Author: Фаддеев Ю.И. Ачкинадзе А.Ш. Бесядовский А.Р. Васильева В.В. Корнев Н.В.
Tags: гидромеханика механика жидкостей и газа механика гидравлика
ISBN: 978-5-9900314-6-3
Year: 2007
Text
LU. А1НАДЗЕ, A.P. БЕСЯДОВСКИЙ, В.В. ВАСИЛЬЕВА,
Н.В. КОРНЕВ, Ю.И. ФАДДЕЕВ
ЩРОМЕХАНИКА
Под общей редакцией
прессоров Н.В. КОРНЕВА и Ю.И. ФАДДЕЕВА
Учебник для вузов
Ьмендовано УМО по образованию в области
нблестроения и океанотехники для студентов
еиих учебных заведений, обучающихся по
давлению подготовки дипломированных
смолистое 180100 (652900) «Кораблестроение и
снотехника» и направлению подготовки бакалавров
100 (552600) «Кораблестроение и океанотехника».
Санкт-Петербург
Мор Вест
2007
УДК 532
ББК 22.253
А97
Рецензенты: ЦНИИ им. акад. А.Н. Крылова,
Военно-морской инженерный институт.
Издание выпущено при финансовой поддержке спонсоров:
компании «ZF Marine Group» (Padova, Italy), Российское представительство
ООО «ЦФ Руссия» (Санкт-Петербург, Россия); компании «MTD Company Limited»
(ООО «МТД», Санкт-Петербург, Россия); кафедры термодинамики университета
Росток (LTTRostock, Germany); ФГУ «Российский Морской Регистр судоходства»
(Санкт-Петербург, Россия); ФГУП «НПО “Винт ”» (Москва, Россия); ФГУП «ЦМКВ
“Алмаз”» (Санкт-Петербург, Россия); Фонд «Кораблестроение» (Санкт-Петер-
бург, Россия).
На обложке - фото Андрея Захарова
А97 А.Ш. Ачкинадзе, А.Р. Бесядовский, В.В. Васильева, Н.В. Корнев, Ю.И. Фаддеев.
Гидромеханика: Учебник для вузов / Под общей редакцией проф. Н.В.Корнева и проф.
Ю.И. Фаддеева. - СПб.: Мор Вест, 2007. - 552 с., ил.
ISBN 978-5-9900314-6-3
Изложены вопросы гидромеханики несжимаемой жидкости в полном соответствии с
действующим государственным образовательным стандартом подготовки дипломированно-
го специалиста (180100) «Кораблестроение и океанотехника». Учтены требования стандарта
разделов «Техническая физика. Гидромеханика» и «Механика. Гидравлика».
Особое внимание уделено таким актуальным и быстро развивающимся научным направ-
лениям, как, например, турбулентные течения жидкости, теория крыла, теория волн, кавита-
ция, численные методы гидромеханики.
Учебник подготовлен коллективом кафедры «Гидроаэромеханики и морской акустики»
Санкт-Петербургского государственного морского технического университета.
Предназначен для студентов и аспирантов, обучающихся по указанной и смежным спе-
циальностям. Может быть использован также специалистами НИИ и КБ соответствующего
профиля.
ББК 22.253
© А.Ш. Ачкинадзе, А.Р. Бесядовский,
В.В. Васильева, Н.В. Корнев, Ю.И. Фаддеев, 200 ^7
ISBN 978-5-9900314-6-3
© Издательство «Мор Вест», 2007
ПРЕДИСЛОВИЕ
Одним из самых удачных учебников по гидромеханике признан учебник
Я.И. Войткунского, Ю.И. Фаддеева и К.К. Федяевского «Гидромеханика»,
вышедший в свет вторым изданием в 1982 г. Он отличается строгостью ма-
тематических формулировок, хорошим подбором материала, имеющего яв-
ную практическую направленность, и большим числом полезных сведений,
позволивших использовать этот учебник и как справочник. За последние чет-
верть века ряд разделов корабельной гидромеханики получил дальнейшее
развитие. В особенности это касается стремительного распространения ме-
тодов математического моделирования при исследовании технических объек-
тов, что привело к необходимости написать новый учебник, содержащий
фундаментальные основы гидромеханики, а также создаваемые на их базе
современные методы анализа гидродинамики технических сооружений.
Данный учебник, предназначенный для студентов, имеет кораблестрои-
тельную направленность, что отличает его от большинства отечественных
учебников по гидромеханике. Поэтому его могут использовать как учебник
студенты, обучающиеся по направлению «Кораблестроение и океа-
нотехника». Существенная часть излагаемых здесь теорий и методов имеют
достаточно универсальный характер, что делает возможным использование
учебника студентами, обучающимися по таким специальностям, как «Гид-
роаэродинамика», «Энергомашиностроение» и «Корабельное вооружение»,
а также родственным специальностям, и инженерами, работающами в обла-
сти гидроаэромеханики кораблей и судов.
С целью наиболее лаконичного изложения широкого круга гидродина-
мических теорий авторы отказались от некоторых традиционных для преж-
них учебников громоздких выкладок и устаревших методологий, возможно-
сти которых несопоставимы с возможностями современных численных
методов. Авторы стремились описать качественные свойства изучаемых гид-
родинамических явлений, дать их математические модели в наиболее широ-
кой постановке и привести современные методы их рассмотрения.
В учебнике излагаются общие законы механики деформируемых сред
и гидромеханики, потенциальная теория, вихревые течения, теория крыла,
течения вязкой жидкости, теория турбулентности, гидравлика, силовое воз-
действие в нестационарных потоках, теория волн и кавитация. В связи
3
С возрастающей ролью математического моделирования и широким приме-
ением компьютеров для решения задач гидромеханики этому вопросу по-
священ отдельный раздел, в котором даются ссылки на соответствующие
программные модули, доступные для заимствования из Интернета. В зак-
лючительном разделе кратко изложены методы и средства эксперименталь-
ной гидродинамики.
Большинство глав завершают контрольные вопросы и типовые задачи.
чебник составлен на модульной основе. Модуль 1 предназначен для
акалавров, модули 2,3 — для инженеров и магистров, что нашло отражение
в оглавлении. Для студентов, обучающихся в рамках модуля, первая часть
атериала, особенно связанная с громоздкими выводами формул, является
необязательной.
Главы 1-7, 12 а также параграфы 9.2,9.3, 9.10, 9.11, 10.8, 10.9 написаны
о НаУк ПР°Ф- Ю.И. Фаддеевым, главы 8, 11,15, а также параграфы
‘ ’ 9'^9'9, 912, 101~10-7, 10.10 д-ром техн, наук проф. Н.В. Корневым,
глава 13 - д-ром техн, наук проф. В.В. Васильевой, глава 14 - д-ром техн,
наук проф. А.Ш. Ачкинадзе и глава 16 — канд.техн.наук доцентом
. . Ьесядовским. Общее научное редактирование выполнено проф. Н.В. Кор-
невым и проф. Ю.И. Фаддеевым.
Авторы выражают глубокую благодарность заведующей лаборатории ка-
федры ГАММА СПбГМТУ канд.техн.наук А.В. Нестеровой за большую по-
мощь, оказанную ею при подготовке рукописи учебника.
ВВЕДЕНИЕ
Предмет изучения гидромеханики — легкодеформируемые текучие сре-
ды, такие как жидкости и газы, и их взаимодействие с находящимися в них
телами.
Деформируемое твердое тело в пределах упругости подчиняется закону
Гука: напряжения внутренних сил пропорциональны деформациям, а сами
деформации весьма малы. Капельные жидкости и газы способны испыты-
вать большие неупругие деформации под воздействием весьма малых сил.
Согласно закону Ньютона, напряжения в этих средах, пропорциональны ско-
ростям деформаций.
Различие в законах поведения деформируемых твердых тел и жидкостей
связаны с различием в их молекулярном строении: более плотной упорядо-
ченной «упаковкой» молекул в твердом теле и менее плотной - у жидкостей
и газов. Основные различия между капельными жидкостями и газами состо-
ят в следующем: если сосуд не полностью заполнен жидкостью, то в поле
сил тяжести образуется свободная поверхность раздела сред - жидкости и
газа. С этим связано возникновение гравитационных поверхностных волн.
Отметим, что подобные внутренние волны возникают также на поверхнос-
тях раздела жидкостей различных плотностей. Движение капельных жидко-
стей (к примеру, воды) при всех достигнутых в настоящее время скоростях
можно считать практически изотермическим. При переходе части механи-
ческой энергии в тепловую форму (как это следует из общего закона сохра-
нения и превращения энергии) вследствие очень большой теплоемкости воды
повышение температуры по сравнению с температурой окружающей среды
крайне незначительно. Поэтому в число факторов, определяющих движе-
ние жидкостей, температура не включается.
Все среды в той или иной степени обладают свойством сжимаемости.
Однако сжимаемость капельных жидкостей и газов проявляется по-разному.
Для капельных жидкостей в подавляющем большинстве интересных случа-
ев сжимаемостью можно пренебречь; учет сжимаемости газообразных тел
иногда становится необходимым. Рассмотрим учет этого свойства для двух
наиболее важных сред: воды и воздуха.
Необходимость учета сжимаемости среды зависит от величины так
называемого числа Маха М = и/a, где и - скорость движения среды или
5
скорость движения тела в ней, а — скорость звука в данной среде. В об-
ласти чисел Маха О <М< 0.2 ч- 0.25 сжимаемость среды практически не
проявляется, так что ее можно считать несжимаемой. При М> 0.4 4- 0.5
и тем более при сверхзвуковых числах Маха М > 1 учет сжимаемости
среды становится необходимым. При этом в число изменяемых факто-
ров течения входит абсолютная температура Т (в градусах Кельвина).
ели не рассматривать движение чрезвычайно энерговооруженных
о ъектов, которые движутся с большими скоростями в газовом пузыре,
то наибольшие практические скорости, достигнутые в воде, составляют
порядка 100 м/с. Скорость звука в воде (в среднем) а = 1500 м/с, наи-
большее число Маха составляет, таким образом, М = 100/1500 < 0.1. Для
воздуха при нормальных атмосферных условиях скорость звука
40 м/с (1200 км/ч). Хорошо известно, что существуют технические
о ъекты, движущиеся в газообразной среде как с дозвуковой, так и со сверх-
звуковой скоростью.
Из изложенного следует, что практически во всех случаях капельные
жидкости можно рассматривать как несжимаемые; это же относится к дви-
жению газов с относительно малыми скоростями (при М < 0.2 4- 0.5,
U ~ ЮО м/с)- Поэтому в данном учебнике под несжимаемой жидкостью бу-
дем понимать как собственно капельные жидкости, так и газы при относи-
тельно малых скоростях движения. При рассмотрении задач распростра-
нения звука в газах и в воде в акустике и гидроакустике требуется учет
сжимаемости среды.
Проблемы движения газов с большими скоростями (дозвуковые и сверх-
звуковые) рассматриваются в разделе аэромеханики, называемом газовой ди-
намикой. Отметим при этом, что сверхзвуковые течения газа коренным об-
разом качественно отличаются от дозвуковых течений и течений
несжимаемой жидкости. В сверхзвуковых потоках при определенных усло-
виях возникают внутренние, так называемые ударные волны, исследуемые
в газовой динамике и в теории взрыва.
Все реальные жидкости и газы обладают свойством вязкости. В них при
движении помимо нормальных напряжений (давлений) возникают касатель-
ные напряжения, а нормальные напряжения изменяют свою величину по
сравнению с их значением в невязкой жидкости. Однако при течениях мало-
вязких жидкостей типа воды и воздуха при решении многих практических
задач вязкостью можно пренебречь. При этом получаемые теоретические
решения по ряду характеристик хорошо подтверждаются экспериментом,
чет влияния вязкости приводит к значительным математическим трудно-
стям. Поэтому в гидромеханике и газодинамике рассматриваются две мате-
матические модели жидкости: первая^ более простая, так называемая невяз-
кая (идеальная) жидкость, в которой при движении пренебрегают
касательными напряжениями, и вторая, вязкая, жидкость, которая более полно
отражает свойства реальных жидкостей.
6
Капельная жидкость отличается от газа качественно тем, что в ней воз-
можна кавитация, т.е. образование полостей (каверн), заполненных газом
или парами жидкости. Поэтому гидромеханика, в отличие от аэродинамики,
содержит специальный раздел, изучающий кавитацию. Реальные жидкости,
например, соленая морская вода, в определенной степени электромагнито-
проводны. Находясь в магнитных полях, они испытывают с их стороны до-
полнительные воздействия. Эти вопросы исследуются в разделах магнит-
ной гидромеханики и газодинамики.
Остановимся вкратце на постановке общей задачи гидромеханики и ме-
тодах ее решения. Общая задача гидромеханики заключается в установле-
нии связи между существующими в жидкости силами и вызываемыми ими
движениями жидкости (и наоборот). Эта связь выражается в виде либо диф-
ференциальных, либо интегральных уравнений. Данные уравнения выво-
дятся с учетом общемеханических соображений, таких как законы сохране-
ния, законы Ньютона и т. д., с учетом дополнительных физических законов,
отражающих те или иные свойства жидкости. Казалось бы, решая эти урав-
нения и удовлетворяя граничным и начальным условиям, можно строго ре-
шить общую задачу гидромеханики. Однако на этом пути стоят две основ-
ные принципиальные трудности.
Первая трудность - физического порядка. В ряде случаев уравнения дви-
жения получаются на основе определенных, иногда достаточно грубых до-
пущений и поэтому не могут адекватно описывать поведение реальных жид-
костей. При этом в уравнения движения должны быть введены физические
величины, которые не могут быть определены теоретически, а находятся из
экспериментов. Еще раз подчеркнем, что уравнения движения или, как при-
нято говорить, математическая модель течения не полностью соответствует
поведению реальной жидкости.
Вторая сложность - математическая. Уравнения движения гидромеханики
относятся к нелинейным дифференциальным уравнениям в частных произ-
водных. Они настолько сложны, что их аналитические решения возможны
лишь в отдельных частных случаях. Математические упрощения, сводящиеся
в большинстве случаев к отбрасыванию нелинейных членов в этих уравне-
ниях, приводят к большим погрешностям. Математические трудности в на-
стоящее время можно довольно успешно преодолеть с помощью численно-
го решения этих уравнений на достаточно мощных компьютерах. Это
направление исследований носит название метода математического модели-
рования, или математического эксперимента. За последние годы это направ-
ление развивается ускоренными темпами, и с его помощью решен ряд слож-
ных задач невязкой и вязкой жидкостей. За рубежом указанное направление
называется компьютерной динамикой жидкости (CFD - Computational fluid
dynamics).
В последние два десятилетия удалось серьезно продвинуться в числен-
ном моделировании турбулентных потоков. Созданы и получили дальней-
7
шее развитие замкнутые модели численного моделирования турбулентнос-
ти, такие как метод крупных вихрей и метод прямого численного моделиро-
вания.
Несмотря на ощутимый прогресс математического моделирования, эк-
сперимент остается важной составляющей гидродинамического анализа
технических объектов. Он позволяет проверить адекватность математичес-
ких моделей и решить многие практически задачи, в которых моделирова-
ние оказывается неэффективным вследствие неточности математической
модели или чрезмерной сложности реализации. Поэтому гидромеханика яв-
ляется наукой теоретико-экспериментальной, в которой теория и опыт вза-
имно дополняют друг друга.
Гидромеханика - базовая дисциплина для ряда специальностей корабле-
строительной и энергомашиностроительной направленности. Ее выводы
используются при изучении проблем теории корабля, занимающейся иссле-
дованием мореходных качеств судов: плавучести, сопротивления воды дви-
жению, ходкости, качки, управляемости. Необходимо применение аппарата
гидромеханики при исследовании судов с динамическими принципами под-
держания, таких как суда на подводных крыльях, на воздушной подушке,
экранопланы. В разделе гидромеханики - гидравлике - исследуются тече-
ния жидкостей и газов в судовых трубопроводах. Исследования течений жид-
костей и газов в проточных каналах гидротурбин и паровых газовых турбин
основаны на использовании основных закономерностей гидромеханики и
газодинамики. Методы гидромеханики применяются в океанотехнике при
разработке различных образцов морской техники, служащей для освоения
Мирового океана.
Остановимся вкратце на историческом обзоре развития гидромехани-
ки. Первые известные теоретические результаты в области гидростатики
были получены в III в. до н. э. Архимедом, сформулировавшим, в частно-
сти, свой знаменитый закон о выталкивающей силе тела, погруженного в
покоящуюся жидкость. Дальнейшее развитие гидростатики было продол-
жено уже в XVII в. в работах С. Стевина и Б. Паскаля. Вопросы сопротив-
ления жидкости движущимся в ней телам были впервые поставлены Гали-
лео Галилеем и в более полной формуле И. Ньютоном (XVII в.). Им была
получена формула для определения величины касательных напряжений при
ламинарном течении, широко применяемая в настоящее время. В 1733 г.
академик Петербургской академии наук Д. Бернулли получил свое извест-
ное уравнение, связывающее скорости, давления и геометрические высо-
ты точек в потоке, выражающее собой закон сохранения механической энер-
гии. В середине XVIII в. замечательный математик и механик, член
Петербургской академии наук Л. Эйлер получил дифференциальные урав-
нения движения невязкой жидкости и рассмотрел методы их интегрирова-
ния. Им также было проанализировано приложение этих методов для ре-
шения некоторых задач статики и динамики корабля. Важнейшее для всей
8
гидромеханики уравнение неразрывности было получено в середине
XVIII в. Д’Аламбером. Л. Эйлер и Д’Аламбер обнаружили парадокс, зак-
лючающийся в том, что реальное тело, движущееся прямолинейно и равно-
мерно в безграничной невязкой жидкости, не испытывает сопротивления,
что очевидно противоречило опыту.
Дальнейшее развитие гидромеханика невязкой жидкости и ее частный
случай — теория безвихревых течений — получила в трудах Ж.-Л. Лагран-
жа и П.С. Лапласа в конце XVIII в., а в XIX в. такими известными учеными,
как Г. Стокс, О. Коши и С. Громеко, В.Д. Рэнкин. В работах этих ученых
были также созданы основы теории волн.
Для устранения парадокса Эйлера-Д’Аламбера было необходимо учи-
тывать вязкость. Начало изучения динамики вязкой жидкости было заложе-
но работами А. Навье и Г. Стокса в середине XIX в. Ими были получены
уравнения ламинарного течения вязкой жидкости, используемые в настоя-
щее время. Нелинейность этих уравнений сделала затруднительным полу-
чение общих интегралов движения. Задача о медленном движении шара
в вязкой жидкости была решена Стоксом. Начало теории вихревых движе-
ний жидкости было в 60-х гг. XIX в. заложено крупным немецким ученым
Г. Гельмгольцем. Французский ученый Ж. Пуазейль провел серию экспери-
ментальных исследований течения жидкости в трубах, установил законы
ламинарных течений в круглой трубе и отметил возможность возникнове-
ния класса турбулентных течений вязкой жидкости.
Систематические испытания при изучении ламинарных и турбулентных
течений были проведены в конце XIX в. крупным английским ученым О. Рей-
нольдсом, который в 1883 г. фактически открыл новое физическое явление -
турбулентность. Он определил для круглой трубы критерий перехода из ла-
минарного течения в турбулентное, а также предложил общий метод подхо-
да к изучению турбулентных потоков, используемый и в настоящее время.
Этот метод заключается в представлении всех турбулентных величин пото-
ка в виде суммы осредненных в данной точке потока во времени величин и
мгновенных пульсационных величин. В это же время Г. Кирхгоф рассмот-
рел задачу о нестационарном движении тела в жидкости и ввел важное по-
нятие о присоединенных массах.
Дальнейшее развитие теория движения вязкой жидкости получила в на-
чале XX в. в 1905 г. Выдающийся немецкий ученый Л. Прандтль вывел урав-
нения пограничного слоя. Согласно этой концепции, на которую указывали
еще Д.И. Менделеев и В.Д. Рэнкин, при достаточно больших скоростях об-
текания тела потоком маловязкой жидкости можно выделить три области
течения: тонкую около тела, так называемый пограничный слой, его про-
должение за телом - след и область внешнего потока. При этом вязкость
влияет на течение лишь в первых двух областях, а в области внешнего пото-
ка жидкость можно считать невязкой. Введение этой теории позволило со-
стыковать решения для невязкой жидкости во внешней области с течением
9
вязкой жидкости в пограничном слое. Эта теория была успешно развита и
продолжена в течение XX в. в работах Г. Блазиуса, К. Польгаузена, Г. Шлих-
т^инга, Дж. Тейлора и др. Существнный вклад в эту теорию внесли советские
ученые Л.Г. Лойцянский, К.К. Федяевский, Г.Н. Абрамович, М.Д. Миллион-
щиков, А.С. Гиневский, Ю.В. Лапин, А.А. Дородницын и др. В результате
всех этих исследований были разработаны методы расчета ламинарного и
турбулентного пограничных слоев, теория перехода из ламинарного тече-
ния в турбулентное, теория струй, предложены методы управления погра-
ничным слоем с целью снижения сопротивления.
Безусловный приоритет в создании статистической теории турбулентно-
сти принадлежит отечественной научной школе А.Н. Колмогорова. Имена
А.Н. Колмогорова и его учеников А.М. Обухова, Л.Г. Лойцянского,
А.М. Яглома, А.С.Монина и М.Д. Миллионщикова стали широко известны
в мире. Наряду с блестящими результатами, полученными Н.Е. Жуковским,
работы именно этой школы рассматриваются как уникальный и выдающий-
ся вклад российской гидромеханики в мировую науку. Теория Колмогорова
для мелкомасштабной турубулентности имеет в современной гидродинами-
ке такое же значение, как и закон Архимеда в гидростатике.
С середины XX столетия получила развитие теория течений неньюто-
новских жидкостей, в которых связь между напряжениями и деформациями
носит более сложный нелинейных характер по сравнению с ньютоновскими
жидкостями. Изучались также вопросы течения жидкостей с полимерными
добавками, использование которых, в принципе, позволяет существенно сни-
зить сопротивление как в течениях жидкостей в трубопроводах, так и при
обтекании тел. В этой области следует отметить работы Л.И. Седова и его
школы, а также работы Я.И. Войткунского, Л.С. Артюшкова, В.Б. Амфило-
хиева, Ю.Ф. Иванюты и др.
С начала XX в. в связи с потребностями зарождающейся авиации стало
интенсивно развиваться теория крыла. В 1906 г. знаменитый русский уче-
ный Н.Е. Жуковский получил формулу для подъемной силы профиля, став-
шую основой для всех дальнейших исследований в теории крыла. Основная
идея этой теории заключается в том, что рассматривается обтекание крыла
невязкой жидкостью, а вязкость учитывается косвенно путем введения цир-
куляции. Последняя определяется из постулата Чаплыгина — Жуковского
о плавном обтекании задней острой кромки. Этот постулат общепринят
в теории крыла. Плодотворным явилось также введение Н.Е. Жуковским по-
нятия присоединенного вихря. В дальнейшем вопросы обтекания крылье-
вых профилей были успешно развиты в трудах С.А. Чаплыгина. За рубежом
пионерские исследования в области теории крыла были проведены М.В. Кут-
та и Ф. Ланчестером. Н.Е. Жуковский разработал вихревую теорию гребно-
го винта, явившуюся основой для всех дальнейших работ в этой области.
Теория крыла конечного размаха была создана Л. Прандтлем в 20-х гг. XX в.,
а дальнейшее развитие получила в работах советских ученых В.В. Голубева,
10
М.В. Келдыша, Л.И. Седова, С.М. Белоцерковского, Н.Н. Полякова, А.И. Нек-
расова, К.К. Федяевского и других, а также ряда зарубежных ученых: Г. Гла-
уэрта, Е. Карафоли, В. Бирнбаума, Г. Мульмтхоппа, А. Бетца и др. В трудах
всех этих ученых была исследована теория крыльев конечного и малого уд-
линений, в том числе при больших углах атаки, нестационарная теория кры-
ла, теория глиссирования.
В связи с потребностями развивающегося скоростного судостроения раз-
рабатывались вопросы теории отрывных и кавитационных течений. Эти ме-
тоды, развитые еще в XIX в. Г.Л. Гельмгольцем, Н.Е. Жуковским и Г.Р. Кирх-
гофом, были успешно развиты в XX в. в работах Д.А. Эфроса,
Д.Р. Рябушинского, Л.А. Эпштейна, А.Н. Иванова, ГВ. Логвиновича, А.Г. Те-
рентьева, а за границей - М. Тулиным, Г. By, Я.А. Гюрстом и др.
Для гидродинамики корабля важное значение имеет развитие теории
волновых движений, в том числе и оценки волновых сил, действующих на
тела, движущиеся и колеблющиеся в жидкости. В работах Д.Г. Мичелла и
Н.Е. Жуковского начала XX в. были рассмотрены вопросы волнового сопро-
тивления для судов упрощенных обводов. Наиболее строгое решение задачи
о силах, возникающих при движении тела под свободной поверхностью
жидкости, было получено Н.Е. Кочиным в 1932 г. Дальнейшее развитие
это направление получило в работах М.В. Келдыша, Л.Н. Сретенского,
Н.Н. Моисеева, Я.И. Войткунского, А.А. Костюкова, В.Г. Сизова, М.Д. Хас-
кинда, А.Ш. Готман, а также Т. Хавелока, Д. Вехаузена, X. Маруо и др.
С середины XX в. развивалась также теория внутренних волн, возника-
ющих на поверхности раздела сред с различными плотностями. К ним отно-
сятся работы Г. Миропольского, Л.А. Черкасова, В.В. Васильевой, Ю.В. Ра-
зумеенко.
Применительно к решению конкретных задач о движении судов с дина-
мическим принципами поддержания над свободной поверхностью и под ней
следует отметить работы Я.И. Войткунского, В.К. Трешкова, К.В. Рожде-
ственского.
Серьезный научный прорыв в гидромеханике в целом и в корабельной
гидромеханике в частности был осуществлен в последние 20 лет благода-
ря развитию численных методов и вычислительной техники. Были созда-
ны итерационные методы численного расчета волнового сопротивления
корабля в нелинейной постановке с одновременным нахождением посад-
ки корабля. Благодаря этому удалось существенно улучшить согласование
расчетных и экспериментальных данных для волнового сопротивления суд-
на. Особенно впечатляющим является прорыв в области моделирования
вязкого турбулентного обтекания судна и его конструктивных элементов.
Ушли в прошлое целые разделы гидромеханики, которые в 80-е гг. прошло-
го столетия считались актуальными. К примеру, теория пограничного слоя,
бурно развивающаяся в те времена, представляет сегодня лишь интерес
с точки зрения истории гидромеханики, но перестала быть практическим
И
t нструментом расчета вязкого сопротивления судов. Гребные винты рас-
> ^эитыванэтся теперь с учетом вязкости, нестационарных кавитационных яв-
ж ений и влияния корпуса. В последние несколько лет началось использова-
ние ие метода крупных вихрей для расчета сложных нестационарных явлений,
еж- юзникающих при турбулентном обтекании судостроительных конструкций.
Е—На момент написания данной книги за рубежом в Германии и Японии уже
t—ж меется опыт моделирования нестационарного движения судна в вязкой
ид кости в условиях маневрирования на волнении. Эти работы направлены
создание так называемых численных опытовых бассейнов, которые при-
званы в будущем существенно сократить долю дорогостоящих физических
зкспериментов в процессе проектирования судов.
Одновременно с теоретическими работами в области гидроаэромехани-
ке и широкое развитие получили методы экспериментальных исследований.
1872 г. английский инженер В. Фруд построил первый опытовый бассейн
дцля испытания моделей кораблей. В настоящее время все высокотехноло-
гичные страны располагают развитыми комплексами для проведения опы-
тов с моделями по направлениям, представляющим интерес для гидромеха-
ники, в том числе и корабельной гидромеханики. Примером такого комплекса
могут служить установки опытовых бассейнов, аэродинамических труб, ка-
витационных труб в ЦНИИ им. акад. А.Н. Крылова. Большой вклад в экспе-
риментальную гидромеханику судна внесли Р.А. Алексеев, А.А. Русецкий,
В.К. Трешков, М.А. Мавлюдов, А.С. Горшков и многие др.
Поскольку в экспериментальных установках испытываются уменьшен-
ные модели объектов, возникает задача пересчета результатов этих испыта-
ний на натурный объект, что составляет предмет теории подобия и модели-
рования, которая также позволяет правильно пересчитывать результаты
экспериментальных исследований на натуру. Это направление нашло отра-
жение, в частности, в работах Л.И. Седова и Л.А. Эпштейна.
ЧАСТЬ 1.ОСНОВНЫЕ
ЗАКОНЫ И УРАВНЕНИЯ
МЕХАНИКИ ЖИДКОСТИ
ГЛАВА 1. СВОЙСТВА ЖИДКОСТЕЙ И УРАВНЕНИЯ
ИХ ДВИЖЕНИЯ (модули 1, 2, 3)
ГЛАВА 2. ГИДРОСТАТИКА НЕСЖИМАЕМОЙ
ЖИДКОСТИ (модули 1, 2, 3)
ГЛАВА 3. КИНЕМАТИКА ЖИДКОСТИ (модули 1,2,3)
ГЛАВА 4
ДИНАМИКА НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
(модули 1, 2, 3)
ГЛАВА 1
СВОЙСТВА ЖИДКОСТЕЙ И УРАВНЕНИЯ
ИХ ДВИЖЕНИЯ
1.1. Гипотеза сплошности среды
Все жидкости и газы обладают молекулярным строением. Каза-
лось бы, изучение их движений должно вестись с позиций молеку-
лярно-кинетической теории. Однако подобный подход даже в насто-
ящее время в общем случае затруднителен и не позволяет получить
сколь-либо значимые результаты, представляющие интерес для ин-
женерной практики.
Последующие рассуждения, приведенные для более простого случая -
газов, могут быть легко распространены и на капельные жидкости, харак-
терным свойством которых является их способность к образованию сво-
бодной поверхности или поверхности раздела с газом или другой капель-
ной жидкостью. Молекулы газа совершают хаотические движения,
обусловленные внутриатомными процессами, взаимодействуя друг с дру-
гом посредством столкновений. Однако, когда имеют в виду равновесие
или движение газов, молекулярные взаимодействия не рассматриваются.
Для практики, как правило, интересны лишь макропроцессы, обусловлен-
ные внешними причинами, воздействия на объемы, превышающие разме-
ры молекул на много порядков. Для их изучения в гидромеханике вводится
гипотеза сплошности (или непрерывности) среды. В одном кубическом
миллиметре воздуха при обычных условиях содержится около 2,7-1016
молекул. Даже в кубике с ребром в одну сотую миллиметра содержится
2,7- 1О10 молекул, в то же время такой кубик на несколько порядков мень-
ше, чем характерные размеры потоков (диаметр трубопровода) или разме-
ров движущихся в жидкости тел (длина или ширина тела). Из приведен-
ных оценок видно, что и молекулы, и образуемые ими объемы для газов, а
по аналогии и для капельных жидкостей и твердых тел, в сущности «со-
стоят из пустоты».
15
Введем понятие жидкой частицы (аналог материальной точки в тео-
ретической механике). Под ней будем понимать частицу, содержащую ста-
тистическое число молекул N, размеры которой на несколько порядков
меньше характерных размеров потока. Согласно гипотезе сплошности,
будем считать ее непрерывно заполненной материей. Под массой т этой
жидкой частицы естественно понимать сумму масс т. содержащихся в
N
ней молекул: w = Вследствие хаотического теплового движения
Z = 1
молекул часть их выйдет из этого объема, а часть молекул из окружаю-
щей среды войдет внутрь объема. Если в объеме жидкой частицы содер-
жится статистическое число молекул N% 107 -ь 1010, число вышедших и
вошедших в объем молекул будет практически одинаково, т. е. масса жид-
кой частицы, несмотря на процессы флуктуации молекул, останется по-
стоянной, равно как и скорость движения ее центра масс.
При этом под скоростями понимаются не скорости молекулярных дви-
жений, а интересующие нас макромолекулярные скорости отдельных жид-
ких частиц, обусловленные действием внешних сил различной природы.
Любой конечный объем можно представить состоящим из очень боль-
шого числа жидких частиц, непрерывным образом заполняющих этот
объем, т.е. можно считать, что данный объем также непрерывно запол-
нен сплошной деформируемой средой. При этом полагается, что любой
бесконечно малый объем сплошной среды характеризуется теми же свой-
ствами, что и объем конечных размеров. В этом заключается суть гипо-
тезы сплошности. Введение этой гипотезы позволяет считать все харак-
терные величины, описывающие движение жидкости - плотность,
скорости, силы - непрерывными функциями координат точек простран-
ства (и времени), в котором находится жидкость. В подавляющем боль-
шинстве случаев эти функции являются дифференцируемыми. Сказан-
ное позволяет широко использовать при изучении движения жидкостей
математический аппарат непрерывных и дифференцируемых функций, в
том числе теорию скалярных и векторных полей. Заметим, однако, что в
некоторых случаях в соответствии с физически наблюдаемой картиной
течения жидкости от этого предположения приходится отказываться.
Гипотеза сплошности находит самое широкое применение в гидроаэ-
родинамике и прекрасно подтверждается сопоставлением полученных
с ее помощью теоретических решений с опытными данными.
Естественно, гипотеза сплошности имеет свои ограничения. В разре-
женных газах на высотах порядка более 150 км, где длины свободных
пробегов молекул имеют порядок размеров космических объектов
(ракет), гипотеза сплошности становится несправедливой, и расчеты по-
добных движений выполняют на основе теории свободно-молекулярных
течений.
16
1.2. Свойства жидкостей
При исследовании равновесия и движения жидкостей и газов нужно
знать их основные свойства и соответствующие им характеристики жид-
кости.
Плотность жидкости р. Выделим в жидкости элементарный объем АРК
массой А/л. Стягивая поверхность этого объема к точке, определим плот-
ность в ней как предел отношения
Ал?
р = lim ------,
aft ->о АРК
(1.1)
здесь размерность [р] = кг/м3, где кг - единица измерения массы.
Предельный переход в этой формуле возможен благодаря предпола-
гаемой непрерывности свойств жидкости. Жидкость, величина плотнос-
ти которой в разных точках различна, называется неоднородной. Неодно-
родность поля плотности может быть вызвана разными
причинами - значением солености, различием температур в различных
областях жидкости и др. Плотность капельных жидкостей (вода) мало
зависит от давления и от температуры. Для пресной воды при t = 4 °C
наибольшая плотность р = 1000 кг/м3. Плотность морской воды зависит
от ее солености. Для внутренних морей (Балтийское, Черное) в припо-
верхностных слоях р = 1007 4-1015 кг/м3; для океанов р = 1020 ч- 1028 кг/м3.
В теории корабля расчеты для морской воды ведут для плотности
р = 1025 кг/м3. Для морской воды незначительная зависимость плотнос-
ти от давления может быть проиллюстрирована следующими цифрами: в
приповерхностных слоях: р = 1025 кг/м3; в глубинах океана 11 000 м
р = 1076 кг/м3.
Отметим, что изменение плотности с глубиной меняется не монотонно:
в океане на промежуточных глубинах наблюдаются слои скачка плотности и
температуры, с которыми связаны такие явления, как внутренние волны,
жидкий грунт, мертвая вода.
Жидкость, во всех точках которой плотность постоянна, называется од-
нородной. Для нее справедливо:
где т - масса жидкости, заключенная в объеме W.
В подавляющем большинстве случаев вода и другие капельные жидко-
сти могут рассматриваться как однородные несжимаемые жидкости. Изме-
нение плотности с глубиной учитывается лишь при расчете глубоководных
погружений.
Иногда наряду с плотностью используют понятие удельного веса.
17
Y = Pg,
(1-3)
где [у] = Н/м3 в системе СИ или в устаревшей системе МКГСС [у] = кг/м3,
g = 9,81 м/с2 — ускорение свободного падения, кГс - килограмм-сила.
В газах плотность р зависит от давления и от температуры. Для совер-
шенного газа
(1-4)
где р - давление; R - газовая постоянная (различная для разных газов);
Т - абсолютная температура в градусах Кельвина.
Вязкость жидкости. Под вязкостью понимается способность движущей-
ся жидкости оказывать сопротивление касательным (сдвигающим) усили-
ям, возникающим между ее слоями, текущими с различной скоростью. Для
иллюстрации явления вязкости рассмотрим простейшее так называемое сдви-
говое течение жидкости между двумя параллельными пластинами, одна из
которых неподвижна, а другая движется со скоростью И{) (рис. 1.1).
Рис. 1.1. Сдвиговое течение жидкости
между двумя параллельными
стенками
Отметим сразу в связи с этим, что в реальной вязкой жидкости имеет
место выполнение граничного условия «прилипания», т. е. скорость частиц
жидкости на границах движущейся поверхности равна скорости движения
точек этой поверхности. В вязкой жидкости между ее слоями возникают ка-
сательные напряжения т, которые имеют размерность Н/м2 и, как установил
еще в XVII в. И. Ньютон, определяются зависимостью
dur
т =- ц,—
dy
(1-5)
Эта зависимость получила широкое распространение в гидроаэроме-
ханике, поскольку она хорошо описывает связь между полем скорости и
касательными напряжениями для большого класса жидкостей, в том числе
таких, как вода и воздух. Она справедлива для так называемых ламинарных
течений жидкости и хорошо подтверждается экспериментами. В этой фор-
dux
муле множитель , характеризующий изменение скорости по нормали к
поверхности, называется градиентом скорости по нормали, множитель ц
носит название коэффициента динамической вязкости (или динамическая
вязкость). Его обычно определяют экспериментальным путем. Коэффици-
ент динамической вязкости зависит от рода жидкости, температуры и, в очень
малой степени, от давления. Размерность [ц] = [т]/
duY
= Нс/м2.
В гидромеханике значительно чаще вместо ц используют коэффициент
кинематической вязкости v, определяемой как отношение ц к плотности р:
v = ц/р.
(1-6)
Размерность [v] = [ц]/[р] = м2/с, т. е. в нее не входят динамические ха-
рактеристики потока. Коэффициент v для капельных жидкостей зависит глав-
ным образом от температуры, а для газов еще и от давления. На рис 1.2 при-
ведена зависимость v от t (°C) для наиболее важной жидкости - воды.
Рис. 1.2. Зависимость коэффициента
кинематической вязкости воды
от температуры
В международной системе СИ принято называть ц - динамической вяз-
костью и v - кинематической вязкостью, опуская слово коэффициент. Все
реальные жидкости и газы в той или иной мере обладают свойством вязкос-
ти, т.е. при их движении в них возникают касательные напряжения. Однако
учет вязкости в задачах гидроаэромеханики приводит к значительным мате-
матическим трудностям. Установлено, что при движении маловязких жид-
костей типа воды и воздуха для определения ряда характеристик течения, в
том числе сил, возникающих при взаимодействии потоков с движущимися в
них телами, влиянием вязкости во многих случаях можно пренебречь. Это
находит свое подтверждение и при сопоставлении результатов теоретичес-
кого решения задач гидромеханики, полученных в предположении отсут-
ствия вязкости с экспериментами в реальной вязкой жидкости.
19
Поэтому в гидроаэромеханике наряду с моделью вязкой жидкости рас-
сматривают упрощенную модель невязкой жидкости. Часто ее называют
идеальной жидкостью. Под ней понимают фиктивную жидкость, при дви-
жении которой отсутствуют касательные напряжения.
1.3. Классификация сил, действующих в жидкости
При изучении механики твердого тела рассматривают две категории сил -
сосредоточенные и распределенные. В жидкости, как правило, исследуют
действие только распределенных сил, так как появление сосредоточенных
сил вызывает в ней возникновение разрывов.
Для классификации сил, действующих в жидкости, применим извест-
ный из курса сопротивления материалов метод сечений: выделим в жидко-
сти произвольный жидкий объем, ограниченный поверхностью S (рис. 1.3),
и мысленно отбросим всю жидкость вне этого объема.
Рис. 1.3. Массовые и поверхностные
силы, действующие на жидкий о&ьем
При этом внутренние силы, действующие между выделенной и отбро-
шенной частями жидкости, перейдут в категорию внешних поверхностных
сил, распределенных по поверхности S. Кроме них, в любой точке объема И7
действуют массовые силы. Рассмотрим более подробно эти две категории
сил.
Массовыми называются силы, приложенные к каждой частице жидкости
и пропорциональные ее массе. Обозначим (см. рис. 1.3) через А/ массовую
силу, приложенную к элементарной жидкой частице с объемом АЖ и массой
рАЖ, и введем понятие вектора напряжения массовой силы F, определяе-
мого как предел отношения вектора элементарной массовой силы к массе
частицы при стягивании элементарного объема в точку:
к г <
г = нт —-—
ди^орАЖ ’
(1.7)
20
Если вектор F постоянный, то напряжение массовых сил равно отноше-
нию массовой силы, действующей на объем, к массе этого объема. Из (1.7) сле-
дует, что напряжение массовых сил имеет размерность ускорения [ F ] = м/с2.
В общем случае вектор F является функцией радиус-вектора точки г и
времени /: ^F = . К массовым силам относятся силы тяжести, силы
инерции и электромагнитные силы.
Определим вектор напряжения массовых сил в наиболее важном част-
ном случае действия силы тяжести. Вес элементарной частицы - pAJFg. При
выборе направления оси z вверх массовая сила равна -kpgA W , где к - орт
оси z. Используя (1.7), получаем
F = ~kg- (1-8)
В большинстве случаев массовые силы потенциальны. Обозначим через
U потенциал напряжения массовых сил. При этом вектор напряжения F
можно определить как градиент скалярной функции U
F = grade/ . (1.9)
Если массовая сила - сила тяжести, то
Fz = -g. (1.10)
Интегрируя последнее уравнение, считая ускорение свободного падения
g при этом постоянным и отбрасывая произвольную постоянную, как не вли-
яющую на величину F , получаем потенциал силы тяжести в виде
U = -gz. (1.11)
Поверхностными называются силы, распределенные по поверхности S,
ограничивающей выделенный объем жидкости. Обозначим (см. рис. 1.3)
через АРп поверхностную силу, приложенную к площадке ASn с внешней
нормалью п . В общем случае АРп действует под некоторым углом к внеш-
ней нормали. Введем понятие вектора напряжения поверхностных сил в
данной точке поверхности рп, определяя его как предел отношения:
(1-12)
Отсюда следует, что вектор напряжения поверхностных сил представля-
ет отношение поверхностной силы к величине элементарной площадки.
Следовательно, pfi имеет размерность давления [р„] = Н/м2 = Па. В общем
случае рп не является обычным вектором. Его величина в данной точке за-
висит от ориентации площадки, выделенной внутри объема жидкости. Ины-
ми словами, если через данную точку провести одинаковые по величине, но
различные по ориентации элементарные площадки, то действующие на них
векторы рп напряжения поверхностных сил будут различны. Поэтому в об-
щем случае рп зависит от радиус-вектора точки в центре площадки г ь ори-
ентации площадки и времени {рп = РП (г,п,(У). К поверхностным силам от-
носятся подъемная сила, сила сопротивления движению и т.д.
21
Очевидно, что через одну точку - центр площадки - можно провести
бесчисленное множество площадок. Физическая величина, характеризуемая
в данной точке вектором рп9 принимающим бесчисленное множество зна-
чений в зависимости от ориентации площадки, является тензорной.
Одной из важнейших задач гидромеханики является определение гидро-
динамических реакций, действующих со стороны жидкости на тело. Эле-
ментарная сила воздействия dR со стороны жидкости на площадку поверх-
ности тела dS определится выражением dR = pnkSn, а элементарный момент
относительно начала координат dM = pn&Sn х г . Интегрируя dR и dM по
поверхности 5 тела, получим общие формулы для результирующей силы R
и момента М гидродинамических сил, действующих на тело:
jpndSn- м= [рп xrdSn. (1.13)
Для использования общих выражений (1.13) требуется располагать за-
висимостями напряжений рп от скорости течения жидкости, формы тела и
физических свойств жидкости. Исследование этих зависимостей и является
одной из главных задач курса.
Отметим, что массовые силы, действующие в жидкости, влияют на гид-
родинамические реакции, возникающие на теле, лишь через напряжения
поверхностных сил.
1.4. Свойства напряжений внутренних сил, действующих
в жидкости
Для исследования напряжения внутренних сил в жидкости установим связь
между напряжением, действующим на произвольно ориентированную площад-
ку, и напряжением, действующим на три другие взаимно перпендикулярные пло-
щадки, проходящие через данную точку. Для этого выделим в движущейся жид-
кости элементарную жидкую частицу в форме тетраэдра (рис. 1.4) с объемом ДИ7.
Рис. 1.4. Силы, действующие на элементарную
жидкую частицу в форме тетраэдра
22
Вместо поверхностных сил на гранях тетраэдра &Sn, ASX, ASy, ASz изоб-
ражены векторы напряжений рп, рх... направленные произвольным обра-
зом к соответствующим граням. Каждая грань, как и вектор напряжения к
ней, имеет нижний индекс, соответствующий нормали к ней. Например, &Sy
и ру относятся к грани, нормаль к которой коллинеарна с осью у. Ускорение
центра тяжести С частицы обозначим , напряжение массовых сил F. На-
пишем уравнение движения этой частицы в векторной форме, включая силы
инерции, согласно принципу Д’Аламбера, а именно:
рд w— = pAWF - PXASX - Py^Sy ~ PzkSz + pnASn .
dt
Знаки минус перед соответствующими членами означают, что нормали к
этим площадкам направлены под тупым углом к осям координат. Из анали-
тической геометрии известно, что
(1.14)
— = cos(/7,x); —— - cos(/7,y); —- = cos(/7,z).
(1.14а)
Разделим обе части уравнения (1.14) на Д5и и используем выражение
bW du
Р------
ASn dt
= рп-рх cos(n.x)- ру cos(fl,y)- pz
Чтобы получить связь между напряжениями, устремим объем тетраэдра
к нулю, стягивая его равномерно в точку начала координат так, чтобы на-
правление нормали не изменялось. Переходя в предыдущем уравнении к
пределу и учитывая, что
v ДРГ (du
lim -----------г
аи7—>о Д5„ V dt )
- О , получаем окончательно
формулу Коши
рп = ^Xcos(/7,x) + ру cos(/7,y) + />zCOs(/7,z) .
(1.15)
При предельном переходе учтено, что ДЖ/ДЗ^ имеет размерность еди-
ницы длины, которая и стремится к нулю.
Векторы рх, р pz можно представить через их проекции на оси ко-
ординат:
Рх = ~lPxx + jPxy + kPxz И Т.Д. (1.16)
Первый индекс при проекциях напряжений в этих соотношениях соот-
ветствует площадке, в которой действует данное напряжение, а второй - оси,
на которую оно проектируется. Скалярные величины рхх, руу, pzz представ-
23
ляют нормальные напряжения, а р pxz,.. - касательные напряжения, дей-
ствующие в соответствующих площадках. В дальнейшем будем обозначать
касательные напряжения буквой т:
Рху ^ху’ Pxz Scz’ Pyz Tyz'
(1.17)
Нормальные и касательные напряжения, действующие на три взаимно
перпендикулярные грани параллелепипеда, выделенного в жидкости, пока-
заны на рис. 1.5.
Рис. 1.5. Напряжения, действующие
на грани жидкой частицы в форме
параллелен ипеда
Составляя уравнение моментов относительно осей координат для
сил, действующих на грани параллелепипеда, легко доказать свойство
взаимности (парности) касательных напряжений, в соответствии с ко-
торым
т = т ; т = т : т
ху ух’ xz zx’ yz
(1.18)
Матрица напряжений, или тензор напряжений, действующих в жидко-
сти и определяющих вектор напряжения в произвольной точке рп, имеет в
соответствии с (1.18) вид
ZX
(1.19)
Вследствие свойства взаимности эта матрица симметрична относитель-
но главной диагонали. Следовательно, напряженное состояние в точке жид-
кости характеризуется шестью независимыми величинами - тремя нормаль-
ными и тремя касательными напряжениями. Выясним основные свойства
напряжений в жидкости.
24
Возникновение в жидкости касательных напряжений связано с одновремен-
ным влиянием двух факторов: движения жидкости и ее вязкости. Таким обра-
зом, в покоящейся (вязкой и невязкой) и в движущейся невязкой жидкости
Тху = Тхг = ^ = 0- О’20)
Соответствующие векторы напряжений при этом будут
Рп=прпп-, px = ~ipxx-, Ру= jPyy; Pz=kpzz, (1.21)
где pnrPPxV- ~ величины нормальных напряжений.
Подставляя (1.21) в уравнение (1.15), получаем
прт = ipxxcos(n,x) + jpyyCo^n^y + kp^co&kn,!). (1.22)
Известно, что
п = Z COS(/7,x) + jCOS(ft,y) +£cOs(ft,z) . 0-23)
Подставляя выражение для вектора нормали (1.23) в левую часть (1.22) и
сравнивая коэффициенты при одинаковых ортах, найдем
р =р =р =р . (1.24)
1 пп ‘XX tyy ‘zz v 7
Эти равенства позволяют сформулировать теорему о свойстве нормаль-
ных напряжений: если в жидкости отсутствуют касательные напряжения, то
нормальное напряжение в данной точке не зависит от ориентации площад-
ки. Зависимость (1.24) имеет место в покоящейся вязкой и при движении и
покое невязкой жидкости.
Рассмотрим одно из основных свойств невязкой жидкости, связанное с
нормальными напряжениями. Как видно на рис. 1.5, векторы нормальных
напряжений рх - ipxx, ру и pz ориентированы в направлении к внешним
нормалям к площадкам, т. е. они являются растягивающими напряжениями,
которым приписывается знак плюс. Твердое тело воспринимает как растяги-
вающие, так и сжимающие нормальные напряжения без образования разры-
вов сплошности. Жидкость, как показывает опыт, способна воспринять про-
извольные сжимающие усилия (отрицательные нормальные напряжения) без
разрыва сплошности. Однако она может терпеть разрыв при растяжении,
если это не специально подготовленная жидкость (подробнее см. гл. 14).
Чтобы, как правило, не иметь дело с отрицательными величинами нор-
мальных напряжений, в гидромеханике вводят понятие давления. Под дав-
лением р в жидкости (при отсутствии в ней касательных напряжений) пони-
мают взятые с обратным знаком величины нормальных напряжений.
Используя данное определение и зависимость (1.24), получаем
Р = ~Рхх = ~Руу = -РZZ Рпп ’
(1-25)
Рх = ~‘Р, Ру = -jp, Pz = -кр, Рп = -пр.
25
Давление в капельной жидкости без ее разрыва, т. е. без нарушения ее
сплошности, для обычных жидкостей не падает ниже давления насыщен-
ных паров - />vap, так как при этом давлении начинается «холодное кипе-
ние», или кавитация, а именно:
Pvap>0- (1-26)
Приведенное выше определение давления справедливо для покоящейся
вязкой и невязкой жидкости, а также для движущейся невязкой жидкости.
Более общее его определение применительно к вязкой жидкости, находя-
щейся в движении, дано в гл. 7. Здесь отметим только, что данное выше
определение давления может с достаточной степенью точности применять-
ся и при изучении движения маловязкой жидкости, например воды или воз-
духа. В системе единиц СИ давление и напряжение измеряют в Паскалях:
1 Па = 1 Н/м2.
1.5. Уравнения движения жидкости в напряжениях
Получим общие уравнения движения жидкости, устанавливающие связь
между внешними и внутренними силами, действующими на объем W, огра-
ниченный поверхностью S (см. рис. 1.3).
Элементарные силы инерции и массовые силы, приложенные к частице
du
с массой pdW равны — pdW и F pdW соответственно, а элементарная по-
верхностная сила равна pndS. Суммируя первые две категории сил по объе-
му И7, а третью по поверхности 5, получим согласно второму закону Ньюто-
на уравнение сил, приложенных к выделенному объему жидкости:
J — pdW = J FpdW + ф pndS.
wdt w s
(1-27)
Здесь и в дальнейшем кратные интегралы будут различаться только ин-
дексом, по которому производится суммирование. Преобразуем третий член
уравнения (1.27), используя для этого зависимость (1.15):
фpndS = Ф рх cos(n,x) + ру cos(«,y) + pz cos(n,z) dS.
Применим к правой части этого равенства преобразование Гаусса-Ост-
роградского:
dW.
(1-28)
26
Подставляя правую часть (1.28) в уравнение (1.27), получаем уравнение
движения жидкости в интегральной форме:
J — pdW = J FpdW + J
Wdt W W
(1-29)
Его левая часть представляет собой главный вектор сил инерции, пер-
вый член правой части - главный вектор массовых сил, второй член - глав-
ный вектор поверхностных сил. В механике абсолютно твердого тела наря-
ду с уравнениями для сил используют также независимые уравнения для
моментов сил. Можно показать, что для деформируемых сред в обычных
случаях уравнение моментов является следствием симметричности тензора
напряжений. Умножая векторно подынтегральные члены на радиус вектор
г . получим формально уравнение моментов сил, являющееся следствием
уравнения сил:
pdW = | (г х F)pdW + J г х
(1.30)
w
Перейдем к дифференциальной форме уравнения движения. Для этого
объединим все члены уравнения (1.29) под знаком интеграла, перенося силу
инерции в правую часть. В силу произвольности объема dW интеграл обра-
щается в нуль только тогда, когда нулю тождественно равна подынтеграль-
ная функция в каждой точке и в любой момент движения. В итоге получим
дифференциальное уравнение движения жидкости в напряжениях
(1-31)
которое связывает ускорения с напряжениями массовых и поверхностных
сил в данной точке потока; оно справедливо для любых капельных жидко-
стей и газов. Отметим, что в механике сплошных сред обычно фигурируют
не сами силы, имеющие размерность в Ньютонах, а удельные силы. В урав-
нении (1.31) удельные силы, имеющие размерность ускорения, очевидно,
представляют собой силы, отнесенные к массе.
27
КОНТРОЛЬНЫЕ
ВОПРОСЫ
1. Какие величины характеризуют напряженное состоя-
ние жидкости?
2. Объясните физический смысл величин ру 9Руу9рух9Ру£
3. Что такое давление?
4. Что понимается под невязкой (идеальной) жидкостью?
ГЛАВА 2
ГИДРОСТАТИКА НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
2.1. Уравнения гидростатики и их интегрирование
Гидростатика - раздел гидромеханики, изучающий равновесие жид-
кости. Различают абсолютное равновесие жидкости, когда из всех массовых
сил действует лишь сила тяжести, и относительное равновесие, при кото-
ром на жидкость, кроме сил тяжести, действуют инерционные силы, а объем
жидкости движется, не деформируясь, как твердое тело, и движение частиц
жидкости друг относительно друга отсутствует.
В этой главе будет рассмотрена лишь гидростатика однородной несжи-
маемой жидкости р = const. В силу этого выводы будут справедливы только
для капельных жидкостей. Для воздуха (газа) полученные зависимости можно
применять, если разности высот и температур в рассматриваемом объеме
жидкости незначительны. В противном случае необходимо учитывать зави-
симость плотности от высоты места и температуры.
Связь между массовыми силами и давлениями в жидкости, находящейся
в равновесии, устанавливается уравнениями гидростатики, для получения
которых необходимо в уравнениях движения жидкости в напряжениях при-
равнять нулю производную скорости по времени, а также учесть, что в поко-
ящейся жидкости касательные напряжения равны нулю и выполняются ус-
ловия (1.25). С учетом этого уравнение гидростатики запишется в виде
Используя понятие градиента скалярной функции р. это уравнение мож-
но представить в виде векторного соотношения
pF = gradp.
(2-1)
Это уравнение справедливо как для абсолютного, так и для относи-
тельного равновесия жидкости. В последнем случае в F следует вклю-
29
чить ускорение от сил инерции, считаемое постоянным. Выясним условия
интегрируемости этого уравнения. Для этого применим к нему дифферен-
циальную операцию rot, считая р = const: rotpF = protF = rot grad/?. Как из-
вестно, rot потенциального вектора равен нулю, с учетом чего получим
rotF = 0. Отсюда видно, что поле напряжения массовых сил должно обла-
дать потенциалом U:
F = grade/. (2.2)
Таким образом, равновесие несжимаемой жидкости возможно только в
случае действия на нее потенциальных массовых сил. Чтобы проинтегриро-
вать уравнение равновесия, подставим в (2.1) значение F , выраженное че-
рез потенциал С/; объединяя все члены в левой части, получаем
grad(/? - рСТ) = 0.
(2.3)
Согласно (2.3), выражение под знаком градиента постоянно и не зависит
от координат х, у, z; на основании этого получаем общий интеграл уравне-
ния равновесия в виде
р- pU = const, (2.4)
где постоянная в правой части одинакова для всех точек пространства.
Определим эту постоянную из граничных условий. Пусть на границе
жидкости известны значения Uкр, например, U=U0, р=р0- Подставляя эти
значения в (2.4), получаем
p=p0 + p(U-U0). (2.5)
Величина р( U - t/0) характеризует воздействие на жидкость только мас-
совых сил и не зависит от давления р^. В силу этого, если в точках на грани-
це жидкости увеличить давление р0, не нарушая при этом равновесия жид-
кости, то в соответствии с (2.5) во всех точках объема, занятого жидкостью,
давление увеличится на ту же величину. Это определение составляет извест-
ный закон Паскаля, согласно которому, приложенное к жидкости внешнее
давление передается жидкостью по всем направлениям одинаково. На этом
принципе основана работа гидравлического пресса.
Рассмотрим важный частный случай, когда на покоящуюся жидкость
действует лишь массовая сила тяжести. Учитывая, что U = —gz. согласно
(1.11), получаем основной закон гидростатики
Р-Ро = pg(zo-z). (2.6)
Здесь принято направление от z вертикально вверх.
Совместим плоскость z0 со свободной поверхностью жидкости z() = 0,
обозначив через ра атмосферное давление на этой поверхности. Подставляя
эти условия в (2.6), найдем
P=Pa~Vgz- (2-7)
Введя в это равенство глубину погружения точки под свободной поверх-
ностью h = —z > 0, представим его в более удобном виде:
30
P =Pa + Pgh,
где р - абсолютное давление; pgh - избыточное гидростатическое давление.
Избыточное давление в технике часто условно выражают высотой стол-
ба жидкости. Высота столба жидкости, создающего избыточное давление
Ри, равна
Л = (2.9)
Pg
Введем понятие поверхности равного давления, т. е. поверхности, в каж-
дой точке которой давление одинаково р = const. Использовав (2.7), получим
рп - const
z = -------= С , откуда следует, что при абсолютном равновесии жидко-
pg
сти поверхности равного давления являются горизонтальными плоскостя-
ми, параллельными свободной поверхности. На самом деле, строго говоря,
свободная поверхность жидкости - сферическая с радиусом, равным радиу-
су Земли.
Уравнение (2.7) допускает простую геометрическую интерпретацию, если
поделить обе части этого уравнения на pg:
Pg
(2.Ю)
— - пьезометрическая высота, соот-
Здесь z - геометрическая высота;
ветствующая абсолютному давлению р; Яабс - гидростатический напор, ко-
торый, как следует из (2.10), постоянен во всех точках жидкости.
Вычитая из левой и правой частей выражения (2.10) величину и ис-
пользуя понятие избыточного давления, приведем это выражение к виду
(2.Н)
где z - пьезометрическая высота, соответствующая избыточному давлению;
Н- соответствующий ей гидростатический напор.
Поясним эти понятия на примере. В закрытый бак налита жидкость, на
поверхности которой давление р0 (рис. 2.1).
Будем считать плоскость Оху плоскостью сравнения, от которой отсчи-
тываются геометрические высоты. Выведем из бака закрытую сверху труб-
ку, считая давление в верхней ее части р = 0. Под воздействием давления
жидкость в трубке поднимется на некоторую высоту Яабс = — + zx. Выведем
Pg
из бака (см. рис. 2.1) сообщающуюся с атмосферой трубку, называемую пье-
зометрической. Под воздействием давления жидкость в этой трубке подни-
мется на высоту н = — + z.
Pg
31
Рис. 2.1. Графическая иллюстрация
понятий пьезометрической высоты
и гидростатического напора
2.2. Определение сил и моментов, действующих
на поверхности тел, находящихся в покоящейся жидкости
Рассмотрим произвольную незамкнутую поверхность S. находящу-
юся в покоящейся жидкости (рис. 2.2). Начало координат примем на сво-
бодной поверхности, где давление равно атмосферному Введем также
ось Л, направленную вертикально вниз: h = -z. Не ограничивая общно-
сти вывода, поверхность S можно считать цилиндрической с образую-
щей, перпендикулярной плоскости чертежа. Выделим элементарную
площадку dS, гидростатическое давление в центре которой обозначим
через р. Элементарная сила давления dR\ . направленная против внеш-
ней нормали
dR} = -pndS = ~(ра -pgz}ndS = ~(ра+ pgtyndS,
где п - орт внешней нормали.
Интегрируя по площади 5, получаем результирующую силу давления,
действующую на правую сторону рассматриваемой поверхности:
iidS-pg \hndS.
32
Рис, 2,2. Гидростатическая сила,
действующая на криволинейную
стенку
Первый член правой части этой формулы выражает воздействие посто-
ного давления на свободной поверхности, а второй - влияние избыточно-
давления. В большинстве случаев интерес представляет только часть ре-
агирующей, возникающей от избыточного гидростатического давления:
R = -pg \hndS.
(2.12)
Проектируя (2.12) на оси координат, получаем, согласно рис. 2.2, выра-
для составляющих результирующей силы:
Rx - -pg j/?cos(z7,x)tZS’;
5
Rz =-pgyicc)s(n,z}dS.
s
(2.13)
Исследуем выражение для горизонтальной составляющей R , Согласно
-А/
.2.2, dSws(n,x) -= dSx, где dSx - вертикальная проекция наклонной пло-
; с учетом этого
Rx=-pg\hdsx-
S
Выражение под знаком интеграла представляет собой элементарный ста-
гический момент площадки dSx относительно оси OY. Если обозначить че-
)ез 5 площадь вертикальной проекции поверхности S, а через hcx - коорди-
iary ее центра тяжести, то, согласно определению статического момента,
JhdSx = Sxhcx следовательно, выражение для R можно представить в виде
S'
Rx=~PghcxSx’ (2Л4)
БИБЛ ИОТ ЕПКД
ПЛОДОВОЩРТОРГ.
33
т. е. горизонтальная составляющая сил избыточного давления на криволи-
нейную стенку равна произведению площади вертикальной проекции этой
стенки Sx на величину гидростатического давления в центре тяжести пло-
щади этой проекции. Знак минус в (2.14) показывает, что в данном случае Rx
направлена противоположно оси х.
Получим выражение для вертикальной составляющей Rz сил давления,
действующих на криволинейную поверхность. Его можно записать в виде
интеграла по замкнутой поверхности S + + Sc (см. рис.2.2), где S6 - боко-
вая поверхность, a Sc - свободная поверхность:
hws(n,z) dS, При этом два последних интеграла рав-
ны нулю в силу того, что на поверхности cos(n,z) = 0, а на Sc h = 0.
Применим к интегралу по замкнутой поверхности формулу Гаусса-Ост-
роградского:
- ф Acos(fl,z)tZ5 = + ф
о с т.д.
—dW = Ж,
dz
(2.15)
Объем, лежащий над криволинейной поверхностью и ограниченный
сверху свободной поверхностью, называется объемом тела давления.
Таким образом, вертикальная составляющая сил гидростатического дав-
ления на криволинейную поверхность равна весу жидкости в объеме тела
давления:
Лг = Р^и- (2-16)
Для случая, изображенного на рис. 2.2 и соответствующего давлению
жидкости, находящейся снаружи, на замкнутый объем, ограниченный по-
верхностями S + Sq + S, реакция Rz направлена вверх. Если жидкость запол-
няет объем тела давления, то при определении вертикальной компоненты
силы, действующей на левую сторону поверхности S, Rz направлена вниз.
Рассмотрим случай определения вертикальной компоненты силы гидро-
статического давления, действующей на разные по конфигурации отсеки с
дном одинаковой площади 5Д при одной и той же высоте столба жидкости h.
Для них объем тела давления И/ТД = S^h одинаков, откуда следует, что и верти-
кальная компонента силы, действующая на дно (только на дно, а не на весь
отсек) различных по поперечной конфигурации отсеков, одна и та же. Это
явление, открытое в XVII в. Б. Паскалем, получило название «гидростатичес-
кого парадокса». Оно находит применение, когда требуется создать большие
давления с помощью малых количеств жидкости. Например, для опробования
цистерн или отсеков на прочность к ним подводят напорные трубки; налив
воду в цистерну и добавив необходимое малое количество жидкости до задан-
ного уровня в напорную трубку, доводят давление в цистерне до расчетного.
34
Предыдущие рассуждения применимы к судну, плавающему по свобод-
ной поверхности, без хода. При этом объем тела давления 1РТД равен объе-
му, вытесненному подводной частью судна, и называется объемным водоиз-
мещением. Сила поддержания плавающего судна равна весу жидкости в
объеме, вытесненном судном, и направлена вертикально вверх. При движе-
нии возникают добавочные гидродинамические давления, зависящие от ско-
рости, и величина силы поддержания будет иной. Однако у судов, движу-
щихся с небольшими скоростями, составляющая силы поддержания,
зависящая от движения, невелика.
У полностью погруженного в жидкость тела поверхность 5, ограничива-
ющая объем FK, замкнутая, и реакция R может быть представлена в виде
(2.17)
5
Из выражения (2.17), полученного с использованием формулы Гаусса-
Остроградского, следует формулировка закона Архимеда: результирующая
сила гидростатического давления, часто называемая Архимедовой силой
поддержания или силой плавучести, действующая на погруженное в жид-
кость тело, равна весу жидкости в объеме тела и направлена вертикально
вверх. Эта сила, как можно показать, приложена в центре тяжести погру-
женного объема.
Рассмотрим более подробно случай плоской стенки (рис. 2.3).
Рис.2.3. Гидростатическая сила,
действующая на плоскую фигуру
Она является частным случаем криволинейной поверхности, однако
в этом случае можно получить выражение для результирующей гидро-
35
статической силы давления и точки ее приложения. Согласно (2.12) уче-
том того, что для всех точек плоской стенки направление нормали одина-
ково, получим
R = -npg^hdS. (2.18)
В соответствии с этой формулой результирующая гидростатическая сила
jg направлена по внутренней нормали к стенке. Введем систему координат
(z/,w), связанных со стенкой. Ось и с началом на свободной поверхности ле-
жит в плоскости стенки, ось w параллельна оси у. Согласно рис. 2.3, глубина
погружения центра тяжести элементарной площадки h = z/sinot, с учетом этого
величина R запишется в виде
R = pg sin a ^udS = pguc sin aS = pghcS. (2.19)
s
При написании (2.19) учтено, что ^udS = ucS - статический момент пло-
щади относительно оси w, a hc = z/csina - глубина погружения центра тяжес-
ти плоской стенки.
Из (2.19) следует, что сила гидростатического давления на плоскую
стенку равна произведению давления в центре тяжести pghc на площадь
стенки S. Для определения точки D приложения этой силы воспользуем-
ся теоремой о моменте М равнодействующей М= Rud. Но М- jdM, а
dM = udR = u^pgus'madS). с учетом чего S
М = pg sin a ^u2dS = pg sin o/w,
где Iw - Jz/2dS - момент инерции площади относительно оси ил
S'
М I
Используя для R выражение (2.19), получаем uD= — - ——. Переходя,
R Sur
согласно теореме Д.И. Журавского, к центральному моменту инерции пло-
щади / = I - Su2 . записываем окончательно
ud=uc+-^~- (2.20)
Sur
с
Все величины, входящие в правую часть этой формулы, положительны,
откуда следует, что точка D - центр давления - лежит ниже центра тяжести
плоской стенки. Лишь в том случае, когда стенка расположена параллельно
свободной поверхности, центр ее тяжести и центр давления совпадают.
36
КОНТРОЛЬНЫЕ
ВОПРОСЫ
1. Сформулируйте законы Архимеда и Паскаля.
2. Является ли справедливым в гидростатике определе-
ние давления, данное в §1.4.
3. Справедливы ли законы гидростатики для жидкости,
перемещаемой в закрытой цистерне? Цистерна пол-
ностью наполнена жидкостью без образования свобод-
ной поверхности.
ЗАДАЧИ
1. В технике часто используют внесистемную единицу -
техническую атмосферу: 1 т. атм.= 1 кГс/1см2 =
= 9,8 Н/см2. Выразите ее в Паскалях.
2. Нормальное атмосферное давление составляет 760 мм
рт. ст. Выразите его в Паскалях (плотность ртути
ррт = 13 600 кг/м3).
3. Определите давление на глубине 10 м в пресной
(р = 1000 кг/м3) и морской (р = 1025 кг/м3) воде.
4. Прямоугольный понтон весом G = 2,4-0,98*108 Н (ве-
совое водоизмещение) имеет длину L = 150 м и ши-
рину В = 20 м. Определите его осадку в пресной и
морской воде, а также силу гидростатического давле-
ния, действующего на борт этого понтона и точку ее
приложения.
5. Два сообщающихся цилиндра заключены под порш-
ни (принципиальная схема гидравлического пресса).
К малому поршню диаметром D = 100 мм приложе-
но усилие /?м = 1000 Н. Диаметр большого поршня
£>б = 500 мм. Определите, какую силу нужно прило-
жить к этому поршню, чтобы система осталась в рав-
новесии.
ГЛАВА 3
КИНЕМАТИКА ЖИДКОСТИ
3.1. Методы описания движения жидкости
Кинематика жидкости - раздел гидромеханики, в котором изучают-
ся геометрические свойства течений жидкости без учета сил, вызывающих
этго движение. В силу этого все основные выводы кинематики справедливы
для любой жидкости, как вязкой, так и невязкой.
В основу изучения кинематики жидкости положена гипотеза о непре-
рывности изменения кинематических параметров, т.е. скоростей и ускоре-
ний в зависимости от координат и времени. Будем также полагать, что эти
функции являются не только непрерывными, но и дифференцируемыми.
Иногда свойство непрерывности кинематических параметров может нару-
шаться - в точке, на линии, на поверхности.
Эти области нарушения непрерывности скорости называют соответствен-
но особыми точками, линиями и поверхностями разрыва.
В гидромеханике применяются два основных метода изучения движе-
ния жидкости - Ж.-Л. Лагранжа и Л. Эйлера.
Любой жидкий объем можно представить состоящим из большого числа
жидких частиц. В соответствии с этим к исследованию движения жидкой
частицы, отождествляя ее с материальной точкой, возможен такой же под-
ход, как и в теоретической механике. Охарактеризуем основные положения
этого метода, называемого методом Лагранжа. В начальный момент време-
ни выделим в жидкости фиксированную частицу с координатами х(), у0, z0.
Движение этой частицы известно, если задан закон изменения координат
частицы с течением времени:
(3.1)
38
Исключив из этих зависимостей время /, получим уравнение траекто-
рии, т.е. след движения частицы в пространстве. Проекции скоростей части-
цы жидкости определяются зависимостями
dx dx dy ду dz dz
и= — =—; и = -< = —; и = — = —. (3.2)
dt dt у dt dt dt dt
Запись проекций скоростей через частные производные от координат
жидкой частицы возможна потому, что х0, и z0 рассматриваются как неза-
висимые параметры, характеризующие начальное положение частицы. Про-
екции вектора ускорения а жидкой частицы
dux d2x Ви д2 у du d2z
а — —— — —z-: а — —— — —х-: а — —- — —z-.
х dt St2 у dt dt2 z dt dt2
Пользуясь методом Лагранжа, можно проследить за движением любой
фиксированной жидкой частицы, учитывая тем самым ее индивидуальность.
Для описания движения жидкого объема, подразделенного на N частиц, сле-
дует задать соответствующее число систем уравнений типа (3.1); с матема-
тической точки зрения подобная задача чрезвычайно сложна. В чистом виде
метод Лагранжа используется редко, однако он находит применение при ис-
следовании деформационного движения жидких частиц.
Широкое применение для исследования движения жидкости получил
метод Эйлера. Согласно этому методу, рассматривают поле скоростей в точ-
ках пространства, занятого движущейся жидкостью, и исследуют характер
изменения этого поля в зависимости от времени. Под скоростью в точке про-
странства понимают скорость той жидкой частицы, которая в данный мо-
мент времени проходит через эту точку. Поле скорости по этому методу за-
дается в виде
или
их =u(x,y,z,t};u = и (х,у,z,t);uz =uAx,y,z,t\
.А \ _/ у г \ — Z —* —* \ — f
и =
(33)
где х, yf z - координаты точек неподвижного пространства, а не жидкой час-
тицы, как в методе Лагранжа.
Как известно, чтобы задать движение твердого тела, необходимо знать
скорости трех его точек, не лежащих на одной прямой. Если же нужно за-
дать движение жидкости, т.е. легко деформируемой среды, требуется знать
скорости во всех точках занимаемого жидкостью пространства. При описа-
нии движения жидкости по методу Эйлера используется математический
аппарат теории поля, что во многих случаях и обусловливает его преимуще-
ство по сравнению с методом Лагранжа.
В дальнейшем будем широко пользоваться понятием безграничной жид-
кости. Под ней будем понимать такую ограниченную область жидкости
39
(дном, свободной поверхностью), наличие границ которой практически не
будет сказываться на гидродинамических характеристиках потока или ха-
рактеристиках движущегося в жидкости тела.
Рис.3.1. Линия тока
С методом Эйлера связано понятие линий тока. Выделим в потоке в
фиксированный момент времени линию, касательные к которой совпада-
ли бы с направлением векторов скоростей частиц жидкости, находящих-
ся в этих точках. Эта линия (рис.3.1) называется линией тока. Она соеди-
няет различные жидкие частицы в один и тот же момент времени, чем
отличается от траектории, представляющей собой след движения одной
частицы.
Дифференциальные уравнения линий тока получим, учтя, что их вектор-
ный элемент dr = idx + jdy + kdz коллинеарен вектору скорости й, т.е. dr 11 й,
т.е. в векторной форме записи й х dr = 0 или
dx _ dy _dz
и и и
X у Z
(3.4)
Введем понятие трубки тока. Выделим в жидкости произвольный
замкнутый контур (см. рис.3.1). Через каждую точку этого контура про-
ведем линию тока, получив тем самым трубчатую поверхность - трубку
тока. Жидкость, заключенная внутри трубки тока, называется жидкой
струйкой. В общем случае скорости жидкости в поперечном сечении
трубки тока различны. Элементарной называют жидкую струйку^ в ко-
торой можно пренебречь изменением скоростей по ее поперечному се-
чению.
40
3.2. Классификация потоков жидкости
Течение жидкости, при котором поле скорости потока в любой точке про-
странства не зависит от времени, называют установившимся (стационарным).
В противном случае течение жидкости называется неустановившимся (не-
стационарным). В соответствии с этим определением при установившемся
движении
их = ux(x,y,z};uy = uy(x,y,z);uz =uz(x,y,z}
или
I
(3.5)
и = u(r).
Поясним понятие установившегося течения более подробно, для чего
рассмотрим определенную точку пространства с координатами х., у}., z.. Че-
рез эту точку с течением времени проходят различные частицы жидкости,
скорости которых utx^y^Zj) не зависят от времени. Подчеркнем, что при
этом в различных точках пространства скорости могут быть различны, т.е.
поле скорости неоднородно.
Покажем, что при установившемся течении жидкости траектории и ли-
нии тока совпадают. Рассмотрим частицу жидкости, находящуюся в момент
времени /0 в точке А пространства. Линия АВС есть линия тока (в момент
времени /0). За время А/ частица переместится по касательной к вектору ско-
рости й1 вдоль линии тока в точку В. В точке В величина скорости через
время А/ останется неизменной как по величине, так и по направлению, вслед-
ствие чего частица жидкости передвинется далее в точку С вдоль линии тока.
Повторяя далее эти рассуждения, убеждаемся, что траектория частицы, в
начальный момент времени занимавшей точку А. будет при установившем-
ся движении совпадать с линией тока. При неустановившемся течении ско-
рость в точке В в момент времени t + А/ изменится по величине и направле-
нию, а частица жидкости, попав в эту точку, в дальнейшем будет двигаться
по касательной к новой, измененной скорости, сойдя с линии АВС. являв-
шейся линией тока в момент времени /0.
Установим характер течения жидкости, вызываемого движущимся в ней
телом. В общем случае движения тела, обладающего шестью степенями сво-
боды, со скоростями, зависящими от времени, вызываемое им течение жид-
кости будет неустановившимся. Течение жидкости, вызываемое движени-
ем тела, будем в дальнейшем называть абсолютным или вызванным.
Рассмотрим движение тела по прямолинейной траектории с постоянной
скоростью Го (рис.3.2). Отнесем сначала движение тела, например судна, к
неподвижной системе координат х у связанной с берегом. Будем следить,
как изменяется скорость жидкости в некоторой неподвижной точке А. Когда
судно находится в положении 1, далеко от нее, то движение жидкости в этой
точке практически незаметно. По мере прохождения судна вблизи от точки А
41
У
Рис.3.2. Абсолютное движение тела
относительно неподвижного
наблюдателя А
(положение 2) наблюдатель зафиксирует в ней движение жидкости. Нако-
нец, когда судно удалится от точки А (положение 3), движение жидкости в
ней прекратится. Таким образом, в точке А с течением времени скорость из-
меняется, т.е. рассматриваемое течение жидкости является неустановившим-
ся. Если же отнести течение к подвижной системе координат связан-
ной с судном, то наблюдатель, расположенный на нем, заметит, что
вызываемое движение жидкости с течением времени не изменяется. Иными
словами, в точке, связанной с подвижной системой координат, течение жид-
кости будет установившимся.
Так как рассматривать движение жидкости в подвижной системе ко-
ординат не всегда удобно, в гидромеханике широко используют прин-
цип обращения движения. При обращении движения всем частицам жид-
кости сообщают постоянные скорости, равные по величине и
противоположные по направлению скорости движения тела. Тело и свя-
занная с ним система координат при этом становятся неподвижными.
Течение жидкости, полученное при этом, называют обращенным или
относительным.
Рис.3.3. Иллюстрация принципа
обращения движения
42
С точки зрения кинематики абсолютное и обращенное движения жидко-
сти различны. Так, при абсолютном движении (рис.3.3,а) скорость частицы
жидкости у носовой оконечности тела равна Го, а в обращенном (рис.3.3,б) -
нулю. Далеко перед телом или в точках на бесконечности перед ним ско-
рость в абсолютном течении равна нулю, а в обращенном - Ко.
Между скоростями абсолютного и обращенного Коб течения легко
установить связь в виде векторного равенства (см. рис. 3.3)
%=^а+^0- (3.6)
Покажем, что в обращенном и абсолютном течениях силы, действую-
щие в жидкости, одинаковы. Для этого следует убедиться, что ускорения,
пропорциональные силам, в абсолютном и обращенном движении одинако-
вы. Продифференцировав по времени равенство (3.6), установим связь меж-
ду ускорениями
dV & dV dV
обр _ иуа uyQ /3 74
dt dt dt
тт п <бР dV
Поскольку —— = 0 , получаем----- = —-, что и требовалось доказать.
at at at
Легко видеть, что картина обращенного движения соответствует картине
обтекания неподвижного тела с постоянной скоростью V^, имеющей место
в невозмущенном потоке вдали от тела. Принцип обращения движения ши-
роко используется и в экспериментальной гидроаэромеханике. На нем осно-
вано применение аэродинамических и кавитационных труб, в которых по-
ток воздуха или воды обтекает неподвижные тела.
При движении тел в жидкости с переменной как по величине, так и по
направлению скоростью принцип обращения неприменим, так как в абсо-
лютном и обращенном движениях силы в этом случае неодинаковы.
Рассмотрим теперь классификацию потоков жидкости по их геометри-
ческим признакам, введя понятия пространственного, плоского (плоскопа-
раллельного) и осесимметричного течений жидкости.
Пространственное (трехмерное) движение жидкости характеризуется
тем, что поле скорости в нем зависит от трех декартовых х, у, z или криволи-
нейных qx, q2, q3 координат:
й = u(x,y,z,t)
или
u = u(qI,q2,q3,t). (3.8)
В соответствии с этим в пространственном течении имеются три проек-
ции скорости на оси координат
их = и (x,y,z,t);u = и (x,y,z,t);uz = и2 (x,y,z,t\
Л .А- у j у у у / ^у*' J
ИЛИ
= uqAcl\>c12,Qid');uq2=uq2(qvq2,q3,t');uq3=uq3(q{,q2,q3lt). (3.9)
43
Пространственное движение представляет наиболее общий случай те-
чения жидкости и является наиболее сложным для изучения. Примером его
является обтекание судна или подводного аппарата.
Плоским, или двумерным, называют такое движение жидкости, при ко-
тором картина течения в плоскостях, перпендикулярных некоторой оси, оди-
накова. В качестве такой оси выберем ось z. Согласно определению, в сход-
ственных точках, лежащих в параллельных плоскостях, скорости одинаковы
и не зависят от координаты z; иными словами,
их = ux(x,y,t); uy = uy(x,y,t); uz=0. (3.10)
Следовательно, при изучении плоского течения можно ограничиться ис-
следованием его только в плоскости х, у; это случай так называемой плос-
кой задачи гидромеханики.
Во многих практически интересных случаях удается выделить в потоке
жидкости области, где выполняются приближенно условия плоского тече-
ния. Рассмотрим, например, обтекание крыла или поперечное обтекание
цилиндрического тела большого удлинения. В районе их средней части об-
текание близко к плоскому, однако в районе оконечностей оно носит про-
странственный характер. Теория плоских движений жидкости является наи-
более исследованной в гидромеханике с наибольшим числом полученных
точных решений.
Осесимметричным называют течение жидкости, при котором поле ско-
рости одинаково в любых плоскостях, проходящих через некоторую пря-
мую, называемую осью симметрии потока. В качестве примера рассмотрим
обтекание тела вращения потоком безграничной жидкости вдоль его оси
симметрии. Введем цилиндрическую систему координат х, г, 6 (рис.3.4).
Рис. 3.4. Осесимметричное тело
и цилиндрическая система координат
Связь декартовых и цилиндрических координат отражают формулы
х = х;у = rcos0;z = rsin9. (3-11)
44
Во всех меридиональных плоскостях (при различных 0) картина тече-
ния одинакова. В принятой системе координат имеется лишь две проекции
скорости, не зависящие от угла 6, третья проекция скорости равна нулю, т.е.
их = их = ur (x,r,ty,UQ = 0 .
(3.12)
По форме эти функциональные зависимости совпадают с уравнениями,
описывающими плоское течение жидкости. Действительно, в методах ис-
следования плоских и осесимметричных потоков имеется много общего. Од-
нако между ними существует различие, препятствующее сведению решения
осесимметричной задачи гидромеханики к решению плоской задачи.
Примером осесимметричного течения также является движение жидко-
сти по цилиндрической трубе с прямолинейной осью.
3.3. Ускорение жидкой частицы
При интегрировании уравнений движения требуется располагать выра-
жением для ускорения жидкой частицы. Получим его, исследуя движение
по методу Эйлера, когда известно поле скоростей. Пусть в момент времени t
жидкая частица располагалась в точке М пространства с координатами х, у, z
и скорость ее была iz(x,y,z,/). Через промежуток времени А/ эта частица
вдоль траектории переместилась в другую точку с координатами х+Ах,
у+Ду, z+Az, где скорость = й(х+Ах, у+Ау, z+Az, Z+AZ).
Из механики известно, что ускорение определяется зависимостью
(3.13)
Разложим й{ в ряд Тейлора, ограничившись первыми членами разложения:
_ ч дй . дй А дй д ди д
щ = u(x,y,z,t)-\----Лх +— Ау + — Az +— AZ.
1 v Л дх dy dz dt
Подставив это выражение в формулу для — и разделив на А/, получим
dt
du .. (дй Ах дй Ду дй Az дйУ
— = lim------+----— +-----+ —
dt xt^ydx At ду At dz At dt j
дй дй дй
Совершим переход к пределу в этом выражении: —, —, — опреде-
дх ду dz
ляются в точке х, у, z, т.е. не зависят от предельного перехода; Ах/At при
предельном переходе равно проекции скорости и в этой точке Нт —- = их .
х А/—>0 Д/
Переходя к пределу, получаем выражение
du ( дй дй дй дй
— — и-----------\-и------\-и — н---------.
dt х дх у ду z dz ) dt
(3.14)
Отсюда заключаем, что полное ускорение
дй
ставляющих: конвективного ускорения их ~z~
du
складывается их двух со-
dt
z и местного (ло-
дй
кального) ускорения —. Местное ускорение
менения с течением времени скорости в фиксированной точке пространства,
т.е. когда движение жидкости является неустановившимся. При установив-
возникает в результате из-
гнемся движении местное ускорение — = 0.
dt
Возникновение конвективного ускорения обусловлено тем, что в разных
точках пространства скорости в неоднородном потоке различны. Поэтому
конвективное ускорение, а следовательно, и полное ускорение в установив-
шемся неоднородном течении не равно нулю. Лишь в одном частном случае
однородного поля скоростей, когда и не зависит от координат, конвектив-
ное ускорение равно нулю.
Проектируя (3.14) на оси координат, получаем
dux диг диг ди ди
—— — и —— + и —— + и —— н----
dt х дх у ду z dz dt
du ди ди ди ди
--- = Ux~ZT~ + Uv-- + U7-- +-
dt дх у ду dz dt
du~ ди ди ди ди
—— — и —- + и —- + и —
dt х дх у ду z dz dt
(3.15)
Эти зависимости используются при развернутой записи уравнений дви-
жения жидкости.
3.4. Уравнение неразрывности
Уравнение неразрывности или сплошности представляет собой гидро-
механическое выражение закона сохранения массы. Получим интеграль-
ную форму уравнения неразрывности. Предварительно введем понятие
расхода жидкости через поверхность, понимая под ним количество жидко-
сти, протекающее через нее в единицу времени. Различают объемный рас-
ход Q (м3/с), массовый расход Qm (кг/с) и весовой расход QG (Н/с). Между
этими величинами в несжимаемой жидкости существует соотношение
46
(3.16)
В дальнейшем будем оперировать понятием объемного расхода. Для по-
лучения выражения расхода рассмотрим течение жидкости через неподвиж-
ную поверхность S. Выделим в ней элементарную площадку dS. Вектор ско-
рости в центре площадки разложим на нормальную ип и касательную их
составляющие. За время dt через поверхность dS протекает объем жидкости
dQt = (undf)dS, поскольку ит вклада в расход жидкости через площадку не
дает, элементарный расход dQ будет равен dQt !dt\
dQ = undS.
Интегрируя по незамкнутой поверхности S, получаем выражение для
расхода жидкости
<2 = fu„dS. (3.17)
5
Рассмотрим теперь течение жидкости через произвольную, неподвиж-
ную в пространстве, замкнутую поверхность S, охватывающую объем W.
Закон сохранения массы сводится к тому, что массовый расход несжи-
маемой р = const жидкости через эту поверхность должен быть равен нулю,
т.е. количество вытекающей из W жидкости должно быть равно
количеству жидкости втекающей в W:
Qm=j>PundS = о
S
или
§undS = 0.
5
(3.18)
Это выражение представляет собой уравнение неразрывности для одно-
родной несжимаемой жидкости в интегральной форме.
Преобразуем поверхностный интеграл в (3.18) по формуле Гаусса - Ост-
роградского:
ф ипdS = ф их cos(«, х) + иу cos(л, у) + uz cos(«, z) dS =
s s
)dW = j div udW = 0.
w
(3.18a)
Поскольку элемент объема dW положителен, это равенство справедливо
лишь в том случае, когда для всех точек внутри объема:
div й = 0 .
(3.19)
Выражение (3.19) представляет уравнение неразрывности для однород-
ной несжимаемой жидкости в дифференциальной форме. Напомним, что
47
вектора f , удовлетворяющие условию divf = 0 , называются соленоидаль-
ными. Таким образом, вектор скорости й - соленоидальный вектор.
Рассмотрим поток жидкости конечных размеров (рис.3.5), ограниченный
с боков твердыми стенками 5бок. Проведем два произвольных живых сече-
ния 5) и 52.
Рис. 3.5. Течение жидкости
в криволинейном канале
Живым сечением потока называется поверхность, нормальная к векто-
рам скоростей. Если S поверхность живого сечения, то расход через нее вы-
разится как
Q = \udS.
S
(3.20)
Введем среднюю по живому сечению скорость. Под ней понимается
фиктивная постоянная по сечению скорость wcp, обеспечивающая одинако-
вый с заданным расход. Из этого определения следует, что
(3.21)
т.е. средняя скорость равна расходу, деленному на площадь живого сечения.
Расход жидкости через замкнутую поверхность + 5бок + S2, согласно пре-
дыдущим выводам, равен нулю. Считая поток вытекающей жидкости поло-
жительным, а втекающий - отрицательным, запишем
-е1 + ебок+е2=о
и, поскольку 2бок = 0, Ql = Q2 = Q = const, т.е. расход жидкости вдоль пото-
ка конечных размеров постоянен.
48
С учетом введенного понятия средних скоростей последнее равенство
может быть записано в виде
Mcpl5l = Mcp2S2 = McpS= const- (3-22)
Уравнение неразрывности в этой форме находит широкое применение
при исследовании течений жидкости по трубам и каналам.
Полученные выше различные формы уравнения неразрывности несжи-
маемой жидкости справедливы для течения как вязкой, так и невязкой жид-
кости, при установившемся и неустановившемся характере ее движения. В
последнем случае время t входит в него как параметр.
3.5. Особенности движения и деформации жидкой частицы
Скорость любой точки абсолютно твердого тела, как известно, склады-
вается из геометрической суммы скорости полюса Ио и скорости вращатель-
ного движения Л относительно мгновенной оси, проходящей через полюс,
сох , где гх - радиус вектор этой точки относительно полюса. Заметим, что
эта зависимость справедлива для любого конечного значения радиуса гх не-
зависимо от размеров твердого тела.
Движение жидкости - легко деформируемой среды - значительно слож-
нее, поскольку в этом случае частица жидкости может испытывать линей-
ные и угловые деформации ее ребер. Пусть в начальный момент времени
частица находилась в положении 1. Свяжем с частицей систему координат
ху z. Точку Л/о с координатами (х0, у0, z0) выберем за полюс. Скорость в лю-
бой точке пространства Мс координатами (Хд + ХрУд+у^ z0 + zj) может быть
выражена через скорости и ее производные в точке Л/о посредством ряда
Тейлора, в котором сохранены лишь первые его члены
(3.22а)
или для х-компоненты, введя обозначения ии = иV и = К , получим
X1V1 Л- Xlvl q мл
(3.226)
Время t рассматривается здесь как параметр, т. е. изучаем распределение
скорости в данный момент времени. В дальнейшем индекс 0 у производных
будем опускать. Произведем в (3.226) тождественное преобразование, приба-
1 Уиу ди2
вив к правой части и вычитая из нее члены — У\ +~т— z\), а также осу-
2 дх дх
ществив группировку членов с одинаковыми координатами уj и zx:
49
Методом круговой перестановки индексов можно получить аналогич-
ные выражения для двух оставшихся компонент скорости:
С учетом обозначений
вышеприведенные формулы для трех компонент скорости запишутся в бо-
лее компактном виде:
их = vox + (®,zi - ЧУ1) + (£х*1 + Vi + Vi);
иу = Voy + - ®xz,) + (Szx, + гуу} + V,); (3.22c)
uz = voz + (<Vi - Vi) + (+ Vi + £zZl )
Обозначив последнее слагаемое в скобках через vdef, запишем выраже-
ние (3.22с) в векторной форме:
u = V0+&xrt + vdef.
(3.22д)
50
Полученное соотношение представляет собой математическую форму-
лировку теоремы Коши-Гельмгольца: скорость любой точки жидкой час-
тицы складывается из скорости полюса И(), скорости вращения вокруг мгно-
венной оси, проходящей через полюс б)хг}, и скорости деформационного
движения vdef.
Наличие слагаемого vdef определяет наиболее существенное отличие в
движении жидкой частицы по сравнению с твердым телом. Следует также
отметить, что слагаемое, характеризующее вращение й х г{, лишь внешне
совпадает с аналогичным членом для твердого тела. Оно описывает враще-
ние жидкой частицы как отвердевшего тела лишь в данный момент времени,
так как по прошествии этого момента частица изменит свою форму вслед-
ствие деформаций.
Выясним физический смысл слагаемых в выражении (3.22д) для дву-
мерного движения. Выделим некоторую жидкую частицу в форме квадрата
со стороной а. Через некоторое время dt частица переместится из положе-
ния 1 в положение 2. При этом ее ребра Л/о Мх и MQ М2. первоначальный угол
между которыми составлял 90°, будут испытывать линейные и угловые де-
формации.
Рис. 3.6. Деформация жидкой частицы
под действием поля скорости
51
На рис. 3.6, а изображены проекции скоростей этих характерных то-
чек, вызывающих линейные и угловые деформации ребер частицы. Сами
деформации на этом рисунке не изображены. На этом же рисунке в совме-
щенном виде показаны первоначальное положение жидкой частицы с по-
перечным сечением в форме квадрата со стороной а и дополнительные по
отношению к полюсу проекции скоростей характерных точек и Л/3,
стремящихся деформировать жидкую частицу. В дополнительных дефор-
мационных скоростях оставлены лишь линейные члены разложения отно-
сительных скоростей
ИТ.Д.
(3.23)
Это означает, что величина ребра а должна быть относительно малой.
Напомним, что в соответствии с условием и разложения функции в ряд Тей-
лора величина
определяется в полюсе Л/о, т.е. является числом.
Величина (3.23), имеющая размерность скорости, неудобна для харак-
теристики деформационного движения ребра Мх, поскольку она зави-
сит от размеров этого ребра. Отнесем разность скоростей этих точек к дли-
не ребра а\
(3.24)
Эту величину называют относительной скоростью растяжения (сжа-
тия) и принимают в качестве характеристики линейной деформации
вдоль оси х.
мации вдоль
Размерность [ej = 1/с. Аналогично рассмотрим величину
характеризующую относительную скорость линейной дефор-
оси у. На основании уравнения неразрывности для плоского
течения жидкости сумма 8 + 8 = —- ч--- = 0, т.е. если одно из ребер под-
у дх ду
вержено деформации растяжения, то перпендикулярное ребро сжимается.
На рис. 3.6, б в совмещенном виде представлен частный случай чисто ли-
нейной деформации жидкой частицы, первоначально имевшей форму квад-
рата, которая через элементарное время dt трансформируется в прямоуголь-
ник. Очевидно вследствие закона сохранения массы, который в данном случае
вырождается в закон сохранения площадей поперечных сечений, площади
квадрата и прямоугольника одинаковы. Под действием скоростей, направ-
dz/v _ дих
ленных перпендикулярно ребрам частицы, uvX - и = ~~—а, их2 ~ ихо ~ ~у~а ,
дх су
возникают деформации сдвига. Рассмотрим частный случай чисто угловой
деформации, считая линейные деформации отсутствующими (8Х = г? = 0) -
52
рис. 3.6, в. В этом случае ребра MQ Мх и М2 будут вращаться относитель-
но полюса Mq. Обозначим через и 52 углы поворота ребер Мх и MQM2,
а через а>1 и ш2 их угловые скорости. Примем обычное правило знаков: по-
вороты против часовой стрелки будем считать положительными, а по часо-
вой стрелке - отрицательными. Из рис. 3.6, в видно, что
dd} du ди
со, =—L = —со? =---------- =---
dt дх dt ду
За величину, характеризующую угловую скорость поворота всей части-
цы в целом, примем среднее арифметическое из угловых скоростей враще-
ния перпендикулярных ребер Мх и М2.
(3.25)
Индекс z означает, что вращение совершается в плоскости, перпендику-
лярной оси z. Вычислим угловую скорость вращения со3 биссектрисы угла
между двумя перпендикулярными направлениями Л/о Мх и Л/о М2. Из рис.
3.6, в легко установить, что
- coz - соМоЛ/з ,
(3.26)
т.е. угловая скорость вращения частицы равна угловой скорости вращения
биссектрисы угла между двумя перпендикулярными направлениями, исхо-
дящими из полюса.
В качестве характеристики угловой деформации частицы примем ве-
личину
(3.27)
которая называется относительной скоростью сдвига.
Если первоначально угол между ребрами Мх и Л/о М2 составлял угол
л/2, то в процессе угловой деформации он изменится и составит величину
(л/2-23/#) (рис. 3.6, г). Иными словами, скорость сдвига представляет
собой половину скорости изменения угла между двумя первоначально вза-
имно перпендикулярными направлениями.
Введенные выше величины, характеризующие линейные и угловые де-
формации, а также угловую скорость coz вращения частицы относительно
мгновенной оси, проходящей через полюс Л/о, удовлетворяют условиям пе-
рехода к частному случаю движения твердой частицы. Для этого следует
принять
Е,. = £ = 0;
53
В соответствии с рассмотренным анализом деформации жидкой части-
цы вводятся два класса течений жидкости: первый, более общий, класс вих-
ревых течений, когда
(3.28)
Второй класс течений - безвихревые течения, при которых
(3.29)
Как следует из рис. 3.6, г, при этом отсутствует поворот биссектрисы угла
MQ Му и частица деформируется в равносторонний ромб, если гх = гу = 0.
Покажем, что для безвихревых течений жидкости можно ввести потен-
циал скорости (р связанный со скоростью й соотношением
_ - — , -6(р Эф
и = шх + ju - grad(p = i — + J— или их = —L
дх ду дх
(3.30)
Действительно, подставляя значения проекций скоростей, выраженных
через потенциал скорости, в выражение (3.29), будем иметь
т.е. угловая скорость coz тождественно обращается в нуль. В силу этого без-
вихревое течение жидкости называют потенциальным (безвихревое и по-
тенциальное являются синонимами). Методы исследования вихревых и по-
тенциальных потоков существенно различны.
На основании всего предыдущего можно сказать, что величины 8V, 8V, е_
л у Z
характеризуют линейные деформации частицы, величины 9X,3V,9Z -угло-
вые деформации, а величины сог со^, coz связаны с вращением частицы отно-
сительно собственной мгновенной оси, проходящей через полюс Л/о.
3.6. Функция тока плоского и осесимметричного течения жидкости
Для исследования плоского потока необходимо определить две функции
их и иу. зависящие от координат х, у и от времени t. если движение неустано-
вившееся. Эти две функции не являются независимыми, а связаны между
дих диу
собой уравнением неразрывности + = • Покажем, что при плос-
ком течении жидкости можно вместо двух функций их и и ввести одну фун-
кцию ф(х, у). полностью характеризующую поток. Это уменьшает число не-
известных, подлежащих определению, а следовательно, значительно
упрощает решение задачи.
54
Определим функцию \|/ следующими равенствами:
и
•>
и
У
эазмерность [\|/] = м2/с. Вводимая функция \|/ удовлетворяет уравнению не-
д дш д дм/
разрывности:------—-------
дх ду ду дх
не зависит от его порядка.
= 0, поскольку результат дифференцирования
Составим полный дифференциал функции \|/, рассматривая при этом вре-
мя t как параметр dy = —dx +—dy = -и dx + uxdy . Запишем дифференци-
дх ду у '
альное уравнение линии тока для плоского течения:
-и dx + uxdy - 0; — = — , выразив значения и и и через функцию у:
и и у
X у
д\|/ дм/
—dxA-----dy = d\y = 0. Отсюда следует, что вдоль линии тока d\y = 0, т.е.
дх ду
функция \/ постоянна:
у = С. (3.33)
В силу этого свойства функция у называется функцией тока. Математи-
чески ее можно рассматривать как общий интеграл дифференциального урав-
нения линий тока плоского потока. Отсюда следует, что для получения урав-
нений линий тока необходимо определить функцию тока и приравнять ее
постоянной величине. В результате будет найдено семейство линий тока
плоского течения жидкости. Этот метод определения линий тока проще, чем
интегрирование дифференциальных уравнений (3.4).
Установим физический смысл функции тока. Для этого вычислим
расход жидкости через цилиндрическую поверхность с направляющей в
форме произвольной кривой АВ и образующей единичной высоты 1.
Рис. 3.7. Иллюстрация к установлению
физического смысла функции тока
Элементарный расход жидкости через площадку dlA равен (рис.3.7):
dQ = un(dl-\) = wxcos(n,x) + n cos(n,y) =
= (uxdy - uydx) • 1 = бА|/ • 1 = бЛ|/.
(3.34)
Итак, элементарный расход жидкости через площадку dlA численно
равен дифференциалу функции тока. Расход через цилиндрическую по-
верхность АВ:
в в
Qab = рб= =
(3.35)
А А
Таким образом, расход жидкости через цилиндрическую поверхность
единичной высоты с направляющей АВ численно равен разности функ-
ций тока в крайних точках направляющей. Из (3.35) следует, что этот
расход не зависит от формы кривой АВ, а определяется лишь функцией
тока начальной и конечной ее точек. Заметим, что размерность расхода
[0] = м3/с, а функции тока [у] = м2/с. Для соблюдения физического смыс-
ла выражения (3.43) следует помнить, что стоящая множителем в пра-
вой части единица имеет линейную размерность. Так как контур твер-
дого тела, обтекаемого потоком, является линией тока, то, если точка А
расположена на этом контуре и, полагая в ней \|/л = 0, функция тока в
любой другой точке потока будет численно равна расходу жидкости,
протекающему между ней и твердой стенкой. Условие у = О часто ис-
пользуют для определения формы твердого контура, обтекаемого пото-
ком несжимаемой жидкости.
В общем случае пространственного движения функцию тока ввести
нельзя, поскольку в потоке в этом случае имеется третья компонента ско-
рости uz. Однако для частного случая пространственного течения жидко-
сти - осесимметричного потока - возможно введение функции тока, во
многом аналогичной по своим свойствам функции тока при плоском те-
чении.
При введении функции тока использовалось уравнение неразрывнос-
ти. Следовательно, функцию тока можно вводить независимо от характе-
ра движения жидкости (вихревого или безвихревого) для течения как вяз-
кой, так и невязкой жидкости, при установившемся и неустановившемся
ее течении.
56
КОНТРОЛЬНЫЕ
ВОПРОСЫ
1. Сформулируйте различие в подходах описания дви-
жения жидкости по методам Лагранжа и Эйлера.
2. Сформулируйте понятие линии тока.
3. Что такое плоское и осесимметричное течения жид-
кости?
4. В чем заключается метод обращения движения?
5. Из каких составляющих складывается полное уско-
рение жидкой частицы?
6. Укажите физический смысл уравнения неразрывнос-
ти. Напишите его интегральную и дифференциальную
формы.
7. Какие основные величины характеризуют движение
и деформацию жидкой частицы в плоском течении?
8. Сформулируйте основные свойства функции тока
плоского течения жидкости.
ЗАДАЧИ
1. Исследуйте поток жидкости, заданный проекциями
скоростей: их = а. иу = Ь. (а и b - постоянные).
2. Поле скорости задано уравнениями их = ах. иу = - ау.
Найдите картину линий тока и определите характери-
стики течения (ех,еу,Л_,со_ ).
3. Скорость потока задана зависимостями и = - ау.
иу = -ах. Определите линии тока течения, вычислите coz.
4. Скорость течения вязкой жидкости между двумя плос-
костями равна их = и
2
; ит ~ максимальная
скорость, h - половина расстояния между пластина-
ми. Постройте эпюру распределения скоростей; по-
кажите, что это движение является вихревым.
ГЛАВА 4
ДИНАМИКА НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
4.1. Уравнения движения невязкой жидкости. Начальные
и граничные условия
Динамика - раздел гидромеханики, исследующий связь между внешни-
ми силами и вызываемыми ими движениями жидкости.
Любая реальная жидкость в той или иной мере обладает свойством вяз-
кости. Однако решение многих важных задач для таких маловязких жид-
костей, как вода и воздух, можно получить, считая их невязкими. Для ре-
шения задачи о движении невязкой жидкости нужно составить уравнения
движения, связывающие между собой скорости, давления и массовые силы,
действующие в жидкости. Чтобы получить эти уравнения, используем век-
торное уравнение движения жидкости (1.31), выраженное через напряже-
ния. В невязкой жидкости действуют только нормальные напряжения, связь
которых с давлением имеет вид (1.25). Подставив эти значения в (1.31),
получим уравнение
или
dt dx dy dz j
du
dt
= F — grad/?.
P
(4-1)
Уравнение (4.1) называется уравнением Эйлера движения невяз-
кой жидкости. Проектируя (4.1) на оси координат, получаем систему трех
дифференциальных уравнений в скалярной форме:
58
(4.2)
В уравнениях Эйлера для однородной несжимаемой жидкости считают-
ся известными плотность и проекции вектора напряжения массовых сил F,
F, Fz. Искомыми являются три проекции скорости их(х, yf z, t), иу(х, у, z, t)9
uz(x, у, z, /)и давление р(х, у, z, t), т. е. четыре неизвестные функции. Чтобы
привести в соответствие число уравнений и число неизвестных, к уравнени-
ям (4.2) следует добавить независимое уравнение неразрывности жидкости,
выражающее собой закон сохранения массы
диг
Л-
дх
= 0
(4.2а)
Решение замкнутой системы уравнений (4.2) совместно с уравнением
неразрывности (4.2а) нужно подчинить начальным и граничным условиям.
Начальные условия накладываются на поток в начальный момент времени
/0 при задании поля скоростей и давлений
й = u(x,y,z,toy, р =р(х,у, z, t0). (4.3)
Задаваться начальными условиями необходимо только при изучении неус-
тановившегося движения. Действительно, если известны скорости и давления
при установившемся движении, то тем самым известно движение жидкости в
любой момент времени, поскольку картина движения от времени не зависит.
Различают два типа граничных условий: кинематические - для скорости
на границах потока и динамические - связанные с давлением.
Рассмотрим кинематические граничные условия при абсолютном (выз-
ванном) движении тела в жидкости (рис. 4.1).
Рис.4.1. Кинематические граничные условия
при движении тела в жидкости
Предположим, для простоты, что тело со скоростью Ко движется вдоль
отрицательного направления оси х. Вызванное телом движение жидкости
практически отсутствует далеко перед ним, что можно записать в виде усло-
вия на бесконечности
и = 0 при х = - оо. (4.4)
Рассмотрим граничное условие на поверхности твердого тела: обозна-
чим через VnT нормальную составляющую проекции скорости произволь-
ной точки поверхности тела, а через ип - нормальную составляющую скоро-
сти частицы жидкости, прилегающей в данный момент к этой части
поверхности тела. Согласно этим соображениям на поверхности тела S дол-
жно соблюдаться условие непротекания
ип = Vnr- (4-5)
Рассмотрим кинематическое граничное условие при обращенном дви-
жении или обтекании неподвижного тела со скоростью = |KJ. Граничное
условие на бесконечности примет в этом случае вид
и = при х = - оо.
(4.6)
Граничное условие на поверхности 5 неподвижного тела представится в
форме
«„ = 0, (4.7)
т. е. при обтекании тела потоком жидкости нормальная скорость жидкости
на поверхности тела равна нулю. Отсюда следует, что в невязкой жидкости
на поверхности тела касательная составляющая скорости равна полной ско-
рости (ит = и s). Условие (4.7) называется условием непротекания. На ли-
нии тока или поверхности тока согласно ее определению также выполняет-
ся условие равенства нулю нормальной скорости ип. а касательная скорость
равна полной скорости и. Отсюда вытекает аналогия между линией тока и
твердой стенкой в установившемся течении: любую линию тока или часть
ее в невязкой жидкости можно заменить твердой стенкой, не нарушив дви-
жения жидкости (и наоборот). Это свойство широко используется в гидро-
механике при решении практических задач, связанных с построением обте-
кания тел.
Динамические граничные условия накладывают ограничения на давле-
ния, действующие на некоторых границах потока или в бесконечности. Рас-
смотрим условие для давления на свободной взволнованной поверхности
воды. На границе раздела двух сред - воды и воздуха должно быть одно и то
же значение давления. Аналитически это условие представится в виде
Р ~ Рау (4.8)
т. е. давление на свободной поверхности равно атмосферному. Аналогичное
условие выполняется и на поверхности струи капельной жидкости, вытека-
ющей в атмосферу. При обтекании тела и в обращенном движении жидко-
сти известно значение давления р^ в невозмущенном потоке, соответствую-
щее х —> - оо.
60
4.2. Интегрирование уравнений движения. Интеграл Бернулли
В общем случае нестационарного вихревого течения уравнения движе-
ния жидкости не интегрируются. Для их интегрирования требуется приня-
тие определенных допущений. Первое из допущений, имеющее весьма об-
щий характер, заключается в том, что массовые силы считаются
потенциальными: F = gradt/ . Используя его, придадим уравнению Эйлера
вид
— = gradt/ gradp = grad U- —
dt p Ip
(4.9)
Введем второе допущение о том, что движение жидкости установившее-
ся. При этом, как было показано ранее в § 3.1, траектории и линии тока со-
впадают, т.е. жидкая частица движется по линии тока. Обозначим через
dr — udt векторный элемент линии тока и умножим его скалярно на левую и
правую части уравнения (4.9):
du
Но
du
dt
и
udt = du -и
Учитывая это, получим d
или
(4.Ю)
причем это равенство справедливо на линии тока. Выражение (4.10) свиде-
тельствует о том, что трехчлен, стоящий под знаком дифференциала, посто-
янен вдоль линии тока:
-— U + — = С (на линии тока).
2 р
(4.U)
Для частного наиболее важного случая действия одних сил тяжести
U = - gz (4.11) запишется в виде
61
(4.12)
Это уравнение называется интегралом Бернулли. Часто о нем говорят
как об уравнении Бернулли. Выясним физический смысл этого уравнения.
При его выводе уравнение Эйлера, характеризующее удельные силы, умно-
жалось скалярно на элемент dr линии тока, т. е. члены, входящие в уравне-
ние (4.11) и (4.12) представляют собой удельные работы или эквивалентные
им удельные энергии. Таким образом, члены, входящие в интеграл Бернул-
ли (4.12), являются удельными энергиями, причем член и1/2 характеризует
удельную кинетическую энергию, а двучлен
-потенциальную энер-
гию. В свою очередь — характеризует потенциальную энергию давления
Р
(аналог потенциальной энергии сжатой пружины), agz - потенциальная энер-
гия положения. Сумма кинетической и потенциальной энергий есть механи-
ческая энергия, которая, согласно, интегралу Бернулли, постоянна вдоль
линии тока. Таким образом, этот интеграл физически выражает закон со-
хранения механической энергии. Легко показать, что записанный в форме
(4.12) интеграл Бернулли выражает энергию, отнесенную к единице массы.
Действительно, например член и212 получается из настоящей кинетической
2
ти
энергии ---- (в Джоулях), делением последней на массу т. Интеграл Бер-
нулли в зависимости от различных классов задач гидромеханики использу-
ют также в следующих формах: умножая (4.12) на плотность р, придадим
ему вид
2
+ /? + pgz = C,
(4.В)
где соответствующие члены выражают удельную энергию, отнесенную к
единице объема. Разделив (4.12) nag, получим интеграл Бернулли в гидрав-
лической форме
(4-14)
в которой удельная энергия отнесена к единице веса.
Еще раз напомним, что в общем случае интеграл Бернулли справедлив
только для данной линии тока. При переходе к другой линии тока постоянная
С в правой части будет иная. Заметим, что ось z направлена вертикально вверх.
При исследовании течений жидкости под свободной невзволнованной по-
верхностью, принимаемой за плоскость сравнения, как правило, интересуют-
ся не полным давлением р. а избыточным гидродинамическим давлением р ,
равным разности р и гидростатического давления />гидр = pgh = - pgz.
62
По определению
с учетом чего интеграл Бернулли (4.13) запишется в виде
pi/2
(4.15)
Часто индекс «и» при давлении опускается (но подразумевается). Из ин-
теграла, записанного в форме (4.15), следует важнейший вывод: там, где ско-
рость потока больше, там давление меньше (и наоборот). При течении жид-
кости по трубопроводу под и можно понимать среднюю скорость.
4.3. Интегралы Лагранжа и Эйлера
Для вывода этих интегралов преобразуем выражение ускорения —
dt
в проекции на ось х. Произведем выкладки для плоского течения, а затем
обобщим полученный результат на пространственный случай. Запишем ус-
du Г
корение —через местную и конвективную составляющую, добавив и вычтя
& диу
в этом выражении член и --:
duY duY ди
—--—- + uY —
dt dt &
ди у ди
——-ил,—
Перегруппировав члены в правой части этого выражения, получим
du.
dt
- и
В свою очередь, и
д и
2 J dxyl
Используя выражение для проекции угловой скорости со, получаем
и
= wv2co_.
У £
С учетом сделанных преобразований, запишем проекции уравнения движе-
ния на ось х в виде
д и
-2(cozwv) =
(4.16а)
Легко видеть, что для плоского течения -2сщгл, =2(йхй) . Обобщая
этот вывод на пространственный случай течения, будем иметь
63
(4.166)
(4.16с)
Уравнения (4.16(7-4.16с), в которых в явной форме выделены кинемати-
ческие особенности течения (угловые скорости), называются уравнения-
ми Громеко-Л эмба. В ряде случаев они удобнее для интегрирования, чем
уравнения в форме Эйлера.
Сделаем допущение о том, что течение жидкости потенциальное (без-
вихревое):
- n А Эф Эф Эф
со — О, со = со = со = О, иу = —, и., = —, и7 - —
л У Z» 'Л, 7 I/ 7 X
(4.17)
Подставляя эти условия в уравнения (4.16(7-4.16с), учитывая, что
х _
, и перенося члены правой части в левую, будем иметь
(4-18)
Из системы этих уравнений следует, что четырехчлен в квадратных скоб-
ках не зависит от координат, но является функцией времени. С учетом этого
получим интеграл Лагранжа для неустановившегося потенциального тече-
ния (полагаем U = - gz):
9(0 Р 7 X
-^ + —+ gz + ^ = F(/). (4.19)
ot 2 р
Функция времени F(t), как правило, находится из граничных условий
задачи.
Рассмотрим частный случай установившегося потенциального течения,
Эф п
в котором — = U, а скорость и и давление р не зависят от времени:
dt
2
U Р
- + gz + - = C\ (4.20)
2 р
64
где постоянная С одинакова для всех точек потока. Этот интеграл называет-
ся интегралом Эйлера. Его физический смысл тот же, что и для интегра-
ла Бернулли: это выражение закона сохранения энергии.
Видно, что по форме интегралы Эйлера и Бернулли совпадают, но меж-
ду ними, подчеркнем, имеется существенная разница: в интеграле Эйлера
С = const для всего потока, а в интеграле Бернулли она постоянна лишь только
вдоль линии тока.
Приведенные выше интегралы Бернулли и Эйлера отнесены к непод-
вижной системе координат, покоящейся вместе с обтекаемым телом. Полу-
чим выражение для интеграла Бернулли в подвижной, связанной с движу-
щимся телом системе координат применительно к случаю поступательного
движения тела с постоянной скоростью Ео = V^. Далеко перед телом давле-
ние обозначим р:х. Запишем интеграл Бернулли для избыточного давления и
эбращенного движения жидкости
Tie и = + uy+uz - скорость обращенного движения.
Обозначив через иа = ^и2ах + и^у + u^z скорость абсолютного движения,
юлучим связь между проекциями скоростей абсолютного и обращенного
щижения ux=V^~ и^ иу = и ; uz = uaz. Подставляя эти выражения в интег-
рал Бернулли, после приведений получаем его форму для подвижной систе-
мы координат, движущейся поступательно с постоянной скоростью Ео =
j виде
^-~Р^ах+ Р = P-х,- (4-21)
Это соотношение иногда используется при расчете давления.
L4. Распределение давления по поверхности тела,
коэффициент давления
Для решения многих практических задач необходимо знать характер рас-
гределения гидродинамических давлений по поверхности тела. При про-
ольном движении удлиненных тел вязкость мало влияет на величину дав-
ения, что позволяет применять интегралы уравнений движения невязкой
сидкости в форме уравнения Бернулли, и, если движение жидкости потен-
иальное, интегралы Эйлера или Лагранжа.
п<. 4042
65
Рис. 4.2. Распределение коэффициента
давления вдоль линии тока
при обтекании тела
Рассмотрим продольное обтекание тела вращения потоком жидкости со
скоростью К() = (рис.4.2); давление в невозмущенном потоке р^. Линия
тока AK^BK^D, идущая из бесконечности, разветвляется на теле в точке Кх,
снова соединяется в кормовой точке К2 и уходит в бесконечность (точка D).
Определим характер изменения скорости и избыточного гидродинамичес-
кого давления вдоль этой линии тока, записав интеграл Бернулли (4.15) для
рК2 pz/2
точки А и произвольной точки В на линии тока р^ н-= р +----; отсюда
(4.22)
Зависимость (4.22) дает закон изменения избыточного давления вдоль
линии тока в зависимости от скорости. Приведем ее к безразмерному виду,
разделив обе части на величину
называемую скоростным напором
набегающего потока:
2
(4-23)
где р - безразмерная величина, коэффициент давления.
Выясним основные свойства этого коэффициента. Правая часть выраже-
ния для р не содержит плотности жидкости р. Отсюда следует, что коэффи-
циент давления не зависит от рода жидкости. Это положение широко ис-
пользуется в экспериментальной практике, так как позволяет сравнить
результаты испытаний тел в различных жидкостях, например в воде и возду-
хе. В аналогичных условиях обтекания коэффициенты давления при этом
одинаковы. Сами давления в воде и воздухе, очевидно (при одинаковых ско-
ростях), резко отличны в силу большой разницы в плотностях жидкостей
66
(Рводь/Рвоздуха ~ 800). Скорость и в любой точке потока прямо пропорцио-
нальна скорости набегающего потока, поэтому отношение u/V^ есть безраз-
мерная функция, зависящая только от формы тела и координат точки по-
тока (при обтекании тела вдали от свободной поверхности жидкости). Этим
свойством коэффициента давления также пользуются в экспериментальной
гидроаэромеханике. Отмеченные два свойства коэффициента давления пол-
ностью справедливы для невязкой жидкости, однако, приближенно они име-
ют место и при обтекании удлиненных тел маловязкой жидкостью.
Установим характер распределения коэффициента давления вдоль ли-
нии тока AKxBK2D по верхней образующей тела. В бесконечности перед те-
лом и = р = р^, т.е. р = 0. По мере передвижения частицы жидкости из
бесконечности к телу ее скорость непрерывно уменьшается; соответственно
увеличивается р , как показано на рис. 4.2. В точке К1 носовой оконечности,
где происходит разветвление линий тока, скорость жидкости и = 0 в силу
физического условия однозначности поля скорости. Точки в потоке, в кото-
рых скорость обращается в нуль, называются критическими. В критичес-
- 1
кои точке р = 1, р- р^= -- .
Далее вдоль поверхности тела скорость потока возрастает. В какой-то
точке L на поверхности тела скорость жидкости будет равна скорости набе-
гающего потока и коэффициент давления обратится в нуль р = 0. За этой
точкой в районе максимальной толщины тела, где стеснение потока наиболь-
шее, располагается область, в которой скорости жидкости больше скоростей
набегающего потока. Зона, где скорости и > коэффициент давления от-
рицателен р < 0 называется зоной разрежения.
В точках за максимальным сечением тела скорость начинает уменьшать-
ся, а р увеличиваться. В точке кормовой оконечности тела происходит
соединение линий тока, идущих по нижней и верхней поверхностям тела,
эта точка является критической. В дальнейшем вдоль линии тока наблюда-
ется непрерывное нарастание скорости до значения и коэффициент дав-
ления изменяется от единицы до нуля.
Такой характер распределения давления соответствует данным опытов
по изучению обтекания тел потоком жидкости.
Использование интеграла Бернулли и коэффициента давления для ис-
следования кавитационных течений жидкости подробно рассмотрено в гл. 14.
4.5. Законы количества движения и моментов количества
движения в применении к жидкостям
Одной из важнейших задач гидромеханики является определение сило-
вого суммарного воздействия со стороны жидкости на тело. В соответствии
67
с общими формулами (1.13) эта задача может быть решена, если известно
распределение напряжений рп по телу.
Однако для определения гидродинамических реакций иногда удобнее
воспользоваться общими законами механики - законом количества движе-
ния и законом моментов количества движения, использование которых при
установившемся течении жидкости особенно эффективно. Эти законы в при-
менении к жидкости приобретают специфическую форму.
Начнем с рассмотрения закона количества движения. Его формулировка
известна из механики: производная по времени от вектора количества дви-
жения материальной системы (жидкости) равна главному вектору всех
внешних сил R , приложенных к системе:
масс ' * пов ’
dt
где в случае жидкости Лмасс - главный вектор массовых сил, а 7?пов - глав-
ный вектор поверхностных сил, действующих на ограничивающих ее объем
поверхностях.
Рис, 4.3. Изменение положения
жидкого объема за время dt
Выделим в жидкости произвольный жидкий объем W\ (рис. 4.3), ограни-
ченный в начальный момент времени неподвижной в пространстве поверх-
ностью Е. Внутри жидкого тела может находиться твердое тело (или тела),
ограниченное поверхностью S. Используем внешние по отношению к объе-
му жидкости нормали к этим поверхностям. Выделим частицу жидкости с
массой pdW. Если скорость этой частицы й , то элементарный вектор ее ко-
личества движения определится равенством dQ^ = (pdffl}u. Вектор коли-
чества движения жидкого объема W найдется интегрированием по всему
объему
2Ж = j pudW.
(4.29)
В общем случае для вычисления —— необходимо знать поле скоростей
dt
во всем объеме Покажем, что при установившемся течении жидкости
достаточно знать только скорость на границе объема, т. е. на контрольной
поверхности 5+£. Для доказательства этого вычислим изменение количе-
ства движения. За промежуток времени dt выделенный жидкий объем про-
течет через контрольную поверхность и займет положение, ограниченное
поверхностью Поверхности Xj и Z бесконечно близки в силу малости dt
и ограниченности поля скорости.
При установившемся движении жидкости, когда скорости не зависят от
времени, количество движения жидкости в области пространства, общей для
поверхностей Zj и Z, в разные моменты времени одно и то же, т. е. в ней
=0.
dt
Следовательно, изменение количества движения объема жидкости
связано только с перетеканием части ее через контрольную поверхность.
Количество движения вышедшего и вошедшего объемов легко подсчитать.
Для этого выделим на контрольной поверхности элементарную площадку
dS, вектор скорости в центре площадки обозначим й, нормальную составля-
ющую скорости ип. За время dt через эту площадку протечет количество
жидкости (и dt)dS9 масса протекающей жидкости определится выражением
p{undt)dS. а вектор элементарного количества движения будет р(и dt)dS й .
Общее изменение количества движения за счет протекания жидкости через
контрольную поверхность S получается интегрированием по этой поверх-
ности элементарных количеств движения
dQ^ ~ <§>puundSdt = dt(§)puundS.
В этом выражении dt вынесено за знак интеграла, так как контрольная
поверхность неподвижна в пространстве. Искомое выражение для произ-
водной количества движения при установившемся течении жидкости при-
обретает вид
dt
— (j)puundS,
(4.30)
т. е. производная количества движения при установившемся течении равна
потоку количества движения сквозь контрольную поверхность.
