Интегрирование в гильбертовом пространстве - Скороход А.В.

Author: Скороход А.В.
Tags: теория вероятностей и математическая статистика математика математическая физика
Year: 1975
Similar
Действительный и функциональный анализ: университетский курс
Асимптотический анализ распределений статистик
Вероятность и математическая статистика. Энциклопедия
Гауссовские меры в банаховых пространствах
Text
                    С 44
УДК 519.21
Интегрирование в гильбертовом пространстве. А. В
Скороход. Главная редакция физико-математиче-
физико-математической литературы издательства «Наука», 1975.
В книге последовательно излагаются основные
понятия и факты теории меры и интеграла в гиль-
гильбертовом пространстве, в том числе и такие, кото-
которые раньше излагались лишь в теории случайных
процессов.
К важнейшим вопросам, рассмотренным в книге,
относятся такие, как построение ортогональных сис-
систем функций, абсолютная непрерывность мер и вычи-
вычисление плотности одной меры относительно другой,
теория квазиинварнантных мер, преобразование мер
при преобразовании пространства, поверхностные
интегралы и формула Грина в гильбертовом про-
пространстве.
Значительная часть материала книги публикует-
публикуется впервые.
В примечаниях, пометенных в конце книги,
1'дгл;пк1 попытка огпотить роль рлзличных анторов
н р.ч.чрлГютке тех или иных шшросон.
Книги полсти студентам стирших курсов, аспи-
аспирантам it научным рнгкииикпм.
t
20203—141 (@ Гллиная редакция
•"-"" —~ 60-75 физико-математической литературы
053@2)-75 изд-na сНаука», 1975.
9 у Ч
\

(ГЛАВЛЕНИЕ
редисловие 5
ведение 7
лава I. Определение меры в гильбертовом пространстве 10
§ 1. Измеримое гильбертово пространство 10
§ 2. Слабые распределения 13
§ 3. Характеристический функционал. Моментные функ-
функционалы 23
§ 4. Теорема Минлоса—Сазонова 28
§ 5. Гауссовы меры 31
§ 6. Обобщенные меры в гильбертовом пространстве . . 38
лава 11. Измеримые функции на гильбертовом простран-
пространстве ¦ 42
§ 7. Измеримые линейные функционалы 42
§ 8. Измеримые линейные операторы 48
§ 9. Измеримые полиномиальные функции 53
§ 10. Квадратично интегрируемые полиномы fi2
§ 11. Ортогональные системы полиномов 69
§ 12. Полипомы, ортогональные с некоторым весом ... 71
лава III. Абсолютная непрерывность мер 80
§ 13. Теорема Радона—Никодима. Условные меры ... 80
§ 14. Мартингалы и полумартннгалы 88
§ 15. Общие условия абсолютной непрерьшности .... 97
§ 16. Абсолютная непрерывность продакт-мер 107
§ 17. Абсолютная непрерывность гауссовых мер 117
§ 18. Абсолютная непрерывность смешанных мер .... 130
лава IV. Допустимые сдвиги и квазиинвариантные меры 139
§ 19. Допустимые едниги меры 139
§ 20. Допустимые напраиления 150
§ 21. Дифференцирование меры по направлению 155
§ 22. Одно условие допустимости сдвига 165
§ 23. Квазиинвариантпые меры 174
1* 3

Глава V. Некоторые вопросы анализа в гильбертовом про-
пространстве 188
§ 24. Формула замены переменной и абсолютная непре-
непрерывность 188
§ 25. Линейные преобразования 193
§ 26. Абсолютная непрерывность мер при нелинейных пре-
преобразованиях 203
§ 27. Интегралы по поверхности 209
§ 28. Формула Гаусса 218
Примечания 225
Литература 229

ПРЕДИСЛОВИЕ
Интегрирование в функциональных пространствах
возникло в теории вероятностей при построении общей
теории случайных процессов. Здесь несомненна заслуга
Н. Винера, построившего меру в функциональном
пространстве, интеграл по которой давал средние зна-
значения для функционалов от траекторий броуновского
движения, рассматриваемого ранее лишь на «физиче-
«физическом» уровне строгости. А. Н. Колмогоров обобщил
построение Н. Винера таким образом, что удалось
установить существование меры, соответствующей лю-
любому случайному процессу. Этими работами было поло-
положено начало бурному развитию теории случайных
процессов. Значительная часть этой теории — решение
на специфическом языке задач теории меры в функ-
функциональных пространствах. Так, задача о свойствах
выборочных функций есть задача о существовании меры
на том или ином пространстве, задачи статистики при-
приводят к необходимости вычисления плотности одной
меры относительно другой, изучение преобразований
случайных процессов сводится к изучению преобразо-
преобразований функциональных пространств с мерой.
Другое направление, приведшее к изучению инте-
интегралов Бифункциональных пространствах,— теория диф-
дифференциальных уравнений и ее приложения. А. Н. Кол-
Колмогоровым давно была указана связь между решениями
параболических дифференциальных уравнений второго
порядка и средними от некоторых случайных процессов
(т. е. интегралами по мерам в функциональных прост-
пространствах). Существенное продвижение здесь получено
М. Кацем, который записал с помощью интеграла по
мере Винера решение уравнения u't^u^+vu. Одна-
Однако наиболее значительным шагом в этом направ-
направлении является создание Р. Фейнманом некоторого
«континуального» интеграла (интеграла Фейнмана),
положенного им в основу построения квантовой меха-

ннки. В частности, с помощью этого интеграла можно
записывать решение уравнения Шредингера. Интеграл
Фейнмана отличался от интеграла Винера тем, что не
существовало счетно аддитивной меры, по которой бы
он брался, поэтому вопрос о существовании интеграла
Фейнмана весьма труден и до сих пор не решен. Мате-
Математические аспекты проблемы рассмотрены в обзорной
статье И. М. Гельфанда и А. М. Яглома [1]. В даль-
дальнейшем континуальные интегралы были использованы
для изучения эволюционных уравнений более высокого
порядка. К сожалению, оказалось, что таким уравне-
уравнениям соответствуют не меры в функциональном про-
пространстве, а квазимеры, т. е. знакопеременные конеч-
конечно аддитивные функции множества неограниченной
вариации. Наиболее глубокие результаты здесь полу-
получены Ю. Л. Далецким (см., например, его обзор [1]).
В предлагаемой книге рассматриваются только меры,
причем в качестве функционального пространства взято
сепарабельное гильбертово пространство. Это вызвано
тем обстоятельством, что, хотя для многих вопросов
гильбертовость пространства несущественна, есть ряд
важных задач, которые решены лишь для гильбертова
пространства. К ним, например, относится вопрос о
существовании меры. В то же время построения, про-
проводимые в гильбертовом пространстве, часто легко
обобщаются на довольно общие линейные пространства.
На это имеются указания в примечаниях, помещенных в
конце книги. В качестве некоторого оправдания того
факта, что рассматриваются лишь гильбертовы простран-
пространства, можно привести то соображение, что пока эти про-
пространства оказывались достаточными для приложений.
Автор ставил своей целью последовательно изложить
основные понятия и результаты теории меры и инте-
интеграла в гильбертовом пространстве, в том числе и те,
которые раньше излагались лишь в теории случайных
процессов. К важнейшим вопросам, рассмотренным в
книге, относятся такие, как 1) построение ортогональ-
ортогональных систем функций, 2) абсолютная непрерывность
мер и вычисление плотностей одной меры относительно
другой, 3) теория квазиинвариантных мер, 4) преобра-
преобразования мер при преобразовании пространства, 5) по-
поверхностные интегралы и формула Грина в гильберто-
гильбертовом пространстве.

ВВЕДЕНИЕ
Общая теория меры построена для произвольных
измеримых пространств, т. е. множеств с выделенной
сг-алгеброй измеримых подмножеств. Поэтому может
показаться, что в том^случае, когда измеримое про-
пространство является дополнительно линейным, а сг-ал-
гебра определенным образом связана с алгебраической
структурой пространства, никакой специальной теории
не нужно. Это действительно так, если ограничиться
конечномерным пространством с а-алгеброй борелевских
множеств. Конечно, и в этом случае возникают специ-
специфические задачи, связанные, например, с инвариантными
мерами, однако для их решения]особой теории не
нужно.
Ситуация принципиально меняется при переходе к
бесконечномерным пространствам. На многие естествен-
естественные вопросы здесь уже нельзя дать столь простые
ответы, как это имело место в конечномерном случае.
Укажем в качестве примера два таких вопроса.
Первый из них—как задать меру. В конечномерном
случае для задания меры достаточно задать ее на всех
параллелепипедах со сторонами, параллельными осям
координат, значения же меры на этих множествах
определяются некоторой функцией точки (функцией
распределения), причем всякой такой функции соответ-
соответствует мера. В бесконечномерном случае это не так:
не всякой функции распределения соответствует мера.
Вопрос о существовании меры решен далеко*не для
всех пространств.
Второй вопрос—условия абсолютной непрерывности
мер и вид плотности. В конечномерном случае он ре-
решается с. помощью дифференцирования функций рас-
распределения. В бесконечномерном случае даже для
конкретных мер решение этого вопроса далеко не три-
тривиально.

Гильбертово пространство является наиболее про-
простым и естественным обобщением конечномерного про-
пространства и уже в нем проявляются все трудности,
связанные с бесконечным числом измерений. В то же
время для этого пространства теория развита наиболее
полно, так что^уже возможно ее связное изложение,
которому и посвящена эта книга.
Перечислим кратко основные вопросы, которые рас-
рассмотрены в книге, а также укажем главные результаты.
Способам задания меры посвящена глава I. Здесь
определяются понятия конечномерных распределений,
слабого распределения, характеристического функцио-
функционала, доказана теорема Минлоса—Сазонова, дающая
необходимые и достаточные условия существования
меры с заданным слабым распределением (или харак-
характеристическим функционалом). В этой же главе опре-
определен важный (особенно для теории вероятностей) класс
гауссовых мер.
Во второй главе рассматриваются измеримые функ-
функции; особое внимание уделяется линейным и полино-
полиномиальным функциям. Следует отметить, что здесь также
сказывается специфика бесконечномерного пространства:
в конечномерном случае измеримые полиномиальные
функции будут обязательно непрерывными, в гильбер-
гильбертовом пространстве это не так. С помощью некоторой
процедуры |удается свести ^изучение полиномиаль-
полиномиальных функций к изучению линейных на некоторых
других пространствах. Рассматриваются также раз-
различные системы ортогональных по данной мере
функций.
В главе III изучаются общие вопросы абсолютной
непрерывности мер в гильбертовых пространствах. Для
этого здесь предварительно приводятся определение и
доказательство'существования условных мер, а также
теоремы о сходимости мартингалов и полумартинга-
полумартингалов. Общие условия применяются к продакт-мерам,
гауссовым мерам и смешанным мерам, т. е. мерам, по-
полученным из семейства мер, зависящих от параметра,
интегрированием по этому параметру. Отметим, что
вопросу абсолютной непрерывности и сингулярности
гауссовых мер посвящено очень большое число статей
как теоретико-вероятностного, так и прикладного ха-
характера.
8

В главе IV исследуются допустимые сдвиги меры,
т. е. сдвиги, переводящие ее в меру, абсолютно непре-
непрерывную относительно исходной. Изучается структура
множества допустимых сдвигов, находится условие до-
допустимости сдвига в терминах производной от меры по
направлению. Особенностью бесконечномерного прост-
пространства является отсутствие меры Лебега (инвариант-
(инвариантной относительно сдвигов) и даже меры, для которой
допустимы все сдвиги. Поэтому интерес представляют
меры, у которых достаточно богатое множество допу-
допустимых сдвигов, например, линейное множество, плот-
плотное во всем пространстве. Такие меры называются
квазиинвариантными. Приведено их полное описание.
Наконец, в главе V на бесконечномерный случай
обобщаются некоторые формулы классического анализа.
Во-первых, это формула замены переменных в инте-
интеграле. Для того случая, когда интеграл берется по
гауссовой мере, этот вопрос весьма оживленно обсуж-
обсуждается уже более 20 лет в теоретико-вероятностной
литературе. Другой вопрос относится к построению
поверхностного интеграла, связанного с мерой, которая
на поверхности не сосредоточена (точно такая же си-
ситуация имеет место при построении лебеговой площади
поверхности, исходя из лебегового объема). Для по-
построенного таким образом поверхностного интеграла
получено обобщение формулы Гаусса.
От читателя требуется знание основных сведений
как теории гильбертовых пространств, так и теории
меры и интеграла; об этом говорит само название книги.
Имеется множество руководств но этим вопросам, но
мы не будем делать каких-либо рекомендаций. По-ви-
По-видимому, любые из них будут достаточно хороши, так
как автор старался свести использование не приведен-
приведенных в книге определений и недоказываемых теорем к
минимуму.
Обозначения в книге более или менее общеприняты
и в пояснениях не нуждаются.
Ссылки на литературу в тексте, как правило, от-
отсутствуют и собраны в примечаниях в конце книги.

Г л а в"м. 1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МЕРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ
ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Измеримое гильбертово пространство
Пусть X—вещественное сепарабельное гильбертово
пространство; элементы его будем обозначать х, у, г
и т. д. Вещественные числа будем обозначать строч-
строчными греческими буквами, ах, х-\-у и (х, у) обозна-
обозначают, как обычно, операции умножения вектора (эле-
(элемента X) на число, сложение векторов и их скаляр-
скалярное произведение. Норму вектора будем обозначать
|х| = |/"(л;, х). Подмножества X будем обозначать про-
прописными латинскими буквами, а классы подмножеств —
прописными готическими буквами.
Класс множеств Щ, в котором допустимы операции
разности множеств, их объединения и пересечения,
называется кольцом множеств. Кольцо множеств Ш.,
содержащее X как элемент, называется алгеброй. Ал-
Алгебра множеств, в которой операция объединения мо-
может применяться счетное число раз, называется а-ал-
геброй.
В дальнейшем всегда буквой 3J будет обозначаться
сг-алгебра борелевских множеств из X, т. е. минималь-
минимальная сг-алгебра подмножеств X, содержащая все откры-
открытые множества (в силу сепарабельности пространства
для этого достаточно, чтобы 33 была минимальной
сг-алгеброй, содержащей все сферы).
Измеримое пространство (X, 33), т. е. множество
X с сг-алгеброй измеримых множеств 33, называется
измеримым гильбертовым пространством.
Мы будем изучать конечные меры ц, определенные
на (X, 33). При этом часто будет удобно предполагать,
что мера \и нормирована, т. е. |а(Х) = 1.
Основная цель этой главы предложить некоторый
способ построения мер на (X, 33). Этот способ, по
10
I

существу, эквивалентен методу Лебега построения меры
на прямой: сначала мера строится на некотором классе
элементарных множеств, а затем продолжается на ми-
минимальную сг-алгебру, содержащую эти множества, и
пополняется. Последнюю операцию (пополнение) мы
производить не будем, так как нужна мера лишь на 33.
Укажем некоторые классы «простых» множеств, на
которых будут задаваться значения меры. Пусть L —
конечномерное подпространство пространства X, PL —
оператор ортогонального проектирования на L, А—
борелевское множество из L. Множество вида
\х: PLx? A\ называется цилиндрическим, а множество А
называется его основанием (говорят еще, что это цилинд-
цилиндрическое множество с основанием в L).
Класс всех цилиндрических миожеств с основаниями
в L является, очевидно, сг-алгеброй; мы ее будем обо-
обозначать 93Д, причем 83? с: 93. Объединение всех а-ал-
гебр S31- является алгеброй. Действительно, если Ах и
А2 принадлежат 33L< и 33L«, то, выбирая Ь = ^Ь
(сумма подпространств), будем иметь
Обозначим эту алгебру множеств 93О. Она называется
алгеброй цилиндрических множеств.
Множества из 93О и рассматривают в качестве «эле-
«элементарных» при задании меры на (X, 33).
Чтобы убедиться в том, что значение меры на 33О
однозначно определит ее на S3, нужно показать, что
а-замыкание 93 0 содержит 93 (т. е. 93 — наименьшая
ст-алгебра, содержащая 33О).
Докажем это. Отметим сначала, что алгебра 33О
содержит еще слишком много множеств (слишком много
конечномерных подпространств у X). Оказывается, что
для задания меры достаточно иметь некоторую цепочку
возрастающих подпространств Ln с LnM, такую, чтобы
U Ln было плотным в X. Тогда U 33L"=33o будет так-
п п
же алгеброй множеств. Так как 33^ сг 33О, то из того,
что а-замыкание 33^ совпадает с 93, будет вытекать и
совпадение сг-замыкания 33О с 93.
Докажем первое утверждение. Для этого достаточно
показать, что а-замыканию S3J, принадлежит любая
11

замкнутая сфера S из X, так как открытая сфера пред-
ставима в виде счетной суммы возрастающих замкну-
замкнутых сфер. Пусть S = {x:\x—а|<!р}. Обозначим Рп
оператор проектирования на Ln и положим
Множество Sn принадлежит 2^». и Sn r> S. Покажем,
что
s=nsn.
л
Действительно, если y?S, то \у—a| = p-f-S, б > О,
lim Pn(y—a) = y—a
(в смысле сходимости в X). Поэтому \Р„(у—а)|—>
—*\у—а\, и, значит, для достаточно больших п
Соотношение A) доказано.
Удобство алгебры 9$'о в том, что она является объ-
объединением счетного числа сг-алгебр вида S9?. Заметим
теперь, что множества из алгебры 35х полностью опре-
определяются борелевскими множествами из конечномер-
конечномерного эвклидова пространства L (таким будет L, если
его рассматривать само по себе, а не как подпрост-
подпространство X). Если L—гг-мерное пространство, {ek;
k=\, ..., п\—ортонормированный базис в L и
* = 2?*в*—разложение любого x?L по этому базису,
то конечные суммы множеств вида
\x:ak<lk<:§k; /г = 1, .... л; оо <aft < Pft< оо}
(эти множества называются прямоугольниками) обра-
образуют алгебру подмножеств' L, сг-замыкание которой
совпадает с а-алгеброй 33Л борелевских множеств из L.
Таким же свойством будет обладать алгебра Ш1г порож-
порожденная прямоугольниками с рациональными ak и рА.
Пусть §IZ—алгебра цилиндрических множеств с осно-
основаниями тиз %L. Тогда сг-замыкание Ш совпадает <ЯЪ1.
Следовательно, для возрастающей последовательности
подпространств Ln, для которой U Ln плотно в X, ал-
п
гебра Wo= U 2CLn (мы предполагаем, что базисы в Ln
п
12
I

'ыбраны согласованным образом, т. е. базис в Ln+i
юлучается из базиса в Ln добавлением базиса из орто-
¦онального дополнения к Ln в Ln+1; в этом случае 9Ц
(ействительно будет алгеброй множеств, так как
KLn с §IL«+1) такова, что ее cr-замыкание содержит 33.
<.аждая из алгебр Ш1" содержит лишь счетное число
лножеств; значит, и Щ*о содержит счетное число мно-
кеств. Напомним, что сг-алгебра, полученная ст-замы-
санием счетной алгебры множеств, называется сепара-
дельной. Тем самым мы установили, что а-алгебра 33
:епарабельна.
На алгебрах 33„ и Wo легче задавать меры, поскольку
эни содержат меньше элементарных множеств. Однако
эни зависят от определенного набора конечномерных
подпространств (вторая—даже от базисов в этих под-
подпространствах). Таким образом, определение мер через
меры на этих алгебрах носит неинвариантный харак-
характер. Поэтому в тех случаях, когда нужно описывать
инвариантные свойства мер, мы будем использовать
алгебру 33О.
§ 2. Слабые распределения
Пусть ц—некоторая нормированная мера на (X, 33).
Для каждого конечномерного подпространства L про-
пространства X можно рассмотреть сужение этой меры
на S81. Определим меру ц; на ст-алгебре 33Х борелев-
ских множеств из L следующим образом:
где PL—оператор проектирования на подпространство L.
То, что \iL является мерой, вытекает из того, что для
последовательности непересекающихся множеств Ап из
33? будут непересекающимися и множества Pi1 (An) и
i=U РЕ1 {Ая)
п
(здесь РЕ1 (А) — прообраз множества А относительно
операции проектирования PL, т. е. Ре1 (А) = {х: PLx ? А}).
Мера \iL называется проекцией меры \i на подпростран-
подпространство L.
Таким образом, со всякой мерой \i можно связать
множество ее проекций {\iL\ на конечномерные под-
13

пространства X. Очевидно, зная ц^, можно определить
ц на ЗЗ1. Поэтому, зная jii(t для последовательности
Ь„ линейных подпространств, такой, что Ln с Ln+1 и
/Ы Ln плотно в X, мы можем определить ц на uS3Lf>>
в п
а поскольку а-замыкание этой алгебры совпадает с 93,
тем самым определим ц на S3. Значит, зная \[iL\ или
{\iLn}, где Ln—указанная последовательность подпро-
подпространств, мы однозначно восстанавливаем меру.
Проекции данной меры на конечномерные подпро-
подпространства называются конечномерными распределениями
этой меры.
Меры (iin, являющиеся проекциями одной и той же
меры, согласованы определенным образом при разных п.
Это условие согласованности связано с тем, что для
цилиндрического множества основание выбирается не-
неоднозначно. Пусть /п с L2 и A ?33t. Тогда множество
р-^ (А) можно еще записать как Р (Л2), где А2 ? S3l,
определяется равенством Аг—{х\ х €L2, PLlx?A\. Так
как Р1!(А)^Р[%г(А2), то
jiL, (А) = ц (PZ? (А)) .= fi (РГ,1 (Л2)) = (х,, (А,).
Так как А^ — Р*1 (А) П ^2, то условие согласованности
можно записать в таком виде: для всех Lxa L2 и
<4<=S3Ll
^.(^^HL.tftVHJnZ-,). A)
Семейство мер {ц^}, определенных для всех конечно-
конечномерных подпространств L и удовлетворяющих условию
согласованности A), называется слабым распределением.
Если Ln—последовательность подпространств, Ln с
с ^в+п U ^-« плотно в X, то последовательность мер
(iin на 337„, удовлетворяющих условию согласованности
называется последовательностью конечномерных распре-
распределений.
Из сказанного выше вытекает, что каждой мере на
(Х,Щ соответствует некоторое слабое распределение,
причем различным мерам соответствуют различные сла-
слабые распределения, Вопрос о задании меры с помощью
14

:лабых распределений теперь решался бы совершенно
1росто, если бы каждому слабому распределению соот-
*етствовала некоторая мера на (X, 33). К сожалению,
>то не так. Сейчас мы приведем условия, которым
должно удовлетворять слабое распределение, для того
ггобы ему соогветствовала некоторая мера.
Лемма 1. Обозначим Sp сферу радиуса p:Sp —
= {х: |х|^р}. Слабое распределение {\iL\ будет порож-
порождено некоторой мерой ц на (X, 23) тогда и только
погда, когда для всякого г > О существует такое ц > О,
лто для всех L
М5рП1)>1 —е,
гели только р > г).
Доказательство. Необходимость. Если
il порождено мерой ft, то, выбирая ц так, чтобы
(Sn) > 1—е (это возможно, поскольку lim |A(Sn) —
=1), будем иметь
П L) = |i (Pi1 (Sp fU)) > |i (Sp) > it (S^ > 1 — e.
Сложнее доказывается достаточность. Определим на
алгебре 33О— U 33х- конечно аддитивную функцию ц
с помощью соотношения \i(A) = [iL(A), A e 23х-. Чтобы
убедиться в том, что ц можно продолжить до меры,
определенной на (X, $В), достаточно показать, что [i
непрерывна на 23О, т. е. что для всякой последователь-
последовательности множеств Ап€%$0, такой, что Ап э Ап+1 и
q Л„ = 0 @—символ пустого множества)
п
lim ц,(Л„) = О. B)
д -> со
Пусть Ап—цилиндрическое множество с основанием
в L, и Ln с Ln + l. Обозначим Вп, Вп с: Ln, основание
множества Ап. Заметим, что для доказательства соот-
соотношения B) достаточно установить его лишь для мно-
множеств с замкнутыми основаниями. Действительно, вы-
выбирая замкнутые множества С„ с Вп так, чтобы
1^1п(Вп—Сп) < е„, а затем полагая
n
15

получим замкнутые множества, для которых
т—1 т — \
Поэтому, если A'n^Pr1 (Dn), то А'мх а А'п, П А'п= П Л„
п
п
и fx (Л„)^[х(Л^)-{- 2 8т- Если для цилиндрических
т =1
множеств с замкнутыми основаниями Iim ji (A'n) = О,
Л->-оэ
ОС
то, поскольку 2 8п можно взять как угодно малой,
т = 1
B) также выполнено. Таким образом, сразу будем
предполагать, что Вп—замкнутые множества. Тогда Ап
СЛ»
будут слабо замкнутыми множествами (если хк—>-х и
xk?An, то х?Аа).
Для всех р множество Sp также является слабо замк-
замкнутым и слабо компактным. Так как Spn П Ап \ — 0,
то П [SpП Ап]= 0 и, поскольку множества 5РЛЛП
п=г
слабо замкнуты и слабо компактны и Sp Л Ап з Sp Л Л„+1,
то SpD^n=0 при некотором гг. Значит,
И (^«) = ^i» И») < !^1„ (^»)-|*i« (LB П Sp) < е,
если только р > ц (т) и е фигурируют в условии леммы).
В силу произвольности е > 0 получаем B).
Замечание. Цусть Ln—последовательность ко-
конечномерных подпространств, такая, что LncLn+1 и
U Ln плотно в X, и р,1п—последовательность конечно-
конечномерных распределений. Эта последовательность поро-
порождается некоторой мерой тогда и только тогда, когда
для всякого е > 0 существует такое т] > 0, что для
всех п
если только р > г). Доказательство этого факта совер-
совершенно аналогично доказательству леммы 1.
Любопытно отметить, что некоторые классы функ-
функций можно интегрировать и по слабому распределению.
16

К таким функциям, например, относятся цилиндриче-
цилиндрические функции: функция <р(х) называется цилиндрической,
если при некотором конечномерном подпространстве L
она ЭЗх-измерима. Другими словами, всякая цилиндри-
цилиндрическая функция ф (х) имеет вид
Ф(*) = Фл(ВД, C)
где ф?—некоторая ^-измеримая функция, определен-
определенная на!—некотором конечномерном подпространствеX.
Для всякой неотрицательной цилиндрической функ-
функции ф (х) определим интеграл по слабому распределе-
распределению {\iL\, которое, в отличие от меры, будем обозна-
обозначать fi«:
где ф^ взято из представления C).
Поскольку представление C) неоднозначно, нужно
убедиться, что Г <pL (х) pL (dx) не зависит от выбора L.
Пусть LtczL2 и
Ф (*) = фх,, (PLX) = (pLi (PLX).
Тогда при x?.L2
Значит,
J ф?а(х) Hi,(dx) = J <fLl (PLx) н-t(dx) =
= S Фх, (У) ^x, (^C (dy)) = J ф1| (х) ixjr, (dx)
в силу условий согласованности. Значит, левая часть
в D) определяется однозначно.
Обозначим ^+ множество неотрицательных 93-изме-
римых функций и #+ — множество неотрицательных
цилиндрических функций. Через 53+ обозначим те
функции ф€^3+1 для которых ф(х) = Пт ^„(х), где
Если ф€^+, то полагаем
С Ф (х) |i« (dx) = inl С ip (х) щ (dx).
/17

Очевидно, что для
Ф1 (х) ц* (dx) + J Фг (х) ц, (Же). E)
Можно указать некоторые классы функций, для кото-
которых в E) всегда имеет место равенство. Одним из них
будет класс цилиндрических неотрицательных функций,
другим—класс функций, представимых суммами равно-
равномерно сходящихся рядов из неотрицательных цилин-
цилиндрических функций.
Пусть Х+ — некоторый класс функций из 33+, такой,
что: а) если ^ и ф2€9?+, то и Фх + Фг€9(?+; б) если
Фх и ф2€9(?+1 то в E) имеет место равенство. Если
9С—множество функций вида фх—ф3, где <plt ?
то можем определить
— 5 Ф2 (х) К* (dx) F)
= 5 Ф1W ^
(если хотя бы один из интегралов в правой части ко-
конечен). Из условия б) вытекает, что такое определение
однозначно. Множество ЭСт всегда можно предполагать
конусом (т. е. обладающим свойством: вместе с ср этому
множеству принадлежит и ^.ф для X > 0). Тогда 5^ бу-
будет линейным многообразием функций.
Рассмотрим всевозможные конусы Si, удовлетво-
удовлетворяющие условиям а) и б). Конус назовем максимальным,
если он не содержится ни в каком другом. Каждый
конус содержится в некотором максимальном. Пересе-
Пересечение всех максимальных конусов обозначим 33%. Оно
не пусто, так как содержит конус неотрицательных
цилиндрических функций.
Функции из 33% назовем интегрируемыми по слабому
распределению ц+.
Опишем класс 33%. Какова бы ни была функция
^€^+» множество 3^+ = {ф: Ф = ^'ф + ф1, Х^О, <pj ?%+}
будет конусом, удовлетворяющим условиям а) и б) и
содержащим \|з. Поэтому каждая функция г|>€53+
принадлежит некоторому конусу. Значит, для всякой
18

функции \|з?й+ и ф?53+ имеет место равенство
+ Ф(*)) И. (<**) =
- $ Ч> (х) ц* (dx) + J ф (х) ц. (dx). G)
Легко проверить обратное: если ср для всех \|> ? 53+
удовлетворяет условию G), то ф?53+. Тем самым
класс 53+ полностью охарактеризован.
Заметим, что в том случае, когда слабое распреде-
распределение ц« порождено мерой ц, то на 53+ и 53+
J Ф (х) |i (dx) = J ф (х) (xs
Этот факт можно использовать для построения примера
слабого распределения, не имеющего соответствующей
меры.
Пример. Обозначим mL(dx) лебегову меру на под-
подпространстве L, и пусть aL = Bri)~n, где In—размер-
In—размерность L. Положим
|iL (A) = aL J ехр | — 1 (х,
Условия согласованности вытекают из соотношения
aL J ехр | — у (х, х) I mx (dx) = 1,
так как если L.i — L1-{-L, где L ортогонально Ь1У то
exp<j — l(x, x
J exp | — 1 (x, x) | тА (dx) x
A
x 1exp {~ t (jf'

Заметим, что для цилиндрической функции <fL(x)~
{—?(PLx, PLx)\
= ох|ехр{-1A+2е)(д:( x)}mL(dx) =
= aL A + 2e)-« j exp {-1 (x, x) j- mL (dx) = A + 2e)-«,
где 2тг—размерность пространства L.
Пусть Ln—любая возрастающая последовательность
подпространств, такая, что размерность Ln равна п
и \}Ln плотно в X. Пусть при некотором е>»0
Ф„(*) = ехр{— в(Р„дс, Рпх)\,
где Р„—оператор проектирования на Ln. Тогда
Поскольку ф„(х)|ф(я), где ф(^) = ехр{—ъ(х, х)\,
и для всякой цилиндрической функции ф (#) = фу. (/*?#),
такой, что 1|)(^)^ф(х), будет выполнено и неравенство
()ф„(х), если только Lnr>L, то
Если бы существовала мера ц, для которой {ц-?„[ было
последовательностью конечномерных распределений, то
тогда бы
Последнее равенство невозможно, так как ф—всюду
положительная функция.
Дадим еще одно условие существования меры с за-
заданными конечномерными распределениями, иллюстра-
иллюстрацией которого служит построеннный пример.
Лемма 2. Дляупого чтобы слабое распределение
{\x.L) порождалось некоторой мерой ц на (X, 33), необхо~
димо и достаточно, чтобы
lim С ехр {— е (х, х)\ ц« {dx) = 1. (8)
20

Доказательство. В рассмотренном выше при-
примере показано, что функция ехр{—г(х, х)} принадле-
принадлежит 53+. Поэтому интеграл Сехр{—е(х, x)\\i9(dx)
имеет смысл и совпадает с С ехр {— е (х, х)\ ц (dx), если
слабое распределение ji* порождено мерой \i. Так как
Hm J ехр {- е {х, х)\ р (dx) = J jx (d*) = ц (X) = 1,
го отсюда вытекает необходимость условия (8).
Пусть теперь условие (8) выполнено. Тогда для
всякого б > 0 можно указать такое е > 0, что
Jexpf— e(x, x)}p*(dx)> 1 — б.
Поэтому для любого конечномерного подпространства L
1-6 < Jexp{—e(PL*. PLx)\p.(dx) =
= Г ехр(е(*, *)}ja?(dx)< \ \iL(dx) +
т. е.
!*?(SpfU)>l—8(l-e-«P*).
Выбирая сначала б, а затем т) = е~1/2, убеждаемся,
что при р > т)
Остается воспользоваться леммой 1.
Отметим одно важное свойство меры в гильбертовом
пространстве.
Теорема 1. Для всякой конечной меры \х.на(Х, 33)
и для всякого г > 0 существует такой компакт Ке<=Х,
что ц (X—Кг) < е.
Доказательство. Обозначим N некоторое счет-
счетное всюду плотное в*Х множество, и пусть Sp(x) —
сфера с центром в точке х радиуса р. Так как при
всех р
Х= U..Sp(x),
21

то для всяких р и т] можно ук&аать такой конечный
набор точек xlt ..., х„ ? /V, Что
-Д$р(**))<т,-
Пусть xlt ..., xtn—такие точки из N, что
Обозначим Dn замыкание множества и Si./n (¦**). Тогда
со
П Dn = D—замкнутое множество, и
л=1
п~\ п=\
Наконец заметим, что D является компактом, так как
при — < Ь точки xlt ..., xtn образуют б-сеть в Dn,
а значит, и в D.
Следствие. Для всякого ^-измеримого множе-
множества В можно указать такой компакт К а В, что
р(В—К)<г.
Из теоремы 1 вытекает, что это утверждение спра-
справедливо для всех замкнутых множеств В. Покажем,
что для всякого измеримого множества В и всякого
е > 0 можно указать такое замкнутое множество F,
что FczB и ц(В—F)<e.
Пусть 31—класс таких множеств. Очевидно, что 31
вместе с любыми множествами Blt ..., Вп, ... содер-
X СО
жит и Вп и П Вп\ кроме того, 31 содержит все замк-
нутые и открытые множества. Таким образом, 31 содер-
содержит алгебру Sfo> порожденную замкнутыми и откры-
открытыми множествами и, кроме того, 31 является моно-
тонным^классом. Отсюда вытекает, что 31 совпадает с S3.
22

I 3. Характеристический функционал.
Моментные функционалы
Пусть на (X, 23) задана нормированная мера \и.
Комплекснозначная функция ехр{/(г, х)} (г—фикси-
(г—фиксировано) ограничена и ЗЭ-измерима. Поэтому для всех
X определен интеграл
6(z)=Jexp{i(z, x)}p(dx). A)
Функция 6(z), определенная на X, удовлетворяет сле-
следующим условиям: 1) 6@)= 1; 2) 6(z) непрерывна
(лаже слабо непрерывна) по г; 3) она положительно
определена, т. е. для любого набора гх, ..., zN
для всех комплексных ах, ...,aN. Последнее вытекает
из равенства
N
_
i, nSl
S «ftexp{iBft> x)}
К — \
Функция G(z) называется характеристическим
функционалом меры ц.
Она замечательна тем, что однозначно определяет
эту меру. Чтобы убедиться в этом, заметим, что при
г (Е L, где L—некоторое конечномерное подпростран-
подпространство X, имеет место равенство
Jexp{i(Z, x)}
^zf x)}\iL{dx).
Таким образом, рассматривая 0 (г) лишь при г 6 L, мы
получим характеристическую функцию (преобразование
Фурье) меры \ll, которая однозначно определяется
еиоим преобразованием Фурье. Значит, характеристи-
характеристический функционал меры определяет все конечномерные
распределения {iiL\, которые в свою очередь опреде-
определяют меру.
Заметим, что для определения 0(г) достаточно знать
\iL лишь для одномерных L. Действительно, пусть
23

Lz—одномерное подпространство, натянутое на вектор г.
Тогда
J exp {i (z, х)} ц (dx) = J exp {i (г, Р1гх)\ ц (dx) =
- J exp {i (г, х)} ц1г (dx).
Поэтому мера jx определяется своими одномерными рас-
распределениями (т. е. своими проекциями на одномерные
подпространства).
Пусть теперь задана функция 0(z), удовлетворяю-
удовлетворяющая условиям 1)—3). Тогда на каждом^конечномерном
подпространстве L эта функция будет положительно
определенной и непрерывной. Следовательно, в силу
теоремы Бохнера 0 (г) при z ?L представима в виде
B)
где \jll—некоторая мера на (L, 33J, такая, что \x.L(L)=
=9 @) = 1 в силу условия 1).
Покажем, что меры \t,Li и \aLj при LxaL% согласо-
согласованы. Для этого достаточно показать, что для всякой
непрерывной ограниченной функции ф (х) на Lx
\ ф (ВД *и (dx) - S ф W |*л, (Л*). C)
Пусть сначала ф2(х) = ехр{1(г, х)}, г, xgLx. Тогда
exp {i (г, PLx)\ ц1а(dx) = J exp{»(г, х)} ц^а(dx) =
= G (г) = J exp {i (г, х)} nZt (dx).
Значит, для Фг(х) выполнено равенство B). Остается
заметить, что можно построить последовательность
N
линейных комбинаций вида 2 а*Фгь (х)> так» чтобы
они были ограничены в совокупности и всюду сходи-
сходились к ф(х).
Итак, каждому функционалу 9 (г), удовлетворяю-
удовлетворяющему условиям 1)—3), соответствует согласованное
семейство конечномерных распределений {р.^}, такое,
что выполняется соотношение B).'^Другими словами,
24

клждому такому функционалу соответствует слабое рас-
распределение.
Поскольку функция ехр{?(г, х)\ является цилинд-
цилиндрической, для всякого слабого распределения \it мож-
можно определить функционал 0 (г) = С exp {i (z, х)\ ц* (dx).
Этот функционал будем называть характеристическим
функционалом слабого распределения ц*.
Он удовлетворяет условиям 1) и 3), а вместо усло-
ния 2) для него выполняется следующее: 2') Э(г) не-
непрерывно по г в каждом конечномерном подпростран-
подпространстве L ? X (т. е. непрерывным является ограничение
О (г) на это подпространство).
Характеристические функционалы мер и слабых
распределений удобны для задания согласованных се-
семейств конечномерных распределений. Конечно, не
исякому функционалу, удовлетворяющему условиям
1)—3), соответствует мера. Дополнительные условия,
которые нужно наложить на функционалы, чтобы это
было так, будут указаны в следующем параграфе. Там
же будут приведены примеры, показывающие, что усло-
иий 1)—3) недостаточно для существования соответст-
иующей меры.
Рассмотрим теперь некоторые другие характеристики
меры. Предположим, что для всех ги ..., zN?X су-
существует интеграл
zlt х)...(zN, x) \i(dx) = aN(zlt ..., г^).
Тогда oN(z, ...,гдг) называется моментной функцией
порядка N меры ц.
РЛегко видеть, что моментная функция—симметрич-
функция—симметричная и аддиативная однородная функция по каждому
аргументу:
= V;v (z'i zn) + K<*N (zi> • • •» zn) D)
(в силу симметрии отсюда вытекает аддитивность и
однородность и по остальным аргументам).
ТГеорема 1. Если для меры (г определена момент-
моментная функция N-го порядка, то она является ограничен-
ограниченной N -линейной формой.
Доказательство. Из формулы D) и симметрич-
симметричности oN{zt, ..., zN) вытекает, что для доказательства
25

теоремы достаточно установить ограниченность tf#, т. е.
существование такой постоянной а^, что
\aN{zx, ...,zN)\^aN\z1\...\zN\. E)
Для выполнения E) необходимо и достаточно, чтобы
sup $ |(г,*)|"|* (<**)< °°. F)
г|<| J
Положим ak (z)=(\ ^', *'Л ii(dx) j N . При любом k
функции ak (г) неотрицательны, полуаддитивны:
aft (г2)
(в силу неравенства Минковского) и однородны:
Поэтому функция
являющаяся пределом монотонно возрастающей после-
последовательности ак (г), будет непрерывной снизу и вы-
выпуклой. Следовательно, по теореме [И. М. Гельфанда
(см., например, Л. В. Канторович [и Г. П. Акилов
«Функциональный анализ в нормированных простран-
пространствах», М., Физматгиз, 1959, стр. 233) существует та-
такая постоянная М, что а(г)^М|г|. Отсюда и сле-
следует F).
Моментные функции могут быть выражены чере:
характеристический функционал. Пусть для функцио
нала 9(z), определенного на X,
обозначает N-ю слабую производную (она являете
W-линейной формой по гу, ..., г^). Тогда, если 0(г)-
характеристический функционал меры \а и существу!
Л/-я моментная функция aN, то
26

получить (8), нужно к A) применить фор-
формулу G).
В том случае, когда N четно, из существования N-u
шшбой производной у G (г) вытекает существование aN,
И снова имеет место формула (8). В этом легко убе-
ДПП.СЯ, исходя из A) и подсчитывая 9'v@; г1( ...,zN).
Мри этом удобно воспользоваться индукцией по N и
тем, что дважды дифференцируемой функции вещест-
вещественного параметра а (X)
а"@) = 11т~[а(^) + а(—к)—2а @)].
Наиболее широкое применение имеют первые две
Момептные функции.
Если at (г) определена, то она является линейным
функционалом на X и, следовательно, существует та-
Иой иектор а, что а1(г) = (а, г). Этот вектор а назы-
миетси средним значением меры ц. Таким образом, для
среднего значения а для всех z?X справедливо соот-
соотношение
(а, г)=$(х, z)n(dx). (9)
вторая моментная функция cr2(z1,22) является би-
билинейным функционалом. Поэтому существует такой
(м рмииченный симметричный линейный оператор Ах на
Л, что a3(zu г2) = (Л1г1, г2). Ьтот оператор называется
ьчтцшационным оператором меры \х. Он определяется
и i соотношения
(А&, г2) = $(х, гг) (х, г2) ц (dx). A0)
Более употребителен корреляционный оператор,
определяемый равенством
) = <т8 (г^ г2)—ах (гх) аг (г2) =
A1)
Легко видеть, что и ковариационный и корреля-
корреляционный операторы неотрицательны.
Нам понадобится в дальнейшем следующее вспомо-
вспомогательное утверждение.
27

Лемма 1. Если мера ц такова, что
\ \x\2\jL](dx) < со,
то ковариационный оператор Аг является ядерным и
(Здесь Sp Ах обозначает след оператора; оператор назы-
называется ядерным, если он симметричен, неотрицателен
и имеет конечный след.)
Доказательство. Пусть {ек\—произвольный
ортонормированный базис в X. Тогда
ft=i
Переходя в этом равенстве к пределу при N—юо,
получаем доказательство леммы. '^^ ,
Поскольку для вычисления моментных функций
нужно интегрировать цилиндрические функции, то эти
функции могут быть определены и для слабого рас-
распределения, однако в этом случае уже нельзя гаран-
гарантировать, что они будут ограниченными полилинейными
функциями.
§ 4. Теорема Минлоса — Сазонова
Эта теорема дает необходимые и достаточные усло-
условия для того, чтобы функция 6 (г), определенная на X,
была характеристическим функционалом некоторой
меры на (X, Щ. Таким образом, она является обобще-
обобщением теоремы Бохнера о положительноопределенныя
функциях на гильбертово пространство.,^ ,.^^ Лчв.
Теорема 1. Для того чтобы комплекснозначнхи
непрерывная положительно определенная функция 6 (г)
определенная на X, была характеристическим функ
ционалом некоторой конечной меры на (X, S3), необхо
димо и достаточно, чтобы для всякого е > О можн
было указать такой ядерный оператор Se, чт
Re@@) — e(z))<e при Eвг, г)< 1.
Доказательство. Необходимость. Пуст
0(г)—характеристический функционал меры ц. Torj
28

