную теорию, и они удовлетво-
удовлетворяют тем же уравнениям движения. Введение этих операторов позволя-
позволяет использовать формализм, в котором число частиц может меняться.
В классической теории у нас не было этой возможности, однако такая
модификация квантовой теории не вызывает затруднений.
Сказанное выше демонстрирует развитие квантовой механики и пока-
показывает, что это действительно весьма мощная и прекрасно работающая
теория. У нее есть лишь один серьезный недостаток: это нерелятивист-
нерелятивистская теория. Мы все время придерживаемся исходных гейзенберговых
уравнений движения, в которые входит d/dt, производная по некоторой
выделенной временной переменной, а это противоречит духу теории отно-
относительности. Здесь шла речь о двух достижениях физики: теории относи-
относительности и квантовой механике. Как же их совместить? Физика должна
быть единой. Мы должны иметь единственную теорию, согласованную
как с принципами теории относительности, так и с принципами квантовой
теории. Как построить такую теорию?
Возьмем простой пример, рассмотрим одну частицу. Для нее можно по-
построить волновое уравнение, волновая функция будет зависеть от коорди-
координат ж, у, ?, и если мы будем рассматривать ее зависимость от времени, то t
также войдет в число аргументов. Такая волновая функция будет функци-
функцией четырех аргументов, и ее можно рассматривать с релятивистской точки
зрения, считая, что переменные задают точку в пространстве-времени.
Для такой волновой функции уже можно попытаться установить реля-
релятивистское волновое уравнение, не противоречащее принципам квантовой
механики. Оказалось, что это действительно можно сделать, причем уди-
удивительно (я был просто поражен, когда это впервые выяснилось), что
простейшее решение этой задачи соответствует не бесспиновой частице, а
частице, спин которой равен половине кванта действия. Очевидно, спин,
равный половине кванта, играет в Природе особую роль, и для частиц
с таким спином можно построить релятивистскую квантовую теорию,
удовлетворяющую всем требованиям как специальной теории относитель-
относительности, так и квантовой теории.
Пришлось ввести спин, равный половине кванта действия. Это еще
одно новое понятие, к которому физикам пришлось привыкнуть и для
описания которого надо использовать спиноры — величины, являющиеся
особым обобщением тензоров. Тензор —это нечто, погруженное в про-
пространство (или пространство-время), и на компоненты тензора действуют
операторы вращения. Спинор же —это такая величина, которая при пово-
повороте координатных осей на 360° меняет знак на обратный, а не возвраща-
возвращается к первоначальному значению, как тензор. С математической точки
зрения такие величины вполне допустимы, это величины, меняющие знак
при полном повороте вокруг любой оси в пространстве. Именно величины
такого рода нужно было ввести для описания полуцелого спина.
43. РАЗВИТИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ О ПРИРОДЕ 611
То, что спин, равный половине кванта действия, естественно возник в
релятивистском волновом уравнении, оказалось очень полезным, потому
что многие элементарные частицы, известные в Природе, обладают именно
таким спином, в частности электрон и протон. Таким образом, эта теория
специально создана для электрона.
Однако здесь с самого начала возникла трудность; если применять
обычные правила интерпретации волновой функции, то оказывается, что
теория допускает состояния как с положительной, так и с отрицательной
энергией. Вначале это обстоятельство послужило камнем преткновения,
но потом оказалось, что возникшую трудность можно преодолеть очень
красивым образом, изменив представления о вакууме.
Ранее физики всегда считали, что вакуум — это область пространства,
в которой совсем ничего нет, но такое представление оказалось предрассуд-
предрассудком, который пришлось отбросить. Лучше определить вакуум как состоя-
состояние с наинизшей энергией. Если возможны электроны с отрицательными
энергиями, то нам надо иметь как можно больше таких электронов, чтобы
получить состояние с минимальной энергией. В то же время электроны
удовлетворяют статистике Ферми, соответствующей антисимметричным
волновым функциям. Для них справедлив принцип Паули, означающий,
что в любом состоянии может быть не более одного электрона. Таким
образом, мы приходим к выводу, что состояние с низшей энергией для
данной области пространства получается, если все электронные уровни
с отрицательными энергиями заняты электронами. Это соответствует мак-
максимально возможному числу электронов с отрицательными энергиями.
Такая картина вакуума вполне разумна, если отказаться от предрас-
предрассудка, что вакуум не должен ничего содержать, и этот подход оказался
правильным. Он позволил строить состояния, отклоняющиеся от вакуума
в двух направлениях: можно иметь либо электроны с положительными
энергиями, либо свободные места на электронных уровнях с отрицатель-
отрицательными энергиями. Подобные дырки среди состояний с отрицательными
энергиями проявляют себя как частицы с положительными энергиями и
положительным зарядом, которые позднее стали интерпретироваться как
позитроны.
С новой картиной вакуума появилась возможность рождения вещества
из поля излучения. Если электрон перепрыгивает из состояния с отрица-
отрицательной энергией в состояние с положительной энергией, то возникают
обыкновенный электрон и позитрон, и энергия, необходимая для этого
скачка, переходит в форму энергии вещества.
Появляется также возможность поляризации вакуума. Вакуумное рас-
распределение электронов с отрицательными энергиями может быть нару-
нарушено под действием электрического или магнитного поля, при этом про-
происходит своеобразная поляризация пространства. И все эти новые идеи
возникли из релятивистского волнового уравнения для электрона.
Соединение теории относительности с квантовой механикой дало значе-
значение спина, равное половине кванта действия. В настоящее время известно
20*
612 VI. ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
много частиц, спины которых имеют другие значения. Особый интерес, ко-
конечно, представляет фотон, спин которого равен единице. Что нам делать
с этими частицами? Это серьезная проблема.
Квантовую теорию для таких частиц можно построить, рассматривая
состояния с какой-либо выделенной осью времени, и выяснить закон из-
изменения этих состояний при повороте этой оси. Здесь, однако, мы встре-
встречаемся с той трудностью, что такие изменения нелокальны. Для ансамбля
частиц можно построить полевые величины, изменяющиеся локальным
образом, но при переходе к вероятностям для отдельных частиц мы вновь
сталкиваемся с нелокальностью.
По-моему, с духом теории относительности не согласуется теория, ис-
использующая величины с нелокальным законом преобразования. Это зна-
значит, что мы берем некоторую величину в пространстве-времени с каким-
то направлением временной оси, а при повороте этой оси получаем новую
величину, относящуюся не только к непосредственной окрестности той
точки, где была задана исходная величина, но и к областям пространства,
отдаленным от нее в той или иной степени. Ситуация отчасти напоминает
теорию дальнодействия. Это не очень хорошо с точки зрения теории от-
относительности, но ничего лучшего у нас в настоящее время нет.
Трудность возникает также в том случае, когда у нас есть несколько
частиц, взаимодействующих друг с другом. Единственная теория, которую
мы можем сформулировать в настоящее время, является нелокальной, и
ее, конечно, нельзя считать удовлетворительной. Я думаю, что задачу
объединения квантовой теории с теорией относительности еще нельзя счи-
считать решенной. Понятия, используемые физиками в настоящее время, не
совсем адекватны. Они кажутся очень искусственными, если их применять
формально.
Трудность становится совершенно очевидной, если учесть, например,
взаимодействие между электронами и электромагнитным полем. Если
предположить, что это взаимодействие отвечает точечной модели электро-
электрона, то уравнения приводят к бесконечностям. Конечно, с бесконечностями
нельзя мириться. Их надо как-то удалить, и наиболее естественный путь
состоит в том, чтобы считать электрон не точечной частицей, а положить,
что его заряд распределен в некоторой области пространства.
Многие придерживаются концепции точечного заряда, а бесконечно-
бесконечности удаляют просто с помощью набора некоторых правил. Эти физики
говорят, что надо отойти от обычной математики. Давайте, мол, не будем
обращать внимания на бесконечности в наших уравнениях, если они нам
нежелательны. Иногда этот формализм приводит к результатам, хорошо
согласующимся с данными опыта, и такое положение вполне устраивает
многих. Но мне это совсем не нравится. Мне кажется, что мы вовсе не
обладаем строго определенными физическими понятиями, если нам при-
приходится применять рабочие математические правила. Такое положение не
может удовлетворить физиков.
43. РАЗВИТИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ О ПРИРОДЕ 613
Я мог бы упомянуть об одной идее, о которой много говорилось в эти
дни: я имею в виду понятие о перенормировке. Это понятие появилось уже
в классической теории, в модели электрона Лоренца. Согласно Лоренцу,
электрон создает вокруг себя некоторое поле; в сущности, это поле Куло-
Кулона с поправками, обусловленными движением электрона. Поле электрона
обладает инерцией, которую следует добавить к массе электрона, так что
физическая масса электрона должна частично состоять из массы, связан-
связанной с массой кулоновского поля вокруг него. Возможно, что и вся масса
электрона возникла таким образом. И в этом случае мы должны отойти от
точечной модели электрона, потому что масса, связанная с кулоновским
полем, в этой модели была бы бесконечно велика.
Итак, в рассмотренном случае первоначальная масса частицы меняется
из-за наличия создаваемого ею поля. Этот эффект существует и в кванто-
квантовой механике, он приводит к тому, что первоначальная масса электрона,
которая входит в исходные уравнения, становится отличной от наблюда-
наблюдаемой массы. Наблюдаемая масса называется перенормированной. Непри-
Неприятность состоит в том, что эффект перенормировки бесконечно велик,
если электрон считается точечной частицей. Точно так же появляется и
перенормировка заряда: исходный заряд производит поляризацию вакуума
и тем самым отчасти нейтрализуется. Этот эффект тоже бесконечен для
точечного электрона.
Таким было развитие квантовой теории до настоящего времени. Оче-
Очевидно, что современная ситуация далеко не удовлетворительна, так как
совместить квантовую теорию с теорией относительности не удалось.
Развитие физики в последнее время было в значительной степени свя-
связано с введением новых частиц. Здесь также приходилось преодолевать
некоторые предрассудки. Примерно до 1930 года считалось, что существу-
существуют лишь две фундаментальные частицы — электрон и протон. Причина
такого представления состояла в том, что есть два типа электричества,
положительное и отрицательное, для каждого из них нужно по частице,
и больше ничего. До того времени существовало сильное предубеждение
против введения новых частиц.
Это сбивало меня с толку, когда я впервые разрабатывал идеи относи-
относительно дырок в вакуумном распределении электронов. Мне казалось, что
поскольку дырки имеют положительный заряд, они должны представлять
собой протоны. Вначале я справедливо считал, что дырки должны быть
симметричны электронам и обладать такой же массой. Но мне трудно было
представить себе, что может существовать другая частица с положитель-
положительным зарядом и массой электрона. Я рассуждал так: если бы такие частицы
существовали, то экспериментаторы их наверняка бы увидели.
Почему же экспериментаторы их не видели? Просто потому, что суще-
существовало предубеждение. Экспериментаторы проводили множество опы-
опытов, в которых частицы двигались по искривленным траекториям в маг-
магнитном поле. Если знак заряда известен, то кривизна указывает, в каком
направлении двигалась частица по треку. Экспериментаторы регулярно
614 VI. ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
наблюдали электроны, испускаемые из источника и двигавшиеся по трекам
с ожидаемой кривизной. Иногда видели и противоположную кривизну,
но интерпретировали такие треки как треки электронов, летевших в ис-
источник, а не треки положительно заряженных частиц, испускаемых из
источника. Таковы были общепринятые представления. Существовало на-
настолько сильное предубеждение против новых частиц, что никто не сделал
статистического подсчета частиц, попадавших в источник, и не установил
поэтому, что число их слишком велико.
Приблизительно после 1930 года отношение физиков к новым части-
частицам коренным образом изменилось. Было открыто много новых частиц;
и экспериментаторы, и теоретики готовы были вводить новые частицы по
малейшему поводу.
Существовало также предубеждение против дробного электрического
заряда. Со времен Милликена, который провел очень точные измерения
заряда электрона, физики предполагали, что все заряды, встречающие-
встречающиеся в Природе, кратны заряду электрона. Лишь в теориях, выдвинутых
в последнее время, появились новые частицы, называемые кварками, с за-
зарядами, составляющими некоторую долю заряда электрона. Заряд кварка
обычного типа должен составлять 2/3 заряда электрона.
Я вспоминаю о встречах с Эренгафтом, который проводил большую
работу по измерению зарядов малых частиц. Он настаивал на том, что
ему удалось открыть нечто, названное им субэлектроном, — объект, заряд
которого меньше заряда электрона. Все считали Эренгафта чудаком, не
принимали его всерьез, и он на это очень жаловался. А недавно мне
пришло в голову, что теперь отношение к дробному заряду очень измени-
изменилось, и стоит взглянуть на результаты Эренгафта еще раз. Ранняя работа
Эренгафта была очень неаккуратна, он приводил для заряда самые разные
значения, но позднее его утверждения стали несколько более определен-
определенными. И все же его работа была чрезвычайно неточной и неаккуратной по
сравнению с работами Милликена.
Я просмотрел его последнюю статью по измерению заряда электрона,
опубликованную в 1941 году 1). Там приведена диаграмма, представляю-
представляющая результаты многих опытов. На ней по горизонтали отложен измеря-
измеряемый заряд, а по вертикали— число соответствующих частиц. Эренгафт
проводил опыты, схожие с опытами Милликена, но использовал не ка-
капельки масла, а твердые шарики. Все опыты, данные о которых были
им приведены, сделаны с маленькими шариками из красного селена. На
гистограмме определенно были видны два пика. Основной пик — чуть
пониже правильного значения, 4,7 • 10~10 СГСЭ, а второй, тоже вполне
определенный, — примерно при значении заряда 2/3 первого. Результат
показался мне довольно интересным, но значит ли это, что Эренгафт дей-
действительно наблюдал кварки? Смущает то, что этих субэлектронов было
так много. Это кажется мне очень сомнительным, к тому же Эренгафт не
г) Ehrenhaft F. // Philosophy of Science. 1941. V. 8. P. 403.
43. РАЗВИТИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ О ПРИРОДЕ
615
был хорошим экспериментатором. По ширине пиков видно, что точность
его результатов была низкой.
стиц
<й
V
Число
г
1
J.
3
Л-П
I Г
i
4
п
=
5
П
1,
L
(
•-л
п
7
п
п
1
1
1 г
¦
9
П_1
10
н
1
п
1
1240
п
п
-1ис
Pi
jj
тез
п
0 1
3 4
7 8 9 10 11 12 13 14 15
Заряд частицы, 100СГСЭ
Кроме того, в верхней части рисунка видны несколько черных квадра-
квадратиков. Они представляют результаты, для которых даны как заряды, так
и размеры шариков. Здесь наблюдается вполне определенная корреляция
между зарядом и размером: чем меньше частица, тем меньше ее заряд.
Я думаю, что эти данные говорят против Эренгафта. Вероятно, у него была
какая-то систематическая погрешность, которая привела к тому, что у более
мелких частиц наблюдались меньшие заряды. Боюсь, однако, что мы никог-
никогда не узнаем причины появления этих двух пиков, потому что все экспери-
экспериментальные данные погибли, когда гитлеровская армия вступила в Вену.
На летней школе в Варение, посвященной истории физики, присут-
присутствовал доктор Холтон, который говорил о прежних измерениях заряда
электрона. Он рассказывал о точных работах Милликена, а также о работе
Эренгафта, довольно неточной и сильно дискредитированной в свое время.
Холтон сказал мне о замечании, содержавшемся в одной из статей Милли-
Милликена, которое показалось мне очень интересным, и мне хочется привести
его здесь. Иногда историки науки выкапывают что-нибудь весьма любо-
любопытное, похороненное в старой литературе. Это замечание Милликена при-
приведено в его статье, опубликованной в 1910 году, в которой описаны опыты,
послужившие основой для точного определения заряда электрона. Цити-
Цитирую Милликена: «Я отбросил одно неопределенное и неподтвержденное
наблюдение, указывавшее на единственную заряженную каплю с зарядом
примерно на 30% ниже, чем правильное значение е».
Из этого замечания можно сделать два вывода. Во-первых, о научной
честности Милликена. Многие экспериментаторы, получив результат, про-
противоречащий тому, что они пытаются установить, и основной массе других
наблюдений, сказали бы просто: «В тот день мой прибор был не в порядке.
Не знаю, что там случилось, но я не могу воспроизвести этот результат, так
что не стоит больше думать об этом и незачем об этом упоминать, когда я
буду публиковать работу». Но Милликен был не таким. Он был скрупулезно
честен и не скрывал результатов, которые не согласовывались с тем, что он
хотел доказать. Второй вывод состоит в том, что у Милликена была всего
одна капля, давшая отличавшийся результат. Это наводит на мысль, не си-
сидел ли на той капле кварк. Вопрос этот мне придется оставить без ответа х).
г) Результаты, о которых говорил Дирак, не получили опытного подтверждения. —
Примеч. пер.
616 VI. ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
В заключение мне хотелось бы сказать несколько слов о будущем. Ра-
Разумеется, развитие физических представлений о Природе не остановилось
и в настоящее время. Было бы ошибкой придавать нашим современным
представлениям слишком большое значение. Мы находимся всего лишь
на промежуточном этапе, и следует ожидать дальнейшего развития, ко-
которое будет иметь фундаментальное значение. Я думаю, что дальнейшее
развитие будет столь же фундаментальным, как переход от боровских
орбит к квантовой механике Гейзенберга. Не знаю, как долго нам придется
ждать этого нового прогресса. Но он определенно произойдет, и, как я
уже отмечал ранее, в конце концов прояснится проблема выбора между
детерминизмом и индетерминизмом.
Люди часто пытаются предугадать способы получения новых идей.
Некоторые работают над аксиоматической формулировкой современной
квантовой механики. Не думаю, что это поможет. Представьте себе, что
кто-то работал над аксиоматическим обоснованием теории боровских ор-
орбит; они никогда бы не пришли к квантовой механике Гейзенберга. Им
никогда не пришло бы в голову, что надо усомниться в аксиоме коммута-
коммутативности умножения. Точно так же и будущее развитие должно затронуть
что-то такое, в чем никто до сих пор никогда не сомневался и что не
вскроется при аксиоматической формулировке.
Часто спрашивают, не следует ли изменить представление о простран-
пространстве и времени. Может быть, надо считать их дискретными? Однако до
сих пор обычному пространству-времени, используемому в физике, нет
подходящей математической замены. Мне кажется, что едва ли стоит
заниматься дальнейшими спекуляциями по этому поводу, и потому я хочу
закончить.
44
О РАННИХ ГОДАХ РАЗВИТИЯ
КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ *)
Я хотел бы обсудить мою научную деятельность в достаточно общем
и неформальном ключе. Я попытаюсь поделиться представлением о том,
что испытывает научный работник, когда он, образно говоря, «идет по
горячему следу» и надеется получить важный результат, который окажет
серьезное влияние на развитие физики. Можно подумать, что хороший ис-
исследователь в этой ситуации хладнокровно оценит положение дел, подойдя
к этой оценке без эмоций, строго логически, а затем вполне рациональным
образом разовьет имеющиеся у него идеи. Однако в действительности все
это далеко не так. Исследователь — всего лишь человек, и большие на-
надежды связаны у него с большими опасениями — мне трудно представить
себе иную ситуацию. В результате ход мысли и порядок действий иссле-
исследователя испытывает сильное воздействие: порой он даже не в состоянии
сосредоточить свое внимание на правильной линии логического развития.
В этой связи я остановлюсь в основном на моем собственном опыте.
Однако из имевшихся у меня бесед с другими физиками (ряд из которых
весьма известен) я чувствую, что то, о чем я собираюсь рассказать, явля-
является достаточно общим правилом, справедливым для всех исследователей,
связанных с основаниями физической теории. Оказывается, что эти люди
подвержены своим опасениям и страхам в очень сильной (иногда преобла-
преобладающей) степени.
Я подозреваю, что подобные страхи имели место и в других случаях,
о которых у нас нет прямых свидетельств, и в этой связи я особенно хотел
бы упомянуть о Лоренце. Любой из вас, кто изучал теорию относительно-
относительности, наверняка задавался следующим вопросом: почему Лоренц, которому
удалось правильно получить все основные уравнения, необходимые для
установления относительности пространства и времени, не сумел сделать
последнего шага и установить существование этой относительности. Он
выполнил всю трудную работу и построил всю необходимую математику,
однако не смог выйти за ее пределы — и вы резонно спросите: почему?
Я полагаю, что его, по-видимому, сдерживали опасения — нечто вро-
вроде запрета на окончательное «додумывание». Он действительно опасался
вступить на совершенно новую «терра инкогнита» и подвергнуть сомне-
сомнению идеи, считавшиеся общепринятыми с незапамятных времен. Лоренц
предпочел остаться на твердой почве своей математики, так как при этом
его позиции были неуязвимы. Если бы он двинулся дальше, то неизвестно,
*) Some of the Early Developments of Quantum Theory // In: Impact of Basic Research
on Technology / Ed. B. Kursunoglu, A. Perlmutter. — N.Y.: Plenum, 1973. P. 1-13.
618 VI. ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
какой критике он бы подвергся. Я полагаю, что в его действиях преобла-
преобладало желание оставаться на абсолютно безопасной почве.
Понадобилось несколько лет и смелость Эйнштейна для того, чтобы
совершить необходимый шаг вперед и заявить о том, что пространство и
время взаимосвязаны. То, что сегодня кажется нам лишь очень малым
шагом вперед, было очень трудно воспринять людям в то время.
Разумеется, все это —не более чем предположение, однако я чувствую,
что оно должно довольно точно соответствовать фактам. Я не вижу друго-
другого объяснения тому, каким образом можно столь близко подойти к велико-
великому открытию и все же не совершить последнего — и весьма небольшого —
шага.
Перейдем теперь к анализу развития квантовой механики. Оно нача-
началось с блестящей идеи Гейзенберга, состоящей в том, что следует пытаться
создавать теорию в терминах тех величин, которые дает эксперимент. Эта
идея отличалась от принятых ранее способов построения теории на основе
моделей атома, включавших много величин, которые не могли наблюдать-
наблюдаться. Эта великолепная идея Гейзенберга по существу дала начало новой
философии, утверждающей, что физическая теория должна близко при-
придерживаться получаемых экспериментальным путем данных и не должна
уклоняться в сторону использования величин, лишь отдаленно связанных
с наблюдениями.
Эта идея Гейзенберга была замечательной, и она привела его к понятию
матриц —после того как он собрал воедино различные эксперименталь-
экспериментальные данные, связанные с атомными спектрами. Далее Гейзенберг пришел
к тому, что именно матрицы представляют собой физические переменные,
характеризующие атом — такие физические переменные как положения
и скорости электронов. Продвинувшись еще не слишком далеко на этом
пути, Гейзенберг заметил, что его идея приводит к физическим величинам,
которые не удовлетворяют закону коммутативности умножения. Если А
и В — две величины подобного типа, то произведение А на В отличается
от произведения В на А.
Когда Гейзенберг обнаружил это, он был по-настоящему смущен. Эта
идея казалась весьма чужеродной. С самых ранних времен физики были
уверены в том, что используемые ими в качестве физических переменных
величины удовлетворяют стандартным законам алгебры. Было совершен-
совершенно непонятно и непривычно, что две физических величины дают различ-
различные результаты в зависимости от порядка, в котором они перемножаются
друг с другом. Разумеется, это очень тревожило Гейзенберга; он опасался,
что это — фундаментальный «прокол» в его теории, из-за которого, воз-
возможно, придется вообще отказаться от самой прекрасной идеи, лежащей
в ее основе.
Я получил одну из копий первой работы Гейзенберга незадолго до ее
публикации и некоторое время изучал ее. Через неделю (или две) я уви-
увидел, что некоммутативность действительно является важнейшей чертой
новой теории Гейзенберга. По существу она была даже важнее, чем идея
44. О РАННИХ ГОДАХ РАЗВИТИЯ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ 619
Гейзенберга о построении теории в терминах величин, тесно связанных
с экспериментальными результатами. Таким образом я пришел к мысли о
необходимости сосредоточиться на идее некоммутативности и посмотреть,
каким образом следует изменить обычную динамику (которую все до этого
использовали), чтобы учесть свойство некоммутативности.
Замечу, что на этом этапе у меня было преимущество перед Гейзенбер-
гом, поскольку я не испытывал его опасений. Я не боялся того, что теория
Гейзенберга может потерпеть провал. Это не повлияло бы на меня так, как
могло бы повлиять на Гейзенберга. Для меня это не означало бы, что мне
следует начать все вновь с самого начала.
Я думаю, что это является общим правилом: автор новой идеи — не
самая подходящая фигура для того, чтобы ее развивать, потому что его
опасения о том, что что-то пойдет не так, действительно очень сильны. Это
мешает ему взглянуть на весь метод вполне отвлеченно — как это, вообще
говоря, следовало бы сделать.
Итак, я обладал этим преимуществом перед Гейзенбергом. У меня
имелись также и другие серьезные преимущества. В то время я был аспи-
аспирантом, и у меня не было никаких других обязанностей помимо проведения
исследований. Я могу быть благодарен судьбе за тот факт, что я родился
как раз во-время. Будь я на несколько лет старше или моложе — и я бы
упустил счастливую возможность. Но все, очевидно, сложилось в мою
пользу.
Кроме того, в связи с проблемой модификации обычной динамики
с целью внести в нее свойство некоммутативности мне очень помогли
навыки работы с более ранней теорией Бора и Зоммерфельда, или теорией
атомных орбит. Эта теория оказалась тесно связанной с формой механики,
созданной Гамильтоном около ста лет до этого. Оказалось, что гамиль-
тонова форма динамики — именно та, которая наиболее приспособлена
к введению некоммутирующих переменных. Мне не стоило очень большого
труда разобраться в том, каким образом следует совместить друг с другом
обе идеи.
После получения от Гейзенберга его исходной идеи, я работал над ней
совершенно независимо от него. Гейзенберг также продолжал работать над
этой идеей и сотрудничал с другими людьми в Геттингене. Среди них,
в частности, был его профессор Борн, а также молодой аспирант Иордан.
Я полагаю, что они оказали Гейзенбергу большую помощь в преодолении
его страхов. Результатом стало то, что геттингенская школа также доби-
добилась быстрого прогресса в развитии основных идей квантовой механики.
Мы опубликовали свои работы независимо примерно в одно и тоже время.
Если вы посмотрите на эти ранние работы, вы увидите большое разли-
различие в стиле их написания, поскольку в моей работе идея некоммутативно-
некоммутативности была основной. Для геттингенской школы основная идея заключалась
в использовании величин, тесно связанных с экспериментальными резуль-
результатами, тогда как некоммутативность была вторичной и производной иде-
идеей. Тем не менее, несмотря на столь различные точки зрения, в наших
620 VI. ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
работах по существу не было реальных расхождений, и мы получили одни
и те же существенные результаты.
Существовала еще одна форма квантовой механики, открытая совер-
совершенно независимо Шрёдингером. Он следовал несколько иным идеям, и
у него были свои трудности. Его идеи основывались на замечательной
взаимосвязи между волнами и частицами, незадолго до этого открытой
де Бройлем. Эта взаимосвязь имела очень красивый математический вид и
согласовалась с теорией относительности. Эта взаимосвязь была весьма та-
таинственной, однако ввиду ее математической красоты создавалось ощуще-
ощущение, что между волнами и частицами действительно должна существовать
некоторая глубокая физическая взаимосвязь, которая иллюстрировалась
соответствующей математикой.
Идеи де Бройля были применимы только к свободным электронам, и
Шрёдингер столкнулся с проблемой обобщения уравнения де Бройля на
случай движения электрона в поле —в частности, на случай движения
электронов в атомах. Поработав над этим некоторое время, Шрёдингеру
удалось придти к уравнению — очень изящному и красивому, которое ка-
казалось вполне удовлетворительным с общей точки зрения.
Разумеется, необходимо было применить его с тем, чтобы увидеть,
работает ли оно практически. Шрёдингер применил свое уравнение к дви-
движению электрона в атоме водорода и вычислил спектр водорода. Однако
полученный им результат не согласовался с данными эксперимента, что
очень огорчило Шрёдингера. Это было примером исследователя, идущего
«по горячим следам», но обнаруживающего, что все его опасения оправ-
оправдываются. Теория, которая была столь красивой и обещающей, все же
оказалась не работающей на практике.
Как поступил Шрёдингер? Он был очень несчастлив и, как он говорил
мне, он вообще прекратил дальнейшую работу на несколько месяцев. По-
После этого, восстановившись после депрессии, он понемногу вновь вернулся
к этой работе и заметил, что если он применит свои идеи с меньшей
точностью —а именно, не будет учитывать эффекты, связанные с реляти-
релятивистским движением электрона —то с такой «пониженной» точностью его
теория придет в согласие с экспериментом.
Таким образом, Шрёдингер создал альтернативную форму квантовой
механики. Те, кто занимался этим предметом, вскоре обнаружили, что
форма Шрёдингера в своей основе эквивалентна форме, предложенной
Гейзенбергом. Эти формы были просто двумя аспектами одной и той же
теории, которая и представляет собой современную квантовую механику.
Шрёдингер оказался слишком скромен и более не продвигал свое пер-
первое релятивистское уравнение, которое не согласовывалось с наблюдения-
наблюдениями спектра водорода. Это уравнение было несколько позднее переоткрыто
Клейном и Гордоном, и они опубликовали эту работу несмотря на ее
несогласие с данными наблюдений. Причина, по которой исходное урав-
уравнение Шрёдингера не оказалось успешным, состоит в неучете наличия у
электрона спина. В то время этот факт еще не был установлен, и хотя
44. О РАННИХ ГОДАХ РАЗВИТИЯ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ 621
уже некоторые «намеки» на это существовали, они все же были слишком
ненадежными; возможно, сам Шрёдингер вообще не знал о них.
Клейн и Гордон опубликовали релятивистское уравнение, которое
в точности совпадало с ранее открытым Шрёдингером. Единственный
вклад Клейна и Гордона состоял в том, что у них достало смелости
не волноваться по поводу несовпадения этого уравнения с данными на-
наблюдений. В результате это уравнение известно сегодня как уравнение
Клейна-Гордона, несмотря на то, что оно было открыто годом или дву-
двумя ранее Шрёдингером. Это уравнение имеет некоторую ценность для
описания частиц без спина (некоторых видов мезонов), однако оно вовсе
неприменимо к электрону.
Вот так начиналась квантовая механика. В самом начале у нас имелась
вполне определенная математическая теория, и постепенно исследователи
приходили к правильной интерпретации этих уравнений. В этом качестве
утвердилась статистическая интерпретация. Над этим работали многие, и
конкретные задачи были не столь трудны, когда исходные позиции были
твердо установлены.
Серьезные трудности не возникали до тех пор, пока не пришлось изу-
изучать поправки, необходимые для согласования квантовой механики с тео-
теорией относительности. Как я уже отметил, уравнение Шрёдингера было
применимо лишь в том приближении, в котором пренебрегается указан-
указанными поправками. Если пытались работать с релятивистским уравнением,
носящим имена Клейна и Гордона, то получалось не только расхождение
с экспериментом, но и внутреннее логическое расхождение при интер-
интерпретации уравнения. При применении обычных правил, уже установлен-
установленных в квантовой механике, оказывалось, что уравнение Клейна-Гордона
приводит к отрицательным вероятностям, что, конечно, является полным
абсурдом.
Очевидно, что для уравнения Клейна-Гордона была необходима неко-
некоторая модификация. Я бился над этой проблемой некоторое время, и
в конце концов стал думать о другом уравнении, с помощью которого уда-
удалось бы преодолеть логические трудности, связанные с отрицательными
вероятностями. Вскоре я увидел, что это новое уравнение дает правильные
результаты для спина и магнитного момента электрона; все это было
весьма впечатляюще.
Далее возник вопрос, сможет ли это уравнение столь же удовлетво-
удовлетворительно объяснить спектр атома водорода? Я рассмотрел этот вопрос,
учитывая релятивистские поправки лишь в первом приближении, и по-
получил при этом согласие с экспериментом в том же приближении. Со-
Совершенно естественным было бы желание произвести далее вычисления
в более высоких порядках и убедиться в том, дают ли они также согласие
с экспериментом. Но я не сделал этого —просто потому, что чувствовал
себя смущенным. Я опасался того, что эти поправки могут оказаться
неверными. Возможно, тогда мне пришлось бы отказаться от всей идеи
в самой ее основе (в том случае, если бы высшие поправки оказались
622 VI. ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
неверными), и психологически я просто не смог бы перенести подобную
перспективу.
Поэтому я поспешно написал статью, приведя лишь приближение пер-
первого порядка и показав, что с этой точностью, во всяком случае, имеется
согласие между теорией и экспериментом. Таким образом я закреплял
ограниченную долю успеха, который составлял бы нечто устоявшееся —
независимо от того, как повернулось бы дело в будущем. Каждый из
нас испытывает эту потребность в каком-либо закрепленном успехе при
подобных обстоятельствах, и я очень спешил опубликовать свое первое
приближение раньше, чем могло случиться «нечто», переворачивающее
все с ног на голову.
Ниша, которую я оставил незанятой, досталась Дарвину. Именно ему
удалось рассмотреть этот вопрос, не испытывая моих страхов. Он проделал
необходимые вычисления во всех порядках и обнаружил, что они вполне
пригодны, о чем я узнал с большим облегчением.
Если вы посмотрите на мою первую работу (я не знаю, поступает
ли так кто-либо сегодня кроме историков науки), то вы вряд ли обра-
обратите внимание на одну вещь. В работе приведено выражение, которое
я выписал примерно так (я воспроизвожу здесь лишь основные черты):
w2/с2 + р\ + Р2 + Рз- Если вы посмотрите на это выражение, то — если вы
вообще что-либо знаете — вы скажете, что оно неверно: перед величинами
Pi должен быть знак минус (а не плюс!). Тогда вы сделаете вывод, что
в работе была допущена опечатка. Однако эта опечатка оказалась очень
значимой, и вы, вероятно, поинтересуетесь, как я мог оказаться столь
невнимательным, чтобы не заметить ее. В те времена я был очень внима-
внимательным читателем корректур.
Объяснение этой загадки состоит в том, что в действительности здесь
не было опечатки, а появление такого уравнения было вновь выражением
моих страхов. Обсуждаемая работа была сделана в 1920-х годах, когда
вся идея относительности была еще очень молода. Она еще не произвела
должного эффекта, подобного взрыву, в научном мире —это произошло
лишь по окончании Первой мировой войны, когда «взрыв» был очень боль-
большим. Об относительности говорили все, и не только ученые-естественники,
но и философы — все, вплоть до газетных обозревателей. Я не думаю,
что в истории науки был какой-либо другой случай, когда научная идея
привлекла бы столь большой общественный интерес, как это было с идеей
относительности в те дни (начиная с момента успокоения людей по окон-
окончании очень серьезной войны).
Как известно, основной идеей теории относительности стала симметрия
между пространством и временем. Однако эта симметрия не является
вполне «симметричной». Для того, чтобы сделать ее действительно пол-
полной, следует изменить знаки в некоторых уравнениях. Такого необходи-
необходимого изменения можно добиться, введя корень из минус единицы(д/—Т)
в некоторые физические величины (точнее, когда имеется четырехвектор,
следует ввести у/—1 в некоторые его координаты). Тогда по отношению
44. О РАННИХ ГОДАХ РАЗВИТИЯ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ 623
к «исправленным» таким образом величинам будет получена полная сим-
симметрия между пространством и временем. В ранние годы теории относи-
относительности исследователи находились под сильным впечатлением от этой
симметрии, и им хотелось любой ценой сохранять ее во всех выражениях.
С этой целью они часто использовали обозначения, содержащие л/^1.
В результате возникали выражения, подобные приведенному выше.
Эти обозначения были общеприняты (я заметил, что в своих ранних замет-
заметках я пользовался все время только ими). Они стали настолько обычными,
что, как правило, никто не заботился упоминать об этом —если они ис-
использованы в статье, значит, их и следует так понимать. Глядя на знаки
в данном выражении, следовало сразу понять, следует или нет вставлять
множитель д/~Т в основные переменные, так что незачем терять время
на объяснение этого. Таким образом то, что выглядит опечаткой сегодня,
когда люди уже не чувствуют необходимости придерживаться симметрии
между пространством и временем, в действительности было не ошибкой,
а «данью» историческому развитию теории относительности.
Каким же образом развивалась далее квантовая теория, пройдя опи-
описанную выше стадию? У нас уже имелось «работоспособное» релятивист-
релятивистское уравнение. Оно давало согласие с экспериментом с высокой точностью
для простого примера атома водорода. Однако прошло не слишком много
времени, как появилась новая трудность: при работе с этим уравнением
обнаруживалось, что электрон имеет состояния с отрицательной энергией.
Такое состояние для свободной частицы, разумеется не представляется
возможным и оно, конечно, никогда не наблюдается экспериментально.
Поэтому могло показаться, что мы преодолели одну трудность лишь для
того, чтобы столкнуться с другой трудностью.
В истории развития науки нередко бывает так, что преодолев одну
трудность, мы сразу же сталкиваемся с другой трудностью, и на первый
взгляд можно подумать, что никакого реального продвижения не про-
произошло. Однако это не так, поскольку новая трудность является более
отдаленной (или не столь очевидной), чем предшествующая. Если посмот-
посмотреть на вещи более внимательно, то обычно можно увидеть, что новая
трудность фактически присутствовала все время и ранее. Она лишь была
скрыта и заслонялась более очевидной (или даже «грубой») трудностью,
и когда эта «грубая» трудность устраняется, внимание сосредоточивается
на новой трудности.
Когда возникла эта «новая» трудность, связанная с наличием состоя-
состояний с отрицательной энергией, это стало примером трудности, которая
в действительности новой не являлась: она присутствовала все время и
ранее. Эта трудность возникает в любой релятивистской теории, даже
в старой классической теории Лоренца. Однако при тех физических усло-
условиях она не имела значения, поскольку электрон никогда не мог совершить
квантовый скачок в состояние с отрицательной энергией. Имела место
непрерывность, запрещавшая подобные скачки. Однако в новой квантовой
624 VI. ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
теории подобные скачки могли происходить, и эту трудность уже нельзя
было игнорировать как раньше.
Мне удалось показать, что в действительности не так уж сложно найти
путь преодоления этой трудности. Идею я заимствовал из теории хими-
химической валентности, в которой привычным считается тот факт, что элек-
электроны в атоме образуют замкнутые оболочки, которые не дают никакого
вклада в валентность атома. Подобный вклад дают лишь электроны, нахо-
находящиеся вне замкнутых оболочек; возможен также вклад от неполностью
заполненных оболочек или, что то же, от «дырок» в замкнутых оболочках.
Можно было применить эту идею к состояниям с отрицательной энер-
энергией и предположить, что в нормальном состоянии все состояния с от-
отрицательными энергиями заполнены электронами — точно так же, как за-
заполнены замкнутые оболочки в атоме. Таким образом, обычный электрон
с положительной энергией не смог бы совершить скачок в состояние с отри-
отрицательной энергией. Однако можно было бы ожидать, что при определен-
определенных условиях в состояниях с отрицательной энергией может возникнуть
«дырка», и подобные состояния также следует интерпретировать.
Можно сразу же увидеть, что такого рода дырка будет представляться
в виде частицы. Это будет частица с положительным зарядом и положи-
положительной массой. Замечу, что с самого начала появления у меня этой идеи,
я полагал, что между дырками и электронами должна быть симметрия, и
потому дырки должны обладать той же самой массой, что и электроны.
Каким же образом следует тогда интерпретировать дырки? Это должны
быть частицы с положительным зарядом, однако единственными извест-
известными в то время частицами с положительным зарядом были протоны.
В течение десятилетий физики строили теорию материи исключитель-
исключительно на основе электронов и протонов. Они были вполне удовлетворены
наличием только этих двух основных частиц. Электроны несут отрица-
отрицательный заряд, протоны — положительный, и это все, что тогда требова-
требовалось. Резерфорд выдвинул предположительную идею о том, что может
существовать еще и третья частица —нейтрон. Однако это было не более,
чем спекуляцией, о которой иногда говорилось, но никто не рассматривал
эту возможность сколько-нибудь серьезно.
На том основании, что единственными частицами в природе являются
электроны и протоны, мне казалось, что дырки должны быть протона-
протонами. Это доставляло мне большое беспокойство, поскольку масса протонов
очень сильно отличается от массы электронов — они намного тяжелее.
Каким образом следовало объяснить это различие в массах?
Некоторое время я искал какие-либо причины, которые могли бы объ-
объяснить это различие и надеялся, что, например, кулонова сила, действую-
действующая между электронами, может привести к некоторой взаимосвязи между
всеми электронами в состояниях с отрицательной энергией, а это, в свою
очередь, приведет к искомому различию в массах (разумеется я не пони-
понимал, как именно это может произойти). Однако я полагал, что исходная
идея все же содержит нечто интересное, и потому опубликовал ее в виде
44. О РАННИХ ГОДАХ РАЗВИТИЯ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ 625
теории электронов и протонов; при этом, разумеется, я оставил без всякого
объяснения, почему протоны могут иметь массу, столь отличную от массы
электронов.
Эта идея была подхвачена Германом Вейлем. Он смело заявил, что
дырки должны иметь ту же массу, что и электроны. Однако Вей ль был
чистым математиком и вовсе не был физиком. Он рассматривал лишь ма-
математические следствия данной идеи, анализируя выводы, которые можно
сделать из наличия той или иной симметрии. Подобный математический
подход приводил непосредственно к выводу о том, что массы дырок и
электронов должны быть одинаковыми. Вей ль просто опубликовал утвер-
утверждение о том, что массы дырок и электронов должны быть равными
друг другу, не сделав никаких замечаний о физических предпосылках
такого утверждения. Возможно, он вообще не интересовался тем, каковы
эти физические предпосылки — его интересовала лишь математическая
согласованность теории.
На этом этапе развития теории внес вклад Оппенгеймер. Он воспринял
вывод Вей ля о том, что массы электронов и дырок должны быть рав-
равны, и обратился к физической реальности, состоявшей в том, что никто
никогда не наблюдал дырок в эксперименте. Оппенгеймер даже сказал,
что по-видимому существует какая-то непонятная нам причина, почему
это так. Он также согласился с тем, что дырки не могут иметь ничего
общего с протонами, так что должна быть некая таинственная причина
того, почему они не наблюдаются в природе.
Действительно, Оппенгеймер со своей гипотезой был очень близок
к истинной причине всего явления в целом. Причина, по которой дырки не
наблюдались, состояла просто в том, что экспериментаторы не искали их
в нужном месте, а если что-то подобное и наблюдали, то не могли осознать,
что же именно они видят.
Я вспоминаю, что в эту раннюю эпоху — еще даже до публикации
теории электронов и протонов, мне приходилось разговаривать с людь-
людьми, работавшими в Кавендишской лаборатории. Они наблюдали треки
частиц в магнитном поле и утверждали, что иногда они видят электроны,
возвращающиеся к источнику. Эти наблюдения они рассматривали как
случайные совпадения, и никто не подумал, что они заслуживают более
детального анализа. Мысль о том, что это может быть новая частица,
выходящая из источника, а не обычный электрон, возвращающийся в него,
была совершенно чужда образу мыслей в то время. Я не думаю, что
кто-либо имел хотя бы самое отдаленное представление о подобной воз-
возможности. У этих людей перед глазами было свидетельство того, что име-
имеются новые частицы с положительным зарядом и с массой, равной массе
электрона, однако они просто не смогли оценить того, что они видели.
Понадобилось несколько лет развития, прежде чем экспериментаторы
установили факт существования позитронов. В действительности первым
физиком, получившим надежное свидетельство в пользу этого факта,
был Блэкетт, однако он побоялся опубликовать это. Он хотел получить
626 VI. ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
подтверждение, проявив сверхосторожность. Честь первым опубликовать
сообщение о существовании позитрона была тем самым предоставлена
Андерсону, который и «пожал» соответствующие лавры.
Когда приходится думать о тех днях, то поистине удивительно то, как
неохотно физики вводили новые частицы. Это в равной степени относится
как к теоретикам, так и к экспериментаторам. Складывается впечатление,
что они охотнее искали бы любые объяснения, нежели ввели бы новую ча-
частицу. Им необходимы были наиболее очевидные и неопровержимые дока-
доказательства, прежде чем они были вынуждены ввести новую частицу. С тех
пор «климат» в физике полностью переменился. Теперь новые частицы
непрерывно — и в больших количествах — предлагаются и постулируются.
В настоящее время их в ходу около сотни или более. Люди только стали
слишком смелыми и публикуют свидетельства в пользу новой частицы
независимо от того, получено ли это свидетельство в эксперименте или
следует из плохо обоснованной теоретической идеи
Очень трудный первый шаг состоял в том, чтобы принять позитрон. За
этим вскоре последовало открытие нейтрона, что подтвердило гипотезу,
высказанную Резерфордом несколькими годами ранее. После этого были
открыты нейтрино и различные мезоны.
Мы вспомнили о тех ранних годах, когда был установлен фундамент
квантовой механики. Были заложены основы теории, которая оказалась
вполне пригодной для объяснения всех атомных явлений, если не интере-
интересоваться тем, что происходит на слишком малых расстояниях или слишком
высоких энергиях. Если все-таки пытаться продвигаться по этому пути, то
мы получаем новые трудности, и создается впечатление, что необходимые
для преодоления этих новых трудностей идеи еще не разработаны.
Со времени установления основополагающих идей квантовой механики
было сделано очень много важного, однако результаты не соответствовали
фундаментальному стандарту того времени. Разрабатывались в основном
следствия ранних идей и изучалось, насколько далеко можно продви-
продвинуться, пока трудности не станут серьезными. Эти трудности возникают
из-за того, что взаимодействие между элементарными частицами и полями
в действительности слишком велико для того, чтобы можно было получить
удовлетворительную теорию. Приходится идти на любые ухищрения для
того, чтобы продвинуть теорию дальше. Приходится создавать теории,
которые лишь более или менее закрывают «прорехи», но не имеют под
собой фундаментальной основы.
Сегодня ситуация такова, что у нас все еще имеются эти фундамен-
фундаментальные трудности. Чтобы их избежать, понадобится человек, подобный
новому Гейзенбергу. Экспериментаторы добиваются все нового прогресса,
и их ничуть не смущают трудности теоретиков. Они продолжают накапли-
накапливать факты и «бросают вызов» теоретикам, предлагая им строить теории,
объясняющие новые данные. Сложность состоит в том, что эксперименты
стали чрезвычайно дороги, но несмотря на это экспериментальная деятель-
44. О РАННИХ ГОДАХ РАЗВИТИЯ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ 627
ность стимулируется соображениями национального престижа и ведется
в различных центрах.
Мой личный вклад в период, прошедший с тех ранних дней, не имел
особенно большого значения, и я не считаю, что следует останавливаться
на каких-либо его деталях. Я бы хотел лишь заметить, что после доказа-
доказательства существования позитрона я стал размышлять о новой частице —
магнитном монополе. За проблемой монополя стоит красивая математика,
и люди были бы счастливы, если бы монополь действительно существовал
в природе — тогда эта красивая математика получила бы реальное при-
применение. Однако у меня нет опасений по поводу этой теории, если даже
монополь не будет открыт. Если окажется, что эта математика непримени-
неприменима к природе, это не будет в действительности означать ничего серьезного,
поскольку эта работа достаточно изолирована, и от нее можно отказаться
без каких-либо последствий для основных положений квантовой теории.
Сильное возбуждение и серьезные опасения возникают в том случае,
когда вы бросаете вызов основным положениям и вы не уверены, будет
ли все хорошо — однако подобное возбуждение не возвращалось ко мне
с тех ранних дней. Период, начавшийся в 1925 году и длившийся несколько
лет, можно назвать Золотым Веком Физики — в то время наши основные
идеи развивались очень быстро, и у каждого из нас была масса работы.
Сейчас стала очевидной ограниченность идей, выдвинутых в течение этого
Золотого Века, и мы все надеемся, что настанет новый Золотой Век. Его
приход будет вызван некоторыми новыми идеями, разительно отличающи-
отличающимися от старых; таким образом, придет новый период быстрого развития —
с большими надеждами и опасениями.
45
ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ И ПРЕДРАССУДКИ
В ФИЗИКЕ *)
Вопрос об основополагающих предположениях для занятого исследо-
исследованиями физика имеет большое значение. Любой физик должен исходить
из некоторых предположений, придерживаясь их, но в то же время и
обсуждая их (по возможности критично). Тогда в ряде случаев физик
сможет обнаружить, что то или другое из основополагающих предполо-
предположений является неверным и возникло лишь в результате определенной
предвзятости. В этом случае физику следует отказаться от этого пред-
предположения и попытаться построить, тем самым, некую «новую физику».
Именно таков путь, который часто приводит к существенным, а иногда и
революционизирующим открытиям.
Именно таковы были, например, самые значимые открытия Эйнштей-
Эйнштейна. Эйнштейн критиковал понятия абсолютного времени и абсолютной од-
одновременности событий. Ранее необходимость существования абсолютного
времени принималось как нечто само собой разумеющееся. Это предполо-
предположение играло существенную роль для вывода некоторых законов физики
(так, как они в то время понимались). В частности, закон тяготения Нью-
Ньютона основывался на мгновенном взаимодействии между удаленными друг
от друга телами. Это взаимодействие могло быть понято лишь в предпо-
предположении о существовании абсолютного времени.
Ньютоново «действие на расстоянии» критиковалось философами на
том основании, что тело якобы не может оказывать никакого действия
в каких-либо иных местах, отличных от места нахождения этого тела.
Однако очень скоро оказалось, что мгновенное взаимодействие на рассто-
расстоянии не является необходимым качеством теории Ньютона. При исполь-
использовании уравнения Пуассона удалось сформулировать теорию Ньютона
как полевую теорию, в которой поле понимается не как точка, но как
пространственно протяженный объект; при этом необходимо лишь наличие
взаимодействия между соседними точками поля. Таким образом, имеются
две альтернативные возможности описания закона тяготения Ньютона:
с одной стороны, посредством мгновенного взаимодействия на расстоянии,
с другой стороны - посредством взаимодействия вдоль линий поля.
Указанные два способа описания являются математически эквивалент-
эквивалентными и, будучи применены к одному и тому же примеру, дают одинаковые
результаты. Далее можно было бы думать, что оба этих способа одинаково
хороши и с естественнонаучной точки зрения. Подобный вывод, однако,
*) Annahmen und Voreingenommenheit in der Physik // Naturw. Rundsch. Stuttg. 1977.
B. 30 A2). S. 429-432.
45. ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ И ПРЕДРАССУДКИ В ФИЗИКЕ 629
не следует отсюда однозначно. Таким образом, могут существовать два
типа одной теории, с помощью которых приходят к одинаковым резуль-
результатам. Различие, однако, состоит в том, что посредством теории одного
типа можно, кроме того, придти к улучшениям и дальнейшему развитию
теории, тогда как другой тип теории этого не позволяет. Так обстоит
дело, в частности, для случая закона Ньютона. Если его интерпретировать
как мгновенное взаимодействие на расстоянии, то отсутствует какая-либо
возможность его улучшения или дальнейшего развития. С другой стороны,
иная формулировка закона Ньютона с помощью понятия взаимодействия
через поле позволила улучшить теорию и в конечном итоге привела к новой
формулировке закона тяготения, данной Эйнштейном.
На основе глубокого размышления Эйнштейн пришел к выводу, что
следует отказаться от утверждения об абсолютной одновременности собы-
событий. Ему удалось показать, что не существует экспериментального способа,
посредством которого можно было бы показать, происходят ли два собы-
события одновременно или нет. Лучшее, что можно было бы сделать в этом от-
отношении в эксперименте — это посылать сигналы со скоростью света. Свет
распространяется чрезвычайно быстро, и потому промежуток времени,
необходимый свету для попадания из одной точки в другую, пренебрежимо
мал — до тех пор, пока мы изучаем это явление на Земле.
Если проводить аналогичные наблюдения в космосе на астрономиче-
астрономических расстояниях, то указанное время распространения света будет доста-
достаточно велико. Благодаря запаздыванию, которое обусловлено конечным
промежутком времени распространения света, нельзя более приписать
какого-либо смысла двум одновременно происходящим событиям, если они
происходят на большом удалении друг от друга.
Это рассуждение привело Эйнштейна к новой геометрии, в которой
понятие одновременности было исключено; вместо понятия абсолютного
времени Эйнштейн ввел понятие абсолютной скорости — скорости света.
Это привело Эйнштейна к созданию специальной теории относительности,
которую можно лучше всего понять, если принять, что пространство и
время образуют четырехмерный мир, геометрия которого несколько отли-
отличается от эвклидовой.
Это отличие можно объяснить очень просто: в геометрии Эвклида
справедлива теорема Пифагора, согласно которой в прямоугольном тре-
треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух катетов. В но-
новой геометрии нужно лишь ввести постулат о том, что квадрат гипотенузы
равен разности квадратов двух других сторон треугольника. Таким обра-
образом, в соотношение, следующее из теоремы Пифагора, следует ввести знак
минус.
Отсюда получается новая геометрия, которая во многих отношениях
подобна эвклидовой, однако в некоторых других отношениях обнаружи-
обнаруживает важные отличия. Эту геометрию называют геометрией Минковского
(иногда также псевдоэвклидовой геометрией). На основе применения этой
новой геометрии Эйнштейн развил теорию, в которой не существует не
630 VI. ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
только понятия абсолютного времени, но и понятия абсолютной одновре-
одновременности.
Однако перед Эйнштейном все еще оставалась проблема о том, ка-
каким образом включить в рассмотрение гравитацию. С этой целью ему
пришлось произвести еще одно кардинальное изменение наших осново-
основополагающих представлений, а именно ввести постулат о том, что наше
пространство и время не являются плоскими, но обладают кривизной.