Получим выражения для главных векторов массовых и поверхностных
сил. Если F - напряжение массовых сил, то главный вектор массовых сил
/?масс = ) pFdW. Главный вектор поверхностных сил может быть выражен
69
через напряжения поверхностных сил рп : /?пов = ф pndS . Подставляя по-
лученные выше выражения в (4.28), перепишем (4.28) в следующей форме:
ф puundS - J pFdW 4- ф pndS
X+S W| X+S
(4.31)
представляющей общее выражение закона количества движения при уста-
новившемся течении жидкости. Поскольку при выводе этого закона не дела-
лось никаких предположений о роде жидкости, он одинаково справедлив
для газа и капельной жидкости, для вязкой и невязкой жидкости.
Весьма важным является случай, когда можно пренебречь массовыми
силами. Здесь лишь напомним, что при этом под напряжением необходимо
понимать избыточные гидродинамические величины за вычетом гидроста-
тического давления. Массовые силы тяжести, действующие на жидкость, в
этом случае приводят к появлению на теле 5 силы Архимеда, которую всегда
можно учесть отдельно. В этом случае выражение закона количества движе-
ния приобретает следующий вид:
(4-32)
При обтекании твердого тела, ограниченного поверхностью 5, на нем
соблюдается условие непротекания ип = 0. Интеграл §pndS представляет
гидродинамическую реакцию воздействия тела на жидкость. Согласно тре-
тьему закону Ньютона реакция R жидкости на тело равна R - -ф pndS . Ис-
ходя из этого, можно из (4.32) получить формулу для определения гидроди-
намической реакции:
(4.33)
Основная ценность закона количества движения, представленного в этих
формах, заключается в том, что в обеих частях этих выражений содержатся
только интегралы по контрольной поверхности 2. Иными словами, для при-
менения этого закона нужно знать картину движения жидкости не во всем
объеме, а только на его контрольной поверхности, которая может быть выб-
рана произвольно, исходя из соображений удобства вычислений и знания
величин скоростей и напряжений на отдельных ее участках.
Для невязкой жидкости рп - -рп и закон количества движения предста-
вится в виде
70
R = -p(j>uundS - фpndS. (4.34)
z z
Аналогично может быть получен закон моментов количества движения.
Если г - радиус вектор центра площадки на контрольной поверхности, то
момент количества движения элементарного вышедшего объема получает-
ся векторным умножением г на его количество движения. Таким образом,
при установившемся течении закон моментов количества движения примет
вид
ф rxpuundS = ф r^PndS. (4.35)
Правая часть (4.35) выражает момент поверхностных сил.
КОНТРОЛЬНЫЕ
ВОПРОСЫ
1. Сколько неизвестных входит в уравнение движения
Эйлера?
2. Сформулируйте кинематическое граничное условие
для обтекания тела.
3. Что такое интеграл Бернулли и каков его физический
смысл.
4. Напишите интегралы Лагранжа и Эйлера, сформули-
руйте допущения, принятые при их выводе.
5. Что такое коэффициент давления и каковы его свой-
ства?
ЗАДАЧИ
1. Скорость набегающего потока = 10 м/с. В точке
минимума давления коэффициент давления Рм = 0,69.
Определите скорость потока в этой точке.
2. В широком сечении трубопровода средняя скорость
w 1ср = 2 м/с, а в узком г/2ср = 4 м/с. Определите разность
давлений в этих сечениях. Жидкость - пресная вода.
_£/ 2 _ 2\
3. Потенциал скорости потока Ф ” \ ? / • Опреде-
лите разность давлений в пресной воде между точка-
ми с координатами = 1, х2 = у2 = 2.
ЧАСТЬ 2
ГЛАВА 5.
ГЛАВА 6.
ГЛАВА 7.
ДИНАМИКА
НЕСЖИМАЕМОЙ
ЖИДКОСТИ
ОСНОВЫ ВИХРЕВЫХ ДВИЖЕНИЙ
ЖИДКОСТИ (модули 1, 2, 3)
БЕЗВИХРЕВЫЕ (ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ)
ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ (модули 1, 2, 3)
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
(модули 1, 2, 3)
ГЛАВА 5
ОСНОВЫ ВИХРЕВЫХ ДВИЖЕНИЙ жидкости
5.1. Основные характеристики и свойства вихревых
движений
Вихревым называют такое течение жидкости, в котором хотя бы в неко-
торых областях потока вектор угловой скорости вращения частиц отличен
от нуля со^О*. Легко показать, что
где V = i--н j---\-к----оператор У. Гамильтона. Действительно, раскры-
дх ду dz
вая выражение для rot и и сравнивая выражения при одинаковых ортах,
получаем ранее определенные величины проекций угловых скоростей.
Представление о внешней структуре вихревого потока можно получить,
если знать картину вихревых линий. Вихревой называют линию, в каждой
точке которой в данный момент времени вектор угловой скорости совпадает
с касательной к этой линии. На основании этого дифференциальное уравне-
ние вихревых линий записывается в виде
- dx dy dz
(axdr-0; ----= -^ =—, (5.2)
C0Y COy, CD-
где dr - векторный элемент вихревой линии.
Аналогично понятию трубки тока вводится понятие вихревой трубки.
Вихревая трубка - часть жидкости, ограниченная вихревыми линиями, про-
* В гидромеханике вместо угловой скорости часто используется завихренность, равная
удвоенной угловой скорости, т.е. со = V х й.
веденными через точки произвольного замкнутого контура. В общем случае
вектор угловой скорости меняется по поперечному сечению вихревой труб-
ки. Элементарной вихревой трубкой называют такую трубку, для которой
изменением угловой скорости по поперечному сечению можно пренебречь.
Воздействие вихревой трубки на окружающую жидкость зависит от ее
интенсивности. Под интенсивностью вихревой трубки понимается удвоен-
ный поток вектора угловой скорости й через произвольное поперечное се-
чение вихревой трубки. Обозначив через п - нормаль к поперечному сече-
нию S вихревой трубки, согласно определению можем записать следующее
выражение интенсивности:
I = 2J й • ndS = J roti/ • ndS. (5.3)
Размерность интенсивности [7] = [со][*У] = м2/с. Интенсивность элемен-
тарной вихревой трубки
di = 2й- ndS = 2со„с75 .
f
(5.4)
В гидромеханике часто рассматривают предельный случай элементар-
ной вихревой трубки, когда площадь ее поперечного сечения стремится к
нулю (dS —> 0), в то время как интенсивность di имеет конечную величину
di - lim 2c$ndS = const. При этом величина угловой скорости со возрастает
5*—>0
до бесконечности (со —> оо). Такая идеализированная вихревая трубка назы-
вается вихревой нитью. Вихревая нить - пример особой линии, во всех точ-
ках которой угловые скорости со стремятся к бесконечности.
Введем важное для гидромеханики понятие циркуляции скорости Г. Она
представляет собой криволинейный интеграл по произвольному замкнуто-
му контуру L от скалярного произведения вектора скорости и на дифферен-
циал радиус-вектора точки контура dr (рис. 5.1):
Г = (J)udr = <yuxdl
L L
uxdx + Uydy + uzdz,
(5-5)
где через z/T обозначена касательная составляющая скорости, a dl = dr
элемент длины контура.
Рис. 5.1. К определению циркуляции
скорости Г
76
Согласно (5.5), размерность циркуляции [Г] = [w][Z] = м2/с, т. е. та же, что
и интенсивности. Однако связь между циркуляцией и интенсивностью не
ограничивается только одинаковой размерностью этих величин; она значи-
тельно глубже и устанавливается формулой Д. Стокса. Рассмотрим поток
вектора вихря через произвольную незамкнутую поверхность 5 (рис. 5.2).
Рис, 5.2. Поток вектора вихря
через поверхность S
Обозначим через L замкнутый контур, на который опирается эта поверх-
ность. В частности, под поверхностью S можно понимать произвольное се-
чение вихревой трубки, и тогда речь может идти об интенсивности вихре-
вой трубки и ее связи с циркуляцией.
Поверхностный интеграл преобразуем по формуле Д. Стокса в криво-
линейный:
uxdx + Uydy + uzdz.
Сравнивая полученный результат с (5.5), находим
Г - 2 со • ndS = I = I roti/ • ndS .
(5.6)
Отсюда следует теорема Д. Стокса: поток вектора вихря через произ-
вольную незамкнутую поверхность равен циркуляции скорости по контуру,
на который опирается эта поверхность. В соответствии с теоремой Д. Сток-
са в гидромеханике практически всегда вместо интенсивности используют
понятие циркуляции.
Если считать, что вне вихревой трубки жидкость не завихрена
(2с6 = rotw = 0), то контур £, расположенный на поверхности вихревой
трубки, можно деформировать в произвольный контур лежащий
77
в жидкости и охватывающий вихревую трубку. Действительно, обозна-
чив через площадь поверхности, опирающейся на контур L}, будем
иметь — J rotS • ndS = j rotS • ndS + J rotS • ndS - j rotS • ndS, так как, СО-
V. 5 5,-5 5
гласно предположению, в области Sj-S завихренность жидкости отсутству-
ет. Отсюда можно заключить, что интенсивность вихревой трубки равна цир-
куляции скорости по произвольному контуру, охватывающему вихревую
трубку.
Понятия интенсивности и циркуляции являются чисто кинематически-
ми, и, следовательно, справедливы как для вязкой так и для невязкой жид-
кости.
Установим некоторые основные свойства вихревых течений: поле угло-
вых скоростей 2со = rotS является соленоидальным
divrotS = 0- (5.7)
Действительно,
div rotS =
поскольку результат дифференцирования не зависит от порядка дифферен-
цирования. Из свойств соленоидальности поля следует, что поток вектора
вихря I = ф rotS • ndS = 0 для произвольной замкнутой поверхности. Рассмот-
5
рим вихревую трубку конечных размеров (рис. 5.3).
Рис. 5.3. Вихревая трубка конечных
размеров
Выделим в ней замкнутую поверхность S = Sj + S6oK + S2. Для нее
I = СрrotS • ndS = J rotS] • ri^dS + J rotw • ndS + J rotS2 • n2dS - 0. Но на боко-
5 V. у S.
вой поверхности вихревой трубки rotw п = 2й • п - 0; на поверхности 5. внеш-
нюю нормаль пх заменим на пх, так что j rotw. -h\dS = -j rotMj n^dS = -Ix ,
5, 5,
78
с учетом чего получим /= 0 = - Ц +12 = 0. Поскольку сечения и S2 выбра-
ны произвольным образом, заключаем, что
= I2 = const == Г.
(5.8)
т. е. вдоль длины вихревой трубки интенсивность и равная ей циркуляция
по контуру, охватывающему вихревую трубку, постоянны. Это составляет
содержание кинематической теоремы Гельмгольца о вихрях.
На основании теоремы Гельмгольца докажем, что вихревая трубка не
может ни заканчиваться, ни начинаться в жидкости. Действительно,
= J 2й2 -rhdS2 = J . Если, например, площадь S2 стремится
к нулю: 0, то поскольку I = const, угловая скорость в этом сечении долж-
на стремится к бесконечности: со2 оо, что физически невозможно.
Из наблюдений следует, что вихревые образования, удовлетворяющие
кинематической теореме Г Гельмгольца о вихрях, могут начинаться на твер-
дой стенке (на поверхности тела), на свободной поверхности и на поверхно-
сти раздела жидкостей. При этом вихри либо распространяются в бесконеч-
ность, либо замыкаются на твердой стенке или свободной поверхности.
Примерами подобных вихревых образований могут служить вихревые жгу-
ты, сходящие с поверхности крыла или лопасти винта и уходящие в беско-
нечность за ним, а также вихревые образования типа смерчей и водоворо-
тов. В жидкости могут также наблюдаться замкнутые вихревые образования -
вихревые кольца.
5.2. Поле скоростей, вызываемое вихрями в жидкости
Изучение вихревых движений жидкости предусматривает постановку
двух задач.
Первая задача (прямая): задано поле скорости й (х, у, z). требуется опре-
делить характеристики вихревого движения. Принципиально эта задача ре-
. _ 1 _
шается просто: по формуле = —rotzz определяют угловые скорости со, а
зная их, можно нарисовать картину вихревых линий, найти интенсивность
вихревых образований.
Значительно чаще приходится решать обратную задачу. В ряде случаев,
исходя из анализа физических экспериментов и теоретических соображе-
ний, можно установить форму вихревых образований, возникающих в жид-
кости, и связать их интенсивность (или циркуляцию) с геометрическими и
кинематическими характеристиками движущихся в жидкости тел (напри-
мер, крыльев). В этом случае возникает необходимость определения скорос-
тей, вызываемых заданной системой вихрей; эти скорости называют инду-
цированными.
79
Приведем без вывода основную формулу для индуцированной скорости,
вызываемой вихревым шнуром с криволинейной осью. Отметим, что доста-
точно получить зависимость для скорости от одного вихревого шнура. В
случае нахождения в жидкости нескольких таких образований суммарная
вызванная скорость находится методом векторного сложения. Упомянутая
выше формула была сначала получена Био и Саваром при исследовании элек-
тромагнитных явлений, а затем распространена на случай вихревых тече-
ний жидкости. В электромагнитных обозначениях формула записывается в
виде
dH =
i3 smadl
4п R2
(5.9)
где z - сила тока (в амперах), текущая по проводнику; dH - элементарное
вызванное им магнитное поле от элемента проводника длиной dl\ since - угол
между касательной к элементу dl и радиус вектором R произвольной точки в
пространстве, где наводится магнитное поле.
Для вихревых движений эта формула связи элементарной вызванной
скорости du и интенсивности вихря / выглядит аналогично (рис. 5.4):
, / sin ad/ Г sin ad/
du —-------т— =----------— ?
4л Rz 4л Rz
(5.10)
причем, согласно теореме Д. Стокса, интенсивность / всюду в гидромехани-
ке заменяется равной ей циркуляцией. Вызванная скорость du лежит в плос-
кости перпендикулярной [dl, 7?] и направлена в сторону циркуляции.
Рис. 5.4. К выводу формулы связи
элементарной вызванной скорости
и интенсивности вихря
Из сопоставления зависимостей (5.9) и (5.10) следует возможность осу-
ществления магнитно-гидродинамической аналогии (МАГДА), в которой
аналогом циркуляции Г является электрический ток z , а аналогом вектора
скорости и служит вектор напряженности магнитного поля Н .
В качестве примера определим скорость, индуцируемую в точке М вих-
ревой нитью с прямолинейной осью (рис. 5.5) и циркуляцией вокруг нее Г.
80
Рис. 5.5. К определению скорости,
индицируемой в точке М вихревой
нитью с прямолинейной осью
Выделим конечный отрезок вихревой трубки АВ. Радиус векторы R} и Т?2
и образованные ими с осью вихря углы а( и а2 показаны на рис. 5.5, через h
обозначено расстояние от точки М до вихревой трубки.
Выделим элементарный отрезок CD = dl. Из точки С опустим перпен-
дикуляр DK на радиус вектор R. Из треугольника CDK имеем DK = б/Zsina,
причем отрезок DK эквивалентен дуге DK = Rda. Кроме того, h = R sina,
Используя (5.10) и интегрируя du в пределах от at до а2, получаем скорость,
вызываемую отрезком вихря АВ в точке М:
от
Г f Г 7 X
и =---- lsinoz/a =----(cosa9-cosoii). (5.11)
4тг/г J 4nhV
a,
Эта формула, однако, не имеет физического смысла, поскольку из кине-
матической теоремы Гельмгольца следует, что вихрь не может ни начаться,
ни закончиться в жидкости. Рассмотрим поэтому два частных случая, не
противоречащих этой теореме. Пусть вихревая нить имеет бесконечную дли-
ну. При этом dj—>0иа2—>7си скорость
и = — - (5.12)
2nh
Очевидно, что картина течения жидкости в любой плоскости, перпенди-
кулярной оси бесконечного вихря, одинакова, т. е. течение жидкости плос-
кое. Вводя цилиндрические координаты х, г, 0 (ось х направлена вдоль вих-
ревой нити, а координаты г, 0 лежат в плоскостях, перпендикулярных оси х),
можем в новых обозначениях переписать (5.12) в виде
и = — • (5.13)
2пг
Этот поток называется плоским вихрем, или плоским циркуляционным
потоком. Получив проекции скорости и и и. а именно:
Л у
81
Г sin0_ Гу Г cos0_ Гх
2л г 27i(x2+j2)’ У г 2л(г2 + у2)
(5.13а)
и вычислив угловую скорость вращения
, легко убедить-
ся, что во всех точках за исключением тела вихря (х = 0) coz = 0, т. е. течение
жидкости потенциально. Зависимость (5.13) используется в теории профиля
(крыла очень большого удлинения).
Второй случай - полубесконечный вихрь, простирающийся вправо от оси
у до бесконечности. Поскольку согласно кинематической теореме Гельмголь-
ца вихрь в жидкости не может начаться, следует исходить из предположе-
ния, что ось у соответствует границе твердого тела (крыла, обтекаемого по-
током со скоростью К^). При этом Q] ^0 и а2 ч л/2, скорость от
полубесконечного вихря
(5.14)
Эта формула используется в теории крыла конечного размаха.
Из предыдущих формул следует, что вызванная скорость в точке М об-
ратно пропорциональна первой степени отстояния до вихревой нити. При
этом в соответствии с кинематической теоремой Гельмгольца физический
смысл имеют лишь бесконечная и полубесконечная вихревая нити. Однако,
очевидно, что наибольший вклад в величину вызванной скорости оказыва-
ют участки вихревой нити, расположенные вблизи от точки, в которой опре-
деляется вызванная (индуцированная) скорость. В качестве примера вычис-
лим вызванную скорость, индуцируемую отрезком вихревой нити длиной
/0 = 5h в точке М (0, Л). Для отрезка вихревой нити имеем и = Гсозо^МттЛ,
что при условии tgaj = h/5h = 0,2 дает величину и. равную 0,981 Г/4лЛ. Ины-
ми словами, этот короткий отрезок /() = 5Л, выделенный из полубесконеч-
ного вихря, даст величину скорости, менее чем на 2 % отличающуюся от
скорости, индуцируемой полубесконечным вихрем. Даже отрезок /0 = 3/г
уменьшит вызванную скорость по сравнению с полубесконеным вихрем
только на 5 %.
5.3. Вихревые слои
При решении задач гидромеханики приходится иметь дело с вихревой
системой, состоящей из вихрей, непрерывно распределенных на некоторой
линии или поверхности, т.е. образующих вихревой слой.
Рассмотрим вихревой слой, центры вихрей которого непрерывно рас-
пределены по линии. Не ограничивая общности вывода, для простоты при-
мем, что эта линия совпадает с осью х (рис. 5.6).
82
и1±и
А В
«1-
Рис. 5.6. Вихревой слой с непрерывно
распределенными по линии вихрями
Движение жидкости считаем плоским, т. е. оси вихрей перпендикуляр-
ны плоскости ху. Пусть на элементе А/ расположены вихри с циркуляцией
ЛГ. Величина циркуляции, отнесенная к длине элемента дуги, называется
погонной циркуляцией. Обозначив ее через у, будем иметь
у -- lim
dl
Размерность [у] = м/с, т. е. совпадает с размерностью скорости.
Установим основное свойство вихревого слоя, для чего вычислим цирку-
ляцию скорости по элементарному контуру ABCDA. Касательную составляю-
щую скорости на верхней стороне линии обозначим через а на нижней-
через и} . Циркуляция dV равна сумме циркуляций по участкам; принимая
положительное направление обхода против часовой стрелки, находим
ABCDA = АВ + ВС + CD + DA = 11 ~ и
откуда с учетом (5.15)
y=~=u}_-ui+. (5.16)
Из этой формулы видно, что при переходе через вихревой слой касатель-
ная составляющая скорости претерпевает разрыв, численно равный погон-
ной циркуляции вихрей. Отсюда следует, что, если имеется течение с разры-
вом продольных составляющих скоростей, то на поверхности разрыва
скорости возникает вихревой слой с погонной циркуляцией у.
Получим зависимости для поля скорости, вызываемого вихревым сло-
ем, расположенным на прямолинейном отрезке длиной Ь. Пусть у(х,) - по-
гонная циркуляция вихря, расположенного в центре элементарного отрезка
длиной dxv Элементарная циркуляция на этом отрезке dV = ydx}. Элемен-
тарная вызванная скорость согласно (5.13)
du =----=----L ’
2лг 2 яг
а ее проекции на оси координат в соответствии с рис. 5.6
du = -du sin 0 = - ; du = du cos 0 =
2nr2
2лг2
Учитывая, что г = J(aХ|)“ + и интегрируя это выражение в преде-
лах отрезка, получаем выражение для проекций скоростей, индуцируемых
вихревым слоем,
83
(5.18)
5.4. Теорема Томсона и ее следствия
Выясним изменение во времени циркуляции скорости, взятой по замк-
нутому жидкому контуру, все время состоящему из одних и тех же частиц.
С течением времени пространственное положение жидкого контура изменя-
ется, но в силу сплошности поля скорости он остается неразрывным. Если
dr
dr - векторное перемещение элемента жидкого контура, то скорость й = —.
dt
Рассмотрим циркуляцию скорости по жидкому контуру L(r), который с тече-
нием времени займет другое положение. Вычислим производную от цирку-
dT d г _ _ г du г d /
ляции скорости по времени: — = —Фи-dr = ф------------dr + (Ь и —[dr
dt dt dt d,t
Исследуем второй интеграл правой части этого выражения, учитывая,
d t Л dr}
что для частиц жидкого контура —(dr) = d —
dt \dt ;
= du. На основании этого
второй интеграл можно представить в виде
так как при обходе по любому замкнутому контуру считаем поле скорости
однозначным ив = ил для совпадающих точек А (снизу) и В (сверху). Итак,
(5-19)
т. е. производная от циркуляции скорости по времени равна циркуляции ус-
корения по жидкому контуру. Формула (5.19) справедлива как для вязкой,
так и невязкой жидкости.
Рассмотрим случай однородной невязкой жидкости. Выразим ускорение
на основании уравнения движения Эйлера (4.1), предполагая при этом су-
ществование потенциала массовых сил:
Поставив последнее выражение в (5.19) и раскрыв скалярное произведе-
ние, получим
84
= 0.
(5.20)
dii
p;
При этом учтено, что поле массовых сил и поле давлений в жидкости
однозначно. Из (5.20) следует формулировка теоремы У. Томсона: в невяз-
кой однородной жидкости, находящейся под действием потенциальных мас-
совых сил, циркуляция скорости по произвольному замкнутому жидкому кон-
туру с течением времени не изменяется.
Используем эту теорему для доказательства того, что вихревой или безвихре-
вой характер течения жидкости сохраняется во все время движения. Пусть в на-
чальный момент времени /0 движение жидкости всюду потенциально. Тогда на
основании теоремы Д. Стокса циркуляция по произвольному жидкому контуру
равна нулю Г/() = 0. Но, согласно теореме У Томсона, по любому жидкому конту-
ру изменение циркуляции во времени отсутствует dV/dt - 0, или Tz = Гю = 0.
Иными словами, в любой другой момент времени циркуляция по произ-
вольному жидкому контуру равна нулю. Отсюда на основании теоремы
Д. Стокса можно заключить, что внутри жидкого контура угловые скорости
равны нулю, т. е. движение жидкости остается безвихревым.
Если в начальный момент времени движение невязкой жидкости было
вихревым, то по теореме У. Томсона вихревой характер течения сохранится
во все последующее время движения. Доказательство этого следствия про-
изводится аналогично.
Теорема У. Томсона и ее следствия дают основание для раздельного изу-
чения безвихревых и вихревых течений невязкой жидкости, которые при со-
блюдении условий вывода теоремы сохраняют свой характер.
На основании этой теоремы можно сформулировать две динамические
теоремы Г. Гельмгольца о вихрях в невязкой несжимаемой однородной жид-
кости. Первая из них гласит, что вихревая трубка все время состоит из одних
и тех же жидких частиц. Проведем в момент времени на поверхности вих-
ревой трубки замкнутый жидкий контур L; поскольку вихревые линии не
пересекают площадь, ограниченную этим контуром, то согласно теореме
Д. Стокса циркуляция скорости по этому контуру в момент времени /() равна
нулю: Г(?о) = 0. Но, согласно теореме У. Томсона, в любой другой момент
времени циркуляция по этому жидкому контуру сохранится Г(г) = Ц70) = 0,
т. е. частицы жидкости, первоначально лежащие на поверхности вихревой
трубки, не покинут ее в любой другой момент времени.
Согласно второй динамической теореме в предположении справедливо-
сти теоремы У. Томсона, интенсивность вихревой трубки, сохраняющей свою
форму, с течением времени не изменяется. Для ее доказательства следует
провести замкнутый контур, охватывающий вихревую трубку в момент вре-
мени Г(г0) = /, и аналогично первой динамической теореме, легко пока-
зать, что и во все последующие моменты времени циркуляция и равная ей
интенсивность сохранятся Г(г) = 1(f).
85
КОНТРОЛЬНЫЕ
ВОПРОСЫ
1. Сформулируйте понятие интенсивности вихревой
трубки и циркуляции скорости.
2. Сформулируйте связь между интенсивностью и цир-
куляцией.
3. Раскройте физический смысл кинематической теоре-
мы о вихрях и объясните возможные формы существо-
вания вихрей в природе, как следствие этой теоремы.
4. Поясните формулу Био - Савара для индуцируемой
скорости.
ЗАДАЧА
Угловые скорости в ядре вихря радиуса г0 постоян-
ны и равны (о. Определите интенсивность вихря и цир-
куляцию скорости по периметру ядра вихря; Рассчитай-
те с помощью интеграла Эйлера скорость и давление на
границе ядра вихря, приняв, что на бесконечности жид-
кость покоится.
О А
1IА
БЕЗВИХРЕВЫЕ (ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ) ТЕЧЕНИЯ
ЖИДКОСТИ
6.1. Постановка задачи о безвихревом течении жидкости
Безвихревым, или потенциальным, называют такое течение жидкости,
в котором отсутствуют угловые скорости, а сама скорость й выражается че-
рез потенциал (р, согласно зависимости
й = gradcp . (6.1)
В декартовой системе координат связь проекций скоростей с потенциа-
лом ср, согласно (6.1), такова:
Зф а<р бф
иу -—; иЛ =— и7 =—. (6.2)
Проекция скорости на произвольное направление I
Из последних формул легко установить, что размерность потенциала
скорости - м2/с.
При безвихревом течении решение гидродинамических задач суще-
ственно упрощается. Действительно, вместо того, чтобы определять, как в
общем случае, три проекции скорости их,, и uz, каждая из которых зави-
сит от трех координат х, у, z и времени /, при безвихревом течении требует-
ся найти только одну функцию - потенциал скорости ф(х, у, z, г); проекции
скоростей находятся затем дифференцированием потенциала по коорди-
натам. Если потенциал скорости известен, то для вычисления давления
можно использовать интегралы Лагранжа или при установившемся тече-
нии - интеграл Эйлера.
Выведем уравнение, которому удовлетворяет потенциал скорости; для
этого подставим значение скорости в уравнение неразрывности
87
divw = divgrad(p = Аф = 0,
где A - оператор Лапласа.
В случае декартовой системы координат имеем
(6.4)
Это - уравнение Лапласа.
Рассмотрим некоторые свойства потенциальных течений. Вычислим
циркуляцию скорости по произвольному замкнутому контуру в потенциаль-
ном потоке. Для этого в выражение Г подставим значения проекций скорос-
ти, выраженные через потенциал
Если потенциал скорости — однозначная функция от координат, то при
обходе по любому замкнутому контуру циркуляция скорости
Г = ф<Ар = (Ф5-(рл)в^л=0. (6.5)
L
В гидромеханике часто приходится встречаться с потоками, в отдельных
областях которых движение вихревое, а вне этих областей - движение без-
вихревое; в таких потоках циркуляция скорости по некоторым контурам от-
лична от нуля. Исследование подобных потоков, вообще говоря, должно
производиться на основе общих методов, т.е. с определением трех проекций
скорости мх, и?,, uz. Однако для упрощения расчетов при рассмотрении этих
потоков можно ввести многозначный потенциал скорости. При обходе по
замкнутым контурам областей, содержащих вихри, потенциал не однозна-
чен, т. е.
Г = 1рф = (Фз - <рА)в^А * 0 .
L
Подобные течения жидкости называются циркуляционными безвихревы-
ми движениями.
Решение уравнения Лапласа должно удовлетворять граничным, а при
неустановившемся движении - и начальным условиям. В данной главе ус-
ловимся обозначать потенциал обтекания тела (потенциал обращенного дви-
жения через Ф), а потенциал абсолютного (вызванного движения тела) че-
рез ф. Граничные условия на поверхности S тела для определения потенциала
могут быть представлены в следующем виде:
88
для обтекания тела
сФ
(6.6)
= 0
для абсолютного движения тела
(6.7)
V - нормальная составляющая скорости точки поверхности тела.
Напомним, что эти условия выражают безотрывность обтекания и не-
протекание жидкости через поверхность тела.
Проблема определения потенциала (р из уравнения Лапласа по заданно-
му значению нормальной производной на поверхности тела называется в
математике задачей Неймана. Для тела, движущегося в безграничной жид-
кости, что соответствует внешней задаче Неймана, на функцию ср дополни-
тельно должно быть наложено условие, согласно которому потенциал абсо-
лютного движения должен убывать по мере удаления от тела, стремясь на
бесконечности к нулю, так как жидкость на бесконечности покоится. Мате-
матически оно может быть выражено так:
Функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа, в математике называ-
ются гармоническими. Производные любых порядков по координатам от
гармонической функции также являются гармоническими функциями, т. е.
они удовлетворяют уравнению Лапласа и могут рассматриваться как потен-
циалы скорости некоторых потоков.
Поскольку уравнение Лапласа является линейным, для него справедлив
принцип суперпозиции (наложения) решений. Предположим, что имеется
ряд потенциалов <р^ (к = 1,2, ...), каждый из которых удовлетворяет уравне-
нию Лапласа Аср^ = 0. Составляя функцию
Ф = 2Х
(6.8)
к=\
и подставляя ее в (6.4), найдем, что она также удовлетворяет этому уравне-
нию. Этот метод решения уравнения Лапласа, часто используемый в гидро-
механике, называется методом сложения (наложения) потенциальных пото-
ков. Потенциалы скорости при этом складываются алгебраически, а скорости
йк = gradcp^ - геометрически. Для возможности применения метода наложе-
ния необходимо также, чтобы граничные условия, налагаемые на скорость
на поверхностях, ограничивающих объем, были линейными. Из вида гра-
ничных условий на поверхности тела и твердой стенке вытекает, что это
требование также выполняется.
89
6.2. Обтекание кругового цилиндра. Парадокс Эйлера-
Д’Аламбера. Формула Н.Е. Жуковского
Введем полярную систему координат (г, 0), связанную с декартовой сле-
дующими соотношениями: х = rcos0, у = rsinO. Получим выражение для
потенциала поступательного потока, текущего вдоль положительного на-
правления оси х с постоянной во всех его точках скоростью V , Тогда
Мг = К =---;— (поскольку и.. - — = и = — - 0 ),
' х dx у ду 8z
откуда, интегрируя и отбрасывая несущественную постоянную, получаем
= ^oZcosO.
(6.9)
Используем метод наложения потоков, сложим три простейших по-
тенциала
Ф = Kocrcos0 + -^2^-cos0 + —0. (6.10)
г 2п
Два последних члена в (6.10) удовлетворяют уравнению Лапласа везде,
кроме точки г = 0, в которой они и обусловленные ими скорости обращают-
ся в бесконечность. Такие точки имеют название особых; при анализе ре-
альных потоков жидкости они должны быть исключены из физического рас-
смотрения. Физический смысл второго и третьего слагаемого в (6.10) будет
проанализирован в дальнейшем.
Покажем, что потенциал (6.10) соответствует обтеканию неподвижного
кругового цилиндра радиусом г0 потоком, имеющим на бесконечности ско-
рость V^. Для этого достаточно показать, что во всех точках цилиндра г = г0
радиальная составляющая скорости иг равна нормальной составляющей ско-
рости ип и нулю, т. е. на поверхности цилиндра выполняется условие непро-
текания
и
= Kxcos0~—y^-COS0
о
о
= = 0 ,
'()
Поскольку уравнение цилиндра г = из (6.11) видно, что и
т. е. на цилиндре выполняется граничное условие непротекания. Касатель-
ная составляющая скорости потенциала Ф, равная производной по дуге
91 = <Э(г0) = ш0, равна
ЭФ
гл X
= sin 0 —^^-sin 0 н-
г2 2пг
(6.12)
Из этих формул следует, что они характеризуют обтекание кругового
цилиндра (радиуса - г0) с циркуляцией Г (рис. 6.1).
90
Рис. 6.1. Обтекание кругового цилиндра
при различных значениях циркуляции
При этом член K/’COsO = представляет потенциал обтекания цилин-
^,г02 .
дра поступательным потоком, член - и cos0 характеризует вызванный по-
г
тенциал, обусловленный обтеканием цилиндра при отсутствии циркуляции
Г
Г = 0, а член —0 - потенциал циркуляционного потока. Последний член в
2л
правой части (6.12) соответствует уже известной ранее скорости от циркуля-
ционного потока. Запишем еще раз выражения для проекции скорости при
обтекании цилиндра
(6.13)
Видно, что всюду в области течения вне цилиндра г > г0 скорости конеч-
ны, т. е. особые точки в потоке отсутствуют. На поверхности цилиндра (г = г0)
проекции скорости будут равны
и = 0; ^ = -2^8410 +-----. (6.14)
2лг0
Знак «минус» в (6.14) свидетельствует о том, что направление касатель-
ной скорости противоположно положительному направлению отсчета угла 0
(против часовой стрелки).
Исследуем картину линий тока при обтекании цилиндра с циркуляцией,
для чего найдем положение критических точек на цилиндре, характеризуе-
мых полярным углом 0^, приравняв = и = 0. Из (6.14) получим
91
sin 0 л =------.
4лгпК
(6.15)
В зависимости от величины циркуляции Г возможны следующие вари-
анты расположения критических точек:
1) Г = 0; sinO^ = 0, 0^2 = 0, = тг — при бесциркуляционном обтекании кри-
тические точки располагаются на концах горизонтального диаметра ци-
линдра, как показано на рис. 6.1, а;
2) -------< 1, sin0£ < 1. Решение уравнения в этом случае дает две лежа-
471^
щие на цилиндре критические точки, определяемые углами 0^ и 0^. Эти
точки симметричны относительно вертикального диаметра. На рис. 6.16
изображена соответствующая этому случаю картина течения при
Г = 271^^, 0^ = 5л/6, Qk2 = л/6;
3) Г = 4лг0Ка:, sin0£= 1, 0£, =0^2 = л/2. В этом случае критические точки
сливаются в одну, которая расположена на верхнем конце вертикального
диаметра цилиндра; картина течения при этом показана на рис. 6.1, в;
4) Г > sin0£> 1- Тригонометрическое уравнение при этом условии
не имеет решения. Физически это означает, что критические точки на
цилиндре отсутствуют - они переместились в области вне и внутри ци-
линдра, как показано на рис. 6.1, г. В зоне около цилиндра (заштрихова-
на на рис. 6.1, г) жидкость совершает замкнутое круговое движение.
Следует отметить, что смещение критических точек при наложении цир-
куляции наблюдается и в случае обтекания произвольного профиля. Заме-
тим, что при обтекании цилиндра потоком вязкой жидкости циркуляция Г
может быть создана вращением цилиндра вокруг оси. В зависимости от уг-
ловой скорости вращения могут наблюдаться 2-й, 3-й и 4-й варианты опи-
санных выше течений.
Рассмотрим более подробно наиболее интересный случай, когда
Г < Из формулы (6.14) для скорости на поверхности цилиндра вид-
но, что скорости в точках на верхней части цилиндра
= - ZJ^sind
О
(6.16а)
а в точках на нижней части цилиндра
2PL sin0
г/н
(6.166)
Отсюда следует, что в симметричных относительно горизонтальной оси
точках скорости на нижней части цилиндра больше, чем на верхней стороне
и > ив. Следовательно, на основании интеграла Эйлера р < р , т.е. давления на
нижней части цилиндра больше, чем на верхней. Суммируясь по поверхности
тела, эти давления приводят к появлению вертикальной силы. Вычислим
92
составляющие гидродинамической реакции на оси координат: Rx - силу сопро-
тивления и Ry - вертикальную силу. К элементу поверхности dS = где
1 - образующая цилиндра единичной высоты, приложено избыточное гидроди-
намическое давление (р -р^. Элементарная сила давления
dR - -(р - р^ )ndS.
Знак «минус» показывает, что dR направлена против внешней нормали,
совпадающей с направлением оси г. Проекции силы на оси координат
dRx = - (р - p^cos(n,x)dS = - (р -/^rQCOsOdO;
dRy = -(Р~ Pjcos(n,y)dS = -(р -pJrtfimQdQ.
Отсюда, используя выражение для коэффициента давления, получаем:
р^2 2г
n _ г г 00 I
Г0 т J
2 О
рИ2 2г
п _ „ нгоо Г
Ry - ~г0 J
о
Определим коэффициент давления. Поскольку на поверхности цилинд-
(6.17)
ра имеются только касательные скорости, вместо и следует использовать
выражение для (6.14)
= (1 -4sin2 0)-4
п Г . п
+ 2-------sin 0.
ЯГ0Гоо
Для частного случая безциркуляционного течения (Г = 0) коэффициент
давления определится как
р = 1 - 4sin20.
Рис. 6.2. Распределение коэффициента
давления по верхней половине кругового
цилиндра при безциркуляционном течении
93
Из рис.6.2 видно, что отрицательные избыточные давления (р < 0) зна-
чительно превосходят по величине положительные. Этим, в частности, объяс-
няется то, что под действием ветра сооружения (например, кровля крыши),
как правило, не продавливаются, а выпучиваются.
Подставляя выражение р при циркуляционном обтекании в формулу
для 2? , после вычислений находим
R_ = 0. (6.17я)
Напомним, что обтекание тела с постоянной скоростью согласно прин-
ципу обращения движения, эквивалентно поступательному движению это-
го тела в потоке с этой же скоростью.
Итак, при поступательном равномерном движении кругового цилиндра
в безграничной невязкой жидкости сопротивление Rx его движению равно
нулю. Это положение распространяется и на движение тела произвольной
формы, происходящее в тех же условиях. Впервые па подобный факт указа-
ли Эйлер и Д’Аламбер. Этот вывод противоречит реально наблюдаемым
явлениям при движении тел в жидкости, всегда происходящим с сопротив-
лением; поэтому он получил название парадокса Эйлера-Д’Аламбера. Прин-
ципиальное значение этого парадокса велико, поскольку он позволяет выя-
вить факторы, влияющие на возникновение силы сопротивления при
движении тел в жидкости. При отказе хотя бы от одного условия, при кото-
ром был получен парадокс Эйлера-Д’Аламбера, на теле возникает сила со-
противления. Итак, причину возникновения силы сопротивления нужно ис-
кать в отказе от следующих допущений:
- о безграничности жидкости (влияние свободной взволнованной по-
верхности);
- о невязкости жидкости (влияние вязкости);
- о постоянстве скорости тела (движение тела с ускорением);
- о трехмерном характере обтекания при наличии сходящих с тела (крыла)
так называемых свободных вихрей.
Влияние всех этих факторов на возникновение силы сопротивления бу-
дет рассмотрено в дальнейшем.
Для подъемной силы R получим следующее выражение:
Ry = - р^г-1. (6.176)
Таким образом, вертикальная сила пропорциональна плотности жидко-
сти, скорости набегающего потока и циркуляции. Ее направление перпенди-
кулярно скорости набегающего потока. Чтобы определить это направление,
нужно, как следует из рис 6.1,6, повернуть вектор скорости набегающего
потока на 90° против циркуляции.
Результат, выражаемый формулой (6.17,6), составляет содержание тео-
ремы Н.Е. Жуковского о подъемной силе профиля, которая здесь доказана
для частного случая. В дальнейшем будет рассмотрено ее доказательство
для более общего случая.
94
Из предыдущего следует, что на всяком вращающемся теле, обтекаемом
вязкой жидкостью под углом к его оси вращения, будет возникать подъем-
ная сила. Данное явление называется эффектом Магнуса. Этот эффект
проявляется при полете вращающегося снаряда. При вращении цилиндра в
вязкой жидкости с угловой скоростью Qo в силу условия прилипания ско-
рость на его поверхности и = Q()r0, а циркуляция скорости равна Г = 2лг0О0г0.
Тогда для модуля силы Жуковского справедливо выражение
Лу, | = р2тс r02 Qo 1.
Из этой формулы видно, что даже при относительно малой величине ско-
рости Vy (равной скорости движения цилиндра Ко) при увеличении угловой
скорости вращения цилиндра Q() можно обеспечить достаточно большие
значения величины силы Жуковского. Этот эффект используется в работе
подруливающих устройств и аппаратов, движущихся с весьма малыми ско-
ростями Ио, в целях обеспечения их маневренности и управляемости.
6.3. Использование комплексных переменных
для исследования плоских потенциальных потоков
Для всякого плоского течения жидкости согласно выводам §3.6 суще-
дх\г
ствует функция тока \|/. Подставляя значения их = —, иу = --^— в выраже-
ние для угловой скорости вращения частицы жидкости получаем урав-
нение, которому удовлетворяет функция тока
или
(6.18)
Это уравнение, содержащее заданную функцию оу, называется уравне-
нием Пуассона.
Предположим, что плоское течение жидкости - безвихревое, т.е. coz = 0.
В этом случае уравнение (6.18) превращается в уравнение Лапласа для фун-
кции тока
a2v а2\|/
Ду = —4+^г = °-
дх2 ду2
Потенциал скорости также удовлетворяет уравнению Лапласа
а2<р <э2ф
А<р = —у + —у = 0.
дх2 ду~
95
Следовательно, <р и \|/ в плоском потоке являются гармоническими фун-
кциями. Сопоставляя равенства для проекций скоростей, убеждаемся, что
функции (р и \|/ для плоского потока связаны между собой следующим об-
разом:
(6.20)
Эти равенства и свойство гармоничности представляют известные в тео-
рии функции комплексного переменного условия Коши-Римана. Согласно
этим условиям функции ф и \|/ можно рассматривать не раздельно в области
изменения действительных переменных х и у, а как комплексную комбина-
цию в плоскости комплексного переменного z = х + iy, i = V-l . Функция
w(z) = Ф(х, у) + i\y(x, у), i = ,
(6.21)
действительная часть которой представляет собой потенциал, а коэффици-
ент при мнимой части - функцию тока, называется характеристической фун-
кцией плоского безвихревого потока; w(z) также называют иногда комплек-
сным потенциалом. Для неустановившихся потоков w может зависеть от
времени t как параметра.
Таким образом, плоский безвихревой поток жидкости может быть оха-
рактеризован либо функциями <р(х, у) и функциями у(х, у) двух независи-
мых действительных переменных х и у, либо комплексной функцией w(z)
одного независимого комплексного переменного z. Очевидно, что исследо-
вание функции одного независимого переменного много проще, чем функ-
ции двух независимых переменных. Введение характеристической функции
позволяет использовать для решения плоской задачи гидромеханики эффек-
тивный аппарат функций комплексного переменного.
Условия Коши-Римана выражают собой свойство аналитичности (регу-
лярности) функции комплексного переменного w(z), согласно которому, про-
изводная
dw dw dw z.
---------- — =-. (6.22)
dz-----------------------------------дх d(iy)
Используя для ее вычисления (6.21), получаем выражение производной
через проекции скоростей
dw dw д .
= 7“ = ^“(ф + zv) = и - iu .
dz ex ox x У
(6.23)
dw
Величина —
называется комплексной скоростью. Установим соотно-
шение между действительной и комплексной скоростью. Известно, что лю-
бое комплексное число может быть представлено как двухмерный вектор;
при этом умножение на i = V-1 соответствует повороту на угол л/2 против
96
часовой стрелки. В силу этого вектор действительной скорости й с проек-
циями и и и в комплексном виде может быть представлен так:
х у
и = и + iu.
Л у
(6.23а)
Сравнивая, видим, что у вектора комплексной и действительной скорос-
ти одинаковые вещественные и разные по знаку мнимые части. На рис. 6.3
_ dw
показаны векторы и и —.
az
Характеристическая функция w(z) определена с точностью до произволь-
ного постоянного слагаемого. Эта постоянная не играет важной роли, так -
как интерес представляют только проекции скорости, определяемые диффе-
ренцированием w по координате. Без ограничения общности произвольную
постоянную, входящую в характеристическую функцию, можно положить
равной нулю. Часто комплексное переменное z выражают через полярные
координаты г, 0 и используют формулу Эйлера
z = х + iy = rcosO + zrsinO - rez0,
(6.24)
где г —
Так как (р и \|/ удовлетворяют уравнению Лапласа, при их определении
можно исходить из принципа наложения потоков. Поскольку характеристи-
ческая функция w(z) = ср + i\\j является линейной комбинацией от функций ф
и ф, то можно складывать характеристические функции, а также комплекс-
ные скорости плоских потоков жидкости.
Таким образом, любая аналитическая функция w(z) комплексного пере-
менного может характеризовать некоторый потенциальный поток жидкости.
Ниже будут рассмотрены некоторые функции комплексного переменного,
характеризующие простейшие плоские потоки, которые находят широкое
применение при использовании метода наложения.
4 Зак 4042
97
Однородный поток. Рассмотрим характеристическую функцию
w(z) = V^e iaz = F^cosa - zsina)z. (6.25)
Находим комплексную скорость:
dw
— = и- iu = V cosa - i V sina = К e~ia. (6.26)
Отсюда следует, что (6.25) описывает однородный поступательный по-
ток, текущий с постоянной скоростью под углом ос к положительному
направлению оси х. В случае потока, текущего вдоль оси х. w(z) = V^z.
Плоский источник и сток. Рассмотрим функцию и’ = dnz, причем а > 0.
Определим потенциал и функцию тока течения, для чего выделим веществен-
ную и мнимую части этой функции
w = а\пге1® - а(1пг + /0),
откуда получим
Ф = tzlnr, ф = ад.
Чтобы установить картину линий тока, приравняем функцию тока по-
стоянной величине
ф = ад = С1 или 0 = С.
Линии тока 0 = С в полярных координатах представляют собой пучок пря-
мых, проходящих через начало координат. Определим проекции скорости
иг
5ф _ а
дг г ’
Рис. 6.4. Картина линий тока около источника
Картина линий тока показана на рис. 6.4, из которого видно, что жид-
кость истекает радиально во все стороны из одной точки - начала коорди-
нат, которая называется плоским источником. Видно, что при г —> со, w —> 0,
причем убывание скорости обратно пропорционально первой степени от-
стояния от центра источника.
98
Выясним физический смысл постоянной а. для чего определим расход
жидкости Q через цилиндрическую поверхность единичной высоты в фор-
ме произвольной замкнутой кривой £, охватывающей центр источника. На
основании § 3.6 получим выражение
Q = (Уд - УДв = а(Вв - ер = 2па или а=^-,
т. е. постоянная а пропорциональна расходу жидкости £/2я, вытекающе-
му из источника. Таким образом, характеристическая функция плоского
источника
w - -^=-lnz.
2 л
(6.27)
Случай стока (движение жидкости по радиусам к центру) получается
при замене в предыдущих формулах расхода Q на - Q. При расположении
источника в точке с координатой zx характеристическая функция течения
2 1 z
w = ln(z - Zj). (6.27а)
2л
В центре источника и стока при г -» О скорость и -> оо. Точки потока, в
которых скорость обращается в бесконечность, напомним, называются осо-
быми точками. Бесконечные скорости в жидкости физически не могут иметь
места; на основании этого особые точки потока должны быть исключены из
рассмотрения. Поэтому функция (6.27) физически правильно описывает яв-
ление истечения жидкости лишь на некотором удалении от особой точки -
центра источника.
Подобные приемы описания реальных физических процессов сравни-
тельно простыми функциями, имеющими особые точки, применяются во
многих отраслях механики.
Плоский циркуляционный поток. Рассмотрим характеристическую
функцию
W-— Inz, (6.28)
i
где постоянная b > 0. Выделив в этом выражении потенциал и функцию тока
w = ф + /ф = — 1п(ге/0) = 60 - zlnr,
/
получим ф = 60, ф = - 1пг.
Находим картину линий тока ф = - Inr = - In С, откуда следует, что г = С.
Таким образом, линии тока представляют семейство концентрических ок-
ружностей с центром в начале координат (рис. 6.5).
99
Рис. 6.5. Картина линий тока
около плоского вихря
Найдем проекции скорости в полярной системе координат:
Как видно из картины линий тока, частицы жидкости движутся по кон-
центрическим окружностям СО скоростями и = Uq = b/r. Выясним физичес-
кий смысл постоянной Z?, для чего определим циркуляцию скорости Г по
любому замкнутому контуру L, охватывающему начало координат.
^-dy = рф = (фя - фл) = (0g - 0А)Ь = 2тгЬ,
откуда следует, что
Ь =
С учетом этого характеристическая функция плоского циркуляционного
потока примет вид
w =-----In z
2ти
а модуль скорости в произвольной точке жидкости
Г 1
и =----.
2л г
(6-29)
(6.30)
Отсюда видно, что точка г = 0 является особой точкой потока.
Из предыдущего следует, что циркуляция скорости по замкнутому кон-
туру, охватывающему особую точку, отлична от нуля, так как потенциал
рассматриваемого потока многозначный. Физически этот случай, соглас-
но теореме Стокса, соответствует наличию в особой точке вихревой нити
100
с циркуляцией Г. Поэтому иногда это течение называют плоским вихрем. Вне
вихревой нити течение жидкости потенциальное.
Если особая точка (вихревая нить) расположена в точке с координатой
zp то характеристическая функция потока
Г . ,
w ln(z-z,).
2т
Плоский диполь. Расположим слева от начала координат на расстоянии
Дх/2 источник с интенсивностью Q. а справа на том же расстоянии - сток с
той же интенсивностью -Q. Сложим эти два потенциальных потока
w = — In
2л
Умножим и разделим правую часть этого выражения на Дх - расстояние
между источником и стоком и совершим предельный переход при Дх 0.
г 0Дх М
Будем считать, что нт —— = —— = const, т. е. при сближении источника и
Лх-»о 2л 2л
стока величина М остается постоянной. Получим
w =
2Дх
пт ——
Дх—>0 2л
lim
Дх->0
По определению второй предел в правой части этого выражения есть
д 1 d . 1
— In z = — In z = — , с учетом чего получим
дх dz z
М 1
w =--
2л z
(6.31)
Это течение называется плоским диполем. Величина М- момент дипо-
ля. Направление от стока к источнику - направление оси диполя. В приве-
денном случае ось диполя направлена в сторону отрицательной оси х.
Характеристическая функция диполя с осью, образующей угол а с отри-
цательным направлением оси х, представится в виде
w =
2л z
(6.3 U)
Все исследованные выше потоки, содержащие особые точки, называют-
ся течениями с гидродинамическими особенностями. Эти потоки использу-
ются в методе наложения для исследования обтекания цилиндрических тел.
Обтекание кругового цилиндра. В качестве еще одного применения
метода наложения рассмотрим поток, получаемый сложением характерис-
тических функций поступательного потока, текущего вдоль оси х (полагая
а = 0), диполя с осью, направленной вдоль отрицательной оси х и циркуля-
ционного потока с центром в начале координат (рис. 6.1, ар.
101
Величины V^, М и Г считаются заданными постоянными. Выделяя в по-
лярных координатах потенциал и функцию тока, получаем
sin0----In г.
2л
Вычислим радиальную составляющую скорости рассматриваемого по-
тока:
Нормальная скорость на поверхности цилиндра радиуса г0 обращается в
нуль, если -------- = 0, откуда М = 2л rn2 V . Подставляя это значение мо-
2лг0
мента диполя в выражение для w, получаем характеристическую функцию
обтекания цилиндра с циркуляцией:
(6.32)
Естественно, выражение для потенциала совпадает с ранее полученным
значением.
Используя ранее приведенные зависимости, получаем характеристичес-
кую функцию циркуляционного обтекания кругового цилиндра под произ-
вольным углом а к положительному направлению оси х с циркуляцией Г:
ze~in
z
---Inz.
2ni
(6.33)
6.4. Метод конформных отображений для решения плоских
потенциальных задач гидромеханики
Весьма эффективным при решении плоских задач гидромеханики, по-
зволяющим в принципе получить обтекание любого контура, является ме-
тод конформных отображений [6.1, 6.2].
102
Напомним некоторые нужные для дальнейшего особенности конформ-
ного отображения. Пусть z и - две комплексных переменных, связанных
между собой соотношением z -fiQ, называемым отображающей функцией.
Каждой точке комплексной плоскости z соответствует определенная точка
плоскости и наоборот. В этом случае говорят, что функция z совер-
шает взаимно однозначное* конформное отображение области в плоскости
z на область в плоскости и наоборот. Конформным называют отображение
потому, что при нем сохраняются углы между направлениями, проведенны-
ми в плоскостях z = х + iy и = £, + ZT|.
Рис. 6.6. Иллюстрация метода
конформных отображений
Рассмотрим в плоскости z произвольный контур Lz (рис. 6.6); пусть
функция z =У(О реализует отображение внешности контура Lz на внешность
круга в плоскости вспомогательного комплексного переменного При
этом точки вне контура Lz переходят в точки вне контура а сам контур
Lz преобразуется в круг. В свете этого конформное отображение можно
рассматривать как своеобразное преобразование переменных (замену ко-
ординат).
Согласно теории функции комплексного переменного, общий вид функ-
ции, реализующей конформное отображение внешности контура на внеш-
ность круга, можно представить в виде ряда Лорана с комплексными коэф-
фициентами
т2
ГП\
(6.34)
Для определенности отображения достаточно обеспечить соответствие
либо трех точек плоскостей z и либо одной точки плоскостей z и Q и одно-
го произвольно выбранного направления. Определение коэффициентов ms
* Отображение остается однозначным во всех точках, где — 0.
ЮЗ
(s = -l, О, 1, ...) отображающей функции для контура произвольной формы
является весьма трудоемкой математической задачей, которая в настоящее
время успешно решается с помощью ЭВМ.
Прейдем теперь к гидродинамической интерпретации идеи конформно-
го отображения. Пусть контур Lz (см. рис. 6.6) в плоскости физического пе-
ременного z = х + [у обтекается потоком, имеющим на бесконечности ско-
рость V^z. Угол между V^z и х обозначим через а2. Функция z =flQ реализует
отображение внешности области контура Lz на внешность круга радиуса г0 в
плоскости (^. В дальнейшем для краткости термин «обтекание кругового ци-
линдра» будем заменять термином «обтекание круга». Круг на плоскости Q
обтекается потоком, имеющим скорость на бесконечности под углом а,,.
Для однозначности отображения потребуем, чтобы бесконечно удаленная
точка плоскости z переходила в бесконечно удаленную точку плоскости Q и
чтобы направление скорости V^z совпадало с направлением скорости
При этом углы, образуемые векторами скоростей с вещественными осями,
будут одинаковыми: а2 = о^ = а.
Обозначим циркуляции в потоке вне контура и круга через Гг и Г^. Пусть
искомая характеристическая функция обтекания контура Lz:
w(z) = ф(х, у) + i\y(x, у).
6.35)
На контуре Lz значение \y(z) постоянно. Подставляя в (6.35) отображаю-
щую функцию z т. е. совершая замену переменного, получаем следу-
ющее выражение:
w(z) = w[/(Q] - Ф(^ Т|) + П)>
(6.36)
согласно которому, в соответствующих точках плоскости z и значения vv(z)
и w(Q одинаковы. Контур Lz. являющийся линией тока течения, при конформ-
ном отображении переходит в контур круга, причем функция тока ф на кру-
ге сохраняет постоянное значение; иными словами, контур круга также яв-
ляется линией тока. Таким образом, течение вне контура Lz переходит в
течение вне круга. Характеристическая функция (6.33) циркуляционного
обтекания круга известна:
Г>
+ ——Ing.
2 л/
Это равенство определяет характеристическую функцию обтекания кон-
тура Lz через переменную причем z =XQ- Подобный способ задания фун-
кции называется параметрическим. Итак, решение задачи обтекания кон-
тура Lz дается параметрическими зависимостями
(6.37)
z = /(<;)
104
В некоторых простейших случаях уравнение отображающей функции
можно разрешить относительно переменной получив зависимость £ = O(z).
Тогда, подставляя Q = Ф(г) в выражение для w(Q, можно выразить харак-
теристическую функцию обтекания контура Lz через z:
W(Q = w[O(z)]=K^ Ф(Де-'а
Г° е‘а +—1пФ(г
Для возможности использования полученных зависимостей необходимо
найти следующие неизвестные, входящие в выражение w(Q: и г0.
При определении г0 исходят из геометрических свойств конформного ото-
бражения. Заметим, что в ряде случаев выгодно производить отображение
на круг единичного радиуса.
Установим связь между комплексными скоростями потоков в плоскостях z
и Использовав правило дифференцирования сложной функции, получим
dw dw de, _ dw! dq
dz dq dz dz/do, '
(6.38)
dw dw
где —— - комплексная скорость в плоскости контура; числитель , пред-
dz
dz
ставляет комплексную скорость в плоскости круга, а знаменатель ~ про-
Оф
изводную отображающей функции. Формула (6.38) используется для прак-
тических вычислений, поскольку обычно интерес представляет не сама
характеристическая функция w(z), а скорости и определяемые с помощью
интеграла Эйлера давления. Применим эту формулу для точки в бесконеч-
ности z = оо; = оо. Учитывая, что комплексная скорость на бесконечности
ту — ia
— V е
а производная отображающей функции, которая, согласно (6.34), равна
и в бесконечности представится как
получим
-ia
г
ooz
т_\
V
V
ИЛИ rooz -
т_\
(6.39)
Поскольку и V^z- вещественные, коэффициент т_р как следует из
равенства (6.39), должен также быть вещественной величиной. Остальные
коэффициенты т0, т2 отображающей функции в общем случае - вели-
чины комплексные.
105
Установим связь между циркуляциями Г), и Г2 в обеих плоскостях. Цир-
куляция по произвольному контуру Lz (см. рис. 6.6) и L,-
= ф(гв)-ф(хл) • Г = ф(<;в)-ф(^)’ .
ZB ZA ~^ZB~ZA
В сходственных точках значения потенциалов cp(z) и ф(^) одинаковы,
поэтому
Г2 = Г; = Г, (6.40)
т. е. при конформном отображении циркуляция не изменяется. Аналогично
можно показать, что расход источника при конформном отображении не из-
меняется. Метод конформных отображений находит широкое применение
для решения плоских безвихревых задач гидромеханики.
6.5. Простейшие пространственные потенциальные потоки
В 6.3 были найдены простейшие плоские потенциальные течения, по-
зволяющие эфективно использовать метод наложения течений для расчета
обтекания плоских контуров. Для большинства простейших плоских тече-
ний существуют их пространственные аналоги.
Плоский поступательный поток. Потенциал поступательного потока,
текущего вдоль положительного направления оси х со скоростью выра-
зится аналогично зависимости (6.9):
<?пп = V^-
Пространственный источник. Исследуем течение, потенциал которо-
го задан в виде
где А > 0 - постоянная.
Эта функция является, как показывается в математике, фундаменталь-
ным решением уравнения Лапласа в пространственном случае. Определим
проекции скорости на оси сферической системы координат, учтя при этом,
что ф зависит только от сферической координаты г:
_ 5ср _ <7ср _ А
r 8г dr г2
Поскольку в рассматриваемом течении имеются лишь радиальные ско-
рости, линиями тока являются прямые, исходящие из начала координат. Оп-
ределим физический смысл постоянной Л, для чего вычислим расход жид-
кости Q через сферическую поверхность S радиуса R. Нормаль к поверхности
сферы совпадает с направлением радиуса г, т.е. и„ = и, следовательно,
f г f
106
где dS = R2d£l - элемент поверхности; Q - телесный угол.
С учетом полученного результата выражение для потенциала скорости ср
можно переписать в виде
(6-41)
Течение, при котором жидкость растекается из точки радиально во все
стороны, называется пространственным источником (рис. 6.7).
Рис. 6.7. Пространственный
источник
Величина Q называется интенсивностью (мощностью) источника. Мо-
дуль скорости от пространственного источника
(6-42)
Из последних формул следует, что при г -> 0, и оо, т.е. центр источни-
ка является особой точкой потока. При г —> со скорости, вызванные источни-
ком, стремятся к нулю обратно пропорционально квадрату радиуса.
Вводя цилиндрическую систему координатх, р, 0(у = pcos0,z = psin0),
выражение для потенциала источника можно представить в виде
(6.43)
Случай стока, при котором происходит радиальное втекание жидкости в
особую точку, получается изменением знака перед Q.
Фс
Q_=Q.
4лг 4л
Q 1
4 я х2 + р2
(6.44)
107
Пространственный диполь. Сложим потенциалы источника интен-
сивности Q. расположенного слева от начала координат на расстоянии
Дх, и стока, размещенного справа на том же расстоянии, и совершим пре-
дельный переход при 2Дх 0. При этом числитель и знаменатель умно-
жим и разделим на расстояние 2Ах между источником и стоком. Будем
иметь
Будем считать, что lim (Q2Ах) = М= const, т.е. при сближении источ-
2Дх—>0
ника и стока произведение их интенсивности на расстояние между ними все
время остается постоянным. Выражение в фигурных скобках по определе-
д 1
нию есть частная производная — функции . Выполнив диффе-
Sx ^х2+р2
ренцирование, получим выражение для потенциала этого течения:
М х
4 Л ( 2 , 2\3/2
IX + р I
(6.45)
Этот поток называется пространственным диполем, а величина М-мо-
ментом диполя. Направление от стока к источнику является направлением
оси диполя. В данном случае ось диполя направлена в сторону отрицатель-
ной оси х.
Ниже показано, как методом наложения приведенных выше течений мож-
но исследовать обтекание простейших трехмерных тел.
Обтекание овоида вращения. Расположим на оси х слева от начала ко-
ординат на расстоянии с?и источник с интенсивностью Q. а справа на том же
расстоянии (7С - сток с той же интенсивностью (рис. 6.8).
|Р
Овоид L: D - 4
Рис. 6.8. Схема обтекания овоида
вращения
108
Наложим на это течение поступательный поток фпп. Суммарный потен-
циал обтекания этой системы будет
Проведем качественное исследование этого потенциала. Покажем, что
при а = ап = <7 на оси х в точках = - L/2 и х2 = L/2 скорости потока равны
нулю, т. е. эти точки являются критическими точками потока. Действитель-
но, вычислим в этих точках скорость их. учтя, что в этих точках при р = О
радиальная составляющая скорости отсутствует. Имеем
(6-47)
Из этого выражения видно,
что при значениях интенсивности
(а2-!2/4)2 (6.48)
0 = 47^^—--------
2La
скорость их в точке Xj равна нулю. Аналогично доказывается, что в точке
х2 = L/2 их2 = 0.
В критических точках поток ветвится, образуя часть нулевой линии тока,
она представлена в плоскости меридионального сечения хг на рис. 6.8. Вра-
щая эту линию тока вдоль оси х, получим поверхность тока. Вспоминая, что
любую поверхность тока можно заменить твердой стенкой, приходим к выво-
ду о том, что потенциал (6.46) характеризует обтекание тела вращения, назы-
ваемого овоидом. Из изложенного следует, что помещенные в равномерный
поступательный поток источник и сток трансформируют картину линий тока
таким образом, что часть нулевой линии тока образует замкнутый овоид, ко-
торый можно заменить твердой стенкой. В этом смысле можно говорить о
том, что тело заменяется системой источника и стока. Интенсивности Q ис-
точника и стока, формирующие обвод тела, удовлетворяют условию (6.48).
Заметим, что для получения замкнутого обвода суммарная интенсивность ис-
точника и стока, как это было выше принято, должна быть равна нулю. Длина
овоида L равна расстоянию между критическими точками.
Для определения неизвестных = ас = а используют то обстоятельство,
что при х = 0, р = DI2 радиальная компонента скорости и равна нулю. При
этом D представляет собой диаметр овоида вращения.
Обтекание полутела вращения. Этот случай получим путем предель-
ного перехода из выражения для потенциала обтекания овоида, положив в
нем = 0 (источник расположим в начале координат) и устремив сток в
бесконечность ас -> оо (рис. 6.9).
109
Рис. 6.9. Схема обтекания полутела
вращения
Из (6.41) видно, что третий член обращается в нуль, и потенциал обтека-
ния полутела вращения запишется в виде
(6.49)
Величина интенсивности Q может быть найдена из условия, что при р = О,
х = хк на полутеле имеется критическая точка
=0. , __ е
(6.50)
Уравнение обвода полутела может быть получено интегрированием диф-
, dx dp
ференциального уравнения линий тока — = — . Произведя выкладки, бу-
их ио
дем окончательно иметь н
(6.51)
В этой формуле - радиус полутела при х оо, когда его обвод асимп-
тотически приближается к обводу кругового цилиндра.
Из формулы (6.51) и уравнения обвода можно получить выражение для
интенсивности источника Q. формирующего обвод полутела вращения
' г2.
ОО zoo
(6.52)
На рис. 6.9 приведен обвод полутела вращения и распределение по нему
коэффициента давления
В связи с рассмотренным обтеканием полутела вращения отметим два
интересных практических вывода:
110
1) носовая часть полутела вращения достаточно хорошо аппроксими-
рует (заменяет) носовые части реальных обводов тел большого от-
носительного удлинения (L/D > 10 4- 15), используемых в подводной
технике;
2) максимальный коэффициент разрежения Рм находится в носовой части
полутела.
Обтекание сферы. Сложим поступательный поток и поток от диполя.
Перейдем к сферическим координатам
cos а.
Вычислим радиальную составляющую скорости этого потока:
и
оо
cos а.
Уравнение сферы в сферических координатах г = 7?0. Если момент диполя
м = — 4тгГ00/?^
2 00 U 9
то радиальная составляющая иг на сфере 7?0, совпадающая с нормальной
составляющей скорости ил, обратится в нуль, т. е. на сфере будет выполнено
условие непротекания. Подставляя М в выражение для Ф, получаем потен-
циал обтекания сферы
оо
0_
2
cos а .
(6.53)
Найдем касательную составляющую скорости на сфере
sin а
= -1,5^ sin а;
(6.54)
Коэффициент давления на сфере
2
(6.55)
Из сравнения этих зависимостей с соответствующими выражения-
ми для кругового цилиндра видно, что сфера вносит значительно мень-
ше возмущений в поток, чем цилиндр. Этот частный вывод справедлив
и в более общих случаях: тело вращения возмущает течение в меньшей
степени, нежели симметричный профиль с той же формой поперечного
сечения.
111
Осесимметричное обтекание тел вращения. Метод наложения пото-
ков можно развить далее, рассмотрев вместо точечных гидродинамичес-
ких особенностей (источников) случай линейного распределения источни-
ков и стоков по оси тела. Соответствующие решения для этого случая
приведены в [4]. Там же проанализированы приближенные методы реше-
ния задач об обтекании удлиненных «тонких» тел потенциальным пото-
ком; при этом источники и стоки располагаются на диаметральной плоско-
сти тела.
Наконец, рассмотрен приближенный метод расчета поперечного обтека-
ния удлиненного тела вращения, основанный на его замене плоскими дипо-
лями, размещенными на оси тела. Оси диполя ориентированы против набе-
гающего потока. К настоящему времени все эти методы потеряли свою
ценность, поскольку разработан общий метод расчета обтекания потенци-
альным потоком тела произвольной формы, который излагается в следую-
щем параграфе.
Существуют точные аналитические методы расчета продольного и по-
перечного обтекания эллипсоидов вращения, основанные на применении для
решения уравнения Лапласа эллиптических координат.
Наконец, получено точное решение для потенциального обтекания тре-
хосного эллипсоида. Ценность этих точных аналитических решений заклю-
чается в том, что они могут служить «тестовыми» для проверки численных
решений, полученных с помощью компьютера.
6.6. Метод интегральных уравнений в применении к расчету
потенциального обтекания тел произвольной формы
Распределим по заданной поверхности тела S источники и стоки с неиз-
вестной заранее интенсивностью q(E>, r|, Q (рис. 6.10).
Рис. 6.10. Иллюстрация к выводу
интегрального уравнения (6.60)
112
Размерность [(7] = м/с. Здесь т|, L, - координаты точки поверхности тела.
В соответствии с ранее высказанными предположениями суммарная интен-
сивность источников и стоков должна удовлетворять условию
q(&,r\,c,)dS = 0 .
S
Выделим на поверхности S элементарную площадку dS. Величину qdS
(размерность м3/с) можно трактовать как интенсивность элементарного то-
чечного источника, находящегося в центре этой площадки М. Тогда элемен-
тарный вызванный потенциал 3(р, наводимый этим источником в точке
N{x, у, z) пространства вне тела выразится как
5ф =1 q(&},c,)dS
4 л Rmn
rmn +(у-1})2 +(z-c,)2
(6.56)
Использовав метод наложения потоков для суммарного вызванного по-
тенциала от всей системы источников, получим выражение
(р = (£5ф = -—(£ . (6.57)
| 4л| RMN
В математике этот потенциал называется потенциалом простого слоя.
Потенциал обтекания тела в безграничной жидкости поступательным пото-
ком запишется в виде
(6.58)
Этот потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа, а также граничному
условию на бесконечности. Вычислим производную от Ф по некоторому на-
правлению п в произвольной точке N(x, у, z) вне тела:
(6.59)
Приблизим точку N к точке М на поверхности тела, полагая при этом,
что в пределе при N —> М направление п совпадет с направлением нормали к
поверхности тела в точке М. Воспользуемся условием непротекания
113
Для точки на поверхности тела RMN = 0 и интеграл в (6.59) является не-
собственным. Для его вычисления выделим особую точку М, в которой рас-
положен источник, полусферой S£ малого радиуса 8. По определению несоб-
ственного интеграла
Вычислим второй интеграл по поверхности полусферы, где R^=^,
cos(«, г) = 1, dS = s2dQ (Q - телесный угол):
f<7C0s(«,s) 2
lim -------5----s dCl = 2nq ,
e->0 i 82
В пределе, если 8 -> 0, q стремится к значению в точке М. Используя
полученный результат и подставляя его в условие непротекания, получаем
, ч 1 г cos (л,/?) а
roocos(n,x) + —-------------'+- = 0, (6.60)
471 v rmn 2
где понимается в смысле главного значения.
Уравнение (6.60) служит для определения неизвестной функции q. Оно
относится к типу неоднородных интегральных уравнений Фредгольма 2-го
рода. В математике показывается, что это уравнение имеет единственное
решение для поверхностей с плавными обводами, удовлетворяющими усло-
виям Ляпунова [6.3]. Не вдаваясь в математические подробности, отметим,
что у этих поверхностей в каждой ее точке можно провести лишь одну каса-
тельную плоскость.
Этот метод решения уравнения Лапласа (и других уравнений математи-
ческой физики) получил название метода граничных интегральных уравне-
ний (ГИУ). По сравнению с традиционным методом решения уравнения Лап-
ласа - методом сеток он обладает двумя существенными преимуществами.
Первое заключается в том, что в методе ГИУ по сравнению с трехмер-
ным уравнением Лапласа понижается размерность задачи, которая в методе
ГИУ становится двумерной. Решение задачи разыскивается на поверхности
5, а не во всем обьеме жидкости. Это обстоятельство в значительной степе-
ни сокращает необходимые затраты машинного времени при численном ре-
шении задачи.
Второе преимущество заключается в следующем: при традиционном
методе решения уравнения Лапласа для тела произвольной формы наиболь-
шая трудность связана с выполнением граничного условия на бесконечнос-
ти. Из за этого в сеточных методах приходится выбирать расчетную область
очень больших размеров. В методе ГИУ это граничное условие выполняет-
ся автоматически.
114
При решении уравнения (6.60) должно соблюдаться условие <§>qdS = 0,
обеспечивающее замкнутость объема тела. Это уравнение может решаться
методом последовательных приближений (методом итераций) или панель-
ным методом, сводящимся к замене интеграла конечной суммой. По методу
итераций в качестве нулевого приближения выбирают значение опреде-
ляемое зависимостью
^(°) = - 2Koocos(zz, х). (6.61)
Дальнейшие приближения q® определяются зависимостями
при этом
(6.62)
q = -2^00 cos(/?,x) +
i=\
Сходимость такого метода определения последовательных значений q®
доказана.
По панельному методу интеграл в правой части (6.60) заменяют конеч-
ной суммой. Для этого разбивают поверхность S тела на конечное число т
площадок, называемых панелями, полагая интенсивность источников в пре-
делах каждой площадки постоянной. Тогда для z-той площадки уравнение
(6.60) можно записать в виде
1 COSI /2* /?• J
q, = - 2 K^COS^, х) - -L £ qk-----1 г2’ bSk при i *k, (6.63)
271 fc=i Rik
где \Sk - элементарная площадка (панель); Rik - расстояние от центра рас-
сматриваемой z-той площадки до любой к той, nt - нормаль к соответствую-
щим площадкам.
Потребуем далее, чтобы равенство (6.63), т. е. упрощенное условие не-
протекания, выполнялось поочередно для всех п площадок. В результате
получим систему п линейных алгебраических уравнений для определения
т неизвестных значений qt в отдельных площадках. Коэффициенты этой
системы зависят от геометрии тела. Сходимость метода при возрастании
числа делений поверхности к точному решению интегрального уравнения
доказана. Разбивка поверхности S тела на панели может производиться как
равномерно, так и неравномерно (для повышения точности расчетов в мес-
тах значительной кривизны поверхности). Подготовка коэффициентов сис-
темы и ее решение производится в соответствии с программами, реализуе-
мыми на ЭВМ. Для корпуса судна достаточная точность расчетов достигается
115
при разбивке его подводной части на 400-600 площадок. Процесс последу-
ющего вычисления скоростей, давлений и линий тока также осуществляет-
ся с помощью ЭВМ. На рис. 6.11 представлена картина линий тока на корпу-
се судна, рассчитанная по этому способу.
Рис. 6.11. Картина линий тока
на корпусе судна
6.7. Учет влияния границ потока на обтекание тел
В ряде случаев тело движется в условиях близости свободной взволно-
ванной поверхности или рельефного дна. В общем случае учет влияния этих
границ потока представляет большие трудности. Решение ряда этих задач в
потенциальной постановке приведено в монографиях М.Д. Хаскинда и
А.А. Костюкова [6.4].
В силу вышесказанного ограничимся рассмотрением простейшего слу-
чая движения тела вблизи безграничной плоской стенки, имитирующей дно.
Предполагается, что влияние свободной поверхности жидкости отсутству-
ет. Решение этой простейшей задачи позволяет выявить качественную сто-
рону учета влияния границ потока.
Рассмотрим сначала пространственный источник интенсивностью Q,
расположенный над плоской стенкой на расстоянии h (рис. 6.12).
Рис. 6.12. Иллюстрация метода зеркального
отображения для источника
116
В безграничной жидкости скорости источника направлены по радиусам
и в точках поверхности стенки S их наличие приводило бы к протеканию
жидкости через твердую стенку, как показано на этом рисунке. Но на стенке
должно выполняться условие непротекания, согласно которому нормальная
компонента скорости ип = должна равняться нулю. Легко видеть, что до-
биться выполнения этого условия можно, поместив в точке зеркального ото-
бражения около стенки (г = - /г) фиктивный источник с той же интенсивно-
стью Q. Нормальная компонента скорости от этого фиктивного источника в
точках, соответствующих стенке, будет, как показано на рис. 6.12, компен-
сировать соответствующую компоненту скорости от действительного источ-
ника, т. е. условие непротекания будет выполнено. Касательная компонента
скорости на стенке удвоится. Этот метод учета влияния стенки получил в
гидромеханике название метода зеркальных отображений. Математически
потенциал источника с учетом влияния стенки (рЕ может быть представлен в
виде
где
Фе Фоо + Фоозерк’
(6.64)
- потенциал действительного источника,
а
- потенциал фиктивного источника в точке зеркального отображения.
Ранее было показано, что тело может быть заменено поверхностным рас-
пределением источников с интенсивностью q. Применяя метод зеркальных
отображений для каждого из этих поверхностных источников, можно запи-
сать потенциал обтекания тела с учетом влияния стенки в виде
w 1 X dS 1 г dS
фу = Vx----------фб/-------------ф ----------,
4л Rmn 4л с *м N
S 1VI1N 5зерк
(6.65)
где третий член представляет потенциал вызванных скоростей от фиктивно-
го тела зеркального отображения. В этой формуле RMN и R'/^n соответствен-
но радиус векторы, идущие из точки на поверхности действительного тела и
тела зеркального отображения в точку N(x, у, z) потока, как показано на
рис. 6.13.
117
Рис. 6.13. Иллюстрация метода зеркального отображения
для обтекания тела вблизи твердой стенки
Поскольку 5зерк = S, предыдущую формулу можно переписать в виде
(6.66)
Заметим, что интенсивность q источников, входящих в (6.66) не рав-
на интенсивности источников q соответствующих обтеканию тела в без-
граничной жидкости. Поскольку любая твердая стенка в невязкой жидко-
сти может быть заменена линией (поверхностью) тока, то, как показано
на рис. 6.13, эта задача сводится к обтеканию двух тел - действительно-
го и тела зеркального отображения в безграничной жидкости.
Если теперь удовлетворить условию непротекания на действительном
теле
“ 0, то, как и по аналогии при решении методом, изложенным в
§ 6.6, можно получить интегральное уравнение для определения интенсив-
ности источников q:
q = 2Voocos(zz, х) -
(6.67)
В качестве второго примера рассмотрим обтекание плоского вих-
ря, расположенного над твердой стенкой. Циркуляция действительно-
го вихря принята отрицательной, что, согласно формуле Жуковского
(§ 6.2), соответствует возникновению положительной подъемной силы
Ry. Применяя метод зеркальных отображений, легко показать
(рис. 6.14), что в данном случае в точке зеркального отображения под
твердой стенкой следует расположить вихрь с противоположным на-
правлением циркуляции.
118
Рис. 6.14. Иллюстрация метода
зеркального отображения
для одиночного вихря
Суммарная скорость в жидкости, вызываемая системой этих двух вих-
рей и набегающим потоком, представится в виде
(6.68)
где
- радиус, соединяющий действительный вихрь с точ-
/ _ 2
кой в жидкости с координатой х, у; r' = Jx2+(y + h) - радиус, идущий из
точки зеркального отображения.
КОНТРОЛЬНЫЕ
ВОПРОСЫ
1. В каких случаях можно ввести потенциал скорости?
2. В чем с вычислительной точки зрения заключается пре-
имущество введения потенциала скоростей?
3. Какому уравнению удовлетворяет потенциал скорости?
Какие при этом граничные условия для потенциала на
поверхности обтекаемого тела должны быть удовлетво-
рены?
4. В чем заключается парадокс Эйлера- Д’Аламбера?
5. Каково содержание формулы Жуковского для подъемной
силы кругового цилиндра?
6. Что такое пространственный источник?
7. Какие точки в потоке называются особыми?
8. Сравните распределение скоростей и давлений при обте-
кании кругового цилиндра и сферы.
ЗАДАЧИ
1. Ось цилиндра радиуса rQ = 1 м заглублена на 5 м под сво-
бодной поверхностью. Определите скорость начала ка-
витации на цилиндре, если атмосферное давление
ра = 1,015-Ю5 Па, давление насыщенных паров
/?нп = 1500 Па. Жидкость-пресная вода.
2. Определите, на каком относительном расстоянии от но-
совой точки полутела скорость составляет 99 % от ско-
рости набегающего потока. Под относительным расстоя-
х
нием будем считать величину , где - радиус цилин-
^00
дрической части полутела.
3. Определите относительное (в долях от радиуса сферы 7?0)
отстояние от передней критической точки, на котором
скорость их составляет величину равную 99 % скорости
набегающего потока
4. Решите последнюю задачу для цилиндра радиуса г0.
120
ГЛАВА 7
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
7.1. Вязкие жидкости и их свойства
Реальные капельные жидкости и газы являются вязкими, т. е. в их пото-
ках возникают касательные напряжения. Для расчета течений таких жидко-
стей и гидродинамических реакций при движении в них тел необходимо
установить связь между напряжениями внутренних сил, характеризуемых
матрицей (1.19), и скоростями течения; использовав эту связь и применив
уравнение в напряжениях (1.31), можно в дальнейшем получить уравнения
движения рассматриваемой вязкой жидкости. Установление такой связи яв-
ляется одной из задач реологии, разрабатывающей модели вязких жидко-
стей с различными свойствами.
Принципы построения некоторых моделей вязких жидкостей удобно рас-
сматривать на примере простейшего слоистого течения вдоль плоской стен-
ки с параллельными линиями тока и законом распределения скорости
w = fly). представленного на рис. 7.1.
Рис. 7.1. Плоское сдвиговое течение
Такое течение, создаваемое движущейся со скоростью Ко стенкой, назы-
вается плоским сдвиговым течением, так как частицы в нем испытывают
деформации сдвига, характеризуемые относительной скоростью сдвига
121
1 duY
2 dy
В вязкой жидкости в таком течении возникают касательные напряжения
Результаты экспериментов течений с вязкими жидкостями свидетельству-
ют, что возникающие в них касательные напряжения являются функциями
от относительных скоростей деформации сдвига жидких частиц, т.е. в рас-
сматриваемом течении т Простейший вид этой зависимости был пред-
ложен в XVII в. И. Ньютоном:
т = ц—т. е. т =
dy
(7.1)
Эта формула Ньютона получила широкое распространение в гидроаэро-
механике, так как хорошо описывает связь между полем скоростей и каса-
тельными напряжениями в большинстве жидкостей, в том числе таких, как
пресная и соленая морская вода и воздух. Множитель пропорциональности
ц называется коэффициентом динамической вязкости. Он зависит от рода
жидкости, температуры, а для газообразных жидкостей от давления. Размер-
ность [р] = Нс/м2. Единицей измерения ц в системе СИ служит пуаз, равный
0,1 Нс/м2. Обычно значения ц определяются экспериментально, хотя в ки-
нетической теории жидкости и газов разработаны теоретические методы для
ее определения.
Широкое применение в гидромеханике нашло связанное с ц понятие ко-
эффициента кинематической вязкости
(7.2)
Его размерность [v] = м2/с, т. е. в него не входят размерности массы
или силы. В системе СИ единицей измерения для v служит стокс, равный
10-4 м2/с. На рис. 7.2 представлены зависимости кинематической вязкости
для воды от температуры и для воздуха от температуры и давления.
Как видно, кинематическая вязкость воды на порядок меньше, чем
воздуха.
Физически возникновение сил трения т между слоями жидкости, в част-
ности воздуха, связано с хаотическим тепловым движением его молекул.
Это движение приводит на молекулярном уровне к обмену количеством дви-
жения между слоями жидкости, текущими с различными скоростями; в ре-
зультате, в соответствии с законом количества движения, между слоями воз-
никают касательные к ним силы, т.е. напряжения трения т.
В соответствии с формулой Ньютона видно, что если при движении жид-
кости ее частицы не испытывают деформации, т. е. она движется как твер-
дое тело, то касательные напряжения равны нулю. Жидкости, для которых
122
Воздух Вода
105vm7c 106vm7c
Рис. 7.2. Зависимости
кинематической вязкости воды
от температуры и воздуха
от температуры и давления
справедлива формула (7.1), называются ньютоновскими, и эта формула пред-
ставляет реологическое соотношение для таких жидкостей.
Однако известен ряд жидкостей, для которых формула (7.1) не справед-
лива; это так называемые неньютоновские жидкости. Для вязких неньюто-
новских жидкостей зависимость т =./](^z) может иметь различный вид: не-
сколько характерных зависимостей представлено на рис. 7.3.
Рис. 7.3. Зависимости (0г)
для различных жидкостей
На этом рисунке прямая 1 соответствует соотношению (7.1), т. е. ньюто-
новской жидкости; ее угловой коэффициент равен ц, т. е. коэффициенту ди-
намической вязкости.
Свойствами ньютоновских жидкостей, удовлетворяющих реологичес-
кому соотношению (7.1) обладают большинство жидкостей и растворов с
достаточно малым молекулярным весом, а также все газы. Для всех них
123
характерна линейная зависимость напряжения от скорости деформации.
Однако в природе и технике известно большое число жидкостей, у кото-
рых связь напряжений и скоростей деформации не подчиняется линейно-
му закону, а зависит от скорости сдвига по нелинейному закону, а также от
других факторов деформации и от времени. Все эти жидкости называются
неньютоновскими [7.1] (см. рис. 7.3).
Существует класс жидкостей, удовлетворяющих реологическому соот-
ношению Оствальда
т =
(73)
duy
где 8 = —-
dy
характеризует скорость угловой деформации. В свою очередь,
. 1 dd
8 =-----.
2 dt
Здесь 6 - величина, характеризующая угловую деформацию сдвига. Ка-
жущийся коэффициент вязкости
(7.5)
зависит от показателя степени п, причем этот показатель для ряда жидко-
стей больше, а для ряда - меньше единицы. Этому степенному закону под-
чиняется ряд высокополимерных жидкостей, а также суспензии твердых
частиц при высоких концентрациях.
Другим представителем неньютоновских жидкостей являются «пласти-
ческие» жидкости, у которых существует некоторое предельное значение
касательного напряжения т0, лишь по преодолении которого возникает тече-
ние среды. Это так называемые вязкопластические жидкости Шведова-Бин-
гама, удовлетворяющие реологическому соотношению
При т < т0 текучесть отсутствует: 8=0. Физическое объяснение свойств
подобных жидкостей заключается в том, что при покое в них существует
некоторая пространственная жесткая структура, которая сопротивляется
внешнему воздействию при т < т0. При т > т0 структура разрушается и жид-
кость ведет себя, как обычная ньютоновская жидкость с кажущимся коэф-
фициентом вязкости ц'. При остановке течения пространственная жесткая
структура восстанавливается.
К вязкопластическим жидкостям относятся глинистые и цементные ра-
створы, применяемые на нефтепромыслах для промывания скважин, а так-
же масляные краски и сточные грязи.
Ряд сред обладает одновременно как вязкой текучестью, так и свойством
упругого восстановления своей формы. В связи с этим существует два раз-
личных подхода к их изучению. Первый заключается в том, что общее каса-
тельное напряжение т представляется как сумма упругих напряжений
124
Tj = Gs
(7.7)
и вязких напряжении
т2 = р £ ,
где г - деформация сдвига, G - модуль сдвига, £ - скорость сдвига:
Т = Tj + Т2 = Gc + Ц 8 .
(7.8)
При т = т0 в предположении о постоянстве приложенного напряжения и
равенстве нулю начальной упругой деформации интегрирование (7.8) дает
(7-9)
Согласно этой зависимости, упругая деформация £ запаздывает (при
t оо) с возвращением к ее начальному нулевому значению. Постоянная
p/G = t играет роль характерного времени запаздывания. Интегрирование (7.8)
при мгновенном снятии напряжений при заданной начальной деформации
£0 приводит к соотношению
(7.Ю)
т. е. к «запаздыванию» убывания деформаций.
Во втором подходе - в так называемой реологической модели Максвел-
ла, - суммируются скорости упругого сдвига с вязкими скоростями:
Интегрирование (7.11) при деформации £ и начальном напряжении т0
приводит к соотношению
(7.12)
которое характеризует закон убывания напряжений во времени. В этом слу-
чае постоянная p/G = Z называется временем релаксации напряжений.
К неньютоновским жидкостям, удовлетворяющим отмеченным выше
реологическим законам, относится ряд высоковязких жидкостей, в том чис-
ле смолы.
Установлено, что для воды время релаксации Z имеет порядок
10 9—1010с, т. е. это свойство нужно учитывать лишь при очень больших
значениях касательных напряжений т0. Для ряда полимерных растворов
t « 10-24- 10 3с.
р
В более точных моделях неньютоновских жидкостей учитывается также
процесс запаздывания деформаций частиц жидкости, характеризуемый вре-
менем «запаздывания», или ретардацией.
125
Подробное изложение теории неньютоновских жидкостей содержится в
монографии Л.С. Артюшкова [7.1].
Из этого краткого обзора видно, что в задачах корабельной гидромехани-
ки учет неньютоновских свойств жидкости практически несущественен.
Исключение составляет лишь течение неньютоновской жидкости с полимер-
ными добавками, приводящее в ряде случаев к значительному уменьшению
турбулентного трения движущихся в жидкости тел. Этот вопрос более под-
робно будет рассмотрен в гл. 10.
7.2. Уравнения движения вязкой ньютоновской жидкости
7.2.1. Дополнительные силы вязкостной природы
Рассмотрим простейший случай движения вязкой ньютоновской жидко-
сти, когда имеется лишь одна проекция скорости и , зависящая от попереч-
.V
ной координаты у: их = их(у) (рис. 7.4).
Рис. 7.4. Иллюстрация к выводу
формулы для сил вязкостной природы
На рис. 7.4 изображены касательные напряжения, действующие на верх-
нюю и нижнюю грани элементарной жидкой частицы в форме параллелепи-
педа с гранями dx, dy, dz. На нижнюю грань с площадью dxdz действует вяз-
костная сила zdxdz, а на верхнюю - (т + dx)dxdz. Суммарная сила вязкой
природы в проекции на ось х будет равна
'VB —zdxdz + (t + dx)dxdz = dxdxdz.
В свою очередь, <7т - , и dRx^=~— dxdydz. Использовав формулу
z Ciy
Ньютона, получим, считая ц = const,
=ц--------------------------------у- dxdydz.
dy
(7.13)
126
Эта величина силы имеет размерность в Ньютонах. В уравнениях гидро-
механики, как правило, рассматриваются удельные силы, отнесенные к мас-
се. Масса параллелепипеда равна pdxdydz и удельная сила выразится следу-
ющим образом:
2 2
dRY„ lid ur d uY
/ 1 \ __ .До_____ _ г Л- _ _____Д
хв уд pdxdydz р dy2 dy2
(7.14)
В (7.14) введен коэффициент кинематической вязкости v = — . В общем
Р
случае движения, когда скорость зависит от координат и от времени, на час-
тицу действуют удельные силы инерции, силы тяжести и поверхностные
силы давления. Тогда в проекции на вертикальную ось z, вдоль которой дей-
ствуют удельные силы -g, уравнение движения запишется в виде
du 1 др | д2 и ~ д2и~ д2и~ | /-7 1
-~r = -g—+ v + + . (7.15)
dt р dz [ дх2 ду2 dz2 )
В (7.15) использованы полученные ранее зависимости с заменой проек-
ции скорости и на uz. Данное уравнение справедливо для так называемого
ламинарного движения жидкости, характеризуемого слоистым течением
жидкости, при котором отдельные слои жидкости движутся, практически не
перемешиваясь. Для более сложного турбулентного движения вязкой жид-
кости, происходящего с интенсивным перемешиванием ее слоев, наряду с
вязкими касательными напряжениями, входящими в уравнение (7.15) в рам-
ках рейнольдсова подхода, появятся дополнительные касательные напряже-
ния (см. гл. 8).
7.2.2. Уравнения движения вязкой жидкости
Рассмотрим общий случай гидродинамики вязких ньютоновских жидко-
стей. Для получения уравнения движения такой жидкости используем общие
уравнения гидродинамики в напряжениях (1.31 )в проекции на оси координат:
(7-16)
В этих уравнениях заданы проекции напряжения массовых сил Fx, F . Fz
и (для несжимаемой жидкости) плотность р. Требуется найти три проекции
скорости их. и , uz. нормальные и касательные напряжения, т. е. компоненты
127
матрицы напряжений. В силу свойств парности касательных напряжений
достаточно отыскать три касательных напряжения, например тху, txz, xyz. К
этим трем уравнениям, в которые входят девять неизвестных величин, при-
соединяется уравнение неразрывности
(7.16,67)
Таким образом, эта система уравнений получается незамкнутой; в ней
число неизвестных превышает число уравнений. Чтобы найти эти неизвест-
ные, необходимо составить дополнительные уравнения, связывающие воз-
никающие в жидкости касательные и нормальные напряжения с ее скорос-
тями. При этом надо учесть, что вязкость приводит к возникновению не только
касательных напряжений, но и к изменению нормальных напряжений по
сравнению с невязкой жидкостью.
Будем считать, что формула Ньютона (7.1), полученная для частного слу-
чая одномерного течения, справедлива и в общем случае трехмерного пото-
ка. Это позволяет ввести обобщенную гипотезу Ньютона о том, что напря-
жения, зависящие от вязкости, пропорциональны соответствующим
относительным скоростям угловых деформаций жидкой частицы. При этом
коэффициент пропорциональности остается таким же, как и в формуле (7.1),
т. е. 2ц. В соответствии с этой гипотезой связь между матрицей напряжений
и матрицей скоростей деформаций имеет вид
Рхх Тху ^xz р 0 0 N CD W'
тух Руу xyz — 0 р 0 + 2ц 0z £у ®х
zx ^zy Р zz 0 0 р CD * со N
(7.17)
Такая связь между матрицами при ц = 0 обеспечивает переход к зависи-
мостям для невязкой жидкости. В результате нормальное напряжение по
любой оси можно представить в виде двух слагаемых:
Рхх=~Р + 2Р^’ Pyy=-p + 2ii—^-, pzz = -p + 2p—^- (7.18)
Первое слагаемое в этих выражениях р - давление в вязкой жидкости;
второе слагаемое непосредственно учитывает влияние вязкости. Найдем
среднее арифметическое от величин нормальных напряжений по трем вза-
имно перпендикулярным направлениям, учтя при этом уравнение неразрыв-
ности
Рхх + Рvy Рzz 2 диу ди (и 1 п\
----------------= -р + - ц(—+ —^) = -р. (7.19)
3 3 дх ду dz
где р - гидродинамическое давление.
128
Отсюда следует, что давление в вязкой несжимаемой жидкости - это взя-
тое с обратным знаком среднее арифметическое из нормальных напряжений
по трем взаимно перпендикулярным направлениям. Знаком «минус» в этом
уравнении учтено, что давление соответствует сжимающим нормальным
напряжениям, направленным против внешней нормали.
Для получения уравнений движения вязкой жидкости подставим в пра-
вую часть их первого уравнения значения нормальных и касательных напря-
жений, согласно принятой гипотезе. В проекции на ось х, учитывая выраже-
ния для s и 0, получаем
где А - оператор Лапласа.
При выводе этого выражения изменен порядок дифференцирования
и учтено уравнение неразрывности. С учетом (7.20)
получим уравнения движения вязкой жидкости, называемые уравнениями
Навье-Стокса, имеющие в векторной форме вид
du
)- pF - gradp + цАй
(7.21)
Это уравнение отличается от уравнения Эйлера движения невязкой жид-
кости членом, характеризующим силы вязкости, и переходит в него при ц = 0.
Уравнение (7.21)- нелинейное дифференциальное второго порядка в част-
ных производных; нелинейность обусловлена членом с конвективным уско-
рением. Его решение следует подчинить начальным и граничным условиям.
Все соображения о начальных условиях для течения невязкой жидкости со-
храняют свою силу и для вязкой жидкости. Принципиально новым является
лишь изменение граничного условия на твердых границах потока.
Рассмотрим граничное условие на теле при обтекании его потоком вяз-
кой жидкости (рис. 7.5).
С э,... 1 П/1 Э
129
Рис. 7.5. Граничные условия на теле
в вязкой жидкости
На поверхности тела выполняется наряду с условием непротекания и
безотрывного обтекания (ип = 0) и условие прилипания жидкости, т.е. каса-
тельная составляющая скорости их = 0. Многочисленными физическими из-
мерениями профиля скорости около стенки установлено, что скорость час-
тиц жидкости на стенке стремится к нулю. Наименьшее отстояние от стенки
при этих опытах составляло около 0,05 мм. Косвенным подтверждением
справедливости граничного условия прилипания явилось полное количе-
ственное совпадение основанных на этом условии теоретических решений
с опытными данными. Выполнение условия прилипания не зависит от мате-
риала поверхности и степени чистоты его обработки. Оно одинаково выпол-
няется при обтекании поверхностей как смачиваемыми, так и несмачивае-
мыми жидкостями (в качестве примера можно привести течение ртути по
стеклянной трубке). В настоящее время это условие является общеприня-
тым в гидромеханике вязкой жидкости. Оно может нарушаться лишь в пото-
ках очень разреженных газов1.
В случае движения тела в покоящейся жидкости также соблюдается ус-
ловие прилипания. Частицы жидкости, прилегающие к телу, увлекаются им
(рис. 7.6). Внизу - то же для невязкой жидкости.
Вязкая
жидкость
Невязкая
жидкость
Рис. 7.6. Эпюры скорости при
движении пластины в покоящейся
жидкости и при обтекании
пластины потоком жидкости
Новейшие измерения с помощью высокоточной техники показали, однако, что условие
прилипания строго не выполняется. Существует проскальзывание жидкости на поверхности
тел. Тем не менее при расчете подавляющего числа задач гидроэаромеханики данным обсто-
ятельством можно пренебречь и применять условие прилипания в классическом виде. В рам-
ках механики сплошной среды условие прилипания может приводить к неверным результа-
там при расчете течений в микроканалах. - Прим. науч. ред.
130
Рассмотрим некоторые свойства движений вязкой жидкости, текущей
вблизи от ограничивающих ее поверхностей (стенок). Из рис. 7.1 следует,
что, поскольку вблизи стенок, в области, где возникают касательные напря-
жения, существует градиент скорости по нормали к стенке, угловая скорость
вращения частиц coz
1 duY
--- отлична от нуля.
2 dy
Таким образом, течения вязкой жидкости в районе, где существует влия-
ние ограничивающих поверхностей, являются вихревыми. Отсюда следует,
что для описания движений вязкой жидкости нельзя ввести потенциал ско-
рости ф, как это имело место в течениях невязкой жидкости.
Отметим для дальнейшего, что по мере удаления от стенки рис. 7.6, на
некотором отстоянии от нее ——~0, и, согласно формуле Ньютона, каса-
dy
тельные напряжения т = 0. Одновременно в этой области обращаются в нуль
и угловые скорости. Таким образом, в этой внешней по отношению к стенке
области жидкость можно считать невязкой, а ее течение потенциальным. Это
свойство течений реальных жидкостей используется для построения теории
пограничного слоя.
Нелинейность уравнений Навье-Стокса делает невозможным примене-
ние принципа суперпозиции решений.
Как известно, любую линию тока можно заменить твердой стенкой, не
нарушив движения жидкости. В случае вязкой жидкости на стенке появля-
ется граничное условие прилипания, отсутствующее на линии тока. Из это-
го следует, что для вязкой жидкости замена произвольной линии тока твер-
дой стенкой неправомерна.
Рассмотрим возможность получения интегралов уравнений Навье-Стокса при
установившемся течении жидкости. На основании тех же рассуждений, что и при
выводе интеграла Бернулли для невязкой жидкости, получим, что на линии тока
= у(Ай -dr).
(7.22а)
Левая часть здесь представляет собой дифференциал от удельной меха-
нической энергии. В случае невязкой жидкости v( Ай •<#) = () и трехчлен
2
U р тт
---н----U = const, т.е. соблюдается закон сохранения механической энер-
2 Р
гии вдоль линии тока. В реальной жидкости член v(An-dr), характеризую-
щий удельную работу сил вязкости на перемещении dr отличен от нуля.
Поскольку силы вязкости направлены против движения, член
v( Ай • dr) = -dAB отрицателен, т. е.
В ’
и р
Т+р
131
откуда видно, что изменение механической энергии вдоль линии тока чис-
ленно равно работе вязкостных сил.
Интегрируя (7.226) вдоль линии тока от точки 1 до точки 2 и обозначая
элементы течения соответствующими индексами, находим
(7.22в)
где Лв = ^в2~^в] >0_ удельная работа сил вязкости при перемещении из
положения 1 в положение 2. Величина Ав является «потерянной», или, как
говорят, диссипируемой, энергией. Из уравнений гидромеханики нельзя ус-
тановить, во что превращается эта часть энергии. Однако из соображений,
основанных на законах термодинамики, следует, что диссипируемая энер-
гия превращается в тепло. В силу большой теплоемкости воды повышение
ее температуры, вызываемое диссипацией энергии, ничтожно и при обтека-
нии тел составляет десятые доли градуса. Заметим, что теоретически опре-
делить величину Лв затруднительно.
Изложенное свидетельствует о невозможности получения интегралов
уравнений движения вязкой жидкости, аналогичных известным для потоков
невязкой жидкости.
В силу нелинейности уравнений Навье-Стокса нельзя разработать об-
щие методы их аналитического решения; значительные трудности вызывает
также необходимость удовлетворить одновременно двум граничным усло-
виям на поверхности тела: непротекания ип = 0 и прилипания их = 0.
Точные решения этих уравнений получены только для простейших час-
тных случаев. К ним относится ряд решений, для которых, исходя из вида
границ потока, можно заранее предсказать форму линий тока. Примерами
являются течения между параллельными стенками, в цилиндрических тру-
бах, между соосными вращающимися цилиндрами и ряд других.
В случае обтекания тел (внешняя задача гидромеханики), когда вид ли-
ний тока потока заранее неизвестен, получить теоретические решения уда-
ется лишь в двух предельных случаях - при малых и больших скоростях
обтекания. В обоих случаях возможны некоторые упрощения уравнений
Навье-Стокса, облегчающие их интегрирование.
Путь упрощения при малых скоростях был предложен Стоксом: он состо-
ит в пренебрежении конвективной частью ускорения в потоке. При этом из
уравнения Навье-Стокса выпадают нелинейные члены, и оно приобретает вид
= pF - grad/? + цДй .
(7.23)
При установившихся течениях
dt
- 0. Принимая это допущение, Стокс
решил задачу о медленном движении шара радиуса RQ в вязкой жидкости с
постоянной скоростью при этом сила сопротивления
132
Rx = 6W^Ro-
(7.24)
Напомним, что для подобного движения тела в невязкой жидкости спра-
ведлив парадокс Эйлера-Д’ Аламбера, т. е. Rx = 0. Применимость формулы
(7.24) для воды при RQ & 1 см ограничивается очень малыми скоростями
^<8-ИГ3 см/с.
Дальнейшие уточнения этих решений, выполненные Озееном и другими
авторами, состояли в попытках приближенного учета хотя бы основной час-
ти конвективного ускорения. Использовав такие методы, Прудман и Пирсон
получили более точное выражение для сопротивления шара:
Rx =
,3^0
I п
8 v
(7-25)
Формула Стокса является частным случаем этого выражения при
Q
v
Для практически наиболее важного второго случая приближенного ре-
шения уравнений Навье-Стокса исходным для их упрощения является то,
что силы вязкости в наибольшей мере проявляют себя около твердых границ
тел в потоке жидкости, а на некотором удалении от этих границ они стано-
вятся пренебрежимо малыми. Это направление, справедливое для весьма
больших скоростей, развилось в теорию пограничного слоя.
Большие успехи вычислительной техники послужили толчком к исполь-
зованию компьютеров для численного решения уравнений Навье-Стокса. В
настоящее время удается решать задачи ламинарного течения для широкого
круга проблем со сложной геометрией и режимами течения. На рис. 7.8 и 7.9
представлены результаты расчета обтекания цилиндра, полученные А.Е. Та-
рановым и Н.В. Корневым с помощью метода вихревых частиц. Это плос-
кое течение описывается уравнениями (7.21), в которых положено z/z = 0, а
третье уравнение в проекции на ось z опущено. Для удобства решения вво-
дится функция тока течения у, связанная с угловой скоростью coz = со соглас-
но зависимостям § 3.6. В результате дифференцирования второго уравнения
Навье-Стокса в проекции на ось у по х, а первого по у и вычитания почлен-
но второго из первого уравнения исчезают члены, содержащие давление, и
можно записать уравнение для определения завихренности
(7.26)
Полученные расчетом данные о структуре течения и гидродинамические
характеристики в диапазоне чисел Re < 104 хорошо согласуются с опытом.
Наиболее распространенным методом решения уравнения (7.21) являет-
ся метод контрольного объема, изложенный в гл. 15.
в)
Рис, 7.7. Области равной завихренности в потоке вокруг мгновенно стартовавшего цилиндра
в момент времени Т = = 5 (а) в сравнении с результатами расчета А. Леонарда и
П. Коумотсакоса (б) и экспериментальными данными R. Bouard и М. Coutanceau (в), Re = 550.
Re = 200
Re = 3000
Re = 9500
Рис. 7.8. Картины областей равной завихренности в следе за мгновенно стартовавшим
цилиндром при различных числах Re. Здесь Т = tVJD = 80.
134
7.3. Основы теории подобия и моделировния
гидродинамических процессов
В большинстве представляющих практический интерес случаев решение
уравнений движения вязкой жидкости при помощи компьютера является очень
сложной задачей. В то же время как при решении конкретных задач о движе-
нии тел в жидкости и газе, так и о течении жидкости по трубам и каналам
применительно к нуждам судостроения требуются вполне определенные с до-
статочной степенью точности инженерные решения. В связи с этим в гидро-
механике прибегают к постановке экспериментальных исследований.
Возможны два типа экспериментов: с натурными объектами и с моделя-
ми. Наиболее ценными являются натурные опыты, дающие непосредствен-
ный ответ на вопрос, как ведет себя натурный объект в заданных условиях
движения в жидкости, но они, как правило, технически очень сложны, сильно
зависят от метеорологических условий, а в ряде случаев просто невыполни-
мы. При натурных испытаниях, как правило, действует много различных фак-
торов; оценить воздействие каждого из них часто бывает затруднительно.
В силу этих причин в гидромеханике прибегают к постановке модель-
ных экспериментов, осуществляемых на объектах, размеры которых иногда
во много раз меньше натурных. При этом важно уметь правильно поставить
опыт, чтобы его результаты можно было пересчитать на натурный объект,
для чего нужно знать, в каком соотношении находятся скорости и силы, дей-
ствующие на модель и натуру. Все эти вопросы рассматриваются в разделе
гидромеханики, носящем название теории подобия и моделирования.
Опытные материалы для удобства сопоставления и работы с ними представ-
ляются, как правило, в безразмерном виде. Выбор безразмерных параметров, от
которых зависит явление, также осуществляется с помощью теории подобия.
Для соблюдения механического подобия двух течений, происходящих вокруг
натурного объекта и его модели, требуется одновременное выполнение трех ус-
ловий подобия: геометрического, кинематического (по скоростям) и динамичес-
кого (по силам). Первые два условия являются необходимыми, но недостаточны-
ми. Динамическое подобие обеспечивает достаточность условий подобия явлений.
Сформулируем математически требования, вытекающие из условий гео-
метрического и кинематического подобия. Все элементы, относящиеся к мо-
дели, будем обозначать индексом «м», а к натурному-индексом «н» (рис. 7.9).
Рис. 7.9. Параметры модели и натуры
135
Отметим, что натура и модель могут двигаться (обтекаться) различными
жидкостями с разными плотностями рн и рм и коэффициентами кинемати-
ческой вязкости vH и vM (например, вода, воздух).
Условия геометрического подобия заключаются в том, что сходственные
геометрически размеры в потоках на модели и натуре должны быть пропор-
циональны. Если через /н, /м, хн, хм обозначить какие-либо сходственные
размеры в потоках (например, ширину канала, координаты сходственных
точек), через и LM - характерные линейные сходственные размеры (на-
пример, длину тела), то для соблюдения геометрического подобия потребу-
ется, чтобы
(7.27)
Постоянная величина к называется модулем геометрического по-
добия. Она обратна масштабу модели. Как правило, к> (») 1. Из (7.27)
следует, что все сходственные размеры натуры получаются умножением раз-
меров модели на модуль геометрического подобия. Отношение сходствен-
ных площадей S и объемов W в двух геометрически подобных потоках будет
соответственно
(7.28)
Из (7.27) следует — = —— . Величина — = хб является безразмерной ко-
w тт L
ординатой. На этом основании можно заключить, что безразмерные коорди-
наты сходственных точек модели и натуры равны:
бн хбм-
(7.29)
Кинематическое условие подобия заключается в том, что скорости в сход-
ственных точках потока объекта и его модели в сходственные моменты вре-
мени должны быть пропорциональны. Обозначим через w , ихм соответствен-
но проекции скоростей в сходственных точках модели и натуры, через ИОн,
КОм - их характерные скорости (например, скорость движения тела), а через
^-масштаб скоростей. Тогда аналогично (7.27) условие кинематического
подобия будет
М у-» «
лМ
(730)
Его можно переписать в виде
^0н ^Ом
(7.31)
136
их
где введены безразмерные проекции скоростей ТГ = w*6 . Поскольку в сход-
но
ственных точках потоков безразмерные скорости равны, должны быть оди-
наковы и эпюры безразмерных скоростей в потоках модели и натуры.
Если движение жидкости неустановившееся, то сравнивать скорости
имеет смысл только в сходственные моменты времени. Обозначим через / и
/м промежутки времени для натуры и модели, через Гн и Гм - характерные
промежутки времени (например, период колебаний для процессов колеба-
тельного характера или время, в течение которого тело проходит путь, рав-
ный его длине) и введем безразмерные промежутки времени
(7.32)
В сходственные моменты безразмерное время одинаково:
Z6h Z6m’
(7.33)
Перейдем теперь к формулировке условий динамического подобия, свя-
зывающего силы различной природы, действующие в потоках модели и на-
туры. Используем метод получения условий динамического подобия, осно-
ванный на анализе уравнений движения жидкости.
Запишем уравнение движения вязкой жидкости в проекции на ось г.
Введем в рассмотрение характерные постоянные величины: линейный
размер £, скорость Ио, характерное время Т и характерное давление Р.
Для координат, проекций скоростей, времени t и давления р можно за-
писать
%=V, их = t = t6T,p = Рр6,
(7.35)
где индексом «б» обозначены безразмерные величины. Преобразуем урав-
нение (7.34), введя в него безразмерные и характерные величины. Посколь-
ку характерные величины являются постоянными, их можно выносить из-
под знака дифференциала. Будем иметь
(7.36)
В этом уравнении все производные - безразмерные величины. Из струк-
Ко duz<5
туры данного уравнения следует, что член -°н1 - удельная (отнесен-
137
ная к массе) сила инерции нестационарной природы;
- сила инерции конвективной при-
роды; g = - сила тяжести; — =&р ~ сила давления;
=Ап - сила вязкости.
В
Для соблюдения динамического подобия аналогично предыдущим сооб-
ражениям потребуем, чтобы силы различных категорий, действующих на
натуру и модель, были бы пропорциональны
где kR - модуль динамического подобия.
Выберем в качестве характерной силы, которая имеет место во всех слу-
чаях движения, силу инерции конвективной природы 7?ик. Использовав ос-
новное свойство пропорций, запишем
(7.38)
Система этих четырех равенств эквивалентна записанному выше усло-
вию динамического подобия. Подчеркнем, что для выполнения подобия, эти
равенства должны решаться совместно (одновременно). Рассмотрим после-
довательно эти равенства, начав с четвертого из них:
(7.39)
138
Согласно полученным выше условиям геометрического и кинематичес-
кого подобия, хбм = хбн, г/хбм = wx6h, откуда следует, что и безразмерные про-
изводные, входящие в записанные выше выражения, для модели и натуры
также равны. С учетом этого получим, что для выполнения этого условия
подобия по силам вязкости должно быть
(7.40)
Этот безразмерный критерий динамического подобия, представляющий
отношение сил инерции к силам вязкости, носит название критерия (чис-
ла) Рейнольдса
Re = -^E (7.41)
V
Таким образом, для выполнения подобия по силам вязкости должно со-
блюдаться равенство по числам Рейнольдса
Re„ = Re„. (7.42)
Отношение сил давления к силам инерции третий член в (7.38) предста-
вится в виде
(7.43)
где в знаменателе - характерная величина скоростного напора. Безразмер-
ный комплекс -----— = Ей называется критерием подобия Эйлера.
рЕр2
2
Таким образом, должно быть
Eu„ - Еи„. (7.44)
Т'-ИК
Отношение сил инерции к силам тяжести ------- выразится как
Rg
В судовой гидромеханике вместо этой величины исполь-
зуют комплекс
—и..............=
(7-45)
называемый критерием подобия (числом Фруда). Таким образом,
должно быть
139
(7-46)
Наконец, отношение сил инерции нестационарной природы к конвек-
тивным силам инерции
ц/
— представится в виде
ик
(7.47)
Этот безразмерный комплекс носит название критерия подобия (чис-
ла) Струхаля
Sh = ; ShM = ShH. (7.48)
Особо следует отметить то, что для выполнения условий полного
механического подобия необходимо соблюсти одновременное равенство не
всех четырех перечисленых выше критериев подобия, а только любых трех.
Как правило, выбрают равными числа Рейнольдса, Фруда и Струхаля, при
этом число Эйлера определяется однозначно из нижеприведенного безраз-
мерного уравнения движения:
(7.49)
Указанный факт часто остается неупомянутым в гидромеханической ли-
тературе, хотя имеет первостепенное значение на практике.
Если в жидкости помимо перечисленных выше сил действуют силы других
категорий, то для их учета при моделировании требуется введение дополни-
тельных критериев подобия. В случаях, когда имеет место распространение
струй, брызгообразование, распространение капиллярных волн, образование в
жидкости каверн, существенное значение приобретают силы поверхностного
натяжения. Для учета их влияния используется динамическое граничное усло-
вие для давления на поверхности раздела жидкости. Из физики известно, что
жидкость с искривленной свободной поверхностью подвержена действию до-
полнительного давления от сил поверхностного натяжения:
(7.50)
где Г| и - главные радиусы кривизны элемента поверхности; о - коэффи-
циент поверхностного натяжения. Если поверхность жидкости выпуклая,
140
р > 0; при вогнутой свободной поверхности р отрицательно. На поверх-
ности раздела воды с воздухом при ра = 1 атм коэффициент а = 0,07 Н/м.
Получим критерий подобия для учета влияния сил поверхностного натя-
жения. Как уже отмечалось, любой критерий подобия характеризует отно-
шение сил различной природы, действующих в жидкости. Обозначим силу
поверхностного натяжения, приложенную к элементу поверхности S, через
Япн, а силу инерции, приложенную к элементу объема W, находящегося под
этим участком поверхности, через /?и. Очевидно, что
(7.51)
где введены безразмерные радиусы гб = r/L.
Сила инерции, равная произведению массы частицы pW на ускорение,
V2,
может быть представлена в виде Яи « pfF-^-, где -у— величина, характе-
ризующая конвективное ускорение в жидкости. Учитывая, что S - L\ a W~/?,
получаем Лпн
; 7?и ~ pL2 Vq . Составим отношение из размер-
ных величин, входящих в данное выражение:
и----= We. (7.52)
рИ02Л
Безразмерная величина We называется числом Вебера. Оно характе-
ризует отношение силы поверхностного натяжения к силе инерции. Для по-
добия потоков с учетом сил поверхностного натяжения требуется соблюде-
ние равенств чисел Вебера
We„ = Weu или gtj------— = и
Н М 11 _ tz2 г М
(7.53)
м
При движении сжимаемой жидкости (газа) с большими скоростями в
число критериев подобия входит число Маха М, под которым понимают
отношение характерной скорости к скорости звука а:
а
(7.54)
п
где а = — - скорость звука; кт = С JCW- отношение теплоемкости при
V Р
постоянном давлении к теплоемкости при постоянном объеме.
Число Маха играет большую роль в газовой динамике. Для течений газа,
близких к скорости звука и превосходящих ее, необходимо учитывать подо-
бие по числам Маха. При М < 1 течения газа называются дозвуковыми; ка-
чественно они аналогичны течениям несжимаемой жидкости. До чисел
141
М < (0,2 -ь 0,3) влиянием сжимаемости можно пренебречь. Иногда в гидро-
механике корабля приходится рассматривать течение двухфазных жидкостей
(например, вода, насыщенная пузырьками воздуха). В подобных средах ско-
рость звука весьма мала и имеет порядок скорости потока. В этих случаях
для подобия потоков таких двухфазных жидкостей необходимо соблюдение
равенства чисел Маха.
В гидромеханике часто пользуются понятием коэффициента давления
р , а также коэффициента местного трения с , который связан с касательным
напряжением на поверхности тела зависимостью
(7.55)
где Е() - характерная скорость.
Покажем, что р и ст являются функциями критериев подобия. Вводя в
формулу Ньютона безразмерные величины, получаем
2ц Ио ди5 _ 2v Эмб _ 2 ди5
(7.56)
р VqL дуб VqL дуб Re ду6
откуда следует, что коэффициент местного трения является функцией числа
Рейнольдса ст =/(^е)- Представим выражение для коэффициента давления
Р л
—у-------1 , где Рю - давление в невозмущенном по-
рРо <Ах) J
токе. Принимая его в качестве характерного давления ру = Р и учитывая вы-
ражение для числа Эйлера, можно записать
р - Ей — -1 = Ей ( -1)
(7.57)
откуда следует, что коэффициент давления является функцией числа Эйлера.
7.4. Общие формулы для гидродинамических сил и моментов
Выразим вектор напряжения рп через давление р и касательное напря-
жение т0 на поверхности тела:
Рп = -рп + V ° >
где 10 - орт касательной; п - внешняя нормаль.
Гидродинамическая реакция воздействия жидкости на тело
R = -ф(р-p^}ndS + .
(7.58)
(7-59)
142
Здесь добавлен тождественно равный нулю интеграл ф p^ndS = 0, где
- давление в невозмутценнои жидкости. Вводя выражения для коэффи-
циента местного трения и коэффициента давления, получаем
R = - P^-j)pn^S +^-j)crl°dS.
(7.60)
Умножим и разделим правую часть последнего уравнения на характер-
ную площадь S():
(7-61)
T/'z'
Здесь член н 0 S() имеет размерность силы; безразмерное векторное
выражение в скобках называется коэффициентом гидродинамической
силы
Учитывая это, можно выражение для гидродинамической реакции пред-
ставить в виде
Я = С„£^5о. (7.63)
Аналогично записывается формула для момента М , куда вводится ха-
рактерное дополнительное плечо
M = Cm^SQLx, (7.64)
где Ст - коэффициент момента. Расчет сил или экспериментального опре-
деления сил и моментов, действующих на тело, сводится к определению ко-
эффициентов силы CR и момента Ст. Преобразуем выражение для CR,
введя вместо р и сТих функциональные зависимости, согласно (7.56) и (7.57):
-ф /i(Eu)mZ
+ <£/(Re)T0<7
(7.65)
откуда следует, что CR явно зависит от критериев подобия Ей и Re. В случае
движения с волнообразованием коэффициенты CR и Ст могут также зави-
сеть от критерия подобия Фруда. При неустановившихся движениях CR
и Ст являются функциями числа Струхаля. Следовательно, коэффициент
г в 1>
143
гидродинамической силы является функцией критериев подобия; его вели-
чина, очевидно, зависит также от формы тела и от ориентации тела в потоке
CR -/(Eu, Re, Fr, Sh).
(7.66)
Выясним, когда коэффициенты гидродинамических сил натурного объек-
та и геометрически подобной ему модели равны. На основании (7.66) легко
заключить, что
если
(7.67)
EuH EuM,ReH ReM,FrH FrM,ShH ShM,
откуда следует основной закон подобия: коэффициенты гидродинамичес-
ких сил и моментов для модели и натуры равны, если соблюдается равен-
ство всех критериев подобия.
На практике обычно оперируют не векторным коэффициентом гидроди-
намической силы CR , а его составляющими по осям координат в поточной
системе координат. Ось х направлена при этом по вектору скорости набега-
ющего потока:
CR = Гсх + JCy + kCz, (7.68)
где CL С,, С - соответственно коэффициенты сопротивления, подъемной и
Л Z
боковой силы (силы дрейфа). При этом
Cr = /х+Cj + Q2 . (7.69)
Для составляющих гидродинамической реакции аналогично получим
выражения
RX=CX^-SO; R=Cy,^.S0; RZ = CZ^-SO. (7.70)
При движении тела по прямолинейной траектории с постоянной скорос-
тью можно провести обращение движения. При этом в качестве характер-
ной скорости Fo понимают скорость в невозмущенном потоке жидкости.
Вопрос о выборе характерных величин, входящих в выражения для кри-
териев подобия, а также характерных площадей, фигурирующих в форму-
лах для гидродинамической силы и ее проекций, не решается однозначно.
Для каждого класса задач выбирают соответствующие характерные величи-
ны. Например, в случае движения судна обычно в качестве характерной дли-
ны выбирают длину по ватерлинии, а в качестве характерной скорости - ско-
рость движения судна. За характерную площадь принимают смоченную
поверхность, а иногда площадь миделевого сечения тела. При решении за-
дач динамики тел в ряде случаев в качестве характерной площади целесо-
144
образно принимать 5() = PFt2/3, т.е. объемное водоизмещение тела в степени 2/3.
Удачный выбор характерных величин способствует систематизации опыт-
ных материалов.
Легко найти формулу для пересчета коэффициентов гидродинамической
силы, отнесенным к различным характерным площадям, например, So и )Ут2/3 :
7? - CRX
откуда
W^13
Cr\ - CR2
do
(7.71)
7.5. Критерии подобия и их использование
при моделированиии. Частные случаи подобия
В общем случае движения вязкой несжимаемой жидкости с учетом сил
поверхностного натяжения течение полностью характеризуется четырьмя
критериями подобия (числами Sh, Fr, Re, We); от этих критериев зависят
также коэффициенты гидродинамических сил и моментов. Напомним, что
критерий подобия Ей однозначно определяется четырьмя перечисленными.
Критерий, учитывающий влияние турбулентного характера течения жидко-
сти, рассматривается в гл. 8. В частных случаях движения отдельные крите-
рии подобия выпадают из рассмотрения.
Начнем с числа Струхаля Sh - ——, характеризующего отношение не-
Kq7
стационарных сил инерции к конвективным. Этот критерий подобия входит
в уравнение (7.49). Если Sh « 0, т.е. период движения чрезвычайно велик, то
нестационарные инерционные силы из рассмотрения выпадают. При коле-
бательных движениях типа качки, в которых имеется характерный период Т,
возникает необходимость проверить, как выполняются условия моделиро-
вания по критерию подобия Струхаля. Имеем
т = Г bt-Loit = TJbL (7.72)
М Н J т т Нт’ \ /
И0м к
откуда видно, что при к » 1 и kv > 1 Тм ~ Ти (точнее Тм < Гн), т.е. соблюде-
ние подобия по этому числу практически всегда выполняется.
Число Фруда Fr = - характеризует отношение сил инерции к силам
yJgL
тяжести. Известно, что силы тяжести действуют всегда, но влияние на гид-
родинамические характеристики они оказывают не во всех случаях. Учет
сил тяжести связан с явлением волнообразования на свободной поверхности.
145
При движении тел в жидкости без волнообразования силы тяжести, а следо-
вательно, и числа Фруда не влияют на гидродинамические характеристики.
Это имеет место при движении тела с любой скоростью глубоко под свобод-
ной поверхностью, а также при его движении по свободной поверхности с
относительно малыми скоростями. Из опыта известно, что при движении
судов с малыми числами Фруда Fr < 0,15 волнообразование практически не
оказывает влияния на гидродинамические силы. В этом случае коэффици-
ент гидродинамической силы не зависит от числа Фруда.
Таким образом, критерий подобия по Фруду следует учитывать лишь при
движении тел с интенсивным волнообразованием. При равенстве чисел Фруда
картина модельного и натурного волнообразования практически подобна.