для всех у
1<е(9@)-е(z)) = $ A-cos (г, *
UKv Ul>v
|i|<V
Так как \ | x |2 ц (dx) < oo, то ковариационный опе-
|*|«v
ратор Bv, определяемый соотношением
г,) = J (х, гх) (jc, га)
||
является ядерным в силу леммы 1 § 3. Пусть у выб-
выбрано так, что \i({x: \х\>у\) <-^ . Тогда
ReF@)—0(г)) <\+\ (Byz, z) < в,
1 8
если только у (Byz, г) < у . Значит, условие теоремы
выполняется, если 5е= — Bv (ядерность Se вытекает
из ядерности Ву). ,
Достаточность. Будем предполагать, что
0@)= 1. По 0(г) можно построить согласованное се-
семейство конечномерных распределений {ц./,}. Восполь-
Воспользуемся леммой 2 § 2. Для оценки [ e~e^x>x't\i!t(dx)
найдем удобное представление для [ e-e<x-xi[iL(dx).
Пусть mL—лебегова мера на L, nL—размерность L.
Тогда, представляя П/,-кратный интеграл в виде произ-
произведения однократных,, находим
б"" \ • ' = уд у Jt8j \ Q Wit. yClZ)»
Поэтому ' __ / ">¦''•
(г, г)
" is
.= B Vne)'4 J е"ТГ ()щ ()
29

Значит,
— - г (г- г)
BVm) ni\e 4? A—9(z))x
XmL(dz) = B |/ле) "? J e 4«= Re(l — 8(z))/nt(dz).
Пусть S6—такой ядерный оператор, что Re(l —
6 (?)) < б при (S8z, z)<\. Тогда
Re(l-0(z))<6-b2lSez,z),
1 — ^
где {eft[—базис в /.. Мы воспользовались тем, что для
любого ортонормированного базиса в L
{S&z, г) = 2 (S6ek, ej) (z, ек) (г, ej)
к I
2
к. I
"^~
B Уж)-пь J е"^~(г, ек) (г, еу) mL (dz) =
/ 1 при * = /,
;' \ 0 при кФ\.
Таким образом,
Переходя в последнем соотношении сначала к пре-
пределу при е|0, а затем при б|0, убеждаемся в том,
что условие леммы 2 § 2 выполнено. Значит, сущест-
существует мера ц, на (X, 33), для которой {\x.L\ будут конеч-
конечномерными распределениями. Поэтому характеристиче-
характеристическим функционалом этой меры будет G (г).
Замечание. Если 0 (z)—характеристический
функционал некоторой нормированной мерк, то тогда
можно указать такой ядерный оператор S, что
|0(zx)—в(а,)| —0 при (S^-z,), fo-z,)) — 0.
30

Действительно,
1-е'<*.-**.*>|
Re 0 (г,—
тик что достаточно установить существование такого
ядерного оператора S, что ReO(z)—> 1 при (Sz, z)—>-0.
Пусть ей 4 0 и 56ft—такие ядерные операторы, что
Re A—0 (z)) < гк при (SEkz, z) < 1. Выберем последова-
последовательность Xft > 0 так, чтобы 2^*SP SEk< oo. Тогда
оператор S = 2^-ft^?ft будет ядерным (ряд сходится по
Норме, так как spSejfc^|| SEft || )• Если (Sz, г) <Kk, то
E^7, г) < 1 и, значит, Re(l—0(z))<eA. Очевидно,
что сугцествование такого оператора S обеспечивает
для 0 (г) выполнение условий теоремы Минлоса—Сазо-
иоиа.
Пример. Пусть Э(г) = ехр{ —(Сг, г)}, где С— сим-
симметричный неотрицательный ограниченный оператор.
Коли 1—0(г)<е, то (Сг, г) <—logA—е). Если это
выполняется при (Sez, г) < 1, то
(Сг, z) <(Sez, z) log y±-u.
Таким образом, для 6 (г) выполняется условие теоремы
Минлоса—Сазонова лишь при условии, что оператор С
ядерный. В то же время 0(z) будет непрерывной поло-
положительно определенной функцией при всех симметрич-
симметричных неотрицательных ограниченных операторах С (по-
(положительная определенность 9 (г) вытекает из положи-
положительной определенности 9 (г) на конечномерных подпрост-
подпространствах X). Беря неядерные С, получаем примеры
непрерывных положительно определенных функций, не
ннляющихся характеристическими функционалами мер.
Г.оли взять С вполне непрерывным не ядерным, то 0 (г)
будет слабо непрерывным, но не будет характеристичес-.
ким функционалом меры.
§ 5. Гауссовы меры
Гауссовы меры в конечномерных пространствах
изучаются давно в связи с нуждами теории вероятно-
вероятностей. Этот класс мер, пожалуй, простейший, для кото-
31

рого возможно обобщение на гильбертово пространство
(как мы увидим позже, лебегова мера не может быть
обобщена на гильбертово пространство).
Гауссовой мерой в гильбертовом пространстве (X, Щ
называется мера ц, характеристический функционал
которой имеет вид
= exp{f(a, z)—±-(Лг,г)}, A)
где a?X, A—симметричный ограгшченный неотрица-
неотрицательный оператор на X.
Выражение A) действительно является характери-
характеристическим функционалом некоторой меры, если А —
ядерный оператор. Это вытекает из теоремы 1 § 4 и соот-
соотношения
1 —Re8(z) = l—expj —-^(Лг,
¦fexpj — ~{Az, z)|(l—cos(a.z))
и доказывается точно так же, как и в примере § 4.
Легко проверить, что
в'@,г) = »(а, г),
О"@, *i, z,) = -[(a, ZxKa, z2) + (Azlt г,)].
Поэтому вектор а является средним значением меры ц,
а оператор А—корреляционным оператором этой меры.
^'Из формулы A) вытекает, что все конечномерные
проекции fijr. гауссовой меры ц также будут гауссовыми
мерами в соответствующем подпространстве. Оказы-
Оказывается, можно указать*некоторый набор подпространств
L, проекции на которые полностью определяют
меру ц и на которых строение меры ц наиболее просто
Будем называть меру ц невырожденной, если опе^
ратор А строго положителен.
Рассмотрим сначала случай невырожденной меры
Так как оператор А ядерный, то он вполне непрерыве]
(заметим, что это свойство оператора А, входящего в A)
вытекает из слабой непрерывности 6(z)). Обозначь
через \ek\ полную ортонормированную систему собст
венных векторов оператора А, а через Xk—соответст
вующие им собственные значения. Пусть Ln—подпрос
32

рвнство, порожденное векторами {eit ..., е„\. Тогда для
п
1
9(z) =
Где aft = (a, eA). Исходя из равенства
НйХодим
— у (Л (ж—ал), х—а„)| mi;x (dx).
Мы заменили произведение интегралов одним, полагая
, mL
"
Где min опять обозначает меру Лебега на Ln. Значит,
ДЛЯ всякого борелевского множества В g 33in
B)
Пусть Dk)—подпространство, натянутое на ек. Тогда
•Нелогично B) находим, что
)-!/» Jexp-j—L(A~l{x—акек),[х
в
в
1 А Р. Скороход 33

Поскольку Ln = LA) x ... x LSn) (точнее, Ln можно
рассматривать как это произведение), то в силу форму-
п
лы B) И1„ = П Ил<*>-
Заметим, что само пространство X можно рассмат-
рассматривать как подмножество бесконечного декартова про-
ос
изведения Lx — Ц Dk\ В этом декартовом произведе-
00
нии можно рассмотреть меру Ц цлт. Пусть xk?Lw и
ft=i
(х1г xt, ...)—точки из Lx. По определению бесконеч-
00
ного произведения мер Ц \iLik) определяется на мно-
множествах С вида
(такие множества называются цилиндрическими мно-
множествами в Ьъ) равенством
*-l. л».
/ 00 \
Затем мера ( Ц [х^(й) j (С) распространяется на мини
мальную а-алгебру 33лж, содержащую все цилиндра
ческие множества из Ьх. С другой стороны, меру
также можно распространить на Ьх, полагая для во
кого измеримого множества цх,в(С) = ц (СпХ). П<
скольку на цилиндрических множествах из Ьх мер
||| И Их<*> и H-ioo совпадают, то они совпадают наЗЗлш, т.
IJI fc= 1
>j"'! M'i-o, — П (*?.'*>• ^° M'ioo» заданная на (L», 33?.ж), на сам<
;ij;; деле имеет своим носителем X, поскольку X, как лег
видеть, является измеримым относительно 33л :
00 СО
= и п с„,А,
»=14=1
34

•Л*1 (<a,k—цилиндрическое множество из Lx вида
1 (оятому меры цдх и ц можно отождествить, и, значит,
имеет смысл запись
Таким образом, невырожденная гауссова мера в опре-
определенном (поясненном выше) смысле является, бесконеч-
бесконечным произведением мер, заданных на ортогональной
1'нпсме линейных одномерных подпространств. Меры,
допускающие такое представление, иногда называются
Нродикт-мерами.
Пусть теперь \i — вырожденная гауссова мера. Обо-
мпичмм Xlt замыкание области значений оператора А,
А', сто ортогональное дополнение. Будем рассматри-
иить X как декартово произведение Х1хХ2- Рассмот-
Рассмотрим проекции меры ц на подпространства Хх и Х2
(проекция на бесконечномерное подпространство^стро-
нтся точно так же, как на конечномерное): ц\и \i2.
Хирактеристические функционалы этих мер ЭА(г) по-
лучшотся из 9B), если рассматривать z в соответст-
мукицем подпространстве Xk:
О, (z) = exp|t(a1, г)—-^(Аг,
0,B) = exp{i(a2, г)}, г?Х2, аа = Рх/г,
РДв Pxk—оператор проектирования на Хк.
Заметим, что при zk?Xk
). D)
Покажем, что из D) вытекает равенство ?1 = ^x^2-
Чт»Г>ы установить это равенство, достаточно доказать,
цто для всякой пары непрерывных ограниченных ци-
цилиндрических функций фх {xj и ф, (х2) (поскольку такими
функциями можно аппроксимировать в смысле ограни-
ограниченной поточечной сходимости индикаторы открытых ци-
цилиндрических множеств), определенных соответственно
2* 35

на Хх и Х2, выполняется равенствб
Ф (х) ц (dx) = \ Фх {Xj) цх (the,) I ф, (х,) ц2 {dxt), E;
где <р(х) = <рДх1)<р{хг), если х — х1-\-х2. Из D) вытекае
справедливость E) для функций
поэтому E) справедливо и для функций вида
N
Ф* (**) = }? a/.*exp{»(zi, **)}> 4€Xft.
Такими функциями можно аппроксимировать в смысл*
ограниченной поточечной сходимости любую ограни
ченную непрерывную цилиндрическую функцию, поэ
тому для таких функций E) также справедливо.
Легко видеть, что в том случае, когда ji = (i1xn,
равенство D) имеет место. Итак, доказана
Лемма 1. Пусть Х1 и Х2—ортогональные дру<
другу подпространства X, такие, что Х = ХХ + Х2
а \х—мера на (X, ИЗ). Обозначим \ik проекцию меры (j
на Xk и 0(г), z?X, и 6(zft), гк?Хк,—характеристи
ческие функционалы мер \к и \ik соответственно. Тогдс
для выполнения соотношения \i = \i1x\x2 необходима
и достаточно, чтобы выполнялось равенство D).
Возвратимся к нашей гауссовой мере. Очевидно
что fix будет уже невырожденной гауссовой мерой в Х1
Поэтому для нее справедливо представление, анало
гичное C) (только в Хх). Что касается меры щ в Xs
то из вида 02 (г) вытекает, что это мера, сосредоточен
ная в одной точке а2:
= 1, если аг?В, ц2(Б) = 0„ если аа6Б,
Очевидно, что ц2 также можно представить в виде C
л,1; выбирая произвольную последовательность ортогонал
l!j: ных одномерных подпространств L'n в Х2. Если У
;!|; плотна в Х2, то, обозначая а"п проекцию а2 на Т?п
'¦:-,, \Сп — меру на 23L», для которой р"п{В) = 1 при а"п?.
I ! ц"п(В)=--0 при а'п^В, Ве^г, будем иметь ц, = Щ
ill1-
36

I lut кильку каждая из мер ц1 и ji2 явЛяется^продакт-
ми|ЮЙ, то такой будет и мера ц.
Представление меры в виде произведения мер на
нДНомсрных подпространствах весьма удобно для вы-
HiH'Jlt'ilHH интегралов по этим мерам. Подсчитаем один
МНеграл, который нам пригодится впоследствии.
Пример. Пусть ц—гауссова мера с характери-
ИИЧиеким функционалом A). Вычислим
Jexp{— г(х, х) + {г, x)\p{dx). F)
Ймбнрам ортонормированный базис {ek\ собственных
•#нгорой оператора А и обозначая Lm подпространство,
нйТинутое на ек, и xk, zk, ak—проекции х, z, ана Lw
мшнвстственно, а Яй—собственные значения опера-
й1|щ А, отвечающие вектору ek {Xk может равняться 0),
Представим F) в виде
— e(xk,xk) + (zh, xk)l ^{dx). G)
Огдсльный сомножитель в произведении G) легко
вычислить. Если \к > 0, то
5 охр {—i
»xk) + {zk,xk)\\xLlk)(dx) =
-_- ) 1 Ч (г, ейJ + 2 (а, ек) (г, eft)-4s (a,
Р\2'
"УГ+Mi
Л«ГКО проверить, что эта формула справедлива и при
bj-O.
Подставляя это ^значение в G) и учитывая связь
кк и ек с А, находим
ехр {— е {х, х) + (г, х)\ |i (dx) =
""(ft A+2еЯй)-^)ехр|-1[Л((/ + 2еЛ)-1г, г) +
j (8)
Гд§ /—единичный оператор в X.
37

§ 6. Обобщенные меры в гильбертовом пространстве
В § 2 с каждым согласованным семейством конечно
мерных распределений мы связали некоторый объект
названный слабым распределением в X. В условия:
теоремы Минлоса—Сазонова слабому распределенш
отвечает некоторая мера на (X, ?>), т. е. слабое рас
пределение порождается некоторой мерой. Будем счк
тать, что в том случае, когда такой меры на (X, 3:
нет, слабое^ распределение порождается некоторо
«обобщенной мерой».
Анализируя лемму 1 § 2, мы убеждаемся, чт
мера, соответствующая слабому распределению, отсу!
ствует, потому что она не «помещается» в X. Може
быть, ее можно разумно определить на некотором ра<
ширении X? Оказывается, это действительно ты
Удобные расширения гильбертова пространства можн
получить, используя конструкцию оснащенных гильбе]
товых пространств. Полученные таким образом рааш
рения оказываются достаточными для помещения в ни
мер, порождающих всевозможные слабые распредел<
ния на исходном гильбертовом пространстве. Тао
меры на расширениях исходного пространства (удовле'
воряющие некоторым условиям, которые будут сфо]
мулированы ниже) и называются обобщенными мерал
на исходном пространстве X.
Обобщенные меры довольно широко используютс
В частности, в теории случайных процессов неред]
используют меру, рассмотренную в примере § 2. Э
мера носит название меры, соответствующей бело]
, шуму.
!,Ь Пусть В—некоторый ограниченный симметричн.
;i -;;[ положительный оператор (линейный). Введем в X hoi
скалярное произведение:
Л, У)— — \0Xt Z/J, | Л |_ — уОХ, л).
X будет, вообще говоря, неполно в метрике, пор<
денной этим скалярным произведением. Обозна1
пополнение X в норме | • |_ через X? (его можно j
смотреть как расширение X). X будет всюду плот!
I'i
р рр ) у у
множеством в X"; ХИ и X будут совпадать, если В'
ограниченный оператор.
38

< Обозначим Х? область определения оператора В~1/2
(нпй плотна в X) со скалярным произведением
(х,у)+ = (В-и*х, В-ч*у) = (В~1х,у). B)
Hiopoc равенство в формуле B) нуждается в неко-
Hl|Wx пояснениях. Заметим, что для всякого х?Х%
• нвлнриое произведение (х, г) как функция от X на
\* может быть продолжено по непрерывности в мет-
|1йН* X* на все X". Действительно, пусть x = Bl/ix0,
*,$Х. Тогда
К*. *»-*ш)\ = \(В^х0, zn-zm)\--=\(xe,
(га-гт)У>* =--\х.\\zn-zm|_.
I (питому линейный функционал (х, z) на X непрерывен
я метрике ХИ и, значит, его можно продолжить по
менрррынности (по г) на X?. В дальнейшем под (х, г),
н(!|Дй х?Х1, г^Х?, мы будем понимать именно это
продолжение. Оператор В также можно по непрерыв-
N4l«!Tii продолжить на Х?, так как
•* | - - У(Вх, Вх)_ = У{Вгх, Вх) =
- V (&В~п*х7вЩ </|| В31| (В^х, В^КН В |
Нулем считать в дальнейшем В продолженным на
Iff, При этом выполняются соотношения
I pit he из них является следствием первых двух, вто-
йЦи—-вытекает из определения Х?. Докажем первое.
Иуеть г—произвольный элемент из Х? и 2ngX
и |#„ -г|_—»0. Это означает, что
n, m—>-oo.
Ив И1'*гн?Х, поэтому и Blftz?X.
Нррпомся к равенству B). По доказанному выше,
0"Ч определено при х?Х% и принадлежит X?. Зна-
ЧИ, up» y?X+ определено и (В^, г/).
Пусть теперь на Х? определена некоторая мера ц.
Тйгдп но этой мере можно определить характеристи-
характеристикой функционал 0^ (z)-= J е*<*•'>-n(djc), 2^X?.
39

(Поскольку (х, z)_—(Bz, x) и Bz^X?, то меру [х на
ХЦ можно задавать и с помодью характеристического
функционала 0(z) = J ё <г.*)ц (<&), где z?X?.) Заме-
Заметим, что 9_ (г) = ф(Вг), 0(г) = ф_ (В"^). Из теоремы 1
§ 4 вытекает, что для того, чтобы ф_ (г) было харак-
характеристическим функционалом меры на X?, необходимо
и достаточно, чтобы для каждого е > 0 существовал
такой ядерный оператор S на X?, что Re@_(O) —
— 9_ (г)) < е, если только (Sz, г)_ < 1. Используем
этот результат для построения такого расширения X,
чтобы заданный положительно определенный функцио-
функционал ф (г) был характеристическим функционалом в этом
расширении.
Теорема 1. Пусть 9(г)—непрерывный положи-
положительно определенный функционал на X. Тогда, каков
бы ни был ядерный оператор В, ф(г) является харак-
характеристической функцией некоторой меры на X?..
Доказательство. Из непрерывности Э(г) выте-
вытекает, что4 для каждого е > 0 можно указать такое
6>0, что"" Re@@)—9(z))<e, если |z|2<6. Тогда
для zeX_Re(y(B0) — ф(Вг))<Б, если (Вг, Вг)<б,
т. е. Re@_(O)—9_(z))<e, если (jВг, г) <1.
j •
Покажем, что оператор -g- В, определенный на X?,
является ядерным. Для этого достаточно показать, чтс
таковым является оператор В. Имеем
(Вх, у)_ = {В*х, у) = (Вх, By) = (х, Ву).\
со
Покажем, что Sp_ В= 2 (#е*> ek)- <о°. гДе \ek\—ш
который ортонормированный в X* базис. Действ1
тельно, положим ek — fjV\, где {fk\ — базис из со
ственных векторов оператора В в X, K — {Bfkifi
(f*,M = I. Тогда
СС 00 СО
Замечание 1. Пусть положительно определен!
функция 9 (г) удовлетворяет условию: для всякого е ;
40

существует такое 6 > 0, что Re (9 F)—б (г)) < е, если
только (Кг, г) < б, где V—ограниченный симметрич-
симметричный положительный оператор.
Рассмотрим пространство Х?., где S—некоторый
симметричный, коммутирующий с V положительный
оператор. Найдем условия, которые нужно наложить
на S, чтобы в Х? существовала мера с характеристи-
характеристическим функционалом 0(г).
Поскольку Re (9_ @)—6 (z)) = Re F @)—6 (S г)) при
{VSz, Sz) = (VSz, г)_1<би Sp_ VS = Sp KS, то это бу-
будет, еслиБр VS <оо. Это утверждение справедливо и в
том случае, когда 0(г) определено на линейном много-
многообразии, плотном в X, а V—неограниченный оператор.
Меры, определенные на Х?. при , некотором 5, ха-
характеристические функционалы которых в скалярном
произведении X определены на всюду плотном в X
множестве, будем называть обобщенными мерами на X.
Теорема 1 показывает, что обобщенная мера строится
но своему характеристическому функционалу, опреде-
определенному в X, неоднозначно.
Пусть X' и X"—два расширения пространства X,
н которых определены меры ц' и ц", соответствующие
одному и тому же характеристическому функционалу
О (г). Тогда можно указать такое расширение X'",
которое входит в каждое из расширений X' и X",
причем \и'(Х'—Х'") = 0, ц"(Х"—Х'") = 0 и ц' совпа-
совпадает с ц" на X'". Это расширение X'" легко строится:
если X' = XSJ, X" = XS2, то X'" = XSJ+S\
Пространства ХВ позволяют в более удобном виде
сформулировать условие теоремы Минлоса—Сазонова.
Замечание 2. Для выполнения условия тео-
теоремы 1 § 4 необходимо и достаточно существование
такого ядерного оператора В, чтобы 0 (г) было непре-
непрерывным в метрике X? и, следовательно, могло быть
продолжено на X?.
Действительно, если 0 (г) непрерывно в метрике X?,
то для всякого б > 0 найдется такое б > 0, что
Re(9@) — 0 (г)) ^ г, если только |z|_ < б, т. е.
f -g- Bz, z j <; 1, и у В— ядерный оператор. Существова-
Существование же такого В для характеристического функцио-
функционала меры в X вытекает из замечания § 4.
41

Г л а в a It
ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
НА ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
§ 7. Измеримые линейные функционалы
Рассмотрим измеримое гильбертово пространств
с борелевской а-алгеброй (X, 23), на котором опред<
лена мера ,и.
Всякий непрерывный линейный функционал ф (х
определенный на X, очевидно, будет 23-измеримыа
Известно, что если последовательность ф„(х) сходите
к некоторому пределу ф (х) для всех х, то этот npi
дел также будет непрерывным линейным функционале
на X. Дело меняется, если требовать, чтобы ф„(.
имело предел ие для всех х, а лишь на множестве L
таком, что (л (D) — 1. Естественно назвать функции ф (х
являющиеся такими пределами, SB-измеримыми лине,
ными функционалами. Как пределы последовательное
измеримых функций, они также будут 23-измеримым
Из соотношений
lim <рп(ах + Ру) = а lim ф(*) + Р Km Ч>п(У)
вытекает, что область определения D функционала ф
(мы считаем, что он определен всюду, где существ;
соответствующий предел) является линейным много
разием и что ф(х) на D является линейным (аддит
ным и однородным) функционалом. Будем рассмат
вать в дальнейшем невырожденные меры \х, такие,
p. (L) — 0 для всякого собственного подпространств;
пространства X. Поскольку [x(D)=l, то D пло
в А'. Таким образом, если ф(х)~измеримый в указ
ном смысле функционал, то: 1) он определен на 23
меримом линейном многообразии D, таком, что (.i (D) =
2) ф(х) является 3!3-измеримой функцией; 3) с
линейно на D.
42

Оказывается, этих условий и достаточно, чтобы ф (х)
было ц-измеримым. Это вытекает из следующей тео-
теоремы.
Теорема 1. Если функция <р(х) удовлетворяет
у?4ивиям 1)—3), то существует такая последователь-
ШЧЧПЬ непрерывных линейных функционалов <р„(х), что
Ф (х) = lim фи (х) (mod fi).
Доказательство. Построим последовательность
непрерывных функционалов ц>„(х), которая бы сходи-
сходились к ф(х) по мере (х. Поскольку из такой после-
лпнл iivi 1.И0СТИ можно выбрать подпоследовательность,
нитрпя будет сходиться почти всюду по мере ц, то
1рм спмым теорема будет доказана.
Пусть Sc={x: |ф(д:)|<с}П?>. Так как lim \i{D—Sc)=
с ->¦ оо
I, то для каждого е>0 можно указать такое с и
й компакт KcSc, что [X (D—К) < е. Не ограни-
общности, можно считать К выпуклым симмет-
|Н1Н11ЫМ множеством, поскольку Sc выпукло.
Поскольку |ц({0}) — 0, то можно указать такое
Л 0, что ц{К—S6@))>\i(D) — г (S8 @)—сфера ра-
Л с центром в точке 0). Для х?К—5в @), оче-
кндно, выполняется неравенство ^ , < -у- • Это же
НИринРиство будет выполняться и для xgL, где L —
MHiipflnan оболочка множества К—56 @). Итак, ф(^)
чилиотся ограниченным линейным функционалом на L.
й силу теоремы Хана — Банаха существует линейное
Иридолжоние ф на все X с тем же модулем непре-
immidk'tii. Обозначим это продолжение фе(я). Пусть
Hi иынуклая оболочка множества К—56@). Тогда
И! |
f)fi*N)An и вытекает существование последовательности
HI ряиичпшых линейных функционалов, сходящейся по
M#|w |i к ф(дс).
Зймсчание. Если последовательность конечно-
ШфШХ подпространств Ln такова, что LncLn+1, Lnc:D
И (I Ln плотно 'в D, то <р(Р„х) сходится по мере \\
Щ у'{х), где"] Р„—оператор проектирования на Ln.
43

Действительно, пусть Кг—компакт, построенный в дока
зательстве теоремы. Если п выбрано так, что Ln обра
зует —-сеть в Кх (S и с такие же, как в доказатель
стве теоремы), то
для всех xg/C,. Значит, для m>n
Чтобы построить пространство всех (л-измеримы:
функционалов, удобно использовать гхарактеристиче
ский функционал 0(г) мерьГр..
Пусть последовательность непрерывных функцис
налов (г„, х) сходится по мере \к к некоторому изме
римому функционалу ср(х). Тогда для всякого вещеа
венного t
lim exp{i7BB —гт, х)\^=1
ft, tTl -*¦ '¦?
в смысле сходимости по мере jx. Значит, и
lim Q(t(zn—zm)) —
= lim \exp\it(zn—zm, x)} \a(dx)= 1. (]
Пусть K(z)—\(\—Q(tz)) T-q^-.jjjd^. Тогда необходимы
и достаточным для существования предела по ме]
\i у последовательности (zn, x) является услов]
lim K(zn—г„) = 0. Необходимость этого услов*
л, т-»-зо
вытекает из A) и теоремы о предельном переходе п
ii'|j знаком интеграла. Чтобы установить достаточное!
:'1? заметим, что
к (z)=! Г!"A ~*'<г'х)) я^dt] ^{dx)=
Поэтому для всякого е > О
p({x: \(zn-zm,x)\ >z})<±K(zn-za)(l-e-*)
откуда и вытекает сходимость (zn, x) по мере ц.
44

Поскольку
К (zt + г,) = я
< Я
fO X можно рассматривать как метрическое простран-
ЙТИО С метрикой г(х, у) = К(х—у).
Пусть X обозначает пополнение X в метрике г.
КйЖЛЫЙ элемент из л можно сопоставить некоторому
ц«иямсримому функционалу ф(х): х<->ф, если суще-
(ТИуст последовательность zn в X, для которой
Г(*я, х)—i-O и (гп> х)—>-ф(х) по мере ц. Обозначим
flJUJCTpimcTBo всех ц-измеримых линейных функциона-
Лйй if (\i). Будем отождествлять функционалы, кото-
|)Ыб совпадают почти всюду по мере ц. Тогда соот-
соответствие s между X и J?(|a) взаимно однозначное.
О1Н0еитсльно расстояния
Н 4^(м) приведенное выше соответствие является изо-
МР1ричсским. Поэтому естественно пространства X и
#(ц) просто отождествить, что мы всегда и будем
делить б дальнейшем.
Отмстим еще одну особенность пространства X с мет-
НИКОЙ г. Характеристический функционал меры [х может
qfalrt* продолжен по непрерывности в метрике г на все
ft, Это продолжение можно записать в виде G (ф) —
=. I е'чМц (dx) (здесь ф—измеримый функционал, рас-
1МйГриввемый как элемент X — J?(\i)).
Покажем, что X является в определенном смысле
ИймЛолее широким пространством, на которое 0(z) про-
ДОЛЖйктся по непрерывности.
Пусть У — некоторое линейное метрическое про-
в метрикой р, причем р{х, у) = р@^х—у)
45

и 0 (г) непрерывно в метрике р на X и продолжимо
по непрерывности на Y. Поскольку 0 непрерывно в мет-
метрике р, то для всякого е > 0 можно указать такое
б > 0, что Re(l — ф(г))<е, если р@, г) < б. Исполь-
Используя неравенство
1 — е'<г«-2»- *> | (л (Ле) <
2 A-cos fo-г,,*)) (х (Лс) )V«<I/ 2Re(l-9(z1-zs)I
находим, что при Re(l—9(z))<e
Re(l—9(nz))<2 А~
Поэтому при р @, г) < б
\t\>n
<I nn Ve + —
n
Поэтому, если р(г„,гя)—+0, то K{zn—zm) —+ 0, та
что У может быть изометрически вложено в некоторс
А подмножество X.
'». Пространство X существенно шире X, так кг
'¦-.,) . содержит, например, пространства Xi, получаелп
I .¦!'! пополнением X в скалярном произведении (х, у)_
,'. У -- {Вх, у), где В—такой ядерный оператор, что фун
" ционал ф(г) непрерывен в скалярном произведен
;!!, (Яг, Z).
IV' Рассмотрим теперь неоднородные линейные \h-u3j
|!,1 римые функционалы. Так естественно назвать S-из:
jij римые функции ф(х), для которых существует пос.
,1, довательность г„^Х и последовательность постоянн
II ап, такие, что
ф(х) = Нт [а„ + (г„, х)] (modjx).
46

Пели для данного ф существует ограниченная по-
i¦иодоиательность а„, такая, что выполнено B), то
шглн <р(х) = а4 Фо(*)> где а—некоторая постоянная,
W—линейный fi-измеримый функционал. Это выте-
( )()
иает из того, что если а„к—кх, то (znk, х)—*Ф(*)—а
(mod ц). Оказывается, и в общем случае строение
неоднородных линейных ц-измеримых функционалов
ниих* же.
Теорема 2. Для всякого неоднородного линейного
Неизмеримого функционала ф(х) существует такая
Постоянная а и такой [i-измеримый линейный функ-
цшшал Фо(я), что
Доказательство. Если существует представле-
представление ф(х) в виде B) с ограниченными а„, то возмож-
KIWTii представления C) уже доказана.
Пусть ф представимо в виде B), где |а„||оо. Тогда
HI B) вытекает, что lim ( ¦ z" , x ) = 1 (mod и). Пусть
Ыт твково, что при n^Nm
Твгли
lim a,,
L\ «ft / J
WUHf только nk^Nmk, где тл—целая часть |aj-f-l.
Дрйстнительно, для всякого е > О
* ([
«fc
Hi только e/|m,|>2-m/.
Янйчит,
V 2-™,
ti = m.
Jim
= lim
x)} -
* '
= lim
J
k—^znk, x)
47

Таким образом, в этом случае ср (х) само будет линей-
линейным ^-измеримым функционалом. Теорема доказана.
Замечание. Из доказательства теоремы 2|выте-
кает, что для меры \i имеют место две возможности:
а) постоянная а=^0 не может быть представлена
в виде предела по мере ц последовательности линей-
линейных функционалов, б) классы неоднородных линейных
и линейных [х-измеримых функционалов совпадают.
§ 8. Измеримые линейные операторы
Как и в случае измеримых функционалов, измери-
измеримые линейные операторы естественно определять как
пределы но мере ,ц последовательности непрерывных
операторов. Поскольку можно рассматривать как силь-
сильную, так и слабую сходимость последовательности
А„х, то и измеримость можно определять сильную или
слабую. Именно, оператор А называется сильно (слабо)
измеримым относительно меры ц, если существует
последовательность непрерывных линейных операторов
Ап, такая, что Апх сильно (слабо) сходится к
Лх(тос1|л). Очевидно, что сильно измеримый оператор
является и слабо измеримым.
Пусть оператор А слабо измерим. Обозначим Da
множество тех х, для которых существует слабый пре-
предел последовательности Апх. Тогда, обозначая N неко-
некоторое счетное плотное в X множество, будем иметь
Da — [х\ sup|4nx|<oo; существует lim(z, Anx), z?N\.
Отсюда видно, что Da измеримо. Очевидно также, чтс
Da—линейное многообразие. Для всех x?DA сущест-
существует слабый предел Ах = \\тАпх, причем А(ах + $у) =
— аАх-{-$Ау для всех вещественных а и р и х, у g Da
Наконец, ц(Од) = 1.
Vj Покажем, что перечисленные условия достаточш
!• даже для того, чтобы оператор А был сильно изме
1р. рим, и, таким образом, понятия сильной и слабо
[|; измеримости эквивалентны.
1'! Теорема 1. Пусть на измеримом линейном мш
II гообразии Da, таком, что ц(?)д)=1, определена изм
римая функция Ах со значениями из X, удовлетворю
48

щм для всех х, у€&л и вещественных а, р* соотно-
штию A (ax-\-f>y) = aAx + $Ay. Тогда существует
Нишдовательность непрерывных линейных операторов
Аш, такая, что
Ах= ИтА„х
„х
' Доказательство. Заметим, что \Ах\ является
тмеримой функцией. Поэтому
limiA({*: \Ax\>c\) = 0,
С-+ 00
N, 1ИКЧИТ, для всякого е > 0 можно указать такой
нйМпякт К, что |Лх|<с при х?К и (л(Х—Д'Хе.
»?0t компакт можно считать выпуклым центрально-
ИММ«ч|1ИЧпым множеством.
ilyi'TU N — конечномерное подпространство X, такое,
Ж» N П Л', образует —сеть в К- Построим оператор
4/у следующим образом: ANx = Ax при x?N, если
*? у ортогонально N, то AN г/ = 0. При таком про-
)нлщрцип А с jV на все X мы не увеличиваем модуля
Н#|ф1фыш1ости. Поэтому (PN—оператор проектирова-
проектировании ни N)
\ANx—Лх|<с|х—PNx\ <e при
IHMHT, |i (|| ANx—Ах | > е}) < е. Выбирая последова-
i^'M.lKH'Ti. е—»-0, построим последовательность ограни-
ограниченных линейных операторов, которая сходится к А
ни мр|и\ п из такой последовательности можно выбрать
мн!1нп1'./|1\дои;|тельность, сходящуюся почти всюду.
И дильпейшем будем говорить просто «измеримый
й оператор», опуская слова «сильный» или
описания строения ^.-измеримого линейного
¦<мг|1И'гс)|I1 А заметим, что для всех z?X выражение
'¦, *)¦ Уж(х) как функция х будет линейным ц-изме-
I4M функционалом. Обозначим x(z) соответствую-
¦ I атому функционалу элемент из X. Очевидно, что
I линейно зависит от г. Поэтому с каждым fi-изме-
¦ым линейным оператором А можно связать неко-
некоей линейный оператор А*, действующий из X
Г
49

6 X, причем связь между этими операторами такая:
(Ах, z)=[A'z](x) (modji); A)
[A*z] является (л-измеримым линейным функционалом.
Оператор А* таков, что A*z—>-0 в метрике X, если
z—*0 слабо. Кроме того, для ц-почти всех х сущест*
вует такая постоянная ух, что
| [Л%] (х)-[Л%] (х) | <у, 12г-г, |.
Произвольному линейному оператору А* из X
в X*, удовлетворяющему указанному условию непре-
непрерывности и соотношению B), соответствует некоторый
(х-измеримый оператор А, такой, что выполняется A).
Действительно, обозначим D множество тех х, для
которых [A*z] (x) является непрерывным относительно
г функционалом. Из условия B) вытекает, что p. (D) = 1.
Легко видеть, что D является линейным многообра-
многообразием. Для каждого х g D существует такой вектор
Ах?Х, что выполнено A). Далее, А — однородный и
аддитивный оператор на D. Измеримость А вытекает
из равенства Ax = '?i[A*ek] (x), справедливого для вся-
всякого ортонормированного базиса при x?D, и измери-
измеримости [A*ek] (x).
Введем понятие абсолютно измеримого линейного
оператора. Измеримый линейный оператор А называется
абсолютно измеримым, если для всякого измеримого
линейного функционала 1(х) 1(Ах) будет также изме-
измеримым линейным функционалом. Последнее утвержде-
утверждение можно понимать двояко. Во-первых, поскольку суще-
существует такая последовательность г„, что К{1 — zn)—»-0,
под 1(Ах) можно понимать предел по мере ц, последо-
последовательности измеримых функционалов ln(x) — (zn, Ax).
Во-вторых, / (Ах) можно понимать как обычную супер-
суперпозицию двух измеримых функций. Она также будет
измерима. Условие аддитивности и однородности в об-
области определения для этой функции выполняется.
Областью определения этой функции будет множество
\х: Ax?Dt), где Dt — область определения 1(х). Если
АА обозначить область значений оператора А, то для
того, чтобы / (Ах) было измеримым функционалом,
необходимо и достаточно, чтобы ц (А'1 (АА n Dt)) = 1.
А так как в качестве Dt можно взять любое измеримое
50

линейное многообразие L, такое, что \i(L)=\, то
должно выполняться условие \i(A~1(AAf]L))= 1, если
I^(L)=1. Используя теоремы 1 и 2, можно убедиться
в эквивалентности обоих подходов к измеримости 1(Ах).
Опишем строение абсолютно измеримого оператора.
Заметим, что для всякого абсолютно измеримого
оператора А сходимость по мере \х последовательности
измеримых линейных функционалов /„ (х) к I (х) влечет
сходимость по мере ц последовательности 1п (Ах) к 1(Ах).
Чтобы в этом убедиться, достаточно рассмотреть вместо
сходимости по мере сходимости почти всюду. Тогда
можно указать такое линейное многообразие L, \i (/,) = 1,
что 1„(х)—>1(х) при x?L. Значит, 1п(Ах)—*1(Ах)
для всех х для которых Ax?L, а это множество имеет
меру 1 в силу абсолютной измеримости оператора А. ¦
Таким образом, с абсолютно измеримым операто-
оператором А можно связать оператор А*, переводящий X в
X и действующий по формуле [АН] (х) — I (Ах). Из
сказанного вытекает, что этот оператор будет непре-
непрерывен в метрике г, так как сходимость функционалов
в этой метрике эквивалентна их сходимости по мере (х.
Покажем, что справедливо и обратное: если А —
измеримый линейный оператор, для которого оператор
А*, определенный соотношением A*z(x) — (z, Ax) для
всех z?X, продолжается по непрерывности в метрике г
на все X, то А — абсолютно измеримый оператор.
Если А* продолжимо по непрерывности на X, то
Ф(Л*г) — r-непрерывный положительно определенный
функционал. Поэтому почти всюду по мере (д, сходится
ряд
со
Ах.= 2 [А*ек] (х) ек,
к 1
2
к— 1
каков бы ни был ортонормированный базис \ек\, при-
причем (f(A*z) будет характеристическим функционалом
меры (л (A~xdx).
Пусть /—измеримый функционал, \fk\—ортонорми-
\fk\—ортонормированный базис в D{. Тогда
x)f
51

Пусть Рп—оператор проектирования на подпростран-
подпространство, натянутое на flt ..., /„. Покажем, что / (РпАх)
сходится по мере ц к некоторому пределу. Действи-
Действительно,
t
/и \
и поскольку ( 2 Hf/)fj> х ) = НРпх) сходится по мере
fi к 1(х) на основании следствия из теоремы 1, то
по мере fi в силу непрерывности А* в X. Значит,
ЦАх) = [А*1](х)
является измеримым линейным функционалом, каков
бы ни был линейный функционал /. Абсолютная изме-
измеримость А доказана.
Рассмотрим измеримые линейные отображения одного
гильбертова пространства X в другое гильбертово про-
пространство Y. Будем рассматривать лишь сильно изме-
измеримые отображения. Оказывается, что изучение таких
отображений просто сводится к изучению измеримых
отображений X в X, т. е. измеримых линейных опера-
операторов.
Действительно, пусть Я—изометрическое взаимно
однозначное отображение Y на X (мы считаем оба
пространства сепарабельными). Пусть V—измеримое
отображение X в Y; тогда можно указать последова-
последовательность непрерывных линейных отображений Vn,
такую, что Vnx—<¦ Vx (в Y) по мере ц.. Следовательно,
RVn будет последовательностью непрерывных линейных
отображений X в X, сходящейся по мере ц к RV.
Значит, RV является измеримым линейным оператором.
Наоборот, если U—измеримый линейный оператор
X в X, то R~1U является измеримым линейным ото-
отображением X в Y. Тем самым все измеримые линейные
отображения X в Y полностью описаны.
Обозначим v меру, определенную в Y соотношением
у(?) = ц(У~1(?)), где V—измеримое линейное отобра-
52

жение X в У. Найдем характеристический функционал
меры v. Для этого понадобится понятие сопряженного
к V преобразования.
Пусть D—область определения отображения V,
H(D)=1. Выражение {Vx, у) определено для всех
y?Y и x?D и является измеримым линейным функ-
функционалом на D. Поэтому существует такой элемент
1у € X, что (Vx, у) = 1у {х). Положим V*y = ly. V*y задает
однородное и аддитивное отображение Y в X, непре-
непрерывное в следующем смысле: г (V*yt, V*y2)—>-0 при
\ух—уг\—-0. Это отображение и называется отобра-
отображением, сопряженным к V.
Особо интересен тот случай, когда V* можно рас-
рассматривать как измеримое относительно меры v ото-
отображение У в X. Пусть {eh\—некоторый ортонорми-
рованный базис в X. Чтобы V*y принадлежало X,
необходимо и достаточно, чтобы
УУ = S (V*y, еь) ek = f (у, Vek) eh
k=\ k-=\
со
и ряд 5] {у, V4) сходился почти всюду по мере v.
k=\
Последнее условие эквивалентно сходимости почти
всюду по мере ц. ряда ^{Vx, VekJ. Найдем %(у)—
характеристический функционал меры v. Будем обозна»
чать Эц,(л:) продолжение характеристического функцио-
функционала fi на X по непрерывности. Тогда
9V (у) = ) ё <*• "«» ц (dx) = ] е{ <W. *) jx (dx) = 9^ (V»jr).
§ 9. Измеримые полиномиальные функции
Рассмотрим сначала полиномиальные функции с чи-
числовыми (вещественными) значениями. Пусть Х*к обо-
обозначает линейное пространство непрерывных симмет-
симметричных k-линейных вещественных функций на X, т. е«
функций ?(ft) (*!, х2, ..., Хр), определенных при xlt ...
.. ., xk€X, линейных по каждому аргументу при фик»
сированных остальных, не меняющихся при переста-
перестановках аргументов и удовлетворяющих условию
11 m Р(Л) / у v\ — О
1111J Ц >"¦!> * ' ' J h/ ~~" "
Xi -* 0 Kk -*¦ О
53

Функции вида Г}А(х) = %ш(х, .... х), где 1Ш€Х** на-
называются однородными формами от х степени k, a
функции вида
я„ (*) = « + 2 тц(лс) A)
« = 1
—полиномами от х степени п, если т)„(л:) не равно
тождественно нулю, f\k(x) однородные формы степени k.
Легко видеть, что полином я„ (х) однозначно опре-
определяет все формы f\tt{x), а эти формы определяют в
свою очередь функции ?<*' из X**.
В дальнейшем полиномы вида A) будем называть
непрерывными, так как у нас появятся и просто изме-
измеримые полиномы.
Пусть на (X, 53) задана невырожденная мера ц.
Обозначим П„(ц.) множество 23-измеримых функций
cp(je), которые представимы в виде пределов почти всюду
сходящейся последовательности непрерывных поли-
полиномов степени не выше п:
Ф(х)= Нт я™(дс) (modn), B)
т ->¦ се
где я^1 при каждом т=1, 2, ... является непрерыв-
непрерывным полиномом. Совокупность функций П„ (и) будем
называть пространством измеримых полиномсв степени
he выше п, функции из иП„(ц)—измеримыми (отно-
(относительно меры ц) полиномами, а наименьшее п, при
котором <р?Пп(,и), — степенью измеримого полинома.
Оказывается, описание пространства П„(ц) весьма
сходно с описанием пространства линейных измеримых
функционалов; точнее, измеримые полиномы степени
не выше п можно отождествить с измеримыми линей-
линейными функционалами на некотором гильбертовом про-
пространстве с мерой; это гильбертово пространство зави-
зависит лишь от п, а мера на нем стандартно выражается
через исходную меру. Проведем это построение.
Пусть Xой обозначает линейное подмножество тех
^-линейных функций 1(й) из Х*к, для которых
Sp l(ft) * 1Ш =
= S1 l(h) (etl, ..., е,к) Vk) (etl, '..., e,h) < oo C)
54

для Всякого ортоНормированногО базиса {ej\ (на Самом
деле эта сумма не зависит от базиса). В Xой можно
цвести скалярное произведение
= 2 li^fo, .... вАN«»(в1, .... еА)D)
(это скалярное произведение также не зависит от вы-
выбора базиса в X). Обозначим, далее, ХМ прямую сумму
гильбертовых пространств X01 + ... +^°"» полагая для
элементов l[v + ¦ • • + 1[т и U1'+ • • • + ?»"' скалярное
произведение равным
«?»+ • ¦ • + 6S"», 6?» + ¦ • • + б.04) = 2(?i*\ 6.*)- E)
Со скалярным произведением E) ХМ является гиль-
гильбертовым пространством.
Построим на Х[ некоторую меру, связанную с
мерой ц.. Пусть Tk—отображение X в Xой: Tk (х) — |ife),
/г
где ^'(лГц ..., лсЛ) = XI (х, Xf). Это отображение не-
/ = i
прерывно, так как
S
; _ V
'«
^И
Следовательно, оно измеримо: прообраз всякого боре-
левского множества в Х°* при отображении Tk (x) будет
принадлежать ЙЗх-
Пусть, далее, ТМ[х)—отображение X в XMt опре-
определяемое равенством ТМ (х) = 7\ (х) -\- ... + Тп (х). Это
отображение также будет непрерывным и измеримым.
Обозначим цМ меру в Х1, в которую переходит
мера fi при отображении У[п1, т. е. для всякого мно-
множества AM из )&М—0-алгебры борелевских множеств
в ХМ —
(Л'»1)), F)
55

Где TW~'(AM) — полный прообраз множества Atni при
отображении Тп]. Мера ц1 полностью определяется
мерой fi. Кроме того, к мере цш применима вся раз-
развитая ранее теория, поскольку Xtnl также является
сепарабельным гильбертовым пространством.
Рассмотрим непрерывный полином п„(х) вида A),
для которого сс = О:
) = tm(x х), где ?<
Совокупность таких полиномов обозначим ГЦ. Легко
видеть, что
так как
Sp Tk (x) |<*> = S f Д (x, e{)] |«> (etl, ..., et) =
Поэтому я„ (х) = (Г (л:), |A) + ... +1(">).
Обозначим %1гЛ точку пространства Хш вида |A)+ ...
...+?("\ и пусть х[п1—произвольная точка из X'.
Тогда (л:', |ы) как функция хш определяет на мно-
множестве Y[ni с X1, являющемся образом X при отобра-
отображении Т1п], некоторый полином
(х["\ 6[»') = я»G'[»]-(*?)). G)
Поскольку мера |хы сосредоточена на Yln\ где 71~*
определено, то формула G) имеет смысл почти всюду
на X' по мере.ц1. Таким образом, можно установить
взаимно однозначное соответствие между линейными
функционалами на Х[п] и полиномами из П[Л] на X,
причем сходимость линейных функционалов по мере
цш эквивалентна сходимости полиномов из П[°„] по
мере ц..
При изучении измеримых линейных функционалов
использовался характеристический функционал соот-
соответствующей меры. Покажем, каким образом можно
определить характеристический функционал 0ы (?'"')
меры |лы.
56

По определению
)= J exp{t(*C«],
= $ expji ?>>(*) }j
Обозначим Щ ((х) совокупность измеримых полипомов
из П„(ц), являющихся пределами по мере ц полиномов
из Щ. Если ф (л:) € ТТЛ (нО> то существует последователь-
последовательность полиномов {я*, k — 1,2, ...} из Ilg, таких, что
limn<*>(*) (modn). (8)
fc
Если теперь |?п1 такие элементы из П°, что я(„й) (х) =
= (Т^х, 1^"'), то из (8) вытекает, что существует почти
всюду по мере ,ut"l предел lim (x[n], Jjk"-1). Этот предел
в соответствии с терминологией § 7 является [х^-изме-
римым линейным функционалом на Xt"]. Пусть, с дру-
другой стороны, l^"-1—такая последовательность элемен-
элементов из Х[п], что существует
lim (jrf"l, ^"^) = ф! (jcC) (mod ц).
Тогда существует и
lim (T<n)(x), 1\п') = ц>(х) (mod[д.).
ft-*»
При всех k
является полиномом из ПЦ. Поэтому ф^(})
Обозначим ^С (^С"]) множество линейных цГ"'-
измеримых функционалов на ХС"]. Тогда между
^[п] (|х["]) и ГЦ(ц) имеется взаимно однозначное соот-
соответствие
6Г

если
ф1»1G™(*)) = ф(*). (9)
Это соответствие линейно.
Таким образом, для построения Щ(}х) нужно сна-
сначала пополнить Х1"] в метрике р["], определяемой со-
соотношением
получив тем самым 2^ (ц[п]), а затем для каждого
<р[«] € jg'L»] (ц[»1) определить <р(х) равенством (9).
Как же связаны Щ(ц) и Г1„([я)?
Теорема 1. Для всякой функции ц>(х) из П„(ц)
существуют такие q>0 (x) € П/J (ц) и постоянная а, что
Ф (х)=а + <р„(х).
Доказательство. Покажем сначала, что для
Ф g П„ (ц) существуют такие IlJ,** g П° и постоянные ай,
что
[* + ()] (f) A1)
ft-»-»
Для этого достаточно показать, что для всякой после-
последовательности однородных полиномов f)nk) (х) (&=1,2, ...)
степени п можно указать последовательность таких
же полиномов T)),ft) (х), которые принадлежат П* и
=0 (mod,u), A2)
так как тогда сможем заменять в последовательности
п
а + S Tlnfe) (х)> сходящейся по мере jx к <р(х), одно-
г=1
родные полиномы т)^* на т]"*'. Соотношение A2) выте-
вытекает из того, что при всяком k можно указать такое
конечномерное подпространство Lk, что
|х ({*: | № (х)-rlnk) (PLk (х)) | > 2"*}) <2-*,
поэтому в качестве т^6' можно взять т]**1 (л:) = т)<*> (PL {x)),
58.