Понятие плоского пространства считалось автоматически данным (с тех
пор, как люди вообще начали его изучать), однако именно это понятие
«приговорено» к тому, чтобы от него отказаться.
Теперь следует представлять себе искривленное пространство и ис-
искривленное время, и именно это создает нам основу для понимания гра-
гравитации. Причина, по которой падает тело, состоит просто в том, что
это тело стремится, насколько это возможно, двигаться по прямой линии.
Однако поскольку пространство искривлено, тело также должно следовать
по искривленному пути.
Это была, несомненно, революционная идея. На ее основе можно было
сразу заключить, что в природе не может существовать никакой антигра-
антигравитации. Дело в том, что многие люди полагали, что в принципе могла бы
существовать некая «антигравитация», под действием которой тела падали
бы не вниз, а вверх. На основе идей Эйнштейна подобное предположе-
предположение совершенно невозможно, поскольку в теории Эйнштейна вообще не
существует вопроса о силе, которая «тянет» тело вниз или вверх. Каждое
тело придерживается, насколько это возможно, кратчайшей траектории,
которая с точки зрения искривленного пространства-времени является
прямой, что в свою очередь обусловливает обычное движение этого тела.
Этот пример отчетливо показывает, каким образом Эйнштейн изменил
основы нашего мышления.
В дальнейшем мне хотелось бы сообщить кое-что о моих собственных
основополагающих размышлениях. В то время, когда я начал заниматься
физикой, ученых интересовали боровские траектории, или орбиты, элек-
электронов в атомах. Меня также очень волновал вопрос о боровских орбитах,
и я полагал тогда, что они представляют собой нечто очень важное для
Природы в целом, а в атомной области смогут объяснить все явления.
Следует только понять, каким образом могут вступать во взаимодействие
друг с другом различные боровские орбиты. Я работал над этими вопро-
вопросами два-три года, однако это не принесло никакого результата, поскольку
я исходил из неверных основополагающих представлений.
У Гейзенберга была очень хорошая основополагающая идея о том, что
теорию следует строить только для таких величин, которые доступны
прямому наблюдению. Наблюдать боровские орбиты было невозможно, и
по этой причине Гейзенберг не считал их достаточно важными. Вместо
этого он работал с физическими величинами, описывающими переходы,
или процессы, посредством которых должен был происходить переход
между двумя боровскими орбитами. С математической точки зрения эти
45. ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ И ПРЕДРАССУДКИ В ФИЗИКЕ 631
величины представляли собой матричные элементы. На этой основе Гей-
зенберг развил новую матричную механику. Это была механика, в которой
мы должны были отказаться от привычных математических уравнений,
при выводе которых предполагалось, что все динамические величины пе-
перестановочны между собой. Все это привело к новой динамике, в которой
произведение двух переменных и • v не обязательно совпадает с произве-
произведением v • и.
Для меня все это явилось большим откровением, когда я познакомил-
познакомился с открытием Гейзенберга. Из него следовало, сколь неверным идеям
следовал я изначально, и указывало на то, что мне необходимо усвоить
совершенно иные основополагающие идеи. Сегодня мне представляется,
что наилучшая отправная точка, которую только можно найти в физике,
состоит в следующем предположении: физические законы «покоятся» на
красивых уравнениях. Единственное действительно существенное требо-
требование состоит в том, что фундаментальные уравнения должны иметь явно
выраженную математическую «красоту».
Де Бройль ранее уже показал, каких успехов можно достичь, если
исходить из осмысленных математических предпосылок. Это привело его
к предположению о связи между частицами и волнами. Без математиче-
математических выражений эту взаимосвязь едва ли можно объяснить, поскольку
физически это означает, что каждая частица при своем движении на-
направляется, или «пилотируется» волнами. Взаимосвязь между частицами
и волнами выражается соотношениями де Бройля, которые он вывел,
исходя главным образом из осмысленных математических соображений.
Идеи де Бройля привели Шрёдингера к его волновой механике — одной из
форм квантовой механики, которая эквивалентна развитой Гейзенбергом
матричной механике. Таким образом, была получена вполне удовлетво-
удовлетворительная квантовая механика, которая развивалась дальше на основе
объединения работ Гейзенберга и Шрёдингера.
Новая квантовая механика была во многих отношениях очень полезной
и плодотворной, но обладала лишь одним недостатком — эта теория не
была релятивистской. Квантовая механика в этой форме не могла быть
применена к частицам, которые двигались с большой скоростью. Однако
создание теории, которая объединяла бы друг с другом идейные дости-
достижения квантовой механики и теории относительности, натолкнулось на
серьезное затруднение.
В обычной квантовой механике, созданной Гейзенбергом и Шрёдинге-
ром, предполагалось, что следует работать с уравнениями, линейными по
оператору дифференцирования по времени d/dt. Если попытаться теперь
развить релятивистскую теорию, то получаются уравнения, содержащие
величину ( —-) . Работая с подобными уравнениями, в которые входит
величина ( — ) , мы приходим к еще одной форме квантовой механики,
в рамках которой можно вычислять вероятности событий. Однако эта
632 VI. ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
вероятность не во всех случаях оказывается с необходимостью положи-
положительной, а вероятность, не являющаяся положительной — это, разумеется,
полная бессмыслица. В теории, приводящей только к положительным ве-
д ( д\2
роятностям, могут содержаться только величины —, но не 1 — 1 .
(УТ \ 0l /
Когда я работал над этой проблемой в 1927 году, большинство физиков
были вполне удовлетворены тем, что можно было использовать выраже-
выражения, содержащие ( — ) .Я же был крайне огорчен этим обстоятельством,
поскольку оно означало, что нам следует отказаться от некоторых ос-
основных предположений квантовой механики. Я все еще хорошо помню,
что моя неудовлетворенность современным состоянием теории приводила
меня к полному одиночеству. Эта неудовлетворенность вынудила меня
попробовать найти новое уравнение, которое содержит только величину
d/dt и, кроме того, является релятивистским, т. е. применимо к частицам,
обладающим большой скоростью. И мне действительно удалось найти
такое уравнение, которое, к моему удовлетворению, приводило к такой
механике, в которой все вероятности могли быть вычислены как положи-
положительные величины. К тому же получились такие уравнения, которые были
способны объяснить наличие спина и магнитного момента у электрона.
Это было неожиданным призовым «бонусом».
В то время я вовсе не искал пути к описанию спина частицы. По
моему мнению, сначала было необходимо описать простейшие частицы (т.е.
частицы без спина), и лишь после того как для таких частиц будет по-
получена удовлетворительная теория должно было стать возможным также
рассмотрение частиц со спином. Это еще раз показывает, каким образом
можно сбиться с верного пути в результате неких абстрактных рассужде-
рассуждений. В действительности оказалось, что описание частицы с по л у целым
спином значительно проще, чем описание частицы, не обладающей спином.
Существовавшая в то время теория, приводила к хорошим результатам
применительно к электрону, в том числе всегда давала для вероятно-
вероятностей положительные величины. Оставалось, однако, преодолеть некоторые
трудности, поскольку в этой теории для энергии допускались как положи-
положительные, так и отрицательные значения. Следовало найти объяснение для
получающихся отрицательных значений энергии, поскольку по математи-
математическим причинам нельзя было просто исключить их из теории. Поэтому
я искал путь для объяснения этих отрицательных значений, и именно на
этом пути я попытался изменить представление о вакууме.
В ранний период развития физики вакуум представляли себе как некое
пустое пространство. Теперь оказалось, что это представление следует
заменить новым. В этой новой теории вакуум описывается как область
пространства, обладающая минимальной энергией. Это описание требует,
чтобы совокупность всех состояний с отрицательной энергией была занята
электронами. Согласно принципу Паули каждый уровень энергии может
быть занят лишь одним-единственным электроном. На этой основе мы
45. ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ И ПРЕДРАССУДКИ В ФИЗИКЕ 633
развили новое представление о вакууме, в котором все состояния с отри-
отрицательными энергиями заполнены, тогда как все состояния с положитель-
положительными энергиями — наоборот, пусты.
Далее следовало принять во внимание возможность наличия незапол-
незаполненного состояния с отрицательной энергией или, иными словами, «дыр-
«дырки» в распределении по состояниям с отрицательными энергиями. Эти
«дырки», как мне представлялось, также могли быть частицами, которые
обладают положительной энергией и положительным зарядом. Однако
каким образом можно было бы интерпретировать эти «дырки»?
В то время предполагалось, что в природе якобы существуют лишь две
элементарные частицы. Это было, конечно, совершенно неверным фунда-
фундаментальным представлением. Необходимость двух элементарных частиц
диктовалась тем, что имелось всего лишь два вида электрического за-
заряда—положительный и отрицательный. Считалось, что отсюда следует
существование двух частиц — элементарных носителей этих зарядов: для
положительного заряда этой частицей был протон, для отрицательного —
электрон. Отсюда непосредственно следовало, что «дырку» необходимо
интерпретировать как протон.
Однако уже в начале моих размышлений мне представлялось, что
«дырка» должна обладать массой, равной массе электрона. Однако между
массами протона и электрона существует большое различие, и это созда-
создавало трудность, которую я в то время еще не мог разрешить.
Объяснение этой трудности пришло одним или двумя годами позд-
позднее. К этому времени я установил, что допущение существования лишь
двух элементарных частиц было совершенно негодным предположением.
Чтобы это утверждение было содержательным, «дырку» следовало бы
интерпретировать как новую частицу с массой, равной массе электрона,
но с положительным зарядом. Эта частица известна сегодня как позитрон.
С тех пор представление о новых элементарных частицах сильно
изменилось. Ранее имелось предубеждение против введения новых эле-
элементарных частиц. Сегодня, напротив, слишком охотно постулируются
новые элементарные частицы —едва только для этого появляются хоть
какие-нибудь экспериментальные указания или возникает основание вве-
ввести их в какие-либо теоретические рассмотрения. В настоящее время име-
имеется уже слишком много элементарных частиц.
В то время, о котором я рассказываю, меня занимала еще одна про-
проблема, совершенно отличная от того, о чем уже сообщил выше: речь идет
о поиске теории магнитного монополя. Согласно электродинамике Макс-
Максвелла магнитный заряд всегда проявляется в виде диполя. Так, любой
образец из вещества, обладающего магнитными свойствами, имеет поло-
положительный магнитный заряд с одной стороны и равный ему по величине,
но отрицательный магнитный заряд с другой стороны. Однако уже само
по себе математическое совершенство квантовых уравнений привело меня
к мысли о том, что в природе должен существовать магнитный монополь —
частица, обладающая лишь одним видом магнитного заряда. Величина
634 VI. ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
электрического заряда такого магнитного монополя предсказываемая тео-
теорией, должна была бы в 67,5 раз превышать заряд электрона.
Описанная теория магнитного монополя долгое время пребывала в со-
состоянии «спящей красавицы», пока физики пытались экспериментально
доказать существование монополя. Примерно в течение двух последних
лет ситуация существенно изменилась: это произошло после того, как ра-
рабочая группа из четырех исследователей, включающая П.Б. Прайса и его
сотрудников сообщила об открытии магнитного монополя в космических
лучах 1). Они проводили свой эксперимент следующим образом.
С помощью воздушного шара они поднимали стопку детекторов из
лаксана на большую высоту с тем, чтобы «поймать» космические лучи
раньше, чем эти лучи испытают сильное воздействие со стороны земной
атмосферы. Лаксан представляет собой термопластическое искусственное
волокно (поликарбонат), в котором высокоэнергетические лучи, проникая
вовнутрь, вызывают повреждения. Эти повреждения в слоях детектора
выглядят так, как если бы путем травления в нем были получены дефекты.
Прайс и его сотрудники обнаружили единственную частицу, которой они
приписали свойства магнитного монополя.
Основание для подобной интерпретации состоит в том, что магнитный
монополь вызывает в веществе такую ионизацию, которая в основном
не зависит от скорости частицы, тогда как обычная заряженная частица
вызывает ионизацию, возрастающую с уменьшением скорости частицы.
Экспериментатором удалось обнаружить частицу, которая при входе в объ-
объем детектора создавала ионизацию, практически равную создаваемой на
выходе из объема детектора; подобное поведение должно быть характерно
для магнитного монополя. Заряд этого монополя был примерно вдвое
больше постулируемого в моей теории.
В силу определенных обстоятельств авторы этого эксперимента были
вынуждены к быстрой публикации своего открытия, не успев должным
образом изучить все вытекающие из него следствия. Поэтому эта работа
подверглась жесткой критике других физиков, особенно Альвареса, кото-
который предложил другое объяснение для этих частиц. По его мнению, это
было ядро атома платины, которое испытало изменения при прохождении
слоев лаксана; именно, это ядро потеряло часть своего электрического
заряда, благодаря чему плотность ионизации повысилась меньше, чем это
следовало бы ожидать для обычной заряженной частицы. Предполага-
Предполагалось, что подобным образом могут быть объяснены результаты Прайса.
Большинство физиков склонялось к тому, что интерпретация Прайса была
неверной.
Причина подобного неприятия состояла в том, что многочисленные
другие попытки, ставившие целью обнаружение магнитного монополя,
приводили лишь к отрицательным результатам, несмотря на проведение
в различных местах весьма солидных экспериментов. Магнитные монопо-
г) Phys. Rev. Letters. 1975. V. 35. P. 487.
45. ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ И ПРЕДРАССУДКИ В ФИЗИКЕ 635
ли искали во всех точках земной поверхности в предположении, что эта
поверхность накапливает монополи. Их искали также на дне океанов, в
глубинных осадочных отложениях и в образцах лунной породы. Однако
ни одна из этих попыток не привела к доказательству наличия магнитных
монополей. Поэтому Прайс и его сотрудники со своим утверждением об
обнаружении магнитного монополя находятся в противоречии с результа-
результатами всех остальных исследований. В этом состоит причина того, почему
большинство физиков сомневается в результате Прайса и не верит в суще-
существование магнитного монополя.
Тем не менее, в трактовке Альваресом результатов опыта Прайса также
имеется трудность. В опубликованной оригинальной работе Прайса не бы-
были полностью представлены результаты исследования всех слоев лаксана.
Два из этих слоев не были представлены в работе, тогда как изучение
следов лучей в этих слоях дает дальнейшие факты, несовместимые с трак-
трактовкой Альвареса. В любом случае очень сложно вообще объяснить следы,
обнаруженные Прайсом. Вероятно, следует предположить, что исходная
частица была немного массивнее, чем ядро платины.
Однако само это предположение встречается с трудностью следующего
происхождения: Прайс располагал аппаратурой, позволяющей регистриро-
регистрировать черенковское излучение, которое создается любой быстро движущей-
движущейся частицей (в том числе и той, которую постулирует Альварес) — однако
указанное черенковское излучение в опыте Прайса не было зарегистриро-
зарегистрировано.
Такова современная ситуация в области поисков магнитного монополя.
Работа Прайса говорит о том, что он обнаружил магнитный монополь, по-
поскольку затруднительно иным образом объяснить его наблюдения. Однако
как же тогда объяснить безуспешность аналогичных поисков (достаточно
многочисленных и солидно поставленных) других исследователей в других
местах?
Единственный путь для прояснения этой ситуации состоит в том,
чтобы продолжать обнаружение частиц такого рода, двигаясь по пути,
намеченном Прайсом и его сотрудниками. Прайсу теперь известно, что
нет необходимости поднимать его лаксановые слои на большую высоту
посредством воздушного шара, поскольку искомые космические части-
частицы обладают достаточной энергией, чтобы преодолеть земную атмосферу
без существенных изменений. Возможно, подобные эксперименты будут
продолжаться в настоящее время, и нам следует подождать следующих
результатов, прежде чем мы поймем ситуацию с магнитным монополем и
получим окончательное разрешение вопроса.
46
СОВЕРШЕНСТВО ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ
ЭЙНШТЕЙНА *)
Эйнштейн открыл для нас теорию тяготения, связанную с кривизной
пространства. Этим он положил начало новому направлению, побудив
физиков использовать неевклидово пространство. Частным случаем про-
пространства, введенного Эйнштейном, является пространство Римана — про-
пространство, которое может быть вложено в плоское пространство с большим
числом измерений. Под влиянием Эйнштейна многие пытались ввести в
физику разные типы пространств, но реального успеха пока никто не
добился. Во всяком случае, насколько можно сейчас судить, введенное
Эйнштейном пространство — это то, что реализуется в Природе.
Никто, кроме нескольких специалистов, ничего не знал о теории от-
относительности до последних месяцев 1918 года, когда кончилась первая
мировая война. Появление теории относительности сопровождалось тогда
большим шумом. Она продемонстрировала миру новый стиль мышления,
новую философию.
Это было время, когда все устали от войны — как победители, так и
побежденные. Людям хотелось чего-нибудь нового, и теория относитель-
относительности дала как раз то, чего им не хватало. Она захватила широкие слои
публики и стала главной темой всех разговоров. Теория позволяла хотя
бы на время забыть ужасы войны, через которые всем пришлось пройти.
В газетах, журналах и везде, где только можно, публиковались бес-
бесчисленные статьи о теории относительности. Ни до, ни после теории Эйн-
Эйнштейна ни одна научная идея не вызвала столь широкого интереса. То, о
чем говорили и писали, большей частью относилось к общефилософским
идеям, не обладавшим точностью, необходимой для серьезного научного
обсуждения. Существовало слишком мало точных данных, и тем не менее
все были рады просто высказать свою точку зрения.
В то время я учился на инженерном факультете Бристольского универ-
университета. Конечно же, студенты ухватились за эту тему и широко обсуждали
ее. Но ни студенты, ни профессора не обладали точной информацией и
ничего не знали о той математике, которая лежит в основе теории от-
относительности. Мы могли лишь рассуждать о ее философском смысле и
присоединиться к общему мнению, что новая теория хороша.
В Англии только один человек, А.С. Эддингтон, действительно пони-
понимал теорию относительности и стал в ней лидером и авторитетом. Эд-
Эддингтон интересовался астрономическими следствиями теории и думал
*) The Excellence of Einstein's Theory of Gravitation // Impact of Science in Society. 1979.
V. 29. P. 11-14.
46. СОВЕРШЕНСТВО ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА 637
о возможности ее экспериментальной проверки. Существовало три воз-
возможности проверки теории, и вскоре благодаря Эддингтону о них услышал
каждый.
Первый тест связан с планетой Меркурий. Давно было известно, что
движение Меркурия не согласуется с теорией Ньютона. Наблюдения пока-
показывали, что смещение перигелия орбиты Меркурия на 42 угловые секунды
D2") в столетие нельзя было объяснить с помощью теории Ньютона. А тео-
теория Эйнштейна требовала такого смещения и давала для него значение 42"
в столетие. Обнаруженное совпадение знаменовало собой замечательный
успех теории. Говорят, правда, что сам Эйнштейн, услышав об этом, вовсе
не пришел в неописуемый восторг. Он и так не сомневался в правильности
своей теории!
По эйнштейновой теории тяготения свет, проходя вблизи Солнца, дол-
должен претерпевать отклонение. Теория Ньютона тоже требует отклонения,
но в два раза меньшего. Следовательно, можно проверить теорию Эйн-
Эйнштейна, наблюдая находящиеся «позади Солнца» звезды, свет от которых
попадает на Землю, проходя вблизи Солнца. Это и будет второй тест.
Такие наблюдения можно производить только в момент полного сол-
солнечного затмения, потому что при свете Солнца звезды не видны. Под-
Подходящее солнечное затмение произошло в 1919 году. Для его наблюдения
Эддингтон организовал две экспедиции, одну из которых возглавил он сам.
Результаты, полученные обеими экспедициями, согласовывались с теорией
Эйнштейна и противоречили теории Ньютона. Однако из-за сложности
наблюдений точность, с которой подтверждалась теория Эйнштейна, ока-
оказалась невелика. С тех пор подобные наблюдения не раз проводились при
полных солнечных затмениях. Теория Эйнштейна всегда подтверждалась,
но точность опытов была ниже, чем этого хотелось бы.
Открытие звезд, излучающих радиосигналы, дало еще один способ
проверки: во втором тесте вместо световых волн стало возможным ис-
использовать радиоволны. Для этого радиоисточник должен располагаться
за Солнцем. Тогда надо лишь дождаться того, чтобы Солнце прошло
перед звездой, и проверить, отклонится ли звезда от своего видимого
положения. Для таких наблюдений не нужно ждать полного солнечного
затмения, потому что Солнце не является мощным источником радиоволн.
Использование вместо света радиоволн несколько усложняет эксперимент,
потому что радиоволны отклоняются солнечной короной. Можно, однако,
работать с двумя разными длинами волн, которые будут по-разному откло-
отклоняться короной, и тем самым выделить эффект Эйнштейна. В результате
теория Эйнштейна подтверждается со значительно лучшей точностью, чем
в эксперименте со светом.
Третий эффект, который может быть использован для проверки теории
Эйнштейна, — это красное смещение спектральных линий, вызванное гра-
гравитационным потенциалом их источника. Этот эффект, естественно, сле-
следует искать, наблюдая свет, испускаемый поверхностью Солнца. Однако
интересующий нас эффект будет искажен эффектом Доплера, связанным
638 VI. ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
с движением источника излучения. Оценив эффект Доплера, мы получим
довольно грубое подтверждение теории Эйнштейна, настолько грубое, что
такой эксперимент нельзя считать достаточно эффективным тестом.
Открытие белых карликов дает лучший способ проверки теории Эйн-
Эйнштейна с помощью эффекта красного смещения. Белый карлик состоит из
такого плотного вещества, что гравитационный потенциал на его поверх-
поверхности очень велик, а потому велико и предсказанное Эйнштейном красное
смешение. Если наши знания о белом карлике достаточны, чтобы опреде-
определить его массу и радиус, то получится хороший тест теории Эйнштейна.
Оказалось, что теория хорошо подтверждается.
Как показал Р.Л. Мёссбауэр, этот эффект можно проверить и в назем-
наземных экспериментах. Источник электромагнитных волн размещается в ла-
лаборатории, а наблюдатель располагается где-нибудь ниже, чтобы гравита-
гравитационный потенциал в точке наблюдения был меньше, чем около излучате-
излучателя. Для этого опыта лучше всего использовать 7-излучение определенной
частоты. Было показано, что при изменении гравитационного потенциала
частота излучения возрастает. Значение изменения частоты подтверждает
теорию Эйнштейна, причем со значительно лучшей точностью, чем в лю-
любом астрономическом эксперименте.
Недавно к трем классическим тестам добавился еще один, четвертый.
Его идея связана со временем прохождения света вблизи Солнца. По тео-
теории Эйнштейна это время увеличивается. Для наблюдения эффекта надо
направить излученные радаром волны на планету, находящуюся за Солн-
Солнцем, и измерить время, в течение которого отраженные волны вернутся
на Землю. На замедление радиоволн влияет солнечная корона, и для того
чтобы отделить это влияние от эффекта Эйнштейна, нужно опять восполь-
воспользоваться двумя разными длинами волн. И.И. Шапиро поставил описанный
эксперимент и получил хорошее подтверждение теории Эйнштейна.
Результаты наблюдения двойных пульсаров тоже могут дать некоторые
сведения о теории Эйнштейна. Пульсар обычно излучает радиоволны с
очень высокой периодичностью. Но раз пульсар составляет часть двойной
системы, то в результате его вращения вокруг второй звезды должны
возникать нерегулярности, связанные с эффектом Доплера и с эйнштей-
эйнштейновской прецессией орбиты пульсара. Последний эффект аналогичен сме-
смещению перигелия Меркурия в первом тесте, но значительно больше по
величине.
Результаты наблюдений качественно подтверждают теорию Эйнштей-
Эйнштейна, но произвести количественную проверку невозможно из-за недостатка
информации о параметрах двойной системы.
Я перечислил успехи эйнштейновской теории гравитации. Это длин-
длинный и довольно впечатляющий список. Теория Эйнштейна каждый раз
подтверждается с большей или меньшей степенью точности, зависящей от
точности наблюдений и от того, с какими неопределенностями был связан
эксперимент.
46. СОВЕРШЕНСТВО ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА 639
Теперь посмотрим, что будет, если возникнет достоверно подтвержден-
подтвержденное расхождение между теорией и экспериментом. Как реагировать на
такое расхождение? Как бы на него реагировал сам Эйнштейн? Следует
ли тогда считать, что теория неверна в своей основе?
На последний вопрос я бы ответил решительно «нет». Теории грави-
гравитации Эйнштейна присуще совершенство особого рода. Тот, кто сумеет
оценить фундаментальную гармонию между путями развития Природы
и общими математическими принципами, наверняка поймет, что теория,
обладающая красотой и элегантностью теории Эйнштейна, просто обязана
быть правильной. И если в каком-нибудь из приложений теории возникнет
расхождение, то причину его следует искать не в крахе общих принципов
теории, а в каком-то связанном с этим приложением побочном явлении,
которое не было соответствующим образом учтено. Такая уверенность
в теории Эйнштейна объясняется ее необыкновенной красотой, которая
совершенно не зависит от отдельных удач или неудач. Наверное, именно
уверенность в необыкновенной красоте математического описания Приро-
Природы и вдохновила Эйнштейна на его поиски теории тяготения.
Работая над теорией тяготения, Эйнштейн не пытался объяснять ка-
какие-то результаты наблюдений. Он был от них далек. Главной его целью
был поиск красивой теории, такой, которую должна была выбрать При-
Природа. Нужно обладать подлинным духом гения, чтобы из одних лишь
абстрактных размышлений составить представление о том, какой должна
быть Природа. Эйнштейн сумел это сделать.
У него почему-то возникла идея связать тяготение с кривизной про-
пространства, и он сумел облечь эту идею в математическую схему, руковод-
руководствуясь лишь соображениями красоты уравнений. Конечно, всякий свобо-
свободен в выборе уравнений по своему вкусу, заботясь лишь о математической
строгости, но это уже сильно ограничивает свободу выбора.
Результатом такого подхода стала теория, в основе которой лежали
чрезвычайно простые и красивые идеи. Появляется нерушимая вера в то,
что теория верна, совершенно независимо от ее согласия с наблюдениями.
Если возникнут какие-то расхождения, то нельзя допускать, чтобы из-за
них поколебалась вера в правильность общей схемы; их надо объяснить
какими-то тонкостями, из-за которых теория оказывается неполной, а
вовсе не абсолютной неудачей теории.
Любая построенная нами теория, возможно, неполна. Существует еще
очень много неизвестного, и не стоит так уж расстраиваться из-за обна-
обнаруженного расхождения. Оно нисколько не умаляет совершенства теории,
выдвинутой на основании интуитивного представления о том, как устроена
Природа.
Эти замечания я могу проиллюстрировать рассказом о другом важном
физическом открытии, сделанном в наши дни. Я имею в виду волновое
уравнение квантовой механики, открытое Шрёдингером. Он занимался
волнами де Бройля. Руководствуясь лишь соображениями математической
красоты, де Бройль постулировал, что движение любой материальной
640 VI. ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
частицы связано с волнами. Шрёдингер обобщил эту мысль, получив
элегантное уравнение, которое описывало волны, связанные с электроном,
движущимся в электромагнитном поле. Затем Шрёдингер записал свое
уравнение для электрона в атоме водорода и вычислил спектр атома во-
водорода. Полученный результат не согласовывался с опытом.
Шрёдингер был очень подавлен. Он потерял веру в правильность своих
основных представлений и решил, что ошибочен сам подход. И тогда он его
отбросил. Лишь через несколько месяцев Шрёдингеру удалось оправиться
от потрясения и вновь приступить к работе. Вскоре он обнаружил, что
теория согласуется с экспериментом, если воспользоваться приближением,
в котором отбрасываются эффекты, связанные со специальной теорией
относительности. Тогда Шрёдингер опубликовал свое уравнение в качестве
уравнения нерелятивистской теории атома водорода.
Впоследствии выяснилось, что расхождение возникло из-за спина элек-
электрона, который не был известен, когда Шрёдингер сделал свою пионер-
пионерскую работу. Из этой истории следует, что нужно в первую очередь руко-
руководствоваться соображениями математической красоты, не придавая осо-
особого значения расхождениям с опытом. Расхождения вполне могут быть
вызваны какими-то вторичными эффектами, которые прояснятся позже.
Хотя пока еще никаких расхождений с теорией гравитации Эйнштейна не
обнаружилось, в будущем такое расхождение может появиться. Тогда его
надо будет объяснять не ложностью исходных посылок, а необходимостью
дальнейших исследований и усовершенствований теории.
Исследования могут идти в двух очевидных направлениях: а) разра-
разработка метода введения в теорию электромагнитных полей; б) исследование
требований космологии, изменяющих условия на больших расстояниях
в любых приложениях уравнений теории гравитации. Эйнштейн прекрасно
осознавал существование этих задач.
Есть почти очевидный способ такого использования стандартных урав-
уравнений электромагнитной теории в римановом пространстве, чтобы они не
вступали в противоречие с теорией гравитации Эйнштейна. Но возникает
вопрос: будет ли получившаяся теория применима к Природе? Тут есть
сомнения, потому что в новой теории электромагнитное поле все время
остается в стороне и вводится лишь в самом конце. Только гравитационное
и электромагнитное поля являются дальнодействующими, и поэтому мы
приходим к выводу о том, что они должны быть очень тесно связаны друг
с другом. Возможно, их нельзя понять поодиночке, и требуется какая-то
более общая геометрия, которая связывает эти поля друг с другом. По-
Подобные идеи приходили в голову и Эйнштейну. Он потратил десятилетия
на поиски улучшенной теории поля, которая объединила бы гравитацию и
электромагнетизм, но так и не пришел ни к какому результату, и, таким
образом, задача (а) должна пока считаться нерешенной.
Что касается задачи (б), то здесь возможен некоторый прогресс. Нужна
такая космологическая модель Вселенной, которая была бы применима
46. СОВЕРШЕНСТВО ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА 641
в случае, когда все локальные неоднородности, связанные с существовани-
существованием звезд и галактик, считаются сглаженными.
Вскоре Эйнштейн придумал свою модель, которую мы назовем мо-
моделью 1. Эта модель описывает статическую Вселенную равномерной
плотности, замкнутую по пространственным направлениям. Уравнения по-
поля должны включать в себя некоторую космологическую постоянную. Эта
модель не годилась из-за своей статичности, так как она противоречила
наблюдениям, из которых следовало, что галактики разбегаются от нас со
скоростями, растущими по мере удаления галактик от Земли.
Вторую модель (модель 2) предложил де Ситтер. Модель де Ситтера
приводит к разбеганию удаленной материи в полном согласии с экспери-
экспериментом. Уравнения поля в этой модели тоже содержат космологическую
постоянную. Но и эта модель не годится, потому что из нее следует, что во
Вселенной со сглаженными неоднородностями плотность вещества равна
нулю.
В 1932 году Эйнштейн и де Ситтер вместе предложили третью модель
(модель 3), элемент длины в которой имеет вид
ds2 = dt2 - t4/3(dx2 + dy2 + dz2). A)
В модели 3 не нужна космологическая постоянная, правильно описывается
разбегание удаленной материи и получается правильная по порядку вели-
величины плотность вещества. Кроме того, модель Эйнштейна и де Ситтера
приводит к давлению, равному нулю, как это и должно быть в тех при-
приближениях, которые в ней используются. Таким образом, модель 3 вполне
допустима.
Фридман, Леметр и другие разработали немало моделей, согласующих-
согласующихся с эйнштейновыми уравнениями поля как с космологической постоянной,
так и без нее. Любую из этих моделей можно использовать в качестве
дополнения к уравнениям поля Эйнштейна для наложения условий при
г = оо. Изменения, которые могли бы в результате возникнуть при исполь-
использовании уравнений Эйнштейна для описания Солнечной системы, столь
незначительны, что не смогут повлиять на достигнутые успехи, о которых
уже шла речь.
Существует еще одна идея, и мне бы хотелось вам ее представить как
дополнение к теории Эйнштейна. Речь идет о Гипотезе Больших Чисел,
согласно которой все очень большие числа, составленные из разнообразных
физических и астрономических «констант», на самом деле не являются
постоянными, а с помощью простых уравнений с близкими к единице
коэффициентами связаны с эпохой — временем, прошедшим с момента
возникновения Вселенной. Таким образом, все большие числа изменяются
с изменением эпохи по закону, который определяется их значением.
Приняв Гипотезу Больших Чисел, мы обнаружим, что из всех перечис-
перечисленных моделей разрешена лишь модель 3, и нас, таким образом, больше
не должно мучить существование нескольких возможностей.
21 П.Дирак. TIV
642 VI. ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
Микроволновое излучение, приходящее из космоса, распространяется
одинаково во всех направлениях и интерпретируется как остатки пер-
первоначального взрыва. Результаты наблюдений согласуются с Гипотезой
Больших Чисел, если ее дополнить моделью 3. Такое согласие надо счи-
считать сильным аргументом в пользу как Гипотезы Больших Чисел, так и
модели 3.
Гипотеза Больших Чисел приводит к требованию, чтобы интервал ds
в теории Эйнштейна (назовем его cIse) не был равен интервалу ds, из-
измеренному с помощью атомных часов (назовем его ds^)- Эти интервалы
связаны соотношением
dsE = tAdsA, B)
где га — значение эпохи, измеренное атомными часами. Этот эффект
можно проверить на опыте, и поисками его в течение нескольких лет
занимается Ван Фландерн. Он сравнивает результаты наблюдений лунных
колебаний в эфемеридном и атомном временах, но пока ему не удалось
достичь удовлетворительных результатов.
Кое-какие указания недавно были получены Уильямсом, Синклером
и Йодером в экспериментах по лазерной локации Луны. Эти работы в
какой-то степени подтверждают соотношение B), но из-за очень больших
погрешностей никакого определенного вывода сделать нельзя.
Соотношение B) можно проверить с помощью радиолокационных ис-
исследований движения планет. Излученные радаром волны посылаются на
одну из ближайших планет, и исследуется излучение, возвратившееся на
Землю. Время, затраченное волнами на путь туда и обратно, измеряется с
помощью атомных часов. Этот метод был разработан Шапиро и Ризенбер-
гом. Их результаты согласуются с соотношением B), но это подтверждение
ненадежно, потому что погрешности эксперимента сравнимы с величиной
искомого эффекта.
Во время полета «Викинга» на Марс в 1976 году на поверхность Марса
был спущен аппарат, с помощью которого можно очень точно измерить
расстояние от Марса до Земли, в результате чего проверка соотношения
B) должна стать гораздо более надежной. Результатов пока нет, но вскоре
они, может быть, появятся.
Итак, мы обсудили одну из возможностей дополнить теорию Эйнштей-
Эйнштейна, добавив к ней Гипотезу Больших Чисел. До сих пор не существует
прямых экспериментальных подтверждений Гипотезы Больших Чисел.
Однако я уверен в том, что эта идея верна в своей основе, благодаря
простоте и той естественности, с которой она позволяет закрыть существу-
существующий пробел и дать однозначную космологическую модель.
47
ПОДТВЕРЖДЕНО ВРЕМЕНЕМ *)
Великие открытия в науке делаются двояко. Бывает так, что время
созрело для данного открытия, и к нему устремляется много исследовате-
исследователей. Между ними возникает соревнование, и победитель пожинает лавры.
Если взглянуть на список лауреатов Нобелевской премии, то бросается
в глаза, что эта премия часто присуждалась сразу двум или трем ученым,
разрабатывавшим одну и ту же проблему, так что лавры были разделены
между победителями в соревновании. Это такие открытия, которые мог
бы сделать если не один исследователь, то другой.
Но бывают научные открытия и другого рода, когда исследователь
трудится в полном одиночестве, разрабатывая новые идеи сам по себе, без
противников и конкурентов, углубляясь в неизведанные области, которых до
него никто не затрагивал. Эйнштейн работал большей частью именно так.
Если бы Эйнштейна не было, то никто не сделал бы этих открытий
еще на протяжении многих лет или десятилетий. Эйнштейн в одиночку
полностью изменил ход истории науки.
До конца 1918 года, пока не кончилась Первая мировая война, эйн-
эйнштейнова теория относительности была известна только немногим специ-
специалистам. А затем она произвела сенсацию. Это был целый мир с новым
стилем мышления, новой философией.
Случилось это тогда, когда войной были сыты по горло все —и по-
победители, и побежденные. Люди жаждали чего-то нового, и в теории
относительности они нашли то, что искали. Широкая публика подхватила
эту тему; о ней говорили повсюду. Она позволила людям на время забыть
об ужасах войны, через которые они прошли.
В газетах и журналах публиковались бесчисленные статьи о теории
относительности. Никогда, ни до, ни после этого, никакая конкретная
идея не вызывала столь большого и широкого интереса. Большая часть
сказанного и написанного тогда касалась общефилософской стороны этой
теории и была лишена той степени точности, которая необходима для
серьезного научного обсуждения. Точной информации еще не хватало, но
люди были счастливы уже тем, что могут выразить свои взгляды.
В то время я был студентом инженерного факультета Бристольско-
Бристольского университета в Англии, а студенты уж, конечно, ухватились за эту
проблему и широко обсуждали ее между собой. Однако ни студенты,
ни преподаватели не имели о ней точной информации и не владели ее
математическими основами. Мы могли говорить лишь о ее философском
аспекте и соглашаться с общим мнением, что эта теория прекрасна.
*) The Test of Time // The UNESCO Courier. May 1979. P. 17-23.
21*
644 VI. ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
В Англии теорию относительности по-настоящему понимал один чело-
человек— Артур Эддингтон, и он стал ведущим авторитетом в этой области.
Он сосредоточил внимание на астрономических выводах, вытекающих из
теории, и на возможности ее проверки с помощью астрономических на-
наблюдений.
Было предложено три возможных доказательства правильности этой
теории. Первое касалось движения планеты Меркурий. В свое время было
обнаружено, что перигелий Меркурия (ближайшая к Солнцу точка его
орбиты) перемещается за столетие примерно на сорок три секунды дуги
больше, чем этого требует теория Ньютона, и этот факт уже давно не
давал покоя астрономам. Новая теория Эйнштейна предсказывала как раз
такой эффект, и наблюдения Эддингтона это предсказание подтвердили.
Это был поистине удивительный успех теории Эйнштейна, но говорят, что
самого Эйнштейна, когда он услышал об эддингтоновом подтверждении,
это не очень взволновало, ибо он и без доказательств чувствовал, что его
теория верна.
Второй эффект состоял в отклонении лучей света, когда они проходят
близко от Солнца. Согласно теории тяготения Эйнштейна, лучи, проходя
близко от Солнца, должны отклоняться. Ньютонова теория также преду-
предусматривает это явление, но, согласно ей, это отклонение должно быть
вдвое меньше, чем в теории Эйнштейна. Таким образом, наблюдая нахо-
находящиеся по ту сторону Солнца звезды, свет которых по пути к нам должен
пройти близко от нашего светила, можно проверить теорию Эйнштейна.
Но видеть звезды около Солнца можно лишь во время полного солнечного
затмения, когда свет Солнца заслонен Луной. Очередное полное затме-
затмение было в 1919 году, и Эддингтон организовал для его наблюдения две
экспедиции, одну из которых возглавил лично. Обе экспедиции подучили
результаты, подтверждающие теорию Эйнштейна. Однако точность этой
проверки была сравнительно невелика из-за трудностей проведения таких
наблюдений и не вполне удовлетворяла ученых. Эффект отклонения света
проверялся во время многих последующих полных солнечных затмений,
и полученные результаты всегда с большей или меньшей точностью под-
подтверждали теорию Эйнштейна.
Не так давно стало возможным проверить это с помощью радиоволн, а
не волн света. Были открыты радиозвезды, и, когда радиозвезда оказыва-
оказывается за Солнцем, можно проверить, отклоняются ли радиоволны, проходя
близко от Солнца. Для этого не нужно дожидаться полного затмения,
потому что само Солнце —очень слабый источник радиоволн. При замене
световых волн радиоволнами возникает новая сложность, так как радио-
радиоволны преломляются в солнечной короне. Однако такое преломление раз-
различно для волн разной длины и, проводя наблюдения на двух различных
длинах волн, можно отделить эффект, обусловленный короной, от эйн-
эйнштейнова эффекта. В результате теория Эйнштейна была подтверждена
с гораздо большей точностью, чем с помощью световых волн.
Третье доказательство правильности теории Эйнштейна связано с по-
положением общей теории относительности, утверждающим, что световые
волны, испускаемые источником в гравитационном поле, должны сдви-
47. ПОДТВЕРЖДЕНО ВРЕМЕНЕМ 645
гаться в сторону больших длин волн, то есть в сторону красного конца
спектра; это положение известно как эффект красного смещения. Каза-
Казалось бы, этот эффект следует искать в свете, приходящем с поверхности
Солнца. Но здесь эйнштейнов эффект обнаружить трудно из-за другого
явления (эффекта Доплера), обусловленного движением вещества в ат-
атмосфере Солнца, которая весьма велика и недостаточно изучена. Тем не
менее можно оценить влияние такого движения, и тогда получается грубое
согласие с требованиями теории Эйнштейна.
С открытием звезд — белых карликов — появилась более благоприят-
благоприятная возможность для проверки этого эффекта. Вещество белых карликов
находится в крайне сжатом состоянии. Гравитационный потенциал на по-
поверхности белого карлика намного превышает величину потенциала на
поверхности Солнца, что соответственно усиливает эйнштейнов эффект.
Имея достаточно данных о белом карлике, чтобы определить величину его
массы и его размеры, можно с большой степенью точности проверить тео-
теорию Эйнштейна. А теперь этот эффект удается проверять и в лаборатории,
причем с большей точностью, чем путем астрономических наблюдений.
Недавно к трем классическим эффектам добавился и четвертый. Речь
идет о том времени, которое затрачивает свет, проходя близко от Солнца.
Теория Эйнштейна предсказывает задержку света. Наблюдать ее можно,
направляя волны радиолокатора к планете, находящейся по ту сторону
Солнца, а затем измеряя время, потребовавшееся отраженному сигналу
для возвращения к Земле На запаздывание волн радиолокатора оказы-
оказывает влияние и солнечная корона, так что вновь приходится обращаться
к использованию двух длин волн, чтобы отделить влияние короны от эйн-
эйнштейнова эффекта. Такие измерения были проведены Ирвином Шапиро и
вновь дали хорошее подтверждение правильности теории Эйнштейна.
Перечисление успехов теории Эйнштейна впечатляет. Правильность ее
положений неизменно подтверждалась с большей или меньшей степенью
точности, в зависимости от возможностей самих наблюдений и связанных
с ними погрешностей. Предположим теперь, что обнаружится строго про-
проверенное и подтвержденное расхождение между теорией и наблюдениями.
Что делать тогда? Как бы реагировал на него сам Эйнштейн? Следовало
ли бы объявить теорию в корне неверной?
Я сказал бы, что ответом на последний вопрос должно быть решитель-
решительное НЕТ. Любой, кто понимает глубокую гармонию, связывающую между
собой явления Природы и общие математические принципы, должен чув-
чувствовать, что если теория так прекрасна и изящна, как теория Эйнштейна,
то она в основном, безусловно, верна. Если в каком-то случае применения
такой теории появляется расхождение с наблюдениями, то его причиной,
видимо, являются второстепенные факторы, которые относятся к этому
применению и которые не были должным образом учтены, но никак не
неправильность общих принципов теории.
Когда Эйнштейн трудился над построением своей теории тяготения,
он не пытался при этом опираться на какие-то результаты наблюдений.
Отнюдь нет! Все сводилось к поиску прекрасной теории, теории того
типа, которую избрала бы сама Природа. Он стремился лишь к тому,
646 VI. ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
чтобы его теория обладала красотой и изяществом, которых следовало
бы ожидать от всякого фундаментального описания природы. Он исходил
исключительно из мысли о том, какой должна была бы быть природа, но
не из требования объяснить этой теорией отдельные экспериментальные
результаты.
Конечно, нужно быть истинным гением, чтобы представить себе, какой
должна быть Природа, исходя просто из абстрактных размышлений об
этом. Эйнштейн сумел это сделать. Каким-то образом он пришел к мысли
связать гравитацию с кривизной пространства. Он сумел развить матема-
математическую модель, воплощающую эту мысль. Руководствовался он только
соображениями красоты уравнений.
Результат такого подхода — теория, основные идеи которой поражают
своей величайшей простотой и изяществом. Она заражает непреодолимой
верой в то, что ее основы должны быть верны, причем совершенно неза-
независимо от ее соответствия результатам наблюдений. Мне выпало счастье
много раз встречаться с Эйнштейном. Первый раз это было на Сольвеев-
ском конгрессе в Брюсселе в 1927 году, где ведущие ученые всего мира
обсуждали новейшие достижения в области физики.
К тому времени теория Эйнштейна была надежно подтверждена и
всеми признана, так что на этом конгрессе она не была предметом обсуж-
обсуждения. В центре внимания была новая квантовая теория Гейзенберга, Шре-
дингера и других. Конечно, все стремились узнать мнение Эйнштейна об
этих новых идеях. Эйнштейн был до некоторой степени противником этих
идей —ведь он добился такого замечательного успеха, исходя из мысли о
введении геометрии в физику, и представлял себе, что дальнейшее разви-
развитие науки также должно идти по пути введения еще более экзотических
видов геометрии. Много лет своей жизни он потратил в таких попытках,
однако без особого успеха. Возможно, эти идеи Эйнштейна в своей основе
верны, но они пока не привели к удовлетворительному решению проблемы.
Я встречал Эйнштейна и на последующем Сольвеевском конгрессе, а
потом он приехал в Кембридж, где я работал, и позднее —в Принстон, где
стал постоянным сотрудником Института высших исследований. Я тоже
иногда избирался временным сотрудником этого института. Я посещал
лекции, которые читал Эйнштейн, а иногда он приглашал меня к себе
домой, что для меня было большой честью. Так получилось, что я близко
узнал его. Я мог убедиться, что научные идеи почти безраздельно довлели
над всеми его мыслями — даже когда Эйнштейн брал чашку и размешивал
чай, то и движение чаинок вызывало у него стремление это объяснить.
В своих дискуссиях с другими физиками Эйнштейн обронил замечание,
ставшее знаменитым и выгравированное теперь над камином в зале мате-
математического факультета Принстонского университета. Чтобы по достоин-
достоинству оценить это замечание, нужно быть настоящим физиком-исследова-
физиком-исследователем и понимать, что Природа поставила перед ним определенные про-
проблемы, которые тот должен попытаться разрешить. Кроме того, нужно по
возможности учесть умонастроение Природы при постановке этих проблем.
Эйнштейн выразил свой взгляд на такую ситуацию словами: «Raffiniert
ist Gott, aber bosartig est Er nicht» («Бог изощрен, но не злонамерен»).
48
РАННИЕ ГОДЫ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ *)
Я очень рад предоставленной мне возможности выступить на Эйн-
Эйнштейновом симпозиуме, поскольку я являюсь очень большим поклонником
Эйнштейна.
На этом симпозиуме мы слышали много докладов исторического со-
содержания. Историки собирают все документы, относящиеся к их предмету,
сопоставляют их и затем представляют нам детальную картину происхо-
происходившего. Я не собираюсь делать сообщение такого рода, поскольку я не
являюсь историком. То, о чем собираюсь говорить я, — это «пришествие»
теории относительности — так, как оно представлялось современнику этого
события.
В то время я находился в Англии, и именно с этой точки зрения я
и буду в основном говорить, хотя, по моему мнению, практически то же
самое происходило в других западных странах. Мне особо хотелось бы
подчеркнуть то огромное влияние, которое оказала теория относительно-
относительности на широкое общественное мнение. Я полагаю, что историки в своих
докладах не подчеркнули должным образом это обстоятельство.
Прежде всего, следует описать исторический фон времени, о котором
я говорю, совпавшем с окончанием Первой мировой войны.
Эта война была долгой и ужасной. Это была война, в которой с чисто
военной точки зрения происходило весьма немногое. Линии боевых дей-
действий годами оставались неизменными, однако вместе с тем имели место
огромные —и все возраставшие людские потери, и почти каждый потерял
в этой войне близких родственников или друзей. Наконец, в ноябре 1918
года, этой войне пришел конец — весьма внезапно и неожиданно. У лю-
людей сразу возникло сильное чувство успокоения, ибо наконец закончилось
нечто ужасное. Людям хотелось, наконец, перестать думать об ужасной
войне, которая все-таки закончилась. Людям хотелось чего-то нового, и
именно в этот момент произошла вспышка — теория относительности.
Я не могу описать это появление теории относительности, иначе чем
словом «вспышка»: это была новая идея, новая философия, и она вызвала
интерес и волнение у каждого человека. Газеты и журналы — как попу-
популярные, так и специальные постоянно публиковали статьи на эту тему,
причем эти статьи были написаны в основном в «философском» ключе.
Отныне «все» следовало рассматривать «относительно», т.е. по отноше-
отношению к чему-то другому. Идея «абсолютности» стала рассматриваться как
*) The Early Years of Relativity // In: Albert Einstein, Historical and Cultural Perspec-
Perspectives / Ed. G. Holton, Y. Elkana. — Princeton: Princeton University Press, 1982. P. 79-90.
648 VI. ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
плохая, вредная, от которой следовало избавиться. В то время еще не
было массового радиовещания и, соответственно, этот вид пропаганды
отсутствовал. Однако все имевшиеся печатные издания были посвящены
изложению новой идеи относительности. Большая часть из написанного
в то время не содержала в себе собственно физики. Люди, писавшие эти
статьи, не понимали физики.
Мне в то время было шестнадцать лет, и я был студентом инженерного
факультета Бристольского университета. Может показаться, что это не
вполне обычно — быть студентом всего лишь в 16 лет, однако в то время
это вовсе не было необычным. Все молодые люди из университетов были
призваны в армию. Оставались еще профессора, которые были слишком
старыми для службы в армии или не годились по состоянию здоровья, —
однако у этих профессоров были пустые классы. Это подтолкнуло млад-
младших юношей заполнить эти классы —если, конечно, эти юноши были спо-
способны усваивать знания. Именно таким образом я оказался в то время
студентом инженерного факультета.
Я, как и мои коллеги —студенты, был охвачен возбуждением, связан-
связанным с теорией относительности. Мы изучали технику, и вся наша работа
была основана на механике Ньютона. Мы верили в Ньютона безгранично,
но теперь мы узнали, что Ньютон каким-то таинственным образом оши-
ошибался. Это создавало загадочную ситуацию. Наши профессора были не
в силах помочь нам, поскольку никто из них не обладал достаточно точ-
точной информацией, необходимой для правильного объяснения. Исключение
составлял лишь один человек — Артур Эддингтон.
Эддингтон был астрономом. Он поддерживал связи со своим другом
Виллемом де Ситтером, голландским астрономом. Голландия в то время
оставалась нейтральной, поэтому они могли писать друг другу. Де Ситтер
поддерживал контакт с Эйнштейном, что позволило ему узнать все о
развитии теории относительности.
В конце 1918 года, совпавшем с концом войны, идея относительности
по существу уже не была новой. Она вела свое начало с 1905 года — задолго
до того, как разразилась война. Однако никто еще тогда не слышал ни о
теории относительности, ни об Эйнштейне —за исключением нескольких
специалистов в университетах. Ни один человек на инженерном факультете
в Бристоле не слышал об этих вещах, и все это было для нас совершенно но-
новым. И вот появился Эддингтон, который смог разъяснить нам эти вопросы.
Эддингтон очень подходил для их популярного изложения. Он имел
к этому большой талант, который он использовал для разъяснения ши-
широкой публике основ теории относительности. Он говорил нам о том,
что следует принимать во внимание тот факт, что мы не можем мгно-
мгновенно общаться с людьми, удаленными от нас. Мы могли бы общаться
с ними только посредством световых сигналов, отмечая при этом время
отправки сигнала и время его возвращения, т. е. получения нами отве-
ответа. Все это следовало учитывать. Эддингтон также рассказывал нам об
опыте Майкельсона-Морли. Это был достаточно старый опыт, однако
48. РАННИЕ ГОДЫ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 649
его важность не была своевременно оценена. Альберт А. Майкельсон и
Эдвард У. Морли пытались определить скорость движения Земли сквозь
эфир. Однако, ко всеобщему удивлению, их опыт не дал какого-либо опре-
определенного ответа. Единственный способ объяснить этот странный резуль-
результат состоял в том, чтобы предположить весьма своеобразное поведение
измерительных стержней («линеек») и часов. Движущиеся линейки долж-
должны были испытывать некий вид сокращения, называемый сокращением
Лоренца-Фицджеральда. Часы при своем движении также должны были
замедлять темп своего хода.
Все это было очень трудно объяснить широкой публике. Однако Эд-
дингтон и другие специалисты писали об этом бесчисленные статьи, делая
все, что было в их силах. Студенты инженерных специальностей были
отнюдь не в лучшем положении, чем обычные люди. Нам говорили, что
абсолютная картина явлений, которую мы использовали в нашем инже-
инженерном образовании, должна быть каким-то образом изменена. Однако
как именно это следует сделать, было не вполне ясно. Нам не давалось
никаких конкретных уравнений.
Поскольку Эддингтон был астрономом, его больше всего интересовала
общая теория относительности, особенно проверка ее астрономических
следствий. Теория предсказывает движение перигелия Меркурия. Этот
эффект было нетрудно рассчитать и проверить, что наблюдения согла-
согласуются с теорией Эйнштейна. Это был первый большой триумф теории
Эйнштейна.