Выясним техническую выполнимость моделирования по числу Фруда:
согласно условию
г Он _ fQm
у/
(7.73)
Отсюда видно, что при подобии по числам Фруда скорость модели мень-
ше, чем у натуры; это технически легко выполнимо. Заметим, что в судо-
строении число Фруда иногда служит для характеристики относительной
быстроходности тела.
Число Рейнольдса Re = —характеризует отношение сил инерции к
v
силам вязкости. Если вязкость не учитывается v —> 0, то число Рейнольдса
формально стремится к бесконечности Re —> оо. При этом в уравнении дви-
жения выпадает член, зависящий от вязкости. Отсюда вытекает, что для не-
вязкой жидкости коэффициент гидродинамической силы зависит только от
чисел Sh, Fr. Для моделирования по числу Рейнольдса требуется, чтобы, со-
гласно (7.40),
V — V — V 1г
Ч)м ~ 'Он — ~ 'Он-----------* •
vh VH
В случае одинаковых жидкостей, когда vH « v ,
^0м = V-
(7-74)
(7-75)
Как видно, требуемая скорость модели оказывается значительно больше
натурной, что в большинстве случаев технически неосуществимо. Заметим,
если бы даже удалось достигнуть столь больших скоростей модели, то при
движении в воде это коренным образом изменило бы структуру обтекания
модели: вместо безотрывного обтекания имело бы место развитое кавитаци-
онного обтекание. Отсюда следует, что в одинаковых жидкостях подобие по
числу Рейнольдса технически невыполнимо.
146
Число Эйлера Ей =---------- характеризует отношение сил давления к
(pV02/2)
силам инерции. Покажем, что для безотрывных движений жидкости (без ка-
витации) критерий подобия Эйлера не является определяющим. Иными сло-
вами, равенство чисел Эйлера выполняется, если соблюдено подобие по дру-
гим критериям, что в общем виде было указано в §7.3. Докажем это подробно
на примере установившегося течения вязкой жидкости при наличии волно-
образования; определяющими будут критерии Фруда и Рейнольдса. Восполь-
зуемся уравнением, связывающим давления и скорости в вязкой жидкости,
подставив в него потенциал сил тяжести U = - gz:
(7.76)
2
. г А VWi
где Ав - -v Аиаг = —L Ав§
- работа сил вязкости на участке 1-2; L - ха-
рактерный линейный размер; индексом «б» отмечены безразмерные вели-
чины. Выберем в качестве характерного давления Р перепад давлений
Ру~Р1на участке течения между точками 1-2. За характерную скорость при-
мем и у Тогда получим выражение для числа Эйлера в виде
Р«1
(7.77)
из которого видно, что число Ей зависит от чисел Fr и Re, и, следовательно,
не является независимым (см. §7.3).
Случай обтекания с учетом кавитации подробно рассмотрен ниже в гл. 14.
Здесь отметим, что при кавитационном обтекании, как минимум, появляет-
ся еще один определяющий критерий - число кавитации
(Ра +Pg^~Pcav)
0,5р^
(7.78)
Все пояснения к этой формуле даны в подпараграфе 14.2.1 и при форму-
ле (14.2).
Отметим здесь, что /?сау - давление в каверне - является дополнительной
физической величиной (константой), характеризующей обтекание тела с ка-
витацией.
Критерий подобия Вебера We = o----хаРактеРизУет отношение сил
поверхностного натяжения к силам инерции. Рассмотрим возможность
147
моделирования по числу Вебера. На основании (7.53) охарактеризуем связь
между коэффициентами поверхностного натяжения (р = рм)
(7.79)
Отсюда видно, что для равенства чисел Вебера требуется, чтобы коэффи-
циент поверхностного натяжения модельной жидкости был во много раз мень-
ше, чем натурной. Как правило, эти испытания проводятся в одинаковых жид-
костях (воде); очевидно, что подобие по числу Вебера технически практически
невыполнимо. Таким образом, все модельные эксперименты по брызгообра-
зованию и распаду струй, вообще говоря, не подобны натурным.
Во всех случаях, когда технически невозможно выполнить подобие по
какому-либо критерию подобия, возникает опасность проявления так назы-
ваемого масштабного эффекта, т. е. несоответствия в гидродинамических
характеристиках модели и натурного объекта. Так, например, если числа
Рейнольдса модели и натуры не равны, то при этом вязкостные силы на мо-
дели и натурном объекте не подобны.
Нередки случаи, когда изменение в весьма широких пределах какого-
либо критерия подобия практически не влечет за собой изменение коэффи-
циента гидродинамической силы или какой-либо ее составляющей. Это яв-
ление называется автомодельностью. При этом говорят, что имеет место
автомодельность коэффициента гидродинамической силы по определенному
критерию подобия (по числу Re, Fr и т. д.). При автомодельности, несмотря
на различие величин критериев подобия, безразмерные коэффициенты гид-
родинамических сил для модели и натуры одинаковы.
Движения жидкости связаны обычно с действием не двух категорий сил,
что соответствует моделированию по одному критерию подобия, а больше-
го их числа. Это вызывает необходимость установить условия совместности
моделирования по двум критериям подобия. Рассмотрим совместное моде-
лирование по критериям Фруда и Рейнольдса при движении тела с постоян-
ной скоростью в вязкой жидкости без кавитации в условиях интенсивного
волнообразования. Подобные процессы приходится моделировать при ис-
пытаниях модели судна в опытовом бассейне. Использовав предыдущие ре-
зультаты, находим связь между скоростями модели и натуры при соблюде-
нии равенства чисел Фруда и Рейнольдса:
при FrH=FrM ИОм=-^;
при ReH=ReM И0м=^он —к-
(7.80)
Требования равенства скорости модели КОм приводят к следующей связи между
коэффициентами кинематической вязкости жидкости для модели и натуры:
148
v„ = vn7^. (7.81)
к
Обеспечить выполнение этого требования при используемых обычно в
судостроении масштабах моделей практически невозможно.
В случае одинаковых жидкостей, что практически имеет место при ис-
пытаниях в опытовом бассейне, соблюдение подобия по числам Рейнольдса
и Фруда приводит к противоречивым требованиям:
по Фруду Г0м<Г0н; |
по Рейнольдсу И0м>И0н,/ (7.82)
откуда следует, что реально можно обеспечить лишь равенство чисел Фруда.
Частичным называется подобие, когда выполняется равенство одного
критерия подобия, а по другому (или другим) критерию оно не соблюдается.
Во всех случаях частичного моделирования по числам Fr подобны картины
волнообразования и составляющие сил волновой природы. Так как вязкост-
ные силы при этом не подобны, реально возникновение масштабного эф-
фекта по числу Рейнольдса.
Исследуем возможности совместного выполнения равентсва критериев
подобия Sh, Fr и Re , с которыми приходится иметь дело при моделировании
неустановившихся процессов в вязкой жидкости, происходящих с интенсив-
ным волнообразованием. Примером может служить качка судна на поверх-
ности жидкости (взволнованной или невозмущенной). Рассуждениями, ана-
логичными приведенными выше, легко показать, что подобие по числам
Рейнольдса заведомо не выполняется, причем ReH > ReM.
Выясним возможность совместного выполнения условий подобия по
числам Fr и Sh:
при
при
FrH=FrM,
shH=shM =
L к
(7.83)
Решая совместно эти уравнения,
находим связь между характерными
периодами:
(7.84)
Отсюда видно, что периоды колебаний натуры и модели связаны между
собой как корень квадратный из масштаба, причем Тм < Тн, что можно
обеспечить в процессе опытов с моделью. Таким образом, моделирова-
ние неустановившихся движений с учетом волнообразования техничес-
ки выполнимо.
149
Но основании изложенного можно заключить, что при сложном модели-
ровании с учетом сил различной категории всегда возможно выполнение
равенства только отдельных критериев подобия; подобие по другим крите-
риям (по числу Рейнольдса и числу Вебера) практически не выполнимо.
Поскольку в этих случаях почти всегда имеет место частичное моделирова-
ние, возможность непосредственного перенесения опытных коэффициентов
с модели на натуру исключается. Физически это обусловлено тем, что при
изменении масштаба явления различные категории сил изменяются по раз-
ным законам. Для пересчета результатов испытаний с модели на натуру в
этих случаях необходимо использовать дополнительные эмпирические и
теоретические соображения, которые должны подтверждаться как модель-
ными, так и натурными экспериментами.
Упомянем в заключение еще краткие соображения о двух критериях по-
добия:
1. Число Маха М = V/a, где V - скорость движения тела (или скорость
обращенного потока), а - скорость звука в данной среде. При больших чис-
лах Маха М > 0,5 и, тем более, при М > 1, когда характер течения сжимае-
мой среды резко меняется (по сравнению с течением несжимаемой жидко-
сти), становится необходимым учет чисел Маха. Для обычно встречаю-
щихся в корабельной гидромеханике явлений число Маха может играть
роль лишь в случае течения газонасыщенной жидкости, содержащей боль-
шое число воздушных пузырьков; в этой среде скорость звука значительно
меньше, чем в «чистой» воде, и может достигать значения скоростей тех-
нических объектов.
2. В предыдущем изложении рассматривалось движение в жидкости аб-
солютно твердого тела, каковых в природе нет. В подавляющем большин-
стве случаев явлениями возникающих на корпусе объектов вибраций с точ-
ки зрения обычной гидроаэродинамики можно пренебречь. Однако иногда
упругость (жесткость) конструкций следует учитывать, что приводит к по-
явлению новых направлений, связанных с учетом именно гидроаэроупругих
эффектов. Поскольку закон Гука, характеризующий упругие силы, связан с
модулем упругости материала Е, [Е] = Па, а инерционные силы, действую-
рГ
щие со стороны жидкости, пропорциональны (имеют ту же размер-
ность), критерием подобия для сил этой природы служит комплекс
Е
Са =---— , называемый критерием Коши.
2
150
КОНТРОЛЬНЫЕ
ВОПРОСЫ
1. Поясните содержание формулы Ньютона для касатель-
ного напряжения.
2. В чем разница между коэффициентами динамической
ц и кинематической v вязкости?
3. Какие граничные условия соблюдаются при обтека-
нии тела вязкой жидкостью?
4. Для каких целей нужна теория подобия и моделиро-
вания гидродинамических явлений?
5. Поясните физический смысл критериев Рейнольдса
Re = -2— и Фруда Fr = ^=2- .
v yjgL
Возможно ли одновременное соблюдение подобия по
числам Re и Fr в одинаковой жидкости, если их ли-
нейные масштабы k = —— > (») 1 ?
£м
м
7. Дайте определение понятия зоны автомодельности.
ЗАДАЧИ
Длина судна £ = 100 м, а скорость - 18 м/с, коэффи-
циент кинематической вязкости воды при ее темпера-
туре t = 4 °C v = 1,57ПО-6 м2/с. Соответствующие ве-
личины для модели: £м = 5 м, v = 1,2-10-6 м2/с.
Определите соотношение между скоростью модели и
натуры при испытании в опытовом бассейне.
Вычислите число Рейнольдса для модели и натуры.
Найдите соотношение между значениями волнового
сопротивления натуры и модели, считая, что коэф-
фициент сопротивления зависит только от числа
Фруда.
151
2. Для условий предыдущей задачи, считая, что выпол-
няется равенство чисел Рейнольдса, определите:
а) соотношение скоростей модели и натуры (возмож-
но ли это практически?);
б) соотношение между силами, действующими на на-
туру и модель.
3. При определении коэффициентов местных сопротив-
лений в трубопроводах наиболее целесообразно про-
водить экспериментальные исследования. Задан на-
порный трубопровод DH = 0,24 м, Гсрн = 2 м/с ,
vH = 1,2-10-6 м2/с. Для модельного трубопровода того
же диаметра v = 1,2-10-5 м2/с (воздух). Определите:
а) возможность моделирования течения по числам
Рейнольдса, от которого только и зависит явление;
б) отношение перепадов давления к местному сопро-
тивлению (число Эйлера) для натуры и модели.
4. Гидродинамические характеристики гребного винта,
от которых зависят его упор и момент, определяются
1 VP
относительной поступью Кр - , где Vp - поступа-
тельная скорость перемещения винта в воде, D - диа-
, , 1
метр, п - число оборотов винта в секунду (~ —,
Т- период). Видно, что X обратна числу Струхаля.
Дано: для натуры К = 10 м/с, D = 5 м, п = 60 об/мин
(малое число оборотов). Определите, при какой час-
тоте вращения пм возможно моделирование движения
винта, диаметр модели которого D = 0,5 м, а скорость
И — 5 м/с.
рм
152
ЧАСТЬ 3.ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ
ЖИДКОСТИ
ГЛАВА 8. ТУРБУЛЕНТНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ
(модули 1, 2, 3)
ГЛАВА 9. ОСНОВЫ ГИДРАВЛИКИ (модули 1, 2, 3)
ГЛАВА 10. ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ ПРИ
БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА
(модули 1, 2, 3)
ГЛАВА 11. ЦИРКУЛЯЦИОННЫЕ ТЕЧЕНИЯ
ЖИДКОСТИ. ТЕОРИЯ КРЫЛА.
ГЛИССИРОВАНИЕ (модули 1, 2, 3)
ГЛАВА 8
ТУРБУЛЕНТНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ
8.1. Общие характеристики турбулентных потоков
При увеличении числа Рейнольдса течение жидкости претерпевает ка-
чественное изменение. Траектории жидких частиц, будучи плавными ли-
ниями при малых числах Рейнольдса, вдруг становятся хаотическими и
запутанными, а зависимость скорости от времени, измеряемая в любой
точке потока, имеет осциллирующий характер. Впервые визуализацию
перехода ламинарного течения в турбулентное течение осуществил в 1883
г. английский ученый Осборн Рейнольдс. Он использовал течение в тру-
бе, в центре которой в поток вводилась окрашенная струйка жидкости
(рис. 8.1). При малых скоростях (числах Рейнольдса) слой подкрашен-
ной жидкости распространяется в потоке в виде прямой линии без ин-
тенсивного перемешивания. Такое течение, в котором отдельные слои не
перемешиваются и сохраняют свою индивидуальность, называется ла-
минарным (слоистым). При увеличении скорости на подкрашенную пря-
молинейную струйку начинают накладываться волны. Постепенно как
число, так и амплитуда подобных волн начинают возрастать, что продол-
жается до тех пор, пока струйка не разобьется на нерегулярно перемеши-
вающиеся друг с другом мелкие струйки. Визуально можно наблюдать,
что струйка краски размывается практически сразу за точкой ввода и на
некотором расстоянии заполняет все поперечное сечение трубы. Очевид-
но, имеет место перенос подкрашенных частиц жидкости в поперечном к
среднему потоку направлении. Строго говоря, краска, введенная в слой
жидкости, диффундирует в поперечном к потоку направлении за счет
молекулярной диффузии. Ио этот процесс, называемый микросмешени-
ем, является весьма слабым и не объясняет наблюдаемое явление. Глав-
ной же причиной столь интенсивного распространения краски в попе-
речном направлении являются турбулентность и обусловленное ею
конвективное макросмешение.
155
Рис. 8.1. Иллюстрация опытов
Рейнольдса
Физически переход из ламинарного состояния в турбулентное можно объяс-
нить следующим образом. В потоке вязкой жидкости всегда существуют вих-
ревые структуры различного масштаба и различной интенсивности. В одно-
родной жидкости они возникают в пограничных слоях (см. § 10.1) на твердых
границах течения. Характеристики вихрей существенно зависят от числа Рей-
нольдса. При малых числах Рейнольдса вихри плавно перемещаются вместе с
потоком, не нарушая слоистости течения. При достижении определенного
числа Рейнольдса, называемого критическим ReKpHT, в результате неустойчи-
вости ламинарного вихревого течения (пограничных слоев) в потоке появля-
ются концентрированные вихревые структуры, движение которых является
неустойчивым и хаотическим. Вследствие сложного взаимодействия отдель-
ные вихри усиливаются и непрерывно меняют ориентацию по отношению к
среднему течению, происходит их дробление и объединение, мелкие вихри
исчезают вследствие диффузии. Образуются клубки вихрей различного мас-
штаба, что приводит к беспорядочному перемешиванию масс жидкости и ос-
цилляции скорости. Именно турбулентные вихри ответственны за конвектив-
ное макросмешение и перенос жидкости в поперечном к потоку направлении.
С учетом вышесказанного можно дать следующее определение: турбу-
лентное течение жидкости - это сложное трехмерное нестационарное дви-
жение жидкости, характеризуемое хаотическим движением частиц, осцил-
ляциями скорости и интенсивным перемешиванием, возникающее при
больших числах Рейнольдса вследствие неустойчивости вихревого движе-
ния. Не следует путать вихревое движение и турбулентное. Любое движе-
ние вязкой жидкости, как ламинарное, так и турбулентное, является вихре-
вым. Турбулентное течение - это хаотическая форма вихревого течения.
Развитое турбулентное движение представляет собой результат наложе-
ния различных по величине и интенсивности вихрей; их наибольший раз-
мер определяется макроразмерами течения (длина корабля, диаметр трубы),
а наименьший (колмогоровский масштаб) - влиянием вязкости, способству-
ющей интенсивному рассеиванию (диссипации) малых вихрей. В турбулен-
тном течении имеют место так называемые каскадные процессы: образуют-
156
ся крупные вихри на границах течения или струи, которые затем последова-
тельно измельчаются до колмогоровских масштабов и диссипируют.
Механизм перехода ламинарного течения в турбулентное течение мно-
гообразен и до сегодняшнего дня недостаточно изучен. Одна из наиболее
простых схем перехода ламинарного течения в турбулентное течение в по-
граничном слое показана на рис. 8.2.
А В С D Е F
ке;р111.
Рис. 8.2. Схема перехода ламинарного
течения в турбулентное
На начальном участке А имеет место ламинарное течение, которое испы-
тывает неустойчивость Толмина-Шлихтинга на участке В, где локальное
число Рейнольдса достигает критического значения Re* . =VxB/v. В ре-
зультате неустойчивости течения образуются когерентные вихревые X струк-
туры (участок D), которые в дальнейшем на участке Е распадаются, и на
участке F имеет место сложное хаотическое турбулентное движение.
Критическое число Рейнольдса Re1<pHT , при котором происходит пере-
ход ламинарного течения в турбулентное, зависит прежде всего от геомет-
рии течения. Для трубы диаметром d со средней скоростью течения г/ср
оно, как правило, составляет величину Re т = и d/у = 2400. Согласно
данной выше физической интерпретации турбулентности, число Re т
должно зависеть от возмущений в набегающем потоке. Действительно,
развитие неустойчивости зависит от возмущений - инициаторов неустой-
чивости. Опыты с трубами в частности показали, что за счет выравнива-
ния потока во входном сечении трубы удается затянуть переход до чисел
Рейнольдса 20 000^40 000. При Re < 2000 в трубах затухают любые сколь
угодно большие возмущения.
Интенсивное турбулентное перемешивание приводит к выравниванию
всех характеристик течения (скоростей, температуры и т. д.) в попереч-
ном сечении трубы. Распределение скоростей по поперечному сечению
трубы при турбулентном течении значительное более равномерное, чем
при ламинарном течении. На рис. 8.3 показаны распределения безразмер-
ных скоростей для ламинарного 1 и турбулентного 2 течений в трубе ра-
диусом г0.
157
Рис. 8.3. Характерные распределения
скоростей в ламинарном (1)
и турбулентном (2) течении в трубе
Как видно из рисунка, при ламинарном течении распределение скорос-
тей по поперечному сечению не зависит от числа Re и имеет параболичес-
кую форму; при турбулентном течении оно является функцией числа Re и
вследствие интенсивного обмена количеством движения сглаживается.
Большинство технически интересных течений является турбулентными,
и поэтому проблема создания теории турбулентности весьма актуальна. Без
преувеличения можно сказать, что эта проблема является одной из самых
сложных в физике и механике, поскольку необходимо создать теорию, опи-
сывающую хаос системы с бесконечным числом степеней свободы, состоя-
щей из огромного числа объектов - вихрей. Отношение размера наиболь-
ших вихрей к наименьшим вихрям колмогоровского масштаба
пропорционально Re3/4. Таким образом, например, для течения в трубе диа-
метром 0,1 м при числе Рейнольдса 104 теория турбулентности должна опи-
сывать хаотическое движение совокупности вихрей, наибольшие из кото-
рых имеют размер нескольких сантиметров, а наименьшие - порядка 0,1 мм!
Несмотря на сложность этой, на первый взгляд, неразрешимой задачи в на-
стоящее время удалось построить математические модели различного уров-
ня сложности, классификация которых приведена в следующем параграфе.
Рис. 8.4. Иллюстрация осреднения
по Рейнольдсу для установивишегося
турбулентного течения
В основе большинства инженерных моделей лежит идея осреднения Рей-
нольдса, который предложил при изучении турбулентных потоков рассмат-
158
ривать не мгновенные скорости, а осредненные их значения, вычисляя их на
основании записи мгновенных скоростей, произведенной в течение некото-
рого, достаточно продолжительного промежутка времени Т, называемого
периодом осреднения (рис.8.4). Осредненные по времени значения скорос-
ти можно вычислить по следующим формулам осреднения:
(8-D
где черта - символ осреднения во времени.
Соответственно мгновенные значения скоростей турбулентного потока
в данной точке можно представить в виде сумм
их-йх + их иу =иу + иу ; uz=uz+uz. (8.2)
где и'х иу, u’z - мгновенные изменения скорости относительно осреднен-
ной скорости турбулентного потока; эти изменения называют пульсацион-
ными скоростями.
Указанный способ осреднения применим не только к скоростям, но и ко
всем характеристикам течения. Оно обладает следующими свойствами:
• осредненное значение пульсации осциллирующей величины
f = f + /' равно нулю
/' = 0; (8.3а)
• двукратное осреднение величины равно однократному
/ = (8.36)
• среднее суммы равно сумме средних
f+g=f+g> (8-3в>
• осредненное значение производной по времени и по координатам рав-
но соответствующей производной от осредненной величины
< = = (8.3г)
dt dt dx dx
• для осреднения произведения двух величин справедливы следующие
правила
(8-3д)
• Из (8.3а) и (8.3д) следует
.fg' = .fg' = 0-
(8.Зе)
В случае сильно нестационарного течения с ярко выраженными низ-
кочастотными колебаниями осреднение по времени вызывает большие
159
трудности, поскольку невозможно однозначно определить промежуток
времени Т. В этом случае используется так называемое осреднение по
ансамблю. Среднее по ансамблю значение искомой величины Ц/ опреде-
ляется путем многократного повторения опыта и измерения величины у
в заданной точке пространства А в определенный момент времени /, от-
считываемый от начала эксперимента. Среднее по ансамблю
1 N
V(/M)= lim — (8.4)
N-»oo N .
п-\
где N- число измерений (число реализаций в ансамбле).
При расчете течений с непостоянной плотностью (химически реагирую-
щие среды, потоки с горением) используется осреднение по Фаврэ.
Турбулентность называется однородной, если ее статистические свой-
ства одинаковы во всех точках потока. Турбулентность является изотроп-
ной. если в данной точке турбулентного потока имеет место соотношение
-Uy = ip. Если условие изотропности соблюдается во всех точках по-
тока, то турбулентность называется однородной и изотропной. Изотропия
турбулентности характерна для свободных турбулентных течений, вдали от
границ, например, в струях на большом расстоянии от сопла, вдали от обте-
каемых поверхностей. По мере приближения к стенкам потока турбулент-
ность становится все более анизотропной.
Важной характеристикой турбулентности является степень турбулент-
ности потока
Физически величина 8 представляет собой корень квадратный из отно-
шений кинетических энергий пульсирующего и осредненных потоков. Эта
величина выражается в процентах и для потоков в аэродинамических тру-
бах составляет 0,75-1,0 %, для малотурбулентных труб примерно 0,02 %,
для атмосферы и жидкости в приповерхностных слоях моря 1,0-1,5 %.
Взаимосвязь турбулентных пульсаций в пространстве и во времени
характеризуют с помощью коэффициентов пространственной и времен-
ной корреляции. Пространственная двухточечная корреляция пульсаций
какой-либо из трех компонент скорости и в точках с координатами г| и
ц + г характеризуется коэффициентом корреляции R, называемым также
автокорреляцией. Например, можно ввести в рассмотрение следующие
автокорреляционные функции:
их (x,y,z)u'x (x + r|,y,z
,2/ \
ux (x.y.z)
Яш<(п) = /(п)
160
u'(x,y,z)i/'(x + r],y,z)
RM = g(n) = yK ' ’ yK |Л <
Uy(x,y,z)
Типичный вид кривыхХп) и gOl) представлен на рис. 8.5. Коэффициент
корреляции в одной точке для двух различных компонент скорости записы-
вается аналогично:
Если бы турбулентность была сугубо хаотическим явлением, при кото-
ром пульсационное течение в каждой точке было полностью независимо от
течения в других точках, коэффициент корреляции был бы равен нулю. Фи-
зически наличие взаимосвязи R ф 0 объясняется тем, что пульсации вызыва-
ются одним и тем же объектом - турбулентным вихрем. Один и тот же дви-
жущийся вихрь вызывает пульсации как в точке ц, так и в соседней токе с
ней точке г| + jy. В результате между двумя пульсациями возникает статисти-
ческая зависимость.
Рис. 8.5. Типичный вид
автокорреляционных функций
в изотропном однородном
турбулентном течении
Размер характерных вихрей в турбулентном потоке можно оценить с по-
00
мощью масштаба турбулентности L - |/?(т|)(7г|, который имеет размерность
о
длины и характеризует степень связанности турбулентности в потоке.
161
Экспериментальные исследования пульсации скоростей в потоке прово-
дятся с помощью нитяных или пленочных термоанемометров, лазерных ане-
мометров и метода маркированных частиц PIV (Particle Image Velocimetry)
(см. гл. 16).
8.2. Методы моделирования турбулентных течений
Теоретические методы моделирования турбулентных потоков, применя-
емые для расчета сложных течений, можно подразделить на три категории.
Наиболее общим и концептуально наиболее простым является метод
прямого численного моделирования турбулентности DNS (Direct Numerical
Simulation). В этом методе считается, и это подтверждено многочисленны-
ми расчетами, что уравнение Навье-Стокса является универсальным, спо-
собным описать состояние жидкости как в ламинарном режиме, так и в тур-
булентном режиме движения. В качестве математического аппарата решения
уравнения Навье-Стокса используются численные конечно-разностные под-
ходы, методы контрольного объема и спектральные методы (используется
преобразование Фурье для искомых функций). На начальном этапе решения
задачи генерируются малые начальные возмущения, которые быстро растут,
так что в численном решении, так же как в эксперименте, наблюдается пере-
ход от слоистого течения к сложному интенсивно перемешивающемуся те-
чению.
Таким образом, наблюдаемое в природе и кажущееся нам хаотическим
турбулентное движение жидкости моделируется детерминистическими ме-
тодами, в принципе позволяющими описать весь процесс сложного взаимо-
действия турбулентных вихрей. Серьезным ограничением метода является
его трудоемкость. Разрешение применяемых в численном методе сеток долж-
но быть настолько высоким, чтобы учесть весь спектр турбулентных вих-
рей, начиная от самых крупных, размеры которых сопоставимы с макрораз-
мерами течения, и заканчивая малыми вихрями, в которых происходит
диссипация турбулентной энергии. Чем больше число Рейнольдса, тем шире
спектр вихрей, подлежащих определению. В результате возможности мето-
да прямого численного моделирования ограничиваются сегодня расчетом
на суперкомпьютерах течений с числом Рейнольдса порядка 104. В ближай-
шие десятилетия сфера применения метода DNS будет ограничена задачами
исследовательского характера, например, структуры турбулентных течений,
механизма генерации и диссипации турбулентности и вряд ли станет рабо-
чим инструментом в инженерных расчетах.
В ближайшие десятилетия в практике инженерных расчетов все чаще
будет использоваться метод крупных вихрей LES (Large Eddy Simulation)
[8.5]. Основная метода LES состоит в частичном осреднении (фильтрации)
уравнений Навье-Стокса. При этом крупные энергосодержащие вихри с раз-
мерами, начиная от макроразмеров потока до вихрей, соответствующих так
162
называемому инерционному интервалу [8.1], рассчитываются как в методе
DNS. Влияние мелких диссипативных вихрей в уравнениях движения вяз-
кой жидкости учитывается дополнительными напряжениями, рассчитывае-
мыми по простым зависимостям, полученным строго из теории локально
изотропной турбулентности (к примеру, закон Смагоринского). В рамках LES
уже не видны «мелкие» вихри, но крупные, наиболее важные с энергетичес-
кой точки зрения, вихри получаются прямым расчетом. Хотя в методе LES
по сравнению с DNS уже нет необходимости рассчитывать все вихри, расче-
ты с помощью LES в настоящее время остаются очень трудоемкими, доро-
гостоящими, и его широкое практическое применение ожидается через де-
сять-двадцать лет. В целях снижения трудоемкости расчетов разрабатываются
различные упрощенные варианты метода LES (DES, SAS), основная идея
которых состоит в разделении потока на две зоны: пристенную область и
зону отрывного течения. В пристенной области применяется подход Рей-
нольдса, а в отрывной зоне используется метод LES. Для перехода от одной
расчетной модели к другой созданы эффективные процедуры автоматичес-
кого переключения метода расчета турбулентных напряжений и изменения
разностных схем.
Рейнольдсов подход является наиболее распространенным методом мо-
делирования турбулентных течений в судостроении. Согласно этому подхо-
ду, уравнения движения вязкой жидкости осредняются либо по времени (в
случае статически стационарного течения), либо по ансамблю (для нестаци-
онарных течений), в результате чего получаются уравнения Рейнольдса
(RANSE - Reynolds Averaged Navier-Stokes Equation), содержащие турбулен-
тные напряжения, для которых не существует замкнутых теоретических ре-
шений, а требуется привлечение эмпирических данных (см. § 8.3). По срав-
нению с методом LES Рейнольдсов подход отличается еще более высокой
степенью огрубления решения. В нем рассчитываются турбулентные вихри,
сравнимые по размерам с макроразмерами течения, а вклад оставшихся учи-
тывается с помощью полуэмпирических моделей, привлекаемых для моде-
лирования турбулентных напряжений.
Рис, 8.6. Схематическое представление турбулентных
вихрей, моделируемых различными способами
1 - вихри, моделируемые всеми методами; 2 - вихри,
моделируемые только в LES и DNS; 3 - вихри,
моделируемые в рамках DNS метода
163
На рис. 8.6 схематически представлены вихревые структуры, получаю-
щиеся в результате моделирования турбулентного течения различными ме-
тодами. Если вычислять скорость за плохообтекаемым телом указанными
выше тремя методами (рис. 8.7), то кривая, соответствующая DNS методу,
содержит турбулентные пульсации, характерные для прохождения через точ-
ку пространства последовательности вихрей различного масштаба. Посколь-
ку в методе LES учитываются только крупные вихри, кривая становится бо-
лее гладкой. Для Рейнольдсова подхода, в котором моделируются только очень
крупные вихри, характерна плавная сглаженная кривая.
Рис, 8.7. Зависимость скорости
от времени, рассчитанная методами
DNS, LES и RANSE для неустановившегося
турбулентного течения
Рассмотрим детально метод осреднения по Рейнольдсу, поскольку имен-
но он будет еще долгое время оставаться основным методом расчета турбу-
лентного обтекания судовых конструкций.
8.3. Уравнения движения турбулентных потоков
Уравнения движения для осредненных по Рейнольдсу величин могут быть
получены непосредственно из уравнений движения вязкой жидкости (7.16),
записанных для мгновенных значений скорости и напряжений. Для удоб-
ства изложения запишем их в тензорном виде
дщ
dt
(8-7)
где х, = х; х2 =у; и, = их; т,, = рхх; т12 = хух и т. д.
В выражении (8.7) используется правило суммирования по повторяю-
щемуся индексу. К примеру,
(8.8)
164
Уравнение неразрывности запишется в виде
ди, дщ ди? дщ /о
—L = —L + —- +—— = 0. (S. 9)
dxj дх\ дх2 дх2
С учетом (8.9) конвективное ускорение и уравнение (8.7) могут быть за-
писаны в консервативной форме
и , —1- = и; —L + U:
/ '"Л / 'Л *
dyUjU
d^UjUj}
7 —
Представим мгновенные значения в виде (8.2) и подставим их в уравне-
(8.12)
Осредним левую и правую часть (8.12) по Рейнольдсу
Принимая во внимание свойства (8.3), получаем
(8.13)
По своему виду уравнение (8.13) аналогично уравнению (8.7). Разница
состоит в том, что уравнение (8.13) записано для осредненных величин и,
ди\и':
что очень важно, в нем появилось новое слагаемое —--, порожденное не-
линейным членом уравнения - конвективным ускорением. Перенеся его в
правую часть, получим уравнения Рейнольдса
(8.14)
Совместно с осредненным уравнением неразрывности —1- = 0 оно пред-
о-
ставляет собой осредненную по Рейнольдсу форму уравнений Навье-Сто-
кса для турбулентных течений.
165
Уравнение (8.14) показывает, что в осредненном турбулентном потоке к
обычным вязкостным напряжениям гидродинамических сил добавляются
напряжения, зависящие от пульсаций скорости. Эти слагаемые называются
турбулентными напряжениями: в ламинарном потоке они отсутствуют. Фи-
зическая причина их возникновения связана с обменом количества движе-
ния между отдельными участками турбулентного потока, вызванным пере-
мешиванием частиц; перенос количества движения вызывает дополнительное
подтормаживание или ускорение отдельных масс жидкости, т. е. появление
турбулентных напряжений.
Полная совокупность турбулентных нормальных и касательных напря-
жений образует по аналогии с вязкостными напряжениями матрицу турбу-
лентных напряжений
-ри’хи’х -ри'хи'у -puxuz
-ри'и' -ри'и' -ри'и'
-А Г у у I у £
—puxuz -puvuz —puzuz
(8.15)
Матрица (8.15) является симметричной и содержит шесть новых неизве-
стных величин турбулентных напряжений, для вычисления которых необхо-
димо установить связь между пульсационными и осредненными скоростя-
ми в турбулентном потоке. Эту связь устанавливают теории турбулентности,
основанные на различных гипотезах о характере процессов турбулентнос-
ти. Однако все эти теории полуэмпирические, так как для получения с их
помощью конкретных числовых значений необходимо знать некоторые ве-
личины, определяемые на основании экспериментов.
8.4. Основные модели, выражающие турбулентные
напряжения через осредненные скорости потока
8.4.1. Гипотеза Буссинеска
Гипотеза Буссинеска основана на концепции турбулентной (вихревой)
вязкости, согласно которой, процесс турбулентного перемешивания жид-
кости аналогичен процессу молекулярной диффузии. Согласно этой ги-
потезе, рейнольдсовы напряжения определяются как произведение тур-
булентной вязкости у и тензора осредненных скоростей деформации
(8.16)
где к = —u'iu'i - кинетическая энергия турбулентных пульсаций; 5 - дельта
J
функция. Второе слагаемое в (8.16) введено для того, чтобы это уравнение
166
оставалось корректным в случае i =j с учетом правила суммирования по
повторяющемуся индексу В противном случае,
что несправедливо, поскольку левая часть равна кинетической энер-
гии пульсационного движения, которая равна нулю только в ламинар-
ном течении.
Для простейшего плоскопараллельного течения их = их(у\ иу = 0 вдоль
стенки у = 0 гипотеза (8.16) принимает вид
(8.17)
г t CiIAjq
-рихи = pv, —±
dy
Гипотеза Буссинеска позволяет вместо расчета шести неизвестных рей-
нольдсовых напряжений свести задачу к одной единственной неизвестной -
турбулентной вязкости. В отличие от кинематической вязкости v турбулен-
тная вязкость у зависит не от свойств жидкости, а от состояния
турбулентности и даже при постоянной температуре течения меняется в про-
странстве. При приближении к твердой границе потока у —> 0 вследствие
демпфирования стенкой пульсаций скорости вязкость v, уменьшается и об-
ращается в нуль на границе у = 0. Вязкость у максимальна в тех точках по-
тока, где максимальны турбулентные вихри. Так, например, в трубе vp уве-
личиваясь в направлении от стенки трубы, достигает некоторого максимума
примерно на половине радиуса, а затем вновь достигает минимума на ее
оси. Отношение турбулентной вязкости к обычной возрастает с числом Рей-
нольдса v/v = Re/Re т[8.6]. Таким образом, при высоких числах
Рейнольдса vz может превосходить v в десятки тысяч раз.
Полное касательное напряжение на стенке складывается из Рейнольдсо-
ва напряжения и напряжения, вызванного молекулярным движением
(8.18)
Касательное напряжение (8.18), действующее на стенку со стороны жид-
кости, сонаправлено со скоростью потока. Для определения v, использу-
ются различные полуэмпирические модели, часть из которых представле-
на ниже.
8.4.2. Алгебраические модели турбулентности
Алгебраические модели являются простейшими моделями турбулен-
тности, в которых связь между турбулентной вязкостью и осредненными
характеристиками течения задается в виде алгебраических соотношений.
Одной из самых известных моделей этой группы является модель пути
смешения Прандтля (1925).
167
Рассмотрим плоскопараллельное течение вдоль стенки со скоростями
uY = uY + u'Y; - u\
Л Л- A j }
(8-19)
Частицы жидкости, двигаясь в среднем поступательно, вследствие тур-
булентного перемешивания совершают поперечные перемещения. Проана-
лизируем перемещение жидкой частицы из нижнего слоя жидкости, теку-
щего со скоростью йх , в верхний слой жидкости, расположенный на
расстоянии 1и от нижнего слоя. Средняя скорость в верхнем слое, очевид-
- 1 т-г
но, равна их +---1и . При перемещении жидкая частица сохраняет свою
dy
среднюю скорость их и вызывает в верхнем слое временное падение скоро-
сти, равное---^-1 , которое и будет отмечено регистрирующим прибором
dy х
как мгновенная пульсация. Таким образом, можно предположить, что
(8.20)
Если еще по аналогии предположить, что Ju'^ =—-1и и использовать
v dy 1
выражение для коэффициента корреляции (8.6) в одной и той же точке, то
выражение для модуля турбулентного касательного напряжения можно за-
писать в следующем виде:
(8.21)
где /2 - Rxylu 1и . Величина /, называемая длиной пути смешения, ха-
рактеризует масштаб турбулентности в данной точке и, вообще говоря, за-
висит от ее координат.
Длина пути смешения /, играющая такую же роль, как длина свободного
пробега молекул при тепловом движении, определяется эмпирически. Для
течений в пограничном слое полагают
/-Ау,
(8.22)
где к - первая константа турбулентности (константа Кармана), равная при-
мерно 0,4.
Выбор (8.22) объясняется физическими наблюдениями: пульсации боль-
ше там, где выше скорость течения. По мере удаления от стенки скорости
растут, следовательно, растут и пульсации. С целью более точного учета демп-
фирующего влияния стенки на турбулентность в пристеночной области Ван-
Дристом была предложена следующая модификация формулы (8.22):
168
(8.23)
где А - экспериментальная константа, равная 26-27, и
* /то
и =
N Р
(8.24)
- так называемая динамическая скорость, которая характеризует собой
напряжение трения у стенки т0, отнесенное к плотности жидкости.
В свободных слоях смешения длину I можно считать постоянной попе-
рек слоя и линейно пропорциональной толщине слоя 5:
/ = const-5(x).
(8.25)
Выражение (8.21) записано для модуля напряжения. Чтобы получить
формулу для тт с учетом знака, следует принять во внимание, что оно долж-
но быть одинаково по знаку с производной скорости по координате. С уче-
том этого турбулентное касательное напряжение запишется в виде
(8.26)
Из сопоставления (8.17) и (8.26) можно найти выражение для турбулент-
ной вязкости
(8.27)
8.4.3. Дифференциальные модели турбулентности
Модель длины пути смешения справедлива главным образом для про-
стейших течений и не может применяться для отрывных и существенно трех-
мерных течений. Более точными моделями являются дифференциальные
модели, в которых изменение во времени и пространстве характеристик тур-
булентности описывается дифференциальными уравнениями переноса. Они
учитывают влияние предыстории течения на характеристики турбулентнос-
ти, тогда как в алгебраических моделях эти характеристики определяются
мгновенными значениями осредненных скоростей.
Среди дифференциальных моделей наибольшее распространение полу-
чили модели с одним и двумя уравнениями. В моделях первой группы, исхо-
дя из уравнений Навье-Стокса или других феноменологических соотноше-
ний с привлечением ряда экспериментальных фактов, записывается
дифференциальное уравнение переноса для какой-либо одной характерис-
тик турбулентности. Например, для кинетической энергии к (модель Колмо-
горова-Прандтля) или турбулентной вязкости v (модели А.Н. Секундова,
169
П. Спаларта и др.). Остальные характеристики выражаются через к и у с
помощью простых соотношений.
Наиболее современна, эффективна и одновременно очень проста модель
с одним уравнением Спаларта-Алмараса (1992), основанная на уравнении
для модифицированной турбулентной вязкости о =
Коэффициенты и вспомогательные функции находятся по формулам
где d- расстояние до ближайшей стенки.
С помощью модели (8.28) можно получить приемлемые результаты для
решения многих инженерных задач, например, для обтекания крыльев. С
некоторыми модификациями она пригодна для расчета концентрированных
вихревых структур и даже для течений с отрывом.
Область применения моделей с одним уравнением более обширна, чем
область применения алгебраических моделей. Тем не менее они значитель-
но уступают по универсальности моделям с двумя уравнениями, среди кото-
рых наиболее популярна так называемая к - 8-модель, основанная на гипо-
тезе турбулентной вязкости. Здесь к - кинетическая энергия турбулентных
пульсаций, а вводимая дополнительно функция 8 характеризует скорость
диссипации кинетической энергии к. Между кинетической энергией к, ско-
ростью диссипации 8 и масштабом турбулентности Z, как показано Прандт-
лем и Колмогоровым, существует связь
s » kyi/L, (8.29)
полученная в предположении, что течение является приблизительно равно-
весным, другими словами, диссипация кинетической энергии турбулентных
пульсаций почти полностью компенсируется ее генерацией осредненным
течением. Это характерно для так называемого инерционного интервала [8.1],
170
в котором количество энергии, поступающее от крупных вихреи к вихрям
более мелким, полностью (без потерь) передается далее к диссипативным
вихрям и затем переходит в тепловую энергию.
Из анализа размерностей следует простая взаимосвязь между турбулен-
тной вязкостью vz, характерной скоростью q = 4к и линейным масштабом
турбулентно сти
(8.30)
где Сц - некоторая константа, принимаемая равной 0,09.
Объединив (8.29) и (8.30), получим
(8.31)
Неизвестные функции к и 8 находятся из решения дифференциальных
уравнений переноса кинетической энергии и диссипации
Постоянные, входящие в эти уравнения, имеют следующие значения:
се1 = 1,44; Се2= l,92;CT>t= 1; <Уе= 1,3-
Полученные значения у (8.31) и к подставляются в закон Буссинеска (8.16)
для определения неизвестных компонент турбулентных напряжений (8.15).
Система уравнений к - 8-модели решается совместно с уравнениями Рей-
нольдса (8.14) с учетом следующих граничных условий. Поскольку твердая
стенка демпфирует турбулентные пульсации, естественно предположить, что
кинетическая энергия пульсаций обращается на стенке в ноль к = 0. Для ско-
рости диссипации 8 используется граничное условие отсутствия потока вели-
^8
чины 8 сквозь твердую стенку — = 0. На внешней границе течения гранич-
дп
ные условия зависят от того, является течение ламинарным или турбулентным.
В первом случае к и 8 полагаются равными нулю. Во втором случае к и 8 дол-
жны быть заданы. Если такая информация отсутствует, то к принимается рав-
ной величине 10"4 от кинетической энергии осредненного движения, а 8 нахо-
дится из соображений локально изотропной турбулентности.
В основе к - 8-модели лежит предположение о локальной изотропии турбу-
лентного течения, справедливое при очень высоких числах Рейнольдса вдали
от стенок. Так как вблизи стенки скорости осредненного течения и локальные
числа Рейнольдса малы, уравнения к- 8-модели оказываются непригодными.
Один из путей преодоления проблемы состоит в использовании так называемо-
171
го метода пристеночных функций, суть которого состоит в следующем. Разобь-
ем течение на две подобласти, внутреннюю узкую пристеночную подобласть и
внешний поток, получаемый путем расчета течения с помощью £-а-модели.
Пристеночные функции представляют собой функции известного вида, кото-
рые в отличие от к- Е-модели корректно описывают распределение скорости в
турбулентной пристеночной подобласти (см. § 8.5). Они имеют известный вид,
но содержат некоторые неизвестные коэффициенты. Граничные условия для
внешнего потока находятся из пристеночного течения, а неизвестные констан-
ты в пристеночных функциях определяются из расчета внешнего течения. Это
позволяет согласовать решения во внутренней и внешней подобластях.
Более универсальным способом, позволяющим преодолеть указанный выше
недостаток, является применение низкорейнольдсовых вариантов моделей с дву-
мя уравнениями. Подробный обзор моделей турбулентности представлен в [8.2,
8.3]. Модели а, £ - со и их низкорейнольдсовые варианты в настоящее время
чаще всего используются для решения инженерных проблем. Однако по прогно-
зам в течение ближайших двух-трех десятилетий они уступят свое место в пер-
вую очередь методам, в которых рейнольдсовы напряжения (8.15) рассчитывают-
ся из уравнений переноса рейнольдсовых напряжений (RSM методы), получаемых
непосредственно из уравнений Навье-Стокса, и методу крупных вихрей LES.
8.5. Структура осредненного поля скорости в пристеночном турбу-
лентном течении
Проанализируем плоскопараллельное безградиентное dpldx = 0 течение
(8.19) вдоль плоской стенки у = 0. Рассматривая силы, действующие на эле-
ментарный объем в виде прямоугольного параллелепипеда, расположенный
в потоке вдоль стенки, учитывая постоянство давлений и отсутствие ускоре-
ний, приходим к заключению, что т = т0, т. е. осредненное по времени на-
пряжение касательных сил поперек потока постоянно. Остановимся на двух
областях течения: вдали от стенки и в непосредственной близости от нее.
Поскольку при высоких числах Рейнольдса течение вдали от стенки не
зависит от вязкости, можно пренебречь вязкостным касательными напряже-
ниями. Тогда из условий (8.21) и (8.22) с использованием понятия динами-
ческой скорости (8.24) можно получить следующее дифференциальное урав-
нение для скорости
ip и
►Л- __
(8.33)
dy ку
Учитывая, что и* и т0 постоянны поперек потока, и, интегрируя это урав-
нение, находим
их =—In у + 1пС(),
к
где С() - постоянная.
172
Прибавим и вычтем из правой части одинаковое постоянное слагаемое
* * * *
— }п— , а затем, обозначая----ш-----н 1пС0 = и С , где С - новая постоян-
К V - К V
ная, и, объединяя слагаемые, находим
ux=—\ny++C. (8.34)
К
*
+ W у
Здесь у =------ безразмерный параметр по своей структуре аналогич-
v
ный числу Рейнольдса, выраженному через отстояние у данной точки пото-
ка от стенки. Экспериментально установлено, что для пристеночных тече-
ний как с градиентом давления, так и без него к « 0,41; С » 5,0.
В непосредственной близости от стенки турбулентные пульсации незначи-
тельны, и можно пренебречь турбулентными напряжениями. Эту зону называют
зоной вязкого подслоя. Отметим, что в вязком подслое существуют турбулентные
пульсации, и она не является зоной ламинарного течения. Если воспользоваться
прежним заключением о постоянстве величины т = т0 и для вязкого подслоя, то,
dux
применяя формулу (7.1), можно записать то ~ • Отсюда находим уравне-
_ dux Та _ Т0
ние для определения величины их : —— - —, согласно которому, их = — у + С j,
dy ц р
т. е. в вязком подслое при отсутствии продольного градиента давления имеет ме-
сто линейный закон распределения скоростей. Используя граничное условие при-
липания жидкости на стенке, получаем С1 = 0, вводя динамическую скорость, мо-
жем записать
и у
их=-----(8.35)
v
Найденные выше результаты суммированы на рис. 8.8. В логарифмичес-
ких осях показаны четыре характерных участка профиля скорости в турбу-
лентном пристенном течении.
Рис. 8.8. Характерные участки
профиля скорости в турбулентном
пристеночном течении
173
Первый участок I соответствует вязкому подслою с линейным распреде-
лением скорости (8.35). Эксперименты и расчеты с помощью DNS показы-
вают, что вязкий подслой лежит в интервале 0 <у+ < 5. В этом подслое вяз-
кие напряжения превалируют над турбулентными. Логарифмический слой
(8.34) III, называемый часто законом стенки, в котором можно пренебречь
вязкими напряжениями, занимает интервал 30 <у+ < 0,155, где 5- толщина
пограничного слоя. Под 5 следует понимать расстояние от стенки, на кото-
ром продольная скорость достигает значения 0,995 где - скорость на
бесконечном удалении от стенки. При 0,155 <у+ < 5 профиль скоростей ана-
логичен профилю скорости в свободной турбулентной струе или в следе за
телом. Поэтому этот участок, обозначенный цифрой IV, называется облас-
тью следа. Между логарифмическим слоем и вязким подслоем лежит бу-
ферная зона II, профиль скорости в которой уже отличается от линейного, но
еще не является логарифмическим. В этой зоне влияние вязких и турбулен-
тных напряжений равнозначно.
Установленная выше многослойная структура турбулентного пристеноч-
ного течения универсальная и имеет место не только в рассмотренном про-
стейшем случае безградиентного течения вдоль пластины, но и в более слож-
ных градиентных течениях вблизи гладких и шероховатых поверхностей.
Большинство турбулентных течений - не некий однородный поток с на-
ложенными на него пульсациями скорости. Для того чтобы представить себе
наглядно, что происходит в турбулентном потоке, следует в безветренную
погоду понаблюдать за истечением струи дыма из трубы (см. рис. 10.26).
Струя вырывается клубами и принимает замысловатую трехмерную форму
с нерегулярными границами. Дым играет роль естественной визуализации
вихревых структур различного масштаба, образующихся на границе струи.
Проследите за их сложным нестационарным движением, генерацией, взаи-
модействием и рассеиванием. Осредненная картина представляет собой,
однако, стационарную, гладкую расширяющуюся в вертикальном направле-
нии осесимметричную струю. Аналогичная ситуация имеет место в боль-
шинстве турбулентных течений. Если, например, проанализировать мгно-
венное поле скорости турбулентного течения в трубе, то можно обнаружить
в относительно однородном поле вихревые структуры различного масшта-
ба, которые периодически зарождаются, перемещаются и исчезают. Осред-
ненное же течение является стационарным и имеет профиль скорости, пока-
занный на рис. 8.3. Особенно сложна картина динамики турбулентных вихрей
вблизи твердых границ потока.
Структура турбулентного течения вблизи стенки очень неоднородная.
Имеет место перемежаемость (явно выраженное чередование) областей низ-
коскоростной и высокоскоростной жидкости [8.4]. Эти области имеют фор-
му узких полос (streaks), ориентированных вдоль потока. Полосы низкоско-
ростной жидкости мигрируют в вертикальном направлении в пограничный
слой и в районе внешней границы буферной области испытывают неустой-
174
чивость и разрушаются. Процесс проникновения низкоскоростной жидко-
сти в верхние слои называется ejection, а их разрушение - burst. Разрушение
сопровождается поступлением высокоскоростной жидкости в пристеночную
область, которая вытесняет медленно текущую жидкость из пристеночной
области. Последний процесс называется sweeping. Эти процессы, характе-
ризующиеся высокой перемежаемостью во времени и пространстве вызы-
вают сильные колебания рейнольдсовых напряжений и в наибольшей степе-
ни обуславливают процессы порождения и диссипации энергии. В частности,
наблюдения показывают, что диссипация в буферной области происходит в
сдвиговых слоях, окружающих области жидкости, распространяющиеся с
различной скоростью.
Физической причиной этих явлений, характеризующихся сильной ани-
зотропией, являются вихри продольной и поперечной ориентации. В низ-
ших слоях течения имеет место цепочка вращающихся в противоположных
направлениях продольных вихрей. Продольные вихри доминируют над по-
перечными вплоть до верхней границы буферной зоны и составляют угол со
стенкой 5° приу+ = 15 и около 15° приу+ = 30. Частично в буферной зоне, на
участке логарифмического профиля скорости, и во внешней зоне погранич-
ного слоя доминируют поперечные энергоемкие вихри. Сложное взаимо-
действие этих вихревых структур и порождает явления образования полос,
эжекции, разрушения и вытеснения. В результате этих сложных явлений
мгновенный профиль скорости, как правило, значительно отличается от про-
филя, изображенного на рис. 8.8. Тем не менее осредненный профиль имеет
универсальную структуру, описанную выше и показанную на рис. 8.8.
КОНТРОЛЬНЫЕ
ВОПРОСЫ
1. Дайте определение ламинарному и турбулентному
течениям. Может ли быть вихревое течение ламинар-
ным?
2. Что такое критическое число Рейнольдса?
3. При какой скорости в трубе диаметром 0.1 м произой-
дет переход ламинарного течения в турбулентное.
4. Назовите три главные технологии моделирования тур-
булентных течений. В чем их суть?
5. Назовите модели для расчета рейнольдсовых напря-
жений. Какая гипотеза лежит в основе этих моделей?
ЗАДАЧИ
2.
Докажите равенство: uxuv = uuv + uxuY .
Вычислите масштаб турбулентности для автокор-
реляционных функций /(г/) - екг1М и
g(r|) = e к х] /4(1 -к* 2т\2/4). Покажите, что для пер-
вой функции масштаб турбулентности в два раза
больше, чем для второй.
Постройте профиль осредненной скорости в тур-
булентном пограничном слое на пластине, обте-
каемой потоком воды при температуре 20 ° со ско-
ростью = 1 м/с. Локальное напряжение трения
на пластине определяется формулой Блазиуса
~^т- = 0,0225
щина пограничного слоя и Re
ное число Рейнольдса. Профиль следует постро-
ить при х = 1 м.
, где 3 = 0,37Re
тол-
— - локаль-
176
ГЛАВА 9
ОСНОВЫ ГИДРАВЛИКИ
9.1. Введение
Под гидравликой, или, как часто говорят, внутренней задачей гидромеха-
ники, понимают обширный раздел общей механики жидкости и газа, иссле-
дующий течение в трубах, реках и каналах, а также во внутренних каналах
различных турбомашин. При этом исходят из условия, что протекающая в
них жидкость (или газ) ограничены внешними стенками.
Основы гидравлики были заложены в работах Г. Хагена и Ж. Пуазейля,
которым удалось в 1839-1841 гг. вывести формулы для потерь давления при
медленном (ламинарном) течении в трубах (см. § 9.5). Они показали, что эти
потери, возникающие вследствие трения жидкости о стенки трубы /у, про-
порциональны средней по сечению скорости движения жидкости wcp, под
которой понимают отношение расхода Q к площади живого сечения S:
u=Q/S. (9.1)
Этот вывод, однако, противоречил экспериментальным результатам, по-
лученным Г. Дарси и Дж. Вайсбахом в 1850 г. (см. § 9.6) для течений жидко-
сти при условиях характерных для большей части технических приложе-
ний. Потери давления оказались пропорциональны квадрату скорости hf ~ и^
. Причина такого различия в результатах стала полностью понятна только
после опытов Рейнольдса в 1884 г., который показал, что в зависимости от
безразмерного параметра Re = uc?D/ v, названного впоследствии числом Рей-
нольдса, возможны два качественно различных режима течения. О. Рейнольдс
обнаружил, что для трубы заданного диаметра D существует критическое
значение числа ReKp , превышение которого ведет к турбулизации течения в
трубе. По измерениям О. Рейнольдса, течение в трубе всегда остается лами-
нарным, если Re < 2000, и становится полностью турбулентным, если
Re > 4000. Интервал 2000 < Re < 4000 является переходным, и в нем возмо-
жен как ламирный, так и турбулентный режимы течения. В технических
177
приложениях в качестве порогового значения числа Рейнольдса, отделяю-
щего ламинарный и турбулентный режимы течения в трубах, принято значе-
ние ReKp = 2400. Течение в трубе считается полностью развитым турбулент-
ным, если Re > 10 000.
Профиль скорости в трубе формируется на начальном участке (рис. 9.1)
при входе потока в трубопровод. Вначале на стенках образуется ламинар-
ный пограничный слой, который растет вниз по потоку и смыкается на оси
трубы. При Re > 2400 на некотором расстоянии от входного сечения проис-
ходит турбулизация ламинарного пограничного слоя (рис. 9.1, б). Устано-
вившийся профиль скорости, который не претерпевает изменений вниз по
потоку, если не происходит изменений сечения трубы и ее шероховатости,
формируется на расстояниях LH от входного сечения. Длина начального уча-
стка LH при этом может быть определена по приближенной формуле
LH = Z)(7.851gRe - 4.4).
Это расстояние необходимо для формирования пограничных слоев, их
слияния и затухания всех возмущений, возникающих при входе потока в
трубопровод. Понятие пограничного слоя для профиля скорости в трубо-
проводе, строго говоря, не имеет большого смысла, так как невозможно най-
ти разумное определение его внешней границы. Тем не менее структура ос-
редненного пристенного турбулентного течения универсальна и содержит
три характерные области: вязкий подслой, переходную область и логариф-
мическую зону изменения скорости (см. § 8.5).
б)
а)
Рис. 9.1. Формирование течения при входе в трубопровод:
а - ламинарное течение; б - турбулентное течение
178
9.2. Гидравлические свойства плавно изменяющихся течений
Плавно изменяющимся течением называют течение, в котором радиус
кривизны линий тока и угол раствора между соседними линями тока малы.
Такие течения имеют место в слабоискривленных трубопроводах с медлен-
но изменяющимися поперечными сечениями. Предположим, что ось х на-
правлена вдоль потока, а оси у и z расположены в плоскости живого сечения.
Введем представления
и = и + и'; и = и'; и„ = и' ,
А А У у ~ Z
в которых штрихами обозначены малые по сравнению с основной продоль-
ной скоростью течения и скорости возмущений: их &uf &и'х слабо зави-
сящие от продольной координаты. Будем считать, что
г t
иу. —и
.В дальнейшем исследуем лишь течения несжимае-
мой жидкости. В силу уравнения неразрывности
(9.2)
скорость их является функцией только двух координату и z. Полагая течение
Ж
жидкости установившимся, т.е. — = 0 , из уравнений Навье-Стокса для ла-
ot
минарного течения будем иметь
(9.3)
откуда из условий малости скоростей возмущений и их производных по ко-
ординатам, а также с учетом (9.2), получаем
(9.4)
179
Два последних уравнения полностью совпадают с уравнениями гидро-
статики несжимаемой жидкости. Это означает, что в плоскости живого се-
чения в плавно изменяющемся потоке вязкой жидкости давление также
изменяется по закону гидростатики. Отличием системы (9.4) от гидроста-
тики является то обстоятельство, что гидростатический закон перераспре-
деления давлений
имеет место лишь для данного живого сече-
ния; при переходе к другому живому сечению этот двучлен изменяется по
величине.
Рассмотрим суммарное давление в произвольной точке живого сечения
как суммур - гидростатического давления и избыточного давленияри. Учи-
1 dp
тывая уравнение гидростатики F-------L = 0 , первое из уравнений (9.4) мож-
р dx
но записать в виде
р dx
(9.5)
В соответствии с последним уравнением вводят понятие безнапорных
- = 0 и напорных
ф 0 потоков. К безнапорным потокам относятся
,. dp
течения жидкости в открытых руслах и каналах. Напорные потоки ф О
dx
характерны для течений жидкости в трубопроводах, полностью заполнен-
ных водой или воздухом или любой другой средой. Так как правая часть
уравнения (9.5) зависит только от у и z (согласно (9.2) ди /дх = 0), а левая -
от координаты х, то данное равенство можно выполнить лишь при условии
—- - const, откуда следует, что вдоль потока избыточное давление изменя-
dx
ется по линейному закону. В напорном течении поток приводится в движе-
ние либо с помощью насосной установки, либо гидростатическим давлени-
ем, создаваемым за счет разности уровней жидкости. В безнапорном течении
в открытом русле течение поддерживается за счет действия массовых сил
тяжести.
Отметим, что приведенный выше вывод для плавно изменяющегося те-
чения основан на использовании уравнений Навье-Стокса для ламинарно-
го течения. В турбулентных течениях, как считают некоторые авторы, к
этим полученным закономерностям нужно вводить незначительные кор-
рективы. На практике в гидравлике этим пренебрегают и считают, что за-
висимость (9.5) может быть использована и для исследования турбулент-
ных течений.
180
9.3. Одномерная задача гидромеханики вязкой жидкости
На сегодняшний день расчет плавно изменяющегося турбулентного те-
чения с помощью численных методов (см. § 15.7) серьезных трудностей не
вызывает. Тем не менее классические методы гидравлики, основанные на
одномерных уравнениях, остаются актуальными. Действительно, если рас-
считывается трубопровод длиной несколько километров и диаметром труб
порядка одного метра, численный расчет трехмерной задачи оказывается в
силу огромных затрат компьютерных ресурсов либо невозможным, либо
нецелесообразным. В этом случае эффективным оказывается следующий
классический одномерный подход, основанный на использовании энергети-
ческих соотношений.
Движение жидкости будем считать установившимся. Когда массовые
силы - силы тяжести, в невязкой жидкости, вдоль линии тока, справедлив
интеграл Бернулли, выражающий закон сохранения механической энергии:
(9.6)
Здесь индексы 1 и 2 означают любые точки, находящиеся на линии
тока, а члены, входящие в (9.6), характеризуют составляющие энергии
жидкой частицы, отнесенные к ее весу (составляющие удельной механи-
ческой энергии).
При движении вязкой жидкости от точки 1 к точке 2 на рис. 9.2 будет
происходить процесс диссипации (рассеивания) механической энергии, часть
которой, согласно закону сохранения и превращения механической энергии,
переходит в тепловую форму. С этой точки зрения можно говорить о «поте-
ре» механической энергии.
В соответствии с вышесказанным уравнение энергии для вязкой жидко-
сти может быть записано в виде
Pg 2g
(9.7)
где hn - часть механической энергии, перешедшей в тепло. В гидравлике
принято говорить об этом члене, характеризующем безвозвратно потерян-
ную механическую энергию, как о потере напора.
Соотношение (9.7), справедливое для линии тока, можно распространить
на поток в трубе конечных размеров. Выберем сечения 1 и 2 на участках, где
течение жидкости плавно изменяется (см. рис.9.2). В сечениях, где течение
жидкости плавно изменяется, распределение давления подчиняется гидроста-
тическому закону----\- z - С . Скорости в точках живого сечения различны.
PS
181
Рис. 9.2. Поток жидкости в трубе
конечных размеров.
Рассмотрим элементарную трубку тока с сечениями dSx и dS2, линия тока
проходит через центры этих площадок. Умножим обе части уравнения (9.7)
на весовой расход элементарной струйки pguxdSx = pgu2dS2 и проинтегри-
руем по площади живого сечения:
2
\ . 2
Р\ jc f ^1 JO
ь—L pguldSl + \-^-pgu[dSl =
PS J
„.2
pgu2dS2 +
' s
5,
Преобразуем входящие в это выражение интегралы с учетом уравнения
неразрывности Qx = uxdSx = Q2 = u2dS2 и свойств давлений поперек живого
Р
сечения + z = С :
Pg
к виду
182
где ак - коэффициент кинетической энергии, учитывающий влияние нерав-
номерности распределения скоростей по живому сечению на величину ки-
нетической энергии, вычисленную по средней скорости потока. Если и = и ,
то ак = 1. Интеграл \hnupgdS представим в виде
\hnudS
hnupgdS =pgSu ------— = pgu SHn; Нп
J uhndS
_ s
где Нп - осредненная по живому сечению удельная потеря механической
энергии.
С учетом всего вышеизложенного уравнение Бернулли для потока вяз-
кой жидкости представится в следующем виде:
(9.Ю)
Размерность членов, входящих в это уравнение Нм/с = Дж/с =Вт - раз-
мерность мощности. Поэтому можно заключить, что уравнение Бернулли
выражает собой закон сохранения и превращения энергии: мощность пото-
ка в первом живом сечении равна мощности во втором живом сечении с
учетом потерь механической энергии, перешедшей в тепловую форму. Раз-
делив обе части последнего уравнения на весовой расход pgQ, придадим
уравнению Бернулли для установившегося течения вязкой жидкости следу-
ющий окончательный вид:
Подчеркнем, что между живыми сечениями могут быть участки, в кото-
рых течение жидкости, не является плавно изменяющимся. Это не препят-
ствует применению уравнения (9.11), поскольку потери механической энер-
гии учитываются в члене Н.
В гидравлике все потери подразделяются на: распределенные на трение
и местные Н^ = h^ + hm. Потери на трение /у возникают из-за вязкости транс-
портируемой по трубопроводу жидкости. Они более или менее равномерно
распределены по всей длине трубопровода. Местные потери hm возникают в
местах резкого изменения геометрии течения: при изгибе труб, резком суже-
нии или расширении сечения (рис. 9.6), в местах локального загромождения
гидравлического сечения различного рода арматурой. Причиной возникно-
вения местных потерь, или местного сопротивления, являются локальные
отрывы сопровождающиеся вихрееобразованием. Для многокилометровых
183
трубопроводов местные потери в сравнении с потерями на трение пренебре-
жимо малы. Для коротких трубопроводов местные потери могут превосхо-
дит потери на трение в несколько раз. При наличии между точками 1 и 2 т
участков трубопровода и п местных сопротивлений полные потери записы-
ваются в виде суммы
т п
Hn=Yhfi + Yh'nj- (9-12)
/=1 у=1
При этом предполагается отсутствие взаимного влияния источников по-
терь энергии. Потери на трение в ламинарном и турбулентном течениях в
трубопроводе рассматриваются в § 9.4—§ 9.7. Определение местных потерь
обсуждается в § 9.8.
Размерность всех членов, входящих в (9.11),-линейные, что позволяет
провести их графическую интерпретацию, называемую диаграммой Бер-
нулли. Обозначим удельную энергию в начальном сечении потока через Н
и введем понятие напорной линии, ординаты (аппликаты) которой ZH л оп-
ределяются зависимостью
гн.л. = Н~ (НЛ (9-13)
Здесь (И ) характеризует потерю напора на участке длиной х вниз по потоку.
Согласно уравнению Бернулли, ордината напорной линии характеризу-
ет механическую энергию в данном сечении потока. Введем далее понятие
пьезометрической линии Zn , ордината которой находится из соотношения
4.л.=4л.-^- (9-14)
2g
Очевидно, пьезометрическая линия характеризует потенциальную энер-
гию потока в данном сечении. Применительно к конкретной задаче течения
жидкости по трубопроводу диаграмма Бернулли представлена на рис.9.3.
184
9.4. Применение закона количества движения для течения
жидкости в цилиндрической наклонной трубе
Рассмотрим установивишееся движение в круглой трубе радиусом R,
наклоненной к горизонту под углом 0 (рис.9.4). В условиях установившего-
ся ламинарного течения закон распределения скорости во всех сечениях по
длине трубы одинаков и является осесимметричным. Для турбулентного те-
чения эти правила также справедливы, но для осредненной продольной ско-
рости. Соотношения, которые будут получены в этом параграфе, справедли-
вы как для ламинарного, так и для турбулентного течений. Различие состоит
лишь в том, что в случае турбулентного потока используемые далее физи-
ческие величины следует понимать как осредненные по Рейнольдсу.
Рис. 9.4. Схема течения в круглой
трубе
На жидкий элемент толщиной 5г длиной 5/ действуют силы давления,
трения и сила тяжести жидкости. Согласно закону количества движения,
сумма всех сил равна изменению количества движения, которое, в свою оче-
редь, в установившемся движении равно нулю. В результате получим следу-
ющее соотношение:
plnrbr - (/? + — 5/)2кг5г + т2кг5/ -
dl
(9.15)
5г)2к(г + 5г)5/ + pg27ir5/8rsin0 = 0.
Разделив (9.15) на 2лг8г5/ и пренебрегая квадратами малых величин,
получим
185
(9.16)
При выводе формулы (9.16) было использовано очевидное соотношение
sinO = - dz/dl. где z — вертикальная координата. Объединяя второе и третье
слагаемое, согласно
Л т 1 d z
— + - =-----(l-г),
dr г г dr
(9-17)
получаем следующее дифференциальное уравнение:
d
dr
(p + pgz)
(9.18)
9
интегрирование которого по г приводит к следующему соотношению:
г2 d
~2 dl
(p + pgz} + Cx .
(9.19)
При г = 0 левая часть и первое слагаемое в правой части обращаются в
нуль. Следовательно, неизвестная константа Ц должна быть равна нулю.
Итоговая формула имеет вид
г dp*
(9.20)
где р* = р + pgz - пьезометрическое давление.
Из (9.20) следует, что касательные напряжения распределены в сечении
трубы по линейному закону. На оси трубы они равны нулю, а на стенке дос-
тигают максимума.
9.5. Ламинарное течение жидкости в цилиндрической
наклонной трубе
В ламинарном течении для касательных напряжений действительна фор-
мула Ньютона (7.1)
du
т = (9.21)
dr
Знак «минус» учитывает напрвление оси г к стенке, а не от стенки, как в
формуле (7.1).
Подставляя (9.21) в (9.20), получаем
dr 2 ц dl
(9.22)
Произведя интегрирование формулы (9.22), имеем
(9.23)
186
Постоянную интегрирования С2 определяем, используя граничное усло-
вие и = 0 при г = R:
д
г =1 dP* 2
~ 4ц dl
С учетом (9.24) закон распределения скорости в сечении трубы запишет-
ся в виде
(9-24)
„ _ 1 dP* (R2 Л
"r)-
(9.25)
n dp*
и > 0, так как < 0.
х dl
Уравнение (9.25) указывает на то, что распределение скорости в лами-
нарном течении в трубе имеет параболический характер. Макисмальное зна-
чение достигается на оси трубы г = 0
ll
т
I dp*
4ц dl
(9.26)
т.е.
Ux
Расход ламинарного течения
= Ч„(1--г). (9.27)
К
в трубе рассчитывается по формуле
R * R j *
f T 111 dp r z n 2x 7 я dp Л
- 2 я \ rudr ---------r(/?2 _ r)dr ------------к .
J A 4u dl J 8p dl
0 r 0 r
(9.28)
Средняя по сечению скорость связана с градиентом давления по формуле
2 = ч„, = 1 dp* R2
ср л/?2 2 8ц dl
(9.29)
Подставляя (9.27) и (9.29) в формулу для коэффициента кинетической
энергии (9.8), получаем ак = 2.
На практике средняя скорость выражается через потери энергии на уча-
стке длины L, связанные с преодолением сопротивления трения, вызванного
касательными напряжениями:
(9.30)
где Ар*- изменение пьезометрического давления на этом участке.
Формула (9.29) принимает вид
ср
1 hf D2
-—rPS —
8ц L 4
(9.31)
U
2
h =-^-
rl j
или
187
PgD2
(9.32)
Эта формула была впервые получена экспериментально независимо друг
от друга Хагеном и Пуазейлем. Касательное напряжение на стенке трубы
может быть найдено из формул (9.20) и (9.29):
то = 4Н%/Я-
9.6. Турбулентное течение жидкости в цилиндрической трубе
В случае турбулентного течения получение столь же простых зависимо-
стей, как в ламинарном течении, оказывается невозможным, поскольку за-
кон Ньютона (9.21) не учитывает турбулентных касательных напряжений.
Для решения задачи требуется привлечь эмпирические данные. Напряже-
ние на стенке r=R может быть получено из формулы (9.20), справедливой
для любого режима течения:
R dp*
11F
(9.33)
Потери пьезометрического давления (9.30) могут быть записаны в виде
hf = -^- = —?-L—. (9.34)
Pg <И Pg
Из (9.33) и (9.34) следует
^о=71р?4- (9-35)
Экспериментальные исследования Дарси, Вайсбаха и Рейнольдса пока-
зали, что потери напора пропорциональны квадрату средней скорости с не-
которым коэффициентом пропорциональности К: hf = Ат/С2. Подставив этот
результат в (9.35), получим
КисВ R „ 2
т0=—£Lpg ^|Ы2р. (936)
Li L
С учетом (9.35) и (9.36) потери напора запишутся в виде
<9-37’
где X = 8Х,/р является безразмерным параметром и называется коэффи-
циентом сопротивления трения трубы.
Формула (9.37) была получена впервые Дарси и Вайсбахом. Они оши-
бочно полагали, что X - постоянный коэффициент. На самом деле X зави-
сит от числа Рейнольдса и шероховатости трубы. В начале прошлого века
188
Блазиус на основе экспериментальных исследований получил зависимость
коэффициента трения гладких труб от числа Рейнольдса
= (9-38)
которая справедлива для 2400 < Re < 105.
Профиль скорости в турбулентном течении в трубе имеет три зоны, ха-
рактерные для турбулентного пристеночного течения:
• вязкий подслой, определяемый неравенством и у/у <5, и = >/т0/р,
• переходный участок (буферная зона) 5 < и у/v <30,
• зона логарифмического закона скорости, простирающаяся в вертикаль-
ном направлении до у < 0,15 R.
Распределение осредненной скорости в трубе можно представить в виде
степенной зависимости
_ z х 1! п
где ит - максимальная скорость на оси трубы у = 7?, параметр п зависит от
числа Рейнольдса и изменяется в пределах от 11 до 6 при изменении числа
Рейнольдса от 4-103 до 3106. По предложению Прандтля наиболее употре-
бительным является значение п = 7.
Если проинтегрировать скорость (9.39) по сечению трубы и отнести ин-
теграл к я/?2, получим среднюю скорость течения
мср = 2/72
йт (1+ «)(! + 2п)
При п = 7 средняя скорость равна г/ = 0.811йт. Если в ламинарном те-
чении средняя скорость г/ср = 0.5z/w, то в турбулентном течении она достига-
ет почти 82 % скорости на оси трубы, что происходит из-за более интенсив-
ного перемешивания течения в турбулентных потоках. Это также становится
причиной того, что значение коэффициента а^, учитывающего влияние не-
равномерности распределения скорости по сечению трубы на кинетичес-
кую энергию жидкости, оказывается почти в два раза меньше, чем в лами-
нарном течении, и составляет а* = 1 -И. 1. При практических расчетах можно
принимать значение ак = 1.05.
9.7. Влияние шероховатости на турбулентное течение
жидкости в цилиндрической трубе
Наиболее фундаментальное исследование влияние шероховатости на
сопротивление труб было выполнено Никурадзе. Эксперименты были про-
ведены при числах Рейнольдса для труб с зернистой искусственной шерохо-
189
ватостью, полученной наклеиванием однородных песчинок на поверхность
гладкой трубы. Для характеристики шероховатости Никурадзе ввел пара-
метр относительной шероховатости, равный отношению размеров зерен к
диаметру трубы k^/D, который в его опытах изменялся от 1/30 до 1/1014.
Оказалось, что в ламинарном течении влияние шероховатости отсутствует.
В турбулентном течении в зависимости от высоты бугорков шероховатости
возможно три режима течения в пристенном турбулентном течении в трубе.
и к
Если безразмерный параметр —1, аналогичный числу Рейнольдса, обра-
v * I------
зованному с использованием к^ и динамической скорости и = Дт0 /р , мень-
и*к
ше 5, т.е. -< 5 , то бугорки шероховатости находятся полностью в вязком
v
подслое турбулентного пограничного слоя. Их обтекание происходит безот-
рывно с малой скоростью. Влияние шероховатости на структуру турбулент-
ного пограничного течения и сопротивление трубы в этом случае отсутству-
ет, и труба назывется гидродинамически гладкой.
Второй переходный режим соответствует значениям шероховатости
5 < liA < 70. (9.40)
В этом режиме основания бугорков шероховатости находятся в вязком
подслое, а их вершины - в переходном слое. На вершинах образуется отрыв
вихрей, происходит частичное разрушение вязкого подслоя. Как следствие,
коэффициент сопротивления зависит от шероховатости k^/D.
ик^
В третьем режиме течения при---1 > 70 обтекание бугорков шерохова-
тости имеет развитый отрывной характер. Вязкий подслой и переходная об-
ласть профиля скорости практически вырождаются. Отрывное обтекание
бугорков шероховатости подобно обтеканию плохообтекаемого тела. По-
скольку коэффициент с сопротивления плохообтекаемых тел в предкризис-
ном и послекризисном режимах практически мало зависит от числа Рей-
нольдса, сопротивление, обусловленное шероховатостью и являющееся по
существу суммой сопротивлений отдельных бугорков, в третьем режиме
обтекания оказывается независимым от числа Рейнольдса.
Описанная физика течения отражается в зависимости коэффициента тре-
ния от числа Рейнольдса (представленной на рис.9.5) в логарифмических
осях. Можно выделить пять характерных участков. Коэффициент трения в
ламинарном режиме течения, получаемый записью (9.32) в форме (9.37),
64
Х = —, (9.41)
Re
соответствует наклонной прямой I. Влияние шероховатости полностью отсут-
ствует. За ламинарным участком следует участок II, соответствующий режи-
му перехода ламинарного течения в турбулентное. Этот участок лежит в диа-
190
пазоне чисел Рейнольдса 2000 < Re < 4000. Нижняя наклонная прямая III, яв-
ляющаяся предельной для кривых турбулентного течения, соответствует тур-
булентному течению в гидравлически гладкой трубе. Коэффициент сопротив-
ления при этом описывается формулой (9.38). Участок IV, на котором X зависит
как от числа Рейнольдса, так и от шероховатости, соответствует переходному
турбулентному течению. Протяженность этого режима зависит от отношения
k^D. Вязкий подслой в этом режиме сглаживает влияние шероховатости на
турбулентное течение. Последний, участок V диаграммы соответствует обте-
канию труб с сильной шероховатостью. Как было предсказано ранее, коэффи-
циент сопротивления на этом участке не зависит от числа Рейнольдса. И. Ни-
курадзе на основании опытов предложил следующую формулу для
коэффициента сопротивления в режиме течения с сильной шероховатостью:
(9.42)
(21gBM + 1.74)2
Представленные выше результаты были получены для однородной зер-
нистой шероховатости. Так называемая реальная, или техническая, шерохо-
ватость представляет собой совокупность бугорков неправильной формы и
различных размеров. В этом случае под следует понимать некоторую ус-
ловную среднюю приведенную высоту. Зависимость X(Re) для труб с техни-
ческой шероховатостью имеет две характерные особенности. Во-первых, от-
сутствует впадина на переходном участке. Во-вторых, при равных значениях
^5 труба с технической шероховатостью перестает быть гидродинамически
гладкой при меньшем числе Рейнольдса, чем труба с зернистой шероховато-
стью. Для расчета сопротивления труб с технической шероховатостью мо-
жет быть использована формула А.Д. Альтшуля
Х. = 0.1(1.46^- + — )|/4.
D Re
(9-43)
0.126
О Л
In X
0.032 -
0.016 |_
400
In Re
Рис.9.5. Зависимость коэффициента
сопротивления трубы от числа Рейнольдса
191
3. Местные потери напора
Местные потери напора h принято представлять в виде
hm^^l2g, (9.44)
ie - коэффициент местного сопротивления.
Для случая внезапного расширения трубопровода коэффициент мо-
л быть найден аналитически. Для геометрически более сложных местных
противлений, коэффициент определяется на основе измерений или рас-
тов с помощью численных методов (см. § 15.7). Рассмотрим случай вне-
пного расширения (рис. 9.6, а). Можно вполне обоснованно предположить,
о давление в точке 1 сразу за местом резкого изменения сечения равно
влению в точке 1 и местные потери происходят главным образом на учас-
te между точками 1 и 2.
Рис, 9.6. Характер течения в местном
сопротивлении
Применим закон количества движения к сечениям 1 и 2
p{S{ ~Pi$2 ~ P(u2(u2S2) -и^и^У). (9.45)
|десь и - средняя по сечению скорость.
С учетом уравнения неразрывности u2S2 = иуравнение (9.45) может
)ыть переписано в виде
— (z/j ^2). (9.46)
Pg g
Местные потери могут быть определены из уравнения Бернулли, запи-
:анного для точек 1 и 2:
2 2
Pl , Щ = Pl . Ц2 , h
pg 2g pg 2g
Из (9.47) непосредственно получаем
_ и2 - ul р2 - рх
2g Pg
Объединяя (9.46) и (9.48), находим
=(«,-w2)2/2g.
(9-47)
(9.48)
(9.49)
Выразив скорость и2 через их с помощью уравнения неразрывности, при-
ходим к окончательным выражениям
hm
Uy
1
(9.51)
Для вычисления потерь при внезапном сужении течения (рис. 9.6, б)
можно использовать приближенный подход, основанный на следующих со-
ображениях. Сразу за сечением внезапного изменения сечения происходит
сужение течение, которое согласно экспериментальным наблюдениям, дос-
тигает 40 %, т.е. Sj j = 0.6£2, где - площадь живого сечения течения в
сечении 1 . Потерями на участке 1-1 пренебрегается и считается, что все
местные потери возникают на участке 1 -2 за счет расширения течения. Эти
потери могут быть рассчитаны по формуле (9.50), если вместо площади и
скорости их использовать площадь и скорость в наиболее узком сечении по-
тока - 0.6S2 и г/2/0,6:
2
hm = 0.44^. (9.52)
2g
В силу большой сложности теоретического анализа наиболее точно ко-
эффициенты местных сопротивлений определяются чаще всего эксперимен-
тально. Принципиальная методика такова: местное сопротивление помеща-
ют в трубопровод достаточной длины порядка 15-20 диаметров до местного
сопротивления, и после него, чтобы течение жидкости в этих сечениях мож-
но было считать плавно изменяющимся. Измеряют давление в начале рн и в
конце рк трубопровода с учетом влияния местного сопротивления и в его
отсутствии. В первом случае (рн1 -рк1)м включает в себя потерю напора на
местном сопротивлении, а во втором (рн2 -р 2) влияние местного сопротив-
ления отсутствует. Поскольку сечения S и 5к равны, равны и скорости и
и , т. е. и = и = и
к’ ±. ч,. <*н <*к кср
7 Зак 4042
193
Из этого рассуждения вытекает, что потери напора на местном сопро-
тивлении равны pg/?M =Арм = (ри| -рк1) - (рн2-р^- Опыты проводят в оп-
ределенном диапазоне чисел Рейнольдса, получая для местного сопротив-
ления данной геометрии зависимость от числа Рейнольдса. Наибольший
практический интерес представляет тот случай, когда коэффициент местно-
го сопротивления перестает зависеть от числа Рейнольдса, что, как правило,
имеет место для турбулентного режима течения.
Существуют справочники, содержащие значения самых разнообразных
местных сопротивлений [9.1], в том числе и местных сопротивлений судо-
вой арматуры. Следует только иметь в виду, что в этих справочниках даны
величины номинальных коэффициентов для одиночных местных сопро-
тивлений. В судовых системах в ряде случаев сопротивления расположе-
ны на близких расстояниях и имеет место их взаимное влияние. Однако в
основном, как показывает практика, неучет взаимовлияния идет в «запас»,
т.е. к завышенным значениям Qm. Это и позволяет при расчетах судовых
систем использовать справочные данные, соответствующие одиночным ме-
стным сопротивлениям.
9.9. Расчет трубопроводных систем
Трубопроводные системы подразделяются на простые и сложные. Про-
стой трубопровод представляет собой цепь участков труб различного диа-
метра, последовательно соединенных между собой и не имеющих ответвле-
ний (рис.9.7). Сложные трубопроводы состоят из системы простых
трубопроводов, соединенных между собой последовательно и параллельно
и включающих в себя различного рода источники напора.
Линия полного
Рис. 9.7. Простой трубопровод
Рассмотрим гидравлический расчет простого трубопровода (рис.9.7),
соединяющего два накопительных резервуара. Жидкость перетекает из
напорного резурвуара, в котором поддерживается постоянный уровень,
194
в приемный. Важнейшим свойством простого трубопровода является посто-
янство расхода Q вдоль его длины. Поэтому скорости на различных его уча-
стках удовлетворяют простому уравнению неразрывности
и^ = (1 (9.53)
где z - номер участка.
Применяя уравнение Бернулли для точек 1 и 2, получаем
—+ w12/2g + z1 = —+ z/2 /2g + z2 + hm + hf .
Pg Pg
(9.54)
где hjnhm- суммарные потери на трение и суммарные местные потери меж-
ду резервуарами.
Согласно (9.37) и (9.44), они равны
где М- количество участков в трубопроводе; N - количество местных со-
противлений.
Считая, что уровень воды в обоих резервурах меняется медленно,
и\ = и2 = О и Давление на поверхности жидкости в резервуарах равно атмос-
ферному, =р2 = ^атм, получаем
Если длины труб заданы, то (9.55) связывает три неизвестные величи-
ны: расход Q, диаметры Di, напор Н и позволяет решить три следующие
практически важные задачи:
• при известных диаметрах Dj найти по формуле (9.55) требуемый напор
Я, обеспечивающий заданный расход Q\
• при заданных диаметре труб Dj и напоре Я найти расход Q:
• найти диаметры £>., обеспечивающие расход Q при заданном напоре Я.
Поскольку коэффициенты А,. зависят от числа Рейнольдса и относитель-
ной шероховатости (т.е. от расхода и диаметров), последние две задачи явля-
ются нелинейными и могут быть решены только методом последовательных
приближений.
195
Рис. 9.8. Трубопровод с параллельным
участком
Технология расчета сложного трубопровода может быть разработа-
на с использованием решений двух следующих модельных задач:
расчет параллельного участка (рис.9.8) и разветвления с дополнитель-
ными источниками напора (рис.9.9). При расчете сложных трубопрово-
дов каждое его звено между узлами рассматривается как простой тру-
бопровод, для которого справедливы все соотношения, полученные
выше.
Рис. 9.9. Трубопровод с разветвлением
При расчете параллельного участка следует учесть, что в силу уравне-
ния неразрывности суммарный расход в трубопроводе равен сумме расхо-
дов в параллельных звеньях:
Q = Q\ + Q2-
(9.56)
а потери энергии от точки разветвления до точки слияния потоков в силу
непрерывности изменения энергии равны:
Й/1 + hm\ - hfl + hm2-
(9.57)
196
Уравнения (9.56) и (9.57) позволяют единственным образом выразить
скорости на участках 7 и 2 через скорость на входе и выходе в параллельное
соединение. Уравнение, связывающее напор и потери в сложном трубопро-
воде с параллельным участком, запишем в виде
Н ~hb + hf\ +hm\ + ha’
где hb - потери на участке до точки разветвления; ha - потери на участке
после точки слияния. С помощью этого уравнения могут быть решены три
практические задачи, рассмотренные выше для случая последовательного
соединения.
Если в трубопроводной системе имеется несколько источников напора,
как например в системе, изображенной на рис.9.9 справедливы следующие
соотношения:
hfi = zx-H\
h/3 = Н -z3;
23=2i+22,
(9.58)
где Н — напор в точке ветвления.
При известной геометрии трубопроводной системы расход жидкости в
ней может быть найден методом последовательных приближений. В первом
приближении задаются некоторым значением Я, затем находят скорости и
расходы на участках 7, 2 и 3 из первых трех уравнений (9.58). Если выпол-
няется равенство 2з = 21 + 22, т0 решение найдено. Если нет, Я уточняется
и расчет повторяется заново.
Если в трубопроводной системе имеется насос Я (рис. 9.10), то он
рассматривается как дополнительный источник энергии, сообщаемой по-
току жидкости в системе. В уравнении энергии (9.54) приращение удель-
ной энергии может быть учтено введением дополнительного слагаемого
Н „ равного напору создаваемого насосом. Гидравлической характерис-
тикой насоса является зависимость высоты, на которую может быть по-
дана жидкость, от расхода Н (Q). типичный характер которой показан на
рис. 9.11. Рассмотрим простой трубопровод, в котором жидкость с помо-
щью насоса перекачивается на высоту Я (рис. 9.10). Расход в этой систе-
ме определяется точкой пересечения линии располагаемого напора Н (Q)
и линии потребного напора h{Q). Потребный напор h{Q) равен сумме
высоты Я и потерь напора на трение до /?^(2) и после h^Q) насоса. По-
скольку согласно формуле Дарси- Вайсбаха потери напора зависят от квад-
рата скорости и числа Рейнольдса, то зависимость h{Q) носит нелиней-
ный характер. Выбор насоса для данного режима работы считается
оптимальным, если точке h(Q) = Hp(Q) соответствует наивысший коэф-
фициент полезного действия насоса.
197
Рис. 9.10. Трубопроводная система
с насосом
Расход, л/с
Рис 9.11. Характеристики насоса
Расчет сложных трубопроводных систем, образующих замкнутый кон-
тур, осуществляется с помощью коммерческих компьютерных программ.
В их основе лежит решение системы нелинейных алгебраических уравне-
ний, получающихся применением уравнения неразрывности для каждого узла
п
/=1
(9-59)
где п - число участков труб, входящих в узел; qt - количество жидкости вте-
кающей > 0 или вытекающей qt < 0 из узла /, а также уравнения энергии
для замкнутого контура
т
S^=0'
(=1
(9.60)
198
где йуу - изменение напора в участке /; т - количество участков в контуре.
При этом Ир считается положительным, если жидкость в участке i замкнуто-
го контура течет в направлении по часовой стрелке. Согласно (9.60), все по-
тери на трение компенсируются источниками напора, т.е. насосами или на-
порными резервуарами. Система (9.59), (9.60) является нелинейной,
поскольку нелинейным образом зависит от расходов qt и решается итера-
ционными методами.
9.10. Истечение жидкости из отверстий и насадков
при постоянном напоре
Рассмотрим истечение жидкости из малого отверстия в тонкой стенке
при постоянном напоре h + p^/pg - const (рис.9.12).
Рис, 9,12, Схема истечения жидкости
из малого отверстия в тонкой стенке
при постоянном напоре
Площадь отверстия So предполагается значительно меньшей, чем пло-
щадь свободной поверхности жидкости в емкости (S0«S^). Диаметр
отверстия Do« h + pjpg- Эти два предположения позволяют считать про-
цесс истечения жидкости из бака установившимся (за определенный про-
межуток времени). Тонкость стенки предполагает, что на течении не ска-
зывается направляющее влияние боковых стенок отверстия. Характерной
чертой истечения жидкости из отверстий является то, что при этом струя
сужается и приобретает цилиндрическую форму лишь на некотором рас-
стоянии b от отверстия. Это объясняется тем физическим обстоятельством,
что при подходе к отверстию частицы жидкости не могут сразу развер-
199
нуться на 90°, а движутся по криволинейной линии тока. В этом районе
течение жидкости не является плавно изменяющимся, отверстие эквива-
лентно местному сопротивлению, коэффициент которого ^0. Применим
уравнение Бернулли для двух сечений, в которых сечение жидкости мож-
но считать плавно изменяющимся, а именно: сечение на свободной повер-
хности жидкости в баке и сечение в том участке струи, в котором она при-
обрела цилиндрическую форму. Истечение происходит в атмосферу.
Приведем выкладки, аналогичные изложенным в предыдущем параграфе.
При этом пренебрежем малой величиной Ь по сравнению с (h + pjpg).
Получим
h + Pjpg =
(9-61)
откуда получим выражение для скорости истечения жидкости из отверстия
Мср2 = мо:
j2g(/? + /2„/pg) г—-------------—-
w0 = -2-- ----= ф0 J2g(h + ри /pg). (9.62)
\^к2 + ^0
Величина <р0=—. называется коэффициентом скорости;
<р0 < 1. Обозначив площадь сжатого сечения струи S и связав ее с номиналь-
ной площадью отверстия So посредством соотношения
Sc = S0£c, (9.63)
получим формулу для расхода жидкости через отверстие:
Qo - uQSc - <Ро8Л j2g(/? + pH/pg) “ Moso72^(/z + A/Pg). (9.64)
Величина 8c называется коэффициентом сжатия струи, а ц0 = Фоес~
коэффициентом расхода. Опыты показывают, что для малых отверстий
коэффициент расхода весьма стабилен; для турбулентных режимов течения,
когда ц0 не зависит от числа Рейнольдса, ц0 » 0.6 4- 0.62. При этом, как ус-
тановлено из опытов, эта величина практически не зависит от формы отвер-
стия (круглое, квадратное, прямоугольное, треугольное). Установлено так-
же, что под действием сил поверхностного натяжения после прохода сжатого
сечения происходит инверсия струи. Так, из отверстия квадратной формы
вытекает струя звездообразной формы. Однако инверсия струи не сказыва-
ется на величине коэффициента расхода.
Определенный интерес для судостроителей представляет случай тече-
ния жидкости через затопленное отверстие. Если hx - глубина расположе-
ния центра тяжести площади отверстия, отсчитываемая от свободной повер-
хности, окружающей отсек жидкости, а Л2 < hx - отстояние до свободной
200
поверхности жидкости в отсеке, давление в отсеке считаем равным атмос-
ферному, то перетекание совершается под действием разностей уровней
h = hx -h2. При этом следует учесть, что при перетекании жидкости через
отверстие происходит расширение струи. Оценки показывают, что коэффи-
циент расхода затопленного отверстия близок к величине коэффициента не-
затопленного отверстия и для расчета расхода в этом случае можно исполь-
зовать формулу (9.64). Эта формула применяется и при определении расхода
через большие отверстия, если считать движение жидкости установившим-
ся. При этом порядок величины ц ® 0.7.
Для увеличения расхода жидкости используются насадки. Насадок - ко-
роткий патрубок, приставленный к отверстию в тонкой стенке (рис. 9.13).
При правильном режиме работы насадка живое сечение выходящей струи
равно площади его выходного сечения. Этим устраняется сжатие струи, и
коэффициент сжатия струи на выходе 8 = 1. В этом состоит основное свой-
ство насадка. Рассмотрим принцип действия цилиндрического насадка (на-
садка Вентури) (см. рис. 9.13).
Рис. 9.13. Схема действия насадка
Вентури
Струя, входящая в него, сначала испытывает сжатие, аналогично про-
исходящему при ее выходе из отверстия. Однако в дальнейшем струя рас-
ширяется и на некотором расстоянии от входа в насадок занимает все его
сечение. Воздух, заключенный в пространстве между стенками насадка
и струей, с течением времени уносится потоком воды, и в сжатом сече-
нии образуется разрежение. Иными словами, в сжатом сечении струи
201
насадка имеет место вакуум ра-рс= рв; высота вакуума пв ——.
Pg
Отсюда следует, что сжатое сечение струи в насадке работает не под на-
пором Л, как в отверстии, а под большим напором h + Лв, что и обуслов-
ливает увеличение расхода жидкости через насадок. В результате увели-
чивается перепад давления между свободной поверхностью жидкости и
сжатой струей по сравнению с перепадом при ее истечении из простого
отверстия. Это определяет, согласно уравнению Бернулли, возрастание
скорости в сжатом сечении струи в насадке - насадок как бы сосет воду.
Однако в насадке увеличиваются и потери энергии за счет расширения
струи, а также потерь по длине насадка на трение жидкости о его стенки.
При правильной конструкции насадка влияние этих возросших потерь
должно перекрываться эффектом засасывания, в результате чего расход
насадка должен быть больше расхода отверстия. Оценки показывают, что
при длине насадка порядка 35-40 диаметров расход через него становит-
ся равным расходу через отверстие.
При наивыгоднейшей длине насадка L = (3 ч- 4)D его коэффициент рас-
хода цн ® 0,82. В насадках меньшей длины возможен прорыв воздуха извне
в зону разрежения; при этом струя в насадке не сможет расшириться и коэф-
фициент расхода резко уменьшится. Насадок работает как отверстие.
Давление р в сжатом сечении струи в насадке в соответствии с урав-
нением Бернулли падает пропорционально увеличению напора Л, при ко-
тором работает насадок. Если давление рс снизится настолько, что дос-
тигнет давления рв насыщенных паров воды, то при данной температуре
жидкость в сжатом сечении начнет вскипать. В этом случае возникает
явление кавитации, происходит разрыв струи, прорыв воздуха в насадок
и срыв его работы.
Сходящиеся конические насадки используют для увеличения кинетичес-
кой энергии выходящей струи (наконечники брандспойтов). Коэффициент
расхода этих насадков составляет величину порядка 0,95. Конические рас-
ходящиеся насадки используют для увеличения коэффициента расхода за
счет большего вакуума в сжатом сечении струи. При этом, однако, в них
кавитация начинается раньше, чем в цилиндрическом насадке. Используют
также коноидальные насадки, стенки которых образованы по форме выхо-
дящей струи. В них сжатие струи не имеет места; потери энергии обуслов-
лены лишь потерями на трение. Коэффициент расхода подобных насадков
имеет величину порядка 0,96.
9.11. Истечение жидкости при переменном напоре
Происходящее опускание уровня жидкости в резервуаре представля-
ет пример неустановившегося одномерного течения. Строго говоря, ре-
шение этой задачи требует применения уравнения Бернулли для неуста-
202
новившегося потока вязкой жидкости. Однако если полагать, что скорос-
ти изменения уровня жидкости, а следовательно, и местные ускорения
частиц достаточно малы, то можно пренебречь влиянием этих уско-
dt
рений на процесс истечения. В этом случае при решении задачи можно
воспользоваться гипотезой стационарности. В соответствии с ней мгно-
венные значения расхода определяются через мгновенные значения на-
пора и коэффициентов расхода по формулам, выведенным для устано-
вившегося течения.
Рис. 9.14. Схема истечения жидкости
из резервуара произвольной формы
Рассмотрим случай, когда требуется определить время, в течение ко-
торого жидкость будет опускаться в резервуаре произвольной формы от
начального своего уровня Ло до заданной отметки hx (рис.9.14). Истече-
ние может происходить через отверстие или из насадка. Предполагается,
что давления на поверхности жидкости в резервуаре рх и на поверхности
вытекающей струи р0 одинаковы, т.е. р$= рх- Для определения мгновен-
ного значения расхода жидкости Q, вытекающей из отверстия, восполь-
зуемся формулой (9.64), полагая в ней h равным мгновенной высоте уровня
жидкости над центром отверстия и считаяpjpg = 0. Элементарный объем-
ный расход жидкости за время dt через отверстие составит Qdt. Вызыва-
емое этим расходом уменьшение объема жидкости в резервуаре равно
произведению площади свободной поверхности S на изменение напора
(-dh\ т.е. Qdt = -Spdh. Подставив сюда значение расхода Q, находим
pQS0y]2ghdt = -Spdh . откуда время опускания уровня от hx до h2 опреде-
лится интегрированием. При этом следует учесть, что при произвольной
форме резервуара площадь его свободной поверхности 5 является функ-
цией от Л; коэффициент расхода ц также зависит от величины мгновен-
ного напора h. Однако ц0 можно полагать практически постоянной вели-
чиной. Это позволяет формулу для расчета времени опускания уровня
записать в виде
203
1 "'rSp(h)dh
(9.65)
Аналогично, в принципе, решается задача о времени заполнения отсека
судна. При этом делаются два допущения: изменением осадки судна при
затоплении отсека пренебрегается, а незатопленный объем отсека принима-
ется сообщающим с атмосферой. При необходимости можно отказаться от
этих допущений. Определить время полного опорожнения резервуара мож-
но по формуле
1 \Sp(h)dh
Ао^о 0 \/h
(9.66)
Применим эту формулу для определения времени опорожнения резерву-
ара с цилиндрическими стенками Sp(h) = S:
(9.67)
В качестве численного примера найдем время заполнения отсека ку-
бической формы объемом JVq = 1250 м3 от пробоины в днище площадью
S() = 2 м2. Коэффициент расхода примем ц0 = 0.5 (рваные края пробои-
ны). Получаем /п = 172 с « 3 мин., т.е. заполнение отсека происходит очень
быстро.
9.12. Гидравлический удар
В практике эксплуатации трубопроводов часто возникает необходи-
мость быстрого изменения расхода. При этом течение жидкости в тру-
бопроводе становится нестационарным и сопровождается резким замед-
лением или ускорением жидкости в трубе и появлением волн высокого
давления, распространяющихся вдоль трубопровода. При достаточно
резком изменении расхода в трубопроводе это может привести к появ-
лению шума, вибрации и в худшем случае к разрушению трубопровода.
Опыт показывает, что для адекватного описания явления гидравличес-
кого удара необходимо учитывать сжимаемость жидкости и эластичность
трубы.
Рассмотрим процессы, возникающие при резком перекрытии задвиж-
ки на трубопроводе, через который протекает жидкость из напорного ре-
зервуара (рис. 9.15). Резкое закрытие задвижки в силу сжимаемости жид-
кости не приводит к остановке жидкости во всем объеме трубопровода.
Жидкость вблизи задвижки останавливается, тогда как на некотором уда-
лении от нее жидкость продолжает течь и начинает сжимать остановив-
шуюся жидкость. Кинетическая энергия останавливающейся жидкости
204
переходит в энергию упругости среды. В результате в жидкости вблизи
задвижки растет давление и плотность. При этом граница, где происхо-
дит резкое изменение давления и плотности локализована в простран-
стве и имеет вид узкого фронта, перпендикулярного первоначальной ско-
рости течения в трубе. По аналогии с аэродинамикой ее называют
гидродинамической ударной волной. Со временем все большая часть жид-
кости в трубе тормозится и граница изменения давления и плотности,
или, другими словами, ударная волна распространяется против течения с
некоторой скоростью с. Если пренебречь упругостью стенок трубы, то
эта скорость равна скорости распространения давления в сжимаемой
жидкости, которая, в свою очередь, равна скорости распространения зву-
ка, за вычетом скорости движения самой среды. Как правило, для рас-
сматриваемой задачи скорость среды в сравнении со скоростью звука
пренебрежимо мала и ее можно не учитывать. Заметим, что в несжимае-
мой жидкости с = оо.
Схематично распространение ударной волны в разные моменты вре-
мени показано на рис. 9.15. В момент «а» происходит закрытие задвижки.
В момент «б» показано движение ударной волны против течения. Между
ударной волной и задвижкой жидкость неподвижна и находится в сжатом
состоянии. В момент «в» волна достигает резервуара. Труба наполнена
сжатой жидкостью, находящейся под высоким давлением в состоянии по-
коя. На границе резервуар-труба возникает нарушение условия равнове-
сия, поскольку уровень воды в резервуаре остается постоянным. Жидкость
начинает обратное движение в направлении резервуара (момент «г»). В
начале трубы формируется волна декомпрессии, которая перемещается в
направлении к задвижке. Жидкость в трубе между резервуаром и волной
декомпрессии приобретает первоначальные значания давления р и плот-
ности р, но течет в обратном направлении. Между задвижкой и волной
жидкость имеет повышенное давление р + Др и плотность р + Др и непод-
вижна. В момент «д» волна декомпрессии достигает задвижки, где усло-
вия для существования обратного течения отстутствуют. Вследствие отто-
ка жидкости в сторону резервуара в районе задвижки возникает область
пониженного давления. Возникает отрицательная ударная волна. Между
ней и задвижкой давление и плотности равны р - Ар и р - Др, а жидкость
находится в состоянии покоя. Между резервуаром и волной сохраняются
первоначальные значения р и р, а жидкость течет в сторону резервуара.
Когда негативная ударная волна достигнет резервуара в момент «е», вновь
возникает нарушение равновесия, поскольку давление на входе в резерву-
ар со стороны трубы меньше, чем давление со стороны резервуара. Под
действием этой разности давлений жидкость вновь начинает течь из резер-
вуара в трубу. Поскольку мы не учли гидравлические потери, скорость жид-
кости должна восстановиться до ее первоначального значения w0, и момен-
ты «а» - «е» повторяются вновь.
205
Рис. 9.15. Типичные процессы в трубе
при гидравлическом ударе
Рассмотрим математическую модель гидравлического удара без учета
эластичности стенок трубы. Для вывода уравнений проанализируем усло-
вия на обеих сторонах ударной волны. Будем использовать систему коор-
динат, перемещающуюся вместе с фронтом волны со скоростью с - uQ. Ско-
рость жидкости до фронта равна -z/0, а за фронтом волны жидкость
находится в покое. В этом случае жидкость жидкость до фронта волны дви-
жется относительно фронта волны со скоростью -и^ - (с - w0) = -с, а после
него (с - w0) -0 = (с - uQ). В соответствии с уравнением неразрывности
масса втекающей в фронт и вытекающей жидкостей должны быть равны:
рАс= (р + ЛрДс- и0)А,
откуда следует
р^0 = Др(с - г/0). (9.68)
Согласно закону количества движения, сила, действующая на фронт, равна
потоку массы, умноженному на изменение скорости:
206
(р +Др)А -рА = рАс[с - (с - w0)].
Из последней формулы следует
Др = рсг/0.
(9.69)
Введем в рассмотрение модуль упругости жидкости
dp Др
или
Др _ Др
р Ef
С другой стороны, из (9.68) получим
Др _
(9.70)
(9.71)
р с - и{)
Подставляя и0 = Др/рс в правую часть (9.71) и приравнивая правые час-
ти (9.70) и (9.71) между собой, получаем
Др _ Др / рс
Ef с-Др/рс
После несложных преобразований последняя формула может быть запи-
сана в виде
(9.72)
Для воды при температуре 10°С Ef= 2.03-109 Н/м2. Если Др « Ef, то
рс^/Е^ 1 и
(9.73)
Это выражение представляет собой формулу Ньютона для определе-
ния скорости распространения звука в неограниченной жидкой среде. С уче-
том упругости стенок трубы, формула для скорости распространения упру-
гих возмущений в жидкости, полученная Жуковским, имеет вид
(9.74)
где Е - модуль упругости материала стенок трубы; t - толщина стенок;
г - радиус трубы. Упругость стенок трубы снижает скорость с.
207
Рис.9.16, Расширительная колонна
для предотвращения гидравлического
удара
Для того чтобы предотвратить возникновение гидравлического удара в
трубопроводных системах, ограничивают скорость закрытия задвижек и в
непосредственной близости от них встраивают в трубопровод специальные
открытые сверху расширительные колонны (рис.9.16). При росте давления в
трубопроводе происходит поднятие жидкости в колонне и распространение
ударной волны против течения существенно демпфируется.
I КОНТРОЛЬНЫЕ
ВОПРОСЫ
1. Чем характеризуется плавно изменяющееся течение
жидкости?
2. В чем физический смысл членов, входящих в уравне-
ние Бернулли для потока вязкой жидкости?
3. В чем заключается гипотеза стационарности?
4. Сформулируйте принцип действия цилиндрического
насадка.
ЗАДАЧИ
1. Вычислите коэффициент кинетической энергии ак для
ламинарного и турбулентного течения жидкости.
2. Определите относительную и абсолютную толщину
вязкого подслоя <5в для трубопровода диаметром 0.1 м
при Re = 104 и Re = 105.
3. В отсек надводного судна с прямолинейными борта-
ми объемом 2000 м3 поступает вода через пробоину
= 1 м1 2 3 в днище судна с осадкой 10 м. Определите
время заполнения отсека, считая, что:
а) расход жидкости через пробоину постоянен;
б) уровень жидкости в отсеке изменяется. Давление
на свободной поверхности жидкости в отсеке - атмос-
ферное, изменением осадки в процессе затопления
судна пренебрегается. Коэффициент расхода отверстия
ц0 = 0.5.
209
ГЛАВА 10
ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ ПРИ БОЛЬШИХ
ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА
10.1. Особенности течений при больших числах Рейнольдса
Большинство течений, встречающихся в судостроительной технике,
являются течениями при высоких числах Рейнольдса, характерные зна-
чения которых для судов составляют 108—I О10. Разделим течение на две
зоны: внешнюю зону I, где вязкость несущественна, и зону влияния вяз-
кости. Последняя может быть найдена из условия ненулевой завихренно-
сти й Ф 0.
На рис. 10.1 схематически показана граница зоны влияния вязкости при
малых (контур С1) и больших (контур С) числах Рейнольдса. Видно, что с
ростом числа Рейнольдса зона влияния вязкости концентрируется в узкую
вытянутую в продольном направлении зону течения, которую можно раз-
бить на две подобласти: II - узкую, называемую пограничным слоем,
и III - гидродинамического (спутного) следа.
Рис.10.1. Три характерные зоны
течения при обтекании тела
потоком вязкой жидкости
210
С одной стороны, высокие числа Рейнольдса существенно осложняют рас-
чет судна, поскольку течение является сугубо турбулентным, для которого
проблема выбора полуэмпирических моделей турбулентности, одинаково при-
годных вблизи и вдали от корпуса судна, становится чрезвычайно сложной.
Наиболее современные теории расчета турбулентных течений, такие как LES
и DNS, также имеют серьезные ограничения по числу Рейнольдса. С другой
стороны, при больших числах Рейнольдса область течения, где существен-
ную роль играют силы вязкости, сосредоточена в узкой зоне - пограничном
слое судна. Естественно предположить, что влияние этой зоны на течение вдали
судна пренебрежимо мало и течение вне пограничного слоя можно описывать
с помощью теории потенциальных движений невязкой жидкости. Ответим на
вопрос, почему в зоне внешнего потока жидкость можно считать невязкой.
Для этого рассмотрим рис. 10.2, на котором представлена эпюра скорости внут-
ри и вне пограничного слоя на плоской пластине.
Видно, что при у > 5 скорость их не изменяется по координате у: ил- * их^'
Но, согласно формуле Ньютона, касательные напряжения в жидкости вы-
dlL. ГЛ Л /
ражаются зависимостью т = ц—-. Вне пограничного слоя ц 0 (жидкость
dy
вязкая), но - 0 , т. е. в этой области внешнего потока можно считать т = 0,
Jy
что соответствует случаю невязкой жидкости. Полагая далее, что в этой об-
ласти отсутствуют вихревые образования, можно считать, что в ней имеет
место потенциальное течение невязкой жидкости.
Рис.10.2. Иллюстрация понятия толщины
вытеснения пограничного слоя
Таким образом, дальнее поле скоростей, вызванное судном, при больших
числах Рейнольдса можно определять из решения относительно простой потен-
циальной задачи (см. гл. 6). Но это не единственное возможное при высоких
числах Рейнольдса упрощение. В пограничном слое и в следе следует, строго
говоря, применять уравнения Навье-Стокса (7.21) или Рейнольдса (8.14), что
является сложной математической задачей. К счастью, малость толщины погра-
ничного слоя и ширины следа по сравнению с характерными продольными мас-
штабами позволяет существенно упростить уравнения движения вязкой жидко-
211
сти и свести их к более простым уравнениям пограничного слоя. Сращивая два
решения: вне и внутри пограничного слоя и следа, можно получить приближен-
ное решение для обтекания тел при высоких числах Re. На этой простой идее и
построена теория пограничного слоя, излагаемая в следующем параграфе.
В теории пограничного слоя используется система координат, в кото-
рой ось ох совпадает с поверхностью тела, а ось оу перпендикулярна ей
(см. рис. 10.1). Основными количественными оценками пограничного слоя
являются:
• толщина 5, определяемая как расстояние от поверхности тела, на кото-
ром скорость потока в пограничном слое достигает 99,5 % от скорости
внешнего потенциального течения;
• толщина вытеснения
5
§* = (10.1)
о
• толщина потери импульса
5
** си и
5 (10.2)
о 1{д
где - скорость на внешней границе пограничного слоя.
Вне пограничного слоя скорость потенциального потока не меняется по
координате у, поэтому в качестве верхнего предела интегрирования можно
взять оо. При этом вводятся понятия слоя конечной толщины 8 и асимптоти-
ческого пограничного слоя (верхний предел интегрирования равен оо). Ре-
зультаты расчетов в обоих случаях, естественно, получаются одинаковыми.
Толщина пограничного слоя равна нулю в носу судна и нарастает в на-
правлении к кормовой оконечности. Для грубой оценки толщины погранич-
ного слоя в кормовой оконечности судна при высоких числах Re можно ис-
пользовать формулу 8 « 0,01L. Следует особо заметить, что внешняя граница
пограничного слоя не является линией тока.
Толщина вытеснения характеризует отклонение линий тока внешнего по-
тенциального течения под воздействием пограничного слоя. Ее физический
смысл наглядно демонстрирует рис. 10.2. Рассмотрим две линии тока АВ и
CD. Под воздействием пограничного слоя линия тока отклонится от гори-
зонтали на величину 8*. В силу условия неразрывности расход через сече-
ние АС должен быть равен расходу через сечение BD\
6
Их8= ^uxdy + V^\ (10.3)
0
Из (10.3) непосредственно следует выражение (10.1). При известном
профиле скорости величину 8* можно найти чисто геометрически из усло-
вия равенства заштрихованных площадей, как показано на рис. 10.3.
212
Рис. 10.3. Геометрическая
интерпретация толщины
вытеснения пограничного слоя
Толщина потери импульса характеризует потерю количества движения,
потребного для преодоления сил трения внутри пограничного слоя.
Внутри пограничного слоя в зависимости от чисел Рейнольдса может
существовать либо ламинарный, либо турбулентный, либо смешанный ла-
минарно-турбулентный режимы течения. Переход из ламинарной формы в
турбулентную происходит при критическом числе Рейнольдса ке§ = —— . В
v
носовой оконечности толщина слоя равна нулю, и поэтому теоретически
должен существовать участок поверхности корпуса, где течение ламинар-
ное. Однако дополнительная турбулизация, обусловленная разрушением
носовой волны, может существенно изменить характер течения в носовой
оконечности. В направлении к корме число Re§ увеличивается и достигает в
некоторой точке поверхности критического значения. За этой точкой проис-
ходит турбулизация потока и происходит резкий рост толщины погранично-
го слоя, который также становится турбулентным (рис. 10.4).
Внешнее потенциальное течение
Турбулентный
Рис. 10.4. Характерные зоны течения
вдоль пограничного слоя
В вязкой жидкости v Ф 0 при наличии положительного продольного гра-
диента давления dp/dx > 0 может произойти отрыв пограничного слоя. Для
простоты рассмотрим для начала плоские течения. Почему происходит от-
рыв легко объяснить на примере скольжения шарика по поверхности с впа-
диной (рис. 10.5, а), В верхней точке А в состоянии покоя шарик имеет наи-
большую потенциальную энергию. При движении вниз потенциальная
энергия превращается в кинетическую, максимум которой наблюдается в
точке впадины В. При движении вверх потенциальная энергия восстанавли-
вается, а кинетическая энергия уменьшается. Если трение на стенке впади-
ны отсутствует, то произойдет полное восстановление потенциальной энер-
гии и шарик достигнет точки С. Если же имеют место потери энергии на
трение, то на участке ВС произойдет остановка шарика. Аналогичные про-
цессы имеют место и для жидких частиц. Жидкая частица, движущаяся на
небольшом отстоянии от нулевой линии тока АВС, имеет в передней крити-
ческой точке А потенциальную энергию давления и нулевую кинетическую
энергию. Далее она перемещается вдоль линии тока АВС, ускоряется подоб-
но шарику, приобретает максимальную скорость в точке В и в силу трения
оказывается неспособной достичь кормовой точки С, соответствующей тому
же уровню потенциальной энергии, что и в точке А. В некоторой точке жид-
кая частица, как и шарик, должна остановиться. Не в силах преодолеть да-
лее положительный градиент давления на поверхности тела она уходит в
поток. Возникает отрыв пограничного слоя.
Рис. 10.5. Иллюстрация возникновения
отрыва течения
Если исходить из аналогии с шариком, то отрыв должен иметь место
всегда, поскольку всегда есть потери на трение и шарик никогда не достиг-
нет точки С на противоположном берегу впадины. Означает ли это, что жид-
кая частица неспособна в принципе достичь кормовой точки тела? Другими
словами, всегда ли имеет место отрыв? В действительности процессы в жид-
кости намного сложнее, чем описанная выше аналогия. В них участвует не
одна, а бесконечное множество частиц, взаимно влияющих друг на друга.
214
Если течение турбулентное, то соседние частицы, обладающие большей ско-
ростью, подталкивают частицы в пристенной области (турбулентный пере-
нос энергии в поперечном к потоку направлении) и отрыв происходит ниже
по потоку. В зоне за точкой отрыва формируется зона возвратного течения,
которая сильно влияет на движение жидких частиц перед зоной отрыва. Гид-
родинамический след индуцирует скорости на теле и перераспределяет дав-
ления на его поверхности, так что «гора» за впадиной В оказывается ниже, и
жидкая частица не останавливается в пределах поверхности тела. Все это
приводит к тому, что для хорошо обтекаемых тел зона отрыва либо сосредо-
точена в малой окрестности задней кромки, либо не наблюдается вообще.
Профиль скорости в пограничном слое существенно зависит от продоль-
ного градиента давления (рис. 10.6). В направлении к кормовой оконечнос-
ти происходит рост пограничного слоя и профиль становится менее пол-
ным, чем в носовой оконечности. В зоне положительных градиентов давления
dp/dx > 0 и отрицательных ускорений дих / дх <0 профиль трансформирует-
ся в 5-образный профиль двойной кривизны. При этом производная дих /дх
на стенке у = 0 меняется следующим образом:
^Чу = О)>о
^(7 = 0) = 0
ду
^Ц = 0)<0
до точки отрыва;
в точке отрыва; >
за точкой отрыва.
Рис. 10.6. Изменение профиля
продольной скорости вдоль
пограничного слоя
(Ю.4)
За точкой отрыва под воздействием положительного перепада давления
жидкость течет в обратную сторону, формируется зона возвратного течения,
наличие которой хорошо видно на рис. 7.7 для случая отрывного обтекания
цилиндра и на последнем профиле скорости на рис. 10.6. Граница раздела
между областью прямого и обратного течения неустойчива и разрушается
с образованием вихрей.
215
В случае трехмерного течения отрыв носит гораздо более сложный харак-
тер и принимает либо закрытую либо открытую формы, классификация кото-
рых приведена в [10.1]. Критерий двумерного отрыва ди /ду = 0 для трехмер-
ного течения непригоден. В течение многих десятилетий было приложено
много усилий для поиска критериев, позволяющих идентифицировать трех-
мерную отрывную зону. Явное выделение зоны в расчетах было необходимо
при использовании уравнений пограничного слоя, поскольку течения до от-
рыва и в зоне отрыва рассчитывались по-разному. В настоящее время в связи
с созданием мощных численных методов решения уравнений Навье-Стокса и
Рейнольдса (§ 15.7), течения в отрывной области и вне ее рассчитываются с
помощью единого алгоритма без явного выделения отрывной зоны. Поэтому
идентификация зон отрыва не является процедурой, необходимой для реше-
ния задачи, а используется лишь для качественного анализа картины течения,
полученной торетическим или экспериментальным путем.
Важным качественным эффектом, возникающим в трехмерных погра-
ничных слоях, является возникновение вторичных течений. Под вторичны-
ми течениями понимают потоки в пограничном слое, перпендикулярные на-
правлению течения на внешней границе пограничного слоя. Причина их
появления - поперечные к направлению внешнего потока градиенты давле-
ния. Поперечный градиент давления, безусловно, сказывается и на внешнем
течении, вызывая отклонение жидких частиц и кривизну линий тока в попе-
речном направлении. Жидкие частицы внутри пограничного слоя оказыва-
ются более чувствительными к воздействию поперечного градиента давле-
ния, так как они имеют меньшие скорости и поэтому в более значительной
степени отклоняются в поперечном направлении. Отклонение линий тока
внутри пограничного слоя относительно линии тока внешнего течения на
границе слоя трактуется как воздействие вторичного течения, типичный про-
филь скорости которого показан на рис. 10.7.
Рис, 10.7, Возникновение вторичного течения
в трехмерном пограничном слое
216
10.2. Теория пограничного слоя
Для простоты изложения рассмотрим двумерное стационарное ламинар-
ное течение и будем считать, что внешнее решение (вне погранслоя) найде-
но с помощью методов изложенных в гл. 6. При этом внешнее течение рас-
считывается для всей области течения без учета пограничного слоя.
Рассмотрим систему координат (см. рис. 10.1), в которой ось ох совпадает с
поверхностью тела, а ось оу перпендикулярна к поверхности. Если отноше-
ние толщины пограничного слоя к радиусу кривизны тела мало (5/7?« 1),
то уравнение Навье-Стокса в предложенной системе координат имеет ту же
форму, что и в обычной декартовой системе:
(10.5)
и кривизна тела во внутреннем решении (в пограничном слое) формально
не играет никакой роли. Как будет показано ниже, влияние кривизны на по-
гранслой проявляется косвенно через влияние внешнего потенциального
решения на решение внутри пограничного слоя.
Используя малость 5, что является основным предположением теории
пограничного слоя, и применяя асимптотический анализ, упростим систему
(10.5). Поскольку изменение скорости поперек пограничного слоя неизме-
римо больше, чем соответствующее изменение вдоль него, имеют место сле-
дующие неравенства:
(10.6)
В силу уравнения неразрывности—---— = 0 и (10.6) заключаем,
дх ду
ди диг __ „ дих дих
что—— «—и и<<и. Отсюда следует, что слагаемыеих—- им,.—-
ду ду у дх у ду
имеют одинаковый порядок и первое уравнение в (10.5) принимает вид
(Ю.7)
217
Оценим порядок толщины пограничного слоя в зависимости от числа
Рейнольдса. В пограничном слое силы вязкости и инерционные силы - ве-
личины одинакового порядка малости, т. е.
2
их дих / дх
v д1их/ду
Рассматривая в качестве характерного размера длину тела £, а харак-
терной скорости - скорость набегающего потока Иод, получаем следующие
(10.8)
оценки: uY
•Л-
и v—~ . Подставив их в (10.8), находим
ду2 52
(Ю.9)
откуда следует искомая оценка
--Re’1 2.
(10.10)
Таким образом, относительная толщина пограничного слоя 5/£ будет тем
меньше, чем больше число Re. С учетом (10.10) из уравнения неразрывнос-
ти получим
(10.11)
Для дальнейших упрощений введем безразмерные величины, выбран-
ные таким образом, что все они имеют один и тот же порядок:
(10.12)
В новых переменных два первых уравнения (10.5) запишутся в виде
(10.13)
В уравнениях (10.13) все производные имеют одинаковый порядок вели-
чины, а порядок отдельных слагаемых определяется порядком стоящих пе-
ред ними коэффициентов. Поскольку мы отыскиваем приближенное реше-
218
ние задачи при больших числах Рейнольдса, устремляя Re в (10.13) к беско-
нечности, получаем
(10.14)
Возвращаясь к исходным обозначениям, имеем
(10.15)
Уравнения в (10.15) являются уравнениями пограничного слоя. Они были
впервые получены в 1904 г. немецким ученым Прандтлем, которому при-
надлежат многие выдающиеся результаты в гидромеханике.
Очевидно, что уравнение неразрывности осталось прежним, как и в сис-
теме Навье-Стокса (10.5). Второе уравнение является фундаментальным
результатом теории пограничного слоя: давление поперек пограничного слоя
не изменяется. Уравнения (10.15) значительно более простые, чем исход-
ные уравнения (10.5). В отличие от уравнений Навье-Стокса (10.5), которые
являются эллиптическими, уравнения пограничного слоя - параболическо-
го типа. Их решение находится при движении вдоль потока последователь-
но от одного сечения по оси х к другому, тогда как уравнения (10.5) следует
решать для всей области одновременно.