Пусть теперь aik)?hln и выполнено A1). Обозначим
?[.'" такой элемент из XW, что лТ(х) ^(Т^'Цх), |f*J).
Из A1) вытекает, что почти всюду но мере ц1 суще-
существует предел
Игл К*!»!, Un]) т-а*]=Ф(П»]-1 (лИ)). A3)
Поэтому левая часть A3) является неоднородным ли-
линейным ц^-измеримым функционалом на XW. В силу
теоремы 2 § 7 этот предел представим как сумма по-
постоянной а и линейного ^"'-измеримого функционала
на X["J. Отсюда и вытекает утверждение теоремы.
Рассмотрим теперь измеримые полиномиальные ото-
отображения гильбертова пространства X в некоторое другое
гильбертово пространство Y. Как и в случае линейных
отображений, рассмотренных в § 8, достаточно изучить
измеримые полиномиальные отображения X самого
в себя.
Полиномиальным отображением называется такое
отображение U{x), при котором (U(x), z) для всякого
г является полиномиальной функцией от х. Эта функ-
функция имеет степень, равномерно ограниченную по г,
иначе скалярное произведение
где гк выбраны так, что (U(x), гк) имеет степень k,
а кк таковы, что 2^*z* сходится, не было бы полино-
полиномом относительно х.
Пусть (U(x), z) = nn(x; z)—полином степени не
выше п. (Такое отображение U будем называть поли-
полиномиальным отображением степени не выше п.) Тогда
где {-["I (z) g XC"l и линейно зависит от z, а (г)—линей-
(г)—линейный функционал. Поэтому выражение (|inl (г), х^) яв-
является линейным функционалом относительно z и пред-
ставимо в виде
где V—некоторый линейный оператор, действующий
из A[nl в X. (Этот оператор, естественно, зависит от
59

отображения U(x).) Таким образом,
а (г), очевидно, равно (U@),z).
Мы показали, что для всякого полиномиального
отображения U{x) пространства X в себя можно ука-
указать непрерывное отображение VXW в X, такое, что
Пусть теперь Uk{x)—последовательность полиноми-
полиномиальных отображений степени не выше п. Отображение
?/0(х)= Hm Uk{x) (modjx), A4)
ft-* о»
если этот предел (в слабом смысле) существует, будем
называть ^-измеримым полиномиальным отображением
X в X степени не выше п.
Предположим сначала, что Uk @) = 0. Пусть Vk—
такие линейные отображения XL"J в X, что Uk(x) =
= VkT№ (x). Тогда для цМ-почти всех х^ существует
lim VkxW. Обозначим этот предел Кол:Е"]; Vo является
|дДп1-измеримым линейным отображением XW в X.
Пусть R—произвольное изометрическое отображение
Xе"] на X. Существование такого отображения выте-
вытекает из того, что Xt"l и X являются сапарабельными
гильбертовыми пространствами. Тогда V можно пред-
представить как RКо, где Vo уже линейное цМ-измеримое
отображение XI"! в X. Такие отображения (операторы)
описаны в § 8.
Таким образом, окончательно получаем,^ что для
ц-измеримого полиномиального отображения^(я) сте-
степени не выше п, представимого в виде A4) с Uk@) = 0,
существует такой ц-измеримый линейный оператор Vo
на Х[п1, что
A5)
Пусть теперь U(x) представимо в виде
A6)
ft-*»
где ?/ft@) = 0 и Uk(x)—полиномиальное отображение
степени не выше п, а Х
60

1?сли | ak | ^ y> то последовательность ak слабо ком8-
пиктна. Поэтому, переходя в случае необходимости
к подпоследовательности, можем записать: U{x) =
*-¦¦ lim Uk {х)-{-а (предел в слабом смысле). Но тогда
/.'-»• СО
U(x)—а представимо в виде правой части A5).
Предположим, что |aft|foo при k—>-oo. Тогда
I "ft I I Oft I
D сильном смысле. Обозначим Mk линейное подпро-
подпространство, порожденное векторами at при l~^k. Очевид-
Очевидно, что М„=>Мп + 1. Пусть (]М„ = М, Nn—ортогональ-
п
иое дополнение к Мп, N—замыкание [)Nn, т. е. орто-
п
тональное дополнение к М. Из A6) вытекает, что для
всех г € U Nп
п
(U(x),z)=\im(Uk(x),z) (modfi). A7)
Предположим, что ak=za'k-\-a"kt где a'k?N,
?М, Uk{x) = Uk(x)+irk{x), U(x) =
= U' (x) + U" (x), U' (x) € N, U" (x) € M. Из A7) вытекает,
что
V (x) = lim U'k (x) (mod ц). A8)
Далее, для всех k можно указать сколь угодно боль-
большие номера n(k\ ...,п?г), такие, что
где е сколь угодно мало. Поэтому U'k(x)-\-al можно
сколь угодно точно аппроксимировать по мере ц вы-
выражением
и, значит, U"{x)= lim ОЦх) (mod^x), где Щ@) = 0.
ft-*eo
61

Таким образом, в этом случае можно указать такие
полиномиальные операторы Ск{х) степени не выше п,
что Ок{0) = 0 и U(x) = lini Uk(x). Используя форму-
лу A5), приходим к следующему утверждению.
Теорема 2. Для всякого [i-измеримого полиноми-
полиномиального отображения U(x) степени не выше п сущест-
существуют такие а?X и ц№-измеримый линейный опера-
оператор Vo на ХГ"], что U(x)=a + RV0TW(x), где
R—некоторое фиксированное изометрическое отобра-
отображение ХМ в X.
§ 10. Квадратично интегрируемые полиномы
Обозначим J?2(\i) линейное пространство 23-измери-
мых вещественных функций ср(х), интегрируемых
с квадратом по мере ц. В этом параграфе нас будут
интересовать такие меры \х, что интегрируемой с квад-
квадратом будет функция (г, х)п. Такой класс мер обозна-
обозначим аМп. Пусть, далее, аМ^^= Г\а?п. Для мер $
п
определены все моментные функции. Примером меры
из ado, может служить гауссова мера.
Для мер из g^cc будем рассматривать множество
Щ(ц) интегрируемых с квадратом ц-измеримых поли-
полиномов степени не выше п. Кроме этого множества,
введем еще множество Пп(ц), являющееся подмножест-
подмножеством Щ(|л,) таких функций ср(х), для которых можно
указать последовательность непрерывных полипомов
nk (x) € lift, такую, что
Mm
ft-»-00
(Полиномы пк берутся из П", потому что такие поли-
полиномы и только они будут принадлежать J?2 (\i), какова
бы ни была мера \i?adn.)
Заметим, что Щ (ц) является замкнутым линейным
подпространством гильбертова пространства J?2(ц);
скалярное произведение в 5?г (ц) вводится обычным
образом:
Это подпространство является пополнением простран-
пространства П" в скалярном произведении 3?г(\и).
62

Множество Щ (ц) также есть линейное подпростран-
подпространство S,, (j-i), однако строение этого подпространства слож-
сложнее: чтобы его построить, нужно сначала построить
II,, ([г) — линейное пространство [х-измеримых полиномов
степени не выше п, а затем найти пересечение
п„Ып^2Ы-
Для построения Щ([х) достаточно знать моментные
функции меры [х до порядка 2п включительно, так как
через эти функции выражается скалярное произведение
на П#. Действительно, пусть ak(zx, ..., zk)—k-я момент-
ная функция меры \а (эти функции определены в § 3).
Пусть
я,
2л*
k=i
где цк(х)-1^(х, ..., х),цк(х) = 1к(х х),
однородные формы из Хок. Тогда
= aa +а J 2 t{k)(x х) \х (dx)
+ 2
Заметим, что для l^^X0' и любого ортонормирован-
ного базиса \ек\ в X
= J (t 2 |«') (в, , еп) (х, eh)... (х,е„)
2
Эта формула справедлива во всех случаях, когда су-
существует неотрицательная форма f(m) 6 Хпт, для которой
63

ряд в последнем равенстве сходится, и его сумма не
зависит от выбора базиса.
Обозначим |(*> х |(/) (k + /)-линейную форму, опреде-
определяемую равенством
+1,..., xk+J),
lm—константа, 0„=1 и Sp|<0)a0 = i<0>- Тогда, пола-
полагая 10 — а, | = а, будем иметь
]n(x)n(x)\x(dx) = 2 Sp[^>xf</>*0,+/]. A)
k, /=0
Эта формула дает выражение скалярного произведения
в Щ через моментные функции.
С полиномами из П° удобно связать пару (?@); ?[l)
которая соответствует полиному п(х)
+ S ?ш(*. ¦¦¦>х), ?М = {?<i>,..., ^(»)}. Гильбертово про-
1
странство таких пар обозначим XW, скалярное произ-
произведение между парами A^°); ^Г) и (|<20); |Г"]) определим
как
|@)E@)
(|И и1^"! элементы ХГ"] и для них в этом пространстве
скалярное произведение определено). Левую часть A)
можно рассматривать как билинейную форму в прост-
пространстве Хо"]- Будем ее обозначать Во:
S P[5g^*+/], B)
к, /=0
если gW={5«>, .... |{»>}
Таким образом, построение пространства Щ([х) сво-
сводится к пополнению пространства Хгоп' в скалярном про-
произведении, порожденном билинейной формой В^ (не-
(неотрицательность этой формы вытекает из A); если же
отождествлять полиномы, совпадающие почти всюду
по мере ц, то эта форма будет даже положительной).
Операция пополнения линейного множества в ска-
64

лирном произведении, порожденном билинейной фор-
формой, проводится довольно просто, поэтому задача
построения Щ(ц.) в принципе не представляет затруд-
затруднений, если только заданы моментные функции меры.
Для построения Щ(,и) нужно предварительно построить
П„(|л.), а это пространство строится как пополнение П{(
в довольно сложной метрике, выражение для которой,
даже если задан характеристический функционал меры,
конструктивно задать невозможно.
К сожалению, простые примеры показывают, что Щ(|а)
и ГЦ (\л) могут не совпадать.
Пример. Пусть Хк(т) — последовательность функ-
функций на (—оо, <х>), для которых выполняются условия:
а) Мт)>°. б) $Мт)йт=1, в)
Г)
|т-Ц>4-
Выберем произвольный ортопормированный базис \ек\
в X и положим
r.-, <3)
где E*^0 выбраны так, что 2PfcY*<°°- Чтобы убе-
убедиться, что это произведение сходится, заметим, что
* (т) dx = l (Jlvft (г,
Значит,
Из сходимости последнего ряда и вытекает сходимость
произведения C).
Далее,
Re A —в(г)) < 11 —в (г) К
"k% iz- е\ (т) dx| < 1 XPiv, (г, в4). = (Sz, г).
3 Л. В. Скороход 65

Справа в этом неравенстве стоит ядерный оператор:
2 2 PlT*(«/. екГ= 2 PIT* 2 (ек, е,)*= 2PJy*<«>-
Поэтому для 0 (г) выполнены условия теоремы Мин-
лоса—Сазонова (положительная определенность 0(г)
вытекает из того, что 0 (г) является пределом произ-
произведения положительно определенных функций).
Обозначим [г меру, имеющую характеристический
функционал 0 (г). Для меры \i определены первые две
моментные функции:
+ 2 S
fe=l
(t) dt =
Поэтому пространство квадратично интегрируемых \i-
измеримых функционалов будет содержать функционал
q>0(jt) —lim (х, ?r-ek ) = 1 (modu).
Однако этот функционал ортогонален в .5% (\\) всем
линейным функционалам (г, л;), и, значит, он не входит
в замыкание множества линейных функционалов в J?2([-1)-
Пусть теперь функции %k (т) таковы, что
Kk (г) Я,А (—т) = 0. Обозначим [г меру с характеристиче-
характеристическим функционалом 0(—г). Из^условия, наложенного
на ^/е(т), легко вывести, что в X существуют два замк-
замкнутых множества F и F, симметричных относительно
0 ? X и не имеющих общих точек, такие, что ц(/7)=1,
\i(F)=l, т.е. ц и ii — взаимно сингулярные меры.
Пусть ji = y^u-l-ii). Тогда
1Ак)\-\:хх1т (mod|x)-
66

()чевидно, что
\ (г, х)ф()ц()
Т, , I для всех г^л,
\ ФоМ^(^')=Т— у = 0.
Поэтому ф0 (х) ортогонально каждому полиному из IIJ
но мере [г, и, значит, ф0 ^ ITi (f.i), но тем не менее
ч>„епми).
В настоящее время еще не известны условия, обес-
обеспечивающие совпадение 11„(|Л.) и Щ (и). Однако для мер
из еЖх можно указать условие, при котором и Щ (ц)
п
будет плотно в „2;2 (,и).
Заметим, что в случае выполнения этого условия
для построения У\{\к) не нужно будет рассматривать
совокупность всех ^-измеримых функций, а достаточно
рассмотреть (j IIJ, а затем это линейное пространство
полиномов замкнуть в скалярном произведении „2% (ц).
Теорема 1. Пусть для каждого z ? X можно
указать такое 6(z), что функция 0(?z), где 0(z)—ха-
0(z)—характеристический функционал меры \л, аналитически
продолжается на комплексную плоскость при | ? | < 6 (z).
Тогда множество всех непрерывных полиномиальных
функций всюду плотно в J^2(,u).
Доказательство. Пусть г\ (х) 6 ^2 (ц) и Для
всех г и О
То, что (г, д:)" б^ (ц), вытекает из равенства
;=о
Выберем е > 0 так, чтобы 2е < б (z). Тогда
И
поскольку эти интегралы равны соответственно значе-
значениям продолжения Q(?z) в точки —2/е и 2ie. Поэтому
г] (х) е'* «¦ *> |х (dx) = lira U W X (^%^- jx (dx).
3*

Предельный переход под знаком интеграла возможен,
так как подынтегральная функция имеет интегрируемую
мажоранту
| т] (х) | е?'^г- *>• < -i- [| г\ (х) |2 4-е2Е(г> х) + е-2е(г, *>].
Дифференцируя соотношение [ r\ (х) eie <г-х) \i (dx) = 0
п раз по е, находим
т) (х) е'Е<г- *> (г, х)" ц (Лс) ^ 0.
Рассуждая так же, как и выше, убеждаемся, что
(х) е(?(г' *>е'Е(г. *> [г (dx) = 0.
Поэтому для всех / и 8, таких, что 2е <б(г),
J т] (х) е«?(г' *> [г (Же) = 0.
Выберем / и е так, чтобы /е —1. Тогда получаем
\ ц (х) е1 <2- х' (.1 (dx) - 0
для всех z.
Пусть Я! = {х: т] (х) > 0}, Я2 = {х: т) (д:) < 0}. Опре-
Определим меры Hj и |ig равенством
где хл—индикатор множества A g 35. Тогда из D) вы-
вытекает равенство
<г- *> |ix (dx) =
Поэтому в силу однозначности соответствия между ха-
характеристическими функционалами и мерами цг(А)~\12(А)
для всех Л 6 33.Так как цй (Л) ¦~\i.k (А П Я,,), а Нг П Я2=^0,
то отсюда находим: щ (Л) = ц2 (Л) = 0 для всех Л,
т. е. г)(х)~-() (modji).
68

I II. Ортогональные системы полиномов
Строить ортогональные системы полиномов имеет
смысл в том случае, если по ним можно раскладывать
любую измеримую функцию. Условия, когда это выпол-
выполняется, даны в теореме 1 предыдущего параграфа. Так
как пространство полиномов степени не выше п в гиль-
гильбертовом пространстве бесконечномерно, то для построе-
построения ортогональных полиномов здесь неудобно исполь-
использовать подход, применяющийся в случае конечномерного
пространства. Мы будем строить ортогональные про-
пространства полиномов (ортогональные в 1? (и,)) так, чтобы
каждое пространство содержало лишь полиномы задан-
заданной степени. Именно, так как П^ (^л)=:П*_1 (fx), то в
hi ([x) можно указать ортогональное дополнение к
HJUi (ц), обозначим его Р„,—т. е. II* (и) = 5':>„+Щ_1 (ц).
Пересечение 5г\ с Щ-i (}х) содержит только точку О,
поэтому все полиномы из f имеют степень п. ," 0—-это
полиномы нулевой степени, т. е. константы. Таким
образом,
U\ A)
В том случае, когда и Щ (ц) плотно в Я\ (ц), для
каждой функции Фё^Ы можно указать последова-
последовательность полиномов тсп ? Э*п, такую, что
<P(*)=2M*). B)
л=0
Систему подпространств 5>п, /г = 0, 1, . .., мы будем
называть ортогональной системой полиномов, соответ-
соответствующей данной мере ц, а разложения вида B) —
разложениями по этой ортогональной системе полиномов.
Построение подпространств Э*п—задача, не совсем
тривиальная, если не исходить из уже построенных
подпространств П2 (ц) (естественно считать подпростран-
подпространства 9*„ более простыми, чем 11Д (р.), и сначала строить
3>п, а затем уже с помощью формулы A)Щ(ц)). Не-
Непосредственно напрашивающийся путь—сначала пост-
построить пересечение 11° с '/"„, а затем это пересечение
замкнуть в ^2(ц),— может никуда не привести, если
П'П^п не плотно в 9>п.
69

Поэтому мы изберем другой путь —индуктивного
построения подпространств $Ра, строя одновременно не-
некоторое представление для функций из этих подпрост-
подпространств.
Пусть ?<"> е Xе" и ц (х) = 1{п) (х, ...,х). Тогда
ti(*) = M?(ii).*)-2p*(?(i>\*). C)
fe = 0
где п„ Aи'\ х) ? 5*„, р/; (?Сп\ х) 6 5Y Очевидно, что функ-
функции я„, (>!, ..., р„_,, входящие в C), однозначно опре-
определяются формой 1и>), причем они линейно зависят от
g(n). Отсюда вытекает, что всякая функция пп (х) пол-
полностью определяется формой максимальной степени
(степени п, если такую форму можно выделить из пп (х)).
Введем в Хоп скалярное произведение:
<lin\ Um>n= I *п AГ, х) пп?1п)> х) [х (dx). D)
Пополнение К"" в этом скалярном произведении обо-
обозначим X", а элементы из Хп будем называть обобщен-
обобщенными п-линейными формами. Они представимы в виде
сумм
где 1{гп)—полная ортонормированная в скалярном про-
произведении D) последовательность форм из Хок, а 2а1 <
< оо. Заметим, что соответствие
V»>++nn(V«\x) E)
между Хоп и некоторым подмножеством из 5*„ изоме-
трично в силу формулы D) (в 3*п скалярное произве-
произведение порождается скалярным произведением в Л?г(м0)-
Поэтому это соответствие можно по непрерывности про-
продолжить на все Хп. Так как полиномы пп (?<и), х) плотны
в 5"п (если бы это было не так, то в 3*п существовала
бы функция, ортогональная всем полиномам из П"), то
соответствие E) продолжается до изометрического со-
соответствия между X" и 3"„.
Обобщенные формы из Хп будем обозначать 1", со-
соответствующий этой форме полином из 3*п обозначим
70

Для определения я„(?",х) достаточно определить
«ин полиномы при |" 6 Хоп. Возвращаясь к формуле C),
йнднм, что Р/Д!'"', х) представимо в виде яА(|**\ х),
где |(*> ? X*. Очевидно, что |ш линейно зависит от |<п).
Значит, существует линейный оператор Vnik, действу-
действующий из Хоп в Xk, такой, что
Из C) получаем следующее представление для яп(?(п), х):
я„ (?<">, х) = 5«»> (х, ..., х) +S я, (К„, Д<»\ х). F)
fe=0
Значит, если уже известны пй(|ш, х) при k < n, то для
определения я„ (|<п), х) нужно лишь знать операторы
Vn< к. Чтобы затем продолжить это определение на Хп ,
нужно еще знать скалярное произведение D). Имеем
следующее рекуррентное представление:
"\ &">>„ = S 1[п) (х, ..., х) 1'"' (х, .... х) ц (dx) +
?<"> (х, ..., х) S я, (Vn, klP, х) |i (dx)
fe 0
«' (X, .... X) Д Я, ( Vn, №, X) |
n-1
fe O
или в силу формулы A) § 10
п-\
st<n) t(«)\ —Qr. t(n) vE("' * rr У /V ?<n) V ?<n>4 "¦
4fei > ?2 /rt--°PSi ли * U2n—Z~ \* n, ftSi > »n, *S /*•
G)
Для определения Vn k введем билинейную форму Вп k:
при Iм g Xon, ?<*> 6 X«
В„,, (?««), gtt)) = J ^<n) (x, .... x) я* (!'*>, x) |i (dx). (8)
Из F) получаем для Вп<к следующее рекуррентное
71

соотношение:
2|11/(Е,^,Д)
i=o
(9)
Умножая F) на nk{Qk\ x) и интегрируя по |л, находим:
Из A0) Vn,k определяется однозначно. Соотношения
G), (9), A0) позволяют последовательно определять
\"» '/о> &1, о» '1,о> ^" > '/1> "г, о> "г,1> ' 2, о> '2,1
И Т. Д.
Построим в качестве примера систему ортогональ-
ортогональных полиномов для гауссовой меры у. с характеристи-
характеристическим функционалом 0(г) = ехр{ — (Аг, г)}, где А — не-
некоторый ядерный оператор.
Все формулы существенно упрощаются, если исполь-
использовать скалярное произведение
(x,y)+=(A-lx,y),
и в этом скалярном произведении считать следы. В ска-
лярном произведении (•, -)+ очень простой вид имеют
моментные формы меры ц: 0^ = 0 при нечетном п,
а при четном п
л/2
П
где сумма берется по всем возможным разбиениям
чисел 1,2, ...,п на п/2 пар (ik, jk). Последняя фор-
формула вытекает из равенства
=i
да.1...да.„
[и
)
п
(dx)
а,
л) ]
f
-о а -о
а,=о, .••¦«„=
oat.. .оа„ i ^ \ 1
Следы в скалярном произведении (•, -)+ будем
обозначать Sp+. Введем отображение Xя в Хп~2,
72

ииредоляемое формулой
«0« t(n) G у \ _ V t(n) (о о 7 у \
4_
рдг {ек\—некоторый ортонормированный в скалярном
произведении (-, -)+ базис.
Будем искать последовательно операторы Vn<k и
скалярные произведения <•, •>»• Вычислим
величина равна нулю при нечетном n + k. Пусть
ч-\-k~2m. Заметим, что для подсчета Sp+|(п+*'*а^+/(,
;'де |(П+А)—линейная форма, нужно аргументы |"+*
разбить на всевозможные пары, свернуть по каждой
шре (т. е. подставить вместо этой пары аргументов
>динаковые векторы из ортонормированного базиса и
фосуммировать по базису) и результаты сложить.
:1усть аргументы |(и>х|(*' так разбиты на пары, что
шеется s пар, в которые входят и аргументы |(п) и
\{к). Сворачивая по остальным парам каждую форму
з отдельности, получим
Таких разбиений будет
Упк (k— 1).. .{k—s+ 1) (n—s+ 1)!! (k—s— 1) II
n\k\
~ s\(n—s)\\(k—s)\\ '
Следовательно, полагая —^ = /, ^-%- — г, находим
Используя эту формулу, можем определить
V2n, о5<гл>= -Bя-1)
73

Далее, j
2«> x
+ Bn— 1)!! (Sp*)« ?<*»> (Sp*)« g«»»> (Sp*^1)—
R тгл) у Б<»Л —
^in.o^S i у 2, оъ ^ —
"~Bя—2)!! "+^ "+'' X
Следовательно,
По индукции можно проверить, что
й man) giafen __ Bn)'
и, значит,
eia«)_
S - (
B") I
Bп-2Л)!!BЛ)!
Точно так же
Таким образом, окончательно находим
@; n + k нечетно,
§ 12. Полиномы, ортогональные с некоторым весом
Построения предыдущего параграфа имеют смысл
лишь для мер из аЛт, а использовать построенные
ортогональные полиномы для разложения интегрируе-
интегрируемых с квадратом'функций'можно для еще более узкого
класса (см. теорему 1 § 10). Чтобы расширить класс
мер, для которых можно использовать разложения по
74

полиномам, как и в конечномерных пространствах,
шюдят полиномы, ортогональные с некоторым весом.
Пусть ц—некоторая мера на (X, 33), р(х)>0—та-
Кнн 33-измеримая функция, что для всех z ?Х ип>0
. (I)
Иудем рассматривать полиномы п„(х), 'ортогональные
О бесом р(х): п'„(х) и п^(х) ортогональны, если"
О. B)
Построение полиномов, ортогональных с весом р,
IKнивалентно построению системы"ортогональных функ-
функций вида
Vp(x)n(x), C)
где л(х)—полином. Очевидно, что такиеЦфункции
можно использовать для разложений измеримых функ-
функций 'из J?2(\i). Выбирая 'подходящим образом~р(д:),
можно добиться, чтобы эти функции^имели достаточно
Простую аналитическую природу. Для построения са-
самой системы ортогональныхf функций вида" C)"можно
использовать результаты предыдущего параграфа.
Введем новую меру v, определяемую"равенством"
v (Л)-$ р (*)(!(<**). D)
Тогда A) и B) перепишутся так:
| (г, х) |" v (dx) < оо, z?X, n>0;
Тнким образом, мера v уже будет мерой из сМ^, а си-
t'Tj'M» полиномов будет ортогональной системой поли-
Номоп по мере v.
Как указывалось в § 11, достаточно построить
систему ортогональных подпространств <Уп (v) v-изме-
fiiiMhix полиномов степени п. В качестве функций вида
\'Л) нужно брать элементы из ^?n(v), умноженные на
Ур(х). Чтобы получить настоящую последовательность
75

ортогональных функций, нужно еще построить /базисы
в каждом подпространстве <J>n (v) (они строят/я мето-
методом ортогонализации произвольной последовательно-
последовательности, линейная оболочка которой плотна в ?Рп(v)).
Основная трудность, которая возникает при построе-
построении ортогональных полиномов с весом р—это вычисле-
вычисление моментных функций меры v по характеристикам
меры ц, с помощью которых она задана. Моментные
функции меры v имеют вид
o<P(zlt ..., zB)=$(zlt x) ... (zn, x)p(x)n(dx). E)
Заметим, что нахождение удобных процедур для вычи-
вычисления интегралов по мере р, для разных классов функ-
функций— задача далеко не тривиальная и поэтому жела-
желательно ее максимально упростить. Весьма удобно для
вычисления моментных функций E) найти характери-
характеристический функционал меры v, так как эти функции
находятся затем с помощью дифференцирования.
Рассмотрим один конкретный случай функции р (я),
для которой характеристический функционал меры р,
может быть представлен удобным образом. Пусть
р(х) = ехр{ — (х, х)} F)
(вес, аналогичный весу для полиномов Чебышева—Эр-
мита в одномерном случае). Заметим, что функция
ограничена при любых z ? X и п > 0. Поэтому интег-
интеграл A) существует. Так как для каждого z?X
является целой аналитической функцией t в силу схо-
сходимости интеграла
(| f|-|z|-|x|—\х\2 как функция от х ограничена сверху
числом у| ?|2|г|2), то для меры v выполнены условия
теоремы 1 § 10, какова бы ни была мера \i.
76

Для вычисления характеристической функции 0V (z)
M«'|>u v,\ имеющей вид D) с р(х) вида F), заметим, что
ГДе KL—гауссова мера со средним нуль и корреляцион-
корреляционным оператором PL (здесь L—конечномерное подпро-
цранство X, Р, — оператор проектирования на это под-
подпространство). Значит,
9v(z)= lim
= lim \\\
LtX"Ll)
=-- lim \
itx
Hm обозначает предел по возрастающим после-
L\X
доиатсльностям конечномерных подпространств /.„, для
Которых i)Ln плотно в X, 8ц,— характеристический
п
функционал меры \и.
Пусть \L—проекция "к1 на L. Тогда
XL (Л) - Dя)-"<-2 J е-с*v#mL (dx).
А
{X;. (И)} образует согласованное семейство конечномер-
конечномерных распределений (см. пример § 2), которому соответ-
t'i пуст некоторое слабое распределение. Так как 0ц,—
хмриктеристический функционал меры, то на основании
следствия § 4 существует такой ядерный оператор С,
ч К) Dv (z) непрерывно в скалярном произведении (Сг, г) —
(г, г)_. Поэтому Op, (z -f-u) как функция « может
Лить продолжена по непрерывности на пространство Х_,
пополнение X в скалярном произведении (•, •)_. Но
пи пространстве X существует мера К с конечномер-
конечномерными распределениями {Я^}; эта мера гауссова. Оче-
М1Д1Ю, ЧТО
lim
L ^ X
(мы обозначаем продолжение (^(z-fu) на Х_ тем же
символом). Чтобы избежать выхода в расширение
77

пространства X, используем запись
Эта формула удобна тем, что для определения!*),, (г)
нам нужно интегрировать 9Д (г)*всегда*П9/одной;и той
же "мере. "зав-*"/
Системы ортогональных - функций в J?i(\>) можно
строить 'и 'обычным^способом, беря"? произвольную по-
последовательность функций из у„(х), а затем^ортого-
нализуя ее методом Грама—Шмидта. При использова-
использовании такого метода нужно"Суметь вычислять интегралы
(8)
где {ф„}—рассматриваемая последовательность. Как
уже отмечалось, вычисление этих интегралов, вообще
говоря, может оказаться затруднительным. Однако можно
указать класс функций <р„ (х), для которых интегралы
вида (8) считаются весьма просто, если только задан
характеристический функционал меры ц. Это тригоно-
тригонометрические функции.
В этом случае удобнее рассматривать комплексно-
значные 33-измеримые функции ц>(х), для которых
Пространство таких функций обозначим «5% (jj). Ска-
Скалярное произведение в 3?г (ц) естественно определить
так:
(<Pi. Ф«) = $ <Pi (x) Фг (х) И (dx). (9)
Тригонометрическими функциями называются функ-
функции вида exp{i(z, x)\ при всевозможных z?X (аргу-
(аргументом функции служит х). Линейные комбинации
тригонометрических функций называются тригономет-
тригонометрическими полиномами. Очевидно, что такие многочлены
плотны в смысле сходимости в ^2 (ц) в множестве огра-
ограниченных цилиндрических функций, которые в свою
очередь плотны в множестве ограниченных непрерыв-
непрерывных функций (для таких функций ф (а;)) имеет место
78..

ф (х) — lim ф (PLx)), наконец, последние всюду
Плотны в ^2 (jx). Таким образом, можно построить
Полную систему тригонометрических полиномов, взяв
Множество функций {exp{i(z, x))), где г пробегает не-
Иоторое счетное плотное в X множество значений.
Значения интегралов
, x)\ exp{iB2, x)}
= S exP{i Bi
наиестны, если только известен характеристический
функционал меры ц.
В том случае, когда мера jx представима в виде
\i* II I1 ?,'*>, где цЛ«)—меры на одномерных простран-
C'l'uax, порожденных векторами ек, образующими орто-
иормированный базис в X, построение ортогональной
(,'Истемы тригонометрических полиномов существенно
облегчается. Пусть %f п((х, ек))—полная система триго-
тригонометрических полиномов, ортогональных но мере ц^*>.
т
Тогда тригонометрические полиномы вида П г|з^ „ ((х, ек))
при всевозможных т и пх пт образуют полную
ортогональную систему тригонометрических функций
по мере \i, так что для таких мер задача сводится
к построению ортогональной системы тригонометричес-
тригонометрических полиномов для мер в одномерных пространствах.