Далее, возникал вопрос о проверке того, будет ли свет отклонять-
отклоняться, проходя вблизи Солнца —этот эффект также предсказывала теория
Эйнштейна. Однако он мог бы быть проверен экспериментально только
во время полного солнечного затмения. Эддингтон слышал об этом уже
в 1916 году, и сразу стал изучать вопрос о том, не будет ли вскоре подхо-
подходящего полного солнечного затмения. Он обнаружил, что нужное событие
состоится в мае 1919 года. Оно было весьма подходящим по двум причи-
причинам: во-первых, длительность полного затмения должна была быть доста-
достаточно продолжительной, и, во-вторых, Солнце должно было находиться
в области неба, достаточно богатой звездами, доступными наблюдению.
Эддингтон немедленно приступил к работе по организации экспедиций для
проведения необходимых наблюдений. Разумеется, он прекрасно знал, что
не было никакой надежды на проведение подобных наблюдений до тех пор,
пока продолжается война, но надеялся, что война во-время закончится.
Война действительно закончилась во-время (в ноябре 1918 года), и экспе-
экспедиции по наблюдению солнечного затмения состоялись. По их окончании
были доставлены фотопластинки, которые были подвергнуты измерениям.
Их результаты оказались в соответствии с теорией Эйнштейна. После
этого публика пришла в неистовство: новая теория была доказана, и это
взволновало всех и каждого.
Я упомяну лишь один пример, иллюстрирующий царивший тогда эн-
энтузиазм. В детективном рассказе «Убийство епископа» важный ключ был
650 VI. ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
записан на клочке бумаги, на котором содержались уравнения Эйнштейна.
Теория относительности была «вмонтирована» в ткань повествования, и
в результате книга стала бестселлером — все молодые люди читали ее.
Это показывает, что чрезвычайное волнение охватило все области мысли.
Никогда —ни до, ни после —в истории науки не было случая, когда бы
научная идея столь сильно захватила бы широкую публику и вызвала
столь сильный энтузиазм и волнение.
Однако несмотря на все то, что писалось о теории относительности,
у нас все еще было очень мало точной информации. Профессор Брод
в Бристоле прочел ряд лекций по теории относительности (которые я посе-
посещал), однако они были в основном посвящены ее философским аспектам.
Однако в этих лекциях содержалась некоторая информация относительно
геометрии специальной теории относительности, в частности, относитель-
относительно пространства Минковского. В результате из лекции профессора Брода
я начал получать кое-какую определенную информацию о теории относи-
относительности.
По существу у нас не было возможности как следует понять теорию
относительности вплоть до 1923 года, когда Эддингтон опубликовал свою
книгу «Математическая теория относительности». Последняя содержа-
содержала всю информацию, необходимую для настоящего понимания основ этой
теории. Эта математическая информация перемежалась большим коли-
количеством философии. Эддингтон имел собственные философские взгляды,
которые, как я полагаю, несколько отличались от взглядов Эйнштейна,
хотя и были порождены ими.
Однако с выходом книги Эддингтона у людей, владеющих математи-
математическим анализом — например, у студентов инженерных специальностей —
появилась возможность проделать вычисления и детально изучить теорию
относительности. Дело, однако, шло с большим трудом. Необходимая мате-
математика была более трудной, чем та, к которой мы привыкли в инженерном
образовании, однако все же возможность овладеть теорией сохранялась.
Именно так я познакомился с теорией относительности достаточно деталь-
детально и точно.
В книге Эддингтона не содержалось никакой информации относитель-
относительно тех «сражений», которые пришлось испытать Эйнштейну при форму-
формулировке его теории. В книге содержался лишь конечный результат. Я был
очень заинтересован в лекциях, читаемых историками на различных эйн-
эйнштейновых симпозиумах, которые могли бы помочь мне лучше понять
«сражения» Эйнштейна и, кроме того, его убежденность в необходимости
красоты ее математического обоснования. По-видимому, Эйнштейн пони-
понимал, что именно подобная красота на фундаментальном уровне важнее,
чем достижения согласия с наблюдениями. Эта идея была высказана весь-
весьма четко в ранних работах по теории электрона. Хендрик Лоренц разра-
разработал теорию движения электронов, находившуюся в согласии с принци-
принципами Эйнштейна. Затем Вальтер Кауфман поставил эксперименты, чтобы
убедиться в согласии этой теории с данными наблюдений. Оказалось, что
48. РАННИЕ ГОДЫ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 651
эти данные не согласуются с теориями Лоренца и Эйнштейна; скорее,
они подтверждали более старую теорию электрона, построенную Мак-
Максом Абрахамом. Лоренц был совершенно обескуражен этим результатом
и скорбел по поводу того, что вся его работа пропала даром. Однако
Эйнштейн, казалось, не очень сильно реагировал на это. Я не знаю точно,
что именно он говорил —это дело скорее историков, однако полагаю, что
он сказал следующее: «Ну что же, у меня имеется прекрасная теория, и
я не собираюсь от нее отказываться, что бы ни показали эксперименты;
давайте просто подождем и посмотрим».
В итоге Эйнштейн оказался прав. Спустя три года эксперименты были
вновь поставлены кем-то еще, и эти новые эксперименты уже поддержали
точку зрения Лоренца-Эйнштейна на электрон. А еще спустя несколько
лет был обнаружен дефект в установке Кауфмана. Поэтому представля-
представляется вполне оправданным придавать больше значения красоте теории и не
позволять себе слишком огорчаться результатами экспериментов, которые
вполне могут быть вызваны дефектами установок.
Вернемся теперь к общей теории относительности. Наблюдения, про-
проведенные экспедициями по изучению солнечного затмения, подтверждали
эту теорию. Таким образом, с самого начала имелось согласие, и появилась
удовлетворительная основа для развития теории относительности.
К тому времени я уже стал аспирантом и получал большое удовольствие от
этой новой области работы, которая открылась с появлением теории относи-
относительности. Можно было взять какую-либо часть существующей теории,
выраженной на нерелятивистском языке, и сформулировать ее в релятивист-
релятивистских терминах. Это давало лучшее понимание всей проблемы и, возможно,
позволяло собрать достаточно материала для публикации статьи.
Примерно в это время (по-видимому, в 1924 году) Кембридж: посетил
А.Х. Комптон и доложил в Кавендишской лаборатории о своих опытах.
В истолковании этих экспериментов использовалась гипотеза световых
квантов, а также фундаментальные соотношения теории относительности.
Я очень хорошо помню этот коллоквиум. Результаты Комптона показались
мне очень убедительными, и, я полагаю, так же отнеслись к ним большин-
большинство других слушателей; были, однако, люди, не согласные с гипотезой
световых квантов.
Ситуация радикально изменилась в 1925 году, когда Вернер Гейзен-
берг ввел свою новую квантовую механику. Это была теория, в которой,
как вскоре обнаружилось, основной была идея о том, что динамические
переменные не удовлетворяют коммутативному закону умножения. Это
означает, что произведение а х b не равно произведению b x а. Эта идея
была совершенно революционной, но очень скоро она доказала свою пра-
правильность и имела большой успех.
Однако несмотря на этот успех Эйнштейн всегда относился к квантовой
механике довольно враждебно. Каким образом это можно понять? Я по-
полагаю, что ответ очень прост, поскольку Эйнштейн развивал совершенно
иные идеи — идеи чистой геометрии. Он построил геометрические теории
652 VI. ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
и добился огромных успехов. Вполне естественно, что он полагал, что и
другие проблемы физики должны быть решены на основе дальнейшего
развития геометрических идей. Однако тот факт, что а х b не равно b x a
не вполне укладывается в рамки геометрических идей, отсюда и неприязнь
Эйнштейна к подобным идеям.
Я впервые встретил Эйнштейна в 1927 году на Сольвеевском конгрессе.
Тогда началась большая дискуссия между Нильсом Бором и Эйнштейном,
которая была в основном посвящена интерпретации квантовой механики.
Бор, на стороне которого выступало очень много физиков, настаивал на
том, что можно использовать лишь статистическую интерпретацию кван-
квантовой механики, получая вероятности из теории, а затем сравнивая их
с наблюдениями. Эйнштейн, напротив, считал, что Природа не ведет себя
подобным образом, и в основе всего все же должен лежать детерминизм.
Кто из них был прав?
В настоящее время следует сказать, что согласно квантовой механике
Гейзенберга, следует принять интерпретацию Бора. Любой студент, гото-
готовящийся к экзамену, должен принять эту интерпретацию, если он хочет
успешно сдать этот экзамен. Однако после сдачи он может думать на эту
тему более свободно, и в итоге он может даже склониться к тому, чтобы
ощутить силу аргументов Эйнштейна.
В дискуссии между Бором и Эйнштейном на Сольвеевском конгрессе
я не принимал большого участия. Я выслушивал их аргументы, но не
присоединялся к ним — прежде всего потому, что мне это не было особенно
интересно. Меня больше интересовало получение правильных уравнений.
Мне казалось, что основой работы в математической физике является
именно получение правильных уравнений, тогда как их интерпретация
имеет лишь вторичное значение.
С момента возникновения квантовой механики я очень много занимал-
занимался проблемой ее совмещения с теорией относительности. Это оказалось
очень трудным делом, за исключением случая одной частицы, где оказа-
оказалось возможным добиться некоторого прогресса. Удалось найти уравне-
уравнения, описывающие одиночную частицу в соответствии с квантовой меха-
механикой и в согласии с принципами специальной теории относительности.
Оказалось, что эта теория давала объяснение спина электрона.
Кроме того, можно было развить теорию несколько дальше и придти
к идее антивещества. Эта идея действительно вытекает непосредственно
из специальной теории относительности Эйнштейна при ее объединении
с квантовой механикой Гейзенберга. Эта идея неизбежна, поскольку в рам-
рамках единой линии рассуждений мы приходим от специальной теории от-
относительности к антивеществу.
Все это выглядело вполне удовлетворительно до тех пор, пока рассмат-
рассматривалась только одна частица. Разумеется, оставались проблемы, связан-
связанные с двумя или тремя частицами, взаимодействующими между собой.
Вскоре выяснилось, что в этих случаях возникают серьезные трудности.
Применяя стандартные правила, можно было лишь утверждать, что тео-
48. РАННИЕ ГОДЫ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 653
рия не работает. Теория позволяла записывать определенные уравнения,
но при попытке их интерпретации некоторые величины оказывались бес-
бесконечными, тогда как согласно здравому смыслу они должны были быть
конечными. Это было серьезной трудностью теории — трудностью, которая
до конца еще не разрешена и сегодня.
Физики нашли успешные способы закрывать глаза на те величины,
которые они не хотели бы видеть в своих уравнениях. Они смогли продол-
продолжать получать полезные результаты, однако эта процедура весьма далека
от той, которую Эйнштейн считал присущей самой Природе.
Представляется очевидным, что современная квантовая механика еше
не приняла своей окончательной формы. Однажды будет открыта новая
квантовая механика — разумеется, релятивистская с самого начала, и в ней
вообще не будет возникать никаких бесконечностей. Вполне возможно, что
эта новая квантовая механика будет обладать детерминизмом — так, как
этого хотел Эйнштейн. Этот детерминизм будет внесен только за счет
отказа от некоторых догм, которых сейчас придерживаются физики. При
этих условиях, я полагаю, весьма вероятно (или , по крайней мере, вполне
возможно), что в далекой перспективе прав окажется именно Эйнштейн,
несмотря на то, что сейчас физики придерживаются вероятностной интер-
интерпретации Бора (особенно если им предстоят экзамены).
Мне хотелось бы поговорить еще о двух предметах. Один из них свя-
связан с неполнотой теории гравитации Эйнштейна. Эта теория Эйнштейна
дает нам уравнения поля, однако их нельзя решить и получить точные
результаты в отсутствие некоторых граничных условий, т.е. тех условий,
которые говорят о том, на что похоже пространство на очень больших
расстояниях. Для установления граничных условий нам необходимо иметь
теорию космологии, т.е. теорию, объясняющую, на что похожа Вселенная
в целом, если сгладить все нерегулярности, обусловленные звездами и
галактиками. Сам Эйнштейн с самого начала понимал необходимость по-
подобных граничных условий, и он предложил модель Вселенной, в которой
пространство было конечным, хотя и неограниченным. Это была новая
идея, к которой людям надо было привыкнуть — одна из тех идей, к кото-
которой Эддингтон применил свои огромные способности, пытаясь объяснить
ее широкой публике. Эта идея, вообще говоря, воспринимается без особого
труда: например, можно представить себе поверхность Земли как область
пространства в двух измерениях, которая конечна, однако не имеет границ.
Эйнштейн предложил цилиндрическую модель Вселенной, однако
вскоре было обнаружено, что от нее следует отказаться ввиду ее
статического характера. Наблюдения показали, что очень удаленные
объекты разбегаются от нас со скоростями, возрастающими с ростом
удаления. Модель Эйнштейна не объясняла этого явления, и потому от
нее следовало отказаться.
Вскоре после этого де Ситтером была предложена другая модель, кото-
которая правильно предсказывала разбегание удаленных объектов, но давала
654 VI. ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
нулевую среднюю плотность материи, что, разумеется, не соответствовало
наблюдениям. Поэтому от модели де Ситтера также следовало отказаться.
Ряд других моделей были разработаны Александром Фридманом,
Жоржем Леметром и другими, причем все эти модели согласовывались
с фундаментальными полевыми уравнениями Эйнштейна. Среди всех этих
альтернативных моделей особого внимания заслуживает модель, пред-
предложенная совместно Эйнштейном и де Ситтером. Эта модель оказалась
удовлетворительной, поскольку она описывает разбегание удаленных объ-
объектов и , кроме того, дает отличную от нуля среднюю плотность материи,
примерно совпадающую с наблюдаемой. Таким образом, во всех основных
аспектах эта теория оказывается удовлетворительной. Совместную модель
Эйнштейна-де Ситтера я хотел бы предложить как модель, которую сле-
следует использовать повсеместно, поскольку эта простейшая из всех моде-
моделей, которая в наиболее элементарных аспектах не противоречит фактам.
Следует придерживаться простейшей модели до тех пор, пока что-либо не
заставит нас отказаться от этой модели.
Согласно модели Эйнштейна-де Ситтера, Вселенная началась с Боль-
Большого Взрыва и будет всегда продолжать расширяться. Многие модели
утверждают, что Вселенная будет расширяться лишь до определенного
момента, а затем вновь начнет сжиматься. Это является необязатель-
необязательным усложнением, и в настоящее время отсутствуют наблюдательные
данные в пользу этого предположения. Мне представляется, что эти мо-
модели не следует рассматривать столь же серьезно, как простую модель
Эйнштейна-де Ситтера. В этой модели трехмерное пространство является
плоским (на больших расстояниях), а давление в «сглаженной» Вселенной
очень мало.
Следует упомянуть, что все эти различные модели могут оказать свое
влияние на решение уравнений Эйнштейна, необходимых для описания
явлений в Солнечной системе. Однако расхождения оказываются чрезвы-
чрезвычайно малыми, и они не повлияют на то замечательное согласие, которое
имеется между наблюдательными данными и теорией Эйнштейна в опи-
описании Солнечной системы.
Имеется еще одна тема, которую я хотел бы обсудить, а именно пробле-
проблема объединения гравитационного и электромагнитного полей. Эйнштейн
очень много занимался проблемой такого объединения, и тогда это бы-
были единственные два поля, которые следовало рассматривать. В насто-
настоящее время физики рассматривают и другие поля, для которых харак-
характерно наличие короткодействующих сил, т.е. сил, существенных только
для частиц, расположенных чрезвычайно близко друг к другу —напри-
—например, внутри атомного ядра. Сила гравитации и электромагнитная сила —
это дальнодействующие силы; обе они убывают обратно пропорционально
квадрату расстояния. Я полагаю, что в некоторых отношениях эти силы
более важны, чем другие. Создается ощущение, что между ними должна
быть тесная взаимосвязь.
48. РАННИЕ ГОДЫ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 655
Эйнштейн достиг очень большого успеха, объяснив гравитационную
силу в терминах геометрии, и он полагал, что некоторое обобщение геомет-
геометрии будет способно описать также и электромагнитную силу. Подходящий
метод был вскоре открыт Германом Вейлем. Вей ль произвел небольшое
обобщение геометрии Римана, использованной Эйнштейном. Вейль пред-
предположил, что расстояние между соседними точками не имеет абсолютного
значения; иначе говоря, отсутствует естественная абсолютная единица
длины, которую можно было бы использовать. Однако можно переносить
эту единицу длины из одного места пространства в другое. При этом
описывающие этот перенос уравнения таковы, что при обходе по замкну-
замкнутому пути (когда выйдя из какой-либо точки, вы возвращаетесь в нее же),
окончательное расстояние между точками не совпадает с начальным. Это
привело к обобщению геометрии, и вскоре оказалось, что оно дает именно
то, что нужно для введения электромагнитного поля.
Это казалось замечательным решением проблемы, однако выяснилась
и трудность. Атомные события все же дают естественную шкалу для изме-
измерения расстояний. Можно отнести все расстояния к этой атомной шкале, и
тогда вообще не будет точек, имеющих неопределенность в расстояниях до
других точек, предполагавшуюся в геометрии Вейля. На этом основании
пришлось (хотя и неохотно) отказаться и от столь красивой теории Вейля.
Весь остаток жизни Эйнштейн посвятил попытке решения проблемы
объединения гравитационного и электромагнитного полей. Он пробовал
одну схему за другой, однако все они были безуспешными. К этой работе
присоединялись и другие люди, однако и им не удалось добиться большего,
чем Эйнштейну. Я задавался вопросом, не ограничил ли Эйнштейн себя
слишком сильно в идейном плане, пытаясь объединить гравитационное и
электромагнитное поля. Мне представляется, что для успешного решения
этих проблем необходимо внести представление о космологических эффек-
эффектах, и способ подобного внесения мог бы быть , например, таким.
Примем теорию Эйнштейна в существующем виде для всех проблем,
основанных лишь на ее классической версии, и лишь при переходе к атом-
атомным проблемам будем считать, что в этой теории необходима некоторая
модификация. Эта модификация могла бы состоять в том, что постоянная
Планка была бы в космологическом смысле отнюдь не константой, но
рассматривалась бы как изменяющаяся от одной эпохи к другой — иными
словами, изменялась бы во времени с момента возникновения Вселенной
или Большого Взрыва. Если изменяется постоянная Планка /г, то должен
изменяться также и заряд электрона е, поскольку величина е2/(/гс) яв-
является безразмерной константой, играющей важную роль в физике. По
данным измерений, эта величина равна 1/137 и, по-видимому, действи-
действительно является постоянной. Таким образом, если величина h изменяется,
то заряд е также должен изменяться как квадратный корень из h. На этой
основе можно построить новую теорию.
Прежде чем вводить столь серьезное изменение в фундаментальные
идеи, желательно получить некоторое наблюдательное подтверждение. Ее-
656 VI. ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
ли эти атомные константы изменяются в контексте картины Эйнштейна,
то это означает, что атомные часы будут отсчитывать иное время по срав-
сравнению со временем, принятым в теории Эйнштейна. Эйнштейново время —
это время, по которому движутся планеты вокруг Солнца. Оно называется
астрономами «эфемеридным временем».
Астрономы изучали этот вопрос. В частности, Ван Фландерн, рабо-
работающий в Обсерватории ВМС США в Вашингтоне, посвятил много лет
изучению движения Луны — как с помощью эфемеридного, так и атомного
времен. Движение Луны в помощью атомных часов изучалось с 1955 года.
Однако результаты Ван Фландерна до настоящего времени не являются
убедительными, и следует подождать еще немного, чтобы убедиться в том,
действительно ли существует разница между двумя способами измерения
времени.
Имеется и другая возможность проверки этих новых идей об изменении
констант, которую использовал И.И. Шапиро. Его метод состоит в посылке
радиосигналов на одну из планет для наблюдения отраженных сигналов,
причем регистрация времени движения сигналов туда и обратно произ-
производится по атомным часам. В результате он мог бы измерять расстояния
в Солнечной системе посредством атомных часов и в том случае, если эти
часы давали бы иное время чем эфемеридное, в значениях этих расстояний
наблюдались бы расхождения.
Я беседовал с Шапиро непосредственно перед прибытием на этот сим-
симпозиум и спросил у него о последней информации, касающейся его работы.
Имеется очень хорошая возможность наблюдать радиоволны, отраженные
от Марса, поскольку в 1976 году на эту планету совершил посадку косми-
космический корабль Викинг. И он может быть использован в качестве отража-
отражателя радиоволн. Шапиро сообщил, что период времени, имевшийся в его
распоряжении для наблюдения во время экспедиции Викинга (около двух
лет) недостаточен для получения определенного ответа на вопрос. Имелись
также наблюдения Марса, сделанные ранее во время экспедиции Маринер,
которые дали большую временную базу — восемь лет вместо двух. Однако,
по словам Шапиро, понадобится еще около года или двух, чтобы оценить
результаты и ответить на вопрос о наличии вариации констант.
Такова ситуация на сегодняшний день. Я приношу извинения за то, что
не могу предложить ничего более определенного, чем то, о чем я сказал.
Шапиро получит определенный результат, и если этот результат окажется
положительным, то у нас появится новое основание рассмотреть вопрос
об объединении гравитационного и электромагнитного полей. Возможно,
удастся возродить геометрию Вей ля, отвергнутую только из-за отсутствия
согласия с расстояниями на атомных масштабах явлений. Поэтому пред-
представляется, что если предложенный подход окажется правильным, то вся
теория, связанная с объединением атомных расстояний с гравитацией сно-
снова окажется актуальной. Во всяком случае, у нее будет значительно больше
шансов на успех.
49
ПОЛЬ АДРИЕН МОРИС ДИРАК *)
Интервью г)
I. Вам не кажется, что в настоящее время в физике имеет место
такое же возбуждение как в двадцатые и тридцатые годы!
В настоящее время стоят значительно более сложные проблемы, и нет
такой же надежды на их быстрое разрешение, которое было в те годы.
Возбуждение обычно существует рядом с надеждой на быстрый успех,
когда любой второсортный студент может сделать действительно перво-
первоклассную работу. Но к настоящему времени простые фундаментальные
проблемы уже решены. Те, что остались, представляются очень сложными,
и, кажется, никому не удается выдвинуть правильные основополагающие
идеи для их разрешения.
Вполне возможно, что они потребуют совершенно новых идей. Без-
Безусловно, это потребуется; в противном случае они уже были бы решены.
П. Но по крайней мере в каком-то смысле они все же будут связаны с
современным состоянием теории
Да. Существующая теория должна быть неким приближением любой
продвинутой теории, которая появится в будущем.
I. Некоторые из тех людей, о которых мы говорили, кажется, полага-
полагают, что дело за новыми экспериментами, особенно в физике элементар-
элементарных частиц.
Если теоретики недостаточно сильны, чтобы самим решить проблему,
то это — единственное, на что остается надеяться. Нужен Эйнштейн или
кто-то подобный ему. Эйнштейн не нуждался в новых экспериментах для
выработки своих идей.
*) Paul Adrien Maurice Dirac // In: A Question of Physics Conversations in Physics and
Biology / Ed. P. Buckley, F.D. Peart — London and Henley: Routledge and P. Kegan, 1979.
P. 34-40.
j В одном из ранних романов Ч.П. Сноу фигурировал персонаж:, который описы-
описывался как последователь Ньютона. Им мог быть только Поль Дирак A902). Работы
Дирака, как и ранее Ньютона, вызывали уважение коллег не только своей глубиной
проникновения в суть проблемы и ясностью, но и мощью и сдержанностью применения
математики к разрешению проблем естествознания.
Профессор Дирак дал это интервью двум собеседникам, находясь в Майами. Сначала
он был сдержан относительно своих достижений в физике. Однако когда зашел разговор
о красоте физики, он оживился. Наряду с комментариями современного состояния фи-
физических теорий он коснулся Гипотезы Больших Чисел, которой занимался в последние
годы.
658 VI. ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
I. Вам не кажется, что прогресс в физике элементарных частиц пло-
плодотворен?
Он не является действительно фундаментальным. Он сводится к сбору
массы информации и никто на самом деле не знает, как на ее основе
выработать фундаментальные идеи. Точно также в начале 1920-х годов
имелась масса спектроскопической информации, но нужен был Гейзенберг,
чтобы из этого изобилия материала найти действительную основу для
новой теории.
I. Вы не считаете, что унификация обязательно должна включать
в себя релятивизм!
В конечном итоге я полагаю, что да. Возможно, что гравитация не
будет занимать первое место; гравитация стоит несколько в стороне от
обычной атомной физики и играет очень малую роль.
I. Для большинства людей соединение квантования с релятивизмом
кажется непреодолимой проблемой. Вы в некоторой степени работаете
в этой области.
Можно в какой-то мере заниматься ею, но никому не удается построить
удовлетворительную теорию.
I. Не могли бы Вы вкратце изложить свои соображения о Гипотезе
Больших Чисел?
Гипотеза Больших Чисел относится к некоторым безразмерным чис-
числам. Одним из примеров безразмерных чисел, встречающихся в Природе,
является отношение массы протона к массе электрона. Другим безразмер-
безразмерным числом является число, связывающее постоянную Планка с зарядом
электрона. Это число порядка 137, независимо от выбора системы единиц.
При появлении безразмерного числа, подобного этому, физики начинают
думать, что в этом что-то есть. Почему оно оказывается равным, скажем,
137, а не 256 или чему-то другому? В настоящее время не удается найти
вразумительного объяснения этому, но тем не менее люди продолжают
надеяться, что какое-то объяснение будет найдено.
Кроме того, имеется другое безразмерное число, которое важно. Если
у вас имеется электрон и протон, то сила электрического взаимодействия
обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Гравитаци-
Гравитационная сила также обратно пропорциональна квадрату расстояния, так что
отношение двух этих сил не зависит от расстояния. Это отношение дает
вам безразмерное число. Это число чрезвычайно велико, порядка десяти
в тридцать девятой степени. Разумеется, оно не зависит от выбора системы
единиц. Это число задается Природой, и мы вправе надеяться, что теория
когда-нибудь найдет ему объяснение.
Каким путем Вы могли бы найти возможное объяснение столь боль-
большому числу? Во всяком случае, Вы можете связать его с другим большим
49. ПОЛЬ АДРИЕН МОРИС ДИРАК 659
числом — возрастом Вселенной. Вселенная имеет некий возраст, поскольку
наблюдаются спиральные туманности, наиболее удаленные небесные объ-
объекты, удаляющиеся от нас со скоростью, пропорциональной расстояниям
до них. Это означает, что в отдаленном прошлом они были чрезвычайно
близко друг от друга.
Вначале размер Вселенной был очень мал, возможно даже, что она
была математической точкой, затем последовал большой взрыв, и эти объ-
объекты разлетелись. Те из них, что вылетели с наибольшей скоростью, сейчас
находятся на наибольшем расстоянии от нас. Это объясняет соотношение
Хаббла, согласно которому возрастание этой скорости пропорционально
расстоянию. По связи между скоростью разлета и расстоянием мы можем
определить возраст Вселенной, т. е. время, прошедшее с момента начала
разлета туманностей.
Эта идея получила название гипотезы Большого Взрыва. Известен
определенный возраст, или время, прошедшее с момента Большого Взры-
Взрыва. Самые последние наблюдения оценивают его примерно в восемнадцать
миллиардов лет.
Далее следовало бы вместо лет использовать какие-либо атомные еди-
единицы; год является весьма искусственной единицей времени, тесно свя-
связанной с нашей Солнечной системой. Если выбрать за исходную атомную
единицу времени и выразить через нее возраст Вселенной, то Вы снова
получите число порядка десяти в тридцать девятой степени, что прибли-
приблизительно совпадает с предыдущим числом.
Конечно, Вы можете сказать, что это просто замечательное совпадение.
Но поверить в это довольно трудно. Чувствуется, что между этими двумя
очень большими числами должна быть какая-то связь, связь, которую мы
в настоящее время не можем объяснить, но сумеем объяснить в будущем,
когда будем лучше знать как атомную теорию, так и космологию.
Предположим, что эти два числа связаны. Тогда ни одно из них не
является постоянной. Действительно, возраст Вселенной становится все
больше и больше, поскольку Вселенная стареет. Но тогда и другое число
должно возрастать в той же пропорции. Это означает, что отношение
электрической силы к гравитационной не постоянно, а возрастает пропор-
пропорционально возрасту Вселенной.
Удобнее всего описывать это отношение в атомных единицах, что обес-
обеспечивает постоянство электрической силы; тогда, в атомных единицах,
гравитационная сила окажется убывающей. Гравитационная константа,
обычно обозначаемая через G, выраженная в атомных единицах, перестает
быть константой, а убывает обратно пропорционально возрасту Вселенной.
Было бы неплохо проверить этот результат экспериментально, но эф-
эффект очень мал. Однако, можно надеяться, что с помощью наблюдений,
которые будут сделаны в течение нескольких последующих лет, окажется
возможным проверить, изменяется ли G или нет. Если окажется, что она
меняется, то мы столкнемся с проблемой согласования изменяющейся G
с предшествующими идеями теории относительности. Обычная теория
660 VI. ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
Эйнштейна требует, чтобы G была постоянной. Следовательно, эту теорию
придется как-то модифицировать. Мы не намерены полностью отказы-
отказываться от нее, поскольку она весьма успешна.
Я предложил способ модификации ОТО, введя два масштаба длины.
Один масштаб, должен использоваться в уравнениях Эйнштейна, а другой,
определяться наблюдениями атомных устройств. Я должен отметить, что
идея двух масштабов длины и меняющейся со временем G не оригиналь-
оригинальна. Подобная идея была выдвинута Е.А. Милном около сорока лет тому
назад. Но он основывался на аргументах, отличных от моих. В некоторых
аспектах его уравнения сходны с моими; в других — отличны. Поэтому
моя теория существенно отлична от теории Милна. Следует отдать Милну
должное за то, что он проник в самую суть мысли о том, что гравитаци-
гравитационная константа на самом деле может быть вовсе не константой. До него
никто не задавался подобным вопросом.
I. Эта теория приводит к важным последствиям для рождения ма-
материи.
Да, количество частиц — элементарных частиц, протонов и нейтро-
нейтронов, — во Вселенной порядка десяти в семьдесят восьмой степени, т. е.
порядка квадрата возраста Вселенной. Снова следовало бы сказать, что
это не совпадение. За этим должна быть какая-то причина. Следовательно,
число частиц во Вселенной должно возрастать пропорционально квадра-
квадрату возраста Вселенной. Тогда новая материя должна рождаться непре-
непрерывно.
Ранее существовала теория непрерывного рождения материи, именуе-
именуемая стационарной космологией, но моя теория отличается от нее, так как
стационарная космология требует, чтобы G была постоянной. Тогда все
должно быть постоянным, и, в частности, значение G должно сохраняться.
Здесь я хотел бы считать G изменяющейся, но наряду с этим я хотел
бы иметь непрерывное рождение материи. Объединение обеих этих идей
вполне возможно, и я вывел некие уравнения предполагаемых моделей
Вселенной, включающие эти идеи.
П. Одним из следствий Вашей теории является вывод о том, что
модель Вселенной, которая поочередно расширяется и сжимается, полно-
полностью исключается.
Да, это так, потому что иначе в теории появляется максимальный
размер. Этот максимальный размер, выраженный в атомных единицах,
дал бы большое число, которое не меняется со временем. Я же хочу,
чтобы все большие числа были связаны с возрастом Вселенной таким
образом, чтобы все они возрастали со старением Вселенной. Если у Вас
имеется теория, приводящая к большому числу порядка десяти в тридцать
девятой степени, которое является неизвестной константой, то Вам следует
отказаться от этой теории.
49. ПОЛЬ АДРИЕН МОРИС ДИРАК 661
II. Это предполагает постоянно расширяющуюся Вселенную.
Да. Она всегда будет продолжать расширяться. Она не может просто
развернуться и начать сокращаться, как полагают многие люди.
П. Таким образом удастся избежать, так сказать, сингулярности
в конце.
Да, эта проблема не возникает; сингулярность имеется только в начале.
П. Похоже, что имеется или, по крайней мере, возможно, что на-
наблюдается такая вещь как черная дыра, являющаяся теоретическим след-
следствием общей теории относительности. Это таксисе сингулярность, не
так ли!
Это зависит от используемых математических переменных. В любом
случае она представляет собой очень локальную сингулярность, а не кос-
космологическую.
П. Но представление о том, что масса звезды концентрируется во
все меньшем и меньшем объеме, потрясает воображение. Мне известно
о существовании отталкивающих сил, которые могут остановить этот
процесс на различных его стадиях, и, наконец, я понимаю, что сжатие
звезды, масса которой превышает массу Солнца в пять или десять раз,
не может остановиться.
Согласно существующим теориям это именно так
П. Представить подобный объект трудно, но я полагаю, что для рабо-
работы физика это необязательно.
Если Вам удастся найти для него уравнения, то это все, что в действи-
действительности нужно физику. Вполне возможно, что в столь экстремальных
условиях законы окажутся модифицированными; мы будем пытаться най-
найти, как выглядят правильные законы.
П. Но они не должны противоречить физической теории; означает ли,
что они окажутся просто модификациями?
Они окажутся такими модификациями, которые справедливы в экстре-
экстремальных условиях.
I. Не могли бы Вы прокомментировать расходимости и трудности,
существующие в квантовой теории поля. Многие полагают, что их мож-
можно устранить с помощью перенормировки. Что Вы об этом думаете?
Это временная мера. Должно произойти некое фундаментальное изме-
изменение наших основных идей, возможно, столь же фундаментальное, как
переход от теории орбит Бора к квантовой механике. Когда Вы получаете
обращающееся в бесконечность число, которое должно быть конечным,
Вам приходится согласиться, что в Ваших уравнениях что-то не так, а не
662 VI. ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
надеяться на то, что, исправив это число, Вам удастся получить хорошую
теорию.
I. Некоторые люди, например Абдус Салам, полагали, что введя ис-
искривленное пространство, можно избежать этих бесконечностей.
Я знаю о его работах в этом направлении, но мне кажется, что в хо-
хорошей теории подобные бесконечности никогда не возникнут и на первом
этапе.
I. Общепризнано, что написанные Вами статьи прекрасны. Руковод-
Руководствовались ли Вы понятиями красоты!
В значительной мере, да. Невозможно просто полагаться на случайные
догадки. Вопрос состоит в поисках вещей, которые очень хорошо согласу-
согласуются между собой. Вы решаете проблему, это может быть даже кроссворд,
но детали не согласуются, и Вы понимаете, что Вы совершили ошибку.
Внезапно вы придумываете поправки, и все становится на место. Вы ис-
испытываете огромное удовлетворение. Красота уравнений, предлагаемых
Природой, значительно сильнее. Она вызывает сильную эмоциональную
реакцию.
I. Вы испытываете подобную реакцию от некоторых разделов совре-
современной физики!
Не от теории перенормировок, нет!
П. У меня есть вопрос относительно интерпретации уравнений. Су-
Существуют определенные уравнения и определенные теории, интерпрета-
интерпретация которых открыла бурную дискуссию. Не вполне ясно, что она на самом
деле означает в нематематических терминах; я имею в виду принцип
дополнительности.
Да, там имеется неопределенность в интерпретации. Но я не думаю, что
имеет особый смысл обсуждать эту неопределенность, поскольку основные
уравнения сами по себе неопределенны, как я пытался объяснить Вам
ранее. Если у Вас нет очень глубокого доверия к основным уравнениям,
то нет и действительно сильного стимула тратить время на их интерпре-
интерпретацию, поскольку вы уверены, что в любом случае они через некоторое
время будут пересмотрены.
П. Я имею в виду сами соотношения неопределенности. Вы полагаете,
что они будут пересмотрены!
Это возможно. Вам придется заплатить за это какую-то цену и выдви-
выдвинуть другую выношенную идею.
П. Проблема наблюдения и измерения кажется важной.
Да, но Вы обсуждаете эти проблемы на основе существующих теорий,
которые, в чем я уверен, являются лишь переходным этапом физики. Они
49. ПОЛЬ АДРИЕН МОРИС ДИРАК 663
будут пересмотрены, может быть, в течении нескольких десятилетий или,
допустим, пока неизвестно, когда они будут пересмотрены. Это все равно
как если бы кто-то попытался построить новую философию на теории
боровских орбит. Вы бы долго работали с ними, но все эти рассуждения
стали бы совершенно никому ненужными после пересмотра теории боров-
боровских орбит.
I. Если бы Вы сегодня давали напутствие молодым физикам, то в
какую область Вы бы им посоветовали направиться?
Я думаю, что им, по-видимому, следует избегать фундаментальной
физики, так как там все стоящие проблемы уже довольно детально иссле-
исследованы.
I. Я имею в виду, в какой области, по Вашему мнению, может про-
произойти прорыв!
Я не знаю.
I. Я понимаю это так, что если бы Вы знали, то Вы были бы там.
Да.
П. Будет ли это зависеть также и от достижений математической
теории!
Это возможно.
П. В 1920-х годах приходилось частично изобретать и математику,
одновременно с экспериментом.
Основные математические идеи были до этого известны математикам.
Они знали о гильбертовом пространстве, они знали о спинорах. Но они
никогда не думали, что эти вещи могут иметь какие-либо физические
приложения.
П. Тогда вполне возможно, что какие-то уже известные ветви мате-
математики содержат полезные подходы.
Да. Однако существует огромный объем знаний по математике, и ис-
искать заранее, какая часть его окажется полезной в будущем, явно безна-
безнадежно.
50
ПОЧЕМУ МЫ ВЕРИМ В ТЕОРИЮ ЭЙНШТЕЙНА*)
Я очень счастлив получить приглашение в Карбондейл и тем самым
отдать должное Эйнштейну. Его влияние на всю современную физику
попросту грандиозно и, по-видимому, не всегда должным образом оценено.
Поэтому я постараюсь способствовать лучшему пониманию этого.
Теория относительности была впервые «предъявлена» миру в 1918 го-
году—сразу по окончании Первой мировой войны. Разумеется, специальная
теория относительности имела к этому времени уже солидный возраст. Она
была открыта в 1905 году, однако оставалась совершенно неизвестной —
за исключением немногих специалистов в университетах, которые только
и слышали тогда об Эйнштейне. И только по окончании Первой мировой
войны теория относительности «обрушилась» на общество, произведя на
него огромное воздействие.
Причина этого была, прежде всего, психологической, ибо в этот мо-
момент завершилась ужасная война. Все были по горло сыты ею — к какой
бы из воюющих сторон они ни принадлежали. Людям хотелось чего-то
нового—такого, что позволило бы им забыть о войне и получить другое
направление мысли. Именно эту возможность и предоставила теория от-
относительности .
В то время я был студентом инженерного факультета Бристольского
университета в Англии. Меня, как и других студентов, увлек этот «ре-
«релятивистский шторм». Все обсуждали теорию относительности, хотя на
самом деле люди не располагали для этого достаточной информацией.
Студенты и профессора обсуждали эти темы в основном на уровне слухов.
Газеты постоянно публиковали статьи на эти темы, и журиалы также были
полны соответствующих публикаций. Авторы всех этих статей также слабо
разбирались в этих вопросах, однако чувствовали себя более или менее
компетентными, чтобы объяснять их людям по существу.
Будучи студентами инженерных специальностей, мы все время имели
дело с механикой Ньютона. Ньютон был нашим Богом, и все в механике
зависело от него. Потом нам сообщили, что каким-то таинственным обра-
образом оказалось, что Ньютон был неправ. Нам предстояло приспособиться
к новым идеям.
Почему нам следовало верить в эту новую теорию? Нам предъявля-
предъявлялись две причины: одна из них состояла в том, что эта теория поддер-
поддерживается экспериментальными данными. Другая причина, выдвинутая
*) Why we Believe in the Einstein Theory // In: Symmetries in Science / Ed. B. Gruber,
R.S. Milman. — N.Y.: Plenum, 1980. P. 1-11.
50. ПОЧЕМУ МЫ ВЕРИМ В ТЕОРИЮ ЭЙНШТЕЙНА 665
философами, сводилась к тому, что теория относительности востребована
философией. Из общих философских соображений следовало, что идеи
относительности были необходимы для того, чтобы уйти от господства
абсолютизма. Я хотел бы обсудить эти аргументы более основательно,
поскольку ни один из них не является истинной причиной того, почему
следует верить в Эйнштейна, и оценить величие его идей.
Специальная теория относительности
Если вы только подумаете о скоростях, то вам сразу станет ясно,
что скорость тела может иметь смысл лишь по отношению к скорости
чего-либо еще. Хорошо определенным понятием является лишь разность
двух скоростей. Однако возникает вопрос: существует ли какой-либо «абсо-
«абсолютный нуль», по отношению к которому можно рассматривать движения
всех других тел и, соответственно получать абсолютные значения скоро-
скоростей тел. Этот вопрос не может быть решен на основе чистой философии —
он может быть решен только посредством наблюдения, или эксперимента:
следует убедиться в том, возможно ли найти подобный «абсолютный нуль»
скорости.
Майкельсон и Морли поставили для этой цели соответствующие экспе-
эксперименты. Все физические теории того времени были построены на основе
представления о том, что существует «абсолютный» эфир, который сле-
следует использовать в качестве системы отсчета. В частности, можно было
говорить о свете, движущемся с определенной скоростью сквозь эфир.
Далее возникал вопрос: можно ли определить скорость самого эфира?
Точнее говоря, можно ли определить скорость, с которой Земля движется
сквозь эфир? Именно на этот вопрос попытались ответить Майкельсон и
Морли.
Они поставили ряд тщательных экспериментов, в которых пучки света
посылались во встречных направлениях, после чего проводились очень
точные интерференционные измерения. Окончательный результат состоял
в том, что им не удалось обнаружить скорость, которую можно было бы
принять за абсолютный нуль. Им не удалось также определить, с какой
скоростью Земля движется сквозь эфир. Майкельсон и Морли проводили
свой опыт в разные времена года, когда Земля имеет различную скорость,
обусловленную движением вокруг Солнца, однако результаты всегда оста-
оставались отрицательными. Каким образом можно было это понять?
Для людей того времени это была большая загадка. Ее пытались ре-
решить, в частности, Лоренц и Фицджеральд, предположившие, что следует
выдвинуть новые идеи для описания твердых тел при их движении. Имен-
Именно, твердые тела должны были испытывать некое странное сокращение
размеров, которое должно быть согласовано таким образом, чтобы ком-
компенсировать те эффекты, которые должны были бы в противном случае
возникнуть благодаря движению Земли сквозь эфир.
666 VI. ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
В то время наилучшей из имевшихся физических теорий была электро-
электромагнитная теория, основанная на уравнениях Максвелла. Лоренц долго
изучал эти уравнения и сделал замечательное открытие. Он показал, что
если объединить эти уравнения с соответствующими предположениями о
том, как ведут себя находящиеся в движении материальные тела, то можно
ввести в пространстве и времени различные системы отсчета, в которых
уравнения движения будут выглядеть одинаково по отношению ко всем
этим системам отсчета.
Это открытие Лоренца дает непосредственное объяснение нулевого
результата опыта Майкельсона и Морли. Оно состоит в том, что при
движении Земли с различными скоростями следует переходить от одной
системы отсчета Лоренца к другой, причем этот переход не будет при-
приводить ни к каким наблюдаемым следствиям. Иначе говоря, движение
Земли с различными скоростями в различные моменты времени никак не
будет проявляться в распространении света. Лоренц обнаружил, что такие
системы отсчета существуют и вывел соотношения, посредством которых
можно переходить от одной из этих систем к другой — так называемые
преобразования Лоренца. В итоге можно было видеть, что любые экс-
эксперименты с участием электромагнитных процессов не смогут привести
к обнаружению каким бы то ни было образом скорости эфира. Результаты
опытов будут всегда получаться одними и теми же. Доказательство этого
факта включает в себя переход от одной системы отсчета Лоренца к дру-
другой.
Все это было сделано до того, как на сцене появился Эйнштейн, ко-
который сделал смелое предположение. Согласно Эйнштейну, все различ-
различные системы отсчета Лоренца вполне равноправны или симметричны, так
что в соответствии с этим следует принять новую картину пространства
и времени. Тем самым обнаружить скорость эфира не удастся никогда,
поскольку само это понятие не существует (точнее, лишено физического
смысла). Именно это стало началом теории относительности.
В то время Лоренц не принял эту теорию. Именно Лоренц выпол-
выполнил сложный математический расчет и нашел соответствующие преоб-
преобразования. Однако Лоренц отрицал точку зрения, согласно которой все
различные системы отсчета вполне равноправны. Лоренц полагал, что
лишь одна из этих систем отсчета является физически корректной, а все
остальные —не более чем чисто математические («фиктивные») понятия.
Именно такой точки зрения придерживался Лоренц, и она находилась
в прямом противоречии с точкой зрения Эйнштейна. Это противоречие
существовало в течение многих лет. Пуанкаре, также занимавшийся этой
проблемой, имел точку зрения, сходную с Лоренцем.
Оказалось, что совершенно невозможно установить, какая из систем
отсчета является «правильной». В этих условиях следовало, разумеется,
отказаться от точки зрения, согласно которой существует лишь одна пра-
правильная система отсчета. Тем самым оставалось лишь принять идею о том,
50. ПОЧЕМУ МЫ ВЕРИМ В ТЕОРИЮ ЭЙНШТЕЙНА 667
что все системы отсчета равноправны. Именно в этом и состояла точка
зрения Эйнштейна.
Чтобы оценить то, что содержит предположение Эйнштейна, следует
отметить, что оно в действительности выходит далеко за рамки следствий,
полученных Лоренцем. Лоренц установил, что до тех пор, пока мы не
выходим за рамки электромагнитных сил, невозможно найти абсолютный
нуль скорости. Эйнштейн вышел за пределы этого утверждения и провоз-
провозгласил, что найти абсолютный нуль скорости невозможно будет никогда,
так как не будет никаких других физических процессов, которые могли бы
продемонстрировать абсолютный нуль скорости. Имеется нечто глубоко
присущее пространству и времени, что вообще исключает существование
абсолютного нуля скорости. Нам необходимо принять новую физическую
картину пространства и времени.
Становлению этой новой картины очень способствовал Минковский —
выдающийся геометр того времени; именно он создал геометрическую
основу новой физической картины. Согласно этой геометрии, физические
события следует описывать в четырехмерном мире, в котором отсутствуют
какие-либо более или менее предпочтительные лоренцевы системы отсче-
отсчета. Этот мир называется пространством Минковского. Можно сказать,
что фундаментальное предположение Эйнштейна состояло в том, что всю
физику следовало «поместить» (или рассматривать) в пространстве Мин-
Минковского.
Естественное микроволновое излучение
В некотором смысле можно сказать, что Лоренц был прав, а Эйнштейн
ошибался, поскольку в рамках физики того времени можно было лишь
утверждать, что абсолютный нуль скорости невозможно экспериментально
обнаружить. Однако тезис о том, что добиться этого не будет возможности
никогда, фактически означал гораздо более сильное утверждение. В част-
частности, некий абсолютный нуль скорости проявился с помощью имеющейся
в настоящее время более совершенной экспериментальной техники. Мы
имеем в виду естественное микроволновое излучение.
Допустим,что у вас имеются подходящие (радио-) телескопы, способ-
способные к наблюдениям в микроволновом диапазоне (с длинами волн порядка
нескольких сантиметров). Тогда, направляя эти телескопы в различные
точки неба, вы заметите слабое падающее на Землю излучение. Это излу-
излучение, называемое естественным микроволновым, или реликтовым, при-
приходит со всех направлений пространства. Ясно, что это излучение должно
иметь какое-то космологическое значение. Обычно его наличие объясняют
тем, что это остаток того излучения, что существовало во времена, близкие
к моменту рождения Вселенной. В те времена имелось очень много го-
горячего излучения, которое постепенно охлаждалось. В результате от него
осталось некоторое количество холодного излучения, которое и возможно
наблюдать с помощью подходящих телескопов.
668 VI. ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
Это излучение приходит вполне равномерно по всем направлениям для
данного наблюдателя. Если выбрать другого наблюдателя, движущегося
относительно первого, то для него более интенсивное излучение будет при-
приходить с того направления, в котором он движется, и менее интенсивное—
с противоположной стороны. Таким образом, данное реликтовое излучение
будет симметричным только для одного наблюдателя. Иными словами,
естественное микроволновое излучение будет симметричным только по от-
отношению к одному выделенному наблюдателю. Можно сказать, что именно
этот выделенный наблюдатель находится в состоянии покоя в некотором
абсолютном смысле — возможно, по отношению к эфиру. Это утверждение
противоречит точке зрения Эйнштейна.
Если использовать микроволновое излучение, то наблюдать скорость
движения Земли относительно эфира оказывается возможным. При этом
обнаруживается, что Земля и в целом Солнечная система движутся очень
быстро, и скорость этого движения можно измерить. Единственная при-
причина нулевого результата опыта Майкельсона и Морли (и, соответственно,
невозможность обнаружения ими движения Земли в абсолютном смысле)
состояла в неадекватности их экспериментальной техники. Современные
методы позволяют добиться гораздо большего, чем это было во времена
Майкельсона и Морли — ведь с тех пор прошел уже почти век! Более
тонкими методами можно установить наличие абсолютного нуля скорости.
Казалось бы, теперь можно сказать, что наличие реликтового излу-
излучения показывает, что Эйнштейн ошибался и, следовательно, все здание
теории относительности разрушается. Однако этот факт отнюдь не ли-
лишил значения работу Эйнштейна, поскольку ее важность лежит в иной
плоскости. Не следует утверждать, что теория Эйнштейна основана ис-
исключительно на согласии с экспериментом, поскольку подобное согласие
имеет место только при использовании достаточно развитой техники экс-
эксперимента. В абсолютном смысле такое согласие более не имеет места.
Действительная заслуга Эйнштейна состояла в том, что он ввел в физику
преобразования Лоренца как нечто фундаментальное. Всю физику следует
описывать в пространстве Минковского, в котором действуют преобразо-
преобразования Лоренца. Я бы сказал, что эта идея является наиболее важной из
всех новых идей, введенных Эйнштейном. Исключительная важность этой
идеи не разрушается более совершенной техникой эксперимента, которая
может сократить базис, использованный Эйнштейном при формулировке
его теории.
Я постараюсь проиллюстрировать важность необходимости формули-
формулировки всей нашей физической теории в пространстве Минковского при на-
наличии преобразований Лоренца. Это можно сделать на многих примерах.
Один из них связан с французским физиком де Бройлем. При изучении
взаимосвязей между волнами и частицами с использованием преобразо-
преобразований Лоренца, де Бройль установил, что между частицами и волнами
существует взаимосвязь, инвариантная относительно преобразований Ло-
Лоренца. Это, в свою очередь, привело его к постулированию существования
50. ПОЧЕМУ МЫ ВЕРИМ В ТЕОРИЮ ЭЙНШТЕЙНА 669
волн, сопоставляемых частицам. Эта идея оказалась фундаментальной
для атомной физики; она была подхвачена и развита Шрёдингером. Эта
идея оказалась справедливой в качестве основы всего здания современной
атомной теории.
Дальнейшее развитие теории преобразований Лоренца показывает, что
если вы пытаетесь установить уравнение движения электронов, согласую-
согласующееся с преобразованиями Лоренца и фундаментальными законами кван-
квантовой механики, вы приходите к теории, которая дает объяснение спину
электрона. Если вы идете несколько дальше, то вы приходите к существо-
существованию антиматерии. Все это — следствия из преобразований Лоренца. Все
эти выводы следуют непосредственно из предположения Эйнштейна о том,
что в физике доминируют преобразования Лоренца. Это доминирование
чрезвычайно важно. Оно оказало влияние на всю физику, начиная с тех
пор, как преобразования Лоренца были введены в начале XX столетия.
Я мог бы представить все эти проблемы несколько иначе — например,
таким образом: преобразования Лоренца очень красивы с математической
точки зрения. Между тем Эйнштейн сформулировал идею о том, что
все красивое с математической точки зрения будет, по всей вероятности,
полезным и с точки зрения описания Природы в фундаментальной физике.
Эта идея является значительно более глубокой, чем любая из высказанных
ранее. Я полагаю, что мы обязаны Эйнштейну более чем кому-либо дру-
другому формулировкой идеи о том, что математические уравнения должны
быть красивы, чтобы описывать фундаментальные физические теории.
Именно эта ситуация имеет место в специальной теории относительно-
относительности. Я бы сказал, что причина, по которой мы верим в эту теорию, состоит
в том, что в этой теории важное значение придается преобразованию
Лоренца, обладающему математической красотой. Для этого безусловно
нет никаких философских оснований, и мы также не можем сказать, что
эта идея поддерживается экспериментом (в том случае, если мы допускаем
эксперименты с наиболее современной техникой). Можно сказать, что идея
справедливости преобразований Лоренца доминирует в атомной теории.
Поскольку примеры, где проявляется наличие особого нуля скорости от-
относятся к области космологии, при развитии атомной теории их следует
исключить из рассмотрения.
Общая теория относительности
Выше мы рассмотрели ситуацию со специальной теорией относительно-
относительности. Посмотрим теперь, что происходит в общей теории относительности.
Она была сформулирована Эйнштейном в 1916 году и возникла при попыт-
попытке согласовать гравитацию с идеями специальной теории относительности
и преобразованиями Лоренца. Эта проблема оказалась очень трудной:
она отняла у Эйнштейна много лет, и решение было получено им только
в 1916 году в разгар войны.
670 VI. ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
В то время в Англии никто ничего не знал о работах Эйнштейна за
исключением одного человека — выдающегося астронома Эддингтона. Эд-
дингтон поддерживал контакты с де Ситтером, находящимся в нейтраль-
нейтральной Голландии. В свою очередь, де Ситтер поддерживал контакты с Эйн-
Эйнштейном, так что Эддингтон оказался косвенно в контакте с Эйнштейном.