Граничными условиями для системы (10.15) являются:
- условия прилипания на стенке у = 0: их = иу = 0;
- условия состыковки с внешним решением
У оо (5): их = Wg, (10.16).
где и- - скорость внешнего потенциального течения на верхней границе по-
граничного слоя.
Для интегрирования уравнений пограничного слоя, начиная от некото-
рого сечения X на теле, необходимы также начальные условия в виде профи-
ля скорости в данном сечении х = X: их = К0(у).
Поскольку давление не изменяется поперек погранслоя др!ду = 0, оно
может быть принято равным давлению во внешнем потоке. Последнее усло-
219
вие вместе с условием состыковки (10.16) обеспечивает сращивание внут-
реннего (в погранслое) и внешнего потенциального решений. Давление мо-
жет быть исключено с использованием уравнения Эйлера, записанного для
внешней границы пограничного слоя:
_l^P=Wg^f8. (10.17)
р дх дх
С учетом (10.17) и замечая, что для области погранслоя является толь-
ко функцией х, первое уравнение (10.15) перепишем в виде
2
дих duY du?. д и
Эх - ду dx ду7
(10.18)
Поскольку скорость потенциального течения зависит от формы и кри-
визны тела, течение в пограничном слое также существенно зависит от этих
факторов. Уравнения пограничного слоя могут быть также получены для
пространственного случая.
Уравнения турбулентного пограничного слоя получаются непосредствен-
но из уравнений Рейнольдса (8.14) с использованием описанного выше асим-
птотического анализа. Для двумерного стационарного пограничного слоя с
учетом гипотезы вихревой вязкости (8.17) получается
(10.19)
В этих уравнениях обычно пренебрегают производными от нормальных
напряжений -рих и -pz/2 . Благодаря этому сохраняется фундаментальное
свойство постоянства давления в пограничном слое dpldy = 0 и в турбулент-
ном течении.
Если кривизна поверхности тела будет очень велика, т. е. радиус кривиз-
ны мал по сравнению с размерами тела, то поперек пограничного слоя дав-
ление нельзя считать постоянным. В таких областях уравнения (10.18) ведут
к большим ошибкам в решении. Подход, основанный на теории погранич-
ного слоя, становится непригоден, если течение имеет отрыв. В этом случае
формально решение не может быть продолжено за точку отрыва.
Отметим характерную деталь результатов приведенного выше асимпто-
тического анализа: внешнее потенциальное течение влияет на погранслой
через функцию скорости zv§, в то время как течение в пограничном слое об-
ратного влияния на внешнее течение не оказывает. Это результат того, что в
представленном выше асимптотическом анализе учтены только слагаемые
самого низшего порядка. Учет слагаемых более высокого порядка мог бы
устранить недостатки теории пограничного слоя. В этом направлении изве-
220
стен целый ряд работ, которые, однако, скорее имеют академическое, чем
инженерное значение.
В задачах кораблестроения теория пограничного слоя применяется для
получения простых аналитических оценок сопротивления хорошо обтекае-
мых конструкций (§ 10.3 и § 10.6). Она дает неплохие результаты для расче-
та вязкого течения в носовой и средней (цилиндрической) областях судна.
В кормовой области судна, где существенна кривизна обтекаемой поверхно-
сти, возможны отрывы потока и погранслой не может считаться тонким, те-
ория пограничного слоя оказывается в большинстве случаев непригодной.
В этом случае применяются численные методы, изложенные в § 15.7.
10.3. Ламинарный пограничный слой на пластине,
расположенной вдоль потока
Уравнения пограничного слоя (10.15) являются уравнениями в частных
производных, для решения которых требуются численные методы. Однако,
в частности, в случае степенного распределения скорости = Схт на внеш-
ней границе уравнения (10.15) могут быть сведены к обыкновенным диффе-
ренциальным уравнениям, решение которых - значительно более простая
задача. Случай т = 0 соответствует пластине
Поскольку скорость на внешней границе пограничного слоя пластины
постоянна, а градиент давления др/дх = 0, уравнения (10.15) упрощаются:
(10.20)
р = const;
Введем функцию тока \|/. По определению функции тока уравнение не-
разрывности удовлетворяется автоматически, а первое уравнение системы
(10.20) приводится к виду
Э2\|/ Э\|/ Э2\|/
ду дудх дх ду1 ду3
(10.21)
Граничными условиями для функции тока являются следующие:
- условие прилипания на стенке—(л-,у - 0) = 0, и — (х,у = 0) = 0 или
ду дх
у(х,у = 0) = 0; (10.22)
- условие на внешней границе
d\\f
^G°) = <ZOO-
(10.23)
221
Решение следует искать при начальном условии
^-(х = 0,Л’) = Гоо. (10.24)
Зу
Согласно анализу размерности, функция тока должна быть пропорцио-
нальна произведению характерной скорости на характерный размер, т. е.
\|/ = а с учетом оценки (10.10) следует
V^L
(10.25)
Так как пластина считается полубесконечной и параметр L в последних
выражениях играет роль искусственной длины, его следует заменить на х.
Введем безразмерную вертикальную координату г| = yJ— (см. 10.12) и без-
V vx
размерную функцию тока ф(р) = -г — . Таким образом, решение для функ-
yj Lx JLq
ции тока \|/ разыскивается в виде
V = 7v^<p(n) • (10.26)
Очевидно, что безразмерные эпюры скорости при этом предполагаются
одинаковыми во всех сечениях (свойство подобия скоростей):
их 1 d\\f _ б/ф
К ду dv\
ОО ОО л 1
Подставляя (10.26) в (10.21), получаем обыкновенное дифференциаль-
ное уравнение Г. Блазиуса
2^4 + Ф^ = 0. (10.27)
t/r| dl}2
Граничные условия (10.22, 10.23) для безразмерной функции тока с уче-
том того, что г|(л, у = 0) = 0 и т|(х, у = оо) = оо , примут вид
ср(О) = —(0) = 0; (10.28)
б/г|
^(оо) = 1. (10.29)
dx\
К условию (10.29) сводится и начальное условие (10.24), так как
г|(х, у = оо) = р(х = 0, у) = оо.
Уравнение (10.27) интегрируется с помощью численных методов. В
табл. 10.1 приведены значения функции ф(р) и двух ее производных, полу-
ченные Хоуартом.
222
Таблица 10.1
Безразмерные характеристики пограничного слоя плоской пластины
п <р б/(р их б/2ср dv\2 n <Р d<p = их dr\ б/2ср dv\2
0 0 0 0,3320 3,0 1,3968 0,8460 0,1613
0,2 0,0066 0,0664 0,3319 3,2 1,5691 0,8760 0,1391
0,4 0,0265 0,1327 0,3314 3,4 1,7469 0,9017 0,1178
0,6 0,0597 0,1989 0,3300 3,6 1,9295 0,9233 0,0980
0,8 0,1061 0,2647 0,3273 3,8 2,1160 0,9411 0,0801
1,0 0,1655 0,3297 0,3230 4,0 2,3057 0,9555 0,0642
1,2 0,2379 0,3937 0,3165 4,2 2,4980 0,9669 0,0505
1,4 0,3229 0,4562 0,3078 4,4 2,6923 0,9758 0,0389
1,6 0,4203 0,5167 0,2966 4,6 2,8882 0,9826 0,0294
1,8 0,5295 0,5747 0,2829 4,8 3,0853 0,9877 0,0218
2,0 0,6500 0,6297 0,2667 5,0 3,2832 0,9915 0,0159
2,2 0,7812 0,6813 0,2483 5,2 3,4818 0,9942 0,0113
2,4 0,9223 0,7289 0,2280 5,4 3,6809 0,9961 0,0079
2,6 1,0725 0,7724 0,2064 5,6 3,8803 0,9974 0,0054
2,8 1,2309 0,8115 0,1840 5,8 4,0799 0,9983 0,0036
Пользуясь этой таблицей, можно получить выражения для напряжений
трения на пластине
То - = 0) = Ж = 0,332^^
оу V vx dx\ V х
(10.30)
Введя местный коэффициент трения с f - —, найдем его зависимость
от местного числа Рейнольдса Re = —
(10.31)
Сопротивление трения одной стороны пластины, длина которой L.
а ширина равна единице, можно рассчитать, интегрируя касательные напря-
жения, вычисленные по формуле (10.30):
'тр = = 0.6647|ipPj
о
(10.32)
223
Общий коэффициент сопротивления трения определится соотношением
Дтр _ 1,328
Р^£1 Л ’
2
где Re = ^T (10.33)
V
Используя формулы (10.1) и (10.2), можно установить следующие соот-
ношения для толщины вытеснения 5* и толщины потери импульса 5**:
5* = 1,73 Е и 5** =0,664 Е. (10.34)
Определяя границу пограничного слоя как линию, на которой скорость
и. достигает значения 0,99Г ( — = 0,99), получаем из третьего столбца
с/ц
табл. 10.1:
(10.35)
Рис. 10.8. Распределение
характеристик в ламинарном
пограничном слое в окрестности
передней кромки пластины
Из зависимостей (10.30), (10.34), (10.35) следуют следующие выводы:
Характерные толщины 5, 5* и 8** ламинарного пограничного слоя рас-
тут вниз по потоку вдоль пластины пропорционально корню квадратно-
му из абсциссы х (рис. 10.8).
Толщина ламинарного пограничного слоя обратно пропорциональна кор-
ню квадратному из числа Рейнольдса.
Касательное напряжение в носике пластины стремится к бесконечности
1
как
,что физически невозможно.
224
На самом деле в области очень малых значений х касательное напряже-
ние изменяется по пунктирной кривой, приведенной на рис. 10.8. Причина
разногласия заключается в идеализации условий течения в области носовой
кромки пластины, используемой в постановке задачи. Любая пластина име-
ет конечную толщину и носовую критическую точку. На критической линии
тока скорость тормозится, плавно изменяясь от значения до нуля. В по-
становке же задачи подразумевалось, что при х = 0 скорость испытывает ска-
чок от до нуля. Это приводит к корневой особенности в распределении
касательных напряжений.
10.4. Интегральное соотношение импульсов для пограничного
слоя
Во многих практических задачах представляют интерес не детали тече-
ния внутри пограничного слоя, а его некоторые интегральные характеристи-
ки, к примеру, толщины 5, 5* и 5**. Они могут быть получены из так называ-
емых интегральных соотношений пограничного слоя, записанных для
импульса, энергии и момента импульса.
Для получения интегрального соотношения импульсов воспользуемся
рядом тождественных преобразований. Умножим уравнение неразрывности
на скорость - скорость на внешней границе пограничного слоя:
„ (бих duv\ Q д / \ du?. п
0 = w8 -^ + “7— = = °' (Ю.36)
дх ду J дх ду dx
Аналогично преобразуем левую часть уравнения движения прибавлени-
ем равного нулю члена их
- 0. Получим
(10.37)
Вычтем почленно уравнение (10.37) из уравнения (10.36). Получим
3 Г
-- uv
s/ у
Проинтегрируем полученное выражение поперек пограничного слоя в
пределах от 0 до 5(оо). Будем иметь
- и
(10.38)
8(со)
Ч , с д ди I
ux)dy = - — (ц—х)-с/у
0 дУ ду р
S Зак. 4042
225
Выразим интегралы (10.38) через интегральные параметры погранично-
го слоя:
о
J wx(w8-Mx)^ =
0
и
dy = — (w85 );
(м8~ их
dy = uy
= 0;
(10.39)
(м8
(10.40)
duY ч 1 , duY 1
—dy = -ц—
dy р dy р
(10.41)
где т0 = ц
- касательное напряжение на стенке. Собирая воедино по-
лученные результаты, будем иметь
—(^3**) + г/5^3*=Х (10.42)
dx \ ' dx р
Отметим, что данный результат может быть получен при применении
закона количества движения для пограничного слоя.
При расчете пограничного слоя с помощью интегрального соотношения
должен быть заранее известен закон распределения скоростей поперек по-
граничного слоя. В частности, он может быть задан приближенно, в виде
функции какого-либо характерного параметра, связывающего влияние фор-
мы тела с некоторой характеристикой пограничного слоя. Тогда интеграль-
ное соотношение позволит получить уравнение для определения этого па-
раметра в разных точках вдоль поверхности тела. Законы распределения
скоростей, выраженные через соответствующий параметр, называются па-
раметрическими.
В случае плоской пластины уравнение (10.42) упрощается:
**
,2 б/8 _ Т0
ОО > ~
dx р
(10.43)
226
Выразив из (10.43) напряжение на стенке через толщину потери импуль-
са 8**, найдем силу трения, действующую на одну сторону пластины:
L
Лтр = Jr0^x = PV^L
0
(10.44)
где
-толщина потери импульса, вычисленная на задней кромке пластины.
Эта формула объясняет происхождение термина «толщина потери им-
пульса»; действительно, 8** есть толщина, которой пропорциональна поте-
ря количества движения в правой части равенства (10.44), связанная с пре-
одолением сил трения жидкости вдоль поверхности пластины. Для
коэффициента трения одной стороны пластины имеем
**
Т Р^оо2
2
10.5. Неустойчивость ламинарного
Ламинарно-турбулентный переход
(10.45)
течения.
В основе теории перехода лежит предположение, высказанное еще Рей-
нольдсом, о том, что переход происходит в результате неустойчивости лами-
нарного течения (см. также § 8.1). Начальные малые возмущения поля скоро-
стей или давлений, которые либо существуют в набегающем потоке, либо
возникают в пограничном слое тела, например, из-за его шероховатости, воз-
растают, слоистое течение теряет устойчивость и переходит в хаотическое тур-
булентное. Устойчивость течения зависит от числа Рейнольдса Re. При малых
числах Re течение устойчивое, начальные возмущения затухают. Ламинарно-
турбулентный переход наступает лишь при числах Рейнольдса больших неко-
торого значения Re т. Число Рейнольдса ReKppjT, при котором происходит пе-
реход течения из ламинарного состояния в турбулентное, называется
критическим. Оно в общем случае зависит от геометрии течения, шероховато-
сти обтекаемых поверхностей, интенсивности и характера возмущений в на-
бегающем потоке. Переход ламинарного течения в турбулентное в трубе за
счет искусственного снижения уровня возмущений на входе может быть затя-
нут в лабораторных условиях до очень высоких чисел Рейнольдса. В практи-
ческих же задачах Re т для трубы примерно равно 2400.
Теоретические попытки предсказать переход ламинарного течения в тур-
булентное были предприняты еще в конце XIX в., но привели к первому се-
рьезному успеху лишь в 30-х гг. XX столетия. С точки зрения характера ро-
ста возмущений различают области конвективной и абсолютной
неустойчивости ламинарного течения. Второй тип неустойчивости, откры-
тый относительно недавно - в 60-х - 70-х гг. прошлого века, характеризует-
227
ся внезапным лавинообразным ростом начальных возмущений, которые ока-
зывают влияние на всю область абсолютной неустойчивости. К таким обла-
стям относится, например, область гидродинамического следа за телом. В
областях конвективной неустойчивости начальные возмущения сносятся вниз
по течению, не оказывая обратного влияния на области потока, в которых
они были внесены. К областям конвективной неустойчивости относится те-
чение в пограничном слое пластины. Эта задача, впервые решенная Толми-
ным (Tollmien) и Шлихтингом (Schlichting), рассматривается в данном пара-
графе в двумерной постановке.
Следуя Шлихтингу [10.1], рассмотрим устойчивость плоскопараллель-
ного ламинарного течения со следующим распределением скорости и дав-
ления:
и{)х(уУ, и0у = U0z = Q’ Р()(х’ УУ (10.46)
Наложим малое двумерное возмущение с зависящими от времени ком-
понентами ux{x,y,t), u'v(x,y^t), р\х,y,t), квадратами которых в дальней-
шем будем пренебрегать. Результирующее течение имеет вид
их = uQx + их'-> иу = иу, Р = Ръ + Р •
(10.47)
Как исходное (10.46), так и результирующее (10.47) течения должны удов-
летворять уравнению Навье-Стокса (7.21).
Подставляя результирующие величины (10.47) в уравнения Навье-Сто-
кса (7.21) и пренебрегая квадратами малых величин, получаем
1 Фо
+ vAw'v;
) (10.48)
Учитывая, что основное течение (10.46) также удовлетворяет уравнению
Навье-Стокса, получим из (10.48)
(10.49)
228
Три уравнения (10.49) служат для определения трех неизвестных вели-
чин: u'y(x,y,t)-, p'(x,y,t). Из первых двух уравнений системы
(10.49) можно исключить давление р', и тогда для определения
> иу(х->У^) останутся два уравнения (включая уравнение неразрыв-
ности).
Рассмотрим возмущение, состоящее из совокупности отдельных част-
ных гармонических возмущений, называемых часто модами. Для каждой
моды введем функцию тока ф(х, у, t). представив ее в следующем виде:
ф(х, у, /) = (р(у)е‘^ ’
(10.50)
где ф = (рг + /фу - комплексная амплитуда.
Как видно, здесь используется комплексная форма записи. Физический
смысл имеет только компонента Re (ф). Амплитуда ф возмущающего дви-
жения принята зависящей только от у, так как основное течение также зави-
сит только от у.
Функцию, представляющую собой любое двумерное возмущающее дви-
жение, можно разложить в ряд Фурье (по модам) и представить в виде отдель-
ных возмущений с функциями тока (10.50). В равенстве (10.50) а - веществен-
2л
ная величина, связанная с длиной X волны возмущения соотношением X = — ;
Р - комплексная величина, которая может быть представлена в виде
Р = Pr + z’Py, где рг - круговая частота отдельного колебания, а Ру - коэффици-
ент, позволяющий судить о нарастании или затухании колебаний. Если Ру < 0,
возмущения затухают, ламинарное течение - устойчивое. И наоборот, Ру > 0
означает неустойчивость ламинарного течения.
Кроме величин аир, целесообразно также ввести их отношение
•)
(10.51)
где сг- скорость распространения волн в направлении оси х (фазовая ско-
рость); cz - величина, позволяющая судить о затухании или нарастании ко-
лебаний. Так, если с. < 0, то происходит затухание, и течение устойчиво, если
Су > 0, имеет место нарастание колебаний.
Из равенства (10.50) находим для составляющих скорости возмущаю-
щего движения следующие выражения:
^=^ = ф'(Ие'(ау-Р'); (10.52)
ду
и\\=-^L = • (Ю.53)
дх
Подставив их в уравнения (10.49) и исключив давление, получим для
определения амплитуды ф(у) обыкновенное дифференциальное уравнение
четвертого порядка:
229
(«Ох - с) <Р" - «М - «о/Р =-“—|Ф”" - 2«V + сс4<р )• (10.54)
v 7 a Re5 v 7
Это уравнение, называемое дифференциальным уравнением воз-
мущающего движения или уравнением Орра-Зоммерфельда, яв-
ляется исходным в линейной теории устойчивости ламинарного течения. Оно
приведено к безразмерному виду, и поэтому все линейные размеры разделе-
ны на соответственно выбранную характерную величину, например, на тол-
щину 8 пограничного слоя, а все скорости - на максимальную скорость Г()
основного течения. Штрихи означают дифференцирование по безразмерной
У о
координате —, а число Re§ = характеризует исследуемое основное ла-
8 v
минарное течение. Члены левой части уравнения (10.54) получаются из инер-
ционных членов уравнений движения, а члены правой части - из членов,
учитывающих вязкость. Граничное условие для течения в пограничном слое
заключается в равенстве нулю обеих составляющих скорости возмущающе-
го движения на стенке (у = 0) и на большом расстоянии от стенки (внешнее
течение). Следовательно,
при у = 0: и'х = и'у =0; <р = ср' = 0;
при у = оо: = ф = ф' = 0. (10.55)
Исследование устойчивости движения при заданной функции , т. е.
поля скоростей ламинарного потока, сводится к исследованию собственных
значений этого уравнения. В частности, достаточно ограничиться изучени-
ем вопроса о том, при каких значениях параметра а и числа Re = ——
v
указанное уравнение имеет независимые решения, отличные от нуля, при
условии, что = 0. Очевидно, что это условие определяет границу зоны ус-
тойчивости соответствующего ламинарного течения, так как амплитудный
множитель ф(у) в функции тока при этом не будет возрастать во времени.
Исследование уравнения малых возмущений (10.54) связано с большими ма-
тематическими трудностями и приводит к необходимости представления его
решений в виде рядов по малому параметру 1/сс Re§.
Результат выполненного Толминым расчета ламинарного течения вдоль
плоской пластины на устойчивость можно изобразить графически, соеди-
нив в плоскости переменных Re§ и ос8 кривыми все точки, которым соот-
ветствуют одинаковые значения сг На рис. 10.9 представлены два расчета:
для профиля пОх(у) с точкой перегиба «а» и без точки перегиба «б». Осо-
бый интерес представляет кривая ci = 0 («ш> и «б»), отделяющая область
устойчивых значений ос8 и Re§ от области их неустойчивых значений и
поэтому называемая нейтральной кривой. На этой кривой главный инте-
рес представляет точка с наименьшим число Re, лежащая на касательной,
параллельной оси аЗ. При меньших значениях числа Re все отдельные
230
колебания затухают, а при больших - по крайней мере, некоторые отдель-
ные колебания нарастают. Наименьшее число Re, определяемое нейтраль-
ной кривой, представляет собой теоретическое критическое число Ren ис-
следуемого ламинарного течения; оно характеризует собой потерю или
«переход» устойчивости данного течения.
V
Рис, 10,9. Диаграмма устойчивости
пограничного слоя для двух профилей скорости
Точки, лежащие во внутренней области, ограниченной нейтральной кри-
вой, определяют состояния, соответствующие неустойчивым колебаниям, а
точки, лежащие в областях вне нейтральной кривой, - состояния, соответ-
ствующие устойчивым колебаниям. При очень больших числах Re§ обе вет-
ви каждой нейтральной кривой неограниченно приближаются к оси абсцисс,
т. е. к нулевым значениям соответствующих ординат. Согласно расчетам
Толмина, наименьшее число Re*, образованное по толщине вытеснения, при
котором еще возможно нейтральное возмущение, составляет
= 420. Точка на пластине, в которой оно достигается, являет-
сяточкой потери устойчивости пограничного слоя.Конечно,нельзя
ожидать, что теоретическое число Ren, при котором происходит потеря ус-
тойчивости течения, полученное с помощью теории устойчивости, совпада-
ет с экспериментально определенным критическим числом ReKp , при кото-
ром происходит переход ламинарной формы течения в турбулентную.
В самом деле, теоретическое число Ren, полученное в результате исследо-
вания устойчивости, определяет ту точку на стенке, дальше которой по тече-
нию происходит нарастание некоторых отдельных колебаний. Однако,
231
очевидно, что должно проити некоторое время, прежде чем нарастание этих
возмущений приведет к возникновению турбулентности. До наступления
этого момента возмущение успеет распространиться вниз по течению на
некоторое расстояние. Поэтому следует ожидать, что точка наблюдаемого
перехода ламинарной формы течения в турбулентную должна лежать ниже
по течению, чем точка, соответствующая теоретически вычисленному пре-
делу устойчивости.
Отметим наиболее интересные для практики результаты теории устой-
чивости Толмина-Шлихтинга.
10.5.1. Влияние градиента давления
Как видно на рис. 10.9, ламинарное течение с профилем скорости, име-
ющим точку перегиба «я», обладает существенно меньшей устойчивос-
тью. Существование точки перегиба профиля связано непосредственно с
градиентом давления. В области падения давления (отрицательный гради-
ент давления) в ламинарном пограничном слое наблюдается полный про-
филь скорости без точки перегиба. Напротив, в области возрастания дав-
ления (положительный градиент давления), полный профиль
трансформируется вниз по потоку в профиль с точкой перегиба.
Таким образом, падение давления благоприятствует устойчивости тече-
ния, в то время как его рост способствует неустойчивости. Отсюда следует,
что при обтекании тела положение точки минимума давления имеет решаю-
щее влияние на положение точки перехода. В первом грубом приближении
можно считать, что точка перехода лежит немного ниже по течению, чем
точка минимума давления. На этом факте основан принцип построения ла-
минаризованных обводов, в частности ламинаризованных профилей. Сече-
ния с максимальной толщиной, где наблюдается минимум давления, ото-
двигаются возможно дальше к кормовой оконечности. Благодаря этому
ламинарное течение сохраняется на большей части поверхности, что приво-
дит к почти двухкратному снижению сопротивления. Следует отметить [4],
что при Re « 5-107 (подсчитанных по хорде), эффект рассмотренной есте-
ственной ламинаризации исчезает, что находится в соответствии с теорией
устойчивости.
Полный профиль (кривая «б») является также неустойчивым, но при бес-
конечно больших числах Рейнольдса его область неустойчивости стягивает-
ся в точку. Таким образом, как было показано еще Рэлеем, в невязкой жидко-
сти Re —> оо профиль с точкой перегиба неустойчив, а полный профиль
устойчив. В связи с этим неустойчивость профилей с точкой перегиба назы-
вают невязкой, а полных профилей, соответственно, вязкой. В целом, разви-
тие неустойчивости полного профиля происходит значительно медленнее,
чем для профиля с точкой перегиба.
Неблагоприятное воздействие положительного градиента показано
на рис. 10.10, где приведены нейтральные кривые в зависимости от форм-
232
. 8 2 duc\ _ z
параметра A =------- . В случае падения давления (ускорение потока в на-
v dx
правлении оси х) Л > О кривые имеют тип «б» (рис. 10.9). В случае увеличе-
ния давления А < 0 верхняя ветвь стремится к горизонтальной асимптоте.
Критическое число Ren всегда меньше в случае положительного градиента
давления Л < 0, а зона неустойчивости больше.
10.5.2. Влияние отсасывания пограничного слоя
Отсасывание пограничного слоя через пористую поверхность или щели
оказывает благоприятное воздействие на устойчивость ламинарного течения в
слое. Механизм этого воздействия двоякий. Во-первых, уменьшается толщина
пограничного слоя и тем самым снижается его склонность к переходу в турбу-
лентное состояние. Во-вторых, изменяется форма профиля ламинарного погра-
ничного слоя так, что профиль становится более устойчивым к возмущениям.
На рис. 10.11 изображены нейтральные кривые, полученные для плоской пла-
стины при различных параметрах 2, = (-vM/K0)2Rev = Cq Rer, где < 0 - ско-
рость равномерного отсасывания. Очевидно, что отсасывание приводит и к
уменьшению зоны неустойчивости, и к затягиванию перехода. Число Re для
точки перехода для кривой А в почти 104 раз больше, чем для кривой В. Однако
слишком интенсивное отсасывание ведет к двум отрицательным эффектам. Во-
первых, энергетические затраты на отсасывание становятся неоправданно боль-
шими. Во-вторых, вызываемое им уменьшение толщины пограничного слоя
приводит к росту касательного напряжения на стенке и сопротивления в целом.
По данным К.К. Федяевского [4], минимальный коэффициент расхода равно-
мерно отсасываемой жидкости на пластине составляет Cq = 0,00012. При та-
ком оптимальном отсасывании при Re > 5107 величина снижения сопротивле-
ния достигает 80% сопротивления в турбулентном пограничном слое.
давления на устойчивость
ламинарного пограничного слоя
233
Рис. 10.11. Влияние отсоса
на устойчивость ламинарного
пограничного слоя
10.5.3. Влияние шероховатости
Шероховатость приводит к усилению возмущений в пограничном слое
и, как правило, оказывает неблагоприятное воздействие на устойчивость
течения. При равных условиях ламинарно-турбулентный переход на шеро-
ховатых поверхностях происходит при меньших числах Рейнольдса, чем на
гладкой стенке. Следует, однако, заметить, что ламинарно-турбулентный
переход становится чувствительным к шероховатости, если высота бугор-
ков шероховатости превышает некоторую критическую величину, опре-
деляемую формулой [10.1]:
= 120.
(10.56)
Негативное влияние шероховатости в этом случае столь же велико, как и
влияние положительного градиента давления.
10.5.4. Влияние турбулентности внешнего течения
Турбулентность внешнего течения для случая обтекания тел, равно как и
начальная турбулентность во входящем потоке в трубах, оказывает негатив-
ное влияние на устойчивость ламинарного течения.
В данном параграфе была рассмотрена классическая двумерная теория,
в которой прослеживалось развитие двумерных волн Толмина-Шлихтинга.
Сценарий перехода, основанный на этой теории, представлен на рис. 8.1.
Результаты расчетов устойчивости ламинарного пограничного слоя, обтека-
ющего плоскую пластину, графически представленные на рис. 10.9, были
подтверждены лабораторными опытами Шубауэра и Скрэмстеда. В этих
опытах предусмотренные теорией двумерные возмущения с заданной час-
234
тотой создавались с помощью колебаний металлической ленты толщиной
0,05 мм и шириной 2,5 мм, протянутой на расстоянии 0,15 мм от стенки.
Результаты измерений нейтральных колебаний оказались в хорошем соот-
ветствии с теорией. В реальности возникновение турбулентности представ-
ляет собой гораздо более сложный процесс, в котором наряду с двумерными
непрерывными возмущениями имеют место трехмерные непрерывные и
локальные возмущения. Их развитие описывает так называемая вторич-
ная теория устойчивости. В наиболее общей постановке ламинарно-
турбулентный переход может быть исследован с помощью методов прямого
численного моделирования турбулентности DNS (§ 8.2).
10.6. Турбулентный пограничный слой на пластине,
расположенной вдоль потока
Рассмотрим турбулентное течение вдоль гладкой пластины, предполагая,
что турбулентное состояние потока имеет место, начиная непосредственно от
передней кромки пластины. Представленный в данном параграфе анализ тече-
ния базируется на интегральном соотношении импульсов (10.42), применение
которого предполагает знание закона распределения скорости в пограничном
слое. В § 8.5 была выявлена многослойная структура поля скорости турбулент-
ного течения. Однако ее использование приводит к весьма громоздким выклад-
кам. Поэтому при использовании интегрального соотношения импульсов чаще
всего применяют полиномиальное представление профиля скорости в виде
— = (у/8)1/”, (10.57)
где 8 - толщина турбулентного погранслоя. Параметр п зависит от числа
Рейнольдса и в диапазоне Re = 4-103 + 3-106 изменяется в пределах от 6 до
11. Подставив выражение (10.57) в формулы (10.1) и (10.2), получим
6 ~
8* = = (10.58)
nJ « + 1
Таким образом, для и = 7 толщина вытеснения в восемь раз 8* = 8/8, а
толщина потери импульса 8** = 1ЪП2 более чем в 10 раз меньше толщины
пограничного слоя. Уравнение для толщины пограничного слоя получается
из интегрального соотношения импульсов (10.43) заменой 8** на 78/72:
7 <78 т0
235
которое не может быть решено, поскольку неизвестно касательное напряже-
ние на стенке т0. Для установления связи между касательными напряжения-
ми на стенке т0 и законом распределения скоростей поперек пограничного
слоя воспользуемся тем, что скорость на внешней границе вязкого подслоя
должна быть равна скорости в турбулентном ядре.
1
и 2 v У 5
При у = 5 их ----— = У^ — . Учтем при этом, что —00 — = а являет-
V \ О) V
ся второй константой турбулентности. Ее величину в среднем можно
принять равной ~ 12. Показатель степени Мп зависит, как ранее было огово-
рено, от величины числа Рейнольдса.
Для п = 7 и чисел Рейнольдса 5• 105 < ReA = < 107 можно использо-
вать эмпирический закон Блазиуса
/ xl/4
Tn I V |
= 0,0225 —
Нг оо \ 00 /
(10.61)
Тогда интегрирование (10.60) дает
3 = 0,37Re”l/5x; 5*=0,046Re;l/5x; 3** = 0,036Re;1/5х, (10.62)
где Rev = xVJv - локальное число Рейнольдса.
Для коэффициента трения одной стороны пластины (10.45) в случае п = 7
имеем
= 0,0102
ст = —^ = 0,072 Re^1 /5. (10.63)
Аналогичные выражения для больших чисел Рейнольдса, соответствую-
щих /7=11, были получены Фолкнером:
/ \1 /6
; 8** =0,015 Re;1/7 х; ст =0,0307 Re7I/7. (10.64)
•А I
Р' ОО \ GO-/
Более точные формулы можно получить, если вместо упрощенного зако-
на (10.57) использовать универсальный закон распределения скорости в тур-
булентном пристеночном течении (§ 8.5). Таким образом, была получена
широко применяемая в практике расчета судов интерполяционная формула
Прандтля-Шлихтинга
0,455
(lg Re)2’58
(10.65)
Формула (10.65) справедлива для расчета сопротивления трения плас-
тин при числах Рейнольдса Re > 106.
236
10.7. Влияние шероховатости на обтекание тел
Шероховатость оказывает существенное влияние на сопротивление су-
дов. Причинами ее появления являются конструктивные неровности на об-
шивке корпуса, сварные швы, ржавчина, некачественная окраска корпуса,
вмятины, повреждения слоя краски и т. д. Исследования показывают, что
волнистость обшивки корпуса, которая имеет место даже на новых судах
вследствие воздействия сварочных напряжений или возникает в процессе
эксплуатации из-за ударов корпуса о волны или грунт, приводит к гораздо
меньшему возрастанию сопротивления, чем небольшого размера неровнос-
ти, составляющие большие углы с направлением течения вдоль корпуса. В
настоящее время в связи с созданием качественных покрытий и эффектив-
ных методов очистки проблема увеличения шероховатости корпуса вслед-
ствие его обрастания перестала быть актуальной.
В прошлом в качестве масштаба шероховатости судовой поверхности
использовалась так называемая эквивалентная зернистая шероховатость
(§ 9.7). Опыт показал, что характер влияния на сопротивление зернистой ше-
роховатости и реальной технической шероховатости различны. Для изме-
рения технической шероховатости судовой обшивки используют специаль-
ный прибор, который измеряет профиль поверхности и производит
осреднение полученных результатов. Осредненная шероховатость обозна-
чается символом и измеряется в микрометрах. Нормальная шероховатость
для новых судов составляет 70-250 мкм. Это достаточно большие величи-
ны. Для сравнения заметим, что так называемые технически гладкие повер-
хности имеют шероховатость около 20 мкм, а шероховатость старого авто-
мобильного корпуса составляет всего около Ю мкм. В период эксплуатации
шероховатость судна возрастает примерно на 30 мкм в год.
Как и в трубах, имеют место различные режимы обтекания бугорков ше-
роховатости в зависимости от к§ (см. § 9.7). При одних и тех же значения к§
влияние шероховатости тем сильнее, чем тоньше пограничный слой. По-
скольку толщина пограничного слоя 5 нарастает в направлении кормы, вли-
яние шероховатости в носовой части судна сильнее, чем в кормовой оконеч-
ности. При одинаковой скорости движения негативное влияние
шероховатости сильнее для малых судов, чем для больших судов.
В практике расчетов судовой обшивки предполагается, что поверхность
обтекается в третьем режиме, т.е. дополнительное сопротивление, обуслов-
ленное шероховатостью, возникает из-за развитого отрывного обтекания
бугорков. По принятой в гидромеханике классификации оно относится к
сопротивлению давления (см. § 10.8). Как и в случае квадратичной области
течения в трубе, добавка к сопротивлению от шероховатости носит квадра-
тичную зависимость от скорости Л/?¥ = ДСХ
с коэффициентом ДСХ, не
2
зависящим от числа Рейнольдса. Поэтому кривая зависимости CY(Re)
237
(рис. 10.12), соответствующая шероховатой поверхности, эквидистантна
кривой для технически гладкой пластины. Определение технически гладкой
пластины аналогично определению гидравлически гладкой трубы (§ 9.7).
Коэффициент ДСг зависит от к^. В практике расчетов для ДС можно ис-
пользовать формулу ITTC-1978:
ДСХ =[105
-0,64]-10“3.
(10.66)
Из (10.66) можно получить условие для шероховатости технически глад-
кой судовой поверхности, если приравнять ДСг, нулю:
Рис. 10.12. Коэффициент трения
на гладких и шероховатых поверхностях
10.8. Вязкостное сопротивление тел
При движении тела в вязкой жидкости глубоко под свободной поверхно-
стью полная сила сопротивления складывается из проекций на направление
движения результирующей касательных напряжений - сопротивления тре-
ния 7?т и результирующей давлений - вязкостного сопротивления давлений.
В корабельной гидромеханике такая составляющая называется сопротив-
лением формы Лф. Их сумма составляет вязкостное сопротивление дви-
жению тела
/?в =+ Лд =/?т + 7?ф. (10.68)
Особенности изменения вязкостного сопротивления тел с увеличением
скорости их движения в большой степени зависят от явлений, происходя-
щих в пограничном слое. Знание этих явлений позволяет объяснить, а в ряде
случаев и предугадать, особенности изменения сопротивления.
238
С точки зрения особенностей изменения коэффициентов сопротивления
Сх в функции от числа Re, а следовательно, и особенностей обтекания, все
тела принято условно подразделять на хорошо обтекаемые и плохо обтекае-
мые. При этом следует иметь в виду, что указанное подразделение не выра-
жает абсолютного качества тела. Так, тонкий круглый диск, поставленный
поперек потока, представляет собой пример плохообтекаемого тела, а рас-
положенный вдоль потока - хорошообтекаемого. Это свидетельствует о том,
что вязкостное сопротивление тела при данной скорости его движения су-
щественно зависит от ориентации тела по отношению к потоку.
10.8.1. Вязкостное сопротивление хорошо обтекаемых тел
Для хорошо обтекаемых тел характерно то, что доля сопротивления фор-
мы в общем балансе их сопротивления сравнительно невелика. Это позво-
ляет сделать вывод о том, что влияние пограничного слоя на внешний по-
тенциальный поток у таких тел невелико, и структура внешнего
потенциального потока в данном случае мало отличается от таковой в слу-
чае обтекания тела невязкой жидкостью. Результаты измерений поля скоро-
сти внутри пограничного слоя удлиненных тел показывают, что их обтека-
ние происходит безотрывно.
Причиной возникновения сопротивления формы 7?ф у этой категории тел
следует считать влияние пограничного слоя на поле скоростей и давлений
внешнего потенциального потока. Это влияние выражается в том, что по-
граничный слой отклоняет линии тока по сравнению с их направлением в
невязкой жидкости на величину толщины вытеснения 8*. Отклонение ли-
ний тока в поперечном направлении кинематически эквивалентно возник-
новению в потоке дополнительных поперечных скоростей, величина кото-
рых растет по мере приближения к задней кромке тела. В итоге давление в
районе внешней границы пограничного слоя в кормовой части тела соглас-
но уравнению Бернулли, не может достичь величины, соответствующей дав-
лению при движении тела в невязкой жидкости.
я)
Рис. 10.13. Измеренные и расчетные (а) значения давления вдоль
профиля, а также эпюры коэффициента давления для симметричного
относительно миделя тела в вязкой и невязкой жидкости (б)
239
Это видно на рис. 10.13, а. где сопоставлены результаты измерений
давления вдоль профиля с расчетом по теории потенциальных течений.
В кормовой части тела наблюдается понижение давления, которое нару-
шает равновесие горизонтальных составляющих сил давлений и приво-
дит к возникновению сопротивления формы. Это же хорошо видно из
рис. 10.13, б, на котором изображены эпюры коэффициента давления для
симметричного относительно миделя тела в невязкой (сплошная линия)
и вязкой (пунктирная линия) жидкости. Элементарные силы давления,
действующие на симметричные площадки в носу и корме, не уравнове-
шиваются, что и приводит к возникновению дополнительной составляю-
щей - сопротивлению формы.
Изложенная схема позволяет предполагать, что при постоянном режиме
течения внутри пограничного слоя уменьшение величины 5* с ростом ско-
рости, связанное с уменьшением толщины пограничного слоя, должно при-
вести к медленному уменьшению коэффициента сопротивления формы хо-
рошо обтекаемых тел с ростом числа Re. Это свойство подтверждается
данными опытов. Вместе с тем сопротивление формы хорошо обтекаемых
тел зависит от режима течения внутри пограничного слоя, так как величина
отношения 5*/5 ламинарного и турбулентного пограничных слоев различна
и, следовательно, различным является и искажение внешнего потока.
Зависимость сопротивления формы хорошо обтекаемых тел от структу-
ры пограничного слоя и небольшая абсолютная величина их сопротивления
обусловливает зависимость изменения вязкостного сопротивления таких тел
от особенностей изменения сопротивления трения. На рис. 10.14 изображе-
на кривая изменения коэффициента вязкостного сопротивления удлиненно-
го тела вращения 3. Там же для сравнения нанесены кривые коэффициентов
сопротивления трения при ламинарном I и турбулентном 2 обтекании плос-
ких гладких пластин.
Рис, 10.14. Изменение коэффициента вязкостного
сопротивления удлиненного тела вращения 3
и пластины при ламинарном 1
и турбулентном 2 обтекании
Этот рисунок свидетельствует о соответствии особенностей изменения
сопротивления трения и вязкостного сопротивления при переходе от лами-
нарного течения к турбулентному.
240
Кривизна поверхности тела влияет и на изменение касательных напря-
жений вдоль нее по сравнению с пластиной. В носовой части тела, где час-
тицы жидкости движутся под влиянием отрицательного градиента давле-
ния, касательные напряжения несколько увеличиваются по сравнению с
пластиной, а в кормовой уменьшаются. В корабельной гидромеханике вво-
дится понятие эквивалентной пластины. Эта пластина имеет ту же длину и
смоченную поверхность, что и тело, и обтекается с той же скоростью. Со-
противление трения тела немного больше, нежели сопротивление трения
эквивалентной пластины в силу того, что касательные напряжения в носу
больше, чем в корме. Однако это увеличение невелико (порядка нескольких
процентов).
Указанные выше два фактора позволяют представить коэффициент вяз-
костного сопротивления хорошо обтекаемого тела в следующем виде:
с = с (1+£А (10.69)
в тр э. гг ф7’ v 7
где стр э п - коэффициент сопротивления эквивалентной пластины; к$ - так
называемый формпараметр; согласно выводам теории он практически не
зависит от числа Re, и его величина определяется главным образом значени-
ем относительной толщины тела D/L (О - диаметр тела вращения) или про-
филя с = с/b (с - максимальная толщина, Ь- хорда профиля). На рис. 10.15
и 10.16 представлены эти зависимости.
Рис, 10.15. Зависимость формпараметра
от относительной толщины профиля с = с/Ь
Рис. 10.16. Зависимость формпараметра
от относительной толщины тела D/L
241
10.8.2. Плохообтекаемые тела
Сопротивление плохообтекаемых тел складывается из сопротивления тре-
ния, имеющего место на участке, где существует пограничный слой, и сопро-
тивления от давлений на участке за точкой отрыва. Для плохообтекаемых тел
сопротивление от давлений значительно больше сопротивления трения. В ко-
рабельной гидромеханике его называют сопротивлением формы R$.
«л..л - *ф » «гр- (10.70)
В качестве характерной площади в общей формуле для силы сопротив-
рИ2
ления Rx = сх - -S используют площадь проекции тела, перпендикуляр-
ную набегающему потоку Все гидродинамические характеристики плохо-
обтекаемых тел определяются путем экспериментов. Теоретические методы
их оценки ненадежны и дают лишь качественную картину явления. Опыты
показывают, что отрывы вихрей с поверхности плохообтекаемого тела про-
исходят не синхронно: сначала, например, отрывается вихрь от верхней по-
верхности тела и уходит в поток, а затем происходит отрыв вихря с нижней
поверхности тела, где в точке отрыва уже сформировался этот вихрь. Вслед-
ствие этого сопротивление плохообтекаемого тела даже при постоянной ско-
рости набегающего потока носит нестационарный характер Rx = Rx(t). Не-
стационарную составляющую сопротивления, как правило, в расчетах не
учитывают, и в справочниках приводятся данные об осредненных за период
отрыва вихрей коэффициентов сопротивления плохообтекаемых тел. Эти ко-
эффициенты практически не зависят от числа Re, т. е. автомодельны по чис-
лу Рейнольдса. Вследствие несинхронного отрыва вихрей на плохообтекае-
мых телах возникает периодическая поперечная сила Rv(t\ которая по порядку
величины близка к силе сопротивления. Таким образом, свободное (без свя-
зей) плохообтекаемое тело, двигаясь в целом поступательно, совершает не-
стационарные продольные и поперечные колебания. Поскольку любое ко-
леблющееся тело является источником акустических волн, этот фактор
требуется учитывать при исследовании гидродинамических явлений, осо-
бенно при движении тросов и кабель-тросов.
Плохообтекаемые тела характерны тем, что при их обтекании происхо-
дит отрыв пограничного слоя, причем за точкой отрыва пограничный слой
оттесняется от поверхности, создавая зону отрыва, в которой образуются
крупные дискретные вихри, составляющие вихревую дорожку в случае ци-
линдрических тел или сложные вихревые петли за пространственными те-
лами. Плохообтекаемые тела можно разделить на тела с фиксированной и
перемещающейся точкой отрыва. Точкой фиксированного отрыва погранич-
ного слоя являются острые кромки и углы, причем положение этой точки
оказывается не зависящим от скорости обтекания тела. К таким телам отно-
сятся, например, пластины, поставленные поперек потока. У тел с перемен-
ной точкой отрыва ее положение зависит от режима течения жидкости в по-
242
граничном слое. Точка отрыва находится в области положительного перепа-
да давления; у ламинарного пограничного слоя она расположена ближе к
минимуму эпюры давления на поверхности тела, чем у турбулентного. Из-
менение режима течения в пограничном слое таких тел приводит к резкому
перемещению точки отрыва пограничного слоя и, как следствие, к резкому
изменению величины их сопротивления.
Явление резкого изменения сопротивления называется кризисом сопро-
тивления плохообтекаемых тел, а соответствующее ему число Рейнольдса -
критическим числом ReKp.
Примером тел с переменной точкой отрыва являются шар и круговой
цилиндр, движущийся перпендикулярно образующей. На рис. 10.17 пред-
ставлена зависимость Rx =f{ для кругового цилиндра диаметром D = 0,3 м.
Рис. 10.17. Зависимость Rx =
для кругового цилиндра диаметром
D = 0,3 м
Коэффициент кинематической вязкости воды принят равным v= l.S-KrV/c.
VJ)
Зависимость с =y(Re) (Re =----) представлена на рис. 10.18.
Re = VxD/v
Рис. 10.18. Зависимость сх = f(Re)
для кругового цилиндра
243
Из этих рисунков следует, что в сравнительно узком диапазоне скорос-
тей и чисел Рейнольдса соответствующие значения Rx и сх существенно
уменьшаются по сравнению с значениями этих же величин при меньших
скоростях, характерных для ламинарного режима обтекания цилиндра.
В общем балансе сопротивления плохообтекаемых тел сопротивление
формы играет основную роль и составляет, например, у кругового цилинд-
ра, до 98 % полной величины вязкостного сопротивления. В связи с этим
изменения вязкостного сопротивления таких тел определяются особеннос-
тями изменения сопротивления формы (вихревого). Основная причина воз-
никновения сопротивления формы состоит в радикальном изменении струк-
туры потока за точкой отрыва пограничного слоя по сравнению с обтеканием
невязкой жидкостью. Очевидно, что величина сопротивления формы зави-
сит от ширины зоны отрыва.
У тел с фиксированными точками отрыва ширина вихревой дорожки не
меняется, и их коэффициент сопротивления практически не зависит от чис-
ла Re.
У тел с переменной точкой отрыва коэффициент вязкостного сопротив-
ления резко уменьшается при замене ламинарного течения в пограничном
слое турбулентным. Это обусловлено перемещением положения точки от-
рыва к корме и сокращением ширины зоны отрыва за телом. Происходящее
при этом увеличение сопротивления трения не влияет на описанную карти-
ну, так как его роль в общем балансе сопротивления в данном случае нич-
тожна. Изложенные особенности изменения сопротивления видны на
рис. 10.19, где показана экспериментальная зависимость сх ^ /(Re) для шара.
Re = KcO/v
Рис. 10.19. Экспериментально полученная
зависимость для шара сх =f(Re)
При числах Рейнольдса, меньших критического (104<Re< 1.5105) ко-
эффициент сопротивления цилиндра практически не зависит от числа Re.
Это объясняется постоянством положения точек отрыва ламинарного погра-
ничного слоя на его поверхности. У плохообтекаемых тел кризис сопротив-
ления тем интенсивнее, чем сильнее при возрастании числа Re сужается
вихревая область за телом.
244
10.9. Возможные пути снижения вязкостного сопротивления
В общем балансе хорошо обтекаемых тел основную долю сопротивле-
ния составляет сопротивление трения. Поэтому для снижения вязкостного
сопротивления следует обратить основное внимание на эту компоненту. Хо-
рошо известно, что при одинаковых числах Рейнольдса ламинарное сопро-
тивление трения значительно меньше, нежели турбулентное, причем тем
меньше, чем больше числа Рейнольдса. Поэтому основное направление сни-
жения сопротивления состоит в том, чтобы какими-то способами увеличить
протяженность ламинарного участка пограничного слоя либо изменить в
определенном направлении структуру турбулентного пограничного слоя (по
сравнению с обычным режимом течения).
Рассмотрим вкратце некоторые методы снижения вязкостного сопротив-
ления, обратив главное внимание на возможности их применения в судо-
строении.
Ламинаризованные обводы. В § Ю.5 было установлено, что отрица-
тельный градиент давления (dp/dx < 0) приводит к повышению устойчивос-
ти ламинарного пограничного слоя, иными словами, к увеличению крити-
* V 6*
ческого числа Ren = ——, характеризующего собой абсциссу точки
v
перехода. Эти соображения, как уже упоминалось в § 10.5, легли в основу
создания ламинаризованных крыльевых профилей и тел вращения, у кото-
рых максимальная толщина (диаметр) смещены в кормовую оконечность и
на большей части длины dpldx < 0. Отметим, что эффект ламинаризации со-
храняется до относительно небольших (в корабельной гидромеханике) чи-
сел Рейнольдса Re» 5107. Кроме того, для возникновения этого эффекта
требуется гладкая поверхность.
Ламинаризованные профили нашли ограниченное применение в дозву-
ковой авиации. В судостроении они не применяются, поскольку крайне чув-
ствительны к возмущениям, исходящими из внешнего потока, такими как
волнение, качка, изменение угла атаки и т. д. Относительно тел вращения
следует заметить, что эффект этого способа ламинаризации практически
исчезает уже при малых значениях угла атаки или дрейфа и возмущений
внешней среды (волнения). Кроме того, подобные ламинаризованные обво-
ды не конструктивны в том смысле, что у них отсутствует цилиндрическая
часть, которая является практически неотъемлимой чертой почти всех изде-
лий морской техники. В силу вышеизложенного этот пассивный метод ла-
минаризации практически не используется в судостроении.
Активная ламинаризации. Состоит в использовании эффекта отса-
сывания жидкости из пограничного слоя через поверхность тела. При этом
* Кб*
увеличивается число Ren = —— и трансформируется эпюра распределе-
v
245
ния скорости в нем таким образом, что критическое число Рейнольдса по-
тери устойчивости возрастает, и пограничный слой оказывается более ус-
тойчивым к воздействию внешних возмущений. Расчеты показывают, что
при оптимальном режиме отсасывания (§ 10.5) критическое число Ren
потери устойчивости достигает значения ~ 50 000. Для пластины без отса-
сывания это число, напомним, равно 420. Отсасывание приводит к транс-
формации эпюры скоростей в пограничном слое пластины; при отсасыва-
нии эпюра скоростей у стенки становится более полной, т. е. касательные
напряжения при отсосе несколько больше, нежели без отсоса, но, есте-
ственно, значительно меньше, нежели в турбулентном режиме. При чрез-
мерной интенсивности отсоса они даже могут превзойти турбулентные
касательные напряжения. Заметим далее, что для оценки эффективности
отсоса следует учесть, что при нем возникает дополнительно импульсное
сопротивление 7?и = обусловленное потерей количества движения
потока (20-расход отсасываемой жидкости). Процент снижения трения
при оптимальном отсасывании Лст/ст0 через пористую поверхность Q ил-
люстрируется следующими цифрами:
Re 106 107 108
\CTI (?TQ 10 18 84
104со = 0о/(р K,Q) 2.1 1.55 1.21
Применение пористых поверхностей в судостроении практически исклю-
чено, что привело к варианту щелевого отсасывания. Расстояние между ще-
лями целесообразно выбирать таким образом, чтобы число Re** оставалось
меньше числа Ren . Первая щель прорезается в конце естественной лами-
наризации объекта. Уменьшение толщины потери импульса 8** при отсасы-
вании может вызвать турбулизацию потока за счет влияния шероховатости.
Для устранения влияния этого фактора нужно, чтобы выполнялось условие
8** > 1,5Л§. Помимо этого ширина щелей на объектах морской техники очень
невелика (порядка долей миллиметра). В реальных условиях их плавания с
изменением глубины погружения происходит обжатие легкого корпуса, что
приводит к изменению ширины щели по периметру объекта и уменьшению
общего эффекта от ламинаризации. В реальных условиях плавания щели
могут засоряться. Для осуществления отсоса жидкости требуется затратить
дополнительную энергию и разместить внутри объекта соответствующие
устройства для отбора жидкости. Все сказанное выше привело к тому, что
трудности технического и технологического характера при организации
щелевого отсоса практически исключили возможность его применения в
корабельной гидромеханике.
Влияние на поток жидкости полимерных добавок. В 40-50-х гг. двад-
цатого столетия было экспериментально обнаружено, что при введении
в поток жидкости очень малого количества полимерных добавок резко
246
(до 70-80 %) снижается сопротивление трения в трубах в турбулентной
зоне чисел Рейнольдса. Этот эффект иллюстрируется рис. 10.20, где пред-
ставлена зависимость коэффициента X = /(Re) (Re = и Z>/v) для гидравли-
чески гладкой трубы в зависимости от весового содержания вводимого по-
лимера.
Рис. 10.20. Зависимость коэффициента
X = f(Re) для гидравлически гладкой трубы
в зависимости от весового содержания
вводимого полимера
Известен ряд веществ, обладающих эффектом снижения сопротивле-
ния: полиэтиленоксиды (полиоксы), полиакриламиды - синтетические ве-
щества и естественные вещества - гуаровые смолы. Для них всех харак-
терно наличие высокого молекулярного веса (до 6-106) и молекулярной
структуры в виде длинных цепочек. Эффект снижения сопротивления за-
висит от весовой концентрации вводимого полимера; наибольшая вели-
чина снижения сопротивления наблюдается при весовых концентрациях
порядка с= 104-ь Ю-6 (в зависимости от вида полимера). Под весовой
(массовой) концентрацией понимается отношение массы полимера в су-
хом виде к массе жидкости, в которую он вводится. Из анализа экспери-
ментов с трубами можно установить, что вязкость жидкости с полимер-
ными добавками при концентрации с~ 1() 6 практически не изменяется.
247
При с< 10~5 она несколько увеличивается и зависит от относительной
скорости сдвига vz (см. §3.5). На ламинарное течение полимер не оказы-
вает влияния. Также установлено, что на критическое число Re* перехо-
да из ламинарного течения в турбулентное в трубе введение полимера
практически не влияет. Отмечается, что цепные молекулы полимеров в
потоке под действием гидродинамических напряжений склонны к разру-
шению (деструкции); это приводит с течением времени к снижению их
эффективности.
Изменение сопротивления от введения полимеров связано с их влияни-
ем на поле скоростей турбулентного потока.
Рис. 10.21. Эпюры безразмерной скорости
при различной концентрации раствора
полимеров в трубах
На рис. 10.21 приведены эпюры безразмерной скорости при различной
концентрации раствора полимеров в трубах. Кривая 1 соответствует тече-
нию чистой воды. Из этого рисунка следует, что введение полимеров влияет
на рост переходной к логарифмическому закону области потока, иными сло-
вами, к увеличению условной толщины вязкого подслоя. Измерение пульса-
ционных скоростей в полимерных потоках показало значительное их умень-
шение, особенно поперечных пульсаций скорости.
На основе экспериментальных данных, полученных при течениях в тру-
бах, были поставлены опыты с целью влияния слабо концентрированного
раствора полимера на обтекание тел.
Общепризнанной теории, объясняющей эффект снижения сопротив-
ления в полимерных потоках, до настоящего времени не существует.
248
Имеется несколько различных подходов к объяснению этого феномена;
подробно они освещены в монографии [10.2]. Наиболее простой под-
ход заключается в том, что введение полимеров влияет на процесс тур-
булентного перемешивания и на уменьшение величины пути переме-
шивания I. С использованием этой экспериментально установленной
зависимости, можно получить распределение скоростей в турбулент-
ном потоке с учетом влияния полимерных добавок. Эти решения доста-
точно хорошо соответствуют большинству известных эксперименталь-
ных данных.
Практическое применение полимеров в судостроении, естественно,
возможно лишь при их щелевой подаче в пограничный слой. С этой це-
лью были проведены соответствующие модельные и даже натурные экс-
перименты.
Рис. 10.22. Зависимость стр =/(Re)
для пластины L = 2,5 м без подачи
полимера (7) и с учетом подачи (2), (5)
На рис. 10.22 - линия 7 - турбулентное трение в чистой воде; 2-при
подаче раствора полиокса с концентрацией с = 50-10-6, а 3 - с концентраци-
ей с - 500-10-6.
В 1966 г. в Англии была испытана пятиметровая модель судна с четырь-
мя щелями, расположенными соответственно на расстоянии 5; 25; 50 и 75 %
длины от носового перпендикуляра. Наибольшая эффективность была дос-
тигнута при подаче полимера из первых трех щелей; четвертая щель практи-
чески не влияла на снижение сопротивления. Полное снижение сопротивле-
ние модели удалось уменьшить на 17 %, а сопротивление трения снизилось
на 30 %.
В Англии также было проведено испытание натурного судна «Хайбэр-
тон» длиной 42,7 м при подаче полимера «полиокс» через две накладные
щели. При средней концентрации полимера в пограничном слое с= 10 5
полное сопротивление судна удалось снизить на 13 %. При этом было заме-
чено, что не весь пограничный слой заполнился полимером, из-за чего на
части смоченной поверхности снижение сопротивления трения не имело
места.
Щелевую подачу полимера предполагается организовать следующим
образом: в носовую щель, расположенную в конце естественного лами-
249
нарного участка объекта, подается концентрированный раствор полимера.
Его массовый расход в идеальном случае должен обеспечивать полное за-
полнение всего погранслоя судна. Ширина щели с целью обеспечения при-
емлемых значений скорости подачи полимера составляет величину поряд-
ка нескольких миллиметров. Использование для подачи полимера
последовательно расположенных по длине объекта щелей признано неце-
лесообразным. Поступающий концентрированный раствор полимера диф-
фундирует (растворяется) в пределах турбулентного участка погранично-
го слоя и его концентрация по длине уменьшается. В результате этого также,
как и при обтекании тела раствором полимера, происходит снижение со-
противления турбулентного трения. Раствор полимера уходит в область
следа, что требует для обеспечения необходимого эффекта обеспечивать
непрерывную подачу полимера.
При щелевой подаче полимера в окружающую водную струю, естествен-
но, встает вопрос об экологии. Было установлено, что как искусственные
так и естественные полимеры практически безопасны для морской флоры и
фауны, в том числе и для человека.
Вышеизложенное показывает, что использование полимеров позволя-
ет в определенной степени снижать сопротивление как при течении жид-
костей в трубах, так и при обтекании тел. Однако на пути практического
использования в судостроении этого способа стоят большие трудности тех-
нического и технологического характера: прорезка в корпусе щели для
подачи полимерного раствора, обеспечение его выброса почти по касатель-
ной к обшивке корпуса, оборудование емкостей для создания концентри-
рованного раствора полимера, установка дополнительных насосных уст-
ройств для подачи полимера через щель. Шероховатость поверхности и
обрастание корпуса уменьшают эффективность использования полимер-
ных добавок.
Примерные расчеты показывают, что расход сухого полимера для обес-
печения непрерывной подачи должен быть достаточно велик, а относитель-
но высокая стоимость всех достаточно эффективных полимеров ставит под
сомнение эффективность использования этого способа снижения сопротив-
ления, особенно для транспортных судов.
Снижение сопротивления трения за счет искусственной кавитации
рассмотрено в гл. 14.
10.10. Турбулентные струйные течения
Струйные течения встречаются во многих технических устройствах.
Классификация струйных течений представлена в [10.1]. Отдельные приме-
ры струйных течений приведены на рис. 10.23: свободный пограничный слой
или начальный участок струи (а), струя, вытекающая со скоростью К() из
сопла в спутный поток, скорость которого и (б), и след за телом (в).
250
Рис, 10.23. Типы струйных течений
Начальный Переходный Основной
участок участок участок
Рис. 10.24. Основные участки
распространения струи
По характеру изменения скорости различают начальный, переходный
и основной участки спутной струи (рис. 10.24). На начальном участке суще-
ствует ядро струи, в котором распределение скоростей такое же, как и в со-
ответствующих точках на выходе из сопла. На основном участке струя
251
расширяется в виде конуса, и течение становится аналогичным течению в струе,
исходящей из точечного источника с расходом, равным расходу в сопле.
Струя становится полностью турбулентной при числах Рейнольдса
Re = > Ю4 , где D - диаметр сопла. При достаточно больших числах Re
v
турбулентные касательные напряжения в турбулентных струях велики по
сравнению с вязкими напряжениями, вследствие чего непосредственное воз-
действие вязкости жидкости на осредненное течение пренебрежимо мало.
Поэтому рассматриваемые ниже движения оказываются независисмыми от
числа Рейнольдса, то есть автомодельными. Кроме того, понятие автомо-
дельности включает предположение, что все поперечные сечения струйного
течения на основном участке имеют афинно подобные профили скорости,
совпадение которых может быть достигнуто выбором соответствующих мас-
штабов для скорости и ширины. Для основного участка Шлихтингом была
предложена следующая универсальная формула для распределения скорос-
ти внутри струи
^х=^^- = [\-(у/Ь)312]\ (10.71)
^хт
где и- скорость потока; йх -скорость внутри струи; йхт - скорость на оси
струи; у-расстояние до оси струи; b - ее полуширина или радиус. На
рис. 10.25 изображена кривая, рассчитанная по формуле (10.71), в сопостав-
лении с экспериментальными данными о плоских и осесимметричных стру-
ях в спутном потоке и о плоских и осесимметричных следах. Величина у0 5
равна расстоянию от оси струи до места, в котором избыточная скорость
равна половине максимального значения. Формула (10.71) дает возможность
рассчитать профиль скорости при известной максимальной скорости йхт .
Характерными особенностями струи являются малость поперечных ско-
ростей по сравнению с продольными и постоянство статического давления
поперек струи.
Используя простые оценки [4], можно показать, что закон нарастания
ширины зоны перемешивания 8 на начальном участке плоской струи имеет
линейный характер. Действительно, можно считать вполне оправданным
следующее предположение: конвективная производная ширины 8 зоны пе-
ремешивания по времени пропорциональна осредненной пульсации попе-
/ /2
речной скорости duy , т. е. можно записать
Так как и I = const-8 [см. (8.25)], из (10.72) следует
ду 8
252
^xm i ~ ^xm C°nSt.
dx
(10.73)
Из последнего соотношения получаем искомый результат — = const или
5 = x-const.
(10.74)
Поскольку давление в струе постоянно, продольная составляющая пото-
ка количества движения по всему поперечному сечению I не должна зави-
сеть от координаты х:
I - р ^u^dS = const.
_2
Для плоской струи это условие можно записать в виде I ж pz/xw3 = const.
Откуда после замены 3 его значением, согласно (10.74), получим
(10.75)
Таким образом, максимальная скорость на оси струи уменьшается об-
ратно пропорционально корню квадратному от расстояния до сопла. Зави-
симости ширины зоны перемешивания, скорости на оси и турбулентной вяз-
кости vz от абсциссы х для плоских и осесимметричных струй и следов
сведены в табл. 10.2.
Таблица 10.2
Характеристики турбулентных струй и следов
Зона турбулентного перемешивания Ширина 5 5 ~ xY Скорости и ~ х^ ихт л ИЛИ Щ хт ~ XY 1 Xtfl Турбулентн ая вязкость V, ~ XY
Показатель степени Y Y Y
Начальный участок струи 1 1 1
Плоская струя 1 -1/2 1/2
Осесимметричная струя 1 -1 0
Плоский след 1/2 -1/2 0
Осесимметричный след 1/3 -2/3 -1/3
Струи являются вытянутыми в продольном направлении течениями; их
характерный поперечный размер много меньше характерного продольного
253
размера. Для таких течений вместо полных уравнений Навье-Стокса или
Рейнольдса можно использовать уравнения пограничного слоя (10.19).
С учетом постоянства давления, малости вязких напряжений и гипотезы тур-
булентной вязкости, эти уравнения запишутся в виде
(10.76)
В теории турбулентных струй предполагается, что турбулентная вязкость
постоянна в поперечных сечениях струи и зависит только от продольной
координаты х. Из анализа размерностей следует
vt = a8UN, (10.77)
где а - коэффициент пропорциональности, определяемый из эксперимента;
8 - ширина зоны смешения (см. рис. 10.23); UN - характерная продольная ско-
рость, равная для случаев 10.23, а - в соответственно: UN = uXfrj(x = 0),
Un — ихт — и и Un — •
Решения уравнений пограничного слоя для струи (10.76) характерны тем,
что все они аналогичны и получаются путем сведения уравнения в частных
производных (10.76) к обыкновенным дифференциальным уравнениям от-
носительно некоторой неизвестной функции Для этого вводятся следую-
щие представления скорости:
^ = гда + ^(л)/'(г|); (10-78>
ах ах
где штрих означает дифференцирование по г| =у/8\ - скорость потока вне
струи (в случае 10.23, a) = 0). Согласно табл. 10.2 и формуле (10.75), ско-
рость UN и ширина зоны смешения 8 могут быть представлены в виде сте-
пенной зависимости от х:
8 = аах; UN = Вхп\
(10.79)
где коэффициенты а, а, В находятся из эксперимента. Значение т = 0 соот-
ветствует случаю (10.23,а).
Подстановка (10.77), (10.78) и (10.79) в (10.76) приводит к следующему
нелинейному обыкновенному дифференциальному уравнению в случае
И =0:
00
+ + =0, (10.80)
а
которое может быть легко решено численными методами.
Кроме струйного течения 10.23/7 уравнение (10.80) справедливо также
для течения плоской струи в неподвижной жидкости (случай 10.23,6) при
w = 0, /77 =1/2). Гертлер показал, что решение уравнения (10.80) в первом
приближении при т = 0 дает распределение продольных скоростей в виде
интеграла ошибок, т. е.
254
(10.81)
Наилучшее совпадение теории и эксперимента получается при а = 13,5.
Рис, 10.25. Распределение продольной
скорости в струе
Из решения (10.80) можно найти, что границы области смешения струи
с окружающей ее жидкостью (рис. 10.23,а) определяются по формулам
Л- = 0,083; — = -0,173.
X X
Следовательно, ширина зоны смешения
5 = (у| - г2) = 0,256т.
Использованные выше методы описывают осредненные по времени ве-
личины, полезные для инженерных приложений, но не дают точного пред-
ставления о деталях течения в струе. На самом деле течение в струе пред-
ставляет собой сложный нестационарный процесс образования,
взаимодействия и разрушения крупномасштабных периодических вихревых
структур (рис. 10.26) [10.3].
Образование когерентных структур является следствием неустойчиво-
сти вихревого движения. На малом отстоянии от сопла образуются кольце-
образные вихри, которые испытывают азимутальную неустойчивость, и на
расстояниях порядка диаметра превращаются в сложные звездообразные
структуры. На расстояниях порядка шести диаметров за соплом происхо-
дит сильное взаимодействие кольцевых и звездообразных вихрей, которое
приводит к их слиянию и дроблению, после чего уже становится трудно
255
Рис.10,26, Схематическое изображение
вихревых структур струи
выделить какие-либо характерные крупные вихревые образования. Началь-
ный участок струи, на котором происходит сложное взаимодействие вих-
ревых структур, является основным источником шума струи. Управление
течением в струе может быть достигнуто за счет акустического воздей-
ствия на небольшой участок струи, находящийся на расстоянии 0,1/J от
сопла. Так высокочастотный звуковой сигнал ведет к измельчению вихрей
и снижению перемешивания. И наоборот, увеличение смешения может быть
достигнуто за счет воздействия на струю низкочастотного звукового сиг-
нала.
КОНТРОЛЬНЫЕ
ВОПРОСЫ
I 1. Каковы основные свойства пограничного слоя?
I 2. Является ли граница пограничного слоя линией тока?
I 3. Почему происходит отрыв пограничного слоя?
I 4. Как влияет число Re на толщину пограничного слоя?
I 5. От чего зависит устойчивость ламинарного течения?
I 6. Что такое плохо и хорошо обтекаемые тела?
• ЗАДАЧИ
I 1. Определите вязкостное сопротивление судна L = 100 м,
В = Т= Юм, V= 10 уз.
I При какой шероховатости поверхность такого судна
I можно считать гидродинамически гладкой?
| 2. Чему равен коэффициент трения пластины L = 100 м,
J В = 1 м, движущейся в воде со скоростью К^:= 10 м/с?
I Чему был бы равен коэффициент трения, если бы уда-
I лось сохранить ламинарный режим течения?
ГЛАВА 11
ЦИРКУЛЯЦИОННЫЕ ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ.
ТЕОРИЯ КРЫЛА. ГЛИССИРОВАНИЕ
11.1. Геометрические и гидродинамические характеристики
крыльев
Крылом называют тела, служащие для создания подъемной силы. Кры-
льевые конструкции имеют широкое использование в судостроении. Это
лопасти гребных винтов и крыльчатых движетелей, несущие и стабилизиру-
ющие поверхности судов на подводных крыльях и экранопланов, рули, кры-
льевые успокоители качки и т. д. В задачах управляемости корпус судна рас-
сматривается как крыло, на котором возникает боковая сила и момент.
Чтобы способствовать созданию гидродинамической подъемной силы,
крыльям придают специальную форму, которая одновременно благоприят-
ствует снижению величины силы сопротивления их движению. Рассмотрим
основные геометрические и гидродинамические параметры крыльев.
ИЛЛ. Геометрические характеристики
Форма плоского крыла в плане может быть прямоугольной, трапецие-
видной, эллиптической, стреловидной и т. д. (рис. 11.1 ,а-г). Протяженность
крыла в направлении, перпендикулярном к набегающему на него потоку,
называется удлинением (размахом) крыла I. Правая система координат,
обычно используемая в гидродинамике крыльевых судов, изображена на
рис. 11.1, г). Ось Оу направлена вертикально вверх.
Если провести плоскость, перпендикулярную размаху крыла, то в ее пе-
ресечении с крылом получится профиль крыла. В судостроении использу-
ются авиационные симметричные (относительно хорды), несимметричные
профили со скругленной передней и острой задней кромками (рис. 11.1), сег-
ментные профили и т. д. Отрезок прямой, соединяющий две крайние точки
профиля, называется хордой b (рис. 11.2). Средняя линия профиля ;г(Х) = /U)
может быть прямой или криволинейной линией. Характеристиками профи-
258
Рис, ILL Формы плоского крыла
1
ля являются относительные кривизна средней линии f = max f /Ь (обычно
О 4- 4 %) и его толщина с - max(j^B + yn)lb (обычно 0 -ь 25 %). Профили
с толщиной менее 10—12 % считаются тонкими, и для них можно использо-
вать теорию малых возмущений.
Рис,11,2, Геометрические параметры профиля
Важнейшей характеристикой крыла является его относительное удлинение
(11.1)
В зависимости от величины различают крылья конечного и малого (обыч-
но X < 2) удлинения. В теории крыла рассматривают также прямоугольные
крылья очень большого удлинения (/ оо), X —> оо. При этом говорят об об-
текании профиля.
259
Крылья, как правило, снабжаются развитой механизацией (рис. 11.3):
предкрылками /, закрылками 2 и интерцепторами 3. Механизация использу-
ется для изменения подъемной силы на профиле, например, в условиях взлета
и посадки самолетов и экранопланов, выхода на крейсерский режим СПК,
или как орган управления для обеспечения устойчивого движения. За счет
отклонения закрылка увеличивается кривизна профиля, что приводит к уве-
личению подъемной силы. Применение предкрылка способствует благопри-
ятному обтеканию верхней стороны профиля без срыва потока. Выдвиже-
ние интерцептора на задней кромке крыла 3 также ведет к существенному
росту подъемной силы. В случае аварийной заклинки рулей подводной лод-
ки, применяются также интерцепторы 4, выдвигающиеся на верхней сторо-
не профиля, что приводит к срыву потока и резкому снижению подъемной
силы.
Рис.113, Крылья с развитой
механизацией
11.1.2. Гидродинамические характеристики
Важнейшими гидродинамическими характеристиками крыла являются ко-
эффициенты сопротивления Сх. подъемной силы Су и продольного момента mz\
(Н-2)
где £ - площадь крыла в плане; - скорость движения или обтекания кры-
ла. Силой сопротивления Rx называют проекцию гидродинамической реак-
ции на направление движения.
Углом атаки профиля крыла а называют угол между вектором скорости
набегающего потока и хордой профиля. Крыло является незакрученным, если
углы атаки всех его профилей одинаковы. В этом случае говорят о едином
угле атаки крыла. Существует угол нулевой подъемной силы а0, при кото-
ром Су = 0. Для симметричных профилей а0 = 0, для несимметричных -
а0 Ф 0.
Гидродинамическим качеством крыла называют отношение подъемной
силы к сопротивлению при данном угле атаки крыла
(11.3)
260
Для крыла К >(») 1. Оптимальным углом атаки является угол аопт, при
котором достигается оптимальное значение качества.
Наряду с поточной системой координат xyz рассматривают связанную с
профилем систему координат x^y^z^ в которой ось х} направлена по хорде
(см. рис. 11.2). Из этого рис. следует связь между коэффициентами нормаль-
рК2 ~ „
ной силы Су1 = 7?vl /——S и продольной силы Сх1 с Су и Су
Су, cos а + Сг
V а
= Cr cosot-Cv
л у
sin а;
>
sin а.
(П-4)
Обычно крылья эксплуатируются в области малых углов атаки, таких,
что можно считать, что cosot » 1, sina ~ ot. С учетом этого получим
(П.5)
При этом произведение Сух считается малым второго порядка, которым
можно пренебречь. С учетом этого коэффициент нормальной силы равен
коэффициенту подъемной силы.
Момент М относительно носовой точки профиля, с одной стороны, ра-
рГ2
вен Mz - Ст Sb, а с другой - Mz = RyyyD, где xXD - абсцисса центра
давления £>, под которым понимают точку пересечения хорды профиля и
линии действия гидродинамической реакции R. С учетом этого имеем
Здесь CD - коэффициент центра давления.
В теории крыла, основанной на теории малых возмущений, использует-
ся разложение гидродинамических характеристик в ряд по кинематическим
параметрам, представляющим собой линейную часть ряда Тейлора для фун-
кции. В случае движения крыла в продольной плоскости (хоу) в безгранич-
ной жидкости с углом атаки а и угловой скоростью Qz это разложение имеет
вид
С“(а-а0) + С"-(ог; (11.7)
z дт7 / х дт7 a ( \ «
mz(a,Q) = mz0 + —^-(a-a0) + = mzQ + mz (a- ot0) + mz coz, (11.8)
cot ccoz
где coz - безразмерная угловая скорость coz - Cy.m^ - позиционные
производные по углу атаки; C“ - вращательные производные no a>z.
261
Разложения (11.5) и (11.6) имеет смысл применять в областях линейного
изменения С и mz в зависимости от а (см. следующий параграф) и coz (сог
должно быть мало). В этих областях коэффициенты в (11.7) и (11.8) зависят
от геометрических характеристик крыла и, в общем случае, от чисел Фруда,
Рейнольдса и числа кавитации.
При вертикальных и угловых колебаниях крыла дополнительно рассмат-
ривают кинематические параметры d =
da b
dt
и (д — b _ d£lz b_________
dt Vx dt '
В этом случае в разложения (11.7) и (11.8) следует дополнительно ввести
слагаемые нестационарной природы:
дсу . дс dcY .
Cv = С,, (а-ап) +——ан------—со? н----—<х>7;
у • 0 да. z d&z z
x dm7 . dm7 dm7 .
m7 = т7П + m7 (а-ал)н-----ан-------co, h----ю7.
Z Z\J Z ' U / z . z
OU 5(0 _ 5(0-
* £
При произвольных колебаниях все производные в (11.9) являются функ-
циями от числа Струхаля, т. е. от частоты колебаний крыла.
11.2. Физические особенности обтекания крыльев
Крыльевой профиль при положительном угле атаки воздействует на
поток таким образом, что на его нижней стороне возникает подторма-
живание, а на верхней стороне ускорение потока. Из интеграла Бернул-
ли непосредственно следует, что на верхней стороне профиля возника-
ет разрежение, а на нижней стороне профиля - повышенное давление.
Поэтому спинку профиля часто называют засасывающей, а нижнюю по-
верхность нагнетающей сторонами профиля. На рис. 11.4 изображены
эпюры распределения коэффициента давления р = (р - р00)/(р /2) по
верхней и нижней сторонам профиля. Подъемная сила профиля про-
порциональна сумме площадей положительной и отрицательной час-
тей этих эпюр, причем наибольший вклад при отсутствии границ пото-
ка вносит засасывающая сторона профиля. Как видно из рисунка, вдоль
засасывающей стороны профиля имеет место обширная область поло-
жительного градиента давления, величина которого растет при увели-
чении угла атаки.
Рассмотрим зависимость Су(а) (рис. 11.5). С увеличением угла атаки
подъемная сила растет до некоторого максимального значения, затем умень-
шается. Угол атаки, начиная с которого наблюдается падение подъемной силы
называется критическим углом а . Для крыльев большого удлинения
262
-1.6
Рис. 11.4. Эпюры распределения
коэффициента давления р
NACA 0012
Re х 10-6
о 3.18
Рис. 11.5. Зависимость С (а)
акр = 15-5-18°. Характер уменьшения зависит от числа Рейнольдса Re - -35—.
При малых числах Рейнольдса кривая снижения С (а) является пологой,
в то время как при больших Re происходит резкое падение подъемной силы.
Причина такого поведения С состоит в отрыве потока с верхней стороны
профиля (рис. 11.6). В теории пограничного слоя (см. главу 10) показано,
263
что положительный градиент давления может вызвать отрыв пограничного
слоя и нарушение плавности обтекания засасывающей стороны профиля.
Это явление часто называют срывом потока. При малых углах атаки отрыв
либо не реализуется, либо охватывает небольшую часть поверхности в рай-
оне задней острой кромки профиля. По мере увеличения угла атаки разре-
жение увеличивается, т. е. растет абсолютная величина ^mjn, а, следователь-
но, значительно возрастает продольный перепад давления вдоль спинки
профиля. Рост продольного перепада давления при приближении к крити-
ческому углу атаки вызывает отрыв пограничного слоя, в результате которо-
го наблюдается нарушение плавности обтекания спинки и задней острой
кромки профиля. Это приводит к значительному падению подъемной силы
при закритических углах атаки, сопровождающемуся значительным ростом
Сх и резким снижением качества крыла.
Рис, 11,6, Виды обтекания профиля
В режиме плавного обтекания при малых и умеренных углах атаки про-
филя распределение давления на большей части профиля и коэффициент
V b 6
подъемной силы при Re = —^—> 10 не зависят от числа Рейнольдса (см.
v
рис. 11.5). Вязкость жидкости приводит к некоторой коррекции давления
лишь в окрестности задней кромки (рис. 11.4). При закритических углах атаки
характер течения существенно зависит от числа Рейнольдса. При этом при
малых числах Рейнольдса причиной падения подъемной силы может ока-
заться отрыв, возникающий в районе задней острой кромки профиля. В клас-
сической теории крыла, базирующейся на теории невязкой жидкости, рас-
сматриваются режимы плавного безотрывного обтекания профилей
(рис. 11.6). Другими словами предполагается, что числа Рейнольдса велики
Re > 106, а угол атаки мал а < 10°.
Рассмотрим процесс формирования циркуляции вокруг крыльевого про-
филя при его внезапном старте с постоянной скоростью. В начальный пери-
од времени течение вдоль большей части профиля сходно по своим характе-
ристикам потенциальному бесциркуляционному течению невязкой жидкости.
Существенное отличие имеет место только в окрестности задней кромки.
Как известно, на задней острой кромке профиля в бесциркуляционном по-
токе скорость равна бесконечности. В вязкой жидкости появление бесконеч-
264
ных скоростей невозможно, на острой задней кромке происходит отрыв по-
тока и формируется вихревой сгусток, который некоторое время перемеща-
ется вместе с крылом. Завихренная жидкость пограничного слоя поступает
в вихрь с нижней и верхней сторон крыльевого профиля, благодаря чему
интенсивность и размеры вихря растут до тех пор, пока он не срывается с
крыла и не остается в потоке жидкости. Этот вихрь называется разгонным
вихрем крыла. В процессе образования разгонного вихря течение вокруг
профиля трансформируется таким образом, что обтекание задней острой
кромки становится плавным. После отрыва разгонного вихря с задней кром-
ки продолжают сходить вихри, интенсивность которых постепенно стремится
к нулю при постоянной скорости профиля.
Можно показать, что возникновение, эволюция и сход разгонного вихря
приводит к возникновению циркуляции вокруг профиля. Наиболее нагляд-
ным является доказательство в рамках теории невязкой жидкости. Вычис-
лим циркуляцию по жидкому контуру С, охватывающему в момент времени
профиль и разгонный вихрь (рис. 11.7). В начальный момент времени / = О
профиль находился в покое и циркуляция вокруг него по любому контуру
была равна нулю. После начала движения контур С вытягивается и внутри
его появляется разгонный вихрь. В силу теоремы Томсона циркуляция по
жидкому контуру С в невязкой жидкости остается постоянной во времени,
следовательно, она равна нулю и после образования разгонного вихря
Г(г) = 0. (11.10)
Если существует разгонный вихрь, то циркуляция по контуру С2 отлична
от нуля Г2 ф 0. Из условия (11.10) следует тогда, что циркуляция вокруг профи-
ля Гр вычисленная по контуру Ср также не равна нулю: Г2 = - Гр Аналогич-
ное доказательство можно получить и для случая вязкой жидкости, если учесть,
что суммарная завихренность течения остается постоянной во времени (один
из инвариантов движения жидкости) как в невязкой, так и вязкой жидкостях.
Рис. 11.7. Возникновение циркуляции
на профиле
Возникновение разгонного вихря и циркуляции вокруг профиля, строго
говоря, не может быть объяснено с позиций теории невязкой однородной
жидкости. Если несжимаемая однородная жидкость в начальный момент
времени не содержала завихренности, то и в последующие моменты она
265
останется безвихревой (см. § 5.4). Для того чтобы избежать этого парадокса
в теоретических моделях нестационарного движения профиля по предложе-
нию Прандтля (1924) принято считать, что уже в начальный момент време-
ни на задней кромке существует некоторый зародыш завихренности в виде,
например, спиралевидной вихревой пелены с бесконечным числом витков
(спираль Прандтля-Кадена) и обтекание задней кромки уже в начальный
момент является плавным. Введение первоначального вихря и предположе-
ние о плавности обтекания задней кромки косвенно учитывает вязкие про-
цессы, сопровождающие образование разгонного вихря.
Если профиль совершает произвольное нестационарное движение, то
циркуляция вокруг профиля непрерывно меняется. Из условия (11.10) сле-
дует непосредственно, что в потоке должны появляться вихри, остающиеся
в следе крыла и компенсирующие изменение циркуляции вокруг профиля.
Наличие таких вихрей, а также разгонного вихря с осями, параллельными
размаху крыла, установлено экспериментально в следе за крылом.
Крылья, используемые в реальных конструкциях, всегда имеют конечное
удлинение. На концах крыла из-за разности давления на его нижней и верхней
поверхностях возникают перепады давлений (рис. 11.8, а). Они обуславлива-
ют поперечное перетекание жидкости снизу, где давление повышено, на верх-
нюю сторону, где имеет место разрежение. Мы вновь имеем течение с поло-
жительным градиентом давления, которое теперь происходит в поперечных
сечениях крыла. В результате на боковых кромках крыла 7 реализуется отрыв
3 и пограничный слой стекает в поток с верхней и нижней сторон крыла, обра-
зуя суммарный вихревой след в виде тонкой вихревой пелены 2. Такая вихре-
вая пелена является неустойчивой и сворачивается в вихревой жгут спирале-
видной структуры с вязким ядром 5, в котором жидкость вращается как твердое
тело. С задней кромки крыла, с верхней и нижней сторон профиля, также схо-
дит в поток пограничный слой, в котором жидкость имеет существенную за-
вихренность, и образуется вихревой след 6.
Существование поперечного движения, вызванного перетеканием жид-
кости с нижней стороны на верхнюю, обуславливает наличие в вихревом
следе свободных вихрей, расположенных вдоль потока. Вихри, сходящие с
задней кромки крыла, также скручиваются в вихревой жгут, формирую-
щийся на боковых кромках крыла, так, что уже на некотором небольшом
расстоянии вихревой след представляет собой два тонких концентриро-
ванных концевых вихревых жгута 5, диаметр которых незначительно уве-
личивается со временем из-за диффузии (рис. 11.8, б). В безграничной
жидкости расстояние между вихрями составляет примерно 0,9 размаха кры-
ла. При нестационарном движении крыла конечного размаха описанный
выше процесс образования вихрей за крылом конечного размаха при его
стационарном движении и процесс схода в поток вихрей нестационарной
природы с кромок накладываются друг на друга так, что формируется слож-
ная вихревая система.
266
Рис. 11.8. Физическая схема обтекания
крыла конечного размаха
Вихревые жгуты существуют в потоке длительное время на расстояниях
нескольких тысяч размахов. Согласно теории вихри не могут заканчиваться
в жидкости и должны замыкаться на разгонный вихрь. Однако существова-
нию такой простой модели препятствует неустойчивость вихревого движе-
ния. В дальнейшем, если интенсивность турбулентности в окружающей среде
велика, вихри рассеиваются. При малой интенсивности турбулентности вих-
ри испытывают конвективную неустойчивость и распадаются на кольцеоб-
разные структуры, которые затем также исчезают из-за диффузии. В хоро-
шую погоду можно наблюдать в небе процессы распада вихревого следа
крыла за высоколетящими большими самолетами.
Внутри ядра вихревых жгутов происходит интенсивное вращательное
движение и имеет место сильное разрежение, которое может привести к ка-
витации вихревых шнуров в жидкости и ее дальнейшему распространению
на крыло. Это явление наблюдается экспериментально в концевых вихрях
винтов и подводных крыльев. Концевые вихри подводного крыла на некото-
ром расстоянии от него могут выходить на свободную поверхность. При на-
личии сильного разрежения воздух может засасываться в концевой вихрь и
распространяться в нем вплоть до подводного крыла, вызывая тем самым
его аэрацию и снижение несущих свойств.
Вихревой жгут, формирующийся на боковой кромке, влияет на гидроди-
намические характеристики крыльев, вызывая нелинейность в зависимости
С (а). На рис. 11.9 схематически показаны кривые С^(а) для крыльев боль-
шого (кривая «б/») и малого удлинений (кривая «б»). Для крыла большого
удлинения это влияние мало, поскольку эффекты на боковых кромках мало
сказываются на характеристиках течения на большей части размаха крыла.
267
Рис. 11.9. Зависимости Су (а) для крыльев
большого (а) и малого (б) удлинения
Зависимость Су(а) остается линейной вплоть до критического угла ата-
ки. Для крыльев малого удлинения размер вихревого жгута сопоставим с
размахом крыла и его влияние существенно уже на малых углах атаки. Вих-
ревой жгут создает сильное разрежение в районе боковых кромок, из-за чего
подъемная сила крыла получает приращение пропорциональное квадрату
угла атаки. Линейные представления (11.7) и (11.8) для крыльев малого уд-
линения должно быть дополнено квадратичными слагаемыми
Сv =СДа-а0) + С“а(а-а0)2,
2 (П-H)
mz =mz0+ т^(а-а0) + т^а(а-а0) .
Несмотря на увеличение С , гидродинамическое качество крыла умень-
шается из-за увеличения индуктивного сопротивления, вызванного воздей-
ствием вихревого жгута. В зоне докритических а подъемная сила и перепад
давлений у крыла малого удлинения меньше, чем у крыла большого удлине-
ния при том же угле атаки. Следовательно, меньше и положительный гради-
ент давления на спинке профиля. В результате отрыв пограничного слоя на
крыльях малого удлинения наступает позже при значительно большем угле
атаки, чем у крыла большого удлинения.
Характерными особенностями крыльев малого удлинения являются уве-
личение критического угла атаки. Дополнительным фактором, препятству-
ющим отрыву пограничного слоя на крыльях малого удлинения, особенно
крыльях дельтавидной формы, является индуцированный концевым вихрем
поток в направлении сверху вниз, как показано векторами 4 на рис. 11.8.
Этот поток прижимает пограничный слой к поверхности крыла.
Свободная поверхность воды оказывает существенное влияние на гид-
родинамические характеристики крыла. При этом следует различать два
268
случая: движение над (крыло экраноплана) и под (крыло СПК) свободной
поверхностью. В первом случае, при больших скоростях движения свобод-
ную поверхность можно заменить твердой стенкой. Для удачно спроектиро-
ванной крыльевой системы при положительных углах атаки имеет место па-
дение сопротивления, увеличение коэффициента подъемной силы (рис. 11.10)
и качества. Влияние свободной поверхности на подводное крыло имеет об-
ратный характер. На рис. 11.11 представлен Су крыла, движущегося при боль-
ших числах Фруда. Как видно из этого рисунка, коэффициент подъемной
силы и угол нулевой подъемной силы а0 уменьшаются по мере уменьшения
глубины погружения крыла.
Рис, 11.10. Влияние свободной поверхности
на подъемную силу надводного крыла
Рис. 11.11. Влияние свободной поверхности
на подъемную силу подводного крыла
Во многих случаях крылья работают в присутствии корпуса корабля или
фюзеляжа самолета. Учет влияния корпуса па работу крыла представляет
собой достаточно сложную гидроаэродинамическую задачу, которая
269
достаточно подробно будет освещена в § 15.5. В первом приближении влия-
ние корпуса можно заменить безграничной плоской стенкой CD (рис. 11.12)
и применить метод зеркального отображения или дублирования. На рис. 11.12
эта процедура показана для судового руля.
А АВ
В
Рис. 11.12. Схема учета влияния корпуса
на гидродинамику руля
Известно, что любую твердую стенку в невязком течении можно заме-
нить поверхностью тока, не нарушив движения жидкости. Поэтому, для при-
ближенной оценки сил руль, примыкающий к корпусу, дублируют в верхнее
полупространство и заменяют твердую стенку CD поверхностью тока. Та-
ким образом, задача сводится к обтеканию крыла удвоенного размаха £эф = 2L
в безраничной жидкости (рис. 11.12).
При достижении определенной скорости на верхней стороне профиля
возможно появление кавитации. Вопросам кавитационного обтекания тел
посвящена гл. 14 настоящего учебника.
11.3. Математическая формулировка задачи теории крыла.
Постулат Чаплыгина-Жуковского
Согласно парадоксу Эйлера-Д’Аламбера, гидродинамическая реакция,
возникающая на теле, соверщающем поступательное равномерное движе-
ние в потоке идеальной бесциркуляционной жидкости в отсутствии границ,
равна нулю. Это, очевидно, противоречит реальности. Причиной столь се-
рьезного разногласия является пренебрежение вязкостью. Следуя этому вы-
воду, для расчета реакций мы вынуждены решать гидродинамические зада-
чи с использованием моделей вязкой жидкости, т.е. интегрировать очень
сложные уравнения, описанные в гл. 7, 8 и 10. К счастью, в очень многих
практически важных случаях гидродинамические реакции, действующие на
тело можно рассматривать как сумму независимых компонент, имеющих раз-
личную физическую природу. Для отдельных компонент могут использо-
ваться упрощенные, но вместе с тем эффективные подходы. Это, в частно-
сти, относится к подъемной силе и индуктивному сопротивлению,
возникающих на крыльях.
270
Если рассмотреть потенциальное течение вокруг крыла и предположить,
что циркуляция в продольных сечениях крыла вдоль его размаха отлична от
нуля, то можно показать, что на таком крыле появляется подъемная сила
(§ 11.4) и индуктивное сопротивление (§ 11.7). Течения, где существует
хотя бы один жидкий контур, циркуляция на котором не равна нулю, называ-
ются потенциальными циркуляционными.
В классической теории крыла предполагается, что течение жидкости яв-
ляется невязким, несжимаемым и потенциальным. Потенциал скорости удов-
летворяет уравнению Лапласа (6.4), граничному условию затухания возму-
щений на бесконечном удалении от крыла и вихревого следа V(p —> 0 при
7? - ^х2 _|_у2 + z2 _> се и условию непротекания на крыле (6.6) или (6.7). С
формальной точки зрения математическая постановка задачи ничем не от-
личается от постановки задачи бесциркуляционного обтекания тела
(см. §6.1). Однако имеются существенные отличия, связанные с неединствен-
ностью решения этой задачи в случае циркуляционного течения и с наличи-
ем вихревого следа за крылом.
Математическая проблема (6.4), (6.6)-(6.7), Vcp—> 0 при
7? - ^х2 + j,2 +z2 оо, называемая внешней задачей Неймана, имеет неедин-
ственное решение, если область течения является неодносвязной. Напомним,
что неодносвязной называется область, в которой существует хотя бы один зам-
кнутый контур, который не может быть стянут в точку без пересечения границ
области. В случае двумерного обтекания крыльевого профиля (рис. 11.13) кон-
тур А может быть стянут в точку без пересечения границы, а сделать то же са-
мое с контуром В мешает профиль. Задача обтекания профиля, следовательно,
имеет неединственное решение. Можно показать, что градиент потенциала ско-
рости определяется однозначно, а сам потенциал - с точностью до произволь-
ной константы, если задана циркуляция вокруг крыльевого профиля (рис. 11.13)
Рис. 11.13. Иллюстрация неодносвязности
области течения вокруг профиля
В бесциркуляционном течении циркуляция считается равной нулю
по определению, и тем самым, обеспечивается единственность решения
271
задачи. Сложность решения задачи циркуляционного обтекания состоит в
том, что в однородной жидкости циркуляция возникает из-за вязкости, и она
не может быть определена в рамках потенциальной теории. Потенциальная
циркуляционная теория математически оказывается незамкнутой. Эта про-
блема была решена путем введения особого постулата, согласно которому,
из всего множества решений, соответствующих различным циркуляциям,
выбираются то решение и та циркуляция, которые обеспечивают плавное
обтекание задней кромки крыла. Это так называемый постулат Чаплыгина-
Жуковского или М.В. Кутта (1902) в зарубежных источниках. Обычно он
формулируется в следующем виде: при обтекании профиля его задняя ост-
рая кромка обтекается плавно, и скорость потока на ней имеет конечное
значение.
Постулат Чаплыгина-Жуковского по праву называют методом косвен-
ного учета вязкости. Действительно, причиной плавного обтекания задней
кромки и возникновения циркуляции является вязкость. Однако следует иметь
в виду что постулат были вынуждены ввести в теорию крыла не для улуч-
шения решения за счет косвенного учета вязкости, а лишь потому, что без
него решение математической задачи потенциального циркуляционного те-
чения просто невозможно.
Постулат применим при обтекании профилей с докритическими углами
атаки. При закритических углах атаки плавность обтекания спинки профиля
нарушается, и использование этого постулата становится невозможным. Если
рассматривается обтекание профиля, у которого две острые кромки - зад-
няя и передняя, то постулат следует относить лишь к задней кромке, обтека-
ние передней кромки при этом не всегда является плавным. Для тел, не име-
ющих острой кромки, например, круговых или эллиптических цилиндров,
условие, аналогичное постулату Чаплыгина-Жуковского, сформулировать
не удается, и определение их подъемной силы с помощью теоремы Жуков-
ского вызывает трудности, связанные с неопределенностью расчетной вели-
чины циркуляции.
Если профиль имеет заднюю кромку с конечным углом заострения 8
(рис. 11.13), то плавность обтекания в рамках теории невязкой жидкости
имеет место лишь в случае, если задняя кромка является критической точ-
кой, а скорость в ней равна нулю. Если угол заострения 8 равен нулю, то
условие плавности течения выполняется при давлении одинаковом при под-
ходе к точке С сверху и снизу вдоль сторон профиля. С учетом интеграла
Эйлера это условие эквивалентно условию равенства по модулю и величине
соответствующих предельных значений вектора скорости. Таким образом,
математической формулировкой постулата в случае двумерного стационар-
ного течения являются условия
й(С) = 0, 8^0;
<я п 0 1.12)
и (С) = и (С), 6 = 0.
272
В случае крыла конечного размаха ситуация несколько сложнее. Если
крыло не является кольцеобразным, то любой контур может быть стянут в
точку без пересечения границ течения. Решение задачи является единствен-
ным и соответствует бесциркуляционному обтеканию крыла без подъемной
силы. Для получения решения с подъемной силой необходимо положить
условие существования ненулевой циркуляции в каждом поперечном сече-
нии крыла.
Очевидно, что циркуляция является переменной вдоль размаха крыла.
Из этого факта непосредственно следует необходимость существования вих-
ревого следа за крылом конечного размаха. Действительно, рассмотрим цир-
куляцию по контуру бесконечно тонкого крыла в сечении z = zQ (рис. 11.14):
1 0 1
Г = ^udl = fux~dx + fux+dx = -ux+)dx, (11.13)
с о i о
—+
где и - предельные значения вектора скорости сверху и снизу крыла.
Воздействие на поток скачка скорости, возникающего на тонком крыле,
эквивалентно воздействию присоединенного вихревого слоя с погонной ин-
тенсивностью
у = (w~ -z7+)x п , (11.14)
где п - вектор нормали к поверхности крыла.
В силу условия непротекания вектор у имеет только две компоненты у
X
и у2, а также удовлетворяет условию неразрывности
Продифференцируем (11.13) по z с учетом формулы (11.15):
Завихренность с продольной компонентой на передней кромке отсутству-
ет yx(l,z0) = 0. В противном случае вихревые линии должны выходить из
передней кромки крыла и уходить в набегающий поток, что не соответству-
ет физике наблюдаемого явления. Тогда из последней формулы следует
(11.16)
Изменение циркуляции вдоль контуров в поперечных сечениях крыла со-
провождается генерацией продольной свободной завихренности у . На задней
кромке кромке крыла должны сходить в поток вихревые линии и, следова-
тельно, за крылом должен существовать вихревой след. В случае двумерного
стационарного течения — (z0) = и и вихревои след отсутствует.
273
У
Рис. 11.14. Иллюстрация к обоснованию
возникновения следа за крылом
Место и направление схода вихревого следа не могут быть определены в рам-
ках теории невязкой жидкости. Вновь на помощь приходит постулат Чаплыгина-
Жуковского. Для его выполнения необходимо, чтобы след сходил с задней острой
кромки крыла по касательной, если угол заострения кромки равен нулю. Если
угол заострения отличен от нуля, обычно предполагают, что след сходит по бис-
сектрисе угла на задней кромке. Задание линии и направления схода вихревого
следа является первым необходимым условием обеспечения единственности ре-
шения задачи трехмерного обтекания крыльев. Второе условие, следующее не-
посредственно из постулата - отсутствие скачка давления на задней кромке:
(Н-17)
где - предельные значения давления при подходе к задней кромке по вер-
хней и нижней сторонам профиля крыла.
В теории крыла вихревой след моделируется бесконечно тонкой поверх-
ностью свободных вихрей, на которой терпит разрыв касательная состав-
ляющая вектора скорости, но не возникает подъемная сила. Вектор интен-
сивности свободных вихрей у(0 выражается через скорости в течении по
формуле (11.14), где в качестве п следует выбрать нормаль к верхней повер-
хности вихревого следа. Вихревой след является свободной границей тече-
ния. Это означает, что он перемещается и деформируется вместе с жидкой
средой и на нем отсутствует скачок давления. Следовательно, кинематичес-
ким граничным условием на следе является
Эф+ Эф
дп дп
(11.18)
и динамическим
р+=р~. (1Е19)
Оба условия автоматически удовлетворяются, если предположить, что
след состоит из жидких частиц, уравнение траекторий которых имеет вид
(11.20)
где г - радиус-вектор жидкой частицы.
274
В случае стационарного течения уравнение (11.20) сводится к уравне-
нию линий тока, а условие (11.19) будет удовлетворено, если в каждой точке
вихревого следа выполняется условие коллинеарности вектора скорости и
вектора погонной вихревой интенсивности следа:
wxyw = 0. (11.21)
Итак, в случае стационарного обтекания крыла математическая поста-
новка задачи включает в себя уравнение Лапласа (6.4), граничные условия
затухания возмущений на бесконечном удалении от крыла и следа Vcp 0
при R = yjx2 + у2 + z2 -> оо, условие непротекания (6.6)-(6.7), постулат Чап-
лыгина-Жуковского и граничное условие на вихревом следе.
При расчете вихревого следа искомыми величинами являются векторная
интенсивность свободного вихревого слоя и форма вихревого следа. Ско-
рость, индуцированная свободным вихревым слоем, определяется по зако-
ну Био-Савара (§ 5.2) и является, следовательно, сложной нелинейной фун-
кцией, зависящей от искомых величин. Согласно уравнению Бернулли,
давление содержит квадрат скорости. Отсюда следует, что оба граничных
условия (11.20) и (11.21) и в целом задачи теории крыла, в которых разыски-
вается положение следа - нелинейные. Решение этих очень сложных задач
актуально, главным образом, для расчета крыльев малого удлинения и кры-
льев, совершающих нестационарное движение с сильным изменением ки-
нематических параметров. В большом числе приложений теории крыла рас-
сматриваются линеаризованные задачи при заданном положении вихревого
следа (§ 11.6).
При нестационарном обтекании как в двумерном, так и в трехмерном
случаях формируется вихревой след, состоящий из вихрей нестационарной
природы, произвольно ориентированных по отношению к вектору скорос-
ти. В этом случае математическая формулировка задачи включает дополни-
тельно теорему Томсона, которая служит для определения интенсивности
вихрей, сходящих с кромок нестационарно движущегося крыла. Уравнение
Лапласа и указанные выше граничные условия должны выполняться в каж-
дый момент времени.
В качестве метода решения поставленной задачи в теории крыла широко
используется метод гидродинамических особенностей. Как известно, уравне-
ние Лапласа и граничное условие на бесконечности в этом случае удовлетворя-
ются автоматически. Оставшиеся граничные условия служат для определения
интенсивности присоединенных вихрей на крыле и свободных вихрей в следе.
11.4. Теорема Жуковского
11.4.1. Подъемная сила на профиле
Рассмотрим обтекание твердого контура /, расположенного в плоскости
ху, установившимся потоком невязкой безграничной жидкости (рис. 11.15).
275
Гидродинамическая реакция
где X и Y- проекции реакции на оси координат; dlA - элемент площади;
dl - дифференциал дуги контура (в дальнейшем 1 опускается).
При этом учтено, что
§Cndl =0.
/
Для определения реакции R по этой формуле нужно знать распределе-
ние скоростей по контуру. Однако можно преобразовать (11.22) так, чтобы в
качестве контура интегрирования можно было использовать любой, охваты-
вающий тело. Для этого вместо гидродинамической реакции R = IX + jY
целесообразно рассмотреть величину вида X - iY, i = V-l, которая называ-
ется комплексной реакцией. Вместо углов, образованных осями х и у с
нормалью, перейдем к углу, образованному касательной к контуру с осью х.
В соответствии с (11.22) и рис. 11.15:
2 2
—cos(n,x)d/=—j)w2 sinpd/, Y = cos(n,y)dl = --
с учетом чего комплексную реакцию можно представить в виде
X -IY = — (£> w(cosp — г sin
2 cospd/,
(11.23)
Рис. 11.15. Обтекание контура I
потоком жидкости
Выражение (11.23) справедливо для любого плоского установившегося
течения невязкой жидкости.
Предположим, что движение является безвихревым. Характеристичес-
кая функция плоскопараллельного течения при этом
w — (р + i\\f,
где (р - потенциал скорости; у - функция тока.
На контуре /, являющимся линией тока, у = С, d\p = 0. Следовательно,
для точек контура
dw = б/ф + id\p = dtp.
Дифференциал функции ср, определяемый направлением нормали п и ка-
сательной /,
dtp — -^-dn + ^-dl — undn + Ufdl = udl,
дп dl
где - проекция скорости на касательную к контуру, равная полной скорос-
ти и; ип - проекция скорости на нормаль к контуру, равная нулю в силу гра-
ничного условия непротекания.
На основании этого для точек контура получаем
dw = dtp + id\p = udl.
Используя выражение для комплексной скорости, на основании рис. 11.15
найдем
w(cosp-zsinP) = их -iuy
С учетом выполненных преобразований получим
,1Z ф г dw 1 ф r(dw}2 .
X-iY=— ф------dw=—ф— dz. (И.24)
2\dz. 2\\dz)
Эта формула позволяет определить гидродинамическую реакцию без
учета Архимедовой силы. Последняя должна быть учтена дополнительно.
Формулу (11.24) принято называть формулой Блазиуса-Чаплыгина.
Комплексная скорость
dw 1
— как аналитическая функция вне контура мо-
жет быть разложена в ряд Лорана:
dw
dz z z2
В последнем разложении отсутствуют члены, содержащие положитель-
ные степени г, поскольку лишь при этом будет выполняться условие конеч-
ности скорости вдали от контура
z dwy
< dz )
= А) = We~ia.
(11.26)
277
Выражению для циркуляции, если прибавить к нему тождественно рав-
ный нулю член
, можно придать вид
(11.27)
Подставляя в (11.27) формулу (11.25) и используя теорему вычетов, со-
гласно которой
= 0 при п > 1 и = 2л/,
(11.28)
получаем
(11.29)
Остальные коэффициенты разложения комплексной скорости в ряд оп-
ределяются геометрией контура / тела.
Подставив (11.25) в (11.24), найдем
/ \2
AZ ’\7 ZP X I А . А . ^2 , | / ZP X Л /11
X-iY=—ф Дф н—L + —у + ... dz=—ф—-dz. (11.30)
2 -Ч z z ) 2 > z
В выражении для
оставлен только член с z поскольку все ос-
тальные его члены, согласно (11.28), при интегрировании обращаются в нуль.
В результате получим
откуда
X -iY = ^2^(2^) = /рГУ^А
X = р V^fsina, У = -pV^fcosa.
(11.31)
(11.32)
— /2 2
Гидродинамическая реакция R=\X + У . Из формулы (11.31) видно,
что из-за наличия множителя / гидродинамическая реакция составляет угол
90 ° с направлением скорости и при положительной циркуляции направ-
лена вниз (см. рис. 11.15). В данном случае на контур действует только
подъемная сила; сила сопротивления, направленная вдоль скорости рав-
на нулю, т.е. соблюдается парадокс Эйлера-Д’Аламбера.
Итак,
|/?|=р^Г, (11.33)
причем R вычисляется для единицы поперечного размаха профиля.
Выражение (11.33) представляет собой математическую запись теоремы
Н.Е. Жуковского о подъемной силе: возникающая на контуре подъемная сила
278
прямо пропорциональна плотности жидкости, скорости набегающего пото-
ка и циркуляции; направление этой силы можно найти, если вектор скорос-
ти набегающего потока повернуть на 90 градусов против направления цир-
куляции.
11.4.2 . Теорема Жуковского «в малом»
При теоретических исследованиях часто бывает необходимо рассматри-
вать обтекание вихря, расположенного в плоском неоднородном потенци-
альном потоке жидкости. Используя аналогичные п. 11.4.1 преобразования,
можно показать, что гидродинамическая реакция, возникающая при обтека-
нии неоднородным потоком вихря, имеющего заданную циркуляцию Г, про-
порциональна плотности жидкости, циркуляции вихря и скорости неодно-
родного потока
в месте расположения центра вихря:
Это выражение представляет собой математическую формулировку
теоремы Жуковского «в малом». Направление реакции можно получить, если
повернуть вектор скорости неоднородного потока на угол 90 ° против на-
правления циркуляции.
Если вихрь перемещается вместе с жидкостью, то скорость его обтека-
ния
= 0. Согласно теореме Жуковского «в малом», на таком вихре не
возникает гидродинамической реакции, и такой вихрь называется свобод-
ным. Свободные вихри используются в теории крыла для моделирования
вихревого следа. Наряду со свободными вихрями в теории крыла использу-
ются присоединенные вихри, перемещающиеся вместе с крылом. Согласно
теореме Жуковского «в малом» на присоединенных вихрях возникает гид-
родинамическая реакция.
Рис.11.16. Вихревой отрезок
в поле скорости й
279
В пространственном случае подъемная сила, возникающая на присоеди-
ненном вихревом отрезке АВ, обтекаемом со скоростью и, может быть запи-
сана в векторном виде:
^ = рГйхе, (11.35)
где е - вектор отрезка, направление которого, согласованное с направлени-
ем циркуляции, показано на рис. 11.16.
11.4.3 . Подсасывающая сила
Приведем еще одно приближенное доказательство теоремы Жуковского,
позволяющее ввести еще одно фундаментальное понятие теории крыла. Рас-
смотрим тонкую пластину (рис. 11.17) под малым углом атаки a (sina » а,
cosa « 1). Сила, действующая на пластину, очевидно, равна интегралу от
разницы давлений сверху и снизу пластины
L
Я = -|(/Г -p~)d^.
О
(11.36)
Если применить интеграл Эйлера к точкам на верхней и нижней сторо-
нах пластины, то, пренебрегая квадратами вызванных скоростей, получим
Р+ - Р~ =РГо(и( -и£) = рГоУ, (11.37)
где у = - скачок касательной скорости при переходе через пластину,
или погонная интенсивность присоединенного вихревого слоя пластины. Она
отрицательна, если . Подставляя (11.37) в (11.36), и принимая во вни-
мание, что по определению циркуляция по контуру С равна
L L
Г = J(w^ = Jyt/S,,
О о
имеем
L L
R = - Jp Vx ()d^ = -р Jy^ = -р КоГ. (11.38)
О о
На первый взгляд, мы получили тот же результат, что и в п.11.4.1. Разни-
ца состоит лишь в том, что, поскольку давление действует по нормали к по-
верхности, реакция (11.38) перпендикулярна пластине, а реакция (11.33)-
скорости набегающего потока. В этом случае получаем парадоксальный ре-
зультат: имеет место сопротивление Rx = pK^Tsina « pEzEa, что противоре-
чит теореме Жуковского. Причина парадокса состоит в том, что мы не учли
еще одну силу - подсасывающую, которая действует на переднюю кромку
пластины и по направлению касательна к ней. Ее модуль равен Р = р Ех Га,
горизонтальная компонента, соответственно, Рл. = рИ00Га, а вертикальной
280
компонентой Р>; = -рЕ00Га2 следует пренебречь, поскольку с учетом Г-а
она имеет третий порядок малости. Складывая обе силы, получаем резуль-
тат, полностью согласующийся с теоремой Жуковского:
^ + Л = 0’^ + ^ = р^г.
Причиной появления подсасывающей силы являются бесконечные раз-
режения вблизи передней кромки. На носике профиля при положительном
угле атаки всегда возникает пониженное давление. Если вычислить интег-
рал от давления по носику профиля и устремить его радиус к нулю, сила,
реализующаяся на носике будет стремиться к некоторому постоянному зна-
чению, которое и является подсасывающей силой.
Рис.11.17. Силы, действующие на тонкую пластину
11.5. Получение точных решений двумерной теории крыла
с помощью метода конформных отображений
Для ряда двумерных контуров, называемых теоретическими профиля-
ми, возможно получение точных решений задачи теории крыла. Суть этого
метода состоит в конформном отображении физической области течения на
некоторую вспомогательную область комплексного переменного, в которой
прообраз профиля крыла имеет простейшую форму, например, форму ци-
линдра, и известна характеристическая функция течения. Если известна пре-
образующая функция, осуществляющая это отображение, то можно найти
взаимосвязь между характеристическими функциями течения в физической
и вспомогательной областях. Если характеристическая функция течения или
комплексный потенциал в физической плоскости оказывается аналитичес-
кой функцией, то в силу условий Коши-Римана, его вещественная (потен-
циал скорости) и мнимая (функция тока) части автоматически удовлетворя-
ют уравнению Лапласа.
Идея метода конформных отображений для решения плоских потенци-
альных задач гидромеханики рассмотрена в § 6.4. Конкретизируем ее в при-
менении к расчету гидродинамических характеристик профиля на основе
приведенных выше предпосылок теории крыла с использованием постулата
Чаплыгина-Жуковского. Для конкретности проведем исследование
281
гидродинамических характеристик так называемого симметричного профи-
ля Н.Е. Жуковского (профиль НЕЖ).
Требуется найти w(z) обтекания заданного профиля на физической плос-
кости комплексного переменного z = х + iy, если известна отображающая
функция z =/(^0, переводящая область вне профиля во внешность окруж-
ности радиуса 7?0 на вспомогательной плоскости комплексного переменного
+ zt] j (рис. 11.18). Комплексный потенциал циркуляционного обтека-
ния цилиндра со скоростью под углом атаки а имеет вид (§ 6.4)
(11.39)
где Г - неизвестная пока циркуляция скорости. Совместно с уравнением ото-
бражающей функции z =./((^1) это выражение дает решение задачи об обте-
кании контура в параметрическом виде.
Рис. 11.18. Обтекание руля Жуковского, z - физическая
плоскость; Q и плоскости комплексного переменного
Введем (см. рис. 11.18) две вспомогательные плоскости комплексного
переменного и g с параллельными осями координат. Связь между коорди-
натами и д, согласно рис. 11.18, определяется зависимостью
(11.40)
где / - расстояние между началами координат рассматриваемых плоскостей.
В качестве отображающей функции возьмем функцию Жуковского
z = g+^, (11.41)
где г0 - параметр отображения - радиус круга с центром в точке О в плос-
кости д.
Рассмотрим также (см. рис. 11.18) круг радиуса RQ = rQ + I во вспомога-
тельной плоскости комплексного переменного соприкасающийся с кру-
гом радиуса г0 в точке В, лежащей на оси (^, £>|). С использованием (11.40)
отображающую функцию (11.41) запишем в виде
282
z = x + iy = <^-l + (11-42)
Представив для точек на круге радиуса RQ в комплексной форме = /?ое/0,
где 0j - полярный угол в плоскости Отделив в уравнении (11.42) веществен-
ную и мнимую части, получим выражения для координат точек профиля:
(И.43)
Полученный в результате этого преобразования симметричный профиль
(руль) Жуковского приведен (в совмещенном виде) на рис. 11.18. Основные
геометрические характеристики соответствующего принятого в расчете зна-
чению I = Я0/6 профиля таковы: хорда профиля b = 3,43/?0, относительная тол-
щина с =с/Ь= 16,7%. Точка В с координатами g = rQ и gj = /?() соответствует
задней острой кромке профиля. Как показано, при конформном отображении
величина циркуляции не меняется и при задании отображающей функции в
виде (11.39) скорость обтекания профиля и круга также одинакова.
Запишем выражение для комплексной скорости обтекания профиля
dw/dz. С учетом правил дифференцирования сложной функции получим
dw dw dcy de dw dc\ dw dz . . ..
dz dc^ dq dz d^ dz dc^ / dc^
Здесь в числителе - выражение комплексной скорости обтекания цилин-
дра, а в знаменателе - производная от отображающей функции Жуковского.
Используя ранее приведенные уравнения, запишем комплексную скорость
dw/dz в следующем виде:
(П.45)
Согласно постулату Чаплыгина-Жуковского, скорость (и комплексная ско-
рость) в задней критической точке В (д = г0 и gj = 7?0) должна быть конечной.
Как видно из (11.45), знаменатель этого выражения при g = г0 равен нулю. Для
обеспечения конечности скорости в задней острой кромке необходимо, чтобы
числитель выражения (11.45) в этой точке (д = г0) также был равен нулю:
— — = 0.
V > 2ni Ro
(11.46)
Последнее уравнение служит для нахождения значения циркуляции
Г = -4 л7?0 Kasina. (11.47)
283
Согласно теореме Жуковского, подъемная сила R 9 возникающая на
профиле,
7? I = |Г|• 1 = 8nJe0£-^2-sina. (11.48)
Сопоставляя это значение Rv с общим выражением для подъемной силы,
выраженной через ее коэффициент с , имеем
и, учитывая соотношение (для данного частного случая Ъ = 3,437?0), получаем
с =8л —sina = l,16-27isina = 1,16-2яа. (11.49)
F Г
При этом учтено, что в области до критических углов атаки можно поло-
жить sina = а. Если рассмотреть профиль НЕЖ с кривизной средней линии
/ то зависимость для определения циркуляции можно представить в виде
Г - 4n/?(yE00sin(a - сх0), (11.50)
где RQf- радиус круга отображения на вспомогательной плоскости qp пере-
водящий его при использовании функции Жуковского (11.49) в контур не-
симметричного профиля НЕЖ [4]; ос0 - угол нулевой подъемной силы, зави-
сящий от f
Полученное решение позволяет сделать переход к обтеканию пластины
под углом атаки, для чего следует положить I = 0, г0 = /?0. При этом хорда
профиля b = 4г0, а коэффициент подъемной силы су = 2лсх. Центр давления
пластины отстоит на 1/4 хорды от передней точки профиля: cD = 1/4. Доста-
точно хорошо совпадают расчетные данные, базирующиеся на использова-
нии основных предпосылок теории крыла, с экспериментальными их значе-
ниями. Так, например, для профиля-пластины теоретическое значение
коэффициента сут = 2ясх и экспериментальное суэксп = (5,5-5,8)а.
11.6. Линейная теория крыла. Разделение задачи.
Вихревая схема крыла конечного размаха
В линейной теории крыла рассматривается обтекание тонких крыльев
под малым углом атаки. Вызванные скорости предполагаются малыми по
сравнению с набегающим потоком. Математически эти допущения записы-
ваются в виде
гдеув, ун - ординаты верхней и нижней сторон профиля.
284
Рассмотрим граничное условие на крыльевой поверхности
(11.52)
Раскладывая левую часть в ряд Тейлора
бф , ч бф. п . б2ф/ _ . ч
~ з (х,0,z) + Тв,н о + °(Тв,н)
ду ду ду2
и замечая, что в силу (11.51) второе слагаемое разложения на порядок мень-
ше первого, получаем
(11.53)
Используя понятие толщины и средней линии профиля
имеем из (11.52) и (11.53)
бф б/ дс бф б/ дс
—(х, 0+, z) = (— + -— а), — (х, 0- z) = (-— — - ct).
оу ox ox oy ox ox
(11.54)
Структура граничного условия (11.54) подсказывает, что решение ли-
нейной задачи, включающей в себя уравнение Лапласа, граничные усло-
вия и (11.54), может быть представлена в виде суперпозиции трех функ-
ций Ф = Ф| + ф2 + Ф3, каждая из которых находится из следующих частных
задач:
Аф| = 0, lim Уф| = О,
г—>00
^(у,О±,г) = ±^<У- (11.55)
оу ох
Д(р2=о, limVcp2=0, -^-(уЖ^-И^сс; (11.56)
г—>00 OV
Д(р3=о, limVq>3=0, ^(y,O+,z) = Их|^. (11.57)
Г->0О оу ОХ
Задача (11.55) описывает обтекание тонкого симметричного профи-
ля без угла атаки и без подъемной силы. Частная задача (11.56) является
задачей обтекания пластины под углом атаки а, в (11.57) рассматрива-
ется обтекание дуги средней линии профиля при нулевом угле атаки.
Схематично разделение задач представлено на рис. 11.19. В дальней-
шем, поскольку задача определения потенциала ф]9 учитывающего тол-
щину профиля, была рассмотрена в гл. 6, обсуждается решение только
задач (11.56) и (11.57).
285
Рис. 1 LI9. Разделение задачи обтекания профиля
Задачи (11.56) и (11.57) могут быть эффективно решены с помощью ме-
тода гидродинамических особенностей. Поскольку на тонкой крыльевой
поверхности и вихревом следе имеется скачок касательной скорости, следу-
ет использовать либо дипольные, либо вихревые слои. А так как реальный
вихревой след состоит из совокупности вихревых линий, метод вихревых
особенностей является физически наиболее наглядным.
Рассмотрим две основные вихревые схемы крыльев конечного размаха.
Схема несущей линии (рис. 11.20, а) состоит из поперечного присоединен-
ного вихря, моделирующего воздействие крыла на поток, и системы про-
дольных вихрей параллельных вектору скорости набегающего потока, мо-
делирующих вихревой след. Интенсивность присоединенного вихря меняется
по размаху, принимая нулевые значения на боковых кромках. В этом случае,
если применить теорему Жуковского в малом к элементу присоединенного
вихря на концевом сечении, получим физически корректный результат: на-
грузка на торцах крыла равна нулю. Интенсивность вихревого слоя в следе
крыла выражается через интенсивность присоединенного слоя по формуле
(11.16). Теория, построенная на такой вихревой модели и называемая тео-
рией несущей линии, обеспечивает удовлетворительные результаты для
подъемной силы и индуктивного сопротивления в случае крыльев большого
удлинения (X > 5). Определение момента Mz в рамках вихревой схемы с од-
ним присоединенным вихрем не представляется возможным.
Более универсальной является вихревая модель несущей поверхности,
которая может быть использована как для силовых, так и для моментных
характеристик крыльев произвольного удлинения. В этом случае воздей-
ствие крыла на поток моделируется слоем присоединенных и свободных
вихрей, непрерывно распределенных по всей несущей поверхности крыла
(рис. 11.20, б). При этом на элементарных вихрях с интенсивностью 4zkS,
перпендикулярных набегающему потоку, согласно теореме Жуковского
«в малом», возникает подъемная сила, и они являются присоединенны-
ми. Элементарные вихри, направленные вдоль потока ул,А5 - свободные.
286
Вихревой след состоит из продольных вихревых линий, лежащих в плос-
кости крыла у = 0, что в силу малости угла атаки и вызванных скоростей
обеспечивает автоматическое выполнение условия (11.21) на следе.
Таким образом, граничные условия на следе (11.18), (11.19) оказывают-
ся выполненными. Неизвестная интенсивность присоединенного вихревого
слоя yz находится из условия непротекания, а интенсивность свободных вих-
рей ух может быть найдена из условия (11.15). При решении задачи следует
учесть, что задняя и боковые кромки крыла конечного размаха ненесущие
(постулат Чаплыгина-Жуковского, см. § 11.3), на них отсутствует перепад
давления. Следовательно, решение для yz, должно отыскиваться в классе
функций, обеспечивающих обращение yz в нуль на задней и боковой кром-
ках крыла.
Современные численные методы, изложенные в гл. 15, позволяют рас-
считывать системы пространственных крыльев произвольной формы в пла-
не без существенных затрат компьютерных ресурсов. В силу этого упро-
щенные вихревые схемы и соответствующие им теории перестали быть
актуальными, и поэтому в данном учебнике почти не рассматриваются.
Рис.11.20. Вихревые схемы крыльев
конечного размаха: несущая линия (слева)
и несущая поверхность (справа)
11.7. Линейная стационарная теория крыла конечного размаха
как несущей линии
Вихревая схема крыла представлена на рис. 11.20. Выделим на крыле
элемент поверхности с размахом dz и элемент вихревой нити размаха d^.