Глава 111
АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ МЕР
§13. Теорема Радона — НикодимаУУсловные меры
Абсолютная непрерывность и сингулярность мер
играют очень важную роль при изучении мер в беско-
бесконечномерных, в том числе и в гильбертовых простран-
пространствах. Если в конечномерных пространствах не может
быть никакой более или менее содержательной теории,
трактующей эти вопросы, то в бесконечномерных про-
пространствах такая теория возможна. Ее содержанием
является как изучение абсолютной непрерывности и
сингулярности для различных конкретных классов мер,
так и нахождение общих условий абсолютной непре-
непрерывности или сингулярности в терминах конечномерных
распределений или других характеристик, определяю-
определяющих меры. Важной задачей этой теории является вы-
вычисление плотности одной меры относительно другой
в случае абсолютно непрерывных мер, а также указа-
указание тех непересекающихся множеств, на которых сосре-
сосредоточены сингулярные меры.
Напомним основные определения. Пусть на измери-
измеримом пространстве (X, 33) заданы две меры, \л и v.
Говорят, что мера v абсолютно непрерывна относительно
меры ц, если v(A) = 0 всегда, когда ц(Л) = 0, А ? 33.
Абсолютная непрерывность v относительно ц обозна-
обозначается так: v-^ц. Если v<^;n и ц-^v, то пишут v~jx
и говорят, что v и ц эквивалентны. Говорят, что
меры ц и v сингулярны, если можно указать такое
множество FaX, что \х,(Х—F) = 0, v (F) = 0. Сингу-
Сингулярность обозначается так: ц J_ v (говорят еще, что ц
ортогонально v).
Для абсолютной непрерывности меры v относитель-
относительно ц необходимо и достаточно, чтобы для всякого е > 0
80

Существовало такое 6 > 0, что v (А) < 6, если только
|i (Л) < е. Достаточно даже, чтобы это условие выпол-
выполнялось для А из некоторой алгебры 5Я, монотонное
иамыкание которой совпадает с 33.
Основной факт, относящийся к абсолютной непре-
непрерывности мер, заключается в следующем.
Теорема Радона — Никодима. Для того
чтобы мера v была абсолютно непрерывна относительно
меры ц, необходимо^и достаточно, чтобы существовала
такая ^-измеримая функция р (х), интегрируемая по
мере \i, что для каждого А 6 =©
A)
Функция p(jc) называется плотностью (или произ-
производной) меры v относительно меры ]х и обозначается
dp K '
Если v и \i—произвольные меры, то мера v пред-
ставима в виде Vi + Vj, где vx<^i*, a v2j_n. vx назы-
пают абсолютно непрерывной составляющей меры v
относительно ц, a v2—сингулярной составляющей. Плот-
Плотность pt (x) абсолютно непрерывной составляющей от-
относительно меры \i также называется плотностью v
относительно ц и обозначается
Таким образом, условие сингулярности v относи-
цвльно \i можно записать так:
Пусть v<^\i и -^-(д;)>0 (modn). Тогда и
причем
Действительно, для произвольной 33-измеримой
81

неотрицательной функции /
J
?
=!'<*>
«
Весьма просто также устанавливается/ следующе<
полезное соотношение: при ^^
Часто мы будем использовать/ следующий элемен-
элементарный факт. Пусть f—отображение измеримого про-
пространства (X, 23) в (У, ?). Пусть меры |1 и v на (Y, &]
являются образами мер ц и v при отображении /: дл*
Тогда из соотношения v <^ ц (v J_ ц) вытекает, чтс
Теорема Радона—Никодима имеет приложения вс
всех областях анализа. В самой теории меры ее можнс
использовать для построения условных мер. Это поня-
понятие будет использоваться в дальнейшем, поэтому оста-
остановимся jiа нем подробнее.
Пусть (X, 23)—измеримое гильбертово простран-
пространство. Возьмем некоторую а-алгебру 23О множеств а-ал-
гебрыл23. Пусть |д, — мера на (X, 23). Будем обозначать
также |л ее сужение на 35О. Для всякого А 623 мера цА
на 23О, задаваемая равенствами \хА (Ао) = \х (А П Ло),
¦^о€23о, абсолютно непрерывна относительно меры \*
на 23О, так как
По теореме Радона—Никодима существует плотность
меры {Ад относительно ц,. Обозначим ее ц,(Л|л:):
IX (А П Аи) = цл (Ао) = J |i (А 1 х) ii (dx), Aa € 23О. B)
А.
Функция fx (А | х) неотрицательна и 230-измерима. Так
82

клк\
ц(Дп{*:|1(Л|х)>1})= S ti(A\x)\x(dx),
\ {х: ц(А\х)> 1}
то |i({x: (i;(Л |*) > 1}) = 0, значит, ц. (А |х)< 1 (mod|л).
Заметим, что^ц (А I х) однозначно (mod ц.) определяется
кйк 83-измеримая функция, удовлетворяющая ее соот-
соотношениям B). Поэтому для^всякой последовательности
нопоресекающихся множеств" Ак ? 33 из равенства
J |1 (и ЛА | х) |* (dx) = ix (U -4* П -4.) =
А, * »
иытскает, что ц(у ЛА|л:)= ^ (х(ЛА|лг) (mod ц). Та-
* л
КИМ образом, |х(Л|дг) обладает свойствами меры как
функция х по мере ц. Отсюда, конечно, не вытекает,
что (I (Л J лс) будет мерой по А при фиксированном х.
Покпжем, чт функцию jn (Л | л:) можно выбрать так
(для каждого А можно менять ее значения на мно-
множестве меры 0), что ц(Л|х) будет мерой по А для
почти всех х по мере ц. Такую функцию ц,(Л|х),
т. о. функцию, удовлетворяющую следующим условиям:
и) |i (Л | х) 230-измеримо по х для каждого А € 58; б) для
каждого Ло G Я30 она удовлетворяет условию B); в) ц, (Л|#)
ииляется мерой по А для почти всех х по мере ц,—будем
называть условной мерой, отвечающей [х, относительно
а-алгебры Э50.
Для доказательства существования условной меры
используем характеристический функционал. Опреде-
Определим ^„-измеримую функцию 0(z\x) из соотношения
S = \ [Q(z\x)ix(dx), C)
справедливого для всех Лв€330- ^ (z | х) можно предста-
ИИТЬ в виде Q1(z\x) + iQi(z\x), где
(l-cos(z, x))yi(dx)=l (l-M
А
А,
ll-sin (г, х))ц(Дс)-5 A-9,(г|дс))|1(Лс),
83

где O1(z\x) и 02(z|jc) — измеримые функции; их суще
ствование обеспечивает теорема Радона—Никодимг
Наша цель—показать, что функция 9(z | яуможе
быть определена так, что при почти всех х орг буде
характеристическим функционалом.
Пусть ц>(х)—непрерывная ограниченна^/функция
Определим интеграл
D
как такую 23-измеримую функцию, что для всех Аа G 33
J J Ф (у) ц {dy 1 х) ц (dx) = J ф {у) у, (dy). E
Заметим, что этот интеграл является пределом m
мере \i интегральных сумм 5] ф (Уь) Iх (^* 1х) ПРИ ^—>-0
где ЛА попарно не пересекаются, {jAk — X, ук?А
[sup у (у)— inf ф(г/)
\A A
1 .
J
Выберем некоторую счетную алгебру множеств 910
для которой для всякого е > 0 можно указать после
довательность множеств Ak ? 3@, такую, чтобы и Ak — }
и диаметры множеств Ak не превосходили е.
Выберем в ?@ системы множеств An<k так, чтобь
ее
Л„>;, и Л„?/. не пересекались при кФ\, (j Antk — X
диаметр An<k не превосходил \/п, для всякого к су
ществовало такое /, что Ап + Л< kczAn<J-.
Обозначим G множество тех х, для которых ц(Л|х
конечно аддитивна на S(o и для всех пик
¦ f ( Л I v\ ^* и ( Л п Л I \Л
\1 \Лп, !tlX) — 2л № \"n + l, j I 1 ™n, k I ¦*/•
Так как у нас имеется всего счетное число услови]
аддитивности и каждое такое условие выполняете;
почти всюду, то |х (G) = 1.
Если ф (х) — любая равномерно непрерывная огра
ничейная функция на X, то С ф (у) ц (dy | х) можш
определить как предел
lim 2 I* И». *1*)Ф (&,,*). F
П -V со А= 1
84

•'Де Ути^Ап, k- Эт°т предел существует для всех x?G.
Легко видеть, что
). G)
И так как eiiz'x)—равномерно непрерывная функция,
то 0 (z | л:) можно вычислять с помощью формулы F).
Поскольку
Нт Г \1—е "
то, полагая
будем иметь
ГJ(
тик что цE„) —»• 0 при п —* оо. Если
да со
""" X— U П В„ то ц, (G,) — 1 и для всех * g G П Gj
/1-1 1 = П
П -> CD
Твк как на G интеграл под знаком предела монотонно
Яйиисит от п, а при х 6 Gl можно указать сколь угодно
большие п, такие, что х?Вп, и, значит,
Для всех x?Gr\Gt Q(z\x), определенное как пре-
предел пида F), является непрерывной по z функцией.
85

Действительно,
+2$v
1-
Второй интеграл можно сделать сколь угодно маль
выбором п, а первый—выбором |гх—z2|.
Так как
k,
то Q(z\x) при х?Gx ПG положительно определено по
Наконец, при достаточно больших п и xGGjdG
Re(l-0(z|x))--=$(l-cos(z, y))
Легко видеть, что выражение
x)
при х ? G Г) G, является положительно определение
симметричной билинейной формой, причем для люб01
ортопормированного базиса {ek\
86

Поэтому существует такой ядерный оператор D, что
С(/ц z,) = (Z)z1, zB). Значит, 6 (z \ х) для всех х ? G: П G2
удоилетворяет условиям теоремы Минлоса—Сазонова,
TIK что существует такое семейство мер \i(dy\x), что
Используя ^-измеримость Q(z\x), легко убедиться
№0-измеримости
) (8)
для каждой непрерывной ограниченной функции ф (для
ятого нужно использовать аппроксимацию ф (у) цилин-
цилиндрическими функциями ф(Р?#), а затем аппроксимацию
цилиндрических функций тригонометрическими много-
многочленами). Поскольку с помощью операции предельного
перехода из ограниченных непрерывных функций можно
получить все ограниченные ^-измеримые функции,
то (8) будет 330-измеримой функцией х для каждой
ограниченной 35-измеримой функции ф. Поэтому \i (В | х)
SJ-измеримо для каждого 5^35
Исходя из равенства
(dy | х)] р (dy) = J el^ у^а. (dy),
А
Где \ха,(В) = \х,(А0\В)—некоторая мера на S3, убежда-
убеждаемся, что
(г'у) 1л. (dy) = J в (z, х) ii (Ac) = J в' ««• Л ix (dy),
Так что |n,J40 E) = jji (Ло П В). Другими словами, j.iE|a;),
Как и \и(В\х), удовлетворяет соотношению
(9)
Поэтому ц(В\х) является условной мерой и относи-
относительно 0-алгебры 23О. Существование условной меры
доказано.
Весьма важным является тот случай, когда 0-ал-
гсбра Э}0 порождается некоторым конечным или беско-
87

нечным множеством функций {сра}, т. е. является /а.
нимальной а-алгеброй, относительно которой вер' э:
функции измеримы.
Заметим наконец, что соотношение (9) эквивалент]
следующему утверждению: для всякой ограничена*
^„-измеримой функциия|з(л:) и 23-измеримой функции ф(д
для которой С | ф (х) | ц (dx) < оо, справедливо равенст)
Ф (*) |i (Лс) = J Ф (х) J ф (у) p{dy |х) р (dx). (I
Исходя из соотношения A0), можно установит
что для всякой ограниченной 330-измеримой функции |(
и функции ф; для которой С (ф (л:) | |ut (dx) < с»,
) (mod|i). (I
§ 14. Мартингалы и полумартингалы
Для краткости будем обозначать (X, 35, ц.) изм
римое пространство (X, 23), на котором определе}
мера \i. Совокупность (X, 33, |л) будем называть пр
странапвом с мерой.
Последовательность измеримых функций {ф„(д
п=1, 2, ...} на (X, 35, ц) называется мартингало.
если для всякого п
и для всякой §1„-измеримой ограниченной функщ
•ф (л;) ^ 0, где 31„—минимальная о-алгебра, относ
тельно которой измеримы фх, ..., ф„, выполняется с
отношение
J Ф«+1 (х) if (х) ц (dx) — J ф„ (х) i|) (х) ji (dx). (
Если вместо равенства в A) стоит знак ^, то такг
последовательность называется субмартингалом, ео
же в A) стоит знак <:, то такая последовательное
называется супермартингалом.
Легко убедиться, что в случае мартингала соотн
шение A) имеет место для всех неотрицательнь
88

Й„-н§меримых функций ty(x), для которых существует
Точно так же при этом условии для субмартингалов
i (I) будет знак ^, а для супермартингала знак <!.
Нее эти последовательности замечательны тем, что
i при весьма широких предположениях у них почти
Мослу по мере \л существует конечный предел
lim ф„(дс). B)
П ->- со
Для этого нужно лишь, чтобы
оо. C)
< >смовным в этом параграфе и будет доказательство
существования предела B) при ограничении C) для
Мнришгалов, супермартингалов и субмартингалов.
Оказывается, через мартингалы довольно просто
иырпжаются две другие последовательности.
Лемма 1. Для всякого субмартингала (супермар-
пшчгала) существует такая последовательность функ-
функций ?„(*)> чт°; а) ?п (*) ^„-измеримы; б) последователь-
ноппь ср„ — ?,„ является мартингалом; в) t,n(x) возрастает
О п (убывает с п) почти всюду по мере ц.
Локазательство. Положим
С-мМ—?„(*)=$ фя+1 (У)H(dy, SIJjc) — 4>n(x), D)
гди ]i(B, 9ЭС„ | лс)—условная мера ц, относительно сг-ал-
гебры 91„. Существование такой условной меры дока-
¦4ППО п § 13. Очевидно, ?„ + , (х)—tn(x) является 21„-из-
мерпмой функцией. Умножая эту функцию на любую
ограниченную неотрицательную функцию ty(x), изме-
измеримую относительно Ш.„, находим в силу равенства
A0) § 13
= 5 J Фя+1 (У) И (dy, Sf«
— 5 Ф» W Ф W И- (dJt) = 5 фп+1 (х) ф (х) |х
E)
89

Из этого равенства вытекает, что, полагая
будем иметь
()] Ф () ц, (d«) =
Пусть в E) ф(х) = 1, если ?п+1 (*)—&, (х) <0, и ф(х)
в остальных случаях. Тогда, используя определе:
субмартингала, получим
„ + 1 (Х)-С (X)] * (X
Значит, Cb+i(*)^CM почти всюду по мере |л. ^
логично устанавливаем противоположное неравенс
для субмартингалов.
Замечание. В процессе доказательства лед
мы установили, что для субмартингала {ф„ (л;)}
каждого п справедливо неравенство:
Ф«+1 (У) V- (%» ®п\х)> Ф« W-
В случае мартингала здесь будет равенство. Лб
убедиться, что при выполнении этого условия {ср„
будет субмартингалом, если только для каждого t
Фя
Пусть ?„ (х) построены как в лемме 1. Тогда
„ (х) ц (dx) = J [?я (х)- Фя (х)] ц (dx) + J Фп (х) р. (
Беря в A) i|)(x) = l, находим, что для мартин:
J фя (*) (i (^) = ^ Ф1 (*) М-
90

11очтому
С* (X) fx (dx) = J & (х)-Ф1 (x)] fx (dx) r J Фя (л:) ц (</*) =
= J Ф« (*) M- (dx)— J <Pi (*) |i {dx).
Цели для субмартингала {ф„ (х)} выполнено усло-
кие C), то
sup \tn(x)]i(dx) < оо,
И Поэтому неубывающая последовательность t,, (х) почти
мт>ду имеет предел, причем этот предел также интег-
рирусм по мере ц. В случае супермартингала ц>„(х)
пуомартингалом будет --<fn(x), н тогда существует
интегрируемый предел у последовательности —?„ (х).
Таким образом, для доказательства существования
Предела B) у каждой из трех определенных в этом
параграфе последовательностей, достаточно рассмотреть
ЛИШЬ мартингалы.
Лемма 2. Если {ф„(л:)} является мартингалом, то
(Ш всех п ио>0
<^p ^()(), F)
IJ n j
tfo ч>Ь(х) = ч„(х) при Ф„(х)>0, и ср+(х) = О при
f.(*)<0.
sup С ф„ (х) |л (dx) < оо, то
п J
It (\x: sup Фй (х) > a} ) < 1 sup j Ф+ (д) (i (dx). G)
Доказ ательство. Пусть %k(x) = 1, если фх(х) <
< я ср*-! (х) < а, щ (х) > a; xft (x) = 0 в остальных
ОЛучаих. хА(х)—31А-измеримая функция. Поэтому при
X* (х) М (dx) = 5ф„_! (х) Xft (*) |х (Лс) = ..
• • • = S Ф* W X* (х) fx (dx) > a J х* (*)
91

Значит,
п п
) 4>п (х) Д] Ъ (*) ^ (dx) > а ) ^S X* (*) И- (d*)•
п
Очевидно, 2 X* С*) является индикатором множес
к=\
[х: supфА(х)^с\ = Вп. Из A) получаем
Неравенство F) доказано. Неравенство G) получае
из F) предельным переходом по п.
Теорема 1. Если \<рп(х)\—мартингал, для кс
рого выполнено условие (8), то почти всюду по ме?
существует предел B).
Доказательство. Будем говорить, что not
довательность ах, а2, ... бесконечное число раз п<
секает промежуток [а1г ра], рх < р2, если можно ука:
такие kx < k2 < ..., что afci > ра, aftj р
Пусть Вр,, р,—множество тех х, для которых но
довательность {ф„(х)} бесконечное число раз nepecei
промежуток [р1; p2j. Обозначим В_ множество те.
для которых infcpn(x)——оо и В+ — множество те
для которых sup(pn (х) = оо. Тогда
где рх и р2 пробегают все рациональные числа, б
множеством тех х, для которых предел B) не суй
вует. Из G) вытекает, что
ц(?+) = Нтц f/x: supq>A(.x) >c\"\ =0.
Рассматривая последовательность—срп (л;), точнс
же находим, что (х(В_) = 0. Поэтому для доказат
ства теоремы достаточно показать, что при Рг < р
Определим последовательность функций kn (x)
дующим образом: ko(x) — 0, k1(x) = j, если Фг(х)
92

*I|hi l<i, ф,(х)>р2; ^(л;)=-с», если qt(x)<$2 для
I > 0; k2(x) = j, если kx (х) < с» и фД*)^!,
^Pi Для k1(x)^.i <. j; во всех остальных слу-
Л„ (х) = с»; если k2n (х) определено, то k2n + 1 (x) ~ j,
ft'Л и kln (*)< оо, и ф, (х) < р2, фу (х) > р\ при /г2л (х) <
^ / • . /; если /г.,„ (х) --^ с» или ф,- (х)> Р2 для i > /г2и (х),
fft Л|„ + 1 (х) = оо; если kln^ определено, то k2n + 2{x) ~ /;
№ЛИ A«BTiW<oo и Ф,(х)>р1, фДхХР^ при
•«и W<f </- TO&2n + 2 (*)="/; если /?8nxi(x) = cx5 или
Н'г (*"): ¦ Pi Для i > k2nJ.l (х), то kln+2 (x) = 00. Положим
ЛИЛ***', Х„ (х) = 1, если k2i(x)^n <k2l+1(x) при некото-
jitiM/; х„ (х) = —1, если *2i-iW^n<^iW при неко-
tupiiM i. Легко видеть, что для определения Хи^) Д°-
4!fMT«4iio лишь знать ^ (х), ..., ф„ (х), причем %и (х)
ИИЛмется борелевской функцией от ф, (х), ..., Ф„(х).
Поитому х„(х) является ^(„-измеримой функцией.
11оложим
п-\
Фп (X) = Ф1 (X) + ^1 [ф*н 1 (X) — фА (X)] %к {X).
Покажем, что ф„ (х) также является мартингалом.
Пусть $„—а-алгебра, порожденная функциями ф! (х),...
, i., ф„ (х). Так как фА (х) измеримо относительно 31А,
TO ЙяСчН„. Если функция гр (х) ограничена и 31п-изме-
рИМи, то она и 31„-измерима. Поэтому
J Ф» 11 (х) ¦* (х) ц {dx) =
» W + (Ф»+1 (*) —Ф« (*)) X» W1 * (*)
fiK как
Йн-измеримости и ограниченности %n{x)ty(x). Значит,
ф» (¦*) — мартингал.
'Гак как Ф1(х) = ф1(х), то
\ Фп (*) ц (dx) =\q>i (х) |я (dx) = j Ф1 (х) [i (dx).
Дйлое, Ф„(х) = фп(х) при л^/гДх). При kx(
ЧЫ (*)—Фм*> (*) = Ф»,и> (Дс)— ф„ (Дс) или
Ф„ (дс) = 2q>kiU) (х)—ф„ (х) > 2р2 — фп (х).
93

Поэтому <Pftl,J()(*)>2pt—pi> р! >фм„(дс) и фи (х)
>Ф„(х) при k2 (х) < /г < k3 (x), а при k3(x)^k
^ Фл (X) — Ф/г3 (,) (*) = ф/,, ,л) (*) — ф„ (*) .
Ф„ (х) > 2ф6зи) (х) — ф„ (х) > 2р2 —ф„ (х).
Аналогично убеждаемся, что
<pa{x)^min[<pa(x), 2.%~ф„(*)].
Пусть ф„ (х) = ф+ (х) — ф^ (х), <р„ (х) =- ф+ (х) — фя
где ф+ (х) ц>п(х) =--- ф,| (*)ф- (х) = 0, ф; (х)>0, ф~ (х);
Ф+(х)>0, ф^(х)>0.
Из A0) находим
Ф- (х) = max [ф- (х), ф+(х) —2р2] < j Фи (х) | ¦ |-21Р2
Поэтому
Ф+ (х) ц (dx) == J ф„ (х) ц (dx) + J ф- (х) ,u (dx) <
< S [фя (Jf)H-1 Ф« (*) М- 2 |Р21 ] и (rfx)=^
Значит,
\i(\x: sup <pn(x) = oolW Птц fix: su
Заметим теперь, что
Действительно, /г„(х)<с» для всех /г при
Но при /г„ (х) < оо
Ф*«(л W—ЧЧ-iU) W > Pi—Pi. Ф*,
так что q>ftn u) (x) > р2 + (n — 1) [р, — Р!]. Поэ
sup(pn(x) = oo при х^Вр^р,. Соотношение A1)
п
новлено. Значит,
94

Следствие 1. Всякий неотрицательный мартин-
мл {фи (х)\ имеет предел почти всюду по мере \л', если
Ф (х) = 1 im ф„ (х) (mod jx),
тп
J Ф (х) It (dj:) ^ J Ф1 (ле) |* (Лс). A2)
Действительно, для неотрицательного мартингала
J I Фя (*) I И- (dx) = J Ф„ (х) и- (dx) = J фх (х) \i (dx),
И условие C) всегда выполнено. A2) вытекает из тео-
pfMM Фату.
Сл'едствие 2. Если <ра(х)—неотрицательный суб-
мартингал и
sup ^yn(x)\i(dx)<<x>,
П
то существует предел
J Ф (х) ц (dx)< sup $ Ф„ (х) |i(dx). A3)
п
Вели в A3) стоит, равенство, то для всякой Шп-изме-
римой ограниченной неотрицательной функции ${х)\
J Ф (х) -ф (х) (х (dx) < 5 Фи (х) ф (х) ц (dx). A4)
Для доказательства соотношения A4) заметим, что
ИМ основании теоремы Фагу
J Ф (х) г|> (х) ц (dx) < lim ^ Фт (х) ф (х) jx (dx). A5)
Пусть ot >. -ф(дс). Тогда и
J ф (х) [сс-г|,(д)] tx(dx) <lim J Ф.'(х) [а—Ц)(x)] |i(dx).
A6)

Если либо в A5) либо в A6) было бы строгое не
венство, то тогда бы
$ Ф (х) v- (dx) < lim J фт (х) ц {dx),
что противоречило бы предположению, что в A3) ил
место равенство.
Для мартингалов в тех же условиях в A4) и\
место равенство.
Замечание 1. Если{фл(#)}—мартингал и Я,(т
неотрицательная выпуклая функция, определенная
(— оо, оо), для которой при всех п
то {МфпС*М является субмартингалом. Для вся
неотрицательной ^(„-измеримой ограниченной функ
= J [S Я, (Фя+1 (у)) \1 (dy, Шя \х)] ф (х) jx (dx)
(мы воспользовались неравенством Йенсена и зам
нием к лемме 1). Точно так же устанавливаем,
{Цф„ {х))\ — субмартингал, если ^(т) еще и не
вает, а {ф„(#)}—также субмартингал.
Замечание 2. При доказательстве теоремы 1
попутно установили, что
n<m
Но множество {x: kn (x) ^ m) совпадает с множес
тех х, для которых последовательность ф! (л;), ..., ц
96

it*- MHiee n раз пересекает интервал [px, pa], т. е. для
НИМДОГо м можно указать в этом множестве такие
I, *,< <&„<т, что ФА1(р
lf»,(*> ^Р и т. д.
II, Общие условия абсолютной непрерывности
Пусть (X, 93)—измеримое гильбертово пространство,
11 котором определены две нормированные меры, ц1
|1(, В этом параграфе рассматриваются некоторые
НИМ*1 условия абсолютной непрерывности и сингуляр-
|ЦШИ мер ц*.
Пели ц*<^ц\ то для всякого конечномерного под-
"(КН'Трвнства L iil^V-l, где ц?—проекции меры \ik
i /., Пи конечномерных подпространствах вопрос об
Гн'ОЛЮтиой непрерывности решается довольно просто.
иуДрм предполагать, что меры (д.1 и \i2 таковы, что
)И киждого конечномерного подпространства L имеет
¦иг К» соотношение ц!<^ц1. Исследуем при этом пред-
условия абсолютной непрерывности цг отно-
1
(I1
(
Обозначим р/ (л;) плотность меры ц1 относительно
1ЛИ Кмждого борелевского множества A??8L
A)
•киивалентно следующему: для каждого
\ -а-алгебра цилиндрических множеств с основа-
НИИМИ в L) имеет место соотношение
\ B)
А
I 1ИИЧИТ, для всякой ограниченной ЗЗ^-измеримой не-
Н?рИН«тельной функции гр (х) справедливо равенство
(х) ц2 (dx) = J Pl (ЗД ф (х) fx1 (dx). C)
Ноэьмем последовательность конечномерных под-
НрШ'Транств Ln, так чтобы Lnc=Ln+1 и \jLn было
НЙОТНО в X. Положим
4 Ai ii Скороход

Если функция я|)(^) 93?"-измерима, то она и
мерима; поэтому из C) вытекает, что
Рп+1 (х) ф (х) ^(dx) = $4, (х)ц«(Жс) - J Рл
Поскольку рл (л;) является 231и-измеримой, то а-алгебр
§tn, порожденная функциями рх (л;), ..., р„ (х), вложен,
в а-алгебру 93V Поэтому \рп(х)\ образует мартинга.
на пространстве [с мерой (X, 33, ц.1). [Этот мартини
неотрицателен, и в силу следствия из теоремы 1 § 1<
почти всюду по мере ц.1 существует предел
p(x) = limpn(x). E;
П->СО
При этом \ р (х) ц1 (dx) ^ 1, так как \ р„ (х) ji1 (dx)=
= \\ia(dx) = \ для всех п.
Теорема 1. Для абсолютной непрерывности ц.я
относительно ji1 необходимо и достаточно, чтобы функ-
функция р(х), определенная равенством E), удовлетворяла
условию
F)
В случае, когда выполнено F),
|! . G)
Доказательство. Пусть j
Обозначим Цп (• | х) условную меру jift относительно
а-алгебры 931". Тогда для 331и-измеримой неотрицатель-
неотрицательной ограниченной функции ty (x) справедливо соотно-
соотношение
ф (X) A« (dr) =- J ф (*) Я (X)
= 5 ф (х) [ J я (г/) ц» (ф | х)] \nHdx).
Сравнивая это равенство с C) при L = Ln, находим
98

Покажем, чТо рп(х) равномернб относительно Л
ЙЖвгрируемо по мере ц,1. Для этого нужно показать,
•Ни дли исякого б> 0 можно указать такое а, что для
J pn{x)ii1(dx)<B. (8)
у ) = 0 при а > т, ^а(т) = т—а при а
вРДЙ соотношение (8) эквивалентно следующему:
J К (р„ (*)) ^ (dx) H-ajx1 ({х:рп (х) > а})< е. (9)
1йИ КПК
( S I К (Я
^а (р„ (X)) lX1 (dx) < S ^а (Я (У))
W > а})< 2 S ^/з (Р
(9), а с ним и (8), будут выполнены, если a
Имбрино так, что \ ka,s (л (х)) ц1 (dx) <у-
И! того, что р„ (^) интегрируемо по мере ц равно-
относительно п, вытекает, что в равенстве
р„ (х) jx1 (dx) = 1
перейти к пределу под знаком интеграла при
Щ * оо. Тем самым F) доказано. Точно так же для
4|^'" можно перейти к пределу при п-—юо в соот-
щшншии
ц| (А) - Hm J %А (х) Рп (х) Ki (dx) = S Хл (х) р (х) ix' (dx)
ОВД аником интеграла. Значит, G) также доказано.
4* 99

Пусть теперь выполнено F). Тогда йа бснован
следствия 2 из теоремы 1 предыдущего параграфа д.
всякой 58*"и -измеримой неотрицательной ограниченн
функции г|з (х)
Р (х) г|> (х) ц1 (dx) = J Ря (х) ф (х) fx1 (dx) = $ ф (*) txa (dx
Значит, и для всякого 33L"-измеримого множества
Так как класс тех множеств, для которых A0) спр;
ведливо, содержит все 93L" и монотонен, то он содер
жит и минимальную сг-алгебру, содержащую все 23L"
т. е. содержит сг-алгебру 23. Из справедливости A0
для всех А ? 95 вытекает, что ^а<^ц,1, а также выте
кает формула G).
Следствие. Для абсолютной непрерывности \х'<
относительно ц,1 достаточно, чтобы \i2, <^ |х[ для кож-
п п
дого п а последовательность функций р„ (х) была рав-
равномерно интегрируема по мере ц, т. е. для всякого
б > 0 можно было указать такое б, что для каждого А,
для которого [i1 (А) < б, при любом п.
\pn(x)iil(dx)<e.
А
Действительно, равномерная интегрируемость влечет
равенство G). В частности, рп(х) равномерно интегри-
интегрируемо, если для некоторой функции 'ф(х), определенной
на [0, оо), непрерывной и удовлетворяющей условию
г]э(т)—к» при т—юо,
sup I 9п (*) Ф (Ря (х)) М.1 (dx) < с».
п
Другой крайний случай — это когда р(х) = (t)
Теорема 2. Равенство р (х) = 0 (mod pi1) является
необходимым и достаточным для того, чтобы \i- и [i1
были сингулярны.
Доказательство. Если Л?23:'и, то при п < т
100

Переходя в этом неравенстве к пределу при Ш—»-оо,
(Шкодим на основании теоремы Фату, что
(И)
С помощью предельного перехода A1) можно распро-
итрймнть на все Л ? 33.
Пусть теперь n'J-H-1- Тогда можно указать такое
Множество Л, что ц.а(Л) = 0 и [х1 (X—Л) = 0. Подстав-
ftnn s»to Л в A1), находим
Гик как ji1 (X—Л) = 0, то из последнего равенства
(млекнет, что р(л;) = О (mod^1). Необходимость усло-
Кин теоремы доказана. Пусть теперь р(л:) = О (mod.u1).
Покажем, что ^.Lji2. Предположим, что это не так.
Представим (д.2 в виде [X2 = av'-J-A—a)v", где v'-^1
V" 1.1*1, a > 0, a^l. Тогда, полагая
вуДбМ иметь по теореме 1
Kmp'n{x)=$jp{x) (mod И-
Но ар^(^)<р„(дс), и, значит,
t. в. J1 (^) = 0 (mod ц.1), что противоречит предположе-
предположению об абсолютной непрерывности v' относительно ц1.
Значит, ji1 J_ ji.2.
Из этих двух теорем вытекает следующее утверж-
утверждение.
Теорема 3. Функция р(х), определяемая соотно-
соотношением C), является плотностью абсолютно непрерыв-
непрерывной составляющей меры (хг относительно меры ц1, т. е.
формула G) справедлива во всех случаях.
101

Доказательство. Пусть n* = adv' +
где v'^jx1, v'Xn1. 0<|a<l. Обозначим v'L и
проекции меры v' и v" на Ln,
dv'L dv".
Тогда
Pn (*) = °ф« (дс) + A —а) р;(л:).
На основании теоремы 1
lim р„ (#) = ф-т (•*
а теорема 2 утверждает, что
Поэтому
До сих пор мы рассматривали лишь случай, ког
и.? <^и} при всех п. Предположим, что это не Тс
п п
Покажем, как построить такое разложение меры fi2
две составляющие: |i2 = v'-f v", так как чтобы v"L <r< ц
п
для каждого п, а мера v' была такой, что
Пусть ^„633—такое множество, что ц1(Ап) = 0
мера |i? (В — Л„) абсолютно непрерывна относитель
ц1 (В) на %$l ¦ Пусть, далее, Ап—цилиндрическое m
жество из о-алгебры 33^ г с основанием А„. Полож
А= U АП, V'(B) = ^(B — А), х'(В) = ц*(ВпА). Тог
102

и, следовательно, v^ <^|x^ (по построению множе-
¦ (НМ Л„). Далее, поскольку цЛ (^Г1 ИАГ|?П]) = О при
п гг
k«Ot, a —- отлично от нуля лишь на Р. А, то
dpi L"
л -
Как для всяких двух мер ц и v
С„ цилиндрическое множество из 33 л с ос-
НОМшжем Р. \А— и Л J . Очевидно, С„гэСя+1, и
lint v' (Cn)= lim v' С П С„"\ . Так как Сп имеет пустое
я =¦ ¦ п->« \ л /
Н*|Ж"счение с Ап, то и П С„ имеет пустое пересечение
п
Р Й§ЖДЫМ Ак, а значит, и с U Ak—A. Поэтому
k
Щ ИМ самым мы доказали A2).
Мери v' представляет собой сумму «конечномерных
рннгулярмостей» меры ц* относительно ц1. Она, конеч-
ИИ, г('ИНгулярна относительно р1. Для меры v" спра-
РУЛЛИйЫ утверждения, доказанные в теоремах 1, 2 и 3.
Ни иметроения меры v' вытекает, что при х € Г Г) Сп~\ U А
A3)
103

Так как v1 f Г\Сп\ = О, (Х1(Л) = О, то A3) выполняете
почти всюду по мере ц1. Поэтому
lim ^ (х) = Нш f± (х) = g (x) - f-J (х) (mod ?).
Итак, доказана
Теорема 4. Пусть (г1 « (г2—произвольные нормы
рованные меры на (X, 33), Ln —возрастающая последе
вательность конечномерных подпространств, такая, чт
U Ln плотно в X. Тогда
$?^(x) (mod,**) A4
тогда и только тогда, когда
При вычислении плотностей одной меры относи-
относительно другой используются свойства плотностей при
некоторых преобразованиях мер.
Теорема 5. Пусть измеримое гильбертово про-
пространство (X, S3) является декартовым произведением
двух сепарабельных измеримыхгильбертовых пространств
(Xlf 33!)х(Х2, 332), на каждом из которых заданы две
меры: v1 и ц1 на (Xlt S^), va и \х2 на (Хг, S32). Пусть
(л =:(л1 Х(х2, v = v1xv!—меры на (X, S3). Соотношение
v<^(j, имеет место тогда и только тогда, когда v1^^1
и v2<^(j,a. При этом
где Р1х = х1бХ1, Р2х = х*?Х2, если х = (х1; х2).
Доказательство. Если v<^.\i, то \(А1хХ2) =
41) = 0, при условии, что ii(AlxXJ) = ii1{A1) = O,
1. Поэтому v1^^1. Точно так же v2<^\i2. Необ-
Необходимость условия'теоремы доказана.
Пусть теперь v1^^1 и v2<^n2. Обозначим 33° ал-
алгебру множеств из 33, представимых в виде объединений
U (Л1хЛ|), A6)
104

U# /Ц€&1. ^fe€®2- Каждое множество из 33° пред-
• 1ййимо в виде суммы непересекающихся множеств,
«ИйДмщих в A6). Пусть
TiU как
С ,. (X) fi (dx) = С g (**) Ц* (dx*) С ^ (*•) Ц«
= vi (Л1) v2 (А2) = v (Л1 х Ла),
ш для каждого А б 23°
A7)
Свотиошение A7) выполняется на монотонном классе
Множеств, содержащем 33°, поэтому оно выполнено и
дли »сех А €$8. Отсюда вытекает, что v<^n, и фор-
Муди A5).
Другое часто применимое преобразование—преобра-
цжпмие меры при отображении пространств. В § 13 уже
унизывалось, что при отображении f пространства (X, S3)
I (Y, 2) для пар мер ^ и ц.2 на (X, S3) и v1 и v2 на
(V, Ц), где
i=l,2, A8)
свойства абсолютной непрерывности или сингулярности
Сохраняются. Укажем, каким образом вычислить плот-
iiiK'Tb одной преобразованной меры относительно дру-
другой, если известна плотность для исходных мер.
Теорема 6. Если ц1 и \i* определены на (X, S3),
II1". ц1, a v1 и v2—меры на {Y, й), определяемые ра-
ЛФнапвом A8), где f — измеримое отображение (X, S3)
« (Y, Я), то
$0$ \il (•, 33Х12) —условная мера (i1 относительно о-ал-
<ч>б1м 23i, порожденной множествами вида /:~1(С), C^S.
Доказательство. Покажем, во-первых, что
иырпжение (xx(/4, S3x|z) при Л g 39 постоянно на
105

f~1(y), каково бы ни было /. Пусть Ау={г: /(г) =
Ay^^i, и для всякого 23х-измеримого множества
либо АуСА1, либо Ау — Х—А1. Значит, всякая ЭЗа
меримая функция постоянна на Ау, и в силу ЭЗл-и
римости ^функции ii1 (A, 23j | г) от г выраж(
ц1 (А, fbtI/ (у)) не зависит от выбора прообраза /"
точки у.
Пусть а|)(«/)—ограниченная S-измеримая функци:
(У, 2). Тогда функция г|з (f (*)) = ф (х) будет 23х-изм
мой ограниченной функцией на (X, 23). Следовател
= ^ (/ (х)) Ц2 (dx) = ^ (/ (х)) & (х)
Используя соотношение A0) § 13, будем иметь
Положим
Тогда J ф(Д(г)) р'|(/ (г)) ^i (dz)=J ф (г/) р' (г/) v1 (ф). Та
образом,
Отсюда с учетом B0) и получаем утверждение теоре
fV С помощью теорем 5 и 6 можно найти выраже
для плотности при свертках мер. Пусть на (X, S3)
даны две меры р1 и \л2. Будем обозначать А — х ъ
жество \у: у+х? А}. Легко проверить, что функ
(i1 (А—х) является 95-измеримой. Мера fi1*^2, опр<
ляемая равенством
называется сверткой мер ц1 и ц.3. Операция свер
коммутативна. Чтобы убедиться в этом, приведем^
гое выражение для fi1*^2. Обозначим ^ХМ-2 прои:
дение этих мер на (X, 33)х(Х, 93). Элементы эт
106

будем обозначать (л;1; л;2). Множество
•<'; х*): х1-\-х*?А\ является 23 X 33-измеримым
в^ииморимых A. 5^i—сечение этого множества по
ft координате, т.е. \х2:(х1; x2)?SA\,— имеет вид
*', По определению произведения мер
. f §4110 Тйк же можно определить
). B3)
и получается коммутативность свертки, так как
НфнНй В B3) стоит [ц2*^1] (А). Заметим, наконец, что
|1! • Ц* получается при отображении пространства
П , Щ X (X, S3) в (X, 93) с помощью функции f {x1, х2) =
Следствие. Пусть на (X, 33) задана еще одна
мер v1 u va, причем v1^^1, ^ ТЗ
v" <^ ц1 х у? и
й основании теоремы 6 заключаем, что v1 * v2 <^ ц1 *
№=
B4)
р^ «(я1; л:2) = л:14-л:2, (S3хЗЗ)+ —алгебра, порожденная
щттестпами а'1 (А), А 6 S3.
| IM. Абсолютная непрерывность продакт-мер
Пугп, меры (i и v на гильбертовом пространстве
(Н> й') удовлетворяют следующему условию: можно ука-
Ш\и тнкую полную последовательность ортогоначьных
цпдиросгранств Xk, что для всякого п
nfc A)
107

где La = X1+...+Xn, \xLn, \KXk, vL|I, vXk—соответ/т
венно проекции мер ц и v на подпространства Ln, X*
Подпространство Ln можно отождествить с декартовых
произведением подпространств Xk, k=l, ...,n. Фор
мулы A) означают, что при этом меры \iLn и vLfl яв
ляются произведениями мер цХк и vXk соответственно.
Меры, удовлетворяющие сформулированному выше
условию, называются продакт-мерами. Формально их
можно записать в виде бесконечного произведения
И = П^ B)
(такая запись указывает лишь на способ получения
проекций \iLn, ее нельзя трактовать'в'обычном смысле,
оэ
поскольку X нельзя рассматривать как Ц Хи; однако
можно считать, что Хс JJ Xk, и тогда запись B) можно
?=1
понимать так, как она обычно понимается в теории
меры).
Подпространства Xk могут быть и конечномерны и
бесконечномерны.
Будем для краткости обозначать \xxk = \i/!, vXa = va.
Цель этого параграфа—найти условия абсолютной не-
непрерывности и сингулярности мер \х и v, выражающиеся
через меры \ik и vk. Найдем сначала условия абсолют-
абсолютной непрерывности относительно \х. Если v<^|i, то
^ для всех k. Пусть
Тогда в силу теоремы 5 § 15
) П.
где Pk—оператор проектирования^на Xk. Как было
установлено в § 15, последовательность ¦— {Pl,,x) яв-
ляется мартингалом на пространстве с мерой (X, 33, (i)
108

AРГК0 видеть, что при доказательстве этого утверж-
'^НИИ И § 15 конечномерность никак не используется).
i (Иному на основании следствия теоремы 1 § 14 почти
¦1'ЮДУ по мере ц существует предел
П
=l
ttor предел может равняться и нулю, так что беско-
Н(Н|нпе произведение справа либо сходится, либо рас-
(иднтся к нулю. Исследуем сходимость этого произве-
произведения. Обозначим Bh множество тех х? Xk, для которых
!•*(*) 0.
СО 00
Лемма 1. Если 2 M-s(fift) = 00. то Ц Р*(Р^) = О
(mod [г).
Доказательство. Обозначим В? цилиндриче-
множество с основанием Bk. Очевидно, что при
*С \) B'k хотя бы один из сомножителей pk(PkX) равен
нулю, так что бесконечное произведение в формуле C)
рйвно нулю. Покажем, что (i (J B'k у~-\. Имеем
V=1 J
Поэтому
J U Bi^lim fl-fl(l-n(fis))l=l,
так как
ЦA-^(В,))<ехр|-2^(БА)| —О
При п—юо в силу условия леммы.
109

со
Следствие. Если v<^fi, то 2 Щ-(^л) < °°-
*=i "
Пусть B'-—[}B'k и 2н-л(#*) < оо. Введем нофн
меру \i, определяемую соотношением
В'). D)
Так как 2н-/Д^*) < °°> то из доказательства
леммы 1 вытекает, что
Поэтому формула D) имеет смысл.
Легко видеть, что для всякой последовательности
измеримых множеств Ак cr Xk, обозначая A'k цилиндри-
цилиндрическое множество с основанием Ak, будем иметь
И
Таким образом, ц. также продакт-мера.
Полагая ц.л. = ^х/.., замечаем, что vk<^.\ik и
р-(х) = Рк(х)[1-Цк(ВЛ)]-1 (modji).
оо
ПОСКОЛЬКУ Д A— (Х/ДБ^)) СХОДИТСЯ, ТО
1 (mod jl).
Поэтому v<^(i /погЗа « только тогда, когда
Лемма 2. Всегда либо П -^-(P^) =
ft=l d\xk
либо П ^ (/»*«) > 0 (mod jl).
ft=i rf(i
110

Нюкязятельство. Обозначим 8" о-алгебру бо-
-т'кпх множеств, порожденную целиндрическими
щргмшми с основаниями в Хи, k = n, п + 1, ..., и
, нилгебру, порожденную цилиндрическими множе-
!МИ с основаниями в Х1, . ..,ХЯ_1.
Г.слм Л"—произвольное множество из 2", Ап-1—
из 8n_!, то
^ИП-1ПЛ») = ЙЛ„_1)^(Л"). E)
E) проверяется легко для цилиндрических
Жести Л„_х и Л", основаниями которых служат
иКества вида Сх х ... х С„_, либо С"х ... х Cn+N, где
И С—борелевские множества в Xk, затем по ненре-
нюсти соотношение E) продолжается на о-алгебры
•"и ¦• И S".
Пусть ?"= П S". S"—также о-алгебра. Если А"
п
ИйМйримо относительно 2Ш, то для каждого п и для
Никого Соизмеримого множества Л
ц(ЛпЛ-) = ц(Л)ц(Л"). F)
^Нйчит, соотношение F) выполняется и для Л, из-
измеримых относительно о-алгебры, порожденной о-алгеб-
})Ши i.',,, т. е. для всех 23-измеримых Л. В частности,
можно взять А — А*. Тогда
)« = ц(Л-). G)
Из соотношения G) вытекает, что для всякого Л
Ц(Л») равняется либо 0 либо 1.
Из того, что для каждого k
ШЫтекает, что бесконечное произведение
тогда и только тогда, когда ТТ —=?- (Р*х) > 0 для лю-
бого rt.
Ill

Функция И —=^- (РьХ) является ?"-измеримой. jtlc
этому
k-l ац
для каждого п. Значит,
В силу доказанного
равняется либо 0 либо 1.
Замечание. Установленное в процессе доказа-
доказательства леммы свойство множеств из ?а иметь меру
либо 0 или 1 для продакт-мер носит название закона
О или 1 Колмогорова.
Теперь можно сформулировать необходимое и доста-
достаточное условие абсолютной непрерывности меры v отно-
относительно меры ц.
Теорема 1. Для абсолютной непрерывности меры v
относительно ц необходимы и достаточны следующие
два условия:
а) vft<^nft, для каждого k,
б) при некотором <х?@, 1) сходится (к величине,
отличной от нуля) бесконечное произведение:
(8)
Доказательство. Необходимость условия а) оче-
очевидна. Если v<^n, то
Поэтому
112

функции я|>„ (я) = II nrM'W равномерно относи-
п интегрируемы, поскольку равномерно ограни-
интегралы
;4И1Чит, соотношение (9) можно интегрировать, вынося
ttffK предела из-под интеграла:
Необходимость условия б) доказана.
Докажем достаточность условий теоремы. Из лемм 1
Щ У иытекает, что при выполнении условия а) имеет
MPi'TO следующая альтернатива: либо v<^(i, либо
V j. ц. Последнее будет, если
Sj ц* (Bk) = оо или П -р- {Р„х) = 0 (mod ц).
Поэтому для доказательства достаточности нужно по-
МНить, что если vj_[i и условие а) выполнено,
fO Гичконечное произведение (8) расходится к нулю.
Ни и этом случае
.1ш.Пт^(^) = 0 (mod|i).
§ИЙЧИТ,
Опить используя равномерную интегрируемость функ-
ЦИЙ П (l<jVfe (Pkx)) » убеждаемся, что равенство A0)
Можно интегрировать, вынося предел за знак интеграла.
ИЗ

Поэтому
Пт\П
а-* оо J s=l
Замечание. Основным при доказательстве ъ
ремы 1 (в части достаточности) было то обстоятельст!
что для мер v и ц выполнялась альтернатива: ли
v<^;n, либо v J_ ц. Легко видеть, что при выполнен:
этой альтернативы для произвольных мер ц1 и ц2 мож
получить утверждение, аналогичное теореме 1. Сфо
мулируем это утверждение.
Если ц1 и ц2—произвольные меры на (X, 33), таки
что либо (х8^^1, либо ц1 _1_Ц2, то ц'^ц1 тогда
только тогда, когда выполнены условия:
а) для некоторой возрастающей последовательност
конечномерных подпространств Ln, такой, что Ш
плотно в X, и? ^ц! ,
б) для некоторого а ? @, 1) существует отличны
от нуля предел
(необходимо, чтобы эти условия выполнялись для лю
бой последовательности подпространств Ln и числа а
достаточно чтобы существовала хотя бы одна последо-
последовательность Ln и одно а, удовлетворяющее а) и б)).
В качестве примера применения теоремы 1 рассмот-
рассмотрим условия абсолютной непрерывности для двух гаус-
гауссовых мер, отличающихся средними значениями. Для
этого нам понадобится определить выражение^, А~х1гх),
где А—корреляционный оператор гауссовой меры ,а,
имеющий среднее значение 0. Пусть \ек} — последова-
последовательность собственных векторов оператора Л, Хк—отве-
Хк—отвечающие им собственные значения. Тогда полагаем
ф, Д-"'**)= Mm S {х'ек)!Ьек) A1)
114