Эддингтон был чрезвычайно заинтересован в общей теории относительно-
относительности, развиваемой Эйнштейном. В частности, он хотел знать, будет ли она
в согласии с данными астрономических наблюдений. Это согласие можно
было проверить, поскольку теория Эйнштейна предсказывала некоторые
эффекты.
Имелись три непосредственно предсказанных эффекта. Один из них
был связан с движением планеты Меркурий. Долгое время было известно,
что движение этой планеты не описывалось адекватно законами Ньютона.
Перигелий орбиты Меркурия по данным наблюдений перемещался таким
образом, который не мог быть объяснен по Ньютону. Он опережал «ньюто-
«ньютоново» движение на 42 угловых секунды в столетие, что является величиной
хоть и малой, но вполне достаточной для наблюдения и измерения астроно-
астрономами. Вскоре было обнаружено, что теория Эйнштейна объясняет эффект
«опережения» перигелия Меркурия и дает как раз требуемое значение 42
секунды за сто лет. Это было первым успехом теории Эйнштейна.
Другой способ проверки теории Эйнштейна основывался на том, что
согласно этой теории свет, проходя вблизи Солнца, должен был отклонять-
отклоняться. Подобное отклонение имело место и согласно старой теории Ньютона.
Однако согласно Эйнштейну это отклонение должно было быть вдвое
больше ньютонова. Это предсказание можно было проверить наблюдением
во время полного солнечного затмения. В любое другое время подобное
измерение было невозможно, поскольку свет от Солнца был слишком
интенсивным, так что по сравнению с ним свет от любых других звезд,
проходящий вблизи Солнца, не был бы достаточно заметен. Поэтому было
необходимо подождать подходящего полного солнечного затмения.
Эддингтон обратил внимание на то, что в мае 1919 года должно было
произойти полное солнечное затмение, очень удобное для проверки описан-
описанного эффекта. Он провел подготовительные работы по организации экспе-
экспедиции для наблюдения затмения. Разумеется, он очень хорошо понимал,
что было бы совершенно невозможно послать такую экспедицию прежде
чем не кончится война. Однако Эддингтон надеялся, что к этому време-
времени война закончится— и, к счастью, именно так и случилось. Эддингтон
снарядил две экспедиции, одну из которых он возглавил лично. Он провел
наблюдения отклонений света от звезд, находящихся непосредственно за
Солнцем, в момент полного солнечного затмения. Результаты этих наблю-
наблюдений подтвердили теорию Эйнштейна.
После оглашения этих результатов в ноябре 1919 года в обществе воз-
возникло чрезвычайное возбуждение. Я сомневаюсь в том, что когда-либо
существовало научное открытие, вызвавшее столь сильный эффект в об-
общественном мнении. Этим открытием была теория Эйнштейна, о которой
50. ПОЧЕМУ МЫ ВЕРИМ В ТЕОРИЮ ЭЙНШТЕЙНА 671
столь долго говорили в обществе и которая была действительно подтвер-
подтверждена наблюдениями.
Результаты не были столь уж точными ввиду больших трудностей
постановки этих экспериментов. Однако они были все же настолько на-
надежны, насколько можно было ожидать в то время. В дальнейшем ряд
экспедиций также организовывался для наблюдений эффекта Эйнштейна
во время полных солнечных затмений, и все они—с большей или мень-
меньшей точностью — подтверждали наличие этого эффекта. Соответствую-
Соответствующая точность во всех случаях определялась тем, что можно было ожидать
при имевшихся условиях наблюдения.
Этот эффект может быть также проверен астрономически на основе
использования радиоволн вместо света. Если имеется источник радио-
радиоволн — например, соответствующая звезда, расположенная позади Солнца,
то радиоизлучение этой звезды, проходя вблизи Солнца, также должно
отклоняться. Это наблюдение можно проводить в любое время, поскольку
Солнце достаточно интенсивные радиоволны не излучает. Поэтому для
наблюдения этого эффекта вовсе не обязательно дожидаться полного за-
затмения, и мы получаем, таким образом, независимый способ для проверки
теории Эйнштейна.
С этим способом связано некоторое осложнение: дело в том, что сол-
солнечная корона вызывает отклонение радиоволн. Однако это отклонение
различно для различных частот. Поэтому, сравнивая это отклонение для
двух различных частот, можно отделить влияние короны Солнца от эф-
эффекта Эйнштейна. Таким образом, мы получаем хорошее подтверждение
теории Эйнштейна.
Существовал и еще один, третий, эффект, который теория Эйнштей-
Эйнштейна предсказывала в то время. Этот эффект состоял в том, что должно
существовать красное смещение спектральных линий света, который из-
излучается в условиях сильного гравитационного поля. В качестве примера
естественно было рассматривать свет, излучаемый Солнцем. Следовало
изучить свет, испускаемый поверхностью Солнца, и сравнить его спек-
спектральные линии с аналогичными линиями света, созданного на Земле.
Однако этот путь проверки теории Эйнштейна оказался не самым лучшим,
поскольку движения атмосферы Солнца весьма интенсивны и приводят
к эффекту Доплера, который смазывает эйнштейново красное смещение
и не создает возможностей для определенной интерпретации результатов.
Однако даже в этих условиях теория Эйнштейна все же получила под-
поддержку на основе третьего предсказанного им эффекта.
Несколько лет спустя Эддингтон заметил, что этот эффект можно было
бы проверить более точно на некоторых типах звезд —так называемых
белых карликах, у которых вещество было чрезвычайно уплотненным и
компактным. Свет, испускаемый поверхностью белых карликов, проявляет
эйнштейново красное смещение очень сильно — значительно сильнее, чем
это имеет место у солнечного света. Если нам известно достаточно о белых
карликах, так что мы можем приближенно оценить их размеры и массу, то
672 VI. ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
мы сможем провести вычисления и получить при этом хорошее согласие
с теорией Эйнштейна.
Спустя довольно много лет было обнаружено, что третий эффект тео-
теории Эйнштейна может быть проверен с помощью экспериментов в земных
условиях, если использовать подходящее излучение —например, гамма-
излучение. Источник излучения в этом эксперименте устанавливается на
вершине башни, а детектор излучения —у ее основания. В этом случае
излучение распространяется сверху вниз и при этом его спектральные
линии испытывают смещение, обусловленное различием гравитационных
потенциалов на вершине башни и у ее основания. Именно на основе этих
земных экспериментов удается получить подтверждение третьего эффекта
Эйнштейна.
Далее я собираюсь говорить о четвертом способе проверки теории
Эйнштейна, а именно о том, что волны, проходящие вблизи Солнца, не
только отклоняются, но и замедляются. С этой целью пошлем сигнал
радара к планете, расположенной за Солнцем, а затем будем наблюдать
вернувшийся к нам отраженный сигнал. Если мы измерим время, затра-
затраченное этим сигналом на путешествие туда и обратно, то сможем про-
проверить, имеется ли подобное замедление. Именно этот опыт осуществил
в последние несколько лет Шапиро. При работе с радиоволнами вновь
будет сказываться солнечная корона. Однако и в этом случае влияние
короны можно отделить от эффекта Эйнштейна, используя различные
длины волн. И вновь результат подтверждает теорию Эйнштейна.
Еще одна проверка этой теории недавно была получена с помощью на-
наблюдений двойного пульсара. Пульсар— это звезда, излучающая радиовол-
радиоволны импульсным образом, но почти строго периодично. Если этот пульсар
входит в бинарную систему и образует двойную звезду с другой звездой
(вокруг которой пульсар обращается), то периодичность импульсов будет
изменяться в процессе движения, и этот эффект можно наблюдать. Если
пульсар проходит очень близко к своему «двойнику», возникает очень
большой эффект. Он подобен движению перигелия планеты Меркурий, но
значительно больше него. Этот эффект не дает достаточно точной провер-
проверки теории Эйнштейна, поскольку о различных параметрах, описывающих
двойную звездную систему, нам известно недостаточно. Тем самым, мы не
можем вычислить, каким должен быть этот эффект. Однако при разумных
оценках совпадение оказывается приближенно достаточным, и потому этот
эффект дает еще одну грубую проверку теории Эйнштейна.
Необходимость математической красоты
Итак, мы рассмотрели все наблюдения, которые были сделаны с того
времени, как Эйнштейн предложил свою общую теорию относительности.
Во всех случаях теория Эйнштейна подтверждается; она победоносно про-
прошла все тесты. На этом основании можно сказать, что теория Эйнштейна
имеет очень серьезное наблюдательное подтверждение.
50. ПОЧЕМУ МЫ ВЕРИМ В ТЕОРИЮ ЭЙНШТЕЙНА 673
Однако следует задаться вопросом: предположим, в каком-либо из
наблюдений обнаружится расхождение с теорией Эйнштейна. Как тогда
следует реагировать на это, и как бы реагировал на это сам Эйнштейн?
Я не думаю, что следует опасаться того, что основание теории Эйн-
Эйнштейна будет разрушено — даже в том случае, если расхождение будет
достаточно хорошо подтверждено. Скорее, следует интерпретировать это
расхождение таким образом, что возник некий новый эффект, еще не
получивший достаточного объяснения? Любую нашу теорию в любой мо-
момент времени следует рассматривать как некое временное состояние наших
знаний, которое всегда может быть улучшено. Любое возникающее рас-
расхождение или несоответствие между теорией и экспериментом не следует
воспринимать как фатальное для теории— скорее, это лишь указание на ту
работу, которую еще предстоит сделать. Подобные расхождения должны
стимулировать людей к поиску дальнейших изменений, которые смогут
объяснить полученное расхождение.
Я полагаю, что ситуация здесь весьма сходна с той, что имеет место
в специальной теории относительности, в которой с помощью современ-
современной техники измерений (примененной к наблюдению микроволн) удалось
найти абсолютный нуль скорости. Это обстоятельство не портит теорию
Эйнштейна, оно лишь указывает на ее неадекватность.
Вполне могло бы оказаться, что подобная неадекватность проявилась
бы и в общей теории относительности, однако пока этого не произошло.
Тем не менее, нас не должно особенно беспокоить, если подобное произой-
произойдет в будущем. Не следует рассматривать подобное обстоятельство как раз-
разрушающее основания теории. Я полагаю, что основания теории значитель-
значительно надежнее, чем то, что можно получать из обычных экспериментальных
наблюдений. Настоящее обоснование покоится на большой красоте теории.
Основания теории обусловлены тем, что Эйнштейн выдвинул новые идеи о
пространстве, которые представляются весьма волнующими и чрезвычай-
чрезвычайно элегантными Они сохранят свое значение вне зависимости от того, что
откроет нам будущее. Эти идеи основаны на возможности описания физи-
физической силы, например, гравитации непосредственно в терминах свойств
пространства. Эти идеи привели к воззрению на физические поля в общем
случае как и на возмущения пространства, подобные его кривизне.
Для нематематика понятие кривизны пространства несколько затруд-
затруднительно для понимания, хотя математики уже очень привыкли к нему.
Эйнштейн ввел самое простое понятие кривизны пространства, впервые
изученное математически Риманом более ста лет тому назад. Риман раз-
разработал основы той математики, которую Эйнштейн использовал в своей
общей теории относительности, подобно тому как Лоренц заложил мате-
математические основы специальной теории относительности.
Именно необычайная красота, присущая обеим теориям, является, по
моему мнению, истинной причиной того, почему мы верим в эти тео-
теории. Это соображение должно доминировать и во всем будущем развитии
физики, ибо это нечто такое, что не может быть разрушено, если да-
22 П.Дирак. TIV
674 VI. ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
же в будущем обнаружатся экспериментальные расхождения. Их следует
в этом случае рассматривать не более как неадекватности в современном
состоянии нашей теории.
Модель Вселенной
Существует один аспект, в котором теория Эйнштейна в ее совре-
современном виде является очевидным образом неадекватной. Это — теория,
дающая уравнения гравитационного поля, но не содержащая достаточно
полных уравнений, которые могли бы дать ответы на определенные про-
проблемы. Для этой цели помимо уравнений поля необходимо задать еще и
граничные условия. Необходимо знать что-либо об условиях на очень боль-
больших расстояниях. До настоящего времени обычно использовалось предпо-
предположение о том, что при изучении гравитационного поля некоторых масс
можно считать пространство на очень большом удалении от них плоским
пространством Минковского. Это предположение, безусловно, не является
правильным, хотя с его помощью удалось описать явления в Солнечной
системе.
Чтобы понять условия на больших расстояниях, следует иметь модель
Вселенной. Иными словами, следует как-то представлять себе, на что
похожа Вселенная на тех пространственных масштабах, где локальные
нерегулярности, обусловленные рассеянными повсюду звездами и галак-
галактиками, уже сглажены.
Сам Эйнштейн осознавал необходимость в таких граничных условиях
и, следовательно, в модели Вселенной. Эйнштейн предложил определен-
определенную статическую модель, известную как цилиндрическая модель Эйн-
Эйнштейна. Вскоре было осознано, что эта модель не годится, поскольку
по данным наблюдений, все вещество на больших расстояниях от нас
(например, далекие галактики) удаляется от нас и друг от друга. Это
противоречит модели Эйнштейна, и потому он отказался от нее.
Вскоре после этого де Ситтером была предложена другая модель. Эта
модель правильно описывала поведение вещества, которое на очень боль-
больших расстояниях удаляется от нас, и в этом отношении модель де Ситтера
была удовлетворительной. Однако в другом отношении с ней нельзя было
согласиться, ибо она требовала, чтобы средняя плотность вещества во
Вселенной была равна нулю. Это, разумеется, невозможно, так что от
модели де Ситтера также следовало отказаться.
После этого было предложено и обсуждено большое число моделей. Об-
Общие теории были выдвинуты, в частности, Фридманом и Леметром. Среди
всех этих моделей имеется одна, на которую я хотел бы обратить ваше
внимание. Она была предложена совместно Эйнштейном и де Ситтером и
возникла в результате их совместных усилий в 1932 году. В этой модели
удалось описать удаление вещества на очень большие расстояния, совме-
совместив его с ненулевой средней плотностью вещества (она была примерно
равна измеренному значению). Эта модель Эйнштейна-де Ситтера была
50. ПОЧЕМУ МЫ ВЕРИМ В ТЕОРИЮ ЭЙНШТЕЙНА 675
простейшей приемлемой моделью, в которой отсутствовали очевидные
недостатки.
Я бы хотел рассмотреть модель Эйнштейна-де Ситтера с точки зрения
общих соображений. Я полагаю, что это очень хорошая модель, на которой
будет основано развитие космологии в будущем. Очевидно, что это про-
простейшая приемлемая модель, которая позволяет, в частности, Вселенной
иметь начало в определенный момент времени (называемый обычно мо-
моментом Большого Взрыва). После этого катастрофически огромного взры-
взрыва Вселенная, согласно модели Эйнштейна-де Ситтера, должна всегда
только расширяться. Иными словами, как принято говорить в религии,
это мир без конца.
Многие другие из предложенных моделей предполагают, что Вселен-
Вселенная расширяется до определенного предела, после чего вновь начинает
сжиматься. Это является необязательным усложнением и, как я пола-
полагаю, оно бездоказательно. Я бы предпочел, чтобы использовалась модель
Эйнштейна-де Ситтера, в которой имеется лишь неизменное расширение
на всех временах, однако темп этого расширения постоянно замедляется —
тем не менее, это расширение не прекратится никогда.
Закон расширения Вселенной очень хорошо согласуется со свойствами
микроволнового излучения. На эту тему можно было бы сказать немало,
но мне не хотелось бы входить в технические детали. Я отдал немало лет
разработке этих идей на основе модели Эйнштейна-де Ситтера, которой
я лично весьма удовлетворен, хотя она еще должным образом не под-
подтверждена. Однако я надеюсь, что вскоре подобное подтверждение будет
получено. Я бы хотел остановиться здесь и был бы счастлив ответить на
любые вопросы.
22*
51
МАЛЕНЬКАЯ «ПРЕДЫСТОРИЯ» *)
Это была превосходная школа естественных наук и современных язы-
языков. В ней не было никакой латыни или греческого, чему я был даже рад,
потому что не осознавал ценность древних культур. Я считаю, мне очень
повезло в том, что я мог посещать такую школу.
Я учился там в течение 1914-1918 г.г., т.е. во время Первой мировой
войны. Многие из моих соучеников тогда покинули Школу ради служения
родине. В результате, старшие классы опустели, и на освободившиеся места
принимали учеников из младших классов, если они были подготовлены
к восприятию более продвинутой программы. Мне это оказалось на руку.
Я быстро справился с начальной школой и в достаточно раннем возрасте
оказался в старших классах, где приступил к изучению основ математики,
физики и химии. Математику я изучал по книгам, которые в основном
были малодоступны для моих одноклассников. Это быстрое продвижение
очень помогло в моей дальнейшей судьбе. Однако все это и создавало
мне определенные проблемы со спортивными играми, которые бывали у
нас регулярно по средам. Я играл в футбол и крикет преимущественно
с мальчиками, которые были старше и крепче меня, и никогда не показы-
показывал высоких результатов. Но в школьные годы учителя поддерживали и
поощряли мой интерес к естественным наукам.
Большое преимущество было в том, что наша школа располагалась
в том же здании, что и Технический колледж:. Этот колледж: работал по
вечерам, когда школа уже закрывалась. В нем были превосходные лабо-
лаборатории, которые днем оказывались доступными для школьников. Кроме
того, некоторые учителя днем работали в школе, а вечерами — в колледже.
A Little «Prehistory». The Old Cothamian. 1980. P. 9.
52
МОЯ ЖИЗНЬ В ФИЗИКЕ
Я хотел бы рассказать вам о своей жизни в физике и попытаться
объяснить, почему я довольно ко многим вещам отношусь иначе, чем
другие физики. Я пошел в школу, специализировавшуюся на математике,
физике, химии и современных языках. Мне очень повезло с этой школой:
она дала мне именно те предметы, которые я хотел, и в этой школе были
хорошие учителя. С первых же дней, которые я могу вспомнить, у меня
был интерес к математике и физике.
В школьные дни мне особенно повезло в следующем. Пока я ходил
в школу, шла война — Первая мировая война. Это привело к тому, что все
старшие юноши были призваны в армию, и потому младшие —по мере
того, как им удавалось овладевать знаниями — переводились на высшие
формы обучения, чтобы заполнить образовавшиеся пустоты. Таким обра-
образом и я оказался переведенным на высший уровень обучения и познако-
познакомился с основными идеями математики и естественных наук раньше, чем
это могло бы случиться при обычных обстоятельствах. Я полагаю, что
это дало мне преимущество. Мне не пришлось ждать, чтобы выполнить
условие отбора по возрасту, и я все время продвигался вперед со скоростью,
которая определялась лишь моей способностью к усвоению нового знания.
Таким образом я изучил такие вещи, как основания механики, математи-
математический анализ и атомную теорию в химии в более раннем возрасте, чем
остальные дети.
Покинув школу, я продолжил обучение на инженерном факультете
Бристольского университета, который размещался в том же здании, что и
школа, и имел прекрасные лаборатории. И вновь по причине войны я был
вынужден продвигаться вперед как можно быстрее, так что к университет-
университетскому курсу я приступил в возрасте шестнадцати лет. Война окончилась
вскоре после моего поступления в университет.
Курсы технических наук повлияли на меня очень сильно. До этого я
интересовался только строгими математическими соотношениями. Любые
приближения представлялись мне неприятными, и мне хотелось избежать
их, но в качестве инженера я учился относиться к ним терпимо. Инже-
Инженер имеет дело с реальным миром, поэтому проводя относящиеся к нему
вычисления, он вынужден все время делать приближения. Хороший ин-
инженер—это тот, кто обладает чутьем, какое приближение окажется хоро-
хорошим, а какое приведет к проблемам. Я научился тому, что при описании
*) My Life as a Physicist // In: The Unity of Fundamental Interactions / Ed. A. Zichichi. —
N.Y.: Plenum, 1983. P. 733-749.
678 VI. ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
Природы следует быть терпимым к приближениям; более того, работа
с приближениями может быть интересной, а временами и математически
красивой.
Другая важная вещь, которую я понял во время своего инженерного
образования, была связана с теорией относительности. Я начал учить-
учиться в Бристольском университете в 1918 году, а уже в ноябре 1918 года
окончилась война, и мы внезапно услышали о теории относительности
и об Эйнштейне. Раньше ни о том, ни о другом не знал никто, кроме
очень немногих специалистов в университетах. На инженерном факультете
в Бристоле не было никого, кто бы хоть что-нибудь знал об этих предметах.
И вдруг что-то «взорвалось» в мире, который был сыт войной и жаждал
новых идей. И теория относительности стала именно тем, чего все так
ждали.
Однако никто не располагал какой-либо точной информацией — таких
людей не было не только среди студентов, но даже среди профессоров. Нам
оставалось лишь обсуждать теорию относительности на основе информа-
информации, сообщавшейся в популярной прессе. Однако эта информация была
в основном философской и не содержала никаких требуемых уравнений.
Будучи инженерами, мы основывали всю свою работу на механике Нью-
Ньютона, а теперь мы услышали, что Ньютон каким-то непонятным образом
оказался неправ. Это было большой неожиданностью для нас. Никто не
понимал, в чем состоит «ошибка». Однако нам следовало считать, что
законы Ньютона неточны. Это привело меня к мысли о том, что любые
законы Природы являются, возможно, лишь приближениями и могли бы
быть модифицированы с развитием наших знаний.
В Англии находился Эддингтон, единственный человек, который дей-
действительно понимал Эйнштейна и теорию относительности. Так случилось
потому, что у Эддингтона был друг в Голландии по имени де Ситтер.
Голландия была нейтральной страной, и потому Эддингтон и де Ситтер
могли общаться друг с другом, тогда как де Ситтер, кроме того, мог также
общаться с Эйнштейном в Германии. Таким косвенным путем Эддингтон
узнал о теории Эйнштейна, полностью овладел ею и начал объяснять ее
другим людям. Он был очень успешным популяризатором. Однако при-
пришлось все же подождать несколько лет, пока Эддингтон не опубликовал
свою книгу по математическим основам теории относительности — только
тогда мы наконец получили адекватную основу для изучения уравнений.
Когда эта книга появилась, математической подготовки студентов инже-
инженерных факультетов оказалось достаточно, чтобы полностью прочитать ее
и действительно овладеть основами этой теории.
Этот «инженерный» период моей жизни показал мне ценность при-
приближений при изучении Природы. Возможно, все наши законы физики
являются лишь приближенными, и наше познание Природы следует рас-
рассматривать как не имеющее какого-либо окончательного завершения. Все
может оказаться предметом модификации по мере расширения наших
знаний в будущем. Мне кажется, что мы всегда должны иметь это в виду.
52. МОЯ ЖИЗНЬ В ФИЗИКЕ 679
Все, чем мы располагаем в науке, не есть окончательная истина, но может
быть подвержено изменениям по мере накопления знаний.
Я закончил курс инженерного обучения через три года (в 1921 году),
а затем обнаружил, что в качестве инженера не могу найти себе работу.
В то время мной овладела депрессия. Я продолжил изучение математики
в Бристольском университете, и это длилось еще два года.
В математическом образовании меня более всего интересовала проек-
проективная геометрия. Эту дисциплину физики не особенно много использу-
используют, однако я обнаружил, что овладеть основами проективной геометрии
действительно очень полезно. Они образуют мощное обобщение эвклидо-
эвклидовой геометрии. Я постоянно использую проективную геометрию в своей
научной работе, хотя вы и не найдете ссылки на нее в моих опубликован-
опубликованных статьях. Я использую ее для наглядного изображения связей между
векторными и тензорными величинами как в пространстве Евклида, так
и в пространстве Минковского. Таким образом можно сделать эти связи
более наглядными, после чего можно, разумеется, объяснить их и без
использования проективной геометрии.
Во всех моих опубликованных работах я избегал подобного использо-
использования, поскольку полагал, что большинство физиков не оценили бы идеи
проективной геометрии, а их изучение не представлялось существенным.
Тем не менее эти идеи оказывают большую поддержку в исследованиях.
Вы не можете как следует строить изображения непосредственно в че-
четырехмерном пространстве. Однако связи между векторами можно очень
хорошо изобразить в трех измерениях с помощью проективной геометрии.
В Бристоле был очень хороший преподаватель этой дисциплины, м-р Фрэ-
Фрэзер. Этот человек никогда не вел какой-либо исследовательской работы,
но был в высшей степени стимулирующим преподавателем.
После двух лет изучения математики в Бристоле, я продолжил свои
занятия в Кембридже в качестве аспиранта; мне помогала небольшая сти-
стипендия, назначенная правительством. Моим научным руководителем стал
Р.Х. Фаулер, который был специалистом в области статистической меха-
механики и квантовой теории. Именно в то время я впервые узнал о боровских
орбитах. По-видимому, в Бристоле никто не знал о них —по крайней мере,
о них в моем присутствии никто не упоминал. Инженерный факультет не
имел дела с боровскими орбитами и, соответственно, с относившейся к ним
математикой, которую я изучал.
Для меня было полной неожиданностью обнаружить, что для описания
условий внутри атома можно использовать уравнения, подобные уравнени-
уравнениям Ньютона, которые следовало применять с учетом некоторых специаль-
специальных условий. Меня очень взволновали эти боровские орбиты, и я активно
изучал их. Следовало знать о них как можно больше. Однако приходилось
ограничиваться лишь очень примитивным их использованием. Большая
проблема состояла в том, каким образом различные боровские орбиты
в атоме взаимодействуют друг с другом. Работая с боровскими орбита-
орбитами, было иногда полезно использовать гамильтоновы методы динамики,
680 VI. ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
поэтому я весьма подробно изучил гамильтонову динамику. Сюда входит,
в частности, весьма обширная теория преобразований, которую я также
изучил.
Я очень интенсивно работал над вопросом о расширении использования
боровских орбит и некотором понимании их взаимодействия внутри атома.
Однако эта работа оказалась по существу бесплодной и ни к чему не
привела.
Внезапный перелом произошел в 1925 году, когда Гейзенберг ввел свою
матричную механику. Гейзенберг полностью отказался от идеи боровских
орбит. Он сосредоточился на величинах, более тесно связанных с наблю-
наблюдениями, а не с боровскими орбитами. Каждая из этих величин связана
с двумя стационарными состояниями атома, и все эти величины вместе
образуют матрицу. Мне в то время потребовалось много усилий для того,
чтобы отказаться от боровских орбит. На это ушло довольно много време-
времени, поскольку до того я был столь сильным их приверженцем.
Я впервые получил копию работы Гейзенберга за несколько недель до
ее публикации. Эта копия была направлена Фаулеру, который и передал
ее мне. Я вспоминаю, что по первом прочтении этой работы она мне не
понравилась. Я не увидел в ней ничего интересного для себя и отложил
ее в сторону. Я вернулся к ней спустя две недели и вдруг осознал, что она
дает ключ ко всему вопросу о построении атомной механики. Поэтому я
с волнением вновь принялся за ее изучение.
Гейзенберг ввел матричные элементы, каждый из которых был связан
с двумя уровнями энергии. В то время я был поглощен теорией относи-
относительности, и возникшая первая мысль была о том, что каждый матричный
элемент должен быть связан не только с двумя значениями энергии, но
и двумя значениями импульса. Совершенно естественно было думать об
этом в описанных выше условиях. Далее мне показалось, что не вполне
правильно было бы позволить этим значениям импульса быть совершенно
произвольными; возможно, их следовало как-либо ограничить. Естествен-
Естественным ограничением было бы считать, что скачок импульса равен скачку
энергии, умноженному на с. Это было моим первым скромным вкладом
в квантовую механику. Я никогда не публиковал этот результат, поскольку
вскоре оказался вовлечен в значительно более фундаментальные идеи. Тем
не менее, эта оригинальная идея была использована мною позднее в работе
по эффекту Комптона.
Первый серьезный успех, достигнутый мною в квантовой теории, со-
состоял в осознании аналогии между двумя величинами: коммутатором двух
динамических переменных uv — vu (отличным от нуля) в матричной меха-
механике Гейзенберга и скобкой Пуассона в классической механике. Я помню,
что эта идея пришла мне в голову во время загородной прогулки, и я был
ею очень взволнован. Я не мог проверить ее немедленно, поскольку не был
уверен в точном определении скобок Пуассона. Это было нечто, о чем я
читал во время изучения гамильтоновых методов, но моя память не очень
отчетливо сохранила этот вопрос. Мне пришлось ждать до того момента,
52. МОЯ ЖИЗНЬ В ФИЗИКЕ 681
пока мне удалось пойти в библиотеку и проверить, верны ли мои идеи.
Я обнаружил, что с ними действительно все в порядке.
Чтобы напомнить, о чем идет речь, следует иметь в виду, что в ранней
литературе по гамильтоновым методам и связанных с ними инвариантам
упоминаются два скобочных выражения, а именно скобка Пуассона и
скобка Лагранжа. Скобка Лагранжа не имеет значения для квантовой
механики, тогда как скобка Пуассона, напротив, очень существенна. Мне
показалось, что использование обозначения для скобки Пуассона в ви-
виде круглой скобки не вполне удобно, поскольку такое обозначение было
непривычно для какой-либо величины, антисимметричной по входящим
в нее двум другим величинам. В частности, это обозначение резко отлича-
отличается от используемого в векторном анализе. Поэтому я смело ввел новое
обозначение для скобки Пуассона в виде квадратной скобки, и я горд тем,
что люди последовали моему примеру, и сейчас это обозначение стало
общепринятым. Никто теперь не использует скобки Лагранжа.
Следует сказать, что появление некоммутативной алгебры было в то
время величайшей неожиданностью. Это было нечто совершенно чуждое
тому, о чем когда-либо прежде думали физики. Я слышал, что Гейзен-
берг был очень обеспокоен этим обстоятельством и даже интересовался
тем, не следует ли на этом основании полностью отказаться от развитой
им теории. Этого не случилось только потому, что Гейзенберг получил
большую моральную поддержку от своего учителя, профессора Макса
Борна. Оказывается, что в этом и состоит действительно фундаментальное
различие между новой механикой и предшествующей механикой Ньютона,
развитой Лагранжем, Гамильтоном и другими.
После того, как возникла идея о взаимосвязи между коммутатором
двух переменных в новой теории Гейзенберга и скобкой Пуассона, была
создана основа для быстрого продвижения вперед. Я был полон энтузи-
энтузиазма и отдавал всю свою энергию развитию этой новой теории. Затем
Шрёдингер выдвинул еще одну новую теорию, которую я сначала даже
не воспринимал. Мне вполне хватало механики Гейзенберга и я хотел
лишь продолжать дальше развивать ее. Мне вовсе не хотелось привыкать
к новым идеям, которые требовала теория Шрёдингера. В общем, это было
весьма нежелательным отклонением в сторону. Однако затем обнаружи-
обнаружилось, что теория Шрёдингера отнюдь не противоречит теории Гейзенберга,
но, напротив, дополняет ее.
Теория Шрёдингера была большим подспорьем в обеспечении физи-
физического истолкования новой механики, созданной Гейзенбергом. В физике
создалась тогда совершенно беспрецедентная ситуация, когда мы работали
с уравнениями и не знали точно, какова их физическая интерпретация.
Было несколько простых примеров, где нам удавалось что-то угадать. Мы
выбирали определенную зависимость энергии от координат и импульсов, и
нам удавалось найти ее собственные значения. Кстати, по поводу обозна-
обозначений: англоязычные авторы не использовали термин eigenvalue — вместо
этого они использовали термин proper value. Мне показалось это не вполне
682 VI. ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
удобным. Я настаивал на использовании первого термина, и в конце концов
именно он стал общепринятым.
Теория Шрёдингера оказала большую помощь в развитии физиче-
физической интерпретации новой механики, в основе которой лежало понятие
вероятности. Если имелась волновая функция Шрёдингера, то следовало
взять квадрат ее модуля и рассматривать его как вероятность того, что
некоторые переменные имеют некоторые значения. Мне удалось построить
общую теорию преобразований в новой механике, которая позволяла вы-
выразить функцию Шрёдингера через любые коммутирующие переменные,
имеющие определенные значения. Я думаю, что именно эта теория преоб-
преобразований является той частью моей работы в физике, которая доставила
мне наибольшее удовлетворение, поскольку я следовал определенной це-
цепочке идей, а не только каким-то удачным догадкам. Это последовательное
логическое развитие привело к полной теории преобразований.
Если прочесть ранние работы Шрёдингера, то можно видеть, что
все они — нерелятивистские. Действительно, исходная идея Шрёдингера
состояла в том, что частицам сопоставлялись волны (введенные ранее
де Бройлем), причем волны де Бройля были связаны с частицами ре-
релятивистским образом. Таким образом, исходная идея де Бройля была
релятивистской. Однако, тем не менее, все ранние работы Шрёдингера
были нерелятивистскими. Как это могло произойти? Много лет спустя
Шрёдингер во время нашей короткой беседы объяснял, что он впервые по-
получил свое волновое уравнение в качестве обобщения уравнения де Бройля
для электрона, движущегося в электромагнитном поле. Это уравнение,
впервые полученное Шрёдингером, было релятивистским.
Далее, разумеется, Шрёдингер применил его к электрону в атоме во-
водорода, получив при этом результаты, не согласующиеся с наблюдением.
Причина этого несовпадения был в том, что в уравнении не было отражено
наличие у электрона спина. В то время только начинали думать о спине
электрона, но никакой развитой теории еще не было. Впервые введенное
Шрёдингером уравнение вообще не содержало упоминания о спине и пото-
потому дало неверный результат. Обнаружив это, Шрёдингер был чрезвычайно
разочарован. Он решил, что вся его идея неверна и по сути дела отказался
от нее. Лишь спустя несколько месяцев он вновь вернулся к своей работе и
заметил, что в нерелятивистском приближении результат его вычислений
согласуется с наблюдениями. Поэтому он и опубликовал свой результат
именно в этом приближении.
Первоначальное уравнение Шрёдингера было позднее переоткрыто
Клейном и Гордоном, которые опубликовали этот результат. Поэтому это
уравнение известно теперь как уравнение Клейна — Гордона, хотя оно было
задолго до того открыто Шрёдингером. Я бы сказал, что у Шрёдингера
просто не хватило смелости опубликовать результат, который явно проти-
противоречил наблюдениям. В наше время у людей нет недостатка в подобной
смелости. По-видимому, Шрёдингер оказался слишком робок, и вследствие
этой робости развитие квантовой теории было несколько задержано.
52. МОЯ ЖИЗНЬ В ФИЗИКЕ 683
Уравнение Клейна-Гордона — это уравнение второго порядка по про-
производной d/dt. Оно является вполне релятивистским, однако оно не со-
соответствует обычному типу уравнений, имеющихся в квантовой механике,
к которым применима общая теория преобразований. Этот факт поставил
передо мной проблему получения релятивистской теории электрона, и я
некоторое время занимался этой проблемой. Я вспоминаю, как в этот пе-
период (во время Сольвеевского конгресса в 1927 году) Бор подошел ко мне и
спросил: «Над чем Вы сейчас работаете?» Я ответил, что пытаюсь создать
релятивистскую теорию движения электрона. На это Бор возразил, что
эта проблема уже решена Клейном и Гордоном.
Мне хотелось объяснить Бору, что решение Клейна и Гордона не было
удовлетворительным, поскольку оно не согласовалось со стандартной тео-
теорией преобразований в квантовой механике. Эта теория требовала, чтобы
волновое уравнение было линейным по d/dt. Тогда можно было бы исполь-
использовать квадрат модуля волновой функции для определения вероятности
принимать определенные значения любым коммутирующим переменным.
Мне хотелось объяснить Бору мою неудовлетворенность состоянием этого
вопроса в то время, однако мне не удалось этого сделать, поскольку нача-
начало следующей лекции прервало нашу частную беседу в перерыве между
лекциями.
Тем не менее, я продолжал работать над этой проблемой. Она состояла
в том, чтобы получить волновое уравнение, которое было бы совместимо
с основаниями квантовой механики и , тем самым, с развитой мною тео-
теорией преобразований. Теория преобразований требовала, чтобы волновое
уравнение было линейным по d/dt. Наконец, благодаря ряду удачных
догадок, как я понимаю, мне удалось наконец придумать новое волновое
уравнение, которое в настоящее время принято в качестве релятивистского
волнового уравнения электрона. Оно дает значения вероятностей нахож-
нахождения электрона в любой точке пространства.
При введении этого волнового уравнения, исключительно важное зна-
значение приобрела проблема отрицательных значений энергий электро-
электрона. Ранее отрицательные значения энергии также всегда присутствовали
в уравнении, но их наличие было как бы скрыто тем, что имели место
более серьезные трудности. Когда эти более серьезные трудности были
устранены, на первый план выдвинулись трудности с отрицательными
энергиями, которые требовалось также устранить. Мне удалось устранить
эти трудности посредством введения вакуума, в котором все состояния
с отрицательными энергиями были заполнены. Я также рассмотрел вопрос
о том, как выглядят состояния, в которых не заполнено лишь несколько
уровней с отрицательными энергиями.
Прежде всего я написал работу, в которой «дырки», или состояния
с отрицательными уровнями энергии, рассматривались как протоны, по-
поскольку эти дырки имели положительный заряд. В то время протоны
были единственными известными частицами с положительным зарядом,
а физическое «общественное мнение» было против постулативного вве-
684 VI. ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
дения новых частиц. Просто имелись две частицы - электрон и протон
с отрицательным и положительным зарядами соответственно, и больше
ничего было не нужно. Однако математики настаивали на том, что дырки
должны были иметь ту же массу, что и электрон, и потому должны были
представлять собой новую частицу. Несколько позже такая частица была
действительно обнаружена Андерсоном. Она была также независимо и
несколько раньше обнаружена Блэкеттом, однако Блэкетт задержал пуб-
публикацию своей работы. Эта задержка была связана с тем, что результат
имел статистический характер и не обладал той же определенностью, что
результат Андерсона, так что Блэкетт ждал подтверждения. Блэкетт был
излишне осторожен, так что заслуга этого открытия досталась Андерсону.
На этом этапе у нас имелась удовлетворительная теория для электрона,
движущегося в данном электромагнитном поле. В этой работе следова-
следовало двигаться постепенно, шаг за шагом, преодолевая трудности одну за
другой. Это относилось прежде всего к самым серьезным трудностям,
после преодоления которых наступала очередь следующих по уровню се-
серьезности трудностей и так далее. Это привело меня к точке зрения, что
и все развитие физики в целом напоминает этот процесс. Перед нами
стоит множество трудностей, и мы должны найти способ их объяснения —
по очереди, одной за другой. Достаточно много людей пытаются найти
окончательную теорию, которая объяснила бы все трудности сразу — воз-
возможно, это была бы великая объединенная теория.
Однако я полагаю, что это безнадежное предприятие. Надеяться на
такую теорию значило бы слишком переоценивать возможности челове-
человеческого разума. Я полагаю, что в будущем понадобится много идей, и
эти идеи будут возникать одна за другой, причем каждая из них будет
объяснять лишь одну из стоящих перед нами трудностей. Следует быть
вполне удовлетворенными, если удастся объяснить хотя бы одну неболь-
небольшую трудность и получить теорию, хоть в одном небольшом отношении
являющуюся улучшением предыдущей. Не следует быть слишком амбици-
амбициозными и надеяться, что нам удастся объяснить все трудности сразу.
Итак, работа, приведшая к теории электрона и позитрона, была приме-
применима только к частицам в заданном электромагнитном поле. Следующий
шаг состоял в том, чтобы обобщить эту работу таким образом, чтобы
она стала применимой к электромагнитному полю, которое само является
объектом квантовой теории, а именно к квантованному полю. Здесь мы
встретились с трудностью. Можно получить уравнения для электронов,
взаимодействующих с электромагнитным полем. При этом мы приходим
к определенной функции Гамильтона, приводящей к определенному урав-
уравнению Шрёдингера. Далее можно решать это уравнение Шрёдингера ме-
методами теории возмущений, стартуя с нулевого приближения, в котором
отсутствует взаимодействие между электронами и электромагнитным по-
полем, и получая далее последующие приближенные члены.
Этот метод представляется хорошим, поскольку константа взаимодей-
взаимодействия столь мала. Однако, переходя ко второму порядку приближения, мы
52. МОЯ ЖИЗНЬ В ФИЗИКЕ 685
обнаруживаем появление бесконечностей в решении уравнения Шрёдин-
гера. Таким путем в квантовой механике впервые появляются бесконеч-
бесконечности. Последующая работа по получению релятивистских теорий частиц
и взаимодействующих полей также всегда (за исключением тривиальных
случаев) приводила к подобным трудностям. Я бы сказал, что правильным
выводом отсюда был бы следующий: основание нашей теории неверно.
Однако у нас нет лучшего основания, поэтому исследователи просто
продолжают работать с уравнениями, содержащими бесконечности. Они
разработали способ обхода этих трудностей, просто закрывая на них глаза
и вычисляя остаточные эффекты, которые остаются, если принять под-
подходящую процедуру исключения этих бесконечностей (в частности, с по-
помощью перенормировки).
Используя бесконечный множитель перенормировки, вы в своем урав-
уравнении пренебрегаете бесконечно большими величинами, хотя для этого нет
никаких логических оснований. Вы пренебрегаете ими просто потому, что
вы не хотите иметь их в теории. Подобный подход мне представляется
неадекватным — прежде всего потому, что я обладаю инженерным образо-
образованием. Вы просто противоречите всем принципам, которым вас обучали
и которые действительно фундаментальны для вашей теории.
Что можно сделать, если вы отказываетесь отбрасывать бесконечно-
бесконечности? Вы можете попробовать построить квантовую электродинамику, вооб-
вообще не отбрасывая бесконечности, но вводя «обрезание» во взаимодействие
между электроном и полем, т. е. обрезание на определенных частотах поля.
Затем можно сказать, что члены взаимодействия на частотах, превышаю-
превышающих частоту обрезания, не появляются в уравнениях. Если поступить по-
подобным образом, то мы, конечно, сделаем теорию нерелятивистской, и она
станет уродливой. Однако, я полагаю, что даже при этом условии теория,
будучи нерелятивистской и уродливой, является все же предпочтительней
теории, которая столь сильно противоречит логике, что требует отбросить
бесконечные величины.
Я проделал немало работы с подобной квантовой электродинамикой
с обрезанием и пришел к выводу, что благодаря малости константы вза-
взаимодействия возможно ввести в некотором месте обрезание так, чтобы
поправки первого порядка в лэмбов сдвиг и аномальный магнитный мо-
момент электрона получились правильными. Однако изучать приближения
высшего порядка таким способом оказывается все же слишком слож-
сложно. Имеется большой экспериментальный материал, свидетельствующий о
том, что эти поправки высших порядков (полученные путем отбрасывания
бесконечностей) находятся в согласии с наблюдениями. Таким образом,
метод с обрезанием не может быть рекомендован, и я не думаю, что у этого
метода есть будущее.
Какова ситуация в настоящее время? Я по-прежнему не согласен с от-
отбрасыванием бесконечных величин, и я провел много времени в поисках
пути переформулировки релятивистской квантовой механики, в которой
не возникали бы бесконечности. Однако пока я не достиг никакого успе-
VI. ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
ха. Я пробовал несколько идей. Достаточно долгое время я работал со
взаимодействующими потоками частиц (вместо отдельных частиц). Для
таких потоков можно получить уравнения, которые не содержат также
и деталей взаимодействия, необходимых для получения конкретных ре-
результатов. Я бы сказал, что эта проблема еще не решена. Однако эта
очень насущная проблема —а именно построение улучшенной квантовой
механики, в которой бесконечности вообще не возникают. Несмотря на
то, что я потерпел неудачу, остается нечто, заслуживающее продолжения
исследований.
Следует тщательно рассматривать любую возможность продвинуться
в этом направлении. Другой вопрос, который очень интересовал меня,
связан с численным значением величины he/е2 (обратной к постоянной
тонкой структуры а), равной примерно 137. Вопрос состоит в том, по-
почему это значение именно таково? Почему Природа выбрала именно это
значение? Этот вопрос широко изучался, начиная с 1930 года. В частно-
частности, этим много занимался Эддингтон. Один из его аргументов сводился
к тому, чтобы сосчитать число степеней свободы, которое должно было
быть в точности равно 136. Затем он уточнил свои выводы с тем, чтобы
получить значение 137. Я активно изучал аргументы Эддингтона, однако
не смог понять их, и я не думаю, что это удалось кому-либо другому.
По Эддингтону требовалось, чтобы это число было точно равно 137, но
в то время это значение еще не было достаточно точно известно экспери-
экспериментально. Более поздние наблюдения указывают на то, что это число не
равно в точности 137 (и вообще не является в точности целым), поэтому
Эддингтон не мог быть прав. Я вообще не считаю, что в рассуждениях
Эддингтона была какая-либо логическая основа — во всяком случае, мне
не удалось ее обнаружить.
Я хотел бы также указать на другую работу по этой проблеме —
а именно, работу Эйлера и Кокеля. До того, как я расскажу об этой
работе, я должен объяснить модификацию классической электродинамики
Максвелла, предпринятую Борном. Борн предположил, что уравнения
Максвелла, с которыми мы все работаем, применимы лишь для слабых
полей. Если же мы переходим к сильным полям (полям, сравнимым со
значением электрического поля на поверхности электрона), то нам следует
изменить уравнения Максвелла. Борн создал простой и красивый способ
подобного изменения и подобрал коэффициенты таким образом, чтобы
полная кулонова энергия электрона в точности равнялась правильному
значению гас2. Эта теория была полностью классической, и на ее основе
распространение света уже не описывалось линейными уравнениями, так
что возникала возможность рассеяния света на свете. Вероятность такого
процесса может быть вычислена.
С другой стороны, в обычной квантовой теории тоже существует воз-
возможность рассеяния света на свете. Если встречаются два фотона, они мо-
могут взаимодействовать друг с другом и образовать электрон-позитронную
пару. Далее эта пара может вновь аннигилировать и образовать два фо-
52. МОЯ ЖИЗНЬ В ФИЗИКЕ 687
тона, движущиеся в противоположных направлениях. Далее, если даже
два исходных фотона не обладают достаточной энергией для образования
реальной электрон-позитронной пары, то они могут образовать подобную
виртуальную пару, и этого достаточно, чтобы возникло рассеяние света на
свете.
Итак, у нас имеются две теории, в которых свет рассеивается на свете —
теория Борна и стандартная квантовая электродинамика. Можно срав-
сравнить в обеих теориях коэффициенты, причем одна из теорий содержит
постоянную Планка, тогда как другая — нет. Поэтому при сравнении этих
теорий можно получить уравнение, которое выражает постоянную Планка
через электрический заряд. Таким образом можно получить постоянную
тонкой структуры, и Эйлер и Кокель провели соответствующее сравнение
и получили значение а, равное 82, тогда как должно было быть 137. Тем
не менее, такое расхождение еще не является слишком плохим.
Вскоре после публикации работы Эйлера и Кокеля этой проблемой
занялся Инфельд. Он указал, что имеются различные способы, с помощью
которых можно модифицировать обычную классическую электродинами-
электродинамику в соответствии с идеями Борна. Инфельд предложил альтернативный
подход к теории Борна, также основанный на довольно простом предполо-
предположении. Затем он провел сравнение вероятностей рассеяния света на свете
в соответствии со своей модификацией теории Максвелла и обычной кван-
квантовой теорией и получил значение а'1 = 130. Это значение гораздо лучше
прежнего; замечу, что если кого-либо заинтересует эта работа Инфельда,
то ее можно найти в журнале Nature (том 137).
Идеи работ Борна и Инфельда, устанавливающие связь между двумя
совершенно различными теориями, весьма интересны. Однако я все же
не думаю, что может быть достигнуто какое-либо окончательное решение
проблемы на этом пути. Чего бы нам действительно хотелось, так это полу-
получить квантовую электродинамику, в которой должно быть выполнено тре-
требование как можно более точного совпадения величины а со значением
137. Мы хотим иметь фундаментальные уравнения, которые справедливы
только тогда, когда а~г имеет только это единственное значение. Можно
ли найти такие уравнения?
Я посвятил много времени обдумыванию этого вопроса, и однажды
мне в голову пришла идея, в соответствии с которой, в теории электро-
электромагнитного поля должны возникать квантованные сингулярности. Однако
дальнейшее изучение этой идеи привело к появлению в уравнениях магнит-
магнитных монополей. Монополь обладает квантованным магнитным зарядом,
выраженным через электрический заряд электрона. Таким образом мы
приходим к теории, связывающей квантованный магнитный заряд моно-
поля с квантованным электрическим зарядом. Однако у нас отсутствует
информация относительно самого квантованного электрического заряда.
Когда я понял это, меня охватило большое разочарование. Однако лучшее,
что я мог сделать, — это опубликовать свою работу как теорию магнитного
монополя. Эта работа вызвала много последующих работ, часть из кото-
VI. ВОСПОМИНАНИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
рых была доложена на этой школе. Однако для меня эта работа осталась
лишь разочарованием, поскольку она ничем не помогла в решении фунда-
фундаментальной проблемы: почему величина а имеет именно то единственное
значение, которое она имеет.
Что до настоящего времени, то, по моему мнению, в физике перед нами
стоят две фундаментальные проблемы. Одна из них состоит в разработке
квантовой механики, свободной от бесконечностей, а вторая — в разработке
такой квантовой механики, которая определяет значение постоянной а, а
тем самым и фундаментального электрического заряда. Я посвятил нема-
немало лет этим вопросам и не достиг сколько-нибудь существенного прогресса.
Мне представляется, что для ответа на эти вопросы необходимы некото-
некоторые новые идеи, а не только вычисления, основанные на старых идеях.
Разумеется, очень полезно продолжать эти вычисления и смотреть на то,
какую информацию можно получать, пытаясь описать экспериментальные
результаты. Именно этим занимается сейчас большинство физиков в мире.
Однако мы не продвинемся сколько-нибудь далеко до тех пор, пока у
нас не появится новый Эйнштейн или новый Гейзенберг, которые дадут
совершенно новую идею, помогающую нам преодолеть эти две трудности.
Это и есть то основное, что я хотел рассказать вам.
Часть VII
Персоналии A940-1984)
53
Д-Р М. МАТИССОН *)
Безвременная кончина д-ра Майрона Матиссона 13 сентября с. г. в воз-
возрасте 43 лет прервала интересное направление исследований. В течение
многих лет д-р Матиссон занимался изучением общих законов динами-
динамики, управляющих движением частицы (обладающей, возможно, спином)
в гравитационном или электромагнитном поле. Им был развит мощный
оригинальный метод перехода от уравнений поля к уравнениям движения
частицы. Эта область исследований особенно актуальна в настоящее вре-
время, поскольку стало ясно, что квантовая механика неспособна устранить
трудности, возникающие при взаимодействии с полями точечных частиц.
В связи с этим необходим более глубокий анализ этих проблем в рамках
классической механики и теории поля. Особенно прискорбно то, что кон-
кончина д-ра Матиссона произошла прежде, чем были полностью прояснены
взаимосвязи его метода с методами других исследователей.
Д-р Матиссон вел научную работу в университетах Варшавы и Казани,
а также в институте, который он основал в Кракове; начиная с весны 1939
года эти работы продолжались в Кембридже.
Dr. M. Mathisson // Nature. 1940. V. 146. P. 613.
54
ПРОФЕССОР ЭРВИН ШРЁДИНГЕР *)
Эрвин Шрёдингер, умерший 4 января 1961 г., был человеком выдаю-
выдающихся способностей в применении абстрактных математических рассуж-
рассуждений к развитию физических теорий. Его крупнейшее открытие, имен-
именно волновое уравнение Шрёдингера как основа для описания атомных
процессов, было одним из наиболее изумительных успехов, достигнутых
в развитии научных знаний.
Шрёдингер родился в Вене в 1887 г. Он был студентом Венского уни-
университета в течение 1906-1910 гг. и ознакомился тогда в совершенстве
с проблемами собственных значений в физике сплошных сред, заложив,
таким образом, фундамент своей будущей большой работы. Он стал асси-
ассистентом в Венском университете, а затем, во время первой мировой войны,
служил в качестве артиллерийского офицера.
В 1920 г., женившись на Анне Марии Бертель, он переехал в Йену,
получив там академическую должность. Затем следуют Штутгарт (экстра-
(экстраординарный профессор), Бреслау (ординарный профессор) и Цюрихский
университет, где он осел на шесть лет. В этот период он активно занимал-
занимался исследованиями в области теоретической физики и опубликовал ряд
статей преимущественно об удельной теплоемкости твердых тел и других
вопросах термодинамики, а также об атомных спектрах.
Он мне рассказывал, каким путем он пришел к своему крупному от-
открытию. При работе над спектрами он использовал, конечно, орбитальную
теорию Бора, но всегда чувствовал, что квантовые состояния в этой тео-
теории—неудовлетворительны и что в действительности атомные спектры
должны определяться своего рода задачей собственных значений. В 1924 г.
де Бройль опубликовал работу о волнах, связанных с движением свобод-
свободных частиц. Эта работа оказала глубокое влияние на Шрёдингера, и он
взялся за попытку обобщения волн де Бройля на несвободные частицы.
В конце концов он получил ясное решение проблемы, сводящее нахождение
энергетических уровней к вычислению собственных значений некоторого
оператора. Он немедленно применил свой метод к электрону в атоме
водорода, правильно учитывая релятивистскую механику для движения
электрона, как это делал де Бройль. Результат не совпал с наблюдениями.
Теперь мы знаем, что метод Шрёдингера вполне корректен и что рас-
расхождение обязано исключительно тому, что в своих расчетах он не учел
Prof. Erwin Schroedinger // Nature. 1961. V. 189. P. 355-356.