Циркуляция свободного вихря, сходящего с этого элемента dV = -^—dQ .
Согласно формуле Био-Савара, этот элементарный полубесконечный вихрь,
сходящий с присоединенного вихря переменной по размаху циркуляции T(z),
вызывает в точке присоединенного вихря на отрезке dz индуцированную
скорость
287
, z 4 dT 1 \ dT dc}
dui (Z] ) =-------=-------------.
4л - z{ 4л dc^ - z{
Индуцированная скорость от всей системы свободных вихрей найдется
интегрированием по размаху крыла:
Щ (zi) =
Si ~z\
(11.58)
Геометрическое сложение индуцированной скорости со скоростью набе-
гающего потока 17х дает эффективную скорость обтекания элемента профи-
ля dz. Эта скорость отклонена от оси х (направление скорости обтекания РД)
на индуктивный угол скоса потока осДрис. 11.21):
tga,
1 1/2 Л
1 г dV de
« ocz =----------------------------.
4л:Го0 -ll2dC1
(11.59)
При этом учтено, что в силу малости ui по сравнению с РД, что практи-
чески всегда имеет место при обтекании крыла в области докритических
углов атаки, tgor» az.
В общем случае индуктивный угол или угол скоса потока изменятся вдоль
размаха. Величина эффективной скорости
(11.60)
т.е. практически равна скорости набегающего потока.
Существенно отметить, что обтекание элемента крыла конечного размаха
dz происходит не под геометрическим углом атаки а, а под эффективным углом
аэ = а-аг (11.61)
Элементарная сила Жуковского <Жж определяется по формуле Жуков-
ского «в малом»
dRy^ = pi/3f(z)€/z = рИ^Гб/z, (11.62)
причем эта сила направлена перпендикулярно эффективной скорости:
dR-^ _!_
Вектор элементарной силы Жуковского можно разложить на две состав-
ляющие: подъемную силу dRy и так называемую силу индуктивного сопро-
тивления dRt (рис. 11.21, б):
dRv = <Жжсо8а,- = рРДП&;
>
dRxi = dRy^ sin az = dRy^Ckl - p РДГoiydz.
(11.63)
Отсюда видно, что сила индуктивного сопротивления возникает за счет
отклонения подъемной силы Жуковского <7ЯЖ от оси у па индуктивный угол
скоса потока, обусловленный наличием системы свободных вихрей.
288
Суммировав элементарные силы по размаху, получим выражение для подъем-
ной силы и силы индуктивного сопротивления крыла конечного размаха:
(11.64)
Физически возникновение индуктивного сопротивления поясняется сле-
дующим образом. При движении крыла заменяющий его присоединенный
вихрь перемещается с той же скоростью что приводит к ежесекундному
удлинению пелены свободных вихрей на отрезок V^dt. Появление в жидко-
сти дополнительных отрезков свободных вихрей приводит к увеличению
кинетической энергии Т . окружающей тело жидкости, которое происходит
за счет работы, совершаемой крылом dTyK = Rxldx = R^V^dt.
Перейдем к непосредственному определению Ry и Rxi. Для этого необхо-
димо иметь выражение для циркуляции T(z). Введем безразмерную пере-
менную z, согласно соотношению
-z = //2cos0, dz = l/2sm$dQ. (11.65)
Изменению z по размаху соответствует изменение 0 от тс до нуля. Изме-
нение циркуляции по размаху представлено в виде тригонометрического ряда
00
Г = 2/K V A sin/70.
п-\
Подъемная сила определится по формуле
I / 2 л Л оо
Ry = pvao J r(z)«fe = ргУ J £
-//2 0\«=1
Ллзти0 sin 0<70.
Но известно, что
j sin w0sin mQdQ к
A = —(n = m\
0 2v 7
Полагая п = m= 1, получаем
о —nZE.[/2/2j — r. Р с
Ry Р ~ ' 00 * С у 5
2 2
откуда коэффициент подъемной силы
су = тгЦ,
где учтено, что /2/5 = X - относительный размах крыла.
(11.66)
(11.67)
(11.68)
(11.69)
10 Зак 4042
289
Видно, что подъемная сила зависит лишь от первого коэффициента раз-
ложения циркуляции в ряд Фурье. Угол скоса потока, который входит в вы-
ражение для индуктивного сопротивления, определится как
//2
Z/2
4кКооz-g 4n^ J del dq Z-Q
Л 00
o«=l
„ cos,,i)' rfe,.
cos 0-COS 01
sin^O
sin0
Используя теорию вычетов, будем иметь
f с°5',е- rfe, = -
* COS 0-COS 0]
с учетом которой индуктивный угол aj запишется в виде
Е sin Z?0 ? 1 I
пАп—~. (11.72)
, S1D0
/7—1
Подставляя последнее выражение в формулу для индуктивного сопро-
тивления и учитывая ортогональность системы синусов, получаем
XI ~
00
2/7=1
где в правой части стоит зависимость для Rxj, выраженное через коэффици-
ент индуктивного сопротивления cxj. Из (11.73) получаем выражение для
коэффициента индуктивного сопротивления
(11.73)
о° j2
сХ1 = ^^nAn =ЛМ2У л-7 = л;\42(1 + 82). (11.74)
п=\ п=2 А\
Учитывая связь с иЛр будем иметь
С2 7 X
Сх/=ЧЧ1 + 52 • (11.75)
ТТЛ ' 7
Установим уравнение, которому удовлетворяет T(z). Для этого воспользу-
емся выражением циркуляции в форме (11.50), взяв ее из решения плоской
задачи гидромеханики и введя в нее эффективный угол атаки а0 = ос - ocz:
Г = 4лЯр/.Гто(а - а0 - а,.) (11.76)
или, подставляя значение а, получаем
(11.77)
290
2л7?о г
где aQ ------ и b = b(z) - хорда профиля в данном сечении.
b
Отсюда следует, что циркуляция Г определяется из уравнения (11.77).
Оно называется интегродифференциалъным уравнением несущей линии.
Для нахождения неизвестных коэффициентов Ап разложения циркуля-
ции в тригонометрический ряд подставим ее выражение (11.66) в получен-
ное выше интегродифференциальное уравнение, заменив по формуле
(11.72):
00
2/fC У А„ sin/70 = 2апЬКх
САД fl V LAJ
/7 = 1
оо
а - ос0 - У пАп
/7 = 1
sin«0
sin0
(11.78)
Перегруппировав в (11.78) члены, будем иметь
(11.79)
Г. Глауэрт предложил приближенный способ решения этого уравнения.
Согласно этому методу, условие (11.79) удовлетворяется в N расчетных точ-
ках при значениях параметра 0^. Ограничиваясь конечным числом членов
разложения п-N, получаем систему алгебраических уравнений для опреде-
ления А . Если крыло симметрично относительно оси z, то T(z) = T(-z) или
Г(0) = Г(л - 0). В данном случае при разложении циркуляции в ряд нужно
брать лишь нечетные члены ряда. Расчеты показали, что для плоских в плане
крыльев достаточно ограничиться некоторыми членами разложения А у,
А5, АТ Теория крыла как несущей линии достаточно хорошо подтверждается
экспериментом при относительных удлинениях крыльев X > 5. Зависимости
для су и mz в области линейного их изменения от а представятся в виде
су (ос) = сау (а-а0); mz (а) = (ос-ос0). (11.80)
При этом для тонких крыльев (с < 10%) К.К. Федяевский предложил
интерполяционные формулы для су и т* , полученные в результате обра-
ботки многочисленных экспериментальных данных:
(11.81)
В формуле для с* при X —> оо имеет место предельный переход к крылу
бесконечного размаха (пластина) с^ = 2л, а при X -> 0 - к крылу предельно
малого удлинения с у = —- .
291
Рис. 11.21. Иллюстрация возникновения индуктивного
сопротивления на трехмерном крыле
11.8. Крыло с наименьшим индуктивным сопротивлением
Рассмотрим частный случай крыла конечного размаха, у которого рас-
пределение циркуляции следует закону
Г = 2/^81110,
(11.82)
где Го - значение циркуляции в среднем сечении крыла: Го = 21V^AX. Отсю-
да следует
Г = rosin6 = r071-cos2e = го. 1 -
откуда
(11.83)
т. е. в данном случае циркуляция вдоль размаха меняется по эллиптическо-
му закону.
Поскольку все Ап(п> 1) равны нулю, 82 = 0, коэффициент индуктивного
сопротивления cxi приобретает минимальное значение [см. (11.75)]:
(11.89)
Подобное крыло называется крылом с минимальным индуктивным со-
противлением или оптимальным. Используя формулу (11.72) и полагая в ней
Ап = 0, при п > 1, убеждаемся, что
292
at = A
(11.90)
т. e индуктивный угол а. постоянен вдоль размаха крыла.
Выясним, какова форма в плане крыла с наименьшим индуктивным со-
противлением. Для этого запишем выражение для элементарной подъемной
силы
dR y = cv^-(b-dz) = pV00rdz,
2
(И.91)
откуда
(11.92)
Запишем далее
bV bV
Г = cv = 2/^4 sin О = тЦХ—,
у 2 2
откуда
z 4 I
где Ь$ =------ максимальная хорда крыла в
ТЕ X
среднем сечении. Отсюда сразу же следует
(11.93)
т. е. крыло с наименьшим индуктивным сопротивлением - эллиптическое
в плане.
Общий коэффициент сопротивления крыла конечного размаха сх мо-
жет быть представлен в виде суммы двух слагаемых - коэффициента ин-
дуктивного сопротивления cxi и коэффициента вязкостного сопротивле-
ния С.
В
с — с . + с .
X XI хв
(11.94)
В теории крыла схв называют коэффициентом профильного сопротивле-
ния. Систематическая обработка экспериментальных данных позволила ус-
тановить, что схв практически не зависит от величины относительного удли-
нения X и мало зависит (в пределах до критического угла атаки) от угла атаки
крыла а.
Для определения профильного сопротивления можно рекомендовать эм-
пирическую формулу
(11.95)
где с - с/b - относительная толщина профиля, стрэп - коэффициент трения
эквивалентной пластины.
293
11.9. Линейная стационарная теория крыла конечного размаха
как несущей поверхности
Заменим крыло и вихревой след слоем вихрей (рис. 11.22). Согласно фор-
муле (5.10), переписанной в векторном виде, элементарный отрезок вихре-
вого слоя dl с циркуляцией yz^ индуцирует скорость, равную
du = -
(11.96)
Рис. 11.22. К вычислению скорости от вихревого слоя
Вектор / показывает направление вихревых линий на площадке dldi^
г = ^(х-х0)2 +(У ”Л))2 ^(z~zo)2’ Скорость, индуцируемая всеми вихря-
ми, расположенными на поверхности крыла S и следа получается интег-
рированием:
Для выполнения условия непротекания нормальная скорость, индуциро-
ванная вихревым слоем, должна быть равна нормальной к крылу компонен-
те скорости набегающего потока
(11.97)
Поскольку вектор У/ касателен к поверхности крыла, он имеет две ком-
поненты в локальной системе координат, одна из осей которой перпендику-
лярна крылу. Уравнение (11.97) представляет собой сингулярное интеграль-
ное уравнение относительно двух неизвестных компонент вектора У/. Число
неизвестных компонент может быть сокращено до одной за счет использо-
вания условия неразрывности для вектора У/ (11.15). Уравнение (11.97) имеет
общий вид и справедливо как в линейной, так и в нелинейной теориях
294
крыла для решения обеих задач (11.56) и (11.57). Оно служит основой для
метода дискретных вихрей, одного из наиболее эффективных численных ме-
тодов теории крыла.
Для случая плоского крыла и линейной теории оно может быть приведе-
но к классическому виду, полученному впервые X. Мультхоппом. На плос-
ком крыле и следе у = 0 имеются только две компоненты ух и yz. При этом
вихри с компонентной yz являются присоединенными, на них возникает
подъемная сила. Из формулы Био-Савара следует, что плоский вихревой слой
не индуцирует на крыле и следе поперечные uz и продольные скорости их.
Тогда, по теореме Жуковского (11.35), на вихрях с компонентой ух подъем-
ной силы не возникает, и они являются свободными. В вихревом следе при
стационарном течении существуют только продольные вихри ух. Из (11.97)
следует для плоского крыла:
1 fYz(x-xo)^ л 1 f Yx(z~zo)^ iz /и
— ——, dxadza ——7 = -К^ос. (11.
4лJ г3 4л J г3
Второй интеграл по поверхностям S и Sw можно свести к интегралу только
по S путем тождественного преобразования продольной вихревой схемы.
Рассмотрим продольную вихревую линию АВС (рис. 11.23, а).
Рис. 11.23. Представление продольных вихревых линий
переменной интенсивности в виде совокупности
вихревых лучей постоянной интенсивности
Интенсивность вихревой линии вычисляется из условия (11.15)
(11.99)
295
Эу
где хпк - абсцисса передней кромки и у = —— . Вплоть до задней кромки
dz
крыла хзк (точка В) происходит нарастание интенсивности ух (кривая на
рис. 11.236). Так как в вихревом следе интенсивность yz отсутствует, интен-
сивность ух вихревой линии в следе остается постоянной и равной Г. Из
формулы (11.99) и рис. 11.23,6, 11.23,в видно, что каждую вихревую линию
с интенсивностью, переменной в пределах хорды и постоянной в следе, мож-
но заменить непрерывным пакетом продольных вихревых лучей с постоян-
ной интенсивностью у = —— , берущих свое начало в точках несущей по-
верхности. В следе новых лучей в силу —- о не возникает. Скорость,
dz
индуцированная всеми продольными лучами, согласно (5.11), равна
(11.100)
В силу эквивалентного преобразования продольной вихревой системы,
второй интеграл в (11.98) равен (11.100). Уравнение (11.98) принимает вид
1 fYz(x-Xp)
4л J г3
О
X~Xq
((х-х0)2+(z-z0)2)1/2
)dS =
(11.101)
Преобразуем второе слагаемое с использованием правила интегрирова-
ния по частям
где
ж 1 /1 X-XQ а
Ф ------(1 +-------у---------2 ]/2)
Z-ZO ((Х-ХО)2 +(z-z0)2)1/2
и
дф = 1 f. _________х-х0_________.__________х-хр_________
&о (z-z0)2 ((x-x0)2+(z-z0)2)l/2 ((х-х0)2 +(z-z0)2)3/2
(11.103)
Первое слагаемое в (11.102) равно нулю, так как боковые кромки крыла
не являются несущими и присоединенная завихренность yz на них равна нулю
yz(±//2) = 0. Подставляя (11.103) и (11.102) в (11.101), получим окончательно
[ Ь 2-(1 +-------------------Г-Г7Т) dxQdzG = -^а. (11.104)
j(z-zo)2 ((x-X0)2+(z-Z0)2)'/2
296
Это выражение представляет интегральное уравнение стационарной
линейной теории несущей поверхности относительно интенсивности у
Так как при z -> z0 подынтегральная функция имеет особенность, урав-
нение относится к классу сингулярных интегральных уравнений. Несоб-
ственный сингулярный интеграл следует понимать в смысле главного
значения.
Решение уравнения (11.104) осуществляется численными методами
(см. § 15.1). Для обеспечения единственности решения следует выпол-
нить постулат Чаплыгина-Жуковского на задней кромке всех продоль-
ных сечений крыла, т. е. положить там и^. - их , и, следовательно, yz = 0.
На боковых кромках крыла yz имеет порядок
, т.е. также обраща-
ется в нуль. На передней кромке yz обращается в бесконечность. Порядок
особенности для yz принимается таким же, как и в двумерной задаче об-
текания пластины. Методом конформных отображений в случае плоской
пластины бесконечного размаха можно найти решение для присоединен-
ного вихревого слоя:
у = -21z00actg|-,
2х
где cos е =--.
Ъ
Легко убедиться, что в районе передней кромки пластины интенсивность
1
присоединенного вихревого слоя имеет сингулярность порядка —?=, где х -
\/х
отстояние от кромки.
Распределение yz по крылу, условно можно представить в виде произве-
дения двух функций yz(x, z) = ф (r)(|)z(z), представленных на рис. 11.24. Бес-
конечные значения интенсивности присоединенного слоя yz на передней
кромке означает, что подъемная сила, реализующаяся на передней кромке,
также бесконечна. Это результат, не соответствующий действительности,
является следствием допущений линейной теории крыла. В действительно-
сти, в районе передней кромке вызванные скорости нельзя считать малыми.
В передней критической точке вызванная скорость просто равна скорости
набегающего потока.
Подъемная сила и моменты крыла определяются соотношениями:
Ry = jp^yzdS; Mz = fp^yzxdS, (11.104)
где х и z - координаты соответствующей точки поверхности крыла.
297
Рис. 11.24. К условному представлению
yz в виде произведения двух функций
Для крыльев предельно малого удлинения, т.е. при X 0, полагая
можно получить следующее интегродифференциальное уравнение линей-
ной теории крыла предельно малого удлинения:
-aV
00
(11.105)
Уравнение (11.105) имеет точное решение, согласно которому, распреде-
ление Г(г) по размаху крыла эллиптическое, независимо от его формы в пла-
не, а коэффициенты подъемной силы С и момента mz относительно оси,
проходящей через середину хорды, определяются по формулам
т7 = —Ха.
(11.106)
11.10. Нелинейная теория крыла
В § 11.2 отмечено, что для крыльев малого удлинения X < 1 зависимость
С (а) имеет ярко выраженный нелинейный характер (см. рис. 11.9). Крылья
малого удлинения в гидродинамике судов традиционного типа, пожалуй,
встречаются чаще, чем крылья большого удлинения. Это судовые рули, кор-
пус судна в теории управляемости, скуловые кили и т. д. Для таких крыльев
необходима разработка нелинейной теории крыла.
Причиной нелинейности является влияние мощных вихревых жгутов,
формирующихся на боковых кромках крыла. Следуя А. Бетцу, можно пока-
298
зать, что нелинейная составляющая, обозначенная на рис. 11.9 символом q,
пропорциональна квадрату угла атаки крыла. Рассмотрим тонкое крыло ма-
лого удлинения под углом атаки а (рис. 11.25, заимствовано из [4]). К.К. Фе-
дяевский и А. Бетц предположили, что нормальная сила, реализующаяся на
крыле, за счет отрыва потока на боковых кромках (нелинейная составляю-
щая q), представляет собой сопротивление, возникающее при поперечном
обтекании крыла со скоростью Pysina,
Rn сопр = Сх пл —2 sin ’ (11.107)
где С - коэффициент сопротивления прямоугольной пластины.
Экспериментально установлено, что Сх « 2,0 для пластины с острыми
кромками и Сх цд = 1,0 для пластины с закругленными кромками. С учетом ска-
занного коэффициенты подъемной силы и сопротивления пластины малого уд-
линения принимают вид
Сх = Cx(a=o) +£sin2 a + 2sin3 а; Су = С“лта + 2зт2асо§а. (11.108)
Здесь Сх,а = о) ~ коэффициент вязкостного сопротивления, а первые сла-
гаемые определяют вклад линейной теории, вторые слагаемые устанавлива-
ют нелинейную составляющую. Отрывная нагрузка распределена равномер-
но вдоль хорды крыла, поэтому коэффициент момента относительно передней
кромки запишется в виде
mz = w^,Ta +sin2 a • (11.109)
Коэффициенты к, С“ т и _ могут быть найдены из линейной тео-
рии несущей поверхности (§ 11.9).
Рис.11.25. Схема обтекания крыла малого удлинения
299
В 70-80-е гг. был разработан ряд универсальных численных методов не-
линейной теории крыла, основанных на моделировании вихревого следа с
помощью дипольных или вихревых слоев сложной конфигурации. Благодаря
этим методам оказалось возможным рассчитывать распределенные и интег-
ральные характеристики течения, а также структуру вихревого следа, образу-
ющегося за крылом конечного размаха. В отличие от упрощенных подходов
эти методы не имеют ограничений относительно удлинения исследуемых кры-
льев. Наибольшее распространение среди них получил метод дискретных вих-
рей (§ 15.2), значительный вклад в развитие которого внесла отечественная
научная школа под руководством С.М. Белоцерковского.
11.11. Глиссирование
Глиссированием называется движение судна с большими скоростями, когда
значительная часть его подъемной силы создается динамическими давлениями,
действующими на смоченную поверхность днища. При увеличении скорости
быстроходное судно последовательно переходит из состояния плавания, в кото-
ром основную роль в поддержании судна на плаву играет Архимедова сила,
через переходный режим в режим глиссирования, при котором вес судна в ос-
новном уравновешивается гидродинамической подъемной силой.
Практические наблюдения показывают, что режим глиссирования начи-
нается при числах Фруда по водоизмещению, больших трех
Fik=iv7gW>3, 0, где W = D/pg - объемное водоизмещение судна; D -
его вес. Роль архимедовой подъемной силы в создании силы поддержания
незначительна, и ее влиянием можно полностью пренебречь при Fr^> 5,0.
При переходе в состояние глиссирования происходит качественное из-
менение характера обтекания судна, по которому можно визуально распоз-
нать начало глиссирующего режима. Вследствие роста динамической подъем-
ной силы происходит выход части корпуса из воды, что приводит к резкому
уменьшению смоченной поверхности судна и сопротивления трения. Как
правило, глиссирующие суда имеют корму транцевого типа и острые скулы
(рис. 11.26). При глиссировании происходит срыв потока с острых кромок
судна каковыми являются транец 7, скулы 2, поперечные реданы, что вызы-
вает дальнейшее благоприятное снижение смоченной поверхности. За тран-
цевой кормой и реданами в жидкости возникают впадины, отмеченные циф-
рой 3 (линия тока в диаметральной плоскости). В носовой оконечности судна
образуются струи 4, Глиссирующее судно отбрасывает струи в боковом на-
правлении 5, как показано в сечениях на нижней части рисунка. Струи 4 и 5,
показанные схематично на рис. 11.26, на самом деле, разрушаются, что при-
водит к дополнительной турбулизации течения. Наличие струи обусловли-
вает появление дополнительной составляющей сопротивления - брызго-
вого сопротивления.
300
Направление расчета в квазидвумерной теории
——=> —=>
АА ВВ СС DD ЕЕ
Рис. 11.26. Обтекание глиссирующего судна
Современные численные методы гидродинамических особенностей по-
зволяют рассчитывать задачи глиссирования тел произвольной формы с уче-
том нестационарности движения, влияния числа Фруда и нелинейных гра-
ничных условий на свободной поверхности и глиссирующем теле. Задача
глиссирования может трактоваться, как обычная нелинейная волновая зада-
ча и решаться в трехмерной постановке численными методами. При этом
смоченная поверхность находится путем итераций, и задача может быть ре-
шена без серьезных ограничений на геометрию днища. Такой подход, спра-
ведливый для расчета быстроходного судна при любых числах Фруда в ре-
жиме плавания, переходном и глиссирования, широко используется в
последние два десятилетия в современной численной гидромеханике. При
этом при расчете глиссирующего режима учитываются некоторые специфи-
ческие особенности обтекания глиссирующих тел.
На днищевой кромке транца, на которой происходит отрыв потока, сле-
дует задавать направление схода линий тока и условие равенства нулю из-
быточного давления /?изб = р - р Эти условия аналогичны условию Чап-
лыгина-Жуковского на задней кромке крыла конечного размаха.
Аналогичное условие следует ставить на скулах, обтекаемых с отрывом
потока. Несмотря на значительный прогресс, универсальная численная
модель, однако, до сих пор не построена. Струйное обтекание, изображен-
ное в сечениях А. В и С, не может быть надежно рассчитано численными
методами. Во-первых, струя - область свободной поверхности с большой
деформацией, где необходимо использовать нелинейные граничные усло-
вия. Во-вторых, струя разрушается. Следствием этого является отсутствие
сходимости в численной модели и вычислительная неустойчивость. По-
этому струю приходится искусственно отсекать в некоторой точке, напри-
мер в точке, в которой угол между внешней линией тока, подходящей к
шпангоуту, и поверхностью корпуса, достигает определенного значения
(например, нулевого значения). При выборе точки отсечения следует так-
же учитывать, что из соображений устойчивости вычислений толщина
301
струи не должна быть слишком малой. Разрушение струй, образующихся
на свободной поверхности (сечение D), следует искусственно подавлять
посредством различного рода методов численного демпфирования. Пара-
метры отсечения (вышеупомянутый угол и толщина струи) и искусствен-
ного демпфирования устанавливаются численным экспериментом. Трех-
мерные универсальные нелинейные волновые модели глиссирования
требуют больших затрат компьютерных ресурсов, несопоставимо больших,
чем крыльевые задачи, и поэтому применяются пока только для исследо-
вательских задач.
В последние годы появились работы, в которых процесс разгона судна
из состояния покоя с переходом его в режим глиссирования рассчитывается
на основе численного решения уравнений Рейнольдса. Особенно привлека-
тельным является тот факт, что эти методы являются универсальными и спо-
собны рассчитать обтекание с учетом разрушающихся струй и разрушаю-
щегося волнового следа при любых числах Фруда, что принципиально
недостижимо для теорий, основанных на потенциальных волновых моде-
лях. Однако затраты на такое решение столь значительны, что в настоящее
время известны лишь единичные расчеты, точность которых пока все еще
не выше, чем у потенциальных моделей.
Характерные числа Фруда глиссирующих судов весьма велики так, что
для расчета их гидродинамических характеристик, можно пренебречь гра-
витационными силами. Начиная с 30-х гг. прошлого века, были разработа-
ны упрощенные линейные математические модели потенциального обте-
кания глиссирующих тел, в которых пренебрегается влиянием весомости.
Среди них можно выделить три группы: а) теорию глиссирования пластин
бесконечного размаха (двумерная теория); Ь) теория глиссирования трех-
мерных несущих поверхностей конечного размаха; с) теорию глиссирова-
ния узких удлиненных судов (квазидвумерная теория). В моделях третьей
группы течение около глиссирующего судна рассчитывается в поперечных
сечениях судна, последовательно продвигаясь от носа к корме, как показа-
но на рис. 11.26. Решение в каждом последующем сечении является дву-
мерным , но зависит от решения в предыдущем. Можно показать, что ста-
ционарная задача глиссирования удлиненного судна в такой постановке
сводится к нестационарной задаче погружения в воду деформирующегося,
в случае переменной килеватости, двумерного контура, совпадающего в
каждом сечении со шпангоутным контуром судна (см. рис. 11.26 внизу).
Решение задачи погружения контура впервые было дано Г. Вагнером в при-
ближенной постановке и затем неоднократно уточнялось с помощью со-
временных панельных численных методов. Расчет килеватого судна мето-
дом плоских сечений реализован в программе Autowing (опция slender hull,
http://www.argo-group.de/autowing).
Теория глиссирования пластины бесконечного размаха позволяет уста-
новить весьма интересный факт, называемый крыльевой аналогией, которая
302
может быть обобщена на трехмерные задачи. Рассмотрим плоскую задачу
глиссирования пластинки, движущейся горизонтально со скоростью под
малым углом атаки в подвижной системе координат хоу (рис. 11.27), т.е. рас-
сматривается обращенное движение. Ось ох совпадает с невозмущенной
свободной поверхностью и сонаправлена с набегающим потоком, а ось оу
направлена вертикально вверх. Уравнение контура пластинки имеет вид
У =ЛХ), - х - ^2,
где I - хорда пластины.
Рис. 11.27. К решению задачи глиссирования пластинки,
движущейся со скоростью Ух
Местный угол атаки tga = df/dx считается малым и непрерывным. Зада-
ча сводится к решению уравнения Лапласа Аср = 0, где ср потенциал вызван-
ных скоростей, со следующими граничными условиями:
<Э(р
• условие непротекания на пластине — = -V^ sin а . В силу малости угла
дп
атаки последнее условие может быть переписано в виде
= (11.110)
ду
• кинематическое граничное условие на свободной поверхности
5ф+ _ дер-
дп дп
где ф± - предельные значения потенциала сверху и снизу свободной поверх-
ности. Предполагая возмущения свободной поверхности малыми, последнее
условие может быть записано в виде
= (11.111)
ду ду
• динамическое граничное условие на свободной поверхности
Р = Ретм- (11.112)
303
Вдали от пластинки возмущения должны затухать. Запишем интеграл
Бернулли для точек свободной поверхности. На большом удалении от плас-
тины давление и относительная скорость равны соответственно />атм,
Вблизи пластины относительная скорость жидкости имеет составляющие
С учетом этого и (11.112) интеграл Бернулли примет вид
р 2 дх ду р
Пренебрегая квадратами возмущенных скоростей — получаем
дх ду
Э(р Эф _
—— О или — -0.
(11.113)
Вблизи передней кромки вызванные скорости —, — нельзя считать
дх ду
малыми и поэтому требуется уточнение решения методом сращиваемых асим-
птотических разложений [11.6]. Опыт показывает, что для расчета сил, такое
уточнение не является необходимым. С задней кромки поток стекает плавно
по касательной и поскольку там давление равно атмосферному, то вызван-
ная скорость, согласно (11.113), равна нулю.
Таким образом, мы имеем следующую математическую задачу для фун-
кции ф в нижней полуплоскости:
Аф = 0;
^=-0,
1/2;
(11.114)
^ = 0,
Эф+ _ Эф
9
Эта задача может быть решена методами теории функций комплексного
переменного. Введем в рассмотрение комплексную скорость
dw/dz = их - iuv, где z = x + iy и их = —, и = — • dw!dz - аналитическая
дх у ду
304
дер
функция с вещественной частью Ux~~q~ равной нулю на отрезке
1/2<х <-1/2 оси ох.
В теории аналитических функций доказано, что если имеется отрезок
вещественной оси, на котором вещественная часть аналитической функции,
определенной в нижней полуплоскости, обращается в нуль, то такая функ-
ция может быть аналитически продолжена в верхнюю полуплоскость с уче-
том следующего принципа симметрии:
wx(x, -у) = -их(х, у); иу(х, -у) = иу(х, у). (11.115)
Благодаря второму свойству (11.115) кинематическое граничное условие
на свободной поверхности (11.111) выполняется автоматически. Получен-
ная в результате математическая задача представляет собой обычную задачу
линейной теории крыла (см. § 11.6) для пластины, обтекаемой неограничен-
ным потоком под углом атаки а (11.56). Следовательно, если решить эту
задачу, то течение и распределение давление вдоль нижней стороны пласти-
ны окажутся такими же, как и при ее обтекании, когда она полностью погру-
жена в поток. Это свойство называется крыльевой аналогией.
Изложенные выше методы теории крыла могут быть в этом случае при-
менимы для расчета глиссирующих поверхностей. На рис. 11.28 приведено
сравнение распределений давлений на нижней стороне глиссирующей по-
верхности (сплошные линии) и нижней стороне соответствующего крыла
(пунктирные линии) на участке от задней кромки до передней критической
точки, заимствованное из [11.8]. Передней критической точке соответствует
нулевое значение скорости и коэффицент давления, равный единице. Спра-
ведливость крыльевой аналогии очевидна.
В введенной выше системе координат сопротивление пластины (см. рис. 11.27)
1
Rx = Rx\-----+ R v\tga, (11.116)
cos а
где /?г1- касательная к поверхности пластинки сила, обусловленная вязким
трением.
Рис. 11.28. Распределение давления и скорости по нижней стороне
глиссирующей пластины (сплошная) и крыла (пунктирная)
305
С учетом того, что вес пластинки уравновешивается динамической
подъемной силой, имеем
RX = RX}-----W- (П-117)
cos а
Второе слагаемое в этой формуле представляет собой в общем случае
сумму брызгового и волнового сопротивлений. Сила 7?х1, может быть рас-
считана с помощью методов теории пограничного слоя, если известно рас-
пределение давления по нижней стороне пластины.
Используя интеграл Бернулли, можно показать, что в линейной теории
несущей поверхности нижняя и верхняя сторона крыла вносят одинаковый
вклад в подъемную силу. Тогда силы, действующие на глиссирующую плас-
тину с хордой I равны половине сил, действующих на аналогичную крылье-
вую пластину
Ry э ^укрыла о кр/Е^СС , (11.118)
где /- смоченная длина пластины.
Центр давления глиссирующей пластины, как и на крыле, расположен
на расстоянии 3/4/ от задней кромки. В этом случае формула для Rx дает
величину брызгового сопротивления, приходящегося на единицу размаха
глиссирующей поверхности, так как при пренебрежении весомостью жид-
кости (числа Fr оо) волновое сопротивление равно нулю. Обратим внима-
ние на то, что смоченная длина пластины, вообще говоря, является величи-
ной неизвестной и зависит от угла атаки и в общем случае от числа Фруда.
При известной форме свободной поверхности ее можно определить как точ-
ку пересечения пластины и линии, которая, с одной стороны, перпендику-
лярна пластине, а с другой стороны, является касательной к свободной по-
верхности (рис. 11.27). Приближенный метод определения смоченной
поверхности в трехмерном случае излагается ниже.
Формулы (11.118) справедливы при бесконечных числах Фруда.
Л.И. Седовым и Н.Е. Кочиным были получены формулы для силы и мо-
мента, действующих на пластину при конечных, но больших числах Фруда
Fr = VjJgl>2.Z-.
R = R а,
.г у ’
(11.119)
которые в пределе Fr —> со переходят в формулы (11.118). Для момента Л/о
относительно начала координат, т.е. центра пластины, ими была получена
следующая формула:
(11.120)
306
Крыльевая аналогия может применяться и в трехмерном случае. Повер-
хность днища при малых углах атаки и малой кривизне может рассматри-
ваться как нижняя часть несущей поверхности и рассчитываться численны-
ми методами теории крыла. Специфика задачи глиссирования проявляется,
однако, в том, что смоченная несущая поверхность неизвестна. В этом слу-
чае можно использовать либо эмпирические данные, либо воспользоваться
идеей Г. Вагнера-М.Г. Щегловой, согласно которой в каждом сечении по
размаху перед глиссирующей поверхностью вычисляется подъем жидкости
и определяется точка встречи свободной поверхности с глиссирующей по-
верхностью. Определение подъема свободной поверхности г| осуществля-
ется интегрированием линеаризованных линий тока
начиная от точек, лежащих далеко впереди глиссирующей поверхности
(£ = + оо), и до точки встречи со свободной поверхностью (£, = х). Поскольку
вызванные скорости иу, вычисляемые на основе закона Био-Савара, в свою
очередь, зависят от смоченной поверхности, то процедура ее определения
должна осуществляться итерационными методами. Строго говоря, таким об-
разом, получается не точка пересечения со свободной поверхностью, а кри-
тическая точка. При этом г|(х) - критическая линия тока. Как показывает
опыт, если итерационная процедура построена корректно, такой метод име-
ет быструю сходимость и позволяет достигать приемлемую для практики
точность как для сил, так и для распределения давлений и смоченной повер-
хности.
Большая часть упомянутых в данной главе методов, в том числе и
трехмерные методы расчета глиссирующих поверхностей, реализова-
ны в программном комплексе Autowing, разработанном Н.В. Корневым
и А.Е. Тарановым на кафедре гидромеханики СПбГМТУ (см. http://
www.argo-group.de/autowing).
КОНТРОЛЬНЫЕ
ВОПРОСЫ
1. Сформулируйте теорему Н.Е. Жуковского о подъем-
ной силе профиля.
2. Что такое присоединенный вихрь?
3. Сформулируйте физическую и математическую сущ-
ность постулата Жуковского-Чаплыгина.
4. В чем заключается идея метода конформных отобра-
жений для расчета гидродинамических характеристик
профиля?
5. Что такое свободные вихри?
6. Что такое индуктивное сопротивление и в чем состо-
ит его физический смысл?
8. Каковы особенности крыла с наименьшим индуктив-
ным сопротивлением?
9. Каковы предпосылки линейной теории крыла как не-
сущей поверхности?
10. Какова аналогия между обтеканием пластины и глис-
сированием?
ЗАДАЧИ
I 1. Профиль - пластина с хордой b = 1 м обтекается пото-
I ком со скоростью = 10 м/с. Определите циркуля-
| цию вокруг этого профиля при различных углах ата-
I ки.
| 2. Судно длиной 100 м и с осадкой 5 м движется со скоро-
I стью 5 уз с углом дрейфа 3 °. Найдите поперечную
| силу и момент, действующие на судно.
| 3. С использованием студенческой версии программы
Autowing http://www.argo-group.de исследуйте влияние
свободной поверхности и твердой стенки на гидроди-
намические характеристики крыльев при малых уг-
лах атаки и больших числах Фруда.
308
ЧАСТЬ 4.СПЕЦИАЛЬНЫЕ
ВОПРОСЫ
КОРАБЕЛЬНОЙ
ГИДРОМЕХАНИКИ
ГЛАВА 12. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ РЕАКЦИИ
ПРИ НЕСТАЦИОНАРНОМ ДВИЖЕНИИ
ТЕЛ В ЖИДКОСТИ (модули 1, 2, 3)
ГЛАВА 13. ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ
(модули 1, 2, 3)
ГЛАВА 14. КАВИТАЦИЯ (модули 1, 2, 3)
ГЛАВА 12
ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ РЕАКЦИИ
ПРИ НЕСТАЦИОНАРНОМ ДВИЖЕНИИ ТЕЛ В ЖИДКОСТИ
12.1. Введение
При нестационарном движении тел в жидкости вызванное течение жид-
кости является неустановившимся: й - u(x,y,z,t). Обращение движения, ши-
роко используемое при исследовании движения тел с постоянной скоростью
Ко, в этом случае неприменимо. Гидродинамическая реакция воздействия
на тело со стороны жидкости в случае его нестационарного движения также
будет зависеть от времени: R = R(t). В гидромеханике принято допущение,
чтоЯ(/) и момент M(t) могут быть представлены в виде
R(t) = Rm(t) + RB(t), Л/(/) = Мин(/) + Мв(/), (12.1)
где 7?ин(/)- инерционная компонента воздействия жидкости на тело, опре-
деляемая в предположении о невязкости жидкости и потенциальности выз-
ванного ею течения. Эта компонента обусловлена нестационарным полем
скоростей и давлений, возникающих в объеме жидкости, окружающей дви-
жущееся тело. Как будет показано в дальнейшем, Аин и Л/ин зависят от так
называемых обобщенных присоединенных масс.
Вторая компонента RB(J) обусловлена главным образом нестационар-
ными процессами в пограничном слое тела, отходящими от тела нестацио-
нарными системами вихрей и нестационарными волновыми процессами на
свободной поверхности жидкости. Они могут быть представлены с помо-
щью позиционных и вращательных производных (см. §12.7).
12.2. Инерционные силы, действующие на тело,
движущееся поступательно с переменной скоростью.
Понятие о присоединенных массах
Рассмотрим случай прямолинейного движения твердого тела с пере-
менной Ко(/) скоростью в безграничной жидкости. Будем считать, что
311
направление движения совпадает с осью х; скорость в произвольной точ-
ке жидкости й = u^x.y.z.t), далеко от тела жидкость покоится й—>0
(рис. 12.1).
Рис. 12.1. К рассмотрению
прямолинейного движения твердого
тела с переменной скоростью
в безграничной жидкости
Вычислим кинетическую энергию жидкости, вызванную движением тела.
Выделив элементарный жидкий объем dW с массой pdW. определим его ки-
и2
нетическую энергию dT^=pdW—. Кинетическую энергию безгранично-
го объема жидкости внешнего по отношению к телу, получим интегри-
2
рованием Тж = J----dW. Несобственный интеграл, распространенный по
2
бесконечному внешнему объему, конечен, поскольку тело конечных разме-
ров в процессе своего движения, очевидно, может сообщить жидкости лишь
конечную кинетическую энергию. Преобразуем это выражение, умножив и
разделив его правую часть на Ио: Тж =
dW . Величина в квад-
ратных скобках имеет размерность массы. Обозначим ее
(12.2)
и назовем присоединенной массой, соответствующей движению тела в дан-
ном направлении. Согласно определению, присоединенная масса характе-
ризует возмущения, вносимые телом в жидкость при его нестационарном
движении в жидкости. Учитывая (12.2), можно записать
(12.3)
Ла*
откуда вытекает следующее определение: присоединенной называется
фиктивная масса жидкости, кинетическая энергия которой при ее дви-
жении со скоростью тела равна кинетической энергии окружающей тело
жидкости.
312
Со стороны тела на жидкость будет действовать сила (/?хи)т- Для ее опре-
деления применим к жидкости закон об изменении кинетической энергии:
изменение кинетической энергии системы за промежуток времени dt равно
работе приложенных к системе сил. Обозначив через dx = V^dt перемеще-
ние тела за время dt и учитывая, что работа при перемещении тела затрачи-
вается на изменение кинетической энергии жидкости, будем иметь
< = 0ТКУДа
(п 1 1 - 7 ^0
1 хи'т Го dt x dt
Согласно третьему закону Ньютона, инерционная сила воздействия жид-
кости на тело будет
(12.4)
ХИ
dt
Из (12.4) следует, что сила воздействия со стороны жидкости на тело при
ускоренном движении численно равна присоединенной массе, умноженной
на ускорение тела. Эта сила пропорциональна ускорению и в соответствии с
известной терминологией теоретической механики называется инерцион-
ной силой. Поскольку X >0, знак инерционной силы определяется зна-
ком ускорения. При положительном ускорении /?хи отрицательна, т. е. игра-
ет роль силы сопротивления. В случае прямолинейного движения тела с
постоянной скоростью - о и инерционная гидродинамическая сила рав-
dt
на нулю.
Выясним происхождение термина «присоединенная масса». Составим
уравнение движения тела в вязкой жидкости для поступательного движения
тела. Введем следующие дополнительные обозначения: т - масса тела, Ре -
движущая сила (упор, создаваемый винтом), Rx - сопротивление, зависящее
от вязкости.
Согласно второму закону Ньютона, уравнение движения тела в жидко-
сти примет вид
^0 р
т—~ = ре
dt
dV0
dt
хи л е
ТТ Л dVn
Перенеся член —- в левую часть, получим уравнение движения
dt
которое можно трактовать так, что влияние жидко-
+ )—- = Л
v 7 dt
сти на движущееся в ней с ускорением тело приводит как бы к увеличению
массы тела на величину X . Ввиду этого величина Х% называется присоеди-
ненной массой. Заметим, что подобная трактовка применима лишь к про-
стейшим случаям движения.
313
При движении деформируемых тел, происходящих с изменением объе-
ма, присоединенные массы зависят от времени. Тогда
=
Л XI
1 dT^ 1 d (Xjtf)
___/Тх _______Л V
Vq dt Vq dt 2
dV0 Vbdkx,
dt 2 dt
(12.5)
отсюда следует, что в данном случае инерционная сила складывается из двух
компонент, одна из которых пропорциональна скорости движения, а другая
- ускорению.
Определим присоединенную массу при нестационарном движении кру-
гового цилиндра радиусом г0 со скоростью V^(t). Потенциал скорости (р, обус-
г2
ловленный присутствием цилиндра, согласно §6.2, равен (p = -F()—cos0.
г
Вычислим квадрат вызванной скорости:
\2 J Z- \2 4 4 4
2 _ | ^Ф ||| | __ т/2 Г0 РПо2 п . т/2 Г0 . 2 р _ у 2 4)
U — ---- । Т — Гп —ttCOS v + V о —Г V— Гп —т-
{дг) г2 {де) г4 г4 г4
Используя формулу (12.2), будем иметь
X v = р j — dW - Р j l^rdrdd-1,
' 0 г/
где элемент объема dW= rdrdQA, 1 - единичный размер цилиндра в попе-
речном направлении.
Интегрируя, получаем
= рлг02 -1 = X, (12.6)
т. е. присоединенная масса цилиндра равна массе жидкости в объеме цилин-
дра единичной высоты.
Отметим, что для кругового цилиндра присоединенная масса будет оп-
ределяться этой формулой при движении в произвольном направлении.
В общем случае движения тела с шестью степенями свободы помимо
присоединенных масс вводятся присоединенные статические моменты и
моменты инерции.
12.3. Кинетическая энергия жидкости. Обобщенные
присоединенные массы
Получим выражение для кинетической энергии безграничной жидкости
в общем случае движения в ней твердого тела, ограниченного поверхнос-
тью 5. Свяжем с телом систему координат х, у, z с центром в полюсе 0, счи-
тая, что в данный момент времени она совпадает с неподвижной в простран-
стве системой координат хн, ун, zH. Проведем сферическую поверхность Е
314
большого радиуса T? = yx2+y2+z2 с центром в начале координат
(рис. 12.2).
Рис, 12.2. К выводу соотношений
для кинетической энергии жидкости
Устремляя в дальнейшем радиус сферы к бесконечности R оо9 полу-
чим случай безграничной жидкости. Обозначим вызванную скорость жид-
кости в произвольной точке между поверхностями 5 и Е через и = i7(x,y,z,Z).
На бесконечности жидкость покоится, т.е. й 0 . Кинетическая энергия объе-
ма заключенного между поверхностями 5 + Е, будет равна
г pw
Тж = -—dW. Вычисление по этому выражению затруднительно, так как
w 2
гг оо
для этого требуется знание скоростей во всем объеме вне тела.
Предположим, что вызванное движение жидкости - безвихревое с одно-
значным потенциалом скорости (р. Тогда Тж представится в виде
Произведем тождественное преобразование членов, входящих в подын-
тегральное выражение:
315
Сложив почленно правые и левые части этих выражений, получим
Поскольку потенциал скорости удовлетворяет уравнению Лапласа, пос-
ледний член правой части данного равенства обращается в нуль, и выраже-
ние для кинетической энергии жидкости приобретает вид
Применим формулу Гаусса-Остроградского, переводящую объемный
интеграл в поверхностный, обозначив при этом пе - внешнюю нормаль к
поверхностям S + Е:
cos(«e,y) + (p—cos(ne,z) dS -
(12.7)
Sep Эф 6ф 5ф
где — = — cos(ne,x) +—cos(ne,jO + — cos(we,z).
опе ох ду dz
Чтобы оценить интеграл по поверхности Е сферы большого радиуса R,
представим потенциал вызванных скоростей ф вдали от тела в виде ряда по
степеням R~n. Единственно возможной формой представления ф, удовлетво-
ряющей этому граничному условию затухания движения на бесконечности,
будет ряд следующего вида:
(12.8)
где А । и Ап - коэффициенты, не зависящие от R.
316
Вычислим на поверхности сферы X, учитывая, что направления нор-
дп„
€✓
kAk
> —. Покажем, что
2
мали пе и радиуса R совпадают: —-
дпр
коэффициент Л j в разложении <р должен равняться нулю. Принимая во вни-
мание, что расход жидкости через поверхность X, согласно уравнению не-
разрывности, равен нулю, и учитывая, что для сферы dS = R2dQL. где Q - те-
лесный угол, запишем
2
Q = unedS = —dS = - У —^R2d£l = 0.
J J az? J p2 J ри+i
Поскольку A! и An не зависят от радиуса, а последнее равенство сохраня-
ет свою силу и при предельном переходе R -> оо, то Q = - = 0, т. е. А] = 0.
Итак, разложения в ряд по степеням R потенциала и его производной по
нормали, отвечающие физическим условиям течения, будут
00
(12.9)
_ _ у кАк
к ’ Sne dR Rk+1 ’
откуда следует, что для твердого тела потенциал ср убывает как квадрат рас-
стояния от тела - источника возмущении, а —— - как куб.
дп
Если рассматривается движение тела изменяемого объема №(!), то, по-
скольку при его расширении происходит вытеснение жидкости, такое тело
dWr
эквивалентно нескомпенсированному источнику с расходом Q =---, и в
dt
разложении потенциала коэффициент .
4л
Подставляя (12.9) во второй интеграл (12.7) и расширяя сферу X до бес-
конечности R —> оо, видим, что интеграл по поверхности сферы пропадает
г Аъ тАг о .
hm - > -4- > -----,
Я-»оо I 1 Rm+'
^k-Zт=\ у
ческой энергии жидкости при безвихревом течении можно представить в
виде интеграла по поверхности тела S'.
—R dS = 0. Исходя из этого, выражение для кинети-
(12.10)
2J'a^
о е
В задачах, связанных с движением тела, обычно используют внешнюю к
телу нормаль п . Из рис. 12.2 видно, что направления пе и п противопо-
ложны. Полагая п = -пе , получаем выражение
317
ж
5
(12.11)
представляющее общую зависимость для вычисления кинетической энер-
гии жидкости при безвихревом течении. Важно подчеркнуть, что для опре-
деления /ж нужно знать значения потенциала лишь на поверхности тела.
Найдем выражение для потенциала вызванных скоростей ф в общем слу-
чае движения тела. Функция ф должна удовлетворять уравнению Лапласа.
Вне тела на бесконечности согласно доказанному выше, ф —> 0. На поверх-
ности тела должно удовлетворяться граничное условие непротекания
ПТ о
СП
„ 5(Р
, где к - нормальная скорость точки поверхности тела, а — -
дп
нормальная скорость частицы жидкости. Представим VnT в развернутом виде.
Пусть Ко = iv^x + jV$y +kV$z - поступательная скорость полюса, а
со0 = z<o0x + j<s$y + k^z - скорость вращения тела относительно мгновен-
ной оси, проходящей через полюс. Скорость произвольной точки поверхно-
сти тела V = И() + ш0 х R , где R = ix + jy + kz - радиус вектор этой точки. Нор-
мальная составляющая скорости точки поверхности тела
Кпт = V • п = • п + (й0 х R) • ii = Pq • п + (<50 х й) • R . Раскрывая это выражение
и учитывая граничное условие непротекания, получаем
Эф
дп
= r0xcos(w, х) + ко cos(rc, у) + K0zcos(X z) + co0x[ycos(«, z) - zcos(h, у)] +
5 y
+ co0^[zcos(h, x) - xcos(w, z)] + co0z[xcos(h, y) - jcos(h, x)]. (12.12)
Координаты x, j, z точек поверхности S’ и косинусы направляющих углов
в связанной с телом системе координат не зависят от времени. Функциями
времени являются лишь проекции поступательной К() и угловой скорос-
тей тела.
Граничное условие на поверхности тела в виде суммы шести членов и
линейность уравнения Лапласа позволяют искать общее выражение для по-
тенциала также в форме шести слагаемых:
Ф = Ml + М2 + Мз + ®0хФ4 + ®()/₽5 + ®0зФб’ (12-13)
где ф- - единичные потенциалы, удовлетворяющие уравнению Лапласа
Дф. = 0 и условиям на бесконечности фг- —> 0. Продифференцировав ф по нор-
мали, получим
ЭФ-У 5Ф1+Г 5Ф2.к 5ФЗ.„ аФ4,г. аФ5,т аФб
Т- - Ч)х + Ч)у “Г— + ^0z ~Т- + ®0х + ю0>- “Т~ + ®0z (12.14)
дп дп дп дп дп дп дп
318
Подстановка этого выражения в левую часть (12.12) показывает, что еди-
ничные потенциалы должны на поверхности тела удовлетворять граничным
условиям
jp- = cos(«,x); = cos(«,y);
дп on дп
ycos(n.z)- zcos(n,yy,
дп
= zcos(h,x)-xcos(h,z);
дп
(12.15)
—- = xcos(«,y)-ycos(«,x).
дп
Правые части этих равенств не зависят от времени, откуда следует, что
единичные потенциалы (р. в системе координат, связанной с телом, являются
функциями только от координат.
Для упрощения последующих выкладок изменим обозначения, введя
обобщенные скорости: = ИОх, И2 = 70у, К3 = KOz, К4 = со0х, V5 = со0?, V6 = co0z.
Тогда выражение для потенциала ср будет
6 6
<р(х, у, z, t) = £ Vi (Оф,- (х, у, z) = V^. (12.16)
Z=1 i=l
Разделение потенциала ср, согласно (12.16), позволяет, таким образом,
свести задачу об общем движении тела к ряду более простых задач отыска-
ния единичных потенциалов.
Установим размерность единичных потенциалов. Поскольку [Т] = м/с,
[ср] = м2/с, [o)q] = 1/с, из сравнения размерностей левой и правой частей по-
лучаем, что
[фД-= 1,2,3 “ [фД- = 4, 5,6 = L2. (12.17)
Полагая, что тело движется без вращения в направлении оси х
V0y = V0z = <°0х = Ю0у = ®0Z = °’ находим
<Р= M>1-
(12.18)
Отсюда видно, что (pt характеризует возмущение жидкости, обусловлен-
ное поступательным движением тела в направлении оси х. Аналогично еди-
ничный потенциал <р4 характеризует возмущение тела, происходящее от вра-
щения тела относительно оси х, и т. д.
Как следует из выражения (12.16) и аналогичных ему, чтобы найти еди-
ничный потенциал, нужно в выражении для ср выделить множитель при обоб-
щенных скоростях движения тела.
319
Вычислим кинетическую энергию жидкости. Взяв <р в форме (12.16), оп-
5<P_Viz
ределив ~ Zj к и подставив эти значения в выражение для кинети-
ческой энергии, будем иметь
(12.19)
В этой формуле множители V. как не зависящие от координат вынесены
за знак интеграла и, кроме того, изменен порядок операций суммирования и
интегрирования. Вводя обозначения
(12.20)
придадим выражению для Гж вид
I 6 6
ТЖ = (12.21)
z=l£=l
Эта формула аналогична известной из теоретической механики зависи-
мости для кинетической энергии твердого тела; соответственно величины
называются обобщенными присоединенными массами.
Поскольку <р/ - только функции координат, обобщенные присоединен-
ные массы, согласно (12.15), не зависят от времени.
На основании (12.21) можно заключить, что при произвольном движе-
нии тела кинетическая энергия жидкости определяется матрицей, содержа-
щей 36 членов:
А.Ц ^12 Х1з Х14 ^15 ^-16
^21 ^-22 ^23 А. 24 ^25
X3i ^32 х33 Х34 ^-35 ^36
X4i ^42 ^-43 х44 х45 ^46
^51 ^52 ^53 ^54 ^“55 ^56
^61 ^62 ^63 ^“64 ^65 ^66
(12.22)
Покажем, что для безграничной жидкости матрица кинетической энер-
гии симметрична относительно главной диагонали
= (12.23)
Для этого достаточно показать, что (^)^)i^LdS = (^(pk^-dS .
s s
Воспользуемся известной из математики второй формулой Грина,
320
примененной к области между поверхностями S + Е (см. рис. 12.2):
Эфт, Эф; J _.
——-ф^—L dS . Поскольку единичные
дпе дпе .
W
со
потенциалы ф. и <р^ удовлетворяют уравнению Лапласа Дф*. = 0 и Дф^ = О,
левая часть этого равенства обращается в нуль. Устремляя поверхность Е
в бесконечность, аналогично предыдущему, можно показать, что интеграл
в правой части по S исчезает, и последнее выражение принимает вид
фср. ^-dS . Заменяя здесь пе на -п , приходим к свойству сим-
S $ ^пе
метрии матрицы присоединенных масс, т. е. число независимых обобщен-
ных присоединенных масс сокращается до 21.
Установим размерность обобщенных присоединенных масс \к с индек-
сами 1,2,3. Поскольку фу ^^dS - I? , величины [XZJ
дп„
о
ют размерность массы. Отметим, что при i = к величины присоединенных
масс Х22, Х33 всегда положительны.
Если i = 1, 2, 3; к = 4, 5, 6, то [ф7] = £; [ф^] = L2. Аналогично предыдуще-
му устанавливаем, что [Х^] = [р]Л4. В этом случае члены \к имеют размер-
ность статического момента.
Если /, к = 4, 5, 6; [ф^ = L2, то [Х^] = [р]Л5, т. е. размерностями этих ве-
личин являются моменты инерции. При i = к величины Х44, Х55, Х66 положи-
тельны; знаки Xik при i ф к могут быть различны в зависимости от формы
тела.
В практических расчетах обычно применяют следующие безразмерные
коэффициенты присоединенных масс :
а) для Х-к с размерностью массы (z, к ~ 1, 2, 3)
ikkk= 1,2,3 = [рК3име-
(12.24)
Р^г
где pWT- масса жидкости в объеме тела;
б) для Х-к с размерностью статического момента (/ = 1, 2, 3, к = 4, 5, 6)
=---- >
где Ly - характерный линейный размер;
в) для \к с размерностью момента инерции (/, к = 4, 5, 6)
Кк
(12.25)
М/Л
(12.26)
11 Зак. 4042
321
где Z2 “ характерный линейный размер. В случае присоединенных момен-
тов инерции с одинаковыми индексами (/ = к) под L2 понимают радиус инер-
ции масс жидкости в объеме тела.
Можно показать, что у тела с одной плоскостью симметрии число обоб-
щенных присоединенных масс сокращается до 12. Так, если плоскостью
симметрии служит плоскость xz, то
Х12 Х14 А,16 Х23
(12.27)
Рассмотрим принцип доказательства равенства (12.27) на примере вы-
числения Х12. Обозначив через и S2 верхнюю и нижнюю части поверхно-
сти тела, которые симметричны относительно плоскости xz, и используя
(12.15), получим
—рфф1
£
^-<ZS = A.i2 =-р ф (pi cos(n,y)dS =
j (pj cos(n,y)6ZS + j <Pi cos(n,y)dS
s2
В сходственных точках A j и A2 поверхностей и S2 единичный потен-
циал фр характеризующий возмущение при движении в направлении оси х,
имеет одинаковые значения ф/^) = ф/^), а знаки направляющих косину-
сов различны. На основании этого заключаем, что интегралы от этой функ-
ции по одинаковым поверхностям S) и S2 взаимно сократятся. Таким обра-
зом, Х12 = 0.
У тела, симметричного относительно двух плоскостей (например, тело с
плоскостями симметрии xz и ху), остается лишь восемь присоединенных масс:
^22’ ^33’ ^44’ ^55’ ^66’ ^26’ ^35’
(12.28)
Примером может служить дублированное тело, получаемое сложением
по плоскости ватерлинии (плоскость симметрии) подводных объемов судна.
Вторая плоскость симметрии - диаметральная. Подобное допущение при-
нимается при исследовании вопросов управляемости судна, движущегося
на свободной поверхности без учета волнообразования.
У тела, симметричного относительно трех плоскостей симметрии (тре-
хосный эллипсоид), Х26 = Х35 = 0, и остается шесть присоединенных масс:
Хц, Х22, Х33, Х44, Х55, Х66.
(12.29)
Если тело является телом вращения с продольной осью х, то по сообра-
жениям симметрии и учитывая, что вращение тела относительно оси х в
невязкой жидкости не вызывает возмущений в жидкости,
Х22 А.33; Х55 Х66; Х26 А.35; Х44 0
(12.30)
322
Для плоской задачи, т. е. при движении контура в плоскости ху, обраща-
ются в нуль проекции скоростей К3 = KOz, К4 = wQj, К5 = w0^ и, следователь-
но, не равны нулю лишь Х1р Х22, Х12, Х16, Х26 и Х66.
12.4. Гидродинамические силы и моменты инерционной
природы
Для вычисления инерционных гидродинамических сил Аи и моментов
Л/, действующих со стороны жидкости на тело, применим законы количе-
ства движения и моментов количества движения. Согласно третьему закону
Ньютона, со стороны тела к жидкости будут приложены силы -Яи и -М
Пусть 2Ж = IQ-** + Д2жу + kQ-xz ~ вектор количества движения, а
Кж = iK^ + jK-жу +kKyKZ- вектор момента количества движения. Тогда за-
коны количества движения и моментов количества движения запишем в виде
= = (12.3I)
at at
При выводе этих формул использовалась неподвижная в пространстве
система координат (обозначена индексом «н»). При исследовании движения
тела целесообразно применять связанную с ним систему координат. Из тео-
ретической механики известна связь между производными вектора по вре-
мени в подвижной и неподвижной системах координат:
= + = + <12-32)
at at dt dt
d
где символом — обозначено дифференцирование в подвижной системе коор-
dt
динат; величины Q.A. и Кж вычисляются в подвижной системе координат.
С учетом (12.32)
dt
dK _
! =-------—
И 7. V /К
dt
(12.33)
ж ’
Как показывается в теоретической механике, проекции количества дви-
жения и момента количества движения могут быть выражены через кинети-
ческую энергию Тж через производные по соответствующим обобщенным
скоростям:
323
(12.34)
На этом основании в формулах для 7?и и Ми величины
и мож-
zt\
но заменить их значениями, выраженными через кинетическую энергию
жидкости. Проектируя и Ми на оси координат, связанные с телом, мож-
но получить общие выражения для составляющих сил и моментов инерци-
онной природы. Приведем зависимости только для R и М остальные ком-
поненты могут быть получены аналогично:
ИЛ
HZ
(12.35)
Чтобы привести эти выражения к окончательному виду, нужно исполь-
зовать зависимость (12.21) для кинетической энергии жидкости Гж и произ-
вести соответствующее дифференцирование. При дифференцировании по
времени следует учитывать, что присоединенные массы от времени не
зависят, а проекции поступательных и угловых скоростей в общем случае
есть функции времени /.
Исследуем случай поступательного горизонтального движения с посто-
янной скоростью тела, обладающего двумя плоскостями симметрии (xoz) и
(хоу), в плоскости хоу. Этот случай соответствует поступательному движе-
нию в безграничной жидкости в плоскости хоу дублированного тела, полу-
чаемого сложением по плоскости ватерлинии подводных объемов судна,
движущегося без волнообразования по свободной поверхности жидкости.
При этом KQz = со0х = сору = co0z = 0, а кинетическая энергия жидкости пред-
ставится в виде
Гж = Vox — + Voy — • (12.36)
zK ОЛ иу х 7
Поскольку а - угол, составляемый вектором скорости с диаметральной
плоскостью = Fucosol; ^Qy = Kosina, и, используя (12.33), получаем
^ = 0; ^=0;
= —(А-22 1 )2sinacosa = —
(12.37)
5
324
откуда следует, что инерционная сила при таком движении равна нулю, и на
тело воздействует только инерционный момент. Этот момент обращается в
нуль при а = 0 и а = л/2.
Исследуем устойчивость движения тела при продольном (ос = 0) и попе-
речном (а = л/2) движении; для этого возьмем от M^z производную по углу ос
= —(л22-^N)2cos2aJa. (12.38)
da 2
Для удлиненного тела Х22 > X] р с учетом чего из (12.38) следует, что, если
под воздействием случайных возмущений при продольном движении (а = 0)
угол получил приращение da > 0, то dM^ > 0, т. е. инерционный момент воз-
растает, и, следовательно, движение тела неустойчиво. Наоборот, при ос = я/2
знаки da и dM^ противоположны, т. е. движение в этом направлении устой-
чиво. Это явление наблюдается на практике: удлиненное тело, обтекаемое
вдоль продольной оси, стремится развернуться поперек потока.
12.5. Методы определения присоединенных масс
Для вычисления обобщенных присоединенных масс необходимо знать
значения единичных потенциалов фр характеризующих возмущения, вно-
симые телом в жидкость при поступательных и вращательных движениях. В
случае движения тела произвольной формы определение ф. связано с боль-
шими трудностями.
Рассмотрим примеры определения присоединенных масс для тел про-
стейшей формы. Приведем данные о присоединенных массах эллиптичес-
кого цилиндра с полуосями а, Ь:
(12.39)
Полагая здесь b = 0, получаем значения присоединенных масс для плас-
тины шириной 2а.
На рис. 12. 3 представлены значения коэффициентов присоединенных
масс эллипсоидов вращения.
В справочнике по теории корабля [6] приведены коэффициенты присое-
диненных масс для трехосного эллипсоида с полуосями а, Ь, с (а> Ь> с).
Точное определение присоединенных масс тел судовых обводов доста-
точно сложно. В ряде случае при выполнении приближенных расчетов их
заменяют эквивалентным телом с простыми обводами, присоединенные
массы которых можно легко вычислить. Так, например, подводную часть
судна длиной Л, шириной В и осадкой Т иногда заменяют трехосным эллип-
соидом с полуосями а = LI2, Ь = В/2 и с = Т.
При исследовании поперечных и вращательных движений удлиненных
тел в гидромеханике часто используется гипотеза плоских сечений. Рассмот-
рим поперечное движение тела вращения. Для определения присоединен-
325
Рис.123 Коэффициенты
присоединенных масс эллипсоидов
вращения
ной массы в направлении этого движения используем гипотезу плоских се-
чений. Разобьем тело по длине на участки, в пределах которых обводы тела
можно приближенно считать круговыми. На каждом цилиндрическом учас-
тке движение жидкости считается плоским, т.е. пренебрегаем проекциями
скорости uz, создающими растекание жидкости вдоль тела.
Применим гипотезу плоских сечений для определения присоединенной
массы \ = \ = ^22 = Хзз тела вРа1Чения- Переменный по длине радиус тела
обозначим г0(х). Выделим цилиндрический участок длиной dx. Обозначив
через ц22 = 1 коэффициент присоединенной массы, запишем выражение для
элементарной присоединенной массы <7Х22 = Ц22Ркго2^ = P^dx . Интегри-
руя это выражение по длине тела Z, получаем
L
^22пл.с. = fp^dx = pWT. (12.40)
о
Таким образом, присоединенная масса тела вращения, соответствующая
его боковому движению, равна массе жидкости в объеме тела W.
Аналогично, присоединенный статический момент относительно оси у
(или z) определится как
х26 = ^35 = jpnrQxdx, (12.41)
L
326
а присоединенные моменты инерции относительно осей у и z
^55 = ^66 = /рЛГ02Х2А.
L
(12.42)
В реальных условиях всегда имеет место растекание жидкости вдоль тела.
Чтобы его учесть, Х22 представляют в следующем виде:
А,22 = т|А,22 плх>, (12.43)
где %22 пл с “ присоединенная масса, определенная по гипотезе плоских се-
чений; г| - поправка на растекание, определяемая по теоретико-эксперимен-
тальной формуле Г. Пабста:
(12.44)
где L -длина тела; В - его ширина.
Приведенные выше рассуждения, связанные с введением присоединен-
ных масс, относились к безграничной жидкости. В гидромеханике эти по-
нятия обобщают на случаи, когда тело движется в ограниченной жидко-
сти, а также при наличии свободной взволнованной поверхности. Например,
при качке судна, присоединенные массы зависят не только от формы тела,
но и от частоты и амплитуды колебаний. Свойство парности присоединен-
ных масс (kik = А^.) здесь уже не имеет места.
12.6. Распределение давлений по телу, движущемуся
поступательно с переменной скоростью
Рассмотрим поступательное движение тела с переменной во времени
скоростью Ко(/) в направлении оси х. Вызванное течение жидкости считаем
потенциальным. Интеграл Лагранжа в условиях пренебрежения массовыми
силами, отнесенный к неподвижной системе координат хн, ун, zH, в началь-
ный момент времени совпадающей с подвижной системой х, у, z имеет вид
(12.45)
гт 5Ф Эф
При ЭТОМ —- =
дхн дх
что связь производных г
Эф _ Эф t Эф _ Эф в
Sy ’ &Н Sz '
времени в неподвижной
механике показывается,
Эн Э
— И ПОДВИЖНОЙ — СИ-
dt dt
стемах координат выражается зависимостью
327
dt dt dx
(12.46)
Функцию C(0 определим из граничных условий на бесконечности перед
телом: при л —> оо: ф —> О, grackp —> 0, р = (давление в невозмущенной жид-
кости). С учетом этого C(t)=
Р
. Учитывая все это, интеграл Лагранжа для
системы координат, движущейся поступательно, и выраженный через избы-
точные давления р - р^ представится в виде
(12.47)
Представим потенциал ф через единичный потенциал
ф = У0(г)ф1(х, у, z) = 1/оф1 и введем относительные скорости
бф Т7 бф бф /~2 2 2
и =------vn; и=—; и =—; и = Jur + uv +и7 , (12.48)
х дх 0 у ду z dz N у
где и - относительная скорость.
Подставляя эти выражения в (12.47), после преобразований получаем
(12.49)
Отношение u/V(} не зависит от времени, следовательно, множитель
, по форме соответствующий коэффициенту давления рст при ста-
ционарном обтекании тела, также не зависит от времени.
Определим реакцию воздействия жидкости на тело при нестационарном
поступательном движении, проинтегрировав давления по поверхности тела 5:
Rx = -ф(р- роо)со8(л,х)б/5 =
5
= ——^-рфф! ^^-dS - ф рст cos(n,x)dS. (12.50)
dt J dn 2 *
О Э
что
При этом использовано граничное условие cos(n,x) =
дф]
dn
. Учитывая,
-рфф!
5
^dS = Хи
dn
, а интеграл от коэффициента давления рст по по-
верхности согласно парадоксу Эйлера-Д’Аламбера дает нуль, получаем окон-
чательно
328
R = R (12.51)
1VX HX dt v 7
что полностью соответствует зависимости для инерционной силы, получен-
ной иным путем.
На основании изложенного можно заключить, что присоединенная мас-
са представляет собой величину, пропорциональную интегралу по по-
верхности тела от избыточных гидродинамических давлений при неустано-
вившемся его движении.
Представив единичный потенциал cpj в виде <Р] =£ср1б (Z - характерный
линейный размер; <р1б- безразмерный потенциал), размерное время t-t^T,
где /б - безразмерное время; Т- характерное время процесса (например, пе-
риод разгона тела), а скорость К() представим в виде зависимости Ио = ^Осе(/б),
в которой ГОс - средняя скорость (не зависящая от времени), и, подставляя
эти представления в (12.49), получаем выражение для коэффициента давле-
ния р при нестационарном движении
(12.52)
L *
где ~ - число Струхаля, характеризующее степень нестационарности
Ч)с^
движения.
На рис. 12. 4 в качестве примера показано распределение коэффициента
давления р по цилиндру радиуса г0, движущемуся с ускорением. Величина
Рис. 12.4. Распределение коэффициента
давления р по цилиндру,
движущемуся с ускорением
329
Кривая 1 соответствует стационарному распределению давлений
р - 1 __ 4 sin2 0 , кривая 2 - нестационарному. Из этого рисунка видно, что
при движении с ускорением эпюра давлений несимметрична относительно
миделя, коэффициент давления в передней критической точке не равен еди-
нице. Как следствие, несимметрии эпюры давлений относительно миделя,
на цилиндре в этом случае возникает сила RUY.
12.7. Вязкостные компоненты нестационарных
гидродинамических сил
Первой, основной для определения этой компоненты, является гипотеза
стационарности, согласно которой, для определения нестационарной со-
ставляющей вязкостных сил используются те же зависимости, что и при дви-
жении тел с постоянной во времени скоростью (в обращенном движении),
однако в них подставляются мгновенные геометрические (угол атаки) и ки-
нематические (скорость) параметры движения. Поясним суть гипотезы ста-
ционарности на простом примере. Пусть хорошо обтекаемое тело, двигаясь
прямолинейно, совершает переход от скорости К01 к скорости И02 за время
/2 -tx (рис. 12.5).
Рис. 12.5. К пояснению гипотезы
ста ционарности
Этот переход может быть совершен достаточно плавно (по линии
а), и резко - (по линии Ь). Однако в момент времени /, в промежутке
между t2 и как показано на рис. 12.5, мгновенные скорости одинако-
вы, т. е., согласно гипотезе стационарности, одинаковы и силы сопро-
тивления, действующие на тело. При этом, строго говоря, следует учиты-
вать, что мгновенное число Re(/) = 9 от которого зависит коэффициент
v
вязкостного сопротивления, также определяется на основе гипотезы ста-
ционарности. Из приведенного рис. 12.5 видно, что ускорения движения
тела в двух случаях различны, что не учитывается гипотезой стационар-
ности.
330
Другим примером применения этой гипотезы является работа руля или
стабилизатора, эффективность которого (создаваемая им нормальная сила)
зависит от угла атаки, изменяющегося в нестационарном движении. Соглас-
но гипотезе стационарности, в общие выражения для коэффициентов подъем-
ной силы с [а(/)] подставляются их мгновенные значения, равно как и в ско-
рости движения крыла Ио(/).
Как показывают сравнения гидродинамических сил, полученные с ее
использованием, с экспериментальными данными, при достаточно неболь-
шой степени нестационарное™ (которая имеет место в натурных условиях)
использование этой гипотезы не приводит к сколь-либо существенным по-
грешностям.
Рассмотрим понятие о позиционных и вращательных производных. От-
метим, что во всех задачах, связанных с нестационарным движением тел в
жидкости, используют связанную с ним систему координат. В теории кораб-
ля (надводное кораблестроение) чаще всего применяют систему осей oxyz с
началом в центре масс тела. Ось х , направленная в нос, лежит в продольной
плоскости симметрии и параллельна основной плоскости, ось у направлена
на правый борт, а ось z - вверх. Соответствующие безразмерные гидродина-
мические характеристики сил и моментов называются сх =-— - коэф-
p^S
2
л.
фициент тангенциальной; с,, - боковой и с. - подъемной силы; пгх --=-;
р—S-l
Р 2
ту и mz - коэффициенты кренящего, дифферентующего момента и момента
рыскания соответственно.
В подводном кораблестроении обычно начало координат располага-
ется в центре величины, ось х - по оси симметрии тела, ось у - верти-
кально вверх, а ось z - влево, т. е. так, чтобы они образовывали правую
систему координат. Соответствующие составляющие коэффициентов
гидродинамических реакций называются: сх - силой лобового сопро-
тивления, су -коэффициентом подъемной силы, с2 -коэффициентом бо-
ковой силы; тх -коэффициентом момента крена, т - моментом рыска-
ния, mz - коэффициентом продольного момента (дифферентующий
момент).
Рассмотрим часто встречающийся в мореходной практике случай. Пер-
воначально объект двигался с постоянной скоростью И(). В какой-то момент
времени он получил возмущение поступательной скорости полюса, а также
вращательные возмущения, характеризуемые угловой скоростью
сб0(О = i со0л. + jco0j; + £co0z ? и вращения тела вокруг мгновенной оси, прохо-
331
дящей через полюс. Все проекции возмущенных поступательных и враща-
тельных скоростей в общем случае зависят от времени.
Введем безразмерные угловые скорости со = со. —, (/ = х, у, z). Тогда все
х х
гидродинамические коэффициенты можно представить в виде, зависящем
от этих кинематических параметров возмущенного движения. Напомним,
что они к тому же зависят от критериев подобия. Сделаем допущение, что
возникшие возмущения достаточно малы, и разложим все гидродинамичес-
кие коэффициенты в ряд Тейлора, ограничившись линейными членами раз-
ложения. Будем иметь на примере с и т,
сх
= cY + cYа + + + +<v’ со1; + с^со •
•’’V ./V ’ w'v X Л \r wX- JW
mY = mY + + + + m^vcov + m<coT
A » v «X 1 .Л’ ’ .Л’ «X у У £ £
(12.53)
Здесь с?о, Су, cf, - гидродинамические коэффициенты, опре-
деленные в начальный момент воздействия возмущений (соответствующие
невозмущенному движению объекта). Они определяются по зависимостям,
соответствующим установившемуся движению, или в условиях обращения
движения. Углы а, Р, у соответствуют углам, образуемым вектором скорости
возмущенного движения с соответствующими осями координат. Члены типа
называются позиционными производными, члены типа
- вращательными производными.
Вязкостные силы и моменты при нестационарном движении определя-
ются из зависимостей
R -с S = (с* + с^а + с^р + сЪ + <?°v со + су' со v + с у со») S;
Л "''2 4 ** 1 Л ’ А А Л у Л Z ' "
2 2
М + w^cx т wfp +/wjy +/77/coy +m“’cov +т“2со_)-^^-5Л,
Z Zz-ч х Z Z Z । Z • л л л V A Z / "
(12.54)
в которых VQ рассматривается на основе гипотезы стационарности Ио = Ко(/);
S и L - характерные площадь и линейный размер. В ряде случаев для подвод-
ных объемов в качестве S берут величину S = РК2/3, a SL = W, где W- объем тела.
Формулы (12.54) соответствуют наиболее общему случаю движения тела
с шестью степенями свободы и могут быть аналогичным образом записаны
для R , Rz, Мх и Му. Во многих частных случаях движения эти зависимости
значительно упрощаются.
332
Позиционные гидродинамические производные, как правило, находят
при испытаниях в прямолинейном потоке, создаваемом в аэродинамичес-
ких трубах, на моделях, расположенных под различными углами к набега-
ющему потоку. Вращательные производные определяются на ротативных
установках или планарных механизмах. При этом следует учитывать тот
факт, что определяемые экспериментально силы являются суммарными и
содержат обе составляющие, входящие в (12.1). Вычисляя инерционную
составляющую через присоединенные массы и вычитая ее из суммарных
сил, можно получить нестационарные силы вязко-волновой природы RB(t) •
В теории корабля принято не выделять инерционный момент (12.37) от-
дельно, а представлять его в сумме с моментом вязкостной природы. Су-
ществуют приближенные методы определения производных, однако, они
не позволяют получить достаточно приемлемые для практического приме-
нения результаты особенно для вращательных производных. Позиционные
и вращательные производные могут быть рассчитаны численно с помо-
щью CFD-методов (см §15.7).
12.8. Удар тела о жидкость
При изучении взаимодействия тел и жидкости в ряде случае необхо-
димо учитывать внезапно возникающие гидродинамические силы. Появ-
ление таких сил возможно, например, при падении тел на поверхность
воды или внезапном приложении внешних сил к телу, плавающему в
жидкости. К таким процессам относятся удары участков днища судна о
воду, происходящие при его движении на волнении (так называемый сле-
минг) или при боковом спуске и т. д. Их можно рассматривать как удар
твердого тела о жидкость. Промежуток времени, в течение которого про-
исходит удар, достаточно мал, однако величина возникающих при этом
гидродинамических сил и импульсов этих сил велика. Это делает воз-
можным при изучении удара пренебречь импульсами сил неударной при-
роды, действующих на жидкость и твердое тело, и считать, что вызван-
ное ударом движение жидкости не зависит от действия этих
дополнительных сил, и в частности, от силы тяжести. Подробный анализ
факторов, влияющих на развитие удара о жидкость, выполненный на ос-
новании как теоретических, так и экспериментальных исследований, ука-
зывает на значительную сложность происходящих при этом процессов.
Так как при ударе возникают давления большой величины, на движение
жидкости должно оказывать влияние свойство ее сжимаемости. Парамет-
ры движения жидкости, возникающие при ударе, зависят также от де-
формации поверхности тела. На развитие удара при падении тела на по-
верхность жидкости существенное влияние может оказать воздух,
находящийся между поверхностью твердого тела и жидкостью. Напри-
мер, в случае падения пластины плашмя на поверхность воды, воздух
333
образует в начальный момент с нижней ее стороны воздушный пузырь,
усложняющий определение процесса взаимодействия пластины с водой.
Учет влияния всех перечисленных факторов на процесс удара очень зат-
руднен и в основном осуществляется экспериментально.
Рассмотрим теоретические методы определения гидродинамических
характеристик тела при ударе, полагая тело недеформируемым, жид-
кость невязкой и несжимаемой и не учитывая влияние силы тяжести.
Ввиду кратковременности действия удара можно пренебречь переме-
щениями частиц жидкости за время удара туд. Исходя из указанных пред-
положений, можно для расчета давлений, возникающих в жидкости при
ударе р использовать интеграл Лагранжа, не учитывая в нем гидро-
уд,
статическое давление р^\
Эф
Руд ~
J ot
. Пренебрегая изменением поло-
жения частиц в пространстве, можно в соответствии с этим выражени-
ем записать
(12.55)
где р* = [ pV]Xdt - импульс давления за время удара.
j У
о
Видно, что течение жидкости, обусловленное ударом, может быть исследо-
вано, если будет найден потенциал его вызванной скорости ф, удовлетворя-
ющий уравнению Лапласа Аф= 0. Для его определения необходимо также
сформулировать граничные условия.
На свободной поверхности жидкости, т. е. вне области ее соприкоснове-
ния с поверхностью тела, со стороны которого к жидкости приложены дав-
ления р давление постоянно, т. е. руд = 0. Тогда, согласно формуле (12.55),
во всех точках свободной поверхности жидкости
ф = 0.
(12.56)
В гидромеханике это условие так и называется - ударным.
На поверхности тела А соблюдается условие непротекания жидкости,
Эф тл TZ
согласно которому — = VQn , где vpn - нормальная составляющая скорости
дп
точек поверхности тела. При выполнении этого условия следует иметь в
виду, что в соответствующих точках твердой поверхности S ударное давле-
ние, а следовательно, и его импульс р* должны быть больше нуля, точнее -
больше давления парообразования. В противном случае следует ожидать
разрыва сплошности, т. е. возникновения отрыва жидкости от поверхности
тела.
334
Условие (12.56) относится к точкам свободной поверхности, вид де-
формации которой в момент удара неизвестен. Однако если пренебре-
гать перемещением частиц жидкости за время удара, можно предпола-
гать, что это условие выполняется в точках плоскости, совпадающей с
поверхностью покоящейся жидкости, например, в случае плоской зада-
чи - на оси х.
Рассмотрим сначала явление чисто вертикального удара тела о воду. По-
кажем, что выполнение граничного условия ср = О эквивалентно движению
дублированного относительно плоскости ватерлинии тела в безграничной
жидкости. Для этого рассмотрим падение в воду цилиндра в момент време-
ни, когда погружение равно его радиусу. Вспомним, что вызванный потен-
циал, обусловленный движением цилиндра в направлении отрицательной
2
осих (§ 6.2), имеет вид <р = V0(t)—cos6. При 0 = л/2, Зл/2 (ось у) ср = 0. По-
г
ворачивая мысленно этот рисунок против часовой стрелки на угол л/2 и из-
меняя обозначения осей (рис. 12.6), получаем выполнение требуемого гра-
ничного условия.
Рис. 12.6. К теории
гидродинамического удара
При этом учтено, что линию тока х > г0 в невязкой жидкости можно
заменить невозмущенной свободной поверхностью, не нарушив движения
жидкости. Можно строго показать, что метод дублирования относительно
ватерлинии может использоваться при изучении удара о воду тела произ-
вольной формы.
Таким образом, потенциал вызванных скоростей, отвечающий выполне-
нию граничного условия (р = 0 на свободной поверхности, аналогичен по-
тенциалу, соответствующему движению дублированного тела в безгранич-
ной жидкости. Кинетическая энергия жидкости при этом будет равна
а соответствующая ей присоединенная масса
335
^22 = PKZ0 ’ 1- Но поскольку на дублированной части поверхности S' движе-
ние жидкости отсутствует, то при ударе присоединенные массы Х22уд долж-
ны быть в два раза меньше:
^22уд = ^22^- (12.57)
Таким образом, кинетическая энергия жидкости при вертикальном уда-
г т ^22уд^0уд
ре тела будет Гж =-------—, а количество движения жидкости после удара
2Жид = ^22уд^0уд- Так? напРимеР> для полупогруженного цилиндра радиуса
г0, плавающего на поверхности жидкости и мгновенно приобретающего при
РЯГп2 1
ударе скорость ИОуд, ^22уд ~ ~—• Легко показать, что аналогичная зависи-
мость будет иметь место и при угловых колебаниях полупогруженного тела
относительно центральной оси Х,66уд =
т* = Чбуд > где «>уд - уг-
ловая скорость вращения тела в момент удара.
Значительно сложнее обстоит дело с описанием горизонтального уда-
ра со скоростью ИОуд при том же граничном условии на свободной поверх-
ности. В этом случае возможно возникновение отрыва жидкости от части
поверхности, расположенной со стороны, противоположной направлению
движения тела. Тогда на части поверхности тела от точки отрыва до сво-
бодной поверхности жидкости ударный импульс /?* = 0 (ф = 0). Кроме того,
в процессе решения задачи требуется определять положение точки отры-
ва. Л.И. Седов решил подобную задачу для горизонтального удара пласти-
ны, расположенной вертикально в жидкости. Согласно его решению,
Хцуд = £рл2г72, где а - полуширина пластины, коэффициент £ = 0,66. Для
безотрывного обтекания к - 1.
В заключение рассмотрим вход тела в воду; это явление имеет место при
слеминге - процессе вхождения в условиях килевой качки носовых или кор-
мовых шпангоутов в возмущенную жидкость. Такой процесс уже нельзя счи-
тать мгновенным. Пренебрегая возникающей при погружении шпангоута
брызговой струи по бортам, влияния вызванных скоростей в волне и влия-
ния вязкости, с учетом того, что вертикальные присоединенные массы опре-
деляются на основе граничного условия <р = 0, выражение для инерционной
силы может быть записано в виде
at
(12.58)
336
Здесь учтено, что присоединенная масса за счет изменения во времени
объема погруженной части шпангоута также зависит от времени. Учитывая,
б/Хэп б/Хэп dy d^j'y z, _ гг..
что —zr —- ——Vv , зависимости (12.58) можно придать вид
dt dy dt dy y
R =—^V2y-^2-y- (12.59)
dy J dt
d*y
Член —22_jz2 , как видно, имеет смысл дополнительной силы сопротив-
dy у
ления. В
ряде случаев он достаточно велик.
КОНТРОЛЬНЫЕ
ВОПРОСЫ
1. На какие составляющие разделяются нестационарные
силы и моменты, действующие на тело?
2. От каких величин зависят инерционные составляю-
щие сил и моментов?
3. Поясните понятие присоединенной массы для част-
ного случая поступательного движения тела. Как в
этом случае выглядит выражение для инерционной
силы?
4. Как выражается кинетическая энергия окружающей
тело жидкости?
5. Как выглядит выражение для кинетической энергии
жидкости при потенциальном характере вызванного
течения? В чем его преимущество по сравнению с
общим выражением для кинетической энергии?
6. Что такое обобщенные присоединенные массы, како-
ва их размерность?
7. В чем заключается гипотеза плоских сечений при оп-
ределении присоединенных масс?
8. В чем физический смысл гипотезы стационарности.
9. Что такое позиционные и вращательные производные?
ЗАДАЧА
1. Составьте уравнение движения вертикально всплыва-
ющего тела с массой т и объемом W под действием
сил плавучести.
ГЛАВА 13
ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ жидкости
Понятие волнового движения весьма широко. Распространение в сплош-
ной среде звука и света, волны в плазме, волны на воде, гидравлический
удар - все это примеры волновых движений. Из всего многообразия волно-
вых процессов в данной главе рассмотрим только волны в водной среде.
13.1. Типы волновых движений и методы их изучения
Волновым движением в жидкости называют процесс распространения
в ней колебательного движения, а распространяющееся в жидкости перио-
дическое возмущение - волной. Встречающиеся в природе волновые дви-
жения весьма разнообразны. К ним относятся:
- ветровые волны, вызываемые и поддерживаемые ветром, действую-
щим на свободную поверхность воды;
- волны зыби, остающиеся после прекращения действия ветра или вы-
шедшие из сферы его действия;
- корабельные волны, создаваемые движением тел по свободной поверх-
ности жидкости или вблизи нее;
- внутренние волны, волны, возникающие в глубине морей и океанов в
зоне с резким градиентом плотности, обусловленным изменением по верти-
кали температуры или солености;
- морские волны прилива и отлива, вызываемые силами притяжения Луны
и Солнца;
- сейши, медленные колебания уровня воды, обусловленные неравно-
мерным распределением атмосферного давления;
- волны цунами, возникающие в результате подводных землетрясений;
- капиллярные волны (так называемая рябь), возникающие под действи-
ем сил поверхностного натяжения.
При рассмотрении движения корабля или подводных объектов вблизи
границы раздела сред из всех перечисленных типов волн наибольшее значе-
ние имеют первые четыре. Для судостроительных расчетов важно знать свой-
339
ства и количественные характеристики ветровых волн, волн зыби, корабель-
ных волн и гравитационных внутренних волн. Это объясняется тем, что пе-
риоды остальных типов волновых движений - сейш, цунами, приливов и
отливов и др. - во много раз больше периодов собственных колебаний судов
и аппаратов, которые практически не реагируют на столь длиннопериодные
возмущения. Нетрудно видеть, что приведенная классификация основана на
различных причинах, поддерживающих процесс волнообразования. Так,
первые четыре типа относятся к гравитационным волнам, ибо они суще-
ствуют вследствие того, что жидкость находится в поле действия силы тяже-
сти. Волны прилива и отлива существуют вследствие сил притяжения к Луне
и Солнцу. Волны цунами в отличие от поверхностных волн охватывают всю
массу жидкости, и их относят к разряду упругих волн. Капиллярные волны
обусловлены действием сил поверхностного натяжения. В данной главе рас-
сматриваются лишь поверхностные и внутренние гравитационные волны.
Сложность физических процессов образования и распространения волн,
многообразие факторов, от которых зависят характеристики волн, создают
большие трудности в изучении морского волнения теоретическим путем и
требуют его исследования в натурных условиях и с помощью модельных
испытаний. В настоящее время еще не создано единой теории и общеприз-
нанных методов расчета параметров морских волн, учитывающих в полной
мере гидродинамические и физические факторы, которыми обусловливают-
ся распространение, рост и затухание волны.
Можно выделить четыре основных направления в изучении морских гра-
витационных волн: статистическое, спектральное, энергетическое и гидро-
динамическое [13.1].
В работах статистического направления изучается разнообразие элемен-
тов ветровых волн. Многочисленные экспериментальные материалы, полу-
ченные с помощью измерений элементов волн (киносъемки, стереофотосъ-
емки, записи колебаний уровня воды и т. д.), подвергаются массовой
статистической обработке, анализируются и затем устанавливаются статис-
тико-вероятностные закономерности элементов ветровых волн. Наиболее
важными из них являются функции распределения элементов волн. Разли-
чают два вида таких функций. Одни описывают разнообразие элементов волн
при фиксированной силе волнения (или силе вызвавшего его ветра). Они
называются функциями распределения при квазиоднородном волнении, или
просто функциями распределения. Другие характеризуют разнообразие эле-
ментов волн за длительные промежутки времени и называются режимными
функциям распределения. При оценке мореходных качеств судов главным
образом используются первые функции распределения. Оценивая степень
важности работ статистического направления для расчета мореходности су-
дов, следует признать, что статистика дает важные сведения о количествен-
ных характеристиках ветровых волн. Однако эти сведения непосредственно
не связаны с гидромеханической сущностью процессов, которой обусловле-
340
но действие волнения на движущееся в море судно. Поэтому сама по себе
статистика волн не вносит принципиально нового в оценку мореходности
судов.
Более эффективным в этом отношении является спектральное направле-
ние. По этому методу морское волнение рассматривается как сложный коле-
бательный процесс - результат взаимодействия множества простых гармо-
нических составляющих. Каждая из этих составляющих обладает
кинематическими и динамическими свойствами прогрессивной волны ма-
лой амплитуды. Распределение энергии таких простых волн по спектраль-
ным частотам определяется энергетическим спектром. Зная результат воз-
действия на судно отдельной гармонической составляющей и спектральный
состав волнения, можно найти спектр колебания судна. В практических оцен-
ках мореходных качеств судов этот метод нашел применение [13.1].
В многочисленных работах энергетического направления описывает-
ся процесс образования и развития волн под действием ветра. Составля-
ется уравнение энергетического баланса движения воды и воздуха вбли-
зи свободной поверхности. Решение этих уравнений корректируется по
экспериментальным данным, и в результате получаются количественные
зависимости характерных элементов волн в функции от скорости ветра и
продолжительности его действия. В целом энергетическое направление
имеет большее значение для океанографов, чем для инженеров-судостро-
ителей.
Гидродинамическое направление основывается на математическом изу-
чении волнового движения невязкой жидкости, имеющей свободную поверх-
ность, или границу раздела сред, близких по плотности. К этим границам
прикладывается импульс давления (порыв ветра или движение корабля).
Гидродинамическая теория волн устанавливает количественные зависимос-
ти между отдельными элементами регулярной волны, дает формулы для ор-
динат волнового профиля и давления внутри жидкости. С помощью гидро-
динамической теории волн можно рассчитать гидродинамические силы и
моменты волновой природы, действующие на суда или аппараты. Эти силы
и моменты могут существенно изменять гидродинамические характеристи-
ки тел по сравнению с таковыми при движении тел в неограниченной жид-
кости. В частности, к этим силам относится волновое сопротивление, имею-
щее большое значение с точки зрения ходкости судов. Начало интенсивного
развития гидродинамической теории волн относится к концу XIX - началу
XX столетия. Ее основы были заложены в трудах О. Коши, Пуассона и раз-
виты Г.Г. Стоксом, Т. Рэлеем, Г. Ламбом, А.И. Некрасовым, Дж. Леви-Чиви-
та и др. Вопросы взаимодействия волн с движущимися телами изучали Кель-
вин, Д.Г. Мичелл, Н.Е. Жуковский, Т. Хавелок, Е. Хогнер, Д. Вехаузен,
ТД.С. Виглей, Г. Вейнблюм и др. Огромный вклад в разработку различных
аспектов теории волнового сопротивления внесли также Н.Е. Кочин,
Л.Н. Сретенский, А.А. Костюков, Я.И. Войткунский, Т. Инуи, X. Маруо и др.
341
В дальнейшем будем рассматривать поверхностные и внутренние грави-
тационные волны как наиболее важные для изучения гидродинамики судов
и аппаратов.
13.2. Основные характеристики гравитационных волн
Поверхность моря, находящегося под действием переменного по силе и
направлению ветра, покрыта совокупностью холмов и ложбин, перемещаю-
щихся в направлении, близком к среднему направлению ветра. Самая верх-
няя часть холма образует гребень, который чаще всего вытянут в направле-
нии, перпендикулярном направлению распространения волн.
Профилем волны называют линию, образуемую на волновой поверхнос-
ти при пересечении ее вертикальной плоскостью в направлении перемеще-
ния волны. Характерными участками волнового профиля, образованного этим
сечением, являются вершины и подошвы волн (рис. 13.1).
Высота волны h - это расстояние по вертикали от вершины волны до
соседней подошвы на волновом профиле.
Амплитуда волны а - h!2.
Длина волны X - это горизонтальное расстояние между вершинами двух
смежных гребней на волновом профиле.
Период волны т - интервал времени между прохождением через одну
и ту же точку на поверхности моря двух следующих друг за другом греб-
ней волны. Если пункт наблюдения перемещается в пространстве, то
период, измеренный в этом случае, называется относительным или ка-
жущимся.
Частота волны о — отношение 2я/т.
Частота формы, или волновое число к — 2л/Х.
Скорость волны, или фазовая скорость с-это скорость перемещения
гребня волны в направлении ее распространения. Если скорость распрост-
ранения волн постоянна, ее связь с длиной и периодом можно выразить фор-
мулой с = АЛ.
Скорости движения жидких частиц, участвующих в волновом движе-
нии, обозначаются и (их. иу. иД
Угол волнового склона ав - угол между горизонтальной прямой и каса-
тельной к волновому профилю в некоторой точке.
Длина гребня L - горизонтальное расстояние между подошвами двух
смежных ложбин, проведенное перпендикулярно генеральному направле-
нию распространению волн.
Показатель трехмерности - отношение длины волны X к длине ее гребня L.
Для двухмерного волнения, у которого длина гребня велика, этот по-
казатель равен нулю. Такие волны называются плоскими. Поверхност-
ные волны с периодически повторяющимися характеристиками назы-
ваются правильными, или регулярными. Чаще всего в природе ветровые
342
волны или волны, вызываемые движением тел, имеют трехмерный ха-
рактер и являются нерегулярными. Ближе всего к регулярным плоским
волнам подходят волны зыби, когда волны приобретают вид цилиндри-
ческих валов.
Если частота ст есть функция волнового числа к. и, что очень важно, фа-
зовая скорость волнового движения с также зависит от к (т. е. от длины вол-
ны X), то такие волновые движения называются диспергирующими. Данный
термин указывает на то, что волны с различными значениями длин X будут
распространяться с различными скоростями.
Волны разделяются также на вынужденные и свободные. К вынужден-
ным волнам относятся ветровые волны, а также волны, вызванные движени-
ем тел в жидкости (корабельные волны). Свободные волны - это волны, ко-
торые остаются в жидкости после того, как вызвавшая их причина перестала
действовать. К ним по своим свойствам близки, например, волны зыби - вол-
ны, вышедшие из штормовой области и не подверженные воздействию вет-
ра. Наблюдения показывают, что профиль свободных волн зыби близок к
синусоиде; профиль вынужденных ветровых волн отличается от профиля
волн зыби, у него наветренный склон - более пологий, а подветренный -
более крутой.
Наблюдения за волнами зыби показывают, что их характеристики мало
зависят от вязкости жидкости, т. е. практически не изменяются с течением
времени. Другим важным выводом, который можно сделать из результатов
наблюдений (табл. 13.1), является то, что практически для всех волн отно-
шение /z/Х = 2а/к и мало.
Таблица 13.1
Отношение 2аГк наблюдаемых волн в море
в зависимости от скорости ветра
Ветер Волны
Баллы Ув, м/с h = 2а, м X, м 2а/к
4 8 1.2 25 1/21
6 13 4.0 87 1/22
8 19 8.4 138 1/18
10 25 12.6 285 1/23
11 27 14.5 376 1/26
Волны, у которых отношение a/к мало, называются волнами относительно
малой амплитуды. При теоретическом изучении этих волн можно предпола-
гать, что вызванные скорости волнового движения и и углы волнового скло-
на ос являются малыми величинами.
343
13.3. Гидродинамическая теория волн
13.3.1. Постановка задачи
При разработке теории гравитационных волн исходят из следующих
предположений, основанных на результатах наблюдений морского волне-
ния и корабельных волн: 1) жидкость невязкая, т. е. касательные напряже-
ния отсутствуют; 2) жидкость несжимаемая и однородная; 3) жидкость ве-
сомая, т. е. находится в поле действия сил тяжести.
Гравитационные волны образуются в жидкости в результате действия на
нее импульса давления (например, ветра). Рассмотрим математическую поста-
новку задачи. Пусть жидкость, удовлетворяющая всем вышеуказанным услови-
ям, занимает пространство, ограниченное свободной поверхностью. Примем
начало декартовой системы координат на плоскости, совпадающей с поверхно-
стью покоящейся жидкости, ось z направлена вертикально вверх (рис. 13.1).
Рис, 13,1, К постановке задачи об
изучении поверхностных волн
Уравнение свободной поверхности имеет вид z = t).
В фиксированный или начальный момент времени t = 0 на жидкость дей-
ствует в течение малого промежутка времени А/ значительная сила давле-
ния - импульс давления (например, порыв ветра). Выведенные из положе-
ния равновесия жидкие частицы по прекращению действия импульса
давления будут стремиться в исходное положение, что и приведет к волно-
образованию.
Движение невязкой, несжимаемой жидкости описывается уравнением
Эйлера (4.1)
du
dt
9
и = Utx,uy,uz \ - скорость жидких частиц;p(t) - давление в точкех,у, z в мо-
мент Z; F - вектор напряжения массовых сил.
Полный дифференциал скорости по времени складывается из локальной
и конвективной производной [см. формулу (3.15)].
344
Проинтегрируем дифференциальное уравнение Эйлера за малый проме-
жуток времени AZ:
Вследствие малости А/1 постоянно действующими массовыми силами за
промежуток А/1 можно пренебречь по сравнению с импульсом давления, т. е.
А/
^Fdt = 0. Также вследствие малости промежутка А/ частицы жидкости не
о
успевают переместиться, и тогда интеграл от конвективной части ускорении
в этом малом временном промежутке также обратится в нуль. Тогда
А/
о
А/ . А/
COU 7 _ If
---dt -U = —
о 8t Р о
о
А/
Если обозначить импульс давления Р = Jpdt, то можно записать
о
й = grad(p0 , где ф0 = - Р/р.
Из этих соотношений видно, что в момент времени А/ под действием
импульса давления Р возникло движение жидкости со скоростью й, при
этом вектор скорости - потенциальный вектор (см. гл. 6). Известно, что по-
тенциальное течение - это безвихревое движение. Согласно теореме Томсо-
на, если в начальный момент времени движение жидкости потенциальное,
т. е. безвихревое, то оно останется безвихревым во все последующее время.
Таким образом, задача об изучении поверхностных волн, образующихся
в весомой несжимаемой невязкой жидкости в результате действия на ее сво-
бодную поверхность импульса давления, сводится к нахождению потенциа-
ла скорости, применительно к которому и формулируется математическая
постановка задачи. Задача ставится так: необходимо определить потенциал
скорости ф (ф (х, у, z, /)) и давление р в любой точке области, ограниченной
свободной поверхностью (х, j, t).
13.3.2. Основные уравнения гидродинамической теории волн
Из предыдущих глав следует, что все кинематические и динамические
характеристики безвихревого движения жидкости определяются потенциа-
лом скорости ф. Для определения составляющих скорости жидкости имеем
бф дф Эф
и = —; и , = ; и = —. Подставляя проекции скорости жидкости в урав-
нение неразрывности (3.19) + + найдем, что функция ф
должна удовлетворять уравнению Лапласа (13.1):
345
Э2<р <Э2<р S2<p _ Q
дх2 + ду2 + dz2
(x,y,z~) еО.= {(x,y,z): % <00, у
оо, -оо < z < Q.
(13.1)
Знание потенциала (p позволяет вычислить все характеристики волново-
го движения, поля скорости и давления.
Для определенности решение уравнения Лапласа должно быть подчине-
но граничным и начальным условиям. Эти условия, как известно, могут быть
двух типов - динамические и кинематические.
Динамическое граничное условие - условие постоянства давления во всех
точках свободной поверхности. Если z = g(x, у, t) - уравнение свободной по-
верхности, то условие постоянства давления запишется в виде р = на
z = Дх. у. t). Известно, что при потенциальном неустановившемся движении
давление определяется с помощью интеграла Лагранжа (4.19):
д<Р ! Р»2
Р dt 2
+ pgz + /? = C(/).
Динамическое граничное условие вытекает из равенства давлений в точ-
ках свободной поверхности атмосферному р = ран может быть записано с
учетом интеграла Лагранжа:
-pgz = O.
(13.2)
Так как давление зависит от координат и времени, граничное условие на
свободной поверхности можно записать как
dp _ др + др dx др dy др dz
dt dt дх dt ду dt dz dt
Производные давления находятся из (13.2):
(13.3)
346
dx Эф dy Эф
Производные координат определяются как — = их - —-; — = иу = —;
dt дх dt у ду
dz д<о /1 о
— = uz - — . Подставляя все производные давления в (13.3) и группируя
dt dz
результаты по степеням потенциала скорости, можно получить динамичес-
кое граничное условие в виде
(13.4)
Это условие должно выполняться в точках свободной поверхности жид-
кости, т. е. при z = g(x, у, /).
Кинематическое граничное условие - условие равенства скорости пере-
мещения поверхности д(х, у, /) и нормальной составляющей скорости жид-
dc
кой частицы uz в точках свободной поверхности, т. е. uz = — при z = Ско-
dt
рость перемещения свободной поверхности можно представить в виде
dq дс> dq дс
локальной и конвективной производных — =-----------I--их +—и при
dt dt дх ду у
А Г- дф Эф Эф _
z = ух, у, t). С учетом того, что их - —-, иу = —, uz = —— (6.2), кинемати-
Эх у dy dz
ческое граничное условие запишется в виде
+ пРиг = ^(х,ьО. (13.5)
dz dt дх Эх ду ду
На твердых границах жидкого потока должно выполняться условие не-
протекания ^гайф = 0 на поверхностях S. В частности, если жидкость ог-
раничена плоским дном, z = -Я, то
— = 0 при z— Я. (13.6)
dz
Условие на бесконечности - потенциал - должен быть ограниченным, и
его производная стремится к нулю на бесконечности:
grackp < N = const при r - yjx2 + у2 + z2 оо, ф 0 при z -со. (13.7)
347
Кроме граничных условий (13.2)-( 13.7), потенциал скорости должен удов-
летворять начальным условиям задачи. Так как в общем случае волновое
движение неустановившееся, необходимо задать начальные условия, отра-
жающие физическую картину явления. Они состоят в задании области жид-
кости с границей z0(x,y) и начального поля скорости. Начальные условия
задаются в следующем виде:
приГ = 0из = 0 uQ = gradq>0 = 0, = (13.8а)
или
npHZ = 0Hz = 0 (р0 = /2(х,у), — = 0. (13.86)
dt
В первом из начальных условий (13.8а) движение жидкости возникает
вследствие заданной первоначальной деформации свободной поверхности
Второе из начальных условий (13.86) системы (13.8)
означает, что в начальный момент времени задан импульс давлений, прило-
женный к недеформированной свободной поверхности
<Ро = -—= •
кР )
Общая задача теории волн свелась к следующей краевой задаче мате-
матической физики: найти решение уравнение Лапласа (13.1) в нижнем
полупространстве, которое должно удовлетворять серии граничных и на-
чальных условий (13.2) - (13.8). Если в жидкости движется твердое тело,
то к вышеупомянутым условиям должно прибавиться условие непротека-
ния на теле.
Сформулированная задача является нелинейной и служит основанием
для разработки нелинейной теории волн конечной амплитуды. Математи-
чески эта теория чрезвычайно сложна. Уравнение Лапласа (13.1) решается
при нелинейных граничных условиях, которые должны выполняться на не-
которой неизвестной криволинейной поверхности Q (х,у, /), т. е. область, где
определяется потенциал скоростей, также неизвестна. Кроме того, вид сво-
бодной поверхности Q меняется со временем.
В последнее время наметились три основных подхода к решению нели-
нейной задачи гидродинамической теории волн. Чаще всего используются
идеи, развитые в теории возмущений - решение ищется в виде рядов по ка-
кому-либо соответствующему малому параметру. Второй подход заключа-
ется в преобразовании рассматриваемой задачи в другую, в которой область
определения решения фиксируется заранее. Это достигается переходом к
лагранжевым координатам. Данный метод в последнее время получил ши-
рокое распространение в связи с развитием численных методов. Наконец,
третий подход заключается в сведении нелинейной плоской задачи теории
348
волн в неизвестной области к эквивалентной задаче методом конформных
отображений в фиксированной области. В настоящее время появляются так-
же новые подходы к решению подобных задач.
Математические трудности решения задачи о гравитационных волнах
можно преодолеть, если воспользоваться свойствами волн, проиллюстриро-
ванными табл. 13.1. Из данной таблицы видно, что относительные высоты
волн малы (/z/Х равно в среднем 1/20). Вследствие этого оказываются малы-
ми углы наклона волновой поверхности (углы волнового склона — и — ) и
дх ду
скорости движения частиц. Эти предположения позволяют линеаризовать
нелинейную задачу (13.1) - (13.8).
Существуют два возможных подхода к линеаризации нелинейной систе-
мы (13.1)-(13.8). Первый - линеаризация на уровне физических рассужде-
ний. При рассмотрении волн малой амплитуды предполагается, что сама
аппликата составляющие скорости волнового движения их, иу. uz и их про-
изводные на свободной поверхности малы, так что их квадраты по сравне-
нию с первыми степенями являются малыми величинами более высокого
порядка. Нужно иметь в виду, что линеаризация нужна не во всем простран-
стве, а только на свободной поверхности, где
Второй подход - это линеаризация на уровне метода возмущений. Вводит-
ся характерный малый параметр задачи £ (например, £ = 2а/Х). Предполага-
ется, что искомое решение - потенциал вызванных скоростей и вид свобод-
ной поверхности являются функциями параметра е, т.е. (р = ф(х, у, /, е) и
Q у, t, е). Эти функции раскладываются в степенные ряды по малому
параметру £ и подставляются в условие (13.4) и (13.5).
Волны на свободной поверхности, у которых высоты значительно мень-
ше их длины, называются волнами малой амплитуды.
13.4. Постановка задачи линейной теории волн
Теория волн малой амплитуды предполагает, что высоты волн, составля-
ющие скоростей движения жидких частиц их. иу. uz и их производные на сво-
бодной поверхности - величины малые. Квадратами и высшими степенями
этих величин можно пренебречь. Тогда динамическое граничное условие на
свободной поверхности (13.2) перепишется в виде
6(р Л
-У + gq = 0 при z = <;,
dt
(13.9)
при линеаризации граничного условия.
349
Также упростится кинематическое условие (13.5); члены — и — , пред-
Л „ £'х дУ
ставляющие собой углы волнового склона, малы. Их произведение на ско-
5(р 5(р
рости —- и — дают величины малости второго порядка, которыми также
дх ду
можно пренебречь, и выражение (13.5) приобретает вид
S(p __ 6g
dz dt
(13.10)
Для волн малой амплитуды динамическое и кинематическое условия на
свободной поверхности (13.9) и (13.10) можно записывать при z = 0. Усло-
вие (13.9) позволяет найти уравнение свободной поверхности:
Q(x, у, f) =
1 (Э(р
-------при z = 0.
(13.11)
Вычисляя производную по времени — =--------2- при z = 0 и подставляя
dt g dt2
ее в кинематическое условие (13.10), получаем объединенное динамическое
и кинематическое граничное условие на свободной поверхности в соответ-
ствии с линейной теорией волн
62(р 6ф „ А
—y- + g—= 0 при z = 0. (13.12)
dt dz
Это же условие можно получить из (13.4) при линеаризации задачи.
Таким образом, задача о поверхностных волнах малой амплитуды сво-
дится к следующей краевой задаче математической физики: найти решение
уравнения Лапласа (13.1) при граничных условиях (13.12), (13.6) - (13.7) и
начальных условиях (13.8).
13.5. Линейная теория волн
13.5.1. Периодически повторяющиеся волновые движения жидкости
Одно из важных свойств волн - их периодичность. Во многих случаях
представляет интерес изучение периодических движений, на которых не
сказывается влияние начальных условий. Это имеет место, например, при
рассмотрении регулярного волнения. Потенциал (р таких периодически по-
вторяющихся движений, не зависящих от начальных условий, должен удов-
летворять уравнению Лапласа (13.1) и условиям (13.12) и (13.7).
Рассмотрим решение поставленной в предыдущем параграфе линеаризо-
ванной задачи о свободных волнах относительно малой амплитуды. Для опре-
деления потенциала (р используем метод разделения переменных Фурье, со-
гласно которому, <р может быть представлен в виде двух сомножителей:
ф(х, у, z, t) = ф](0<Р2(х’ У’ z)-
350
Здесь (pj(O - потенциал, зависящий только от времени, а (р2(х,у z) зави~
сит только от координат. Подставим это выражение в уравнение (13.12):
Ф1 ё Й>2
Ф1 Ф2 5z
или
Левая часть последнего уравнения есть только функция времени, а
правая зависит только от координат. Это равенство возможно лишь в том
случае, если обе его части тождественно равны постоянной величине, кото-
рую обозначим ±сг2. При этом для ф/О получим обыкновенное однородное
дифференциальное уравнение
Ф1 ± °2Ф1 = 0 •
Корни соответствующего характеристического уравнения х2 ± о2 = 0 при
знаке «плюс» равны Хц 2 = ± /о, а при знаке «минус» Xj 2 = ± <^. Первому слу-
чаю соответствует решение
л Jot . А ~i<5t
ф| — + Л2£ ,
выражающееся через тригонометрические функции, а второму - решение
вида
^=AxeQt + A2e-Qt.
Здесь Ах и Л2 - произвольные постоянные. Второе решение, выражаю-
щееся через показательные функции, приводит к тому, что при увеличении
времени потенциал (р неограниченно возрастает; кроме того, оно не облада-
ет свойством периодичности, т. е. не удовлетворяет условию на бесконечно-
сти (13.7). Первое решение описывает конечную периодическую функцию,
удовлетворяющую всем поставленным выше условиям. Заменяя постоян-
ные A j и Л2 новыми постоянными Л и и учитывая, что потенциал скорос-
ти - вещественная величина, запишем полученное решение в виде
Cpj = Лс08(о/+ £0.
С учетом последнего равенства, для суммарного потенциала <р получим
выражение
(р = ЛсО8(сУ/ + £j)(p2(x, у, z). (13.13)
13.5.2. Пространственные кольцевые волны
При отыскании элементарного решения ф2 для кольцевых волн, удовлет-
воряющего всем поставленным условиям, целесообразно уравнение Лапла-
са (13.1) записать в цилиндрической системе координат (г, 0, z), начало ко-
торой находится на свободной поверхности, а ось z направлена вертикально
вверх. Связь декартовой системы координат с цилиндрической: х = rcosO,
351
у = rsinO, z-z. Если учесть, что составляющие скорости в цилиндрической
Эф 1 Эф Эф
системе координат иг = —— ; = —- и uz = —, то уравнение Лапласа за-
дг г Э0 dz
пишется в виде
Э2ф Э2ф 1 Э2ф 1 Эф
Эг2 Эг2 г2 Э02 г дг
(13.14)
Для определения ф2 снова воспользуемся методом Фурье, где ф2 является
функцией координат z, 0 и г. Для кольцевых волн движение жидкости симмет-
рично относительно оси z. На этом основании искомое решение не будет зави-
сеть от угла 0, и функция ф2 может быть представлена в виде произведения
двух функций, одна из которых зависит только от г, другая - только от z:
ф2(х, z) = 7?(r)Z(z).
Подставив это выражение в уравнение Лапласа (13.14), получим
R"Z + RZ" + — = 0
Г
или
Z " R г R'
Последнее равенство может быть выполнено, если его левая и правая
части тождественно равны постоянной величине, которую обозначим ±к2.
Будем иметь при +к2 правую часть последнего уравнения в виде
R' 2
R" ----+ к R = Q. Этому уравнению типа Бесселя удовлетворяют два вида
г
решений - функции Бесселя нулевого порядка первого рода/0(£, г) и функ-
ции Неймана нулевого порядка N^(k, г), т. е. R = DJ^k. г) + D2NQ(k. г), где
Dx и D2 - неизвестные константы. Известно, что /0 при г 0 имеет ко-
нечное значение: /0 = 1; при г -> 0 устремляется к -оо. Исходя из усло-
вий конечности решения, константу Z)2 принимают равной нулю. Тогда
Л(г) = DxI^k, г).
Определение функции Z(z) с учетом вышесказанного выбора знака при-
водит к уравнению
Z"-A2Z = 0. (13.14,а)
Решение этого уравнения дает функцию Z в виде Z= Clekz + C2e-fe. Из
условия на бесконечности (13.7) константу С2 полагаем равной нулю. Тогда
функция Z = С^. Объединяя константы Dx и Сх в одну константу В, для ф2
получим окончательное решение в виде ф2 = Be^I^k, г). Окончательное ре-
шение для пространственных кольцевых волн типа стоячих с учетом (13.13)
запишется в виде
ф = Zcos(<yr + ь)еЧГ0(А;, г). (13.15)
352
13.5.3. Плоские стоячие волны
В качестве примера периодически повторяющихся движений рассмот-
рим плоские волны, т. е. такие, гребни которых L перпендикулярны плоско-
сти oxz. ось z направлена вертикально вверх; начало координат находится на
невозмущенной свободной поверхности. В любой плоскости, параллельной
плоскости оху\ картина волнового движения одинакова. Из рассмотрения
повторяющихся периодических волновых движений (13.13) ясно, что доста-
точно найти функцию ф2, ограниченную во всей жидкости, т. е. удовлетво-
ряющую условию на бесконечности, которая для плоских волн будет зави-
сеть лишь от х и z. Для отыскания функции плоских стоячих волн снова
применим метод Фурье, т. е. будем искать ф2 в виде произведения двух фун-
кций ср2 = X(x)Z(z). Подстановка этого соотношения в уравнение Лапласа
(13.1) приводит к дифференциальному уравнению Z¥" + XZ" = 0 или
X,r Zгг
— = — = +к2 , где к - константа.
X Z
Рассмотрим первое из получившихся уравнений Х” + к2Х = 0. У кон-
станты в последнем уравнении следует принимать знак «плюс», так как толь-
ко в этом случае будут удовлетворены условия на бесконечности и получа-
ется периодическое решение. Решение для функции X имеет вид:
X=B{elkx + B^e~lkx = Bs\r\k(x -х}). Второе уравнение Z”-k2Z = § (13.14а)
рассмотрено в предыдущем § 13.7, где получено решение Z(z) = Cxekz, И тогда
для функции ф2 запишем выражение ф2 = Cekzs\xvk(x -Х0, где константа
С = ВС\. Окончательно, потенциал плоских стоячих волн запишется
ф = Ce^zcos(ar + £)sin£(x-X]). Приняв Xj = 0 и £ = 0, что достигается пере-
носом начала координат в точку с абсциссой Xj и началом отсчета времени
£
с момента /0 = —, получим
ф = Ce4zcoscy/sin£x. (13.16)
В формуле (13.16) постоянные ст и к не являются независимыми. Связь
между ними можно установить с помощью граничного условия на свобод-
ной поверхности (13.12). Подставляя в него функцию ф, получаем
a2 = kg. (13.17)
Последняя формула дает связь между частотой волны о = — и частотой
т
, / 2л
формы или волновым числом к - —.
X
Определим вид профиля полученной волны. Для этого воспользуемся
зависимостью (13.11). Подставляя в нее (13.16), находим
1 Эф(х,0,/) Со .
g =------------=-----sincyZsinAx . (13.18)
Постоянный множитель при тригонометрических функциях здесь пред-
Со
ставляет амплитуду волны а =----. В данный момент времени, например
71 &
при t = — , уравнение поверхности жидкости представляет синусоиду
2а 2л
С = asinkx с длиной волны X = — .
к
Из (13.18) следует, что абсциссы точек пересечения волнового профиля
с осью х ( точки О. В. Вг\ где х = = 1,2 и т. д., не меняют своего
к
положения во времени. Эти точки называются узлами стоячих волн. Про-
филь волны не перемещается вдоль оси х, а лишь колеблется относительно
нее, т.е. относительно невозмущенной поверхности воды (рис. 13.2). В про-
межутках между узлами происходят колебания поверхности во времени по
синусоидальному закону с частотой ст. Исследуем траектории частиц жид-
кости в стоячих волнах. Проекции скорости частиц можно определить с по-
мощью потенциала скорости (13.16):
Эф dx kz
дх dt
= Се к cos Gt cos
Sep dz kz
dz dt
- Се к cos Gt sin kx.
(13.19)
Эти соотношения можно рассматривать как дифференциальные уравне-
ния, определяющие координаты х и z частицы во времени. Проинтегрировав
уравнения системы, получим
Ск kz .
х =—е 0 smetfeosAxo + С);
Ск kz . .
z = —е ° sinry/sinAxQ + С2.
(13.20)
Значения х0 и z0 соответствуют равновесному положению данной части-
цы. Постоянные интегрирования С, и С2 при t = 0 определяются из условия,
что в этот момент времени х = х0 и z = z0, т. е. Ц = х0, а С2 = zQ. Исключая
время из уравнений (13.20), находим уравнение траектории частиц
(13.21)
которое представляет семейство отрезков наклонных прямых линий с пара-
метрами х0, zQ. Для частиц, расположенных на свободной поверхности (z = 0)
и совпадающих с узлами х0 =
/г )
Ск kz
согласно (13.20), х ~~^е ° s^ncr^ • Это
означает, что они совершают колебания вдоль горизонтального отрезка оси
Ск
х с амплитудой — (рис. 13.2).
354
Рис, 13,2. Траектории жидких частиц
в плоской стоячей волне
13.5.4. Плоские прогрессивные волны относительно малой амплитуды
Для прогрессивных волн характерно перемещение их профиля в про-
странстве с течением времени. Пользуясь линейностью задачи о волнах от-
носительно малой амплитуды, сложим потенциалы двух стоячих волн, отли-
чающиеся по фазам на угол тг/2 и исследуем полученное выражение
(13.22)
Использовав (13.11), для профиля волны получим выражение
1 <Зф(х,0,/) /, a /теп
=-------------- = acos\kx-Gtj . (13.23)
g dt
Положения вершин и подошв волны соответствуют значению cos(Ax —
- су/) — ± 1, kx - су/ = т— (т - 0, 2, 4,..), откуда х -
2
ш су
т. е. абсцисса
вершины (или подошвы) перемещается вдоль положительного направления
оси х с постоянной скоростью
dx су л
с = — - — = —
dt к х
(13.24)
Между круговой частотой су и частотой формы волны к справедливо соот-
ношение (13.17): cy2 = g/v, откуда для скорости бега волны (фазовой скорос-
ти) получим выражение
с -
(13.25)
2 71
Из этой зависимости следует, что скорость бега гравитационных волн
зависит от их длины; это свойство называют дисперсией волн.
Определим траектории движения частиц жидкости в прогрессивной волне
для случая глубокой жидкости. Проекции скоростей частиц выразятся соот-
ношениями
uz
(13.26)
Обозначим через х() и z0 координаты равновесного положения частицы.
Полагая премещения частицы малыми и заменяя в правой части х на х0, z на
zQ, будем иметь
dx agk kz / \
— =----е ° cos(bcn - о/);
dt в v 7
dz agk L7 . / \
— =-----e " sin(Ax0 -cr/).
dt g v 7
(13.27)
Интегрируя (13.26) и используя (13.27), получаем
agk kz • (/ \ к7 • /, \
х = —у-е 0 sin(Ax0— Gt) + х0 = ае ° sin(Ax0-сгЛ + х0;
G
agk kz 11 \ kz (/ \
z -----—e 0 cos(Ax0 — Gt) + Zq = -ae ° cos(Axq - Gt) + z0.
G
Возводя левые и правые части в квадрат и почленно складывая, получа-
ем уравнение траектории в виде
(х-х0) +(z-z0) =1ае 11 . (13.28)
Рис. 13.3. Траектории жидких частиц
в плоской прогрессивной волне
356
Отсюда видно, что траектории имеют вид окружностей с радиусами ае (}.
Траектории частиц - замкнутые кривые. Частицы движутся по окружнос-
тям с периодом, равным периоду волны. Полная скорость орбитального дви-
жения частиц определяется
г/в
aSk „fe
----е =а<зе
СУ
(13.29)
У частиц, расположенных на поверхности (z = 0), радиус окружности,
по которой движутся частицы, равен ае^0
-а - амплитуде волны, а ор-
zo=O
битальная скорость ив = а<з. Отношение орбитальной скорости на поверхно-
сти волны (z = 0) к скорости бега волны с представится в виде
ао . 2ла .
—=------= ак =----, т. е. для волн относительно малой амплитуды « 1.
с су/к X
По мере удаления от свободной поверхности радиусы окружностей умень-
шаются по экспоненциальному закону. Так, при глубине погружения z() рав-
ной длине волны, радиус окружности в е2л раз, т.е. в 535 раз меньше ампли-
туды волны. Этим обстоятельством объясняется тот факт, что подводная лодка
или глубоководный аппарат при достаточной глубине погружения под сво-
бодной взволнованной поверхностью практически не испытывает качки.
13.5.5. Волны в жидкости ограниченной глубины
Рассмотрим картину волнообразования в жидкости конечной глуби-
ны в области DH = {(х, z): | х | < оо, -Н < z < 0}. Поверхность дна задается
уравнением z = -Н.
Если рассматривается область жидкости ограниченной глубины, то нуж-
но при интегрировании уравнения Z"-k2Z - 0 (13.14а) учитывать условие
на дне (13.6): — = 0 при z = -Я, где Н- глубина водоема. Выполнение это-
dz
го условия приводит к уравнению к(С\е~кн - С2екн) = 0. Имея одно уравне-
ние, можно неизвестные С) и С2 при любом значении к выразить через одну
новую постоянную, которую обозначим через С!2. Тогда = —екИ^
—е кН. Отсюда Схе кИ -С2екИ
В результате будем иметь
- Cchk(z + Я). Тогда потенциал (13.16) для сто-
ячей волны в жидкости ограниченной глубины запишется в виде
Ф = Ccos<5tsmkxchk(z + Я). Так же как и для глубокой воды, связь между су и
к можно установить с помощью граничного условия на свободной поверх-
ности (13.12). Тогда для волн в жидкости ограниченной глубины будем иметь
357
<32 = gkthkH, (13.30)
отличающийся от выражения для глубокой воды (13.17). Вид волнового
профиля стоячей волны на мелководье также представляет собой синусоиду:
CachkH . . ,
g =--------sinc/smAx , (13.31)
g
CvchkH
при этом амплитуда волны а =-------- отличается от амплитуды волны на
g
глубокой воде (13.18). Уравнение траектории частиц жидкости в стоячих вол-
нах на мелководье будет иметь вид
z - z0 = (х - jvo)tgAxoth£(zo + Н).