н-ч и смысле сходимости по мере (i). Этот предел
tHViT даже в среднем квадратичном по мере (х,
i
П+т (х. ek) (b, е„) (x. ej) (b,,
n + m
k=n
выражение стремится к нулю при п —>¦ <х>
fикнимерпо относительно п, так как
ни проверить, что последовательность функций
(», ''¦><__¦ g*)образует мартингал, так что предел A1)
Vllltx'iiiyет (i-почти всюду.
Т е о р е м а 2. Пусть ц u v—гауссовы меры на (X, 93),
шрмтеристические функционалы которых имеют вид
= ехр | — i- (Az, z)
е'(г> x> v (dx) = exp i t (a, z)—у {Az, z)|.
существует такой вектор b?X, что a= A^2b, mo
и
)-±(Ь, b) J ; A2)
i» противном случае vj_|i.
Доказательство. Меры (i и v являются про-
1#ИТ-мррами, если в качестве Xk,k = 0, ..., взять соб-
i! I нгииыо одномерные подпространства оператора А, отве-
чщощие при k > 0 ненулевым собственным значениям,
115

a Xo—собственное подпространство, отвечающее со(
ственному значению 0. Этот факт установлен в § i
Обозначим цк и vk, k — 0, 1, ..., проекции мер (i
v на подпространство Хк. Поскольку (i0—гауссов
мера в Хо со средним 0 и корреляционным операторо
О, то она сосредоточена в точке 0. v <^ ц только тогда
когда v также сосредоточено в точке 0. Это будет лиш
в том случае, когда РХаа = 0. Таким образом, v<^
только тогда, когда а разлагается по собственным век
торам {ek\ оператора А, отвечающим ненулевым соб
ственным значениям.
Пусть (а, еи) = ак. Тогда, как установлено в § 5
меры цк и vk (k > 0) будут абсолютно непрерывш
относительно меры Лебега на Х/{ с плотностями, имею
щими в точке х — тек значения
1 I тМ 1 ( (т—ак)*\
ру f\ J У луп J . ' ш \
I- .. -- CAU л пК Г * /и CAU % пя Г •
У2яЛй I 2*-k\ у2Жй I гЧ )
Поэтому при k > 0 всегда существует -^- (х), причел
При 0 < v < 1
-exp<l—2ir-ak\-exv\ щ-(а'е*> {
На основании теоремы 1 можем утверждать, что
тогда и только тогда, когда Рх0й = 0 и
П°° CXD.Y('-Y)/ c\«l_exn/ Y(l~Y)y(a. gfeJ\ ^ п
т.е.
116

Положим
(g. е„)
"=Еттй
е„.
Гнгди
йнйчит, v<^(i тогда и только тогда, когда существует
If X, для которого А1/гЬ = а. При этом
V не абсолютно непрерывно относительно (х, то
V | |i; это было доказано в теореме 1. Наконец, при
V «^ц,, как вытекает из формулы A2), ~-(х)> 0 (mod (i),
Поэтому n<^v- Значит, v ~ ц.
| 17. Абсолютная непрерывность гауссовых мер
U предыдущем параграфе уже рассматривались
услопин абсолютной непрерывности гауссовых мерс оди-
Ййиоными корреляционными операторами. Здесь будут
рассмотрены гауссовы меры, различающиеся как сред-
средними значениями, так и корреляционными операторами.
Окалывается, что вопрос об абсолютной непрерыв-
непрерывности гауссовых мер всегда можно свести к вопросу
ПЙ абсолютной непрерывности таких мер, для которых
роииндшот средние значения либо корреляционные опе-
операторы.
Пудем обозначать \л(а; А; •), а иногда просто
Ц (г/,/<),—гауссову меру со средним а и корреляцион-
ЙММ оператором А.
Теорема 1. Если [1@^, At; -)<^ц(а; А; •), то
^ )^( Л\ •) и pfa, А; -)<^.ц(а\ А; •)¦
U7

Доказательство. Используя то обстоятельстве
что при одинаковых преобразованиях пространств
абсолютно непрерывные меры переходят в абсолюты
непрерывные, можем записать: fjt(ax—а; Ах; •)<
<ц@; А; •), ц(а—аг; Ах; -)<^@; А; ¦) (в пер
вом случае применяется преобразование f(x) = x—а
во втором/ (х) = — х). В силу следствия из теоремы б § IE
М-(а,— a, 4,)*Ji(a—au Д^-^цСО, Д)*ц@, А). A
Используя формулу B2) § 15, легко обнаружить, чте
для всяких двух мер ц1 и ц3 имеет место формула
J ''B' »у (dy). B)
Из формулы B) вытекает, что
|i (а' Д') • ц К, Л") =¦¦= ц (а' + а", А' + Л"). C)
Значит, A) эквивалентно соотношению ц@, 2!)^
^@ 2A). Применяя преобразование пространства
f(x)~-yz=x, находим: ц@, Д,)<^ц@, А). Значит, и
M( )|И.4 Так как \>.{ai, Аг)<^\к(а, А), то
соотношение \i(ax, A) J_ ^ (а» Д) невозможно, поскольку
тогда мы имели бы и ц (аг, Дг) J_ ц (а, Д). Но в силу
теоремы 2 § 16 меры \i(altA) и \.\.(а, А) могут быть
либо эквивалентными либо ортогональными. Значит,
ц(а1, Д; -)~ц(а, Д; •).
Будем далее рассматривать случай, когда 0 — ^ = 0
(к такому случаю легко прийти с помощью преобразо-
преобразования сдвига пространства). Заметим, чтй если
ц@, А2)<^.ц@, Д,), то подпространства Я,-, где Я,- —
замыкание области значений оператора Д,-, совпадают.
Если существует такое z ? X, что (Akz, z) = 0, (Дуг, z) > О,
то
ц@, Ак;\х: (г, х) = 0\) = \; ц@,Д/, {х: (г, х) = 0}) = 0,
и, значит, jj, (О, Д>) J. ц @, Лу)- Поэтому, не ограничи-
ограничивая общности, можно считать, что Н1 = Н2 — Х, т. е.
что обе меры невырождены.
118

Пусть Ln — произвольная возрастающая последова-
ИММюеть конечномерных подпространств, U Ln плотно
¦• v i Pi, — оператор проектирования на Ln, Aty= PnAk—
ритор, рассматриваемый в Ln. Так как А — невы-
i i ценный оператор, то Л(?> при всех п—обратимый
iMC'1'ричный оператор.
1 Моаначим ц?=Ц? (О, Ak). Характеристическая
] "кцим меры .а* в конечномерном пространстве Ln
• " IT 11ИД
Из результатов § 5 вытекает, что мера (i* имеет
Плотность относительно лебеговой меры в Ln следую-
вида:
"/«[det^g>J-t/*exp|—g-(i4Brl«, *)}, х(Цп, D)
I дц dct Л(й'—определитель матрицы оператора Aty в ор-
ТШЮрмированном базисе в Ln. Следовательно, [х|<^ц1
дли каждого п и
Иовтому
где
Вн = [Д*-»-Д{,">-'] Р„, б„ = 1 log [det Д^/det Д«»)].
E)
Цели ц (О, Л2) <^ (j, (О, Ах), то Ebjc, л;) + бл сходится по
мере (j, (О, ДХ) к некоторому пределу, возможно, равному
¦ оо, причем на множестве положительной меры этот
продол конечен. Используя это обстоятельство, дока-
жом следующее важное утверждение.
Теорема 2. Справедлива следующая альтерна-
альтернатива: либо ц (О, А2) ~ [х (О, Ах), либо ц @, Аг) J_ [i (О, А^).
119

Доказательство. исследуем поведен
(В„х, х)-\-Ьп, где Вп—последовательность вырожде
ных симметричных операторов. Рассмотрим в Ln ск
лярное произведение^, уУ — (х, А^~~1у). Квадратичну
форму (Впх, х) в Ln можно привести к главным ос*
в скалярном произведении <•, •>:
где f["\ ...,/<?>€?„, причем </<?>, /<?>> = 8V.
Заметим, что при $L
= S exp
...d|B... G)
Из этого соотношения вытекает, что при отображении
Ln в Rn (/г-мерное евклидово пространство), определяе-
определяемом формулой
мера |ij*> (dx) переходит в меру у (В) на множестве
В € 33Л(П):
1
(справа стоит n-мерный интеграл Лебега). Поэтому
120

дли исякой борелевскои функции <p(?lt . ..,?„) на R"
», (8)
и только интеграл справа существует.
Используя F) и ^), находим
Причем интеграл слева существует, если сг^1' < у • Из
exp {(?„*, х)} й (d*)=H ^
еграл слева существует, есл
^отношения J ехр ({Впх, х) + б„} (ij (dx) = 1 получаем,
(9)
Что cjf> < y и
Из (8) и (9) легко вывести, что при 0 < а < 1
=- ехр {абл} J ехр {а (В„х, х)\ ц» (dx) =
- ехр |а ? log A -2а<й«>)| Д j^oT, ¦ («»
Предположим, что
И«» равен 0 почти всюду по мере ц (О, Ах) (существова-
tme этого предела установлено в § 15). Тогда при
m < 1 (возможность перехода к пределу под знаком
интеграла следует из равномерной интегрируемости
подынтегральной функции, которая вытекает из тех же
соображений, что и в замечании к теореме 1 § 16)
121

выражение
2 [a log A - 2ori») - log A - 2ao&)]
2
ограничено по п. Поскольку при |>0 иО<а<1
имеет место неравенство ??^ 1—a~\-dk,, то при а(р < 1
A— 2<г?>)в<1 — 2ао?> = 1 — a+a(l— 2ojJ»>).
Поэтому
S [a log (I -2oj™)- log A -2о<>)] =
("I
где последнее выражение является суммой неположи-
неположительных слагаемых. Значит, все слагаемые этой суммы
являются ограниченными, и поэтому существует такое
Р > О, что
Отсюда вытекает существование такого е > 0, что
—1/е< 2a<"> < 1-е.
Легко видеть, что функция—-p-log ._ L непре-
непрерывна и положительна при |?[—1/е, 1—е], если ее
продолжить в точке | = 0 по непрерывности. Значит,
существуют такие постоянные (^ и C2, что
Pi Н"Г <—log У\
Поэтому из ограниченности суммы A1) вытекает огра-
п
ниченность 2(°ftn>)a и существование такого s > 0, что
2aft" < 1 — s. Заметим, что соотношение A0) имеет
место для всех а, для которых 2aa^"' < 1. Поэтому оно
справедливо при аA—г) < 1,
122

й частности,
? log JL^EL^X <ехр к X И")' 1, A2)
ffti Ц„ векторная постоянная. Значит, на основании
модтиин из теоремы 1 § 15 ц, (О, А2)<^.ц@, At) (в ка-
ЦМТНС Я|)(т) НуЖНО ВЗЯТЬ х1'11 -e/2j- I_
Итак, доказано следующее утверждение: если
И (О, Л,) и \i (О, А2) не являются взаимно сингуляр-
сингулярными, то ц,@, A{)<^.\i@, At). Переставляя местами
индексы 1 и 2, -"находим, что и [i@, А^^ц @, /i2).
|йким образом, если ji (О, Л^ и ^г (О, А2) не являются
ИйИмно сингулярными, то они эквивалентны. ..
Исследуем, каков вид плотности в случае "эквива-
АРИТНОсти ц @, Аг) и \i (О, А2). Поскольку в этом случае
1Og
(О, Дх) ^^
#ПрвДвлен почти всюду по мере ц (О, ЛХ), то
В„ и б„ определяются равенством E). Предел
Существует почти всюду по мере \i (О, Лх).
Покажем, что существует и предел в среднем квад-
Ьитичном по мере ц. Воспользуемся представлением F).
Ц случае эквивалентности мер, как было установлено
При доказательстве теоремы 2, существует такое е > О,
МТО —-<2о1л)<1 — е. Выберем а так, чтобы
в
4e|oJl)|<l для всех k и п. Тогда аналогично A2)
123

находим
ехр{а[(В„х, х) + Ьп)—а[(Втх, х) + 8т]\рф, A,; dx)
< ( J ехр {2а (Впх, х) + 2а6„} ц @, At; dx) х
X J ехр {-2а(В„х, х)-2а6га} ц (О, Л,; Лс)I/2
где р4 и рБ—некоторые постоянные. Поэтому функць
КВх
равномерно интегрируемы и стремятся к нулю пр
п—>-оо, т—i-oo. Следовательно,
lim fexp i f [(#„*, *) + 6п]-
Из A3) вытекает, что
lim Г (expi \ [{Вах, х) + б„]—\ [(Втх, х) + Ьт]\ +
и, га->-оо J \ \ *¦ *¦ 1
+ ехр {| [(В.*. *) + 6»]-|- [(В.х, х) + 6J }~2J х
X |i@, i4x;dx) = O. A4
Наконец, используя неравенство es + e~s—2^|3, иг
A4) получаем
lim ][(Bnx,x) + 8n-(Bmx,x)-l
A5)
Тем самым существование предела последовательности
(Впх, х)-\-8„ в среднем квадратичном по мере \i@, At)
доказано.
Пусть Ln—последовательность подпространств, на-
натянутых на elt ...,е„, где \ek\—собственные векторы
оператора Аг. Тогда
{Впх,
124

^-собственное значение оператора Alt отвечаю^
побешенному вектору ek
РИУ = (Bnek, ej) ]/T?j, т)в = б„ + J] №¦
из соотношения
#») (х, еу) (х, е,) (х, в.) \х (О, A; dx) =
Vl
=T,=T,=T4 = 0
ИШЮДнм, что ^ (•«. в*) (x, ej) (x, et) (x, em)\i@, Аг\ dx) от-
ЯИЧв» от 0 лишь в случаях & = /, l = m\ k~l, j = m;
k=-m, / = /, причем при k — l, j = m он равен А^
й При k~ j = l = m он равен ЗД.|. Поэтому
j \(М
х,
п-(Втх, дс)-б«]
ИнйЧИТ, существуют такие числа §kJ и tj, что
lim Т1„ = т|, Mm S (Р1У-Р*/I = °-
Пусть
A6)
„ г (дс, ед,) (^, е.)
РИД в A7) сходится, поскольку функции ^_ '—
L V ^k У %j
«¦ ft#y I ортонормированы по мере ц @, Аг), а 2 PI/ < °°-
125

Так как
$ М> (х)—(Вах, х)-8„? |х (О, Л,; ах) =
к.!
то в силу A6) ty(x) — \im[(Bnx,x)-\-Sn] в смысле схо-
сходимости в среднем квадратичном по мере \л@, Ах).
Итак, доказана
Теорема 3. Если \i (О, Аг) ~ \i (О, А2), то сущест-
существуют числа т) и $kj-, k, j—l, 2, ..., удовлетворяющие
условию
такие, что
гЗе я|)(д:) определяется равенством A7).
Замечание. Постоянная т) в формуле A7) может
быть найдена из соотношения \ ехр {г|э (л:)} jx(O, Л^, dx)=--1.
Чтобы выяснить, как связана функция if>(x) с корре-
корреляционными операторами Ах и А2, подсчитаем интеграл
J ехр {i(z, х) +тМ*)№ (О, A,; dx) =
= j ехр {i (г, х)} \и (О, Л2; dx) = ехр <| —у (Л2г, г) |.
Обозначим 5 оператор, такой, что (Bek, еу) = Рй/. Так
как Рд.у = РуА, то этот оператор симметричный. Далее,
=2
Поэтому
2Р
k, j
Значит, В2 — ядерный оператор. Поэтому В—вполне
непрерывный оператор. Пусть {f,.} — полная ортонор-
мированиая система собственных векторов оператора В,
Рй—соответствующие им собственные значения.
126

Покажем, что \!р(х) можно представить в виде
-1], A9)
п — I
№ (ft, Ai1/2x) определяется с помощью соотношения
11) § 16. Действительно,
ТШ как S (/fe,e/)s = (/A,/A) = l. Далее,
Hi» V h ± (h, ej)(fk, e
¦—
f Mf^Hfbohu^-^l. B0)
Пусть Я„—оператор проектирования на подпрост-
рщнстио, натянутое на flt ...,fn. Тогда
h (fk, ej) (fk. e,) = S (Bfk. e,) (PJk, et) =
fcS
f*.
t Я„ег) = (^, Я^,) = (PnBe/t et),
KPnBej, et)-(Bep e,)Y = S ([/-PJ ^y, ^J =
= JS+iPl-*O, «— oo.
127

Следовательно, предел B0) равен
Формула A9) установлена.
Заметим, что для всякого п
= lim Г exp [i У т/fftf V -^ вЛ\ ц @, At; dx)=
= lim f exp (i(x, У г, У %^еЛ) |i (О, ЛХ; dx) =
Исходя из этой формулы, можем точно так же, как
из G) было получено (8), получить следующее: для
всякой борелевской функции ф (|lf ..., |„) в R"
X <p(Sx, ....
если только последний интеграл существует. Исполь-
Используя это обстоятельство, находим, что
Г \ ю _1/2 |
= Д е ft
128

|1Ш#ррал существует при 2p*ft<l). Значит,
((Видимость ряда вытекает из оценки рл-(- -g-logCl —2p*ft)
и того, что 2Р!<°°)- Далее,
1 2*=, l-2
-=ехр{—х(А\»г, (!-
-ехр (-1 (Л;/г (/- |
Таким образом,
АШ = А\*(!—2В)-1А\'\ B1)
Ялметим, что оператор
Тикже будет оператором Гильберта—Шмидта, т. е.
$pUU* = SpU2 < оо. Из сказанного выше вытекает
Следующее утверждение.
I А. В. Скороход 129

Теорема 4. Для того чтобы ц (О, Лх) было эш
валентно ц@, Аг), необходимо и достаточно, чтоб
существовал такой симметричный оператор Гильберта-
Шмидта U, для которого оператор J-\-U обратим
при атом
где yk—последовательность собственных значений от
ратора U.
§ 18. Абсолютная непрерывность смешанных мер
Пусть (X, 33)—измеримое гильбертово пространство
a (Y, ?)—некоторое измеримое пространство. Предпо
ложим, что на (Y, ?) задана мера v и для всякоп
у ? Y определена мера \iy на (X, S3), причем функциз
^E) 2-измерима по у для каждого В €35. Положи!
Легко видеть, что \i является мерой на (X, 5В); он;
будет нормированной, если нормированы \иу и v. Меры
представимые формулой A), будем называть смешан
ными или мерами, полученными смешиванием мер \iy.
Рассмотрим две смешанные меры,
A=l,2, * B;
где (л1' *, (Аа> * и v1, va удовлетворяют тем же условиям,
что и ц", v.
Основная цель этого параграфа—изучение условий
абсолютной непрерывности мер вида B).
Рассмотрим сначала меры л*, определенные на
произведении измеримых пространств {X, 33)x(F, ?)
130

рТКслпением
я<*> (Вх С) = J (**• * (В) v* (dr/), ? = 1,2. C)
%М как меры цк получаются из мер я* при отобра-
Мриии пространства XxY в X функцией f(x, y) = x,
и дли изучения абсолютной непрерывности мер вида
У) можно использовать результаты, относящиеся к
Шпмпотной непрерывности мер вида C).
Hi условия, наложенного на ц*> *, вытекает, что
«ли псякой 33х?-измеримой ограниченной функции
¦ (» • //) функция ^ ф (*, г/) (**• »(dx) будет S-измеримой,
Чричгм
' Ф (*, //) я* (dx, dy) = S [ S Ф (х, У) Hft> * (dx)] vft (dy). D)
Теорема 1. ?сли жерь^ nk определены равенством
й), еде \1к> И и v*. /г=1,2, удовлетворяют перечислен-
шн выше условиям, то: 1) если я*<^ях, mo va<^vJ и
4" "-^ц1' * для почти всех у по мере v2; 2) наоборот,
WAU Vs ^v1 и ц,3> "^ц.1' * 5ля почти всех у по мере v2,
¦й» п*<^п1; мр« этой* существует такая %х2-измери-
4ин функция р (х, у), что для \*-почти всех у
^^ х). E)
Докааател ьство. Пусть я*<^ях. Положим
*огда длй'Ьсех B?fd и CgS в силу соотношения D)
4 меем
с в
.Л -.1 «J /J-Л Г" Л
р(у, д:')^*^') vi(dy).
I v1!
5* 131

Взяв В = Х, находим
лЦХ х С) = v* (С) = S Г S р (у, х) ц». у (dx)] vi (dy).
с lx J
Значит, v2<^vJ и
Следовательно,
пЧВ х С) = J ц*- »(В) v*{dy)= П j р (г/, *) ц1'
где
Р (У. *) = Р (У, х) Г j р (г/, дс) ^- »(dx) j "'. F)
Значит, для почти всех у по мере v2 для каждого
BSJ выполняется соотношение
G)
Выберем последовательность множеств Бд ^ S3 так,
чтобы она образовывала алгебру, порождающую 33;
это возможно в силу сепарабельности й$. Тогда можно
указать такое множество С^й. что v2(C) = l и для
всех у?С и всех Л справедливо соотношение
Поэтому равенство G) выполняется для всех у?С и
В €33.
Для доказательства 2) покажем сначала, что па<^ я1.
Пусть ЛбЗЗхй, Av = {y: (х, у)?А\. Тогда из D)
вытекает равенство пк (А) = jj ц*> »(Л^) v* (dy). Если
я1(Л)=0, тоц1-»(Л]/)=0(тос1у1). Значит, и у*-У(Ау)=
=0(modv2), так как va<^vx и ц21"^^1'" для почти
всех у по мере v2. Поэтому л2(Л) = 0, т.е. п^^
132

Для доказательства существования р и вывода фор-
форму Л и E) можно воспользоваться доказательством ут-
МрЖЖ'ния 1), определив р из соотношения F).
Следствие. Если vi!<^v1 и [i2-y<^[ihy для почти
§р?Х у по мере v2, то и |л.г<^|л.1. Плотность меры ц2
Штчшпельно [л,1 можно вычислить с помощью теоремы
I (см. формулу A9)) § 15. Так как в нашем случае
1((х\У)) = х, то
%1%^), (8)
iOt1 я1 (С | х)—условная мера, определяемая соотношением
<\n1{C\x)\il(dx)--nl(BxC). (9)
в
Вели У1Х и 31У — подалгебры 23 хй, первая — содер-
Щищия множества вида BxY, В^ЗЗ. вторая — множе-
втив нида ХхС, С62, то п1 (С|х) совпадает со значе-
значением условной меры л1 относительно сг-алгебры 91х на
мнпжеггве XxC6^r.
Определение меры л1(С\х) из соотношения (9) не
НС И'да просто. Отметим два случвя, когда j^ можно
Просто выразить через ^ и -^у.
Лемма 1. Пусть выполнены условия утверждения
1) теоремы 1. Если, кроме того,
и) существует такая мера \i, что |iM<^ для всех
у, то
{У) -1Р (У, х)^ (х) v2 (dy) l^(x) v» №. (Ю)
б) все меры ц1'" при различных у взаимно сингу-
щты, причем существуют такие попарно непересекаю-
непересекающиеся Ву?$8, что \11<У{Ву) = \ и yL1-v(By) = O при
у'\ и функция
^-измеримой, a v1 = v2, то
133

Доказательство, а) Пусть
Можно выбрать т|(х, у) 33 xi?-измеримой; для этого
достаточно воспользоваться теоремой 1, рассмотрев
наряду с мерой л1 еще и меру n^j
Тогда
в с
(х1 (В) = я1 (В х Y) = J J т| (х, г/) v1 (dy) (г (Лс).
В У
Значит, (л.1 <^ (л. и
Очевидно, что [ха>!'<^ц и
-rfjjnr (*) = Р @, *)Л(*. У).
Точно так же, как и выше, находим
^(x)=§p{y,xL(x,y)v*(dy). A2)
Так как при ц,2^;^1^^
dyi* dp.2 /d^
^г - ji и?
то из A1) и A2) получаем A0).
Для доказательства утверждения б) заметим, что
для всякой ограниченной 23-измеримой функции ф (х)
Ф (х) р (х) ц1 (Лс) = S [ J Ф (*) Р (*) J^l
= 5 [ 5 Ф W Ц'1" (^)] v1 (<ty) = J Ф (x) \i° (dx).
134

Пусть для мер \»}'в выполнено условие б) леммы 1.
Тогда отображение f((x; у)) — х допускает почти всюду
Но море обращение (х; y) = g(x), где g(x) определено
П|)И х?Ву равным (х; у). Тем самым g(x) определено
Им \\Ву. Это множество не обязано быть 33-изме-
|1имым, но оно будет 83-измеримо, где 58—пересечение
НО пссм у пополнений 58 по мерам ц,1-». В частности,
по множество будет измеримым относительно попол-
пополнении меры ц.1, и мера его по этому пополнению равна 1.
Чтобы не использовать пополненных мер и сг-алгебр,
предположим, что множества Ву таковы, что и ?„6=33
дли всех С?Й. Тогда и {) Ву€$В, и функция g(x)
«'¦измерима:
{*: g(x)€BKC}= U ВУПВ?®.
уйС
Рассмотрим меру л1 на 23 х?, в которую переходит
М1»ра ц1 при отображении g:
С
Jc
= J ^ "' (В) Хс (У') vl W) = пЧВ X С).
Мы воспользовались тем, что
%g(y) — индикатор множества С.
Таким образом, если меры \ibv удовлетворяют ука-
чшиюму выше условию с одними и теми же множест-
инми Ву, то из того, что ца<^цх, вытекает, что па<^ я1.
Но тогда можно воспользоваться теоремой 1. Поэтому
пфниедлива следующая теорема.
Теорема 2. Пусть семейства мер \ik-y, fe=l,2,
На (X, S3) удовлетворяют условиям: 1) [iktV{B) %-изме-
(шмо для каждого В 6 58; 2) существуют такие Ъ-изме-
/шмые множества Ву, что
135

причем и Ву (Е 33 для каждого С (Е Й, В [\В„. = 0 при
уеС
уФу', a v*, &= 1, 2,—некоторые меры на (У, 2). .Если
жеры [Д.* определяются равенством B), то |ха<^|лг тогда
и только тогда, когда: a) va<^vx, и б) ц8>" <^; ць" для
\2-почти всех у; при этом
В доказательстве нуждается лишь формула A3).
Введем меру
Тогда на основании утверждения б) леммы 1
Найдем -jx- Для всякой ограниченной 23-измеримой
функции ф, полагая •^г(^) = р(*) при х?Ву, имеем
Так что j^j(x) = p(x). Для доказательства A3) остается
заметить, что
Рассмотрим пример, в котором использована тео-|
рема 2. "
Пример. Пусть (Y, й)—положительная полупря-.
мая с сг-алгеброй борелевских множеств, |j,L• "л (т|(Е Y)—
гауссова мера со средним 0 и корреляционным опера-
оператором ц А, ц2'11—гауссова мера со средним а и корре- ;
136

ЛйЦИоннЫм оператором Ti A, v—Некоторая мера на (Y, й),
Дли построения множеств В^ введем ортонормирован-
последовательность собственных векторов \ек\
тора А, и соответствующие им собственные зна-
{кк\. Покажем, что почти всюду по мере \х.х'^
ущеетвует и
Mi свойств гауссова распределения (см. формулу C)
| й) легко выводится, что последовательность функций
По мере ц'-ч является мартингалом, так как для лю-
любой ограниченной борелевской функции ф (tlt ..., tm) в 5?
S ¦« и(*)ф ((*. «i), ¦ • •, (*. ея)) ц1 • ч (Лс) =
= J -ф (х) Ф ((х, е,), ..., (*, ет) i*1- ч
Поэтому в силу леммы 2
Для доказательства A4) достаточно показать, что для
«сякого е > О
137

Но
i'-M U lx:sup\$k(x)\>B.2"
\n N\ k<2n
f 1
n=N
при N—+oo. Соотношение A4) доказано.
Пусть а таково, что
(а,
< oo.
Тогда для всех
и, значит,
(a. ek)(x, е„) 1 у (a,
*W**  ?

I
tAtma IV
ДОПУСТИМЫЕ СДВИГИ
И КВАЗИИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ
| 19. Допустимые сдвиги меры
В конечномерных пространствах весьма важную
роль играет мера Лебега, остающаяся инвариантной
При всех изометрических преобразованиях простран-
г1 ии. В частности, она не меняется при любых сдви-
tnx пространства. Как будет следовать из результатов
чип о параграфа, таких мер в бесконечномерном гиль-
Лертоиом пространстве нет (имеются в виду сг-конеч-
ныр меры). Более того, не существует сг-конечной
Мрры, для которой все меры, получаемые из данной
при всевозможных сдвигах пространства, были
Яы ибсолютно непрерывны относительно исходной.
При изучении свойств мер важную роль играют те
,1ргоAразования пространства, которые переводят дан-
данную мору в меру, абсолютно непрерывную исходной.
II мерную очередь здесь, конечно, стоит рассмотреть
Тикио простейшие преобразования пространства как
гдтпи. Как выяснится впоследствии, изучение тех
сднигов пространства, при которых мера переходит
и иЛпшотно непрерывную относительно исходной (такие
с/ишги и называются допустимыми), дают возможность
шучять и более сложные преобразования мер. Изуче-
Изучению допустимых сдвигов посвящена настоящая глава;
и чтом параграфе будут рассмотрены общие свойства
допустимых сдвигов.
Пусть Sax = x-\-a, т.е. Sa—оператор сдвига на а
п X. Лля каждого А €93 полагаем SaA = \x: х—а ? А).
Если на (X, S3) задана мера ц, то через цо обозначим
меру на {X, 93), определяемую соотношением
М) М.)
Определение. Элемент а?Х называется допу-
допустимым сдвигом для меры jx, если ц^ц. Множество
139

допустимых сдвигов меры {д. будем обозначать М^. Для
всех а?Мц определим функцию р(а, х):
р(а,*) = $Ч*)- A)
Отметим некоторые свойства множества М^ и функции
Р (а, х).
I. Множество ТИц является полугруппой по сложе-
сложению и при аМ Ь/И
р (а + Ъ, х) = р (а, х) ¦ р F, х—а). B)
Действительно, для всякой ограниченной 33-изме-
римой функции / (х)
S / (*) ^+Ь (dx) =[[{х\-а + Ь)ц (dx) ==
= J / (.v + а) р (&, а;) ц (Лс)=$ / (х) р F, *—а) р (а, *) ц (dx).
Из этого соотношения вытекает, что ц.в+ь<^ц.( и фор-
формула B).
II. Если р (а, х) > 0 (mod ц), то \х.а ~ [д, и —а(Е УИ^;
при этом
р(—а, х) = —,—1- г. C)
То, что р.„ — р. при р (а, х) > 0 (mod ц), вытекает
из общих свойств плотностей мер, сформулированных |
в § 13. Поскольку меры ц и ц_а получаются из экви-|
валентных мер при одинаковом преобразовании про-|
странства (X, 53), то они эквивалентны. Значит,
— а ? УИц. Формула C) является следствием формулы B), '
если в последней положить Ь = — а и учесть, что
р@,х)=1.
III. Если v<^|x и -r-{x) = g{x), то
^O, g(x—a)Pll(a, x) > 0}) = 0}
^^9vi(a,x) (modv). D)
Здесь P,|^
НО

Если /—неотрицательная 33-измеримая функция, то
При а^М»
= J f (x + a)g(x) ц (dx) -
¦»—л) Р№ (а, лс) |Х (Лс). E)
Ноли ?(*—а)Рд(а, х)=--0 для ц-почти всех х, для
которых g (Jf) = 0, то
яиачит, a^Mv, и формула D) установлена.
Пусть теперь а^М^пМ^. Тогда из E) вытекает:
Pv (а. *)? W I* (dx) = $ / (*)йГ(*—а) Рц(а,
Значит, pv(a,x)^(x) = g(x—а)р№(а,х) (mod[x). Поэтому
^(х — а)рц(а, х) = 0 для почти всех х по мере ц, для
которых g(x) = 0, T- е-
IV. Если v ~ ц, то М» — Му и справедлива фор-
формула D).
Действительно, в этом случае ц (\х:g(х) = 0}) = 0,
тик что из III вытекает соотношение M^czMy. Меняя
v и ц местами, находим: AfvcAf^.
Будем называть вектор а (Ц X частично допустимым
сдвигом для меры \л, если -—¦ не равно тождественно
нулю по мере ц, т. е. если ц0 содержит компоненту,
абсолютно непрерывную относительно ц. Для частично,
допустимых сдвигов будем обозначать
(здесь берется плотность абсолютно непрерывной'ком-
непрерывной'компоненты), множество же частично допустимых сдвигов
обозначим Мд. Очевидно, М^с/ЙцИ прта^М^ функ-
ции рнр совпадают.
141

Вектор а называется недопустимым сдвигом, если1
Р* -L и.
V. Пусть v<^n и -T-(x) = g{x). а?Мч только
тогда, когда а^М^; при этом
a.*) (modv). F>
Заметим, что если а—недопустимый сдвиг для меры щ
то он будет недопустимым и для меры v. Значит»
М,сЛ1ц. Далее,
f (х) va (dx)=*$f (x) pv (a, x) v (dx) =
= Jf (x)pv(a,
e)Pn(a.
где Ца±ц; значит, и v J_ (Хд, va J_ \i'a. Если / = 0
(mod Ца). то из равенства
J f (x) pv (a, x) g (x) VL(dx)=\f (x) g (x-a) ~Pll (a, x) p (dx)
и вытекает формула F).
VI. Пусть (X, 93) и (Y, S)—два гильбертовых
пространства, на (X, §8) задана мера Ц и у=Тх —
линейное отображение X в Y. Обозначим v меру,
определяемую соотношением v(C) = \i{T~1C). Если
а^М^, то Ь=Та?Му и при этом
PvФ, у) = J pp.(a, х) Ц (dx, 95O | Г*/),
где ц(-, 33О|г/)—условное распределение меры и отно-
относительно а-алгебры 23„, порожденной множествами вида
Т~1С. В частности, если отображение Г обратимо, то
Это утверждение вытекает непосредственно из тео»
ремы 6 § J5,
J42

VII. Пусть на (X, 35) заданы две меры, ц, и ц2;
ц,»|Ха —свертка этих мер. Тогда а ? М^ при а ? Мщ,
надм
Си («. х) = 1 Рц, («. У) 1^ №/> 23О | ?/-1л:), G)
¦ ¦¦ )»(</;/, 93О | лг)—условная мера, отвечающая ц.1хц2,
ноемтельно о-алгебры 950с93х23, порожденной мно-
i Тип ми вида {(х^, xi):x1 + x2^A\, А ?93, а ?/—ото-
i йжгнно ХхХ в X, f/((x,; xa)) = x1 + x2.
Формула G) также просто выводится из теоремы 6
и iлрдстпия из этой теоремы.
VIИ. Рассмотрим меру ц на (X, §8). Введем в Мц
[шн юнние между элементами
г (|ix; |л») = $ I рй (Oi, л:) —рй (а2, х) | ц (dx). (8)
Тшдп Мр с расстоянием г является полным метри-
ч^гним пространством.
Пусть ап ? Мр,
Покажем, что существует а ? Мй, для которого
Ин1Г(я„, а) = 0. Последовательность ап ограничена.
Дийстнительно, при |anfc|—»-оо, выбирая nk так, чтобы
г(в„к, ank+l)<~, будем иметь для 33-измеримой фи-
финитной функции с || /||=1
Vf (х+ап)у.(йх)-^г (апк, ank+l).
w k= 1
k= 1
ЙЫЙирая f так, чтобы \f (x + ani)\i(dx) > j, и пере-
Коди к пределу при N—юо, получаем
lim
невозможно при финитной /, если |авдг|—"оо-
Значит, а„ ограничено. Поэтому, не уменьшая общно-
н .ч

сти, можно считать, что ап cjHtoo сходится К Некото-
Некоторому а. Покажем, что а?М/, и найдем Рц(а, х). Из
соотношения
'(z'хлa«)ji(dx) =fil<*¦ a«) ?ег<г- *V (dx) =
учитывая, что (г, ап)—>(г, а), а также существование
предела по мере ц.
Нт С | рй (а„, х)—р (х) | ц, (dx) = О,
находим
еЦг,а)\еЦг,
Отсюда получаем
[ >р (х) ц (dx)
для всех z?X. Значит, ^
Наше утверждение доказано.
Из замечания § 4 вытекает, что для каждой меры
ц можно указать такой ядерный оператор В, что для
характеристического функционала 6 (г) меры ц, выпол-
выполнено соотношение:
Re(l —9B)) —0 при (Яг,г)-*0. (9)
Теорема 1. .Если 6 (г)—характеристический
функционал меры \л, а ядерный оператор В таков, что
выполняется (9), то М^сВ11гХ (В1/2—неотрицатель-
(В1/2—неотрицательный симметричный оператор, являющийся квадратным
корнем из В).
Доказательство. Пусть а € М^. Обозначим ц,1
компоненту ц, для которой ца абсолютно непрерывна
относительно \i. Тогда
Re J [1 —cos (z, x)] (x1 (dx) < J [1 — cos (z, x)] ц (dx) =
= Rc(l-0(z);
144

ReJ[l— cos B, х)]ц^х)-+0 при (Вг, г) —0.
Дмее,
еЦг, a)
И, яиачит,
ix (X)—е'<г> fl> jе((г- ^ц1 (dx)) =
— cos (г, х + оИ^
1—cos (г,
Покажем, что V[l—cosB, л;)]рй(а, х) ц, (dx) —> 0
ttpit (Вг, г) —> 0. Взяв любое а > 0, будем иметь
[ 1 - cos (г, *)] Рц {а, х) ц (dx) <
<aj[l — cosB, x)]yi(dx)
Ilepnoe слагаемое стремится к нулю при (Вг, г)—>(),
N «торое можно сделать сколь угодно малым выбором
Достаточно большого а.
Таким образом,
He(\>}(X)—et<*'<»§et<*-*W(dx))—*0 при {Вг, г) —0.
Кроме того,
I ц1 (X)—?«'*. *у (ЛсJ < f 11—«'«*• х) I2 (A1 (dx) <
—cos(z, x))p1 (<fcc)-»0
при (Вг, г)—>.0. Значит, е'<г-й)—*1 при (Вг, г)—>()
или (г, а)—>-0 при (Вг, г)—> 0/Если | (г, а) | < е при
(Вг, г) < б, то
(z,a)*<j(Bz, z).
145

Отсюда вытекает, что (а, г)—ьО/если (Вг, г)—*О,
т. е. а принадлежит замыканию В1/2Х.
Значит, линейный функционал (а, В~1/2г), опреде-
определенный при г?В1/гХ соотношением: если г — В11гу,
то (а, В~1/2г) = (а, у) (для а из замыкания В1/гХ это
определение однозначно, так как из равенств г =
= Bll%y1 = Вх^уг вытекает, что В1/2 (г/а—уг) = 0, т. е.
(BUfi—y,), (У1—У,)) = О и (alt y1) = {al, у,)). Этот
функционал ограничен на В1?2Х:
(а, В- ч*г) |» < | (а, у) |» < е~ (By, у) =
Поэтому он по непрерывности продолжается на замы-
замыкание В1/2Х и представим в виде [а, В~1/*г) = (Ь, г).
Отсюда легко находим, что а = В1/гЬ.
Следствие. Каково бы ни было бесконечномерное
подпространство LaX, множество LflAf^ является
множеством первой категории в X.
Действительно, можно указать такой ядерный опе-
оператор В, что LflM^czLriBX. Пусть S—замкнутая
сфера в X. Покажем, что множество Lf]BS нигде не
плотно в L. Это вытекает из того, что L[\BS—ком-
L[\BS—компактное множество: так как сфера в L некомпактна,
то в каждой сфере множества L найдется точка, не
принадлежащая Lf\BS, а в силу замкнутости послед-
последнего множества, ее можно окружить некоторой сфе-
сферой, не имеющей общих точек с L П BS. Если Sn —
замкнутая сфера в X с центром в точке 0, радиуса п,
то L n BS нигде не плотно в L, a L П ВХ = \}L[\ BSn.
п
Из последней формулы и вытекает наше утверждение.
Покажем теперь, что в X не существует ог-конеч-
ной меры, для которой каждый сдвиг из X был бы
допустимым (в частности, не существует а-конечной
меры, инвариантной относительно всех сдвигов про?
странства). Если бы v была такой мерой, то можно
было бы указать всюду положительную функцию у(х),
такую, что мера \i (Л)= \ <р (х) v (dx) была бы конечной.
А
Очевидно, что всякий допустимый сдвиг для меры v явля-
является допустимым и для меры ц. Но М^ не может
146

(¦-шшадать с X (так как X—множество второй кате-
Мфии, а Мц—первой).
Рассмотрим некоторые другие свойства множества
Л1Й. Покажем, что ЛГЙ—23-измеримое множество.
Действительно, пусть 2}„—последовательность а-ал-
iiflp, удовлетворяющая условиям: а) §8„с23п+1; б) [)Ъ„
1Н>р(»ждает а-алгебру S3; в) каждая из а-алгебр Sn
порождается счетным набором 23-измеримых множеств
(А\, Л1, ...), которые попарно не пересекаются. Если
|( и v -две меры, а ц" и v"—сужения этих мер на
в„, то ~- на измеримом пространстве (X, 93, ц) обра-
eypr мартингал и
7?
d\i»
= Ж^ (mod|i).
доказывается точно так же, как в § 15 (см. тео-
3). _
Полагая Рц(а, х) — 0 при а^М^, будем иметь
Pn(a, x)= \imgn(x, a) (mod(x),
ГД» Вп (х, а) = 2 ^щ- %a% W: ПРИ М- (^2) = 0 считаем
Я— 1
= 0. Очевидно, при 0<а<1
f [Pit (а. *)]" f* (*f) = I'm С fen (x, а)]а ц (dx),
рояможность перехода к пределу под знаком интеграла
Вмтекяет из неравенства
«)]аI/а М- (dx) = J я„ (х, а) ^
TlK как ц,в (Л?) является 23-измеримой функцией a g X,
fo функция
f
147

также является 33-измеримой относительно а. Значит,
и функция \ [рц (а, х)]а [х (dx) 23-измерима относитель-
относительно а, как предел 23-измеримых функций. Поскольку
M^ja: ^(а, *)]<> (dx) > о} , ;
то отсюда и вытекает 23-измеримость М^.
Легко видеть, что функция \ рд(а, x)\i(dx) 33-изме*
рима относительно а, поэтому
Мц = | a: f (V (а, х) (х (dx) =--1
также 33-измеримо. Значит, можно рассматривать вели-
величину ц(Мц). В конечномерном случае эта величина
может принимать любые значения из отрезка [0, ц(Х)].
Поскольку мера в гильбертовом пространстве X может
быть сосредоточенной на конечномерном подпростран-
подпространстве, то и здесь наблюдается та же картина. Однако
для существенно бесконечномерного случая положение
меняется.
Теорема 2. Если мера \i всякого конечномерного
подпространства LczX равна нулю, то и
Доказательство. Допустим противнее
рШ11)>0. Тогда найдется такой компакт К', чп
К'сМц и ц(/(')>0, так как для всякого Ш-измерь
мого множества А
]i(A) = sup{n(K): KaA, Ка®\, A0
где $—совокупность всех компактных подмножеств Л
Обозначим К минимальный выпуклый компакт, содег
жащий К' и — К' = \х: —х?К'\, и Y—линейнук
оболочку множества К. Если взять в К в качеств
единичной сферы множество К, то Y превратите
в полное нормированное пространство: для л:?%
положим
Пространство У будет сепарабельным, Пусть М'-
148

*Л!„ПГ, Q <=М', \\у1-—уаЦк>2 при «/,€<?, ухуг
Я? щш, [xi \\х—г/Ил-^1}. Множества Sy, y?Q, попарно
til пересекаются, и \i(Sy) > 0. Значит, Q счетно. Рас-
Рассмотрим меру ц' на 33К—а-алгебре борелевских мно-
*#«ти из У (ЗЗусЗЗ):
[i' (В) = ц (Б) для всех В g Sy.
Дли всякого а?М' меры \i'a и [х' неортогональны.
Myt'Tb теперь KfaY—такой компакт в Y, что
((' (V- ^ie>) < е (существование такого компакта выте-
ийРГ из того, что A0) применимо к У). Можно ука-
*ЙТ1< такую последовательность е„ { 0 и к„—»-оо, чтобы
МИйЖйство
компактное замыкание /Ct в Y. Тогда для вся-
иого п
И, :шачит, если К, — линейная оболочка множества Кг,
щ |1'(У/,) = ц'(К). Заметим, что Y1^Y, так как Г —
Йй'конечпомерпое банахово пространство и не может
6WTh представлено в виде счетной суммы компактов.
ЙНйчит, М'—Ух непусто. Пусть а?М' — Ylt У2 —
- {y: х—а€^,}- Тогда У1пУ3=ф и, значит, ц'(У2)^=0.
Но |1A(У2) = |х' (У,) > 0, т.е. (Xq_1(x'. Мы пришли к
Противоречию.
(Следствие. Если ц, (Мц) = |х(Х), то существует
Последовательность конечномерных подпространств Ln,
№К«ч,что \l(X) = \l( U LA.
Уичйствительно, множество таких конечномерных
Подпространств L, для которых n(L) > 0, не более чем
вЧП'ио. Если Ln—все такие пространства, то, полагая
и используя то, что |4 J_ ца при. всех а, убеждаемся,
что МцсМц». Значит, и \ii(MVLi) = \it (X). Поэтому на
основании теоремы 2 fxJ(X) = O, так что \i(A) =
НА[ЧУ
149