54. ПРОФЕССОР ЭРВИН ШРЁДИНГЕР 693
наличие спина у электрона. Но в то время спин электрона не был из-
известен.
Шрёдингер был сильно разочарован, он решил, что его метод непри-
непригоден и оставил его. Лишь через несколько месяцев он вернулся к нему и
тогда заметил, что при нерелятивистском описании электрона его метод
дает результаты, согласованные с наблюдениями в нерелятивистском при-
приближении. Он подробно изложил все это в статье, опубликованной в 1926 г.
В этом позднейшем варианте и предстало перед нами волновое уравнение
Шрёдингера.
Незадолго до этого Гейзенберг открыл свою матричную механику, дру-
другой формализм для трактовки атомных процессов. Вскоре нашли, что
теории Гейзенберга и Шрёдингера эквивалентны и что имеются математи-
математические преобразования, превращающие одну в другую. Два независимых и
кажущихся совершенно различными направления мысли привели, таким
образом, к одному и тому же обоснованию атомной физики.
Шрёдингер опубликовал одну за другой ряд статей, развивающих его
идеи. За эту работу он получил Нобелевскую премию по физике за 1933 г.
В 1927 г. он, к своему несчастью, переехал в Берлин, став преемником
Планка. Вскоре после этого его жизнь была нарушена политическими
событиями, а приход к власти Гитлера в 1933 г. вынудил его принять
решение покинуть Германию. Он переехал в Англию и некоторое время
пользовался специальной стипендией в Оксфорде. В 1936 г. ему пред-
предложили место в Граце. Он был хорошо осведомлен о неопределенности
ситуации в Австрии в то время, и ему было трудно принять решение.
Однако желание вернуться на родину взяло верх над осторожностью, и он
дал согласие.
При аннексии Австрии Германией в 1938 г. Шрёдингер сразу оказался
в трудном положении, поскольку его отъезд из Германии в 1933 г. рассмат-
рассматривался как недружелюбный акт. Он был принужден выразить одобрение
нацистскому режиму, но сделал это настолько двусмысленно, насколько
смог (см. «Nature». 1938. V. 141. Р. 929).
Скоро он нашел, что жизнь при нацистах невыносима и, воспользо-
воспользовавшись тем, что они не отобрали его прежний заграничный паспорт, он
перешел итальянскую границу. Он поехал в Принстон и после недолгого
пребывания там переехал в Дублин, во вновь созданный Институт выс-
высших исследований, где получил пост директора и оставался им до своей
отставки в 1955 г.
Все это время Шрёдингер продолжал исследования и опубликовал
ряд статей на разные темы. Некоторые из них относились к вопросу
объединения гравитации и электромагнетизма —проблеме, на много лет
поглотившей Эйнштейна и до сих пор не решенной. Его не удовлетворяло
общепринятое двойственное описание в терминах волн и частиц со стати-
статистической интерпретацией волн, и он пытался построить теорию исключи-
исключительно в терминах волн. Это привело его к полемике с другими ведущими
физиками.
694 VII. ПЕРСОНАЛИИ
Шрёдингер был чужд условностям в своем образе жизни. Когда он
приехал на Сольвеевский конгресс в Брюсселе, он с вокзала пошел пешком
в гостиницу, где остановились делегаты, неся весь свой багаж: в рюкзаке,
и так походил на бродягу, что пришлось выдержать целый спор с адми-
администрацией отеля, прежде чем он получил номер, забронированный для
него.
После ухода на пенсию он вернулся в Вену, где занимал почетное по-
положение. Умер он после продолжительной болезни. Его пережила жена —
верный его друг, в течение всей их совместной жизни.
55
МНОГОГРАННОСТЬ ЛИЧНОСТИ НИЛЬСА БОРА
Глубоко поглощенный основными проблемами физики, Нильс Бор ин-
интересовался также многими вопросами философии, психологии и повсе-
повседневной жизни, объяснение которым он находил благодаря своему изуми-
изумительному таланту наблюдения и обобщения. Он любил рассказывать об
увлекавших его идеях и всегда обстоятельно и последовательно излагал
и аргументировал свои взгляды. В такие минуты казалось, что никакая
реакция слушателей не может нарушить ход его возвышенных мыслей. По
признанию самого Бора, настроение аудитории хотя и вдохновляло его, но
не имело решающего значения.
Нередко мне выпадало счастье слушать рассуждения Бора, и здесь
я охотно расскажу о том, что мне особенно запомнилось. Правда, я боюсь,
что в моем изложении не все доводы Бора будут выглядеть достаточно
убедительными, но в этом случае следует винить мою память.
Как-то на прогулке, недалеко от Копенгагена, Бор обратил наше вни-
внимание на свою трость, заметив, что если ее сделать инструментом наблю-
наблюдения, то при ударе о различные предметы будет казаться, что чувство
осязания находится в конце трости, а не в держащей ее руке, хотя именно
рука воспринимает ощущение удара. Трость как бы представляет собой
продолжение руки человека.
Это один из примеров того, как мозг человека настраивается на су-
существенную информацию, принимаемую от органов чувств, и не учи-
учитывает второстепенные промежуточные звенья. Уже из такого простого
наблюдения, которым бы большинство людей пренебрегли, видно, с каким
вниманием Бор относился к психологическим проблемам.
Помню я и историю с гангстерами. Посмотрев кинофильм, в котором
буквально каждый раз герой насмерть поражал гангстеров, прежде чем
они успевали произвести выстрел, Бор психологически объяснил это так:
всякое действие, являющееся результатом определенного решения, выпол-
выполняется медленнее, чем действие, вызываемое внешним раздражителем.
Следовательно, если гангстер решил застрелить героя, то его действия
будут в какой-то степени более медленными, чем действия последнего:
инстинкт самосохранения заставит героя мгновенно выхватить свой ре-
револьвер и выстрелить первым.
*) The Versatility of Niels Bohr // Niels Bohr, his Life and Work / Ed. S. Rosental. —
Amsterdam: North-Holland, 1967. P. 306-309.
696 VII. ПЕРСОНАЛИИ
Некоторые ученики Бора, сомневаясь в правильности такого толко-
толкования, купили игрушечные пистолеты, чтобы проверить их действие на
своем учителе. Но Бор всегда успевал выстрелить первым.
В то время меня не было в Копенгагене. Когда я приехал, Бор в общих
чертах изложил мне теорию, согласно которой двум вооруженным банди-
бандитам, стоящим лицом к лицу и горящим желанием убить друг друга, не
остается ничего другого, кроме как разговаривать, ибо тот, кто решится
стрелять, будет убит прежде, чем успеет исполнить свое решение.
Воображение Бора занимали и биржевые операции. В частности, его
интересовал простой случай, когда торгуют надежными акциями и об-
облигациями и поэтому нет риска подвергнуться мошенничеству; а также
механика быстрой купли-продажи на бирже.
При случайной купле-продаже шансы выиграть или проиграть совер-
совершенно равны (разумеется, если не учитывать налоги и комиссионные за
посредничество). Однако всегда находятся люди, которые благодаря своим
связям в том или ином обществе располагают неофициальной информаци-
информацией о положении дел, помогающей им совершать сделки. Возникает вопрос:
у кого же они выигрывают? Как правило, они зарабатывают не на тех, кто
покупает и продает случайно, а на тех, кто, изучая официальные деловые
сводки, получает недостаточно полные сведения и руководствуется ими
в своих операциях. Обычно эти люди выбирают внешне солидную ком-
компанию, акции которой кажутся довольно дешевыми и перспективными,
но в этом-то и заключается их просчет. Покупая акции, им следовало
бы спросить себя, почему они продаются так дешево, если перспективы
выглядят столь многообещающими. Напрашивается лишь один ответ: лю-
люди, располагающие официальной информацией, не подозревают, что эти
акции не являются надежными и поэтому продаются по сниженной цене.
Рассуждая таким образом, Бор пришел к выводу, что тот, кто действует,
исходя из не очень достоверных сведений, в среднем потерпит большие
убытки, чем тот, кто покупает и продает случайно.
Бор интересовался проблемой старости. Какую ценность представляют
старые люди, переставшие заниматься полезной деятельностью? В чем
смысл их жизни? Бор дал на это прекрасный ответ. Старые люди должны
жить, ибо те, кто еще не дожил до их возраста, будут чувствовать себя
юными по сравнению с ними. Так, например, шестидесятилетние могут
чувствовать себя молодыми по сравнению с восьмидесятилетними. Нель-
Нельзя решить проблему старости, скажем, умертвив всех людей, достигших
определенного возраста (в качестве примера Бор обычно приводил доволь-
довольно характерное число 40), ибо люди, приблизившиеся к этому возрасту,
чувствовали бы себя стариками. Следовало бы просто отдалить тот воз-
возраст, когда люди начинают чувствовать себя старыми. Самому Бору было
далеко до старости, когда он пришел к этому выводу.
В 30-х годах Бор чрезвычайно увлекался генетикой и созвал в Ко-
Копенгагене конференцию, в которой приняли участие как физики, так и
биологи. В тот период основной интерес вызывали мутации. Было описано
55. МНОГОГРАННОСТЬ ЛИЧНОСТИ НИЛЬСА БОРА 697
несколько экспериментов, показавших, что в зависимости от температуры
скорость спонтанных мутаций возрастает в соответствии с теми же закона-
законами, что и для мономолекулярных химических реакций. Это подтвердило
вероятность предположения, что мутации являются просто квантовым
скачком, наблюдаемым в отдельных молекулах. С огромным волнением
физики встретили известие о том, что их квантовые законы можно исполь-
использовать и в биологических исследованиях. Однако мутации, создаваемые
рентгеновскими лучами, вызвали много споров. Подчеркивалось, что, хотя
эти искусственно создаваемые мутации обладают гораздо более высокой
энергией, чем спонтанные, по своему характеру они мало чем отличаются
от последних. Этому результату было трудно найти объяснение, и поэтому
он подробно обсуждался во время дискуссий, хотя единодушия во мнениях
так и не было достигнуто. Бор участвовал в конференции лишь как слу-
слушатель, но он глубоко вникал во все то, что рассказывали биологи.
Бор увлекался всеми биологическими проблемами, но его особенно
сильно интересовала удивительная целесообразность, достигнутая При-
Природой в процессе эволюции; так, например, человеческий глаз обладает
чувствительностью к световым квантам. Или, например, строение скеле-
скелета птеродактиля. Он состоит из сложной системы перепонок, усиленных
менее крупными по величине перепонками, и т. д., благодаря чему скелет
является достаточно прочным и одновременно очень легким. Птеродак-
Птеродактиль с размахом крыльев в 7 метров, вероятно, имел скелет весом всего
в 100 граммов.
Глубоко печалили Бора расовые преследования 30-х годов. Свой огром-
огромный талант логического мышления он использовал для разоблачения тех
предрассудков, на которые эти преследования опирались. По мысли Бора,
основное различие между людьми и низшими животными заключается
в том, что первые обладают даром речи и, следовательно, могут пере-
перенимать опыт своих предков. В результате возникают традиции. Бор под-
подчеркивал, что для людей традиции важнее унаследованных качеств, ибо
именно эта черта отличает человека от низших животных. Различия уна-
унаследованных качеств у разных человеческих рас являются маловажным
фактором по сравнению с общей для всех рас способностью учиться у сво-
своих предков и, таким образом, строить культуру и идти по пути прогресса.
При изучении абстрактных философских проблем Бор обращал особен-
особенное внимание на возможность двойственности толкования, заключенную
в самих значениях слов. Эта двойственность может определять истинность
или ложность высказывания. Бор считал, что высшая мудрость должна
быть обязательно выражена путем использования таких слов, смысл ко-
которых нельзя определить однозначно. Следовательно, истинность высшей
мудрости является не абсолютной, а только относительной в соответствии
с одним из значений двухзначных слов: поэтому противоположное вы-
высказывание также правомерно и мудро. Бор пояснял это на следующем
примере: «Бог есть» —выражение высшей мудрости и правды, и, наоборот,
«Бога нет» —тоже выражение высшей мудрости и правды.
698 VII. ПЕРСОНАЛИИ
После появления атомной бомбы Бор был сильно обеспокоен угрозой
тотального уничтожения человечества. Он напряженно работал в поис-
поисках логического пути для выхода из создавшейся обстановки и пришел
к выводу, что единственно возможное решение проблемы лежит в полной
откровенности между народами. Он опубликовал свои взгляды в открытом
письме в Организацию Объединенных Наций. К сожалению, взаимное
недоверие между народами было слишком велико, чтобы голос разума был
услышан, и поэтому даже сегодня эта проблема является самой серьезной
для человечества.
56
НАУЧНАЯ РАБОТА ЖОРЖА ЛЕМЕТРА *)
В то время, когда Леметр начинал свою деятельность, наука и фи-
философия были ошеломлены принципом относительности, который смел
традиционные подходы и открыл совершенно новую перспективу взглядам
человека на Природу. Леметр вошел в новую науку и вскоре начал вносить
в нее свой вклад.
Одной из основных тем проходящей в те дни дискуссии было по-
понятие одновременности, которое утратило свой абсолютный смысл. Ле-
Леметр рассмотрел жесткое тело, движущееся в искривленном пространстве-
времени, и исследовал проблему введения стандарта одновременности
внутри этого тела, связанного с его движением г\ Две соседние точки
пространства-времени определяются как одновременные, если соединяю-
соединяющая их линия ортогональна мировой линии вещества. Далее эта локальная
одновременность может быть распространена вдоль некой линии, пред-
представляющую собой линию одновременности, любые две точки которой
одновременны относительно соединяющей их линии.
Тогда может оказаться, что все линии, соединяющие две точки, дают
одинаковый стандарт одновременности. Это и будет общим понятием од-
одновременности для выбранного твердого тела. Этот случай Леметр назвал
движением класса А. Если это условие не выполняется, то твердое тело мо-
может оставаться жестким, так что все расстояния, измеренные вдоль линий
одновременности, остаются постоянными. Однако любая его точка может
быть одновременной с любой другой при соответствующем выборе соеди-
соединяющей их линии одновременности. Этот случай был назван Леметром
движением класса В. Он изучил все возможные типы движения класса В:
эллиптические, гиперболические, локсодромические и параболические.
В 1928 году я ввел релятивистское волновое уравнение для электрона,
трансформационные свойства которого отличались от тензорных урав-
уравнений, которыми ранее ограничивались в теории относительности. Этим
трансформационным свойствам были посвящены две статьи Леметра2''3'.
Возможны различные методы построения такой теории. Один из них
ранее был разработан Эддингтоном на основе его теории пентад. Ле-
Леметр предложил другой, выявляющий новые трансформационные свой-
свойства уравнений.
Леметр начинает с общей антисимметричной 4x4 матрицы T^v = —TvyL.
Она может быть представлена в виде линейной комбинации шести ба-
*) The Scientific Work of Georges Lemaitre // Commentarii. Pont. Acad. Scient. 1968.
V. 2, N. 11. P. 1-18.
700 VII. ПЕРСОНАЛИИ
зисных антисимметричных матриц, образующих два набора Ai, A2, А%
и В\, ^2, В%. Они обладают следующими, перечисленными Леметром свой-
свойствами: A) Квадрат каждой из них равен единице. B) Матрицы А
взаимно антикоммутируют и матрицы В взаимно антикоммутируют.
C) А1А2А3 = B1B2B3 = г. D) Каждая А коммутирует с каждой матри-
матрицей В. E) Каждое произведение AjB^ симметрично. F) Квадрат произ-
произведения AjBk равен единице. G) Все матрицы AjBf. линейно независимы.
(8) Две матрицы Aj B^ антикоммутируют или коммутируют в зависимости
от того имеют ли они общий множитель или нет. Следствием свойства G)
является то, что девять симметричных матриц AjB^ совместно с шестью
антисимметричными матрицами Aj иВ^и единичной матрицей образуют
шестнадцать независимых 4x4 матриц.
С помощью этих матриц волновое уравнение для электрона может быть
записано в виде
{v4ipi + A2P2 + А3р3 + #iPo - гтсВ3} Ф = 0.
Стоящий здесь оператор представляет собой частный случай общей анти-
антисимметричной 4x4 матрицы
Любое преобразование четырех компонент Ф, например, Ф = А^Ф67, или,
в матричном обозначении Ф = XФ, соответствует преобразованию матри-
матрицы Т _
Т = кТк',
где к' обозначает матрицу, обратную матрице к, & к обозначает транс-
транспонированную матрицу к'. Если потребовать, чтобы матрица к имела
единичный детерминант, то детерминант матрицы Т будет инвариантом.
Квадратный корень этого детерминанта равен
Следовательно, получающееся преобразование компонент р и q будет ор-
ортогональным 3 + 3-мерным преобразованием. Группа этих преобразований
состоит из пятнадцати независимых вращений, соответствующих пятна-
пятнадцати независимым 4x4 матрицам, не считая единичной матрицы.
Преобразования Лоренца образуют подгруппу, в которой q2 и q% оста-
остаются инвариантами. Леметр приводит различные примеры этих преобра-
преобразований и устанавливает связь своей работы с работой Эддингтона. Кроме
того, он находит выражения коэффициентов Лоренца через элементы мат-
матрицы fc, проливая тем самым новый свет на преобразования Лоренца.
Во другой своей статье Леметр базируется на несколько иных исходных
позициях, строя свою теорию в терминах квадрикватернионов, являю-
являющихся произведениями двух независимых типов кватернионов. Основные
элементы теперь по сути дела те же А и В, но умноженные на г, так что
56. НАУЧНАЯ РАБОТА ЖОРЖА ЛЕМЕТРА 701
они удовлетворяют соотношениям А\ = А2А% = —АзА2, Af = — 1 и т.д., и
аналогичным соотношениям для В.
Леметр ввел величины
Di = АгВъ D2 = А2В2, D3
удовлетворяющие соотношениям
Di = D2D3 = D3D2, D\ = I, и т. д.,
а также величины
Si = А3В2, S2 = АгВз, S3 = А2ВЪ
удовлетворяющие соотношениям
S1 = S2S3 = S3S2, S2 = I и т. д.
Можно выразить все величины Аи В через величины D и S. Далее Леметр
вводит величину
C (I + D1 + D2
Она обладает способностью поглощать величины D в соответствии с соот-
соотношениями
С Иг = DXC = C, С2 = С.
Любой квадрикватернион Т можно выразить через величины S и D,
так что произведение ТС может быть представлено в виде
ТС = (Фо + *iSi + *2^2 + ^sS3)C = Ф.
Это особый тип квадрикватернионов, содержащий лишь четыре числа
Фо,ФъФ2,Фз- Леметр назвал их конечным вектором. Аналогично СТ =
= X* будет начальным вектором. Конечный вектор и начальный вектор
образуют два вида произведений: внутреннее произведение X Ф = СХ ФС
и внешнее произведение ФХ = ФСХ . Любой квадрикватернион, умно-
умноженный слева на конечный вектор, дает другой конечный вектор, что поз-
позволяет представить его матрицей. Однако делать это совсем необязатель-
необязательно, и всю теорию можно построить в форме символического исчисления.
Леметр осуществил дальнейшее развитие теории и вновь показал ее связь
с пентадами Эддингтона.
Со времени ранних работ Эддингтона и Леметра было сформулировано
много новых версий данной теории. В частности, появился чрезвычайно
мощный спинорный анализ Ван дер Вардена.
Космология
Основная деятельность Леметра относится к космологии, изучению
общей структуры Вселенной. Именно к этой области относится его самый
крупный вклад в науку.
702 VII. ПЕРСОНАЛИИ
Эйнштейн положил начало современному развитию космологии, заме-
заметив, что его полевые уравнения в общей форме с космологической по-
постоянной допускают возможность конечной Вселенной, замкнутой и не
имеющей границы. Вселенная Эйнштейна статична. Ее размер постоянен.
Современные наблюдения Хаббла свидетельствуют о том, что очень отда-
отдаленные объекты, спиральные туманности, удаляются от нас со скоростями,
пропорциональными расстоянию до них. Это приводит нас к мысли о том,
что Вселенная расширяется и не статична.
Де Ситтер предложил иную модель Вселенной, очень интересную ма-
математически и убедительно доказывающую наличие расширения, соответ-
соответствующего наблюдениям Хаббла. Однако Вселенная де Ситтера имеет всю-
всюду нулевую плотность. Она пуста. Поэтому она физически неприемлема.
Более мощная атака этой проблемы была предпринята Фридманом.
Не ограничиваясь введением конкретной модели, он провел общее рас-
рассмотрение Вселенной, считая ее пространственно однородной и изотропной
с конечным радиусом, который изменяется со временем. Он исследовал
все возможности, допускаемые уравнениями Эйнштейна, получив различ-
различные решения, в которых радиус может изменяться со временем. Фридман
ограничился математикой, не обсуждая вопрос о том, может ли какое-либо
из его решений иметь приложение к реальной Вселенной. Поэтому его
работа не вызвала немедленной реакции и в течении многих лет оставалась
незамеченной.
Леметр обратился4) к этому вопросу, не зная о работе Фридмана.
Леметр все время имел в уме физические условия и прилагал усилия
к созданию теории реальной Вселенной. Реальная Вселенная отнюдь не
однородна. Материя, в основном, сосредоточена в звездах, которые, в свою
очередь сосредоточены в галактиках. Но насколько мы в состоянии видеть,
огромное число галактик кажется равномерно распределенным по все-
всему пространству, за исключением кластеров. Леметр уподобил галактики
молекулам газа. Столкновения между ними происходят редко, так что
это — разреженный газ. Таким образом, он получает однородную картину
Вселенной, что позволяет говорить о средней плотности материи.
Кроме того, должно существовать однородное давление, обусловленное
частично движением материи, а частично, электромагнитным излучением.
Часть его, возникающая из-за движения материи, очень мала по срав-
сравнению с плотностью энергии, и Леметр ею пренебрег. Другая его часть,
связанная с электромагнитным излучением, для реальной Вселенной в на-
настоящее время также очень мала, но Леметр сохраняет ее в своей общей
теории и использует позже при рассмотрении явления стагнации.
Допустим, что р обозначает электромагнитное давление. Тогда плот-
плотность электромагнитной энергии будет Зр. Полная плотность энергии бу-
будет р = S + Зр, где через 6 обозначен вклад материи. Допустим, что R
обозначает радиус Вселенной, меняющийся со временем, так что элемент
длины имеет вид
ds2 = -R2da2 + dt2, A)
56. НАУЧНАЯ РАБОТА ЖОРЖА ЛЕМЕТРА 703
где R da — элемент расстояния в трехмерном пространстве. Из полевых
уравнений Эйнштейна Леметр выводит уравнения
3^ + ^ = Х + кр B)
И Р' R'2 1
2f + ^ + ± = \-kp, C)
где R! = dR/dt, А — космологическая константа, значение которой неиз-
неизвестно, к — константа, равная в натуральных единицах 8. Уравнение B)
совпадает с полученным Фридманом, а уравнение C) такое же как у Фрид-
Фридмана, кроме члена с давлением, который Фридман не учел. Эти уравнения
приводят к уравнению сохранения энергии
f = ^(p + p) = O. D)
Теперь можно получить соотношение между Rut
t=\ , dR E)
Здесь а является константой, связанной с полной массой М,
7Г
а /3 — константа интегрирования, связанная с давлением; /3 = 0, если р = 0.
Для статичной Вселенной Эйнштейна существует связь между кон-
константами а и Л, а именно
Леметр предполагает, что это соотношение между константами должно
выполняться и в общем случае E). Это приводит, если взять /3 = 0 и
положить Л = /?q, к выражению
которое может быть проинтегрировано. Тогда
t = R0V3\og1-±^ + R0\og^p^ + C, (8)
1 — х л/Зж + 1
где х2 = R/(R + 2Rq). Согласно этому решению R при увеличении t
постоянно возрастает. Его начальное значение при t = — оо есть Rq. Сле-
Следовательно, это стационарное расширение, продолжающееся спустя беско-
бесконечное время после начала.
Расширение приводит к красному смещению удаляющегося вещества,
которое нетрудно вычислить. Действительно, для вещества на расстоянии
г скорость удаления равна
v R г
704 VII. ПЕРСОНАЛИИ
Из уравнений E) и F) с /3 = 0 получаем
где у = Rq/R. Воспользовавшись найденным Хабблом значением красного
смещения и значением 7?о, определяемым по средней плотности вещества
во Вселенной, Леметр вычислил у = 0,0465, что приводит к R/ Rq = 21,5.
Тем самым, Леметр создал свою первую модель, согласно которой
Вселенная, возникнув в бесконечном прошлом с неким асимпототическим
радиусом 7?о, составлявшим примерно 1/20 ее современного радиуса, рас-
расширялась, сначала очень медленно со скоростью расширения, в бесконечно
прошлом стремящейся логарифмически к нулю, а затем с возрастающей
скоростью.
Эта модель была построена с учетом соотношения Эйнштейна F)
между константами. Можно отказаться от этого соотношения. Леметр
обнаружил, что, если подобный отказ вообще возможен, то получится,
что расширение началось примерно 109 лет тому назад, что согласуется
с постоянной Хаббла, если расширение происходило почти равномерно.
Но при этом возникают большие трудности, одна из которых связана
с возражением космологов о том, что звездная эволюция требует гораздо
большего времени. Поэтому Леметр предпочел свою предыдущую модель,
в которой начало расширения отодвигалось в бесконечное прошлое.
В дальнейшем он модифицировал эту свою позицию, заявив, что в дей-
действительности подобное отбрасывание начала Вселенной не устраняет воз-
возможное противоречие, поскольку на ранних стадиях расширения все фи-
физические процессы должны протекать чрезвычайно медленно, а скорость
расширения в бесконечно прошлом логарифмически стремится к нулю.
Таким образом, дополнительное время расширения на ранних стадиях не
даст существенного вклада в эволюцию звезд. Подобные рассуждения де-
демонстрируют, что Леметр сознавал необходимость понимания физического
смысла своих уравнений.
Начало расширения
Леметра интересовал вопрос о том, что послужило началом расшире-
расширения Вселенной из равновесного состояния 5). Эддингтон предполагал, что
это могло быть вызвано конденсацией. Леметр нашел, что конденсация не
оказывает непосредственного влияния на равновесие. Однако она приво-
приводит к другому эффекту, а именно, к ослаблению обмена энергией между
различными частями Вселенной вследствие того, что свободный обмен
кинетической энергией происходить уже не может. Однако появляется
некая вероятность ее захвата при конденсации и сохранения в связанном
состоянии. Леметр назвал этот процесс стагнацией.
Для вычисление этого эффекта Леметр рассмотрел частный случай
сферически симметричной конденсации на одном центре и усреднил по
56. НАУЧНАЯ РАБОТА ЖОРЖА ЛЕМЕТРА 705
всем другим центрам конденсации, которые также обладают сферической
симметрией. Вокруг каждого из них существует нейтральная зона, в ко-
которой ее собственная гравитация уравновешивается гравитационным вли-
влиянием других конденсаций. Он вычислил расширение такой нейтральной
зоны, что служит мерой расширения Вселенная в целом, и получил то
же самое уравнение для расширения однородной Вселенной, но с другим
выражением Р вместо давления р.
Таким образом, конденсация не оказывает влияния на расширение.
Однако при наличии стагнации выражение Р видоизменяется, что обяза-
обязательно вызывает расширение. Следовательно, стагнация может вызвать
расширение из состояния, которое до этого было равновесным.
При дальнейшем развитии теории возмущений однородной Вселен-
Вселенной 6) Леметр нашел, что возможно существование области, ослабляющей
расширение еще до того, как гравитация полностью уравновешивается
космическим отталкиванием, так что за расширением следует сжатие.
Таким образом, в расширяющемся в целом пространстве могут появиться
коллапсирующие области. Более того, возможны равновесные области, ко-
которые нестабильны и разделены на коллапсирующие области, остающиеся
на примерно равных расстояниях друг от друга.
Леметр полагал, что коллапсирующие области являются спиральными
туманностями, равновесные области—кластерами спиральных туманно-
туманностей. Согласно такой гипотезе, средняя плотность всех кластеров должна
быть одинаковой и связана с постоянной Хаббла. Леметр сравнил эти
выводы с наблюдениями и нашел, что они приблизительно правильны.
Первоатом
Обсуждавшаяся до настоящего времени космологические исследования
Леметра были в рамках разработанных методов, основанных на теории
гравитации Эйнштейна. Леметр не удовлетворился этим ортодоксальным
подходом и решительно отошел от него, отказавшись от общепринятых
принципов. Он выдвинул идею, согласно которой Вселенная началась из
одного суперрадиоактивного атома, имевшего чрезвычайно большую мас-
массу. Эта идея была представлена на обсуждении проблем эволюции Все-
Вселенной на семинаре Британской ассоциации достижений науки в Лондоне
в 1931 году7).
Предыдущие докладчики говорили о трудностях, возникающих
в обычных космологических теориях. Основная трудность была отмечена
деСиттером. Она состояла в различии временных масштабов эволюции
звезд и расширения Вселенной. Де Ситтер заключил, что сколько-нибудь
существенная связь между эволюцией и расширением отсутствовала.
Эволюция должна была начаться задолго до начала расширения.
Леметр указал на неудовлетворительность подобного разделения двух
процессов. Он сослался на свои расчеты, согласно которым формиро-
формирование конденсаций в однородном первозданном пространстве приводит
23 П.Дирак. TIV
706 VII. ПЕРСОНАЛИИ
к стагнации, которая, в свою очередь, должна вызвать расширение. Таким
образом, эволюция и расширение должны были начаться одновременно.
Это требует полной ревизии общепринятых идей звездной эволюции. По
словам Леметра «Нам нужна взрывная теория эволюции. Последние две
тысячи миллионов лет происходит медленная эволюция: это дым и запах
ярких и очень быстрых вспышек».
После этого он перенес свое внимание на космические лучи. Он от-
отметил, что их энергия сравнима с полной энергией вещества. Отношение
этих величин, возможно, порядка 10~3 и наверняка не меньше 10~5. Если
они образовались до начала расширения пространства, то их энергия была
еще выше. Леметр считал, что космические лучи столь высоких энергий
могли образоваться только в звездах, поскольку лишь звезды обладали
достаточной для этого энергией. Но это значит, что звезды не обладали
атмосферой, поскольку при прохождении через атмосферу космические
лучи были бы поглощены. Следовательно, звезды родились без атмосфер,
возможно, 1010 лет тому назад, а атмосферы у них появились после излу-
излучения космических лучей.
Как могли образоваться подобные звезды? Леметр предположил, что
каждая звезда сначала была единичным атомом с очень большой атомной
массой, сравнимой с массой звезды. Такой атом склонен к радиоактивному
распаду, сопровождающемуся излучением космических лучей. Большая
часть продуктов распада под действием гравитации столь массивного ато-
атома возвращается назад, однако малая часть успеет вырваться до того, как
продукты распада станут достаточно многочисленными, чтобы образовать
атмосферу. На основе этого Леметр заявил: «Космические лучи являются
отблеском первичных взрывов образования звезды из атома, приходящим
к нам после долгого пути сквозь пространство».
Энергия космических лучей, возникающих при столь грандиозном рас-
распаде, должна быть чрезвычайно высока. Поэтому будет уместно спросить,
достаточно ли велика наблюдаемая энергия космических лучей, чтобы
соответствовать выдвинутой гипотезе. При этом необходимо иметь в виду,
что наблюдаемая энергия отнюдь не совпадает с исходной энергией, по-
поскольку она убывает пропорционально расширению пространства. Леметр
оценил расширение, по крайней мере, как в 20 раз и нашел, что этого
достаточно, чтобы избежать противоречий.
Как выглядит такая трактовка космических лучей в свете современно-
современного знания? На основе своей теории Леметр предсказал, что космические
лучи не состоят целиком из фотонов (как предполагалось в те дни), но
должны содержать в себе быстрые /3 и а-частицы, а также новые частицы
с большими массами и зарядами. Последующие наблюдения подтвердили
это. Для заряженных частиц в настоящее время известен процесс уско-
ускорения на синхротроне, который позволяет ускорить их до очень высоких
энергий. Вполне возможно, что в галактиках существуют соответствующие
электрические и магнитные поля, которые могут управлять этим процес-
процессом и тем самым генерировать часть космических лучей. Однако достигав-
56. НАУЧНАЯ РАБОТА ЖОРЖА ЛЕМЕТРА 707
мая при этом энергия для наиболее высокоэнергетичных из наблюдаемых
космических лучей оказывается недостаточной. Более того, похоже, что и
не все низкоэнергетичные лучи могут иметь такое происхождение. Таким
образом, остается часть из них, о происхождении которых мы не можем
ничего сказать, кроме как предположить, что оно космологическое. Воз-
Возможно, что их образование произошло как-то близко к тому, что предполо-
предположил Леметр, т. е. лучи образовались вскоре после образования Вселенной,
когда условия очень сильно отличались от современных.
В теории Леметра звезды имели различные массы, определяемые мас-
массами атомов, из которых они образовались. Их светимость также опреде-
определялась исходными массами, так что должна была бы существовать связь
между массой и светимостью. Леметр не разработал эту идею, но надеялся,
что она приведет к альтернативному объяснению отношения масс к све-
тимостям (диаграмма Рассела), не требующего столь медленного процесса
эволюции, как в обычной теории.
От обсуждения звезд и космических лучей Леметр перешел к вершине
своей теории — утверждению о том, что Вселенная начала развиваться
с чрезвычайно малого радиуса с массой сконцентрированной в виде одного
атома. Все процессы и развитие Вселенной обусловлены радиоактивным
распадом этого первоатома. Это стало естественным выводом из тех рас-
рассуждений, которые он так усердно развивал.
Леметр нарисовал перед нами новую пленительную картину Вселен-
Вселенной, доминирующей темой которой является эволюция. Вселенная имела
определенное чрезвычайно активное начало, далее ее состояние постепенно
пришло к тому, что мы наблюдаем сейчас. Это была непрерывная эво-
эволюция с феерическим началом. Насколько мы можем судить, имеются
перспективы продолжения эволюции в будущем. Можно ожидать, что эво-
эволюция Земли будет происходить рука об руку с космической эволюцией и
приведет к лучшему и более яркому будущему всего человечества. Однаж-
Однажды во время разговора на эту тему с Леметром вдохновленный величием
нарисованной им картины я сказал ему, что я считаю космологию ветвью
науки, наиболее близкой к религии. Однако Леметр не согласился со мной.
Подумав, он сказал, что полагает психологию, лежащей к религии еще
ближе.
Через некоторое время после этой восхитительной работы Леметра
появился и получил поддержку иной более прозаический взгляд на Вселен-
Вселенную— стационарная космологии. Согласно ему Вселенная не имела нача-
начала, а, напротив, всегда существовала в основном в том виде, как и сейчас, и,
более того, будет оставаться такой же и в бесконечно удаленном будущем.
Постоянное раз летание материи, о котором свидетельствует красное сме-
смещение галактик, компенсируется постоянным рождением нового вещества.
Согласно этой теории, не может быть никакой космической эволюции.
Нет никаких существенных изменений. Мне никогда не нравилась такая
картина, потому что она отрицает эволюцию. Тем не менее, одно время она
была весьма популярна, главным образом, благодаря тому, что ей удалось
23*
708 VII. ПЕРСОНАЛИИ
найти согласие с наблюдаемыми данными, а кроме того, с ней была связана
интересная математика.
В последние несколько лет развитие радиоастрономии открыло новые
перспективы и существенно расширило наши представления об отдален-
отдаленных частях Вселенной. В результате, стационарная теория оказалась не
соответствующей наблюдениям и была отвергнута. Гипотеза Леметра о
бурном начале Вселенной теперь стала общепринятой. Она называется
теорией Большого Взрыва в противовес стационарной теории.
Последняя работа
Впоследствии Леметр проделал значительную работу по кластерам
туманностей, что привело его к несколько более детальной картине ранних
стадий Вселенной8'. Он указал на трудность понимания природы кла-
кластеров, из-за больших относительных скоростей туманностей в кластере.
Предполагается, что туманности сконденсировались из газовых облаков
со столь же большими относительными скоростями. В достаточно отда-
отдаленном прошлом, когда радиус пространства был намного меньше, эти
облака находились в контакте друг с другом. Как же при этом они смогли
получить столь большие относительные скорости?
Чтобы обойти эту дилемму, нам придется предположить, что в то время
облаков не существовало. Согласно Леметру, в отдаленном прошлом были
только космические лучи. Если тем или иным способом возникала малая
масса газа, то она поглощала космические лучи и вырастала в облачко.
Эволюционирующие таким образом облачки имели бы огромные скорости,
скорости космических лучей. Они иногда достаточно мягко сталкивались
между собой, тем самым, совершая первые шаги к образованию облака.
Почти все космические лучи оказываются поглощенными такими облака-
облаками, и лишь малая их доля, скажем 10~4, могут ускользнуть.
Ранние космические лучи содержали все виды атомных частиц. Суще-
Существует проблема, почему почти все вещество, наблюдаемое в настоящее
время в звездах, представляет собой водород и гелий. Леметр предпо-
предположил, что могли бы существовать какие-то процессы материализации,
которые преобразовали очень большую кинетическую энергию ранних кос-
космических лучей, захваченных облаками, в водород или, возможно, гелий.
Подобный процесс материализации в современной физике, где имеет место
закон сохранения барионов, неизвестен. Однако я все же полагаю, что его
стоит принимать во внимание, поскольку совсем неочевидно, что с тех
ранних дней не произошло резкого изменения условий.
В предложенной Леметром эволюционирующей Вселенной допускает-
допускается, что законы Природы также эволюционировали, а не были столь непре-
непреложны, как это обычно считают. Изменения законов, которые принято
считать постоянными, могут происходить со слишком малой скоростью,
чтобы это могло быть замечено в лаборатории. Однако они могут менять-
меняться достаточно значительно, чтобы привести к резкому изменению наших
56. НАУЧНАЯ РАБОТА ЖОРЖА ЛЕМЕТРА 709
представлений о раннем развитии Вселенной. Может, например, оказаться,
что гравитационная константа на самом деле не постоянна, а изменяется
в абсолютном времени. Впервые эту идею выдвинул Милн, и я приветство-
приветствовал ее, потому что при соответствующем законе ее изменения оказывается
возможным объяснить некоторые очень большие числа, встречающиеся
в Природе.
Пока еще нет никаких наблюдательных данных, которые могли бы
указать нам направление разрешения этих вопросов, так что пока мы
должны хотя бы попытаться найти наиболее удовлетворительную теорию.
До недавнего времени популярность стационарной теории удерживала лю-
людей от работы в этом направлении. Но в будущем, благодаря возрождению
теории Большого Взрыва, можно ожидать возобновления подобной дея-
деятельности.
Мерой величия научной идеи служит ее способность стимулировать
воображение и открывать новые направления исследований. В этом отно-
отношении рейтинг космологии Леметра следует признать высочайшим.
Литература
1. Lemaitre G. // Phil. Mag. 1924. V. 48. P. 164.
2. Lemaitre G. // Ann. Soc. Scient. Bruxelles. 1931. V. 51. P. 83.
3. Lemaitre G. // Ann. Soc. Scient. Bruxelles. 1937. V. 57. P. 165.
4. Lemaitre G. // Ann. Soc. Scient. Bruxelles. 1927. V. 47A. P. 49; Monthly Notices
of R.A.S. 1931. V. 91. P. 483.
5. Lemaitre G. // Monthly Notices of R.A.S. 1931. V. 91. P. 490.
6. Lemaitre G. // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1934. V. 20. P. 12.
7. Lemaitre G. // British Association Report. 1931. P. 605; Nature Supplement,
1931. V. 128. P. 701.
8. Lemaitre G. // Rev. Mod. Phys. 1948. V. 21. P. 357.
57
ДЖЕЙМС ЧЭДВИК *)
Джеймс Чэдвик родился в 1891 году в Манчестере. Он учился на
физическом факультете Манчестерского университета, где испытал влия-
влияние Эрнста Резерфорда.Он очень рано начал исследовательскую работу
совместно с А.С. Расселлом. Им впервые удалось обнаружить и иссле-
исследовать 7-излучение, сопровождающее а-излучение некоторых элементов,
в частности, радия и полония.
Осенью 1913 года Чэдвик перебрался в Берлин, где начал работать
с Гейгером, который ранее работал в лаборатории Резерфорда в Манче-
Манчестере. Вскоре Чэдвик получил важные результаты по эмиссии /3-лучей из
радиоактивных источников. Его предшественники с помощью фотографи-
фотографического метода обнаружили, что /3-лучи обладают линейчатым спектром.
Чэдвик использовал счетчик Гейгера и обнаружил, что линейчатый спектр
налагается на непрерывный спектр. Он совершенно справедливо заклю-
заключил, что первичное излучение источника обладает непрерывным спектром.
Летом 1914 года Чэдвик и еще три юных англичанина отправились
в пешее путешествие (воскресную прогулку) в Черный Лес. Они беззаботно
проводили свое свободное время, без газет, ничего не зная о напряженном
между народном положении, пока внезапно все четверо не были арестованы
и интернированы. Они оказались в лагере для военнопленных в Рухлебене,
где и находились до конца мировой войны.
Чэдвик и здесь не тратил своего времени даром. Одним из членов этой
четверки был Ч.Д. Эллис, которого Чэдвик обучал физике, и они совмест-
совместно провели несколько простых экспериментов с помощью оборудования,
которое им любезно предоставили Планк, Нернст и Лиза Мейтнер.
По окончании войны Чэдвик вернулся в Манчестер к Резерфорду.
В том же году Резерфорд стал директором Кавендишской лаборатории
в Кембридже и взял с собой Чэдвика. После этого Резерфорд и Чэдвик
провели серию важных экспериментов по бомбардированию а-частицами
различных мишеней.
Эпохальное открытие произошло в 1932 году. При бомбардировке бе-
бериллия а-частицами с большой энергией, возникающими при распаде ядер
полония, было обнаружено, что возникает странное особо проникающее
излучение. Это излучение впервые наблюдали Боте и Беккер в Германии
и Ирэн и Фредерик Жолио-Кюри в Париже. Последние заметили, что при
падении этого излучения на парафин выбивается большое число протонов.
I James Chadwick // Commentarii. Pont. Acad. Scient. 1975. V. 3, N. 6. P. 1-8.
57. ДЖЕЙМС ЧЭДВИК 711
Однако, все эти исследователи неверно истолковывали наблюдаемое излу-
излучение. Все они считали, что оно было разновидностью 7-лучей.
Чэдвик воспринял это весьма загадочное явление как нечто достойное
более тщательного изучения. Он тщательно измерил диапазоны энергий
выбиваемых протонов и определил их относительные числа в различных
диапазонах. Он обнаружил, что эти числа значительно превышают те
значения, какие можно было бы ожидать в случае, если бы это были
протоны, просто выбиваемые 7-лучами. Кроме того, чтобы выбить такие
протоны, необходимы 7~ЛУЧИ с энергиями до 55 МэВ, что невозможно
себе представить, поскольку исходные а-лучи имели энергии лишь около
5 МэВ.
Чэдвик проделал подобные эксперименты с неизвестным излучением
из бериллия, падающим на мишень, содержащую ядра азота, значительно
более тяжелые, чем протоны в парафине, и получил еще более парадок-
парадоксальные результаты. Обнаружилось, что ядра азота вылетают с кинетиче-
кинетическими энергиями до 1,2 МэВ, что потребовало бы 7-лучей с энергией около
90 МэВ.
После этого Чэдвик сделал решающий шаг. Он понял, что излучение
бериллия не может быть 7-лучами. Кроме того, оно не могло состоять
из заряженных частиц, поскольку было столь проницающим. Оно должно
было быть частицей нового вида, нейтроном. Чтобы обладать достаточно
большим импульсом, необходимым для выбивания протонов и ядер азота,
эта частица должна иметь массу, примерно равную массе протона. То-
Тогда столкновительные процессы будут удовлетворять законам сохранения
энергии и импульса.
Необходима была большая смелость, чтобы в те времена заявить о
новой частице. Люди привыкли верить в наличие лишь двух видов эле-
элементарных частиц: протонов и электронов, соответствующих двум типам
электрических зарядов: положительному и отрицательному. Незадолго до
открытия Чэдвиком новой частицы уже был открыт позитрон. Однако
люди все еще не желали постулировать существование новых частиц и
соглашались на это только в случае неизбежной очевидности.
Вскоре после этого Чэдвик сделал работу, в которой сумел довольно
точно определить массу нейтрона. Он изучал ядерную реакцию
В11 + Не4 -+ N14 + п.
Массы, входящих сюда ядер, были хорошо известны, так что измерив
энергии и воспользовавшись соотношением Эйнштейна между энергией
покоя и массой, он смог определить массу нейтрона. Его результат 1,0067
массы протона не намного отличается от ныне принятого значения 1,00898.
Поскольку масса нейтрона оказалась больше массы протона, Чэдвик
совершенно правильно предположил, что нейтрон является нестабильной
частицей, распадающейся на протон и электрон.
Открытие Чэдвиком нейтрона послужило толчком к бурному развитию
ядерной физики. Нейтроны представляют собой идеальные снаряды для
712 VII. ПЕРСОНАЛИИ
бомбардировки атомных ядер. Если в качестве снарядов использовать
заряженную частицу, то прежде, чем достичь ядра, она должна преодо-
преодолеть облако электронов, образующее щит вокруг ядра. Затем она должна
взобраться на потенциальный барьер, обусловленный зарядом ядра. Для
этого ее начальная энергия должна быть достаточно велика, ибо в про-
противном случае она не достигнет ядра. В любом случае ее энергия при
столкновении с ядром окажется значительно меньше начальной.
Нейтрон, напротив, вовсе не взаимодействует с электронами и свободно
проходит через их щит. Кроме того, он не должен преодолевать потен-
потенциальный барьер, создаваемый зарядом ядра. Поэтому он ударяет его,
обладая всей своей энергией.
Таким образом, нейтрон открыл новые широкие возможности для
эксперимента. Во многих случаях может происходить его захват ядром,
а при взаимодействии с тяжелыми ядрами может иметь место процесс
совершенно нового типа— распад ядра. Он открывает возможность круп-
крупномасштабного высвобождения энергии покоя ядра.
Кроме того, понятие нейтрона имеет огромное теоретическое значе-
значение для описания структуры ядра. До открытия нейтрона приходилось
считать, что ядро состоит из протонов и электронов, так как они были
единственными известными частицами. Было очень трудно понять, как
электроны могут удерживаться в ядре. Вследствие своей очень малой мас-
массы они, согласно законам квантовой механики, должны очень интенсивно
двигаться и, следовательно, их нельзя удержать в столь малом объеме как
атомное ядро, без использования дополнительной энергии. Эта проблема
была решена. В ядре нет электронов. Оно целиком состоит из протонов и
нейтронов, тяжелых частиц, которые легко могут быть удержаны в малом
объеме ядра.
В 1935 г. Чэдвик перехал в Ливерпуль и организовал лабораторию,
которая осуществила значительную работу по расщеплению ядер. В этой
лаборатории было найдено значение сечения деления U235 и тем самым
была доказана возможность осуществления цепной реакции с целью осво-
освобождения внутриядерной энергии.
Чэдвик получил многочисленные награды за свой выдающийся вклад
в физику. Он умер в июле 1974 года.
58
ВЛИЯНИЕ ГЕЙЗЕНБЕРГА НА ФИЗИКУ*)
Я счастлив, что мне представилась возможность высказать все, чем
я обязан Гейзенбергу. Он указал путеводную нить, которая вывела меня
на правильную дорогу и преобразовала всю мою работу в теории атома.
Рассказать о вкладе Гейзенберга в физику — это то же самое, что расска-
рассказать об открытии квантовой механики, механики атома. В то время, когда
все пребывали в недоумении, Гейзенберг нашел ключ, открывающий путь
дальнейшего продвижения, а затем играл доминирующую роль в развитии
этого направления. Он оказал огромное влияние на все развитие атомной
физики.
До Гейзенберга теория атома основывалась на боровских орбитах. Это
была примитивная теория с очень ограниченной областью применимости,
по существу, одноэлектронная теория. Гейзенберг заменил ее общей и
мощной системой уравнений, формирующей совершенно новую механику,
которая пришла на смену механике Ньютона при описании малых объек-
объектов мира атомов.
Вернер Гейзенберг родился в декабре 1901 года. Начало жизни хо-
хорошо подготовило его к предстоящей великой работе. Его отец Август
Гейзенберг был профессором на кафедре греческого языка в университете
Мюнхена. В своей работе он проявлял творческий подход, отдавая предпо-
предпочтение существенным аспектам, не погружаясь чрезмерно в детали. Такая
ментальность была унаследована его сыном Вернером. Кроме того, Вернер
был знаком с древнегреческой философией и сам сильно интересовался
философскими вопросами. Он читал работы Платона и Демокрита, и тем
самым не мог не оказаться вовлеченным в круг размышлений о предель-
предельных элементах материи.
У молодого Гейзенберга еще в школе проявились большой талант и
математические способности. В 1920 г. он был принят в университет Мюн-
Мюнхена. Он обратился с просьбой о разрешении посещать семинар математика
Линдеманна. Однако он получил отказ в связи с тем, что читал работу
X. Вейля по теории относительности, которую Линдеманн считал не под-
подходящей для математика. Тогда Гейзенберг обратился к физику-теоретику
А. Зоммерфельду, и был принят. Это оказалось поворотным пунктом в его
карьере, направившим его в теоретическую физику.
Вся атмосфера, в которую погрузился Гейзенберг, была пронизана
теорией атома Бора. Согласно этой теории, считается, что атом может
*) Heisenberg's Influence on Physics // Commentarii. Pont. Acad. Scient. 1976. V. 3, N. 14.
P. 1-15.
714 VII. ПЕРСОНАЛИИ
существовать в различных стационарных состояниях с определенными
энергиями, и может перепрыгивать из одного состояния в другое, испуская
или поглощая излучение, частота которого связана с изменением энер-
энергии. В стационарных состояниях электроны движутся по периодическим
орбитам, описываемым классическими законами Ньютона. Кроме этого
они должны удовлетворять некоторым дополнительным условиям, так
называемым квантовым условиям, согласно которым константы движения
должны быть кратны постоянной Планка h. Эти величины носят название
квантовых чисел.
Зоммерфельд существенно развил теорию Бора и сделал ее более точной.
Таким образом, начав работать вместе с Зоммерфельдом, Гейзенберг оказал-
оказался в самом подходящем месте для дальнейшего развития атомной теории.
В первом семестре Зоммерфельд дал Гейзенбергу задачу по эффекту
Зеемана, относящемуся к влиянию магнитного поля на атомные спектры.
Зоммерфельд вручил Гейзенбергу экспериментальные данные и предло-
предложил ему найти их объяснение в рамках понятий теории Бора. Гейзенберг
вскоре нашел ответ, но, к его удивлению, в этом ответе возникли полуцелые
квантовые числа.
В этом раннем исследовании проявились качества Гейзенберга — на-
настойчивость и смелость. Он должен был досконально, уделяя внимание
деталям, изучить следствия экспериментальных данных, а когда они при-
привели к противоречию с принятыми представлениями, он не испугался,
а смело предложил пересмотреть эти представления. Возможно, только
очень молодой человек способен на это.
Когда Гейзенберг рассказал Зоммерфельду о своих результатах, тот
оказался в шоке. Именно представление о целых значениях квантовых чи-
чисел было сердцевиной теории Бора и ее развития Зоммерфельдом, а теперь
Гейзенберг предложил его отбросить. Последовала долгая дискуссия меж-
между ними, и, наконец, Зоммерфельд оказался вынужденным согласиться
с тем, что Гейзенберг, по-видимому прав.
Теперь мы знаем, что половины квантовых чисел появляются из-за
спинов электронов. Но в то время считалось твердо установленным, что
электроны не могут обладать таким свойством как спин. Лишь пять лет
спустя (в 1925 году) Гоудсмит и Уленбек опубликовали идею относитель-
относительно спина электрона, встретив противодействие Лоренца, создателя тео-
теории релятивистского электрона. Лоренц проделал расчеты, основанные на
энергетических соображениях, и показал, что спина у электрона быть не
может.
После двух лет в Мюнхене Гейзенберг перебрался в Геттинген и начал
работать в институте Макса Борна. Здесь была сделана наиболее важная
его работа. Начать с того, что она была связана с развитием представления
о структуре спектров атомов с несколькими электронами.
Недостаток знаний о спине электрона порождало в то время большие
трудности, связанные, в частности, с тем, что не было известно о двух
состояниях спина. Из экспериментов было известно, что при добавлении
58. ВЛИЯНИЕ ГЕЙЗЕНБЕРГА НА ФИЗИКУ 715
к системе электронов еще одного электрона число стационарных состояний
полученной системы не совпадает с тем числом, которое следовало бы
из квантования состояний дополнительного электрона согласно правилам
Бора-Зоммерфельда, а оказывается вдвое больше. Предполагалось, что
это удвоение возникает неким таинственным образом вследствие взаимо-
взаимодействия нового электрона с предыдущими.
Гейзенберг тщательно исследовал роль этого удвоения в атомных спек-
спектрах. Он ввел для него специальный термин, Zweideutigkeit. Оно рас-
рассматривалось как механически непостижимое следствие взаимодействия
электрона с другими электронами атома. Я в то время был аспирантом
в Кембридже и очень хорошо помню сильное впечатление, которое произ-
произвело на всех введение Zweideutigkeit. Для его обозначения был придуман
специальный английский термин, duplexity (двоичность).