Потенциал прогрессивных волн в жидкости ограниченной глубины Н
запишется в виде
as chk(z + H) z ч
Ф =-------------sin (кх - су/) . (13.32)
су chkH
Между круговой частотой с и частотой формы к волны в жидкости
ограниченной глубины справедливо соотношение (13.30): с2 = gkthkH, от-
куда для скорости бега волны (фазовой скорости) получаем выражение
сн = . (13.33)
V к N2л X
Из этой зависимости следует, что скорость бега гравитационных волн,
так же как на глубокой воде, зависит от их длины; это свойство называют
дисперсией волн.
Рассмотрим два предельных случая.
1. Глубина водоема большая Н -> оо и fhkH = 1; тогда фазовая скорость с
I су I
равна с = J— = J— . Эта формула дает значения фазовой скорости плос-
V к V 2л
ких прогрессивных волн на глубокой воде.
2. Глубина водоема мала, Н/к -малая величина. Тогда можно считать
thX/7 ® кН', при этом
c = , (13.34)
т. е. в случае предельного мелководья скорость распространения волн не за-
висит от их длины. Такая скорость называется критической скоростью на
мелководье. Критическая скорость является предельной, при данной глуби-
не Н волны с большей скоростью по ее поверхности распространяться не
могут.
Траектории жидких частиц в прогрессивных волнах на мелкой воде пред-
ставляют собой эллипсы, вытянутые в направлении перемещения волново-
го профиля (рис. 13.3). Время обращения частицы равно периоду волны.
358
Уравнение траектории жидких частиц в прогрессивной волне на мелко-
водье имеет вид
В прогрессивных волнах малой амплитуды частицы движутся по замк-
нутым траекториям, и переноса жидкости в направлении распространения
волн не происходит. Это явление наблюдается и в действительности.
Существенно отметить, что в рамках линейной теории волн высота вол-
ны h и амплитуда а = h/2 не определяются, а должны быть заданы из допол-
нительных условий - экспериментального характера. Так, для развившейся
волны зыби в открытом море можно указать на эмпирическую формулу
М. Циммермана
/г = 0,17Х3/4.
Отметим важный имеющий практическое значение факт: формулы, по-
лученные для характеристик прогрессивных волн на глубокой воде с доста-
точной степенью точности (погрешность порядка 1 %), можно применять и
для жидкости ограниченной глубины, если она превышает половину длины
волны: Н> Х/2.
13.6. Группы волн. Энергия волн
13.6.1. Группы волн. Групповая скорость
Как было показано выше, скорость распространения профиля прогрес-
сивных волн зависит от их длины. Морские ветровые и другие вынужден-
ные волны обычно представляют итог наложения элементарных волновых
систем с близкими характеристиками. Ввиду дисперсных свойств волнения
можно ожидать, что различные составляющие нерегулярной морской вол-
новой поверхности с течением времени разобьются на отдельные группы,
которые будут иметь близкие частоты (длины) и двигаться с примерно рав-
ными скоростями. Рассмотрим простейший случай подобного наложения
двух прогрессивных волн, амплитуды которых равны, а частоты близки, но
различны, т. е. кх - к2 = Д£, Oj - сг2 = Используя принцип наложения
потенциалов (13.22), находим
Результирующий волновой профиль, соответствующий этому потенци-
алу, определится по формуле (13.11): = afcos^x - + cos(£2x - сг2г)].
Применяя формулу преобразования суммы косинусов, получаем
359
(кл + ky cji + суо (кл-ку с, — су9
g=2аcos —----—х---1----t cos —---—х---1----t
I 2 2 ) < 2 2 J
(13.35)
Итог наложения представляет систему прогрессивных волн. В дан-
ный момент времени, например при t = 0, волновой профиль
g = 2я cos
и имеет максимальную амплитуду 2а.
Рис. 13.4. Волновые пакеты
Этот профиль, изображенный на рис. 13.4, представляет наложение ко-
4л
лебаний длиной Х =-------- на длинноволновое колебание длиной
_ 4л + к2
к\ ~ к2
Таким образом, результирующий профиль описывается произведением
двух косинусоид, одна из которых меняется вдоль оси х очень медленно с
частотой Д£/2, другая - гораздо быстрее с частотой к. равной среднеарифме-
тическому частот кх и к2. На рис. 13.4. видно, что на участках оси абсцисс,
равных L/2, отдельные короткие волны образуют своеобразные группы волн,
или волновые пакеты. Значения максимальной амплитуды отдельной волны
внутри пакета 2а. Между двумя соседними пакетами поверхность воды поч-
ти спокойна. Каждая волна в составе группы движется со скоростью
с - Если учесть, что а, ® су9 « а и к} ® к0 « к. то скорость волн в
£1 + к2
группе определится обычной формулой с - —. Скорость перемещения груп-
к
пы, т. е. волнового пакета U -
~а2
к\ ~к2
или с учетом близости составляю-
щих частот
d<5
dk
(13.36)
360
Величина U называется групповой скоростью волн. Учитывая дисперси-
онное соотношение (13.17), получаем выражение для групповой скорости
1 /7
U = — л — . Поскольку, согласно (13.25), фазовая скорость прогрессивной вол-
2 V к
ны с = , групповая скорость U= с/2, т. е. отдельные волны в группе дви-
жутся на глубокой воде в два раза быстрее, чем вся группа. Установим связь
между групповой скоростью и скоростью волн в группе, пользуясь форму-
лой для волн в жидкости конечной глубины. Исходя из зависимости между
су и А: (13.30), находим
= — UgktiikH) = (thkH + -
dk^ > 2\kXhkH\ ch2 кН
или
j_ IgthkH ( 2kH A
2 v к I +sh2£H>
Так как скорость распространения волн на поверхности жидкости ко-
_ IgthkH
нечнои глубины с =, ------, следовательно,
V &
। 2кН л
2 у sh2kHy
(13.37)
Поскольку 2кН < sh2kH, то ясно, что групповая скорость U обычно мень-
ше скорости распространения волн, составляющих группу. Наблюдателю ка-
жется, что волны зарождаются у края группы, пробегают к другому краю в
сторону движения группы, но с большей скоростью и там гаснут. Лишь на
предельном мелководье, когда с - yJgH, sh2kH- 2кГ1, групповая скорость U= с.
Подчеркнем, что отличие групповой скорости распространения волн U
от фазовой скорости с будет только в том случае, когда скорость распростра-
тт - тт d®
нения волн зависит от их длины. Действительно, U - —. но, согласно
dk
> 2л пр б7(с/Х) kdc-cdk тт _ de
(13.24), су = кс = —с . Тогда U = -4---=------------ или U = с-X—.
X б7(1/Х) -dk dk
Поскольку dc/dk > 0 [скорость волны растет с увеличением длины (13.24),
(13.25)], то U< с и отдельные волны в пакете движутся быстрее группы.
13.6.2. Энергия волн малой амплитуды
Рассмотрим сначала пространственный случай волнового движения, а за-
тем перейдем к частному случаю - энергии плоской прогрессивной волны.
Пусть на свободной поверхности тяжелой невязкой жидкости огра-
ниченной глубины в направлении оси ох перемещаются прогрессивные
361
волны малой амплитуды. Движение жидкости безвихревое, потенциал ско-
рости ф функция координат х, у, z и времени t. Будем вычислять энергию
в конечной области, ограниченной длиной волны X, глубиной воды Н и
единичным размером в направлении оу. Полная энергия волны Е в рас-
сматриваемом объеме жидкости, который обозначим Wh, будет состоять
из кинетической энергии Т движения отдельных частиц жидкости и из
потенциальной энергии П, образующейся вследствие того, что центр тя-
жести объема жидкости при волновом движении смещается по отноше-
нию к равновесному состоянию.
Кинетическая энергия жидкости, участвующей в волновом движении
где М- масса жидкости в объеме Wh; и - скорость жидких ча-
стиц. Здесь М - р j dxdydz} =
w,
и
Следовательно, Т -
dxdydz.
Потенциальная энергия колеблющейся жидкости в объеме Wh может
быть вычислена по формуле П = MgzQ = pg j zdxdydz. Таким образом, пол-
ная энергия
(13.38)
Выражение энергии Е можно записать в ином виде, если воспользо-
ваться интегралом Лагранжа (4.19). В данный момент времени в интегра-
ле Лагранжа С(/) равно нулю, тогда
Подставляя последнее выражение в (13.38), получаем
dxdydz.
(13.39)
Вычислим перенос энергии волн малой амплитуды. Для этого опре-
dE
делим изменение энергии во времени —
dt
Учтем, что область интегри-
362
рования Wh необязательно фиксирована, в общем случае Wh зависит от
времени. Из курса матанализа известно, что, если какая-то функция А
равна | f (x,y,z,t)dxdydz , то — = j—dxdydz ч- ^fundS . где ип - нормаль-
w w s
ная скорость границы 5* области W, п - внешняя нормаль к 5*.
Вычислим теперь —. При этом в качестве функции f в формуле для
dt
— примем в первом интегральном слагаемом последнего выражения Е
dt
по (13.38), а во втором слагаемом по (13.39):
dE
— u„dS.
dt J”
К первому интегральному слагаемому применим формулу Остроград-
ского и после небольших преобразований в результате получим
(13.40)
Полученное выражение для
dE г
—, представляющее собой перенос энер-
dt
гии, эквивалентно потоку энергии через поверхность 5. Отметим, что по-
ток энергии через свободную поверхность равен нулю, так как избыточ-
ное гидродинамическое давление р = const = 0; ип - —. Если обозначить
дп
неподвижную в пространстве S через SF, то ип = 0. Тогда поток энергии F
определится выражением
(13.41)
13.6.3. Энергия плоской прогрессивной волны
Рассмотрим теперь частный случай энергии прогрессивной волны ма-
лой амплитуды. На основании общего решения, полученного в предыду-
щем параграфе, вычислим полную энергию для объема жидкости ABCD.
ограниченного длиной волны X (АВ). дном водоема DC и двумя попереч-
ными сечениями AD и ВС. находящимися в местах расположения вер-
шин волн (рис. 13.5).
363
Рис, 13.5. К вычислению энергии
плоской прогрессивной волны
Кинетическая энергия плоской волны
Для определения кинетической энергии можно также воспользоваться фор-
мулой (12.10), определяющей ее величину при безвихревом движении тела.
В случае плоских прогрессивных волн область интегрирования 5 в формуле
(12.10) представляет собой объем ABCD. Часть интеграла в формуле (12.10)
на участке CD равна нулю, так как при z = -Н нормальная составляющая
скорости — = 0 в силу условия непротекания твердой стенки. Интегралы
дп
вдоль вертикальных отрезков AD и ВС в сумме также дают нуль, поскольку
фаза движения частиц, а следовательно, и значения подынтегральной функ-
ции на этих участках одинаковы, внешние же нормали имеют противопо-
ложные направления (т.е. значения
Эф
дп
равны по величине, но противопо-
ложны по знаку). С учетом сделанных замечаний находим, что
dS. Ввиду малости относительной амплитуды волны интегри-
АВ
рование по действительному криволинейному участку ее профиля заменим
интегрированием по отрезку АВ оси ох, а нормальную производную в точ-
ках свободной поверхности вычислим как
Эф
dz
. В
z=0
результате получим
dx. Подставляя сюда значение потенциала плоской про-
грессивной волны (13.32) и вычисляя производную по z при z = 0, находим
364
Т [ 5 ——sin2 (hr-а
2 a2 chkH
\\-CGs2(kx-Gt\ X
, a также что
согласно (13.30), \hkH = —, получаем
kg
T = ^-X
4
(13.42)
Потенциальную энергию волны вычислим как избыточную по отноше-
нию к энергии равновесного состояния. Вес элементарного объема жидко-
сти участка плоской волны длиной dx и текущей высотой равен pgi/Zx,
возвышение его центра тяжести над невозмущенной свободной поверхнос-
тью есть <^/2. Следовательно, потенциальная энергия этого элементарного
объема жидкости равна pg(^2/2)(7x. Зная ее, находим потенциальную энер-
Pg Г 2
гию жидкости, приходящуюся на длину волны П = — k dx. Интегрируя, с
2 о
учетом (13.23) получаем
п = pgq2^
4
(13.43)
Как следует из формул (13.42) и (13.43), кинетическая и потенциальная
энергии плоских прогрессивных волн относительно малой амплитуды рав-
ны между собой и с течением времени не меняются. Заметим, что эти фор-
мулы справедливы и для жидкости бесконечной глубины. Суммарная энер-
гия волн, приходящаяся на участок протяженностью, равной длине волны X,
равняется
2
(13.44)
Эта формула имеет важное значение в спектральном методе изучения
морских волн.
Рассмотрим теперь процесс переноса полной механической энергии плос-
кими прогрессивными волнами. Для этого рассчитаем поток энергии F, пе-
реносимый жидкостью за время, равное периоду волны т, через неподвиж-
ное сечение ВС (см. рис. 13.5). На основании выражения для потока энергии
2л
(13.41) можно определить поток энергии F за время т - — через фиксиро-
365
t+T
ванную в пространстве поверхность SF. F = р J
t
dt дп
dt. Поверх-
ность SF выберем в виде единичной полосы, перпендикулярной направле-
нию бега волны, т. е. перпендикулярной ох.
Следовательно, направление нормали к SF совпадает с положительным
Сер дю „
направлением оси ох, т. е. — = —. Элемент поверхности dS будет равнять-
ся дх
ся dz. Тогда поток энергии F =
dt. Подставляя выраже-
ние потенциала плоской прогрессивной волны (13.32) и вычисляя производ-
ные по времени и по х, получаем
2 2,
a g кр
GchkH
/ + 2я/СТ
i с°§2
t
О
(kx-Gt)dt j ch2k[z + H^dz.
Первый интеграл вычисляется на одной длине волны х = Х =—
к
Г+2л/(У
| cos2
t
2л
Второй интеграл вычисляется по
глубине
о
j ch2£(z + H^dz =
—sh2A;(z + /7)
4к
- — + — • sh2kH.
2 4к
Следовательно, поток энергии F через вертикальную полосу единичной
ширины за время, равное одному периоду колебаний т,
F = Pga
gk т ( Н
<зс\л2 кН 2^2
+—sh2kH
4к
Учитывая, что су = ^gkthkH (13.30) и sh2kH = 2shkHchkH, окончательно
получаем
< 2кН
\sh2kH
(13.45)
Ранее в § 13.6.1 было найдено значение групповой скорости на мелкой
воде (13.37). Следовательно, поток энергии за период т через вертикальную
полосу, согласно (13.37), может быть записан как
(13.46)
366
Средний поток энергии за единицу времени — определится
. pg6z2
ср 0
(13.47)
Среднее значение энергии, приходящейся на единицу длины волны со-
2
гласно (13.44), можно записать в виде - —^а . Сопоставляя значения
2
Fcp и Еср можно видеть, что
Fcp = £cp^ (13.48)
Последнее выражение показывает, что энергия волнового движения пе-
реносится в направлении распространения волн в среднем со скоростью U,
т.е. с групповой скоростью, которая для глубокой воды равна половине фазо-
вой скорости.
13.7. Особенности плоских прогрессивных волн конечной
амплитуды
В предыдущих параграфах изучались свойства прогрессивных волн от-
носительно малой амплитуды, т. е. определялись решения линейной гранич-
ной задачи.
Рассмотрим теперь, какие особенности вносит в волновое движение ко-
нечность амплитуд колебаний. Это проявляется при учете нелинейных чле-
нов в граничном условии на свободной поверхности жидкости (13.4). Не
останавливаясь на решении задачи, рассмотрим ее основные результаты,
полученные с точностью до величин второго порядка малости включитель-
но. После ряда преобразований для вида волновой поверхности волны ко-
нечной амплитуды получаем формулу
1 2
с = tzcosEr+ — ка cos2Er .
2
(13.49)
На рис. 13.6 изображен профиль, соответствующий виду (13.49).
Рис. 13.6. Плоская прогрессивная волна
конечной амплитуды
367
Видно, что во втором приближении профиль будет симметричным отно-
сительно вертикальных прямых, проходящих через вершины и подошвы
волны, но несимметричным относительно уровня невозмущенной свобод-
ной поверхности. Экстремум имеет абсциссы х ---9 где т = 0, 2, 4... со-
к
ответствуют вершинам, а т = 1, 3, 5... - подошвам волны. Легко найти, что
ординаты профиля, определяющего соответственно вершину и подошву вол-
ка2 ка2
ны равны а + —^~ и а——, т. е. волна конечной амплитуды поднимается
над средним уровнем свободной поверхности больше, чем опускается. Кро-
ме того, ширина поднятой над невозмущенным уровнем части волны уже,
чем ширина опущенной.
Следовательно, волны конечной амплитуды имеют более высокие заост-
ренные вершины и более мелкие пологие ложбины, чем волны относитель-
но малой амплитуды. Проведя выкладки, аналогичные выполненным, мож-
но определить траектории жидкой частицы в прогрессивных волнах конечной
амплитуды:
х - = 6ze^z° sin - а/) + к2 a2 cte2kZ{};
z-z0 = aekz" cos(Axq - а/).
(13.50)
где х0, z0 - начальные координаты жидкой частицы.
В отличие от прогрессивных волн малой амплитуды каждая частица
волн конечной амплитуды, кроме колебаний вокруг некоторого среднего
положения совершает также поступательные движение в направлении бега
волны, т. е. траектории частиц уже не будут замкнутыми (сравнить с фор-
мулой 13.28).
Таким образом, распространение волн конечной амплитуды в отличие от
волн относительно малой амплитуды сопровождается переносом массы жид-
кости в направлении движения. Дифференцируя первое уравнение системы
(13.50), легко найти скорость этого переноса
I--- 2лг0
и =k2a2ce2kz° =а2. —е к
A \ I
V 2п
(13.51)
Поступательное движение жидкости тем заметнее, чем крупнее и круче
волны. С погружением под свободную поверхность оно быстро затухает, т. е.
перенос массы жидкости при ее волновом движении сугубо приповерхност-
ное явление. s
Остановимся на некоторых других особенностях волн конечной ампли-
туды. Связь между фазовой скоростью волны конечной амплитуды с и
частотой формы к = 2л/Х, вытекающая из граничного условия на свободной
поверхности, несколько изменяется у волн конечной амплитуды:
368
(13.52)
Таким образом, скорость распространения прогрессивной волны зави-
2а
сит не только от ее длины, но и относительной высоты —.
тл
Используя схему расчета полной механической энергии прогрессивных
волн, изложенную в подпараграфе 13.6.3, и проведя выкладки с точностью
до третьего порядка малости, находим, что кинетическая энергия волн ко-
нечной амплитуды, приходящаяся на единицу длины будет
r = Pg^/1 + k2a2\ (13.53)
4 \ '
а их потенциальная энергия -
n=£gAfi+lpo2'|
4 < 2 )
(13.54)
Следовательно, кинетическая энергия прогрессивных волн конечной
амплитуды (13.53) превышает потенциальную энергию (13.54).
В заключение отметим, что все поправки к зависимостям линейной тео-
рии, связанные с учетом конечности амплитуды волны, пропорциональны
ка = ав, т. е. максимальному углу волнового склона ав и его высшим степе-
ням. Поэтому переход к нелинейной теории имеет смысл только в случае
достаточно крутых волн. Крутизна волны ограничена степенью устойчивос-
ти формы поднятой ее части. Существует предельная форма с острой вер-
шиной, достигнув которую волна теряет устойчивость и разрушается. Это
предельная форма была исследована Стоксом. Он показал, что угол между
касательными к волновому профилю в верхней точке предельной волны ра-
вен 120 °, а максимально возможная относительная высота волны равна
2а 1
— - —. Фазовая скорость с такой предельной волны на 12 % больше скоро-
сти волны той же длины, но относительно малой амплитуды.
Небольшая разница в результатах при переходе от линейной теории к
нелинейной не оказывает существенного влияния на описание отдельной
прогрессивной волны. Однако при сложении нескольких прогрессивных волн
конечной амплитуды учет их нелинейного взаимодействия приводит к су-
щественным поправкам.
13.8- Вынужденные волны при движении точечного источника
возмущений
В предыдущих параграфах рассматривались свободные волны без учета
причин, вызвавших волновое движение. Определим волновое движение,
369
возникающее под действием возмущений заданного типа, приложенных к
жидкости в начальный момент времени. Задача о нахождении потенциала
волнового движения, удовлетворяющего кроме уравнения Лапласа, гранич-
ных условий также начальным условиям задачи называется общей задачей
теории волн. Впервые решение этой задачи было разработано Коши и Пуас-
соном [13.2].
Начальные условия теории волн сформулированы в § 13.4 (см.(13.8)).
Причиной возникновения реального волнового движения является импульс
давления, возникающий вследствие действия порывов ветра или приклады-
ваемый к жидкости в каждый момент времени носовой оконечностью дви-
жущегося корабля.
Рассмотрим пространственную задачу Коши-Пуассона. В начальный
момент времени t = /0 к жидкости прикладывается некоторый импульс дав-
ления. Возникающее от действия этого импульса движение жидкости без-
вихревое, т. е. потенциальное, а волны на поверхности считаются волнами
относительно малой амплитуды. Начало системы координат oxyz, как и в
предыдущих параграфах, размещается на свободной поверхности в невоз-
мущенном состоянии, ось z направлена вверх.
Ранее было получено частное решение пространственного волнового
движения. Найдем теперь более общее решение этой задачи. Рассмотрим
решение уравнение Лапласа в виде непрерывного спектра волн по частоте
формы к. Тогда выражение для потенциала (13.15) можно представить в бо-
лее общем виде
оо
cp(x,y,z)= (13.55)
О
где А (к) - амплитудный множитель. Потенциал ф в виде (13.55) удовлетво-
ряет всем граничным условиям и первому из начальных условий - типа
(13.8а). Для того чтобы удовлетворить второму начальному условию (13.8а)
при t = 0, z = О
где г - ух2 + у2 , представим функцию /(г) в виде интеграла Фурье по функ-
циям Бесселя (формула Фурье-Бесселя)
00 00
Вычисляя производную
(Эф
dt /=о ’
z=0
из второго начального условия типа
(13.8а), получаем интегральное уравнение вида
370
00 00 00
откуда определяется амплитудный множитель
оо
О
Тогда искомый потенциал, удовлетворяющий всем граничным условиям
и начальным условиям типа (13.8а), будет иметь вид
00 . 00
ф = \kekz/()(k,r)^^-dk f/(r1)70(/c,rl)r16/r1.
О G О
(13.56)
Волновой профиль определится выражением
00
[/(/] )/0(Л,г1)г1(/Г|.
(13.57)
О
Эти решения характеризуют систему кольцевых волн, распространяю-
щихся от центра возмущения по поверхности жидкости.
Если возмущение поверхности сосредоточено в малой окрестности око-
ло начала координат, то /0(Л, « 1,
оо £
a j/(zj) /0 (£, т\ У\сЬ\ = -g (и ) r\dt\ ~-- , где Q - объем начального воз-
о о 2к
вышения жидкости над свободной поверхностью, а 8 - радиус малой окруж-
ности вокруг начала координат. Вид свободной поверхности в этом случае
определится
(13.58)
Асимптотическая формула для вида волновой поверхности пригодная
Щ2 /г
для больших значений параметра -—, после некоторых преобразовании
г
может быть получена в виде
(13.59)
Решение задачи с начальными условиями типа (13.86), т.е. когда в на-
чальный момент задан импульс давления, может быть получено с использо-
ванием уже найденных результатов. Если в области вокруг начала коорди-
нат приложен импульс давления в виде
371
00
Jf(r,)rfr, =--—,
о 2“P
где П - полный импульс давления, приложенный к жидкости, то потенциал
вызванных скоростей будет иметь вид
П
(р =---— [coscyfe^/o (k,r}kdk,
2ЛР()
(13.60)
а ординаты волн
1 5<р _ Псу
g dt 2 л pg
00
jsingIIq (k,r)kdk.
0
(13.61)
При больших значениях t или малых г асимптотическое выражение для
вида волновой поверхности примет вид
(13.62)
При перемещении тела со стороны его поверхности к жидкости прила-
гаются импульсы давления, создающие вызванные скорости и волнообразо-
вание на свободной поверхности.
Качественное представление о картине волнообразования при движе-
нии тела можно получить, если исследовать вид волн, возникающих при
движении местного импульса давления П с постоянной скоростью и по по-
верхности бесконечно глубокой жидкости [13.2]. Для выяснения картины
волнообразования, создаваемой перемещающимся импульсом давления,
можно использовать формулу (13.62). В произвольной точке свободной по-
верхности жидкости М (рис. 13.7), находящейся в плоскости хоу, волнооб-
разование создается за счет сложения концентрических волн, приходящих в
точку М при последовательном перемещении импульса вдоль оси х. Главная
часть этого возмущения возникает от тех концентрических волн, которые,
приходя в рассматриваемую точку М, имеют одинаковые фазы. Волны с раз-
личными фазами будут погашать друг друга. Впервые теоретическое реше-
ние волнообразования, вызванного движущимся по поверхности жидкости
импульсом давления, было получено Кельвином. Он показал, что угол зоны
максимального распространения волны 20 составляет 38°56'.
При перемещении импульса давлений по поверхности жидкости создают-
ся две системы волн: поперечных и расходящихся. При движении на глубокой
воде угол зоны распространения волн £ не зависит от скорости, его величи-
на остается постоянной. При движении на мелкой воде угол волновой зоны
зависит от величины отношения скорости перемещения импульса и к крити-
ческой фазовой скорости волн на мелкой воде скр = Jgh . При и = скр = yfgh
перед импульсом возникает и остается одна волна с углом £ = 90 °.
372
р=19°28'
Рис, 13.7. Качественная картина
корабельных вынужденных волн
Указанная картина наблюдается при движении судов на мелководье и
мелководных каналах.
13.9. Постановка задачи о волнообразовании
и гидродинамических силах при движении судов и аппаратов
При движении судов, пересекающих свободную поверхность или
подводных аппаратов вблизи свободной поверхности, на ней возника-
ют волны.
Рис. 13.8. К постановке задачи
о волнообразовании
Механизм возникновения вынужденных (корабельных) волн тот же, что
и рассмотренный в § 13.13. Появление на свободной поверхности системы
корабельных волн приводит к перераспределению гидродинамических
давлений по поверхности движущегося тела S по сравнению с таковыми
373
при движении без волнообрзования. Интегрирование волновых давлений
по поверхности тела S определяет гидродинамическую силу волновой при-
роды, действующую со стороны жидкости на тело. Эта сила пропорцио-
нальна энергии, затраченной на волнообразование. Даже при движении тела
с постоянной скоростью на тихой воде (рис. 13.8) тело будет испытывать в
невязкой жидкости силу волнового сопротивления, если оно возбуждает
волны на свободной поверхности. Определение сил волновой природы, а
также вида вынужденных волн в зависимости от формы тела, скорости и
других условий его движения является важной проблемой гидродинами-
ки. Она имеет большое значение при исследовании движения различных
типов судов и при их проектировании. Решению этой проблемы посвяще-
но большое количество работ и монографий [13.2-13.6]. Особенно важ-
ным в настоящее время является разработка численных методов оценки
волнового сопротивления судов [13.7].
При изучении сил волновой природы, как и в общей теории волн, движе-
ние жидкости предполагается потенциальным.
Ограничимся рассмотрением движения судов и аппаратов с постоянной
скоростью (см. рис. 13.8). Высоты вынужденных волн, вызываемых движе-
нием тела, будем полагать малыми по сравнению с их длинами. Это позво-
лит в дальнейшем получить линейную теорию вынужденных волн. Отме-
тим, что допущение о малости относительных высот волн справедливо для
тела произвольной формы, если оно движется достаточно глубоко под сво-
бодной поверхностью. Для тела, движущегося по поверхности жидкости,
вообще говоря, линейная теория не справедлива, так как граничное условие
непротекания на поверхности судна противоречит предположению о мало-
сти вызванных скоростей на свободной поверхности. В настоящее время
интенсивно разрабатываются нелинейная теория и численные методы опре-
деления волнового сопротивления судов. Линейная теория может быть ис-
пользована, если вносятся дополнительные предположения о форме судна.
Основные допущения линейной теории волн можно использовать для удли-
ненных или тонких тел.
Воспользуемся принципом обратимости, т.е. рассмотрим обтекание не-
подвижного судна или тела, расположенного под свободной поверхностью
жидкости потоком со скоростью на бесконечности перед телом =
Начало системы координат xyz находится на невозмущенной свободной
поверхности (см. рис. 13.8). Задача об обтекании тела и волнообразова-
нии будет решена, если найден потенциал Фо относительного движения
жидкости. В этом движении потенциал не зависит от времени, а вынуж-
денные волны неподвижны относительно выбранной системы координат.
Потенциал Фо удовлетворяет уравнению Лапласа (13.1) и состоит из сум-
мы потенциалов параллельного потока и потенциала ср вызванных скоро-
стей:
Фо = -Гох + Ф(х’^2)- (13.63)
374
Искомый потенциал ф также должен удовлетворять уравнению Лапласа
(13.1).
Для решения этого уравнения необходимо сформулировать граничные
условия. Вдоль поверхности тела S соблюдается условие непротекания
или
— = F00cos(«,x) HaS. (13.64)
on
На свободной поверхности жидкости соблюдается условие постоянства
давлений р =pQ. Записав интеграл Эйлера для точек, расположенных на по-
верхности жидкости далеко впереди тела, где волны отсутствуют, и в месте
расположения тела, где z = g, получим
Учитывая, что и = \ и = — , uz =— к пренебрегая квадра-
дх У ду dz
тами вызванных скоростей, имеем
(13.65)
g дх
Кинематическое граничное условие на свободной поверхности несколь-
ко отличается от условия (13.10), поскольку в обращенном движении сво-
бодная поверхность является поверхностью тока. Тогда составляющая ско-
рости
д
Учитывая, что для жидкой частицы
dx
dt ’
и пренебрегая в
этой постановке произведениями малых величин, получаем запись кинема-
тического граничного условия
(13.66)
Вычисляя производную — из (13.65) и подставляя ее в (13.66), находим
дх
объединенное граничное условие для потенциала на свободной поверхнос-
ти в форме
375
2
д ф _ g Эф
з ПрИИ = О
дх2 V2 dz р
(13.67)
Кроме этого, должны выполняться условия на бесконечности (13.7) или
на дне водоема (13.6). Для обеспечения единственности решения задачи, т. е.
для исключения возможности наложения на решение свободных волн, по-
тенциал которых также удовлетворяет граничным условиям (13.67) и (13.7),
необходимо потребовать, чтобы далеко впереди тела вызванные скорости
отсутствовали, т. е.
Ф = 0 при х -> оо. (13.68)
Необходимость удовлетворения условия (13.68) объясняется тем, что в
решении большинства задач о движении тел под свободной поверхностью,
точнее в их математическом результате, могут иметь место свободные вол-
ны, которые вносят некоторую неопределенность. В самом деле условие
постоянства давления будет соблюдаться на свободной поверхности жидко-
сти и при добавлении к найденному движению некоторого произвольного
волнового движения, удовлетворяющего также граничным условиям. Эти
посторонние волны могут быть устранены из решения задачи двумя следу-
ющими путями:
1) выполнением оценки полученного решения на бесконечности перед
телом при х -» оо, выделением потенциала свободных волн и добавлением в
окончательное решение слагаемых, гасящих эти волны.
2) устранением свободных волн путем добавления к действующей силе
тяжести малых (гасящих) сил трения, рассеивающих энергию. Это так на-
зываемые диссипативные силы. Тогда граничное условие (13.67) записыва-
ется в несколько ином виде:
а2Ф g dtp Эф _
дх2 V2 dz дх
при 2=0,
(13.67а)
где ц - коэффициент диссипативных сил.
Устремляя к нулю коэффициент рассеивающих (диссипативных) сил в
окончательном решении, т. е. совершая предельный переход, исключаем
лишние волновые движения. Этот прием решения волновых задач был пред-
ложен Рэлеем.
Таким образом, решение задачи о волнообразовании и гидродинамичес-
ких силах при движении судов или погруженных аппаратов под свободной
поверхностью (см. рис. 13.8) сводится к интегрированию уравнения Лапла-
са (13.1) для функции ф при выполнении граничных условий (13.64), (13.67),
(13.68), (13.7) в случае глубокой воды. Ординаты свободной поверхности
могут быть найдены с помощью (13.65), давления в любой точке можно оп-
ределить, пользуясь интегралом Эйлера. Преимущество линейной теории
состоит в том, что при нахождении функции ф можно применять принцип
наложения простейших решений.
376
13.10. Определение гидродинамических сил при обтекании
тел под свободной поверхностью жидкости
При теоретическом исследовании обтекания вблизи свободной поверх-
ности, как и обтекания в неограниченной жидкости, используется метод за-
мены тела гидродинамическими особенностями, например, источниками,
стоками. В связи с этим целесообразно предварительно изучить обтекание
пространственного источника под свободной поверхностью глубокой жид-
кости.
Для решения задачи об обтекании пространственного источника с ин-
тенсивностью 2, расположенного в точке с координатами x^y^z} под сво-
бодной поверхностью, необходимо найти потенциал ф(х, у. z), удовлетворя-
ющий всем выше перечисленным условиям. Учитывать граничное условие
(13.64) на поверхности тела в данном случае нет необходимости. Известно,
что потенциал источника в неограниченной жидкости
= Q 1 = Q
4Л Г -х})2 + (у-уУ +(z-zif
Для источника, расположенного под свободной поверхностью, можно
записать потенциал волнообразующего источника в виде
Q г( А
Ф = —-G(x,^,z),
4л
где G может быть представлено в виде
<7 = - + G,. (13.69)
Г
Функция G] учитывает влияние свободной поверхности и, в свою оче-
редь, удовлетворяет уравнению Лапласа. Подставляя выражение для потен-
циала G в граничные условия (13.67), (13.7) и (13.68), получаем следующую
формулировку задачи:
d2G dG
—у = -и, — при z = 0;
а*2 &
G = 0 при z =-оо; (13.70)
G = 0 при х - 4-оо,
где U! = —у.
Чтобы удовлетворить граничным условиям (13.70), воспользуемся сле-
дующим методом. Представим гармоническую функцию Gt в виде
О1=-- + О2, (13.71)
г\
где q = - Xj )2 + (у - V] )2 + (z + Z] )2 . Функция G2 не имеет особеннос-
тей и непрерывна во всем нижнем полупространстве при z < 0.
Если выражение (13.69) подставить в первое из граничных условий
(13.70) и учесть, что при z = 0 —2
д
и
, по-
2
лучим следующее дифференциальное уравнение относительно неизвест-
ной функции G2.
d2G2
^2
(13.72)
при 2 = 0.
1
Для его решения воспользуемся известным из математики (из теории
функций Бесселя) представлением функции — при z + zj <0 в виде интег-
рала Фурье по параметрам 0 и к.
71 оо
^dkdQ .
(13.73)
1 -71 0
С учетом этой зависимости уравнение (13.72) можно записать в виде
Л со
J2
2
5
я -л О
(13.74)
Будем искать функцию G2 в виде спектра волн по частотам к с неизвест-
ным амплитудным множителем Л0(к, 0), т. е.
. 71 СО
G2 =- j j4)(/c,0)eA[z+Z|+'"lWo.
-тс 0
Подставляя его в левую часть уравнения (13.74), получаем следующее
решение для Ло:
О 2 ’
Uj -£cos 0
т. е. искомая функция имеет вид
g2 = f р----------- dkdQ.
л J ' u> -&cos^0
-71 0 1
Потенциал вызванных скоростей источника, движущегося под свобод-
ной поверхностью, записанный последней формулой, удовлетворяет гранич-
378
ному условию на свободной поверхности и второму условию из системы
(13.70). Однако это решение еще не удовлетворяет граничному условию от-
сутствия свободных волн на бесконечности перед телом, т. е. третьему из
условий (13.70). В последнем выражении для С2 подынтегральная функция
имеет особую точку к$ - —— . При вычислении интеграла по переменной
cos2 0
к выбор пути обхода этой точки должен быть произведен с учетом обеспече-
ния третьего из условия (13.70), т. е. единственностью полученного реше-
ния. Исследования [13.2], [13.4] показали, что для этого необходимо обхо-
дить точку Л(), расположенную на вещественной оси к сверху при
я
при — <
2
0 < я - снизу. Применение теории вычетов при вычислении интег-
ралов по к при обходе особой точки позволило найти окончательное выра-
жение для функции (j2:
Ч
^_cos? 0
(S'
de
cos2 0
71 00 KyZ + Z] -HCU)
[ p-----------—. (13.75)
•a Di -kcos2 0
В литературе существуют некоторые другие записи функции G, напри-
мер, в работе Н.Е. Кочина функция G представлена в виде
б/0 Di
2 1---
COS 0 71
de ^eiudu
cos2 0 0 u
где a =
cos 0
Решение задачи об обтекании тела под свободной поверхностью жидко-
сти можно теперь получить, заменяя действие тела источниками с единич-
ными потенциалами G. В общем случае тела произвольной формы эти ис-
точники необходимо распределить по поверхности тела S. Потенциал
обтекания тела тогда можно записать в виде
+ —- \q(x{y}zx)G(xyz)dS,
4я *
(13.76)
где q- интенсивность источников; xl,yl,zl - координаты точек поверхнос-
ти S тела.
Для определения этой интенсивности необходимо выполнить гра-
ничное условие (13.64) - условие непротекания жидкости на поверхно-
сти тела, т. е.
379
где п - направление внешней нормали к поверхности тела S.
При записи правой части этого уравнения следует иметь в виду, что в
1
точках поверхности S возможно обращение в нуль величины —, входящей в
функцию G. Исследование предельного перехода, аналогичное выполнен-
ному в § 6.6 показывает, что
Таким образом, для определения функции q получаем следующее интег-
ральное уравнение Фредгольма второго рода:
(13.77)
Гидродинамическую реакцию, действующую на тело, можно вычислить,
пользуясь общей формулой
(13.78)
где давление следует определять по интегралу Эйлера. Скорости, входящие
в интеграл Эйлера, определяются через потенциал (13.76). Соответствую-
щие вычисления были выполнены Н.Е. Кочиным, в результате которого были
получены формулы для составляющих гидродинамической реакции R . Для
тела, симметричного относительно плоскости xoz, эти формулы имеют сле-
дующий вид:
Rx
./V
U1
<cos2
de .
cos2 0
(13.79)
оо ti/2 2
Rz=pgW—[ f к H(k,e)2dedk+^x
471 0 0 2 71
(13.80)
Здесь к и Xj - параметры интегрирования; W- объем тела, а
\cos~u J
г ~—(z} +ix} cos 9+/у, sin 9)
Letos 0 ’ dS
s
(13.81)
380
- функция Н.Е. Кочина для пространственной задачи. Эта функция зависит
от распределения источников д, заменяющих влияние тела на поток, и, сле-
довательно, учитывает влияние формы тела на величину возникающих гид-
родинамических сил.
Формулы (13.79) - (13.81) служат основой для построения теории вол-
нового сопротивления, волнообразования, для исследования полей давле-
ний и многих других проблем, возникающих в гидродинамике судов. Ре-
зультаты численного решения по оценке волнового сопротивления судов и
аппаратов представляются в виде зависимости коэффициента волнового со-
Rx„ V
противления с¥В = —у— от числа Фруда Fr = - , где L - характерный
pV s y/gL
2
линейный размер движущегося тела.
Q1(P
0.40 0.50 0.60 0.70 0.80
Рис. 13.9. Зависимость коэффициента волнового
сопротивления от числа Фруда Fr для
схематизированного подводного аппарата,
движущегося под свободной поверхностью.
На рис. 13.9 приведены результаты расчетов коэффициента волнового со-
противления подводного аппарата схематизированной формы (эллипсоида
вращения с удлинением L/D = 8), движущегося под свободной поверхностью
на различной глубине h. Расчеты выполнены по линейной теории. В качестве
характерной площади S' выбрано значение объема тела в степени 2/3, т. е.
РТ/^2/3 .
2
381
В жидкости конечной глубины движение тела может быть исследовано
аналогичными методами. Соответствующие решения и расчетные формулы
были получены в работах М.В. Келдыша, Л.И. Седова, Л.Н. Сретенского и
М.Д. Хаскинда.
Методы решения плоской задачи об обтекании контуров (профилей) под
свободной поверхностью были развиты в работах М.В. Келдыша, Н.Е. Ко-
чина, М.А. Лаврентьева и Л.И. Седова.
Разработке теории волнообразования при движении тел с учетом вместо
(13.65) и (13.67) точных нелинейных граничных условий на свободной по-
верхности жидкости посвящены исследования В.Г. Сизова, Д. Вехаузена,
К. Эггерса, X. Маруо и др [13.6].
В настоящее время в судостроении для расчета волнового сопротивле-
ния используются численные методы. Численный метод расчета волнового
сопротивления в рамках линейной теории волн описан в § 15.6. Нелинейные
задачи решаются аналогичным методом.
13.11. Понятие о гравитационных внутренних волнах
Воды океанов и морей представляют собой сугубо стратифицированную
(неоднородную по плотности) среду. Чаще всего стратификация положитель-
ная, когда более тяжелая жидкость находится внизу.
Типичным для стратификации океана является наличие на некоторой
глубине слоя быстрого изменения температуры. Ниже этого слоя температу-
ра по вертикали монотонно уменьшается или не изменяется, а выше, в пере-
мешанной (квазиоднородной) области, практически постоянна. Часто в этом
же слое резко изменяется соленость, когда выше располагаются менее соле-
ные воды, а ниже - более соленые.
Градиенты температуры или солености обусловливают существование в
толще вод морей и океанов слоев жидкости с резким градиентом плотности
- слой скачка плотности, или пикноклин.
Слой скачка может быть относительно тонок, а перепад плотности зна-
чителен, тогда образуется своеобразный «жидкий грунт». В других случаях
пикноклин размыт, градиент плотности невелик, но, тем не менее, слой скачка
плотности выделяется достаточно отчетливо. Внутренними (ВВ), или ба-
роклинными. волнами называют процесс колебаний жидкости относительно
устойчивого состояния в неоднородном по плотности море. Само название
отражает тот факт, что они возникают внутри жидкости, а не на свободной
поверхности. Интенсивное волнообразование наблюдается в слое скачка
плотности, и, что важно отметить, вероятность появления коротких ВВ тем
больше, чем резче градиент плотности и меньше толщина пикноклина.
Механизм появления ВВ можно объяснить упрощенно следующим об-
разом. Если жидкая частица в положительно стратифицированной среде бу-
дет выведена из равновесия какими-либо внешними силами, то разность
382
плотности частицы и окружающей среды приведет к появлению силы, обус-
ловленной силой тяжести, возвращающей ее в равновесное состояние. Час-
тица под действием силы инерции пройдет равновесное положение и будет
совершать колебательные движения, пока силы внутреннего трения не оста-
новят этот процесс. Поскольку жидкость есть сплошная среда, то эти коле-
бания будут распространяться с определенной скоростью в пространстве,
т.е. возникнут ВВ. Это одно из интереснейших и пока еще мало изученных
явлений природы.
Представление о ВВ при натурных замерах складывается на основе кос-
венных наблюдений за изменчивостью термоклинных характеристик вод-
ных масс. Так, на рис. 13.10,а приведены в качестве примера изменения глу-
бины залегания изотерм, обусловленных ВВ с периодом ~ 10-20 мин.
(Северная Атлантика). Колебание солености, вызванное длиннопериодной
волной в Гибралтарском проливе, приведено на рис. 13.10,6. Иногда ВВ но-
сит характер уединенной волны, как изображено на том же рис. 13.10,в (Кас-
пийское море).
а)
Рис, 13.10. Изменчивость термоклинных характеристик водных масс,
обусловленная внутренними волнами:
а — изотермы в Северной Атлантике; б - колебания солености
в Гибралтарском проливе; в - уединенные ВВ в Каспийском море
Амплитуды ВВ значительно превосходят амплитуды поверхностных волн.
Регистрируемые в океане ВВ имеют высоту 5-20 м, иногда устойчивые вол-
ны достигают высоты 100-150 м.
Существование ВВ различного масштаба и механизма образования -
доказанный факт. Однако с точки зрения оценки влияния ВВ на гидродина-
383
мику движущихся тел интерес представляют высокочастотные короткопе-
риодные гравитационные или просто «короткие ВВ».
Причины возникновения и механизмы энергоснабжения ВВ различных
пространственно-временных масштабов в океане до конца не изучены. Мел-
комасштабные ВВ, которые представляют интерес для оценки гидродина-
мики тел, возбуждаются, вероятно, за счет внутренних источников энергии,
таких, например, как сдвиговая неустойчивость течений, воздействие вет-
ровых волн, неровности дна и др. Крупномасштабные ВВ, которые мы ис-
ключаем из рассмотрения, являются продуктом резонансного возбуждения
внешними приливообразующими силами.
Сравнивая поверхностные и внутренние волны, отметим следующие
особенности последних: 1 - значительную высоту и большую крутизну, но
при этом малые относительные амплитуды; 2 - большие периоды, меньшие
фазовые скорости; 3 - незначительную динамическую устойчивость.
Впервые понятие «внутренние волны» было введено на рубеже XIX и
XX столетий Ф. Нансеном. Им были обнаружены ВВ, возникшие в резко
выраженном слое скачка плотности между опресненными поверхностными
водами и глубинными солеными. Это произошло во время экспедиции в
Арктическом бассейне на судне «Фрам». При измерении температуры на
глубине 200 м Ф. Нансен зарегистрировал ее колебания во времени, кото-
рые, по его расчетам, были вызваны внутренней волной высотой ЗСМО м.
Описание этого явления впервые появилось в книге Ф. Нансена «Сквозь тьму
и льды» в 1902 г., а в 1904 г. В. Экманом была дана теоретическая интерпре-
тация внутреннего волнения в море.
В середине нашего столетия наблюдениями было установлено, что ВВ в
океанах и морях столь же обычны, как поверхностные волны, и что они чрез-
вычайно разнообразны по своим пространственно-временным характерис-
тикам и происхождению.
Развитие теории ВВ происходит в 40-60-е гг., хотя основы теории были
заложены Г. Стоксом еще до того, как Ф. Нансен в период плавания на «Фра-
ме» у п-ова Таймыр открыл внутренние волны. В последние десятилетия по-
являются монографии, в которых с той или иной степенью подробности изла-
гаются теоретические представления о внутренних волнах, например [13.8].
Для описания волновых процессов в толще вод океана принимается
в качестве исходной система уравнений, состоящая из трех уравнений дви-
жения (4.2), уравнения неразрывности (3.19) и, в отличие от однородной не-
сжимаемой жидкости, уравнения изопикничности, т. е. уравнение, характе-
ризующее стратификацию водной среды:
дих 1 дР
dt у pg дх
ди 1 др
—-—f (лшх —-------;
S? Ро ду
384
(13.82)
Слагаемое -—в правой части третьего уравнения имеет смысл верти-
Ро
кальных ускорений, связанных с действием силы Архимеда, со угловая ско-
рость вращения Земли.
Важным параметром, характеризующим статическое состояние океана,
является частота Брента-Вяйсяля, т. е. частота колебаний жидкости в устои-
чиво стратифицированной среде:
д^2=£5р, (13.83)
р dz
где р — массовая плотность среды.
Интегрируя систему уравнений (13.82) и выполняя граничные условия,
получают уравнения теории внутренних волн. Различают два подхода. Во-
первых, непрерывную стратификацию. Например, N const, т. е. плотность
воды с глубиной увеличивается по экспоненциальному закону. Тогда ре-
шение задачи о внутренних волнах, удовлетворяющих граничным услови-
ям на дне моря и на свободной поверхности, имеет многомодовую струк-
туру. Мода - это частота возникающих внутренних волн. Каждой моде
внутренних волн соответствует своя амплитуда для вертикальной скорос-
ти и При непрерывной стратификации вод теоретически присутствуют
все моды, но амплитуды каждой из них зависят от способа возбуждения
внутренней волны.
Однако в океане встречается часто иной вид стратификации, когда
наблюдается резко выраженные скачки плотности, вертикальные масш-
табы которых значительно меньше вертикальных масштабов вод, лежа-
щих выше и ниже скачка, где градиенты плотности невелики по сравне-
нию со слоем скачка. В этих случаях вертикальное распределение
плотности целесообразно моделировать послойно с поверхностью раз-
рыва плотности между слоями, различными по плотности. Тогда уравне-
ния ВВ записываются для каждого слоя отдельно, а на поверхности раз-
дела формируются граничные условия, «сшивающие» решения для
каждого из слоев.
Сформулируем граничное условие на внутренних поверхностях раздела
жидкостей различной плотности.
13 Зак. 4042
385
Кинематическое граничное условие - равенство нормальных к поверх-
ности раздела составляющих скоростей движения жидкости по обе стороны
этой поверхности:
ип 1 = ип2 = ип0 на границе раздела, (13.84)
где ипХ 2~ нормальная проекция скорости среды при подходе к границе сверху,
снизу; - нормальная проекция скорости точки поверхности раздела.
Динамическое граничное условие - равенство давлений по обе стороны
от этой поверхности:
^1 = ?2
или
—г = —- на границе раздела. (13.85)
dt dt
Если глубина выше слоя скачка (h -> со) и ниже слоя скачка (Н -> -оо), а
жидкости р02 и р01 однородны, то дисперсионное соотношение записывает-
ся в виде
ст2 = P02 P0Lg// (13.86)
Р02 +Р01
Следует отметить, что в отличие от случая экспоненциального увеличе-
ния плотности воды с глубиной в слоистой модели с разрывом плотности на
поверхности раздела, решение является единственным, т. е. модальная струк-
тура ВВ отсутствует.
КОНТРОЛЬНЫЕ
ВОПРОСЫ
1. На каком основании при построении гидродинамичес-
кой теории волн введено предположение о безвихре-
вом характере движения жидкости?
2. Перечислите типы волновых движений жидкости, важ-
ные для судостроительных приложений.
3. Как связаны между собой кинематические и геомет-
рические характеристики волн малой амплитуды?
4. Существует ли перенос массы жидкости прогрессив-
ными волнами согласно теории волн малой амплиту-
ды и воли конечной амплитуды?
5. Каково влияние ограничения жидкости по глубине на
характеристики прогрессивных волн?
6. Укажите основные особенности прогрессивных волн
конечной амплитуды.
7. В чем суть понятия группы волн и групповой ско-
рости?
8. С какой скоростью осуществляется перенос энергии
волн в жидкости?
9. Укажите особенности корабельных волн. Как можно
получить представление о характере волнообразова-
ния при движении корабля на тихой воде? Каково вли-
яние мелководья на корабельные волны?
10. Что такое волновое сопротивление?
11. Что такое внутренние волны?
ЗАДАЧИ
1. Длина океанской волны 100 м. Определите период
волны т и фазовую скорость с.
2. Определите избыточное волновое давление (за выче-
том гидростатического pgz) на дне водоема глубиной
Н = 10 м, возбуждаемое волной, имеющей длину
А = 60 м, высоту h = 3 м.
387
3. Установите скорость поверхностного дрейфа частиц
в волне с параметрами: X = 64 м, h = 4 м. Сравните эту
скорость с фазовой скоростью с по теории волн ма-
лой амплитуды и со скоростью ска по теории волн
конечной амплитуды.
4. Оцените потенциальную и кинетическую энергию
волны высотой h = 3 м и с периодом т = 6 с (для еди-
ницы поперечного размаха).
5. Какова предельная скорость судна на мелкой воде, если
глубина h = 5 м, а скорость судна не должна превы-
шать критической фазовой скорости прогрессивных
волн? Вычислите скорость переноса энергии в жид-
кости указанной глубины и сравните со скоростью
переноса энергии на глубокой воде.
ГЛАВА 14
КАВИТАЦИЯ
14.1. Основные понятия
Кавитация - это одна из наиболее трудных для исследования и одновре-
менно одна из наиболее актуальных проблем механики жидкости. Именно
жидкости, так как в газообразной среде кавитация невозможна. Цель ниже-
приведенного изложения дать основные понятия в области кавитации, необ-
ходимые морскому инженеру как для практической деятельности, так и для
предварительной подготовки перед углубленным изучением проблем, свя-
занных с кавитацией, если это потребуется, например, при изучении мето-
дов проектирования современных движителей [14.10].
14.1.1. Определение понятия «кавитация». Гипотеза Гарвея-
Эпштейна, эрозия
Кавитация - это физический процесс образования, развития и исчез-
новения в однородной жидкости каверн (от лат. caverna - пустота, по-
лость), которые заполнены газообразной средой и имеют такие размеры
и динамику, которые существенны для рассматриваемого физического
явления.
Гидродинамической кавитацией, в частности, называется такая кавита-
ция, которая имеет место при обтекании тел жидкостью, при этом размеры и
динамика каверн влияют на гидродинамические характеристики обтекаемо-
го тела или могут вызвать эрозию.
В данном определении особую важность имеет вторая часть о разме-
рах и динамике каверн, поскольку в обычной жидкости - всегда имеются
микрокаверны, которые в дальнейшем называются зародышами кавита-
ции и без которых, хотя они и не видны, естественная кавитация невоз-
можна.
Согласно гипотезе Л.А. Эпштейна (1945) и Е.Н. Гарвея (1947), устой-
чивое существование зародышей кавитации в жидкости обеспечено нали-
389
чием в реальной жидкости на поверхности обтекаемого тела или на мел-
ких твердых частичках несмачиваемых (гидрофобных) клиновидных мик-
ротрещин. Внутри этих микротрещин, как показано на рис. 14.1, образует-
ся заполненное парами жидкости и ограниченное выпуклым со стороны
жидкости мениском клиновидное пространство размером порядка
0,1 мк (10“7 м).
Рис, 14,1, Гипотетическая мелкая твердая
частица с несмачиваемой клиновидной
микротрещиной, содержащей паровой зародыш
кавитации, согласно модели Гарвея-Эпштейна
Указанное клиновидное пространство не заполняется жидкостью даже
при повышенных давлениях из-за поверхностного натяжения, поскольку
поверхностное натяжение дает скачок давлений на криволинейной границе
раздела сред. Действительно, запишем закон Лапласа для рассматриваемого
случая, полагая образовавшийся мениск сферическим:
Роит — Pvap — +2су/7?, (14.1)
где /?оит - давление в жидкости при подходе к мениску со стороны жидкости;
^vap - давление насыщенных паров жидкости при данной температуре,
су - коэффициент поверхностного натяжения для поверхности раздела жид-
кость-пары жидкости; R - радиус кривизны указанного мениска с центром
кривизны, лежащим со стороны жидкости и, поэтому в правой части (14.1)
появляется знак «плюс».
Таким образом, давление в жидкости при малых значениях радиуса
кривизны R намного больше давления в клиновидном пространстве, за-
полненным парами жидкости. В указанное клиновидное пространство
может попасть и растворенный в жидкости газ, так как процесс диффу-
зии газа направлен в область пониженного давления. Если рассматри-
ваемая мелкая твердая частица попадет в ходе движение вместе с жид-
костью в область достаточно низкого давления, подобный
кавитационный зародыш выскальзывает из микротрещины и образует
390
сферический пузырек, который и участвует в образовании естествен-
ной кавитации.
Такая несколько неестественно усложненная модель кавитационно-
го зародыша в виде несмачиваемой клиновидной микротрещины оказа-
лась необходима, поскольку простая модель парового сферического
пузырька оказалась непригодной для объяснения наличия зародышей
кавитации в обычной воде рек и морей. Закон Лапласа для парового
сферического пузырька записывается аналогично (14.1), только знак в
правой части меняется на противоположный - центр кривизны в этом
случае лежит внутри пузырька, т. е. с той стороны криволинейной сво-
бодной поверхности, которая заполнена парами жидкости и газами и
которая составляет внутренность рассматриваемого сферического пу-
зырька, а именно:
Аэит (^gas +^vap) 2о/Т?,
(14.1а)
где R - радиус рассматриваемого сферического пузырька; y?GAS - парциаль-
ное давление диффундировавших из жидкости газов.
Если пузырек не содержит газ, а наполнен только парами жидкости, то
он называется паровым. Роль поверхностного натяжения велика для ма-
леньких пузырьков, но для развитых каверн, для которых радиус кривизны
не является малым, силы поверхностного натяжения играют незначитель-
ную роль и ими часто можно пренебречь. Для иллюстрации укажем, на-
пример, что паровой сферический пузырек радиусом 0,1 мкм (/? = 10~7 м)
может находиться в равновесии в воде при 20°С, о = 0,0728 Н/м,
pVAP = 2338 Па, 7?gas = 0, согласно (14.1а), только при очень большом от-
рицательном (создающим растягивающее напряжение) внешнем давлении:
Роит =-14,56-105 Па (-14,37 атм).
Указанное равновесие рассмотренного парового пузырька, как можно
показать [11], является неустойчивым, и любое отклонение величины внеш-
него отрицательного давления от равновесного приводит или к беспредель-
ному росту, или к коллапсу, т. е. к монотонному уменьшению вплоть до
нуля диаметра сферического парового пузырька. В обоих случаях он через
некоторое время исчезнет, в первом случае всплывет и выйдет на свобод-
ную поверхность, а во втором - исчезнет: так как будет «раздавлен» по-
верхностным натяжением. Указанное поведение чисто паровых сферичес-
ких пузырьков называется парадоксом парового пузырька, т.е. в реальной
жидкости чисто паровые сферические пузырьки не могут существовать
долго, и, следовательно, в реальной жидкости озер, рек и морей при их
спокойном состоянии нет кавитационных зародышей в виде сферических
пузырьков.
Размер рассмотренного выше в примере парового пузырька очень мал,
но он на три порядка больше размера молекулы воды, что необходимо для
корректного применения закона Лапласа. Как известно [14.9], молекула воды
391
представляет собой равнобедренный треугольник с вершиной из атома кис-
лорода и основанием из двух атомов водорода, при этом стороны указанного
равнобедренного треугольника имеют размеры 0,957 х 0,957 х 1,514 А
(1А = 10~10м).
Таким образом, мы приходим к зародышу кавитации в виде сферическо-
го парового микропузырька, но такие пузырьки существовать в жидкости
долго не могут, вследствие этого они должны генерироваться при пониже-
нии давления из несмачиваемых трещин - щелей, которые и являются, со-
гласно Гарвею-Эпштейну, истинными зародышами кавитации, поскольку
могут существовать в жидкости бесконечно долго.
Процесс эрозии, по современным представлениям, состоит в следу-
ющем. При коллапсе маленького парового пузырька в зоне повышенно-
го давления вблизи твердой поверхности обтекаемого тела может обра-
зовываться кумулятивная струйка, направленная перпендикулярно
поверхности, которая способна вызвать эрозию на указанной поверх-
ности.
Эрозия - это гидромеханический процесс механического повреждения,
поверхности материала, из которого изготовлена рассматриваемая стенка,
при коллапсе паровых пузырьков в процессе кавитационного обтекания.
Скорость, согласно последним исследованиям, в кумулятивной струйке мо-
жет достигать 75 м/с и, учитывая, очень малый размер поперечного сечения
этой струйки, можно понять, почему самые твердые материалы не могут
противостоять эрозии. Описанный механизм эрозии иллюстрируется на
рис. 14.2.
Коллапсирующий пузырек
вблизи обтекаемой поверхности
Рис. 14.2. Схема механизма эрозии на поверхности
обтекаемого тела при схлопывании парового
пузырька с образованием кумулятивной струйки,
направленной по нормали к обтекаемой
поверхности
392
Рис. 14.3. Эрозионные повреждения конца лопасти
гребного винта
Эрозия (рис. 14.2 и 14.3) обычно возникает в области замыкания раз-
витых каверн или, например, в зазорах между лопастью гребного винта
и насадкой. При этом количество газа в разрушающемся пузырьке су-
щественно влияет на интенсивность эрозии, которая уменьшается с уве-
личением количества газа. Поэтому насыщение воды воздухом в соот-
ветствующей области можно использовать как средство борьбы с
эрозией.
14.1.2. Прочность очищенной жидкости на разрыв, кривая кипения,
критическая температура
Специальные опыты Л.Я. Бриггса с кипяченой очищенной водой
в U-образной трубке, расположенной на вращающемся горизонтальном
диске, показали, что, хотя трубка была, запаяна только с одного конца,
жидкость не выливалась и выдерживала центробежные растягивающие
напряжения, достигающие 260-275 атм, т. е. прочность указанной очи-
щенной воды на разрыв уступала прочности стали примерно лишь в де-
сять раз. Если бы инженеры имели дело с такой очищенной жидкостью, в
которой отсутствуют ядра кавитации, то, как сформулировал Р.Т. Кнэпп
[14.4], «...кавитация была бы практически неизвестна и не имела бы ни-
какого практического значения».
На самом деле реальная кавитация имеет место при давлениях, мало
отличающихся от давления насыщенных паров жидкости при температу-
ре опыта (табл. 14.1). Несколько упрощая, кавитацию можно назвать хо-
лодным кипением жидкости, так как между этими двумя процессами
много общего.
393
Рис. 14.4. Диаграмма агрегатных состояний воды
в координатах температура-давление
Напомним (рис. 14.4), что кривая кипения - это зависимость давления
насыщенных паров жидкости от температуры. С точки зрения физики кипе-
ние и кавитация являются процессами перехода точки на диаграмме состоя-
ния жидкости (для воды - см. рис. 14.4) через кривую кипения из области
жидкого состояния в газообразное. Различие лишь в том, что при кипении
рассматриваемая точка двигается горизонтально вправо, а при кавитации -
вертикально вниз (см. рис. 14.4). В табл. 14.1 приведены значения стандарт-
ной кривой кипения для обычной воды в функции от температуры.
Видно, что при небольшой температуре от 5 до 20 °C давление паров
воды невелико и составляет (872,3-2338 Па), что соответствует 0,86-2,31 %
нормального атмосферного давления, равного 101 325 Па (т. е. одной нор-
мальной или физической атмосфере). Напомним, что одна техническая ат-
мосфера отличается от физической и равна 98 100 Па (точнее 98 066 Па).
Таблица 14.1
Зависимость давления насыщенных паров от температуры
(кривая кипения) и зависимость плотности от температуры
для обычной воды
г °C 0 5 10 15 20 30 100 200 374,15
T’VAP, Па 610,5 872,3 1 228 1 705 2 338 4 243 10 1325 1 554 900 22 120 000
Р’з кг/м 999,84 999,97 999,7 999,1 998,2 995,6 958,3 865,0 315,4
394
Интересно отметить, что вода из жидкого состояния в газообразное мо-
жет перейти, минуя процесс кипения или кавитации, непосредственно во
всем объеме одновременно, не образуя пузырьков и не теряя прозрачности.
Для этого надо, чтобы точка на диаграмме состоянии воды описала траекто-
рию, не пересекающую кривую кипения, которая не является замкнутой и
заканчивается в критической точке, соответствующей критической темпе-
ратуре (374,15 °C) и критическому давлению (221,2-105 Па). При температу-
ре выше критической кавитация и кипение в жидкости невозможны при
любых давлениях. При давлении выше критического кавитация и кипение в
жидкости также невозможны при любых температурах. Таким образом, ка-
витация возможна в жидкости только при докритической температуре и док-
ритическом давлении. В воздухе или в другой газовой среде кавитация не-
возможна по определению, и поэтому ее изучение не входит в круг проблем
аэродинамики, оставаясь важным разделом гидродинамики.
14.1.3. Примеры кавитационных процессов
Кавитация - физическое явление, которое проявляет себя не только в
виде гидродинамической кавитации и изучается не только применительно к
проблемам морской техники.
Наиболее яркий пример такого проявления кавитации - это физичес-
кие явления в пузырьковой камере Д.А. Глезера (Нобелевская премия
1960 г.), предназначенной для визуализации траекторий движения элемен-
тарных частиц высоких энергий при помощи видимых паровых пузырьков
(каверн), возникающих в перегретой жидкости в точках взаимодействия
рассматриваемой элементарной частицы с молекулами жидкости. В про-
цессе этого взаимодействия образовавшиеся одноименно заряженные ионы
образуют области микороразрывов в жидкости, которые и являются заро-
дышами быстро растущих в перегретой жидкости и затем хорошо види-
мых пузырьков. Здесь используется метастабильное состояние перегретых
под давлением эфира, пентана и других, экзотических жидкостей. В этом
случае, естественно, не нужны ядра кавитации, соответствующие гипоте-
зе Гарвея-Эпштейна. Указанную камеру Глезера нельзя путать с камерой
Вильсона (Нобелевская премия 1927 г.), в которой используется обратный
процесс и которая заполнена газообразной средой, где визуализация тра-
ектории элементарных частиц осуществляется за счет конденсации капель
жидкости в соответствующих точках взаимодействия молекул газа с этими
частицами.
Однако, наиболее простой и очевидный пример негидродинамичес-
кого проявления кавитации (газовой пузырьковой формы) - появление
газовых пузырьков при откупоривании бутылки с газированной водой или
шампанским. При этом происходит резкое падение давления внутри бу-
тылки, и полностью растворенные до момента открытия бутылки газы
начинают интенсивно выделяться, образуя пузырьки-каверны. Подобная
395
форма газовой пузырьковой кавитации возникает и в кровеносной систе-
ме водолаза при его слишком быстром подъеме с больших глубин и этот
опасный для здоровья водолаза процесс в этом случае называется кес-
сонной болезнью. Для рассмотренной газовой формы кавитации не нуж-
ны ядра кавитации, соответствующие гипотезе Гарвея-Эпштейна.
Перейдем к важным для технических приложений в области морской
техники примерам. Начнем с очень простого примера, относящегося к
гидравлике. Представим себе насос, который качает воду по вертикаль-
ной трубе, опущенной в водоем со свободной поверхностью, давление на
которой равно атмосферному. Между входом в насос и поверхностью
водоема находится вертикальный участок трубы высотой h. Следователь-
но, без учета гидравлических потерь в цилиндрической трубе давление
на входе в насос равно атмосферному минус величина pg/z, т.е. соответ-
ствует гидростатическому давлению в трубе на указанной высоте. Про-
стейшим условием начала кавитации непосредственно перед входом в
насос будет достижение в этом месте давления насыщенных паров воды
при температуре воды в водоеме. Иначе говоря, начнется простейшая
форма кавитации, т.е. вода вскипит при входе в насос, и его дальнейшая
работа станет невозможной. Количественно сформулировать условие от-
сутствия кавитации в рассматриваемом случае можно так:
Pa~^Sh> /\ар’ (14.16)
т. е. для отсутствия кавитации давление в трубе перед насосом должно
быть больше давления насыщенных паров жидкости при соответствую-
щей температуре.
Легко подсчитать, что при температуре 20 °C, когда /?VAp = 2338 Па
(см. табл. 14.1), высота h вертикального всасывающего участка трубы
должна быть не больше (ра - Py^lpg = 10,11 м, иначе не избежать про-
стейшей формы кавитации - холодного кипения. Атмосферное давление
и плотность в приведенном расчете брались равными 101 325 Па и
998,2 кг/м3 соответственно. По причине вязких потерь во всасывающей
части трубопровода реальное значение критической высоты будет еще
меньше. Можно заметить, что с увеличением температуры критическая
высота, с точки зрения кавитации, уменьшается и становится равной нулю
при температуре 100 °C, т. е. кипящую воду невозможно поднять по вер-
тикальной трубе, расположенной перед насосом из-за простейшей фор-
мы кавитации.
Другой пример связан с особой формой кавитации, которая обычно
называется супервентиляцией и наблюдается при входе твердого тела в
воду. В этом случае образуется соединенная в начале своего образования
с атмосферой нестационарная каверна, заполненная воздухом при атмос-
ферном давлении. Процесс сопровождается выбросом струй воды вверх
и бурным замыканием каверны, что демонстрируют приведенные фото-
графии (рис. 14.5, 14.6).
396
Рис, 14.5. Процесс вертикального
входа шара в воду
Рис. 14.6. Косой вход
осесимметричного тела в воду
Кавитация, как правило, имеет вредные для морской техники послед-
ствия, поэтому инженеры стараются избежать ее появления. Совокупность
трудностей, которые возникают при решении этой проблемы для реальных
объектов, например, для судов, называется кавитационным барьером по ана-
логии со «сверхзвуковым барьером» для самолетов.
Впервые с кавитационным барьером столкнулись в 1894 г. английские
морские иженеры, обнаружив отсутствие роста упора при увеличении обо-
ротов после достижения скорости в 24 уз, что оказалось негативным прояв-
лением кавитации, возникающей на указанной скорости при работе греб-
ных винтов только что построенного корабля английского флота эскадренного
миноносца «Дэринг». Для устранения развитой кавитации гребных винтов
и обеспечения проектной скорости в 27 уз С.В. Барнеби перепроектировал
гребные винты, увеличив площадь лопастей на 45 % и доведя дисковое от-
ношение гребных винтов до 0,432.
Совершенно другую, вихревую, форму кавитации гребных винтов от-
крыл в 1908 г. немецкий ученый О. Фламм, который получил фотографии
следа за работающим в воде гребным винтом при очень короткой выдержке.
Аналогичную картину можно наблюдать невооруженным глазом при стро-
боскопическом, синхронизированном с вращающимся гребным винтом им-
пульсном освещении. На рис. 14.7 приведен аналог фотографии Фламма.
Рис. 14.7. Фотография вихревой кавитации в концевых
и осевом вихрях, образующихся за работающим в воде
гребным винтом (поток течет справа налево)
Некоторое время ученые не могли объяснить появление светлых винто-
образных линий хорошо видных на этих фотографиях. Особенно непонят-
ным было то, что на фотографиях воздушных винтов самолетов подобные
линии отсутствовали. В 1912 г. в своей первой лекции по вихревой теории
гребного винта Н.Е. Жуковский доказал теоретически, что Фламм зафикси-
398
ровал новый тип кавитации, которая была названа вихревой. Эта кавитация
возникает в зоне разряжения, т. е. в ядрах концевых и осевого вихрей, обра-
зующихся в следе за гребным винтом, точнее, в соответствии с современны-
ми понятиями, в ядрах свободных вихрей, сходящих с кромок лопастей и
конца ступицы, как с движущихся винтообразно крыльев конечного размаха
[14.10]. Много позже было выяснено, что кавитация концевых вихрей явля-
ется источником интенсивного подводного акустического излучения
(рис. 14.8).
170 -
160 -
Шум концевых вихрей
о
с
ОХ)
О
N
ю
е?
150
140
130
120
НО
100
500 1000
Частота, Гц
1500
90 L
0
Рис. 14.8. Уровень подводного акустического излучения
гребного винта. Отмечена область шума, генерируемого
кавитирующими концевыми вихрями. Здесь р - давление
в определенной точке жидкости; р - пороговое давление,
равное 2-10-5 Па
С еще одним негативным проявлением кавитации - эрозией - встрети-
лись морские инженеры в 1917 г. Английское адмиралтейство назначило даже
специальную комиссию для выяснения причин быстрого разрушения лопа-
стей латунных гребных винтов, например, на лайнерах Мавритания и Лузи-
тания, а также на быстроходных военных кораблях (см. рис. 14.3). В работе
комиссии приняли участие изобретатель паровой турбины и кавитационной
трубы Парсонс и великий физик Лорд Релей. Последний теоретически дока-
зал, что при коллапсе маленького сферического парового пузырька могут
возникать очень большие импульсы давления, способные вызвать эрозию на
поверхности, вблизи которой находился указанный пузырек. По современ-
ным воззрениям, причиной эрозии, как указывалось, является кумулятивная
струйка, возникающая в процессе неосесимметричного сжатия и деформа-
ции парового пузырька (см. рис. 14.2).
Наличие нестационарной пленочной кавитации на лопастях гребных
винтов (рис. 14.9) может приводить наряду с эрозией к возникновению име-
ющих значительную амплитуду периодических давлений на обшивке суд-
на в районе движителя. Например, в 1935 г. пришлось заменить гребные
винты французского лайнера «Нормандия» после его первого рейса через
399
Рис. 14.9. Нестационарная пленочная кавитация
на лопасти гребного винта, работающего в неравномерном
попутном потоке. Объем каверны меняется при повороте
лопасти, что вызывает переменные давления и вибрацию
корпуса судна
Атлантику, в процессе которого была достигнута рекордная в то время сред-
няя скорость 30,3 уз. По причине развития нестационарной, с переменным
объемом каверн, пленочной кавитации на лопастях обоих винтов вибра-
ция корпуса лайнера в районе кормовой оконечности достигала амплитуд,
угрожающих целостности корпусных конструкций, что делало невозмож-
ным пребывание пассажиров в кормовых помещениях. После установки
перепроектированных гребных винтов интенсивность нестационарной пле-
ночной кавитации на лопастях и вибрация уменьшились до приемлемых
величин.
Виброактивность нестационарной формы кавитации часто наблюдается
в бытовых условиях в виде характернго шума, издаваемого водопроводны-
ми трубами при неудачно закрытом кране или соответствующем засорении,
вызвавшими нестационарную кавитацию.
Подводя итог сказанному выше, отметим, что морские инженеры до сих
пор постоянно, особенно при проектировании гребных винтов, встречаются
с четырьмя основными вредными последствиями кавитации:
- кавитационной эрозией;
- вибрацией обшивки корпуса судна в окрестности гребного винта, если
на его лопастях возникла нестационарная кавитация;
- кавитационным подводным шумом;
— влиянием кавитации на гидродинамические силы и моменты, действу-
ющие на гребной винт или обтекаемые тела.
400
14.1.4. Возможные пути полезного использования кавитации
Имеется множество способов полезного использования такого физичес-
кого явления, как кавитация, например:
• в описанной выше камере Глезера для визуализации траекторий движе-
ния элементарных частиц высоких энергий;
• для обработки тяжелых дизельных топлив с целью увеличения эффек-
тивности их сжигания;
• для формирования струи жидкости, вызывающей управляемую эрозию
и используемой для очистки корпусов судов в доках;
• для насыщения кислородом жидкости идущей на полив в растениевод-
стве.
Остановимся более подробно на трех наиболее важных для морской тех-
ники направлениях.
Первое направление. Проектирование заведомо кавитирующего или вен-
тилируемого гребного винта или руля (стойки, крыла), имеющего такую про-
филировку и конструкцию, которые полностью или частично обеспечивают
отсутствие негативных последствий кавитации. Впервые эта идея примени-
тельно к суперкавитирующим гребным винтам была сформулирована ака-
демиком АН СССР В.Л. Поздюниным в 1941 г. Идея состояла в том, чтобы
спроектировать гребной винт заведомо кавитирующим, но путем придания
клиновидной формы сечениям лопастей добиться такой степени развития
кавитации на полном ходу, при которой эрозия не возникает. Последнее воз-
можно ввиду того, что эрозионно опасная область замыкания каверн будет
расположена вне поверхности лопасти за задней кромкой (рис. 14.10).
Рис. 14.10. Суперкавитирующий гребной винт, работающий
в режиме суперкавитации, когда каверны начинаются на
передней клиновидной кромке лопасти, а замыкаются в потоке
за задней кромкой (поток направлен слева направо)
401
Такая степень развития кавитации стала называться суперкавитацией.
Суперкавитирующие гребные винты могут иметь как клиновидный, так и сег-
ментный профиль цилиндрических сечений лопастей [14.11]. В обоих случа-
ях эффективность при осевом числе кавитации 0,3 достигает 0,68, но решаю-
щим при выборе типа сечений при проектировании гребного винта для судна
на подводных крыльях оказывается значение эффективности на режиме «гор-
ба сопротивления». При почти постоянной относительной поступи гребного
винта на обоих рассматриваемых режимах имеет преимущество сегментная
профилировка, а при почти постоянных оборотах на этих же режимах - пре-
имущество клиновидная профилировка [14.11]. Надо заметить, что клиновид-
ная профилировка для лопастей гребного винта судна на подводных крыльях,
в отличии от сегментной, предусматривает наличие большого запаса мощно-
сти на борту для преодоления горба сопротивления. В отечественной литера-
туре суперкавитирующие гребные винты с сегментной, а не клиновидной, про-
филировкой часто называют сильнокавитирующими гребными винтами.
На самомом большом в мире российском морском СПК «Сокол» (an open
ocean hydrofoil ship «Sokol»), построенном в начале 80-х гг. и имеющем во-
доизмещение 465 т и скорость полного хода 63 уз, было установлено шесть
трехлопастных суперкавитирующих (точнее сильнокавитирующих) гребных
винтов (диаметром около 1 м) попарно на трех колонках суммарной мощно-
стью 54 000 л.с. [14.11]. Было построено три корабля такого типа, после чего
эпоха крупных морских СПК, как и собственно крупных суперкавитирую-
щих гребных винтов к началу 90-х гг. закончилась, но сама идея В.Л. Поз-
дюнина продолжает использоваться, например, при разработке достаточно
широко применяемых в настоящее время частично погруженных гребных
винтов и вентилируемых водометов.
Второе направление. Обеспечение устойчивого движения тел под водой
со сверх- высокими скоростями, достигающими 1500 м/с. Это мировой ре-
корд скорости движения в воде в лабораторных условиях (2000 г., Киев), ко-
торый превышает скорость звука в воде (1450 м/с). С указанной скоростью
удалось обеспечить устойчивое движение кавитатора в виде перпендику-
лярного к направлению движения плоского диска диаметром 1,5 мм. При
этом за указанным кавитатором образовалась естественная (паровая) кавер-
на, имеющая диаметр миделя 0,14 м и длину 30,6 м при числе кавитации
0,000 088. Каверна имела форму эллипсоида вращения с удлинением 219 000
и замыкалась плавно практически в точку с образованием двухфазного сле-
да периодической структуры с частотой от 80 до 140 кГц. Эта необычная
новая форма замыкания очень длинной естественной каверны наблюдается
при числах кавитации меньших 0,01.
Третье направление - использование искусственной кавитации, т. е. по-
дачи воздуха или газа в зону разряжения за кавитатором или уступом - реда-
ном - на теле с целью снижения сопротивления трения и/или улучшения
мореходности (рис. 14.11).
402
1
2
3
4
Рис, 14.11. Искусственная каверна за уступом (реданом)
на плоском днище речного судна
(поток тяжелой жидкости направлен слева направо)
1 - расчетная форма каверны, которая замыкается на фиктивный
насадок; 2 - расчетная форма каверны, которая замыкается на
само днище по касательной (малорасходная каверна); 3 - расчетная
форма каверны, которая получена для нереального случая, когда
условие непротекания днища нарушено в хвосте каверны;
4 - экспериментальная форма каверны при повышенном расходе
газа, необходимым для ее поддержания
Это направление активно разрабатывалось применительно и к под-
водным объектам, и к надводным судам и катерам. Предполагается полу-
чение развитой каверны, изменяющей форму тела и отделяющей боль-
шую часть смоченной поверхности судна от жидкости, что сразу понизит
местное сопротивление трения на этих частях поверхности примерно в
800 раз, т. е. пропорционально уменьшению плотности при переходе от
обтекания жидкостью к обтеканию воздухом или газом.
В 1965-1969 гг. под руководством А.М. Басина, А.А. Бутузова и
А.Н. Иванова [14.3] в России были выполнены натурные испытания двух
крупных плоскодонных речных судов длиной 84,6 ми 135 м, оборудо-
ванных несколькими поперечными реданами и отверстиями на днище
для создания искусственных каверн, покрывающих почти все днище. В
обоих случаях снижение сопротивления при скорости около 20 км/ч со-
ставило около 15 %., а потребляемая для подачи воздуха мощность воз-
духодувки составила около 2 % мощности главного двигателя (приве-
денный к давлению на уровне осадки расход воздуха составил 220 л/с).
Главным достижением в описанном случае было использование несколь-
ких поперечных реданов по длине судна, что позволило покрыть почти
все днище пленочными кавернами, оптимальной с точки зрения расхо-
да воздуха длины (см. линию 2 на рис. 14.11). Число Фруда по опти-
мальной длине днищевой каверны, как было установлено и теоретичес-
ки (А.А. Бутузов, 1966) и экспериментально, равно 0,55 и, поэтому,
оптимальная длина каверны зависит только от скорости судна. Напри-
мер, при скорости 20 км/ч (5,56 м/с) оптимальная длина днищевой ка-
верны равна 10,42 м и при длине судна 135 м требуется 12 поперечных
реданов (учитывая сужение днища в иосу).
Описанная выше идея была успешно реализована и для быстроход-
ных глиссирующих судов небольшого водоизмещения с днищевой кавер-
ной (рис. 14.12).
403
CAV
Рис, 14,12, Малорасходная искусственная каверна на днище
быстроходного судна небольшого водоизмещения
В этом случае удается снизить сопротивление на 20-35 %, что соответ-
ствует увеличению скорости на 5-9 % при улучшении параметров движе-
ния на волнении. Быстроходные глиссирующие суда с днищевой искусст-
венной каверной стали называть AVB-Artificially Ventilated Boat (искуственно
вентилируемые суда), или Air Cavity Craft (суда с воздушной каверной), или
иначе SAC-Ship on Artificially Cavity (судно на искусственной каверне).
В настоящее время в России успешно эксплуатируется более 50 судов
такого типа, построенных по пяти различным проектам («Меркурий», 1995,
«Линда», 1992; «Серна», 1992; «Муфлон», 1992; «Сайгак», 1981;). На «Сай-
гаке» и «Муфлоне», которые имеют скорость полного хода 40 уз, в каверну
подаются выхлопные газы дизелей, а на остальных проектах используется
воздух, нагнетаемый в каверну вентиляторами с приводом от вала главного
двигателя. «Линда» - озерно-речное судно, рассчитанное на перевозку 70 пас-
сажиров со скоростью 38 уз при водоизмещении 24,6 т и мощности двигате-
ля 900 л.с. «Серна» - самое крупное из указанных судов водоизмещением
105 т с мощностью двигателей 2 х 3305 л.с.; развивает скорость до 32 уз.
Подобный подход для подводных объектов, имеющий цель уменьшения
сопротивления трения за счет образования охватывающей почти всю повер-
хность осесимметричного тела искусственной каверны, оказался менее эф-
фективным, так как возник целый ряд новых, характерных только для под-
водных объектов, проблем, а именно:
- влияние всплытия каверны, уменьшающееся с увеличением числа Фру-
да, но достаточно большое при значениях Фруда, соответствующих реаль-
ным случаям, за редким исключением, когда число Фруда превышало 10;
- наличие дополнительного сопротивления кавитатора;
- необходимость расходовать и нагнетать под высоким, соответствую-
щим глубине погружения, давлением, газ, обеспечивающий поддержание
искусственной каверны и хранящийся на самом подводном объекте, посколь-
ку связь с атмосферой исключена;
- необходимость компенсации потери силы плавучести, вызванной тем,
что часть объемов рассматриваемого объекта оказываются внутри каверны,
т. е. в газовой среде меньшей, чем вода, плотности, и поэтому способных
создать Архимедову силу лишь во столько раз меньшую, во сколько раз мень-
ше плотность газа в каверне, чем плотность жидкости (примерно в 800 раз).
404
14.2. Экспериментальные методы исследования
кавитационных течений
Методы изучения гидродинамической кавитации носят экспериментально-
теоретический характер, и при решении конкретных инженерных задач исполь-
зуются эти методы совместно. Однако с целью упрощения изучения данного
раздела гидродинамики рассмотрим экспериментальные и теоретические мето-
ды поотдельности. Начнем с экспериментальных методов (см. также гл. 16).
14.2.1. Критерии подобия, используемые при изучении кавитацион-
ных течений
Законы подобия течений жидкости без кавитации известны (см. § 7.3).
Рассмотрим типичный случай, когда имеет место развитая кавитация и силы
поверхностного натяжения можно не учитывать, поскольку их влияние на
изучаемую величину, например на сопротивление нормального к потоку диска
(кавитатора), пренебрежимо мало. В этом простейшем случае в отличие от
течений жидкости без кавитации в систему определяющих размерных пара-
метров прибавляется еще один - давление в каверне pCAV- Естественно, это
приводит к появлению еще одного нового безразмерного параметра - крите-
рия подобия. Здесь следует сделать важное замечание. В принципе, теория
подобия и размерностей в качестве дополнительного критерия подобия ес-
тественным путем приводит к появлению дополнительного числа Эйлера по
давлению в каверне EuCAV =/>CAV/(0,5pJ^). Это число вместе с числами
Фруда, Рейнольдса, Струхаля и числом Эйлера по давлению на бесконечно-
сти на соответствующей глубине составляет полную систему безразмерных
критериев, достаточную для описания рассматриваемого развитого кавита-
ционного течения.
Однако эта система безразмерных критериев - не единственная. Вместо
числа Эйлера по давлению в каверне можно использовать разность чисел
Эйлера по давлению на бесконечности и по давлению в каверне. Указанная
разность называется числом кавитации. Формально число кавитации
можно трактовать как число Эйлера, построенное по разности давлений на
бесконечности и в каверне, что соответствует введению соответствующей
разности давлений вместо давления в каверне при выборе размерных пара-
метров, определяющих течение с кавитацией.
Важно отметить, что использование в качестве критерия подобия числа
кавитации позволяет сократить систему критериев подобия, достаточную
для описания рассматриваемого развитого кавитационного течения, на один
критерий, так как этот критерий (число Эйлера по давлению на бесконечно-
сти на соответствующей глубине) является функцией остальных четырех
критериев (чисел Фруда, Рейнольдса, Струхаля и кавитации). Последнее
объясняется точно так же, как это было сделано ранее для случая течений
без кавитации. Физически возможность исключения из системы определя-
405
ющих критериев подобия числа Эйлера по давлению на бесконечности на
соответствующей глубине означает, что при одновременном увеличении дав-
ления на бесконечности и давления в каверне на одну и ту же величину все
безразмерные величины, характеризующие рассматриваемое течение несжи-
маемой жидкости, не изменятся.
Таким образом, основным дополнительным критерием подобия для раз-
витых кавитационных течений несжимаемой тяжелой вязкой жидкости с
горизонтальной свободной поверхностью (если силы тяжести учитывают-
ся, то наличие горизонтальной свободной поверхности необходимо даже при
теоретическом рассмотрении, поскольку давление в любой точке безгранич-
ной тяжелой жидкости равно бесконечности) является число кавитации
аг = (Ра + pgh - pCAV)/(0,5p vj ), (14.2)
где - модуль вектора скорости на бесконечности при рассмотрении обра-
щенного движения; в случае рассмотрения прямого движения модуль пере-
носной скорости (рассматривается прямолинейное равномерное движение);
Рю= Ра + ” давление гидростатическое на рассматриваемой глубине h в
невозмущенной жидкости, имеющей горизонтальную свободную поверхность,
на которой давление постоянно и равно ра\ ра - давление на той свободной
поверхности, от которой вертикально вниз отсчитывается глубина Л, при этом
ра совсем необязательно всегда равно нормальному атмосферному давлению
(101 325 Па); оно может быть равно долям атмосферного в тех случаях, когда
рассматриваются условия, искусственно созданные в лабораторных установ-
ках (кавитационные трубы, бассейны, гидролотки); h - глубина, на которой
находится рассматриваемая точка (при вычислении местного числа кавита-
ции) или ось гребного винта или ось осесимметричного кавитатора (при вы-
числении числа кавитации объекта), указанная глубина отсчитывается от го-
ризонтальной свободной поверхности; pCAV - давление в каверне, которое
считается постоянным по всей каверне и не имеет скачка на границе каверны
из за поверхностного натяжения ввиду допущения о малости кривизны гра-
ниц каверны; эта величина различна для разных видов кавитации, а именно:
для паровой естественной развитой кавитации
^CAV=^VAP’ (14.3)
для искусственной кавитации
PcAV= ^GAS’ (14.4)
для атмосферной супервентиляции
Рс^ = Ра- (14.5)
Здесь дополнительно обозначено: /?VAp - давление насыщенных паров
жидкости при температуре опыта (табл. 14.1); /?GAS - фактически измерен-
ное давление газа подаваемого в каверну, среднее по всему объему каверны;
ра - давление на горизонтальной свободной поверхности (в натурных усло-
виях равно атмосферному). При специальной подготовке жидкости с целью
406
уменьшения содержания ядер кавитации величина pVAp может заметно от-
ичаться в меньшую сторону от данных табл. 14.1, но это приведет к изме-
нению начальной стадии кавитации, не оказывая влияния на развитую кави-
тацию, которая пока и рассматривается.
Таким образом, во всех случаях Pq^ должно соответствовать давлению
в рассматриваемой каверне.
В конкретных более сложных случаях дополнительно могут играть важ-
ную роль один или несколько критериев подобия из известных в гидродина-
мике, такие, например, как число Вебера We = о/(рУ2Л)[см. (7.53)], условие
смачиваемости в виде краевого угла, ядросодержание, воздухосодержание и
т.д. Особенно сложно моделировать начальные стадии кавитации и пузырь-
ковую форму кавитации [14.4, 14.7].
Таким образом, для динамического подобия двух разномасштабных ка-
витационных течений в первую очередь всегда необходимо выполнить ра-
венство соответствующих чисел кавитации для модели и натуры, а именно:
= ffiH- О4-6)
14.2.2. Лабораторные установки для исследования гидродинами-
ческой кавитации на моделях
Первые результаты опытов с кавитационными течениями в прозрачных
трубках с пережатием (в трубках Вентури, рис. 14.13) опубликовал Осборн
Рейнольдс в 1894 г.
Рис. 14.13. Фотография кавитации
в прозрачной трубке с пережатием
Прозрачная трубка с пережатием (ПТП) является простейшей лабора-
торной установкой, позволяющей исследовать явление гидродинамической
кавитации. Принцип работы такой установки очень прост и поучителен
[14.15]. Рассмотрим два сечения:
1) в цилиндрической части ПТП;
2) в самом узком сечении в области пережатия ПТП.
Пусть ось ПТП расположена горизонтально и вязкость жидкости не учи-
тывается. Тогда, полагая распределение скоростей постоянным поперек труб-
ки, уравнение Бернулли для рассматриваемого случая имеет вид
0,5рЦ2 + Pi = 0,5pV22 + Р2-
(14-7)
407
Так как жидкость предполагается несжимаемой, то постоянство расхода
через все поперечные сечения ПТП дает связь между скоростью жидкости в
рассматриваемых сечениях:
r2=r,F|/F2, (14.8)
где Fj и F2 - площади поперечных сечений 1 и 2 соответственно.
Элементарные преобразования с использованием (14.7) и (14.8) дают
^2=^i-0.5pr12[(F1/JF2)2-l].
(14.9)
Напомним физический смысл уравнения Бернулли (см. § 4.2) без учета
сил тяжести: для частицы жидкости при ее установившемся движении вдоль
линии тока сумма удельной кинетической энергии 0,5р V2 и удельной потен-
циальной энергии (давления) р остается величиной постоянной. Увеличе-
ние кинетической энергии, согласно этому закону сохранения энергии для
частицы жидкости, приводит к соответствующему уменьшению потенци-
альной энергии, т. е. уменьшению давления, которое может стать равным
давлению насыщенных паров при температуре опыта, что видно из (14.9).
Действительно, например, если принять р= 1000 кг/м3; рх = 1,5-105 Па;
Fj = 3,508 м/с; F{!F2 = 5, то формула (14.9) позволяет определить давление в
самом узком сечении ПТП, почти совпадающее с давлением насыщенных
паров при 20 °C (см. табл. 14.1), а именнор2 = 2327 Па. Иными словами, если
принять простейшее условие начала кавитации (пересечение линии кипе-
ния на диаграмме состояниий, см. рис. 14.4), а именно:
^2 Fcav’ (14.10)
то в приведенном примере в самом узком сечении ПТП начнется кавитация
(проще говоря, жидкость вскипит при достижении давления насыщенных
паров при температуре опыта, равной 20 °C).
Дальнейшее понижение давления р} при увеличении скорости V\ в рас-
сматриваемом примере приведет к развитию нестационарной каверны (см.
рис. 14.13), которая будет препятствовать увеличению расхода через рассмат-
риваемую трубку. Поток станет пульсирующим. В реальной прозрачной труб-
ке с пережатием момент и сечение, в которых начнется кавитация зависят
ввиду наличия вязкости от фактической профилировки этой трубки в райо-
не самого узкого места, т. е. от эпюры распределения давления по поверхно-
сти трубки в районе пережатия [14.15].
Первые лабораторные исследования кавитации гребных винтов были
выполнены изобретателем паровой турбины английским инженером Ч. Пар-
сонсом, который для этих целей в 1895 г. изобрел кавитационную трубу. Труба
была очень маленькая и позволяла испытывать модель гребного винта диа-
метром всего 50,8 мм, при этом для достижения кавитационного режима
обтекания лопастей вода подогревалась до состояния, близкого к кипению.
Только в 1910 г. в Уилсенде (Англия) Парсонс построил кавитационную трубу
современных размеров, в которой могла испытываться модель гребного винта
408
диаметром до 304,8 мм (12 дюймов). Моделирование режима кавитации
осуществлялось за счет уменьшения, по сравнению с атмосферным, давле-
ния ра до необходимой для выполнения условия (14.6) значения, т. е. за счет
создания вакуума в специальной шахте с небольшим зеркалом горизонталь-
ной свободной поверхности. Указанная шахта расположена в верхней части
герметичной, имеющей вертикально расположенный прямоугольный замк-
нутый контур трубы. Именно поэтому замкнутая кавитационная труба обя-
зательно расположена вертикально. Рабочий участок находится в верхнем
горизонтальном колене, а импеллер (осевой насос) - в нижнем горизонталь-
ном колене, где гидростатическое давление максимально, и поэтому на им-
пеллере заведомо не возникнет кавитация при всех допустимых скоростях
потока. Модель гребного винта в таких трубах не имеет поступательного
движения и обтекается обращенным потоком.
Аналогичная труба, предназначенная для исследования кавитационного
обтекания тел, называется гидродинамической трубой. Первая кавитацион-
ная труба в России была построена в Ленинграде в 1934 г. по проекту немец-
кого гидромеханика Г. Лербса. Первые систематические испытания серии
кавитирующих ГВ в кавитационной трубе были выполнены в Германии в
1936 г. под руководством Лербса. К началу третьего тысячелетия во всем
мире, по данным Р.Д. Эттера (Etter R.J., 2000), было построено 66 обычных
кавитационных труб, и их строительство не прекращается. Главный недо-
статок кавитационных труб - влияние ее стенок на результаты испытаний.
Кроме кавитационных и гидродинамических труб для исследования влия-
ния свободной поверхности и устранения, в частности, влияния стенок были
созданы гидролотки и кавитационные бассейны. Кавитационный бассейн
(Variable pressure model basin, Vacuum Towing Tank, Depressurized Towing Tank)
представляет собой полностью герметичный купол, под которым находится
обычный опытовый бассейн с буксировочной тележкой, волнопродуктором и
т. д. За счет создания вакуума над свободной поверхностью удается умень-
шить величину ра до величины, необходимой для выполнения условия равен-
ства чисел кавитации модели и натуры, согласно (14.6). Первым был построен
в 1962 г. кавитационный бассейн в США длина, ширина и глубина соответ-
ственно 55 х 4,6 х 4,6 м. В России кавитационный бассейн, имеющий цельно-
металлический корпус, был построен по проекту Ю.Н. Прищемихина в 1965 г.
(60 х 6 х 3,5 м). В 1971 г. в Голландии был построен самый крупный в мире кави-
тационный бассейн (Depressurized Towing Tank), имеющий размеры 240 х 18 х 8 м.
Скорость обитаемой буксировочной тележки - до 4 м/с. Для создания вакуума
величиной 4 % атмосферного требуется более восьми часов. В 1985 г. был пост-
роен кавитационный бассейн в Китае (Wuxi), который имел размер 150 х 7 х 4,5 м.
При испытаниях в кавитационном бассейне в каждом конкретном случае
задается именно та величина давления (вакуума) над свободной поверхностью
р которая обеспечивает равенство чисел кавитации для модели и натуры. На-
пример, при испытаниях модели судна, изготовленной в масштабе 1:16,
409
при числе кавитации по оси натурного гребного винта 1,322, скорости натуры
15 м/с, глубине погружения оси натурного гребного винта 5 м, давлении насы-
щенных паров воды 1705 Па (при температуре 15 °) и плотности воды в бассей-
не 1000 кг/м3 получим при моделировании по числу Фруда, числу кавитации и
числу Струхаля (для гребного винта) необходимую величину вакуума, равную
7933 Па, т. е. вакуум должен составлять 7,83 % стандартной атмосферы, равной
101 325 Па. При этом масштабная скорость, с которой должна буксироваться
модель в бассейне, равна 3,75 м/с, а частота вращения для модельного гребного
винта должна быть в 4 раза больше, чем частота вращения гребного винта нату-
ры. Последнее необходимо для равенства чисел Струхаля (или относительной
поступи) для гребных винтов натуры и модели (см. задачу 4 в гл. 7).
Менее дорогой в строительстве и эксплуатации альтернативой кавита-
ционным бассейнам являются появившиеся в 60-е гг. гидролотки (Large
Cavitation tunnel with Free Water Surface), позволяющие учесть влияние как
свободной поверхности, так и корпуса судна. Последнее необходимо, на-
пример, при исследовании пересекающих свободную поверхность гребных
винтов. Большое количество испытаний частично погруженных гребных вин-
тов выполнил Клаус Круппа, использовавший гидролоток К27 (Free-surface
Cavitation tunnel К27) в Институте судостроения и морской техники Берлин-
ского технического университета [14.11].
Однако в гидролотках при больших скоростях потока (используется об-
ращенное движение, когда модель стоит на месте) трудно обеспечить спо-
койное состояние свободной поверхности жидкости в рабочем участке, по-
этому во многих научных центрах вернулись к кавитационным трубам, но,
в отличие от обычных, стали строить кавитационные трубы, имеющие ог-
ромные размеры рабочего участка. Например, недавно построенная боль-
шая кавитационная труба в Гамбурге имеет рабочий участок в поперечнике
1,5 х 2,8 м, что позволяет изучать обтекание гребных винтов в присутствии
модели корпуса судна с приближенным учетом влияния свободной поверх-
ности. Свободная поверхность в этом случае моделируется плоской твердой
стенкой, так как свободная поверхность в кавитационных трубах, как ука-
зывалось выше, в рабочем сечении трубы отсутствует.
В 1990 г. в США была построена самая большая в мире кавитационная
труба (Large Cavitation Channel, Carderock Division, NSWC, USA). Скорость
потока в рабочем сечении этой трубы достигает 18 м/с, что позволяет охва-
тить диапазон скоростей натуры при испытаниях гребных винтов вплоть до
70 уз. Поперечное сечение рабочего участка составляет 3 х 3 м, что позво-
ляет испытывать модели гребного винта вместе с моделью корпуса судна в
масштабе от 1:10 до 1:20 и уменьшить влияние стенок до допустимого уров-
ня. В 2002 г. была введена в строй третья по размерам в мире кавитационная
труба в г. Тайбей (Тайвань), имеющая поперечное сечение рабочего участка
2.6 х 1.5 м, длину рабочего участка 10 м и скорость потока до 12 м/с, при
мощности импеллера 1400 кВт.
410
Естественно, здесь не удалось перечислить все существующие уста-
новки для экспериментального исследования кавитации. Упомянем для
примера установку Киевского института гидродинамики, в которой был
установлен упомянутый ранее мировой рекорд скорости движения под
водой. Установка состоит из стального закрытого гидроканала с прозрач-
ными окнами, имеющего внутренние размеры 35 х 2 х 2 м и оборудован-
ного парогазовой катапультой для выстреливания кавитатора с заданной
скоростью.
14.2.3. Искусственная кавитация
Искусственная кавитация - это развитая гидродинамическая кавита-
ция, которая для своего возникновения и поддержания требует подачи
воздуха или газа в каверну. Искусственная кавитация не вызывает эро-
зии, поскольку в этом случае не образуются чисто паровые пузырьки,
схлопывание которых вблизи твердой поверхности и является причиной
эрозии.
При средних скоростях потока, характерных для гидродинамических
труб, и еще меньших скоростях тележек в опытовых бассейнах исследова-
ние обтекания тел при очень малых числах кавитации (меньше 0,1), когда
каверны имеют большие по сравнению с телом размеры (часто такие ка-
верны называются суперкавернами), казалось с использованием этих ус-
тановок невозможным. В 1944-1945 гг. немецкий ученый Г. Рейхардт и
российский ученый Л.А. Эпштейн независимо изобрели способ получе-
ния больших каверн при малых числах кавитации путем изменения (повы-
шения почти до гидростатического на соответствующей глубине) давле-
ния в каверне за счет искусственной подачи воздуха внутрь каверны [14.7].
Для образования искусственной каверны используются: изолированный ка-
витатор, например, расположенный поперек потока диск, или редан, уступ
и тому подобные особенности на поверхности обтекаемого тела. Такая ка-
витация стала называться искусственной и первоначально предназначалась
для моделирования естественной кавитации, которую иначе моделировать
не удавалось.
Позднее выяснилось, во-первых, что при подобном моделировании
большую роль играет число Фруда, и только при достаточно больших зна-
чениях числа Фруда (т. е. при достаточно больших поступательных ско-
ростях потока или модели) искусственная каверна приближается по сво-
им параметрам к естественной при том же числе кавитации, и, во-вторых,
искусственная кавитация может использоваться в натурных условиях как
средство снижения сопротивления трения.
Рассмотрим влияние числа Фруда на примере хорошо эксперименталь-
но изученного случая кавитационного обтекания расположенного попе-
рек потока плоского диска, за которым в область отрыва подается воздух
(рис. 14.14. и 14.15).
41
Рис. 14.14. Фотографии каверн за диском диаметром 0,03 м при значениях числа
кавитации 0,065; 0,052; 0,025, расположенные сверху вниз соответственно.
Влияние числа Фруда практически отсутствует, так как Fr = 20 для всех
случаев (скорость потока направлена слева направо и равна 10,57 м/с)
«)
Рис. 14.15. Влияние скорости потока на образование каверны
за круглым диском: а - Fr = 1,9; б - Fr = 4,3; в - Fr = 6,8
112
Диаметр диска-кавитатора обозначим Dn, тогда число Фруда для рассмат-
риваемого течения
Fr=^/715;. (н.п)
На рис. 14.14 приведены фотографии трех каверн за диском, имеющим
диаметр 0,03 м, при трех достаточно низких числах кавитации и при на-
столько больших числах Фруда (Fr = 20), когда его влияние на силу сопро-
тивления и форму каверны практически отсутствует. Эти фотографии по-
лучены в гидродинамической трубе при пониженном давлении рх и
повышенном давлении в каверне Pq^ за счет подачи воздуха, т. е. исполь-
зовалась искусственная кавитация в искусственных условиях гидродина-
мической трубы.
В указанных случаях удалось получить практически полное соответствие
между искусственной и естественной кавитацией, хотя, надо отметить, для
маленькой по размерам модели. Таким образом, для целей моделирования
естественной кавитации достаточно провести испытания модели при чис-
лах Фруда, превышающих определенное минимальное значение Frmin, кото-
рое можно найти по выведенной теоретически формуле В.Н. Буйвола [14.6]:
= 5 ’ (14.12)
где ае - число кавитации, рассчитанное по глубине погружения оси диска.
Уменьшение числа Фруда или параметра кх ниже указанного минималь-
ного значения соответствует постепенному усилению влияния сил тяжести
на форму каверны. Кормовая часть каверны всплывает, и при этом кормовые
поперечные сечения каверны существенно деформируются (см. рис. 14.15).
Поэтому, если результаты испытаний в дальнейшем необходимы для расче-
та натуры, на которой осуществляется снижение сопротивления трения пу-
тем создания искусственных каверн, то при моделировании необходимо вы-
полнять кроме равенства чисел кавитации еще равенство чисел Фруда для
модели и для натуры. Исключение допустимо только при высоких числах
Фруда, превышающих значение Frmin, найденное по (14.12). Введение пара-
метра кх позволяет выделить характерные интервалы, соответствующие раз-
личным уровням деформации каверны, вызванной весомостью жидкости.
Интервал кх = 1 ч- 2 характеризуется высоким уровнем возмущений, при
котором почти вся кормовая часть каверны вырождается в пару полых вих-
ревых шнуров, по которым происходит унос газа из искусственной каверны
(рис. 14.16).
Интервал к} = 2 4- 4 соответствует среднему или существенному уровню
возмущений, при котором, однако, высота водяного гребня в нижней части
каверны не становится больше диаметра осесимметричной каверны, кото-
рая имела бы место в невесомой жидкости. В этом случае отмечается неупо-
рядоченная форма уноса газа в виде порций пульсирующей газожидкостной
смеси.
413
Рис. 14.16. Схема деформации каверны в интервале
kx = 1 4- 2, унос газа из каверны происходит по второй
форме, т. е. по полым вихревым шнурам (14.6]
Интервал кх = 4 ч- 10 характеризуется слабым влиянием поля сил тяжес-
ти, а при = 10 это влияние полностью отсутствует (автомодельный режим
по числу Фруда). Указанный диапазон пригоден для моделирования есте-
ственной кавитации без выполнения условия равенства чисел Фруда для
модели и натуры, при этом равенство чисел кавитации для модели и натуры
остается обязательным. Процесс выноса газа или пара в этом диапазоне для
искусственной и естественной каверн отличается не сильно и носит пульси-
рующий характер. Однако качественное отличие заключается в том, что при
естественной кавитации, как указывалось, возможна эрозия твердой повер-
хности, находящейся в районе замыкания каверны, вызванная схлопывани-
ем чисто паровых пузырьков, в большом числе образующихся в хвостовой
части каверны. В хвосте искусственной каверны образуются исключитель-
но газовые пузырьки, которые не схлопываются в зоне повышенного давле-
ния, а лишь уменьшаются в размере и впоследствии исчезают, когда напол-
няющий их газ диффундирует, при этом эрозия не возникает.
Физика влияния силы тяжести может быть понята, если учесть, что внутри
каверны давление постоянно по всему ее объему. При этом считается, что
скачка давления на поверхности из-за поверхностного натяжения практи-
чески нет вследствие малой кривизны границ каверны везде, кроме точек
схода каверны с кавитатора. Следовательно, давление для всех точек повер-
хности каверны, деформированной под действием сил тяжести, должно быть
одинаковым. Уравнение Бернулли в случае условно стационарного потен-
циального течения невязкой жидкости с учетом сил тяжести имеет вид
0,5pKj2 + рх -pghx =0,5рИ22 + р2 ~pgh2 -> (14.13)
где индексами 1 и 2 помечены модуль скорости, давление и глубина погру-
жения под горизонтальную свободную поверхность (глубина погружения
отсчитывается по вертикали вниз) для двух различных точек рассматривае-
мого течения, например, для точек, лежащих на границе деформированной
414
каверны в диаметральной вертикальной плоскости в одном поперечном се-
чении так, что первая точка находится в верхней точке рассматриваемого
поперечного сечения, а вторая - в нижней.
Для описанных двух точек, очевидно, имеемрх = р2; hx < h2. Подставляя
указанные выше значениия в (14.13) и перенося соответствующие слагае-
мые из одной части уравнения в другую, получаем < К2, т. е. относитель-
ная скорость частиц жидкости в одном вертикальном поперечном сечении
на верхней границе каверны меньше, чем на нижней границе каверны, если
учитывается поле сил тяжести.
Отметим сразу важное следствие из (14.13). Если силы тяжести не учи-
тываются (жидкость невесомая), то из этого уравнения выпадают гидроста-
тические члены pg/z, и неравенство скоростей для рассматриваемых двух
точек превращается в равенство = V2- Из последнего равенства непосред-
ственно следует важнейший факт: в невесомой невязкой жидкости модуль
скорости для всех точек, лежащих на границе развитой каверны, постоянен
и является функцией только числа кавитации ECAV = Е^л/1 + ае (см. подроб-
нее подпараграф 14.4.1.).
При учете сил тяжести условие равенства скоростей для точек, лежащих
на границе каверны, не выполняется, так как в этом случае, согласно (14.13),
E(?AV =E^(l + ae) + 2g(/zCAV-/г^), где число кавитации принято в виде
ае = - pcAV)/(0,5p и|), a h отсчитывается вертикально вниз от свобод-
ной поверхности, где статическое давление РаиР^= Ра +
Эксперименты показывают, что каверна в реальной тяжелой жидкости
принимает такую форму, которая обеспечивает постоянство статического
давления внутри каверны. Это приводит к всплытию конца каверны, к ис-
кривлению средней линии каверны и образованию в кормовой килевой час-
ти каверны водяного гребня с вершиной внутри каверны (см. рис. 14.16).
Последнее сопровождается расширением поперечных сечений и образова-
нием своеобразных щек на боковых поверхностях кормовой части каверны.
Эти щеки при достаточном развитии, когда число кх уменьшается до 2, пере-
ходят непосредственно в два полых вихря в конце каверны. Несимметрич-
ное распределение скоростей по вертикальному сечению каверны в диамет-
ральной плоскости в случае учета сил тяжести приводит к наличию
циркуляции вокруг всплывающей каверны. По теореме Жуковского о подъем-
ной силе получается, что указанная циркуляция соответствует топящей силе,
численно равной и противоположно направленной силе плавучести, кото-
рая возникла бы нателе, имеющем форму и объем невозмущенной каверны.
Возмущенная форма каверны как раз и соответствует равенству топящей
силы циркуляционной природы и силы плавучести гидростатической при-
роды, так что на каверне результирующая вертикальная сила равна нулю,
как это, с другой стороны, непосредственно следует из факта постоянства
давления по всей поверхности каверны. Указанное можно записать количе-
415
ственно, следуя Г.В. Логвиновичу [14.5] величина циркуляции, возникаю-
щей по замкнутому контуру каверны, совпадающему с контуром сечения
каверны диаметральной плоскостью, равна Г « gS/V^, где S - площадь сече-
ния каверны диаметральной плоскостью. Течение вне каверны остается по-
тенциальным, поэтому циркуляции вокруг каждого из двух вихревых шну-
ров, образующихся при соответствующей форме уноса газа, в точности равны
по модулю и противоположны по знаку. Каждая циркуляция равна по моду-
лю указанной выше величине. Поскольку эти циркуляции противоположны
по знаку, циркуляция по любому замкнутому контуру, охватывающему оба
вихревых шнура (без одинарного пересечения с произвольной поверхнос-
тью, соединяющей эти вихревые шнуры), равна нулю.
Без учета сил тяжести при обтекании нормального к потоку плоского
диска образуется осесимметричная каверна, размеры которой вместе с со-
противлением диска могут быть найдены с использованием хорошо отрабо-
танных простых эмпирических формул как в случае естественной, так и в
случае искусственной каверны при достаточно высоких, согласно (14.12),
числах Фруда [14.6]:
sn = / 4; sCAV = nD^AV / 4; cx = 2X/(pkX);
— iskS^^ / Sn , DCM / Dn — JCX /(Аж) , ^cAy / Dn — AyjCx /ж ,
Cx = 0,827(1 + ae); к « 0,9 + 1,0; A « 2. (14.14)
В этих формулах принято: диаметр кавитатора в виде диска -D^ диа-
метр наибольшего поперечного сечения каверны - DCAV; коэффициент со-
противления - Сх; длина каверны - £CAV; число кавитации - ае; скорость на-
бегающего потока далеко перед кавитатором - V^; плотность жидкости - р;
площадь кавитатора - Sn; площадь наибольшего поперечного сечения кавер-
ны - SCAV; сила кавитационного сопротивления - X.
Использование искусственной кавитации требует знания величины рас-
хода воздуха, необходимого для поддержания каверны. Как указывалось,
различают две формы потери газа из искусственной каверны. Первая форма
по вихревым шнурам (полым вихрям) соответствует небольшим числам
Фруда [к{ = 1 4- 2 в формуле (14.12)]. В этом случае расход газа дает прибли-
женная формула Л.А. Эпштейна [14.7]
Cq ) = 0,287 /[ае (ж 3Fr4 -2,07)]. (14.15)
При более высоких числах Фруда наблюдается вторая форма потери газа
из каверны в виде периодически отделяющихся порций газоводяной смеси в
конце каверны. Расход газа на поддержание такой каверны зависит от неста-
ционарных процессов в хвосте каверны и простой формулой не описывается.
Из формулы (14.15) вытекает экспериментально подтвержденный факт
существования при фиксированном числе Фруда минимального числа кави-
тации aemin , причем никаким увеличением подачи воздуха в каверну полу-
416
чить искусственную каверну с меньшим числом кавитации невозможно. Дей-
ствительно, знаменатель формулы (14.15) обращается в нуль при
-^2,07/Fr
(14.16)
min
что означает формально бесконечный расход, а фактически соответствует
указанному минимально достижимому в опытах с искусственной кавитаци-
ей числу кавитации при данном числе Фруда.
Некоторые примеры использования искусственной кавитации приве-
дены ранее в подпараграфе 14.1.4. Следует отметить, что плоское днище
речных судов с небольшой осадкой и специально профилированное днище
небольших быстроходных судов оказались очень удобными объектами для
образования на них искусственных каверн. Это обусловлено тем, что вли-
яние сил тяжести в этих случаях, в отличие от рассмотренного выше слу-
чая подводного объекта, оказывается не столь негативным, а наоборот, по-
зволяет получить исключительно малорасходные каверны (см.
рис. 14.11, линию 2).
14.2.4. Естественная кавитация, различные формы и стадии, кави-
щонная диаграмма
Многолетние лабораторные эксперименты и хорошо обеспеченные раз-
ной аппаратурой наблюдения в натуре привели к открытию множества
)м естественной кавитации. На рис. 14.17, например, продемонстрирова-
одновременно существующие на поверхности крыла конечного размаха
типтической формы в плане) три формы кавитации: пузырчатая, пленоч-
(кромочная) и вихревая (концевого вихря).
Рис, 14,17, Фотография обтекания конца трехмерного
крыла с одновременным образованием различных форм
кавитации: пузырчатой, пленочной (кромочной) и
вихревой ( концевого вихря). Скорость потока - 9,5 м/с,
число кавитации 0,69, угол атаки — 6°, максимальная хорда
крыла - 0,2 м (направление потока слева направо)
417
Полнее всего изучены различные формы кавитации, наблюдаемые на
лопастях гребных винтов [14.10,14.11], так как лопасти гребных винтов чаще
других частей судна обтекаются в кавитационном режиме (см. рис. 14.7, 14.9
и 14.10). На судне, кроме лопастей гребного винта, кавитация может иметь
место на руле, на стойке движительно-рулевой колонки, на подводном кры-
ле и на кронштейне гребного вала, а также на поверхности водометной тру-
бы, на лопастях насосов водомета, лопастях крыльчатого движителя и т. д.
Рассмотрим более подробно кавитацию профиля крыла, как характер-
ный и достаточно важный частный случай. На рис. 14.18 дана схема обтека-
ния профиля крыла в режиме нестационарной развитой кромочной пленоч-
ной кавитации.
t/T=O
t/T= 1/6
t/T= 1/3
t/T= 1/2
t/T = 2/3
t/T = 5/6
t/T= 1
Отрыв задней части
каверны от профиля
Развитие обратной
струйки
Облако паровых
пузырьков
схлопывается в зоне
повышенного давления
Рис. 14.18. Схема обтекания профиля
крыла в режиме развитой
нестационарной кромочной
пленочной кавитации
418
Такой режим обтекания называется частичной кавитацией, поскольку кавер-
на замыкается в пределах хорды профиля. Если каверна замыкается за пределами
хорды профиля, такой режим обтекания называется суперкавитацией. Для указа-
ния степени развития кавитации на профиле используют в порядке возрастания
размеров каверны термины: начальная стадия, первая стадия, вторая стадия.
На указанном выше рис. 14.18 показана первая стадия кавитации, харак-
теризуемая осредненной по времени длиной каверны, которая примерно рав-
на одной трети хорды. Каверна начинается на передней кромке и расположена
со стороны разряжения (при положительных углах атаки профиля). На рисун-
ке приведен один полный период существования этой каверны, которая имеет
высокую степень нестационарности при замыкании на поверхность профиля,
как это и показано на рисунке. Видно, что в хвостовой части каверны на пер-
вых кадрах, при наибольшей в процессе колебаний длине каверны, начинает
образовываться обратная струйка, которая за 2/6 периода полного цикла дос-
тигает носовой части каверны и отсекает большую часть каверны от ее присо-
единенной в районе передней кромки небольшой носовой части. В течение
дальнейших 4/6 периода полного цикла наблюдаются одновременно два про-
цесса: увеличение длины каверны и дрейф отсеченной части каверны вниз по
потоку по направлению к зоне повышенного давления в хвостовой части про-
филя. В конце полного цикла отсеченная часть каверны разрушается, остав-
ляя вместо себя достаточно однородное облако очень мелких пузырьковых
каверн. Это явление, носящее название облачной кавитации, сопровождается
наиболее интенсивным процессом схлопывания паровых пузырьков, т. е. об-
разованием импульсов поля давления, вызывающего вибрацию и подводный
шум, а также формированием кумулятивных струй, вызывающих эрозию на
хвостовой части засасывающей поверхности профиля.
Указанная нестационарность каверны особенно интенсивна в тех случа-
ях, когда частичная каверна в процессе своего роста достигает задней кром-
ки профиля, и подобный режим обтекания профиля называется кавитаци-
онным бафтингом. Описанный нестационарный процесс обычно
соответствует числам Струхаля в пределах:
Sh - CCAV/( * 0,25^0,33, (14.17)
где Т- период полного цикла рассматриваемого нестационарного процесса;
Z>CAV ~ средняя длина нестационарной каверны.
На рассматриваемом профиле при других значениях угла атаки и числа
кавитации возможна другая картина развития кавитации или полное ее от-
сутствие. Для определения вида кавитации на конкретном профиле при вы-
полнении инженерных расчетов служит расчетно или экспериментально
полученная кавитационная диаграмма. На рис. 14.19 в качестве примера
приведены четыре совмещенные на одном рисунке кавитационные диаграм-
мы для четырех профилей, отличающихся только относительной толщиной
(5-0,02; 0,03; 0,04; 0,05).
419
Рис. 14.19. Кавитационная диаграмма для четырех профилей NACA- 66mod, а = 0,8
при различных относительных толщинах 6
1 — профильная кавитация на спинке профиля; 2 - кромочная кавитация
на засасывающей поверхности; 3 - кромочная кавитция
на нагнетающей поверхности
Кавитационная диаграмма - это график в координатах а°-аг (угол ата-
ки-число кавитации) в виде «корзины», ограничивающей область отсутствия
кавитации на рассматриваемом профиле. На режимах, соответствующих
точкам кавитационной диаграммы, расположенным внутри «корзины», ка-
витации на рассматриваемом профиле нет, а вне «корзины» имеются три
области, соответствующие, как показано на рис. 14.19, трем различным фор-
мам кавитации. «Донышко» «корзины» соответствует границе с областью, в
которой на профиле будет иметь место профильная кавитация, начинающа-
яся в районе наибольшей толщины профиля. Левая ветвь «корзины» соот-
ветствует границе с областью, в которой на профиле будет иметь место кро-
мочная кавитация на нагнетающей (нижней) поверхности профиля. Правая
ветвь «корзины» соответствует границе с областью, в которой на профиле
будет иметь место кромочная кавитация на засасывающей (верхней) поверх-
ности профиля.
Дадим определение начальной стадии развития кавитации на профиле.
Если кавитационная диаграмма построена по данным эксперимента, то
режимы работы профиля, отображенные на диаграмме точками, близко
420
расположенными к линиям ограничивающим соответствующую «корзи-
ну», как раз и характеризуют начальную стадию кавитации на профиле,
когда каверна может иметь такой малый размер, что она не будет еще
видна невооруженным глазом, но может быть зафиксирована приборами,
например, по подводному шуму. В модельном эксперименте начальная
стадия может быть пузырчатой за счет образования и диффузионного
роста парогазовых пузырьков в зоне ламинарного отрыва. В начальной
стадии на форму кавитации может существенное влияние оказывать вяз-
кость, состояние пограничного слоя (рис. 14.20) и капиллярность жидко-
сти, а также уровень содержания зародышей кавитации в набегающем
потоке.
Рис. 14.20. Эксперимент, демонстрирующий влияние
состояния пограничного слоя на процесс возникновения
кавитации (на верхней половине тела вращения в носу
установлен турбулизатор). Поток направлен
слева направо
Дадим определение первой стадии развития кавитации на профиле. Как
уже указывалось, этой стадии соответствует осредненная длина каверны
меньше длины хорды.
Дадим определение второй стадии развития кавитации на профиле. Этот
термин характеризует такое развитие кромочной пленочной кавитации на
засасывающей стороне профиля, когда вся эта поверхность покрыта кавер-
ной и происходят заметные изменения в гидродинамических характеристи-
ках профиля, по сравнению с их значениями для обтекания рассматриваемо-
го профиля на режиме отсутствия кавитации (такой режим достижим путем
уменьшения числа кавитации без изменения угла атаки). Осредненная по
времени длина каверны в этом случае больше длины хорды.
Для лопастей гребных винтов момент перехода от первой стадии разви-
тия кавитации ко второй фиксируется по началу «отвала» кривых действия
421
от их положения при отсутствии кавитации. При второй стадии развития
кавитации на профиле эрозия и кавитационный бафтинг уже не наблюдают-
ся. Можно сказать, что вторая стадия развития кавитации и суперкавитация
означают фактически один и тот же режим. Только первый термин, как пра-
вило, применяется к обычным профилям, а второй к специально спроекти-
рованным для работы в условиях соответствующего развития кавитации
клиновидным профилям.
Надо отметить, что определенные формы кавитации часто требуют при
своем моделировании выполнения дополнительных критериев подобия, кро-
ме обязательного во всех случаях числа кавитации. Например, вихревая ка-
витация вообще трудно моделируется, так как требует моделирования по
числу Рейнольдса, что, как правило, невозможно. В этом случае при анализе
эксперимента следует использовать соответствующий метод пересчета. Со-
гласно математической модели В. Ранкина (Б.В. МакКормик, 1962), для вих-
ря коэффициент разряжения на оси, а, следовательно, и число кавитации,
соответствующее существованию кавитации в ядре этого вихря, пропорци-
онально числу Рейнольдса (по максимальной хорде и скорости набегающе-
го потока для крыла конечного размаха) в степени 0,4. По эксперименталь-
ным данным указанный показатель степени равен 0,50-0,54.
14.3. Расчетные методы исследования условий
возникновения кавитации
14.3.1. Условие начала естественной кавитации
Во многих случаях при теоретическом исследовании безотрывного стаци-
онарного обтекания хорошо обтекаемых профилей или осесимметричных тел
используется модель невязкой (идеальной) жидкости, что позволяет достаточ-
но достоверно предсказать распределение коэффициента гидродинамическо-
го давления р почти по всей обтекаемой поверхности за исключением отно-
сительно небольшой части в корме. Как известно, коэффициент давления
(избыточного или гидродинамического, т. е. коэффициент давления, найден-
ный без учета сил тяжести) р в невязкой безграничной жидкости не зависит
от размерных давления и скорости и определяется формулой (см. § 4.4)
р = (р*-/4)/(рк|/2), (14.18)
где р* - размерное избыточное (т. е. найденное без учета сил тяжести) дав-
ление в рассматриваемой точке на поверхности профиля; р^ - размерное
избыточное давление на бесконечности, которое является постоянным по
вертикали, поскольку сила тяжести пока не учитывается.