Примером меры, для которой ц (Мц) = ц. (X) может
служить мера, сосредоточенная на множестве точек
C=ix: * = SreAi» где nk—целые числа, {xft}—орто-
нормированная последовательность, причем мера всех
одноточечных множеств из С положительна.
§ 20. Допустимые направления
Вектор а?Х, для которого |а| = 1, называется до-
допустимым направлением для меры ц, если ка^Мц для
всех X > 0. То, что а является допустимым сдвигом для
меры ja, мало дает для изучения строения меры. Из того
же факта, что а является допустимым направлением,
можно извлечь полезные сведения о строении меры ц,.
Обозначим L1 одномерное пространство, содержащее
вектор а, и X1—ортогональное дополнение в X к Lr.
Пусть 931—cr-алгебра борелевских множеств в X1, а
S31—or-алгебра подмножеств X вида \х: Рх'Х^А1},
/4Х € S31» jPx»—оператор проектирования на X1. Через
95j обозначим cr-алгебру цилиндрических множеств с
основаниями в Lt. Пусть, далее, |л(>, 93x1^)—условная
мера ц относительно ст-алгебры 33Х, т. е. функция, оп-
определяемая соотношением
для БсЗЗ, BtcS. Так как функция [*(•, 33Х| д:) является
^-измеримой, а всякая ЗЗ^-измеримая функция является
функцией от PLx, то
ц(', 9В1\х) = ц(', ^81\(х, a) a) (mod|x).
Определим на Lt меру ц1, являющуюся проекцией и,
на Lt. Для почти всех x^Lr по мере цх на Sx onpt
делена мера |a(x, 51) = ц (PxtB1, ЗЗ^л;). Будем в даль-
дальнейшем рассматривать X как декартово произведение
LiXX1. Семейство мер*ц(л;, В1) однозначно (mod ц.1
определяется из соотношения
(х, В1)^1^), A
где В1 €33*, а Е^ЗЗ^,, 95it—о-алгебра борелевски:
150

Lx. Очевидно, что при X > О
& {//—Ха} = \х: x + k^fj- Из теоремы 1 § 18 выте-
|р|, что nL^H1 для всех 1>0 и, кроме того, для
СМИ ncex x^Lj по мере (xj^
ц(дсх—Яа, -)^1*(*1. •)• C)
Меры на прямой, для которых допустимы все по-
мкительные сдвиги, описываются следующей леммой,
доводимой без доказательства.
Лемма. Если для меры ц на прямой М^гэДО.оо),
и |i^m, где т — мера Лебега, и существует, такое
{ШМожно s = — оо), что j^-@ = 0 nPu
(Г) > 0 при t > s.
Обозначим |лг проекцию меры ц, на X1, и пусть
рц'Хц.1—мера на 93, определяемая равенством
И (Я, X В1) = ^ (Z-x)^1 (В1). ?i€S9*,. Bl€®\ D)
Теорема 1. Для того чтобы Ка ? Мц для всех X > О,
чЯхидимо и достаточно, чтобы мера ц, бьл/ш абсолютно
Н1ЧЧ>ьшна относительно меры ц, определяемой равен-
чвчм D), а мера \il абсолютно непрерывна относи-
ф*ьно меры Лебега на Llt и существовало бы такое Kt
>&штно, равное —оо), что плотность ц,1 относительно
i/i« Лебега на Lx была бы положительна при (а, х) > %lt
плотность g(x) = -^r (х) удовлетворяла для X > 0 ус-
dp
шию:
М- (Iх- ё (х-ka) > 0, g (х) = 0}) = 0. E)
Доказательство. Достаточность условий тео-
шы вытекает из того, что при К > 0
РХа = (XL. X (X1 F)
lUe^li1, и значит, Ха? М$, а в силу соотношения E)
«вонства III § 19 Ха^М^пМ».
151

Докажем необходимость условий теоремы. Покажед
сначала, что [i<^.[i. Для всякого А?%*> обозначим А\
x?Llt множество тех у?Х1, для которых (х; у)?/
(мы опять рассматриваем X как L^xX1), т. е
А\ — сечение множества А гиперплоскостью, парал
лельной X1 и проходящей через х. Тогда Л^^ЗЗ1 и
G
(8
Поэтому для доказательства соотношения
точно доказать, что \i (x, »)<^.\i1 для каждого х. Но
(x, В1) ц1 (<**)¦
Если \il(B1) = 0, то \i(x, Вх) = 0 для почти всех х ш
мере ц1. Так как плотность ц1 относительно меры Лебегг
на L в точке х при достаточно больших (а, х) поло
жительна, то найдутся сколь угодно большие А,, дл»
которых \i (ка, В1) = 0. Используя то, что ц(к'а, -)<^
<^.[i(ka, •) при X'<К убеждаемся, что ii(ka, 51) = (
при всех 'к. Значит, при ц(Б1) = 0 и \i(x, В1) = 0 дл>
каждого x^Lx, т.е. \i(x, -J^n1. Поэтому и ц<^ц.
Вычислим теперь -? (д:) = ^(л:). Используя опять тео
рему 1 § 18 и формулы G), (8), находим
Так как \i(Prx~Xa, •) <^ji (р?/, •) при ^>0, то
(9
Отсюда вытекает условие E).
Замечание 1. Используя свойство III § 19, може»
определить р^(а, х). Пусть а (х) — плотность меры ц
относительно меры Лебега на /.г Тогда -рг (*) =
152

7I) ' Значит» в СИЛУ Ф°РМУЛЫ F)
. Из формулы (9) вытекает, что
} (mod }>
HilTOMy на основании формулы D) § 19
Пямечание 2. Легко видеть, что в том случае,
Xo€Mw и при 1<0, ц^[1, и число Я,,, упоми-
в теореме 1, равно —оо. Исходя из формулы A0),
?йкже формул G) и (8), легко убедиться, что
, x)dx. A1)
Что можно сказать о мере ц, если множество до-
Йустимых сдвигов содержит некоторое конечномерное
(Подпространство L} Выберем в L ортонормированный
Й*»ис \ek, k=l, ...,т\, т—размерность L. На осно-
AЯНИИ замечания 2 делаем вывод, что ц~ц1хц\ где
Ц1 проекция меры \i на подпространство Lx, порож-
вектором е1( а ц1—проекция \i на подпрост-
X1, ортогональное Lx. Так как для а =
T&Kek ft^1 XV^]a = H-1 XЙ. Toa^Mjif Таким образом,
ц1 на X будет эквивалентна ц4хц2, где ц2—про-
ц2—проекция меры ц1 на L2—подпространство, порожденное
Н^ктором е2, а ц2 — проекция меры \il на X2—подпро-
{¦грапство X1, ортогональное L2. При этом X1 рассмат-
рипнстся как L2xX2, а X—как Z^xZ^xX2. Заметим,
Что ц» и ц2 являются проекциями самой меры ц на Ьг
И Л соответственно. Рассуждая аналогичным образом,
убеждаемся, что, обозначив Lk подпространство, порож-
порожденное вектором ek F=1, ...,пг), Хт—подпростран-
Хт—подпространство, ортогональное к Lm, \ik—проекции меры (г на Lk
153

(Iя1—проекцию меры \i на Хт, будем иметь
|г~ц,1Х... X\imX\Lm; A2)
при этом пространство X нужно рассматривать как
декартово произведение Z.xx ... xLmxXm. Каждая и.ч
мер \ak эквивалентна мере Лебега на Ьк. В частности,
проекция \л на L будет эквивалентна цгх ... Х\лт, если
считать L=Lxx ¦. ¦ XLm. Поэтому проекция ц на L будет
также эквивалентна мере Лебега на L.
Предположим, что М№ содержит бесконечномерное
линейное многообразие допустимых сдвигов N. Тогд.-i
из сказанного выше вытекает, что для всякого конеч
номерного подпространства L?N мера \iL—проекция
меры [I на L—эквивалентна мере Лебега на L; если
же \iL—проекция меры ц на ортогональное дополнс
ние к L, то
H~^zX|ii. A3)
Если iV всюду плотно в X, то можно выбрать орто-
нормированный базис \ek, k— I, ...} в N и для всех т
будет справедливо соотношение A1).
Естественно предположить, что ц будет эквива-
эквивалентно продакт-мере
00
\1*Х ...ХцтХ... =П H-ft==^-
Однако это не верно. Чтобы убедиться в этом, заметим,
что для всякого а ?Х либо ^а~ц, либо ЦоХц (этс
вытекает из лемм 1 и 2 § 16). Поэтому для всякой
меры j.i, эквивалентной продакт-мере, также для всякого а
справедлива альтернатива: либо (ха~(г, либо f*a J_ M--
Укажем пример меры, для которой М^ содержит ли-
линейное многообразие N, всюду плотное в X, и в то ж<
время существует такое а, что \ia не эквивалентно |
и не ортогонально ц.
Пусть ц1 и \i2—две гауссовы меры со средним 0 i
корреляционными операторами Вх и Ва, причем В1 i
В2 таковы, что B^X^Bl^X, но В\'*ХфВ\/гХ. Есл1
^—невырожденный оператор, то Bl/2X всюду плот»
в X. Из того, что В\/гХ Ф В\'*Х, вытекает, что jx1 \_ р.2
154

f8N KIK в противном случае ц1 ~ цг (см. теорему 2 § 17)
И ЛЬ - Вш*Х\ М^=В\'*Х (см. теорему 1 § 17). Пусть
I**• \ (И1 + И-2)- ТогДа М»=>В\'гХ, а #1/2Х—линейное
Многообразие, плотное в X. Если взять а € #}/2Х —
- Ш\!*Х% то ni ~ ц\ ц* 1 и.1, ц| _L ц1, ^ ± ^2 и ц1 ± ц1;
1НШИТ,
- 2'
11'ifl'OMy u не будет эквивалентно продакт-мере, но Л1Й
•'Держит плотное в X линейное многообразие.
| til. Дифференцирование меры по направлению
Нулем говорить, что мера \i дифференцируема по
НйНрпнлению а, если для всякой f^^x (fix—множе-
^Ш> (нраниченных непрерывных функций на X, при-
НйМйющих числовые значения) существует предел
НИ111J / (х) ^ (dx) - J / (х) ц (dx)\ =
этот предел /(/). Поскольку / (/) является
всюду сходящейся последовательности линей-
функционалов на банаховом пространстве #х,
/(/)= lim /х (О, Ь„->0,
J то /(/) также
iynrr линейным функционалом на %х- В частности,
ВИ н>да вытекает, что существует такая постоянная а,
ЦМ |/(/)|<а||/||, где ||/|| = sup|/(x)|. Более того,
|ущеетвует такое а, что для всех X > О
B)
155

Это вытекает из известной теоремы Банаха о пределе
линейных функционалов в банаховом пространстве.
Теорема 1. Если предел A) определен для всех
f € &х, tno на Ъ существует счетно аддитивная функ-
функция множества ограниченной вариации, такая, что
(dx). C)
Доказательство. 1. Пусть\х — -у-(\iu—ц). Чтобы
доказать C), достаточно показать, что для всякого
е>0 можно найти такой компакт КесХ, что вариа-
вариация меры v?t на X—К будет меньше е. В этом случае
lf) Wf (B sup
где lx{K,f)=lf(x)vK(dx). k(K, I) является линей-
линейке
ным функционалом на сепарабелыюм банаховом про-
пространстве %Kz непрерывных функций, определенных
на Кг- Всякий линейный функционал на <€Кг имеет
вид C). Кроме того, любое ограниченное множество
линейных функционалов на "ё^ слабо компактно
(%Кг сепарабельно). Поэтому для всякого е имеет
место представление
l B sup \f(x)\], D)
ке \ «к, J
где v (е, •)—счетно аддитивная функция множества на
Кг- Можно выбрать Кг так, чтобы Кг^Квг при гх < е2.
Тогда v(e2, •) и v(e1, •) на /Се, совпадают. Полагая
для всех В 6 ?5
v(B)= lim v(e, Вп/С«)
е-* О
и переходя к пределу при е—>0 в равенстве D), по-
получаем C).
2. Пусть В — некоторое множество. Положим
5F)= U S6(x), где S&(x)—открытая сфера радиуса б
с центром в точке х. Чтобы убедиться, что для вся-
15G

Кого р, > 0 существует такой компакт/С, что v^, (X —/С)<е
для всех к > О, где v*,—вариация меры v?u достаточно
показать, что для всякого е > 0 и б > 0 существует
тнкой компакт /<\, что v*, (X—/Ci6)) < e. Действительно,
wjiii последнее выполнено, то выбрав последователь-
последовательность бл 10, можем для каждого п построить такой
компакт К^п\ что
Тогда К= П КF") будет компактом (так как
И К„—компакт, то К имеет конечную 2б„-сеть).
При этом
л=1
Я, Предположим, что при некоторых е > 0 и б > О
i указать такого компакта К, чтобы v^(X—К) < е
ДЛИ исох ^ > 0. Тогда можно указать такую последо-
ЦйТШН.ность компактов К„ и 1„, что
л-1
— U /С/ '• Поэтому множества /С^б/2) попарно
ИМ Мрееекаютея. Для всякого п можно указать непре-
функцию /„(*)• равную нулю на X—/CJf'2) и
Что
КйК множества /С|,б/2> при различных п не пёресе-
И1ЮТСИ, то для любого набора nk ряд 2/пь(х) сх0"
ft *
ДМТСИ и представляет непрерывную функцию с нормой,
Ив нпевосходящей 1.
Гтстроим для каждого простого числа р функцию
157

Где конечное или бесконечное множество |дД выбрано
так, что для всех р
fP"i М V"
E)
Покажем, как добиться выполнения E).
Выберем п1=1, и если nlt nt, ..., пк выбраны, то
: m>nk
к
4 • F)
Если множество в фигурных скобках пусто, то тогда
{/г1, ..., nk\ и есть искомое множество индексов. В силу
определения nk+1 при пк < т < лА+1
- (Ar\
ПОСКОЛЬКУ V fpm (X) V^
, ТО
у=«
>T
G)
при пк<т^.пк+1, а если nft+1 не существует, то для
всех т > пк. Значит,
\[ 2 /„•/(*)v,-(ДО -If S f"j(x)vpm(dx)
Искомое множество {nft} построено, а с ним и функ-
функция gp(x).
Не ограничивая общности, можно считать, что л„
~ 2
имеет предел, так как vj,n(X) = j-, и значит, в силу
158

предположения
eД„< — . Так как
„ (dx) = Km $ gp (х) vpm (dx),
TO
Выберем
lim \gp(x)vln(dx)
n -*¦ ot> J
так, чтобы
Тогда для всякого
N
-
8 '
(8)
для Bcex ^'так как
(x)
II N
Но 2
и p=i
ПО норме не превосходят 1 и при разных р не могут
быть одновременно отличными от 0. В силу B) на-
ХОДИМ
N
что невозможно для Л^ > —. Полученное противоре-
противоречие и убеждает нас в справедливости утверждения
теоремы.
Итак, установлено существование такой счетно
аддитивной функции v, что для всех / 6 #х
Hm J | [/ (лг + Щ-f (х)] vl (dx) = J / (д:) v (dx), (9)
если \i дифференцируема по направлению а. Эту меру v
будем называть производной меры ц по направлению а
п обозначать
159

Теорема 2. Если существует da\i, то для каж-
каждого о>0 « каждой ограниченной SB-измеримой функ-
функции f
\\f(x + aa)—f(x)]\i(dx) = J \f(x + U)dk \da\i (dx) A0)
и функция da\i однозначно определяет меру \i.
Доказательство. Соотношение A0) достаточно
установить для / 6 %х- В этом случае
и функция j f (x -f ka) v (dx) непрерывна по А,. Поэтому
существует
Функция ^ f (х-\-аа) ц (dx) в силу существования da\x
непрерывна справа по а, и -г- \ / (д:-(-аа) \i (dx) =
Jrf+
f(A: + A,a)rfapi(dx), где -^- обозначает правую про-
производную. Значит, функция
6 (a) =S[f (* + ««)-/(*)
непрерывна по а и имеет непрерывную по а правую
производную:
, —г-1 (а) = 0 при a > 0.
Кроме того, ^@) = 0. Поэтому ?(а) = 0 при а > 0.
Формула A0) доказана.
Чтобы доказать возможность определения меры \и
по функции da\i, заметим, что для всякой функции / 6 %х,
160

ДЛИ КОТОроЙ /(*)—*¦() при \х\--юо,
lim
Поэтому для таких функций
\dan{dx
J
Очевидно, зная интеграл ] f (x) \i (dx) для / ? %х, удов-
удовлетворяющих условию: / (х)—>0 при ]лф—>oo, мы
ииргдолим этот интеграл для всех /б^х- Тем самым (г
Яудгт определено однозначно.
Нас будет интересовать связь между допустимыми
Нипрпнлениями и производными по направлению. От-
мегим некоторые простые свойства производных по
Направлению.
I» 1:сли \i дифференцируема по направлению а, то
ДЛИ нсех Ь?Х мера ,иь будет также дифференцируема
МО Нииравлению а, причем
A2)
Где (rf(/(i)b обозначает счетно аддитивную функцию мно-
ЖРСТИа, которая получается из функции da\i сдвигом
NN Ь\
S l(x~b) daa (dx).
2. Пусть а является допустимым направлением для
Меры M = da[i. Тогда \и будет абсолютно непрерывна
относительно v. Действительно, исходя из A0) и обо-
«пмчин ——¦ (x) = pv (la, x), будем иметь
S' f (X) Va
\ \Pv(Xa,x)dl\v(dx). A3)
Пусть А — ограниченное множество, для которого v (A) =
- 0, где v—вариация меры v, Полагая в A3)
* А. В. Скороход 161

), находим
для всех а > 0. Переходя к пределу при а—юо,
убеждаемся, что {х(Л) = 0. Значит, fx<^v и Цаа^ч-
3. Пусть р (х)—плотность 1.1 относительно v, px, (х) —
плотность цха относительно v. Тогда из A3) вытекает:
(modv). A4)
Поэтому для почти всех л: (mod v) существует -г- р (х)~
= pv(aa,x) для почти всех а>0 (по мере Лебега).
Заметим, что из равенства
J/ (X) Цаа (Же) = J f (X + Ota) p (x) V (Ж;) -
= \f(x)P (х—сш)pv (aa, x)v(dx)
вытекает соотношение
ра(л;)-р(л:—aa)pv(aa, x) (modv).
Поэтому A4) эквивалентно соотношению
a
р (х—aa) pv (aa, x) = p(x)-\-\j pv (Ka, x) dk, A5)
откуда получаем
2j (p (л;—aa) pv (aa, x)) = pv (aa, x). A6)
Если p (x—aa) при некотором х не обращается в нуль
при достаточно малых а, то A6) можно рассматривать
как дифференциальное уравнение относительно pv. Решая
это уравнение, находим
р {х—aa) pv (aa, x) = р (х) ехр С {/\а} \ • A7)
^ о '
о
4. Предположим, что A7) имеет место для почти
всех x(modfi) при достаточно малых а. Тогда из § 19
162

Иытекает, что ц-ао^Н- Для всех достаточно малых а и
, . р (х—аа)
Цели же использовать формулу B) § 19, то можно
убедиться, что A8) имеет место для всех <х>0.
5. Если мера ц дифференцируема по направлениям
в и br то она дифференцируема и по направлению
в | 1>, причем da+b\i — da\x-\-dbii. Действительно, вос-
воспользовавшись соотношением A0), для fZ'Ex можем
ййписать
-f (x + aa)] \l (dx) +
a
{dx) + $ $ /
Разделив это соотношение на а и переходя к пределу
мри а \ 0, получаем требуемое, поскольку
и -L
Ограничены и сходятся к / (х) при a | 0.
б. Если мера ц дифференцируема по направлению а,
t«i для всех |?(—оо, оо) она будет дифференцируема
Тйкжс в направлении |а, причем rf |rf
При | > 0 имеем в силу A0)
aj a
¦ J J f (x + la)dld.a\i (dx) = l[lf (x+k%a)dlda\i (dx).
о о
11окажем, что d—а(д, = — da\x,. Для этого подставим в
A0) функцию f (х—аа). Тогда
_ a a
- J J / (jc~aa + Ла) d^ rfaM, (<fc) = J J f (x—Ял)
6* 163

Разделив на аи переходя к пределу при а|0, получаем трб'
буемое.
Определение. Если мера ц дифференцируема
по направлению а и йа\к^\1, то плотность счетно ад-
аддитивной функции da[i относительно меры \i назы-
называется логарифмической производной меры ц по направ-
направлению а. Будем ее обозначать 1^{а, х):
. A9)
Из соотношения A0) вытекает, что в случае существо-
существования /,i(a, х) для всех а > 0
- 5 J f(x + Ад) Л L (а, х) ц (dx). B0)
Используя свойства 5 и 6, убеждаемся, что множество
D, тех а, для которых определена функция 1^(а, х)
является линейным многообразием, причем при a, b 6 Dt,
l*(Ka\-Kb,x)=:bllVL(a,x)+KlVL(b,x) (modn). B1)
Пусть X — конечномерное пространство и мера ц
имеет положительную плотность относительно меры
Лебега. Предположим, что мера ц имеет логарифми-
логарифмическую производную по направлению а. Обозначая
m(dx) меру Лебега в X и р(х) = ^(х), из B0)находим
lf{x)\p(x-aa)-p{x)]m(dx) =
- J f (х) J /ц (а, л;—Яа) р (х—
Значит, для m-почти всех х
а
р (х—сш)—р (х) =¦¦ \) /ц (а, х—Щ р (х—hi) dk,
о
и поэтому существует производная по а от р (х—аа).
7-p(x—aa)=-l[i{a, x-aa)p(x-aa).
164

И* последнего соотношения находим
1 d
d
Огсюда вытекает, что в конечномерном случае —/^ (а, х)
нмлистся логарифмической производной плотности мера
Mi'HOcirrtvibHO меры Лебега по направлению а.
Пусть L —конечномерное подпространство гильбер-
ншн пространства X, ц/. —проекция меры ц па L. Если
|i ди(|н|)оренцируема по направлению а, то [it будет
«мффоренцируема по направлению а' — Рьа, где Pi —
iiiippinop проектирования на L. При этом йа-\Уь будет
• пИ1111д;1ть с {da\.i)L — проекцией счетно аддитивной функ-
функции </,,ji на L. Действительно, если ср(х) — ограничен-
ограниченном непрерывная функция на L и / ? %х такова, что
/ (v) <|) (Plx), to, применяя к фунции f соотношение A0),
Получим
J |ф(х + оа')-Ф (*)] ^ (dx) - 5 [f{x f-aa)-
a
S J
!
KtVIH ц имеет в направлении а логарифмическую про-
Иянодную, т. е. da\i<^\i,, то и (da[i)L<^[iL- Значит, ц,.
будет также иметь логарифмическую производную в
Нйправлении а'. При этом в силу формулы A9) § 15
dJ^1(x) = j /ц (а, х') Ц, (Ле', № | Рг1 дг), B2)
где ц(-, 337-|jc) —условная мера, отвечающая ^ — отно-
относительно a-алгебры ^L множеств вида Р[1А, где А —
Лорслевские множества в L.
| 22. Одно условие допустимости сдвига
В этом параграфе будем рассматривать специаль-
специальный класс мер ц, удовлетворяющий следующим двум
условиям.
166

I. Можно указать последовательность конечномерных
подпространств Ln, таких, что LnczLn+1, \}Ln плотно
в X и для всякого п проекция меры ц на Ln имеет
плотность рп (х) относительно меры Лебега на Ln.
II. Плотность рп(х) положительна почти всюду по
мере Лебега на Ln и для данного а существует такая
измеримая функция 1п(х) на Ln, что \j\ln{x)\pn{x)dx<oo
и для всех а
рп (х—ааа)—р'(х) =-• 11п (х—Хо») рп (х—Ха) dk, A)
•
где ап — Р„а, Р„ —оператор проектирования на под-
подпространство Ln.
Ниже будет приведено условие, при котором упо-
упомянутый в условии II вектор а будет допустимым
направлением для меры \х.
Обсудим характер условий I и II. Из результатов
§ 20 вытекает, что условие I и положительность плот-
плотности р„ (х) необходимы для того, чтобы Lnc/W,j. при
всех п. Условие II выполнено (см. § 21), если мера \xLf{
дифференцируема в направлении ап. Это условие необ-
необходимо для логарифмической дифференцируемое™ по
направлению а. Оказывается, логарифмическая диффе-
ренцируемость меры \х в направлении а тесно связана
с характером поведения 1п(х) при я-^-оо.
Теорема 1. Последовательность функций 1„{Р„х)
является мартингалом. Для существования логарифми-
логарифмической производной меры \i в направлении а необходимо
и достаточно, чтобы последовательность 1п(Рпх) была
равномерно интегрируема. При этом
1» (а< х) = %^ W = lim l* (P« *) <mod f*>- B)
Доказательство. Из формулы B2) § 21 выте-
вытекает, что при я < т
(PL x)= [d(darUm) (x')v,Lm(dx', &L* x), C)
где ц1п—проекция меры \i на Ln, [iL
условная мера, отвечающая \itm, — относительно а-ал-
166

гебры 33L" множеств в Lm вида Lm Г) \х: Р,пх g А},
/4?33irt—а-алгебре борелевских множеств из Ln. Учи-
Учитывая то, что \iLm является проекцией ц на Lm, убеж-
убеждаемся, что
Поэтому C) можно переписать в виде
S3I»l*). D)
Функция 1п(х) является Ъ1п-измеримой. Поэтому для
всякой ограниченной Ъ1п -измеримой функции i|) (х) на
основании формулы A0) § 13 имеем
К (х) V(x)V- (dx) = l J lm (x') Ц, (dx\ Wn | x) ф (x) Ц, (dx) =
Тем самым доказано, что 1п(х) является мартингалом.
Если мера ц, логарифмически дифференцируема в
направлении а, то из формулы B2) § 21 вытекает, что
*,!(в. *'ЫЛс', &-"\х). E)
Пусть Yn(^) = O при Я,<М, Т^(^) = ^—N при X^N.
Для доказательства равномерной интегрируемости
достаточно показать, что
lim sup $Tfo,(|/„(*)!(*(**) = (). F)
Поскольку функция Yjvd^l) выпукла вниз, то на ос-
основании неравенства Иенсена
Vn(\1п(х)\)
Значит,
5 S «^')|)И- (dx', ®Ln \x)li(dx)=
(a- ^')l)M-(^)-
167

Так как
yN(\lVi(а,х) |)<| /ц (а, х) |, J | /й(а, х)| ц(dx) <oo
и yN(\ /м (а, х) —>-0 при N ->-оо для почти всех x(moA[i),
то
lL(a,x')\)v.(dx)-+0.
Из последнего неравенства и вытекает F).
Пусть теперь последовательность /„ (х) равномерно
интегрируема. Тогда, в частности, sup ] | /„ (х)| [i(dx)<<x>.
п
Значит, на основании теоремы 1 § 14 почти всюду по
мере ц существует предел Mm /„ (х) --1 (х). Возьмем про-
п *-х
извольную непрерывную па Ln функцию (р(х). Умно-
Умножая A) на ф (х) и интегрируя но мере Лебега в Ln,
находим
[ср(л:+аап)—<р(*)] \i,Jdx)-.^ J ф (x+Xan)dMa (x) \iLn(dx).
о
Пусть при некотором т ц{х) — у(Ртх). Полагая
f{x) — y(Pmx) при х?Х, для всех п > т. будем иметь
а
\ [/ (х + а)-/ (х)} Ц, (dx) - J S / (х + *а) dWn (х) и- (dx). G)
о
Равномерная интегрируемость /„ (х) позволяет перейти
к пределу в G) при п—юо. Проделав это, находим,
что для всякой функции вида f (х) — (р(Ртх), где ср
непрерывна на Lm,
/ (x-\-a)-f (х)} Ц (dx) - J J / (x-!-ta)dU (х) Ц, (dx). (8)
о
С помощью операции предельного перехода по f убеж-
убеждаемся в справедливости (8) для всех f^'ex- Из соот-
соотношения (8) вытекает, что da[i существует, и равенство
Теорема доказана,
168

'Георема 2. Пусть выполнены условия \ и \\ U,
Кроме того, при достаточно малых б > О
sup $ев1'»<*>1ц(Жс)<«>. (9)
п
Тойда Ха?М» для всех Я и
l x \
Ри(Яа, х)=-ехр{ \l».(a, x—aa)da\, A0)
U )
tdi 1ц(а, х) — логарифмическая производная меры \i в нап-
направлении а.
Доказательство. Заметим сразу, что существо-
ИИНие /ц(а, х) вытекает из теоремы 1, поскольку из (9)
следует равномерная интегрируемость 1п. Для доказа-
тмьства того, что Яа^Мц, достаточно установить
ишшомерную интегрируемость последовательности
функций, являющихся при x?Ln плотностями (уи.п)ап
М0ры \x,Ln, сдвинутой на ап,— относительно \iLn. Для
¦того достаточно проверить равномерную ограничен-
ограниченность относительно п интегралов
р(х—¦
) lQg [ Р(х)
т„ — мера Лебега на Ln. Поскольку для почти всех
/,„ по мере Лебега
о
то
к
К (^) = \ Р,М—^ап) \ ln (x—aa) damn (dx) =
о
и
Пудем предполагать, что Я > 0 (к случаю Я < 0 можно
перейти, поменяв знак у а). Из неравенства Юнга
169

(см. Харди, Литтльвуд, Полна [1]) вытекает, что ripiif
а>0, р > О и 6>0 имеет место неравенство
Поэтому
\'п(Х)\< \\\!п (А) I рп (х~
6 1/ (,v)
е п
о
о
J /
]
(Мы воспользовались неравенством a
<aloga+l.) Итак, для каждого к > О
(И)
где y=1 +sup ^ е6''«<АГ> \i(dx). Из A1) с помощью ите-
п
раций получаем
j(<w-l). A2)
Равномерная ограниченность /„(А,) установлена..
Тем самым доказано, что Ха^М^. ,j
Приступим к выводу формулы A0). ИспользоваЦ
уже доказанное существование piL(ka, х) и равенств^
^ (а, х—Щ | Р|1 (Ха, х) ii (dx) = J | /ц (а, х) \ ц (djc),(
ц(а, х—аа)|рц(аа, д;)ц(dx)da = X J \1»{а, x
о
170

уЛрждаемся, что при почти всех х по мере [i существует
^ | /ц (а, х—аа) | pp. (аа, х) \i (dx).
Ня соотношения B0) § 21 находим
х
= S f (*) S lAa> x—aa) рц(аа, x)da\i (dx).
о
Иничит,
x
, х)—l = j/p,(a, x—аа)рц(аа, х)da (modn,). A3)
о
при данном л; для некоторого Хх > 0 существует
] |/ц(а, -«—аа)|рц(аа, x)da,
о
to можно указать такое е > 0, что при О^Я.^е
к
/ц (а, х—аа) \ р^ (аа, д;) ^л; < у ,
Й тогда Рц(аа, х) > ^ • Значит, сходится интеграл
^ /ц(а, я—aa)|da.
о
Ия A3) итерацией находим, что
/х ^
, х) = ехр { ^ 'и ia' x—aa) da \
\о )
pp. (Ха,
х
для всех тех х, для которых \ |/р(а, х—аа)|а*а<оо.
о
Чтобы убедиться, что последнее неравенство имеет
место для почти всех х по мере ц, рассмотрим интеграл
171

(считаем к > 0)
х
1^{а, х—
— \ | /ц(а, х) | \ Рд(сш, х) dap (dx).
Применив уже использованное выше неравенство Юнга,
находим
, x)-\-l)n(dx)da.
Поскольку /(l (a, x) = lim /„ (x) (mod [i), то
П -*¦ CD
J e61V(a" *» I ц (dx)< sup J сбг« w ii (dx),
П
и
Поэтому в силу теоремы Фату
я
^ рц (aa, x) log рд (aa, х) + 1] da^ (dx
^ Ит Н L р"п(Р*х) log Р" (рГ(Р«") ]"' ^ ^-
Ограниченность /^ вытекает теперь из (9) и A2). Теорем|
доказана.
172

Замечание 1. Поскольку из условия (9) выте-
киет существование 1^(а,х) и неравенство
$ев1'|*1а1*Iц(Лс)<оо, A4)
N из A5), используя формулу E), получаем с помощью
Иррввснства Иенсеиа
то (9) эквивалентно A4). Преимущество (9) в том, что
дли его проверки используются конечномерные распре-
дглепия.
Замечание 2. Поскольку условия теоремы можно
сформулировать в терминах логарифмической произ-
нодиой, то естественно предположить, что условия
I и II, приведенные в начале параграфа в случае су-
нич'тнования 1ц{а, х) и выполнения A4), являются
влипшими. Это действительно так.
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим вместо меры ц,
меру (Iе, равную свертке мер \л и ve, где ve -гаус-
1'0Ш1 мера со средним 0 и корреляционным операто-
оператором ь:В, где В—некоторый ядерный оператор. Если
/,„сВ'гХ, то мера jle удовлетворяет условиям I и II
•того параграфа. Далее,
/ «(а, х)--\ (|
Ц A5)
(относительно обозначений см. формулу B4) § 15).
Формула A5) вытекает из B4) и того, что для всякой
функции / € %х
-f (х + у)] fi (dx) ve(dy) -
(x [гУ + aa) dalp (a, x) y, {dx) ve (dy).
173

находим
J ехр {б | /-. (а, х) |} il*
<SexP{eS|/i*(fl'Jfi)|lJlXv*(djfixdjc««(Sx93)+|je1 + ^)] x
х |i (dxj ve (dxt) < J J exp {61 /д (a, xj |} ц (d^) ve (dx.) -
|/11(а,х1)|Ы<1х1). A6)
Значит, мера це удовлетворяет и условию A4).
Пусть p%(dx)—плотность меры це относительно
меры Лебега. Из A4) и A2) вытекает, что
равномерно относительно е. Используя это обстоятель-
обстоятельство, а также то, что для / (Е %х
lim
е->-0
можем убедиться в том, что ка^М^, и в справедли-
справедливости формулы A0).
§ 23. Квазиинвариантные меры
Мера ц на (X, 23) называется квазиинвариантной,
если множество допустимых сдвигов для этой меры,
Мц, содержит линейное многообразие, плотное в X.
Если L—такое многообразие, то из соотношений
|д,в<^ц, ц-о-^ц. при a?L вытекает, что ца ~ ц для
всех a?L. Каждый вектор a(la|--=l) из L будет до-
допустимым направлением для меры \л. Для всякого ко-
конечномерного пространства LnziL проекция меры ц
на Ln будет эквивалентна мере Лебега на Ln.
Пусть \ек)—некоторый ортонормированный базис
в X. Обозначим L линейную оболочку векторов {ек)
и Ш—множество всех конечных мер |х на (X, 5В), для
которых ?сМц, Цель этого параграфа—описание
множества Ш.
174

Мера |i?3K называется крайней, если она не пред-
i шннма в виде суммы двух взаимно сингулярных мер
in W.
Отметим некоторые свойства мер из Ш и крайних мер.
Лемма 1. Если v и ц—меры из Ш и v'—абсо-
шипио непрерывная компонента v относительно \i, то
v'?4J! и v—v'gSJl, если только v^v'.
Доказательство. Положим v" = v—v', v"_|_ ji.
IUvih a?L, то Va + Vo~v'+v" и Va<^v'4-v". Так как
yJJ.l.|ie~H. v'<|;n, то v^iv' и v;<v, т. e. v"G9K.
Точно так же Va<^v' + v" и Va_J_v"; значит, Va<^v',
v' € W.
Следствия, 1) Если \i и v—две крайние меры,
то либо ц ~ v либо \i J_ v.
/Действительно, в противном случае имело бы место
представление \i = ц'-(-ц"', где ^'<^v, n"J_v, а это
невозможно, если ц—крайняя мера.
2) Если ц—крайняя мера, то для каждого а?Х
шбо ц ~ ца либо ц J_ ца.
Это вытекает из того, что ца—также крайняя мера.
3) Если ц—крайняя мера, v ?Ш и v<^n, то v —
тикже крайняя мера и v ~ ц.
В противном случае u, = ii' + u", где w'<^v, u."_|_ v,
1^-
1^-измеримая вещественная функция h(x) назы-
ийстся инвариантной для меры (д,?![Ш, если при каж-
каждом agL для ц-почти всех х выполнено соотношение
h(x \-a) = h(x).
Лемма 2. Для того чтобы мера \i была крайней,
необходимо и достаточно, чтобы всякая инвариантная
Оля \i функция h (x) \л-почти всюду совпадала с посто-
постоянной.
Доказательство. Пусть h(x) инвариантна для
ц и существует такое а, что
ц({х: h(x)<a})>0 и ц({х: п(х)^а\)>0.
Положим ф!(^) = 0 при h(x)<a, ф2(х) = 0 при
/ {) > а, фх (х) + ф2 (х) = 1,
175

Очевидно, функцииф,- (х) также инвариантны для меры ц.
Поэтому при a?L
$ f (х) ,u< (dx) = \f(x + a)ii' (dx) = J / (x + a) (р,(
-=\f(x) ф, (х) рц (a, x) u (dx) =\f(x) (>ц (a, x) ,u/ (dx),
так что iila<^\i', и, значит, ц,'?ЗЛ. Кроме того, jj.1 J_ jx.
Так как ц —ji' + jj.2, to ц не будет крайней мерой.
Пусть теперь ц^-.ц1-^!2, где (л'^ЗЛ, Ц1^^2. Обо-
значим ф,-(х) — —-(*). При a?L почти всюду по мере ц
выполняются соотношения
Ф1 (х) Ф? (•« -г а) = Ф1 (х) ф3 (х) = ф, (х + о) ф2 (х) = О
(так как м-хЛл1*. mJJ-H-2. .^.Lp-1) и
9i (•«) -i Ф. (•*) =- 1 •
Поэтому
- (ф1 (х)—ф1 (х + а))* + (ф2 (х) — ф2 (х + а))*.
Таким образом, Ф,(х) будут инвариантными отличными
ОТ ПОСТОЯННЫХ ФУНКЦИЯМИ ДЛЯ Меры [I.
Пусть Ln — подпространство, натянутое на еп . .., еп,
X" — ортогональное дополнение к Ln, 33„ и 33"—а-ал-
гебры, порожденные цилиндрическими множествами
соответственно в Ln и X". Будем обозначать \i (•, 211 х)
условную меру, отвечающую ц, относительно а-алгебры
ЗСсгЙЗ на пространстве с мерой (X, 33, ц).
Лемма 3. Если h(x)—ограниченная инвариантная
функция для меры р,, то для всех п
почти всюду по мере ц,.
Доказательство. Достаточно показать, что
существует 23"-измеримая функция h(x), почти всюду
по мере j.i совпадающая с h(x).
Пусть фе(«/)—плотность гауссовой меры в Ln со
средним 0 и корреляционным оператором е/„, где
/„ — единичный оператор в /.-„, относительно тп — меры
176

>4ti(terti в Ln. Положим
К (х) -- \h(x-\ у)ц>е (у) тп (dy).
1|Ц ^-измеримости h(x) вытекает, что hE(x)—>-h(x) при
> »0 по мере ц. Поэтому можно выбрать такую по-
¦ .'Шдовательность гк, что he (x) —* h (x) почти всюду по
м#ре |i. Заметим, что при a?Ln функция
he {х + а) = J h (х + у) фг {у—a) dy
ННЛиется непрерывной функцией а. Кроме того,
1\щ(х \a) — he(x) для почти всех х по мере fi. Отсюда
иЫГгкпет, что кг (х \-а) является постоянной как функ-
НйН а для почти всех х по мере ц. Значит, hE(x) —
~ h*(Pnx) для почти всех х по мере ц, где Р" — опе-
^ИГор проектирования на X". Функция
h(x)^= lim h?l (Pnx),
МИрсделенная для всех х, для которых этот предел
1'уществует, и будет искомой.
Следствия. 1) Пусть 33" — пополнение 33" по
|i, 23°°= П^6"ПЗЗ. Тогда всякая инвариантная для
п
т\т ц функция ^-измерима.
Это вытекает из того, что в силу леммы 3 инвари-
ЯМТНШ1 функция h(x) будет 33"-измеримой, так как такой
Лудгт ограниченная инвариантная функция arctg/i(x).
2) Для того чтобы функция h (x) была инвариант-
инвариантной для меры [I, необходимо и достаточно, чтобы она
была №">-измерима.
Необходимость вытекает из следствия 1. Достаточ-
Достаточность— из того, что для 33°°-измеримой функции п(х)
для каждого п можно указать Э3"-измеримую функцию
/|„(х), такую, что |я ({x:h(x)~ hn (x)})-- 1, а для вся-
м>й 33"-измсримой функции hn (x) при всех y?Ln
КЛх\-у)^К{х).
3) Для того чтобы нормированная мера ц была край-
Ш'й, необходимо и достаточно, чтобы мера ц на 33=°
принимала лишь значения 0 и 1.
Действительно, только в этом случае все ^-изме-
^-измеримые функции будут эквивалентны постоянным.
177

'Теперь можно дать полное описание всех крайних
нормированых мер и мер из Ш. Отнесем меру ^a^'iM
к классу Э{, если для каждого п можно указать такое
m > п, что, каковы бы ни были А ? 33„ и В ? S3m, выпол-
выполняется соотношение
Теорема 1. Для того чтобы мера была крайней,
необходимо и достаточно, чтобы она была эквивалентна
некоторой мере из 9t.
Доказательство. Необходимость. Пусть
ц—крайняя мера. Обозначим р,™(- \у) для п^.т ус-
условную меру ц(-, 23„|у) на а-алгебре 23Ш и цга—суже-
цга—сужение меры \i на Ът.
Покажем, что uj? (• | у) ~ \im для почти всех у по
мере ц. Достаточно установить, что \i%(- \y)~\in для
почти всех у по мере ц, так как ц!?(- |у) и ц" яв-
является сужениями этих мер на одну и ту же сх-ал-
гебру 23т.
Пусть цп(А\у) определено при Л ?23, АаХ", у?
^ Ln соотношением
~ц"(А\у) = М(Рп1А\Р?у),' A)
где Р„—оператор проектирования на /.„, Рп—оператор
проектирования на X" (левая часть A) имеет смысл,
так как \1„{-\у) 23„-измеримо). Обозначим ц," проек-
проекцию ц на Хп и |д,„—проекцию ц на Ln. Достаточно
проверить, что для почти всех у по мере ц,"
Из результатов § 20 (см. формулу A2)) вытекает, что
|д,~ц„Х|1" (если рассматривать X как LnxX"). Так
как при AdLn, Л^23, имеет место равенство
то для доказательства соотношения \х.п (¦ \ у) ~ \х."
для почти всех у (mod цп) остается воспользоваться
178