Здесь была определенно новая идея, выходящая за рамки тех, что
лежали в основе теории орбит Бора. С ее помощью можно было отправить-
отправиться дальше по пути систематизации закономерностей спектральных линий
атомов. По существу она ничего не объясняла, но объединяла трудности
и позволяла сконцентрировать всю загадочность в единый принцип. Было
понятно, что невозможно глубже проникнуть в природу этих трудностей,
лишь обозначив их, пользуясь словами Гейзенберга, как механически непо-
непостижимых.
Возбуждение от понятия Zweideutigkeit, взволновавшее мир физиков,
оказалось кратковременным. Оно умерло, как только было открыто истин-
истинное объяснение на основе представления о спине электрона. Но оно ярко
продемонстрировало достоинства Гейзенберга в преодолении серьезных
трудностей и в его способности выделять ту часть проблемы, которой
стоит заняться в первую очередь. Эти достоинства сыграли огромную
роль, когда Гейзенберг приступил к основной проблеме — выводу точных
уравнений, описывающих взаимодействие электронов в атоме.
Теория Бора была по существу одноэлектронной теорией. Для каждого
электрона была своя отдельная боровская орбита. Как же взаимодейству-
взаимодействуют боровские орбиты в случае нескольких электронов в атоме? Я сам зани-
занимался этой задачей и поэтому уверенно могу сказать, насколько она была
запутанной. Различные исследователи предлагали свои подходы к ней, все
весьма искусственные, и разрабатывали их путем сложных расчетов, но
так и не добились существенных успехов.
Гейзенберг видел необходимость совершенно нового подхода и даже
был готов собрать все боровские орбиты вместе. Однако было необходимо
найти что-то такое, чем можно было бы заменить их. Сейчас я продемон-
продемонстрирую основные шаги, приведшие Гейзенберга к успеху.
Каждая боровская орбита описывает периодическое (или многократ-
многократно периодическое) движение электрона в атоме. Согласно классическим
представлениям, основными матаматическими величинами, характеризу-
характеризующими взаимодействие атома с электромагнитным излучением, являются
амплитуды Сп различных мод колебаний и их частоты vn. Здесь индекс п
716 VII. ПЕРСОНАЛИИ
указывает квантовое число орбиты (если требуется несколько квантовых
чисел, то п используется для обозначения всего их набора).
Вся математическая теория взаимодействия базируется на величинах
Cn, z/n, описывающих боровские орбиты. Боровские орбиты ненаблюдае-
мы, поэтому эта теория базируется на ненаблюдаемых величинах.
Гейзенберг придерживался определенной позитивистской философии,
что не позволяло ему смириться с теорией, базирующейся на ненаблюда-
ненаблюдаемых величинах. Поэтому первым его шагом было исключение из теории
величин Cn, vn.
После их изгнания возник вопрос: что использовать вместо них? Для
vn замена вполне очевидна. Следует использовать частоты наблюдаемых
спектральных линий ^nm, каждая из которых связана со скачком между
двумя боровскими орбитами, заданными квантовыми числами пит. Чем
же следует заменить Сп? Указание дает более ранняя статистическая
теория испускания и поглощения излучения, созданная Эйнштейном.
Эйнштейн предположил, что интенсивности процессов испускания и по-
поглощения между двумя стационарными состояниями пит определяются
некими коэффициентами Апт, Впш и вывел соотношения между ними, исхо-
исходя из условия статистического равновесия. (Эта работа привела к лазеру.)
Гейзенберг, в совместной работе с Крамерсом, получил новое урав-
уравнение для рассеяния света атомами путем модификации классического
уравнения. Амплитуды Сп классической теории были заменены новыми
амплитудами Cnm, связанными с квадратными корнями из коэффициен-
коэффициентов Эйнштейна, а частоты боровских орбит vn заменены на спектральные
частоты vnrn. Модификация была проведена логически последовательно,
так что новая дисперсионная формула оказалась разумной и удовлетво-
удовлетворительной. Она удовлетворяла требованию Гейзенберга не использовать
ненаблюдаемые величины Сп и vn.
Эта формула подсказала Гейзенбергу общее правило, согласно кото-
которому следует везде заменить классические амплитуды Сп новыми ам-
амплитудами Cnm, связанными с коэффициентами Эйнштейна, каждый из
которых ассоциируется с двумя стационарными состояниями пит.
Теперь уже имелись основания для значительного продвижения. Гей-
Гейзенберг выдвинул идею построения динамической теории полностью в тер-
терминах амплитуд типа Спш и частот vnrn. Боровские орбиты можно было
теперь отбросить.
Каждая из новых величин ассоциируется с двумя стационарными со-
состояниями, а не с одним. Чтобы представить их естественным образом, их
следует расположить в виде
Сц С12 Сгз • • -
Сц С12 С\з • • '
Сц С12 С\з • • '
Такая структура называется матрицей.
58. ВЛИЯНИЕ ГЕЙЗЕНБЕРГА НА ФИЗИКУ 717
Великая объединяющая идея Гейзенберга состояла в том, что вся эта
конструкция должна была рассматриваться как единое целое, и что вме-
вместо обычных уравнений динамики необходимо было получить уравнения,
связывающие элементы этой совокупности. Это было шагом в совершенно
новый для физиков образ мышления.
В то время имелись математики, знакомые с матрицами, но Гейзенберг
не был знаком ни с одним из них и ему пришлось самому разрабаты-
разрабатывать соответствующую алгебру. Сложение матриц очевидно. Для их пере-
перемножения Гейзенбергу пришлось найти естественный метод комбинации
элементов таким образом, чтобы получить соответствие перемножению
прежних коэффициентов Сп в классических уравнениях. В результате им
было угадано то самое правило перемножения матриц, какое было уже
известно математикам.
Метод Гейзенберга состоял в нахождении матричных уравнений, анало-
аналогичных обычным уравнениям кинематики и динамики. Не успев еще суще-
существенно продвинуться вперед, он столкнулся с тем, что при перемножении
матриц и и v важен порядок их расположения. В общем случае uv не
равно vu. Матрицы подчиняются некоммутативному закону умножению.
Такой результат для и и г?, представляющих физические величины,
был совершенно чужд всей математике, использовавшейся до того времени
при описании Природы. Это больше всего беспокоило Гейзенберга. Тем не
менее, ему пришлось смириться с этим, иначе ему следовало бы отвергнуть
весь свой метод.
Гейзенберг пришел к основным идеям своей теории, когда он был на
о. Гельголанд в Северном море. Он отправился туда на отдых и для поправ-
поправки здоровья, поскольку страдал сенной лихорадкой. Здесь он оторвался от
повседневной рутины своей работы и смог охватить всю проблему целиком,
не испытывая ни напряжения, ни спешки. Это были идеальные условия
для совершения великого открытия — не то что работать за столом, жестко
направляя свои мысли в одном направлении, полностью тобой овладев-
овладевшим.
Сначала Гейзенберг в качестве простого примера рассмотрел ангар-
ангармонический осциллятор. Ему пришлось проделать весьма громоздкие вы-
вычисления, чтобы проверить согласованность своих уравнений, и бешено
работать в течение почти всей ночи прежде, чем он добился, чтобы все ока-
оказалось правильно. Когда, наконец, все встало на свои места, он с огромным
возбуждением осознал, что действительно добился нового понимания ма-
математической структуры, которой подчиняется атомный мир. Гейзенберг
написал статью и показал ее своему профессору, Максу Борну. Тот нашел
ее интересной, хотя и странной, поскольку в ней понятие электронной
орбиты отсутствовало. Тем не менее, Борн направил ее для публикации.
Борн был знаком с матрицами и продолжил изучение работы Гей-
Гейзенберга вместе с Иорданом, другим своим студентом в Геттингене, пока
Гейзенберг отсутствовал, поскольку читал лекции в Голландии и Кембри-
Кембридже. Борн и Иордан вскоре нашли простейший случай некоммутативного
718 VII. ПЕРСОНАЛИИ
умножения ,
относящийся к динамической координате q и сопряженному импульсу р.
Здесь h — постоянная Планка. Это соотношение для новой теории является
фундаментальным.
После возвращения Гейзенберга все трое объединили свои усилия для
интенсивной работы по развитию новой механики. Таким образом неком-
некоммутативная алгебра вошла в мир физики.
Это действительно поразительно, что столь экстраординарная идея,
как некоммутативная алгебра, оказалась удобным средством для описания
Природы. Это настолько далеко от соображений здравого смысла, что
можно только удивляться, как человеческий ум, пусть даже ум гения, смог
додуматься до этого. Разумеется, это не могло быть достигнуто прямой
атакой. Только кружным путем, руководствуясь надежными основными
принципами и опираясь на серьезное осмысление экспериментальных ре-
результатов.
Вы видите, как Гейзенберг отправился в этот путь, ведомый своим
философским убеждением в необходимости изгнания из теории ненаблю-
ненаблюдаемых величин. На смену им ему предстояло найти наблюдаемые величи-
величины. После этого он должен был определить, как найденные наблюдаемые
величины естественным образом объединяются в уравнения. Это привело
его к новым для физики математическим понятиям, матрицам. Затем,
работа с этими матрицами заставила его ввести новую алгебру.
Единственным открытием нового времени, которое можно сравнить
с открытием Гейзенбергом некоммутативной алгебры, является открытие
Эйнштейном необходимости искривленного пространства. Оба открытия
основаны на прямом отрицании того, что ранее воспринималось как оче-
очевидное и оба потребовали введения в физику новой математики. Одна-
Однако, изменение, введенное Эйнштейном, концептуально не было настолько
странным. Представить себе возможность искривленного пространства
было проще. Кроме того, оно было уже исследовано Риманом, заложившем
его математическое обоснование на исходе предыдущего столетия. Изумле-
Изумление, вызванное некоммутативной алгеброй Гейзенберга, было значительно
сильнее.
Как только Гейзенберг как искру высек идею некоммутативной алгеб-
алгебры, общее направление развития атомной теории полностью изменилось.
Эта алгебра оказалась той путеводной нитью, которую так долго ждали.
После этого много людей присоединились к работе, и развитие пошло
очень быстро. Все они включились в работу над новой теорией, наслажда-
наслаждаясь широкими возможностями, которые она открыла для свежего подхода
к проблемам, которые долго считались тупиковыми и обескураживающи-
обескураживающими. Это стало началом Золотого века в теоретической физике, которому
не было равного ни до, ни после. Воистину, замечательное превращение,
являющееся заслугой одного человека.
58. ВЛИЯНИЕ ГЕЙЗЕНБЕРГА НА ФИЗИКУ 719
Боровские орбиты были отброшены, но безусловно более фундамен-
фундаментальная идея Бора о стационарных состояниях атома сохранилась. Была
построена новая механика, получившая название матричной механики.
Оказалось, ее уравнения можно сделать очень похожими на уравнения
старой механики Ньютона, особенно, если последние записаны в гамиль-
тоновой форме. Необходимо было лишь обобщить их так, чтобы внести
в них некоммутативность. Это была восхитительная игра.
Быстрее всего происходило развитие математической стороны новой
теории. Но оно не давало полной теории. Математика давала лишь урав-
уравнения, связывающие абстрактные некоммутирующие величины, которые
каким-то образом «представляли» физические переменные. Для полноты
теории необходимо было найти метод, связывающий эти некоммутирую-
некоммутирующие величины с числами, которые можно затем сравнивать с эксперимен-
экспериментальными данными. Было совсем не очевидно, как это сделать. Как можно
приписать численные значения величинам и и г>, если uv не равно vul
Какие бы числа мы им не дали, uv всегда будет равно vu.
Вначале просто вычисляли энергетические уровни, и радовались, ко-
когда полученные результаты оказывались в согласии с экспериментом. Но
это было очень частным достижением, которого было недостаточно для
создания полной теории.
Развитие общей физической интерпретации чрезвычайно продвину-
продвинулось, благодаря фундаментальной работе Э. Шрёдингера. Шрёдингер ра-
работал независимо от Гейзенберга, следуя идеям Л. де Бройля, связываю-
связывающим волны с частицами, подобно тому, как волны света ассоциируются
с фотонами. Ему удалось построить теорию для вычисления атомных
спектров. Он назвал ее волновой механикой. Таким образом, мы получили
две успешные теории атома— матричную механику и волновую механику.
Это было чрезмерным богатством.
Но вскоре Шрёдингер обнаружил, что оба вида механики на самом
деле эквивалентны, и с помощью математического преобразования можно
перейти от одной к другой. Эта эквивалентность была основана на том,
что в теории Шрёдингера используются дифференциальные операторы,
которые также подчиняются некоммутативной алгебре, так что их можно
связать с матрицами, удовлетворяющими тем же самым формальным со-
соотношениям.
Шрёдингер разработал свои идеи совершенно независимо от Гейзенбер-
Гейзенберга, и мог бы развивать их даже в том случае, если бы Гейзенберг вообще
не существовал. Можно порассуждать о том, как бы в этом случае разви-
развивалась атомная теория. У Шрёдингера не было фундаментальной идеи о
некоммутативности динамических переменных, но он уверенно вступил на
путь, который должен был привести его к этому.
Таким образом идеи Гейзенберга и Шрёдингера объединились и ста-
стали двумя формами одной теории, квантовой механики. Тем самым была
заложена мощная предпосылка для выработки общей физической интер-
интерпретации.
720 VII. ПЕРСОНАЛИИ
В мае 1926 года Гейзенберг переехал в Копенгаген и стал сотрудником
Бора. Копенгаген стал центром дискуссий о физическом понимании тео-
теории. Главным ее пунктом было противостояние между Бором и Гейзенбер-
гом с одной стороны, которые придерживались идеи квантовых скачков,
и Шрёдингером с другой, который хотел, чтобы его волны обеспечивали
непрерывное описание атомных событий.
Шрёдингер в рамках своего нового подхода предложил также и новую
интерпретацию квантовой механики. Он считал, что илучение, испускае-
испускаемое или поглощаемое атомом, обусловлено интерференцией волн, связан-
связанных в его механике с верхним и нижним состояниями атома. В таком
случае испускание или поглощение оказываются непрерывным процессом,
не связанным со скачком. Однако схема Шрёдингера имела ограниченную
применимость, а при ее обобщении на другие атомные процессы возникали
трудности.
Бор и Гейзенберг настаивали на необходимости квантовых скачков.
Действительно, они были сутью теории, основанной на гейзенберговых
матрицах. Интенсивные дискуссии продолжались в течение всего визита
Шрёдингера в Копенгаген, но ни одна сторона не пришла к согласию
с другой.
После отъезда Шрёдингера еще оставались различия в позициях Бора
и Гейзенберга, ставшие предметом дальнейших дискуссий. В частности,
Бор старался выяснить, как совместить идею частиц с волнами Шрё-
Шрёдингера. Он подчеркивал дуализм понятий волны и частицы. Гейзенберг
держался ближе к математическому описанию.
Тем временем, развитие математического аппарата привело к возмож-
возможности общего подхода к вычислению вероятностей. Стало возможным вы-
вычислять вероятности, необходимые для описания результатов столкнове-
столкновений, а также более общие вероятности того, что какие-либо динамические
величины будут иметь конкретные значения при выполнении обязательно-
обязательного условия коммутативности этих динамических величин. Пришло пони-
понимание того, что в этих вероятностях содержится вся точная информация,
которую может обеспечить квантовая механика.
В период временного отсутствия Бора, когда Гейзенберга ничто не
отвлекало, он предпринял новую попытку разрешить вопрос о том, что
можно обнаружить при наблюдении движения электрона. Он понял, что
наблюдения никогда не являются точными. Их результат всегда содержит
неопределенность. Простой расчет показал ему, что эта ситуация поддает-
поддается математической формулировке. Результатом наблюдения координаты q
будет некое число, лежащее в некотором интервале Aq. Аналогичным
образом, результатом наблюдения импульса р также будет некое чис-
число, лежащее в некотором интервале Ар. Гейзенбергу удалось установит,
опираясь на соотношение A), связывающее переменные q и р, что при
одновременном наблюдении q и р в случае наиболее благоприятных теоре-
теоретически возможных условий интервалы значений Aq и Ар определяются
58. ВЛИЯНИЕ ГЕЙЗЕНБЕРГА НА ФИЗИКУ 721
равенством ,
Д9ДР=А.
Полученное условие ограничивает точность измерений. Никто не мо-
может обойти его. В квантовой теории оно имеет фундаментальный характер.
Не существует ограничения точности, с которой может быть определена
величина q. Интервал Aq может быть сколь угодно мал. Но тогда интервал
Ар окажется соответственно велик.
Этот результат вполне прозрачен. Он получил название Принципа
Неопределенности Гейзенберга. Его часто считают краеугольным камнем
квантовой механики. На самом деле это не так, потому что он является не
точным уравнением, а лишь утверждением относительно неопределенно-
неопределенностей. Реальным краеугольным камнем является точное уравнение A) и все
его математические следствия, обеспечивающие вычисление вероятностей.
Бор использовал этот Принцип Неопределенности и обобщил его
в Принцип Дополнительности. Согласно этому принципу существуют до-
дополнительные величины, так что наблюдение одной из них препятствует
наблюдению другой. Примером дополнительных величин могут служить
характеристики волн и частиц. Это справедливо не только в физике, но и
в более общих разделах знаний, и Бор построил на основе своего принципа
обширную философскую доктрину.
Бор и Гейзенберг пришли к согласию относительно физической ин-
интерпретации квантовой механики. Принцип Неопределенности позволил
понять, что вероятности, вычисленные математически, содержат всю ин-
информацию, которую можно получить из квантовой теории. Необходимо
отказаться от детерменизма в старой механике Ньютона. Эти положения
получили известность как Копенгагенская интерпретация квантовой ме-
механики.
Поскольку вероятности — это все, что хотят знать экспериментаторы,
большинство физиков были счастливы в сложившейся ситуации. Одна-
Однако, осталась часть физиков, возглавляемая Шрёдингером и Эйнштейном,
которая не могла безоговорочно смириться с ней, и продолжала лелеять
надежду на возврат к детерминизму классической теории.
Новая квантовая механика Гейзенберга и Шрёдингера проявила себя
как очень мощное средство исследования проблем атомного мира. На-
Настолько убедительное, что некоторое время людям казалось, что она смо-
сможет обеспечить решение всех атомных проблем. Но через несколько лет
начали появляться серьезные трудности.
Квантовая механика является нерелятивистской теорией. Ее уравнения
(за исключением некоторых элементарных случаев) относятся к одной
частной временной оси, а не ко всем временным осям в равной степени,
как того требует специальная теория относительности Эйнштейна. Если ее
применить к взаимодействующим частицам и попробовать сделать теорию
релятивистской, то получатся уравнения, которые не имеют решения. Как
было детально продемонстрировано в работе Гейзенберга и Паули, это по-
722 VII. ПЕРСОНАЛИИ
лучается даже в случае взаимодействия между электронами и фотонами,
двумя частицами, о которых нам известно больше всего.
Гейзенберг взялся за эту проблему в характерной для него манере. Он
предложил сконцентрировать все внимание на наблюдаемых величинах,
т. е. на подходе, который ранее обеспечил ему грандиозный успех.
Релятивизм теории важен, когда приходится иметь дело с частицами
с большими скоростями или энергиями. Эксперименты с подобными ча-
частицами носят характер экспериментов со столкновениями и наблюдений
вероятностей различных событий, происходящих при заданных начальных
условиях.
Гейзенберг предположил, что каждая из этих вероятностей будет
определяться амплитудой, подобной матричным элементам его ориги-
оригинальной матричной механики. Все эти амплитуды должны образовывать
некую единую матрицу, которая получила название 5-матрицы. Знание
^-матрицы должно обеспечить связь между любыми начальными и ко-
конечными состояниями столкновительного процесса. Теория, позволяющая
рассчитать ^-матрицу, дала бы вероятности всех рассеяний и, следова-
следовательно, всю информацию, которую ждут экспериментаторы.
На 5-матрицу могут быть наложены различные условия, но их недоста-
недостаточно для однозначного ее определения. Проблема нахождения 5-матрицы
не решена до настоящего времени, после более чем 40 лет интенсивной
работы физиков всего мира.
Провозгласив важность ^-матрицы, Гейзенберг создал каркас реляти-
релятивистской квантовой механики, но никто не знает, как его заполнить. Не
хватает уравнений движения, обеспечивающих детальной информацией,
которую мы имеем в нерелятивистской квантовой механике.
Тем не менее понятие ^-матрицы наиболее удобно. Наблюдения про-
процессов столкновения частиц дают информацию о некоторых их элементах.
Ею можно заполнять данный каркас, и тем самым постепенно увеличивать
наши знания об 5-матрице.
Другая идея, выдвинутая Гейзенбергом, состоит в том, что может суще-
существовать некая фундаментальная длина Л, играющая в природе столь же
важную роль, что и постоянная Планка h. На расстояниях, сравнимых с /i,
наши обычные представления о пространстве становятся неприемлемы.
Развитие этой идеи приводит к предположению, что в процессах со столь
малыми характерными расстояниями, соответствующими очень высоким
энергиям, могут иметь место физические реакции, приводящие к одновре-
одновременному рождению многих частиц. Но до сих пор не было создано общей
математической теории в этом направлении.
В последние годы своей жизни Гейзенберг был озабочен необходимо-
необходимостью обеспечения единства физики. Экспериментаторы продолжали ра-
работать на ускорителях высоких энергий и непрерывно открывали новые
частицы. При этом все они претендовали на то, чтобы их считали элемен-
элементарными. Гейзенберг предположил, что все они соответствуют решениям
некоего одного уравнения. Это была бы замечательная идея, если бы она
58. ВЛИЯНИЕ ГЕЙЗЕНБЕРГА НА ФИЗИКУ 723
сработала. Гейзенберг вывел некоторое кубическое уравнение, с которым
он надеялся проделать этот номер, и в течение многих лет работал над
ним. Однако он встретился с трудно преодолимыми сложностями и достиг
весьма ограниченного успеха. Тем самым ценность этого уравнения оказа-
оказалась сомнительной.
Каков же статус имеют открытия Гейзенберга в настоящее время? Его
механика пользуется огромным успехом в самых различных приложениях,
кроме тех, где имеют место очень высокие энергии или очень малые
расстояния. Она лежит в основе описания всех обычных процессов в фи-
физике и химии. Однако в области очень высоких энергий или очень малых
расстояний проявляется ограниченность теории Гейзенберга. Становится
невозможно с уверенностью опираться на ее расчеты.
Однако, даже здесь общая идея Гейзенберга о некоммутативной ал-
алгебре остается справедливой. Для описания внутренних степеней свободы
элементарных частиц необходимы некоммутирующие динамические пере-
переменные. Правила перемножения их между собой приводят к математиче-
математическим группам. Наблюдения с помощью больших ускорителей указывают
нам, каковы эти группы. Знание групп приводит к классификации частиц
и подсказывает нам, какие квантовые числа необходимы для описания
внутреннего движения.
Обозревая весь путь открытий Гейзенберга, можно увидеть в нем урок
современным физикам. Возможно, в настоящее время нам необходимы
такие изменения, которые сравнимы с переходом от теории орбит Бора
к матричной механике Гейзенберга. Возможно они столь же фундамен-
фундаментальны, как введение некоммутативной алгебры. Если это так, то трудно
рассчитывать на то, что это удастся совершить прямой атакой. Потре-
Потребуется некий извилистый путь, подобный проложенному Гейзенбергом,
который может хорошо послужить моделью для будущего.
59
ВЛИЯНИЕ ЭЙНШТЕЙНА НА ФИЗИКУ *)
Эйнштейн обладал огромным влиянием во многих сферах дятельности.
Он был великим борцом за мир и свободу, его заслуги перед человечеством
неоценимы. Но здесь я собираюсь говорить о его влиянии на физику, ко-
которое является наиболее фундаментальным и далеко идущим следствием
всей его деятельности, и свидетельствует о его совершенно незаурядном
уме.
Работы Эйнштейна носили принципиально пионерский характер. Он
открывал новые пути развития в совершенно неожиданных направлениях.
Он приносил сюрпризы. Затем другие физики развивали его идеи.
Вот три главные изобретения, сделанные Эйнштейном.
I. Специальная теория относительности
П. Взаимосвязь между волнами и частицами
III. Общая теория относительности.
Каждое из них означало начало новой эры. Любое из них навечно
заняло свое место в истории науки. Всеми тремя мы обязаны Эйнштейну.
Специальная теория относительности
В специальной теории относительности Эйнштейн показал, что такие
привычные представления как пространство и время должны быть моди-
модифицированы. Традиционные взгляды не обеспечивает правильного описа-
описания физических процессов. Они должны быть заменены новым подходом,
в котором пространство и время оказываются внутренне связанными и
объединенными в четырехмерный континуум. Элементарные понятия ки-
кинематики и динамики подверглись пересмотру.
Иногда раздаются утверждения, что специальная теория относитель-
относительности была открыта Лоренцом или Пуанкаре, и цитируются работы, опуб-
опубликованные этими авторами раньше, чем Эйнштейн опубликовал свою
знаменитую статью по теории относительности в 1905 году. В этих утвер-
утверждениях содержится лишь часть правды, причем не основная ее часть.
Лоренц и Пуанкаре верили в эфир. Они получили некоторые уравнения
теории относительности, работая в рамках представлений об эфире, кото-
который всегда оставался в глубине их сознания.
Эйнштейн разрушил эфир, а тем самым и фундамент, на котором
работали другие. Он ввел новый принцип симметрии между простран-
*) Einstein's Influence on Physics // Einstein Galileo. Commemoration of Albert Ein-
Einstein.— Libreria Editrice Vaticana, Citta del Vaticano: Pont. Acad. Scient. P. 19-23.
59. ВЛИЯНИЕ ЭЙНШТЕЙНА НА ФИЗИКУ 725
ством и временем, который играет решающую роль в физике. Это было
величайшей заслугой Эйнштейна, и в этом он не имеет конкурентов.
Теперь всем ясно, что принципы симметрии играют очень важную роль
в большей части физики. Многие из используемых в наши дни принципов
симметрии приближенны, а некоторые нарушаются. Принцип симметрии,
введенный Эйнштейном, связывающий пространство и время, является
точным принципом физики и доминирует среди других.
Другим отличием позиции Эйнштейна от Лоренца и Пуанкаре явля-
является их различное отношение к экспериментальным результатам. Лоренц
выдвинул модель электрона, основываясь на своих преобразованиях и
согласии с требованиями симметрии Эйнштейна. Она пришла на смену
сферической модели Абрагама. Эксперименты, поставленные Кауфманом,
должны были установить справедливость одной из этих моделей. Резуль-
Результаты Кауфмана оказались в пользу модели Абрагама. Лоренц и Пуанкаре
были совершенно убиты. Эйнштейна это нисколько не встревожило. Он
был уверен в справедливости своего принципа симметрии. Он настолько
прекрасен, что должен быть правилен. Поэтому он сохранял уверенность
в том, что в эксперименте Кауфмана была допущена какая-то ошибка.
Через несколько лет оказалось, что так оно и было.
Специальная теория относительности породила длинную цепь после-
последующих достижений. Она привела к огромной энергии покоя, связанной
с массой, Е = тс2. Она привела к квадратному корню в формуле для
энергии движущегося тела, так что с математической точки зрения энер-
энергия могла бы быть отрицательной. На первый взгляд это не имеет значе-
значения; можно просто заявить, что состояния с отрицательной энергией не
существуют. Но после появления квантовой теории возникла возможность
перехода частицы из состояния с положительной энергией в состояние
с отрицательной энергией, так что приходится задуматься над смыслом
отрицательных энергий. Это привело к антиматерии, которая таким обра-
образом оказывается прямым следствием специальной теории относительности
Эйнштейна.
Специальная теория относительности поставила перед физиками мира
множество задач по приведению всех уравнений к виду, обладающему че-
четырехмерной симметрией. Обычно это делается достаточно просто. Неко-
Некоторые принципиальные трудности возникли в квантовой механике, их так
до сих пор не удалось полностью преодолеть.
Волны и частицы
К 1905 году основанная на уравнениях Максвелла волновая теория
света была хорошо разработана, но некоторые явления не согласовывались
с ней. Оказалось, что испускание и поглощение света происходят скачками.
Это привело Эйнштейна к мысли о том, что энергия сосредоточена в дис-
дискретных частицах. Это была революционная идея, которую очень трудно
понять, поскольку отрицать успехи волновой теории было невозможно.
726 VII. ПЕРСОНАЛИИ
Оказывается, что свет иногда следует воспринимать как волны, а иногда —
как частицы, и физики должны были с этим смириться.
Эта идея была использована в теории Бора атома водорода и играла
в ней существенную роль.
Бозе изучил статистику ансамбля световых частиц и обнаружил, что
обычная статистика для них не подходит. Законы новой статистики были
сформулированы совместно Бозе и Эйнштейном.
Изучая атом в состоянии статистического равновесия, Эйнштейн за-
заметил необходимость явления вынужденного испускания излучения. На
первый взгляд, этот эффект очень мал, но, благодаря новой статистике, он
может быть чрезвычайно усилен с помощью соответствующей аппаратуры.
Это привело к лазерам, широко распространенному устройству в совре-
современных технологиях, за которое мы должны благодарить Эйнштейна.
Как было показано де Бройлем, наличие волн, связанных с частицами,
справедливо для любых частиц, а не только тех, что движутся со скоро-
скоростью света. Де Бройль разработал математические соотношения между
волнами и частицами, исходя именно из требований специальной теории
относительности. Он обнаружил, что волны движутся быстрее скорости
света. Однако, их невозможно использовать для передачи сигналов быст-
быстрее света, что является важным свойством специальной теории относи-
относительности.
Теория де Бройля была обобщена Шрёдингером и привела к волновой
механике, лежащей в основе современной атомной теории. Здесь снова мы
встречаемся с длинной цепочкой развития физики, порожденной Эйнштей-
Эйнштейном.
Общая теория относительности
Эйнштейн создал геометрическое представление о гравитации, открыв
тем самым совершенно новое направление в физике. Ранее, общеприняты-
общепринятыми были два представления о физических силах, действие на расстоянии
и действие посредством поля. В ньютоновой гравитации возможны оба
из них. Для электрических и магнитных сил полезно понятие дальнодей-
дальнодействия, но действие посредством поля дает более полную картину, посколь-
поскольку допускает электромагнитные волны. Гравитация в теории Эйнштейна
интерпретируется в терминах кривизны пространства, поэтому для нее
возможна лишь полевая картина.
Теория Эйнштейна привела к некоторым небольшим отличиям от пред-
предсказаний теории Ньютона, что предоставило астрономам и физикам воз-
возможность проверить новую теорию. В первую очередь это относилось
к движению планеты Меркурий, которое в теории Ньютона представля-
представлялось аномальным, но было блестяще объяснено Эйнштейном. Следующим
было искривление света при прохождении вблизи Солнца, которое наблю-
наблюдалось во время полного солнечного затмения. Наблюдения, проведенные
в 1919 году, подтвердили теорию Эйнштейна. С тех пор подобные наблю-
59. ВЛИЯНИЕ ЭЙНШТЕЙНА НА ФИЗИКУ 727
дения были многократно повторены, каждый раз подтверждая теорию
Эйнштейна.
После открытия радиозвезд появилась возможность измерять откло-
отклонение радиоволн при их прохождении вблизи Солнца, для чего нет необ-
необходимости в полном затмении. Также имеет место замедление радиоволн,
проходящих вблизи Солнца. Теория Эйнштейна всегда подтверждалась.
Кроме того, теория Эйнштейна предсказывает эффекты, связанные со
сдвигом спектральных линий света, излучаемого в гравитационном поле.
Здесь обычно не представляется возможным получить достаточно точную
проверку теории, но полученные результаты говорят в пользу теории, по
крайней мере в пределах их достоверности.
Наряду с перечисленными астрономическими и физическими прило-
приложениями общая теория относительности послужила мощным стимулом
развития ряда разделов математики. Эйнштейн использовал простой тип
искривленного пространства, риманово пространство, которое может быть
вложено в плоское пространство большей размерности. Его применение
в гравитации оказалось столь успешным, что многие люди заинтересова-
заинтересовались, не окажутся ли более изощренные формы искривленного простран-
пространства столь же полезны в других разделах физики, в частности, в теории
электромагнитного поля. Эйнштейн сам много лет работал над этой про-
проблемой.
Но эти усилия не привели к сколько-нибудь существенному успеху. В то
время как первоначальное искривленное пространство Эйнштейна привело
к восхитительному успеху, более изощренные пространства, на которые
были потрачены огромные труды, до настоящего времени не дали никаких
физически значимых результатов.
Кроме того, существует проблема космологии, т. е. понимания Вселен-
Вселенной в целом. Необходимость ее решения связана с построением граничных
условий на больших расстояниях для полевых уравнений Эйнштейна.
Впервые космологическая модель была предложена Эйнштейном, но
она оказалась неудовлетворительной. Затем де Ситтер предложил другую
модель, также неудовлетворительную. После этого на основе уравнений
Эйнштейна было разработано много других моделей, Фридмана, Леметра
и др. Это поле деятельности было порождено общей теорией относитель-
относительности Эйнштейна.
Простейшей приемлемой моделью оказалась модель, предложенная
совместно Эйнштейном и де Ситтером. Вполне возможно, что именно она
и будет использоваться в дальнейшем.
Во всех рассмотренных здесь областях влияние Эйнштейна огромно.
Нет сомнения, что оно будет простираться в будущее.
60
ДИРАК ВСПОМИНАЕТ КАПИЦУ *)
Я был очень заинтересован статьей Грейс Спрач о Капице 1). В течение
длительного времени я был очень хорошим другом Капицы. Я знал его
с 1923 года, и мне было приятно столь подробное и точное описание его
жизни.
Мне было неизвестно, что Капица испытывал столь сильный диском-
дискомфорт в первые годы своего пребывания в Кембридже. Он казался мне
полным уверенности в себе, чему способствовала его надежная дружба
с Резерфордом. Когда возник вопрос о финансировании его установки
по созданию сильных магнитных полей за счет энергии вращающегося
маховика, Капица запросил вдвое больше средств, чем было необходимо.
Таким образом он предусматривал возможность повторить экспери-
эксперимент в том случае, если бы первый вариант установки вышел из строя.
Капица получил запрошенную им сумму. В действительности установка не
была испорчена, и дополнительные средства не понадобились. Этот слу-
случай демонстрирует смелость Капицы, которая преобладала над чувством
неуверенности.
Капице нравилось разыгрывать людей. (Он ни разу не разыграл меня).
Его друг Хаусман жил в верхнем этаже Тринити-колледжа; ему было труд-
трудно подниматься по лестнице, и он стал думать об установке в доме лифта.
Когда он сообщил об этом Капице, тот ответил: «А что Вы будете делать,
если лифт застрянет между этажами?». Хаусман был столь обеспокоен
подобной перспективой, что отказался от этой затеи.
Капица мужественно противостоял Сталину. Изначально Капица и
Сталин уважали друг друга. Когда Капица отказался работать над водо-
водородной бомбой, он был лишен большей части своих должностей и званий.
Однако ему было разрешено сохранить свое членство в Академии Наук
с небольшим прилагавшимся к этому денежным содержанием; за ним
также была сохранена его дача. Предполагалось, что он будет безмятежно
жить на этой даче на причитавшуюся ему «стипендию». Строго говоря,
он не был под домашним арестом. Он мог свободно передвигаться, но
его бывшие друзья боялись встречаться с ним; поэтому ему было некуда
идти, и он оставался дома. Капица оборудовал на своей даче небольшую
лабораторию, где, кроме его жены, ему никто не помогал; однако и в этих
условиях он выполнил ряд неплохих работ.
Dirac Recalls Kapitza // Physics Today. 1979. V. 33 E). P. 15.
Physics Todays. 1979. September. P. 34.
60. ДИРАК ВСПОМИНАЕТ КАПИЦУ 729
С течением времени ограничения режима для Капицы были ослабле-
ослаблены, и ему было позволено раз в неделю читать лекции. Затем наступило
70-летие Сталина B1 декабря 1949 года). Капица отказался принимать
участие в торжествах, и разрешение на чтение лекций было отозвано.
Капица написал Сталину письмо, в котором указывал, что Берия не
заслуживает доверия и за ним необходимо следить. Разумеется, это письмо
было строго конфиденциальным. Однако каким-то образом оно попало
в руки Берии, после чего тот стал непримиримым врагом Капицы и стре-
стремился его уничтожить. Однако Сталин приказал Берии не трогать Капицу.
Затем умер Сталин E марта 1953 года). Для Капицы это было очень
опасное время, ибо теперь не было никого, кто мог бы его защитить. Ка-
Капица продолжал жить очень незаметно и надеялся, что у Берии слишком
много других проблем, чтобы заниматься Капицей.
Однажды утром на даче Капицы появились два человека и пожелали
ознакомиться с его лабораторией. Капица все показал им и объяснил
физические проблемы. Однако вскоре он убедился в том, что эти люди
в действительности не физики, и их появление вызвано какими-то поли-
политическими мотивами (какими именно, он не знал). В двенадцать часов
визитеры неожиданно заявили, что они уже увидели достаточно и быстро
удалились. Позднее Капица услышал, что именно в 12 часов того самого
дня [1] Берия был арестован. Капица полагал, что эти двое были на самом
деле его друзья, которые попытались бы его защитить, если бы Берия ре-
решился в последнюю минуту предпринять что-либо против Капицы. После
падения Берии Капице были возвращены все его должности и звания.
Участие Капицы ожидалось на праздновании столетия Эйнштейна
в Ульме в сентябре 1979 года, однако в последний момент он отменил свой
визит по причине нездоровья. Некоторые люди задавали вопрос, был ли
он действительно болен, или правительство России отменило свое разре-
разрешение на участие Капицы. Однако позднее я встретил Капицу в Линдау
на встрече Нобелевских лауреатов, где он потвердил, что действительно
вынужден был отменить свой визит в Ульм по причине проблем с сердцем,
имевших место у него в то время. Я был очень счастлив вновь встретить
Капицу вместе с его женой и найти их в добром здравии.
61
ЭЙНШТЕЙН И РАЗВИТИЕ ФИЗИКИ*)
Я очень рад, что мне представилась возможность воздать дань уваже-
уважения Эйнштейну. Влияние Эйнштейна на развитие физики невообразимо
велико, и я попытаюсь объяснить, в чем оно состоит.
Эйнштейна глубоко волновали основания физики, ее фундаментальные
законы, и он решительным образом полностью изменил наш образ мыш-
мышления. До Эйнштейна ученые оперировали обычными представлениями о
пространстве и времени. Установив в пространстве и времени какие-ни-
какие-нибудь структуры, они пытались, исходя из экспериментальных результатов,
найти законы, которым эти структуры подчиняются. Метод Эйнштейна
был совсем другим.
Эйнштейн был твердо убежден, что законы Природы должны запи-
записываться в виде красивых уравнений. Он считал это совершенно необхо-
необходимым. Именно поиски красоты составляли основу эйнштейнова метода
работы. Согласие с экспериментом не было для него решающим фактором.
Главный вклад, который он внес в науку, составляют специальная тео-
теория относительности и общая теория относительности. Я хочу попытаться
объяснить, каким образом эти две теории повлияли на развитие нашего
мышления.
Специальная теория относительности. Начнем со специальной
теории относительности, которую будет легче понять, представив ее себе
как некий принцип симметрии. С древних времен считалось очевидным,
что пространство обладает двумерной симметрией по отношению к двум
горизонтальным направлениям. Однако на самом деле симметрия про-
пространства трехмерна: есть еще и вертикальное направление, симметричное
по отношению к двум горизонтальным. Я думаю, что первым, кто эту
симметрию понял, был Ньютон. Он показал, что существуют основные
законы динамики, симметричные относительно трех пространственных
направлений, и кажущееся отличие вертикального направления от двух го-
горизонтальных объясняется единственной причиной — силой, которая при-
притягивает нас к Земле.
Таким образом, примитивная двумерная симметрия превратилась у
Ньютона в трехмерную. Эйнштейн же превратил трехмерную симметрию
в четырехмерную. Он показал, каким образом временное направление
оказывается симметричным по отношению к трем пространственным на-
направлениям.
*) Einstein and Development of Physics // Commemoration of Einstein. — Dordrecht,
Holland: D. Reidel, 1981. P. 13-23.
61. ЭЙНШТЕЙН И РАЗВИТИЕ ФИЗИКИ 731
Надо сказать, что эту симметрию совсем не легко понять, потому
что она выходит за рамки геометрии, к которой мы привыкли со времен
Евклида, и связана с другой геометрией, в которой скорость света является
абсолютной величиной. Однако такую новую геометрию можно построить
достаточно просто. Ее основные идеи сформулировал Минковский, и о ней
обычно говорят как о пространстве Минковского. Эйнштейн считал, что
пространство-время нашего мира обладает именно такой симметрией, и
к этому пространству надо относить все физические законы.
Преобразования, соответствующие вращениям в четырехмерном про-
пространстве, были получены еще раньше Лоренцем. Они называются преоб-
преобразованиями Лоренца. Лоренц вывел их из уравнений Максвелла, описы-
описывающих электрические и магнитные поля. Исследуя уравнения Максвелла,
Лоренц обнаружил, что их можно некоторым образом преобразовать, но
сочтя эти преобразования чисто математическими, не смог понять их
фундаментальный физический смысл. Лоренц не увидел четырехмерной
симметрии пространства-времени. Понять ее было суждено только Эйн-
Эйнштейну.
Эйнштейн подошел к задаче совершенно по-другому. Он почувствовал,
что существует какая-то глубокая причина, заставляющая поверить в че-
четырехмерную симметрию. Это целиком и определило ход его рассуждений.
Пуанкаре также занимался преобразованиями Лоренца и сделал по
существу то же, что и Лоренц. Но Пуанкаре смотрел на свою работу как
на вытекающую из опыта и так же, как Лоренц, не понял, что имеет дело
с новым фундаментальным физическим принципом. Разницу во взглядах
Пуанкаре и Лоренца, с одной стороны, и Эйнштейна —с другой, можно
увидеть в их совершенно различной реакции на экспериментальные ре-
результаты.
В 1905 году эти вопросы стали предметом многочисленных обсужде-
обсуждений. Лучшим экспериментатором в то время считался Кауфман. Лоренц
разработал модель электрона, которая подчинялась его преобразовани-
преобразованиям, а потому согласовывалась и с требуемой Эйнштейном четырехмерной
симметрией. Лоренц предложил свою модель электрона взамен предыду-
предыдущей модели, называемой моделью Абрагама, в которой электрон считался
жестким шариком. В 1906 году Кауфман поставил несколько эксперимен-
экспериментов, чтобы решить, какая из моделей электрона правильна, и сделал вывод,
что правильна модель Абрагама.
Это известие сразило Лоренца наповал. «Вся моя работа пошла насмар-
насмарку»,— заявил он 1). Пуанкаре воспринял результат Кауфмана как просто
накладывающий некоторые ограничения на его схему преобразований.
Эйнштейн отреагировал на вывод Кауфмана совершенно иначе.
Эйнштейн считал, что его четырехмерная симметрия настолько кра-
красива математически, что она просто должна быть правильной, а если
эксперименты этого не подтверждают, то нужно лишь подождать, не обна-
г) У Лоренца сказано по-французски: «Je suis done au bout mon latin».
732 VII. ПЕРСОНАЛИИ
ружатся ли какие-нибудь неполадки в экспериментах. В общем, Эйнштейн
не особенно волновался. Он был внутренне убежден в правильности своей
точки зрения, а по отношению к эксперименту занял позицию поживем —
увидим.
Через несколько лет эксперименты были повторены, и результаты
подтвердили модель Лоренца-Эйнштейна и противоречили модели Аб-
рагама. Спустя еще некоторое время в приборах, с которыми работал
Кауфман, обнаружилась неисправность. Так что реакция Эйнштейна ока-
оказалась правильной. Для него такое отношение было весьма характерным.
Оно связано с большим доверием к фундаментальным идеям, если они
опираются на безупречно красивый математический аппарат, чем к экс-
экспериментальным результатам. Экспериментаторы всегда переоценивают
точность своих данных и склонны совершать ошибки, поэтому не стоит
сразу реагировать на их сообщения.
Так возникла специальная теория относительности Эйнштейна. Когда
она стала общедоступной, перед физиками встала следующая задача: для
всех физических законов найти форму записи, демонстрирующую четы-
четырехмерную симметрию между тремя пространственными и одним вре-
временным измерениями. Решить такую задачу обычно было не очень сложно,
и она выглядела как интересная игра.
Я был тогда молодым студентом и немного спустя тоже включился
в эту игру. В те времена было довольно просто сделать хорошую работу
и опубликовать статью. Для этого можно было подобрать любое физиче-
физическое явление, имеющее удовлетворительное объяснение в рамках старых
представлений о пространстве и времени, и просто переписать его «в лоб»
в терминах новой четырехмерной симметрии.
Мне бы хотелось особенно отметить работу Луи де Бройля. Изуче-
Изучение уравнения Эйнштейна привело де Бройля к постулированию волн,
связанных с частицами. Эти волны выглядели совсем как нефизические:
они двигались быстрее света. Однако, по Эйнштейну, ничто не может
двигаться со скоростью, большей скорости света, и эти волны надо было
считать математической выдумкой, не связанной ни с какой физической
реальностью.
Де Бройль показал, что если взять групповую скорость этих волн,
так сказать, скорость пакета волн, то она будет меньше скорости света и
равна скорости частицы. Если потребовалось бы передавать с помощью
этих волн сигнал, то существенной оказалась бы именно групповая ско-
скорость. Общее утверждение о том, что ничто не может двигаться быстрее
света, должно быть заменено уточненным утверждением: никакой сигнал
не может передаваться со скоростью, большей скорости света. Если для
передачи сигнала используются волны де Бройля, то вы увидите, что такой
сигнал передается не быстрее света. Таким образом, не возникнет никакого
противоречия с основной идеей Эйнштейна.
В дальнейшем идею волн де Бройля развивал Шрёдингер, а потом
Клейн и Гордон. Оказалось, что они очень важны для объяснения кван-
61. ЭЙНШТЕЙН И РАЗВИТИЕ ФИЗИКИ 733
товых явлений. Но все же к этим волнам нас привел гений Эйнштейна.
Настойчивость, с которой Эйнштейн утверждал важность четырехмерной
симметрии, побудила де Бройля задуматься о волнах, связанных с части-
частицами.
Теория относительности оказалась важной и в другом отношении. С от-
открытием представлений о четырехмерной симметрии стало необходимо
пересмотреть с этих позиций всю механику. Нужно было внести изменения
в механику Ньютона, а эти изменения привели к весьма неожиданным
выводам, с которыми пришлось согласиться.
Возьмем, например, энергию частицы. Изменение, необходимое при
переходе к «эйнштейновой картине», приводит к общеизвестной формуле
Е = тс2. Это означает, что с каждой частицей вещества связано большое
количество энергии. Формула Е = тс2 приложима только к покоящемуся
веществу. Если вещество находится в движении, то формулу следует под-
подправить, записав ее в виде Е = у т2с4 + с2р2 , где р — импульс частицы,
а с, как всегда, — скорость света.
Общая теория относительности. Я хотел бы продолжить рассказ и
перейти к общей теории относительности. Вклад Эйнштейна в общую тео-
теорию относительности существенно отличается от его вклада в специальную
теорию относительности. Над общей теорией относительности Эйнштейн
работал в одиночестве. Он не был связан ни с Лоренцем, ни с Пуанкаре; он
не пользовался уравнениями, которые до него получили другие. Эйнштейн
действовал совершенно самостоятельно: с самого начала ему пришлось
выводить собственные уравнения.
Эйнштейн произвел глубокие изменения в мышлении физиков. До
общей теории относительности существовали две системы взглядов, обе
одинаково возможные в применении к фундаментальным законам Приро-
Природы. Считалось, что взаимодействие происходит посредством поля или же
представляет собой действие на расстоянии (action at distance). Действие
через поле является более передовой точкой зрения в электромагнитной
теории, потому что приводит к предсказанию электромагнитных волн.
Это, конечно, большое преимущество перед концепцией действия на рас-
расстоянии. Однако в общем случае в физике необходимо учитывать еще и
гравитацию. Ситуация была совсем непонятной до тех пор, пока Эйнштейн
не выдвинул новую теорию гравитации, основанную на полевых представ-
представлениях. Действие на расстоянии стало неприемлемым.
Эйнштейн изменил само представление о пространстве. До него про-
пространство считали плоским. Новое пространство было наделено кривиз-
кривизной, и кривизна описывала гравитационное поле.
Оказалось, что новая теория великолепно описывает Солнечную си-
систему. В ней возникали те малые эффекты, которыми теория Эйнштейна
отличается от теории Ньютона. Эти малые эффекты связаны с движени-
движением планет и с отклонением светового луча, проходящего вблизи Солнца.
Новая теория была неоднократно проверена.
734 VII. ПЕРСОНАЛИИ
Вы будете вынуждены принять новую формулу для энергии, если
модифицируете законы Ньютона так, чтобы они согласовывались с идеями
Эйнштейна о симметрии пространства и времени. Новая формула отлича-
отличается тем, что в выражение для энергии входит квадратный корень. Нали-
Наличие квадратного корня означает, что он может иметь либо положительное,
либо отрицательное значение, т. е. общая формула приводит к тому, что
энергия частицы может принимать отрицательные значения.
На первый взгляд понять это действительно трудно: никто не сталки-
сталкивался с отрицательными значениями энергии. Тем не менее математика
свидетельствует, что они возможны.
Начнем с того, что это — не физическая задача. Ведь можно сказать,
что отрицательные энергии не существуют в Природе, поэтому мы с ними
и не встречаемся. Так можно было рассуждать в механике, которая к мо-
моменту возникновения квантовой теории необычайно развилась. Однако
в квантовой теории динамические переменные могут изменяться скачком
из одного состояния в другое, и если частица находится вначале в состоя-
состоянии с положительной энергией, то она может перескочить в состояние с от-
отрицательной энергией. Такие скачки предсказываются квантовой теорией.
Можно вычислить и их вероятности. При этих условиях нельзя просто
закрывать глаза на отрицательные значения энергии. Так что мы вынуж-
вынуждены рассмотреть их и попытаться найти их физическую интерпретацию.
Это оказывается не таким уж сложным делом. Уровни с отрицательной
энергией можно интерпретировать в терминах состояний антиматерии.
Таким образом, можно сказать, что создание Эйнштейном специальной
теории относительности приводит к предсказанию антиматерии. К этому
предсказанию ведет непрерывная цепь рассуждений, но главным образом
они берут свое начало от основных уравнений механики Эйнштейна, на-
написанных взамен уравнений Ньютона.
Я уже упоминал о задаче, которой в то время занимались физики:
записать стандартные физические уравнения в таком виде, чтобы стала
видна симметрия пространства и времени, требуемая по теории Эйнштей-
Эйнштейна. В рамках классической механики эта задача обычно решается без
особого труда. Однако ситуация стала совсем другой, когда около 1925 года
Гейзенберг и Шрёдингер открыли квантовую механику. Теперь основные
уравнения динамики содержали производные по времени. Время входило
в них иначе, чем три пространственных измерения. Таким образом, воз-
возникла очень серьезная задача: попытаться восстановить четырехмерную
симметрию этих уравнений квантовой механики.
Оказалось, что эту задачу можно решить для случая одной частицы,
но если во взаимодействии участвуют несколько частиц, то возникают
серьезные трудности. Многие пытались найти решение «в лоб», но эти
попытки приводили к уравнениям, которые в действительности не имели
практического значения: при их решении появлялись бесконечные члены,
что, конечно, было бессмысленным.
61. ЭЙНШТЕЙН И РАЗВИТИЕ ФИЗИКИ 735
Я бы сказал, что с задачей приведения в соответствие обычной кванто-
квантовой механики и четырехмерной теории относительности Эйнштейна пока
не удалось справиться. Над этой задачей много трудились, но она все еще
не решена, если не считать нескольких простых случаев, с участием одной
частицы. Современные физики проявляют большую изобретательность,
пытаясь закрыть глаза на бесконечности, которые возникают естествен-
естественным образом при обычных вычислениях. Мне все же кажется, что такой
путь неправилен по своей сути. Работа такого рода наверняка не понрави-
понравилась бы Эйнштейну.
Правда, произошел прогресс в развитии новой точки зрения на само
пространство. Мы уже больше не цепляемся ни за плоское евклидово
пространство, ни за его четырехмерную модификацию, введенную Мин-
ковским. Наши мысли теперь обращены к искривленному пространству.
Получив новую идею, математики могли развивать ее, вводя более слож-
сложные типы искривленных пространств.
Сам Эйнштейн понимал, что его пространство на самом деле может
оказаться неадекватным, потому что совсем по-разному включает грави-
гравитационное поле и поле электромагнитное. Оба эти поля характеризуются
дальнодействующими силами, т. е. силами, обратно пропорциональными
квадрату расстояния, и поэтому, казалось бы, должны быть тесно связаны
друг с другом. Из такой идеи естественно вытекает предположение, что
пространство какого-то более общего вида, чем то, с которым работал
Эйнштейн, должно описывать и электромагнитное поле. Задача состояла
в том, чтобы найти это более общее пространство.
Вскоре Вей ль нашел одно из решений. Он очень удачно записал неко-
некоторые уравнения, но оказалось, что его решение противоречит квантовой
теории, и потому от уравнений Вей ля отказались.
Поиск возобновился. С тех пор сильнейшие математики мира пытаются
построить пространство, которое описывало бы природу лучше, чем про-
пространство, использованное Эйнштейном. Сам Эйнштейн потратил на эту
задачу весь остаток своей жизни, так и не добившись успеха. Построение
пространства, которое объединило бы гравитационное и электромагнитное
поле, до сих пор остается одной из фундаментальных проблем физики.