Очевидно, что, например, данный профиль при заданном угле атаки при
безотрывном обтекании невязкой безграничной жидкостью имеет вполне
определенное значение минимума коэффициента давления J?min, величина
которого и положение точки на профиле, где это значение достигается, не
422
зависят от размерных избыточного давления на бесконечности и скоро-
сти на бесконечности V^. Однако размерное значение минимального избы-
точного давления на рассматриваемом профиле от указанных величин, есте-
ственно, зависит следующим образом:
* __ 2 *
Anin — Anin (Р /2)4- .
(14.19)
Кавитация это такое явление, при рассмотрении которого нельзя ограни-
чится изучением только избыточного давления, а необходимо учитывать ве-
личину истинного статического давления на бесконечности. Для получения
размерного значения минимального истинного (с учетом сил тяжести), а не
избыточного статического давления надо, согласно определению избы-
точного давления, к полученному выше избыточному размерному давлению
прибавить гидростатический член, а именно:
/?min — Anin PS^ ~ Anin(P^oo /2)4- р^ 4- pgh . (14.20)
Последняя формула содержит произвольную постоянную р^, которую
можно найти из условия на бесконечности впереди перед обтекаемым те-
лом, где коэффициент давления по определению, как это явствует из (14.18),
равен нулю, т. е. рю = 0. Учитывая это, можно записать, аналогично (14.20),
для точки, расположенной на бесконечности впереди, следующее равенство:
/>□0 = Ao(p^/2) + /^+pg/? = /^+pg/z. (14.21)
Теперь предположим наличие горизонтальной свободной поверхности,
от которой вертикально вниз идет отсчет Л и на которой давление принима-
ется постоянным и равным ра (в натурных условиях ра, естественно, равно
атмосферному давлению, а в кавитационных трубах или бассейнах может
быть значительно меньше). Тогда с учетом принятых обозначений формула
(14.21) примет окончательный вид:
Рт = Ра + PSh- (14.22)
Таким образом, в рассматриваемом случае свободная постоянная
должна быть равна размерному давлению на горизонтальной свободной по-
верхности, а именно:
Рю = Ра
(14.23)
Подставляя найденное значение произвольной постоянной в (14.20), окон-
чательно получим истинное размерное (с учетом сил тяжести) минимальное
статическое давление на рассматриваемом профиле:
Anin Anin(Р/2)4- ра + pgh .
(14.24)
Здесь можно сделать допущение, что h достаточно велико по сравнению
с размерами обтекаемого тела для пренебрежения влиянием наличия сво-
бодной поверхности на коэффициент давления рт1П, который в этом случае
423
можно заимствовать из решения соответствующей задачи в безграничной
жидкости.
Простейшее условие начала кавитации (начала «холодного кипения») на
поверхности рассматриваемого профиля - зто понижение (в процессе обте-
кания) истинного статического давления /?min до величины давления насы-
щенных паров при температуре жидкости:
Anin Avap (14.25)
или с учетом (14.24)
Ртт(Р^/2) + ^а+Р^=^УАР- (14.26)
Исключая из рассмотрения случай = 0, можно разделить обе части
равенства (14.26) на скоростной напор со знаком минус, т. е. разделить на
-O,5pJ% , и после перенесения в правую часть последних двух слагаемых из
левой части получить
Anin (Ра + Р£^ АуАР )/(р Кэо / 2) .
(14.27)
Вспоминая определение числа кавитации (14.2) в случае естественной
(паровой) кавитации, когда выполняется (14.3), замечаем, что в (14.27) в пра-
вой части стоит число кавитации ге. Таким образом окончательно простей-
шее условие начала естественной кавитации на хорошо обтекаемом теле в
безразмерном виде можно записать
Anin ИЛИ /?mjn
-Ж ,
(14.28)
где Pmin - абсолютное значение минимального коэффициента давления на
поверхности обтекаемого гладкого тела (избыточного давления).
Это условие эквивалентно аналогичному условию в размерном виде
(14.25). Сформулированное условие позволяет решить практически важную
задачу о величине скорости обтекания К/оо, соответствующей началу есте-
ственной кавитации на профиле или на другом хорошо обтекаемом теле,
если для этого профиля или тела известны минимум коэффициента давле-
ния J>min и глубина погружения точки, где этот минимум достигается h. При
этом статическое давление на горизонтальной свободной поверхности ра
считается известным. Из (14.27) непосредственно находим
^00 = \l2(Pa +P^-pvAp)/(-PminP) • (14.29)
Рассмотрим для примера обтекание профиля NACA 66mod, а = 0,8, име-
ющего максимальную относительную кривизну 0,01 (1 %), максимальную
относительную толщину 0,03 (3 %), коэффициент подъемной силы 0,2, глу-
бину погружения точки минимума коэффициента давления h = 2 м, мини-
мум коэффициента давления pmin = -0,5 . Принимая дополнительно
ра = 101325 Па, р = 1000 кг/м3, g = 9,81 м/с2,/?VAp = 872 Па (при 5 ° С), рас-
чет по формуле (14.29) дает в этом случае для скорости начала кавитации
424
= 21,9 м/с. Полученный результат означает, что при меньших скоростях
простейшая форма кавитации будет отсутствовать, а при больших - иметь
место кромочная кавитация на верхней стороне профиля.
Указанная формула (14.29) справедлива и для осесимметричных тел,
например, для элипсоида вращения, имеющего удлинение 6 и обтекаемого
вдоль своей большой оси при глубине погружения верхней точки миделя
h = 2м, можно последовательно найти pmm = -0,12 , И/оо = 44,7 м/с. Здесь ис-
пользована справедливая для эллипсоида вращения при его продольном дви-
жении в безграничной невязкой жидкости аналитическая формула [14.1]
Anin =l-e6/{e + 0,5(l-e2)ln[(l-e)/(l + е)]}2; e = (Vx2-l)/X, (14-30)
где X - удлинение эллипсоида вращения.
14.3.2. Кавитационная диаграмма, полученная расчетом, простейшее
условие отсутствия естественной кавитации
Важно отметить, что простейшее условие начала естественной кавита-
ции позволяет использовать решение задачи о безотрывном обтекании тела
безграничным потенциальным потоком идеальной жидкости для построе-
ния расчетных кавитационных диаграмм, вполне пригодных для предсказа-
ния, например, начала кавитации на хорошо обтекаемом теле или профиле.
Отметим, что линии кавитационных «корзин» на кавитационной диаграмме
(см. рис. 14.19) для рассматриваемого профиля и для других трех профилей
получены расчетным путем и соответствуют условию (14.28), т. е. по оси
ординат отложены значения с обратным знаком, при этом ось ординат
можно обозначить как число кавитации.
Для некоторых тел и профилей имеются аналитические формулы, позво-
ляющие вычислить pmjn, т. е. построить расчетную кавитационную диаграм-
му. В качестве примера подобных формул приведем полученные В.П. Бубен-
цовым, В.Г. Мишкевичем и К.В. Рождественским [6] с использованием
линейной теории профиля и метода асимптотических разложений аналити-
ческие формулы для рассмотренного выше профиля типа NACA 66mod, а = 0,8.
Ординаты дна кавитационной корзины, обозначенные цифрой 1 на рис. 14.19:
-Anin = (1 +1,255 + 0,15сL +1,655с)2 -1, (14.31)
и ординаты правой боковой ветви кавитационной корзины, обозначенной 2
на рис. 14.19, когда они лежат выше ординат дна:
-Anin = (1 + 0,755)2 + (0,1195 / 52 )(cL -13,905с )2 -1. (14.32)
Здесь принято, что 5 - максимальная относительная толщина профиля;
5С - максимальная относительная кривизна средней линии профиля; cL -
коэффициент подъемной силы профиля.
В случае оптимального профиля, проектируемого для работы в воздухе,
величина CL, величина а и величина 8 прежде всего соответствуют
425
наибольшему аэродинамическому качеству и требуемой прочности и оказы-
ваются значительно больше аналогичных значений для профиля, проекти-
руемого с целью работы в воде, так как для последнего такие большие зна-
чения указанных величин не позволят выполнить условие отсутствия
кавитации (на кавитационной диаграмме такие большие значения лежат да-
леко за пределами соответствующей кавитационной «корзины»).
Именно из-за ограничений по кавитации, которых при работе профиля в
воздухе нет, подводные крылья и лопасти судовых гребных винтов имеют
совершенно иной внешний вид, чем аналогичные авиационные конструк-
ции. Подводные крылья тоньше, шире и работают почти при нулевом угле
атаки, создавая подъемную силу почти полностью за счет кривизны средней
линии при значительно меньших значениях сL. Только с учетом условий воз-
никновения кавитации появилась возможность разъяснить бросающееся в
глаза различие между узколопастными воздушными пропеллерами для вер-
толетов или винтовых самолетов и широколопастными судовыми гребными
винтами, между относительно толстыми крыльями самолетов и тонкими под-
водными крыльями судов на подводных крыльях.
Простейшее условие отсутствия кавитации, согласно (14.25) и (14.28),
очевидно можно записать в виде размерного и безразмерного неравенств:
^min ^VAP’
(14.35)
Anin < >
(14.36)
что физически означает: для отсутствия естественной кавитации в рассмат-
риваемом случае хорошо обтекаемого профиля (тела) истинное минималь-
ное давление на поверхности профиля должно быть больше давления насы-
щенных паров жидкости при соответствующей температуре.
Внутренняя область «корзины» на каждой из приведенных кавитацион-
ных диаграмм (см. рис. 14.19) как раз и соответствует безразмерному усло-
вию отсутствия кавитации (14.36). Линия контура «корзины» в точности со-
ответствует, как указывалось, значениям минимума коэффициента давления
с обратным знаком при соответствующем угле атаки а° или эквивалентном
значении коэффициента подъемной силы cL, поскольку на диаграмме отло-
жены по оси абсцисс одновременно а и cL (см. рис. 14.19).
14.3.3. Оптимальная с точки зрения кавитации толщина профиля
Для симметричного профиля с эллиптическим распределением толщи-
ны можно найти аналитическое распределение коэффициента гидродина-
мического давления по поверхности [5, 14.12],
-р = -1 + (1 + 8)2 [sin(0 - а) + к sin а]2 /(sin2 0 + 82 cos2 0); (14.37)
x = (l + cos0)/2,
(14.37a)
где 8 - максимальная относительная толщина эллиптического профиля
426
(отношение длин малой и большой полуосей); 0 - угол, изменяющийся от 0 до
2л, характеризующий положение точки на поверхности эллиптического профи-
ля (0 = л соответствует входящей кромке, а 0 = 0 выходящей кромке, 0 < 0 < л -
верхняя поверхность эллиптического цилиндра, а л < 0 < 2л - нижняя поверх-
ность); х - абсцисса, изменяющаяся от 0 до 1, характеризующая положение точ-
ки на поверхности эллиптического профиля проекцией этой точки на хорду,
которая начинается на входящей кромке (х = 0) и заканчивается на выходящей
кромке (х = 1); а - угол атаки (угол между хордой профиля и направлением
набегающего вдоль оси х далеко перед телом потока); к- параметр, равный 0
при бесциркуляционном обтекании и равный 1 при циркуляционном обтекании
с условным расположением задней критической точки на задней кромке (0 = 0).
Указанное расположение названо условным потому, что у рассматриваемого эл-
липтического профиля выходящая кромка, где 0 = 0, а х = 1, не является острой
и постулат Жуковского-Чаплыгина в этом случае не применим.
Легко найти, что при нулевом угле атаки, когда набегающий поток на-
правлен вдоль оси х, т.е. вдоль большой оси эллиптического профиля слева
направо, для отсутствия кавитации на поверхности профиля, согласно про-
стейшему условию отсутствия кавитации (14.36), относительная толщина
должна быть меньше определенного значения
Зтах =-1 + >/Г+1е. (14.376)
Если ае - малая величина, то предыдущая формула упрощается и может
быть записана в следующем асимптотическом виде
3^=32/2. (14.37в)
Очевидно, что при заданном числе кавитации и ненулевом угле атаки
необходимая для отсутствия кавитации толщина должна быть еще меньше.
Но, с другой стороны, уменьшение толщины приводит к увеличению допус-
тимого для отсутствия кавитации угла атаки лишь до определенного преде-
ла (примерно 2/3 от 8тах), так как при малой толщине диапазон углов атаки,
для которого кавитация отсутствует, опять стремится к нулю из-за очень
большого разряжения на входящей кромке. В пределе при нулевой толщине
теоретически кавитация будет отсутствовать только при нулевом угле атаки.
Следовательно, правомочно поставить практически важную задачу об
оптимальной с точки зрения возникновения кавитации относительной мак-
симальной толщине профиля 8 t при заданном числе кавитации ж. Иными
словами, поставить задачу о выборе относительной максимальной толщины
для рассматриваемого типа профилей, обеспечивающей наибольший диапа-
зон углов атаки, в пределах которого выполнено простейшее условие отсут-
ствия кавитации. Очевидно, что найденная оптимальная относительная мак-
симальная толщина обеспечивает при заданном числе кавитации наибольшую
ширину кавитационной «корзины» при данном числе кавитации среди всех
«корзин», соответствующих различным значениям максимальной относи-
тельной толщины профилей данного типа.
427
В работе [14.12] получено аналитическое решение рассматриваемой за-
дачи для симметричного (кривизна средней линии отсутствует) с эллипти-
ческим распределением толщины профиля во всем диапазоне возможных
толщин и чисел кавитации вплоть до ае = 3. Ниже даны эти результаты в
асимптотическом виде, т.е. для малых чисел кавитации. Оптимальная отно-
сительная максимальная толщина симметричного эллиптического профиля
для малых чисел кавитации не зависит от выбора £ в формуле (14.37) и опре-
деляется простым соотношением
Зор^зе/З; (14.38)
Максимальный при данном числе кавитации диапазон углов атаки Аатах,
симметричный относительно нуля и соответствующий ширине симметрич-
ной относительно оси ординат кавитационной «корзине» для оптимального
по толщине эллиптического профиля при данном числе кавитации равен
Латах] = (ж/З)3'2
для случая £=1, т.е. при циркуляционном обтекании, и
Датахо = 2(зе/З)3/2
для случая к = 0, т.е. при бесциркуляционном обтекании.
Согласно постановке задачи, указанный диапазон углов атаки является
наибольшим из возможных при заданном числе кавитации. Например, при
ае = 0,1 получим 8opt = 0,0333; Aocmaxl =0.348°; Аа^о =0.696 °. Видно, что ди-
апазон углов атаки бескавитационного обтекания рассматриваемого симмет-
ричного профиля при числе кавитации 0.1 очень мал. Увеличение числа ка-
витации до 0.3 дает 8opt = 0,10; Aa^^l.8120; Aamax0=3.624°.
Решение аналогичной задачи (Брокетт, 1966) для профилей типа NACA-
66mod, а = 0,8, имеющих искривленную среднюю линию, дается прибли-
женной формулой, справедливой при ж = 0,2 4- 0,9:
80pt = ае/3 - 38с, (14.38а)
где 8с - максимальная относительная кривизна средней линии профиля.
В результате выполненного анализа можно заключить, что при проекти-
ровании стоек, крыльев и лопастей гребных винтов для работы в неравно-
мерном поле скоростей или при непостоянных углах дрейфа (или диффе-
рента) могут возникнуть трудности с обеспечением отсутствия кавитации
на всех практически возможных режимах.
14.3.4. Влияние вязкости и капиллярных сил на возникновение
кавитации
До этого момента о влиянии вязкости на кавитацию почти не говорилось
(кроме масштабного эффекта вихревой кавитации в подпараграфе 14.2.4
и пояснения к рис. 14.20). Первым экспериментально обнаружил влияние
вязкости на момент начала кавитации при обтекании осесимметричных тел
428
американский ученый В.Г. Аракери в 1973 г. Для иллюстрации влияния со-
стояния пограничного слоя на условия возникновения кавитации на теле вра-
щения приведен рис. 14.20. На приведенной на этом рисунке фотографии
видно, что установленный в носу на верхней половине тела вращения про-
волочный турбулизатор устраняет ламинарный отрыв, имеющий место в
нижней части, и это приводит к отсутствию пленочной каверны на верхней
половине рассматриваемой модели тела вращения. Такого рода явления вклю-
чаются в объединяющий их термин масштабный эффект и требуют серьез-
ного изучения, выходящего за рамки данного курса лекций [14.3, 14.16].
Отметим только, что обычно для хорошо обтекаемого профиля или тела
вращения при отсутствии пиков в распределении давления по длине тела при-
веденные выше простейшие условия начала кавитации дают вполне приемле-
мую точность, особенно для натуры и для решения определенного круга задач,
которые не связаны, например, с определением периодических давлений, обу-
словленных изменением объема каверны в процессе вращения лопасти гребно-
го винта, когда требуется правильное определение не только объемов каверн в
начальной стадии, но и производной этой величины по углу поворота лопасти.
При рассмотрении модели профиля, имеющего пик разряжения вблизи входя-
щей кромки условие начала кавитации должно быть уточнено с учетом влияния
вязкости и капиллярности, что приведет к уменьшению числа кавитации, соот-
ветствующего ее началу, по сравнению со значением -pmjn , соответствующим
полученному выше простейшему условию отсутствия кавитации. При этом точка
начала каверны сдвигается вниз по потоку относительно точки минимума дав-
ления и перед каверной возникнет отрыв пограничного слоя с зоной понижен-
ного давления, где давление оказывается ниже, чем в каверне [14.16].
14.4. Теоретические методы расчета плоских развитых
кавитационных течений
14.4.1. Теория струй идеальной жидкости, струйное обтекание на-
клонной пластинки, стационарные развитые кавитационные течения,
правильная кавитация, свойства границ каверны, парадокс Бриллуэна
Не зная еще о кавитации как о физическом явлении, которое было от-
крыто на натурных гребных винтах только 1894 г., из чисто теоретических
соображений Г. Гельмгольц и Г.Р. Кирхгоф в 1868-1869 гг. решили первую
задачу так называемой теории струй идеальной жидкости [14.2]. Они рас-
смотрели нелинейную плоскую стационарную задачу о потенциальном об-
текании плоской тонкой пластинки безграничным потоком идеальной жид-
кости без учета сил тяжести с образованием свободных линий тока, сходящих
с краев пластинки по касательной и уходящих в бесконечность позади обте-
каемого препятствия. Форма свободных линий тока находилась в процессе
решения задачи из условия постоянства давления во всех точках указанных
свободных линий тока (рис. 14.21).
429
Рис. 14.21. Поперечное обтекание плоской пластинки
безграничным потоком невязкой жидкости при нулевом
числе кавитации (течение Гельмгольца-Кирхгофа);
поток направлен снизу вверх
При этом величина этого постоянного статического давления была равна
статическому давлению на бесконечности и, следовательно, используя совре-
менные термины, рассматривался случай кавитационного обтекания распо-
ложенной поперек потока пластинки при нулевом числе кавитации. Посколь-
ку свободные линии тока уходят на бесконечность, другое постоянное значение
давления на них выбрать было невозможно. Из постоянства давления, соглас-
но уравнению Бернулли, вытекает постоянство модуля скорости вдоль сво-
бодных линий тока [см. ниже (14.42)], при этом (рассматривается обращен-
ное течение) указанный модуль равен модулю скорости на бесконечности.
Вспоминая принцип максимума модуля для аналитической функции
[14.8, с. 56] и учитывая, что комплексная скорость, соответствующая рас-
сматриваемому течению, является функцией аналитической в области тече-
ния без бесконечно удаленной точки, можно утверждать, что модуль скорос-
ти не может достигать наибольшего значения во внутренних точках
рассматриваемой области. Отсюда непосредственно вытекает, что модуль
скорости достигает максимума, а давление достигает минимума, на свобод-
ных линиях тока. Как следует из полученного аналитического решения [ 14.2],
на смоченной поверхности, стоящей поперек потока пластинки давление
больше, а скорость меньше, чем на свободных линиях тока. Другими слова-
ми, во всех точках рассматриваемого течения, не совпадающих с бесконеч-
ностью и свободными линиями тока, давление больше принятой величины
давления на бесконечности, которое равно постоянному давлению, приня-
тому на указанных свободных линиях тока, т. е. вне каверны давление везде
430
больше, чем давление внутри полубесконечной каверны. Рассматриваемое
обращенное течение вызывает торможение набегающего потока во всех точ-
ках, кроме бесконечности и границ полубесконечной каверны.
Кроме того, рассматриваемое уникальное течение невязкой безгранич-
ной жидкости свободно еще и от парадокса Эйлера-Д’Аламбера, поскольку
позволяет в безграничной невязкой жидкости при стационарном течении
найти сопротивление рассматриваемой пластинки, которое является по сво-
ей природе сопротивлением давления или, как его принято называть, кави-
тационным сопротивлением. Его величина, согласно аналитическому реше-
нию Гельмгольца,
= 2л/(4 + л) ® 0,880. (14.39)
Эта величина хорошо согласуется с экспериментом при очень малых
числах кавитации (используется искусственная кавитация), если для экстра-
поляции на нулевое значение числа кавитации используется формула
C^s) « ф)[1 + 4 (14.40)
Отметим, что Гельмгольц рассчитал кавитационное течение при нуле-
вом числе кавитации на «кончике пера» за 77 лет до изобретения искусст-
венной кавитации, когда появилась возможность исследовать эксперимен-
тально подобные течения. Более того, в 1876 г. Г.Р. Кирхгофом и Лордом
Релеем была решена задача о струйном (т. е. при нулевом числе кавитации)
стационарном обтекании наклонной пластинки и получена аналитическая
формула для коэффициента нормальной к поверхности пластинки силы:
CN = 2nsina/(4 + jisina), (14.40а)
где а - угол атаки (положительный угол между пластинкой и направлением
набегающего потока впереди на бесконечности).
Отметим, что подсасывающая сила при рассматриваемом струйном об-
текании пластинки в отличие от безотрывного обтекания не образуется, и
нормальная сила в проекциях на поточную систему координат дает не толь-
ко подъемную силу, но и сопротивление (кавитационное). Подъемная сила в
безграничной невязкой несжимаемой жидкости при стационарном движе-
нии Кирхгофом и Лордом Релеем была получена впервые. Эта подъемная
сила при малых углах атаки в 4 раза меньше, чем подъемная сила, имеющая
место на пластинке при ее безотрывном обтекании с образованием циркуля-
ции. Точнее, коэффициент подъемной силы приближенно равен яа/2 при
струйном обтекании и 2ла при безотрывном обтекании с образованием цир-
куляции. Именно поэтому объяснение механизма образования подъемной
силы за счет возникновения циркуляции, данное в 1906 г. Н.Е. Жуковским,
не могло быть дано на основе ранее возникшей теории струй идеальной
жидкости. Центр приложения результирующей нормальной силы при струй-
ном обтекании пластинки при малых углах атаки лежит на 5/16 (0.3125) хор-
ды от передней кромки, а при безотрывном обтекании с образованием цир-
431
куляции центр приложения результирующей подъемной силы, нормальной
к набегающему потоку, лежит на 4/16 (0.25) хорды от передней кромки.
Исследование влияния числа кавитации оказалось трудной задачей, по-
скольку безукоризненная с математической точки зрения модель течения,
предложенная Гельмгольцем и Кирхгофом, пригодна только для нулевого
числа кавитации.
В теории развитых кавитационных течений [14.2] вводится понятие пра-
вильной кавитации, которую иногда называют идеальной кавитацией [14.3].
Правильная кавитация - это математическая модель двумерного развитого
кавитационного течения, для которой принимается, что рассматривается не-
вязкая несжимаемая жидкость без учета капиллярных сил, при этом выпол-
няются следующие предположения:
1) движение жидкости стационарно;
2) движение жидкости потенциально;
3) давление на границах каверны постоянно и минимально во всем рас-
сматриваемом течении;
4) силы тяжести не учитываются;
5) кривизна границ каверны в точке отрыва бесконечна, если точка от-
рыва фиксирована, например, на конце тонкой пластинки или уступе кави-
татора, или кривизна границ каверны в точке отрыва конечна и обязательно
равна кривизне обтекаемой достаточно гладкой в рассматриваемом районе
поверхности.
Из принятых предположений вытекают следующие четыре свойства гра-
ниц каверны.
Свойство 1. Постоянство модуля относительной скорости на границах
каверны. Для доказательства выпишем справедливое при сделанных допу-
щениях уравнение Бернулли
0,5рГ12+р1=0,5р^ + роо, (14.41)
где рх - давление в произвольной точке на границах каверны, которое со-
гласно предположению 3 постоянно на границах каверны; - модуль ско-
рости на границе каверны в точке, соответствующей давлениюр{.
Ввиду постоянства на границах каверны всех трех слагаемых, кроме пер-
вого, в уравнении Бернулли (14.41), для справедливости этого уравнения
необходимо иметь постоянство модуля скорости на границах каверны
плотность жидкости принята постоянной, так как жидкость несжимаема.
Деля уравнение (14.41) на скоростной напор, после простых преобразо-
ваний с учетом V\ = rCAV, можно получить для скорости на границе каверны
в случае правильной кавитации (Г^^ 0)
^cav ~ KooVl + ae • (14.42)
Свойство 2. Модуль скорости на границах каверны максимален для
рассматриваемого течения. Действительно, согласно предположению 3,
432
давлениерх на границах каверны минимально, правая часть (14.41) постоян-
на и, следовательно, максимально для тех точек, в которых р} минималь-
но, т. е. для точек, лежащих на границах каверны, что и требовалось дока-
зать. Напомним, что уравнение (14.41) справедливо ввиду потенциальности
течения, согласно предположению 2, для всех точек течения, а не только для
точек, лежащих на границе каверны.
Свойство 3. Число кавитации неотрицательная величина. Свойство вы-
текает из предположения 3, согласно которому, давление в каверне мини-
мально на границе каверны и в каверне, тогда очевидно р^ > Pq^ и число
кавитации, взятое в виде (14.2) и упрощенное с учетом рассматриваемого
случая,
Ооо Z^CAV)^(^’^оо) ’
(14.42а)
действительно неотрицательная величина для правильной кавитации.
Свойство 4. Выпуклость границ каверны в сторону жидкости. Или фор-
мулируя иначе, границы каверны имеют для всех точек центр кривизны, рас-
положенный со стороны каверны. Граница каверны как траектория частиц
жидкости отклоняется от касательной к этой траектории в сторону каверны,
т. е. в сторону противоположную градиенту давления gradp. Для доказатель-
ства запишем уравнение движения Эйлера невязкой невесомой жидкости
dV 1
— = gradp. (14.426)
dt р
Выпишем проекцию этого уравнения на нормаль к границе каверны.
Примем для определенности, что нормаль направлена к центру кривизны в
рассматриваемой точке границы каверны, тогда непосредственно из (14.426)
получим
dt
—(grad/>,«).
Р
(14.43)
Напомним, что граница каверны является линией тока и траекторией
частиц жидкости одновременно, согласно предположению 1 о стационар-
ности рассматриваемого течения. Заметим, что, если модуль скорости на
границе каверны ГСАУ постоянен вдоль этой границы, а радиус кривизны
границы каверны R, то dVN « 7CAVdO; dt = RdQ/VCAV (где RdQ - элемен-
тарная дуга на границе каверны), отсюда непосредственно (14.43) можно
переписать в виде
vcxn //? = —(!/pXgradp,п).
(14.44)
Левая часть величина положительная, следовательно, скалярное произ-
ведение (grad/?,«) должно быть величиной отрицательной. Учитывая на-
правление роста давления от каверны внутрь жидкости, согласно предполо-
жению 3 о минимуме давления в каверне, и принимая во внимание
433
тостоянство модуля скорости на границе каверны (свойства 1), вектор grad/?
должен быть направлен для всех точек границы каверны по нормали к гра-
нице каверны от каверны в сторону жидкости. Следовательно, направление
нормали для обеспечения нужного знака скалярного произведения (grad/?, й)
должно быть противоположно направлению grad/?, т. е. должно быть направ-
лено для всех точек границ каверны внутрь каверны. Вспоминая, что равен-
ство (14.44) записано при направлении нормали к центру кривизны границы
каверны, убеждаемся в том, что упомянутый центр кривизны должен нахо-
диться для всех точек границы каверны внутри каверны (со стороны кавер-
ны), что и требовалось доказать. Физически рассматриваемое свойство оз-
начает, что оторвавшиеся от поверхности тела частицы жидкости под
действием внешнего давления отклоняются внутрь кавитационной области,
где давление минимально.
Полученное свойство 4 - выпуклости границ каверны - имеет важное
следствие, которое называется парадоксом Бриллуэна. Рассмотрим для при-
мера обтекание плоской пластины поперечным потоком с образованием раз-
витой каверны. Если обе границы каверны уходят на бесконечность, то вви-
ду постоянства модуля скорости (свойство 1) на границах каверны и
необходимости равенства этого модуля модулю скорости на бесконечности
(иначе постоянство модуля будет нарушено) течение соответствует нулево-
му числу кавитации (течение Гельмгольца, см. рис. 14.21). Если верхняя и
нижняя границы каверны не уходят в бесконечность, то модуль скорости на
них больше модуля скорости на бесконечности^что соответствует положи-
тельному числу кавитации. Однако с расположением рассматриваемых гра-
ниц на плоскости возникает парадоксальная ситуация.
Согласно свойству 4 - свойству выпуклости границ каверны - верхняя и
нижняя границы будут неизбежно сближаться и придут к пересечению или
к образованию обратной струи, направленной внутрь каверны против ос-
новного потока. В последнем случае или обратная струя должна быть искус-
ственно отведена из рассматриваемого течения, или она приведет к пересе-
чениям границ каверны либо тела (последнее в принципе недопустимо, так
как на теле выполняется условие непротекания), т. е. этот случай аналоги-
чен первому случаю, когда неизбежно пересечение верхней и нижней гра-
ниц каверны. В точке пересечения линий тока в стационарном течении об-
разуется, как известно, критическая точка, где относительная скорость строго
равна нулю. Но это нулевое значение противоречит свойству постоянства
модуля скорости, которое должно выполняться для всех точек границ кавер-
ны (см. свойство 1). Модуль скорости на границе каверны, согласно (14.42),
не может быть равен нулю, так как скорость на бесконечности в обращен-
ном движении всегда не равна нулю, а число кавитации - неотрицательная
величина, согласно свойству 3.
Таким образом, в рамках предположений, соответствующих правильной
кавитации, невозможно построить каверну конечных размеров при положитель-
434
ном числе кавитации без дополнительных предположений об особенностях за-
мыкания каверны, что и составляет рассматриваемый парадокс Бриллуэна.
14.4.2. Различные схемы замыкания каверны, кавитационное сопро-
тивление
Физическая плоскость Плоскость годографа
Рис. 14.22. Различные схемы замыкания каверны
в двумерной нелинейной стационарной теории
кавитационных течений в идеальной жидкости
На рис. 14.22 приведены три типичные схемы замыкания каверны [14.4],
позволяющие в стационарном течении рассмотреть кавитационное попереч-
ное симметричное обтекание пластинки при положительном числе кавита-
ции. Физически причиной парадокса Бриллуэна является неизбежная в ре-
альном течении при развитом кавитационном обтекании нестационарность
течения в хвостовой части каверны. Однако указанные стационарные схемы
замыкания каверны позволяют правильно описать параметры передней час-
ти каверны и правильно оценить средние значения длины и объема каверны.
На том же рисунке приведены физическая плоскость и плоскость комплекс-
ной скорости соответствующих течений, т. е. плоскость годографа.
Рассмотрим каждую схему подробнее. Первая сверху схема на рис. 14.22
была предложена Д. Рябушинским (1919), часто называется схемой с зерка-
лом. Замыкание каверны в ее хвостовой части, согласно этой схеме, осуще-
435
ствляется при помощи фиктивной пластинки или, иначе, зеркала (полуплас-
тинка А'С'), располагаемой в хвостовой части каверны симметрично дей-
ствительной пластинке, обтекание которой рассматривается. Фиктивная пла-
стинка не соответствует течению в хвостовой части реального течения, однако
позволяет достаточно точно определить величину сопротивления обтекае-
мой пластинки и форму передней части каверны. Рассматриваемое течение
имеет две критические точки и отличается от обычного некавитационного
обтекания тела только тем, что кривизна линий тока при сходе с пластинки
бесконечна, хотя сам сход происходит по касательной к поверхности плас-
тинки, и на границах каверны модуль относительной скорости постоянен и
определяется числом кавитации по (14.42).
Идея Рябушинского легко обобщается на несимметричное обтекание
более сложных тел. В этом случае вводится в конце каверны фиктивное тело
в виде пластинки или клина. Размеры фиктивной пластинки или фиктивно-
го клина свободны и определяются в процессе решения задачи при допол-
нительных предположениях, заменяющих условия симметрии, принятые
Рябушинским в исходной постановке. Такая схема называется обобщен-
ной схемой с зеркалом, она получила широкое распространение при чис-
ленном решении задач кавитационного обтекания как плоских пластинок,
так и осесимметричных тел и пространственных трехмерных течений [14.3].
Надо отметить, что суммарная сила, действующая на действительное и фик-
тивное тела, равна нулю, но отдельно на обтекаемое тело действует сила,
равная и противоположная силе, действующей на фиктивное тело.
Асимптотическое разложение по степеням малого параметра, в качестве
которого принято число кавитации, коэффициента кавитационного сопро-
тивления плоской пластинки, перпендикулярной скорости набегающего по-
тока, найденные с использованием схемы Рябушинского [14.2], имеет вид
(14.45)
Габариты каверны, найденные по схеме Рябушинского, приближенно
описываются формулами, известными из [14.1]. Для максимальной ширины
каверны В, отнесенной к ширине пластинки Ь,
В/b « [4/(4 + л)] {(2 + ае)/ае + л/4}; (14.46)
для длины каверны Z, отнесенной к ширине каверны В,
ЫВ « 2/ае. (14.47)
Рассмотренная схема с зеркалом явно искажает реальное нестационар-
ное кавитационное течение в хвосте каверны, поэтому более совершенными
с этой точки зрения считаются оставшиеся нерассмотренными две модели,
приведенные на рис. 14.22. Хотя они тоже пренебрегают нестационарнос-
тью реального течения в хвосте каверны.
436
Вторая сверху схема на этом рисунке - это схема, предложенная незави-
симо Д.А. Эфросом (1946) и Д. Гилбаргом совместно с Г. Роком (1946) и на-
званная схемой с обратной струйкой. Режим обратной струйки наблю-
дается в определенной фазе реального нестационарного развитого
кавитационного течения, и поэтому рассматриваемая схема соответствует
указанной фазе нестационарного течения в хвосте каверны, но, к сожале-
нию, эта фаза составляет лишь часть полного нестационарного цикла жизни
каверны (см., например, рис. 14.18). Жидкость, которую вносит обратная
струйка в каверну, заполнит каверну или, коснувшись ее границ, разрушит
стационарное течение, поэтому авторы этой математической модели в дву-
мерном случае предусмотрели постоянную утечку жидкости на второй лист
римановой поверхности. Рассматриваемая схема предполагает наличие двух
критических точек С и S, лежащих на разных линиях тока. Линия тока, на
которой лежит задняя критическая точка S, с одной стороны, и линия тока,
раздваивающаяся в критической точке С на поверхности обтекаемой плас-
тинки, с другой стороны, охватывают две струи конечной ширины. Эти струи
симметрично около горизонтальной оси начинаются впереди на бесконеч-
ности, обтекают препятствие с обеих сторон, образуя затем границы кавер-
ны и обратную струйку, уходящую из физической плоскости на второй лист
римановой поверхности через разрез. Ради получения стационарного тече-
ния в этой схеме не выполняется закон сохранения массы несжимаемой жид-
кости на физической плоскости.
Несмотря на существенные внешние отличия схемы с обратной струйкой
от схемы Рябушинского, формула (14.45) для кавитационного сопротивления
пластинки, стоящей поперек потока, сохраняется точно такой же. Некоторую
дополнительную проблему представляет выбор направления обратной струй-
ки в общем случае, когда соображения симметрии не могут помочь. Расчеты
показали, что от выбора направления обратной струйки величина силы зави-
сит слабо. Размеры каверны, особенно длина каверны для рассматриваемой
схемы, несколько больше, чем для схемы с зеркалом. Важной особенностью
схемы с обратной струйкой, направленной против набегающего потока, явля-
ется связь между кавитационным сопротивлением пластинки X и толщиной
обратной струйки, отнесенной к ширине пластинки, 8^Ь:
которая может быть получена с использованием теоремы импульсов [14.2].
Используя (14.45) и (14.48), легко найти аналитическую формулу для
относительной толщины обратной струйки.
Схема с обратной струйкой неудобна для численного решения трехмер-
ных задач. Особенно большие трудности представляет использование обеих
рассмотренных выше нелинейных схем при исследовании случая частич-
ной кавитации на практическом профиле при длине каверны близкой
437
к длине хорды. В этом случае явное преимущество имеет расположенная
внизу на рис. 14.22 схема со следом.
Эту схему предложил в 1964 г. американский профессор Яо Цзе By. Схема
характеризуется наличием полубесконечного следа, простирающегося за пре-
пятствием. Границы следа являются продолжением границ каверны и отлича-
ются от последних тем, что никаких условий вроде постоянства модуля скоро-
сти на них не выполняется. Течение характеризуется одной критической точкой
в точке С на середине обтекаемой пластинки. Линия тока разделяется в этой
точке на две ветви, нижнюю и верхнюю, которые плавно по касательной схо-
дят с концов пластинки и образуют обе границы каверны до точек D и D'. В
указанных точках, положение которых находится в процессе решения задачи,
требуется равенство комплексных скоростей и потенциалов. На границах ка-
верны до указанных точек условие постоянства модуля скорости выполняет-
ся, а сам модуль берется по формуле (14.42), общей для всех схем. На полубес-
конечных линиях тока, продолжающихся за точками конца каверны D и D\
никаких условий не выдвигается, их форма определяется в процессе решения
задачи. Как показывают расчеты в рассматриваемом симметричном случае
эти полубесконечные линии тока идут практически эквидистантно и мало от-
личаются от параллельных набегающему потоку прямых линий. Давление
вдоль этих полубесконечных линий тока постепенно повышается от давления
в каверне до давления на бесконечности. Асимптотическое разложение по сте-
пеням малого параметра, в качестве которого принято число кавитации, коэф-
фициента сопротивления пластинки, перпендикулярной скорости набегающего
потока, найденные с использованием схемы со следом, имеет вид [14.2]
(14.50)
Полного совпадения с (14.45) уже нет, хотя с точностью до величин пер-
вого порядка малости по числу кавитации все три рассмотренные схемы дают
один и тот же результат, совпадающий с формулой (14.40).
Близкой по основным особенностям, но непригодной для расчета час-
тичной кавитации, является схема с параллельными стенками, которая отли-
чается от описанной схемы со следом только тем, что полубесконечные ли-
нии тока, простирающиеся за точками конца каверны, предполагаются
параллельными стенками, на которых выполняется условие непротекания.
При этом параллельные стенки совпадают с направлением набегающего
потока. Эта схема была разработана Н.Е. Жуковским (1890) и для рассмот-
рения кавитационного течения была применена А. Рошко (1955). У этой схе-
мы есть замечательное свойство, которое приближенно можно перенести и
на схему со следом. Рассмотрим указанное свойство подробнее.
Обтекаемое тело каверна и параллельные стенки образуют полутело, со-
противление которого, как известно [14.2], равно нулю. Сила сопротивления
равна интегралу от давления, действующего на смоченную поверхность тела
438
ина поверхность тела, находящуюся в каверне, т. е. на всю замкнутую по-
верхность тела 51:
= J (^-^CAVW
51
(14.51)
Контур интегрирования в (14.51) можно изменить без изменения самого
значения интеграла. Действительно, в контур интегрирования можно вклю-
чить границы каверны (подынтегральное выражение на границах каверны
равно нулю) и параллельные стенки, которые не дают вклада в сопротивле-
ние и отстоят друг от друга на величину В. При этом можно также учесть
силу, которая уменьшит сопротивление на величину [(р^~ Рсм№\ при пе-
ренесении замыкающего контур вертикального участка с конца каверны на
поперечное сечение полутела на бесконечности. Следовательно, заменяя в
интеграле (14.51) замкнутый контур 51 замкнутым контуром описанного
выше полутела, получаем, что интеграл по полутелу равен нулю. Он отлича-
ется от сопротивления на величину [(р^ -/?САу)5]. Таким образом, имеем
x~(Pm-PCA^B = Q- (14.52)
2
После деления полученного равенства на скоростной напор и
ширину обтекаемой пластинки b можно получить (формулу Г. Рейхардта)
&-В/Ь.
(14.53)
Это и есть то замечательное соотношение, которое связывает толщину ка-
верны в самом широком месте с кавитационным сопротивлением. Для моде-
ли с параллельными стенками оно строго справедливо и в трехмерном и осе-
симметричном случаях. Для схем со следом это соотношение справедливо
приближенно, но с хорошей точностью. В осесимметричном случае оно спра-
ведливо приближенно, как это отражено в эмпирических формулах (14.14).
Кроме пластинок, клиньев и других полигональных препятствий, для кото-
рых удается получить аналитические решения, нелинейная теория двумерных
стационарных кавитационных течений эффективно применяется вместе с па-
нельными методами для численного решения задачи о кавитационном обтека-
нии практических профилей. Однако, для кавитирующих крыльев, рулей и ло-
пастей гребных винтов характерны настолько малые углы атаки, что в этих
случаях возникают трудности обеспечения необходимой точности численных
методов решения соответствующих нелинейных задач. В подобных случаях хо-
рошо зарекомендовала себя линейная теория кавитационных течений.
14.4.3. Линейная теория, решение задачи об обтекании наклонной
пластинки под малым углом атаки при произвольном числе кавита-
ции, парадокс Гюрста, открытая линейная модель, оптимальный угол
атаки для кавитирующей пластинки
Линейную теорию кавитационных течений создавали, начиная с 1953 г.
в США М. Тулин и в СССР А. Н. Иванов [14.3], А.Г. Терентьев [14.17] и др.
439
Рассмотрим в линейной постановке простейшую задачу, а именно, зада-
чу о кавитационном обтекании наклонной пластинки под малым углом ата-
ки. Наиболее известное решение этой задачи и аналогичной задачи для кру-
говой дужки с использованием замкнутой модели линейной теории
опубликовал в 1959-1960 гг. Я. А. Гюрст. Характерной особенностью замк-
нутой модели является то, что весь диапазон изменения числа кавитации
делится на три режима: 1) суперкавитацию, когда 0 < ае/а < 10,4 (относи-
тельная длина каверны больше 1,04); 2) переходный режим, когда ге/а = 10,4
(длина каверны не определена); 3) частичную кавитацию, когда 10,4 < ае/а < оо
(относительная длина каверны меньше 0,75). Причем для переходного ре-
жима в рамках указанной замкнутой модели решение неоднозначно, так что
при ае/а = 10,4 формулы Гюрста предсказывают скачок коэффициента
подъемной силы и длины каверны (см. штриховую линию на рис. 14.24).
Указанный факт и составляет существо парадокса Гюрста. Хотя указанный
парадокс теории оправдывается действительно наблюдающейся сильной не-
стационарностью течения (бафтингом) в переходном режиме, когда длина
каверны близка к длине пластинки (см. рис. 14.18 и комментарии к нему),
тем не менее, часто необходимо иметь возможность (пусть весьма прибли-
женно) определить осредненные по времени гидродинамические характе-
ристики профиля и на данном режиме. С этой целью желательно иметь не-
прерывную зависимость гидродинамических характеристик профиля от
числа кавитации. В противном случае могут получиться трудно объясни-
мые скачки в изменении соответствующих характеристик по размаху кави-
тирующих крыла конечного размаха или лопасти ГВ, на разных сечениях
которых могут одновременно иметь место различные режимы обтекания как
с длиной каверны больше, так и меньше хорды.
Требуемыми свойствами непрерывности в полной мере обладает так на-
зываемая открытая линейная модель, предложенная для прямой задачи в
1962 г. А.Г. Фабулой. В работах [14.13] и [14.14] рассмотрена частичная ка-
витация и суперкавитация с использованием открытой модели для пластин-
ки и для дужки соответственно. На основе полученного аналитического ре-
шения, в частности, показано, что это решение свободно от парадокса Гюрста.
Это решение дает непрерывную зависимость коэффициента подъемной силы
от числа кавитации в диапазоне от нуля до бесконечности (см. рис. 14.24).
Надо отметить, что случай больших чисел кавитации, т. е. очень коротких
каверн лежит вне области справедливости линейной теории.
Рассмотрим подробнее случай двумерного стационарного обтекания не-
вязкой невесомой несжимаемой безграничной жидкостью плоской пластин-
ки в режиме частичной кавитации и малых углов атаки.
Нижняя нагнетающая поверхность пластинки на рис. 14.23 обозначена^ С
и на ней выполняется условие непротекания. Принято, что абсцисса точки А
равна нулю, а абсцисса точки С равна единице в поточной системе координат,
для которой ось х направлена по скорости набегающего потока (на рис. 14.23,а
440
a)
в)
0
Рис. 14.23. К постановке двумерной линейной краевой задачи
об обтекании наклонной пластинки с образованием частичной каверны:
а - схема течения на режиме частичной кавитации; б — физическая
плоскость «г», соответствующая линеаризованной постановке задачи;
в — вспомогательная плоскость «Q», соответствующая конформному
отображению физической плоскости на верхнюю полуплоскость.
набегающий поток направлен слева направо). Верхняя засасывающая поверх-
ность бесконечно тонкой пластинки обтекается с образованием каверны, на-
чинающейся на передней кромке и заканчивающейся в точке В, которая лежит
на этой поверхности. Согласно принятой открытой линейной модели, в точке
В начинается след, состоящий из двух участков: «жесткого» ВС\ на котором
выполняется условие непротекания, обеспечивающее параллельность линии
тока поверхности пластинки, и «мягкого» полубесконечного участка, состоя-
щего из двух линий тока, на которых никаких граничных условий в процессе
решения задачи не выполняется. «Мягкий» полубесконечный участок состо-
ит из верхней, являющейся продолжением границы каверны, и нижней, со-
шедшей с задней кромки пластинки с нагнетающей стороны, линий тока.
Постановка линеаризованной задачи заключается в следующем (см.
рис. 14.23):
1) предполагается, что угол атаки рассматриваемой пластинки относи-
тельно направления равномерного набегающего потока а величина первого
порядка малости;
2) предполагается, что число кавитации ае рассматриваемого течения ве-
личина первого порядка малости, но отношение ае/а > 1, что, как станет ясно
после получения решения, необходимо для получения длины каверны мень-
ше 1 (£< 1), т. е. для обеспечения режима частичной кавитации; отношение
ае/а формально может быть очень большим, но при этом нарушаются допу-
щения линейной теории, поэтому, в рамках линейной теории необходимо
ограничиться рассмотрением не слишком малых длин каверны, например,
441
если ограничить отнесенную к хорде длину каверны снизу величиной 0,05,
то отношение ае/а не будет превышать 8,83, что вполне допустимо;
3) расстоянием между критической точкой 0 и передней кромкой А в ли-
нейной теории пренебрегается, поскольку это расстояние - величина 4-го
порядка малости и в окрестности передней кромки допущения линейной
теории все равно несправедливы;
4) первых трех предположений достаточно для утверждения, что реаль-
ная и мнимая части вызванной комплексной скорости у/ F, отнесенные к ско-
рости набегающего потока (в дальнейшем для упрощения записи приня-
то V^ = У), v^V и -vYIV являются малыми первого порядка для
рассматриваемого течения везде кроме окрестности передней кромки
(см. точку А), где находится единственная критическая точка рассматривае-
мого течения точка О; как указывалось выше в линейной постановке точку
О считают совпадающей с передней кромкой, т. е. с точкой А.
5) кинематическое граничное условие непротекания на нагнетающей
стороне пластинки АС~ записывается в виде
Уу/(Г + Vy) = dy /dx = -а;
(14.54)
которое можно линеаризировать, отбрасывая слагаемое второго порядка ма-
лости, следующим образом:
Vy/V= -ос(1 + Vj/Ю ~ -ос;
(14.54а)
6) аналогично выводится и совпадает по форме с (14.54а) условие парал-
лельности верхней границы следа поверхности пластинки на участке ВС\
на котором оно и должно выполняться. Этот участок соответствует «жест-
кой» части следа между концом каверны и концом пластинки; конец кавер-
ны для открытой модели в рассматриваемом случае совпадает с ее самым
широким сечением и с точкой перехода в след В;
1) динамическое граничное условие постоянства давления в виде экви-
валентного ему условия постоянства модуля скорости на границе каверны
(14.42), можно линеаризировать следующим образом. Преобразуем квадрат
левой части (14.42), отбрасывая слагаемые второго порядка малости (здесь
и далее принято = И),
— (К + y^f )2 + Vy — V2 + 2Иуд + y^z + Уу л
* V2 + 2Vvx ® 72(1 + 2vx!V) ~ K2(l + vx IV)2
(14.546)
и аналогично преобразуем квадрат правой части (14.42)
Г2(1 + ав) « Г2(1 + ае/2)2,
где знаком « обозначено асимптотическое равенство, справедливое лишь с
точностью до слагаемых, содержащих первые степени малых величин. Под-
ставляя полученные выше результаты в динамическое условие (14.42), пос-
ле сокращения на V2 и приведения подобных слагаемых можно получить
окончательно линеаризованное динамическое условие
442
v%/V= ав/2;
(14.55)
8) важнейшим элементом линеаризации является допущение о том, что
выполнять кинематическое и динамическое граничные условия можно в фи-
зической плоскости на соответствующих сторонах разреза вдоль оси х. В
нелинейной постановке граничные условия должны выполняться на истин-
ной поверхности пластинки, на истинной границе каверны и на истинной
верхней границе следа в пределах пластинки. Рис. 14.23,6 иллюстрирует ска-
занное. Верхний берег полу бесконечного вдоль положительной полуоси «х»
разреза обозначен значком «плюс», а нижний «минус»;
9) условие исчезновения вызванных скоростей на бесконечности, кото-
рое можно записать в следующем виде:
v(z)/K= 0 при z = оо;
(14.56)
10) условие однолистности, которое состоит в отсутствии пересечения
поверхности пластинки и нижней границы следа с верхней границей кавер-
ны и следа, легко выполняется, если рассматриваются только положитель-
ные углы атаки, т. е.
а > 0. (14.57)
Необходимость и достаточность приведенных выше допущений линейной
теории для корректной постановки задачи можно обосновать строго, анализи-
руя соответствующие нелинейные решения. Для рассматриваемого режима ча-
стичной кавитации нелинейное решение с использованием аналогичной схемы
было получено итальянским ученым П.А. Бассанини в 1970 г. Соответствую-
щее применяемой открытой линейной модели нелинейное решение для режи-
ма суперкавитации было получено американским ученым Яо Цзе By в 1962 г.
Отобразим область течения вне разреза на физической плоскости комп-
лексного переменного z на верхнюю полуплоскость вспомогательной плос-
кости комплексного переменного g при помощи функции
Q = ylz/(l-z). (14.58)
На вспомогательной плоскости (см. рис. 14.23в) для аналитической фун-
кции- комплексной скорости v/Г, с учетом сформулированных выше гра-
ничных условий получается смешанная краевая задача, которая может быть
упрощена, если в качестве искомой рассмотреть вспомогательную аналити-
ческую функцию/ определяемую соотношением
/(g) = v(g)/K- ае/2 - ia.
(14.59)
Для этой вспомогательной функции граничные (краевые) условия полу-
чаются, как показано на рис. 14.23в, особенно простыми. Решение смешан-
ной краевой задачи для вспомогательной функции дается формулой М.В. Кел-
дыша-Л.И. Седова [14.8, 14.17], которая в данном случае не содержит
интегралов, а именно:
443
/(О =
(14.60)
Полученное решение содержит две действительные постоянные Е и дв, ко-
торые легко найти из условия исчезновения вызванных скоростей на бесконеч-
ности в физической плоскости (14.56), учитывая при этом, что на вспомогатель-
ной плоскости бесконечно удаленная точка физической плоскости переходит в
точку g = z. Условие (14.56) с учетом (14.59) и (14.60) можно переписать в виде
комплексного равенства, эквивалентного, как известно, двум действительным и,
следовательно, достаточного для определения двух действительных постоянных:
Ел-—— + ае /2 + za = 0. (14.61)
v i
Перенося последние два слагаемых в правую часть, возводя затем обе
части в квадрат и умножая их на z'/а2, вместо (14.61) получаем
-(Е/а)2д5 + z(E/a)2 = -(ае/а) + z {[ ае/(2а)]2 - 1}. (14.62)
Это уравнение, как указывалось, равносильно двум действительным урав-
нениям, полученным путем записи равенства действительных и мнимых ча-
стей этого уравнения по отдельности. Решение получаемой системы двух
уравнений с двумя неизвестными существует только при ае/(2а) > 1 (т. е. для
режима частичной кавитации) и дается формулами
= (ае/а)/{[ зе/(2а)]2 - 1}; (14.63)
(Е/а)2 = [ ае/(2а)]2 - 1; (14.64)
Естественно, после возведения (14.61) в квадрат был потерян знак дей-
ствительной постоянной Е. Для установления последнего необходимо под-
ставить найденное решение в (14.61) и проанализировать знаки. Учитывая,
что корень, стоящий в левой части (14.61) и число кавитации ае положитель-
ны, находим окончательно
E/a = -yj ае/(2а) 2-1. (14.65)
Учитывая преобразование (14.58) и то, что в физической плоскости абс-
цисса точки В равна длине каверны L, величина связана с L следующим
образом
= 7л/(1-Л), (14.66)
при этом L < 1, так как рассматривается частичная кавитация.
Подставляя найденные выражения (14.63) - (14.66) в (14.60) и далее в
(14.59), получаем окончательно искомое аналитическое выражение для выз-
ванной комплексной скорости v(g), а именно:
v(0/7 = -а{д/2[1 - £ + 7(1 - ^)]/ ^ }>/К - - Ж + ге /2 + za. (14.67)
444
Зная вызванную комплексную скорость рассматриваемого течения v(g),
легко найти избыточное гидродинамическое давление в любой точке тече-
ния, используя линеаризованный интеграл Эйлера (ведь рассматриваемое
течение стационарно и потенциально). Линеаризация выполняется путем
отбрасывания малых второго и более высоких порядков, а именно:
рф2 + / =рИ2/2 + Хо; (14.68)
р[(И + vx )2 + v2 ]/ 2 + р = рV1 / 2 + pt; (14.69)
р ^+/?* = /?* . (14.70)
Отсюда определяется коэффициент давления [обозначения даны к фор-
муле (14.18)]:
р = (р ~PMpV2/2) = -2vx/V = -2Re(v/T). (14.71)
Распределение р по нагнетающей поверхности пластинки с учетом
(14.71) и (14.67) будет иметь вид
Р = -2а72[1-Л + 7(1-А)]/А Г<е /2 - Reд/(МвЖ
(14.72)
при -оо < g < 0.
С учетом того, что функция д/(£-£#)/£ является действительной для
точек д, лежащих на отрицательной половине действительной оси, которая
соответствует нагнетающей стороне пластинки АС~, и выразив g через х, с
помощью (14.58), можно получить окончательно (при£ < 1, так как рассмат-
ривается режим частичной кавитации)
р = -2aj2[l-Z, + V(l-A)]/Z, {ге / 2 - [1 / Jx(\- L)]^x(l - А) + ^1(1 - х)}.
(14.73)
Коэффициент давления в каверне р^\\ = -ае , а на «жестком» участке
следа ВС+ может быть найден по формуле (14.71). Интегрируя найденное
распределение коэффициента давлений р по пластинке в пределах хорды
b (b = 1) можно получить коэффициент подъемной силы
1
Су = 2У/(рУгЬ\ = |(^“-р+)(/х/6 = 2ла{1/[1+ (2а/эе)2]}. (14.74)
О
Заметим, что подсасывающая сила у кавитирующей пластинки отсут-
ствует, поскольку давление имеет там степенную особенность порядка -1/4,
а не -1/2, как у пластинки под углом атаки в потоке идеальной жидкости при
ее безотрывном обтекании. Поэтому при определении коэффициента кави-
тационного сопротивления можно принять, что без учета сил трения резуль-
тирующая сил давления перпендикулярна поверхности пластинки и, следо-
вательно, справедлива формула
445
Cx= CyV. = 2тга2 {1/[1 + (2а/ае)2]}. (14.75)
Связь длины каверны L с числом кавитации и углом атаки может быть
найдена из уравнения, которое получается подстановкой (14.63) в (14.66), а
именно:
ж /(2а) = [1 + 7(1-A)]/VZ.
(14.76)
Для режима суперкавитации, когда! > 1 и 0< ае/(2а) < 1, аналогично вы-
шеизложенному можно получить
Су= (ла/2){1 + [ае/(2а)]2};
(14.77)
ае /(2а) = VZ - у/Ь-1.
(14.78)
Из формул (14.74) и (14.77) видно, что при L = 1, когда ае/(2а) = 1, коэф-
фициент подъемной силы не терпит разрыва и имеет одинаковое значение
ла ~ 3,14а, независимо от того, по какой формуле он найден - по формуле для
режима частичной кавитации или по формуле для режима суперкавитации.
Таким образом, открытая линейная модель, примененная выше, не при-
водит к парадоксу Гюрста, т. е. не имеет разрыва в зависимости подъемной
силы от числа кавитации, что характерно, как указывалось, для замкнутой
линейной модели (рис. 14.24).
Рис. 14.24. Расчетные и экспериментальные значения коэффициента
подъемной силы, отнесенной к углу атаки, в зависимости от числа
кавитации, отнесенного к углу атаки, для плоской кавитирующей пластинки
по данным двух линейных схем замыкания каверны и эксперимента
Важно отметить наличие кавитационного сопротивления у кавитирую-
щей пластинки. Наличие этого сопротивления вместе с сопротивлением
трения о смоченную нагнетающую поверхность пластинки (^(последнее
считается независящим от угла атаки) приводит к задаче об оптимальном
446
угле атаки ос кавитирующей пластинки с точки зрения достижения мини-
мального значения гидродинамического качества в. Эта задача впервые была
поставлена и решена профессором В.М. Лаврентьевым в 1945 г. для нуле-
вого числа кавитации. Решение указанной задачи элементарно и ясно из
нижеприведенных формул (14.79), где для поиска оптимальных значений
угла атаки и коэффициента подъемной силы используется равенство нулю
производной целевой функции в по оптимизируемому параметру а при за-
данной длине каверны, при этом коэффициент к зависит только от длины
каверны:
Су =
С ХЪ ~ С yCL +
в - Сх^/Су = а + СХ/(М; (14.79)
dz/da = 1 - Су//(Ла2)=0;
^Vopt Xf •
В качестве примера рассмотрим тонкую пластинку с каверной; длина ее
равна единице, коэффициент сопротивления трения равен 0,003, т. е.
Cxf= 0,003, к = л. Для этого случая имеем aopt = 0,0309 (1,771 °) и CKopt = 0,0971.
Заметим, что кавитационное и вязкостное сопротивления вносят одинаковый
вклад в суммарное сопротивление на оптимальном угле атаки. Гидродинами-
ческое качество в точке оптимума для рассмотренного примера равно 16,18
(в = 1/16,18 = 0,0618). Это заметно меньше гидродинамического качества для
некавитирующих профилей на их оптимальном режиме, хотя сопротивление
трения у них удваивается по сравнению с рассматриваемой кавитирующей
пластинкой. Надо отметить, в поставленной выше задаче не выполнен анализ
формы верхней границы каверны, которая должна образовывать с нагнетаю-
щей поверхностью достаточное для обеспечения прочности клиновидное про-
странство. Отметим в заключение, что, согласно полученным выше форму-
лам, коэффициент к в (14.79) равен для режима частичной кавитации
при
к = 2я{1/[1+ (2а/ае)2]}
ае/(2а) = [1 +
для режима суперкавитации
к = (я/2){1 + [ае/(2а)]2}
при
аг/(2а) = VZ -a/L-1;
(14.80)
(14.81)
(14.81)
(14.81)
для трехмерного случая формулы (14.79) тоже справедливы, но определение
к представляет более сложную задачу, чем рассмотренный выше двумерный
случай.
447
КОНТРОЛЬНЫЕ
ВОПРОСЫ
| 1. Могут ли специально обработанные жидкости, не содер-
1жащие ядер кавитации, выдерживать большие растягива-
ющие нормальные напряжения (большие отрицательные
давления) без разрыва и образования каверн?
2. Каковы вредные последствия кавитации для судостроителей?
3. Какая общая физическая особенность реальных каверн
| может служить объяснением парадоксов Бриллуэна и
I Гюрста?
J 4. Что называется кавитационным сопротивлением?
I 5. Как объяснить качественное отличие по относительной
I
| толщине крыльев самолетов от подводных крыльев.
S 6. Где нашла применение искусственная кавитация?
| 7. Как образуется топящая сила на искусственной каверне
। на режиме, когда эвакуация газа происходит по двум no-
il лым вихрям.
1 о П
I 8. Путем изменения каких параметров регулируется число
| кавитации в кавитационной трубе?
( 9. Почему искусственная кавитация не вызывает эрозии?
ЗАДАЧИ
1. Найдите внешнее гидростатическое давление в жидко-
сти, необходимое для статического равновесия чисто па-
рового сферического пузырька, имеющего радиус
0,0001 м, при температуре 15 °C.
2. Определите теоретически максимально возможную вы-
соту всасывающего патрубка при заборе воды из откры-
того водоема при температуре воды 20 °C.
3. При какой скорости начнется кавитация на движущемся
горизонтально с постоянной скоростью хорошо обтекае-
мом теле, если минимальное значение коэффициента дав-
ления на его поверхности равно - 0,3, глубина погруже-
ния расчетной точки под свободную поверхность пресной
воды - 2 м и температура воды - 15 °C.
4. Число кавитации равно 0.30. Чему будут равны наиболь-
шая и оптимальная величины относительной толщины эл-
липтического цилиндра с точки зрения кавитации.
448
ЧАСТЬ 5. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
ГИДРОАЭРОМЕХАНИКИ
ГЛАВА 15. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
ГИДРОАЭРОМЕХАНИКИ (модули 2, 3)
ГЛАВА 15
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ГИДРОАЭРОМЕХАНИКИ
15.1. Численные методы расчета тонкой несущей поверхности
при малых углах атаки
В данном параграфе излагаются два численных метода решения интег-
рального уравнения (11.104).
15.1.1. Метод коллокаций
В методе коллокаций искомую интенсивность yz представляют в виде
рядов по так называемым базисным функциям. Эти функции выбирают та-
ким образом, чтобы автоматически выполнялись следующие условия:
• обращение yz в нуль на боковых кромках;
• сингулярность порядка l/Vx па передней кромке;
• постулат Чаплыгина-Жуковского на задней кромке крыла.
В дальнейшем удобно использовать угловые координаты 8 и 0, свя-
занные с линейными коррдинатами х и z с помощью следующих соотно-
шений:
n lz 2х
cosu =-----; cose ~--,
I b
где /(х) и b(z)~ размах местного продольного сечения и хорда местного по-
перечного сечения крыла соответственно.
Тогда решение, удовлетворяющее выше сформулированным условиям,
можно представить в виде
оо оо ос
Yz(0’e) = E4)«ctg-sin/7e+£^4„sin£ssirn7e. (]5.])
/7 = 1 /< = 1/7 = 1
Функция ctg— заимствованная из решения плоской задачи обтекания
пластины бесконечного размаха, учитывает сингулярность на передней кром-
ке, а функции sinAr и sin/i0 обеспечивают обращение yz в нуль на боковых
451
и задней кромках крыла. При численной реализации метода бесконечные сум-
мы в (15.1) заменяются конечными с числом членов ряда к = К и п = N. Фор-
мула (15.1) затем подставляется в интегральное уравнение (11.104), которое
удовлетворяется в конечном числе KN контрольных точек на крыле, называе-
мых точками коллокации. В итоге получается система KN линейных алгебра-
ических уравнений относительно KN неизвестных коэффициентов А^. При
расчете коэффициентов матрицы системы уравнений следует использовать кор-
ректные процедуры вычисления сингулярных интегралов (11.104).
15.1.2. Метод дискретных вихрей
Сущность метода состоит в замене непрерывного распределения вих-
ревых особенностей yz(x, z) системой дискретных вихревых особенностей,
каждая из которых представляется в виде поперечного к потоку присоеди-
ненного вихря и двух сходящих с него продольных концевых свободных
вихрей. Последние в силу линейности задачи параллельны вектору скоро-
сти набегающего потока. Такая вихревая конструкция называется подково-
образным вихрем. Разобьем крыло по хорде на М одинаковых панелей
(рис. 15.1) длиной ЫМ. по полуразмаху //2 (крыло симметрично относи-
тельно плоскости ху) - на N отрезков длиной 1/2?/. Таким образом, полу-
чим 2MN площадок. В пределах каждой площадки будем считать интен-
сивность вихревого слоя постоянной. В силу этого интенсивность каждого
дискретного присоединенного вихря равна Г. = где А/. - продольный
размер панели.
Рис. 15.1. Дискретная вихревая схема крыла:
а - линейная теория § 15.1; б - нелинейная теория § 15.2
На рис. 15.1 показан вихревой слой, разбитый на п = 2NMподковообраз-
ных вихрей (Л/= 4, N= 4). На самом деле для надлежащей точности расче-
тов Ми N должны быть увеличены; необходимые значения Ми ?/устанавли-
452
ваются численными экспериментами. Для крыльев с удлинениями порядка
единицы достаточно М=5, N= 12. Присоединенные вихри согласно реше-
нию, полученному для пластины (см. § 11.5), располагаются на растоянии 1/
4Д/. от начала каждой панели, а расчетная (контрольная) точка, в которой
выполняется условие непротекания - на 3/4AZ-. Иногда это условие разме-
щения вихрей и контрольных точек называют правилом 1/4-3/4.
В каждом сечении крыла должно выполняться условие Чаплыгина-Жу-
ковского. Показано, что данное условие автоматически реализуется в ме-
тоде дискретных вихрей при Л/->соиА-»соза счет того, что в каждом
продольном ряду последняя контрольная точка лежит ближе к задней кром-
ке, чем последний присоединенный дискретный вихрь. Аналогично усло-
вие сингулярности решения порядка 1/д/х на передней кромке обеспечи-
вается за счет того, что первый присоединенный дискретный вихрь лежит
ближе к передней кромке, чем первая контрольная точка. В каждой расчет-
ной точке (помечена звездочкой на рис. 15.1) должно выполняться условие
непротекания
(15.2)
где ип - нормальная компонента скорости набегающего потока; uin - скорость,
индуцированная вихревой системой.
В дальнейшем для плоских крыльев будем рассматривать только состав-
ляющую скорости по оси у, равную 2^iUyij , где и - компоненты скорости,
индуцированные вихрем с номером i в расчетной точке с номером j. Пред-
ставим uyi. в виде
= ^ооГ* _
иУУ 4л иУУ
(15.3)
где Г* - безразмерная циркуляция вихря; uyij - безразмерная индуциро-
ванная скорость может быть найдена по закону Био-Савара (§ 5.2). Сумми-
руя скорость от подковообразных вихрей и подчиняя их граничному усло-
вию непротекания (15.2), получаем систему линейных алгебраических
уравнений
(15.4)
в которой неизвестными являются безразмерные циркуляции Г/ • После
решения системы (15.4) по теореме Жуковского в малом (11.35) можно оп-
ределить подъемную силу, возникающую на каждом элементарном вихре-
вом отрезке:
(15.5)
453
Подъемная сила всего крыла получается суммированием элементарных
сил, возникающих на отрезках.
Алгоритмы, основанные на методе дискретных вихрей, отличаются боль-
шим быстродействием. На современной вычислительной технике для рас-
четов при общем числе площадок порядка нескольких сотен требуется не-
сколько секунд. При расчете сложных компоновок СПК или экранопланов
используется около двух тысяч площадок, а время расчета составляет в сред-
нем меньше минуты на персональном компьютере. Общей рекомендацией
при выборе закона деления поверхностей на площадки является требование
однородности используемой сетки (продольный размер площадки прибли-
зительно равен поперечному). При расчете сил и моментов простых крыль-
ев сходимость метода достигается уже при нескольких десятках панелей.
Математиками показано, что метод дискретных вихрей сходится к точ-
ному решению интегрального уравнения (11.104) во внутренних точках крыла
вдали от его кромок. В окрестности кромок сходимость точного и численно-
го решения отсутствует. Тем не менее размер области некорректности чис-
ленного решения вблизи кромок стремится к нулю при увеличении числа
панелей.
Влияние твердой стенки на обтекание крыла легко учитывается в методе
дискретных вихрей. Ее воздействие моделируется методом зеркального от-
ражения, согласно которому, каждый вихревой отрезок крыла дополняется
отрезком, зеркально отображенным относительно стенки. Циркуляции от-
резков равны, но противоположны по знаку. Аналогично можно моделиро-
вать воздействие свободной поверхности на подводное крыло, движущееся
с бесконечно большими числами Фруда. Разница состоит лишь в том, что в
этом случае оригинальный вихревой отрезок и его зеркальное отображение
имеют одинаковую по величине и направлению циркуляцию.
Наибольший вклад в развитие метода дискретных вихрей был сделан
отечественными учеными под руководством С.М. Белоцерковского. В насто-
ящее время метод дискретных вихрей распространен на случаи расчета ха-
рактеристик крыльев при нестационарных движениях, вблизи твердой и сво-
бодной поверхности, а также компоновок крыльев с фюзеляжем. Описанный
метод реализован в программе Autowing http://www.argo-group.de/service/
downloads.php.
15.2. Численный метод расчета тонкой несущей поверхности
при произвольных углах атаки
Одно из преимуществ метода дискретных вихрей - его универсальность.
В данном параграфе рассматриваются принципы использования метода дис-
кретных вихрей для решения задач нелинейной теории крыла (§ 11.10). В
отличие от упрощенной методики, изложенной в § 11.10, этот метод не име-
ет ограничений по удлинению крыла. При этом предполагается, что течение
454
стационарное и передняя кромка крыла обтекается безотрывно. На боковых
кромках крыла происходит отрывное обтекание с последующим сворачива-
нием вихревой пелены.
Как и в линейной теории, крыло заменяется системой поперечных и про-
дольных дискретных вихрей. Одним из важнейших отличий от метода, изло-
женного в предыдущем параграфе, является тот факт, что свободные вихри,
сходящие с боковых и задней кромок крыла, не лежат в его плоскости, а пере-
мещаются в пространстве (рис. 15.1 в) в соответствии с уравнением линий тока
(3.4) (или уравнением траектории жидких частиц в случае нестационарного
движения крыла). Их положение и форма в пространстве заранее неизвестны
и должны определяться с помощью итерационного процесса. Свободные вих-
ри являются криволинейными. В численном методе они заменяются совокуп-
ностью прямолинейных отрезков, направление которых в пространстве опре-
деляется полной скоростью потока в начале каждого отрезка:
rM=ri+^-M, (15.6)
где aj и гм - радиус-векторы начала и конца отрезков; А/ - свободный па-
раметр дискретизации, выбираемый путем численных экспериментов.
Каждый вихревой шнур на большом расстоянии от крыла (порядка не-
скольких хорд) завершается вихревым лучом, направление которого совпа-
дает со скоростью набегающего потока.
При вычислении по формуле Био-Савара скорости, индуцированные
в точке i двумя смежными вихревыми отрезками не учитываются. Это рав-
носильно тому, что на вихревой пелене вырезается небольшая площадка с
характерным размером 2А/. При одновременном устремлении числа вихре-
вых шнуров, которые моделируют вихревой след, и числа отрезков, которые
моделируют шнур, к бесконечности, такое правило эквивалентно вычисле-
нию интеграла в формуле Био-Савара, записанной для вихревого слоя, в
смысле главного значения.
Положение дискретных вихрей, заменяющих крыло, с циркуляциями Г/9
и контрольных точек (отмечены на рисунке крестиками), в которых соблю-
дается условие непротекания (15.2), выбирается в соответствии с разрабо-
танными в линейной теории рекомендациями.
Вычислительный процесс организуется следующим образом. На пер-
вой итерации решается линейная задача теории крыла при заданном угле
атаки а. Далее рассчитывается новое положение вихревого следа путем
решения уравнений (15.6). При этом скорости й> должны вычисляться
для старого положения вихревого следа. Затем находятся новые значе-
ния интенсивности вихрей из условия непротекания и определяется по-
ложение следа на следующей итерации. И так далее до полной сходи-
мости итерационного процесса. В целях улучшения сходимости можно
на первом приближении принять за исходный малый угол атаки и затем
455
наращивать его в процессе последовательных приближений
= ап~х + Дос.
Следует отметить, что решение данной задачи связано с большими труд-
ностями, обусловленными сильной вычислительной неустойчивостью.
С физической точки зрения данная неустойчивость, неустойчивость Кель-
вина-Гельмгольца, является закономерной, поскольку тонкая вихревая пе-
лена является физически неустойчивой. С математической точки зрения было
показано, что рассматриваемая задача является некорректно поставленной и
требует при своем решении специальных процедур регуляризации. Такой
процедурой может быть, например, введение толщины вихревой пелены.
В алгоритме толщина пелены может быть учтена посредством так называе-
мого вычислительного радиуса вихря. Если расстояние от точки, в которой
вычисляется скорость, до вихревого отрезка оказывается меньшим, чем вы-
числительный радиус, то скорость, индуцированная этим отрезком, либо
полагается равной нулю, либо предполагается изменяющейся по линейному
закону внутри вычислительного радиуса.
Вихревая система линейной теории, лежащая в плоскости крыла, инду-
цирует лишь вертикальные скорости иу, поперечных скоростей uz не возни-
кает. В этом случае легко показать, что присоединенными вихрями являют-
ся лишь вихри поперечного направления. В нелинейной вихревой модели
присоединенными вихрями являются все вихри, лежащие в пределах плос-
кости крыла. Это связано с тем, что пространственная вихревая пелена ин-
дуцирует на крыле попереченые скорости uz. Тогда в соответствии с теоре-
мой Жуковского в малом (11.35), подъемная сила возникает и на продольных
вихрях на крыле.
15.3. Панельный метод расчета профиля конечной толщины
Изложенные в предыдущих параграфах методы позволяют достаточно
точно рассчитывать интегральные характеристики крыльев с профилями
имеющими макисмальные относительные толщины в 10-15%. Корректное
определение распределенных характеристик, например давления, с помо-
щью этих методов, однако, вызывает большие трудности, особенно в окрест-
ности носовой кромки. Между тем, знание эпюр распределения скорости и
давления по крылу важно для расчета его пограничного слоя и кавитацион-
ных характеристик. Решение этой задачи возможно панельным методом, раз-
витие которого в 60-х гг. привело к рождению нового раздела механики жид-
кости и газа - вычислительной гидродинамике.
По существу панельный метод - разновидность численного метода гид-
родинамических особенностей, который уже был неоднократно использо-
ван выше для расчета тонких крыльев. Главным отличием является то, что в
панельном методе гидродинамические особенности располагаются не на про-
екции площади крыла на плоскость у = 0, а непосредственно по поверхнос-
456
ти обтекаемого тела. В § 15.5 излагается метод, основанный на использова-
нии источников и диполей. В данном параграфе рассматривается двумер-
ный вариант вихревого панельного метода, широко используемого в отече-
ственной практике. С учетом аналогии между дипольными и вихревыми
слоями (см. §15.5) метод вихревых слоев может рассматриваться как част-
ный случай дипольного метода, и наоборот. Достоинства вихревого метода
состоят в его наглядности и простоте физической интерпритации использу-
емых математических понятий. Вихревой слой, моделирующий замкнутое
тело, может трактоваться как модель пограничного слоя, вырождающегося
в пределе при бесконечных числах Рейнольдса в тонкий вихревой слой. Сле-
дует отметить соответствие между вихрями, моделирующими след, и реаль-
ными вихрями, стекающими с крыла в вязком потоке жидкости.
Пусть профиль произвольной формы, имеющий контур /, обтекается по-
током со скоростью на бесконечности V^, направленную под произвольным
углом а к оси х (рис. 15.2).
Рис. 15.2. Панельная схема профиля
Воздействие профиля на поток заменим воздействием непрерывно рас-
пределенного по контуру профиля вихревого слоя с интенсивностью у. Ис-
пользуя выражение для потенциала дискретного вихря (§ 6.3) и принимая во
внимание, что циркуляция элементарных вихрей слоя равна ydl, получаем
следующее выражение для потенциала суммарного течения:
(р = Voo(xcosa + ysina) + — (£y(/)arctg——— dl,
2л* x-xj
(15.7)
где Xp у। - координаты точек профиля.
Для определения неизвестной интенсивности вихревого слоя восполь-
зуемся условием непротекания
— = 0на/, (15.8)
дп
где п - направление внешней нормали к контуру.
457
Подставив (15.7) в (15.8), получим сингулярное интегральное уравнение
относительно у:
(15.9)
где
Для решения интегрального уравнения разобьем контур профиля у ун
на N дискретных отрезков. Опыт показал, что наибольшую точность расче-
тов обеспечивает так называемый косинусный закон разбиения (см. рис. 15.2)
^в, н — Ув, н(Л )’ C0S®A?
который обеспечивает более частое размещение узлов в районе кромок про-
филя, где происходит резкое изменение искомой величины у. Получившиеся
узлы соединяются отрезками-панелями. Для определения неизвестных ин-
тенсивностей в узлах ук, к = 1, N интегральное уравнение удовлетворяется
в точках коллокации, в качестве которых выбираются центры панелей. Пред-
полагая распределение между узлами линейным, получаем следующую
систему линейных алгебраических уравнений:
N
£7kaik =bi’
к=1
(15.10)
где
dl; I - дуговая координата вдоль панелей.
Интегралы (15.11) при х = у = у( следует понимать в смысле главного
значения [11.5]. Вычислять же их можно формально как обычные интегра-
лы, поскольку сингулярность справа и слева от точки (xv взаимно ком-
пенсируется. При численной реализации метода удобнее всего представлять
вихревую интенсивность в качестве набора шатровидных функций, верши-
нами которых являются значения ук в узлах (см. рис. 15.2). В итоге мы имеем
систему N уравнений и W+1 неизвестных. Дополнительное уравнение мож-
но получить из постулата Чаплыгина-Жуковского (11.12), которое может быть
записано в виде yt + у^ = 0.
Можно показать, что если применяется метод вихревого слоя, интенсив-
ность которого находится из условия непротекания (15.8), то течение внутри
458
профиля отсутствует. Тогда в соответствии с (5.16) видно, что искомая интен-
сивность у равна скорости потока и1 на внешней стороне поверхности профиля:
у = и,. (15.12)
Г
Таким образом, определив у, можно найти распределение коэффициента
давления и подъемную силу. Панельный вихревой метод реализован в про-
грамме Autowing http://www.argo-group.de/service/downloads.php.
15.4. Проектирование профилей с заданным распределением
давления с помощью панельного метода
Задача построения контура профиля по заданному распределению дав-
ления относится к классу обратных задач гидродинамики и является важной
для проектирования бескавитационных профилей. Ее решение представля-
ет собой сложную математическую проблему, поскольку показано, что та-
кие задачи некорректно поставлены и для их решения требуются специаль-
ные процедуры регуляризации.
Г.А. Павловец предложил следующий простой и одновременно очень
эффективный метод решения задачи.
Как и в предыдущем параграфе, заменим профиль непрерывно распре-
деленным вихревым слоем так, что функция тока суммарного течения с уче-
том (6.28) будет иметь вид
Т = V00(-xsina+ ycosa) +
(15.13)
Первое слагаемое в (15.13) описывает вклад в функцию тока набегающего
потока, а второе учитывает воздействие вихрей. Неизвестная функция у мо-
М/ _ у Л—=
жет быть найдена из интеграла Бернулли с учетом (15.12): v ~ v “ v1 Р .
^00 ^00
По условиям задачи коэффициент давления р известен, и необходимо найти
координаты контура х(л'), y(s). Уравнение для координат х(У), y(s) находится из
(15.13) при условии постоянства функции тока вдоль контура:
ИЛо ) = Y зк + - -------х
2лcosa
хфy(s)Inyj(y(s0) - y(s))2 + (x(s0) - xC?))2ds,
(15.14)
где значение функции тока на задней кромке Т зк определяется из (15.13).
Интеграл в (15.13) и (15.14) вычисляется с помощью панельного метода,
как в § 15.3.
459
Координаты контура рассчитываются с помощью итерационной про-
цедуры. В первом приближении используется контур-прототип или про-
стой эллипс. Далее находится функция тока Т зк из (15.13), после чего с
использованием формулы (15.14) строится контур в следующем прибли-
жении.
Данный алгоритм применен в программе Autowing http://www.argo-group.de/
service/downloads.php для проектирования профилей с заданным распреде-
лением давления. Сходимость итераций удается обеспечить заданием угла
верхней стороны с хордой профиля, радиуса передней кромки и длины па-
раболической носовой части.
15.5. Панельный метод расчета пространственных крыльев
произвольной толщины в широком диапазоне углов атаки
В § 6.6 рассматривался численный метод интегральных уравений, с по-
мощью которого можно рассчитать потенциальное бесциркуляционное об-
текание тела произвольной формы. В данном параграфе излагается панель-
ный метод, который позволяет рассчитать потенциальное циркуляционное
обтекание тела произвольной формы в широком диапазоне углов атаки.
Согласно формуле Грина [6.3], потенциал вызванной скорости может быть
представлен в виде суммы потенциалов источников о и диполей ц, распре-
деленных по поверхности обтекаемого тела 5 и вихревого следа S^:
(15.15)
Из теории потенциального течения известно, что слой источников (про-
стой слой), распределенный по некоторой поверхности, создает на ней ска-
чок нормальной производной потенциала, равный локальной интенсивнос-
ти источников
(15.16)
где ср-, <р+ - предельные значения потенциала с разных сторон слоя.
В то же время касательная производная потенциала непрерывна на про-
стом слое. На слое диполей (двойном слое), наоборот, скачок претерпевает
касательная производная, в то время как нормальная производная непрерыв-
на. В § 11.3 было сказано, что вихревой след несущей поверхности является
поверхностью тока, на которой нормальная скорость непрерывна, а каса-
5<р
тельная =—
претерпевает скачок при переходе через поверхность сле-
да. Следовательно, на поверхности следа следует размещать только диполь-
ный слой. Полный потенциал течения запишется в виде
460
(15.17)
где - потенциал набегающего потока.
В приведенных выше рассуждениях очевидна характерная деталь панель-
ного метода: тип используемых в панельном методе гидродинамических осо-
бенностей не диктуется жестко какими-либо математическими законами, а
выбирается с учетом физических соображений, простоты, удобства и надеж-
ности программной реализации. В некоторых вариантах панельного метода
применяются только дипольные или вихревые особенности, поскольку они
позволяют удовлетворить всем математическим и физическим условиям,
выдвигаемым в теории крыла.
В классическом варианте панельного метода интенсивность источников
определяется из следующих соображений. Из курса математической физики
известно, что потенциал, удовлетворяющий условию непротекания на неко-
торой замкнутой поверхности
дф _ дфв । дфрр __ q (15 18)
дп дп дп
внутри ее самой равен константе, которая может быть положена равной нулю
Ф~ = 0. (15.19)
С учетом этого факта и соотношений (15.16) и (15.18) получим формулу
для а:
с а<Рв~ д<Рв+ д<рв+ _ д(рда (15.20)
дп дп дп дп
Неизвестной остается интенсивность слоя диполей, которая определя-
ется либо из условия равенства нулю потенциала внутри обтекаемой по-
верхности £ (15.19) (задача Дирихле), либо из условия непротекания (15.18)
(задача Неймана). Для нахождения ц поверхность тела и следа разбивается
на панели (рис. 15.3), в качестве которых используются плоские, закру-
ченные или криволинейные четырехугольные и треугольные элементы.
Далее задаются законом изменения интенсивности диполей и источников
внутри панели. Используется постоянное, линейное или квадратичное рас-
пределение интенсивности особенностей в пределах панели. Более чем
тридцатилетиий опыт развития панельных методов показал, что наиболее
просты и надежны, удобны в использовании панельные алгоритмы, осно-
ванные на применении панелей простейшего типа с постоянным распре-
делением особенностей. Так, например, в современных панельных мето-
дах QUADPAN и PMARC используется постоянное распределение
особенностей по поверхности плоских и закрученных четырехугольных
панелей.
461
Рис, 15,3. Панельная схема трехмерной конфигурации
Предполагая постоянное распределение ц и с по каждой из N панелей,
получаем из (15.18)
N М
+ (15.21)
k = \ l=\
где
д
дп
с(г) “ й(г)
(15.22)
Г~Г1 J
В формулах (15.21) и (15.22) Nn М-число панелей на крыле и в сле-
де соответственно; и интенсивность диполей на крыле и в следе;
ак- интенсивность источников на крыле, определяемая по формуле
(15.20).
Запись dS(j\) означает, что интегрирование проводится по точкам с те-
кущим радиус-вектором гх, а г - радиус-вектор точки, в которой выполня-
ется условие непротекания. Граничное условие (15.21) выполняется в опре-
деленном количестве N точек, называемых точками коллокации, в качестве
которых выбираются центры панелей (рис. 15.3).
При вычислении второго слагаемого в левой части уравнения (15.21) не-
обходимо знать положение следа и интенсивность диполей которые его
462
моделируют. Как сказано в § 11.3, линия схода вихревого следа должна
быть заданной. Если телесное крыло имеет острую заднюю кромку, то,
как правило, след предполагается сходящим с задней кромки по каса-
тельной к биссектрисе угла, образованного нижней и верхней сторонами
профиля.
Для определения линии схода вихревой пелены с гладких замкнутых
тел следует использовать экспериментальные данные и визуализацию те-
чения. Существуют подходы, основанные на совместном итерационном
расчете потенциального течения и пограничного слоя. При этом линия схода
вихревого следа отождествляется на каждом приближении с линией отры-
ва пограничного слоя.
Вихревой след крыла в стационарном потоке заполнен продольными вих-
ревыми шнурами, совпадающими с линиями тока, сходящими с задней кром-
ки. Поэтому наиболее целесообразно представление вихревого следа в виде
совокупности поперечных и продольных ломаных линий, образующих сис-
тему панелей, как изображено на рис. 15.4. Положение продольных линий
определяется путем решения уравнений линий тока (15.6). Как указано в
§ 11.3 и 11.10, такая задача является нелинейной и должна решаться мето-
дом итераций, рассмотренным в параграфе 15.2 настоящей главы. Вдоль про-
дольных линий через некоторые промежутки А/ наносятся узловые точки,
через которые проводится система поперечных линий панельной сетки вих-
ревого следа.
Линия схода вихревого следа
Панели вихревого следа
Рис. 15.4. Система панелей вихревого следа
Для определения интенсивности диполей в следе используется общая
взаимосвязь между вихревыми слоями и слоями диполей. Скорость, ин-
дуцированная слоем диполей, может быть записана в виде суммы двух
слагаемых:
й-----(й х Vp) х — dS ч-ц—-—dC.
4л* г5 4л г3
463
Сравнивая последнее выражение с законом Био-Савара (см. § 5.2), убеж-
даемся, что первое слагаемое представляет собой скорость, индуцирован-
ную вихревым слоем с интенсивностью
К-= (15.23)
а второе слагаемое - скорость, индуцированную вихревой нитью, располо-
женной по контуру С, охватывающему вихревой слой. На основании (11.21)
и (15.23) можно записать
z?Vpw = 0. (15.24)
Поскольку в каждой точке вихревой пелены вектор скорости касателен к
продольным линиям (линиям тока), то из равенства (15.24) следует, что ин-
тенсивность дипольного слоя постоянна вдоль каждого продольного ряда
панелей. Условие плавности обтекания задней кромки (постулат Чаплыги-
на-Жуковского) будет выполнено, если для каждой продольной полосы по-
ложить
— Руу. (15.25)
Таким образом, интенсивность дипольного слоя в вихревом следе с по-
мощью формулы (15.25) может быть выражена через интенсивность диполь-
ного слоя на обтекаемом крыле. Тогда уравнение (15.21) может быть записа-
но в виде системы линейных алгебраических уравнений
N
X Цk^ik =^1 ; z = I,.--, N,
k-\
(15.26)
где А^ если панель к не примыкает к линии схода;
Aik =akvi)~ bnvi), если панель к примыкает к линии схода
п~\
Суммирование в последнем выражении проводится по всем панелям про-
дольной полосы вихревого следа, примыкающей к задней кромке. Знак пе-
ред суммой выбирается в зависимости от того, где находится панель - на
верхней или нижней стороне профиля в соответствии с (15.25). Следует об-
ратить внимание на то, что интегралы (15.22) при г -гх сингулярны. При
определении коэффициентов Aik влияния панели в собственной контрольной
точке и при расчете индукции источников Bk сингулярные интегралы долж-
ны вычисляться в смысле главного значения.
Решив систему уравнений (15.26), мы можем определить поле скоростей
в любой точке пространства, в том числе и на поверхности обтекаемого тела.
Поскольку внутри тела течение отсутствует, касательная составляющая выз-
ванной скорости на поверхности тела может быть выражена через интен-
сивность диполей с помощью следующих простых соотношений
464
(15.27)
5 1 от]
где £, и т| - локальные ортогональные координаты на поверхности тела.
Нормальная составляющая вызванной скорости равна интенсивности ис-
точников, взятой с обратным знаком
= (15.28)
Суммарная скорость на поверхности тела равна сумме вызванных ско-
ростей (15.27) и (15.28) и скорости набегающего потока
w = Foo+wtee+мТ1ёГ]+г/„ё„, (15.29)
где ё=, ё^ , ё„ - единичные векторы направления.
Зная скорость в каждой точке на обтекаемой поверхности, можно рас-
считать коэффициент давления и гидродинамическую реакцию.
15.6. Панельные методы расчета потенциальных волновых
задач
Математическая постановка задача трехмерного потенциального тече-
ния с волнообразованием излагается в § 13.9. Решение задачи можно полу-
чить, заменяя действие тела источниками, диполями или вихревыми осо-
бенностями. В данном параграфе рассмотрим метод источников. При
решении потенциальных волновых задачах до недавнего времени широко
использовались источники Кельвина, которые позволяют автоматически удов-
летворить линейному граничному условию на свободной поверхности (13.67).
Метод источников Кельвина применим только для линейных задач и связан
с большими вычислительными трудностями. Поэтому в последнее время
чаще используется метод, основанный на простых пространственных ис-
точниках Ранкина (6.41), которыми заменяют как подводную часть корпуса
судна, так и свободную поверхность. Одним из первых методов этой группы
является метод К. Доусона (1977), разработанный для решения стационар-
ных линейных задач волнового обтекания.
Для простоты рассмотрим двумерный случай в системе координат, изоб-
раженной на рис. 13.8. Суммарный потенциал ср представляется в виде сум-
мы потенциала Ф, описывающего обтекание дублированного корпуса, и по-
тенциала ф, учитывающего влияние волнообразования:
ср = ф + ф.
(15.30)
Предполагается, что потенциал Ф - конечная величина Ф~О(1), тогда
как ф - величина малого порядка: ф ~ О(е). Используя интеграл Лагранжа
(13.2) и кинематическое граничное условие (13.5), с учетом условия стацио-
нарного течения получаем нелинейное объединенное граничное условие на
свободной поверхности
465
(15.31)
Невозмущенная свободная поверхность является плоскостью симметрии
для течения около дублированного корпуса, т.е. 8Ф / 8z = 0 при z = 0. Учиты-
вая это условие, подставляя (15.30) в (15.31), выполняя линеаризацию и удов-
летворяя (15.31) на невозмущенной свободной поверхности, получаем
Возвращаясь к суммарному потенциалу, получаем
Неизвестный суммарный потенциал представляется в виде суммы по-
тенциала набегающего потока и потенциала простого слоя, распределенно-
го по поверхности дублированного корпуса и невозмущенной свободной
поверхности:
(p(x,z) = -F00x + j <7(x',z')(lnr + lnr)tfc+ j g(x',z')lnnis,
s, s,
где r = 7(x-x')2 + (z-z')2 и r = ^(x-x')2 +(z + z')2.
Неизвестные интенсивности источников находятся из граничного усло-
вия на свободной поверхности (15.33) и условия непротекания на поверхно-
сти тела
^ = 0 (15.34)
дп
с учетом условия излучения (волны распространяются только вниз по пото-
ку за корпусом судна). Непрерывный слой источников дискретизируется с
помощью совокупности М панелей, в пределах каждой из которых интен-
сивность предполагается постоянной:
М
<p(x,z) = -Гдах+ ^^(py(x,z), (15.35)
7=1
где <pj(x,z)- I (In г + In г )dS для панелей, расположенных на корпусе;
S.
kj
j 1пп/5для панелей свободной поверхности.
466
Дифференцируя (15.35) получаем скорости, вызыванные слоем источ-
ников в произвольной точке пространства (х,у\.
(15.36)
Г А Э(Р V Г А
uz(x,z) = -— = 2^q-w (x,z),
dz
где w
-ч
w (x,z)
- для панелей корпуса и
w -(x,z -;х -,z ) = [x x ds; wzj(x,z ;x -,Zj]= fZ Z ds - для панелей
с Г а Г
свободной поверхности.
Для определения неизвестных q^j = 1,..., Мграничные условия (15.33) и
(15.34) удовлетворяются в центрах панелей. В результате получается систе-
ма линейных алгебраических уравнений относительно qj. К примеру, линей-
ные алгебраические уравнения, получающиеся из условия непротекания,
имеют вид
м
( ^xji^xi + ^zji^zi )*7 j ~ ' (15.37)
7 = 1
Несколько сложнее обстоит дело с граничным условием на свободной
поверхности (15.33). Правая часть условия (15.33), зависящая от потенциа-
ла Ф, известна. Потенциал Ф можно определить с использованием методов,
описанных в § 6.6 или § 15.5. При численном представлении второй произ-
водной потенциала 62(р/дх1 в точке с номером i на свободной поверхности
используется следующая аппроксимация:
С'у и у Н- D у1л у ,
* ’Л7-3
(15.38)
где коэффициенты выражаются через геометрические характеристики пане-
лей z, i - 1, i - 2, i -3, а скорости вычисляются по формулам (15.36). Прини-
мая во внимание, что нумерация панелей на свободной поверхности проис-
ходит вдоль по потоку, видно, что производная в точке z представляется через
467
скорости, заимствованные с узлов, расположенных вверх по потоку относи-
тельно точки /. По терминологии конечно-разностных методов это соответ-
ствует представлению производной с помощью разностей, направленных
против потока [15.3]. Как показывает опыт расчетов, такое представление
второй производной обеспечивает автоматическое выполнение условия из-
лучения. Математическое обоснование этого факта отсутствует до сих пор.
С учетом такого представления второй производной, формул (15.35) и
(15.36) можно получить линейные алгебраические уравнения из (15.33). По-
лучившаяся система М линейных уравнений с М неизвестными qj решается
с помощью прямых или итерационных методов, после чего находятся по-
тенциал (15.35), вызванные скорости (15.36), коэффициент давления и вол-
новое сопротивление. Неизвестная форма свободной поверхности может быть
найдена из условия (13.65).
Метод источников Ранкина в настоящее время распространен на реше-
ния нелинейных волновых задач. При этом распределенные или дискретные
особенности распределяются по неизвестным заранее свободной поверхно-
сти и смоченной поверхности судна. Интенсивность особенностей свобод-
ной поверхности и смоченной поверхности судна (посадки судна) определя-
ется с помощью интерационного метода. Ключевые уравнения получаются
из условия непротекания (15.34), динамического (13.2) и кинематического
(13.5) граничных условий на свободной поверхности, а также из условия
равновесия судна. Существует несколько аналогичных (15.38) эвристичес-
ких способов выполнения условия излучения. В программе Autowing для
решения волновых нелинейных задач используется метод дискретных замк-
нутых вихревых особенностей.
15.7. Расчет вязкостного обтекания тел с помощью
современных численных методов
Наиболее универсальными методами расчета вязкостного обтекания
судовых конструкций являются численные, так как они позволяют непо-
средственно решать уравнения Рейнольдса (8.14) без привлечения каких-
либо упрощений. Это направление часто называют - Computational Fluid
Dynamics (CFD). В настоящее время достигнут такой уровень развития
численных методов, который открывает возможность моделирования об-
текания турбулентным потоком вязкой жидкости конструкций произволь-
ной геометрии с учетом свободной поверхности, ее разрушения и даже
при работающем гребном винте. За рубежом созданы мощные коммер-
ческие пакеты программ Fluent [15.8], CFX [15.4], Comet [15.5], Star CD
[15.6] и т. д., нашедшие широкое применение в судостроительной про-
мышленности. Среди численных методов наибольшее распространение
получил метод контрольного объема, основные идеи которого и излага-
ются в данном параграфе.
468
15.7.1. Дискретизация расчетной области
В любом численном методе искомые функции определяются не во всем
объеме, а в некоторых, особым образом выбранных точках-узлах. При этом
решение разыскивается для так называемой расчетной области - конечного
объема жидкости, охватывающего обтекаемое тело. Если соединить узлы
линиями, то получим сетку. Процедура генерации сетки, называемая гео-
метрической дискретизацией расчетной области. - весьма трудоемкая опе-
рация. В настоящее время наибольшее распространение для расчета полу-
чили многоблочные структурированные сетки с перекрытием блоков. Каждая
структурированная сетка (рис. 15.5) состоит из двух семейств линий (на-
пример, горизонтальных и вертикальных). Линия одного семейства не пере-
секает линию из своего же семейства, а каждую линию чужого семейства
пересекает только один раз. Такое правило позволяет весьма просто и одно-
значно нумеровать узлы. Соседние узлы при такой нумерации имеют близ-
кие номера, что существенно упрощает решение задачи.
Рис, 15,5, Пример структурированной сетки для
моделирования течения в тракте водовода [15.3]
Получающиеся матрицы систем линейных алгебраических уравнений
(см. ниже) имеют регулярную плотную диагональную структуру, что эф-
фективно используется при их решении. Недостатки структурированных
сеток - неудобство при моделировании сложных геометрических областей
и сложность реализации процедуры концентрации узлов в зонах потока с
большими градиентами искомых функций. Использование разных блоков
позволяет, в частности, достаточно просто создавать концентрацию узлов
вблизи обтекаемого тела и их разряжение вдали от него. (рис. 15.6). Мно-
гоблочность - необходимое условие исследования сложного нестацио-
нарного движения тела в какой-либо среде. Один или несколько блоков с
плотной сеткой двигаются вместе с телом, а среда моделируется блоками с
более разряженной сеткой. С помощью таких многоблочных подвижных
сеток проводятся в последнее время исследования качки и маневрирова-
469
ния корабля в трехмерной вязкой турбулентной жидкости с учетом свобод
ной поверхности.
Рис, 15,6, Пример многоблочной структурированной сетки
для моделирования обтекания цилиндра [15.3]
Все чаще для расчета гидродинамики корабля используются неструкту-
рированные сетки (рис. 15.7). Главными преимуществами таких сеток явля-
ется возможность моделирования сколь угодно сложных геометрических об-
ластей и концентрации узлов в нужных местах. Точность расчета
существенно повышается, если отношение сторон ячейки сетки не слишком
велико. Для структурированных сеток при необходимости концентрации уз-
лов в одном направлении выполнение этого правила влечет за собой концен-
трацию узлов в другом направлении, что приводит, как правило, к высокой
плотности узлов в областях, где это вовсе не требуется. В неструктуриро-
ванных сетках, напротив, не представляет большого труда создать концент-
рацию узлов в нужном месте течения с наложением условий ортогонально-
сти и с желательным отношением сторон получающихся ячеек. Недостатком
неструктурированных сеток является сложность последовательной нумера-
ции, вследствие чего номера соседних узлов существенно различаются между
собой, а это приводит к неплотным матрицам, диагональность которых на-
рушается, и к большим трудностям при разработке алгоритма и его программ-
ного воплощения.
Рис, 15,7, Фрагмент неструктурированной сетки
470
Для генерации сеток служат разнообразные алгоритмы. Наиболее про-
стыми из них являются алгебраические методы. Вдоль одного из направле-
ния узлы распределяются по какому-либо простому алгебраическому зако-
ну Например, при исследовании течения вдоль стенки в поперечном к стенке
направлении можно использовать простой экспоненциальный закон типа
y-t = V/-1 + л(1 + Ле 1 j . Существуют более сложные процедуры генера-
ции сеток, основанные на решении дифференциальных уравнений [15.7].
Можно разработать алгоритмы, согласно которым, сетка будет автомати-
чески меняться во времени, обеспечивая необходимую концентрацию узлов
в локальных областях и деформируясь вместе с деформацией границ тече-
ния. Такие сетки называются адаптивными.
15.7.2. Дискретизация уравнений с помощью метода контрольного
объема
В основе метода контрольного обьема используется интегральная форма
уравнений Навье-Стокса (7.21), записанных в консервативной форме. С уче-
том уравнения неразрывности конвективная часть ускорения жидкой части-
цы (§ 3.3) записывается в виде
где i,j = 1,2,3 и выполняется правило суммирования по повторяющемуся
индексу.
С учетом этого уравнение Навье-Стокса в консервативной форме при-
нимает вид
Проинтегрируем (15.39) по некоторому обьему U, ограниченному поверх-
ностью 5:
(15.40)
С использованием формулы Гаусса-Остроградского для слагаемых типа
получается
(15.41)
471
где п - вектор нормали к поверхности S; q = i; е2 = у; е3 = к.
К уравнению (15.41) следует добавить уравнение неразрывности в ин-
тегральной форме (3.18)
undS
-0.
(15.42)
Уравнения (15.41) и (15.42) удовлетворяются для каждой ячейки сетки,
называемой далее контрольным объемом. Каждый контрольный обьем ха-
рактеризуется несколькими узлами, расположенными в центре ячейки и в
центрах ее боковых граней (рис. 15.8). Между узлами искомые функции счи-
таются либо постоянными, либо меняются по линейному, квадратичному
или какому-либо другому простому закону.
Рис. 15.8. Контрольные объемы, используемые
при решении уравнения Навье-Стокса
Существует огромное количество версий метода контрольного обьема,
позволяющих решать систему уравнений (15.41), (15.42) путем сведения ее
к системе алгебраических уравнений. В данном параграфе, следуя [15.3],
опишем простейший случай для двумерной однородной сетки (см. рис. 15.8).
Пусть известно решение в моменты времени t = mA/, т < п + 1 и требуется
найти решение в момент времени (n + 1 )ДЛ Все производные, входящие в
(15.41), представляются в конечно-разностном виде, а для вычисления ин-
тегралов используется метод прямоугольников. В методе контрольного обьема
чаще всего применяются контрольные объемы со смещением (staggered). Для
дискретизации уравнения неразрывности используется контрольный объем
КО1 (см. рис. 15.8,4?). Контрольные объемы для х и у компонент уравнения
Навье-Стокса получаются из КО1 смещением вправо и вверх на половину
ширины ячейки (далее - КО2 и КОЗ) соответственно. Смещение ячеек по-
зволяет добиться высокой устойчивости вычислений и отсутствия осцилля-
ций давления.
ЛПЪ
Производная
в момент времени (п + 1)Д/ может быть
представлена в виде
(15.43)
где верхний индекс означает принадлежность величины к определенному
шагу по времени.
Формула (15.43) может быть легко получена, если аппроксимировать
функцию g с помощью параболы по трем точкам и затем взять производную
по времени. Если записать уравнение (15.41) в виде
^- = G(u,p),
ot
(15.44)
то, используя (15.43), можно выразить неизвестное значение величины gi на
п + 1 шаге по времени следующим образом:
ёГ' '+|<ЖрЖ (15.45)
Численная схема (15.45) называется явной, если правая часть вычисля-
ется с использованием результатов только с предыдущих шагов по времени:
(15Л6)
В этом случае из (15.46) при известной правой части легко найти реше-
ние для функции g на следующем слое по времени g”+l. В противном слу-
чае схема называется неявной:
«г1=^"4gr'<i5-47)
Как видно из (15.47), решение для величины зависит от неизвест-
ных значений скорости и давления с того же шага по времени. Поскольку
конвективное ускорение представляет собой нелинейную функцию от ско-
рости, функция G является также нелинейной функцией от скорости. Задача
нахождения g"+l становится нелинейной и должна решаться интерацион-
ныи методами. Чтобы не решать нелинейные системы алгебраических урав-
нений, применяют итерационный подход (далее т - номер итерации, не пу-
тать с п - номером шага по времени), на каждом шаге которого нелинейные
слагаемые ии- представляются в виде произведения «старого» значения на
новое U;U; . Хотя неявные схемы значительно сложнее явных, их
J I J
используют для промышленных расчетов значительно чаще, поскольку они
обладают лучшей устойчивостью.
473
Рассмотрим правила вычисления отдельных слагаемых в уравнениях
(15.41) и (15.42). Поток массы через грань е контрольного обьема вычисля-
ется по правилу прямоугольников
т™ = [ unds ~ XSP,
C-- I 1 tC-
Se
(15.48)
где m - номер итерации.
В дальнейшем отсутствие верхнего индекса т означает, что величина
относится к m-й итерации. С учетом обозначения (15.48) дискретный аналог
уравнения неразрывности (15.42) запишется в виде
= 0.
rr fl О
(15.49)
Слагаемое, соответствующее конвективному ускорению, вычисляется
также с помощью метода прямоугольников. Например, для z = 1
UyundS « тещ е.
(15.50)
Следует отметить, что в последнем выражении интегрирование прово-
дится по восточной грани контрольного обьема 2, смещенного относитель-
но контрольного обьема 1. Поток массы те следует вычислять как полусум-
му потоков массы, найденных слева и справа от точки «е» для контрольных
обьемов типа 1. В этом случае легко показать, что если уравнение неразрыв-
ности, записанное в дискретной форме, удовлетворяется для КО1, то оно
автоматически удовлетворяется и для обьемов КО2 и КОЗ, что крайне важно
для баланса количества движения, описываемого уравнением (15.41). Ско-
рости в узлах обьемов КО2 и КОЗ, если они не совпадают с узлами обьема
КО1, находят путем линейной интерполяции. Аналогично с помощью мето-
да прямоугольников вычисляют и другие слагаемые:
• слагаемое, соответствующее давлению, для всего контрольного объема:
Qf = -- \pexndS * -~(peSe -
Р S Р
(15.51)
• слагаемое, соответствующее массовым силам:
А/7 AU
(15.52)
• слагаемое, соответствующее локальному ускорению с учетом (15.43)
47Д
3AU
2Л/ ’
(15.53)
Для представления градиента в последнем слагаемом уравнения (15.41)
используется конечно разностное представление с помощью центральных
разностей
ЧхЕ ихР дих
ЧхР uxW uUx
хР - xw ’ ду
duY
.А
дх
~ ихР uxS
S Ур-№ ’
ИТ. д.
(15.54)
Подставляя (15.54) в последнее диффузионное слагаемое уравнения
(15.41) и используя вновь правило прямоугольников, получаем для z = 1
ихЕ ихР
11 хР ~ uxVJ с , uxN ~ ихР с _ ихР ~ uxS с
k)W "Г
(15.55)
Аналогичным образом находят f/ . Вычислив Ff для всех ячеек и под-
ставив выражения (15.50-15.55) в уравнение (15.41), получим алгебраичес-
кое выражение
ApiiiP +FjC = F,d +Qf+Q^-+Q-, (15.56)
где все слагаемые, как видно из (15.50)—(15.55), представляют собой линей-
ные комбинации скоростей в узлах контрольных объемов.
Подставив выражения для Ар, Ff, F^, Qf, Ql- , Q- в (15.56) и сгруп-
пировав все слагаемые относительно скоростей в узлах, найдем алгебраиче-
ское выражение
Ap‘iiiP+YAl‘uii=Qp , /=E,W,N,S; i = 1,2,3. (15.57)
/
Уравнения (15.57) записываются для каждого контрольного обьема.
В результате имеем систему алгебраических уравнений. Эта система, бла-
годаря тому что поток массы вычисляется по результатам решения зада-
чи на предыдущей итерации (15.48), является линейной. Поскольку в пра-
вую часть входят только скорости в соседних узлах, матрица системы
является в общем случае разреженной. Плотность матрицы зависит от
того, как велика разница между номерами соседних узлов. Чем более
плотна матрица, тем быстрее она может быть обращена. Теперь стано-
вятся понятными трудности, возникающие при использовании неструк-
турированных сеток, где велика разница между номерами соседних
475
узлов. Для решения систем (15.57) используются специальные методы
[15.3].
Решая систему (15.57) находим скорости и* для потока массы и давле-
ния, заимствованных в предыдущей итерации, и они, как правило, не удов-
летворяют уравнению неразрывности
те + mw 4- тп + ms - Ат?, Ат*? Ф 0 . (15.58)
Чтобы выполнялось уравнение неразрывности, необходима коррекция
поля скорости и давления. Для этого разработаны проекционные процеду-
ры, наиболее известная из них - процедура SIMPLE. Поясним суть проекци-
онных методов, основанных на коррекции давления.
Из (15.57) и (15.51) для горизонтальной скорости следует
и\е=Ще------ Рр)т~], (15.59)
Ар' Р
где
2р'-е,р-Е4^/
4 =----------7Г-------• (15.60)
При выводе (15.60) использовалось, что точка «е» объема КО1 соответ-
ствует точке Р объема КО2 (рис. 15.8). Будем разыскивать новую скорость и
давление в виде
щ =и}+и'ьр™=р™-[ + р’, (15.61)
где последние слагаемые представляют собой коррекции скорости и давле-
ния, позволяющие удовлетворить уравнению неразрывности. Так как выра-
жение (15.59) является линеаризованным уравнением Навье-Стокса, то оно
справедливо и для скорректированных величин (15.61)
(15.62)
Ар' Р
Вычитая (15.59) из (15.62), получаем выражение для коррекции скорости
и\е=и1е~-^Г-(РЕ-Рр), (15.63)
Ар' Р
~ ~* i
где иХе = ще -иХе =--р—.
^р'
Аналогичные уравнения могут быть получены для второй компоненты
скорости 11'2 Подставляя скорректированные скорости в уравнение нераз-
476
рывности (15.58) и используя (15.63), получаем алгебраические уравнения
для коррекции давления
Арр'р p'i - - Am? -Amp. (15.64)
/
Последним слагаемым в правой части часто пренебрегают.
Можно показать, что уравнение (15.64) представляет собой дискретный
аналог уравнения Пуассона для поправки давления. Из решения системы
алгебраических уравнений (15.64) находят коррекцию давления, затем из
(15.63) определяют коррекцию скорости. Подставляя коррекции в (15.61),
находим скорректированное значение давления и скорости для итерации т.
которые удовлетворяет дискретным аналогам уравнения неразрывности
(15.49) и линеаризованным уравнениям (15.56), но не исходным нелиней-
ным уравнениям Навье-Стокса (15.41). Поэтому необходимы дальнейшие
итерации до тех пор, пока скорости будут слабо меняться от итерации к ите-
рации и погрешность предположения ирл станет пренебрежимо
малой.
15.7.3. Граничные условия
Как правило, расчетная область - это некоторый параллелепипед с вход-
ной, выходной и боковыми границами. Внутри области расположено тело,
на котором выполняются граничное условие прилипания.
Обычно используют криволинейные сетки, так что одна из линий
сетки (у = 0) совпадает с поверхностью обтекаемого тела. Из условия
непротекания следует, что поток массы через грани контрольных обье-
мов, лежащих на поверхности, равен нулю. На этих же гранях равна
нулю и касательная к поверхности скорость и . При расчете диффузи-
онных слагаемых (15.55) для контрольных обьемов, лежащих на повер-
хности тела следует учесть, что ——- 0 , откуда с учетом уравнения не-
or
ди у
разрывности имеем —— = 0. Все эти факты используются при расчете
величин (15.50)-( 1 5.55) для контрольных обьемов, граничащих с по-
верхностью тела. На границе далеко впереди от обтекаемого тела зада-
ются значения набегающей скорости и давления. Боковые границы счи-
таются расположенными достаточно далеко от тела так, что на них
можно пренебречь возмущениями скорости и давления. На выходной
границе нормальные производные искомых функций полагаются рав-
ными нулю, что является искусственным премом, позволяющим пре-
дотвратить распространение вверх по потоку возмущений, вызванных
искусственным ограничением области течения.
477
15.7.4. Учет свободной поверхности
При решении вязкой задачи на свободной поверхности ставится кинема-
тическое граничное условие, согласно которому, нормальная скорость жид-
кой частицы, совпадающей со свободной поверхностью, равна нормальной
скорости свободной поверхности:
й-и^Лп - 0.
Согласно динамическим граничным условиям, силы, действующие на
свободную поверхность со стороны воды и воздуха, должны находиться в
равновесии. Это условие будет выполнено, если нормальные силы в припо-
верхностном слое жидкости уравновешены нормальными силами, действу-
ющими на свободную поверхность со стороны воздуха, а касательные силы
в обеих средах равны. Если свободная поверхность локально может быть
представлена в виде у = 0, то динамическое граничное условие без учета
поверхностного натяжения сводится к следующим трем равенствам;
XVI ^zyl \yg^ Рyyl Рyyg’
(15.65)
где индексы /ng означают принадлежность к жидкости и воздуху
соответственно.
Для моделирования свободной поверхности существует два подхода.
В методе с явным выделением границы раздела сетка в каждый момент
адаптирутеся так, что одна из линий сетки в любой момент времени со-
впадает со свободной поверхностью. Методы с явным выделением гра-
ницы раздела обладают малой диффузионностью, свободная поверхность
не размазывается в пространстве. Но такие методы оказываются абсо-
лютно непригодными для расчета разрушающихся волн, которые всегда
имеют место при обтекании корабля. Преодолеть эту трудность помога-
ют методы сквозного счета, в которых сетка охватывает как жидкость,
так и часть воздуха над ней, а свободная поверхность проходит между
узлами сетки. Точнее говоря, она оказывается «размазанной» по несколь-
ким узлам по вертикали.
Наиболее популярен метод второй группы - Volume of Fluid (VOF). Со-
гласно методу VOF вводится скалярная величина /, показывающая, какая
часть контрольного обьема занята водой. Случай f— 1 означает, что конт-
рольный объем полностью занят водой, тогда как /= 0 означает ее отсут-
ствие в данном объеме. Перенос скалярной величины f описывается уравне-
нием
-- + V(/i/) = 0, (15.66)
ct
которое должно быть добавлено к уравнениям Навье-Стокса и неразрывно-
сти. В последнее время интенсивно разрабатывается level set метод, позво-
ляющий избежать некоторых недостатков метода VOF, в частности, его вы-
сокой диффузивности на свободной поверхности.
478
15.7.5. Учет турбулентности
Для полного завершения формулировки задачи обтекания корабля
потоком вязкой жидкости следует учесть турбулентность. В настоящее
время в судостроении применяется рейнольдсов подход (§ 8.2) с
использованием (&-е)-модели, (£-со)-модели (§ 8.4) или модели, описы-
вающей перенос рейнольдсовых напряжений. Уравнения (8.32) должны
решаться в этом случае совместно с уравнениями Навье-Стокса (15.41),
неразрывности (15.42) и уравнением для f (15.66). Методика их дискре-
тизации аналогична представленной выше. Конструктивно решение
уравнений (8.32) включается в итерационный процесс, изложенный в
§ 15.7.2.
Следует отметить, что константы (£-е)-модели выбраны для простейших
течений и не всегда подходят для задач обтекания судна. Другая проблема
состоит в том, что (&-е)-модель пригодна для высоких чисел Рейнольдса,
а вблизи поверхности судна скорости течения незначительны и локальные
числа Рейнольдса малы. Для преодоления этой трудности следует приме-
нять либо низкорейнольдсовый вариант (к-s)- или (£-со)-моделей, или метод
пристеночных функций, в котором условие прилипания на стенке заменяет-
ся известными соотношениями, определяющими течение в пристеночном
слое (пристеночные функции). Пристеночные функции находятся из следу-
ющих предположений: 1) наибольший градиент скорости имеют в направ-
лении нормали к стенке; 2) градиент давления и массовые силы столь малы,
что сдвиговые напряжения постоянны поперек погранслоя; 3) направления
напряжений и скоростей одинаковы поперек погранслоя; 4) диссипация тур-
булентной энергии уравновешена ее генерацией; 5) справедливо линейное
изменение масштабов турбулентности.
Изменение касательной скорости поперек погранслоя описывается ло-
гарифмическим законом с привлечением эмпирических данных
(15.67)
где у* =-1-|п(9у+');
т 0,42 ' '
- динамическая скорость.
С использованием последней формулы и предположения о локальном
равновесии турбулентности (равенство генерации и диссипации турбулент-
ной кинетической энергии), напряжение на стенке т может быть выражено
через значение кинетической энергии к и скорости течения и в ближайшем
пристеночном узле расчетной сетки, расположенном в логарифмическом слое
на расстоянии у' от поверхности:
т = 0,42рСц/4А:|/2г//1п^9у+
(15.68)
479
Формулы типа (15.67) и (15.68) непосредственно используются для вы-
числения коэффициентов (15.50) - (15.55) (см. подробнее в [15.2]). Приме-
нение метода пристеночных функций позволяет значительно снизить коли-
чество потребных узлов в направлении к стенке и тем самым существенно
сократить время расчета. Кроме того, с использованием эмпирической ин-
формации в рамках метода пристеночных функций можно учесть шерохова-
тость поверхности судна. Но эта модель, в принципе, не в состоянии опи-
сать сложные отрывные течения в кормовой области судна.
С помощью методов CFD можно получить результаты для случаев, когда
оказываются бессильными потенциальные решения (см. гл. 6) и теория по-
граничного слоя (§ 10.1-10.2). Для судов представляет особый интерес тече-
ние в кормовой оконечности, где толщина пограничного слоя достигает су-
щественных значений и возможны отрывы потока. Решение данной задачи
актуально, в частности, для расчета гребного винта, работающего в вязком
следе, который состоит не только из заторможенной жидкости, но и концен-
трированных вихрей, генерируемых скулами и выступающими частями. Гид-
родинамические характеристики гребного винта существенно зависят от
параметров потока за кораблем.
На рис. 15.9 представлены результаты расчета осевой и окружной со-
ставляющих скорости в плоскости винта, выполненные фирмой «Fluent»
для модели судна 300К VLCC. Более сложная модель турбулентности, осно-
ванная на модели рейнольдсовых напряжений (RSM), дает лучшее согласо-
вание с экспериментом для распределения скорости, чем другие модели. Тем
не менее для окружной скорости в области ступицы винта y/L< 0.005 со-
гласование нельзя признать удовлетворительным ни для одной из представ-
ленных моделей турбулентности. Коэффициенты попутного потока
w = 1 - U /U{})dA, где А - площадь диска гребного винта, и полного со-
противления представлены в табл. 15.1. Анализируя рис. 15.9 и таблицу 15.1,
отметим разброс данных в зависимости от используемой модели турбулент-
ности. В целом, опыт серийных расчетов судов показывает, что более совер-
шенные (но одновременно и значительно более трудоемкие) RSM и LES
модели обеспечивают лучшее согласование с экспериментом.
Численное моделирование открывает перспективы для разработки кор-
рекции эксперимента. Как известно (§ 7.5), практически невозможно выпол-
нить подобие по числу Рейнольдса, что приводит к появлению масштабного
эффекта. При наличии подходящей модели турбулентности можно выпол-
нить расчет при любом числе Рейнольдса и на этой основе разработать по-
правки на масштабный эффект.
Если необходимо рассчитать взаимное вляние винта и корпуса, то может
быть использована простейшая схема, согласно которой, винт моделируется
диском с распределенными внутри него массовыми силами с плотностью,
равной плотности упора.
480
a)
y/L
6)
Рис. 15.9. Распределение осредненной продольной U (а)
и окружной W (б) составляющих скорости вдоль оси оу
в плоскости винта судна 300К VLCC[15.9/. Начало системы координат
находится на оси винта, Оу — поперечная горизонтальная ось.
Остальные обозначения — см. § 8.4.3: SA - модель Спаларта Алмараса,
SKE, RNG, RKE - различные варианты (к-ь)-модели, КО - (к-&)-модель,
SST - ком б ин а циня моделей {к—е) и (Л-со), предложенная Ментером,
RSTM-RSM методы
Таблица 15.1
Коэффициент попутного потока и полного сопротивления судна 300К
VLCC, рассчитанные с помощью различных моделей турбулентности
Модель турбулентности Коэффициент
попутного потока полного сопротивления х103
SA 0.497 4.032
SKE 0.482 4.216
RNG 0.537 4.145
RKE 0.539 4.149
КО 0.583 4.258
SST 0.538 4.200
RSTM-GL 0.561 4.048
RSTM-SSG 0.560 4.060
Эксперимент 0.557 4.110
16 Зак. 4042
481
Расчет корабля с учетом свободной поверхности и турбулентности с по-
мощью численных методов занимает в настоящее время около недели на
персональном компьютере высокой производительности. Для достижения
приемлемой точности требуется около полумиллиона и более контрольных
объемов. Недостаточно подробная дискретизация расчетной области и не-
удачные численные схемы очень часто ведут к тому, что результаты, напри-
мер, для волнового сопротивления и волновой поверхности, полученные с
помощью «невязких» панельных методов, оказываются гораздо лучше, чем
результаты трудоемких расчетов вязкого течения. Результат численного мо-
делирования во многом зависит от того, насколько велик опыт вычислителя,
насколько хорошо он знает физику изучаемого явления и математические
основы численного метода.
КОНТРОЛЬНЫЕ
ВОПРОСЫ
1. С помощью какого метода можно предсказать возник-
новение кавитации на передней кромке подводного
крыла?
2. В чем суть метода дискретных вихрей?
3. Что такое CFD?
4. Каким образом выполняется уравнение Лапласа в па-
нельных методах?
5. В чем суть метода контрольного объема и каково его
предназначение?
6. Как моделируется свободная поверхность в методе
контрольного объема?
7. В чем заключается отличие панельных методов рас-
чета волнового сопротивления в линейной и нелиней-
ной постановках?
ЗАДАЧИ
1. Загрузите программу Autowing из www.argo-group.de/
service/downloads.php. Рассчитайте Сх, Су и mz прямо-
угольного крыла X = 2 при угле атаки X = 5°. Устано-
вите, при каком числе дискретных вихрей по хорде и
размаху достигается сходимость по интегральным
характеристикам.
2. С помощью программы Autowing исследуйте влия-
ние кривизны и толщины двумерного профиля на его
СуИ mz.