георемой 1 § 18. Соотношение
установлено.
Пусть теперь ц~(- \у) и ц"—сужение этих мер на
$". Тогда ц.~ (• | у) ~ ц~ (modfi). В силу следствия
Я из леммы 3 мера ц°° на S3™ принимает лишь значе-
значении 0 и 1. Но тогда мерац"(- \у), эквивалентная ей,
будет просто совпадать с цЛ:
Мели у таково, что ц"(- |г/)~ц", то для всех ^
И*" I-CC1 \У) ~ l1 и V'n (• \y)~V-°°- Обозначим множе-
Jimi таких у через С„. Для у?Ст положим
Ия теоремы 6 § 15 вытекает соотношение
РГ1 (х\у) = 1 р{» (х' |у) ii (dx', 25»+I | х), B)
справедливое для у?С„. Из B) вытекает, что для
ШЧ'Х N ~> п (конечная) последовательность функций
йк (X) = 9n~k (х< У)* k—\, ..., N — n, образует мар-
тинсал.
Воспользовавшись замечанием 2 к теореме 1 § 14,
можно утверждать, что если A^tt р,> ф2 > pt ^0) —мно-
mt'CTBo тех х, для которых последовательность р™(х, г/)
Ярсконечно много раз пересекает интервал (рх, C2) при
фиксированных п, х, у, то
Тик как Л(р р2)— П i4fp p), где Л*р, р.(—множество
к ' ' '
ivК х, для которых последовательность р™(х, у) при
фиксированных л, х, у пересекает интервал (Рх, ps)
не менее k раз, а
it (Л(к к i) *С — — \ рт (х I у) dx =
2 2
Неравенство же C) вытекает из того, что
09
^(Pi. p,)= U^t Л(р,, р,),
179

где Л^р^р,) — множество тех х, для которых последо-
последовательность Рп(х\у), ¦¦¦, Рп(х\у) пересечет интервал
фг, |32) не менее k раз. Здесь уже применимо замеча-
замечание 2 к теореме 1 § 14, так как р%(х\у), р^ (х\у), . . .
...., р%(х\у) является мартингалом.
Опять используя это обстоятельство и лемму 2 § 14,
убеждаемся, что последовательность \р™(х\уУ, т — п,
/1+1, ...} ограничена (modjj,). Значит, при у 6С„ су-
существует
Игл п,7 (а-| г/) (тос1|л).
Из соотношения B) и неравенства Иенсена получаем,
что для любой выпуклой вниз функции -ф
Поэтому относительно т последовательность р%{х\у)
равномерно интегрируема. Поскольку для всякой 33°°-
измеримой функции h (x)
lim \h{x)p<Z{x\y)v{dx)^ lim \ h (х) К (dx \ у) =
т* оо т > со
то
lim p%{x\y)-A
т --*¦ со
Из того, что р%(х\у) как функция г/ является 33„-
измеримой, а как функция х 23"-измеримой, вытекает,
что существует равная ей (mod \.i) 23„ х 93"-измеримая
функция р%{х\у).
Из равномерной интегрируемости р%(х\у) вытекает,
что
- lim Jlp»1^^) —l|n(dx)-O. D)
На основании теоремы 1 § 18 можно считать, что
9™{х\у) является Э3„ х ^-измеримой. Интегрируя соот-
соотношение D) по мере \i(dy), убеждаемся, что
li-н \ [ | № (х \y)-l\ ji» (dx) [i (dy) - 0. E)
m ->¦ ос
180

Обозначим ц„ произведение |1"хц„. Тогда из E) вы-
токает:
Hm H\rt(x\y)—U\in(dxxdy) = O. F)
т ->• оо
Иэ определения р™ (х \ у) следует, что
pjj(*| *) = -??-(*).
d\tn
Введем, далее, условные меры \i(-, 23" \у). Если |д,„
И |i,,(-, 23" | у)—сужения мер ц и ц(-, 23"|у) на а-ал-
irfipy 33„, то точно так же, как для мер \i%(-\y),
можно установить, что |х„(-, 33" |у) ~ ,и„ для почти
wcx у по мере \i" и
Пусть I <п <т. Пусть v?"n —сужение меры ц„ на
к млгебру 33'пЗЭя, a vf—сужение меры |А на эту же
к-алгебру. Положим
т
Тогда
«Г» (х) = 5 р^ (х' | х') |1„ (dx't 23' П 23, | х)
(мы очередной раз воспользовались теоремой 6 § 15).
Па основании теоремы 3 § 15 можем сделать заклю-
заключение, что почти всюду по мере ц,„ существует предел
Inn ^n{x)=:\pnn{x'\x')Vn{dx',W\x)--^{x), G)
где |х„—сужение ц.„ на 23'.
Пусть / < п < m < й. Введем а-алгебру 23"'„6 мно-
множеств вида Л П В, где Л сг23г п 23„, Вс=23т Л 83ft. Положим
Из F) и G) вытекает, что для всяких фиксированных
I и п
lim lim /!%*(*) =1 (modn). (9)
k
оо k -¦*¦ <х>
181

Равенство (8) можно переписать так:
11, п. \Х) —
r
\ ¦) Wf
(Ю)
где \1т(Щ, •), ц. (8(, •) обозначают сужения мер ци, ц, на
а-алгебру Ш.с$5. Из A0) видно, что
Если rtx < n2 < ...<n2jv+i—произвольная после-
последовательность чисел, то, полагая
^-Х-!= 1, S3" = S3),
будем иметь
s
N N
Ц фА (x) \i (dx) = \ Ц
a=i J k=
^(S32W-2, dx) = l. A1)
Функции qk почти всюду по мере \х положительны.
Из (9) вытекает, что можно так выбрать последова-
последовательность пк, чтобы почти всюду по мере ц сходилось
бесконечное произведение XI Ф*(л')- Пусть g(x) —
ее
— П 4>к(х)- Введем меру ,и*:
A
Из A1) получаем, что
\ g (x) \x (dx) = 1,
так что|л* — конечная мера. Поскольку g(x) >0(mod u),
то [х~ц.*. Пусть ty(x) — 35П2*-]-измеримая ограничен-
ограниченная функция, а г?>(х) — ограниченная 23,j2ft_^измери-
23,j2ft_^измеримая функция. Вычислим
30
\ г|з„ (х) ij; (х) [х* (dx) = \ г|з (х) ^ (х) Ц ф, (х) u (dx) =
д
182

Функция ty(x) Ц еру (х) измерима относительно S3*>
i'»nW = 1l'Wn фу(х) — относительно ЗЗл2й+1- По-
оо
•Тому функция \^(х) П фу(х')ц(Лх\ ®nik+1\x) из-
мерима относительно 23* П 23„ и
д:) ф (х) (х* (dx)= J ф (х) П Фу W гА+1 (х) ц (»„ | dx).
J /=] 2Я + 1
A2)
Положим, далее,
/ = i
Поскольку ip (*) Д Фу (*) является S3n2ft_^измеримой
/ = I
функцией, то z*-1^) будет S3*-2 Г) 33„2А _1-измери-
мой. Теперь A2) можно переписать в виде
„ djln EВл2*-2.-)
= \ г* W гА+1 (х) ^— (х) х
J rffx EВ aft-2,-)
х «±lL_ (Х) х
Х
* (х) г,+1 (х) d^n2k_x (dx) =
-1(x)^(dx)Jzft + 1(x),u(dx) =
ft-I CO
(х) ПФу(*) И (d*) J * W .П. ( Фу W JA (dx).

Полагая в равенстве
¦-- ^ -ф (лг) XI Фу (х) V (dx) ] ф (х) XI Ф/ (х) \i (dx) A3)
ф=-1, а затем гр— 1, находим
^ ф (х) ,u* (dx) — ] ijj (x) XI Фу (х) V- (dx),
] ~к + 1
ft-i
J ^ (х) ц* (dx) = ^ г|э (х) Д Фу (х) [х (dx).
Поэтому
\^(х)^> (х) \i (dx) = * С гр (х) ц* (dx) С ijj {х) ц* (rfxj,.
A4)
Если теперь ц (Л) — ц* (Л)/ц* (X), то ft--JT и jx ^ 9J.
Действительно, из A4) вытекает, что для всякого k
и всякой пары множеств Л ? ЗЗл ._ , В^ЗЗ"^ выпол-
выполняется соотношение
1Г(Л П В)- $ л
= I 1а (х) v{dx) J xs(ф (dx) = p(A) jl (fl).
Необходимость условия теоремы доказана.
Достаточность. Покажем, что всякая мера \i $Ш
является крайней. Пусть h(x) — 33°°-измеримая огра-
ограниченная функция. Тогда в силу определения множе-
множества Ж для всякой ограниченной 33,,-измеримой функ-
функции г|з (х) имеет место равенство
ly(x)h (х) (х (dx) =-. J г|> (х) ii (dx) J h (x) |i (dx). A5)
Соотношение A5) выполняется на множестве функций
¦ф (х), замкнутом относительно ограниченной сходимости.
Поэтому A5) справедливо для всех ограниченных
33-измеримых функций. Полагая в A5) -ф = Л, находим
откуда J (h(x)—
184

Г. Р. h(x) = ^ h(x)\n(dx) (mod [x). Таким образом, вея-
веянии ^"-измеримая функция совпадает с постоянной
Ми мере ц. Остается воспользоваться леммой 2 и след-
стиисм леммы 3. Теорема доказана.
Покажем теперь, что меру ц,?'Ю( можно получить
1'мешиванием крайних мер (см. § 18). Другими словами,
Можно указать семейство мер \ху на (X, Щ, где у ? (У, 2),
И меру v(-) на (Y, 2), такие, что
A6)
И (^€9i для каждого y?Y. Формула A6) означает,
Что \*У (В) как функция у является ^-измеримой при
Й?ДО и ц, и \ьУ связаны соотношением A) § 16.
Для построения семейства мерц/ отождествим (Y, 2)
•V (X, S3™) и в качестве v возьмем сужение |л на %$°°.
Положим, далее, цУ(В)=-ц(В, ИЗ001 у), где и (-4Г | у) —
ус лонная мера, отвечающая |л, относительно а-алгеб-
ры Я^°°. Тогда в силу определяющего свойства B) § 13
ц (В) - J \х (В, SB~ | i/> |x (dy) =¦¦ I V? (В) v (dy).
()стаотся показать, что ц^ ^ 3i для почти всех у по мере v.
Покажем сначала, что ^^9.1(. Пусть a?L. Для
немного А ^513°° и /€i?x> используя инвариантность
функции %л (л;), можем записать
J S f (ж
Л
Значит, для каждого /б^х и почти всех у по мере v
J f (дс + a) ц^ (dx) =[f(x) рм (а, дс) ^ (dx). A7)
11усть #0—некоторое счетное множество функций f ^ i? v,
тмкое, что замыкание линейной оболочки %й в огра-
ограниченной сходимости содержит #х. Поскольку A7)
иыполпястся для каждого / 6 ^0 ПРИ почти всех у по
мере v, то A7) выполняется для каждого /€## ПРИ
185

почти всех у по мере v. Поэтому
|jf-(x) = Pn(a, х) (modv) A8)
и \i%~ \iy при каждом а ? L для почти всех у (mod v).
Обозначим /пх меру Лебега на прямой $\ и пусть
тх XV — мера на произведении ($\ 9{)x(F, 2), где
?!—ст-алгебра борелевских множеств на прямой. Тогда
для почти всех пар (т; y)(z%%1xY по мере/nxxv имеет
место соотношение [х|0~ цЛ Поэтому для почти всех у
по мере v множество Sy ? 31 тех т, для которых ц%а ~ \iv
(при фиксированном у), имеет полную лебегову меру
(дополнение к нему имеет меру 0). Кроме того, Sy
является группой по сложению. Отсюда вытекает, что
Sy = JR1 для почти всех у. Действительно, в противном
случае, взяв Z,(zSy и полагая Sh + ? = {t: t^Sj,}, мы
установили бы, что S,, + i и S,f не пересекаются и оба
имеют полную лебегову меру.
Итак, доказано, что для почти всех у (modv) каж-
каждое a?L является допустимым направлением для
меры \хУ. Значит, для почти всех у (modv) все ek (по-
(порождающие L) являются допустимыми направлениями
1.1Л Тем самым доказано, что \л/ 6 Ш для почти всех у.
Покажем, что \$ 6 9i для почти всех у (mod v). Пусть
при фиксированном у \&(•, Ъп\х) обозначает услов-
условную меру, отвечающую \л?, относительно а-алгебры 23".
Если / ? %х>ёп (х) ©"-измеримо и ограничено,а А € 23°% тс
S S J f (х) р (dx', 23" | х) gn (x) & (dx) v (dy) =
1
) V? (dx) v (dy) = J f (x)gn (x) ,u (dx) ¦=
A
^.S S %a (x)en (x) S / (x') |i (x'; 23" I x) p? (dx) v (dy)=
=И ^
поскольку р/ (Л) = х- (У) (mod v) для всех Л 6 33" (дей-
(действительно, для каждого В ? 23°°
186

И силу произвольности А и gn(x), сравнивая край-
крайние члены равенства A9), находим, что для почти всех
у (mod v) и [(t^x имеет место соотношение
f (х')у?(dx', 23"|x)=$f(x')Hdx', »"|*) (modf^).
B0)
Поскольку
Hm J / (*') р (dx', S3" | х) = $ / (ж') ц (dx') (mod ц),
то для всех / € #0> всех m и Для почти всех у (mod v)
[f(Pmx)V?'(dx)=lim \l{Pmx')y?{dx', 23" |x) (mod И.
B1)
Значит, можно указать такое Л'^ЗЗ™, v(^') = l, что
при //€^' B1) выполняется для всех f?%x-
Пусть h(x)—ограниченная функция, инвариантная
для меры [*у, у^А'. Так как при всяком п функция
h(x) измерима относительно 33" (у)—пополнения 23"
относительно меры |дЛ то при т < п
f (Pmx')v?(dx',%"\x)v?(dx).
Используя B1), находим
J / (Pmx) h (*)y (dx) = J h (x) J / (PmxV (d*') ^ (^) =
= $ ft(x)(*v(dx) $/(/>.*)n?(dx)
или
S f (P«x) [h (x)- S ft (x') ^ (dx')] ЦГ (dx) = 0.
Учитывая свойства #0, убеждаемся, что
Значит, всякая инвариантная для меры \& функция h
постоянна (mod \\У). Поэтому \i ? А' при ц^Й.
Итак, доказана
Теорема. 2. Для всякой меры \и существуют семей-
семейство мер цу, у? (У, S), и мера v на (Y, 8), такие,
что \и? ?Ш и справедлива формула A6).

Глава V
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ АНАЛИЗА
В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
§ 24. Формула замены переменной
и абсолютная непрерывность
Пусть на (X, 23) определена некоторая мера [л и
Т(*) —23-измеримое отображение X в X. Тогда для
всякой ограниченной 23-измеримой функции ф (х) можно
определить интеграл
$ФG-(*))М<1х). О)
В том случае, когда X—конечномерное эвклидово
пространство, Т(х)— дифференцируемое обратимое
отображение, .а [л — лебегова мера, к интегралу A)
можно применить формулу замены переменной:
Ф (Т (х)) ц (dx) ^\<t(x)D (x) |i (dx), B)
где D(x) — модуль якобиана отображения, обратного
к Т(х). Левую часть B) можно записать как интеграл
[ ф(х) v (dx), где мера v определена равенством:
v (А) = ц (Т-1 (А)). Значит,
J Ф (х) v (dx) = J Ф (х) ?) (х) |i (dx), C)
т. е. формула замены переменной в этом случае озна-
означает, что мера v, полученная из ц при отображении Т,
абсолютно непрерывна относительно ц, причем
^r(x) = D(x). D)
Очевидно, что равенства C) и D) эквивалентны. Таким
образом, чтобы иметь возможность записать формулу
замены переменной вида B) для произвольной меры ц,
нужно установить, что v<^ji, и найти выражение
dv
ДЛЯ -г- .
rt d[x
188

Оказывается, что для квазиинвариантной мерк [х
МОЖНО при широких условиях указать явное выра-
¦ИРШК" ДЛЯ -j- .
Чтобы найти такую формулу, мы в этом параграфе
¦ ¦I рвпнчимся конечномерным случаем. Обоснование
подученной формулы в бесконечномерных пространствах
Йудсг проведено в последующих параграфах.
Итак, пусть опять (X, 33) — конечномерное нро-
Ирипство. Если мера [л квазиинвариантна, то она
акниналентна мере Лебега. Обозначим плотность ц
иинк'нгелыю меры Лебега на X (последнюю будем
Мпо:ишчать т) через р(х). Если Т(х)— обратимое диф-
дифференцируемое отображение X в X, S(x)— отображе-
отображение, обратное к Т, то, обозначая S' (х) производную
иг S (это линейный оператор) и det [/¦- детерминант
матрицы линейного оператора U в ортонормированием
Лмисе, будем иметь
(Т(х)) n(dx) = J Ф (Т(х)) р (х) m(dx) =
- \ <( (у) P(S (у)) \ det S'(У) \m(dg) =
Таким образом, в этом случае
Преобразуем правую часть E) так, чтобы новое
иыражение имело смысл и в бесконечномерном про-
пространстве. Тогда естественно ожидать, что E) (возмож-
(возможно при некоторых дополнительных ограничениях) будет
справедлива и в бесконечномерном пространстве.
Напомним, что отображение S (х) из X в X диффе-
дифференцируемо (слабо) в точке х0, если существует такой
ограниченный линейный оператор S' (х0) (называемый
производной S(x) в точке х0), что для каждого у и
к > О
причем о (К) —* 0 при к—* 0 равномерно относительно у,
если ||г/||<1 и у ?L, где L—произвольное конечно-
конечномерное подпространство X.
189

Определим теперь для Hekotoporo класса линейных
операторов U величину |detG|. Если U является
ортогональным оператором, то полагаем |detf/|=l.
Если U—симметричный оператор с чисто дискретным
спектром и {kk} — его собственные значения, причем
каждое значение повторяется в этой последователь-
последовательности ровно столько раз, какова его кратность, то
| det U\ =U |^/J, если это произведение сходится или
расходится к нулю (независимо от порядка сомножи-
сомножителей). Наконец, для произведения f/,f/2 двух опера-
операторов, из которых один унитарный, а другой симме-
симметричный, полагаем | det U-^U^ \ = | det U1 \ • det U2 \.
Используя определения производной и \detU , можем
придать смысл выражению | det S' (у)\ ив бесконечно-
бесконечномерном пространстве.
Займемся теперь выражением p(S(y))/p(y). Заметим,
что для меры [х в конечномерном пространстве X с по-
положительной относительно меры Лебега плотностью
р(х) для всех а?Х определено Рр(а, х), причем
Ри(а, х) = р(х—а)/р(х).
Можем считать, что р (х) является борелевской функ-
функцией на X. Тогда р^, (а, х) будет борелевской функцией
двух переменных, и поэтому будет борелевской и
функция
P»(x-S(x), x) = p(S(x))!p(x).
Таким образом, в этом случае р (S {х))/р (х) может быть
выражено через функцию р^ (а, х), имеющую смысл и
в бесконечномерном пространстве.
В дальнейшем нам нужен будет такой вариант
р (а, х), чтобы он был ЗЗхЗЗ-измеримым по (а, х).
Дело в том, что при каждом a g М^ функция рц, (а, х)
определена по х лишь с точностью до эквивалентности
(mod [л). Меняя р„ (а, х) при каждом а на множестве
[х-меры 0, можем изменить рц, (а, х) весьма существен-
существенным образом в силу несчетности множества М^.
В дальнейшем под р^ (а, х) будем понимать следующий
«главный» вариант. Пусть \ек]—фиксированный базис
из Мц, Ln—подпространство, порожденное elt ..., еп,
Рп (х) — плотность проекции ц на Ln относительно меры
190

¦'Mira. Тогда полагаем
о (а х) - lim
всех а и х, для которых этот предел сущест-
существует, и рц (a, jc) = 0 в противном случае. Так как
Рн(Рпх—Рпа)/Рп(Рпх) является 23х33-измеримой_функ-
НИей (а, х), то и pw (а, х) будет таковой. Наконец,
Нолпгаем
р„ (а, х), если Г рц, (а, х) ji (dx) =--1,
и» (а, ле) = ¦
неопределено, если \ Рц(а, х) \i(dx) < 1.
ltd и будет «главный» ЗЗхЗЗ-измеримый вариант
ft,t (а. х).
Таким образом, в бесконечномерном случае есте-
I'litoiiuo ожидать, что при определенных предположе-
предположениях мера v, полученная из меры ц преобразова-
преобразованием Т(х), имеющим дифференцируемое обратное пре-
иОразование S (х), абсолютно непрерывна относительно
мери [I, причем
т? (*) = I det S' (х) | Pll (S (x)-x, x). F)
Формула (б) имеет смысл, если для почти всех
X (mod \i) определен | det S' (х) \ и пара (S (х)—х; х) для
Почти всех х (mod ц) попадает в область определения
рц(а, х). При этом, очевидно,
H{S(x)-x\ x)= lim Р"(рР"У (modn). G)
Справедливость формулы F) будет исследована в сле-
следующих параграфах.
Иногда при выводе формул тина формул F) нам
придется пользоваться специально выбранным базисом.
В этом случае в формуле F) вместо р^ (а, х) будет
фигурировать Рц (а, х), где (>ц(а, х) — величина, по-
построенная точно так же, как и pli(a, x), по по неко-
некоторому другому базису. Очевидно, что для каждого
а € М»
ц({дг: Рц(а, х) -fv (a, дг)})=1.
Однако отсюда не вытекает возможность подставить
191

в формулу F) вместо рц величину р,,, так как а само
зависит от х. Это можно сделать, если
Р( U \х- Рц(я. х) = рр(а, х)\) = \. (8)
Если соотношение (8) выполняется, каков бы ни был
другой базис \ек\ в Л!,,, будем говорить, что функция
рр, (а, х) регулярно зависит от базиса.
Приведем одно простое условие регулярной зави-
зависимости Рц(а, х) от базиса.
Лемма 1. Пусть при любом выборе базиса \ек\
в М,1 для рц(а, х) выполняются следующие условия:
1) если Рр, (а*, х), fe = 1, ..., N, определены при дан-
данном х, то для всех вещественных Я,, . . ., XN определено
и непрерывно по Я,, . . ., XN
2) можно указать возрастающую последовательность
подпространств Нпс:М11, {)Нп плотно в X, и опера-
торы Qn, проектирующие (не обязательно ортогонально)
на Н„ (Н„ и Qn не зависят от выбора базиса), а также
множество Вcz23 (оно может зависеть от базиса),
такие, что для всех а и х?В, для которых опреде-
определено Рц (а, х),
lim рц(<3„а, х)-=рм,(а, х).
Доказательство. Выберем счетное множество!
fl так, чтобы оно было всюду плотным в каж-[
дом Нп. Пусть
В'= U {х: Рц(й, х)=^Ра(й. х)\.
а б Z
Тогда u(fi') —0. Если ,г ^ В', то в силу условия!
1) Рц, (а. *) — Рц (?. -v) na каждом из подпространств Я|
Значит, если х?В'1)В, где В — множество, указанное
в условии 2), то рц (a, .v)-^pu(a, x) для всех а^М^.
Замечание. Можно убедиться, что для гауссо-
гауссовой меры Pfx{a, x) регулярно зависит от базиса. Для
этой меры выполняются условия леммы 1, если в ка-
качестве Нп взять инвариантные подпространства кор-
корреляционного оператора, a Qn — операторы ортого-
ортогонального проектирования.
19?

I УА. Линейные преобразования
Рнссмотрим сначала случай, когда T{x) — Ux, где
V1- линейное обратимое преобразование, для которого
fllvt 1/\ определен и не равен 0. Этот случай более
Проп, так как Idetf/!, совпадающий с |detS'(x)|,
МЛИП'СЯ ПОСТОЯННЫМ.
Пусть сначала U является ортогональным опера-
fti|}OM. Так как U*x—х (U*—сопряженный оператор)
4Ш1Ж1Ю принадлежать УИ^, а М^ по теореме 1 § 19
Принадлежит В1/2Х, где В—ядерный оператор в X,
to оператор U*—/ (/—тождественное преобразование)
Инлистся вполне непрерывным. Поэтому можно указать
Последовательность конечномерных подпространств Ln,
Тикую, что 1„с1л+5, Ь„ инвариантно относительно
V — I и [I„ плотно в X. Так как (?/*—1)Х^М^,
• о /.„сУИ^.
Обозначим, как и в § 24, v меру, полученную
ич ji при преобразовании U.
Пусть ф (х) — цилиндрическая функция вида ср (х) =
*~й(Р„х), где g(x)—ограниченная борелевская функ-
Цин в Ln, а Рп—оператор проектирования на ?„.
Тогда
Где р„(х)—плотность \i^n относительно меры Лебега
в L,,. Значит, при т < п
^^ A)
Рп(РпХ)
Определим функцию
рц(Д, Х)= lim Р{Р())
()
п -* « Рп (Р„х)
для тех х и а^-Мц. для которых предел справа су-
существует.
Предположим, что для почти всех jc(mod |д,) пара
(х— U*x;x) принадлежит области определения функции
РA(а, х). Пусть g>0 и f>»(x—U*x, x)>0 (modn).
1/г7 А. В Скороход 193

Переходя к пределу в соотношении A) при а—> оо,
находим в силу теоремы Фату
S g (Р*х) v (dx) > J g (Ртх) рц (х- (Гх, х) ц (dx). C)
Из C) вытекает, что для всякой неотрицательной
^-измеримой функции ср (х)
J Ф (х) v (dx) > J ф (х) р„ (л— 0»*, л) |1 (dx).
Отсюда вытекает, что (л <^ v. Поскольку в силу A)
Ln рп (PnU*x)
а по теореме 3 § 13
Нт ^(/»,*) = 4?(*) (modv),
ТО
(правая часть равенства D) сходится (mod |Д.) к правой
части равенства E)). Значит, плотность абсолютно
непрерывной составляющей v относительно (х
^(x)=pll(x-[fx,x). F)
Из сказанного выше вытекает простое условие,
при котором v<^ji,. Пусть для почти всех x(mod|i.)
пара (х—Ux\ x) принадлежит области определения
Ри(а, х). Тогда, обозначая v* меру, полученную из ц
при отображении U*, будем иметь ,u,<^v*, если только
Рп (х—Ux, x) >0 (modjx). Так как при отображении U
мера (i переходит в v, а мера v* в \i (U*—оператор,
обратный к U), то и v<^ р,. Итак, доказана
Теорема 1. Если U—ортогональное преобразова-
преобразование, для которого х— U*x ? М^ и х— Ux ? M^, функция
рц (а, х) определена соотношением B), причем для
почти всех х (mod |д,) пары (х—Ux; х) и (х—U*x, x)
принадлежат области определения функции рц (а, х) и
plx(x—U*x,x)>0, рц(x— Ux, х) > 0
то v ~ (х и справедлива формула F).
194

Пели рц регулярно зависит от базиса, то в F)
рр, можно подставить рц.
Предположим теперь, что U является непрерывным
= |ИМметричным оператором. Пусть Ln — его инвариант-
j Hwp подпространства. Не меняя рассуждений, приве-
i Ценных в случае ортогонального оператора, анало-
аналогично A) получаем равенство
f В (M v (dx) = Гg (Pmx) P"Jpfx^ б„ц(dx), G)
J J Pn \"nx)
n
ГДР Ля = П |ЛА [, a Kk — собственные значения опера-
ffipn U, отвечающие собственным векторам ek,
Л*»1, ..., п, порождающим подпространство Ln,
Из этой формулы точно так же, как выше, получаем
Следующее утверждение.
1 е о р е м а 2. Пусть U—симметричный обратимый
ШПолне непрерывный оператор, для которого определен
| (let U\, причем для почти всех х (mod ц) пары (х—Ux; x)
U (х—U^x; х) принадлежат области определения функ-
функции ()ц(а, х) и
рA (х—С/х, х) > 0, рц (x—U~xx, х) > 0 (mod ц).
Тогда v ~ \i и
-?- (х) = | det U\ рц (я— U~lx, х). (8)
Если, кроме того, рA (а, х) регулярно зависит от
finnuca, то в формулировке теоремы и в формуле (8)
можно рц, заменить на рц.
Замечание 1. Проследив доказательство теоре-
теоремы 1 (оно приведено перед ее формулировкой), заме-
замечаем, что условие рц(х—Ux, x) > 0 (modji) нужно
лишь для того, чтобы установить, что справедливо
соотношение ^<^[г (соотношение |i<^v вытекает из
того, что рц (х—U~1x, х) > 0 (mod ц)). Если мера \х
такова, что из соотношения (д, <5; v вытекает, что jx -—- v,
то условие рщ(л:—Ux, x) >0 (mod |д,) становится лиш-
лишним. Так будет, например, если ц, является крайней
мерой (в частности, гауссовой).
Теперь можем сформулировать общую теорему, даю-
дающую, в частности, условия, при которых в теоремах 1
7* 195

и 2 пд можно заменить на Рр,, не требуя регу-
регулярной зависимости рц от базиса. При этом на рц
приходится накладывать некоторые дополнительные
ограничения. Однако условия в новых формулировках
проверяются более эффективно; в частности, не нужно
привлекать рц, получаемые в других базисах.
Теорема 3. Пусть рц,(а, х) определено так, как
б § 24, Ln—соответствующая последовательность ко-
конечномерных подпространств. Обозначим Qn некоторую
последовательность проектирующих (не обязательно
ортогонально) на Ln операторов. Потребуем выполне-
выполнения следующих условий:
а) для каждого конечномерного подпространства
LcMy, множество тех х, для которых Рц(а,х) опре-
определено при a?L и непрерывно по а, имеет меру 1;
б) можно указать такое множество В, что ц (В) = 0,
и при х g В для всех а, для которых рц (а, х) определено,
lim pn(Q,,a, x) = рц (а, х),
п ->¦ со
причем для каждого конечномерного подпространства
L с: Мц и а > 0 для почти всех х (mod,и) стремление
происходит равномерно по a?L П \а': \а' |}
в) оператор U—/ вполне непрерывен, U обратим
и определен jdet?/|, и
lim |det(/+Qn (tf_/)|) =
г) для почти всех х (mod |д,) определены и положи-1
тельны рщ (х—U~xx, х) и Рц, (д;—Ux, х).
Тогда v ~ \i и
^r(x) = \detU\pli(x-U-%x). ¦ (9)
Доказательство. Предположим сначала, что
оператор U таков, что области значений U—/ и U*—/
совпадают с конечномерным подпространством L. Тогда,
вводя представление
U=UtUt, U,
где Ux — ортогональный оператор, a U2—симметрич-
U2—симметричный, видим, что все операторы UK — /, U2—/, U*—/
и f/^1—/ имеют своими областями значений L.
196

Покажем, что в том случае, когда U—ортогональ-
U—ортогональный оператор, для которого U—/ имеет область зна-
Ионмй L, для U± справедлива формула:
J / (U,x) ц (dx) = S / (ж) р (х-U-Ъ, х) ii(dx) A0)
для ьсякой 33-измеримой ограниченной функции /.
Й том случае, когда L совпадает с одним из подпро-
С-Трппств Ln, формула A0) вытекает из теоремы 1
(|iM • (», и на конечномерных подпространствах plx(a, х)
|1и,1ожительно).
Выберем последовательность ортогональных опера-
1(»ров Vk, для которых Уп—/ имеет областью значе-
значений QnL и
lim ||Кя-^||-=0.
Тогда для каждого п имеет место соотношение
S / (Vnx) ц (dx) = $ / (х) P|l (х- V?x, х) ix (dx). A1)
Очевидно,
|| (х- V?x) - (х- 1/?х) || < Ц К„-' - f/r1 II • II * II — О
дм я каждого х. Далее, при достаточно больших п раз-
размерность QnL совпадает с размерностью L и определен
оператор Qn, переводящий L в QnL: Qnx=Qnx?QnL
для x?L, причем
Hm sup \\Qnx—x\\ = 0,
n -+ со ||х||< 1, xeL
так что при достаточно больших п этот оператор об-
обратим. Значит,
lim Q-1 (х— Vnlx) = х— U?x.
п -+¦ со
Используя условия а) и б) теоремы, видим, что для
почти всех х (d
lim p (х- VV-x, x)= lim P(X (Qn [Q^ (x— V~nlx)], x) =
п -»¦ оо п ¦* ос
= lim р (Q-1 (х— Г^ж), х) - р (х—[/Г1х, х).
п ->¦ со
Пусть функция / в A1) неотрицательна и непре-
непрерывна. Переходя к пределу при п—юо, на основании
197

теоремы Фату находим
J / (UlX) |i (dx) > $ / (х) P|l (л- СГГ1*, х) ц (dx)- A2)
Точно такими же рассуждениями убеждаемся в спра-
справедливости неравенства
S f (U^x) |i (dx) >$/(*) P(l (х- #лх) |i (dx). A3)
Неравенства A2) и A3) справедливы для всех неот-
неотрицательных 23-измеримых /. Так как
f(x) Р„ (х- Utxx, х) = Ф (U^x),
где <b{x) = f{Ulx)pVL{Ulx—x, U^x), то, применяя A3)
к Ф, будем иметь
>\f{Uxx)9vL{Uxx-x, Urfp^x—Uix, x)n(dx). A4)
Но для всех а€Мц и почти всех х (mod ц) выпол-
выполняется соотношение р(а, д;)р(—а, д;—а) = 1. Подстав-
Подставляя х—U^x вместо а и пользуясь тем, что х—U^x^L,
и условием а) теоремы, убеждаемся, что
Рц {UiX—x, Urx) рц [х— Uxx, х) = 1 (mod ц).
Подставляя это равенство в правую часть A4) и срав-
сравнивая с A2), приходим к формуле A0) для неотри-
неотрицательных функций /. Распространение на функции /
любого знака очевидно.
Пусть теперь ?/2—симметричный оператор, для
которого область значений совпадает с L. Используя
рассуждения, почти дословно повторяющие предыду-
предыдущие, получаем формулу
\ f (U,x) |i (dx) = j/ (x)fv (х-и~гН, x) |det U2\ ц (dx).
A5)
Из A0) и A5) вытекает, что, каковы бы ни были
линейные операторы Ux и U2, для которых Ux—/ и
[/г—/ имеют конечномерные области значений, Ux —
ортогональный, а ?72—симметричный оператор, можно
записать
x|det ?/а|рц(х— U^x, x)\i(dx).
198 .

йштльзовавшись равенством
х)р^(Ь, х—а) (mod,u),
что U^x—U^Uj^x и х—U^x лежат в конечно-
Мерных подпространствах, и свойством а), находим
h (UT'x-U^U^x, U^x) P|l (х- UT'x, x) =
= Pn (*— U^U^x, x) (mod ц).
Поэтому
= [f(x) Рц (х- (ад)-1 x, x) I det ад | ц (dx).
Тем самым формула (9) установлена в случае, когда U
Тиково, что область значений оператора U—/ конечно-
конечномерна.
Пусть теперь U— произвольный оператор, удовлетво-
удовлетворяющий условиям теоремы. Положим Un—I-\-Qn (U—I).
Оператор [/„ таков, что область значений оператора
Un—/ лежит в Ln. Поэтому, по доказанному,
= S / (х) РЦ (Q«x-QnUx, х) det | ?/-' | \i (dx). A6)
Так как U—/—вполне непрерывный оператор, Qn —
ограниченные в совокупности операторы и lim Qnx = x,
п -*¦ со
для всех х, то \\Qn(U—/)||—»• 0 при п—»оо. Значит,
Ц^х—*¦ и~гх. Выбирая f непрерывным и неотрица-
неотрицательным, находим, используя условия б), в), г):
J f (U->x) ц (dx) >\f{x) Pu (x- Ux, х). A7)
Аналогично убеждаемся, что для неотрицательной
непрерывной функции f
J f (Ux) ц (dx) >\f(x) p,, {x—U-lx, x) | det U\]i(dx). A8)
Применяя тот же прием, с помощью которого из A2)
и A4) было получено A0), выводим из A7) и A8)
равенство
\ f (Ux) fi (dx) =$/(*) РЦ (х-?^-^, х) ц (dx), A9)
справедливое для всех неотрицательных непрерывных /.
199

Из этого равенства вытекает, что v<^u, и формула (9).
Поскольку -з— >0 (mod \i), то v ~ ц. Теорема доказана.
В качестве примера применения теоремы 3 рассмот-
рассмотрим тот случай, когда мера ц является гауссовой со сред
ним 0 и корреляционным оператором В. Обозначим
{ек\ последовательность собственных векторов, {Хк\ —
соответствующую им последовательность собственных
значений оператора В. Пусть Ln, входящие в опреде-
определение Рц(а, х), являются подпространствами, порож-
порожденными ех, ..., еп. Тогда
М,. = <а:>^ . *' < с
где
k=i " k=\ я
функция h(x; а) определена для всех (х; а), для кото-
которых ряд, представляющий h(x; а), сходится, а функция
| (а) — для всех а?Л4й. Очевидно, что если функция
h(x; а) при данном х определена для ау, а2, ..., ап,
п
то она определена и для а= 2 РА* каковы бы ни
были вещественные pit ..., р„. При этом
/ " \ "
h[x, 2 $kak ) = 2$kh (x> ak)-
Отсюда вытекает, что р^(а, х) удовлетворяет условию а).
Выберем в качестве операторов Qn операторы ортого-
ортогонального проектирования на Ln. Тогда
.„ . ¦ v (л;, еь) (a, ek)
(Qna. х) = ехр | 2- 11
Если а при данном х принадлежит области определе-
определения р^, то в силу определения р^
Pn(a, jf) = !impu(Qna, д;).
п -¦ ее
Если рц (а, х) при данном х определено для всех a g L,
200

|Д» /.—некоторое конечномерное подпространство
ТО при a?Ln {а: \а\ < а}
lim h (х, Рпа) = h (х, а) и lim | (Р„а) = | (а)
П —¦ <
рйнномерно относительно а, поскольку, выбирая в L
«фТонормированный базис alt а2, ..., ат, будем иметь
т
h (х, Рпа) = 2 (a, ak) h (x, Р„аи),
? (Р а) - У
m n .... *
v , ч / ч \:л (ап ck) (a/>е*)
= 2- (а-й/) (а-а/) 2- —г-1— •
н пределы
., у (a/, g^) (a/, eft) _
— П J.V1 (ai + aJ>ekJ — (a/, eA)a — (ay,
существуют. Таким образом, выполнено и условие
б) теоремы 3.
Наконец, рассмотрим, к чему сводится условие г)
теоремы 3. Из определения h(x\ а) вытекает, что эта
функция обладает следующими двумя свойствами:
1) при каждом а область ее определения (как функции д;)
является линейным многообразием, и она является
аддитивной и однородной функцией х на этом много-
многообразии; 2) при всех a g М^ функция h (x; а) опреде-
определена для л;?Мц. Из этих двух свойств вытекает, что
если рц (я, а) определено, то для всех Ь?Мц опреде-
определено также рц(а, х-\-Ь). Если же определены рц (а, х) и
(>и(?>, х), то определено и рц(а -|- Ъ, х) =-- Рр,(а, х) р^(Ь, х—а)
(последнее соотношение справедливо для всякой меры
ц., если определены Рц(а, х), p,i(b, х—а); для гауссовой
меры его можно просто проверить).
Пусть теперь линейный оператор U таков, что
Ux—х(ЕМ,1 для всех х. Тогда и U~*x—яёМр.для
всех х. Если пара (л;—и~лх\ х) принадлежит области
8 А. В. Скороход 201

определения функции рц (а, х), то, значит, для данного х
сходятся ряды
" (x~U-4,ek)(x,ek)
к s к
к s к ^
Но сходимость первого ряда вытекает из того, что
х—{/"Ъс^УИц. Таким образом, р^(х—U~lx, x) опре-
определено, если для данного х сходится ряд
у (х—Ц-Ч, ek)(x, ek) > ,щ
Если функция рц(х—Ux, x) определена, то она обяза-
обязательно положительна. Функция р^(х—Ux, x) опреде-
определена в точке х, если для данного х сходится ряд
к
(х— Ux, ek)(x,ek)
Заметим, что в доказательстве теоремы 3 ничего не
изменится, если Ln—произвольная невозрастающая
последовательность конечномерных подпространств
(размерность Ln не обязательно равна п). То есть при
определении h(x; а) мы можем требовать, чтобы схо-
сходилась некоторая подпоследовательность частных сумм
определяющего ряда (одна и та же для всех х). Поэтому
и в рядах B0) и B1) можно рассматривать сходимость
по подпоследовательности. Такая подпоследователь-
подпоследовательность найдется (одна и та же для всех х), если ряды
B0) и B1) сходятся по мере (х.
Итак, имеет место следующая теорема.
Теорема 4. Пусть \i—гауссова мера со средним 0
и корреляционным оператором В с собственными век-
векторами \ek\ и собственными числами %k. Пусть опера-
оператор U удовлетворяет условиям:
1) U обратим, U—/ вполне непрерывен, det U опре-
определен и
| det 17| = Игл | det (/—Ря A7—/)) |, | det I/! =
- lim | det (/—/>„ (I/-1—/)) |,
tl -*¦ со
где Pn—оператор проектирования на подпростран*
ство Ln, порожденное векторами elf ..., еп\
202

2) ряды B0) и B1) сходятся по мере \х., и для почти
tovx x(modfi)
Qo> j'Wx&V
7'огда для меры v (Л) = ц (f/ (Л)) справедливы соот-
соотношения:
) 1 V (х-Ц-Ъ, etJ\
* к ^ /
Замечание. Мера v, рассматриваемая в тео-
теореме 4, является также гауссовой со средним 0 и кор-
корреляционным оператором #, определяемым из равенства
(Вгг, г) = J (г, гJ v (dx)= J (г, Uxf v (dx) =
= J («7*2, x)a ц (dx) = (В?/*г, «/«г).
Значит, B^—UBU*. Так как ц и v—гауссовы меры,
то необходимые и достаточные условия для того, чтобы
dv
|i ~ v, а также выражение для -^— можно извлечь из
результатов § 17. Эти условия будут более общими
(например, не нужно требовать существования det U:
оператор (U—/) должен быть оператором Гильберта —
Шмидта). Однако привлекаемые при доказательстве
теоремы 4 результаты существенным образом исполь-
используются при выводе формул для нелинейных преобра-
преобразований в следующем параграфе.
§ 26. Абсолютная непрерывность мер
при нелинейных преобразованиях
В этом параграфе результаты теоремы 3 § 25 будут
использованы для вывода формулы F) § 24. Основной
результат содержится в следующей теореме.
Теорема 1. Пусть мера \л. такова, что сущест-
существует линейное многообразие М» допустимых сдвигов
меры fx и функция р^ (а, х), определенная, как в § 24,
удовлетворяет условиям:
8* 203

1) для каждого конечномерного подпространства
Mf мера тех х, для которых рц(а, х) определено
и непрерывно по a?L, равна 1;
2) существуют последовательность подпространста
Ln и множество В € 33, такие, что при х?В для всех а,
для которых р^ (а, х) определено
lim Рц(Р„а, х) = рц(а, х),
Я-* сю
где Рп—оператор проектирования на Ln, причем для
каждых конечномерного подпространства L и а > 0 для
всех х (mod \i) стремление происходит равномерно по
a?L[\{a': \a'\ <а\.
Пусть, далее, U(x)—непрерывное, обратимое и не-
непрерывно дифференцируемое отображение X в X, для
которого выполнены условия:
3) для всех х существует det U'{x) (| det U' (х) | ф О),
отображения Vnx = х + Рп (U~1 (х)—х) и Un{x) = x-\-
+ Рп (Ux)—х) обратимы и
lim | det
4) х— и(х)^М^ и x—U~1{x)^Mll, для почти
всех л; (mod (д.), а также определены и положительны
(mod ц.) величины
(^(x—U-^x), х), p^ix—Uix), х).
Тогда мера v, определенная соотношением v (А) =
= (г (f/-1 (А)), эквивалентна (д. ы
¦^ (*) = | det ^(«T^lp^x-tT-1 (*),*)¦ A)
Доказательство. Установим сначала формулу
A) для того случая, когда оператор U(x) таков, что
U(x)—x?L для всех х, где L—некоторое конечно-
конечномерное подпространство, вложенное в М^.
Назовем отображение U(x) полигональным, если
пространство X можно разбить на конечное число
замкнутых множеств Dlt ...,Dm, не имеющих общих
внутренних точек, причем для каждого k=\, ...,m
можно указать вектор ak и линейный оператор Vk,
такие, что U(x)^ak^-Vkx, x?Dk. Легко видеть, что
204