Позднее были открыты другие поля, важные для описания взаимо-
взаимодействия между частицами внутри атомного ядра. Эти взаимодействия
возникают за счет новых сил и называются сильными и слабыми взаимо-
взаимодействиями. Таким образом, всего в физике известно четыре типа сил, и
все их хотелось бы объединить.
Это очень сложная задача, исследованием которой уже очень много
занимались, но мне не кажется, что работа в целом идет по правильному
пути. Я не одобряю такой путь, потому что при этом все равно сохраняется
уже упоминавшаяся мной трудность в достижении согласия хотя бы между
специальной теорией относительности и законами квантовой механики.
Индетерминизм. Развитие законов квантовой механики достигло
уже очень высокого уровня, и на современном этапе они требуют для
736 VII. ПЕРСОНАЛИИ
своей интерпретации терминов теории вероятности. Мы не в состоянии
вычислить, что может случиться в разных условиях; мы можем лишь
рассчитать вероятность, с которой произойдет какое-либо событие.
Физики давно привыкли к вероятностной интерпретации квантовой ме-
механики. Большинство физиков она вполне устраивает. Однако Эйнштейн
выступал против вероятностной интерпретации. Он был уверен, что ос-
основные законы физики должны обладать детерминизмом классической
механики.
Такую точку зрения Эйнштейна можно вполне понять, ведь он достиг
огромных успехов в модификации пространства. Когда человек добивается
очень большого успеха на каком-то пути, он начинает думать, что для
решения всех других задач нужно продвигаться все дальше и дальше в том
же направлении. И всю оставшуюся жизнь Эйнштейн работал в выбранном
им направлении. К стандартной интерпретации квантовой механики он
относился неодобрительно.
Эту стандартную интерпретацию принято называть боровской интер-
интерпретацией квантовой механики. Она высоко ценилась школой Бора. Меж-
Между Бором и Эйнштейном возник серьезный спор, который определил по-
положение в физике с того самого дня, когда около 1927 года квантовая
механика была впервые сформулирована в общем виде.
В отношении существа спора мне бы хотелось подчеркнуть, что вы бу-
будете вынуждены принять боровскую интерпретацию, если вы используете
в работе стандартную квантовую механику. К ней приходится обращаться
всем физикам, изучающим реальные задачи. Однако можно с таким же
правом считать, что интерпретация Бора —отнюдь не последнее слово
в этой полемике.
Такая точка зрения оправдывается явной нелогичностью уравнений
стандартной квантовой механики в том смысле, что при попытке приме-
применить их к некоторым частным задачам возникают бесконечности. При-
Приходится выучивать правила, которые позволяют закрывать глаза на бес-
бесконечности. Люди научились весьма тщательно выполнять эти правила
и, не обращая внимания на бесконечности, вычислять оставшиеся члены,
достигая в результате очень хорошего согласия с опытом.
Большинство физиков были вполне довольны достигнутой точностью
теории, но Эйнштейн не сдавался. Он, конечно, знал об этой точности, но
все же считал, что теория неверна в самой основе, а потому выбранный
путь не приведет к серьезным успехам в физике.
В этой полемике я скорее склонен согласиться с Эйнштейном. Думаю,
что в конце концов Эйнштейн может оказаться правым, однако утвер-
утверждать этого нельзя до тех пор, пока в нашем распоряжении не появится
новая квантовая механика, более совершенная, чем та, что у нас есть
сейчас.
61. ЭЙНШТЕЙН И РАЗВИТИЕ ФИЗИКИ 737
В заключение мне бы хотелось подчеркнуть новую точку зрения, при-
принадлежащую Эйнштейну. Он считал необходимым качеством фундамен-
фундаментальных уравнений присущую им красоту. Эйнштейн впервые высказал
эту мысль и больше, чем кто бы то ни было, подчеркивал важность
красоты фундаментальных уравнений.
Вы, конечно, можете спросить: «Почему эти уравнения должны обла-
обладать необыкновенной красотой?» Я не могу ответить на это определенно.
Можно лишь сказать, что этот принцип оказался чрезвычайно успешным.
Особенно плодотворен он был в руках Эйнштейна. Нужно просто при-
принять на веру, что Бог именно таким создал мир. Он бросил нам вызов —
найти математику, на которой держится физика. Мы должны, конечно,
понимать, что задача еще не решена и что все недостатки и неудачи совре-
современной теории следует относить на счет ее несовершенства. Необходимо
изучить это несовершенство и попытаться от него избавиться.
24 П.Дирак. TIV
62
ЖИЗНЬ КАПИЦЫ КАК Я ЕЕ ЗНАЮ *)
Я хотел бы рассказать вам о жизни Капицы. Сам Капица не располо-
расположен говорить о своей собственной жизни. Боюсь, что он не вполне понима-
понимает, насколько она интересна и насколько нам будет приятно ознакомиться
с ней поподробнее. Итак я собираюсь рассказать вам о ней в той мере,
в которой она мне известна.
Мне хотелось бы сказать, что Капица и я — друзья с очень давних
пор, мы с ним дружим уже пятьдесят девять лет. Это не совсем обычно
для друзей —знать друг друга в течение стольких лет. Мы много раз
встречались за эти пятьдесят девять лет, и сейчас я вам расскажу то, что
мне рассказывал сам Капица. Я просто повторяю то, что я слышал от
самого Капицы [1].
В 1920 г. Капица был молодым физиком-экспериментатором, работав-
работавшим в Ленинграде [2]. У него была жена и двое маленьких детей. Затем
по городу пронеслась эпидемия брюшного тифа, в результате которой
умерли жена Капицы и двое его детей [3]. Это было тяжелым ударом
для Капицы. Тогда он решил уехать зарубеж и попытаться начать новую
жизнь [4]. В то время у русских не было никаких проблем с выездом за
границу для тех, кто этого хотел. Любой, кто хотел этого, мог совершенно
свободно уезжать. Капица избрал для поездки Кембридж:, поскольку в то
время Кембридж был ведущим мировым центром в области физики. Там
находилась Кавендишская лаборатория под руководством Резерфорда.
Капица приехал в Кембридж: в 1921 г. и быстро покорил Резерфорда
своим талантом. У Резерфорда с Капицей установились дружеские отно-
отношения, и он оказал ему очень сильную поддержку в его исследованиях.
Капица был очень активным человеком, он организовал в Кембридже
небольшой кружок физиков, состоявший наполовину из экспериментато-
экспериментаторов и наполовину из теоретиков. Этот кружок назвали «Клубом Капицы».
Собирался он по вторникам, вечером, после обеда и на нем обсуждались
проблемы, интересовавшие в то время физиков. Записи о деятельности
Клуба Капицы заносились в журнал заседаний, который представляет
сейчас большой интерес для историков.
Исследования Капицы в Кембридже сосредоточились главным обра-
образом на двух проблемах. Он интересовался созданием сильных магнитных
полей, и он изобрел аппаратуру для получения этих сильных магнитных
*) Kapitza's Life as I Know it // Proc. of the Intern. Seminar of Nuclear War. Eruce
19-24 August 1982. Servizio Documentazione del Laboratori Nationali di Frascati dell INFN.
P. 261-265.
62. ЖИЗНЬ КАПИЦЫ КАК Я ЕЕ ЗНАЮ 739
полей, существовавших в течение очень малого времени. Несмотря на
то, что это время было таким коротким, оно оказалось достаточным для
проведения экспериментов. Другой проблемой, интересовавшей Капицу,
было получение жидкого гелия. В то время жидкий гелий можно было
получать только в незначительном количестве, а Капицу интересовало
создание установки, которая производила бы жидкий гелий в больших
количествах. Для обоих указанных направлений требовалось сложнейшее
оборудование, но Резерфорд поддерживал Капицу и раздобыл необходи-
необходимые деньги, несколько тысяч фунтов, что в те дни для научных целей
представлялось ужасной уймой денег. Но деньги были получены и Капица
смонтировал свои установки.
Для Капицы была построена специальная лаборатория напротив Ка-
вендишевской, названная Мондовской лабораторией. Преодолев множе-
множество проблем, Капица сумел наладить успешную работу своих установок.
Он стал одним из авторитетнейших физиков в Англии. Он был избран
действительным членом Королевского общества — весьма высокая честь.
Я приехал в Кембридж в 1923 г., два года спустя после Капицы. Вскоре
я стал его близким другом и спустя короткое время был принят в Клуб
Капицы.
Капица убедил меня заняться экспериментом в его лаборатории, и
я стал работать над проблемой разделения изотопов посредством центро-
центробежной силы, используя прибор, в котором газ вращался без каких-либо
механически движущихся деталей. Капица показал мне, как сконструиро-
сконструировать мой прибор, совершенно простой, и я принялся за работу. Никакого
разделения изотопов этим методом я не добился, однако неожиданно по-
получил довольно интересные тепловые эффекты и продолжил работу уже
в этом направлении.
Мы с Капицей сотрудничали также в работе над проблемой отражения
электронов стоячими световыми волнами. Если световая волна падает
нормально на отражающую поверхность, то имеет место интерференция
между падающими и отраженными световыми волнами. Далее можно
направить на получившиеся стоячие световые волны пучок электронов,
падающий под очень малым углом. Это был полезный эксперимент, по-
поскольку в то время волновая природа электронов была все еще неопре-
неопределенной. Подтверждением волновых свойств электрона мог бы быть тот
факт, что электроны отражаются от стоячих волн аналогично тому, как
они отражаются от кристаллической решетки. Капица предложил идею
такого эксперимента, а я разработал теорию, и мы опубликовали об этом
совместную статью. Статья была напечатана в 1931 г. в Трудах Кембридж-
Кембриджского философского общества.
Спустя несколько лет были проделаны эксперименты и, удивительным
образом, они дали гораздо более сильный эффект отражения электронно-
электронного пучка, чем это предсказывалось теорией. Причина этого заключалась
в том, что световой пучок не является однородным и на флуктуациях
этого пучка получается усиленный эффект; он квадратично зависит от
24*
740 VII. ПЕРСОНАЛИИ
интенсивности света. Так что при наличии таких флуктуации возникает
более сильно отражающийся пучок электронов, чем это было бы в случае
однородного пучка света. В результате мы получили способ измерения
флуктуации.
Сам Капица продолжал работать в основном над двумя проблемами —
получение магнитных полей очень большой напряженности и получение
жидкого гелия в больших количествах.
В те годы Капица имел обыкновение ездить каждый год летом в Рос-
Россию. Это было связано с некоторым риском, поскольку не исключалась
возможность того, что русские могут его задержать. Но Капица думал,
что его авторитетное положение физика, работающего в Великобритании,
такого широко известного физика, является достаточно надежной защи-
защитой, и что потому русские не будут его задерживать. Эта идея успешно
срабатывала до 1934 г. А затем русские навели строгость и не разрешили
ему вернуться в Кембридж.
Должен сказать, что Капица женился еще раз в 1927 г. и уехал в Россию
вместе с женой. Жене его разрешили вернуться в Англию, однако, власти
не разрешили вернуться самому Капице. Я должен подчеркнуть, что Ка-
Капица не был членом Коммунистической партии, никогда им не был. Тем не
менее русские признали, что человек может представлять собой ценность
даже в том случае, когда он не коммунист. Они поняли, что Капица и
есть такой ценный человек, поэтому и захотели оставить его в России.
Так что его жена вернулась в Кембридж одна. Капица объяснил русским,
что ему нужны его приборы, ему нужна его лаборатория и его научное
оборудование, а иначе он никак не сможет работать. Русские отнеслись
к этому с большим пониманием. Они сказали, что построят ему в Москве
новую лабораторию и начали это делать. Начали строить институт, кото-
который назвали Институтом физических проблем. Русские с большой щед-
щедростью обеспечивали Капицу необходимым ему научным оборудованием.
Они купили у англичан его кембриджские приборы и установки, доставили
их в Москву и установили в его новой лаборатории. Они предоставили ему
дом, в котором он мог жить, и дачу — небольшой загородный дом пример-
примерно в сорока милях от Москвы. Многие выдающиеся советские граждане
имеют такие дачи; это было место, где он мог уединиться, когда ему нужно
было побыть в тишине и покое.
У Капицы было все, чего бы он ни пожелал, кроме свободы выезжать
за границу. На доставку научного оборудования из Кембриджа и стро-
строительство нового института для Капицы ушло около двух лет. Капица,
конечно, очень переживал, поскольку это означало, что два года были
вычеркнуты из его жизни и прошли впустую. Но ему еще предстояло
приспособиться к новым условиям, и когда стало ясно, что Капица остается
в Москве, его жена покинула Кембридж и приехала к нему с двумя их
мальчиками. Должен заметить, что жизнь этих ребят в Кембридже была
весьма и весьма свободной, и они получили известность как дикие русские
62. ЖИЗНЬ КАПИЦЫ КАК Я ЕЕ ЗНАЮ 741
мальчишки. Когда же они приехали в Москву, их стали звать дикими
английскими мальчишками.
В те времена я навещал Капицу каждое лето. Хотелось бы думать,
что я в чем-то смог ему помочь. Я рассказывал ему самые последние
кембриджские новости и старался, как мог, подбодрить его в новой его
жизни. Продолжалось это до начала второй мировой войны, когда я на
некоторое время был отрезан от Капицы.
Сейчас я хотел бы перейти ко второй части моего рассказа и хотел бы
заметить, что наброски того, о чем я собираюсь говорить были опублико-
опубликованы в недавней статье в журнале «Physics Today». Бомба, обыкновенная
атомная бомба, была взорвана американцами в 1945 г. После этого русские
захотели создать ее копию. Естественным кандидатом на пост ответствен-
ответственного за такой проект был Капица. И ему было приказано создать атомную
бомбу. Капица отказался. У него были серьезные моральные принципы
против разработки оружия такого рода и он категорически отказался
работать над его созданием. Хотелось бы сказать вам, конечно, что когда
живешь под властью диктатуры и отказываешься делать то, что велит
диктатор, то для этого нужно быть очень храбрым. Никогда не знаешь,
какими будут последствия.
Тем не менее, Капица придерживался своих принципов и русские об-
обрушились на него со всей силой. Он был лишен поста директора в ла-
лаборатории, которая была построена специально для него. Он был лишен
возможности проживать в доме, который был закреплен за лаборато-
лабораторией. Безусловно, он потерял свою зарплату директора института. Все
его награды были отняты у него. В таком случае он не имел никаких
средств за исключением небольшой суммы, которую он получал как член
советской Академии наук. Если вы были членом советской Академии наук,
то к этому званию полагалась маленькая стипендия. Капица вынужден
был приспособить свою жизнь к проживанию на эту малую стипендию,
переехать на дачу, и продолжать жить в рамках настолько стесненных
обстоятельств. Насколько я понял, Капица не находился под домашним
арестом, он мог свободно перемещаться, если ему хотелось. Однако его
прежние друзья несколько остерегались встречаться с ним, поскольку они
боялись за себя. Когда дружишь с кем-нибудь, кто находится в сильной
немилости у правительства, то твое собственное положение становится
несколько ненадежным. Таким образом Капица был в сильной мере изо-
изолирован и одинок.
Однако Капица был деятельным человеком, он не хотел просто продол-
продолжать бездельничать на своей даче. Что он сделал, так это построил на даче
лабораторию. Он сумел раздобыть для нее некоторое оборудование. В этой
маленькой лаборатории ему некому было помогать за исключением его
жены. Даже в таких условиях он сделал некоторые значительные работы.
Он работал над проблемами шаровой молнии и физики плазмы и получил
полезные результаты в этих областях.
742 VII. ПЕРСОНАЛИИ
Затем Капица совершил весьма дерзкий поступок. Он написал письмо
Сталину о Берии. Он писал, что Берия — человек, которому нельзя верить
и за которым нужно присматривать. Я рассматриваю это как очень муже-
мужественный поступок со стороны Капицы; он не знал, каким будет эффект
от такого письма, однако он чувствовал себя обязанным написать его [5].
Это было в высшей степени конфиденциальное письмо Капицы Сталину.
Действительно, результат был наихудшим из возможных для Капицы,
поскольку Берия каким-то образом перехватил письмо и, конечно, был
чрезвычайно раздражен и хотел разделаться с Капицей. Однако Сталин
этому помешал. Он сказал Берии: не трогай Капицу. Тогда Капица был
спасен на некоторое время, однако это была достаточно необычная ситуа-
ситуация: Сталин по существу относился к Капице враждебно. Тем не менее он
стал его защитником от наихудшего врага.
По истечении какого-то времени Сталин несколько смягчился в отно-
отношении Капицы и позволил Капице возобновить чтение лекций в небольших
масштабах. Для Капицы было очень приятно иметь возможность встре-
встречаться с другими физиками и обсуждать с ними дела в нормальных усло-
условиях. Так продолжалось до 70-летнего юбилея Сталина. В России были
большие торжества по случаю этого юбилея. Капица отказался принять
в этом участие. Сталин на это рассердился и отнял у Капицы привилегию,
позволявшую ему чтение лекций. Капица вновь оказался в исходном по-
положении. Так продолжалось до смерти Сталина.
Тогда положение Капицы стало особенно опасным. Никто не мог защи-
защитить его от Берии. Он ничего не мог сделать, чтобы помочь самому себе.
Все что он мог делать, так это жить тихо и незаметно на своей даче и
надеяться на то, что Берия будет слишком поглощен другими проблемами
и ему будет не до Капицы. По поводу того, как развивались события,
Капица рассказал одну интересную историю.
Однажды утром к нему на дачу пришли двое мужчин и попросили по-
показать им его лабораторию. Капица показал. Тогда они захотели детально
осмотреть его приборы, в точности понять назначение каждой из деталей
и то, как они работают. Капица все это им объяснил. В своих объяснениях
он не успел зайти слишком далеко, поскольку быстро осознал, что эти
люди не являются настоящими физиками и на самом деле не понимают
того, что он им говорит. Тем не менее они продолжали задавать вопросы,
и Капица общался с ними терпеливо, разъясняя все подробности — однако
он никак не мог понять причину их появления. Затем в 12 часов эти двое
мужчин сказали, что увиденного для них достаточно, и внезапно ушли,
оставив Капицу озадаченным тем, какова была истинная причина этого
визита. Это стало ясно на следующий день. Капица услышал о том, что
Берия был арестован именно в тот день в 12 часов. Он думает —и это
кажется абсолютно понятным —эти двое мужчин были сочувствующими
и они пришли, чтобы попытаться защитить Капицу в случае, если Берия
предпримет какие-либо действия против Капицы напоследок. Как оказа-
оказалось, в этом не было необходимости.
62. ЖИЗНЬ КАПИЦЫ КАК Я ЕЕ ЗНАЮ 743
После падения Берии было восстановлено расположение русского пра-
правительства к Капице. Он был вновь назначен директором своего институ-
института, и ему был возвращен дом, закрепленный за директором института.
Все его предыдущие награды были возвращены. Он стал уважаемым и
почтенным гражданином Советского Союза и продолжает им оставаться
до сих пор. Он продолжает выполнять значительные работы по физике
плазмы.
Итак, это то, что я хотел вам рассказать, и я надеюсь, что если я до-
допустил какие-либо неточности, то Капица укажет на них.
63
БЛЭКЕТТ И ПОЗИТРОН*)
Одной из центральных фигур Кавендиша в период 1930-х годов был
П.М.С. Блэкетт. Он специализировался в усовершенствовании камеры
Вильсона. Поскольку фотографии делались преимущественно в магнит-
магнитном поле, треки частиц в них получались искривленными.
Я в то время был довольно близок с Блэкеттом и рассказывал ему
о своей релятивистской теории электрона. Согласно этой теории, суще-
существуют состояния электрона с отрицательной энергией, которые обычно
заполнены, по одному электрону в каждом состоянии. Однако может быть
и пустое состояние с отрицательной энергией. Оно может проявиться как
некая новая положительно заряженная частица и, как отметили несколько
исследователей, обладать при этом той же массой, что и у электрона.
Позже эта частица получила название позитрона.
Я обсуждал эту теорию с Блэкеттом и нас обоих волновало, точна ли
теория, и существуют ли позитроны на самом деле. В камере Вильсона
позитрон должен оставлять такой же трек, что и электрон. Однако под
действием магнитного поля его трек должен быть искривлен в противо-
противоположном направлении. При рассмотрении отдельного трека невозможно
сказать, относится ли он к электрону или позитрону, потому что неизвест-
неизвестно, в каком направлении двигалась породившая его частица.
На многих фотографиях, сделанных Блэкеттом, можно было усмот-
усмотреть многочисленные доказательства наличия позитронов, если, исходя
из условий эксперимента, предположить наиболее вероятное направление
движения частицы. Но полной уверенности не было, и Блэкетт не хотел
публиковать столь неопределенный результат.
Затем Блэкетт заметил, что, когда он помещал источник радиоактив-
радиоактивности в камеру Вильсона, то многие вылетающие из него частицы име-
имели треки, искривление которых соответствовало позитронам. Казалось,
это наблюдение могло бы считаться окончательным доказательством. Но
Блэкетт не был удовлетворен. Он считал, что это могли быть электроны,
приходящие извне и случайно направленные в сторону источника. Это
было неправдоподобно, но не невероятно. Поэтому Блэкетт все еще не
решался опубликовать свои результаты.
Для окончательного решения вопроса Блэкетт принялся за статисти-
статистические вычисления того, насколько велика должна была быть вероятность
*) Blackett and the Positron // Cambridge Physics in the Thirties / Ed. J. Hendry. —
Bristol: Hilger, 1984. P. 61-62.
1.7 Blackett and the Positron
Paul Dirac
One of the central figures in the Cavendish during the period around 1930
was P M S Blackett. He specialised In developing the Wilson chamber. The
photographs were mostly taken in a magnetic field, so that the tracks were
curved.
I was quite intimate with Blackett at the time and had told him about my
relativistic theory of the electron. According to this theory there were
negative-energy states for an electron, which were normally filled up, with
one electron in each state. But there could be an empty negative-energy
state. This would appear as a new kind of particle with a positive charge
and, as was pointed out by several people^ with the same mass as the
electron. Such a particle was afterwards named a positron.
I discussed this theory with Blackett and we wondered whether the theory
was correct and whether positrons really existed. A positron In a Wilson
chamber would give a track like an electron, but it would be curved in the
opposite direction under the influence of the magnetic field. If one examined
a particular track one could not tell if It represented an electron or a positron,
because one did not know In which way the particle that had produced it
had been moving.
In looking over many of Blackett's photographs and assuming a likely
direction for the motion of the particle from the circumstances of the experi-
experiment, one seemed to have plenty of evidence for positrons. But one could
not be sure, and Blackett would not publish such uncertain evidence.
Then Blackett noticed that, if he had a radioactive source in the Wilson
chamber, many of the particles coming out from it had tracks curved to
correspond to positrons. This seemed to me to be pretty conclusive evidence.
But Blackett was not satisfied. He argued that there might be electrons from
outside which, by chance, ran into the source. This was most unlikely э but
not impossible. So Blackett still would not publish his findings.
In order to settle the question Blackett proceeded to work out the statistics
of how many chance electrons would have to ran back Into the source to
account for Ms observations, and see If It was at all reasonable. While
61
Начало последней статьи П.A.M. Дирака «Блэкетт и позитрон»,
опубликованной при его жизни.
746 VII. ПЕРСОНАЛИИ
движения электронов к источнику, чтобы она смогла повлиять на его
наблюдения, а лишь затем решить, стоит ли вообще ее учитывать.
Пока Блэкетт занимался этой работой, пришло известие, что Андерсон
открыл позитрон.
В работе Андерсона был один единственный трек, проходящий через
свинцовую пластину. Искривление трека по одну сторону пластины было
значительно сильнее, чем по другую. Там, где трек был изогнут сильнее,
частица двигалась медленнее. При прохождении частицы через пластину
ее энергия могла только уменьшаться, поэтому направление ее движения
оказалось однозначно определенным.
Если бы Блэкетт был менее осторожным, он мог бы первым опубли-
опубликовать сообщение об обнаружении позитрона. Андерсон ничего не знал о
моей теории. В ретроспективе оказалось, что в течение нескольких преды-
предыдущих лет разные исследователи получали изображения радиоактивных
источников, излучающих позитроны, не понимая, что это такое. Некоторые
из них даже были опубликованы.
Часть VIII
Приложения
ELEMENTARY PARTICLES
AND THE LAWS OF PHYSICS
THE 1986 DIRAC MEMORIAL LECTURES
RICHARD P. FEYNMAN
California Institute of Technology
and
STEVEN WEINBERG
University of Texas, Austin
Lecture notes compiled by
Richard MacKenzie and Paul Doust
Титульный лист Первых мемориальных дираковсжих чтений,
опубликованных в 1987 г. Портрет Дирака работы Р. Фейнмана.
1. ПОЛЬ АДРИЕН МОРИС ДИРАК
(8 АВГУСТА 1902 — 20 ОКТЯБРЯ 1984) П.
Р. Далиц, Р. Пайерлс
Заботы военного времени
В 1933 году Дирак приступил к экспериментальному исследованию. Он
изобрел метод разделения изотопов, состоявший в том, чтобы заставлять
поток газа двигаться по спирали. Более тяжелые молекулы, вследствие
их большей инерции, должны были бы стремиться попасть на внешнюю
сторону вращающейся массы газа, тогда как более легкие молекулы — на
внутреннюю сторону. В целом это напоминало действие центрифуги, но
без движущихся частей. Капица подталкивал его к тому, чтобы он попы-
попытался сам реализовать этот метод. Простейшая аппаратура для этой цели
была сделана в мастерской Капицы и был найден компрессор, способный
привести ее в действие. Дирак добился некоторого успеха в работе с этим
устройством. Однако он не смог продвинуться столь далеко, чтобы достичь
разделения газовой смеси. Он установил различие в температурах между
двумя выходящими фракциями газа, которые он приписывал эффекту
вязкости. (Более вероятное объяснение состоит в том, что вращательное
движение способно отделять быстрые молекулы от более медленных.) Ко-
Когда Капицу задержали в Советском Союзе, эксперимент был прекращен,
поскольку Дирак не хотел продолжать его в одиночку.
Однако об эксперименте Дирака вспомнили, когда во время Второй
мировой войны разделение изотопов стало насущной проблемой в рамках
программы получения атомной энергии. В начале 1941 года Дирак посетил
в Оксфорде группу Ф. Саймона. В результате их общения Дирак предло-
предложил несколько простых проектов для разделения изотопов, основанных на
том, чтобы вынуждать газовый поток изменять свое направление. Группа
в Оксфорде разработала аппаратуру для одного из его проектов и устано-
установила, что на ней действительно можно было разделять изотопы. Однако
этот метод оказался менее экономичным по сравнению с диффузионным.
Дирак проявил серьезный интерес к этой работе, которая продолжалась
вплоть до 1945 года. Во время посещений Оксфорда и в письмах этого
периода он высказал многочисленные практические соображения и ком-
комментарии.
Эта деятельность не была его единственным вкладом в решение про-
проблемы получения атомной энергии. Он стал неофициальным консультан-
консультантом теоретической группы в Бирмингеме, и рассмотрел множество про-
1. ПОЛЬ АДРИЕН МОРИС ДИРАК (8 АВГУСТА 1902 - 20 ОКТЯБРЯ 1984) II. 751
блем, представлявших для нее интерес. Одна из них обсуждалась в от-
отчете «Теория разделения изотопов статистическими методами» F0) [1].
В нем Дирак сформулировал понятия «энергии разделения» и «мощности
разделения», которые позволяют оценить минимальные затраты на полу-
получение определенного количества изотопа с помощью данного устройства.
Эти величины, полезные при проектировании атомных электростанций,
используются и в настоящее время. Они фигурируют, например, в книге
К. Коэна A951) и в недавнем обзоре Витли A984).
Другая идея Дирака F3) касалась разделения изотопов в центрифуге
с самофракционированием. Это устройство в форме длинного цилиндра,
вращающегося вокруг своей оси, в котором газ движется аксиально в двух
направлениях — близко к стенке и обратно — ближе к оси. Эта методика
«противотока» делает такую центрифугу эквивалентом устройства со мно-
многими стадиями разделения. В отчете F3) Дирак показал, что в устройстве
подобной конструкции можно поддерживать устойчивый поток. Успешно
работающее и ныне предприятие по разделению изотопов урана, управляе-
управляемое британско-голландско-германским консорциумом, основано на прин-
принципах, предложенных Дираком. Его расчеты были, по-видимому, сделаны
еще в 1941 году, но мы не смогли достоверно установить, какими обстоя-
обстоятельствами они были вызваны.
В исследованиях, выполненных Дираком для бирмингемской группы,
был предложен и оценен метод определения критической массы изотопа
U235 несферической формы F8, 69). Несколько отчетов F4, 65, 66) были
посвящены приближенному методу определения критичности и взрывного
выхода из сферы, заполненной U235, учитывающему изменение условий
с расстоянием от центра, вследствие того, что сфера из урана окружена
отражателем, или вследствие начинающегося расширения. Результаты,
упомянутые выше, обсуждались позже более подробно (Далиц, 1986) [2].
Научная работа
4. Общая теория относительности. Дирак заинтересовался теорией
относительности еще до того, как он стал заниматься квантовой механи-
механикой, и он никогда не терял интереса к этой теории. Ряд его ранних работ
был посвящен формулировке уравнений квантовой механики в простран-
пространстве с метрикой общей теории относительности. В работе E4) им было
показано, как записать уравнения Максвелла и Дирака в пространстве
де Ситтера, а в работе A04) он продемонстрировал, что при формулировке
уравнения Дирака в гравитационном поле также не возникает никаких
трудностей. В частности, при описании частицы с нулевой массой все
еще можно использовать двухкомпонентную волновую функцию, как это
принято делать при описании нейтрино в плоском пространстве.
Еще в ряде работ Дирак имел дело с общей теорией относительности
как таковой. Он рассматривал дискуссионную проблему гравитационных
волн A06) и показал, что энергию поля можно определить и в присут-
752 VIII. ПРИЛОЖЕНИЯ
ствии и таких волн. В его лекции в Линдау A08) дан обзор проблемы
гравитационных волн в целом. Эти же вопросы обсуждаются и в его ясно
изложенных лекциях по общей теории относительности.
В статье A12) Дирак обсуждает проблему плотности энергии грави-
гравитационного поля и предлагает такое ее определение, которое несколько
меньше зависит от выбора системы координат, чем это обычно принято.
Однако его главной заботой была проблема квантования гравитацион-
гравитационного поля. В процессе подготовки к ее решению он разработал метод рас-
распространения гамильтоновой динамики на системы, в которых соотноше-
соотношения между каноническими импульсами носят характер сильных равенств
A02). Этот метод, известный ныне как «фиксирование калибровки», был
использован им в общей теории относительности A03). В работе A05) он
применил тот же метод для формулировки общей теории относительности
в гамильтоновой форме с целью ее последующего квантования.
В статье A13) было продемонстрировано, что метод исследования гра-
гравитационного взаимодействия, примененный де Виттом, является непол-
неполным. Однако его оказалось возможным улучшить, использовав результа-
результаты, полученные Дираком в работе A03). Работа A15) - это дискуссионное
замечание о теории, в которой частицы трактуются как своеобразные
«пузыри» в гравитационном поле, что аналогично рассмотрению им элек-
электронов в работе A14).
Наконец, Дираку принадлежит несколько общих замечаний об основах
теории относительности. В работе A43) он утверждает, что если даже бу-
будет обнаружено некоторое несогласие между теорией и экспериментом, это
обстоятельство не приведет к разрушению теории Эйнштейна. Оно просто
потребует введения каких-либо дополнительных особенностей в теорию.
Замечание о важности математической красоты фундаментальных урав-
уравнений можно найти в его ранней работе 1939 г. E6).
Аналогичное утверждение содержится в работе A83): принцип Эйн-
Эйнштейна, согласно которому все состояния движения эквивалентны, оказал-
оказался разрушенным благодаря открытию реликтового теплового излучения.
Тем не менее мы по-прежнему убеждены в справедливости как специаль-
специальной, так и общей теории относительности. «Я чувствую, что реальной
причиной уверенности в ее справедливости является существенная красота
теории». Дирак очень серьезно относился к модели Эйнштейна-де Ситте-
ра.
К этой модели он вновь обращается в статье A86). Согласие с экспери-
экспериментом улучшается, если учесть флуктуации плотности материи, обуслов-
обусловленные существованием звезд. Учет последних не меняет картину в целом
и совместим с моделью двух масштабов времени ( о ней подробнее сказано
в разделе 6).
6. Гипотеза Больших Чисел. В 1937 году Дирак высказал гипо-
гипотезу, согласно которой чрезвычайно большие числа, подобные отношению
постоянных электромагнитного и гравитационного взаимодействий двух
атомных частиц, не должны явно входить в фундаментальные законы
1. ПОЛЬ АДРИЕН МОРИС ДИРАК (8 АВГУСТА 1902 - 20 ОКТЯБРЯ 1984) II. 753
физики. Поскольку возраст Вселенной в данную эпоху, измеренный в атом-
атомных единицах, — это также чрезвычайно большое число, он утверждал, что
все подобные большие числа должны быть функциями возраста Вселен-
Вселенной, т. е. фактически, момента времени эпохи. Эта идея получила название
«Гипотезы Больших Чисел» (кратко ГБЧ).
Первое упоминание о данной идее содержится в небольшой заметке
в журнале Nature E0). В заметке E1) он отвечает на критику Дингля и
позднее излагает всю схему боле подробно E4).
Статья A17) не имеет прямого отношения к ГБЧ и посвящена об-
обсуждению фундаментальных констант. Дирак предположил, что отноше-
отношение е2/(/гс), будучи безразмерным числом разумной величины, должно
быть выводимо из общих принципов. В этом случае только одна из двух
констант — либо е, либо И — может быть фундаментальной. Если таковой
служит /г, то е как производная величина должна содержать квадратный
корень, что мало вероятно. Следовательно, вполне возможно, что постоян-
постоянная е фундаментальна, a ft — производная от нее. Тогда «наше понимание
принципа неопределенности в целом должно быть изменено».
Дирак не возвращался к ГБЧ вплоть до 1961 г, когда он ответил на
критическую реплику Дикке A11). Согласно Дикке, существование жизни
возможно только в течение относительно короткого периода эволюции
Вселенной. Представляя свою точку зрения, Дирак заметил: «Я пред-
предпочитаю теорию, которая допускает возможность бесконечности жизни».
Работа A43) написана в духе теории Вейля о гравитационной постоянной,
меняющейся со временем. В ней также обсуждается взаимосвязь между
калибровочным преобразованием Вейля и аналогичным преобразованием
в электродинамике.
Другое возражение, высказанное Теллером, обсуждалось в статье
A35). Аргументы Теллера основывались на том, что уменьшение величи-
величины G сделало бы возраст Солнца меньше величины, совместимой с гео-
геологическими данными. Дирак предлагает две возможные интерпретации
этих фактов. Согласно одной из них масса Солнца может со временем
возрастать за счет аккреции космической пыли. Другая, более революци-
революционная идея состоит в том, что существуют две временные шкалы. Одна
из них — атомное время — управляет атомными и ядерными процессами,
тогда как другая — глобальное время — входит в уравнения общей теории
относительности. Первое из этих времен должно изменяться в зависимости
от второго, если обе эти величины отсчитывать от момента рождения
Вселенной. Дирак подчеркивал, что идея двух временных шкал была
впервые высказана Милном, хотя и с совершенно другими целями. Данную
двухвременную модель он использовал во всех последующих дискуссиях
по поводу ГБЧ.
Например, одним из следствий исходной формы ГБЧ было то обсто-
обстоятельство, что число протонов во Вселенной, которое как раз есть одно
из очень больших чисел, должно также возрастать с течением времени.
Тем самым, должно происходить непрерывное рождение вещества. Можно
754 VIII. ПРИЛОЖЕНИЯ
предположить, что оно должно происходить либо равномерно по всему
пространству, либо пропорционально существующей локальной плотности
вещества A48). Однако в работах A53) и A74) было показано, что необхо-
необходимость предположения о непрерывном рождении вещества можно обойти,
если использовать две временные шкалы. Предположение о существовании
двух времен позволяет также отклонить ряд других возражений A52). Оно
подробно объяснено в работе A87).
В статье A75) Дирак показывает, что открытие микроволнового релик-
реликтового излучения служит подтверждению ГБЧ, предсказывавшей более
медленное убывание его температуры со временем. Поэтому температура
излучения, соответствующая значению трс2/к, могла бы быть достигнута
в момент времени, более близкий к началу расширения Вселенной. В этом
случае можно избежать предположения о более позднем «отделении» ве-
вещества от излучения.
В той же работе он отмечает, что ГБЧ предсказывает уменьшение
радиуса планетных орбит, что должно было бы стать предметом экспери-
экспериментальной проверки.
Дирак также отметил противоречие между максимальным значением
возраста Луны A81), выводимым из параметров ее орбиты, и возрастом
лунных пород, определенным по содержанию радиоактивных элементов.
Их несоответствие можно объяснить, основываясь на идее двух времен-
временных шкал, поскольку параметры орбиты Луны определяются глобальным
временем, тогда как закон радиоактивного распада управляются атомным
временем.
Литература
1. (Коэн, 1951.) Cohen К. The Theory of Isotope Separation as Applied to the
Large-Scale Production of U235. - N. Y.: McGraw Hill, 1951.
2. (Далиц, 1986.) Dalitz P.H. Another Side to Paul Dirac // Paul Adrien
Morice Dirac. Reminiscences about a Great Physicist / Ed. B. Kursunoglu &
E.P. Wigner. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1987. P. 69-92.
3. (Витли, 1984.) Whiley S. Review of the Gas Centrifuge until 1962. I. Principles
of Separation Physics // Rev. Mod. Phys. 1984. V. 56. P. 41-66.
2. КОСМОЛОГИЯ ДИРАКА И ПРИНЦИП МАХА
Р. Г. Дикке
Безразмерная гравитационная константа связи [1]
^ ~ 5 • 109, A)
где nip — масса некоторой элементарной частицы, для определенности
здесь выбран протон, является настолько малым числом, что ее существен-
существенность в течении долгого времени была под вопросом. Так, например, Эд-
дингтонх) считал, что все безразмерные физические константы, включая и
приведенную выше, могут быть выведены как простые математические вы-
выражения. Дирак 2) полагал, что такое огромное число должно быть связано
с другими числами подобной величины, характеризуя собой структуру
Вселенной. Однако большая часть физиков, похоже, верит в то, что такого
рода безразмерная константа, которая приведена в A), обусловлена самой
Природой. Поэтому она не может быть вычислена и каким-либо образом
связана с другими числами.
Дирак заметил, что большинство физических и астрофизических без-
безразмерных констант по порядку величин совпадают с целыми (положи-
(положительными или отрицательными) степенями числа 1040. Тогда о таких чис-
числах как mp/me ~ 1800 и Не/е ~ 137 можно говорить, что они порядка
единицы, т.е. нулевой степени числа 1040. Дирак считал неправдоподоб-
неправдоподобными случайные соответствия явным образом не связанных между собой
громадных чисел и предположил, что между ними существуют некоторые,
ранее неизвестные, причинно-следственные связи.
Одним из таких больших чисел является
Т ^f- ~ Ю42, B)
где через Т обозначен хаббловский возраст Вселенной. В случае эволюци-
эволюционирующей Вселенной Т изменяется со временем. Это подвигло Дирака
на предположение о том, что все большие числа изменяются со временем
и, при этом, числа порядка A040)п изменяются как Тп. Основываясь
на этой идее, Дирак2) построил космологию, а Йордан3) создал точную
релятивистскую теорию космологии Дирака.
Три принципиальных больших числа заданы уравнениями A) и B), а
также массой Вселенной в ее наблюдаемых пределах, выражаемой формулой:
К „ ю80 = (ю40J. (з)
ТПр
Согласно гипотезе Дирака эти три числа должны изменяться пропорцио-
пропорционально времени в степенях —1, 1 и 2 соответственно.
Следует отметить, что для подтверждения гипотезы Дирака необходи-
необходимо предположить несколько больше, чем просто связь между тремя чис-
756 VIII. ПРИЛОЖЕНИЯ
лами A), B) и C). Дополнительно следует предполагать, что очевидные
взаимосвязи между этими тремя числами являются независимыми от вре-
времени. Данное предположение может быть подкреплено статистическими
соображениями.
Если бы нынешнее значение Т с концептуальной точки зрения мож-
можно было бы считать случайным выбором из широкого круга возможных
значений для Т, то ныне принятый «выбор» должен был бы иметь малую
априорную вероятность. Тем более маловероятными были бы те случай-
случайные соответствия, которые проявляются между тремя большими числами.
Ввиду неточности взаимосвязей между тремя числами, чтобы гипотеза
Дирака получила поддержку с помощью аргументов такого рода, следует
предположить наличие очень широкого круга возможных значений для Т
и малую априорную вероятность ныне принятого значения Т.
Как будет показано ниже, предположение об эволюционирующей Все-
Вселенной не позволяет принять для ее возраста Т любое из громадного
набора значений. Наоборот оно некоторым образом ограничивает рамки
подобного выбора биологическими требованиями, которые должны быть
соблюдены в отношении эпохи существования человека.
Первое из этих требований заключается в том, что Вселенная, а сле-
следовательно и галактика, должны иметь возраст, достаточный для того,
чтобы в них, кроме водорода существовали и другие химические элементы.
Так хорошо известно, что для сотворения физиков требуется углерод.
Известно, что галактика первоначально образовалась только из водоро-
водорода. Следовательно минимально возможный возраст, когда могла начаться
эпоха человека, определяется временем жизни наиболее короткоживущих
звезд, внутри которых могли бы образоваться отличные от водорода эле-
элементы, а затем после смерти звезды эти элементы могли бы распростра-
распространиться по галактике.
Верхний предел для начала эпохи человека определяется требовани-
требованием, что он должен обладать гостеприимным домом в форме планеты,
обращающейся вокруг светящейся звезды. Это время устанавливается по
максимальному возрасту звезды, способной производить энергию за счет
ядерных реакций. Для не слишком массивных звезд гравитационное сжа-
сжатие останавливается за счет возникновения давления вырожденного элек-
электронного газа прежде, чем температура в центре звезды поднимется до
значения, достаточно высокого для начала термоядерной реакции. Массу
наиболее долгоживущих звезд можно вычислить, если предположить, что
вырождение электронного газа возникает при температуре термоядерной
реакции. Для нижней границы значения Ms — массы звезды, это дает
где Шр, как и ранее, обозначает массу протона. В соответствии с приведен-
приведенным выше определением порядка величины, число 10~3 должно считаться
эквивалентным единице, поэтому полученное значение имеет порядок ве-
величины A040K/2.
Продолжительность жизни звезды такой массы можно вычислить,
предполагая, что как излучение, так и непрозрачность звезды определя-
2. КОСМОЛОГИЯ ДИРАКА И ПРИНЦИП МАХА 757
ются свободно-свободными переходами (процессами тормозного излучения
и поглощения). Это время жизни равно
где опущены числовые множители и т обозначает массу электрона. Опус-
Опуская «единичные сомножители», приводим это выражение к виду:
^ттах~ (^)~\ F)
что согласуется с выражениями A) и B). Аналогичным образом находим,
что Tmin, которое определяется из требований устойчивости звезд, имеет
такой же порядок величины. Таким образом, вопреки нашему исходному
предположению, возраст Т не является «случайным выбором» из широ-
широкого круга возможных значений, а наоборот ограничен критериями суще-
существования физиков.
Остались две проблемы. Почему настолько мала гравитационная кон-
константа связи? Почему квадратный корень из числа, задаваемого уравнени-
уравнением C), совпадает в величиной, обратной выражению A)? На оба вопроса
ответ можно получить на основе принципа Маха. Согласно иногда исполь-
используемой 4)~6) интерпретации принципа Маха, гравитационная константа свя-
связи не является фиксированной, а определяется распределением массы во
Вселенной такого рода, что имеет место соотношение:
GM 1 GЛ
—о ~ 1. ( / )
с3Т V J
Совместное рассмотрение уравнений G) и F) приводит к тому же соотно-
соотношению, что и комбинация уравнений A) и C).
Причиной малости гравитационной константы связи является громад-
громадное количество материи во Вселенной. Данный ответ выглядит не слишком
убедительным, да он и не может быть полностью удовлетворительным до
тех пор пока не будет понята проблема создания массы.
Статистическое обоснование космологии Дирака следует признать
несостоятельным. Тем не менее, наличие физиков в настоящее время и
предположение о справедливости принципа Маха являются достаточными
основаниями для того, чтобы потребовать выполнения соотношений по
порядку величин между тремя числами, задаваемыми выражениями A),
B) и C).
Литература
1. Eddington A.S. Theory of Protons and Electrons. — Cambridge: Cambridge
Univ. Press, 1936.
2. Dirac P.A.M. // Proc. Roy. Soc. Pt. A. 1938. V. 165. P. 199.
3. Jordan P. Schwekraft und Weltall (Braunschweig, 1955).
4. Sciama D.W. // Mon. Not. Roy. Astro. Soc. 1953. V. 113. P. 34.
5. Dicke R.H. // Amer. Scientist. 1959. V. 47. P. 25.
6. Brans С, Dicke R.H. // Phys. Rev. 1961. V. 124, No. 3.
3. КВАНТОВАЯ КОСМОЛОГИЯ
Замечания к докладу Дирака
К. Ф. фон Вейцзеккер
Поскольку профессор Дирак просил об откликах или критических замечаниях [1],
я бы хотел сделать замечания по поводу его доклада. Лично я чувствую, что его
аргументы весьма убедительны. Несомненно необходимо проверить их эмпирически и об
этом я пока ничего не могу сказать. Я бы хотел добавить, что формула, согласно которой
число частиц должно быть пропорционально квадрату радиуса Вселенной, измеренному
в атомных единицах, похоже содержит некоторую степень согласованности, которая
может быть выявлена только в случае обсуждения этой проблемы в рамках квантовой
теории *).
Согласно докладу Шиамы1), Вселенная является однородной и изо-
изотропной в пространстве, однако эволюционирующей во времени. Сингу-
Сингулярность в самом начале времени может быть ослаблена непрерывным
созданием вещества, как это было предложено Дираком и Йорданом.
Сравнение этой теории с недавними опытами может стоить затраченных
усилий.
Допустим, что R — это радиус Вселенной, измеренный в элементарных
единицах длины. В настоящее время R « 1040. Число барионов во Вселен-
Вселенной п в настоящий момент равно « 1080 = R2. Можно предположить, что
это соотношение будет выполняться в любой момент времени.
Я хотел бы указать на то, что соотношение п ~ R? является следствием
опыта квантовой космологии, о котором я кратко упомянул в разделе 5.3
моего доклада о классическом и квантовом описаниях в трудах данного
симпозиума2).
Эмпирический вопрос, допускающий в точности к ответов, или, го-
говоря другими словами, величина, принимающая в точности к различ-
различных возможных значений, в квантовой механике описывается посредством
^-мерного гильбертова пространства. Все истинно эмпирические вопросы
допускают лишь конечное число ответов. Однако в общем случае окажется
возможным задать больше вопросов в будущем, /с-образный вопрос можно
подразделить на некоторое число двояких («простых») альтернатив или
битов (двоичных знаков), каждый из которых допускает в точности два
ответа. Если мы считаем альтернативы квантовыми объектами, то предпо-
предположение о применимости к ним статистики Бозе не приведет к какой-либо
*) Нижеследующие заметки о «квантовой космологии» были подготовлены до заслу-
заслушивания доклада Дирака и могут быть истолкованы как указывающие на согласие с его
идеями.
3. КВАНТОВАЯ КОСМОЛОГИЯ 759
потере общности. Любое ^-мерное гильбертово пространство может быть
построено из (к — 1)-двумерного гильбертова пространства в виде полно-
полностью симметричного тензорного произведения (этих пространств).
Если нынешняя Вселенная является конечной, то мы можем попы-
попытаться описывать ее в конечномерном гильбертовом пространстве. Это
подразумевает применение обрезания на малых расстояниях. Мы можем
предположить, что обрезание будет производиться на масштабах 10~13 см.
Это не исключает того, что в конкретных экспериментах с использованием
высоких энергий могут измеряться и длины меньшие, чем 10~13 см. Однако
это означает, что имеющиеся у нас энергии не позволят нам определить
все длины одновременно при дх меньшем, чем 10~13 см. Данное предпо-
предположение может быть также выражено путем разбиения всей Вселенной
на /?3 = 10120 элементарных клеток и выяснения в отношении каждой из
них, занята ли она барионом или нет. Наличие других частиц привело бы
к добавлению множителя порядка 10, которым мы здесь пренебрегаем.
Мы можем рассматривать простые альтернативы как элементарные
объекты этого мира. Это — простейшее из возможных допущений до тех
пор, пока закон взаимодействия таких объектов остается неопределенным.
Оно становится нетривиальным предположением, если постулировать, что
закон взаимодействия между элементарными альтернативами обладает
такой же симметрией как и одиночная альтернатива. Позвольте мне для
краткости называть элементарные альтернативы «урами» (от немецкого
«uralternative»). Два возможных ответа указываются посредством дву-
двузначной переменной г = 1 или 2. Гильбертово пространство уров состоит
из комплексных векторов иг. Его группа симметрии состоит из преобра-
преобразований группы /7B) и операции комплексного сопряжения. Комплексное
сопряжение описывается путем введения антиуров. Системы уров лучше
всего описывать с помощью спинорных функций, заданных на этой груп-
группе симметрии. Ее подгруппа SUB) является трехмерным вещественным
сферическим пространством [2]. В данном описании оно принимает на
себя роль космического пространства. Это означает следующее. Простая
альтернатива не зависит от какого-либо пространства, которое было за-
задано априори. Однако система простых альтернатив, в качестве своего
естественного пространства представлений наделенная 5?/B)-симметрией,
определяет пространство с топологической структурой группы SUB). Ги-
Гипотеза заключается в том, что оно и является тем, что мы понимаем под
космическим пространством.
В мире, содержащем лишь конечное число простых альтернатив, непре-
непрерывное пространство является пространством параметров. Однако в нем
отсутствует оператор местоположения с непрерывными собственными зна-
значениями. Чтобы определить то, что мы обычно понимаем под простран-
пространственными измерениями, мы должны сначала описать, каким образом
частицы строятся из уров. Подробный анализ этого будет ничуть не лег-
легче, чем то, что делается в рамках теории элементарных частиц, однако
несколько простых оценок можно сделать незамедлительно. Для простоты
будем говорить лишь об одном сорте элементарных частиц и назовем
760 VIII. ПРИЛОЖЕНИЯ
их барионами. Тем самым они будут фермионами. Если мир состоит из
N у ров, то мы должны найти, сколько различных барионных состоя-
состояний может быть построено из них и сколько заполнено одним барионом,
соответственно. Рассмотрим конкретное барионное состояние, состоящее
из т у ров. т у ров будут допускать (т + 1) « т различных состояний.
Следовательно мы можем построить т различных барионов, каждый из
которых состоит из т у ров. Таким образом, при заполнении всех воз-
возможных барионных состояний, состоящих в точности из т у ров, будет
использовано т2 уров. Если мы заполним все барионные состояния до
некоторого верхнего предела М уров, то мы при этом задействуем М3/3
уров. Если мы используем все N уров нашего мира для этой цели, то будем
иметь М3 = 3N. В результате наши барионы будут представлять собой
полностью вырожденный газ, а М будет характеризовать поверхность
Ферми. Наблюдаемыми являются лишь барионы, находящиеся на или над
этой поверхностью. Следовательно М будет минимальным числом уров,
приходящихся на один наблюдаемый барион. Итак число п наблюдаемых
барионов должно быть меньшим чем N/М « TV2/3. Данное рассмотрение
является некоторым шагом на пути к выводу закона Дирака-Йордана.
Показатель степени 3 безусловно математически связан с трехмерностью
группового пространства SUB). Мы можем описать ту же оценку следую-
следующими словами. Одиночный ур не может быть локализован в космическом
пространстве (т.е. на группе SUB)). Частица, локализованная с точно-
точностью 5х ~ 10~13 см. должна состоять из 1040 уров. В мире, состоящем из
10120 уров (число, которое выводится из того самого предположения, что
частицы могут быть локализованы таким образом) может находиться 1080
таких частиц.
Пусть Л/+ обозначает число уров, N-— число антиуров. Наше чис-
число N является абсолютным количеством элементарных альтернатив, т. е.
N = N+N-. В то же время взаимодействие уров будет сохранять число
7V+ — N-. Если в какие-то моменты времени N мало, то оно будет расти
неограниченно. Это является выражением того факта, что в любой момент
времени можно дать ответы лишь на конечное число вопросов. Однако
в будущем может быть задано большее число вопросов. Поскольку N « /?3,
то возрастание N со временем означает, что Вселенная расширяется. Это
значит, что возрастающее число уров предполагает все более тонкое разде-
разделение космического пространства. Я считаю, что создание ура по существу
является тем же, что Финкелыптейн называет «хрононом» (дискретное
время-событие). Гравитация определяется как кривизна пространства. Ее
убывание со временем является следствием модели. Данная теория отве-
отвечает общепринятой интерпретации времени, а его необратимость обсуж-
обсуждается в моей статье.
Равным образом как 5?/B)-симметрия служит причиной того, что
космологическое пространство является трехмерным, лоренцева симмет-
симметрия эмпирического мира должна быть следствием модели. Фиксированное
число уров делает допустимыми лишь неунитарные представления груп-
группы Лоренца. Однако неограниченное возрастание их числа предоставляет
3. КВАНТОВАЯ КОСМОЛОГИЯ 761
основу для унитарных представлений. Матрица общего вида из группы
/7B) может быть записана в виде:
+ iz x + iy
—х + гу w — iz
где вещественные параметры подчинены условиям
w2 + х2 + у2 + z2 = с2 + s2 = 1. B)
Мы называем w,x,y,z параметрами космического пространства, а с, s —
параметрами космического времени. При таком описании пространство и
время представляются замкнутыми. Наши действительные измерения про-
пространства и времени будут проводиться в атомных единицах. Взаимосвязь
между атомными и космологическими мерами можно в среднем задать
через универсальный множитель R. Определим атомные координаты при
помощи соотношений
Xq = Rw, Х4 = Rs,
х\ = Rx, x$ = Re, C)
Х2 = Ry, xs = Rz.