483
Часть 6. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ
ГИДРОАЭРОМЕХАНИКА
ГЛАВА 16. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ
ГИДРОАЭРОМЕХАНИКА
(модули 2, 3)
ГЛАВА 16
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ГИДРОАЭРОМЕХАНИКА
16.1. Введение
Существует несколько подходов к решению задач гидромеханики. Один
из них - аналитический - основан на разработке математических моделей
и описании процессов с помощью интегральных и дифференциальных урав-
нений. Аналитические решения этих уравнений позволяют получить так
называемые точные решения. Этот метод уходит корнями в прошлые века,
им пользовались еще Эйлер, Бернулли, Лагранж и другие основоположни-
ки гидромеханики. Результаты, полученные таким путем, до сих пор ис-
пользуются в качестве основных тестовых решений при построении со-
временных математических моделей. К сожалению, этот метод имеет свои
достаточно серьезные ограничения. Они связаны, с одной стороны, с не-
полнотой наших знаний о природных физических процессах, которые мы
пытаемся описать и, с другой, - ограниченными возможностями аналити-
ческих методов современной математики. Дело в том, что для описания
реальных процессов приходится использовать весьма сложный математи-
ческий аппарат, а полученные уравнения чаще всего бывают нелинейны-
ми, дифференциальными или интегродифференциальными в частных про-
изводных высоких порядков.
Другим подходом, получившим признание в последнее время, являет-
ся численное моделирование (гл. 15), или вычислительный эксперимент.
Его широкое распространение объясняется развитием компьютерной тех-
ники. Суть подхода заключается в том, что уравнения, описывающие зада-
чи гидромеханики, решаются численными методами. При этом большин-
ство задач сводятся к системам алгебраических уравнений очень высокого
порядка, методы решения которых хорошо разработаны. Такой подход по-
зволяет решать задачи, не доступные аналитическим методам, но имеет,
в свою очередь, ряд серьезных недостатков. К основным из них можно отне-
сти сложность определения границ применимости данных методов, т.е. по-
иск таких зон изменения исходных данных, при использовании которые
48
можно получить достоверные результаты, и необходимость сравнения ре-
зультатов расчетов в процессе отладки программ с аналитическими, тесто-
выми решениями.
Основным недостатком обоих изложенных методов является невоз-
можность с достаточной точностью математически описать сложные фи-
зические процессы, которые имеют место при пространственном, в об-
щем случае неустановившемся, движении тел в жидкой или газообразной
среде.
Поэтому для решения подобных задач до сих пор незаменимым оста-
ется физический эксперимент. Результаты, полученные в процессе по-
добного эксперимента, могут быть использованы как для корректировки
математических моделей, используемых в аналитических и численных
методах, так и в качестве тестовых примеров, необходимых при написа-
нии и отладке программ для компьютеров. В рамках настоящей главы
рассмотрены экспериментальные установки и оборудование, применяе-
мые при проведении физического эксперимента и обработке полученных
результатов. Большую роль в физическом эксперименте играет теория
подобия.
16.2. Экспериментальные установки
Гидроаэродинамический эксперимент призван решать очень широкий
круг вопросов, связанных с взаимодействием тел с жидкой и газообразной
средой. При этом в широком диапазоне меняются как параметры среды -
температура, давление, вязкость, плотность, так и параметры движения тела
- скорость, ориентация в потоке, зависимости от времени.
Вполне понятно, что создать экспериментальную установку, с помощью
которой можно решить любую поставленную задачу, теоретически можно,
но экономически невыгодно. Поэтому разрабатываются специальные экспе-
риментальные установки, с помощью которых может быть решен опреде-
ленный, ограниченный, круг задач гидроаэродинамики. Вообще говоря, та-
ких установок может быть очень много. Некоторые из них имеют очень узкое
применение и порой проектируются для решения одной конкретной задачи
В данном разделе мы рассмотрим основные типы установок достаточнс
широкого профиля, которые используются в настоящее время. В некоторые
из них в качестве рабочей среды используется воздух (это - аэродинамичес-
кие трубы), другие работают с водой (это — опытовые бассейны, кавитаци-
онные трубы) [16.6].
Существуют еще два типа экспериментальных установок, позволяющие
моделировать гидродинамические процессы в невязкой жидкости - это ус
тановки электродинамической аналогии (ЭГДА) и магнитогидродинамичес
кой аналогии (МАГДА). Принцип их действия основан на единообразие
с точностью до физического смысла символов некоторых формул электро
488
динамики, магнитодинамики и гидродинамики. Эта аналогичность форму!
позволяет анализировать электрические или магнитные поля для изучения
обтекания тел жидкостью. В некоторых случаях, например при моделирова-
нии движения аппарата сложной геометрии у неровной границы, эти уста-
новки имеют преимущество перед программными комплексами, решающи-
ми подобные задачи.
На каждой из экспериментальных установок в качестве основного ис-
пользуется один (или два) критерий подобия, а остальные являются вспомо-
гательными. Так, в аэродинамических трубах моделирование в большинстве
случаев ведется по числу Рейнольдса и по числу Струхаля (для нестацио-
нарных движений). В опытовых бассейнах в качестве основного часто ис-
пользуется подобие по числам Фруда и Струхаля, но может применяться
также число Рейнольдса - при изучении подводных объектов.
В кавитационных трубах, естественно, основным является число кавитации.
Рассмотрим более подробно различные типы экспериментальных устано-
вок, применяемых при проведении гидроаэродинамического эксперимента.
16.2.1. Аэродинамические трубы
Аэродинамическая труба (АТ) - это экспериментальная установка, ис-
пользующая в качестве рабочей среды воздух. АТ состоит из устройства,
создающего поток воздуха - воздушного винта с приводным двигателем,
канала, в котором создается воздушный поток с заданными параметрами,
и рабочей части, где устанавливается исследуемый объект и могут разме-
щаться измерительные устройства.
Аэродинамические трубы могут быть открытого типа (прямоточные) или
замкнутые (с обратным каналом) с открытой (рис. 16.1) или закрытой рабо-
чей частью. Существуют сверхзвуковые АТ. Качество трубы определяется
степенью турбулентности и неравномерностью поля скорости потока в ра-
бочей части. Существуют специальные малотурбулентные АТ.
АТ могут иметь различную форму поперечного сечения: круг, эллипс,
прямоугольник или многоугольник.
Размеры АТ иногда достигают очень больших величин, чтобы при-
близить условия эксперимента к натурным. Так, в КБ им. А.А. Туполе-
ва размеры рабочей части АТ позволяют разместить в ней истребитель.
В АТ Научно-исследовательского автомобильного и автомоторного ин-
ститута (НАМИ) можно испытывать реальные автомобили и автопоез-
да. Естественно, стоимость экспериментов на подобных установках бас-
нословная.
В качестве примера рассмотрим АТ кафедры ГАММА СПб ГМТУ. Она
была спроектирована и построена сотрудниками кафедры гидромеханики
ЯКИ. В ее создании принимали участие такие преподаватели, как
Я.И. Войткунский, С.С. Золотов, В.Б. Амфилохиев, В.К. Трешков, Т.П. На-
заров и многие другие, а также студенты.
17 Зак. 4042
489
18460
Рис 16.1. Схема АТ замкнутого типа
АТ (рис. 16.1) замкнутого типа с открытой рабочей частью имеет сле-
дующие эксплуатационные характеристики:
Максимальная скорость потока (проектная), м/с...........60
Диаметр трубы, м........................................ 1,8
Длина рабочей части, м..................................2,4
Степень турбулентности, %............................... 1
Диаметр ядра, м......................................... 1,6-1,2
Корпус трубы включает диффузор /, баранку 2 и обратный канал 3. По-
ток воздуха создается импеллером 4, приводимым в движение двигателем
постоянного тока 5. Для уменьшения возмущений импеллер расположен по-
зади рабочей части. Использование двигателя постоянного тока упрощает
регулировку частоты вращения импеллера без потери крутящего момента.
Силовая установка включает также двигатель переменного тока и генератор
постоянного тока. Такой тандем называется умформером и используется
для преобразования переменного тока в постоянный.
Для организации потока в корпусе трубы установлены профилированные
направляющие лопатки 6. Чтобы уменьшить неравномерность потока и сни-
зить степень турбулентности в обратном канале, ставят сетки с различным сече-
нием ячеек. Размеры ячеек, количество и положение сеток выбиралось в про-
цессе тестовых экспериментов при настройке АТ. Перед диффузором установлена
спрямляющая решетка хоннейкомб 7 - устройство, представляющее собой сис-
тему каналов сечением 50x50 мм. Ее задача - разрушение крупногабаритных
вихрей. Из теории известно, что в реальной жидкости время существования
вихрей малого размера значительно меньше из-за их диссипации за счет сил
вязкости. Таким образом удается снизить степень турбулентности потока.
Важным элементом трубы является диффузор. За счет уменьшения се-
чения потока растет его кинетическая энергия и выравнивается поле скоро-
сти. В конце рабочей части есть так называемая «баранка», а в корпусе тру-
бы вырезаны окна. Эти элементы позволяют влиять на звуковые и частотные
характеристики АТ. Они снижают уровень шума в помещении и изменяют
490
собственные частоты колебаний экспериментальной установки так, чтобы
избежать резонансных явлений. Полностью этот вопрос решить не удается,
поскольку частота колебаний зависит от скорости потока и режима работы
силовой установки. Это приводит к тому, что некоторый диапазон скоростей
оказывается «запретным». Для АТ СПбГМТУ таким диапазоном являются
скорости от 40 до 45 м/с, поскольку при этом наблюдается резкое увеличе-
ние вибраций несущих конструкций здания университета.
АТ работают на принципе обращенного движения, когда на неподвиж-
ную модель набегает поток. В рабочей части АТ располагается исследуемый
объект, например модель корабля. Он монтируется на измерительной уста-
новке, позволяющей задать положение модели в потоке и определить вели-
чину аэродинамических сил и моментов, действующих на модель со сторо-
ны потока. Кроме этого, в рабочей части может быть смонтировано
дополнительное оборудование, например, экран, моделирующий поверхность
Земли или свободную поверхность.
Эпюра скорости в рабочей части трубы характерна для течения вязкой
жидкости (рис. 16.2). Конструктивные мероприятия - установка направляю-
щих лопаток, сеток, хоннейкомба, диффузора - позволяют получить эпюру с
коэффициентом неравномерности ос~ 1.1. Часть сечения трубы, в которой
значение средней скорости меняется слабо, называется ядром потока. Есте-
ственно, чем ближе диаметр ядра к диаметру трубы, тем лучше. В трубах с
открытой рабочей частью на размеры ядра потока влияют массы воздуха,
засасываемые потоком извне. В АТ с закрытой рабочей частью на этот пара-
метр влияют стенки рабочей части.
Рис. 16.2. Эпюра скорости в рабочей
части трубы
АТ прямоточного типа не имеют обратного канала. Движение воздуха в
нем обеспечивается вентилятором, стоящим перед рабочей частью, что при-
водит к ухудшению характеристик потока. АТ с закрытой рабочей частью
обеспечивают более равномерную эпюру скорости в ядре и больший размер
самого ядра. Кроме того, при соответствующих конструктивных доработках
они позволяют проводить эксперименты при повышенной, по сравнению
491
с атмосферным, величине давления в потоке. Стенки рабочей части могут
выполнять функции экрана. В то же время в трубах подобного типа возника-
ют проблемы с моделированием движения в безграничной жидкости, по-
скольку близость стенок рабочей части к модели оказывает влияние на ре-
зультаты эксперимента. Кроме того, возникают сложности с монтажом модели
и измерительной установки и с изменением кинематических параметров
модели в процессе эксперимента.
В АТ проводят испытания надводной части судов, подводных объектов,
движущихся вдали от свободной поверхности, аэродинамики экранопланов,
дублированных корпусов судов и т. д. (см. [16.1]).
16.2.2. Опытовые бассейны
Опытовый бассейн - это экспериментальная установка, в которой при
испытаниях модель движется в воде. При этом используется метод прямого
(необращенного) движения. Размеры опытовых бассейнов колеблются в очень
широких пределах. Одним из важнейших параметров бассейна - его длина.
Некоторые бассейны, например в ЦНИИ им. акад. А.Н. Крылова, имеют сум-
марную длину более 1 км.
Стенки бассейна оказывают влияние на результаты испытаний, поэтому
ширину бассейна стремятся увеличить. Для исключения влияния дна бассей-
на его глубину также стараются сделать больше. Для испытаний на мелково-
дье бассейны иногда оборудуют подъемным вторым дном, позволяющем ре-
гулировать глубину в процессе эксперимента. Для обеспечения условий
подобия по числу Фруда размеры модели стараются увеличить. Чем больше
размеры бассейна, тем большие по размеру модели в нем можно испытывать.
Устройство бассейна рассмотрим на примере опытового бассейна кафед-
ры Теории корабля СПбГМТУ (рис. 16.3).
Рис.16.3. Схема опытового бассейна
492
Бассейн представляет собой бетонную чашу 1 длиной около 40 м и ши-
риной 5,5 м. Глубина воды при стандартных испытаниях составляет обычно
2,6 м. Бассейн оборудован двумя системами буксировки: гравитационного
типа и рельсовой тележкой.
Скорость буксировки ограничивается 4 м/с.
Гравитационная система подробно описана в [16.6]. Она позволяет из-
мерять силу сопротивления с очень высокой точностью, но может быть ис-
пользована только для испытаний моделей, движущихся без крена и диффе-
рента. Сопротивление измеряют с того момента, когда модель 3, приводимая
в движение падающим грузом 2, начинает двигаться с постоянной скорос-
тью. В этом случае сила тяги - вес груза - равен силе сопротивления.
К сожалению, размеры бассейна не позволяют в большинстве случаев вый-
ти на установившийся режим. Поэтому гравитационная система включает
устройство, позволяющее на этапе разгона быстро достичь высокой скорос-
ти. После отключения ускорителя скорость модели в зависимости от пред-
варительной настройки уменьшается или увеличивается до момента выхода
на балансировочный режим.
Рельсовая тележка (рис. 16.4) обеспечивает постоянное положение мо-
дели и способна буксировать модель, вес которой превышает силу плавуче-
сти, за счет жесткого крепления на тензометрическом динамометре.
Рис. 16.4. Схема рельсовой тележки
Вдоль ванны бассейна проложены рельсы, по которым и движется те-
лежка. В движение тележка приводится тросом буксировочной системы
бассейна. Регулирование скорости и поддержание ее постоянной в процес-
се пробега осуществляется тиристорной системой управления движением
тележки.
На тележке установлены державки для крепления модели и датчиков
измерительной системы. Весь путь модели в процессе эксперимента делит-
ся на три зоны: разгона, равномерного движения (проведения замеров)
493
и торможения. В зоне разгона модель движется с ускорением до тех пор,
пока не достигнет заданной по условиям эксперимента скорости. В зоне тор-
можения скорость гасится до нуля. Вследствие наличия зон разгона и тор-
можения длина рабочей части оказывается меньше длины бассейна. При ис-
пытаниях быстроходных судов, требующих высоких скоростей движения
модели, сокращение рабочей зоны может оказаться значительным. Это еще
одна причина необходимости увеличения длины бассейна.
Бассейн СПбГМТУ оборудован волнопродуктором, позволяющим модели-
ровать регулярное волнение с длиной волны / от 1 до 5 м и высотой h до 0,2 м.
Созданные в чаше бассейна волны, доходя до противоположной стенки, отра-
жаются от нее, что искажает картину волнения и приводит к толчее волн. Чтобы
избежать подобных явлений у стенки бассейна, противоположной волнопро-
дуктору, устанавливают волногасители - устройства, уничтожающие набегаю-
щие волны. В рабочей зоне располагаются струнные волнографы - приборы,
позволяющие контролировать характеристики волнения в процессе испытаний.
Сравнительно большие гидродинамические силы, возникающие при дви-
жении в воде моделей, размер которых может превышать 6 м, с высокими
скоростями, предъявляют большие требования к прочности системы креп-
ления модели и к конструкции тележки. Эти узлы должны обладать доста-
точной жесткостью, чтобы собственные частоты колебаний установки ока-
зались как можно выше для предотвращения резонансных явлений. Особые
требования предъявляются к точности установки рельсовых путей, которые
на всем протяжении рабочей зоны должны обеспечить минимальные попе-
речные и вертикальные перемещения модели. Бассейн оборудован подъем-
ным участком дна, позволяющим проводить испытания поведения моделей
на мелкой воде. Подъемный участок имеет длину 18 м и состоит из трех
секций, шарнирно связанных между собой. Это позволяет моделировать раз-
личные случаи изменения глубины. В опытовом бассейне проводят измере-
ния волнового (остаточного) сопротивления и дополнительного сопротив-
ления, вызванного набегающим волнением. При проведении испытаний
бассейн может быть заполнен жидкостью, отличающейся по своим физи-
ческим свойствам от воды. Так, для исследования взаимодействия модели с
неньютоновскими жидкостями бассейн может быть заполнен раствором по-
лимера. Изменяя его концентрацию, можно оценить возможности снижения
сопротивления трения. Такой уникальный по диапазону варьируемых пара-
метров эксперимент был проведен в бассейне СПбГМТУ под руководством
проф. В.Б. Амфилохиева и проф. Л.С. Артюшкова в 1998 г.
К опытовым бассейнам относятся также так называемые циркуляцион-
ные, ледовые и стратифицированные. Циркуляционный бассейн представ-
ляет собой круглую чашу, заполненную водой. В центре чаши имеется воз-
вышение, на котором на оси установлена вращающаяся ферма. На ферме
крепится модель. В процессе эксперимента при вращении фермы вокруг
оси модель движется по кругу. При этом длина рабочего участка, т.е. зона
494
равномерного движения модели, не ограничена. В ротативных бассейнах
обычно решаются задачи управляемости.
В ледовых бассейнах с помощью специальных морозильных установок
создаются условия, позволяющие изучать взаимодействие судна с ледовым
покровом: движение во льдах, воздействие льда на корпус судна, всплытие
подводной лодки сквозь толщу льда.
Для изучения физики океана строятся так называемые стратифициро-
ванные бассейны. Их особенность заключается в том, что с помощью специ-
альных конструктивных мер обеспечивается изменение параметров среды
в различных частях чаши бассейна. Например, неравномерный нагрев воды
на различной глубине создает температурную стратификацию - изменение
плотности жидкости на различном удалении от дна бассейна. Подобные эк-
спериментальные установки используются для решения задач, связанных
с внутренними волнами и другими специальными разделами гидромеханики.
16.2.3. Кавитационные трубы
Кавитационная труба - это экспериментальная установка, предназначен-
ная для испытания моделей, обтекаемых в режиме кавитации (см. § 14.2.2). Они
действуют по принципу обращенного движения и представляют собой замкну-
тый контур, заполненный водой. По конструкции кавитационные трубы похо-
жи на аэродинамические трубы замкнутого типа с закрытой рабочей частью,
только рабочей средой в них является вода, и они всегда располагаются верти-
кально. Благодаря возможности изменять давление в контуре трубы и устанав-
ливать различные скорости потока обеспечивается возникновение режима ка-
витации на моделях различного размера. Основным критерием подобия при
проведении экспериментов в кавитационных трубах является число кавитации.
В рабочей части трубы на специальной державке устанавливается мо-
дель судна или гребного винта. Конструкция державки обеспечивает враще-
ние винта с заданным числом оборотов: державка оборудуется измеритель-
ными элементами, фиксирующими величины сил и моментов, действующих
на модель при различных режимах движения в условиях кавитации и без
нее. В СПбГМТУ кавитационная труба имеется на кафедре теории корабля.
Требования к обеспечению герметичности контура, как и значительный
вес воды, заполняющей кавитационную трубу, резко усложняют конструк-
цию подобной экспериментальной установки. Для достижения необходи-
мых скоростей потока требуется размещать двигатели повышенной мощно-
сти. Эти факторы приводят к тому, что конструкторам приходится
ограничивать размеры всей установки и рабочей части кавитационной тру-
бы. Кроме того, расположение модели в рабочей части, постоянно заполнен-
ной водой, создает проблемы с изменением ее положения в процессе
эксперимента. Для изменения, скажем, угла дрейфа приходится или разгер-
метизировать систему, или создавать специальные дистанционно управляе-
мые устройства. Последнее - тоже непростая задача, поскольку большая часть
495
конструкции и приводов должна работать в воде. Поэтому подготовка и про-
ведение эксперимента в кавитационной трубе представляет собой значитель-
но более сложную задачу, чем в АТ или опытовом бассейне.
16.3. Измерительная аппаратура
Измерительная аппаратура, применяемая в аэрогидродинамическом экспе-
рименте, весьма разнообразна: это и простейшие флюгеры, и сложнейшие доп-
леровские лазерные анемометры. Но, перед тем как начать ее изучение, следует
напомнить, что любая измерительная система состоит из датчика, устройства
усиления и преобразования сигнала и регистрирующего прибора. В некоторых
случаях различные функции могут сочетаться в одном устройстве. Кроме того,
любой датчик или измерительная система могут быть описаны формулой
ИВ = Кт • ПП,
где ПП - показания прибора; Кт - тарировочный коэффициент; ИВ - изме-
ряемая величина.
Чувствительность прибора, т.е. способность его реагировать на малые
изменения измеряемой величины, связана с тарировочным коэффициентом.
Чем меньше величина Кт, тем выше чувствительность.
Для почти всегда, с учетом тех или иных предположений, может быть по-
лучена теоретическая зависимость, связывающая измеряемую и выходную вели-
чины. Но, поскольку используемая в теории математическая модель не всегда адек-
ватно отражает физические процессы, происходящие в природе, а при изготовлении
прибора имеют место различные погрешности, любая измерительная система
требует тарировки или поверки для оценки величины погрешностей измерений.
16.4. Измерение скорости
Задача измерения скорости потока, пожалуй, встречается чаще всего при
проведении гидроаэродинамического эксперимента. Скорость потока, или ско-
рость движения тела в случае необращенного движения - это один из основных
кинематических параметров, характеризующих течение жидкости и используе-
мых при изучении взаимодействия тела и среды. Данную задачу нельзя отнести
к разряду простых по целому ряду причин. Во-первых, в данной конкретной
точке потока скорость постоянно меняется. Эта зависимость характеристик по-
тока от времени может быть вызвана искусственно, за счет моделирования не-
установившегося движения, или носить случайный характер - вследствие не-
равномерности работы привода экспериментальной установки, вибрации корпуса
установки или модели. Кроме того, подобное явление может быть следствием
характеристик самого потока - наличия турбулентных пульсаций. Во-вторых,
для измерения скорости необходимо (за редким исключением) внести в поток
датчик, неважно какой. Этот датчик, находясь в потоке, изменяет его характери-
стики и, в частности, величину и направление местной скорости. В-третьих,
496
скорость как вектор обладает величиной и направлением. Следовательно, изме-
ряемая датчиком величина скорости будет зависеть от ориентации датчика. Са-
мые распространенные способы измерения скорости потока рассмотрим в дан-
ном параграфе. Каждый из них имеет свои достоинства и недостатки, свои
метрологические характеристики. Для решения различных задач могут быть
использованы разные методы.
16.4.1. Чашечные анемометры
Для измерения скорости используются чаще всего так называемые вер-
тушечные анемометры. Они бывают двух типов - с вертикальной осью
и горизонтальной осью.
Рассмотрим конструкцию чашечного анемометра с вертикальной осью
(рис. 16.5). Эта ось закреплена в подшипниках. На ней установлены три или
четыре чашки.
Рис. 16.5. Чашечный анемометр
с вертикальной осью
Проанализируем работу устройства. Обе чашки анемометра расположе-
ны поперек потока, набегающего со скоростью V. В результате силу, дей-
ствующую на каждую из чашек, можно определить по общей формуле
5
где R - сила, действующая на чашку; CR - аэродинамический коэффициент;
К-скорость потока; S - характерная площадь чашки.
Все дело в том, что коэффициент CR для полусферы различается в слу-
чае набегания потока «под купол» (чашка 1 на рис. 16.5) и «на купол» (чаш-
ка 2). В первом случае CR= 1,44; во втором -CR = 0,36. В результате ~ значе-
ния сил 7?j и Т?2 отличаются. Результирующая сила R = R{- R2 создает
вращающий момент относительно вертикальной оси.
497
Скорость вращения (число оборотов) чашек зависит от скорости набега-
ющего потока. Для измерения скорости вращения используют магнитные,
фотоэлектрические, механические и другие устройства. Возможность под-
счета числа оборотов в виде электрических импульсов делает подобный дат-
чик удобным для подключения к компьютерам или иным автоматизирован-
ным системам. Показания датчика не зависят от изменения направления
потока в плоскости, перпендикулярной оси вращения.
Анемометр с горизонтальной осью представляет собой воздуш-
ный винт, закрепленный на оси. Под воздействием набегающего потока винт
вращается. Измеряя скорость вращения, или число оборотов, определяют
скорость потока. Для получения точных значений ось винта должна совпа-
дать с вектором скорости потока. Анемометры этой конструкции оборуду-
ются устройствами типа флюгера, позволяющими ориентировать их по по-
току.
16.4.2. Скоростная трубка
Этот датчик, пожалуй, наиболее часто используется при проведении
аэрогидродинамического эксперимента. Он представляет собой цилинд-
рическую трубку с носовой оконечностью оживальной или сферической
формы (рис. 16.6). В центре полусферы просверлено отверстие 1. На ци-
линдрической части имеется кольцевая щель 2. Она сообщается с полос-
тью 5 внутри трубки (см. сечение А-А). Центральное отверстие и полость
кольцевой щели соединены со штуцерами 3 и 4 на противоположном кон-
це скоростной трубки.
Рис. 16.6. Схема скоростной трубки (а)
и кривая коэффициента давления {б)
Отверстие 1 совпадает с носовой критической точкой скоростной
трубки.
498
Принцип действия скоростной трубки основан на анализе уравнения
Бернулли. Рассмотрим уравнение Бернулли для невязкой жидкости. Ошиб-
ка, связанная с пренебрежением вязкостью, мала, так как форма носовой
оконечности трубки плавная и местные потери невелики. Размеры трубки
небольшие, следовательно, малы и потери на трение.
Кроме того, малые поперечные размеры трубки позволяют пренебречь
изменением потенциальной энергии, связанным с положением частицы.
В рамках этих допущений уравнение Бернулли запишется в виде
Р^12 , о _ Р*2 , „
2 1 2 2 ’
Здесь индекс 1 соответствует центральному отверстию скоростной труб-
ки, а индекс 2 - кольцевой щели.
Поскольку отверстие 1 расположено в критической точке, = 0. Раз-
ность давлений Р{ и Р2 может быть измерена с помощью манометра, под-
ключенного к штуцерам 3 и 4 скоростной трубки.
Р.-Р]. = кН.
Здесь к - тарировочный коэффициент манометра; Н - показания мано-
метра. Тогда
где V - скорость, измеренная в месте расположения кольцевой щели;
А - тарировочный коэффициент скоростной трубки. Он появляется вслед-
ствие принятых нами допущений и из-за погрешностей, возникающих при
изготовлении датчика. Обычно коэффициент А & 1.01 4- 1.05.
Если мы хотим измерять скорость набегающего потока, то должны коль-
цевую щель 2 расположить в том месте, где скорость частиц, обтекающих
тело, равна скорости
Из формулы для коэффициента давления
следует
отсюда видно, что кольцевая щель должна быть расположена в том сечении
тела, где коэффициент давления равен нулю.
К сожалению, эта точка обычно находиться в пределах полусферы и может
перемещаться при изменении направления потока. Поэтому кольцевую щель
располагают в зоне, где кривая коэффициента давления асимптотически стре-
миться к нулю. Это вносит дополнительные погрешности при измерениях.
49<
По конструкции скоростные трубки могут быть прямыми и Г-образными.
Размеры рабочей части скоростной трубки стараются делать незначительны-
ми, чтобы уменьшить искажения протока, возникающие при внесении в него
датчика. Скоростная трубка позволяет определить величину, но не направле-
ние вектора скорости. При этом погрешность, связанная с отклонением векто-
ра набегающего потока от оси трубки в диапазоне ±15 °, обычно не превыша-
ет 5 %. Для определения направления вектора скорости с помощью скоростной
трубки ее устанавливают в державку, позволяющую поворачивать датчик в
вертикальной и горизонтальной плоскостях и искать положение, в котором
показания будут максимальными. Естественно, подобные измерения возмож-
ны только в случае установившегося малотурбулентного течения.
Если в качестве регистрирующего прибора используется жидкостный
манометр, возможны измерения только низкочастотных процессов. Если для
измерения применять электрические датчики давления, то частотный диа-
пазон может быть расширен. Ограничением при этом являются инерцион-
ные характеристики столбов воздуха (или жидкости) в трубках, соединяю-
щих отверстия 7 и 2 со штуцерами 3 и 4,
Разновидностью скоростной трубки является трубка полного напо-
ра (рис. 16.7). Она представляет собой просто изогнутую (или прямую) труб-
ку, один конец которой открыт в поток, а другой подсоединен к датчику дав-
ления, например к манометру. Открытый конец трубки расположен в
критической точке. Такая трубка измеряет разность между полным скорост-
ным напором и давлением, действующим на второе колено манометра. Обыч-
но это давление в окружающем пространстве. Такой датчик имеет малую
погрешность, если давление в потоке и в окружающей среде отличаются
незначительно, например, при измерении в струе, вытекающей в открытое
пространство (на выходе из трубопровода). Если вы попытаетесь использо-
вать этот датчик в качестве судового лага, разместив его за бортом глубоко-
водного аппарата и подключив к манометру, находящемуся в каюте с нор-
мальным атмосферным давлением, то при одной и той же скорости движения
на различной глубине показания трубки полного напора будут различны.
Рис. 16.7. Трубка полного напора
500
В то же время при использовании в качестве датчика лага скоростной труб-
ки проблем у вас не будет.
16.4.3. Насадки для измерения скосов
Для того чтобы правильно определить скорость в точке, надо знать ее
направление. С помощью скоростной трубки можно найти направление
скорости потока. Для этого ее следует вращать в потоке в горизонталь-
ной и вертикальной плоскостях до тех пор, пока не будет получено мак-
симальное значение скорости. Но при этом нет никакой гарантии, что
величина скорости набегающего потока не изменилась за время поиска.
Кроме того, такая процедура возможна только при исследовании стацио-
нарных течений.
Значит, надо уметь определять направление вектора скорости в данной
точке потока. Для решения этой задачи используются модификации скорос-
тной трубки - так называемые зонды, или насадки, для измерения
скосов потока. Под скосом здесь понимается отклонение вектора мест-
ной скорости от вектора скорости набегающего потока на бесконечности,
т.е. угол между ними. Для измерения скосов в носовой сферической части
скоростной трубки просверливают дополнительные отверстия (рис. 16.8).
Рис. 16.8. Насадка для измерения скоса
Два из них расположены на вертикальной оси полусферы, а два - на го-
ризонтальной оси. Это самый общий случай. Для некоторых зондов могут
потребоваться или вертикальные, или горизонтальные отверстия. Существует
группа насадков, не имеющих кольцевой щели.
Таким образом, по количеству отверстий насадки могут быть разделены
на трех-, пяти- и шестиканальные. К каждому отверстию припаяна трубка.
Другой конец трубки выведен на штуцер, к которому может быть подсоеди-
нен манометр.
Рассмотрим работу трехствольного насадка (рис. 16.9), позволяющего
определить угол скоса в одной плоскости. Теоретическое распределение дав-
ления (или коэффициента давления) по поверхности сферы известно. Если
поток параллелен оси, давление в точках 1 и 3 одинаково. Если вектор
501
скорости отклониться на угол ср, то давление в точке 1 возрастет, а давление
в точке 3 уменьшится. Измеряя полученную разность давлений, можно су-
дить о величине угла скоса. Существуют различные схемы включения на-
садков. В одной из них к каждому отверстию подсоединяется свой мано-
метр, другой конец которого открыт в атмосферу. Угол скоса в месте
расположения насадка можно определить по формуле
Р*1-Л3)
(Т?! И- )
где к - тарировочный коэффициент; - показания манометра, подключен-
ного к соответствующему отверстию.
Рис. 16.9. Трехствольная насадка
По другой схеме один манометр подключается к 1-му и 3-му отверстию
зонда, а второй к отверстию 2 и кольцевой щели. В этом случае можно одно-
временно измерять как величину скорости потока, так и угол скоса, который
определяется по формуле
й2,4
где к - тарировочный коэффициент; 3 - показания манометра, подключен-
ного к боковым отверстиям; h24~ показания манометра, подключенного к
центральному отверстию и кольцевой щели.
Знак скоса определяется по знаку числителя дроби.
Предложенные схемы измерений справедливы при наличии скоса только
в одной плоскости. Это характерно для экспериментов с плоскими течени-
ями или при осесимметричном обтекании тела. Но в большинстве случаев
мы сталкиваемся с пространственным течением, когда имеет место скос в
двух взаимно перпендикулярных плоскостях. В таких случаях использу-
ются пяти- или шестиканальные зонды. Обе схемы подключения маномет-
ров справедливы и в этом случае. Но при пространственном течении
502
возникает другая проблема. Тарировочный коэффициент к. входящий в фор-
мулы для определения скоса, зависит от величины второй компоненты скоса
в данной точке, т.е. тарировочный коэффициент горизонтального скоса kv
является функцией величины вертикального скоса в данной точке:
Лг = /(Фь)> и наоборот. Оба угла скоса неизвестны в момент измерения.
Поэтому мы получаем систему нелинейных уравнений с двумя неизвест-
ными
/?1 о
Фв =МФг)“
Ад 5
Фг =^г(Фв)т^-
^2,6
Эта система может быть решена методом последовательных приближе-
ний, если мы знаем зависимости кг - /((рв) и къ = /(срг), которые опреде-
ляются в процессе тарировки насадка.
Для исключения сложной математической обработки часто пользуются
так называемым нулевым методом. Для этого требуется насадок специаль-
ной конструкции (рис. 16.10).
Рис. 16.10. Насадок, корпус которого
имеет изгиб
Его особенностью является такая форма изгиба корпуса насадка, что кри-
тическая точка лежит на оси, относительно которой насадок может вращать-
ся. Угол поворота насадка относительно этой оси фиксируется с помощью
503
лимба 1 и стрелки 2. При этом ось вращения лежит в плоскости вертикаль-
ных отверстий и перпендикулярна плоскости, в которой расположены гори-
зонтальные отверстия. р
Измерения проводятся следующим образом: насадок закрепляется
в державке, которая обеспечивает его вращение. При этом ось вращения
может располагаться горизонтально, вертикально или под произвольным
углом в соответствии с требованиями эксперимента. В процессе измере-
ний насадок поворачивают до тех пор, пока манометр, подключенный
к горизонтальным (см. рис. 16.10) отверстиям, не покажет нуль. В этот
момент фиксируют по лимбу угол поворота зонда и снимают показания
манометра, подключенного к вертикальным отверстиям. После пересче-
та показаний этого манометра определяют второе значения угла скоса
К сожалению, нулевой метод неприменим в случае нестационарных про-
цессов.
16.4.4. Измерение скорости с помощью меченых частиц PIV
Идея этого метода, считающегося одним из самых современных, чрез-
вычайно проста и основана на лагранжевом описании движения жидкости
В поток жидкости в одной или в нескольких точках вводятся частицы, тра-
ектории которых можно зафиксировать посредством фотографирования
с помощью камеры. Зная положения частиц в последовательные моменты
времени, скорость течения можно найти из решения дифференциального
уравнения траектории жидких частиц
аг
<161)
где г - радус-вектор жидкой частицы.
МеТОД называется в зарубежной литературе Particle Image Velocimetry
Процедура измерений состоит из следующих этапов:
1) в поток вводятся мельчайшие частицы;
2) поток с помощью лазера освещается тонким плоским световым лу-
чом (световой нож). Частицы, находящиеся в потоке, рассеивают луч. Рассе-
иваемый свет регистрируется камерой, расположенной сбоку под прямым
углом к световому ножу (рис. 16.11). В заданном интервале времени t свето-
вой нож включается дважды;
3) изображение, полученное во время первого включения, характеризует
начальное положение частиц. Изображение, полученное при втором вклю-
чении, регистрирует конечное положение частиц, переместившихся со ско-
ростью потока жидкости;
4) обработка полученных двух изображений. Площадь каждого изобра-
жения делится на небольшие элементарные площадки. В пределах каждой
площадки вычисляется перемещение группы частиц dx и d произошедшее
504
за время t (рис. 16.12). Компоненты скорости находятся из простых соотно-
шений, являющихся аналогами уравнения (16.1):
vy=d)/tf,
где f - масштаб изображения (отношение размера изображения к размеру
соответствующей области течения).
Поток с частицами
Рис, 16.11. Схема действия светового
ножа
В настоящее время разработаны стереоскопические PIV-методы, бази-
рующиеся на использовании эффекта параллакса и позволяющие опреде-
лять сразу три компоненты скорости. Для этих целей применяются две ка-
меры, ориентированные под разными углами к световому ножу. Двумерные
картины течения, регистрируемые на каждой камере, слегка отличаются друг
от друга. Разница зависит от третьей компоненты скорости, что и использу-
ется для ее «извлечения».
Начальное
положение
Конечное
положение
Рис. 16.12. К вычислению
перемещения частиц dx и dy
в пределах элементарных площадок
Сравнивая метод-PIV с методами, описанными ранее, нельзя не заме-
тить его следующего преимущества. PIV-метод позволяет выполнить
505
мгновенное измерение скорости сразу на всей плоскости или во всем объе-
ме течения, тогда как все описанные выше методы основаны на измерении
скорости в данный момент времени только в одной точке пространства (если,
конечно, не используется сразу несколько измерительных устройств). Это
свойство PIV-метода позволяет применять его для прямого изучения коге-
рентных структур турбулентной жидкости. Действительно, если когерент-
ная структура (вихрь) занимает некоторый объем и проходит через задан-
ную точку пространства только однажды, то для ее идентификации следует
измерить скорость во всем объеме жидкости одновременно.
16.4.5. Термоанемометр
Для измерения величины и направления скорости потока может быть
использован прибор, называемый термоанемометром (рис. 16.13). Прин-
цип его действия основан на следующем эффекте: если в поток поместить
нагретый предмет, то его температура будет понижаться. При этом измене-
ние температуры будет зависеть от скорости потока, в котором размещен
данный предмет.
Датчиком термоанемометра служит или проволочка, или терморезистор,
через которые протекает электрический ток. Величина этого тока зависит
от сопротивления датчика, а сопротивление, в свою очередь, зависит от его
температуры. Фиксируя изменения тока, можно судить об изменениях ско-
рости набегающего потока.
Рис, 16,13, Измерительная схема
термоанемометра
В потоке располагается датчик 7, через который проходит электричес-
кий ток от высокостабильного генератора тока 2. Величина этого тока, за-
висящая от сопротивления (т.е. от температуры) датчика, фиксируется бло-
ком измерения и анализа 3. При увеличении скорости потока Vтемпература
датчика 1 падает, что приводит к росту его электрического сопротивления.
В результате ток, протекающий через датчик, уменьшается. Система ана-
лиза блока 3 фиксирует это уменьшение и подает управляющий сигнал
506
на генератор 2 для корректировки величины тока. Управляющий сигнал
(или так называемая невязка) оказывается напрямую связанным с величи-
ной скорости потока V. Значение невязки фиксируется регистрирующим
прибором 7, в качестве которого может выступать стрелочный или цифро-
вой амперметр или система автоматической обработки, связанная с компь-
ютером. Градуировка регистрирующего прибора осуществляется в процессе
тарировки измерительного комплекса, и результат получается непосред-
ственно в единицах измерения скорости.
Для того чтобы с помощью термоанемометра можно было измерять не
только величину, но и направление скорости используются датчики специ-
альной конструкции (см. рис. 16.13,1а). Быстродействие измерительной схе-
мы настолько велико, что термоанемометры используются для измерения
пульсационных составляющих турбулентных потоков. Для этого блок 3 снаб-
жается устройствами для проведения статистического анализа измеряемой
величины. Примером такого комплекса может служить термоанемометр гол-
ландской фирмы «DISA».
Диапазон измерения скорости термоанемометром очень широк: от изме-
рения очень малых скоростей - «сквозняков», до скоростей, близких к ско-
рости звука.
К недостаткам прибора можно отнести большую уязвимость датчиков,
легко разрушаемых в процессе эксперимента, сложность тарировки и эксп-
луатации, требующей высокой квалификации персонала.
16.4.6. Лазерный доплеровский анемометр
Рассмотрим движущуюся со скоростью К частицу, рассеивающую пакет
волн, распространяющихся со скоростью С и круговой частотой со. Как за-
метил еще в 1842 г. австрийский физик К. Доплер, частота рассеянных волн,
достигающих неподвижного наблюдателя, изменится на величину доплеров-
ского сдвига:
sin[cp| ]sinq>2•
Простейшая оптическая схема лазерного анемометра, основанного на
эффекте Доплера, приведена на рис. 16.14.
В качестве рассеивателей используются частицы дыма или краски, вво-
димые в исследуемый поток жидкости, а генератором падающих на них све-
товых волн является лазер. Для получения выходного сигнала с частотой соу
падающий и рассеянный лучи направляются на вход фотодетектора, реаги-
рующего на интенсивность излучения. Сигнал на выходе фотодетектора про-
порционален частоте Фу. Зная характеристики излучения лазера со и С, угол
ф2 и измерив со^, из вышеприведенной формулы можно получить компонен-
ту скорости И sin((p} -—).
507
3
Рис. 16.14. Схема лазерного доплеровского анемометра
1 - лазер; 2 - поток жидкости с частицами;
3 зеркало; 4 - полупрозрачная посеребренная
пластина; 5 - фотодетектор;
6 - дискриминатор
Лазерные доплеровские анемометры наряду с высокой точностью и воз-
можностью измерять сильно нестационарные течения имеют еще одно нео-
споримое преимущество перед другими методами измерения скорости:
в исследуемое течение не вводится аппаратура и не вносятся возмущения.
Это позволяет исследовать высокочувствительные к возмущениям течения,
а также потоки, введение измерительной аппаратуры в которые не представ-
ляется возможным (например сопла ракетных двигателей). Источником по-
грешностей при измерениях является вибрация экспериментальной установ-
ки и опорных конструкций. Существенные недостатки метода - его
дороговизна и сложность в обслуживании.
16.5. Измерение расхода
При изучении течений жидкости по трубопроводам одной из важных
характеристик является величина расхода жидкости или газа. Объемный
расход Q, измеряется в метрах кубических на секунду (м3/с) и может быть
определен по следующей формуле:
Q = ^VdS или Q = FcpS,
где V - скорость потока м/с; Кср - средняя скорость; S - площадь сечения
трубопровода, м2.
Массовый расход может быть получен умножением объемного расхода
на плотность среды QM = Q-p. Расход не изменяется по длине трубопровода,
508
т.е. Q = const. Это вытекает из уравнения неразрывности и является след-
ствием закона сохранения массы. Попросту говоря, сколько жидкости втек-
ло в трубу, столько должно и вытечь из нее.
Для измерения величины расхода могут быть использованы различные
устройства [16.7]. К ним относятся различные дроссели, дроссельные шай-
бы, трубки Вентури, механические вертушки и другие. Рассмотрим прин-
цип измерения расхода на примере расходомера, выполненного в виде труб-
ки Вентури.
Расходомер представляет собой отрезок трубы переменного сечения (рис.
16.15). Перед началом сужения и в самом узком участке установлены прием-
ные штуцеры 1 и 2, позволяющие измерять статическое давление в соответ-
ствующем сечении. К штуцерам подключается манометр, измеряющий раз-
ность давлений между штуцерами.
Рис. 16.15. Схема расходомера
Рассмотрим уравнение Бернулли для невязкой жидкости. Ошибка, свя-
занная с пренебрежением вязкостью мала, так как мала длина расходомера.
Благодаря специально выбранной форме трубки Вентури местными потеря-
ми тоже можно пренебречь.
Выберем линию тока, совпадающую с осью трубопровода. Тогда гео-
метрическая высота z будет постоянной величиной. В качестве конт-
рольных сечений на линии тока выберем те, в которых расположены
штуцеры. В рамках этих допущений уравнение Бернулли запишется в
виде
Р*Т , р _ Р^22 + р
+ Л - + '2 •
509
Здесь р - плотность среды в трубопроводе, V - средняя скорость
Р — давление в соответствующем сечении.
Дополнительно воспользуемся уравнением неразрывности в виде
Q= Vс 5=const.
Выразим среднюю скорость во втором сечении через аналогичную вели-
чину в первом сечении.
9
тогда разность давлений между сечениями определиться зависимостью:
1 ~ г2 —
2
Если разность давлений измеряется жидкостным манометром и удель-
ный вес жидкости, залитой в него у, а показания манометра Я, то можно
записать
р\ - Р1 = 1Н,
тогда после несложных преобразований получим
Коэффициент ц введен для учета погрешностей расходомера, вызван-
ных принятыми допущениями и неточностью изготовления прибора. Этот
коэффициент должен быть определен в процессе тарировки. Для расходоме-
ров этого типа тарировочный коэффициент может зависеть от скорости по-
тока, т.е. от величины расхода. Это объясняется зависимостью потерь на тре-
ние, которыми мы пренебрегли, от режима течения в трубопроводе и числа
Рейнольдса.
16.6. Измерение сил
Измерение сил, действующих на тело, находящееся в потоке, - одна из
самых важных проблем гидроаэродинамического эксперимента. Именно
возможность определения сил, действующих на модель, с последующим
пересчетом их при использовании положений теории подобия на натурный
объект делает экспериментальные исследования столь привлекательными.
Корабль еще не построен и даже до конца не спроектирован, есть только
общие идеи и основные размерения, а мы уже можем, построив простень-
кую модель, определить силу сопротивления и выбрать параметры силовой
510
установки, боковую силу и выбрать параметры рулевого комплекса и т. д.
Как известно, все силы могут быть сведены к вектору полной равнодейству-
ющей силы и вектору полного момента. Они определяются величиной, на-
правлением и точкой приложения. Эти параметры мы ищем в процессе экс-
перимента. Точка приложения равнодействующей гидродинамической силы,
как известно, называется центром давления XD. В случае пространственно-
го движения объекта нам необходимо знать три проекции силы, три проек-
ции момента и три проекции координат центра давления.
В процессе эксперимента могут быть использованы различные системы
координат [16.1]. Обычно применяют правую систему координат, т.е. такую,
в которой вращение осуществляется по часовой стрелке, если смотреть из
начала осей координат вдоль какой-либо оси. Чаще всего используют поточ-
ную или связанную системы.
В поточной корабельной системе координат (рис. 16.16) ось X совпадает
с вектором скорости набегающего потока, ось Z направлена вверх, а ось У
образует с ними правую тройку. В поточной авиационной системе оси Y и 2
меняются местами.
В связанной системе координат ось Улежит на пересечении диаметраль-
ной плоскости и плоскости ватерлинии объекта и направлена в нос. Ось 2
направлена вверх (в корабельной системе), а ось У - на правый борт.
Рис. 16.16. Системы координат для измерения сил
Положительное направление углов определяется в правой системе по пра-
вилу «буравчика», т.е. угол отсчитывается по часовой стрелке, если смот-
реть вдоль оси координат.
511
Углы определяют ориентацию модели в пространстве. Знание углов
необходимо для пересчета сил и моментов, полученных в эксперименте,
из одной системы координат в другую.
16.6.1. Динамометры
Динамометр - это устройство для измерения сил. Как и всякая измери-
тельная схема, динамометр состоит из датчика, преобразователя (усилите-
ля) и регистрирующего прибора. Простейшим динамометром является без-
мен, в котором все три функции выполняет одна пружина со стрелкой.
Динамометры, используемые в аэрогидродинамическом эксперименте,
должны отвечать определенным требованиям. Они должны иметь требуе-
мую чувствительность, чтобы измерять малые силы. У них должна быть так
называемая, метрологическая стабильность, т.е. при повторении измерений
в одинаковых условиях результаты должны повторяться. Должна быть изве-
стна погрешность датчика в различных точках диапазона измерений и ее
зависимость от внешних факторов - давления, температуры и т.д. При изме-
рении какой-либо проекции силы или момента должна быть исключена (или
известна) зависимость показаний от величины других проекций силы или
момента. Датчики стараются конструировать так, чтобы тарировочный ко-
эффициент был постоянной величиной. Динамометры должны быть жест-
кими, чтобы иметь высокую собственную частоту колебаний для исключе-
ния явлений резонанса. Желательно, чтобы у датчика отсутствовал
гистерезис, т.е. кривые, полученные при увеличении и уменьшении нагруз-
ки, совпадали.
Многие из этих требований противоречат друг другу, поэтому спроекти-
ровать хороший динамометр - очень сложная задача.
Чаще всего используются измерительная схема, состоящая из механи-
ческих датчиков, изменяющих свои параметры под действием силы или
момента; электрических устройств, преобразующих механические дефор-
мации в электрический сигнал; системы усиления этого сигнала и регист-
шрующих приборов, преобразующих усиленный сигнал в удобочитаемую
щя оператора форму (рис. 16.17).
Рассмотрим варианты устройства каждого из этих элементов в отдель-
юсти.
Механический датчик - это часть измерительной схемы, преобразу-
ющая внешнее воздействие в механическую деформацию. Примером про-
тейшего механического датчика может служить жестко заделанная или сво-
одно опертая балка (рис. 16.18). При воздействии внешней силы или момента
акая балка деформируется. При этом изменяется величина прогиба 0 в раз-
ичных сечениях балки, углы поворота сечений ot, металл на верхней и ниж-
ей стороне балки испытывает деформации растяжения и сжатия. Все эти
зменения механических параметров могут регистрироваться электричес-
ими преобразователями различного типа.
П2
Механический датчик
-----------
Электрический
преобразователь
- -
Электрический
усилитель
__________________
Регистрирующий прибор
Рис, 16.17, Структурная схема
системы измерений
Рис. 16.18. Схема жестко заделанной балки
Недостатком такой простой конструкции является, во-первых, нелиней-
ная зависимость некоторых характеристик от нагрузки. Во-вторых, одни и
те же деформации могут быть вызваны как моментом, так и силой, т.е. от-
сутствует независимость отдельных компонент друг от друга. Один и тот же
изгиб жестко заделанной балки может быть вызван моментом, поперечной
силой или продольной силой (при потере устойчивости) (рис. 16.18). Для
исключения подобной неопределенности В.К. Трешковым на кафедре гид-
ромеханики ЯКИ были разработаны несколько конструктивных схем дина-
мометров. Для того чтобы понять идеи, заложенные в конструкцию, рас-
смотрим работу динамометра для измерения силы (рис. 16.19) и момента
(рис. 16.20).
Динамометр для измерения проекции силы состоит из двух опорных
поверхностей, используемых для крепления к стойке и модели, одной изме-
рительной и четырех компенсирующих балок.
Характеристики динамометра обеспечиваются соответствующей ори-
ентацией балок и выбором соотношения между их длиной, шириной и тол-
щиной.
513
Рис, 16.19. Конструкция динамометра
для измерения силы
Рис. 16.20. Конструкция динамометра
для измерения момента
Компенсирующие балки 3 и 5 совместно с измерительной балкой 4 обра-
зуют конструкцию, которая легко деформируется под воздействием силы X.
При этом сохраняется параллельность поверхностей 1 и 2. При действии
момента М деформации отсутствуют.
514
Компенсирующие балки 6 и 7 совместно с измерительной балкой 4 обра-
зуют конструкцию, которая препятствует деформации датчика под действи-
ем силы У и моментов М.
Компенсирующие балки 5, 5, 6 и 7 препятствуют деформации под воз-
действием силы Z и момента М.
Динамометр для измерения проекции момента состоит из двух опорных
поверхностей, используемых для крепления к стойке и модели, и четырех
компенсирующих балок. При этом в качестве измерительной может приме-
няться любая балка (или все четыре).
Балки 3-6 легко деформируются под действием момента М.
Деформации от проекции силы X и момента Му препятствуют балки 3 и
5. Действию Y составляющей силы и момента Мх препятствуют балки 4 и 6.
Балки 3-6 исключают деформацию от проекции силы Z.
Таким образом, подобная конструкция динамометров позволяет изме-
рять только одну компоненту силы или момента, поскольку остальные со-
ставляющие вызывают на несколько порядков меньшую деформацию изме-
рительного элемента.
Подбирая геометрические размеры балок и материал, из которого они
изготовлены, можно спроектировать динамометры для измерения сил и мо-
ментов различной величины, от очень маленьких - порядка ньютонов - до
кило- и меганьютонов.
Механическую деформацию измерительного элемента преобразуют в
электрический сигнал. Существует великое множество различных типов
преобразователей: пьезоэлектрический, индуктивный, емкостный, тензоре-
зисторный [16.5].
Рабочим диапазоном подобных датчиков является величина относитель-
ной деформации ь = 10 6 -И О3. Это база для проектирования механической
части динамометров. Дополнительно требуется, чтобы измерительный эле-
мент (балка) оставался в зоне действия закона Гука, т.е. его деформации были
линейными и упругими.
В качестве рабочей зоны на измерительной балке выбирают те участки, в
которых деформации максимальны. Они расположены в районе жесткой за-
делки балки (рис. 16.21). В этом месте и наклеивают тензодатчики. При этом
используют специальный непластичный клей, обеспечивающий одинаковую
деформацию механического элемента и электрического преобразователя.
Для измерения сигнала датчики включаются в электрическую схему, на-
зываемую неравновесным мостом (рис. 16.21). При этом датчики могут быть
включены в одно, два или четыре плеча моста. Чем больше датчиков вклю-
чено в мост, тем выше его чувствительность.
Если, несмотря на все усилия, через мост протекает ток очень малой ве-
личины, то вместо измерительного прибора в диагональ моста можно вклю-
чить усилитель электрического сигнала, а измерительный прибор поставить
у него на выходе.
515
a)
Рис. 16.21. Схема расположения тензорезисторов на
измерительной балке динамометра (а) и схема их правильного
включения в четырехплечий мост, позволяющая получить
максимальную чувствительность (б)
Приборы, специально сконструированные для работы с тензодатчика-
ми, называются тензостанциями. Они реализуют все функции моста и уси-
лителя, включая корректировку нуля, балансировку моста и т.д. К входу тен-
зостанции подключаются тензодатчики, к выходу - регистрирующие
приборы. Такой измерительный комплекс позволяет изучать как установив-
шиеся, так и нестационарные процессы.
16.6.2. Весы
Для измерения сил и моментов в аэродинамических трубах могут быть
использованы аэродинамические весы. Основной характеристикой лю-
бых аэродинамических весов является число измеряемых компонент. От
этого зависит выбор схемы весов и их конструкция. Наиболее полная ин-
формация о действующих на модель нагрузках может быть получена на
шестикомпонентных аэродинамических весах, позволяющих определять
три проекции силы и три проекции момента. Весы такого типа дают воз-
можность решать широкий круг задач ходкости, управляемости и устой-
чивости.
Наиболее распространенной схемой шестикомпонентных аэро-
динамических весов в трубах малых скоростей является схема, в которой
используется гибкая проволочная или ленточная подвеска модели [16 1] Весы
имеют вид рамы, в средней части которой на специальных растяжках круг-
лого или овального сечения крепится модель (рис. 16.22). Установка в про-
цессе испытаний обычно располагается в рабочей части аэродинамической
516
трубы на подвижном основании, так называемом поворотном круге, с помо-
щью которого осуществляется поворот вместе с моделью в горизонтальной
плоскости. Начальное натяжение подвески и устойчивость ее элементов обес-
печиваются системой противовесов, расположенных внутри нижней плат-
формы, а все действующие на модель усилия передаются на верхнюю плат-
форму, где находится рычажная система.
Рис. 16.22. Схема шестикомпонентных
аэродинамических весов
В рычажной системе производится разложение аэродинамической силы
и момента на шесть взаимно перпендикулярных компонент, которые регис-
трируются с помощью автоматических весовых элементов рейтерного типа.
Описание принципа работы автоматического весового элемента приводится
в монографии [16.7].
Модель па подвеске крепится в трех шарнирных узлах, образующих рав-
нобедренный треугольник АВС, основание которого, проходящее через пе-
редние узлы подвески, называется поперечной базой весов lz, а высота, со-
ответствующая расстоянию от линии передних узлов до задней точки
крепления - продольной базой I. На весах рассматриваемого типа можно
изменять как продольные, так и поперечные базы, выбираемые в зависимо-
сти от формы и размеров испытываемой модели.
Поворот модели в вертикальной плоскости в пределах ±20-30° произво-
дится относительно линии передних узлов подвески путем подъема или опу-
скания задней тяги, являющейся звеном параллелограммного механизма.
Диапазон изменения углов дрейфа определяется предельно допустимыми
углами разворота всей рамы весов на поворотном круге, также не превыша-
ющими ±20-25°, так как при дальнейшем повороте боковые колонны весов
входят в поток.
517
Для охвата всего диапазона возможных изменений углов ориентации
модели относительно вектора скорости необходимы многократные испыта-
ния модели, установленной на весах с некоторыми начальными углами по
отношению к набегающему потоку.
Испытания удлиненных тел, установленных поперек потока, сопровож-
даются значительными вибрациями последних, вызванными неустойчивым
характером течения при больших углах натекания потока. Вибрации переда-
ются рычажной системе весов, нарушая правильную работу автоматических
весовых элементов и вызывая преждевременный износ опорных призм. Виб-
раций модели являются основной причиной ограничений по скорости при
поперечной продувке.
16.7. Измерение давления
Как известно, гидродинамические силы являются результатом действия
давления при обтекании тела потоком. Поэтому необходимо уметь измерять
давление как на поверхности тела, так и в произвольной точке потока.
Простейшим прибором для измерения давления является U-образный
манометр (рис. 16.23).
Рис. 16.23. U-образный манометр
Если мы рассмотрим равновесие сил в сечении А, то оно запишется в
виде Fn = F . Полагая диаметр трубки малым и пренебрегая изменением
давления по высоте, будем иметь F = Р • S. Поскольку сечение трубки 5
одинаково справа и слева, то Рл = Рп. Из основного закона гидростатики
Р = Ро + уН. Тогда
Р0л + ?Ял = Р0п + или ДР = у(Ял - яп).
Тарировочным коэффициентом этого манометра, таким образом, являет-
ся величина удельного веса залитой в него жидкости у. Но поскольку удель-
ный вес определяется с погрешностью, то подобный манометр, как и любой
518
другой прибор, нуждается в тарировке (калибровке). Как известно, чувстви-
тельность прибора растет с уменьшением его тарировочного коэффициента.
Поэтому для повышения чувствительности U-образного манометра нужно
использовать жидкости с малым удельным весом. К сожалению, такие жид-
кости легко испаряются, что ограничивает область их применения.
Большей чувствительностью обладает двужидкостный чашечный
микроманометр, изображенный на рис. 16.24. Прибор состоит из стек-
лянной U-образной трубки, оканчивающейся наверху двумя сосудами боль-
шей площади - чашками. В манометр заливаются две несмешивающиеся
жидкости различного удельного веса. Например, бензин и спирт. Если обе
жидкости бесцветные, одну из них подкрашивают, чтобы зафиксировать по-
ложение границы раздела.
Тарировочный коэффициент двужидкостного чашечного микроманометра
определяется формулой
^т = Yi ~ Y2 ’
\ J
где Yj и у2 ~ удельные веса жидкостей, залитых в манометр; s - площадь се-
чения трубки; S-площадь сечения чашки.
Из формулы видно, что чувствительность прибора зависит от отноше-
ния площадей чашки и трубки. Чем больше отличаются площади, тем чув-
ствительность выше. Кроме того, она зависит от соотношения удельных ве-
сов жидкостей, залитых в манометр. Чем меньше разность между удельными
весами, тем более чувствительным будет прибор.
Еще одна конструкция жидкостного манометра называется маномет-
ром типа тонущего колокола (рис. 16.25).
519
Рис. 16.25. Манометр типа тонущего
колокола
Он представляет собой сосуд, заполненный жидкостью. В нем размещен
другой, опрокинутый вверх дном. Под купол второго сосуда подается изме-
ряемое давление. В результате действия этого давления колокол всплывает.
Вся система уравновешена на весах. Вес груза на чашках весов связан с
измеряемым давлением. Можно показать [16.10], что тарировочный коэф-
фициент этого манометра не зависит от залитой в него жидкости, а опреде-
ляется геометрическими параметрами - площадями - сосудов:
Здесь Р - измеряемое давление; G - вес груза; 5- приведенная площадь.
Поскольку эти величины зависят от линейных размеров - диаметров, их
легко контролировать. При изготовлении металлического колокола на токар-
ном станке диаметры могут быть определены с очень высокой точностью.
Это обстоятельство позволяет надежно определять погрешность прибора и
использовать его в качестве эталонного.
Для того чтобы повысить чувствительность обычного U-образного ма-
нометра, его можно просто наклонить (рис. 16.26). При этом с ростом угла
наклона при той же величине измеряемого давления увеличивается длина
шкалы, что и приводит к увеличению чувствительности. По этой же причи-
не чашки двужидкостного манометра делаются шарообразными, а не ци-
линдрическими. При наклоне такого манометра площадь жидкости в чашке
не изменяется, и тарировочный коэффициент прибора остается постоянным.
Эффект наклона использован в конструкции наклонного манометра
типа ЦАГИ. Манометр представляет собой сосуд, заполненный спиртом (рис.
16.27) и снабженный наклонной трубкой. Соотношение площадей чашки и
трубки таково, что изменением высоты жидкости в чашке можно пренеб-
речь. На чашке имеется два штуцера. Используя различные штуцера, можно
измерять как давление, так и разряжение. Трубка снабжена шкалой и может
устанавливаться под различным углом наклона. На алидаде имеются фикси-
Рис. 16.26. Эффект влияния наклона трубки
на чувствительность манометра
Рис. 16.27. Манометр ЦАГИ
рующие отверстия, около которых обозначена величина тарировочного ко-
эффициента манометра, соответствующего данному углу наклона.
Для измерения давлений, начиная от миллиметров водяного столба, ис-
пользуются также механические манометры (рис. 16.28). Рабочим эле-
ментом 5 в этих устройствах является мембранная коробка или изогнутая труб-
ка. Под действием измеряемого давления форма рабочего элемента меняется
- трубка распрямляется. Это объясняется тем, что одинаковое давление дей-
ствует на верхнюю и нижнюю поверхность трубки. Но площадь верхней по-
верхности больше. Поскольку сила определяется как произведение давления
на площадь, то сила, стремящаяся распрямить трубку больше силы, пытаю-
щейся ее согнуть. Деформация рабочего элемента с помощью механической
системы обычно зубчатой рейки 2 и шестерни 3 преобразуется в перемещение
стрелки 4, регистрирующей изменение давления. Механическая система про-
ектируется таким образом, чтобы шкала 1 прибора была линейной.
Мембранные манометры могут использоваться как датчики изме-
рительной системы. Для этого на мембрану 7 (рис. 16.28) наклеиваются пре-
образователи 6. Это могут быть тензодатчики, индуктивные или емкостные
датчики. Изгиб мембраны под действием давления приводит к изменению
шектрического сигнала. Это изменение в дальнейшем может быть усилено
I зарегистрировано измерительной схемой. Расчет параметров мембраны
>существляется методами строительной механики.
18 Зак. 4042
521
Рис. 16.28. Механический манометр
16.8. Оборудование для визуализации
Круг задач, которые приходится решать в процессе гидроаэродинами-
ческого эксперимента, не исчерпывается определением силового воздействия
среды на объект. Часто возникает необходимость знать структуру потока
обтекающего тело. Для решения этой задачи необходимо каким-либо спосо-
бом сделать видимыми линии тока или траектории частиц в потоке. Такой
прием называется визуализацией потока.
Визуализация - прогрессивная технология научных исследований, су-
щественно обогащающая понимание физики явлений благодаря своей на-
глядности.
Часто визуализацию применяют для изучения задымляемости отдель-
ных участков судна, например прогулочной палубы, или для выбора место-
положения воздухозаборников силовой установки.
Существует много различных методов визуализации [16.8]. Самым про-
стым из них является щуп с наклеенной на его конце шелковинкой
(рис. 16.29). Он позволяет посмотреть направление скорости в любой точке
потока, определить наличие и положения вихрей и отрывных явлений в по-
токе. К сожалению, сам щуп является источником возмущений потока При
больших скоростях он начинает вибрировать, да и удержать его в руках при
скорости потока более 30 м/с становится затруднительным. Поэтому он ис-
пользуется только для качественной оценки структуры течения
Следующий прием - наклеивание шелковинок на поверхность
модели, (рис. 16.30). В потоке шелковинки располагаются по траекториям
частиц. С помощью шелковинок можно оценить положение отрывных зон
522
Рис, 16.29. Щуп с шелковинкой на его
конце
Рис. 16.30. Визуализация течения
с помощью шелковинок
и наличие вихрей, попадая в которые шелковинки образуют характерный
«колокольчик». К недостаткам этого метода следует отнести возмущения,
которые вносят шелковинки в поток, осреднение участка траектории за счет
длины шелковинки, погрешности, связанные с жесткостью и упругостью
материала шелковинок.
При моделировании задымляемости, как и в некоторых других случаях,
для визуализации используется дым [16.1]. Дым вырабатывается с помощью
дымогенераторов. Для создания дымовой струи могут использоваться про-
дукты сгорания различных масел или твердых дымообразователей. Приме-
нение для визуализации продуктов сгорания тех или иных веществ в обыч-
ных аэродинамических трубах замкнутого типа крайне неудобно по двум
причинам: во-первых, через сравнительно небольшое время дымом запол-
няется вся рабочая часть трубы и границы факела трудно различить, во-вто-
рых, экспериментаторам приходится находиться в задымленной атмосфере,
если труба имеет открытый рабочий участок.
523
Поэтому был разработан и внедрен в практику аэродинамического эк-
сперимента метод визуализации течения при дымовых испытаниях с по-
мощью сухой углекислоты. Принципиальная схема установки показана
на рис. 16.31.
Рис. 16.31. Схема работы установки
визуализации течения с помощью
сухой углекислоты [16.1]
Дымогенератор загружается 3-4 кг сухой углекислоты. Соприкасаясь
с горячей водой, углекислота выделяет густой белый пар, который под
собственным давлением проходит в дымовую трубу модели. Если ско-
рость выхода пара на срезе трубы недостаточна, то через патрубок 5 к
парогенератору подключается воздуходувка с регулируемым расходом.
Для изучения нестационарных течений используется аппаратура для ви-
зуализации профилей скоростей потока электроискровым методом. Около
модели устанавливается электрод, к которому в определенные моменты вре-
мени прикладывается высокий импульсный потенциал (около 50 кВ), вызы-
вающий электрический пробой промежутка между электродом и элек-
тропроводной поверхностью модели.
Поскольку нагретая область сносится течением среды, рассмотрение ее
нескольких последовательных во времени положений дает информацию о
поле скоростей среды в исследуемом месте.
Для визуализации медленных течений жидкости может быть использо-
ван метод подкрашенных струй (рис. 16.32). Через расположенные в
потоке сопла в жидкость впрыскивается краска. Струйки краски распрост-
раняются вниз по течению вдоль линий тока. При экспериментах с воздухом
в поток вдуваются струйки дыма.
524
Рис. 16.32. Визуализация течений
методом подкрашенных струй
Для экспериментов с водой может быть использован метод воздушных
или водородных пузырьков. В этом случае на модели в нужных местах
располагаются отверстия, через которые выдуваются пузырьки воздуха.
Фотографируя или проводя видеозапись траекторий этих пузырьков в пото-
ке, можно проанализировать картину течения.
Для визуализации течения на поверхности модели может быть исполь-
зована краска (рис. 16.33). Жидкий раствор масляной краски наносится на
поверхность модели вблизи линии отрыва. В процессе испытаний фотогра-
фируется картина растекания краски при постоянной скорости потока, пос-
ледовательная съемка этого процесса позволяет изучить динамику течения
на поверхности модели. Краска постепенно собирается в зонах разрежения,
где визуально наблюдается ее вращение, указывающее место схода вихрево-
го жгута.
Сейчас появились новые краски, реагирующие на давление. Их приме-
нение в эксперименте сулит большие перспективы для исследователей.
Большое количество фотографий структуры течения, полученных мето-
дом визуализации, приведено в работе [16.9].
Рис. 16.33. Визуализация течения
на поверхности модели с помощью краски
525
16.9. Методика проведения эксперимента
Если модель достаточно точно описывает объект, то эксперимент на
объекте может быть заменен экспериментом на модели. В последнее время
наряду с физическими моделями все большее распространение получают
абстрактные математические модели.
При проведении гидроаэродинамического эксперимента можно по-раз-
ному формулировать проблему. Задача может быть чисто прикладной, когда
требуется определить гидродинамические характеристики уже существую-
щего объекта. Задача может быть поисковой, в этом случае необходимо най-
ти, например, такую геометрию объекта или компоновки, которая позволит
получить наилучшее значение какого-либо параметра, допустим, гидроди-
намического качества. Наконец, может ставиться фундаментальная задача
изучения структуры течения за объектом, например, в случае поперечного
обтекания цилиндра конечного удлинения.
Проведение гидродинамического эксперимента складывается из несколь-
ких этапов. Подготовительные этапы включают в себя планирование экспе-
римента, разработку и создание экспериментального оборудования, его на-
ладку и тарировку. Основным этапом является собственно проведение
эксперимента. После этого осуществляется обработка экспериментальных
данных, контроль повторяемости результатов, объяснение полученных за-
висимостей и подготовка итогового отчета.
Планирование эксперимента делает поведение экспериментатора
целенаправленным и организованным, существенно способствует повыше-
нию производительности его труда и надежности полученных результатов.
Математическая теория определения нужного числа опытов и со-
четания факторов для них изложена, например, в работе [16.4]. Она снабже-
на обширной библиографией, посвященной планированию эксперимента.
Подготовка экспериментальной установки во многом предоп-
ределяет успех или неудачу ваших экспериментальных исследований.
Неудачно спроектированная, недостаточно отлаженная установка служит ис-
точником многих ошибок и погрешностей измерений, которые трудно,
а иногда и невозможно обнаружить. Попытки сэкономить время на подго-
товке эксперимента могут привести к непозволительным временным затра-
там в процессе его проведения.
После того как экспериментальная установка собрана, выполнены все
отладочные продувки и проведена тарировка по всем каналам, можно при-
ступать к реализации плана проведения эксперимента.
Обработка результатов эксперимента решает сразу две задачи.
С одной стороны, мы получаем информацию о предмете исследования, с дру-
гой стороны, анализируя полученные результаты, мы можем оценить ошибки
эксперимента. После обработки результатов может появиться необходимость в
повторных, выборочных, экспериментах для проверки сомнительных значений.
526
Тщательная подготовка к опыту способствует уменьшению ошибки опы-
та. Ошибка опыта является суммарной величиной, состоящей из ряда оши-
бок: ошибок при измерении кинематических параметров, ошибок при тари-
ровке, ошибок измерительной системы, ошибок оператора и т.д. Каждую из
этих ошибок можно, в свою очередь, разделить на составляющие.
Все ошибки принято делить на два класса: систематические и случай-
ные. Систематические ошибки порождаются причинами, действующими
регулярно в определенном направлении. Чаще всего эти ошибки можно изу-
чить и определить количественно. Если систематические ошибки вызыва-
ются внешними условиями (переменной температурой, давления и т. д.),
следует учесть их влияние. Для того чтобы компенсировать систематичес-
кие ошибки, рекомендуется обеспечить случайную последовательность при
постановке опытов, т.е. опыты нужно рандомизировать во времени. Термин
«рандомизация» происходит от англ, random - случайный.
Случайными ошибками называются те, которые появляются нерегуляр-
но, причины их возникновения неизвестны и учесть их заранее невозможно.
Важной характеристикой измерительной системы является воспроизво-
димость эксперимента, т.е. повторяемость результатов, полученных при од-
них и тех же условиях измерений. Проверка повторяемости является одним
из важнейших требований планирования эксперимента.
Полученные в эксперименте данные важно правильно обработать. Имейте
в виду:
никакая проверка не гарантирует вас от ошибок в записи исходных дан-
ных, будьте внимательны;
никакие результаты вычислений нельзя использовать или даже обсуж-
дать, пока они не проверены, иначе вы рискуйте впасть в заблуждение.
Статистические методы обработки результатов позволяют нам не перей-
ти разумной меры риска при анализе экспериментальных данных. Статис-
тики разработали много разнообразных методов обработки результатов экс-
перимента. Более подробно с ними можно ознакомиться в специальной
литературе [16.2] - [16.4].
16.10. Автоматизация проведения эксперимента
Современное развитие технологий, особенно в области электроники,
разработка большого количества преобразователей самых разных парамет-
ров в электрический сигнал открывают широкие возможности для автома-
тизации эксперимента. Наличие разнообразных и недорогих интегральных
усилителей, АЦП, микропроцессоров позволяет создавать измерительные
системы с заранее заданными свойствами. Возможность преобразования
аналогового сигнала в цифровой позволяет использовать для регистрации
и обработки измерений компьютерную технику. Все это, плюс повышение
требований к точности измерений и необходимость сокращения времени,
527
затрачиваемого на эксперимент, позволяют автоматизировать исследования
в области гидро- и аэродинамики. При этом автоматизация может прово-
диться как на уровне отдельных операций, например, обработка получен-
ных результатов на компьютере, так и на уровне автоматического управле-
ния экспериментом в целом. Но при этом не следует забывать, что задача
автоматизации не в замене экспериментатора. В обозримом будущем это
невозможно. Задача состоит в упрощении экспериментальных исследова-
ний, возможности принятия обоснованных решений, сокращении времени
проведения эксперимента.
Автоматизированные комплексы в той или иной форме уже реализованы
в различных экспериментальных лабораториях. В Национальной физичес-
кой лаборатории в Англии полностью автоматизировано измерение распре-
деления стационарных давлений по поверхности модели.
Подобные комплексы установлены на тележке линейного бассейна,
в аэродинамической трубе и в ледовом бассейне ЦНИИ им. акад. А.Н. Кры-
лова, в аэродинамической трубе СПбГМТУ.
Аэродинамическая труба СПбГМТУ используется не только для научных
целей, но и как учебная установка для обучения студентов по специальности
160702. При их подготовке ставится задача ознакомить студентов с приемами
и методами проведения экспериментальных исследований, с которыми они
могут столкнуться в своей дальнейшей профессиональной деятельности. Для
этих целей и была разработана и введена в эксплуатацию автоматизированная
система измерений. Система в первую очередь предназначалась для измере-
ния сил и моментов. В качестве датчиков использованы имеющиеся в доста-
точном количестве разнообразные динамометры. Для преобразования меха-
нических деформаций в электрический сигнал динамометры оборудованы
проволочными и полупроводниковыми тензорезисторами, включенными по
мостовой схеме. Для питания моста и предварительного преобразования сиг-
нала в измерительную систему включен блок преобразователей. Он позволяет
подключать датчики по четырем изолированным каналам или по 8 каналам
Рис. 16.34. Структурная схема системы измерений.
Д - датчики; БПр - блок преобразователей; М - модуль
MSC1210EVM; БП - блок питания; ПК - управляющий
компьютер
528
C‘‘ MOI Chid
Параметры канал&в
2
4
8
16
32
64
128
256
Среднее
из
.JDJxJ
400
0 2
г Линейная
Удалить | Отмена I выход
—.......файл Установки Окна Dowa.
...? са?|й{; А|П[ Удет тарир
Г кввдра ........'22ZS
........ _ „ Измерения
Номер канала
1
2
4
8
16
32
64
128
Вход
Г Деухполярный
Г Однополярный:
Коэффициент
усиления
Стандарт
Остановить ] Обработать! Сохранить |
Отменить
Сохранить
Начать |
Скорость
: U-AIta
О Г Одо : |------
О ! *" Измерение
О i в Пос/1в i
Г Последовательные намерения
Установки | Тарировка | Измерения | Калибровка | Сброс | Выход J
Рис. 16.35. Вывод информации на дисплей
с общей точкой. Кроме того, БПр позволяет осуществлять предварительное
усиление сигнала с динамометров в 10 и 50 раз и оборудован отключаемыми
пассивными фильтрами на частоту 50 Гц.
Структурная схема комплекса приведена на рис. 16.34. На рис. 16.35 по-
казан вариант выводимой на дисплей информации.
Рис. 16.36. Студенты, будущие гидромеханики, осваивают
автоматизированную систему проведения эксперимента
в аэродинамической трубе ГМТУ
Нужно только помнить, что никакая техника не может заменить челове-
ка и исправить допущенные им ошибки. Любой компьютер сделает только
то, что вы запрограммируете, не больше и не меньше.
529
КОНТРОЛЬНЫЕ
ВОПРОСЫ
1. Назовите основные типы экспериментальных установок,
используемых в судостроении. На какой установке воз-
можно исследование нестационарного движения судна?
2. Что такое тарировочный коэффициент и как влияет его
величина на чувствительность измерительного прибора?
3. С помощью каких методов измерения могут быть иссле-
дованы мелкомасштабные вихревые структуры?
4. В каких целях проводится визуализация течения?
5. Какого рода ошибки встречаются в экспериментальной
гидромеханике?
ЗАДАЧИ
1. Ртутный манометр, подсоединенный к расходомеру (см.
рис. 16.15), показывает перепад Н= 400 мм. Чему равен
расход воды, если D = 100 мм, <7=50 мм.
2. В опытовом бассейне исследуется модель судна L = 100 м,
движущегося со скоростью у = 8 м/с. Скорость тележки
- 4 м/с. Какова должна быть длина модели? В каком со-
отношении находятся силы сопротивления, действующие
на модель и натурное судно?
3. Получите зависимость V(H) для трубки полного напо-
ра, изображенной на рис. 16.7. Трубка находится на глу-
бине h.
ЛИТЕРАТУРА
Основная
1. Седов Л.И. Механика сплошной среды. - Т. 1 и 2. - М.: Наука, 1970.
2. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. - Ч. 1. - М.: ГИТТЛ, 1949.
3. Федяевский К.К., Войткунский Я.И., Фаддеев Ю.И. Гидромеханика. - 2-е изд. - Л.: Судо-
строение, 1968.
4. Войткунский Я.И., Фаддеев Ю.И., Федяевский К.К. Гидромеханика. - Л.: Судостроение, 1982
5. Золотов С.С., Амфилохиев В.Б., Фаддеев Ю.И. Задачник по гидромеханике для судо-
строителей. - Л.: Судостроение, 1982.
6. Справочник по теории корабля. - Т.1: Гидромеханика. Сопротивление движения судов.
Судовые движители. - Л.: Судостроение, 1985.
7. Морской энциклопедический справочник. - Т. 1 и 2. - Л.: Судостроение, 1987.
8. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. - М.: ГИТГЛ, 1970.
9. Патрашев А.Н., Кивако Л.А., Гожий Е.И. Прикладная гидромеханика. - М.: Воениздат, 1970.
10. Фабрикант Н.Я. Аэродинамика. - М.: Наука, 1964.
11. Рождественский В.В. Кавитация. - Л.: Судостроение, 1977.
12. Луговский В.В. Гидромеханика. - Л.: Судостроение, 1990.
13. Валандер С.В. Лекции по гидроаэромеханике. - 2-е изд.- СПб.: Изд. СПбГУ, 2005.
14. Овсянников М.К., Орлова Е.Г., Емельянов П.С. Основы гидромеханики. - М.: Р Консулы, 2003.
Дополнительная
К главе 6
1. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. - М.: Наука, 1965.
2. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. -
М.: Наука, 1976.
3. Тихонов А.Н., Сомарский А.А. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1966.
4. Костюков А.А. Взаимодействие тел, движущихся в жидкости. - Л.: Судостроение, 1972.
К главе 7
1. Артюшков Л.С. Динамика неньютоновских жидкостей. - СПб.: Изд. СПбГМТУ, 1997.
2. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. - М.: Наука, 1967.
3. Трещевский В.Н., Волков Л.Д., Короткий А.И. Аэродинамический эксперимент в судо-
строении. -Л.: Судостроение, 1976.
4. Эпштейн Л.А. Методы теории подобия и размерностей в гидромеханике судов. - Л.: Су-
достроение, 1970.
К главе 8
1. Монин А.С., Яглом А.М. Статистическая гидромеханика. - М.: Наука, 1965 и 1967.
2. Белов И.А., Исаев С.А. Моделирование турбулентных течений: Учеб, пособие. - Кали-
нинград: Изд. БГТУ, 2001.
3. Wilcox D.C. Turbulence modeling for CFD. - DCW Industries, Inc., La Canada, CA, 1993.
4. Pope S.B. Turbulent flows. - Cambridge University Press, 2000.
5. Корнев H.B., Бесядовский A.P. Введение в метод крупных вихрей (LES): Учеб, пособие. -
СПб.: Изд. СПбГМТУ, 2006.
6. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. - М.: Наука, 1984.
К главе 9
1. Альтшулъ АД. Гидравлические сопротивления. - М.: Недра, 1970.
2. Френкель Н.З. Гидравлика. - М.: Госэнергоиздат, 1956.
531
3. Идельчик Н.Е. Гидравлические сопротивления. - М.: Госэнергоиздат, 1964.
4. Золотов С.С. Гидравлика судовых систем. - Л.: Судостроение, 1970.
5. Золотов С.С. Аэродинамика судовой вентиляции. - Л.: Судостроение, 1967.
К главе 10
1. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. - М.: Наука, 1969.
2. Современное состояние теории управления пограничным слоем: Сб. статей. - СПб.: Изд.
ГУП «СПМБМ «Малахит»», 2000.
3. Белоцерковский С.М., Гиневский А.С. Моделирование турбулентных струй и следов на
основе метода дискретных вихрей. - М.: Физматгиз, 1995.
4. Абрамович ГН. Теория турбулентных струй. - М.: Физматгиз, 1960.
5. Девнин С.И. Аэрогидромеханика плохообтекаемых конструкций: Справ. - Л.: Судостро-
ение, 1983.
6. Белов И.А., Исаев С.А., Коротков Н.В. Задачи и методы расчета отрывных течений не-
сжимаемой жидкости. - Л.: Судостроение, 1989.
К главе 11
1. Белоцерковский С.М., Скрипач Б.К., Табачников В.Г. Крыло в нестационарном потоке
газа. - М.: Наука, 1971.
2. Белоцерковский С.М., Ништ М.И. Отрывное и безотрывное обтекание крыльев в идеаль-
ной жидкости. -Л.: Наука, 1978.
3. Басин М.А., Шадрин В.П. Гидроаэродинамика крыла вблизи границы раздела сред. -
Л.: Судостроение, 1980.
4. Плисов Н.Б., Рождественский К.В., Трешков В.К Аэрогидродинамика судов с динами-
ческими принципами поддержания. - Л.: Судостроение, 1991.
5. Katz J., Plotkin A. Low speed aerodynamics: from wing theory to panel methods. - McGraw-
Hill, 1991.
6. Рождественский K.B. Метод сращиваемых асимптотических разложений в гидродина-
мике крыла. - Л.: Судостроение, 1978.
7. Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости. - М.: Наука, 1979.
8. Лотов А.Б. Глиссирование и быстрый вход тел в воду, учебное пособие. - М.: Изд. МФТИ, 1984.
К главе 12
1. Короткий А.И. Присоединенные массы судна: Справ. - Л.: Судостроение, 1985.
2. Пантов Е.Н., Махин Н.П., Шереметов Б.Б. Основы теории движения подводных аппа-
ратов. - Л.: Судостроение, 1973.
3. Рождественский В.В. Динамика подводной лодки. - Л.: Судостроение, 1973.
К главе 13
1. Луговский В.В. Динамика моря. - Л.: Судостроение, 1976.
2. Войткунский Я.И. Теория волн и волнового сопротивления. - Л.: Изд. ЛКИ, 1959.
3. Кочин Н.Е. Собр. Соч. - Т. 2. - М.: Изд-во АН СССР, 1949.
4. Костюков А.А. Теория корабельных волн и волнового сопротивления. - Л.: Судпромгиз, 1959.
5. Сретенский Л.И. Теория волновых движений жидкости. - М.: Наука, 1977.
6. Гетман А.Ш. Обзор иностранной литературы по волновому сопротивлению судна. - Т. 1:
Волновое сопротивление судна в идеальной жидкости. - СПб.: Деп ВИНИТИ, 1985. -
3108,3109.
7. Готман А.Ш. Определение волнового сопротивления и оптимизация обводов судов. -
Ч. 1,2.- Новосибирск. Изд. Новосиб. гос. академии водного транспорта (НГАВТ), 1995.
8. Миропольский Ю.В. Динамика внутренних гравитационных волн в океане. - Л.: Гидро-
метеоиздат, 1981.
532
К главе 14
1. Шашин В.М. Гидромеханика. - М.: Высшая школа, 1990.
2. Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости. - М.: Наука, 1979.
3. Иванов А.Н. Гидродинамика развитых кавитационных течений. - Л.: Судостроение,
1980.
4. Кнэпп Р. и др. Кавитация / Перев. с англ. - М.: Мир, 1974.
5. Логвинович ГВ. Гидродинамика течений со свободными границами. - Киев: Наукова
Думка, 1969.
6. Буйвол В.И. Тонкие каверны в течениях с возмущениями. - Киев: Наукова Думка,
1980.
7. Эпштейн Л.А. Методы теории размерностей и подобия в задачах гидродинамики су-
дов. - Л.: Судостроение, 1970.
8. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного.
- М.: Наука, 1965.
9. Зацепина ГН. Физические свойства и структура воды. - М.: Изд. МГУ, 1987.
10. Артюшков Л.С., Ачкинадзе А.Ш., Русецкий А.А. Судовые движители. - Л.: Судостро-
ение, 1988.
11. Achkinadze A.S. Supercavitating propellers. Preprint: Lecture Series Monographs, Von
Karman Institute for Fluid Dynamics, RTO AVT/VKI Special Course: «Supercavitating
Flows». 12—16 February 2001, Rhode-Saint-Genese, Belgium.
12. Ачкинадзе А.Ш., Нарвский А.С. Оптимальная антикавитационная толщина эллипти-
ческого цилиндра. - Тр. ЛКИ, 1977, вып.115.
13. Они же. Аналитическое решение линейной двумерной задачи о кавитационном об-
текании плоской пластинки при произвольном числе кавитации. - Тр. ЛКИ: Гидро-
динамика и теория корабля, 1980
14. Ачкинадзе А.Ш., Темкин А.Б. Аналитическое решение плоской задачи о кавитацион-
ном обтекании дуги круга при произвольном числе кавитации с использованием от-
крытой линейной модели. - Тр. ЛКИ: Проблемы гидродинамики судна, 1983.
15. Левковский Ю.Л. Структура кавитационных течений. - Л.: Судостроение, 1978.
16. Амромин Э.А., Мишке вич В.Г, Рождественский К.В. Приближенный расчет трехмер-
ного кавитационного обтекания лопастей гребных винтов вязкой капиллярной жид-
костью // Изв. АН СССР. - Сер. МЖГ - 1990. - № 6. - С. 83-90.
17. Терентьев А.Г. К решению линейной задачи кавитационного обтекания криволиней-
ной дуги // Изв. АН СССР. - Сер. МЖГ. - 1972. - № 1. - С. 34-38.
18. Горшков А.С., Русецкий А.А., Борусевич В.О. Кавитационные трубы. - СПб.: Изд.
ЦНИИ им. акад. А.Н. Крылова, 2007.
К главе 15
1. Андерсон Д., Таннехилл Д., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплооб-
мен. - М.: Мир, 1990.
2. Белов И.А., Исаев С.А., Коробков В.А. Задачи и методы расчета отрывных течений
несжимаемой жидкости. - Л.: Судостроение, 1989.
3. Ferziger J.H., Peric М. Computational methods for Fluid Dynamics. - Springer, 2002.
4. http://www.software.aeat.com/cfx/
5. http://www.iccm.de/
6. http://www.cd.co.uk/products/star.htm
7. Thomson J.F., Warsi Z.U.A., Mastin C.W. Numerical grid generation- foundations and
applications. Elsevier, 1985.
8. http://www.fluent.com/
9. Kim S., Rhee S.H. Assessment of Eight Turbulence Models for a Three-Dimensional
Boundary Layer Involving Crossflow and Streamwise Vortices, Fluent, Technical Notes
165, 2002.
К главе 16
1. Трещевский В.Н., Волков Л.Д., Короткий А.И. Аэродинамический эксперимент в судо-
строении. -Л.: Судостроение, 1976.
2. Гутер Р.С., Овчинский Б.В. Элементы численного анализа и математической обработки
результатов опыта. -М.: Наука, 1970.
3. Щиголев Б.М. Математическая обработка наблюдений. -М.: Наука, 1969.
4. Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске
оптимальных условий. - М.: Наука, 1976.
5. Туричин А.М. и др. Электрические измерения неэлектрических величин. - Л.: Энергия,
1975.
6. Прищемихин Ю.Н. Экспериментальные средства и методы теории корабля. - Л.: Изд.
ЛКИ, 1980.
7. Горлин С.М., Слезингер И.И. Аэромеханические измерения. Методы и приборы. - М.:
Наука, 1964.
8. Пономарев А.В., Гузеев А.С., Тюшкевич В.А. Методы визуализации обтекания тел в судо-
строительном эксперименте. - Л.: ЦНИИ «Румб», 1987.
9. Ван-Дайк М. Альбом течений жидкости и газа. - М.: Мир, 1986.
10. Тарировка микроманометра: Учеб, пособие. - Л.: ЛКИ, 1980.
предметный указатель
А
автокорреляция..............160
амплитуда волны.............342
анемометр
- лазерный
доплеровский.............507
- термо-.................506
- чашечный...............497
аэродинамическая труба......489
аэродинамические весы.......516
Б
буферная зона..........174, 189
В
визуализация................522
вихревая линия...............75
- нить................76
- трубка..............75
вихревая форма кавитации .. 398, 399
вихревой слой................82
вихрь.....................81, 99
- концевой...............266
- подковообразный........452
- присоединенный.....279, 286
- разгонный..............265
- свободный......274, 279, 286
волнопродуктор..............494
волны
- ветровые...............339
- внутренние........ 339, 382
- зыби...................339
- конечной амплитуды.....367
- корабельные............339
- плоские................342
- прогрессивные..........355
- стоячие................353
- пространственные
кольцевые................351
- регулярные.............342
- свободные..............343
вторичное течение...........216
высота волны................342
вязкий подслой..........173, 189
гидравлический удар.........204
гидродинамическая
- кавитация.....389, 395, 407
- реакция.................22
- особенность............101
- труба..................409
гидродинамически
гладкая труба...............190
гидродинамически
гладкая поверхность.........238
гидродинамический след......210
гидродинамическое
качество крыла..............260
гидролоток..................410
гидростатический напор.......31
гидростатический парадокс....34
гипотеза
- Буссинеска.............166
- Гарвея-Эпштейна....389, 390
- плоских сечений........325
- сплошности..............15
- стационарности.........330
глиссирование...............300
д
давление.................25, 127
- избыточное
гидростатическое..........31
- избыточное
гидродинамическое........62
- пьезометрическое.......186
длина волны.................342
диаграмма
- Бернулли...............184
- кавитационная ....417, 419, 420
динамометр...................513
диполь
- плоский................101
- пространственный.......108
дисперсия волн...........356, 358
Е
естественная кавитация......417
Ж
жидкая частица..............16
жидкость
- идеальная...............20
- ньютоновская...........123
- неньютоновская.........124
- однородная..............17
3
закон
- Архимеда...............35
- косинусный............458
- Паскаля................30
- подобия...............144
И
интеграл
- Бернулли...............61
- Лагранжа...............64
- Эйлера.................65
интегральное уравнение
Фредгольма............... 114
интегральное соотношение
импульсов.................226
искусственная кавитация....402,
403, 404, 406,
411,412,416
источник (сток)
- плоский..................98
- пространственный........106
К
кавитационная труба........408,
409, 495
кавитационное сопротивление ..416,
431,436,
437, 445, 447
кавитационный барьер........398
кавитационный бассейн...409, 410
кавитационный бафтинг........419
кавитационный
подводный шум.............400
кавитация....................389
- пленочная..........400, 417
- пузырчатая..............417
- частичная...............419
кинематическое
граничное условие
- линеаризованное.......442, 443
кинетическая энергия
потенциального течения...317
константа Кармана...........168
контрольный объем...........472
коэффициент
- давления................66
- по цилиндру движущемуся
с ускорением...........329
- динамической вязкости..122
- кинематической вязкости.. 122
- кинетической энергии...183
- местного сопротивления ... 192
- подъемной силы.........260
- расхода................200
- сжатия струи...........200
- скорости...............200
- сопротивления
трения трубы............188
- сопротивления крыла....260
- тарировочный...........496
кривая кипения..............394
кризис сопротивления........243
крыло.......................258
- оптимальное............292
- относительная кривизна ... 258
- относительная толщина .... 259
- относительное удлинение.. 259
- размах.................258
- хорда..................258
крыльевая аналогия..........305
кумулятивная струйка........392
л
ламинаризация течений......245
линейная теория кавитационных
течений.........439, 441, 446
линия тока..................40
логарифмический слой....174,189
М
МАГДА......................488
манометр...................518
- наклонный.............520
- типа тонущего колокола.... 519
- чашечный..............519
масштаб турбулентности.....161
местное сопротивление......183
модель замкнутая линейной теории
кавитационных течений...440, 446
модель замыкания турбулентных
напряжений
- алгебраическая Прандтля ..167
- дифференциальная к - в.... 170
- дифференциальная
Спаларта-Алмараса......170
модель открытая линейной теории
кавитационных течений.....440,
441, 446
метод
- граничных интегральных
уравнений............... 114
- дискретных вихрей......452
- зеркального отображения ..117
- коллокаций............451
- контрольного объема....471
- коррекции давления.....476
- крупных вихрей........162
- меченых частиц PIV.....504
- панельный... 115, 456, 460, 465
- пристеночных
функций........... 172, 479
- проектирования профиля.. 459
- прямого численного
моделирования.........162
- разделения переменных
Фурье...............350
- расчета волнового
сопротивления..........465
- Рейнольдса............163
- Volume of Fluid.......478
- исследования жидкости
- Лагранжа...........38
- Эйлера.............39
- модель пути смешения...167
Н
напряжения
- касательные............23
- нормальные.............23
насадок Вентури............201
насадок для измерения
скорости................501
нестационарная пленочная
кавитация...............399
неустойчивость ламинарного
течения
- абсолютная............227
- конвективная..........227
О
область следа..............174
облачная кавитация.........419
обобщенная схема с зеркалом 436
обтекание
- овоида................108
- полутела вращения.....109
- сферы................ 111
- тел вращения......... 112
- цилиндра...........90,101
опытовый бассейн...........492
- ледовый...............495
- стратифицированный.....495
- циркуляционный........494
осреднение
- по Рейнольдсу.........159
- по ансамблю...........160
отрыв пограничного слоя.....214
537
п
парадокс
- Бриллуэна..........434, 435
- Гюрста.............440, 446
- Эйлера-Д’Аламбера .... 94, 431
- парового пузырька......391
период волны.................342
пикноклин....................382
пограничный слой.............210
- толщина........212, 224, 236
— вытеснения.....212, 224, 236
— потери импульса 212, 224,
236
подобие
- геометрическое.....135,136
- кинематическое.....135,136
- динамическое.......135,138
подсасывающая сила ..280, 431, 445
показатель трехмерности......342
полимерные добавки...........246
постулат
Чап л ы гина-Жу ковского 272
потенциал............... 54, 334
- комплексный.............96
- простого слоя......... 113
потери гидравлические.......183
- местные.................183
- на трение...............183
поток
- напорный................180
- безнапорный.............180
правильная кавитация...432, 434
принцип
- обращения движения.......42
- суперпозиции.............89
присоединенная масса........312
- обобщенная..............320
- цилиндра................314
- эллипса.................325
- эллипсоида вращения....326
производные позиционные
и вращательные.......331, 332
профиль (руль) Жуковского..282
пузырьковая камера Глезера...395
пьезометрическая высота.......31
Р
развитая кавитация..........405
расходомер Вентури..........509
расширительная колонна......208
реология....................121
С
сетка........................469
- адаптивная..............471
- неструктурированная.....470
- структурированная.......469
сила
- диссипативная...........376
- инерционная.............313
- массовая.................20
- поверхностная............21
скоростная трубка............498
скорость
- групповая...........359, 361
- динамическая...........169
- индуцированная..........79
- комплексная.............96
- критическая
на мелководье............358
- фазовая волны..........342
слеминг.....................333
сопротивление
- брызговое..............300
- индуктивное............288
- формы...............238, 293
стадии кавитации
- начальная..............419
- частичная (первая).....419,
421,440
- суперкавитация (вторая) ..419,
421,446
степень турбулентности
потока......................160
стратификация...............382
струйные течения............250
538
супервентиляция........396,397
суперкавитация..........401, 402,
419, 421,446
суперкавитирующий
гребной винт............401
сферический пузырек
- паровой............391, 392
- парогазовый...........391
схема замыкания каверны.....435
- с зеркалом............435
- с обратной струйкой .. 435, 437
- с параллельными
стенками...............438
- со следом.............438
- Рябушинского.......435, 436
тело
- турбулентное........127,156
- установившееся........41
- циркуляционное.......271
точка
- коллокаций............452
- критическая...........67
- особая................99
трубка
- Вентури...........407, 408,509
- скоростная...........498
- полного напора.......500
трубопровод
- простой...............194
- сложный..............194
турбулентная вязкость.....166
турбулентность
- изотропная............160
- однородная...........160
- давления...............34
- плохо обтекаемое...239,242
- хорошо обтекаемое.....239
теорема
- динамические Гельмгольца .. 85
- Жуковского.........94,278
- в малом...............279
- кинематическая
Гельмгольца...............79
- Коши-Гельмгольца.......51
- Стокса.................77
- Томсона................85
теория
- несущей линии......286,287
- несущей поверхности 286
термоанемометр..............506
течение
- вихревое...............54
- ламинарное........127,155
- осесимметричное........44
- плавно изменяющееся 179
- плоское................44
- потенциальное..........54
- пространственное.......43
- сдвиговое.............121
угол
- атаки.................260
- критический...........262
- волнового склона......342
- Кельвина..............372
- нулевой подъемной силы.. 260
удар тела о жидкость.......333
уравнение
- Бернулли...............61
- для течения в трубе...183
- Громеко-Ламба..........64
- движения жидкости
в напряжениях..........26
- Лапласа................88
- Навье-Стокса..........129
- неразрывности..........46
- несущей линии.........291
- несущей поверхности....296
- Орра-Зоммерфельда.....230
- пограничного слоя.....219
- Пуассона...............95
- Рейнольдса............165
- Эйлера.................58
539
условие начала кавитации ... 422, 424
условие отсутствия
естественной кавитации....425,
426
условия
- граничные...59, 346, 347, 477
- излучения..............466
- начальные...............59
- непротекания............60
- прилипания.............130
- ударное................334
Ф
формпараметр................241
формула
- Био-Савара..............80
- Ван-Дриста.............169
- Грина..................460
- Ньютона для касательных
напряжений.............122
- Пабста.................327
- Стокса.................133
формы кавитации
- вихревая...............417
- пленочная......417, 418, 419
- пузырчатая.............417
функция
- Кочина....................381
- распределения..........340
- тока....................55
ц
центр давления..........
261, 511
циркуляция...................76
циркуляционное течение.......88
Ч
частота волны...............342
численная схема
- неявная................473
- явная..................473
число
- Вебера.................141
- кавитации.......... 147, 406
- Коши...................150
-Маха..............5,141,150
- Рейнольдса.............139
— критическое...... 156, 227
- Струхаля...............140
- Фруда..................140
- Эйлера.................139
Ш
шероховатость
- зернистая
искусственная.......... 190,237
- техническая........191, 237
э
ЭГДА.......................488
эрозия..........389, 392, 393,399
эквивалентная пластина......241
энергия волн...............361
Я
ядро струи.................251
540
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.................................................3
Введение....................................................5
Часть 1. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И УРАВНЕНИЯ.
МЕХАНИКИ ЖИДКОСТИ..................................13
1. Свойства жидкостей и уравнения их движения (М 1, 2, 3) ...15
1.1. Гипотеза сплошности среды...........................15
1.2. Свойства жидкостей..................................17
1.3. Классификация сил, действующих в жидкости...........20
1.4. Свойства напряжений внутренних сил, действующих в жидкости... 22
1.5. Уравнения движения жидкости в напряжениях...........26
Контрольные вопросы......................................28
2. Гидростатика несжимаемой жидкости (М 1,2, 3).............29
2.1. Уравнения гидростатики и их интегрирование..........29
2.2. Определение сил и моментов, действующих на поверхности тел,
находящихся в покоящейся жидкости.........................32
Контрольные вопросы и задачи.............................37
3. Кинематика жидкости (М 1, 2, 3)..........................38
3.1. Методы описания движения жидкости...................38
3.2. Классификация потоков жидкости......................41
3.3. Ускорение жидкой частицы............................45
3.4. Уравнение неразрывности.............................46
3.5. Особенности движения и деформации жидкой частицы....49
3.6. Функция тока плоского и осесимметричного течения
жидкости (М 2, 3)........................................54
Контрольные вопросы и задачи..............................57
4. Динамика невязкой жидкости (М 2, 3)......................58
4.1. Уравнения движения невязкой жидкости. Начальные и граничные
условия...................................................58
4.2. Интегрирование уравнений движения. Интеграл Бернулли.61
4.3. Интегралы Лагранжа и Эйлера (М 2, 3).................63
4.4. Распределение давления по поверхности тела. Коэффициент
давления...................................................65
4.5. Законы количества движения и моментов количества движения
в применении к жидкости (М 2, 3)..........................67
Контрольные вопросы и задачи.............................. 72
541
Часть 2. ДИНАМИКА НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ... 73
5. Основы вихревых движений жидкости (М 1,2, 3)...............75
5.1. Основные характеристики и свойства вихревых движений.75
5.2. Поле скоростей, вызываемое вихрями в жидкости..........79
5.3. Вихревые слои (М 2, 3).................................82
5.4. Теорема Томсона и ее следствия (М 2, 3)................84
Контрольные вопросы и задачи................................86
6. Безвихревые (потенциальные) течения жидкости (М 1, 2, 3)....87
6.1. Постановка задачи о безвихревом течении жидкости.......87
6.2. Обтекание кругового цилиндра. Парадокс Эйлера-Д’Аламбера.
Формула Н.Е. Жуковского...................................90
6.3. Использование комплексных переменных для исследования
плоских потенциальных потоков (М 2, 3)....................95
6.4. Метод конформных отображений для решения плоских
потенциальных задач гидромеханики (М 2, 3)............... 102
6.5. Простейшие пространственные потенциальные потоки.... 106
6.6. Метод интегральных уравнений в применении к расчету
потенциального обтекания тел произвольной формы (М 2, 3). 112
6.7. Учет влияния границ потока на обтекание тел (М 2, 3). 116
Контрольные вопросы и задачи.............................. 120
7. Динамика вязкой жидкости (М 1, 2, 3)......................121
7.1. Вязкие жидкости и их свойства........................ 121
7.2. Уравнения движения вязкой ньютоновской жидкости.......126
7.2.1. Дополнительные силы вязкостной природы......... 126
7.2.2. Уравнения движения вязкой жидкости............. 127
7.3. Основы теории подобия и моделирования гидродинамических
процессов.................................................135
7.4. Общие формулы для гидродинамических сил и моментов.. 142
7.5. Критерии подобия и их использование при моделировании.
Частные случаи подобия..................................145
Контрольные вопросы и задачи.............................. 151
Часть 3. ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ.....................153
8. Турбулентные течения жидкости (М 1, 2, 3).................155
8.1. Общие характеристики турбулентных потоков............ 155
8.2. Методы моделирования турбулентных течений (М 2, 3)... 162
8.3. Уравнения движения турбулентных потоков (М 2, 3)..... 164
8.4. Основные модели, выражающие турбулентные напряжения
через осредненные скорости потока (М 2, 3)..............166
8.4.1. Гипотеза Буссинеска (М 2, 3)................... 166
8.4.2. Алгебраические модели турбулентности (М 2, 3)...167
542
8.4.3. Дифференциальные модели турбулентности (М 2, 3).169
8.5. Структура осредненного поля скорости в пристеночном
турбулентном течении (М 2,3)............................. 172
Контрольные вопросы и задачи.......................... 176
9. Основы гидравлики (М 1, 2, 3).............................177
9.1. Введение..............................................177
9.2. Гидравлические свойства плавно изменяющихся течений...179
9.3. Одномерная задача гидромеханики вязкой жидкости.......181
9.4. Применение закона количества движения для течения жидкости
в цилиндрической наклонной трубе......................... 185
9.5. Ламинарное течение жидкости в цилиндрической наклонной
трубе.................................................... 186
9.6. Турбулентное течение жидкости в цилиндрической трубе..188
9.7. Влияние шероховатости на турбулентное течение жидкости
в цилиндрической трубе................................... 189
9.8. Местные потери напора................................ 192
9.9. Расчет трубопроводных систем......................... 194
9.10. Истечение жидкости из отверстий и насадков при постоянном
напоре................................................... 199
9.11. Истечение жидкости при переменном напоре.............202
9.12. Гидравлический удар..................................204
Контрольные вопросы и задачи...............................209
10. Течения вязкой жидкости при больших числах
Рейнольдса (М 1, 2, 3)......................................210
10.1. Особенности течений при больших числах Рейнольдса....210
10.2. Теория пограничного слоя.............................217
10.3. Ламинарный пограничный слой на пластине, расположенной
вдоль потока...............................................221
10.4. Интегральное соотношение импульсов для пограничного слоя . 225
10.5. Неустойчивость ламинарного течения. Ламинарно-турбулентный
переход (М 2, 3)...........................................227
10.5.1. Влияние градиента давления.....................232
10.5.2. Влияние отсасывания пограничного слоя.........233
10.5.3. Влияние шероховатости..........................234
10.5.4. Влияние турбулентности внешнего течения........234
10.6. Турбулентный пограничный слой на пластине, расположенной
вдоль потока..............................................235
10.7. Влияние шероховатости на обтекание тел...............237
10.8. Вязкостное сопротивление тел.........................238
10.8.1. Вязкостное сопротивление хорошо обтекаемых тел.239
10.8.2. Плохообтекаемые тела...........................242
10.9. Возможные пути снижения вязкостного сопротивления....245
543
10.10. Турбулентные струйные течения (М 2, 3)...........250
Контрольные вопросы и задачи............................257
11. Циркуляционные течения жидкости. Теория крыла.
Глиссирование (М 1, 2, 3)..................................258
11.1. Геометрические и гидродинамические характеристики
крыльев................................................258
11.1.1. Геометрические характеристики...............258
11.1.2. Гидродинамические характеристики............260
11.2. Физические особенности обтекания крыльев..........262
11.3. Математическая формулировка задачи теории крыла.......
Постулат Чаплыгина-Жуковского.......................270
11.4. Теорема Жуковского................................275
11.4.1. Подъемная сила на профиле...................275
11.4.2. Теорема Жуковского «в малом» (М 2, 3).......279
11.4.3. Подсасывающая сила..........................280
11.5. Получение точных решений двумерной теории крыла
с помощью метода конформных отображений (М 2, 3).......281
11.6. Линейная теория крыла. Разделение задачи. Вихревая
схема крыла конечного размаха..........................284
11.7. Линейная стационарная теория крыла конечного размаха
как несущей линии.......................................287
11.8. Крыло с наименьшим индуктивным сопротивлением.....292
11.9. Линейная стационарная теория крыла конечного размаха
как несущей поверхности (М 2, 3).......................294
11.10. Нелинейная теория крыла (М 2, 3).................298
11.11. Глиссирование (М 2, 3)...........................300
Контрольные вопросы и задачи........................... 308
Часть 4. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
КОРАБЕЛЬНОЙ ГИДРОМЕХАНИКИ...............309
12. Гидродинамические реакции при нестационарном
движении тел в жидкости (М 1, 2, 3).......................311
12.1. Введение...........................................311
12.2. Инерционные силы, действующие на тело, движущееся
поступательно с переменной скоростью. Понятие
о присоединенных массах.................................311
12.3. Кинетическая энергия жидкости. Обобщенные
присоединенные массы (М 2, 3)...........................314
12.4. Гидродинамические силы и моменты инерционной
природы (М 2, 3).......................................323
544
12.5. Методы определения присоединенных масс.................325
12.6. Распределение давлений по телу, движущемуся поступательно
с переменной скоростью (М 2, 3)...........................327
12.7. Вязкостные компоненты нестационарных
гидродинамических сил.....................................330
12.8. Удар тела о жидкость (М 2, 3)..........................333
Контрольные вопросы и задача.................................338
13. Волновые движения жидкости (М 1, 2, 3).....................339
13.1. Типы волновых движений и методы их изучения............339
13.2. Основные характеристики гравитационных волн............342
13.3. Гидродинамическая теория волн..........................344
13.3.1. Постановка задачи теории волн....................344
13.3.2. Основные уравнения гидродинамической теории волн.345
13.4 Постановка задачи линейной теории волн..................349
13.5 Линейная теория волн (М 2, 3)...........................350
13.5.1. Периодически повторяющиеся волновые движения
жидкости...............................................350
13.5.2. Пространственные кольцевые волны.................351
13.5.3. Плоские стоячие волны............................353
13.5.4. Плоские прогрессивные волны относительно малой
амплитуды..............................................355
13.5.5. Волны в жидкости ограниченной глубины............357
13.6. Группы волн. Энергия волн (М 2, 3).....................359
13.6.1. Группы волн. Групповая скорость..................359
13.6.2. Энергия волн малой амплитуды.....................361
13.6.3. Энергия плоской прогрессивной волны..............363
13.7. Особенности плоских прогрессивных волн конечной
амплитуды (М 2, 3).........................................367
13.8. Вынужденные волны при движении точечного источника
возмущений (М 2, 3)........................................369
13.9. Постановка задачи о волнообразовании и гидродинамических
силах при движении судов и аппаратов (М 2, 3)..............373
13.10. Определение гидродинамических сил при обтекании тел
под свободной поверхностью жидкости (М 2, 3)................377
13.11. Понятие о гравитационных внутренних волнах (М 2, 3)...382
Контрольные вопросы и задачи................................ 387
14. Кавитация (М 1, 2, 3).....................................389
14.1. Основные понятия.......................................389
14.1.1. Определение понятия «кавитация». Гипотеза
Гарвея-Эпштейна, эрозия.................................389
14.1.2. Прочность очищенной жидкости на разрыв, кривая
кипения, критическая температура........................393
545
14.1.3. Примеры кавитационных процессов..............395
14.1.4. Возможные пути полезного использования кавитации.401
14.2. Экспериментальные методы исследования кавитационных
течений..................................................405
14.2.1. Критерии подобия, используемые при изучении
кавитационных течений................................405
14.2.2. Лабораторные установки для исследования гидро-
динамической кавитации на моделях....................407
14.2.3. Искусственная кавитация......................411
14.2.4. Естественная кавитация, различные формы и стадии,
кавитационная диаграмма..............................417
14.3. Расчетные методы исследования условий возникновения
кавитации................................................422
14.3.1. Условие начала естественной кавитации........422
14.3.2. Кавитационная диаграмма, полученная расчетом, простей-
шее условие отсутствия естественной кавитации.........425
14.3.3. Оптимальная с точки зрения кавитации толщина
профиля (М 2, 3)......................................426
14.3.4. Влияние вязкости и капиллярных сил на возникновение
кавитации.............................................428
14.4. Теоретические методы расчета плоских развитых
кавитационных течений (М 2, 3)...........................429
14.4.1. Теория струй идеальной жидкости, струйное обтекание
наклонной пластинки, стационарные развитые
кавитационные течения, правильная кавитация,
свойства границ каверны, парадокс Бриллуэна.....429
14.4.2. Различные схемы замыкания каверны, кавитационное
сопротивление........................................435
14.4.3. Линейная теория, решение задачи об обтекании наклонной
пластинки под малым углом атаки при произвольном числе
кавитации, парадокс Гюрста, открытая линейная модель,
оптимальный угол атаки для кавитирующей пластинки .... 439
Контрольные вопросы и задачи.............................448
Часть 5. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
ГИДРОАЭРОМЕХАНИКИ (М 2, 3).....................................499
15. Численные методы гидроаэромеханики (М 2, 3)............451
15.1. Численные методы расчета тонкой несущей поверхности
при малых углах атаки...................................451
15.1.1 Метод коллокаций.............................451
15.1.2 Метод дискретных вихрей......................452
15.2. Численный метод расчета тонкой несущей поверхности
при произвольных углах атаки ............................454
546
15.3. Панельный метод расчета профиля произвольной толщины..456
15.4. Проектирование профилей с заданным распределением давления
с помощью панельного метода..............................459
15.5. Панельный метод расчета пространственных крыльев
произвольной толщины в широком диапазоне углов атаки.....460
15.6. Панельные методы расчета потенциальных волновых задач.465
15.7. Расчет вязкостного обтекания тел с помощью современных
численных методов........................................468
15.7.1. Дискретизация расчетной области..............469
15.7.2. Дискретизация уравнений с помощью метода
контрольного объема..................................471
15.7.3. Граничные условия............................477
15.7.4. Учет свободной поверхности...................478
15.7.5. Учет турбулентности..........................479
Контрольные вопросы и задачи.............................483
Часть 16. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ
ГИДРОАЭРОМЕХАНИКА (М 2, 3).................................485
16. Экспериментальная гидроаэромеханика (М 2, 3)...........487
16.1. Введение...........................................487
16.2. Экспериментальные установки........................488
16.2.1. Аэродинамические трубы.......................489
16.2.2. Опытовые бассейны............................492
16.2.3. Кавитационные трубы..........................495
16.3. Измерительная аппаратура...........................496
16.4. Измерение скорости.................................496
16.4.1. Чашечные анемометры..........................497
16.4.2. Скоростная трубка............................498
16.4.3. Насадки для измерения скосов.................501
16.3.4. Измерение скорости с помощью меченых частиц PIV.504
16.4.5. Термоанемометр...............................506
16.4.6. Лазерный доплеровский анемометр..............507
16.5. Измерение расхода..................................508
16.6. Измерение сил......................................510
16.6.1. Динамометры..................................512
16.6.2. Весы.........................................516
16.7. Измерение давления.................................518
16.8. Оборудование для визуализации......................522
16.9. Методика проведения эксперимента...................526
16.10. Автоматизация проведения эксперимента.............527
Контрольные вопросы и задачи............................ 530
Литература...............................................531
Предметный указатель.....................................535
547
Александр Шамильевич АЧКИНАДЗЕ -
д-р техн, наук, профессор, лауреат премии Прави-
тельства РФ (2002).
После окончания в 1969 г. Ленинградского ко-
раблестроительного института (ныне — Санкт-Пе-
тербургский государственный морской техничес-
кий университет, СПбГМТУ) по специальности
«гидроаэродинамика» работал в этом институте в
качестве аспиранта, инженера, ассистента, старше-
го преподавателя, доцента, профессора кафедры
теории корабля (до 2003). С 2003 г. - профессор,
заведующий кафедрой гидроаэромеханики и морской акустики СПбГМТУ.
В 1972 г. окончил очную аспирантуру под руководством профессора
В.М. Лаврентьева по кафедре теории корабля. В 1975 г. защитил кандидат-
скую диссертацию, в 1993 г. - докторскую диссертацию на тему «Проекти-
ровочный расчет некавитирующих и сильнокавитирующих гребных вин-
тов по вихревой теории с учетом нагрузки и радиальной неравномерности
потока».
Вместе с Л.С. Артюшковым и А.А. Русецким подготовил учебник «Су-
довые движители» («Судостроение», 1988). Им опубликовано более 100 на-
учных работ, в том числе учебник по ходкости судна на болгарском языке
(1984) и три пособия, изданные в университете.
Читал лекции в Инженерном университете «UNI» (Лима, Перу), в Кар-
мановском институте гидродинамики (Брюссель, Бельгия) и в Морском тех-
ническом университете (Каошинг, Тайвань). Участвовал в работе многих
международных научных конференций.
Член бюро секции «Мореходные качества судов» Российского НТО
им. акад. А.Н. Крылова, с 1997 г. - председатель секции «Движители» на
Крыловских чтениях, член трех специализированных советов по защите
диссертаций.
Лауреат премии Международного института морских инженеров «Стэн-
ли Грей» (Stanley Gray Award for Branches).
В круг его научных интересов входят: теория идеального движителя и
оценка верхней границы эффективности реальных движителей, разработка
обобщенной линейной модели вихревого следа для расчета гребного винта,
обобщение теоремы Бетца-Поляхова об оптимальном гребном винте, при-
менение математического программирования в расчетах суперкавитирую-
щих крыльев и винтов, учет вязкости путем введения Кутта панели на зад-
ней кромке в поверочном расчете гребного винта панельным методом,
разработка программных средств для расчета гребных винтов, работающих
изолированно или в составе комплекса в виде соосной пары, движительно
рулевой колонки, винта в насадке и т.д.
548
Александр Романович БЕСЯДОВСКИЙ -
канд. техн, наук, доцент
После окончания в 1972 г. Ленинградского ко-
раблестроительного института по специальнос-
ти «гидроаэродинамика» работал в этом же ин-
ституте в качестве инженера, старшего инженера
и научного сотрудника аэродинамической трубы.
С 1985 г., закончив очную аспирантуру по кафед-
ре гидроаэромеханики и успешно защитив кан-
дидатскую диссертацию, работал заведующим
научно-исследовательской лаборатории гидроаэ-
корабля. В 2000 г. перешел на преподавательскую работу в
доцента на кафедру гидроаэромеханики и морской акустики
Автор ряда учебных пособий. Им опубликовано более
научных работ. Имеет звание эксперта-метролога. Включен в Феде-
ьный реестр экспертов научно-технической сферы. Участвовал в ряде
кдународных научных проектов и грантов РФФИ. Член Научно-тех-
геского совета по экспертизе научно-исследовательских работ при на-
ю-исследовательской части СПбГМТУ. Неоднократно выступал с док-
ами на всесоюзных, всероссийских и международных конференциях.
В круг его научных интересов входят: теоретическая гидроаэродина-
са околоэкранного движения, вычислительная гидроаэродинамика и
:ревые методы, экспериментальная гидроаэродинамика и создание со-
компьютерных программ.
Мастер спорта по парусному спорту.
Валерия Викторовна ВАСИЛЬЕВА -
д-р техн, наук, профессор кафедры гидроаэроме-
ханики и морской акустики СПбГМТУ.
После окончания в 1956 г. Ленинградского ко-
раблестроительного института по специальнос-
ти «гидроаэродинамика» работала по распреде-
лению в ЦНИИ им. акад. А.Н. Крылова в качестве
инженера, инженера-исследователя. С 1963 г. —
аспирант, инженер, ассистент, старший препода-
ватель, доцент кафедры гидроаэромеханики в
ЛКИ. С 2000 г. - профессор кафедры гидроаэро-
и морской акустики СПбГМТУ.
549
В 1966 г. окончила очную аспирантуру под руководством профессора
Я.И. Войткунского по кафедре гидромеханики. В 1969 г. защитила канди-
датскую диссертацию, в 1999 г. — докторскую диссертацию. Автор пяти
пособий, изданных в университете, и более 100 научных работ.
Читала лекции по волновому сопротивлению в Машинно-электротех-
ническом институте (Варна, НРБ) и в Политехническом институте
(Гданьск, Польша).
Ее доклады на всероссийских и международных научных конферен-
циях неоднократно отмечались дипломами.
Как коренная петербуженка, житель блокадного Ленинграда она на-
граждена медалями «250-летие Ленинграда» и «300-летие Санкт-Петер-
бурга».
В круг ее научных интересов входят: гидродинамика подводных объек-
тов с учетом гидрофизических процессов, теория и расчет взаимодействия
подводных объектов с внутренними волнами, волновое сопротивление
надводных судов.
Николай Владимирович КОРНЕВ -
д-р техн, наук, профессор.
После окончания в 1984 г. Ленинградского ко-
раблестроительного института по специальности
«гидроаэродинамика» работал в этом институте в
качестве аспиранта, ассистента, старшего препода-
вателя, доцента, профессора кафедры гидроаэроме-
ханики и морской акустики СПбГМТУ. С 2004 г. -
профессор Университета г. Росток (Германия).
Защитил кандидатскую диссертацию под руко-
водством проф. В.К. Трешкова в 1988 г. и докторс-
кую диссертацию на тему «Численный метод вихревых частиц и его прило-
жение в гидроаэродинамике». Звание профессора получил в 2003 г.
Стажировался в Южной Корее (KRISO), Германии (в Университете Бра-
уншвайга как стипендиат фонда Гумбольдта) и США (North Caroline State).
В последние три года опубликовал 13 статей в ведущих научных рефериру-
емых журналах («Phisisc of Fluids», «Numerical Methods in Engineering», «Flow
Turbulence and Combustion», «Inti. Journal of Heat and Mass Transfer», «Chemical
Engineering Science» и др.), 18 статей в трудах международных конферен-
ций, 2 учебных пособия и главу об экранопланах в справочнике «Ship Design
and Construction» (США). Автор программы Autowing.
Область научных интересов: теория крыла, суда с динамическими прин-
ципами поддержания, численные методы, турбулентность, течения химичес-
ки реагирующих смесей, лазерная диагностика турбулентных течений.
Юрий Иванович ФАДДЕЕВ - д-р техн,
наук, профессор.
После окончания в 1953 г. Ленинградского ко-
раблестроительного института по специальности
«гидроаэродинамика» работал в этом же инсти-
туте в качестве ассистента кафедры теории кораб-
ля (до 1956 г.). С 1956 г. - преподаватель, стар-
ший научный сотрудник НИСа, доцент кафедры
гидроаэромеханики ЛКИ, с 1972 г. - профессор
этой кафедры, которая с 2001 г. именуется кафед-
ра «гидроаэромеханики и морской акустики».
В 1971 г. защитил докторскую диссертацию. В 1973 г. исполнял обя-
занности заведующего кафедрой во время командировки профессора
Я.И. Войткунского.
Вместе с Я.И. Войткунским и К.К. Федяевским написал учебник «Гид-
ромеханика» («Судостроение», 1982, изд. 2-е), вместе с С.С. Золотовым
и В.Б. Амфилохиевым - «Задачник по гидромеханике для судостроите-
лей» («Судостроение», 1984).
Входил в коллектив авторов и являлся автором ряда учебных пособий,
изданных в университете. Им опубликовано более 50 научных работ.
В круг его научных интересов входят: движение тела изменяемой фор-
мы в невязкой жидкости при наличии границ потока, расчет нестацио-
нарного пограничного слоя на телах изменяемой формы, влияние сво-
бодной поверхности и динамика качки.
Учебное издание
Ачкипадзе Александр Шамильевич,
Бесядовский Александр Романович,
Васильева Валерия Викторовна,
Корнев Николай Владимирович,
Фаддеев Юрий Иванович
ГИДРОМЕХАНИКА
Учебник
Редактор Т.И. Ильичева. Корректор Е.В. Попова
Компьютерная верстка Г'.В. Григорьевой
Лицензия № 06264
Подписано к печати 9.04.2007. Формат 70x100 7|6 Бумага офсетная.
Гарнитура Times New Roman. Печать офсетная. Усл. печ. л. 34,5. Уч.-изд. л. 26.5.
Тип. зак. № 4042
Издательство «Мор Вест», 190000, Санкт-Петербург, наб. р. Мойки, 84, пом. 13Н.
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ГУП «Типография «Наука»
199034, Санкт-Петербург, 9 линия, 12
Ю.И. Фаддеев