I tfiM случае, когда полигональный оператор U(x)
мЛшмим, U'1 (х)—также полигональный оператор,
Ц\Ш) будет дифференцируемым во всех внутренних
ftMKMX t)k, причем
U'{x)=Vk, x?Dk.
Пусть U(x) — полигональный оператор, для кото-
IHil'O U(x)—х € L. Тогда ak g L и Vkx—x € L для всех х.
Потому для всякой 23-измеримой ограниченной функ-
функции / и любого k в силу теоремы 3 § 25
\/(аА+К**) !*(<**) =
= J / (ak + х)P|i (х- Vk'x, x) | det Vk\\i(dx).
Используя то обстоятельство, что ак^М^, перепишем
Последнюю формулу так:
S / (a* -f Vkx)[i(dx) = J / (*)рц (х- Vklx, x)|det К*||х(Лс).
Но для почти всех х (modfi)
Рц (а*. *) Ри (¦«—а*— V** (ж—а*), х—оА) =
= Pii(*—V»*(*—аА), дс).
Значит,
1 (*-«*), *) I det К, | ц (Лс). B)
Пусть функция / отлична от нуля лишь при х g Ak,
где Д = {я: x = aft+Vftje, л;€^*}- Тогда
Далее, Vj (jc—аь) = и~г{х) при ^gAft. Наконец,
det Vft = det U'k{U~1(x)), если а; является внутренней
точкой Aft. Еслих^АйП А/, то V^(x—ak)—Vjl(x—a/).
Пусть Нк,;-—подпространство тех х, для которых
Кг1д;= V~ixx. Будем считать, что при&=?/ или \?кФ V/,
или акфа} (иначе можно было бы объединить Dk и Dj
в одно множество). Тогда HktJ будет собственным
подпространством X. Если бы [i(HkiJ) было положи-
положительно, то My,.cHn>j, что противоречило бы тому,
что УИц плотно в X. Поэтому
|х ({х: V? (x-ak) = Vf1 (x-a,)\) = 0.
20Р

Значит, множество тех х, для которых CSHOJr1 (*)) н*
определено, имеет ц-меру 0; при этом
U'n{U?(x))=%xDAx)Vk (mod,i).
Поэтому B) можно переписать так:
\f(U(x))]x{dx) =
и (*-tf (х), *) | det tf' (ж) I |i (Лс). (З)
Так как всякая 93-измеримая функция f представима
в виде суммы
где /ft(x) отлично от нуля только на множестве АА, то
C) справедливо для всякой функции f (при условии,
что U(x)—полигональное отображение X в X, для ко-
которого U(x)—x?L для всех х). Построим последова-
последовательность полигональных отображении Un (x), такую,
чтобы для почти всех х (mod) выполнялись равенства
Hm Un(x) = U(x), lim det U'n(U?{x))=:det U'iU^ix)),
и Un(x)—x?L для всех х. Выберем в L произвольный
ортонормированный базис а^, ...,aN. Оператор U(x)
полностью определяется функциями ak (x) =
= (О(х)-х, ak).
Функцию а (л:) (числовую) назовем полигональной,
если можно указать такие замкнутые множества Dk,
не имеющие общих граничных точек, линейные функ-
функционалы lk(x) и числа ak, что
a{x) = lk{x) + ak при x?Dk.
Чтобы Un(x) был полигональным оператором,
необходимо и достаточно, чтобы функции 0$" (х) =
= (Un(x)—х, ак) были полигональными (для опера-
оператора Un (х) выполняется включение Un(x)—x?L).
Обозначим dak (x, у) дифференциал ак в точке х,
у—аргумент дифференциала. Тогда, если ak(x) свя-
связаны с U(x) указанным выше способом, то
det U(x) = det (dak (x, aj)), k = j = 1, ...,N;
206

{dak (x, aj))—матрица порядка N с элементами
<tn,,(x, aj). Таким образом, для построения указанной
последовательности полигональных операторов Un (x)
достаточно построить N последовательностей полиго-
Нильных функций а(?> (х), таких, чтобы при к — 1, ..., N
1 im ojf {x) = ak (х) и lira daf (x, gj) = dak {x, gj)
(для /=1, ..., N и почти всех х (modfx)).
Для построения функции а*1' (х) выберем сначала
компакт К так, чтобы ц(/С) > 1 — е„. Так как функции
щ {х) и dak (x, а;) равномерно непрерывны на ком-
ннкте К, то по данному е„ можем указать такое б,
что при \х'—х"\ <б
| nk (x')—ak {х") | < е„, | dak (xf, a;)—dak (x", as) |< ея.
Выберем в /С б-сеть jclt ..., хг и положим
/у (л) = ak {xf) + dak (xj, x—xj).
Поскольку \dak{x, -)| ограничен при х?К, можем
предполагать, что б выбрано настолько малым, что
61 dak (х, •) | < е„ для всех х g К- Тогда при | х—xf \ < б
I «а (*')—«* (*") i < e«- I fak (х1, aj)—dak {x", a,) | < е„,
ri/y (л, а,)—daft (л, а;) | = | dak (X/, at)—dak (х, а;) | < ея.
г
11оложим a(fen) (х) = lj (х) дл я х € U {а:' : | х'—л;у | < 6},
если |аА(*)—/У(*)К| а* (*)—М*)| ПРИ ^/- Для
-«€ U {^': \х'—Xj\<8\ определим af} так, чтобы она
была полигональной функцией. Тогда aft (x), если
только е„—*0 при п—юо, будет удовлетворять всем
требованиям, и
*=i
будет искомой последовательностью полигональных
отображений.
Подставив ?/„ (х) в C), а затем перейдя к пределу
при п—<-оо, для неотрицательных непрерывных / полу-
получим неравенство
\f(U{x))li(dx)>
>lf(x) Pv(x-U-l(x), x) det (U(x))' (U-i (x)) ц (dx). D)

Аналогичными рассуждениями получаем
(x-U(x), x) | det (U(x))' (U(x)) | ц (dx). E)
Из этих двух неравенств точно так же, как в тео-
теореме 3 § 25 из A2) и A4) было получено A0), можем
вывести формулу C) для оператора U(x), удовлетво-
удовлетворяющего условиям теоремы, если U(x)—x?L для
всех х.
Пусть теперь U(x) удовлетворяет условиям теоремы.
Положим Un(x) — x-±-Pn(U(x)—х). Тогда, по дока-
доказанному,
{ f (Un (x)) (x (dx) =
= S f (*) P* (p« (x-U(x)), x) | det U'n (x) | -1 ц {dx). F)
Предполагая, что f непрерывно и неотрицательно,
с помощью предельного перехода для данного U(x)
получаем неравенство D). Подставляя в него U~1\x)
вместо U(x), получим и неравенство E). А значит,
справедливо и соотношение C) для всех U(x), удовлет-
удовлетворяющих условию теоремы. Оно эквивалентно равен-
равенству A). Так как -т- > 0 (mod^), то v~[x. Теорема
доказана.
Выведем из этой теоремы условия эквивалентности
меры v, полученной из гауссовой меры ц с помощью
отображения U(x).
При выводе теоремы 4 § 25 было показано, что
для гауссовой меры ц выполнены условия 1) и 2) тео-
теоремы 1 (этого параграфа). Если В—корреляционный
оператор меры ц, а среднее ее равно 0, то рц(а, х)
определено для тех а и х, для которых сходятся ряды
«^нр) (mod(i) и ^
где ek и Xk—собственные векторы и собственные зна-
значения оператора В. Точно так же, как и в теореме
4 § 25, можно вместо сходимости (mod ц) рассматри-
рассматривать сходимость по мере ц. Таким образом, справед-
справедлива следующая теорема.
208
I

I »*орема 2. Пусть |д—-гауссова мера со средним
и но реляционным оператором В, имеющим собствен-
>ш ткпюры ek и собственные значения Хк, a U(x)—
ЦЩНШМое непрерывное и непрерывно дифференцируемое
¦ИиЯпижение X в X, для которого выполнены условия:
I) вля почти всех х (mod ц) существует det U' (х) Ф О,
¦Сражения Un(x) = x + Pn(U(x)—x), и Vn(x) =
* I Pn(U~1(x)—х) обратимы, причем
lira | det Un (*) | = | det V (х) |,
3) для почти всех х (modfi)
* 00
> 7—¦ <C OO U > 5 <L ОС
M ряды
у (х~и-Цх), ek)(x, ek) у jx-U(x), ek)(x, ek)
b_I « . Ь— 1 K
сходятся по мере (д..
Тогда, если v (A) = \л (U'1 (А)), то v ~ ц, и
2 (х-ЧГ- *(*). е>) (х, ek)-{x-U
§ 27. Интегралы по поверхности
Пусть на (X, 58) задана мера (д,. Поставим себе
цель связать с каждой достаточно гладкой поверх-
поверхностью (коразмерности 1) ScX меру \is, сосредото-
сосредоточенную на S и связанную с мерой (д. так, как, напри-
например, в конечномерном пространстве связаны лебегов
объем и лебегова площадь поверхности. Указанная
связь требует уточнения. Ее можно понимать двояко.
I. Пусть Se обозначает множество тех х, для кото-
которых расстояние от S не превосходит е, a f(x)—непре-
209

рывная функция, определенная при некотором е > О
для x?Se. Полагаем
\f()V() A)
s
II. При тех же обозначениях
Г / (х) ^ (dx) = Hm —L- f / (х) ц (dx). B)
J e->0 |xE ) J
Se
Определение I является непосредственным обобще-1
нием поверхностного интеграла Лебега. Если HHTeJ
грал I определен для всех непрерывных ограниченных р
и не равен тождественно нулю, то тогда определен и
интеграл II, причем
(II) $
[ JHS]-1. C)
Определение II, таким образом, является более
общим. Оно существенно связано с понятием услов-
условной меры (д. и поэтому точнее отражает связь ^s с \л.
Однако, если интеграл II существует для всех непре-
непрерывных ограниченных функций / и существует предел
то тогда существует интеграл I для всех непрерывных
ограниченных /, и значение его определяется из фор-
формулы C).
Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать
интеграл I. Из замечания к теореме 1 § 21 вытекает
существование меры ,us, если предел A) существует
для всех /€^х- Нас будут интересовать условия, при
s s
/х уу р у
которых \is существует, и выражение для [Is с помощью
меры ц (и ее характеристик).
Рассмотрим сначала конечномерное пространство Х
Будем предполагать, что мера \л. имеет положитель
ную непрерывную плотность относительно меры Лебеп
р(х). Относительно же S будем предполагать сущест
вование в каждой точке касательной гиперплоскост!
210

и непрерывно меняющейся нормалью. Предположим
мпкоиец, что S однозначно проектируется на некото-
некоторую гиперплоскость L. Пусть ms(-)—лебегова пло-
|цпдь поверхности на S, а т(-)—лебегова мера в X.
Тогда для /€#х
^[f()p()()[
e-* 0 J J
= lira -^-[f(x)p(x)m(dx)=[f(x)p(x)m*(dx).
e 0 J J
Ныразим теперь ms(dx) через mL(dx)—лебегову меру
мл L. Если п(х)—нормаль к S в точке х, a nL—нор-
nL—нормаль к L, то, полагая Ur(x) = x-\-anL длях^Ь, где
а выбрано так, что Ui(x)?S, будем иметь
= J f(Ucmp(U,(x))cosin{u[{x)hnL)m(dx). D)
PLS
Пусть fiL обозначает проекцию меры ц на гипер-
гиперплоскость L. Тогда (xL<^mz, причем для x?L
Значит,
Подставляя последнее выражение в D) и учитывая,
что
С
J
— с»
211

находим
{s J
Формула E) уже допускает обобщение и на бес-
бесконечномерный случай.
Найдем условия, при которых формула E) верна.
Не ограничивая общности, можно предполагать, что
либо поверхность S не имеет края, либо f (x) обра-
обращается в нуль в некоторой окрестности края S. Будем
предполагать, что подпространство L, на которое S
проектируется однозначно, ортогонально вектору nL,
принадлежащему М^, причем М^ содержит всю пря-
прямую, порожденную вектором п^. Как вытекает из
теоремы 1 и замечания 2 § 20, мера [г эквивалентна
произведению мер \iLx\iL, где (х?—проекция меры ц
на L, ц1—проекция меры ц на подпространство Llt
порожденное вектором nL; при этом мера \iL абсо-
абсолютно непрерывна относительно меры Лебега. Если
обозначить плотность меры ц относительно меры
Лебега а (х), то из формулы A1) § 20 вытекает, что
F)
Значит, полагая g(x) — ^—e~i(x)> будем иметь
Если нормаль к S равномерно непрерывна на S, то
при достаточно малых г всякая прямая, параллель-
параллельная nL, пересекает границу S8 не более чем в двух
точках.
Пусть числа а'е (х) > 0 и а"е (х) > 0 определяются
из соотношений
inf |у—х + а;(х)nL\ = e, inf \y—x-\-a"e(x)nL| = 8.
#es es
212 .......

Тогда
?()
= $ J f(UL
X a (((UL (x)—x, nL) + т) nL) dx|A L (dx).
Учитывая вид g(x) (g(x) определяется из формулы F)),
находим
а"г(х)
nL)^ X
\ \
PS
PLS-
xdxnL(dx).
Очевидно, что в том случае, когда f непрерывна,
llm -^-[l (х) ix {dx)=
— во
если только последний предел существует.
( Г V1
Пусть функция I ^ Рц(а«1, UL(x)-\-xtii)da 1
для почти всех * (mod u) непрерывна по т. Легко
видеть, что
~= \n(UL(x), nL)\ .
причем сходимость равномерна по х, если только п (*)
равномерно непрерывно на S. Поэтому, каково бы
ни было Я > 1, для достаточно малых г > 0 имеет
213

место неравенство
Кг
| (л (VL (х)), nL) I
dx
Кг
dx
- 4 (*) \ Pn («««?. #1 (*) "i- ™i) da
— 00
e/ I (n (VL (
-e/X | (л (UL (*)). nt) | f P(i (аП?, t/? (x) + xnL) da
Из этого неравенства вытекает, что
J_ f f(x)
28 J
lim
e-+0
Se
в/ |
-8/1 (л <t/? U», «t» J Р («"
если только последний предел существует.
Сделаем во внутреннем интеграле в правой части
последнего равенства замену переменной: т=
=х'1\(п(.иЛх))> nt)\- Получим
lim
im -i- f / (дс)
8->0
G)
(если последний предел существует).
214

Предположим, что функция
С \n(U,Ax),nL)\-^ {dx)
ф
(anL,
непрерывна по т при т = 0. Покажем, что тогда пре-
предел в левой части G) существует. Действительно, из
непрерывности функции (8) и непрерывности подын-
подынтегральной функции вытекает, что для всякой после-
последовательности т„—>-0 последовательность функций
[
\(n
[
\(n(UL(x)),nL)\
\(n(UL(
tnnL \
L(x)),nL)\)
равностепенно интегрируема по мере jxt. Но тогда
равностепенно интегрируемой будет и последователь-
последовательность функций f(Ui(x))gn(x), так как/ ограничена.
Поэтому
Нт С f(UL(x))gn(x)nL(dx) =
pis»-
Значит, функция
непрерывна по т при т = 0, и поэтому
е
lim ~ С Ф(т)с(т = Ф@).
— 8
Тем самым существование предела в левой части G)
доказано и установлена формула E).
215

Сформулируем полученный результат в виде
дующей теоремы.
Теорема 1. Пусть поверхность S удовлетворяет
следующим условиям: /
а) можно указать подпространство L, на которое
поверхность однозначно проектируется, причем фрмаль
nL к L принадлежит М^;
б) в каждой внутренней точке поверхности S имеет
касательную, нормаль к поверхности S равномерно не-
непрерывна на S;
в) функция от х, определенная равенством (8), где
п(х)—нормаль к поверхности в точке х, UL(x) обозна-
обозначает такую точку поверхности S, что PLUL(x) — x,
x?L, nL—нормаль к L, \iL—проекция меры jx на L,
непрерывна по х при т = 0.
Тогда для меры ц существует мера на поверхности
[л5; при этом для всех ^-измеримых f, определенных
на S, справедлива формула E), если только интеграл
справа в E) существует.
Если поверхность S может быть разбита на не более
чем счетное число частей и для каждой части Sk можно
указать такое подпространство Lk, что Sk однозначно
проектируется на Lk и для Sk и Lk выполнены условия
теоремы 1, то можно определить меру \is на поверхности.
Она будет а-конечной и для всякой неотрицательной
23-измеримой функции / (х) будет иметь место равен-
равенство
¦5
ft
*Р& ,ц№).
PLkSk
CD
(9)
Уже упоминалось о некоторой связи между мерой
на поверхности и условными мерами. Поясним эту
связь, рассматривая поверхности специального вида.
Пусть g(x) — непрерывная дифференцируемая функ-
функция на X с числовыми значениями. Обозначим S(a)
поверхность {x:g(x) = a\. Предположим, что мера (л
такова, что для всех ag(aj, a2) на поверхности S(a)
определена мера (j,s<a>. Если производная от g(x) в
216

x есть g' (x, у) (это линейный функционал по у)
И «(ж) —такой вектор из X, что g' (х, у) = (а(х), у)
(т, р, а(лг) является градиентом функционала g(x)), то
Ниппельная плоскость к S (х) в точке х0 определяется
уршикчшем (х — х0, а(хо)) = 0. Пусть а(х) равномер-
II» непрерывно. Тогда можно установить, что для
псикоп непрерывной функции / (х) будет существовать
И продел
-p, о+р
|'Я* Vy,6 = {x: y<g(x) <8\. Этот предел совпадает со
течением интеграла в определении II. Если положить
он, а
TO
Из этого соотношения находим
1/
"а, о
Попому
где 4^—(т-алгебра, порожденная множествами вида
{л;: g(x)<a}. Если /а (/) непрерывно, то /о(/) для
нсех а совпадает с интегралом по условной мере.
Используя связь между определениями I и II, полу-
получаем следующее соотношение:
= Г
._I_f
где рг(а) = -^ц{{*: g(x)<a\). Формула A0) дает
возможность вычислять условную меру через поверх-
поверхностный интеграл, который в свою очередь может
быть вычислен по формуле (9).
217

§ 28. Формула Гаусса /
В теории интеграла по лебеговой мере существен-
существенную роль играют формулы, связывающие интегралы
по некоторым областям с интегралами по границам
этих областей. Примером такой формулы можрт слу-
служить следующая формула Гаусса: если V—область в
cR", ограниченная замкнутой гладкой поверхностью S
и U(x)— гладкая векторная функция, определенная
на V, то
div U(x) m (dx) = J (U(x), n (х)) ms (dx), A)
V S
где divf7(*)~(V, U(x)) = Sp V (x) (U'(x)—производ-
(U'(x)—производная U(x) в точке х, являющаяся линейным оператором
при каждом х), п(х) — внешняя нормаль к5в точке х,
m(dx)—лебегова мера в eit(n>, ms(dx)—лебегова мера
на поверхности S.
Цель этого параграфа установить аналогичную связь
между [х и ns, где ц—некоторая квазиинвариантная
мера на (X, 23), X—гильбертово пространство, \is—
мера на поверхности S, построенная по мере [л.
Чтобы выяснить возможный вид формулы Гаусса в
этом случае, предположим сначала, что X конечно-
конечномерно и fi имеет положительную дифференцируемую
плотность р (х) относительно лебеговой меры т на
X. Поскольку \is(dx) = p(x)ms (dx), то
J (U(x), п (х)) ц*(dx) = J (p (x) U(x), n (x))га*(dx). B)
Функция p(x)U(x) будет дифференцируемой, если
такой будет U(x). Легко видеть, что
[р (х) U(x)]' h = p(x) U' (x) h + (grad p (x), h) U(x),
где h6X, (gradp(x), a) = ^(p(x + ta))\t=0- Поэтому
Sp [p(x) U(x)]' = p(x)SpU' (x) + (gradp(x), U(x)). C)
Применяя к правой части B) формулу A), получим
\(U(x), n(x))y
s
s
= \ [р (х) + Sp V (х) + (grad p (x), U(x))] m (dx). D)
218

ft IN /ц(", х)—логарифмическая производная мера
(НИфйПЛению а (определение дано в § 21); тогда
=—^д(#» *)• Поэтому интеграл в правей
D) можно записать в виде
р (х)т (dx) =
= J [р (х) Sp U' (х)-1„ (U(x), х)] р (dx).
Отжчательно находим:
, n(x))ixs(dx)=\ [SpU'W-l^Uix), x)]yi(dx). E)
Эта формула имеет смысл и в бесконечномерном
Пространстве X, если выполнены следующие условия:
1) S является гладкой замкнутой поверхностью,
П(х) непрерывно меняется на S;
2) мера [л логарифмически дифференцируема по
Направлениям a?N, где N — некоторое линейное мно-
многообразие в X;
3) мера (j, и поверхность S таковы, что определена
мера [Xs;
4) Функция U{x), действующая из X в X, диффе-
дифференцируема и существует Sp V (x);
5) U{x)?N для почти всех x(mod\i), lp.(U{x), x)
измерима и существует интеграл в правой части E);
6) существует интеграл в левой части E).
Перечисленные условия обеспечивают существова-
существование интегралов в E) слева и справа. Будет ли при
этих условиях выполняться равенство E)? Исследуем
этот вопрос.
Предположим сначала, что U{x) = f(x)a, где а€ЛГ,
a\=l,f(x)—дифференцируемая числовая функция.
Относительно S предположим, что эта поверхность
ограничена и может быть разбита на не более чем
счетное число 33-измеримых связных кусков, не име-
имеющих общих точек, причем каждый кусок однозначно
проектируется на подпространство L, ортогональное
а. Предположим, далее, что эти части S, обозначаемые
далее Sk, таковы, что проекции Sk на L (будем их
обозначать Dk) либо совпадают, либо не имеют общих
219

точек. Будем говорить, что Sk и Sy образуют пар/,
если Dk = Dj и для всех x?Dk часть прямой x+ta,
лежащая между Sk и S,, принадлежит V. Пусть Vk/j—
множество тех точек вида x + ra, x?Dk[\Dj, которые
лежат между Sk и Sj, если Sk и Sy образуют пару, и
Vktj пусто, если Sk и Sf не образуют пару. Тогда
Будем называть Sk нижней границей VkiJ если +
+xa^Vfti/ при t<Tj для x?Dk и л+^agSft. Если
Sft является нижней границей Vk,j, то Sj будет верх-
верхней границей VktJ (понятия верхней и нижней гра-
границы определены, если Vktj непусто).
Рассмотрим интеграл
S [/'(*, a)-f(x)lfi(a,x)]VL(dx). F)
Предположим, что а является допустимым сдвигом
для [л, и воспользуемся тем, что тогда [x~fiiX(j,1,
где ц^—проекция меры (а на L, а р,1—проекция |i на
прямую, порожденную вектором а (см. теорему 1 и
замечание 2 § 20). Пусть <т(т)—плотность в точке та
меры (л1 относительно меры Лебега. Тогда при xL
W(* + ™)-(<t(t)
(см. формулу A1) § 20). Заменяя в F) интеграл по
мере ц на интеграл по ф^хц1, получим
х( $ Рц(А,а, дс-f ra)dk)
— оо
а, а)—/(лН-та)/ц(а, дс + та)]х
xf J рд(Ха, At + xa)^J dxnL(dx), G)
ч— со
220 ¦

{#) «ковы, что х + x1 (x) a 6 Sk, x -f т2 (х) а € Sp
Й и Sj—верхняя границы Vk< r Исходя из
11Л1ЮЩ*йся следствием формулы B) § 19, можем за-
rt j П
\ (i,i (A,a, лс + та)йл =—-, ч \ Рц(^а, jc) dA,. (9)
5, из равенства B0) § 21 вытекает соотношение
а
p^ (аа, х) — 1 = \ рц (ка, х) 1» (а, ^—Ха) dk,
ОТкулн в предположении непрерывности /ц(а, х—%а)
И рц (^.а, х) по Я, будем иметь
4- Рц (аа, л) = рц (owt, л) /^ (а, х—аа). A0)
Используя соотношения (9) и A0), для внутреннего
интеграла в правой части G) получим выражение
т. (*)
' (х + ха, а)Рц(—та,
= / (дс + т. (дс) а) рц (—т (x) a, x)—
—i {x + xx (x) а) рц (—т4 (x) a, x)
( r V1
(не зависящий от т множитель I ^ рй (X,a, x)
\ — 00
мы можем вынести за знак внутреннего интеграла).
, 221

Таким образом,
\f'(x,a)-f(x)lVL(a,x)}v.(dx) =
(x) а) Рй (—т2 (x) a, x)
"*./
(x) a) P|1 (—xt (дс) д, x) -
00
Используя опять соотношение (9) и то, что на Sy внеш-
внешняя нормаль к S имеет острый угол с а, будем иметь
п
а) рц (— тг (х) а, х)
Pfl(Xa,x)dX
j
D.
(мы воспользовались формулой E) § 27). Аналогично
устанавливаем, что
С f (x+*i (х) а)Рц (—Ti W а, х)
\ г
= /(*)(n(*),
— 00
Следовательно,
[/' (*> о,
"ft./
= J /(*)(«(*), a)^s(dx). A1)

1
1
I
Суммируй равенства A1) по всем парам k, j, для
Которых Vk< j не пусто, находим
jj |/' (ж, а) - f (х) /„ (а, х)} ц (dx) = j / (х) (д (*), а) ^ (dx).
A2)
Т*РМ снмым формула E) установлена (при некоторых
цшшлиительных предположениях) для функции U(x)
ёИДй U{x) = f(x)a.
Поскольку формула E) зависит от U линейно, то
f#M самым ее можно установить и для функций
я= 1
вели /д. дифференцируемы, a ak^N и удовлетворяют
тям требованиям, которые накладывались выше на а.
Гйк можно установить формулу E) для PnU(x), где
Рн-операторы, проектирующие на конечномерные
Подпространства Nn с N, такие, что (J Nn плотно в X.
п
И;шишем E) для PaU(x):
UP,,U(X), n(x))ns(dx) =
S [SpKU'(x)-l»(PnU(x), Jt)]|i(dx). A3)
Од, PnU(x) — U(x), Sp PnU' (x) — Sp I/' (x).
Предположим, кроме того, что lim l^ (Pna, дс) = /ц (а, х)
n
no мере \х дли каждого agiV. Тогда подынтегральные
функции и A3) и справа и слева стремятся к подын-
подынтегральным функциям в E). Так что E) получается
из A3), осли только возможен предельный переход под
знаками интегралов в A3).
Из вышесказанного вытекает следующая
Теорема 1. Пусть функция U(x), мера \i и по-
поверхность S, ограничивающая множество V, удовлетво-
удовлетворяют условиям 1) —6), а также следующим условиям:
7) Мр Z2 N и функции р,1 (ка, х), 1^ (а, х—Ха) не-
непрерывны по X для почти всех х (modji) при a?N;
8) можно указать такую последовательность конеч-
конечномерных подпространств Nn с: N, что (j Nn плотно
в X и, если Рп—оператор проектирования на Nn, то
223

функции /
\Sp PaU'(x)\ и \1„{Рпи{х),х)\ J
равномерно интегрируемы по мере \и на множестве V,
а функции \(PnU{x), п(х)\—по мере (is на S;
9) для всех a(zNn любая прямая, параллельная а,
пересекает S лишь в конечном множестве точек.
Тогда справедлива формула Гаусса E).
Заметим, что условие (9) обеспечивает возможность
разбиения S на не более чем счетное число связных
множеств, однозначно проектирующихся на подпро-
подпространство, ортогональное а при а б \jNn.
n

ННММГЧАНИЯ
(мм I
| |i Ряесмотренная здесь схема построения меры с помощью
щ$ ЗНйМрииИ на цилиндрических множествах обобщается на про-
Нзйшц,мыс линейные пространства X, на которых определен неко-
ИфМЙ нлигс линейных функционалов /..
llyi'Ti. W является минимальной а-алгеброй, относительно
KMHipoft измеримы все функционалы l?L. Цилиндрическими мно-
МЭДТММН ни 58 называются множества вида {х: (/t (х), ...
¦¦< ¦. 1т(*))€Ат}> где 1г lm?L, Am — борелевское мло-
ЖШТНО и» ,'/}'". Совокупность мер |i(t) , (Am) = ]i (\х; (/х (х),...
i '/» (х))€Ат\) называется семейством конечномерных распреде-
¦ifiillfl меры |х.
Инерпые мера в бесконечномерных линейных пространствах
V помощью конечномерных распределений была определена
II. Винером [1] для специальной меры в пространстве ^,0 ,-j. Эта
Мерк получила название винеровской. Л. Н. Колмогоров' [1] ис-
йплмонал этот прием для построения меры, соответствующей
гдУчиЛному процессу в пространстве всех функций.
| 2. Используя конечномерные распределения, можно опреде-
определим, слабое распределение на (X, 58), если X—линейное прост-
рцнгшо, а 58—а-алгебра на X, порожденная множеством линей-
Hl.ix (функционалов L. Вопрос о том, когда слабое распределение
сои шетствует некоторой мере на (X, 58) —один из основных воп-
pOi'OH теории меры в линейных пространствах. Основной факт,
который используется при доказательстве леммы 1—слабая ком-
компактность сферы. Поэтому эта лемма справедлива и для рефлек-
гинных сепарабельных банаховых пространств, если в качестве 58
нзять по-прежнему а-алгебру борелевских множеств » X (для
этого в качестве L нужно взять сопряженное X пространство X*).
Для таких пространств можно очевидным образом переформу-
переформулировать лемму 2. Теорема 1 справедлива в любом полном метри-
метрическом сепарабельном пространстве. Условия продолжимости сла-
слабого распределения до меры имеются в работе Л. Гросса [1]. Ряд
общих утверждений о возможности продолжения слабого распре-
распределения для общих линейных пространств содержится в конспекте
лекций Л. М. Вершика и В. Н. Судакова [1].
§ 3. Характеристические функционалы для мер в банаховых
пространствах были введены Л. Н. Колмогоровым [2]. Впослед-
Впоследствии они изучались многими авторами.
§ 4. Теорема этого параграфа доказана в работе Р. А. Мин-
лоса [1] для счетно-гильбертовых пространств и независимо
225

В. В. Сазоновым [1] в рассматриваемой здесь формулировке для
гильбертовых пространств.
§ 5. Гауссовы меры в гильбертовых (и других) пространствах
изучаются в связи с задачами для гауссовских случайных про-
процессов. Довольно полная теория таких мер изложена в книге
Ю. А. Розанова [2]. Гауссовы меры на пространствах 1р и неко-
некоторых других линейных пространствах рассматривал Н. Н. Ваха-
ния [1]. Гауссовы меры в общих линейных пространствах изуча-
изучались А. М. Вершиком [1].
§ 6. Изложенная здесь схема построения обобщенных мер
в гильбертовом пространстве заимствована из работ Ю. Л. Далец-
кого [2].
Глава II
§ 7. Измеримые линейные функционалы на линейных прост-
пространствах с мерой рассматривались А. М. Вершиком [2]. Изло-
Изложенные здесь факты об измеримых линейных функционалах впер-
впервые опубликованы в книге И. И. Гихмана и А. В. Скорохода [2].
§ 8. Результаты этого параграфа заимствованы в основном из
книги И. И. Гихмана и А. В. Скорохода [2].
§ 9—11. Здесь в существенно переработанном виде излагается
материал книги И. И. Гихмана и А. В. Скорохода [2], гл. VIII.
Отметим, что полиномиальные функционалы по винеровской мере
в виде кратных стохастических интегралов были построены
К. Ито [1, 2]. Н. Винер [2] применил ортогональные по винеров-
винеровской мере полиномы для изучения нелинейных преобразований
пространства с винеровской мерой. Измеримые полиномиальные
функционалы в пространствах последовательностей для продакт-
мер рассматривал О. Г. Смоляное [1].
Глава III
§ 13. Общее определение условного распределения принадле-
принадлежит А. Н. Колмогорову [1]. Существование условных мер для широ-
широкого класса измеримых пространств доказано В. А. Рохлиным [1].
Предложенное в тексте доказательство приспособлено специально
к случаю гильбертова пространства, однако с небольшими изме-
изменениями может быть распространено на сепарабельные линейные
топологические пространства.
§ 14. В этом параграфе переформулированы на язык анализа
известные факты, относящиеся к специальному виду случайных
процессов, называемых мартингалами и полумартингалами. Изло-
Изложение теории этих процессов имеется в книге Дж. Л. Дуба [1],
гл. VII.
§ 15. Теорема 3, обобщающая результаты теорем 1 и 2, дока-
доказана в несколько других терминах У. Гренандером [1], гл. 4.
Теорема 6 содержится в работе И. И. Гихмана и А. В. Скоро-
Скорохода [1]. Результаты этого параграфа тривиально обобщаются на
меры в линейных пространствах.
§ 16. Абсолютную непрерывность продакт-мер рассматривал
Какутами fIJ, получивший теорему, аналогичную теореме 1.
Теорема 2 была получена У. Гренандером A) в других терминах.
226

I 17. Абсолютной непрерывности гауссовых Мер посвящено
ниш1 число работ, многие из них имеют весьма частный ха-
|<ф, Укажем лишь главные: Дж. Сигал [1], Я. Гаек [1), Дж.
•цмии [1]. В работах Гаека и Фелдмана были, по существу,
ними необходимые и достаточные условия абсолютной непре-
ннгти и сингулярности гауссовских мер. Ю. А. Розанов в [1]
¦¦юл общую формулировку и упростил доказательства. Подробно
• П'М написано в книге Ю. А. Розанова [2].
| 18. Абсолютную непрерывность смешанных гауссовых мер
• Мйтривала Г. Н. Сытая [1, 2]. Некоторые общие теоремы,
• и 1Ности, теорема 1, имеются в книге И. И. Гихмана и А. В. Ско-
н«и [2].
< .»й1 IV
| 111. Общее определение допустимого сдвига и простейшие
i янйстмн допустимых сдвигов для мер, соответствующих случайным
ньицессам, а также простейшие свойства множества допустимых
tlktuoii имеются в работе Т. С. Питчера [1]. Часть мате-
тлли этого параграфа заимствована из работы А. В. Скоро-
|ндй |1|. Невозможность меры в бесконечномерном пространстве,
бур сдмнги для которой были бы допустимы, установили И. В. Гир-
(siHiui и Б. С. Митягин [1] и в более общем случае В. Н. Суда-
|мй |1|. Теорема [1J обобщает один результат Б. С. Митягина [1].
1ен|1гмп 2 имеется в работе А. М. Вершика [2].
| 20. Допустимые направления для мер, соответствующих
•¦лучййимм процессам, рассматривал Т. С. Питчер [1]. Теорема [1]
¦нлиетги обобщением теоремы, сформулированной в работе
А М, Иершика [2].
I Ч\. Другое определение производной меры по направлению
им»' и и в статье В. И. Авербуха, О. Г. Смолянова, С. В. Фо-
Фомин» II]. В этой статье требуется существование предела A) для
Им-» ограниченных измеримых функций. При этом производная
пин и.шлется всегда абсолютно непрерывной относительно исход-
Hull меры.
| 22. Теорема 2 является небольшим обобщением теоремы 7
|ШПоты А. В. Скорохода [1].
| 23. Впервые термин квазиинвариантность относился к ме-
мерям, для которых все сдвиги были допустимыми. После того как
Ьыач установлено отсутствие таких мер в бесконечномерных про-
ртцпигтиах, И. М. Гельфанд предложил называть так меры, имею-
НИи- достаточно богатое множество допустимых сдвигов. Здесь
Tin намываются меры, множество допустимых сдвигов которых
(м>Л|'|»кит линейное многообразие, плотное в X. Этот параграф
(илгр'кит в переработанном и исправленном виде результаты
| .1 рмботы А. В. Скорохода.
Глин» V
I 24—26. Преобразования виверовской меры начали изучать
И. Камерон и В. Мартин [1, 2]. Это были первые работы, в ко-
ffipux исследовались вопросы абсолютной непрерывности меры
щ бесконечномерном пространстве при преобразованиях прост-
227

ранства. Они отчасти и послужили толчком Дли исследования
абсолютной непрерывности мер в бесконечномерных простран-
пространствах. Преобразованию гауссовой меры в гильбертовом простран-
пространстве посвящена работа В. В. Баклана и А. Д. Шаташвили [1].
Общая формула для плотности преобразованной меры относи-
относительно исходной приведена в работе И. И. Гнхмана и А. В. Ско-
Скорохода [1]; доказательство ее имеется в книге тех же авто-
авторов [2], гл. VII. Здесь формула доказана при более общих
условиях.
§ 27, 28. Здесь изложены с доказательствами результаты,
сформулированные в работе А. В. Скорохода [2]. Для гуасссвой
меры в терминах условных математических ожиданий формула
Грина установлена в работе Дж. Стенга [1].

¦НИТВРАТУРА
pflyx В. И., Смол я по в О. Г., Фомин СВ.
Обобщенные функции и дифференциальные уравнения в ли-
iivftiiMX пространствах. 1. Дифференцируемые меры, Тр.
Миск. мат. о-ва. т. 24.
И и И Л * II В. В., Шаташвили А. Д.
I Условия абсолютной непрерывности вероятностных мер, отве-
отвечающих гауссовским случайным величинам в гильбертовом
пространстве, ДАН УССР 1 A965), 23—26.
Ц ¦ п я и и я Н. Н.
I: О характеристических функционалах для случайных после-
димпелыгастей. Тр. ВЦ АН Груз. ССР 5 A965), 5—32.
И» рш и к А. М.
I Общая теория гауссовых мер в линейных пространствах,
УМН 19, 1 A15) A964), 210—213.
У, Днойственность в теории меры в линейных пространствах,
ДЛИ СССР 170, 3 A966), 497—500.
Вершин А. М., Судаков В. Н.
I. Вероятностные меры в бесконечномерных пространствах,
Зппнски научных семинаров ЛОМИ 12 A969), 7—67.
II и И е р (Wiener N.)
I. Differential space, J. Phys. Math. Inst. Tech. 2 A923),
131—174.
U. Nonlinear problems in random theory, N. Y., Wiley, 1958.
Гш'К Я.
I. Об одном свойстве нормальных распределений произвольных
стохастических процессов, Чехосл. матем. журн. 8 A958),
610-618.
Гяльфанд И. М., Я г лом А. М.
1. Интегрирование в функциональных пространствах и его при-
применение в квантовой физике, УМН 11, 1 A956), 77—114.
Г. ир с ни о в И. В., Митягин Б. С.
1. Кнпзиимвариантныс меры в топологических линейных прост-
пространствах, Научн. докл. высшей школы, 2 A959), 5—10.
Г и х м а и И. И., С ко р о ход А. В.
I. О плотностях вероятностных мер в функциональных прост-
пространствах, УМН 21, 6 A966), 83—152.
'2. Теория случайных процессов, т. I, M., «Наука», 1971,
Г и е н а и де р (Grenander Ulf)
1. Stochastic processes and statistical inference, Ark. M«tli. I,
3 A960), 195—277.
22»

2. Probabilities on algebraic structures, New-York — London,
1963.
Гросс (Gross L.)
1. Harmonic analysis in Hilbert space, Mem. Amer. Math. Soc
46 A963), 1—61.
Далецкий Ю. Л.
1. Континуальные интегралы, связанные с операторными эво-
эволюционными уравнениями, УМН 17, 5 A962), 3—115.
2. Бесконечномерные эллиптические операторы и связанные
с ними параболические уравнения, УМН 22, 4 A967), 3—54.
Дуб (I. L. Doob)
1. Stochastic processes, New-York —London, 1953.
Ито К. (Kiyosi Ito)
1. Stochastic processes, New-York — London, 1953.
2. Complex multiple Wiener integral, Japan J. Math. 22 A952),
63—86.
Какутани (Kakutani Shizuo)
1. On equivalence of infinite product measures, Ann. Math. 4,
9 A948), 214—224.
Камерон, Мартин (Cameron R. H., Martin W. Т.).
1. Transformation of Wiener integral under translations, Ann.
Math. 44 A943), 423—453.
2. Transformation of Wiener integral by nonlinear transforma-
transformation, Ann. Math. Soc. 66 A949), 253—283.
К а ц (Кае М.)
1. On distribution of certain Wiener functionals, Tr. Amer.
Math. Soc. 65 A949), 1—13.
2. On some connections between probability theory and differen-
differential and integral equations, Proc. 2-nd Berkeley Symp. Math.
Stat. Probab., Berkeley, 1951, 189—215.
3. Probability and related topics in physical sciences, New-
York—London, 1957.
Колмогоров А. Н.
1. Основные понятия теории вероятностей, изд. 2-е, М., «Наука»,
1974.
2. La transformation de Laplace dans las espaces lineaires, Сотр.
Rend. 200 A935), 1717.
Ми н л ос Р. А.
1. Обобщенные случайные процессы и их продолжение до меры.
Тр. Моск. матем. о-ва 8 A959), 497—518.
Митягин Б. С.
1. Замечание о квазнинвариантной мере, УМН 16, 5 A961),
191-193.
Мурье (Mourier E.)
1. Elements aleatoires dans un espace de Banach, Ann., Inst.
Henri Poincare 13 A953).
П и т ч e p (Pitcher T. S.)
1. The admissible mean values of stochastic process, Tr. Amer.
Math. Soc. 108 A963), 538—546.
Прохоров Ю. В.
1. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы
теории вероятностей, Теория вероятн. и ее примен. 1 A956),
177—238.
230

Hi | «ии |(), Л,
| I! luiiiriKH'Tli одной гауссовской меры относительно другпй,
f|t<|)HN нерояти. и ее примен. 7 A962), 84—89.
| Г йуй'гои'ИИ» бесконечномерные распределения, Тр. Матсм.
ИИ I* ИМ, Н. Л. Стеклопа 108, 1968.
uidini I. Л,
I 1|Л («'Ионных понятиях теории меры, Матем. сб. 25 F7), I
Ш»), 107 -150.
Alt)ниц И. П.
I 1эмр||цци1' о характеристических функционалах, Теория но-
н еР примен. 3 A958), 201—205.
1 J. Г..)
ПЯ in Hilbert spaces and canonical systems of opo-
itt Tr. Amer. Math. Soc. 88 A958), 12—41.
iiima Л. IV
1 Miiiyi'tiiMiox сдвигах мер в гильбертовом пространстве,
' ими ш'рпнти. и ее примен. 15 A970), 577—598.
|= I I'NHiii тыс интегралы и формула Грина в гильбертовом
I няне itic, сб. «Теория вероятностей и математическая
! > hi к и» Ияд-во Киев, ун-та, № 2 A970), 172—175.
MM j. h О. Г.
|. СМ измеримых полилинейных и степенных функционалах
i ненитпрых линейных пространствах с мерой, ДАН СССР
Jfll (ИМЯ), 626—529.
f * И I >i (HlwiKle Gilbert)
I A ^tvW'Wiirp theorem for Gaussian stochastic Process Expec-
UHhii J. MiiIIi. Anal. Appl. ?1 A968), 537—546.
v A ¦ ион П. tl
I /iHiipftHUP множества с квазиинвариантной мерой, ДАН
ПИ» Щ7 (НИИ)), 624—525.
«*|Ч Г, II.
(, Н цопуггнмых гднигах взвешенных гауссовских мер, Теория
м чт»|. и се примен. 15 A969), 527—531.
| i шнек hi ияисшенных гауссовских мер при допустимых
i ли, 1 п «Теория вероятностей и математическая стати-
• , Цчд но Киев, ун-та, Л% 2 A970), 193—204.
¦¦••i -и, X iirtfic (R. P. Feynman, A. R. Hibbs)
Г •'¦ linn iiii'rliHiilcs and path integrals, New-York, 1965.
» tut ¦» (tiiiinitiii.).)
|. I .iIpihi' miiiI perpendicularity of Gaussian processes, Pa-
i. I, Miilh. N (HM8), 699—708.
4 |Я м щи II,
Г |ки|)МЯ Mi-ры, M., ИЛ, 1953.
"Mill Г Г., Jl и it л i, пуд Д. Е., Полна Г.
I 1|Н|И)ШМ1'him. M., ИЛ, 1948.
||и4ин Г. I1'., Ф и и Дык Тинь
I Ин1«Г|ШЛ мерп и производная на линейных пространствах,
М , |Нйукп», \%7.