Множитель R должен зависеть от времени. Однако мы будем допускать
разные определения атомного времени, зависящие от инерциального дви-
движения наблюдателя. Разные наблюдатели будут рассматривать в качестве
одновременных разные значения координат. Можно определить R как
функцию атомного времени такую, что между разными наблюдателями
будут иметь место преобразования Лоренца и что R будет зависеть только
лишь от времени для каждого из наблюдателей. Это достигается, если
положить 1
R = c~\ D)
Из условий B) мы в таком случае получаем
х\ + х\ + х\ + х\ - х\ — 1, E)
т. е. другими словами, Вселенную де Ситтера. Тем не менее значения атом-
атомных координат, которые не являются слишком большими по сравнению
с единицей, лишены смысла, поскольку здесь отсутствует понятие операто-
оператора местоположения. Таким образом, мы можем использовать уравнение E)
только с одной стороны «бутылочного горлышка» (или узкого места), ска-
скажем при Х4 ^> 1. Такая Вселенная не является пустой и можно придумать
уравнения гравитации, для которых при возрастании R гравитационная
постоянная убывает, так что такая модель в качестве решения оказывается
допустимой. В такого рода теории скалярная величина R должна быть
заменена тензорной величиной, выражающей локальные изменения.
Литература
1. Sciama D.W. The Universe as a Whole. (Тот же сборник, р. 17-23.)
2. Von Weizsacker C.F. Classical and Quantum Description. (Тот же сборник,
p. 635-667.)
4. ПОЯСНЕНИЯ К ТЕОРЕТИЧЕСКИМ РАБОТАМ
ПО АТОМНОМУ ПРОЕКТУ
Р. Далиц
1. Теория разделения изотопов статистическими методами
Данная работа, состоящая из трех плотно напечатанных листов, хра-
хранится в настоящее время в архиве в Лондоне. На ней имеется пометка, сви-
свидетельствующая о том, что в свое время она являлась документом высокой
степени секретности. Работа неполна — в ней отсутствует приложение, на
которое есть ссылка в тексте. Кроме того, в работе нет даты, и неясно, что
побудило Дирака написать ее.
Известно, что Дирак проявлял активный интерес к проблеме разделе-
разделения изотопов в начале 1930-х годов. В то время большое значение имели
изотопически чистые мишени для проведения ядерных реакций, и Дирак
выдвинул ряд идей о том, каким образом такие мишени могли бы быть
получены. В 1933-1934 годах, вдохновляемый Петром Капицей, Дирак да-
даже предпринял некоторую экспериментальную работу по методу, который
в настоящее время называют «струйным центробежным разделением».
Однако эта работа прекратилась, когда по приказу Сталина Капица был
оставлен в России в конце лета 1934 года. Тем не менее сегодня пред-
представляется, что Дирак в то время должен был высказать ряд глубоких
соображений, относящихся к теоретическим основам разделения изотопов.
В меморандуме Фриша-Пайерлса от марта 1940 года было указано,
что изотоп урана U235 позволяет создать атомную бомбу умеренных раз-
размеров, что невозможно на основе другого изотопа урана U238. Авторы
меморандума полагали, что выделение изотопа U235 может быть адекватно
проведено с помощью методов термодиффузии. В течение 1940-1941 годов
Пайерлс провел ряд исследований этого метода, что привело к написанию
отчета, озаглавленного «Эффективность разделения изотопов». Ф. Саймон
и его группа в Кларендонской лаборатории в Оксфорде также начали
экспериментальное изучение разделения изотопов урана с помощью тер-
термодиффузии гексафлюорида урана сквозь пористые мембраны. Известно,
что воспоминания о деятельности Дирака в области разделения изотопов
побудили ряд физиков к тому, чтобы получить от Дирака какие-либо
советы и помощь. У нас нет прямых доказательств, однако вполне могли
иметь место достаточно ранние контакты между Саймоном и Дираком.
Эти контакты могли побудить Дирака начать вновь обдумывать общие
принципы разделения изотопов диффузионными методами. Более общо,
4. ПОЯСНЕНИЯ К ТЕОРЕТИЧЕСКИМ РАБОТАМ ПО АТОМНОМУ ПРОЕКТУ 763
речь могла идти о методах, посредством которых смесь изотопов подвер-
подвергалась воздействию таких физических условий, которые вызывали бы гра-
градиент концентрации изотопов. Исследование Дирака велось на простом, но
фундаментальном уровне; важность полученных им результатов состояла
прежде всего в доказательстве наличия верхнего предела эффективно-
эффективности действия любой установки, основанной на этом методе. Существенно,
что при этом явно указывались реальные условия работы установки, при
которых мог быть практически достигнут теоретический предел. Имя
Дирака хорошо известно в области исследований по разделению изотопов
диффузионными методами, а введенная им терминология — например,
разделительная способность — используется до сих пор.
Работа Дирака шла независимо от работы Пайерлса, который больше
интересовался возможностями найти наиболее эффективный метод. Пай-
ерлсу стали известны работы Дирака во второй половине 1941 года: об
этом свидетельствует то, что пересмотренный доклад Пайерлса (совместно
с К. Фуксом), завершенный в феврале 1942 года содержит ссылку на
работу Дирака и использует введенные Дираком термины. Поэтому пред-
представляется обоснованным сделать вывод о том, что данная работа Дирака
была завершена в начале 1941 года. К. Коэн упоминает статью Дирака
в своем обобщающем труде по этой проблеме *).
2. Движение в центрифуге с самофракционированием
Происхождение этой статьи столь же туманно, как и предыдущей.
Дирак не изобретал самофракционирующую центрифугу (обычно называ-
емаю «центрифугой с противотоком»): это устройство было предложено
Г. Юри в 1939 году. Однако Юри не был уверен в устойчивости работы
этого устройства. Важность данной работы Дирака состоит в том, что она
обеспечила количественную теоретическую основу действия самофракцио-
самофракционирующей центрифуги, а также показала устойчивость этого действия;
тем самым было привлечено внимание к чрезвычайно полезным свойствам
подобной центрифуги.
Эта работа Дирака была его первой работой, которую он написал после
присоединения к группе Пайерлса в ноябре 1941 года, целью которой бы-
было проведение исследований по проблемам, связанным с осуществлением
британского проекта создания атомной бомбы, известного под кодовым
названием «Сплавы для труб» («Tube Alloys»). Однако в письме, датиро-
датированном 11 мая 1942 года Дирак упомянул об этой работе, заметив, что он
«переписал свою старую работу»; отсюда ясно, что эта работа проводилась
в основном еще до конца 1941 года.
На практике упомянутая выше центрифуга обладает очень высокой
эффективностью разделения изотопов, и получила широкое применение
*) Более подробно затронутые темы обсуждаются в статье Dalitz P.H. Another Side to
Paul Dirac // P.A.M. Dirac Reminiscences about Great Physicist / Ed. by B.N. Kursunoglu,
E.P. Wigner. — Cambridge: Cambridge University Press, 1987.
764 VIII. ПРИЛОЖЕНИЯ
после Второй мировой войны. Работа Дирака оказалась плодотворной для
этой области и в настоящее время считается основным вкладом в нее.
Дальнейшее обсуждение существовавшей в то время ситуации и последу-
последующей истории центрифуги с противотоком можно найти в уже упоминав-
упоминавшейся статье Р. Далица, а также в обзорной статье С. Витли**).
3. Приближенное значение темпа размножения нейтронов.
I. Общая теория
В более ранней статье***) Р.Е. Пайерлс рассмотрел простую модель для
оценки скорости размножения нейтронов в твердом теле. Взаимодействие
нейтронов с атомами твердого тела (число которых N на единицу объема)
может быть трех видов: 1) упругое рассеяние (предполагаемое изотроп-
изотропным), 2) поглощение и 3) расщепление ядер, приводящее к рождению п
нейтронов (распределенных изотропно) в расчете на единичную длину
вдоль траектории нейтрона. Ослабление нейтронного пучка описывается
параметром а, где
N( ) A)
если указанные взаимодействия порождают нейтроны со скоростью
B)
причем сечения рассеяния сг5, <та и а^ предполагаются не зависящими от
скорости нейтрона v.
Плотность нейтронов в точке х в момент времени t обозначается n(x, t).
Эта величина удовлетворяет интегральному уравнению
n(x, t) = C [ "(х',*-Я/1;)ехр(-аЯ) ^ C)
V
где R — величина разности (х — х'), а интегрирование проводится по объ-
объему V рассматриваемого твердого тела. Для конечного тела будут иметь
место соответствующие граничные условия на его границе.
Пайерлс показал, что уравнение C) будет иметь решение вида
n(x, t) = n(x) exp(—Xt) D)
для конкретных значений Л. Рассматривая уравнения C) и D) совместно,
получаем, что собственные значения Л должны определяться следующим
уравнением
п(х, *)=/?
V
**) Whiteley S. Review of the Gas Centrifuge until 1962.1. Principles of separation physics //
Reviews of Modern Physics. 1984. V. 56. P. 41-66; 67-97.
***) Peierls R.E. Critical conditions in neutron multiplication // Proc. Cambr. Phil. Soc.
1939. V. 85. P. 610-615.
4. ПОЯСНЕНИЯ К ТЕОРЕТИЧЕСКИМ РАБОТАМ ПО АТОМНОМУ ПРОЕКТУ 765
Практически нас интересует наинизшее собственное значение Ло- Если
оно будет отрицательным, то плотность нейтронов D) будет возрастать во
времени экспоненциально, что приведет к взрыву. Определяющим пара-
параметром здесь служит
Р - а _ nad - (erg + nad) /^\
Р ~ ncjd + crs ' ^ '
поскольку в данной модели не будет размножения нейтронов до тех пор,
пока этот параметр не станет положительным. С ростом /3 собственное зна-
значение Ло уменьшается до тех пор, пока оно не достигнет значения Ло = О,
являющегося порогом неограниченного размножения нейтронов. Матема-
Математическая задача, подлежащая решению, для рассматриваемого твердого
тела состоит в нахождении критического значения /?о из уравнения
п(х) = /ЗЬ [ W(x);xpj-Qfi) *c'. G)
V
Именно это значение /?о соответствует значению Ло = 0 и началу взрывного
процесса.
5. ПРИНЦИПЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ*)
П.A.M. Дирак
§ 79. Физический смысл решений с отрицательной энергией.
Рассмотрим несколько подробнее решения уравнения [1]
{(т+ !*>)-»• О*+ !"
-ау уру + ^Ау) - az ypz + ^Azj - ammcj ф = 0, C9)
соответствующие отрицательной кинетической энергии. Для этой цели
удобно употребить такое представление величин а, в котором все элементы
матриц ах, ау и az вещественны, а все элементы матрицы ат — чисто
мнимые числа. Такое представление можно получить, например, из того
представления, которое дано в § 74, переставив ау и ат в формулах G).
С помощью этого представления, заменив г на —г в операторе уравнения
C9), мы получим, учтя формулы A) и B),
-ау у-ру + ^AyJ - az y-pz + ^Azj + ammcj ф = 0. D0)
Таким образом, всякая волновая функция, комплексно-сопряженная по
отношению к решению уравнения C9), должна быть решением уравнения
D0). Далее, если решение уравнения C9) соответствует отрицательному
значению W + еЛсь комплексно-сопряженное с ним решение уравнения
D0) будет соответствовать положительному значению W — еЛо- Но урав-
уравнение D0) имеет такой же вид, как если бы мы в уравнении C9) заменили
е на —е.
Поэтому всякая волновая функция, комплексно-сопряженная по отно-
отношению к решению уравнения C9), соответствующему отрицательной вели-
величине W + еЛсь есть решение, соответствующее положительному значению
W — еАо волнового уравнения, получающегося из C9) заменой е на — е.
Следовательно это решение представляет электрон заряда +е, вместо — е,
движущийся в данном электромагнитном поле. Таким образом, ненужные
решения уравнения C9) связаны с движением электрона, обладающего
зарядом +е.
Фрагмент из последней главы 1-го издания A930 г.).
6. ЗАМЕЧЕННЫЕ НЕТОЧНОСТИ В МАТЕРИАЛАХ,
ОПУБЛИКОВАННЫХ В ТОМЕ III
Мы считаем необходимым отметить ряд неточностей, попавших по
недосмотру редакции в т. III, за что приносим читателям свои извинения.
1. В библиографию работ Дирака, опубликованную в т. III настоящего
издания, вкралась неточность. За основу данного перечня работ Дирака
был взят текст библиографии из английского издания Dime P.M. The
Collected Works. 1924-1948 (/ Ed. R.H. Dalitz. - Cambridge: Cambr. Univer.
Press, 1995), куда входит работа, отмеченная на с. 693 как № 134 а. После-
Последующая проверка показала, что в выпуске газеты, на которую приведена
соответствующая ссылка, содержится только информация о выступлении
Дирака на встрече Нобелевских лауреатов в Линдау, но текст его выступ-
выступления отсутствует.
2. При переводе английского словосочетания в названии работы № 45
на с. 481, которое также несколько раз встречается в ее тексте, допущена
стилистическая некорректность. Следует признать, что перевод названия
работы как «Квантовая электродинамика без анахронизмов» является
более адекватным. Соответствующее исправление было бы целесообразно
внести и в другие места опубликованного текста перевода. Кроме того,
в нем равноправно используются термины «картина» и «представление»
Гейзенберга (Шредингера), в то время как в современной научной литера-
литературе термин «картина» считается предпочтительным.
От редакции.
7. КОММЕНТАРИИ
I. Лекции
1. Квантовая механика и релятивистская теория поля.
Уникальный курс лекций, прочитанный Дираком в начале 1955 г. в Ин-
Институте фундаментальных исследований Тата (Бомбей, Индия) и записан-
записанный К.К. Гуптой и Дж. Сударшаном. Перевод А.В. Беркова (лекции 1-13)
и В.И. Санюка (лекции 14-22). Издается впервые по архивной мимеогра-
фической копии. Представляет огромный интерес и сегодня, поскольку
объединяет лаконичное и исключительно ясное изложение основ кванто-
квантовой механики с подробной версией обобщенной гамильтоновой динамики,
развитой Дираком в начале 50-х годов. Содержащийся в нем материал по
релятивистской гамильтоновой механике со связями по доступности изло-
изложения превосходит как оригинальные работы Дирака, так и его известные
лекции по квантовой механике A964 г.), опубликованные в томе I данного
издания.
[1] (с. 9) Сегодня понятие измерения в квантовой механике принято
трактовать более широко, подразумевая под ним формирование состояния
микрочастицы под воздействием соответствующей макрообстановки, ко-
которая может иметь как естественное, так и искусственное происхождение.
[2] (с. 20) Математически строгое определение ^-функции Дирака было
дано в рамках теории обобщенных функций, развитой С.Л. Соболевым и
Л. Шварцем.
[3] (с. 33) Здесь Дирак следует установившейся традиции связывать
соотношение неопределенностей Гейзенберга с Фурье-анализом, применяе-
применяемом в классической волновой теории. Ныне принято отличать соотношение
«ширин» финитной функции непрерывной переменной и ее Фурье-образа,
возникающее в рамках такого анализа, от взаимосвязи между дисперсиями
координаты и импульса, вычисляемыми по распределению вероятностей
в соответствующем состоянии микрочастицы.
[4] (с. 49) Дирак поднимает здесь важный вопрос о произволе в опреде-
определении координаты при известном определении сопряженного ей импульса.
В частности, каноническое преобразование, отвечающее движению сво-
свободной микрочастицы, не оказывает влияния на выполнение квантовых
условий.
[5] (с. 55) Эквивалентность картин Шрёдингера и Гейзенберга гаран-
гарантируется только для систем с конечным числом степеней свободы. Сам
Дирак в своих последующих статьях по квантовой теории поля отдавал
предпочтение картине Гейзенберга.
7. КОММЕНТАРИИ 769
[6] (с. 61) Картину взаимодействия ныне принято называть картиной
Дирака.
[7] (с. 66) Теорема о связи спина со статистикой, вытекающая из требова-
требований РСТ-инвариантности, была в конце концов строго доказана В. Паули.
2. Общая теория относительности
Этот цикл лекций представляет собой компактное, блестящее по форме
и глубокое по содержанию, изложение основ общей теории относитель-
относительности. Некоторые результаты (относящиеся, в частности, к движению
непрерывно распределенной материи и к гравитационным волнам) полу-
получены Дираком собственными методами и ранее не публиковались. Лекции,
прочитанные в университете штата Флорида (США), были изданы на
английском языке в 1975 г. и переведены на русский язык Г.В. Исаевым
под редакцией Д.И. Блохинцева.
3. Пути физики.
Лекции данного цикла, прочитанные Дираком в Австралии и Новой
Зеландии осенью 1975 г., были изданы на английском языке в 1978 г. Они
посвящены фундаментальным проблемам квантовой механики, квантовой
теории поля, теории относительности и космологии. На русский язык
были переведены Н.Я. Смородинской под редакцией Я.А. Смородинского
в 1983 г.
[1] (с. 209) Результаты Прайса в дальнейшем не подтвердились.
[2] (с. 231) Экспериментальные открытия последнего десятилетия в
области космологии свидетельствуют об ускорении темпа расширения Все-
Вселенной, что можно трактовать как относительно ослабление роли грави-
гравитации, предсказывавшееся Дираком.
II. Зарождение гамильтоновой теории гравитации A958—1974)
Основное содержание четвертого тома научных трудов Дирака посвя-
посвящено его работам по гравитации и космологии, которые впервые собраны
воедино и издаются совместно. Хотя их появление в свое время не вы-
вызвало адекватного резонанса в научных кругах, эти статьи содержат ряд
оригинальных идей, проверка справедливости которых еще предстоит. На
наш взгляд, важнейшие их этих работ, публикуемые в настоящем томе под
номерами 1, 13 и 30, могут быть с полным правом названы «лебединой
песней» автора. Их значение особенно возрастает в связи с продолжающи-
продолжающимися попытками квантования гравитации и объединения всех фундамен-
фундаментальных взаимодействий, а также в связи с бурным развитием в наши дни
экспериментальной и теоретической космологии.
Структурирование соответствующего материала, содержащегося в ста-
статьях 1-35, было связано со значительными трудностями ввиду тесного
переплетения изложенных в них идей и результатов. В конце концов,
было признано целесообразным отнести к части II только статьи по га-
гамильтоновой теории гравитации, сосредоточив работы по космологии и
25 П.Дирак. TIV
770 VIII. ПРИЛОЖЕНИЯ
развитию теории тяготения Эйнштейна в частях III и IV соответственно.
Но, разумеется, полностью избежать пресечения содержания этих частей
не удалось.
1. Получена 15 марта 1958 г. Перевод В.П. Санюка.
[1] (с. 239) Работа, открывающая часть II, была опубликована вслед
за статьей с изложением основ обобщенной гамильтоновой динамики (см.
т. III, статья 23) в одном и том же номере журнала Proceedings Royal So-
Society. Ее можно рассматривать как приложение общих методов, развитых
в первой статье. Тем не менее, данную статью можно изучать независимо,
ибо в ней общие методы повторно излагаются более подробно. Цель рабо-
работы — создать аппарат, оптимально сочетающий требования гамильтоновой
динамики и теории относительности. Она открывает цикл работ Дирака,
позволивших в максимальной степени приблизиться к решению проблемы
квантования гравитации.
[2] (с. 254) По-видимому, предполагая в дальнейшем переход к кванто-
квантовой теории, автор отдает предпочтение использованию методов гамильто-
гамильтоновой динамики по сравнению с учетом требований четырехмерной сим-
симметрии.
2. Получена 10 декабря 1958 г. Перевод В.П. Санюка.
3. Доложен на заседании Американского физического общества 30 ян-
января 1959 г. Перевод В. И. Санюка.
[1] (с. 270) Обсуждается одна из сложнейших проблем теории гравита-
гравитации—проблема определения энергии гравитационного поля. Она остается
предметом дискуссии со времени создания общей теории относительности,
продолжая до сих вызывать появление альтернативных теорий. Дирак
приводит ряд примеров гравитационных полей, в которых неопределен-
неопределенность в энергии гравитационного поля себя не проявляет.
4. Доложен на коллоквиуме в Институте CNRS (Франция) в июне
1959 г. Перевод А.В. Беркова и Ю.П. Рыбакова.
5. Доложен на встрече Нобелевских лауреатов в Линдау (Бавария)
в сентябре 1959 г. Перевод Ю.Г. Рудого.
[1] (с. 286) Продемонстрировано, что при определенных условиях энер-
энергия гравитационных волн может быть задана вполне однозначно, что
подтверждает аргументы двух предыдущих работ.
6. Доложен на конференции в Варшаве в июле 1962 г. Перевод В. И. Са-
Санюка.
[1] (с. 295) Применяемый Дираком термин «fourlegs» здесь переведен
буквально — «четырехножки», но в современной физической литературе
такие системы четырех ортогональных нормированных 4-векторов часто
называют тетрадами или тетраподами.
[2] (с. 300) В оригинале: связи первого и второго класса. По установив-
установившейся в русскоязычной литературе традиции их (а также динамические
переменные) называют связями (переменными) первого и второго рода,
7. КОММЕНТАРИИ 771
поскольку на классы (первый, второй и третий) принято подразделять
условия непротиворечивости (см. подробнее в лекциях по квантовой меха-
механике, опубликованных в томе I данного издания, с. 392-393.)
7. Доложен на конференции в Яблонне (Польша) в июле 1962 г. Перевод
В.П. Санюка.
[1] (с. 305) Предложена модель протяженной частицы, взаимодейству-
взаимодействующей с гравитационным полем. Ее использование позволяет избежать ряд
традиционных трудностей, связанных с возникновением сингулярностей
вблизи сферы Шварцшильда.
8. Опубликована в ноябре 1962 г. Перевод В.П. Санюка.
9. Доложен на симпозиуме в Триесте в июне 1968 г. Перевод В.П. Са-
Санюка.
10. Получена 30 декабря 1973 г. Перевод В.И. Санюка.
III. Гипотеза Больших Чисел и становление новой космологии
A937-1982)
Интерес Дирака к космологии проявился еще в середине 30-х годов
после выхода в свет второго, дополненного издания его фундаментальной
монографии по квантовой теории A935 г.). Он был инициирован его новой
фундаментальной идеей — Гипотезой Больших Чисел, имеющей, как и его
идея магнитного монополя, принципиальное значение для физики в це-
целом. Конкретная реализация ГБЧ в космологии впервые была изложена
автором в работе 13. Однако после этого он долгое время не обращался
к ней, по-видимому, из-за отсутствия необходимых для ее подтверждения
надежных наблюдательных данных.
Дирак вновь вернулся к развитию теории космологии, согласующейся
с его ГБЧ, в 1972 г., т.е. спустя 35 лет. Этому, в частности, способство-
способствовало уточнение возраста Вселенной и открытие реликтового теплового
излучения A965 г.), подтвердившее предложенную Г.А. Гамовым модель
«горячего» Большого Взрыва A946-1948 г.г.). За последующие 11 лет
Дирак опубликовал 15 работ по этой тематике, в которых развивал и
настойчиво пропагандировал свои космологические идеи с учетом новых
экспериментальных данных. Важнейшее следствие ГБЧ для космологии —
убывание гравитационной постоянной со временем — сегодня вновь стало
предметом научных дискуссий в связи с экспериментальным подтвержде-
подтверждением ускорения темпа расширения Вселенной.
11. Опубликована в февраля 1937 г. Перевод под редакцией А.Д. Суха-
Суханова.
12. Опубликована в июне 1937 г. Перевод Д. И. Казакова.
13. Получена 29 декабря 1937 г. Перевод Д.П. Казакова.
[1] (с. 346) Однозначный вывод Дирака об однородности Вселенной
в трехмерном пространстве ныне надежно подтверждается экспериментом.
25*
772 VIII. ПРИЛОЖЕНИЯ
[2] (с. 347) Хотя формально Дирак использует гипотезу Милна о двух
мерах времени, физический смысл и следствия подобной гипотезы у него
качественно иные.
14. Опубликована в ноябре 1961 г. Перевод В.И. Санюка.
15. Доложен на конференции в штате Колорадо (США) в начале
1972 г. Перевод В.П. Санюка.
16. Доложен 13 апреля 1972 г. на заседании Папской академии наук.
Перевод Ю.Г. Рудого.
[1] (с. 355) Это утверждение звучит излишне категорично. Как следует
из текстов других его работ, Дирак признавал приоритет А.А. Фридма-
Фридмана (статьи 1922 и 1924 г.г.) в создании теории эволюционирующей Все-
Вселенной.
[2] (с. 363) Идея начала эволюции Вселенной с радиоактивного рас-
распада некоего «первоатома» действительно принадлежит Ж. Леметру
A931 г.). Однако в его модели первичный взрыв был «холодным». Ос-
Основы теории «горячего» Большого Взрыва, в значительной мере под-
подтверждаемой сегодня на опыте, были сформулированы Г.А. Гамовым
в 1946-1948 г.г.
17. Доложен на симпозиуме в Триесте, посвященном 70-летию Дира-
Дирака, в октябре 1972 г. Перевод В.И. Санюка.
[1] (с. 368) Здесь изложен новый вариант космологической теории Ди-
Дирака, значительно отличающийся от первоначального ее варианта A937 г.)
(см. выше статью 13)
[2] (с. 376) Развитие Дираком теории Вейля содержится в его работах,
приведенных ниже в части IV.
[3] (с. 377) См. статью 16 из этого тома (с. 355).
18. Получена 3 декабря 1973 г. Перевод Д.И. Казакова.
[1] (с. 384) Предсказываемая Дираком материя с отрицательной массой
по своим свойствам отчасти напоминает то, что сегодня именуется либо
темной энергией, либо квинтэссенцией.
19. Опубликована в марте 1975 г. Перевод Ю.Г. Рудого.
20. Доложен 18 апреля 1975 г. на сессии Папской академии наук. Пере-
Перевод Д.И. Казакова.
21. Опубликован летом 1975 г. Перевод А.В. Беркова.
22. Доложен в ноябре 1975 г. Перевод Д.П. Казакова.
23. Получена 26 июня 1978 г. Перевод А.Г. Башкирова.
24. Опубликован летом 1978 г. Перевод Д. И. Казакова.
25. Доложен 11 октября 1978 г. на сессии Папской академии наук.
Перевод А.Г. Башкирова.
26. Опубликован в декабре 1978 г. Перевод Д. И. Казакова.
27. Доложен весной 1980 г. Перевод Д. И. Казакова.
7. КОММЕНТАРИИ 773
28. Доложен осенью 1981 г. Перевод Д. И. Казакова.
29. Доложен летом 1982 г. на Втором симпозиуме Марселя Гроссмана
по ОТО. Перевод Д.И. Казакова.
IV. Развитие теории тяготения Эйнштейна A973—1983)
В работах, опубликованных в частях II и III данного тома, автор
исходил из незыблемости основных принципов общей теории относитель-
относительности. В части IV представлены недостаточно широко известные работы
Дирака, в которых он развивает теорию тяготения Эйнштейна. При этом
он использует более сложную геометрию, предложенную ранее Г. Вейлем,
и граничные условия, вытекающие из космологических моделей, которые
согласуются с требованиями ГБЧ.
30. Получена 15 января 1973 г. Перевод В.П. Санюка.
31. Доложен на встрече Нобелевских Лауреатов в Линдау (Бавария)
в июне 1913 г. Перевод А.В. Беркова.
32. Доложен на конференции в штате Флорида (США) осенью 1913 г.
Перевод В.П. Санюка.
33. Доложен на конференции в штате Флорида (США) в январе 1914 г-
Перевод А.В. Беркова.
34. Доложен на конференции в штате Флорида (США) в марте 1919 г.
Перевод А.В. Беркова.
[1] (с. 517) См. данный том (статья 23, с. 413).
35. Доложен весной 1983 г. Перевод А.В. Беркова.
V. Теоретические работы по атомному проекту A941—1944)
В данный том включены три отчета П.A.M. Дирака, выполненные им
в рамках атомного проекта и носящие теоретический характер. Краткая
информация о содержании остальных отчетов технического характера
(см. библиографию его работ, п. 64-66, 69-696 из тома III, с. 687-688)
опубликована в книге The Collected Works of P.A.M. Dirac. 1924-1948 /Ed.
R.H. Dalitz. — Cambridge: Cambr. Univer. Press., 1995. P. 1075-1076, 1129,
1149-1150. Пояснения Р. Далица, более полно освещающие участие Дирака
в атомном проекте, приведены ниже в Приложениях 1 и 4.
36. Завершен в начале 1941 г. Перевод Ю.Г. Рудого.
[1] (с. 533) По информации Далица в том варианте этой статьи, что
хранится в архиве Public Record Office в Кью, Лондон, это приложение
отсутствует. Неизвестно, существует ли вообще, приложение, о котором
упоминает Дирак. Есть основания считать, что оно может находиться
в значительно более пространной версии книги Cohen К. The Theory of
Isotopic Separation as applied to the Large-Scale Separation of U235. —N. Y.:
Me Grow Hill, 1951.
37. Завершен в конце 1941 г. Перевод Ю.Г. Рудого.
774 VIII. ПРИЛОЖЕНИЯ
38. Представлен в августе 194-3 г. Перевод Ю.Г. Рудого.
[1] (с. 556) Вторая, прикладная часть этого отчета была завершена к
концу 1943 г. в соавторстве с К. Фуксом, Р. Пайерлсом и П. Престоном.
VI. Воспоминания и размышления A939—1983)
В этой части сосредоточены основные работы, содержащие нетривиаль-
нетривиальные методологические взгляды Дирака и его исключительно интересные
воспоминания о временах становления теории относительности и кванто-
квантовой теории. Часть воспоминаний была опубликована в этом издании ранее
(см. том I, с. 576; том III, с. 621, 629), а также в лекциях «Пути физики»
(том IV, с. 167).
39. Прочитана 6 февраля 1939 г. при вручении премии Джеймса Скот-
Скотта в Королевском обществе (г. Эдинбург). Перевод М.К. Поливано-
Поливанова под редакцией Б. В. Медведева.
40. Представлена в мае 1963 г. Перевод В.А. Белоконя под редакцией
Б. В. Медведева.
41. Прочитана в июне 1968 г. в Международном центре теоретиче-
теоретической физики (Триест). Перевод В.К. Игнатовича под редакцией
И.М. Дремина.
42. Доложен в Академии Деи Линчей Ц апреля 1972 г. Перевод
Ю.Г. Рудого.
43. Доложен 18 сентября 1972 г. на симпозиуме, посвящено 70-летию
со дня рождения П.А. М. Дирака (Триест). Перевод П.Я. Сморо-
динской под редакцией Я.А. Смородинского.
44. Доложен на конференции в штате Флорида (США) в конце 1973 г.
Перевод Ю.Г. Рудого.
45. Доложен на встрече Нобелевских лауреатов в Линдау (Бавария)
летом 1976 г. Перевод Ю.Г. Рудого.
46. Доложен летом 1979 года. Перевод П.Я. Смородинской под редак-
редакцией Я.А. Смородинского.
47. Доложен на симпозиуме ЮНЕСКО в Мюнхене в сентябре 1978 го-
года. Перевод под редакцией А.Д. Суханова.
48. Доложен в марте 1979 года на симпозиуме в Иерусалиме в честь
столетней годовщины со дня рождения А. Эйнштейна. Перевод
Ю.Г. Рудого.
49. Интервью П.A.M. Дирака в Майами (США) в конце 1979 г. Перевод
А.Г. Башкирова.
50. Доложен на конференции в Карбондейле(США) летом 1980 года.
Перевод Ю.Г. Рудого.
51. Отрывок из воспоминаний о юношеских годах, опубликованный в
рукописном журнале сверстников Дирака. Перевод А.Д. Суханова.
52. Доложен на 19 Международной школе субъядерной физики в июле
1981 года (Эриче, Сицилия). Перевод Ю.Г. Рудого.
7. КОММЕНТАРИИ 775
VII. Персоналии A940-1984)
Очерки Дирака о выдающихся ученых — его современниках представ-
представляют бесспорный интерес и сегодня, сочетая благожелательную оценку
личности его друзей и коллег с глубоким анализом фундаментальных
физических проблем.
53. Опубликована в ноябре 194-0 г. Перевод Ю.Г. Рудого.
54. Опубликована в феврале 1961 г. Перевод Ю.А. Данилова.
55. Опубликована осенью 1967 . Перевод Я. А. Смородинского.
56. Доложен 25 апреля 1968 г. на сессии Папской академии наук. Пере-
Перевод А.Г. Башкирова.
57. Долоэюен 11 апреля 1975 г. на сессии Папской академии наук. Пере-
Перевод А.Г. Башкирова.
58. Долоэюен 20 октября 1976 г. на сессии Папской академии наук.
Перевод А.Г. Башкирова.
59. Долоэюен в марте 1979 г. на конференции «Эйнштейн-Галилей»
в Папской академии наук. Перевод А.Г. Башкирова.
60. Опубликован в декабре 1979 г. Перевод Ю.Г. Рудого.
[1] (с. 729) По-видимому, это произошло 23 июня 1953 года, когда
Л.П. Берия был арестован в Москве.
61. Опубликована весной 1981 года. Перевод П. Я. Смородинской под
редакцией Я.А. Смородинского.
62. Долоэюен в августе 1982 г. Перевод П. И. Рубинина и В. И. Санюка.
[1] (с. 738) Поскольку многие факты из жизни П.Л. Капицы Дирак
воспроизводил по памяти, в дальнейшем изложении он невольно допустил
отдельные неточности, которые будут отмечены ниже.
[2] (с. 738) В 1920 году Ленинград еще назывался Петроградом.
[3] (с. 738) Зимой 1919/1920 г.г. Капица в течение месяца потерял отца,
сына, жену и новорожденную дочь во время эпидемии гриппа («испанки»).
[4] (с. 738) По рекомендации А.Ф. Иоффе, желавшего поддержать
Капицу, последний был включен в состав российской делегации, направ-
направленной в Западную Европу, в том числе посетившей и Кембридж:.
[5] (с. 742) Здесь не совсем понятно, о котором из писем Капицы
к Сталину идет речь. С текстами всех писем Капицы можно ознакомиться
в книге «П.Л. Капица: Воспоминания. Письма. Документы.» — М.: Наука,
1994. 543 с.
63. Опубликована осенью 1984 г- Перевод А.Г. Башкирова.
VIII. Приложения
1. Поль Адриен Морис Дирак (8 августа 1902-20 октября 1984)- П.
Перевод части I, опубликованной в томе III и публикуемой здесь
части II данной статьи, выполнен А.Д. Сухановым.
Заключительная, не вошедшая в том III, часть статьи Р. Далица
и Р. Пайерлса, опубликованной в Biogr. Mem. Roy. Soc. 1986. V. 32.
776 VIII. ПРИЛОЖЕНИЯ
P. 137-185. В ней содержится информация об участии Дирака в атомном
проекте и о некоторых его работах по гравитации и космологии.
[1] (с. 751) Ссылки в этой статье, помещенные в круглых скобках,
относятся к работам, вошедшим в библиографию трудов Дирака, опубли-
опубликованную в томе III, с. 683-697.
[2] (с. 751) Более подробные пояснения Р. Далица, касающиеся участия
Дирака в атомном проекте, приведены ниже в Приложении 4.
2. Космология Дирака и принцип Маха. Перевод В. И. Санюка.
[1] (с. 755) Письмо показывает, что его автор, соглашаясь в принципе
с идеями Дирака, видел в вытекающих из них выводах противоречие
с принятым в те годы значением возраста Вселенной. В связи с увеличе-
увеличением этого числа на порядок с конца 60-х годов данное возражение стало
несущественным.
3. Квантовая космология. Перевод В.И. Санюка
[1] (с. 758) Замечания Вейцзеккера, опубликованные в сборнике
The Physicist's Conception of Nature / Ed. E.J. Mehra. — Dordrecht:
D. Reidel, 1973. P. 55-58, содержат оценку космологических идей Дирака
по состоянию на осень 1972 г.
[2] (с. 759) Точнее будет сказать «вещественное пространство трехмер-
трехмерной сферы 53, поскольку известно, что SUB) « 53».
4. Пояснения к теоретическим работам по атомному проекту. Пере-
Перевод Ю.Г. Рудого.
Эти пояснения были опубликованы в книге The Collected Works of
P.A.M. Dirac. 1924-1948 / Ed. R.H.Dalitz. — Cambridge: Cambr. Univer.
Press., 1995. P. 1003, 1063, 1115.
5. Принципы квантовой механики. Перевод М.П. Бронштейна под ре-
редакцией Д. Д. Иваненко.
[1] (с. 766) Этот текст из первого издания A830 г.), отсутствующий
в последующих изданиях монографии, имеет значительный исторический
интерес. Он ясно показывает, что Дирак изначально относил свое урав-
уравнение как к обычным электронам, так и к положительно заряженным
частицам той же массы (см. слова, набранные курсивом в конце с. 766).
А. Суханов
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие ответственного редактора 5
Часть I
Лекции
1. Квантовая механика и релятивистская теория поля
1. Состояния. Бра- и кет-векторы 9
2. Линейные операторы 13
3. Собственные векторы и собственные значения. Наблюдаемые 18
4. Представления 23
5. Матрицы Паули. Координатное представление. Квантовые условия . . 27
6. Импульсное представление. Соотношение неопределенностей Гейзен-
берга 31
7. Представление Фока. Гармонический осциллятор. Момент импульса. . 36
8. Оператор поворота. Спин 41
9. Спин фотона 47
10. Изменение состояний со временем. Уравнение движения Шредингера 51
11. Уравнения движения Гейзенберга. Картины Шредингера и Гейзенберга 54
12. Картина взаимодействия. Вероятности переходов. Теория возмущений 59
13. Системы тождественных микрочастиц. Фермионы и бозоны 64
14. Классическая релятивистская динамика 68
15. Лоренц-инвариантность волнового уравнения. Движение заряженной
частицы в магнитном поле 72
16. Релятивистское обобщение стандартной гамильтоновой теории 77
17. Обобщенная гамильтонова динамика 81
18. Классическая обобщенная гамильтонова теория скалярного поля .... 85
19. Квантовая обобщенная гамильтонова теория скалярного поля 89
20. Квантовая обобщенная гамильтонова теория системы фермионов.
Классическая обобщенная гамильтонова теория свободного электро-
электромагнитного поля 93
21. Квантовая обобщенная гамильтонова теория свободного электромаг-
электромагнитного поля. Классическая обобщенная гамильтонова теория электро-
электромагнитного поля, взаимодействующего с электронами 99
22. Квантовая обобщенная гамильтонова теория электромагнитного поля,
взаимодействующего с электронами и позитронами 106
2. Общая теория относительности
Предисловие редактора перевода 110
Предисловие автора 110
1. Специальная теория относительности 111
2. Неортогональные декартовы координаты 112
3. Криволинейные координаты 114
4. Нетензорные величины 116
5. Искривленное пространство 117
6. Параллельный перенос 118
778 СОДЕРЖАНИЕ
7. Символы Кристоффеля 120
8. Геодезические 122
9. Свойство стационарности геодезических 123
10. Ковариантное дифференцирование 124
11. Тензор кривизны 127
12. Критерии плоского пространства 128
13. Тождества Бианки 129
14. Тензор Риччи 130
15. Эйнштейнов закон гравитации 131
16. Ньютоново приближение 132
17. Гравитационное красное смещение 134
18. Решение Шварцшильда 135
19. Черные дыры 137
20. Тензорные плотности 140
21. Теоремы Гаусса и Стокса 141
22. Гармонические координаты 144
23. Электромагнитное поле 144
24. Модификация уравнений Эйнштейна в присутствии материи 146
25. Тензор энергии-импульса материи 147
26. Вариационный принцип для гравитации 150
27. Действие для непрерывно распределенной материи 152
28. Действие для электромагнитного поля 155
29. Действие для заряженной материи 156
30. Вариационный принцип в общем случае 158
31. Псевдотензор энергии—импульса гравитационного поля 160
32. Явное выражение для псевдотензора 162
33. Гравитационные волны 162
34. Поляризация гравитационных волн 164
35. Космологический член 165
3. Пути физики
Предисловие редактора перевода 167
Предисловие к английскому изданию 168
От редакторов английского издания 169
1. Развитие квантовой механики 170
2. Квантовая электродинамика 184
3. Магнитные монополи 198
4. Релятивистское волновое уравнение без отрицательных энергий 209
5. Космология и гравитационная постоянная 221
Дискуссия 232
Послесловие редактора перевода 234
Часть II
Зарождение гамильтоновой теории гравитации A958—1974)
1. Теория гравитации в гамильтоновой форме 239
2. Фиксация координат в гамильтоновой теории гравитации 255
3. Энергия гравитационного поля. I 270
4. Энергия гравитационного поля. II 276
СОДЕРЖАНИЕ 779
5. Гравитационные волны 286
6. Взаимодействующие гравитационное и спинорное поля 295
7. Движение протяженной частицы в гравитационном поле 305
8. Частицы конечного размера в гравитационном поле 317
9. Квантование гравитационного поля 321
10. Принцип действия для движения частиц 327
Часть III
Гипотеза Больших Чисел и становление новой космологии
A937-1982)
11. Космологические постоянные 335
12. Дополнение к заметке «Космологические постоянные» 337
13. Основы новой космологии 339
14. Ответ на письмо Р.Г. Дикке «Космология Дирака и принцип Маха». . . 350
15. Изменчивость гравитационной постоянной 351
16. Эволюционная космология 355
17. Фундаментальные константы и их развитие во времени 365
18. Космологические модели и Гипотеза Больших Чисел 379
19. Изменчивость G 388
20. Меняется ли гравитационная константа? 390
21. Гипотеза Больших Чисел и ее следствия 395
22. Гипотеза Больших Чисел и космологическая изменчивость гравитаци-
гравитационной постоянной 403
23. Гипотеза Больших Чисел и теория тяготения Эйнштейна 413
24. Следствия изменчивости G 426
25. Новые идеи относительно гравитации и космологии 433
26. Новый подход к космологической теории 440
27. Изменчивость G и проблема Луны 450
28. Модели Вселенной 455
29. Изменчивость G и квантовая теория 461
Часть IV
Развитие теории тяготения Эйнштейна A973—1983)
30. Дальнодействующие силы и нарушенные симметрии. I 469
31. Новые идеи о пространстве и времени 490
32. Дальнодействующие силы и нарушенные симметрии. II 495
33. Геометрическая природа пространства и времени 506
34. Обобщения теории тяготения Эйнштейна 515
35. Современное состояние теории тяготения 524
Часть V
Теоретические работы по атомному проекту A941—1944)
36. Теория разделения изотопов статистическими методами 533
37. Движение в центрифуге с самофракционированием 538
38. Приближенное значение темпа размножения нейтронов для случая твер-
твердого тела произвольной формы и плотности. I. Общая теория 546
780 СОДЕРЖАНИЕ
Часть VI
Воспоминания и размышления A939—1983)
39. Отношение между математикой и физикой 559
40. Эволюция физической картины Природы 568
41. Методы теоретической физики 583
42. Развитие квантовой механики 591
43. Развитие физических представлений о Природе 601
44. О ранних годах развития квантовой теории 617
45. Предположения и предрассудки в физике 628
46. Совершенство теории тяготения Эйнштейна 636
47. Подтверждено временем 643
48. Ранние годы теории относительности 647
49. Поль Адриен Морис Дирак 657
50. Почему мы верим в теорию Эйнштейна 664
51. Маленькая «предыстория» 676
52. Моя жизнь в физике 677
Часть VII
Персоналии A940-1984)
53. Д-р М. Матиссон 691
54. Профессор Эрвин Шрёдингер 692
55. Многогранность личности Нильса Бора 695
56. Научная работа Жоржа Леметра 699
57. Джеймс Чэдвик 710
58. Влияние Гейзенберга на физику 713
59. Влияние Эйнштейна на физику 724
60. Дирак вспоминает Капицу 728
61. Эйнштейн и развитие физики 730
62. Жизнь Капицы как я ее знаю 738
63. Блэкетт и позитрон 744
Часть VIII
Приложения
1. Поль Адриен Морис Дирак (8 августа 1902 — 20 октября 1984) П.
Р. Далиц 750
2. Космология Дирака и принцип Маха. Р. Г. Дикке 755
3. Квантовая космология. К.Ф. фон Вейцзеккер 758
4. Пояснения к работам по атомному проекту. Р. Далиц 762
5. Принципы квантовой механики. П.A.M. Дирак 766
6. Замеченные неточности в материалах, опубликованных в томе III .... 767
7. Комментарии 768
DIRAC P.A.M. Scientific Papers Collection. Vol. IV. Theory of Gravi-
Gravitation and Cosmology. Recollections and Reflections (Lectures, scientific
articles 1937-1984) / Ed. A.D. Sukhanov. - M.: FIZMATLIT, 2005. - 784 p. -
(Classics of Science). - ISBN 5-9221-0613-9.
The edition of scientific papers collection by P.A.M. Dirac, Nobel Prize Laureate,
one of the quantum mechanics and the quantum field theory creators, is realized for
the first time. The volume IV contains his scientific articles A937-1984) on the theory
of gravitation and cosmology as well as works on the generalized problems of the
theoretical physics including series of lectures «Quantum Mechanics and Relativistic
Field Theory» «The General Theory of Relativity» and «Directions in Physics».
Uniqueness of the edition is determined by that all papers included in it where never
published together before.
The book is intended for students, graduate students, teachers and researchers —
physicists, mathematicians and historians of science.
CONTENTS
Preface of chief-editor 5
Part I
Lectures
1. Quantum Mechanics and Relativistic Field Theory
1. States. Bra- and Ket-vectors 9
2. Linear Operators 13
3. Eigenvectors and Eigenvalues. Observables 18
4. Representations 23
5. Pauli's Matricies. Coordinate Representation. Quantum Conditions 27
6. Momentum Representation. Heisenberg's Uncertainties Relation 31
7. Fock's Representation. Harmonic Oscillation. Angular Momentum 36
8. Rotation Operator. Spin 41
9. Spin of Photon 47
10. Variation of States in Time. Shroedinger's Equation of Motion 51
11. Heisenberg's Equations of Motion. Shroedinger's and Heisenberg's Pictures 54
12. Interaction Picture. Transitions Probabilities. Perturbations Theory 59
13. System of Identical Microparticles. Fermions and Bosons 64
14. Classical Relativistic Dynamics 68
15. Lorentz-invariance of the Wave Equations. Charged Particle Motion
in Magnetic Field 72
16. Relativistic Generalization of the Standard Hamiltonian Theory 77
17. Generalized Hamiltonian Dynamics 81
18. Classical Generalized Hamiltonian Theory of Scalar Field 85
19. Quantum Generalized Hamiltonian Theory of Scalar Field 89
20. Quantum Generalized Hamiltonian Theory for a System of Fermions.
Classical Generalized Hamiltonian Theory of Free Electromagnetic Field 93
21. Quantum Generalized Hamiltonian Theory of Free Electromagnetic
Field. Classical Generalized Hamiltonian Theory of Electromagnetic
Field Interacting with Electrons 99
22. Quantum Generalized Hamiltonian Theory of Electromagnetic Field
Interacting with Electrons and Positrons 106
782 CONTENTS
2. General Relativity Theory
Preface by the Editor of Translation 110
Preface by the Author 110
1. The Special Relativity Theory Ill
2. Non-orthogonal Cartesian Coordinates 112
3. Curvilinear Coordinates 114
4. Non-tensorial Quantities 116
5. Curved Space 117
6. Parallel Transport 118
7. The Christoffel Symbols 120
8. Geodesies 122
9. Stationarity of Geodesies 123
10. Covariant Differentiation 124
11. Curvature Tensor 127
12. Flat Space Criteria 128
13. The Bianchi Identity 129
14. The Richi Tensor 130
15. Einstein's Law of Gravitation 131
16. Newton's Approximation 132
17. Gravitational Red Shift 134
18. The Schwarzshild Solution 135
19. Black Holes 137
20. Tensorial Densities 140
21. The Gauss and Stocks Theorems 141
22. Harmonic Coordinates 144
23. Electromagnetic Field 144
24. Modification of the Einstein Equations in the Presence of Matter 146
25. Stress Tensor of Matter 147
26. A Variational Principle for Gravitation 150
27. The Action for Continuously Distributed Matter 152
28. The Action for Electromagnetic Field 155
29. The Action for Charged Matter 156
30. A Variational Principle in the General Case 158
31. Stress Pseudo-Tensor for Gravitational Field 160
32. Explicate Expression for Pseudo-tensor 162
33. Gravitational Waves 162
34. Polarization of Gravitational Waves 164
35. Cosmological Term 165
3. Directions in Physics
Preface by the Editor of Translation 167
Preface to the English Edition 168
From the Editors of English Edition 169
1. Developments of Quantum Mechanics 170
2. Quantum Electrodynamics 184
3. Magnetic Monopoles 198
4. Relativistic Wave Equations without Negative Energies 209
5. Cosmology and the Gravitational Constant 221
Discussion 232
Afterwords by the Editor of Translation 234
CONTENTS 783
Part II
Incunabula of the Hamiltonian Gravitation Theory A958—1974)
1. The Theory of Gravitation in Hamiltonian Form 239
2. Fixation of Coordinates in the Hamiltonian Theory of Gravitation 255
3. Energy of the Gravitational Field 270
4. The Energy of the Gravitational Field. II 276
5. Gravitationswellen 286
6. Interacting Gravitational and Spinor Fields 295
7. The Motion of an Extended Particle in the Gravitational Field 305
8. Particles of Finite Size in the Gravitational Field 317
9. The Quantization of the Gravitational Field 321
10. An Action Principle for the Motion of Particles 327
Part III
The Large Number Hypothesis and Becoming of New Cosmology
A937-1982)
11. The Cosmological Constants 335
12. An Addendum on the Note «The Cosmological Constants» 337
13. A New Basis for Cosmology 339
14. A Reply to the letter of R.H. Dicke «Dirac's Cosmology and
Mach's Principle» 350
15. The Variability of the Gravitational Constant 351
16. Evolutionary Cosmology 355
17. Fundamental Constants and their Development in Time 365
18. Cosmological Models and the Large Numbers Hypothesis 379
19. Variation of 6? 388
20. Does the Graitational Constant Vary? 390
21. The Large Number Hypothesis and its Consequences 395
22. The Large Numbers Hypothesis and the Cosmological Variation of
the Gravitational Constant 403
23. The Large Numbers Hypothesis and the Einstein Theory of Gravitaion .... 413
24. Consequences of Varying G 426
25. New Ideas about Gravitation and Cosmology 433
26. A New Approach to Cosmological Theory 440
27. The Variation of G and the Problem of the Moon 450
28. Models of the Universe 455
29. The Variation of G and the Quantum Theory 461
Part IV
The Elaboration of Einstein's Gravitation Theory A973-1983)
30. Long Range Forces and Broken Symmetries. I 469
31. New Ideas of Space and Time 490
32. Long Range Forces and Broken Symmetries. II 495
33. The Geometrical Nature of Space and Time 506
34. Developments of Einstein's Theory of Gravitation 515
35. The Present State of Gravitational Theory 524
784 CONTENTS
Part V
Theoretical Works on the Atomic Project A941—1944)
36. The Theory of the Separation of Isotopes by Statistical Methods 533
37. The Motion in a Self-fractionating Centrifuge 538
38. Approximate Rate of Neutron Multiplication for a Solid of Arbitrary Shape
and Uniform Density. I General Theory 546
Part VI
Reminiscences and Recollections A939—1983)
39. The Relation between Mathematics and Physics 559
40. The Evolution of the Physicist's Picture of Nature 568
41. Methods in Theoretical Physics 583
42. The Development of Quantum Mechanics 591
43. Development of the Physicist's Conception of Nature 601
44. Some of the Early Developments of Quantum Theory 617
45. Annahmen und Voreingenommenheit in der Physik 628
46. The Excellence of Einstein's Theory of Gravitation 636
47. The Test of Time 643
48. The Early Years of Relativity 647
49. Paul Adrien Maurice Dirac 657
50. Why we Believe in the Einstein Theory 664
51. A Little «Prehistory» 676
52. My Life as a Physicist 677
Part VII
Personalia A940-1984)
53. Dr. M. Mathisson 691
54. Prof. Erwin Schroedinger 692
55. The Versatility of Niels Bohr 695
56. The Scientific Work of Georges Lemaitre 699
57. James Chadwick 710
58. Heisenberg's Influence on Physics 713
59. Einstein's Influence on Physics 724
60. Dirac Recalls Kapitza 728
61. Einstein and the Development of Physics 730
62. Kapitza's Life as I Know it 738
63. Blackett and the Positron 744
Part VIII
Appendices
1. Paul Adrien Maurice Dirac Dirac (8 August 1902 - 20 October 1984). II.
R. Dalitz, R. Peierls 750
2. Dirac's Cosmology and Mach's Principle. R.H. Dicke 755
3. Quantum Cosmology. C.F. Von Weizsacker 759
4. Clarifications to Theoretical Works on the Atomic Project. R. Dalitz 763
5. The Principles of Quantum Mechanics. P.A.M. Dirac 767
6. Inaccuracies Detected in the Texts from the 3-th Volume 768
7. Comments 769